อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์

ในบทความนี้ เราจะดูงานทั่วไปอีกสองงานซึ่งมักพบในการทดสอบทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง เพื่อที่จะเชี่ยวชาญเนื้อหาได้สำเร็จ คุณจะต้องสามารถค้นหาอนุพันธ์ได้อย่างน้อยก็ในระดับกลาง คุณสามารถเรียนรู้ที่จะค้นหาอนุพันธ์ได้จริงตั้งแต่เริ่มต้นในบทเรียนพื้นฐานสองบทและ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน- หากทักษะการสร้างความแตกต่างของคุณโอเค ลุยเลย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย

หรือเรียกสั้นๆ ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย ฟังก์ชันโดยนัยคืออะไร? ก่อนอื่น เรามาจำคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งกันก่อน:

ฟังก์ชันตัวแปรเดี่ยวเป็นกฎเกณฑ์ที่แต่ละค่าของตัวแปรอิสระสอดคล้องกับค่าเดียวของฟังก์ชัน

ตัวแปรนี้เรียกว่า ตัวแปรอิสระหรือ การโต้แย้ง.
ตัวแปรนี้เรียกว่า ตัวแปรตามหรือ การทำงาน .

จนถึงตอนนี้เราได้ดูฟังก์ชันที่กำหนดไว้แล้ว ชัดเจนรูปร่าง. มันหมายความว่าอะไร? เรามาดำเนินการซักถามโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกันดีกว่า

พิจารณาฟังก์ชัน

เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี "ผู้เล่น" คนเดียวและทางขวา - แค่ "X" เท่านั้น- นั่นก็คือฟังก์ชัน อย่างชัดเจนแสดงผ่านตัวแปรอิสระ

ลองดูฟังก์ชันอื่น:

นี่คือจุดที่ตัวแปรปะปนกัน นอกจากนี้ เป็นไปไม่ได้ไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตามแสดง "Y" ผ่าน "X" เท่านั้น วิธีการเหล่านี้มีอะไรบ้าง? การโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย การย้ายออกจากวงเล็บ การโยนตัวประกอบตามกฎสัดส่วน ฯลฯ เขียนความเท่าเทียมกันใหม่และพยายามแสดงตัว "y" อย่างชัดเจน: . คุณสามารถบิดและหมุนสมการได้หลายชั่วโมง แต่คุณจะไม่สำเร็จ

ให้ฉันแนะนำคุณ: – ตัวอย่าง ฟังก์ชันโดยนัย.

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็ได้รับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันโดยนัย มีอยู่จริง(แต่ก็ไม่เสมอไป) มันมีกราฟ (เหมือนกับฟังก์ชัน “ปกติ”) ฟังก์ชันโดยนัยเหมือนกันทุกประการ มีอยู่จริงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง, อนุพันธ์อันดับสอง, ฯลฯ อย่างที่พวกเขาพูด เคารพสิทธิทั้งหมดของชนกลุ่มน้อยทางเพศ

และในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย มันไม่ยากขนาดนั้น! กฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานยังคงมีผลใช้บังคับ ความแตกต่างอยู่ในช่วงเวลาที่แปลกประหลาดซึ่งเราจะมาดูกันในตอนนี้

ใช่แล้วฉันจะแจ้งข่าวดีให้คุณทราบ - งานที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ดำเนินการตามอัลกอริธึมที่ค่อนข้างเข้มงวดและชัดเจนโดยไม่ต้องรอหน้าสามแทร็ก

ตัวอย่างที่ 1

1) ในระยะแรกเราแนบลายเส้นทั้งสองส่วน:

2) เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นของอนุพันธ์ (กฎสองข้อแรกของบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา):

3) การสร้างความแตกต่างโดยตรง
วิธีแยกความแตกต่างมีความชัดเจนอย่างสมบูรณ์ จะทำอย่างไรเมื่อมี "เกม" อยู่ภายใต้จังหวะ?

- ถึงขั้นอัปยศอดสู อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับอนุพันธ์ของมัน: .

วิธีแยกแยะ
ที่นี่เรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ทำไม ดูเหมือนว่าใต้ไซน์จะมีตัวอักษร "Y" เพียงตัวเดียวเท่านั้น แต่ความจริงก็คือมีตัวอักษร "y" เพียงตัวเดียวเท่านั้น - ตัวเองเป็นหน้าที่(ดูคำจำกัดความตอนต้นบทเรียน) ดังนั้นไซน์จึงเป็นฟังก์ชันภายนอกและเป็นฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

เราสร้างความแตกต่างให้กับผลิตภัณฑ์ตามกฎปกติ :

โปรดทราบว่า – ก็เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนเช่นกัน “เกมที่มีเสียงระฆังและนกหวีด” ใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

วิธีแก้ปัญหาควรมีลักษณะดังนี้:


หากมีวงเล็บให้ขยายออก:

4) ทางด้านซ้ายเรารวบรวมคำศัพท์ที่มี "Y" พร้อมด้วยจำนวนเฉพาะ ย้ายทุกอย่างไปทางด้านขวา:

5) ทางด้านซ้ายเราจะนำอนุพันธ์ออกจากวงเล็บ:

6) และตามกฎของสัดส่วน เราใส่วงเล็บเหล่านี้ลงในตัวส่วนของด้านขวา:

พบอนุพันธ์แล้ว พร้อม.

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าฟังก์ชันใดๆ ก็ตามสามารถเขียนใหม่โดยปริยายได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: - และแยกความแตกต่างโดยใช้อัลกอริธึมที่เพิ่งกล่าวถึง ในความเป็นจริงวลี "ฟังก์ชันโดยนัย" และ "ฟังก์ชันโดยนัย" แตกต่างกันในความหมายที่แตกต่างกันนิดหน่อย วลี "ฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย" เป็นคำทั่วไปและถูกต้องมากกว่า – ฟังก์ชั่นนี้ระบุไว้โดยปริยาย แต่ที่นี่คุณสามารถแสดง “เกม” และนำเสนอฟังก์ชั่นได้อย่างชัดเจน วลี “ฟังก์ชันโดยนัย” หมายถึงฟังก์ชันโดยนัย “คลาสสิก” เมื่อไม่สามารถแสดง “y” ได้

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

ความสนใจ!คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับวิธีที่สองได้ก็ต่อเมื่อคุณรู้วิธีค้นหาอย่างมั่นใจ อนุพันธ์บางส่วน- ขอมือใหม่แคลคูลัสและมือใหม่หน่อยครับ อย่าอ่านและข้ามจุดนี้ไม่อย่างนั้นหัวคุณจะเละเทะไปหมด

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยโดยใช้วิธีที่สอง

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

และพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

จากนั้นหาอนุพันธ์ของเราได้โดยใช้สูตร
มาหาอนุพันธ์บางส่วน:

ดังนั้น:

แนวทางที่สองช่วยให้คุณสามารถทำการตรวจสอบได้ แต่ไม่แนะนำให้พวกเขาเขียนเวอร์ชันสุดท้ายของการบ้านเนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนจะได้รับการเรียนรู้ในภายหลังและนักเรียนที่ศึกษาหัวข้อ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว" ยังไม่ควรรู้อนุพันธ์บางส่วน

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เพิ่มจังหวะทั้งสองส่วน:

เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้น:

การหาอนุพันธ์:

การเปิดวงเล็บทั้งหมด:

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย ส่วนที่เหลือไปทางขวา:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่เศษส่วนจะเกิดขึ้นหลังจากการหาอนุพันธ์ ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องกำจัดเศษส่วนออก ลองดูอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เราใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีดและใช้กฎความเป็นเส้นตรง:

แยกความแตกต่างโดยใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน และกฎการแยกความแตกต่างของผลหาร :

การขยายวงเล็บ:

ตอนนี้เราต้องกำจัดเศษส่วนออก. ซึ่งสามารถทำได้ในภายหลัง แต่มีเหตุผลมากกว่าที่จะทำทันที ตัวส่วนของเศษส่วนประกอบด้วย คูณ บน . โดยรายละเอียดจะมีลักษณะดังนี้:

บางครั้งหลังจากการแยกความแตกต่าง 2-3 เศษส่วนจะปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่น หากเรามีเศษส่วนอีกตัวหนึ่ง ก็ต้องดำเนินการซ้ำ - คูณ แต่ละเทอมของแต่ละส่วนบน

ทางด้านซ้ายเราใส่มันออกจากวงเล็บ:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สิ่งเดียวก็คือก่อนที่คุณจะกำจัดเศษส่วน คุณจะต้องกำจัดโครงสร้างสามชั้นของเศษส่วนเสียก่อน เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์

อย่าเครียด ทุกอย่างในย่อหน้านี้ก็ค่อนข้างง่ายเช่นกัน คุณสามารถเขียนสูตรทั่วไปสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ได้ แต่เพื่อให้ชัดเจน ผมจะเขียนตัวอย่างเฉพาะเจาะจงทันที ในรูปแบบพาราเมตริก ฟังก์ชันจะได้รับจากสมการสองสมการ: บ่อยครั้งที่สมการไม่ได้เขียนอยู่ใต้วงเล็บปีกกา แต่เขียนตามลำดับ: , .

ตัวแปรนี้เรียกว่าพารามิเตอร์และสามารถนำค่าจาก “ลบอนันต์” ไปเป็น “บวกอนันต์” ได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาค่าและแทนที่ลงในสมการทั้งสอง: - หรือในแง่มนุษย์: “ถ้า x เท่ากับสี่ แล้ว y ก็เท่ากับหนึ่ง” คุณสามารถทำเครื่องหมายจุดบนระนาบพิกัดได้ และจุดนี้จะสอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาจุดสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ “te” ได้ สำหรับฟังก์ชัน "ปกติ" สำหรับชาวอเมริกันอินเดียนของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพาราเมตริก สิทธิ์ทั้งหมดก็ได้รับการเคารพเช่นกัน: คุณสามารถสร้างกราฟ ค้นหาอนุพันธ์ ฯลฯ อย่างไรก็ตาม หากคุณต้องการพล็อตกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ คุณสามารถใช้โปรแกรมของฉันได้

ในกรณีที่ง่ายที่สุด เป็นไปได้ที่จะแสดงฟังก์ชันอย่างชัดเจน ให้เราแสดงพารามิเตอร์จากสมการแรก: – และแทนที่มันลงในสมการที่สอง: - ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันลูกบาศก์ธรรมดา

ในกรณีที่ "รุนแรง" มากขึ้น เคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้ผล แต่มันไม่สำคัญเพราะมีสูตรสำหรับค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริก:

เราพบอนุพันธ์ของ "เกมที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร te":

กฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์นั้นใช้ได้สำหรับตัวอักษร ดังนั้น ไม่มีความแปลกใหม่ในกระบวนการค้นหาอนุพันธ์- เพียงแทนที่ "X's" ทั้งหมดในตารางด้วยตัวอักษร "Te"

เราค้นหาอนุพันธ์ของ “x เทียบกับตัวแปร te”:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสูตรของเรา:

พร้อม. อนุพันธ์ก็ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เช่นเดียวกับฟังก์ชันนั่นเอง

สำหรับสัญลักษณ์ แทนที่จะเขียนลงในสูตร เราสามารถเขียนมันโดยไม่ต้องมีตัวห้อยได้ เนื่องจากนี่คืออนุพันธ์ "ปกติ" "เทียบกับ X" แต่ในวรรณกรรมมีตัวเลือกอยู่เสมอ ดังนั้นฉันจะไม่เบี่ยงเบนไปจากมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 6

เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

ดังนั้น:

คุณลักษณะพิเศษในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริกก็คือข้อเท็จจริงที่ว่า ในแต่ละขั้นตอนจะเป็นประโยชน์ในการลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ให้มากที่สุด- ดังนั้น ในตัวอย่างที่พิจารณา เมื่อฉันพบมัน ฉันจึงเปิดวงเล็บใต้รูต (แม้ว่าฉันอาจจะไม่ได้ทำเช่นนี้ก็ตาม) มีโอกาสดีที่เมื่อนำมาแทนสูตรหลายอย่างจะลดลงไปด้วยดี แม้ว่าแน่นอนว่ายังมีตัวอย่างที่มีคำตอบเงอะงะอยู่บ้าง

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

ในบทความ ปัญหาทั่วไปที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับอนุพันธ์เราดูตัวอย่างที่เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ คุณยังสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ ซึ่งพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: เห็นได้ชัดว่าในการหาอนุพันธ์อันดับสอง คุณต้องหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งก่อน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์อันดับแรกกันก่อน
เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสูตร เพื่อให้เข้าใจง่าย เราใช้สูตรตรีโกณมิติ:

จนถึงขณะนี้ เราได้พิจารณาสมการของเส้นบนระนาบที่เชื่อมโยงพิกัดปัจจุบันของจุดของเส้นเหล่านี้โดยตรง อย่างไรก็ตาม มักใช้วิธีอื่นในการกำหนดเส้นตรง ซึ่งพิกัดปัจจุบันถือเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวที่สาม

ให้ฟังก์ชันสองฟังก์ชันของตัวแปรได้รับ

พิจารณาค่า t เท่ากัน จากนั้นค่าใด ๆ ของ t เหล่านี้จะสอดคล้องกับค่าที่แน่นอนและค่าหนึ่งของ y และดังนั้นจึงถึงจุดหนึ่ง เมื่อตัวแปร t วิ่งผ่านค่าทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน (73) จุดจะอธิบายเส้น C ในระนาบ สมการ (73) เรียกว่าสมการพาราเมตริกของเส้นนี้และตัวแปรถูกเรียก พารามิเตอร์

สมมติว่าฟังก์ชันนี้มีฟังก์ชันผกผัน เมื่อแทนฟังก์ชันนี้ลงในสมการที่สอง (73) เราจะได้สมการ

แสดง y เป็นฟังก์ชัน

ให้เราตกลงที่จะบอกว่าฟังก์ชันนี้ได้รับจากสมการแบบพาราเมตริก (73) การเปลี่ยนจากสมการเหล่านี้เป็นสมการ (74) เรียกว่าการกำจัดพารามิเตอร์ เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก การยกเว้นพารามิเตอร์ไม่เพียงแต่ไม่จำเป็น แต่ยังเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติเสมอไปอีกด้วย

ในหลายกรณีจะสะดวกกว่ามากเมื่อพิจารณาค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันเพื่อคำนวณโดยใช้สูตร (73) ค่าที่สอดคล้องกันของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชัน y

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 ให้เป็นจุดใดก็ได้บนวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมี R พิกัดคาร์ทีเซียน x และ y ของจุดนี้แสดงผ่านรัศมีเชิงขั้วและมุมเชิงขั้วของมัน ซึ่งเราแสดง ณ ที่นี้ด้วย t ดังนี้ ( ดูบทที่ 1 § 3 วรรค 3):

สมการ (75) เรียกว่าสมการพาราเมตริกของวงกลม พารามิเตอร์ในนั้นคือมุมเชิงขั้วซึ่งแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง

หากสมการ (75) ถูกยกกำลังสองทีละเทอมและเพิ่มเข้าไป ดังนั้นพารามิเตอร์จะถูกกำจัดโดยอาศัยเอกลักษณ์ และได้รับสมการของวงกลมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งกำหนดฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน:

แต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ได้รับการระบุแบบพาราเมตริกด้วยสมการ (75) แต่ช่วงพารามิเตอร์สำหรับฟังก์ชันเหล่านี้จะแตกต่างกัน สำหรับคนแรก; กราฟของฟังก์ชันนี้คือครึ่งวงกลมบน สำหรับฟังก์ชันที่สอง กราฟของมันคือครึ่งวงกลมล่าง

ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาวงรีพร้อมกัน

และวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมี a (รูปที่ 138)

ในแต่ละจุด M ของวงรี เราจะเชื่อมโยงจุด N ของวงกลม ซึ่งมีจุดหักมุมเหมือนกับจุด M และอยู่บนด้านเดียวกันของแกน Ox ตำแหน่งของจุด N และจุด M จึงถูกกำหนดโดยมุมเชิงขั้ว t ของจุด ในกรณีนี้ สำหรับจุด Abscissa ทั่วไป เราได้นิพจน์ต่อไปนี้: x = a เราพบพิกัดที่จุด M จากสมการของวงรี:

เครื่องหมายที่เลือกเพราะพิกัดของจุด M และพิกัดของจุด N ต้องมีเครื่องหมายเหมือนกัน

ดังนั้น จะได้สมการพาราเมตริกต่อไปนี้สำหรับวงรี:

ที่นี่พารามิเตอร์ t แตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง

ตัวอย่างที่ 3 พิจารณาวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด a) และรัศมี a ซึ่งสัมผัสกับแกน x ที่จุดกำเนิดอย่างชัดเจน (รูปที่ 139) สมมติว่าวงกลมนี้หมุนโดยไม่เลื่อนไปตามแกน x จากนั้นจุด M ของวงกลมซึ่งในช่วงแรกตรงกับที่มาของพิกัดจะอธิบายเส้นที่เรียกว่าไซโคลิด

ให้เราหาสมการพาราเมตริกของไซโคลิดโดยใช้พารามิเตอร์ t มุม MSV ของการหมุนของวงกลมเมื่อย้ายจุดคงที่จากตำแหน่ง O ไปยังตำแหน่ง M จากนั้นสำหรับพิกัดและ y ของจุด M เราได้นิพจน์ต่อไปนี้:

เนื่องจากวงกลมหมุนไปตามแกนโดยไม่ลื่นไถล ความยาวของส่วน OB จึงเท่ากับความยาวของส่วนโค้ง BM เนื่องจากความยาวของส่วนโค้ง BM เท่ากับผลคูณของรัศมี a และมุมที่ศูนย์กลาง t ดังนั้น . นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม แต่ด้วยเหตุนี้

สมการเหล่านี้เป็นสมการพาราเมตริกของไซโคลิด เมื่อพารามิเตอร์ t เปลี่ยนจาก 0 เป็นวงกลมจะทำให้เกิดการปฏิวัติเต็มหนึ่งครั้ง จุด M จะอธิบายส่วนโค้งหนึ่งของไซโคลิด

การยกเว้นพารามิเตอร์ t ที่นี่ทำให้เกิดการแสดงออกที่ยุ่งยากและในทางปฏิบัติทำไม่ได้

คำจำกัดความแบบพาราเมตริกของเส้นมักใช้ในกลศาสตร์ และบทบาทของพารามิเตอร์จะเล่นตามเวลา

ตัวอย่างที่ 4 ขอให้เรากำหนดวิถีกระสุนปืนที่ยิงจากปืนด้วยความเร็วเริ่มต้นที่มุม a ถึงแนวนอน เราละเลยความต้านทานอากาศและขนาดของกระสุนปืนโดยพิจารณาว่าเป็นจุดวัสดุ

เรามาเลือกระบบพิกัดกัน ให้เรานำจุดที่กระสุนปืนออกจากปากกระบอกปืนเป็นที่มาของพิกัด ลองกำหนดทิศทางแกน Ox ในแนวนอน และแกน Oy ในแนวตั้ง โดยวางไว้ในระนาบเดียวกันกับปากกระบอกปืน หากไม่มีแรงโน้มถ่วง กระสุนปืนก็จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ทำให้มุม a กับแกน Ox และเมื่อถึงเวลา t มันจะเคลื่อนที่เป็นระยะทาง ถึง: . เนื่องจากแรงโน้มถ่วง กระสุนปืนจะต้องลดลงในแนวตั้งตามจำนวน ดังนั้น ในความเป็นจริง ณ เวลา t พิกัดของกระสุนปืนจึงถูกกำหนดโดยสูตร:

สมการเหล่านี้มีปริมาณคงที่ เมื่อมีการเปลี่ยนแปลง พิกัดที่จุดวิถีกระสุนปืนก็จะเปลี่ยนไปด้วย สมการคือสมการพาราเมตริกของวิถีกระสุนปืน ซึ่งพารามิเตอร์คือเวลา

แสดงจากสมการแรกแล้วแทนลงใน

สมการที่สอง เราได้สมการของวิถีกระสุนปืนในรูปแบบ นี่คือสมการของพาราโบลา

ลองพิจารณากำหนดเส้นตรงบนระนาบโดยที่ตัวแปร x, y เป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวที่สาม t (เรียกว่าพารามิเตอร์):

สำหรับแต่ละค่า ทีจากช่วงเวลาหนึ่งค่าบางอย่างจะสอดคล้องกัน xและ ใช่แล้วดังนั้น จุดใดจุดหนึ่ง M (x, y) ของระนาบ เมื่อไร ทีวิ่งผ่านค่าทั้งหมดจากช่วงเวลาที่กำหนดจากนั้นจึงถึงจุด ม (เอ็กซ์, ย) อธิบายบางบรรทัด ล- สมการ (2.2) เรียกว่าสมการเส้นพาราเมตริก ล.

หากฟังก์ชัน x = φ(t) มีค่าผกผัน t = Ф(x) จากนั้นแทนที่นิพจน์นี้ลงในสมการ y = g(t) เราจะได้ y = g(Ф(x)) ซึ่งระบุ ยเป็นหน้าที่ของ x- ในกรณีนี้ เราบอกว่าสมการ (2.2) เป็นตัวกำหนดฟังก์ชัน ยแบบพาราเมตริก

ตัวอย่างที่ 1อนุญาต ม(x,ย)– จุดใดก็ได้บนวงกลมรัศมี รและมุ่งไปที่จุดกำเนิด อนุญาต ที– มุมระหว่างแกน วัวและรัศมี โอม(ดูรูปที่ 2.3) แล้ว เอ็กซ์, ยแสดงออกผ่าน เสื้อ:

สมการ (2.3) คือสมการพาราเมตริกของวงกลม ให้เราแยกพารามิเตอร์ t ออกจากสมการ (2.3) ในการทำเช่นนี้ เรายกกำลังสองแต่ละสมการแล้วบวกเข้าไป เราจะได้: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) หรือ x 2 + y 2 = R 2 – สมการของวงกลมในคาร์ทีเซียน ระบบพิกัด. โดยกำหนดฟังก์ชันสองรายการ: แต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กำหนดโดยสมการพาราเมตริก (2.3) แต่สำหรับฟังก์ชันแรก และสำหรับฟังก์ชันที่สอง

ตัวอย่างที่ 2- สมการพาราเมตริก

กำหนดวงรีด้วยครึ่งแกน ก, ข(รูปที่ 2.4) การแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการ ทีเราได้สมการทางบัญญัติของวงรี:

ตัวอย่างที่ 3- ไซโคลิดคือเส้นที่อธิบายโดยจุดที่วางอยู่บนวงกลม ถ้าวงกลมนี้ม้วนโดยไม่เลื่อนเป็นเส้นตรง (รูปที่ 2.5) ให้เราแนะนำสมการพาราเมตริกของไซโคลิด ให้รัศมีของวงกลมกลิ้งเป็น ก, จุด มอธิบายถึงไซโคลิดที่จุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวใกล้เคียงกับที่มาของพิกัด

มากำหนดพิกัดกัน x, y จุด มหลังจากที่วงกลมหมุนไปเป็นมุมแล้ว ที
(รูปที่ 2.5) เสื้อ = ÐMCB- ความยาวส่วนโค้ง บธ.เท่ากับความยาวของส่วน โอ.บี.เนื่องจากวงกลมหมุนได้ไม่ลื่นไถล

OB = ที่, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost)

ดังนั้นจะได้สมการพาราเมตริกของไซโคลิด:

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีจาก 0 ถึง 2πวงกลมหมุนหนึ่งรอบและจุด มอธิบายส่วนโค้งหนึ่งของไซโคลิด สมการ (2.5) ให้ ยเป็นหน้าที่ของ x- แม้ว่าฟังก์ชั่น x = ก(t – บาป)มีฟังก์ชันผกผัน แต่ไม่ได้แสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน จึงเป็นฟังก์ชัน ย = ฉ(x)ไม่ได้แสดงออกผ่านฟังก์ชันเบื้องต้น

ให้เราพิจารณาความแตกต่างของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริกโดยสมการ (2.2) ฟังก์ชัน x = φ(t) ในช่วงหนึ่งของการเปลี่ยนแปลง t มีฟังก์ชันผกผัน เสื้อ = Ф(x), แล้ว y = ก(Ф(x))- อนุญาต x = φ(เสื้อ), y = ก.(t)มีอนุพันธ์และ x"t≠0- ตามกฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน y"x=y"t×t"x.ตามกฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันผกผัน ดังนั้น:

สูตรผลลัพธ์ (2.6) ช่วยให้สามารถค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

ตัวอย่างที่ 4 ให้ฟังก์ชัน ยขึ้นอยู่กับ xถูกระบุแบบพาราเมตริก:

สารละลาย. .
ตัวอย่างที่ 5หาความชัน เคสัมผัสกับไซโคลิดที่จุด M 0 ซึ่งสอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์
สารละลาย.จากสมการไซโคลิด: y" t = asint, x" t = a(1 – ราคา),นั่นเป็นเหตุผล

ความชันสัมผัสที่จุดหนึ่ง M0เท่ากับค่าที่ เสื้อ 0 = π/4:

ฟังก์ชั่นที่แตกต่าง

ให้ฟังก์ชันตรงจุด x 0มีอนุพันธ์ A-ไพรเออรี่:
ดังนั้นตามคุณสมบัติของขีดจำกัด (ข้อ 1.8) โดยที่ ก– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ ∆x → 0- จากที่นี่

Δy = ฉ "(x0)Δx + α×Δx (2.7)

เนื่องจาก Δx → 0 เทอมที่สองของความเท่าเทียมกัน (2.7) จึงมีลำดับที่สูงกว่าเพียงเล็กน้อย เมื่อเปรียบเทียบกับ ดังนั้น Δy และ f " (x 0)×Δx จึงเทียบเท่ากัน มีค่าน้อยมาก (สำหรับ f "(x 0) ≠ 0)

ดังนั้น การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δy จึงประกอบด้วยสองพจน์ โดยที่ f "(x 0)×Δx ตัวแรกคือ ส่วนสำคัญ การเพิ่มขึ้น Δy เชิงเส้นเทียบกับ Δx (สำหรับ f "(x 0)≠ 0)

ดิฟเฟอเรนเชียลฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 เรียกว่าส่วนหลักของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันและแสดงแทน: ดี้หรือ df(x0)- เพราะฉะนั้น,

df (x0) =f "(x0)×Δx (2.8)

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาส่วนต่างของฟังก์ชัน ดี้และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δy สำหรับฟังก์ชัน y = x 2 ที่:
1) โดยพลการ xและ ∆ x- 2) x 0 = 20, Δx = 0.1

สารละลาย

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx

2) ถ้า x 0 = 20, Δx = 0.1 แล้ว Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; dy = 40×0.1= 4.

ให้เราเขียนความเท่าเทียมกัน (2.7) ในรูปแบบ:

Δy = dy + a×Δx (2.9)

การเพิ่มขึ้น Δy แตกต่างจากส่วนต่าง ดี้ไปสู่ลำดับที่สูงกว่าเล็กน้อย เมื่อเทียบกับ Δx ดังนั้น ในการคำนวณโดยประมาณ ค่าความเท่าเทียมกันโดยประมาณ Δy data dy จะถูกใช้หาก Δx มีค่าน้อยเพียงพอ

เมื่อพิจารณาว่า Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) เราจะได้สูตรโดยประมาณ:

f(x 0 + Δx) µ f(x 0) + dy (2.10)

ตัวอย่างที่ 2- คำนวณประมาณ.

สารละลาย.พิจารณา:

เมื่อใช้สูตร (2.10) เราได้รับ:

ดังนั้น อยู่ที่ 2.025

ให้เราพิจารณาความหมายทางเรขาคณิตของส่วนต่าง df(x 0)(รูปที่ 2.6)

ขอให้เราวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด M 0 (x0, f(x 0)) ให้ φ เป็นมุมระหว่างแทนเจนต์ KM0 และแกน Ox จากนั้น f"( x 0) = แทนφ จาก ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0) แต่ PN คือส่วนเพิ่มของการเรียงลำดับแทนเจนต์เมื่อ x เปลี่ยนจาก x 0 เป็น x 0 + Δx

ดังนั้น ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 จึงเท่ากับส่วนเพิ่มของการเรียงลำดับของแทนเจนต์

ลองหาส่วนต่างของฟังก์ชันกัน
ย = x เนื่องจาก (x)" = 1 ดังนั้น dx = 1×Δx = Δx เราจะถือว่าค่าอนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ x เท่ากับส่วนที่เพิ่มขึ้น นั่นคือ dx = Δx

หาก x เป็นจำนวนใดก็ได้จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน (2.8) เราจะได้ df(x) = f "(x)dx ดังนั้น .
ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เท่ากับอัตราส่วนของส่วนต่างของมันต่อส่วนต่างของอาร์กิวเมนต์

ลองพิจารณาคุณสมบัติของอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

ถ้า u(x), v(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ สูตรต่อไปนี้จะใช้ได้:

เพื่อพิสูจน์สูตรเหล่านี้ จะใช้สูตรอนุพันธ์สำหรับผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหารของฟังก์ชัน ให้เราพิสูจน์ตัวอย่างสูตร (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du

ลองพิจารณาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: y = f(x), x = φ(t) เช่น y = ฉ(φ(t))

จากนั้น dy = y" t dt แต่ y" t = y" x ×x" t ดังนั้น dy =y" x x" t dt พิจารณา,

ว่า x" t = dx เราจะได้ dy = y" x dx =f "(x)dx

ดังนั้นค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน y = f(x) โดยที่ x =φ(t) มีรูปแบบ dy = f "(x)dx เช่นเดียวกับในกรณีที่ x เป็นตัวแปรอิสระ คุณสมบัตินี้ ถูกเรียก ความคงที่ของรูปแบบของส่วนต่าง ก.

อย่าเครียด ทุกอย่างในย่อหน้านี้ก็ค่อนข้างง่ายเช่นกัน คุณสามารถเขียนสูตรทั่วไปสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ได้ แต่เพื่อให้ชัดเจน ผมจะเขียนตัวอย่างเฉพาะเจาะจงทันที ในรูปแบบพาราเมตริก ฟังก์ชันจะได้รับจากสมการสองสมการ: บ่อยครั้งที่สมการไม่ได้เขียนอยู่ใต้วงเล็บปีกกา แต่เขียนตามลำดับ: , .

ตัวแปรนี้เรียกว่าพารามิเตอร์และสามารถรับค่าจาก "ลบอนันต์" ถึง "บวกอนันต์" ตัวอย่างเช่น พิจารณาค่าและแทนที่ลงในสมการทั้งสอง: - หรือในแง่มนุษย์: “ถ้า x เท่ากับสี่ แล้ว y ก็เท่ากับหนึ่ง” คุณสามารถทำเครื่องหมายจุดบนระนาบพิกัดได้ และจุดนี้จะสอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาจุดสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ “te” ได้ สำหรับฟังก์ชัน "ปกติ" สำหรับชาวอเมริกันอินเดียนของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพาราเมตริก สิทธิ์ทั้งหมดก็ได้รับการเคารพเช่นกัน: คุณสามารถสร้างกราฟ ค้นหาอนุพันธ์ ฯลฯ อย่างไรก็ตาม หากคุณต้องการพล็อตกราฟของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก ให้ดาวน์โหลดโปรแกรมเรขาคณิตของฉันในหน้านั้น สูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง.

ในกรณีที่ง่ายที่สุด เป็นไปได้ที่จะแสดงฟังก์ชันอย่างชัดเจน ให้เราแสดงพารามิเตอร์จากสมการแรก: – และแทนที่มันลงในสมการที่สอง: - ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันลูกบาศก์ธรรมดา

ในกรณีที่ "รุนแรง" มากขึ้น เคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้ผล แต่มันไม่สำคัญเพราะมีสูตรสำหรับค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริก:

เราพบอนุพันธ์ของ "เกมที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร te":

กฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์นั้นใช้ได้สำหรับตัวอักษร ดังนั้น ไม่มีความแปลกใหม่ในกระบวนการค้นหาอนุพันธ์- เพียงแทนที่ "X's" ทั้งหมดในตารางด้วยตัวอักษร "Te"

เราค้นหาอนุพันธ์ของ “x เทียบกับตัวแปร te”:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสูตรของเรา:

พร้อม. อนุพันธ์ก็ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เช่นเดียวกับฟังก์ชันนั่นเอง

สำหรับสัญลักษณ์ แทนที่จะเขียนลงในสูตร เราสามารถเขียนมันโดยไม่ต้องมีตัวห้อยได้ เนื่องจากนี่คืออนุพันธ์ "ปกติ" "เทียบกับ X" แต่ในวรรณกรรมมีตัวเลือกอยู่เสมอ ดังนั้นฉันจะไม่เบี่ยงเบนไปจากมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 6

เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

ดังนั้น:

คุณลักษณะพิเศษในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริกก็คือข้อเท็จจริงที่ว่า ในแต่ละขั้นตอนจะเป็นประโยชน์ในการลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ให้มากที่สุด- ดังนั้น ในตัวอย่างที่พิจารณา เมื่อฉันพบมัน ฉันจึงเปิดวงเล็บใต้รูต (แม้ว่าฉันอาจจะไม่ได้ทำเช่นนี้ก็ตาม) มีโอกาสดีที่เมื่อนำมาแทนสูตรหลายอย่างจะลดลงไปด้วยดี แม้ว่าแน่นอนว่ายังมีตัวอย่างที่มีคำตอบเงอะงะอยู่บ้าง

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

ในบทความ ปัญหาทั่วไปที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับอนุพันธ์ เราดูตัวอย่างที่เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ คุณยังสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ ซึ่งพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: เห็นได้ชัดว่าในการหาอนุพันธ์อันดับสอง คุณต้องหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งก่อน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์อันดับแรกกันก่อน
เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

แทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสูตร เพื่อให้เข้าใจง่าย เราใช้สูตรตรีโกณมิติ:

ฉันสังเกตว่าในปัญหาการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริก บ่อยครั้งจำเป็นต้องใช้เพื่อทำให้ง่ายขึ้น สูตรตรีโกณมิติ - จำไว้หรือเก็บไว้ให้ใกล้มือ และอย่าพลาดโอกาสในการลดความซับซ้อนของผลลัพธ์และคำตอบระดับกลางแต่ละข้อ เพื่ออะไร? ตอนนี้เราต้องหาอนุพันธ์ของ และนี่ดีกว่าการหาอนุพันธ์ของ

ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน
เราใช้สูตร: .

มาดูสูตรของเรากัน พบตัวส่วนแล้วในขั้นตอนที่แล้ว ยังคงต้องหาตัวเศษ - อนุพันธ์ของอนุพันธ์ตัวแรกที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร "te":

ยังคงใช้สูตร:

เพื่อเสริมความแข็งแกร่งให้กับวัสดุ ฉันขอเสนอตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง

ตัวอย่างที่ 9

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาและสำหรับฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้มีประโยชน์ และตอนนี้คุณสามารถค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยายและจากฟังก์ชันพาราเมตริกได้อย่างง่ายดาย

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3: วิธีแก้ไข:






ดังนั้น: