ทิศทางโคไซน์ สูตรคำนวณโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์สำหรับปัญหาเชิงพื้นที่ ค้นหาความยาวและทิศทางโคไซน์ของเวกเตอร์

ปล่อยให้เวกเตอร์ ( เอ็กซ์ , ที่ , z ).

ให้เราแสดงมุมเอียงของเวกเตอร์นี้กับแกน โอ้โอ้ และ ออนซ์ ตัวอักษรตามลำดับ ,และ.เลขสามตัว เพราะ, เพราะและ เพราะมักจะเรียกว่า โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์. เชื่อ = (1; 0; 0 ) เราได้รับจาก (9)

เช่นเดียวกัน

จากสูตร (11) - (13) จะเป็นดังนี้:

1) เพราะ 2 +คอส 2 +คอส 2 = 1 ,

เหล่านั้น. ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จะเท่ากับ 1;

เหล่านั้น.โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์นี้เป็นสัดส่วนกับเส้นโครงที่สอดคล้องกัน

บันทึก. จากสูตร (11)-(13) เห็นได้ชัดว่าการฉายภาพของเวกเตอร์หน่วยใดๆ บนแกนพิกัดตรงกับทิศทางโคไซน์ตามลำดับ ดังนั้น

ตัวอย่าง. ค้นหาโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ (1; 2; 2). ตามสูตร (11)-(13) ที่เรามี

4. ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวและคุณสมบัติหลัก

คำนิยาม. ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวและเวกเตอร์ใหม่ถูกเรียกว่าโมดูลัสซึ่งเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์และลดลงจนถึงจุดกำเนิดทั่วไปและซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ถูกคูณ (กล่าวอีกนัยหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของ สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนพวกมัน) และกำกับไปในทิศทางที่การหมุนรอบเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่สั้นที่สุดดูเหมือนจะเกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกาเมื่อดูจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (รูปที่ 40)

หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันจะถือว่าเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามนั้น

|| = || || บาป

มุมระหว่างเวกเตอร์อยู่ที่ไหน ( 0 ). ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

x หรือหรือ [,]

ให้เราค้นหาความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ถ้าเวกเตอร์แทนนำไปใช้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง นางสาวตะกอน และเวกเตอร์ก็มาจากจุดหนึ่ง เกี่ยวกับอย่างแน่นอน เอ็มแล้วก็เวกเตอร์ = แสดงถึงโมเมนต์ของแรงรอบจุดหนึ่ง เกี่ยวกับ.

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม

1 . เมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น

x = -(x)

()x=x()=(x)สเกลาร์อยู่ที่ไหน

3. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นไปตามกฎการกระจาย เช่น

4. หากผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์ที่คูณอย่างน้อยหนึ่งตัวจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ (ตัวพิมพ์เล็ก) หรือไซน์ของมุมระหว่างพวกมันจะเท่ากับศูนย์ เช่น เวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน

กลับ, ถ้าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวอยู่ในแนวเดียวกัน ผลคูณไขว้ของพวกมันจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

ดังนั้น , เพื่อให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวอยู่ในแนวเดียวกัน จำเป็นและเพียงพอที่ผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

จากที่นี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์:

x=0

(เอ็กซ์เรียกอีกอย่างว่า เวกเตอร์ เวกเตอร์สี่เหลี่ยม .

5. ผลคูณของเวกเตอร์สามตัวและคุณสมบัติหลัก

ให้เวกเตอร์สามตัว และได้รับ ลองจินตนาการว่าเวกเตอร์ถูกคูณด้วยเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ และเวกเตอร์ที่ได้จะถูกคูณด้วยเวกเตอร์แบบสเกลาร์ ดังนั้นจึงกำหนดตัวเลข (x) เรียกว่าหรือ งานผสมเวกเตอร์สามตัว และ

เพื่อความกระชับ เราจะแทนผลคูณผสม (x) หรือ ()

เรามาดูความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ผสมกันดีกว่า ปล่อยให้เวกเตอร์ที่กำลังพิจารณาไม่ใช่ระนาบเดียวกัน มาสร้างเส้นขนานบนเวกเตอร์และขอบกัน

ผลคูณไขว้ x เป็นเวกเตอร์ (=) เท่ากับตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน โอเอดีบี (ฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้น) สร้างขึ้นบน vectorachia ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 41)

ผลคูณสเกลาร์ (x) = คือผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และเส้นโครงของเวกเตอร์ (ดูย่อหน้าที่ 1 (2))

ความสูงของเส้นขนานที่สร้างขึ้นคือค่าสัมบูรณ์ของเส้นโครงนี้

ดังนั้นสินค้า | | ในค่าสัมบูรณ์จะเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานของขนานและความสูงของมันนั่นคือ ปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าผลคูณสเกลาร์ให้ปริมาตรของเส้นขนาน บางครั้งมีเครื่องหมายบวกและบางครั้งก็มีเครื่องหมายลบ จะได้เครื่องหมายบวกหากมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นแบบเฉียบพลัน ลบ - ถ้าโง่ โดยมีมุมแหลมระหว่าง และเวกเตอร์จะอยู่ที่ด้านเดียวกันของระนาบ โอเอดีบี ซึ่งเป็นเวกเตอร์ ดังนั้นจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ การหมุนจากเวกเตอร์จะมองเห็นได้ในลักษณะเดียวกับจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ นั่นคือ ไปในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา)

ที่มุมป้านระหว่างเวกเตอร์จะอยู่ที่อีกด้านหนึ่งของระนาบ โอเอดีบี มากกว่าเวกเตอร์ ดังนั้น จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ การหมุนจากจะเห็นไปในทิศทางลบ (ตามเข็มนาฬิกา) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลคูณจะเป็นบวกหากเวกเตอร์และสร้างระบบที่มีชื่อเดียวกันกับออกซิซหลัก (อยู่ร่วมกันในลักษณะเดียวกับแกน Ox, Oy, Oz) และมันจะเป็นลบหากเวกเตอร์ก่อตัวเป็นระบบ ที่มีชื่อเดียวกับชื่อหลัก

ดังนั้น, สินค้าผสมเป็นตัวเลข,ค่าสัมบูรณ์ที่แสดงปริมาตรของเส้นขนาน,สร้างขึ้นจากเวกเตอร์,เหมือนอยู่บนซี่โครง.

เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์จะเป็นค่าบวกหากเวกเตอร์ ,,สร้างระบบที่มีชื่อเดียวกันกับชื่อหลักและเป็นลบอย่างอื่น

ตามมาว่าค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์ =(x) จะยังคงเท่าเดิม ไม่ว่าเราจะพิจารณาปัจจัยในลำดับใดก็ตาม สำหรับเครื่องหมายนั้น ในบางกรณีก็จะเป็นบวก ในบางกรณีจะเป็นลบ ขึ้นอยู่กับว่าเวกเตอร์ทั้งสามของเราเรียงลำดับกันเป็นระบบที่มีชื่อเดียวกันกับเวกเตอร์หลักหรือไม่ โปรดทราบว่าแกนพิกัดของเราตั้งอยู่เพื่อให้พวกมันติดตามกันทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากด้านใน (รูปที่ 42) ลำดับจะไม่ถูกละเมิดหากเราเริ่มการเคลื่อนที่จากแกนที่สองหรือสาม ตราบใดที่มันยังไปในทิศทางเดียวกัน นั่นคือ ทวนเข็มนาฬิกา ในกรณีนี้ ปัจจัยจะถูกจัดเรียงใหม่ในลักษณะวงกลม (เป็นวงกลม) ดังนั้นเราจึงได้รับคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ผลิตภัณฑ์แบบผสมจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการจัดเรียงปัจจัยใหม่แบบวงกลม (แบบวนรอบ) การจัดเรียงปัจจัยสองตัวที่อยู่ติดกันใหม่จะเปลี่ยนเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์

= ==-()=-()=-().

สุดท้าย ข้อความต่อไปนี้ตามมาจากความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ผสมโดยตรง

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นระนาบร่วมของเวกเตอร์,,คือความเท่าเทียมกันของผลิตภัณฑ์ผสมเป็นศูนย์:

Def. 1.5.6. ทิศทางโคไซน์เวกเตอร์ ก ลองเรียกโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์นี้สร้างขึ้นด้วยเวกเตอร์พื้นฐาน ตามลำดับ ฉัน , เจ , เค .

โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ ก = (เอ็กซ์, ที่, z) พบได้จากสูตร:

ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์ทิศทางเท่ากับ 1:

โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ ก เป็นพิกัดของเวกเตอร์หน่วย:

กำหนดให้เวกเตอร์ฐาน ฉัน , เจ , เค เลื่อนออกไปจากจุดร่วม เกี่ยวกับ. เราจะถือว่าออร์ตระบุทิศทางที่เป็นบวกของแกน โอ้, อู๋, ออนซ์. ชุดจุด เกี่ยวกับ (ต้นทาง) และพื้นฐานออร์โธนอร์มอล ฉัน , เจ , เค เรียกว่า ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนในอวกาศ. อนุญาต ก– จุดใดก็ได้ในอวกาศ เวกเตอร์ ก = โอเอ= x ฉัน + ย เจ + z เค เรียกว่า เวกเตอร์รัศมีคะแนน ก, พิกัดของเวกเตอร์นี้ ( x, ย, z) เรียกอีกอย่างว่าพิกัดจุด ก(ชื่อ: ก(x, ย, z)). แกนพิกัด โอ้, อู๋, ออนซ์เรียกอีกอย่างว่าแกนตามลำดับ แอบซิสซา, แกน บวช, แกน สมัคร.

หากเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยพิกัดของจุดเริ่มต้น ใน 1 (x 1 , ย 1 , z 1) และจุดสิ้นสุด ใน 2 (x 2 , ย 2 , z 2) จากนั้นพิกัดของเวกเตอร์จะเท่ากับความแตกต่างระหว่างพิกัดของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น: (เนื่องจาก ).

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบนระนาบและบนเส้นถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับการเปลี่ยนแปลงเชิงปริมาณ (ตามมิติ) ที่สอดคล้องกัน

การแก้ปัญหาทั่วไป

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาโคไซน์ความยาวและทิศทางของเวกเตอร์ ก = 6ฉัน – 2เจ -3เค .

สารละลาย.ความยาวเวกเตอร์: . โคไซน์ทิศทาง: .

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาพิกัดเวกเตอร์ ก สร้างมุมแหลมเท่ากันกับแกนพิกัด หากความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับ

สารละลาย.เนื่องจาก จากนั้นแทนที่เป็นสูตร (1.6) เราจึงได้ . เวกเตอร์ ก ทำให้เกิดมุมแหลมกับแกนพิกัด ดังนั้นออร์ต . ดังนั้นเราจึงหาพิกัดของเวกเตอร์ .

ตัวอย่างที่ 3ให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบร่วมสามตัว จ 1 = 2ฉัน – เค , จ 2 = 3ฉัน + 3เจ , จ 3 = 2ฉัน + 3เค . ขยายเวกเตอร์ ง = ฉัน + 5เจ - 2เค ตามพื้นฐาน จ 1 , จ 2 , จ 3 .

คุณสมบัติ:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

b) คำจำกัดความของการดำเนินการเชิงเส้น

ผลรวมของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่มาจากจุดกำเนิดร่วมของเวกเตอร์ตามแนวทแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์เหล่านี้

ผลต่างเวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์และเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์: . ลองเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และ จากนั้นเวกเตอร์จะถูกกำกับจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

การทำงาน เวกเตอร์ตามตัวเลขเรียกว่าเวกเตอร์ที่มีโมดูลัส และที่ และ ที่ ในเชิงเรขาคณิต การคูณด้วยตัวเลขหมายถึง "การยืด" เวกเตอร์ด้วยตัวประกอบ โดยคงทิศทางไว้ที่ และเปลี่ยนเป็นทิศตรงข้ามที่

จากกฎข้างต้นสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์และคูณด้วยตัวเลข ข้อความที่ชัดเจนมีดังนี้:

1. (นอกจากนี้เป็นการสับเปลี่ยน);

2. (นอกจากนี้เป็นแบบเชื่อมโยง);

3. (การมีอยู่ของเวกเตอร์ศูนย์);

4. (การมีอยู่ของเวกเตอร์ตรงข้าม);

5. (นอกจากนี้เป็นแบบเชื่อมโยง);

6. (การคูณด้วยตัวเลขเป็นการแจกแจง)

7. (การบวกเวกเตอร์เป็นแบบกระจาย);

c) ผลิตภัณฑ์สเกลาร์และคุณสมบัติพื้นฐานของมัน

สินค้าดอทเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวคือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน หากเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งในสองตัวเป็นศูนย์ ก็จะไม่ได้กำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น และผลคูณสเกลาร์จะถือว่าเท่ากับศูนย์ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ แสดงแทน

, โดยที่ และ คือความยาวของเวกเตอร์ และ ตามลำดับ และ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ และ

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองเรียกว่ากำลังสองสเกลาร์

คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์

สำหรับเวกเตอร์ใดๆ และเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท:

สมบัติการสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

ทรัพย์สินจำหน่าย หรือ ;

ทรัพย์สินสมาคม หรือ , โดยที่จำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม;

สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์นั้นไม่เป็นลบเสมอ ถ้าหากเวกเตอร์นั้นเป็นศูนย์เท่านั้น

D) ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และคุณสมบัติของมัน

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์ a ถึงเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่งมีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a และ b ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอร์เหล่านี้และกำกับเพื่อให้การหมุนน้อยที่สุดจาก a ถึง b รอบเวกเตอร์ c จะเป็นทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากเวกเตอร์สุดท้าย c

สูตรคำนวณผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์สองตัว a = (a x; a y; a z) และ b = (b x; b y; b z) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นเวกเตอร์ซึ่งสามารถคำนวณค่าได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

• ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว a และ b จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน
• เวกเตอร์ c เท่ากับผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a และ b ตั้งฉากกับเวกเตอร์เหล่านี้
• ก × ข = -ข × ก
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

สมการของเส้นตรงบนระนาบ

A) สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม

ความชันของเส้นตรงเรียกว่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นนี้

ความชันของเส้นตรงมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร เค. แล้วตามคำนิยาม

หากเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด แสดงว่าไม่มีความชัน (ในกรณีนี้อาจกล่าวได้ว่าความชันไปที่อนันต์)

ความชันเชิงบวกของเส้นบ่งชี้ถึงการเพิ่มขึ้นของกราฟของฟังก์ชัน ความชันเชิงลบบ่งชี้ถึงการลดลง สมการของเส้นตรงที่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะมีรูปแบบ y=kx+b โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง b คือจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง เมื่อใช้สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุม คุณสามารถระบุเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกน Oy (สำหรับเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด จะไม่ได้กำหนดค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม)

B) ประเภทของสมการเส้นตรง

สมการ เรียกว่า สมการทั่วไปของเส้นตรงบนพื้นผิว

สมการดีกรีแรกใดๆ ที่มีตัวแปรสองตัว xและ ยใจดี , ที่ไหน ก, ในและ กับ– จำนวนจริงบางส่วน และ กและ ในไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน ให้นิยามเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อ็อกซี่บนระนาบ และทุกเส้นบนระนาบจะได้รับจากสมการของแบบฟอร์ม .

สมการเส้นตรงของแบบฟอร์ม โดยที่ กและ ข– เรียกจำนวนจริงบางตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ. ชื่อนี้ไม่ได้ตั้งใจเนื่องจากเป็นค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข กและ ขเท่ากับความยาวของส่วนที่เส้นตรงตัดบนแกนพิกัด วัวและ เฮ้ยตามลำดับ (เซ็กเมนต์นับจากจุดเริ่มต้น)

สมการเส้นตรงของแบบฟอร์ม โดยที่ xและ ย- ตัวแปรและ เคและ ข– เรียกจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง สมการของเส้นตรงกับความชัน (เค– ความลาดชัน)

สมการ Canonical ของเส้นตรงบนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม อ็อกซี่ดูเหมือน โดยที่ และ เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง และในขณะเดียวกัน พวกมันก็ไม่เท่ากับศูนย์

แน่นอนว่าเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการบัญญัติของเส้นตรงจะผ่านจุดนั้น ในทางกลับกัน ตัวเลขและตัวส่วนของเศษส่วนจะแสดงพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ ดังนั้นสมการมาตรฐานของเส้นตรง ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อ็อกซี่บนระนาบสอดคล้องกับเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งและมีเวกเตอร์ทิศทาง

สมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบดูเหมือน โดยที่ และ เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง แต่ในขณะเดียวกันก็ไม่เท่ากับศูนย์ และเป็นพารามิเตอร์ที่รับค่าจริงใดๆ

สมการเส้นพาราเมตริกสร้างความสัมพันธ์โดยปริยายระหว่างพิกัดของจุดบนเส้นตรงโดยใช้พารามิเตอร์ (จึงเป็นที่มาของสมการเส้นประเภทนี้)

คู่ของตัวเลขที่คำนวณจากสมการพาราเมตริกของเส้นสำหรับค่าจริงของพารามิเตอร์จะแสดงพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้น เช่นเมื่อเรามี นั่นคือจุดที่มีพิกัดอยู่บนเส้นตรง

ควรสังเกตว่าค่าสัมประสิทธิ์และพารามิเตอร์ในสมการพาราเมตริกของเส้นตรงคือพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ให้จุดสองจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ถูกกำหนดไว้ในอวกาศ จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้คือ:

ถ้าตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่ตรงกันก็ควรจะเท่ากับ 0 บนระนาบ สมการของเส้นที่เขียนด้านบนจะถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2 และ x = x 1 ถ้า x 1 = x 2

เรียกว่าเศษส่วน = k ความลาดชันตรง.

C) การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ถ้าให้เส้นตรงสองเส้น y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 ดังนั้นมุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

.

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า k 1 = k 2 เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกันถ้า k 1 = -1/ k 2

ทฤษฎีบท.เส้น Ax + Bу + C = 0 และ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์ A 1 = แลม A, B 1 = แลมบ์เป็นสัดส่วน ถ้า C 1 = แลมซีด้วย แสดงว่าเส้นตรง พิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นพบว่าเป็นวิธีแก้ระบบสมการของเส้นเหล่านี้

D) เงื่อนไขสำหรับการขนานและการตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น

เงื่อนไขความขนานของสองบรรทัด:

ก) หากเส้นถูกกำหนดโดยสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันคือความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์เชิงมุม:

เค 1 = เค 2 .

b) สำหรับกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันคือค่าสัมประสิทธิ์สำหรับพิกัดกระแสที่สอดคล้องกันในสมการนั้นเป็นสัดส่วน เช่น

เงื่อนไขความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น:

ก) ในกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการ (4) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากคือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นนั้นมีขนาดผกผันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม กล่าวคือ

เงื่อนไขนี้สามารถเขียนอยู่ในแบบฟอร์มได้เช่นกัน

เค 1 เค 2 = -1.

b) หากสมการของเส้นถูกกำหนดไว้ในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขของการตั้งฉาก (จำเป็นและเพียงพอ) คือการตอบสนองความเท่าเทียมกัน

ก 1 ก 2 + บี 1 บี 2 = 0.

ขีดจำกัดของฟังก์ชัน

A) ขีดจำกัดลำดับ

แนวคิดเรื่องขีดจำกัดถูกใช้โดยนิวตันในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 17 และโดยนักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 18 เช่น ออยเลอร์และลากรองจ์ แต่พวกเขาเข้าใจขีดจำกัดอย่างสังหรณ์ใจ คำจำกัดความที่เข้มงวดประการแรกของขีดจำกัดลำดับถูกกำหนดโดยโบลซาโนในปี ค.ศ. 1816 และคอชีในปี ค.ศ. 1821

เบอร์นั้นเรียกว่า ขีดจำกัดของลำดับหมายเลขถ้าลำดับมีจำนวนไม่มาก กล่าวคือ องค์ประกอบทั้งหมดซึ่งเริ่มต้นจากลำดับใดลำดับหนึ่งจะมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจำนวนบวกใดๆ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

ถ้าลำดับตัวเลขมีขีดจำกัดในรูปของจำนวนจริง จะเรียกว่าลำดับตัวเลข มาบรรจบกัน ถึงหมายเลขนี้ มิฉะนั้นจะเรียกลำดับ แตกต่าง . ยิ่งไปกว่านั้น หากเป็นแบบไม่จำกัด ก็ถือว่าขีดจำกัดนั้นมีค่าเท่ากับอนันต์

นอกจากนี้ หากองค์ประกอบทั้งหมดของลำดับที่ไม่มีขอบเขตซึ่งเริ่มต้นจากจำนวนหนึ่ง มีเครื่องหมายบวก ก็จะกล่าวได้ว่าขีดจำกัดของลำดับนั้นคือ บวกกับอนันต์ .

หากองค์ประกอบของลำดับที่ไม่มีขอบเขตซึ่งเริ่มต้นจากจำนวนใดจำนวนหนึ่ง มีเครื่องหมายลบ ก็แสดงว่าขีดจำกัดของลำดับนั้นเท่ากับ ลบอนันต์ .

B) ขีด จำกัด ของฟังก์ชัน

ขีดจำกัดของฟังก์ชัน (ค่าจำกัดของฟังก์ชัน) ที่จุดที่กำหนด ซึ่งจำกัดขอบเขตสำหรับคำจำกัดความของฟังก์ชัน คือค่าที่ค่าของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณามีแนวโน้มในขณะที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะไปยังจุดที่กำหนด

ขีดจำกัดของฟังก์ชันเป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิดเรื่องขีด จำกัด ของลำดับ: เริ่มแรกเข้าใจว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเป็นขีด จำกัด ของลำดับขององค์ประกอบของโดเมนของค่าของฟังก์ชันที่ประกอบด้วยภาพของจุดของ ลำดับขององค์ประกอบของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่มาบรรจบกันที่จุดที่กำหนด (ขีด จำกัด ที่พิจารณา) หากมีขีดจำกัดดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวมาบรรจบกันเป็นค่าที่ระบุ หากไม่มีขีดจำกัดดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นแยกออก

ขีดจำกัดของฟังก์ชัน- หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เรียกว่าค่า ขีด จำกัด (ค่าจำกัด) ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งหากลำดับของจุดใด ๆ มาบรรจบกัน แต่ไม่มีองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่ง (นั่นคือในย่านที่เจาะทะลุ) ลำดับของค่าของฟังก์ชันมาบรรจบกันที่ .

เรียกว่าค่า ขีด จำกัด (ค่าจำกัด) ทำหน้าที่ ณ จุดนั้น หากจำนวนบวกใดๆ ที่รับไว้ล่วงหน้า จะมีจำนวนบวกที่สอดคล้องกัน ดังนั้น สำหรับอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดที่ตรงตามเงื่อนไข ความไม่เท่าเทียมกันก็จะเป็นที่น่าพอใจ

C) ข้อจำกัดที่น่าทึ่งสองประการ

· ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง:

ผลที่ตามมา

·

·

·

· ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง:

ผลที่ตามมา

1.

2.

3.

4.

5. สำหรับ ,

6.

D) ฟังก์ชันที่เล็กและใหญ่ไม่สิ้นสุด

การทำงาน y=ฉ(x)เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→กหรือเมื่อใด x→∞ ถ้า หรือ เช่น ฟังก์ชันจิ๋วคือฟังก์ชันที่มีขีดจำกัด ณ จุดที่กำหนดเป็นศูนย์

ถ้าฟังก์ชั่น y=ฉ(x)เป็นตัวแทนได้ด้วย x→กเป็นผลรวมของจำนวนคงที่ ขและขนาดอันไม่สิ้นสุด α(x): ฉ (x)=b+ α(x)ที่ .

ในทางกลับกัน ถ้า แล้ว ฉ (x)=ข+α(x), ที่ไหน ขวาน)– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→ก

ข้อพิสูจน์ 1.ถ้าและแล้ว

ข้อพิสูจน์ 2.ถ้า ค= const แล้ว

ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x)มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ที่ x→กแล้วฟังก์ชัน 1 /ฉ(x)มีค่าน้อยมากที่ x→ก.

ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x)- ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→ก(หรือ x→∞)และไม่หายไปแล้ว ย= 1/ฉ(x)เป็นฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันที่มีขนาดเล็กและมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์สามารถเขียนได้โดยใช้ความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ก≠ 0

D) การเปิดเผยความไม่แน่นอน กฎของโลปิตาล

ความไม่แน่นอนประเภทหลัก: ศูนย์หารด้วยศูนย์ ( 0 ถึง 0), อนันต์หารด้วยอนันต์, ศูนย์คูณด้วยอนันต์, อนันต์ลบอนันต์, หนึ่งยกกำลังของอนันต์, ศูนย์ยกกำลังของศูนย์, อนันต์ยกกำลังของศูนย์

กฎของโลปิตาลใช้กันอย่างแพร่หลายมากสำหรับ จำกัดการคำนวณเมื่อมีความไม่แน่นอนของรูปศูนย์หารด้วยศูนย์ อนันต์หารด้วยอนันต์

ความไม่แน่นอนประเภทนี้รวมถึงความไม่แน่นอนเป็นศูนย์คูณอนันต์ และอนันต์ลบอนันต์

ถ้าและถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)จะหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้นแล้ว

ในกรณีที่ความไม่แน่นอนไม่หายไปหลังจากใช้กฎของโลปิตาลแล้ว ก็สามารถนำกลับมาใช้ใหม่ได้

การคำนวณอนุพันธ์

A) กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ช่างมัน ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน โดยที่ function เป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง เราจะแสดงวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน โดยรู้อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (เราจะแทนด้วย) และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท 1. ถ้าฟังก์ชันมีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง xและฟังก์ชันมีอนุพันธ์ที่จุด () จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่จุด xมีอนุพันธ์ และ =

มิฉะนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลาง

B) ความแตกต่างของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในรูปแบบพาราเมตริก กล่าวคือ ในรูปแบบ:

โดยที่ฟังก์ชัน และ ถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์ เรามาค้นหาส่วนต่างของด้านขวาและด้านซ้ายของแต่ละความเท่าเทียมกัน:

เพื่อค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง เราทำการแปลงดังต่อไปนี้:

B) แนวคิดของอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันบวกเรียกว่าอนุพันธ์ของมัน เนื่องจาก ตามกฎของการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราจึงได้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับอนุพันธ์ลอการิทึม:

.

การใช้อนุพันธ์ลอการิทึมทำให้สะดวกในการคำนวณอนุพันธ์สามัญในกรณีที่ลอการิทึมทำให้รูปแบบของฟังก์ชันง่ายขึ้น

สาระสำคัญของความแตกต่างนี้มีดังต่อไปนี้: ขั้นแรกพบลอการิทึมของฟังก์ชันที่กำหนดและจากนั้นจึงคำนวณอนุพันธ์ของมันเท่านั้น ให้ฟังก์ชั่นบางอย่างได้รับ ลองใช้ลอการิทึมด้านซ้ายและขวาของนิพจน์นี้:

จากนั้น เมื่อแสดงอนุพันธ์ที่ต้องการ ผลลัพธ์ที่ได้คือ:

D) อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

ถ้า y=f(x) และ x=g(y) เป็นคู่ของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน และฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์ f"(x) ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน g"( x)=1/f" (x)

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกันจึงเป็นปริมาณซึ่งกันและกัน สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน:

D) อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย

ถ้าสมการอธิบายฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ย=ฉ(x) โดยที่ตัวแปร ยอยู่ด้านซ้ายและด้านขวาขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งเท่านั้น xแล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับฟังก์ชันแล้ว อย่างชัดเจน. ตัวอย่างเช่น มีการระบุฟังก์ชันต่อไปนี้อย่างชัดเจน:

ย=บาป x,ย=x 2+2x+5,ย=lncos x.

อย่างไรก็ตาม ในปัญหาหลายๆ อย่าง ฟังก์ชันนี้สามารถระบุได้ โดยปริยาย, เช่น. เป็นสมการ

เอฟ(x,ย)=0.

เพื่อหาอนุพันธ์ ย′( x) ฟังก์ชันที่ระบุโดยนัยไม่จำเป็นต้องถูกแปลงเป็นรูปแบบที่ชัดเจน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ให้รู้สมการ เอฟ(x,ย)=0 เพียงทำดังต่อไปนี้:

ขั้นแรก คุณต้องแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของสมการด้วยความเคารพต่อตัวแปร xสมมติว่าเป็นอย่างนั้น ย− เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ xและใช้กฎในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ในกรณีนี้ อนุพันธ์ของศูนย์ (ทางด้านขวา) ก็จะเท่ากับศูนย์เช่นกัน
ความคิดเห็น: ถ้าด้านขวาไม่เป็นศูนย์ เช่น สมการโดยนัยคือ

ฉ(x,ย)=ก(x,ย),

จากนั้นเราจะแยกแยะด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ

แก้สมการผลลัพธ์ของอนุพันธ์ ย′( x).

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์

A) คำจำกัดความของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความแตกต่าง บูรณาการ.

ย xx

ความหมายของอนุพันธ์

พิจารณาฟังก์ชัน ฉ(x x 0. จากนั้นฟังก์ชัน ฉ(x) เป็น หาความแตกต่างได้ตรงจุด x 0 และเธอ อนุพันธ์ถูกกำหนดโดยสูตร

ฉ′( x 0)=ลิมเดล x→0Δ ยΔ x=ลิมเดล x→0ฉ(x 0+Δ x)−ฉ(x 0)Δ x.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ และในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ อนุพันธ์พร้อมกับอินทิกรัลนั้นครองตำแหน่งศูนย์กลาง กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. การดำเนินการผกผัน - การกู้คืนฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่รู้จัก - เรียกว่า บูรณาการ.

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งจะกำหนดลักษณะเฉพาะของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น การประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงสามารถรับได้โดยการคำนวณอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชัน Δ ยถึงการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในอาร์กิวเมนต์ Δ x. ในคำจำกัดความของอนุพันธ์ ความสัมพันธ์ดังกล่าวจะถือว่าอยู่ในขีดจำกัดภายใต้เงื่อนไข Δ x→0. มาดูสูตรที่เข้มงวดกว่านี้กันดีกว่า:

ความหมายของอนุพันธ์

พิจารณาฟังก์ชัน ฉ(x) โดเมนที่มีช่วงเปิดอยู่รอบจุด x 0. จากนั้นฟังก์ชัน ฉ(x) เป็น หาความแตกต่างได้ตรงจุด x 0 และเธอ อนุพันธ์ถูกกำหนดโดยสูตร

ฉ′( x 0)=ลิมเดล x→0Δ ยΔ x=ลิมเดล x→0ฉ(x 0+Δ x)−ฉ(x 0)Δ x.

B) ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่คำนวณตามค่าที่กำหนดจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากทิศทางบวกของแกนและทิศทางบวกของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันนี้ที่จุดที่มี abscissa:

ถ้าฟังก์ชันมีอนุพันธ์จำกัด ณ จุดหนึ่ง บริเวณใกล้เคียงนั้นสามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าแทนเจนต์ที่จุด Number

D) ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานที่ง่ายที่สุด

โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์

โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ aคือโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์สร้างขึ้นด้วยพิกัดครึ่งแกนบวก

ในการค้นหาโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ a จำเป็นต้องหารพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ด้วยค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์

คุณสมบัติ:ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์ทิศทางเท่ากับหนึ่ง

ดังนั้น ในกรณีที่เครื่องบินมีปัญหาโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ a = (ax; ay) พบได้จากสูตร:

ตัวอย่างการคำนวณโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์:

ค้นหาโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ a = (3; 4)

วิธีแก้ไข: |ก| =

ดังนั้นเข้า กรณีปัญหาเชิงพื้นที่โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ a = (ax; ay; az) พบได้จากสูตร:

ตัวอย่างการคำนวณโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์

ค้นหาโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ a = (2; 4; 4)

วิธีแก้ไข: |ก| =

ทิศทางของเวกเตอร์ในอวกาศถูกกำหนดโดยมุมที่เวกเตอร์ก่อตัวด้วยแกนพิกัด (รูปที่ 12) โคไซน์ของมุมเหล่านี้เรียกว่า โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์: , , . จากคุณสมบัติของเส้นโครง:, , . เพราะฉะนั้น, มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น 2) พิกัดของเวกเตอร์หน่วยใด ๆ ตรงกับโคไซน์ทิศทาง: .

"วิธีหาโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์"

แสดงด้วยอัลฟ่า, เบต้าและแกมม่ามุมที่เกิดจากเวกเตอร์ a โดยมีทิศทางบวกของแกนพิกัด (ดูรูปที่ 1) โคไซน์ของมุมเหล่านี้เรียกว่าโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ a

เนื่องจากพิกัด a ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนเท่ากับเส้นโครงของเวกเตอร์ลงบนแกนพิกัด ดังนั้น a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (แกมมา). ดังนั้น: cos (alpha)=a1||a|, cos(beta) =a2||a|, cos(gamma)= a3/|a| ในกรณีนี้ |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2) ดังนั้น cos (alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2)

ควรสังเกตคุณสมบัติหลักของโคไซน์ทิศทาง ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์เท่ากับหนึ่ง โดยแท้แล้ว cos^2(อัลฟา)+cos^2(เบตา)+cos^2(แกมมา)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1

วิธีแรก

ตัวอย่าง: ให้มา: เวกเตอร์ a=(1, 3, 5) ค้นหาโคไซน์ทิศทางของมัน สารละลาย. ตามสิ่งที่เราพบ เราเขียนดังนี้ |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91 ดังนั้น คำตอบสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0.16;0.5;0.84)

วิธีที่สอง

เมื่อค้นหาโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ a คุณสามารถใช้เทคนิคการหาโคไซน์ของมุมโดยใช้ผลคูณสเกลาร์ ในกรณีนี้ เราหมายถึงมุมระหว่าง a และเวกเตอร์หน่วยทิศทางของพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม i, j และ k พิกัดของพวกเขาคือ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) ตามลำดับ ควรจำไว้ว่าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์มีการกำหนดดังนี้

หากมุมระหว่างเวกเตอร์คือ φ ผลคูณสเกลาร์ของลมทั้งสอง (ตามคำจำกัดความ) จะเป็นตัวเลขเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และ cosφ (a, b) = |a||b|cos f. จากนั้น ถ้า b=i แล้ว (a, i) = |a||i|cos(alpha) หรือ a1 = |a|cos(alpha) นอกจากนี้ การกระทำทั้งหมดจะดำเนินการคล้ายกับวิธีที่ 1 โดยคำนึงถึงพิกัด j และ k

คำนิยาม

เวกเตอร์เรียกว่าคู่จุดเรียงลำดับ และ (นั่นคือ ทราบแน่ชัดว่าจุดใดในคู่นี้เป็นจุดแรก)

จุดแรกเรียกว่า จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และอย่างที่สองก็คือของเขา ตอนจบ.

เรียกว่าระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์.

เวกเตอร์ที่เรียกว่าจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน ศูนย์และเขียนแทนด้วย ; ความยาวของมันถือเป็นศูนย์ มิฉะนั้น ถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นบวก ก็จะเรียกว่าเวกเตอร์นั้น ไม่ใช่ศูนย์.

ความคิดเห็น. หากความยาวของเวกเตอร์เท่ากับ 1 ก็จะเรียกว่าเวกเตอร์ ออร์ตอมหรือ เวกเตอร์หน่วยและถูกกำหนดไว้

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย	ตรวจสอบว่าเป็นเวกเตอร์หรือไม่ เดี่ยว.
สารละลาย	ลองคำนวณความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนด ซึ่งจะเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด: เนื่องจากความยาวของเวกเตอร์เท่ากับ 1 จึงหมายความว่าเวกเตอร์นั้นเป็นออร์ธ
คำตอบ	เวกเตอร์หน่วย

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถกำหนดเป็นส่วนกำกับได้

ความคิดเห็น. ไม่ได้กำหนดทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์

โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์

คำนิยาม

ทิศทางโคไซน์ของเวกเตอร์บางตัวเรียกว่าโคไซน์ของมุมที่เวกเตอร์ก่อตัวโดยมีทิศทางบวกของแกนพิกัด

ความคิดเห็น. ทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยเฉพาะจากโคไซน์ทิศทางของมัน

ในการค้นหาโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำให้เวกเตอร์เป็นมาตรฐาน (นั่นคือ หารเวกเตอร์ด้วยความยาวของมัน):

ความคิดเห็น. พิกัดของเวกเตอร์หน่วยเท่ากับโคไซน์ทิศทางของมัน

ทฤษฎีบท

(คุณสมบัติของโคไซน์ทิศทาง) ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์ทิศทางเท่ากับ 1: