ทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่คาบ การเปลี่ยนไปใช้เศษส่วนทศนิยมคาบ

บทความนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับ ทศนิยม- เราจะเข้าใจสัญลักษณ์ทศนิยมของเศษส่วน แนะนำแนวคิดเรื่องเศษส่วนทศนิยม และยกตัวอย่างเศษส่วนทศนิยม ต่อไปเราจะพูดถึงตัวเลขของเศษส่วนทศนิยมและตั้งชื่อตัวเลข หลังจากนี้ เราจะเน้นที่เศษส่วนทศนิยมอนันต์ เรามาพูดถึงเศษส่วนแบบคาบและไม่เป็นคาบกันดีกว่า ต่อไปเราจะแสดงรายการการดำเนินการพื้นฐานที่มีเศษส่วนทศนิยม โดยสรุป ให้เราสร้างตำแหน่งของเศษส่วนทศนิยมบนลำแสงพิกัด

การนำทางหน้า

สัญกรณ์ทศนิยมของจำนวนเศษส่วน

การอ่านทศนิยม

สมมติว่าบางคำเกี่ยวกับกฎการอ่านเศษส่วนทศนิยม

เศษส่วนทศนิยมซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วนสามัญที่ถูกต้องจะถูกอ่านในลักษณะเดียวกับเศษส่วนสามัญเหล่านี้ โดยจะเพิ่มเฉพาะ "จำนวนเต็มศูนย์" ก่อนเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 0.12 สอดคล้องกับเศษส่วนทั่วไป 12/100 (อ่านว่า "สิบสองในร้อย") ดังนั้น 0.12 จึงอ่านว่า "ศูนย์จุดสิบสองในร้อย"

เศษส่วนทศนิยมที่ตรงกับตัวเลขคละจะอ่านค่าเดียวกันกับตัวเลขคละเหล่านี้ทุกประการ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 56.002 สอดคล้องกับจำนวนคละ ดังนั้นเศษส่วนทศนิยม 56.002 จึงอ่านว่า "ห้าสิบหกจุดสองในพัน"

ตำแหน่งเป็นทศนิยม

ในการเขียนเศษส่วนทศนิยมและการเขียนตัวเลขธรรมชาติ ความหมายของแต่ละหลักจะขึ้นอยู่กับตำแหน่ง แท้จริงแล้วหมายเลข 3 ในเศษส่วนทศนิยม 0.3 หมายถึงสามในสิบ ในเศษส่วนทศนิยม 0.0003 - สามหมื่นส่วน และในเศษส่วนทศนิยม 30,000.152 - สามหมื่น ดังนั้นเราจึงสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ ตำแหน่งทศนิยมตลอดจนเกี่ยวกับตัวเลขในจำนวนธรรมชาติ

ชื่อของตัวเลขในเศษส่วนทศนิยมจนถึงจุดทศนิยมตรงกับชื่อของตัวเลขในจำนวนธรรมชาติโดยสมบูรณ์ และชื่อของตำแหน่งทศนิยมหลังจุดทศนิยมสามารถดูได้จากตารางต่อไปนี้

ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วนทศนิยม 37.051 เลข 3 อยู่ในหลักสิบ 7 อยู่ในหลักหน่วย 0 อยู่ในหลักสิบ 5 อยู่ในหลักร้อย และ 1 อยู่ในหลักพัน

ตำแหน่งที่เป็นเศษส่วนทศนิยมจะมีลำดับความสำคัญต่างกันเช่นกัน หากในการเขียนเศษส่วนทศนิยมเราย้ายจากหลักหนึ่งไปอีกหลักจากซ้ายไปขวา เราก็จะย้ายจาก ผู้อาวุโสถึง อันดับจูเนียร์- ตัวอย่างเช่น หลักร้อยนั้นเก่ากว่าตำแหน่งในสิบ และหลักล้านนั้นต่ำกว่าตำแหน่งในร้อย ในเศษส่วนทศนิยมตัวสุดท้าย เราสามารถพูดถึงหลักและหลักรองได้ เช่น ในเศษส่วนทศนิยม 604.9387 อาวุโส (สูงสุด)สถานที่นั้นเป็นร้อยแห่งและ จูเนียร์ (ต่ำสุด)- หลักหมื่น.

สำหรับเศษส่วนทศนิยม การขยายเป็นตัวเลขจะเกิดขึ้น คล้ายกับการขยายเป็นเลขโดดของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น การขยายเป็นทศนิยม 45.6072 จะเป็นดังนี้: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 และคุณสมบัติของการบวกจากการสลายตัวของเศษส่วนทศนิยมเป็นตัวเลขทำให้คุณสามารถไปยังการแทนค่าเศษส่วนทศนิยมอื่นๆ ได้ เช่น 45.6072=45+0.6072 หรือ 45.6072=40.6+5.007+0.0002 หรือ 45.6072= 45.0072+ 0.6.

ทศนิยมลงท้าย

จนถึงจุดนี้ เราได้พูดถึงแต่เศษส่วนทศนิยมเท่านั้น ซึ่งในรูปแบบจะมีจำนวนหลักจำกัดหลังจุดทศนิยม เศษส่วนดังกล่าวเรียกว่าทศนิยมจำกัด

คำนิยาม.

ทศนิยมลงท้าย- สิ่งเหล่านี้คือเศษส่วนทศนิยม ซึ่งบันทึกมีจำนวนอักขระ (ตัวเลข) ที่จำกัด

นี่คือตัวอย่างบางส่วนของเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกเศษส่วนที่สามารถแสดงเป็นทศนิยมสุดท้ายได้ ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 5/13 ไม่สามารถแทนที่ด้วยเศษส่วนเท่ากับที่มีตัวส่วน 10, 100, ... ได้ ดังนั้น จึงไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้ เราจะพูดถึงเรื่องนี้เพิ่มเติมในส่วนทฤษฎี การแปลงเศษส่วนสามัญเป็นทศนิยม

ทศนิยมอนันต์: เศษส่วนเป็นคาบและเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ

ในการเขียนเศษส่วนทศนิยมหลังจุดทศนิยม เราสามารถสันนิษฐานความเป็นไปได้ของจำนวนหลักที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในกรณีนี้ เราจะมาพิจารณาสิ่งที่เรียกว่าเศษส่วนทศนิยมอนันต์

คำนิยาม.

ทศนิยมอนันต์- สิ่งเหล่านี้เป็นเศษส่วนทศนิยมซึ่งมีจำนวนหลักไม่สิ้นสุด

เห็นได้ชัดว่าเราไม่สามารถเขียนเศษส่วนทศนิยมอนันต์ในรูปแบบเต็มได้ ดังนั้นในการบันทึกเราจึงจำกัดตัวเองให้เหลือเพียงจำนวนหลักที่แน่นอนหลังจุดทศนิยม และใส่จุดไข่ปลาเพื่อระบุลำดับของตัวเลขที่ต่อเนื่องกันอย่างไม่สิ้นสุด นี่คือตัวอย่างบางส่วนของเศษส่วนทศนิยมอนันต์: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

หากคุณดูเศษส่วนทศนิยมอนันต์สองตัวสุดท้ายอย่างใกล้ชิด จากนั้นในเศษส่วน 2.111111111... จะเห็นเลข 1 ที่ซ้ำกันไม่รู้จบ และในเศษส่วน 69.74152152152... โดยเริ่มจากทศนิยมตำแหน่งที่สาม คือกลุ่มของตัวเลขที่ซ้ำกัน มองเห็น 1, 5 และ 2 ได้ชัดเจน เศษส่วนทศนิยมอนันต์ดังกล่าวเรียกว่าเศษส่วนแบบคาบ

คำนิยาม.

ทศนิยมเป็นระยะ(หรือเพียงแค่ เศษส่วนเป็นระยะ) เป็นเศษส่วนทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุดในการบันทึกซึ่งเริ่มต้นจากจุดทศนิยมตำแหน่งหนึ่งจำนวนหรือกลุ่มของตัวเลขบางจำนวนจะถูกทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุดซึ่งเรียกว่า ระยะเวลาของเศษส่วน.

ตัวอย่างเช่น คาบของเศษส่วนคาบ 2.111111111... คือเลขหลัก 1 และคาบของเศษส่วน 69.74152152152... คือกลุ่มของตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบ 152

สำหรับเศษส่วนทศนิยมแบบคาบไม่สิ้นสุด จะใช้รูปแบบพิเศษของสัญกรณ์ เพื่อความกระชับ เราตกลงที่จะเขียนช่วงเวลาหนึ่งครั้งโดยใส่ไว้ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนคาบ 2.111111111... เขียนเป็น 2,(1) และเศษส่วนคาบ 69.74152152152... เขียนเป็น 69.74(152)

เป็นที่น่าสังเกตว่าสามารถระบุช่วงเวลาที่แตกต่างกันสำหรับเศษส่วนทศนิยมตามงวดเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยมตามคาบ 0.73333... ถือเป็นเศษส่วน 0.7(3) โดยมีจุด 3 และยังเป็นเศษส่วน 0.7(33) ด้วยจุด 33 และต่อๆ ไป 0.7(333) 0.7 (3333), ... คุณยังสามารถดูเศษส่วนคาบ 0.73333 ... เช่นนี้ 0.733(3) หรือเช่นนี้ 0.73(333) เป็นต้น ในที่นี้ เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวมและความคลาดเคลื่อน เราตกลงที่จะถือว่าช่วงเวลาของเศษส่วนทศนิยมเป็นลำดับที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้ของตัวเลขที่ซ้ำกันทั้งหมด และเริ่มต้นจากตำแหน่งที่ใกล้เคียงที่สุดไปยังจุดทศนิยม นั่นคือ คาบของเศษส่วนทศนิยม 0.73333... จะถือเป็นลำดับของเลข 3 หนึ่งหลัก และคาบเริ่มต้นจากตำแหน่งที่สองหลังจุดทศนิยม นั่นคือ 0.73333...=0.7(3) อีกตัวอย่างหนึ่ง: เศษส่วนคาบ 4.7412121212... มีคาบ 12 คาบเริ่มต้นจากหลักที่สามหลังจุดทศนิยม นั่นคือ 4.7412121212...=4.74(12)

เศษส่วนคาบของทศนิยมอนันต์ได้มาจากการแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม เศษส่วนธรรมดา ซึ่งตัวส่วนประกอบด้วยตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 และ 5

ตรงนี้ควรค่าแก่การกล่าวถึงเศษส่วนเป็นคาบด้วยคาบ 9 ให้เรายกตัวอย่างเศษส่วนดังกล่าว: 6.43(9) , 27,(9) . เศษส่วนเหล่านี้เป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งของเศษส่วนคาบที่มีคาบ 0 และมักจะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนคาบด้วยคาบ 0 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระยะ 9 จะถูกแทนที่ด้วยช่วง 0 และค่าของหลักสูงสุดถัดไปจะเพิ่มขึ้นหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เศษส่วนที่มีจุด 9 ในรูปแบบ 7.24(9) จะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่มีคาบซึ่งมีจุด 0 ในรูปแบบ 7.25(0) หรือเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายเท่ากับ 7.25 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 4,(9)=5,(0)=5 ความเท่าเทียมกันของเศษส่วนที่มีจุด 9 และเศษส่วนที่สอดคล้องกับจุด 0 สามารถสร้างได้อย่างง่ายดายหลังจากแทนที่เศษส่วนทศนิยมเหล่านี้ด้วยเศษส่วนสามัญที่เท่ากัน

สุดท้ายนี้ เรามาดูเศษส่วนทศนิยมอนันต์อย่างละเอียดยิ่งขึ้น ซึ่งไม่มีลำดับตัวเลขที่ซ้ำกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด เรียกว่าไม่เป็นระยะ

คำนิยาม.

ทศนิยมที่ไม่เกิดซ้ำ(หรือเพียงแค่ เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ) เป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่ไม่มีจุด

บางครั้งเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบจะมีรูปแบบคล้ายกับเศษส่วนคาบ เช่น 8.02002000200002... เป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ ในกรณีเหล่านี้ คุณควรระมัดระวังเป็นพิเศษในการสังเกตความแตกต่าง

โปรดทราบว่าเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบจะไม่แปลงเป็นเศษส่วนธรรมดา เศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบเป็นอนันต์แสดงถึงจำนวนอตรรกยะ

การดำเนินการที่มีทศนิยม

การดำเนินการอย่างหนึ่งที่มีเศษส่วนทศนิยมคือการเปรียบเทียบ และมีการกำหนดฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสี่ฟังก์ชันด้วย การดำเนินการที่มีทศนิยม: การบวก ลบ คูณ หาร ลองพิจารณาแต่ละการกระทำด้วยเศษส่วนทศนิยมแยกกัน

การเปรียบเทียบทศนิยมโดยพื้นฐานแล้วจะขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญที่สัมพันธ์กับเศษส่วนทศนิยมที่กำลังเปรียบเทียบ อย่างไรก็ตาม การแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดาเป็นกระบวนการที่ต้องใช้แรงงานมาก และเศษส่วนที่ไม่เป็นคาบเป็นอนันต์ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ ดังนั้นจึงสะดวกที่จะใช้การเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยมตามตำแหน่ง การเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยมแบบ Place-wise นั้นคล้ายคลึงกับการเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ หากต้องการข้อมูลโดยละเอียดเพิ่มเติม เราขอแนะนำให้ศึกษาบทความ: การเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยม กฎ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข

เราไปยังขั้นตอนต่อไปกันเถอะ - การคูณทศนิยม- การคูณเศษส่วนทศนิยมมีการดำเนินการคล้ายกับการลบเศษส่วนทศนิยม กฎ ตัวอย่าง การแก้โจทย์การคูณด้วยคอลัมน์ของจำนวนธรรมชาติ ในกรณีของเศษส่วนคาบ การคูณสามารถลดลงเป็นการคูณเศษส่วนสามัญได้ ในทางกลับกัน การคูณเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดหลังจากการปัดเศษจะลดลงเป็นการคูณเศษส่วนทศนิยมจำกัด เราขอแนะนำให้ศึกษาเนื้อหาในบทความเพิ่มเติม: การคูณเศษส่วนทศนิยม, กฎ, ตัวอย่าง, วิธีแก้

ทศนิยมบนเรย์พิกัด

มีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดและทศนิยม

มาดูกันว่าจุดบนรังสีพิกัดถูกสร้างขึ้นอย่างไรซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมที่กำหนด

เราสามารถแทนที่เศษส่วนทศนิยมจำกัดและเศษส่วนทศนิยมคาบไม่จำกัดด้วยเศษส่วนสามัญที่เท่ากัน จากนั้นสร้างเศษส่วนสามัญที่สอดคล้องกันบนรังสีพิกัด ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 1.4 สอดคล้องกับเศษส่วนทั่วไป 14/10 ดังนั้นจุดที่มีพิกัด 1.4 จะถูกลบออกจากจุดกำเนิดในทิศทางบวก 14 ส่วนเท่ากับหนึ่งในสิบของส่วนของหน่วย

เศษส่วนทศนิยมสามารถทำเครื่องหมายบนรังสีพิกัด โดยเริ่มต้นจากการสลายตัวของเศษส่วนทศนิยมให้เป็นตัวเลข ตัวอย่างเช่น เราต้องสร้างจุดด้วยพิกัด 16.3007 เนื่องจาก 16.3007=16+0.3+0.0007 จากนั้นเราจะไปถึงจุดนี้ได้โดยการวางส่วนของหน่วย 16 ส่วนตามลำดับจากจุดกำเนิดของพิกัด โดยมี 3 ส่วนซึ่งมีความยาวเท่ากับหนึ่งในสิบ ของหน่วย และ 7 ส่วน ซึ่งมีความยาวเท่ากับหนึ่งในหมื่นของส่วนหน่วย

วิธีการสร้างเลขทศนิยมบนรังสีพิกัดนี้ช่วยให้คุณเข้าใกล้จุดที่สัมพันธ์กับเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้มากเท่าที่คุณต้องการ

บางครั้งเป็นไปได้ที่จะพล็อตจุดที่สอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น, จากนั้นเศษส่วนทศนิยมอนันต์นี้ 1.41421... สอดคล้องกับจุดบนรังสีพิกัด ซึ่งอยู่ห่างจากจุดกำเนิดของพิกัดด้วยความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 1 ส่วนหน่วย

กระบวนการย้อนกลับของการได้รับเศษส่วนทศนิยมที่สอดคล้องกับจุดที่กำหนดบนรังสีพิกัดนั้นเรียกว่า การวัดทศนิยมของส่วน- เรามาดูกันว่ามันทำอย่างไร

ให้หน้าที่ของเราคือเดินทางจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่กำหนดบนเส้นพิกัด (หรือเข้าใกล้จุดนั้นอย่างไม่สิ้นสุดถ้าเราไปไม่ถึง) ด้วยการวัดทศนิยมของเซ็กเมนต์ เราสามารถไล่เซ็กเมนต์หน่วยจำนวนเท่าใดก็ได้จากจุดเริ่มต้นตามลำดับ จากนั้นเซ็กเมนต์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่งในสิบของหน่วย จากนั้นเซ็กเมนต์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่งในร้อยของหน่วย เป็นต้น โดยการบันทึกจำนวนส่วนของแต่ละความยาวที่วางไว้ เราจะได้เศษส่วนทศนิยมที่สอดคล้องกับจุดที่กำหนดบนรังสีพิกัด

ตัวอย่างเช่น ในการไปที่จุด M ในรูปด้านบน คุณจะต้องแบ่งส่วนของหน่วย 1 ส่วนและ 4 ส่วนออกไป ซึ่งความยาวจะเท่ากับหนึ่งในสิบของหน่วย ดังนั้นจุด M จึงสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยม 1.4

เห็นได้ชัดว่าจุดของรังสีพิกัดซึ่งไม่สามารถเข้าถึงได้ในกระบวนการวัดทศนิยมนั้นสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมอนันต์

บรรณานุกรม.

คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburg - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 280 หน้า: ป่วย. ไอ 5-346-00699-0.
คณิตศาสตร์.ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [น. ใช่แล้ว Vilenkin และคนอื่น ๆ ] - ฉบับที่ 22, ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00897-2.
พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ดังที่ทราบกันดีว่าชุดของจำนวนตรรกยะ (Q) จะรวมชุดของจำนวนเต็ม (Z) ซึ่งจะรวมชุดของจำนวนธรรมชาติ (N) ไปด้วย นอกจากจำนวนเต็มแล้ว จำนวนตรรกยะยังรวมถึงเศษส่วนด้วย

เหตุใดบางครั้งจำนวนตรรกยะทั้งชุดจึงถูกพิจารณาว่าเป็นเศษส่วนทศนิยมคาบแบบอนันต์? นอกจากเศษส่วนแล้ว ยังรวมถึงจำนวนเต็มและเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบอีกด้วย

ความจริงก็คือจำนวนเต็มทั้งหมด รวมถึงเศษส่วนใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมเป็นคาบไม่สิ้นสุดได้ นั่นคือสำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมดคุณสามารถใช้วิธีการบันทึกแบบเดียวกันได้

ทศนิยมเป็นระยะอนันต์แสดงได้อย่างไร? ในนั้นจะมีกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกันหลังจุดทศนิยมอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 1.56(12) คือเศษส่วนซึ่งมีกลุ่มของตัวเลข 12 ซ้ำกัน กล่าวคือ เศษส่วนมีค่า 1.561212121212... ไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด กลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกันเรียกว่าจุด

อย่างไรก็ตาม เราสามารถแสดงตัวเลขใดๆ ในรูปแบบนี้ได้หากพิจารณาให้คาบของมันคือเลข 0 ซึ่งจะวนซ้ำไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด เช่น เลข 2 มีค่าเท่ากับ 2.00000.... ดังนั้นจึงสามารถเขียนเป็นเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดได้ เช่น 2,(0)

เศษส่วนจำกัดใดๆ ก็สามารถทำได้เช่นเดียวกัน ตัวอย่างเช่น:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ เศษส่วนไม่ใช้การแปลงเศษส่วนจำกัดให้เป็นเศษส่วนเป็นอนันต์ ดังนั้น พวกเขาจึงแยกเศษส่วนที่มีขอบเขตจำกัดและเศษส่วนที่มีคาบไม่สิ้นสุด ดังนั้นจึงถูกต้องกว่าที่จะกล่าวว่าจำนวนตรรกยะรวมอยู่ด้วย

จำนวนเต็มทั้งหมด
เศษส่วนสุดท้าย
เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด

ในเวลาเดียวกัน เพียงจำไว้ว่าจำนวนเต็มและเศษส่วนจำกัดสามารถแสดงได้ในทางทฤษฎีในรูปแบบของเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด

ในทางกลับกัน แนวคิดเรื่องเศษส่วนจำกัดและเศษส่วนอนันต์ใช้ได้กับเศษส่วนทศนิยม เมื่อพูดถึงเศษส่วน ทศนิยมทั้งที่มีขอบเขตจำกัดและอนันต์สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้โดยไม่ซ้ำกัน ซึ่งหมายความว่าจากมุมมองของเศษส่วนสามัญ เศษส่วนเป็นคาบและเศษส่วนจำกัดเป็นสิ่งเดียวกัน นอกจากนี้ จำนวนเต็มยังสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้โดยจินตนาการว่าเรากำลังหารตัวเลขด้วย 1

จะแสดงเศษส่วนคาบเป็นทศนิยมอนันต์เป็นเศษส่วนสามัญได้อย่างไร อัลกอริธึมที่ใช้บ่อยที่สุดมีลักษณะดังนี้:

ลดเศษส่วนลงเพื่อให้หลังจุดทศนิยมเหลือเพียงจุดเดียว
คูณเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดด้วย 10 หรือ 100 หรือ ... เพื่อให้จุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวาทีละช่วง (นั่นคือ ช่วงหนึ่งจะจบลงที่ส่วนทั้งหมด)
นำเศษส่วนดั้งเดิม (a) มาเทียบกับตัวแปร x และเศษส่วน (b) ที่ได้จากการคูณด้วยตัวเลข N ถึง Nx
ลบ x จาก Nx จาก b ฉันจะลบ a นั่นคือพวกมันประกอบกันเป็นสมการ Nx – x = b – a
เมื่อแก้สมการ ผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วนธรรมดา

ตัวอย่างการแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นงวดอนันต์ให้เป็นเศษส่วนธรรมดา:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x=

จำได้ไหมว่าในบทเรียนแรกเกี่ยวกับทศนิยมฉันบอกว่ามีเศษส่วนที่เป็นตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ (ดูบทเรียน "ทศนิยม") นอกจากนี้เรายังได้เรียนรู้วิธีแยกตัวประกอบของเศษส่วนเพื่อดูว่ามีตัวเลขอื่นนอกเหนือจาก 2 และ 5 หรือไม่

ดังนั้น: ฉันโกหก และวันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีแปลงเศษส่วนตัวเลขให้เป็นทศนิยมอย่างแน่นอน ในเวลาเดียวกันเราจะทำความคุ้นเคยกับเศษส่วนทั้งหมดที่มีส่วนสำคัญไม่สิ้นสุด

ทศนิยมเป็นงวดคือทศนิยมใดๆ ที่:

ส่วนสำคัญประกอบด้วยตัวเลขจำนวนอนันต์

ตัวเลขในส่วนสำคัญจะถูกทำซ้ำในช่วงเวลาหนึ่ง

เซตของตัวเลขซ้ำที่ประกอบเป็นส่วนสำคัญเรียกว่าส่วนเป็นคาบของเศษส่วน และจำนวนหลักในชุดนี้เรียกว่าคาบของเศษส่วน ส่วนที่เหลือของส่วนสำคัญซึ่งไม่เกิดซ้ำ เรียกว่าส่วนที่ไม่เป็นระยะ

เนื่องจากมีคำจำกัดความมากมาย จึงควรพิจารณารายละเอียดเศษส่วนเหล่านี้บางส่วน:

เศษส่วนนี้มักปรากฏในปัญหา ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 0; ส่วนเป็นระยะ: 3; ระยะเวลา: 1.

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 0.58; ส่วนเป็นระยะ: 3; ระยะเวลา: อีกครั้ง 1

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 1; ส่วนเป็นระยะ: 54; ระยะเวลา: 2.

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 0; ส่วนเป็นระยะ: 641025; ระยะเวลา: 6. เพื่อความสะดวก ชิ้นส่วนที่ทำซ้ำจะถูกแยกออกจากกันด้วยช่องว่าง ซึ่งไม่จำเป็นในโซลูชันนี้

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 3066; ส่วนเป็นระยะ: 6; ระยะเวลา: 1.

อย่างที่คุณเห็น คำจำกัดความของเศษส่วนเป็นคาบนั้นขึ้นอยู่กับแนวคิดนี้ ส่วนสำคัญของตัวเลข- ดังนั้นหากคุณลืมว่ามันคืออะไรฉันแนะนำให้ทำซ้ำ - ดูบทเรียน ""

การเปลี่ยนไปใช้เศษส่วนทศนิยมคาบ

พิจารณาเศษส่วนสามัญที่อยู่ในรูป a /b ลองแยกตัวส่วนเป็นตัวประกอบเฉพาะ. มีสองตัวเลือก:

การขยายตัวมีเพียงปัจจัย 2 และ 5 เท่านั้น เศษส่วนเหล่านี้แปลงเป็นทศนิยมได้อย่างง่ายดาย - ดูบทเรียน "ทศนิยม" เราไม่สนใจคนแบบนี้
มีอย่างอื่นในส่วนขยายนอกเหนือจาก 2 และ 5 ในกรณีนี้ เศษส่วนไม่สามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ แต่สามารถแปลงเป็นทศนิยมตามคาบได้

ในการกำหนดเศษส่วนทศนิยมเป็นคาบ คุณต้องค้นหาส่วนที่เป็นคาบและไม่ใช่คาบ ยังไง? แปลงเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนเกิน แล้วหารเศษด้วยตัวส่วนโดยใช้มุม

สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น:

จะแตกก่อน. ทั้งส่วนถ้ามันมีอยู่;
อาจมีตัวเลขหลายตัวอยู่หลังจุดทศนิยม
อีกสักพักตัวเลขก็จะเริ่มขึ้น ทำซ้ำ.

นั่นคือทั้งหมด! ตัวเลขที่ซ้ำกันหลังจุดทศนิยมจะแสดงด้วยส่วนที่เป็นคาบ และตัวเลขที่อยู่ด้านหน้าจะแสดงด้วยส่วนที่ไม่ใช่คาบ

งาน. แปลงเศษส่วนสามัญให้เป็นทศนิยมเป็นคาบ:

เศษส่วนทั้งหมดที่ไม่มีส่วนเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเราจึงหารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วย "มุม":

อย่างที่คุณเห็น ส่วนที่เหลือจะถูกทำซ้ำ เขียนเศษส่วนในรูปแบบ "ถูกต้อง": 1.733 ... = 1.7(3)

ผลลัพธ์คือเศษส่วน: 0.5833 ... = 0.58(3)

เราเขียนมันในรูปแบบปกติ: 4.0909 ... = 4,(09)

เราได้เศษส่วน: 0.4141 ... = 0,(41)

การเปลี่ยนจากเศษส่วนทศนิยมคาบเป็นเศษส่วนสามัญ

พิจารณาเศษส่วนทศนิยมเป็นระยะ X = abc (a 1 b 1 c 1) จำเป็นต้องแปลงเป็น "สองชั้น" แบบคลาสสิก โดยทำตามขั้นตอนง่ายๆ สี่ขั้นตอน:

ค้นหาคาบของเศษส่วนเช่น นับจำนวนหลักในส่วนที่เป็นงวด ให้นี่คือเลข k;
ค้นหาค่าของนิพจน์ X · 10 k ซึ่งเทียบเท่ากับการเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวาเต็มช่วง - ดูบทเรียน "การคูณและหารทศนิยม"
ต้องลบนิพจน์ดั้งเดิมออกจากตัวเลขผลลัพธ์ ในกรณีนี้ส่วนที่เป็นระยะจะ "ไหม้" และยังคงอยู่ เศษส่วนทั่วไป;
ค้นหา X ในสมการผลลัพธ์ เราแปลงเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนสามัญ

งาน. แปลงตัวเลขให้เป็นเศษส่วนเกินสามัญ:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

เราทำงานกับเศษส่วนแรก: X = 9,(6) = 9.666 ...

วงเล็บมีตัวเลขเพียงหลักเดียว ดังนั้นจุดคือ k = 1 ต่อไป เราคูณเศษส่วนนี้ด้วย 10 k = 10 1 = 10 เรามี:

10X = 10 9.6666... = 96.666...

ลบเศษส่วนเดิมแล้วแก้สมการ:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3

ทีนี้มาดูเศษส่วนที่สองกัน. ดังนั้น X = 32,(39) = 32.393939...

คาบ k = 2 ดังนั้นให้คูณทุกอย่างด้วย 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

ลบเศษส่วนเดิมอีกครั้งแล้วแก้สมการ:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1,069/33

มาดูเศษส่วนที่สามกันดีกว่า: X = 0.30(5) = 0.30555... แผนภาพเหมือนกัน ดังนั้นฉันจะให้การคำนวณ:

คาบ k = 1 ⇒ คูณทุกอย่างด้วย 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... − 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36

สุดท้าย เศษส่วนสุดท้าย: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... เพื่อความสะดวก ส่วนที่เป็นคาบจะถูกแยกออกจากกันด้วยช่องว่าง เรามี:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101

ถ้าพวกเขารู้ทฤษฎีของอนุกรมแล้ว หากไม่มีทฤษฎีอนุกรมก็ไม่สามารถนำเสนอแนวคิดทางอภิมานได้ นอกจากนี้คนเหล่านี้ยังเชื่อว่าใครก็ตามที่ไม่ได้ใช้มันอย่างแพร่หลายถือเป็นคนโง่เขลา ให้เราทิ้งความคิดเห็นของคนเหล่านี้ไว้กับมโนธรรมของพวกเขา มาทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าเศษส่วนคาบเป็นอนันต์คืออะไร และคนที่ไม่มีการศึกษาซึ่งไม่มีขีดจำกัดควรจัดการกับมันอย่างไร

มาหาร 237 ด้วย 5 กัน ไม่จำเป็น คุณไม่จำเป็นต้องเปิดเครื่องคิดเลข มาจำโรงเรียนระดับมัธยมศึกษา (หรือประถมด้วยซ้ำ) กันดีกว่า แล้วแบ่งออกเป็นคอลัมน์:

แล้วคุณจำได้ไหม? จากนั้นคุณสามารถลงมือทำธุรกิจได้

แนวคิดเรื่อง "เศษส่วน" ในทางคณิตศาสตร์มีสองความหมาย:

จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
แบบฟอร์มที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

เศษส่วนมีสองประเภท - ในแง่นี้มีการเขียนตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเต็มสองรูปแบบ:

ง่าย (หรือ แนวตั้ง) เศษส่วน เช่น 1/2 หรือ 237/5
เศษส่วนทศนิยม เช่น 0.5 หรือ 47.4

โปรดทราบว่าโดยทั่วไปแล้ว การใช้สัญลักษณ์เศษส่วนไม่ได้หมายความว่าสิ่งที่เขียนเป็นเศษส่วน เช่น 3/3 หรือ 7.0 ไม่ใช่เศษส่วนในความหมายแรกของคำ แต่ในความหมายที่สอง , เศษส่วน.

โดยทั่วไปแล้วในทางคณิตศาสตร์การนับทศนิยมได้รับการยอมรับมาโดยตลอดดังนั้นเศษส่วนทศนิยมจึงสะดวกกว่าเศษส่วนธรรมดานั่นคือเศษส่วนที่มีตัวส่วนทศนิยม (Vladimir Dal พจนานุกรมอธิบายของภาษารัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ที่มีชีวิต "สิบ") .

และถ้าเป็นเช่นนั้น ฉันต้องการทำให้เศษส่วนแนวตั้งทุกตัวเป็นทศนิยม (“แนวนอน”) และเพื่อทำสิ่งนี้ คุณเพียงแค่ต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ตัวอย่างเช่น ลองใช้เศษส่วน 1/3 แล้วลองทำให้เป็นทศนิยม

แม้แต่คนที่ไม่มีการศึกษาก็ยังสังเกตเห็น: ไม่ว่าจะใช้เวลานานแค่ไหนก็จะไม่แยกจากกัน: แฝดสามจะยังคงปรากฏไม่สิ้นสุด ลองเขียนมันลงไป: 0.33... เราหมายถึง "จำนวนที่ได้รับเมื่อคุณหาร 1 ด้วย 3" หรือเรียกสั้น ๆ ว่า "หนึ่งในสาม" โดยปกติแล้ว หนึ่งในสามเป็นเศษส่วนในความหมายแรกของคำ และ "1/3" และ "0.33..." เป็นเศษส่วนในความหมายที่สองของคำ นั่นคือ แบบฟอร์มการลงทะเบียนตัวเลขที่อยู่บนเส้นจำนวนห่างจากศูนย์ ซึ่งถ้าคุณวางไว้ข้าง ๆ สามครั้ง คุณจะได้หนึ่ง

ทีนี้ลองหาร 5 ด้วย 6:

ลองเขียนใหม่อีกครั้ง: 0.833... เราหมายถึง "จำนวนที่คุณได้รับเมื่อหาร 5 ด้วย 6" หรือเรียกสั้นๆ ว่า "ห้าในหก" อย่างไรก็ตาม เกิดความสับสนที่นี่ นี่หมายถึง 0.83333 (แล้วแฝดสามก็เกิดซ้ำ) หรือ 0.833833 (แล้ว 833 ก็ซ้ำ) ดังนั้นสัญกรณ์ที่มีจุดไข่ปลาจึงไม่เหมาะกับเรา: ยังไม่ชัดเจนว่าส่วนที่ซ้ำกันเริ่มต้นที่ใด (เรียกว่า "จุด") ดังนั้น เราจะใส่ช่วงเวลาในวงเล็บดังนี้: 0,(3); 0.8(3)

0,(3) ไม่ใช่เรื่องง่าย เท่ากับหนึ่งในสามนั่นคือ มีหนึ่งในสาม เพราะเราคิดค้นสัญลักษณ์นี้ขึ้นมาเป็นพิเศษเพื่อแสดงตัวเลขนี้เป็นเศษส่วนทศนิยม

รายการนี้เรียกว่า เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดหรือเพียงแค่เศษส่วนเป็นคาบ.

เมื่อใดก็ตามที่เราหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง ถ้าเราไม่ได้รับเศษส่วนจำกัด เราก็จะได้เศษส่วนที่มีคาบไม่สิ้นสุด นั่นคือสักวันหนึ่งลำดับของตัวเลขจะเริ่มทำซ้ำอย่างแน่นอน เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น สามารถเข้าใจได้ด้วยการเก็งกำไรโดยดูอัลกอริธึมการแบ่งคอลัมน์อย่างละเอียด:

ในตำแหน่งที่มีเครื่องหมายถูก จะไม่สามารถรับคู่ของตัวเลขที่แตกต่างกันได้เสมอไป (เพราะโดยหลักการแล้ว คู่ดังกล่าวมีจำนวนจำกัด) และทันทีที่คู่ดังกล่าวปรากฏขึ้นซึ่งมีอยู่แล้วความแตกต่างก็จะเหมือนเดิม - จากนั้นกระบวนการทั้งหมดจะเริ่มทำซ้ำเอง ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบสิ่งนี้ เพราะมันค่อนข้างชัดเจนว่าหากคุณทำสิ่งเดิมซ้ำ ผลลัพธ์ก็จะเหมือนเดิม

ตอนนี้เราเข้าใจดีแล้ว แก่นแท้เศษส่วนคาบ ลองคูณสามด้วยสามกัน ใช่ แน่นอน คุณจะได้หนึ่งอัน แต่มาเขียนเศษส่วนนี้ในรูปแบบทศนิยมแล้วคูณมันในคอลัมน์ (ความคลุมเครือไม่ได้เกิดขึ้นที่นี่เนื่องจากจุดไข่ปลา เนื่องจากตัวเลขทั้งหมดหลังจุดทศนิยมเหมือนกัน):

และขอย้ำอีกครั้งว่าเลขเก้า เก้า และเก้า จะปรากฏหลังจุดทศนิยมตลอดเวลา นั่นคือ เมื่อใช้เครื่องหมายวงเล็บกลับ เราจะได้ 0,(9) เนื่องจากเรารู้ว่าผลคูณของหนึ่งในสามและสามเป็นหนึ่ง ดังนั้น 0.(9) จึงเป็นวิธีการเขียนที่แปลกใหม่มาก อย่างไรก็ตาม การใช้รูปแบบการบันทึกแบบนี้ไม่เหมาะสม เนื่องจากสามารถเขียนหน่วยได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่ต้องใช้จุด ดังตัวอย่างนี้ 1.

อย่างที่คุณเห็น 0,(9) เป็นหนึ่งในกรณีที่จำนวนเต็มเขียนในรูปแบบเศษส่วน เช่น 3/3 หรือ 7.0 นั่นคือ 0,(9) เป็นเศษส่วนในความหมายที่สองของคำเท่านั้น แต่ไม่ใช่ในความหมายแรก

โดยไม่มีขีดจำกัดหรืออนุกรมใดๆ เราก็หาได้ว่า 0.(9) คืออะไร และจะจัดการกับมันอย่างไร

แต่ให้เราจำไว้ว่าจริงๆ แล้วเราฉลาดและศึกษาการวิเคราะห์มาดีแล้ว แท้จริงแล้วเป็นการยากที่จะปฏิเสธว่า:

แต่บางทีอาจจะไม่มีใครโต้แย้งกับความจริงที่ว่า:

แน่นอนว่าทั้งหมดนี้เป็นจริง แท้จริงแล้ว 0,(9) คือทั้งผลรวมของอนุกรมรีดิวซ์ และไซน์คู่ของมุมที่ระบุ และลอการิทึมธรรมชาติของเลขออยเลอร์

แต่ไม่มีอย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างใดอย่างหนึ่งหรือที่สามไม่ได้เป็นคำจำกัดความ

หากจะบอกว่า 0,(9) คือผลรวมของอนุกรมอนันต์ 9/(10 n) โดยมี n เท่ากับ 1 ก็เหมือนกับการบอกว่าไซน์คือผลรวมของอนุกรมอนันต์เทย์เลอร์:

นี้ ถูกต้องที่สุดและนี่คือข้อเท็จจริงที่สำคัญที่สุดสำหรับคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ แต่ไม่ใช่คำจำกัดความ และที่สำคัญที่สุดคือไม่ได้ทำให้บุคคลเข้าใกล้ความเข้าใจมากขึ้น โดยพื้นฐานแล้วไซนัส สาระสำคัญของไซน์ของมุมหนึ่งก็คือมัน แค่ทุกอย่างอัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ดังนั้นเศษส่วนคาบคือ แค่ทุกอย่างเศษส่วนทศนิยมที่ได้รับเมื่อ เมื่อหารด้วยคอลัมน์ตัวเลขชุดเดียวกันจะซ้ำกัน ไม่มีร่องรอยการวิเคราะห์ที่นี่

และนี่คือที่มาของคำถาม: มันมาจากไหน? เลยเราใช้เลข 0 (9) หรือเปล่า? เราหารด้วยคอลัมน์เพื่อให้ได้อะไร? อันที่จริง ไม่มีตัวเลขใดที่เมื่อแบ่งออกเป็นคอลัมน์ เราจะปรากฏเป็นเลขเก้าไม่รู้จบ แต่เราจัดการเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้โดยการคูณ 0,(3) ด้วย 3 ด้วยคอลัมน์เดียว? ไม่เชิง. ท้ายที่สุดคุณต้องคูณจากขวาไปซ้ายเพื่อคำนึงถึงการโอนตัวเลขอย่างถูกต้องและเราทำสิ่งนี้จากซ้ายไปขวาโดยใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าการโอนไม่ได้เกิดขึ้นที่ใดเลย ดังนั้นความถูกต้องตามกฎหมายของการเขียน 0,(9) ขึ้นอยู่กับว่าเรายอมรับความถูกต้องตามกฎหมายของการคูณด้วยคอลัมน์นั้นหรือไม่

ดังนั้น โดยทั่วไปเราสามารถพูดได้ว่าสัญกรณ์ 0,(9) ไม่ถูกต้อง และถูกต้องในระดับหนึ่ง อย่างไรก็ตาม เนื่องจากยอมรับสัญกรณ์ a ,(b ) จึงน่าเกลียดที่จะละทิ้งมันเมื่อ b = 9; เป็นการดีกว่าที่จะตัดสินใจว่ารายการดังกล่าวหมายถึงอะไร ดังนั้น หากโดยทั่วไปเรายอมรับสัญลักษณ์ 0 (9) แน่นอนว่าสัญลักษณ์นี้จะหมายถึงหมายเลข 1

ยังคงต้องเสริมอีกว่าถ้าเราใช้ระบบเลขไตรภาค จากนั้นเมื่อหารด้วยคอลัมน์หนึ่ง (1 3) ด้วยสาม (10 3) เราจะได้ 0.1 3 (อ่านว่า "ศูนย์จุดหนึ่งในสาม") และเมื่อหารหนึ่งด้วยสองจะได้ 0,(1) 3

ดังนั้นระยะของเศษส่วนจึงไม่ใช่ลักษณะเฉพาะของเศษส่วน แต่เป็นเพียงผลข้างเคียงของการใช้ระบบตัวเลขอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

ความจริงที่ว่ามีรากที่สองจำนวนมาก ตัวเลขอตรรกยะไม่ได้เบี่ยงเบนความสำคัญแต่อย่างใด โดยเฉพาะตัวเลข $\sqrt2$ มักใช้ในการคำนวณทางวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ต่างๆ จำนวนนี้สามารถคำนวณได้ด้วยความแม่นยำที่จำเป็นในแต่ละกรณี คุณสามารถทำให้ตัวเลขนี้เป็นทศนิยมได้มากเท่าที่คุณจะอดทนได้

ตัวอย่างเช่น จำนวน $\sqrt2$ สามารถกำหนดได้ด้วยความแม่นยำของทศนิยมหกตำแหน่ง: $\sqrt2=1.414214$ ค่านี้ไม่แตกต่างจากมูลค่าจริงมากนัก เนื่องจาก $1.414214 \times 1.414214=2.000001237796$ คำตอบนี้แตกต่างจาก 2 มากกว่าหนึ่งในล้าน ดังนั้น ค่าของ $\sqrt2$ เท่ากับ $1.414214$ จึงถือว่าค่อนข้างยอมรับได้สำหรับการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ ในกรณีที่ต้องการความแม่นยำมากขึ้น ก็ไม่ใช่เรื่องยากที่จะได้เลขนัยสำคัญหลังจุดทศนิยมตามที่ต้องการในกรณีนี้

อย่างไรก็ตามหากคุณแสดงความดื้อรั้นที่หายากและพยายามแยกออก รากที่สองจากตัวเลข $\sqrt2$ จนกว่าคุณจะได้ผลลัพธ์ที่แน่นอน คุณจะไม่มีวันทำงานให้เสร็จ มันเป็นกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด ไม่ว่าจะได้ทศนิยมกี่ตำแหน่ง ก็ยังมีเหลืออีกสองสามตำแหน่งเสมอ

ข้อเท็จจริงนี้อาจทำให้คุณประหลาดใจพอๆ กับการเปลี่ยน $\frac13$ เป็นทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุด $0.333333333…$ และต่อๆ ไป หรือเปลี่ยน $\frac17$ เป็น $0.142857142857142857…$ และต่อๆ ไป เมื่อดูเผินๆ อาจดูเหมือนว่ารากที่สองที่ไม่มีที่สิ้นสุดและไร้เหตุผลเหล่านี้เป็นปรากฏการณ์ที่มีลำดับเดียวกัน แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้นทั้งหมด ท้ายที่สุด เศษส่วนอนันต์เหล่านี้มีค่าเศษส่วนเท่ากัน ในขณะที่ $\sqrt2$ ไม่มีค่าเท่ากัน ทำไมกันแน่? ความจริงก็คือค่าทศนิยมที่เทียบเท่ากับ $\frac13$ และ $\frac17$ รวมถึงเศษส่วนอื่นๆ จำนวนอนันต์ ถือเป็นเศษส่วนอนันต์เป็นคาบ

ในเวลาเดียวกัน ค่าทศนิยมที่เทียบเท่ากับ $\sqrt2$ จะเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนอตรรกยะใดๆ ด้วย

ปัญหาคือว่าทศนิยมใดๆ ที่มีค่าประมาณรากที่สองของ 2 มีค่าประมาณ เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ- ไม่ว่าเราจะคำนวณไปไกลแค่ไหน เศษส่วนใดๆ ที่เราได้รับจะไม่ใช่แบบคาบ

ลองนึกภาพเศษส่วนที่มีตัวเลขที่ไม่เป็นคาบจำนวนมากหลังจุดทศนิยม หากจู่ๆ หลังจากหลักล้านแล้วมีการทำซ้ำลำดับทศนิยมทั้งหมด นั่นหมายความว่า ทศนิยม- เป็นระยะและสำหรับมันจะมีค่าเท่ากันในรูปแบบของอัตราส่วนของจำนวนเต็ม หากเศษส่วนที่มีทศนิยมแบบไม่เป็นงวดจำนวนมาก (พันล้านหรือล้าน) ณ จุดหนึ่งมีชุดตัวเลขซ้ำกันไม่รู้จบ เช่น $...55555555555...$ ก็หมายความว่าเศษส่วนนี้เป็นเศษส่วนและ มีค่าเท่ากันในรูปอัตราส่วนของจำนวนเต็ม

อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ค่าทศนิยมเทียบเท่ากันนั้นไม่ใช่เป็นงวดโดยสิ้นเชิงและไม่สามารถเป็นงวดได้

แน่นอน คุณสามารถถามคำถามต่อไปนี้: “ใครจะรู้และพูดได้อย่างแน่ชัดว่าเกิดอะไรขึ้นกับเศษส่วน เช่น หลังจากเครื่องหมายล้านล้าน? ใครสามารถรับประกันได้ว่าเศษส่วนจะไม่เป็นงวด” มีหลายวิธีที่จะพิสูจน์ได้อย่างแน่ชัดว่าจำนวนอตรรกยะนั้นไม่ใช่แบบคาบ แต่การพิสูจน์ดังกล่าวต้องใช้คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน แต่ถ้าจู่ๆ ปรากฎว่าจำนวนอตรรกยะกลายเป็นจำนวนอตรรกยะ เศษส่วนเป็นระยะนี่จะหมายถึงการล่มสลายของรากฐานของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์โดยสิ้นเชิง และในความเป็นจริงมันแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย ไม่ใช่เรื่องง่ายสำหรับคุณที่จะโยนมันจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งบนข้อนิ้วของคุณ มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอยู่ที่นี่