นี่เป็นแนวคิดที่สรุปการดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ดำเนินการกับเมทริกซ์ เมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์ - ตารางองค์ประกอบ เกี่ยวกับโต๊ะไหน มเส้นและ nคอลัมน์นี้เมทริกซ์นี้เรียกว่ามีมิติ มบน n.
มุมมองทั่วไปของเมทริกซ์:
สำหรับ โซลูชันเมทริกซ์จำเป็นต้องเข้าใจว่าเมทริกซ์คืออะไรและรู้พารามิเตอร์หลักของมัน องค์ประกอบหลักของเมทริกซ์:
- เส้นทแยงมุมหลักประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ 11, 22…..น.
- เส้นทแยงมุมด้านข้างประกอบด้วยองค์ประกอบ 1n , 2n-1 .....m1.
เมทริกซ์ประเภทหลัก:
- Square คือเมทริกซ์โดยที่จำนวนแถว = จำนวนคอลัมน์ ( ม.=น).
- ศูนย์ - โดยที่องค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมด = 0
- เมทริกซ์ที่ถูกย้าย - เมทริกซ์ ในซึ่งได้มาจากเมทริกซ์ดั้งเดิม กโดยการแทนที่แถวด้วยคอลัมน์
- ความสามัคคี - องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลัก = 1 องค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมด = 0
- เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ที่เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมจะทำให้เกิดเมทริกซ์เอกลักษณ์
เมทริกซ์สามารถมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรอง นั่นก็คือถ้า 12 = 21, 13 = 31, …. 23 = 32 …. m-1n = mn-1จากนั้นเมทริกซ์จะสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก เฉพาะเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้นที่สามารถสมมาตรได้
วิธีการแก้เมทริกซ์
เกือบทั้งหมด วิธีการแก้เมทริกซ์ประกอบด้วยการหาปัจจัยกำหนด n- ลำดับที่และส่วนใหญ่จะค่อนข้างยุ่งยาก ในการค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่ 2 และ 3 มีวิธีอื่นที่มีเหตุผลมากกว่า
การค้นหาปัจจัยกำหนดลำดับที่ 2
เพื่อคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ กลำดับที่ 2 จำเป็นต้องลบผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก:
วิธีการหาปัจจัยกำหนดลำดับที่ 3
ด้านล่างนี้เป็นกฎสำหรับการค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 3
กฎรูปสามเหลี่ยมแบบง่ายเป็นหนึ่งใน วิธีการแก้เมทริกซ์สามารถอธิบายได้ดังนี้:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลคูณขององค์ประกอบในดีเทอร์มิแนนต์แรกที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรงจะมีเครื่องหมาย "+" นอกจากนี้สำหรับปัจจัยที่ 2 ผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องจะมีเครื่องหมาย "-" นั่นคือตามรูปแบบต่อไปนี้:
ที่ การแก้เมทริกซ์โดยใช้กฎของซาร์รัสทางด้านขวาของดีเทอร์มิแนนต์ ให้เพิ่ม 2 คอลัมน์แรกและผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องบนเส้นทแยงมุมหลักและบนเส้นทแยงมุมที่ขนานกับมันจะมีเครื่องหมาย "+" และผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและเส้นทแยงมุมที่ขนานกันโดยมีเครื่องหมาย "-":
การแยกย่อยดีเทอร์มิแนนต์ในแถวหรือคอลัมน์เมื่อแก้เมทริกซ์
ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวของดีเทอร์มิแนนต์และการเสริมพีชคณิต โดยทั่วไปแล้ว แถว/คอลัมน์ที่มีเลขศูนย์จะถูกเลือก แถวหรือคอลัมน์ที่มีการสลายตัวจะถูกระบุด้วยลูกศร
การลดดีเทอร์มิแนนต์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมเมื่อแก้โจทย์เมทริกซ์
ที่ การแก้เมทริกซ์วิธีการลดดีเทอร์มิแนนต์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม มันทำงานดังนี้: การใช้การแปลงที่ง่ายที่สุดในแถวหรือคอลัมน์ ดีเทอร์มิแนนต์จะกลายเป็นรูปสามเหลี่ยม จากนั้นค่าของมันตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลคูณ ขององค์ประกอบที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลัก
ทฤษฎีบทของลาปลาซสำหรับการแก้เมทริกซ์
เมื่อแก้เมทริกซ์โดยใช้ทฤษฎีบทของลาปลาซ คุณจำเป็นต้องรู้ทฤษฎีบทนั้นด้วย ทฤษฎีบทของลาปลาซ: อนุญาต Δ - นี่คือปัจจัยกำหนด n-ลำดับที่ เราเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง เคแถว (หรือคอลัมน์) ที่ให้ไว้ เค≤ n - 1- ในกรณีนี้คือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของผู้เยาว์ทั้งหมด เค-ลำดับที่ที่มีอยู่ในสิ่งที่เลือก เคแถว (คอลัมน์) โดยการเสริมพีชคณิตจะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์
การแก้เมทริกซ์ผกผัน
ลำดับของการกระทำสำหรับ คำตอบเมทริกซ์ผกผัน:
- ตรวจสอบว่าเมทริกซ์ที่กำหนดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ หากคำตอบเป็นลบ จะเห็นได้ชัดว่าไม่มีเมทริกซ์ผกผันสำหรับคำตอบนั้น
- เราคำนวณการเสริมพีชคณิต
- เราสร้างเมทริกซ์แบบยูเนี่ยน (ร่วมกัน, ที่อยู่ติดกัน) ค.
- เราเขียนเมทริกซ์ผกผันจากการบวกพีชคณิต: องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน คหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เริ่มต้น เมทริกซ์สุดท้ายจะเป็นเมทริกซ์ผกผันที่ต้องการซึ่งสัมพันธ์กับเมทริกซ์ที่กำหนด
- เราตรวจสอบงานที่ทำ: คูณเมทริกซ์เริ่มต้นและเมทริกซ์ผลลัพธ์ ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
การแก้ระบบเมทริกซ์
สำหรับ โซลูชั่นของระบบเมทริกซ์วิธีเกาส์เซียนมักใช้กันมากที่สุด
วิธีเกาส์เป็นวิธีการมาตรฐานสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) และประกอบด้วยความจริงที่ว่าตัวแปรถูกกำจัดตามลำดับ กล่าวคือ ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ระบบสมการจึงถูกนำไปยังระบบสมมูลสามเหลี่ยม รูปแบบและจากนั้นตามลำดับเริ่มต้นจากหลัง (ตามตัวเลข) ค้นหาแต่ละองค์ประกอบของระบบ
วิธีเกาส์เป็นเครื่องมือที่หลากหลายและดีที่สุดสำหรับการค้นหาโซลูชันเมทริกซ์ ถ้าระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุดหรือระบบเข้ากันไม่ได้ ระบบจะไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎของแครมเมอร์และวิธีการเมทริกซ์
วิธีเกาส์ยังหมายความถึงโดยตรง (การลดเมทริกซ์ขยายให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอน เช่น การหาค่าศูนย์ใต้เส้นทแยงมุมหลัก) และการย้อนกลับ (การรับค่าศูนย์เหนือเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ขยาย) การเคลื่อนไปข้างหน้าคือวิธีเกาส์ การเคลื่อนถอยหลังคือวิธีเกาส์-จอร์แดน วิธีเกาส์-จอร์แดนแตกต่างจากวิธีเกาส์เฉพาะในลำดับการกำจัดตัวแปรเท่านั้น
สมการโดยทั่วไปสมการพีชคณิตเชิงเส้นและระบบของสมการตลอดจนวิธีการแก้สมการนั้นครอบครองสถานที่พิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ทั้งทางทฤษฎีและประยุกต์
เนื่องจากปัญหาทางกายภาพ เศรษฐกิจ เทคนิค และแม้แต่การสอนส่วนใหญ่สามารถอธิบายและแก้ไขได้โดยใช้สมการและระบบที่หลากหลาย เมื่อเร็ว ๆ นี้การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้รับความนิยมเป็นพิเศษในหมู่นักวิจัยนักวิทยาศาสตร์และผู้ปฏิบัติงานในเกือบทุกสาขาวิชาซึ่งอธิบายได้จากข้อได้เปรียบที่ชัดเจนเหนือวิธีการอื่น ๆ ที่รู้จักกันดีและพิสูจน์แล้วสำหรับการศึกษาวัตถุที่มีลักษณะต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เรียกว่าความซับซ้อน ระบบ มีคำจำกัดความที่แตกต่างกันมากมายของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่นักวิทยาศาสตร์ให้ไว้ในแต่ละช่วงเวลา แต่ในความเห็นของเรา สิ่งที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดคือข้อความต่อไปนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือแนวคิดที่แสดงออกมาด้วยสมการ ดังนั้นความสามารถในการเขียนและแก้สมการและระบบของสมการจึงเป็นคุณลักษณะสำคัญของผู้เชี่ยวชาญสมัยใหม่
ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีที่ใช้กันมากที่สุดคือวิธีแครมเมอร์ วิธีจอร์แดน-เกาส์ และวิธีการเมทริกซ์
วิธีการแก้เมทริกซ์เป็นวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
หากเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับปริมาณที่ไม่รู้จัก xi ในเมทริกซ์ A แล้วรวบรวมปริมาณที่ไม่ทราบในคอลัมน์เวกเตอร์ X และเทอมอิสระในคอลัมน์เวกเตอร์ B จากนั้นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบของ ต่อไปนี้สมการเมทริกซ์ A · X = B ซึ่งมีคำตอบเฉพาะเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับศูนย์เท่านั้น ในกรณีนี้ สามารถหาคำตอบของระบบสมการได้ดังนี้ เอ็กซ์ = ก-1 · บี, ที่ไหน ก-1 คือเมทริกซ์ผกผัน
วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์มีดังนี้
ขอให้เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ:
สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบเมทริกซ์: ขวาน = บี, ที่ไหน ก- เมทริกซ์หลักของระบบ บีและ เอ็กซ์- คอลัมน์สมาชิกฟรีและโซลูชันของระบบตามลำดับ:
ลองคูณสมการเมทริกซ์นี้จากทางซ้ายด้วย ก-1 - เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ ก: ก -1 (ขวาน) = ก -1 บี
เพราะ ก -1 ก = อี, เราได้รับ เอ็กซ์= ก -1 บี- ทางด้านขวาของสมการนี้จะให้คอลัมน์คำตอบของระบบเดิม เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีนี้ (รวมถึงการมีอยู่ทั่วไปของการแก้ปัญหากับระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันด้วยจำนวนสมการเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จัก) คือความไม่เสื่อมของเมทริกซ์ ก- เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่เท่ากับศูนย์ ก:det ก≠ 0.
สำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน นั่นคือ เมื่อเวกเตอร์ บี = 0 แท้จริงแล้วมีกฎตรงกันข้าม: ระบบ ขวาน = 0 มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ไม่สำคัญ (นั่นคือ ไม่ใช่ศูนย์) เฉพาะในกรณีที่ det ก= 0 ความเชื่อมโยงระหว่างคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันดังกล่าวเรียกว่าทางเลือกเฟรดโฮล์ม
ตัวอย่าง การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน.
ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ไม่เท่ากับศูนย์
ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณการเสริมพีชคณิตสำหรับองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ พวกมันจำเป็นจะต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผัน
วิธีเมทริกซ์ โซลูชั่นสลอวประยุกต์ใช้ในการแก้ระบบสมการโดยจำนวนสมการตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ วิธีนี้ใช้ดีที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาระบบที่มีลำดับต่ำ วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นนั้นขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์
วิธีการนี้กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีเมทริกซ์ผกผันเรียกว่าเพราะว่าคำตอบลดเหลือสมการเมทริกซ์ธรรมดา เพื่อแก้โจทย์ที่คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผัน
วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ SLAE ที่มีดีเทอร์มิแนนต์มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์จะเป็นดังนี้:
สมมติว่ามี SLE (ระบบสมการเชิงเส้น) ด้วย nไม่ทราบ (เหนือฟิลด์ใดก็ได้):
ซึ่งหมายความว่าสามารถแปลงเป็นรูปแบบเมทริกซ์ได้อย่างง่ายดาย:
ขวาน=ข, ที่ไหน ก— เมทริกซ์หลักของระบบ บีและ เอ็กซ์— คอลัมน์คำศัพท์ฟรีและวิธีแก้ปัญหาของระบบตามลำดับ:
ลองคูณสมการเมทริกซ์นี้จากทางซ้ายด้วย เอ−1— เมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ A: A −1 (AX)=A −1 B.
เพราะ A −1 A=E, วิธี, X=A −1 B- ทางด้านขวาของสมการคือคอลัมน์คำตอบของระบบเริ่มต้น เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีเมทริกซ์คือการไม่เสื่อมของเมทริกซ์ ก- เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่เท่ากับศูนย์ ก:
detA≠0.
สำหรับ ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น, เช่น. ถ้าเป็นเวกเตอร์ บี=0กฎตรงกันข้ามถือเป็น: ระบบ ขวาน=0มีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ (เช่น ไม่เท่ากับศูนย์) เฉพาะเมื่อเท่านั้น เดตเอ=0- การเชื่อมโยงระหว่างคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันนี้เรียกว่า ทางเลือกใหม่ของเฟรดโฮล์ม
ดังนั้น การแก้ปัญหาของ SLAE โดยใช้วิธีเมทริกซ์จึงดำเนินการตามสูตร 
- หรือพบวิธีแก้ปัญหาของ SLAE เมทริกซ์ผกผัน เอ−1.
เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับเมทริกซ์จตุรัส กคำสั่ง nบน nมีเมทริกซ์ผกผัน เอ−1ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของมันไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น ดังนั้นระบบ nสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วย nเราแก้ค่าที่ไม่ทราบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เท่ากับศูนย์
แม้ว่าจะมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับการบังคับใช้วิธีการดังกล่าวและความยากลำบากในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์และระบบลำดับสูงจำนวนมาก แต่วิธีนี้สามารถนำไปใช้ได้อย่างง่ายดายบนคอมพิวเตอร์
ตัวอย่างของการแก้ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน
ขั้นแรก เรามาตรวจสอบว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของ SLAE ที่ไม่รู้จักไม่เท่ากับศูนย์หรือไม่
ตอนนี้เราพบว่า ยูเนี่ยนเมทริกซ์ให้เปลี่ยนตำแหน่งและแทนที่ลงในสูตรเพื่อหาเมทริกซ์ผกผัน
แทนตัวแปรลงในสูตร:
ตอนนี้เราค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบโดยการคูณเมทริกซ์ผกผันและคอลัมน์ของพจน์อิสระ
ดังนั้น, x=2; ย=1; ซ=4.
เมื่อย้ายจากรูปแบบปกติของ SLAE ไปเป็นรูปแบบเมทริกซ์ ควรระมัดระวังลำดับของตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบ ตัวอย่างเช่น:
ไม่สามารถเขียนเป็น:
ขั้นแรกจำเป็นต้องเรียงลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จักในแต่ละสมการของระบบ และหลังจากนั้นดำเนินการตามรูปแบบเมทริกซ์:
นอกจากนี้คุณต้องระมัดระวังในการกำหนดตัวแปรที่ไม่รู้จักแทน x1, x 2 , …, xnอาจมีตัวอักษรอื่น เช่น:
ในรูปแบบเมทริกซ์เราเขียนได้ดังนี้:
วิธีเมทริกซ์จะดีกว่าสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งจำนวนสมการเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เท่ากับศูนย์ เมื่อมีสมการมากกว่า 3 สมการในระบบ การค้นหาเมทริกซ์ผกผันจะต้องใช้ความพยายามในการคำนวณมากขึ้น ดังนั้นในกรณีนี้ ขอแนะนำให้ใช้วิธีเกาส์เซียนในการแก้โจทย์
เครื่องคิดเลขออนไลน์เครื่องนี้แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ มีการให้วิธีแก้ปัญหาที่ละเอียดมาก ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ให้เลือกจำนวนตัวแปร เลือกวิธีคำนวณเมทริกซ์ผกผัน จากนั้นป้อนข้อมูลลงในเซลล์แล้วคลิกที่ปุ่ม "คำนวณ"
×
คำเตือน
ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม
ปิด ล้าง
คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน ต้องป้อนเศษส่วนในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มหรือทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น
วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:
เมื่อพิจารณานิยามของเมทริกซ์ผกผันแล้ว เราก็จะได้ ก −1 ก=อี, ที่ไหน อี- เมทริกซ์เอกลักษณ์. ดังนั้น (4) จึงเขียนได้ดังนี้
ดังนั้น ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (1) (หรือ (2)) ก็เพียงพอที่จะคูณค่าผกผันของ กเมทริกซ์ต่อเวกเตอร์จำกัด ข.
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์
ตัวอย่างที่ 1 แก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีเมทริกซ์:
ลองหาค่าผกผันของเมทริกซ์ A โดยใช้วิธี Jordan-Gauss ทางด้านขวาของเมทริกซ์ กลองเขียนเมทริกซ์เอกลักษณ์:
ลองแยกองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1 ของเมทริกซ์ที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัด 2,3 ด้วยบรรทัด 1 คูณด้วย -1/3, -1/3 ตามลำดับ:
ลองแยกองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์ที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัด 3 โดยบรรทัด 2 คูณด้วย -24/51:
ลองแยกองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์ที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัด 1 โดยบรรทัด 2 คูณด้วย -3/17:
แยกด้านขวาของเมทริกซ์ เมทริกซ์ผลลัพธ์คือเมทริกซ์ผกผันของ ก :
รูปแบบเมทริกซ์ของการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ขวาน=ข, ที่ไหน
ลองคำนวณการเสริมพีชคณิตทั้งหมดของเมทริกซ์กัน ก:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
เมทริกซ์ผกผันคำนวณจากนิพจน์ต่อไปนี้
ในส่วนแรก เราดูเนื้อหาทางทฤษฎีบางอย่าง วิธีการแทนที่ ตลอดจนวิธีการบวกสมการของระบบทีละเทอม ฉันแนะนำให้ทุกคนที่เข้าถึงเว็บไซต์ผ่านหน้านี้เพื่ออ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหาง่ายเกินไป แต่ในกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้แสดงความคิดเห็นและข้อสรุปที่สำคัญมากหลายประการเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป
ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎของ Cramer รวมถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดนำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น
ขั้นแรก เราจะมาดูรายละเอียดกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว เพื่ออะไร? – ท้ายที่สุดแล้ว ระบบที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของโรงเรียน วิธีการบวกแบบทีละเทอม!
ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้งงานดังกล่าวจะเกิดขึ้น - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่าจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครมเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น นั่นคือระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า
นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งแนะนำให้แก้โดยใช้กฎของแครมเมอร์!
พิจารณาระบบสมการ
ในขั้นตอนแรกเราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ.
วิธีเกาส์
ถ้า ดังนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสองตัว:
และ
ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน
เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร:
,
ตัวอย่างที่ 7
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 
สารละลาย: เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างมาก โดยทางด้านขวาจะมีเศษส่วนทศนิยมพร้อมเครื่องหมายจุลภาค ลูกน้ำเป็นแขกที่ค่อนข้างหายากในงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ ฉันเอาระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ
จะแก้ไขระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งได้ แต่ในกรณีนี้ คุณอาจจะจบลงด้วยเศษส่วนแฟนซีที่แย่มากซึ่งใช้งานไม่สะดวกอย่างยิ่ง และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมต่อเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันก็จะเกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน
จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer เข้ามาช่วยเหลือ
;
;
คำตอบ: ,
รากทั้งสองมีหางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และแม้แต่เรื่องธรรมดาด้วยซ้ำ) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ
ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นที่นี่เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรสำเร็จรูป แต่มีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ ภาคบังคับส่วนของการออกแบบงานคือส่วนต่อไปนี้: “นั่นหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร”- มิฉะนั้น ผู้ตรวจสอบอาจลงโทษคุณสำหรับการไม่เคารพทฤษฎีบทของแครมเมอร์
การตรวจสอบซึ่งสามารถทำได้สะดวกบนเครื่องคิดเลขจะไม่ฟุ่มเฟือย: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ หากมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย คุณควรได้ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา
ตัวอย่างที่ 8
แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนเกินสามัญ ทำการตรวจสอบ
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)
ต่อไปเราจะพิจารณากฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า: 
เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ: 
ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์
ถ้า จากนั้นระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสามตัว: 
, 
, 
และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร: 
อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วกรณี "สามต่อสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระตามลำดับ "เดิน" จากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของปัจจัยหลัก
ตัวอย่างที่ 9
แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์ 
สารละลาย: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์กันดีกว่า 
ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว
คำตอบ: 
.
ที่จริงแล้วไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการแก้ปัญหาเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีความคิดเห็นสองสามอย่าง
มันเกิดขึ้นว่าจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" เช่น: .
ฉันขอแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากคุณไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ทำดังนี้:
1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่คุณเจอเศษส่วนที่ “แย่” คุณต้องตรวจสอบทันที เขียนเงื่อนไขใหม่ถูกต้องหรือไม่?- หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดใหม่โดยใช้การขยายในแถวอื่น (คอลัมน์)
2) หากไม่มีการระบุข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่ามีการพิมพ์ผิดในเงื่อนไขของงาน ในกรณีนี้ ทำงานอย่างใจเย็นและระมัดระวังจนจบงานและจากนั้น อย่าลืมตรวจสอบและเราเก็บมันขึ้นมาบนคลีนชีตหลังการตัดสิน แน่นอนว่าการตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนนั้นเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่น่ากังวลสำหรับครูที่ชอบให้คะแนนลบสำหรับเรื่องไร้สาระเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนอธิบายไว้โดยละเอียดในคำตอบของตัวอย่างที่ 8
หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีตั้งแต่ต้นบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะทำกำไรได้มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์
หมายเหตุที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น 
ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนปัจจัยหลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก: 
– เลขศูนย์จะถูกวางไว้แทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลที่จะเปิดปัจจัยที่มีศูนย์ตามแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด
ตัวอย่างที่ 10
แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์ 
นี่เป็นตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)
ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ไม่ทราบ สูตรของแครเมอร์ก็เขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างสดได้ในบทเรียนคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด การลดลำดับของดีเทอร์มิแนนต์ - ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวค่อนข้างแก้ไขได้ แม้ว่างานจะชวนให้นึกถึงรองเท้าของศาสตราจารย์บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดีอยู่แล้ว
การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
วิธีเมทริกซ์ผกผันถือเป็นกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียนที่ระบุ)
หากต้องการศึกษาส่วนนี้ คุณจะต้องสามารถขยายดีเทอร์มิแนนต์ ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะมีให้ตามความคืบหน้าของคำอธิบาย
ตัวอย่างที่ 11
แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ 
สารละลาย: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน 
โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจหลักการที่เราเขียนองค์ประกอบลงในเมทริกซ์ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปจากสมการ จะต้องวางศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์
เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:
โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์
ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน:
ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก
ความสนใจ! ถ้า แสดงว่าเมทริกซ์ผกผันไม่มีอยู่ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ ระบบจะแก้ไขโดยวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ (วิธี Gauss)
ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง 
อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นมีประโยชน์ ตัวเลขตัวแรกคือจำนวนบรรทัดที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ หลักที่สองคือจำนวนคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่: 
นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม และตัวอย่าง องค์ประกอบอยู่ใน 3 แถว 2 คอลัมน์