รากที่สอง. ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง

การแปลงนิพจน์ที่มีรากและกำลังมักต้องกลับไปกลับมาระหว่างรากและกำลัง ในบทความนี้ เราจะมาดูกันว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเกิดขึ้นได้อย่างไร อะไรเป็นรากฐานของการเปลี่ยนผ่าน และจุดใดที่ข้อผิดพลาดมักเกิดขึ้น เราจะจัดเตรียมตัวอย่างทั่วไปทั้งหมดนี้พร้อมการวิเคราะห์โซลูชันโดยละเอียด

การนำทางหน้า

การเปลี่ยนจากยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเป็นราก

ความเป็นไปได้ที่จะย้ายจากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนไปยังรูทนั้นถูกกำหนดโดยคำจำกัดความของดีกรีนั้นเอง ลองนึกถึงวิธีการหาค่านี้: กำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m/n โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เรียกว่ารากที่ n ของ m นั่นคือ โดยที่ a>0 , m∈Z, n∈ N กำลังเศษส่วนของศูนย์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือในกรณีนี้ m จะไม่ถือเป็นจำนวนเต็มอีกต่อไป แต่เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น การหารด้วยศูนย์จะไม่เกิดขึ้น

ดังนั้นระดับจึงสามารถถูกแทนที่ด้วยรูทได้เสมอ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถไปจากถึง และระดับสามารถถูกแทนที่ด้วยรากได้ แต่คุณไม่ควรย้ายจากการแสดงออกไปยังรากเนื่องจากระดับในตอนแรกไม่สมเหตุสมผล (ไม่ได้กำหนดระดับของจำนวนลบ) แม้ว่ารากจะมีความหมายก็ตาม

อย่างที่คุณเห็น การเปลี่ยนจากกำลังของตัวเลขไปเป็นรากนั้นไม่มีอะไรยุ่งยากเลย การเปลี่ยนไปใช้รากของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนซึ่งฐานซึ่งมีการแสดงออกโดยพลการนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกัน โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงนี้ดำเนินการกับ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น การแสดงออก บน ODZ ทั้งหมดของตัวแปร x สำหรับนิพจน์นี้สามารถแทนที่ได้ด้วยรูท - และตั้งแต่ระดับปริญญา ไปที่รูท การแทนที่ดังกล่าวจะเกิดขึ้นสำหรับชุดตัวแปร x, y และ z จาก ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

แทนที่รากด้วยพลัง

การแทนที่แบบย้อนกลับก็เป็นไปได้เช่นกัน กล่าวคือ การแทนที่รากด้วยกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน มันขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันด้วยซึ่งในกรณีนี้จะใช้จากขวาไปซ้ายนั่นคือในรูปแบบ

ในแง่บวก การเปลี่ยนแปลงที่ระบุนั้นชัดเจน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแทนที่ดีกรีด้วย และไปจากรากถึงดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนของรูปแบบ

และสำหรับค่าลบ a ความเท่าเทียมกันไม่สมเหตุสมผล แต่รากยังสมเหตุสมผลอยู่ ตัวอย่างเช่น รากมีเหตุผล แต่ไม่สามารถแทนที่ด้วยพลังได้ เป็นไปได้ไหมที่จะแปลงพวกมันให้เป็นสำนวนที่มีพลัง? เป็นไปได้หากคุณดำเนินการแปลงเบื้องต้น ซึ่งประกอบด้วยการไปที่รากที่มีจำนวนไม่เป็นลบอยู่ข้างใต้ ซึ่งจากนั้นจะถูกแทนที่ด้วยยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน ให้เราแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นเหล่านี้คืออะไรและจะดำเนินการอย่างไร

ในกรณีของการรูท คุณสามารถทำการแปลงดังต่อไปนี้: - และเนื่องจาก 4 เป็นจำนวนบวก รากสุดท้ายจึงสามารถแทนที่ด้วยกำลังได้ และในกรณีที่สอง การหารากคี่ของจำนวนลบ−a (โดยที่ a เป็นบวก) แสดงออกมาด้วยความเท่าเทียมกัน ช่วยให้คุณสามารถแทนที่รูทด้วยนิพจน์ที่รากที่สามของทั้งสองสามารถถูกแทนที่ด้วยดีกรีแล้ว และจะอยู่ในรูปแบบ

ยังคงต้องพิจารณาว่ารากที่สำนวนอยู่นั้นถูกแทนที่ด้วยพลังที่มีสำนวนเหล่านี้อยู่ในฐานอย่างไร ไม่จำเป็นต้องรีบแทนที่ด้วย เราใช้ตัวอักษร A เพื่อแสดงถึงสำนวนบางอย่าง เรามายกตัวอย่างเพื่ออธิบายว่าเราหมายถึงอะไร ฉันแค่อยากจะแทนที่รูทด้วยดีกรีตามความเท่าเทียมกัน แต่การแทนที่ดังกล่าวมีความเหมาะสมภายใต้เงื่อนไข x−3≥0 เท่านั้น และสำหรับค่าที่เหลือของตัวแปร x จาก ODZ (เป็นไปตามเงื่อนไข x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

เนื่องจากการใช้สูตรที่ไม่ถูกต้อง จึงมักเกิดข้อผิดพลาดเมื่อย้ายจากรากไปสู่กำลัง ตัวอย่างเช่น ในตำราเรียน มอบหมายงานให้นำเสนอนิพจน์ในรูปกำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะ และให้คำตอบ ซึ่งทำให้เกิดคำถาม เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้ระบุข้อจำกัด b>0 และในตำราเรียนมีการเปลี่ยนแปลงจากการแสดงออก มีแนวโน้มมากที่สุดผ่านการเปลี่ยนแปลงของการแสดงออกที่ไม่ลงตัวดังต่อไปนี้

ถึงการแสดงออก การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดยังทำให้เกิดคำถาม เนื่องจากจะทำให้ DZ แคบลง

คำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: “ เราจะย้ายจากรูทไปสู่กำลังสำหรับค่าตัวแปรทั้งหมดจาก ODZ ได้อย่างไร” การทดแทนนี้ดำเนินการตามข้อความต่อไปนี้:

ก่อนที่จะพิสูจน์ผลลัพธ์ที่บันทึกไว้ เราจะยกตัวอย่างการใช้งานเพื่อการเปลี่ยนจากรากไปสู่พลัง ก่อนอื่น กลับไปที่นิพจน์ก่อน มันจะต้องถูกแทนที่ด้วยไม่ใช่ แต่โดย (ในกรณีนี้ m=2 เป็นจำนวนเต็มคู่ n=3 เป็นจำนวนเต็มธรรมชาติ) ตัวอย่างอื่น: .

ตอนนี้เหตุผลที่สัญญาไว้ของผลลัพธ์

เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มคี่ และ n เป็นจำนวนเต็มธรรมชาติคู่ ดังนั้นสำหรับชุดตัวแปรใดๆ จาก ODZ สำหรับนิพจน์ ค่าของนิพจน์ A จะเป็นค่าบวก (ถ้า m<0 ) или неотрицательно (если m>0) นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม .

เรามาดูผลลัพธ์ที่สองกันดีกว่า ให้ m เป็นจำนวนเต็มคี่บวก และ n เป็นจำนวนธรรมชาติคี่ สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรจาก ODZ ซึ่งค่าของนิพจน์ A ไม่เป็นลบ และซึ่งมันเป็นลบ

ผลลัพธ์ต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันสำหรับจำนวนเต็มลบและจำนวนคี่ m และจำนวนเต็มธรรมชาติคี่ n สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรจาก ODZ ซึ่งค่าของนิพจน์ A เป็นบวก และซึ่งมันเป็นลบ

ในที่สุดผลลัพธ์สุดท้าย ให้ m เป็นจำนวนเต็มคู่ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรจาก ODZ ซึ่งค่าของนิพจน์ A เป็นบวก (ถ้า m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), - และซึ่งมันเป็นลบ, . ดังนั้นหาก m เป็นจำนวนเต็มคู่ n คือจำนวนธรรมชาติใด ๆ ดังนั้นสำหรับชุดค่าใด ๆ ของตัวแปรจาก ODZ สำหรับนิพจน์ก็สามารถแทนที่ได้ด้วย

บรรณานุกรม.

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
2. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 11: ทางการศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ย. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. – อ.: การศึกษา, 2552.- 336 หน้า: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.

ถึงเวลาต้องจัดการมันแล้ว วิธีการสกัดราก- ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของราก โดยเฉพาะความเท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวน b ใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ

ด้านล่างเราจะดูวิธีการหลักในการแยกรากทีละรายการ

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน - แยกรากออกจากจำนวนธรรมชาติโดยใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ

ถ้าเป็นโต๊ะสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ หากคุณไม่มีมัน ก็สมเหตุสมผลที่จะใช้วิธีการแยกราก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสลายจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงเป็นพิเศษถึงสิ่งที่เป็นไปได้สำหรับรากที่มีเลขชี้กำลังคี่

สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาวิธีการที่ช่วยให้เราค้นหาตัวเลขของค่ารูทได้ตามลำดับ

มาเริ่มกันเลย.

การใช้โต๊ะสี่เหลี่ยม โต๊ะลูกบาศก์ ฯลฯ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากได้ ตารางเหล่านี้คืออะไร?

ตารางกำลังสองของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 99 รวม (แสดงด้านล่าง) ประกอบด้วยสองโซน โซนแรกของตารางจะอยู่บนพื้นหลังสีเทา โดยการเลือกแถวที่ต้องการและคอลัมน์เฉพาะ จะทำให้คุณสามารถเขียนตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 ได้ ตัวอย่างเช่น ลองเลือกแถวที่มี 8 สิบและคอลัมน์ 3 หน่วย ซึ่งเราได้แก้ไขหมายเลข 83 แล้ว โซนที่สองครอบครองส่วนที่เหลือของตาราง แต่ละเซลล์จะอยู่ที่จุดตัดของแถวหนึ่งกับบางคอลัมน์ และมีช่องสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่ตรงกันตั้งแต่ 0 ถึง 99 ที่จุดตัดของแถว 8 สิบและคอลัมน์ 3 ที่เราเลือกจะมีเซลล์ที่มีหมายเลข 6,889 ซึ่งเป็นกำลังสองของหมายเลข 83

ตารางลูกบาศก์ ตารางกำลังสี่ของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 และอื่นๆ คล้ายกับตารางสี่เหลี่ยม มีเพียงลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ในโซนที่สอง ตัวเลขที่สอดคล้องกัน

ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากที่สอง รากที่สาม รากที่สี่ ฯลฯ ตามลำดับจากตัวเลขในตารางเหล่านี้ ให้เราอธิบายหลักการใช้งานเมื่อทำการแยกราก

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยกรากที่ n ของตัวเลข a ในขณะที่ตัวเลข a อยู่ในตารางของกำลังที่ n เมื่อใช้ตารางนี้เราจะพบตัวเลข b โดยที่ a=b n แล้ว ดังนั้นเลข b จะเป็นรากที่ต้องการของดีกรีที่ n

ตามตัวอย่าง เราจะแสดงวิธีใช้ตารางคิวบ์เพื่อแยกรากที่สามของ 19,683 เราพบเลข 19,683 ในตารางลูกบาศก์ จากนั้นเราพบว่าเลขนี้คือเลขกำลังสามของเลข 27 ดังนั้น .

เห็นได้ชัดว่าตารางเลขยกกำลัง n สะดวกมากในการแยกราก อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้มักจะไม่อยู่ในมือ และการคอมไพล์ต้องใช้เวลาพอสมควร ยิ่งไปกว่านั้น บ่อยครั้งจำเป็นต้องแยกรากออกจากตัวเลขที่ไม่อยู่ในตารางที่เกี่ยวข้อง ในกรณีเหล่านี้ คุณต้องหันไปใช้วิธีอื่นในการสกัดราก

แยกตัวประกอบจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

วิธีที่สะดวกพอสมควรในการแยกรากของจำนวนธรรมชาติ (หากแยกรากออกแล้ว) ก็คือการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ของเขา ประเด็นคือสิ่งนี้: หลังจากนั้นมันค่อนข้างง่ายที่จะแทนมันเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ต้องการซึ่งช่วยให้คุณได้รับค่าของรูท ให้เราชี้แจงประเด็นนี้

ให้รากที่ n ของจำนวนธรรมชาติ a มีค่าเท่ากับ b ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b n เป็นจริง จำนวน b ก็เหมือนกับจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดได้ p 1 , p 2 , …, p m ในรูปแบบ p 1 ·p 2 ·…·p m และเลขราก a ในกรณีนี้ แสดงเป็น (p 1 ·p 2 ·…·p m) n เนื่องจากการสลายตัวของจำนวนหนึ่งไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีลักษณะเฉพาะ การสลายตัวของจำนวนราก a ไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ซึ่งทำให้สามารถคำนวณค่าของรากได้ เช่น.

โปรดสังเกตว่าถ้าการสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก a ไม่สามารถแสดงในรูปแบบได้ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ดังนั้นรากที่ n ของจำนวน a จะยังไม่ถูกดึงออกจนหมด

ลองคิดดูเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หารากที่สองของ 144

สารละลาย.

หากคุณดูตารางกำลังสองที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า คุณจะเห็นได้ชัดเจนว่า 144 = 12 2 ซึ่งชัดเจนว่ารากที่สองของ 144 เท่ากับ 12

แต่เมื่อคำนึงถึงประเด็นนี้ เราสนใจว่ารากจะถูกแยกออกมาอย่างไรโดยการแยกเลขราก 144 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ลองดูวิธีแก้ปัญหานี้

มาย่อยสลายกันเถอะ 144 ถึงตัวประกอบเฉพาะ:

นั่นคือ 144=2·2·2·2·3·3 ขึ้นอยู่กับการสลายตัวที่เกิดขึ้น การเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้สามารถดำเนินการได้: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2- เพราะฉะนั้น, .

การใช้คุณสมบัติของดีกรีและคุณสมบัติของราก อาจทำให้สูตรการแก้ปัญหาแตกต่างออกไปเล็กน้อย:

คำตอบ:

หากต้องการรวมวัสดุ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของรูท

สารละลาย.

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก 243 มีรูปแบบ 243=3 5 ดังนั้น, .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ค่ารูตเป็นจำนวนเต็มหรือไม่?

สารละลาย.

เพื่อตอบคำถามนี้ ลองแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้วดูว่าสามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้หรือไม่

เรามี 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. การขยายตัวที่เกิดขึ้นไม่สามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้ เนื่องจากกำลังของตัวประกอบเฉพาะ 7 ไม่ใช่ผลคูณของสาม ดังนั้น จึงไม่สามารถแยกรากที่สามของ 285,768 ได้อย่างสมบูรณ์

คำตอบ:

เลขที่

แยกรากออกจากเลขเศษส่วน

ถึงเวลาหาวิธีการแยกรากของจำนวนเศษส่วนแล้ว ให้เขียนเลขรากเศษส่วนเป็น p/q ตามคุณสมบัติของรากของผลหาร ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง จากความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามนั้น กฎการแยกรากของเศษส่วน: รากของเศษส่วนเท่ากับผลหารของรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน

ลองดูตัวอย่างการแยกรากออกจากเศษส่วน

ตัวอย่าง.

รากที่สองของเศษส่วนร่วม 25/169 คืออะไร?

สารละลาย.

จากการใช้ตารางกำลังสอง เราพบว่ารากที่สองของตัวเศษของเศษส่วนเดิมเท่ากับ 5 และรากที่สองของตัวส่วนเท่ากับ 13 แล้ว - เป็นการเสร็จสิ้นการแยกรากของเศษส่วนร่วม 25/169

คำตอบ:

รากของเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละจะถูกแยกออกมาหลังจากแทนที่จำนวนรากด้วยเศษส่วนสามัญ

ตัวอย่าง.

หารากที่สามของเศษส่วนทศนิยม 474.552

สารละลาย.

ลองจินตนาการถึงเศษส่วนทศนิยมดั้งเดิมว่าเป็นเศษส่วนธรรมดา: 474.552=474552/1000 แล้ว - มันยังคงต้องแยกรากที่สามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ เพราะ 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 และ 1 000 = 10 3 จากนั้น และ - สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณให้เสร็จสิ้น .

คำตอบ:

.

การหารากของจำนวนลบ

คุ้มค่าที่จะจดจ่ออยู่กับการแยกรากออกจากจำนวนลบ เมื่อศึกษาราก เราบอกว่าเมื่อเลขชี้กำลังรากเป็นเลขคี่ ก็อาจมีเลขลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากได้ เราให้ความหมายเหล่านี้แก่รายการเหล่านี้: สำหรับจำนวนลบ −a และเลขชี้กำลังคี่ของราก 2 n−1 - ความเท่าเทียมกันนี้ให้ กฎสำหรับการแยกรากคี่ออกจากจำนวนลบ: หากต้องการแยกรากของจำนวนลบ คุณต้องหารากของจำนวนบวกตรงข้าม และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์

ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของราก

สารละลาย.

มาแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้มีจำนวนบวกอยู่ใต้เครื่องหมายรูท: - ตอนนี้แทนที่จำนวนคละด้วยเศษส่วนสามัญ: - เราใช้กฎในการแยกรากของเศษส่วนสามัญ: - ยังคงต้องคำนวณรากในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์: .

นี่เป็นบทสรุปสั้นๆ ของวิธีแก้ปัญหา: .

คำตอบ:

.

การกำหนดค่ารูตในระดับบิต

ในกรณีทั่วไป ใต้รากจะมีตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นกำลังที่ n ของจำนวนใดๆ ได้ด้วยการใช้เทคนิคที่กล่าวถึงข้างต้น แต่ในกรณีนี้ จำเป็นต้องรู้ความหมายของรากที่กำหนด อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับสัญญาณบางอย่าง ในกรณีนี้หากต้องการแยกรูทคุณสามารถใช้อัลกอริธึมที่ช่วยให้คุณได้รับค่าตัวเลขของตัวเลขที่ต้องการตามลำดับตามลำดับ

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมนี้คือการค้นหาว่าบิตที่สำคัญที่สุดของค่ารูตคืออะไร ในการทำเช่นนี้ ตัวเลข 0, 10, 100, ... จะถูกยกกำลัง n ตามลำดับจนกระทั่งถึงช่วงเวลาที่ตัวเลขเกินจำนวนราก จากนั้นตัวเลขที่เรายกกำลัง n ในขั้นตอนก่อนหน้าจะระบุตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาขั้นตอนนี้ของอัลกอริทึมเมื่อแยกรากที่สองของห้า เรานำตัวเลข 0, 10, 100, ... มายกกำลังสองจนกระทั่งได้ตัวเลขที่มากกว่า 5 เรามี 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 ซึ่งหมายความว่าหลักที่สำคัญที่สุดจะเป็นหลักหน่วย ค่าของบิตนี้และค่าที่ต่ำกว่าจะพบได้ในขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูท

ขั้นตอนที่ตามมาทั้งหมดของอัลกอริธึมมีวัตถุประสงค์เพื่อชี้แจงค่าของรูทตามลำดับโดยการค้นหาค่าของบิตถัดไปของค่ารูทที่ต้องการโดยเริ่มจากค่าสูงสุดและเลื่อนไปที่ค่าต่ำสุด ตัวอย่างเช่น ค่าของรูตในขั้นตอนแรกกลายเป็น 2 ในขั้นตอนที่สอง – 2.2 ในขั้นตอนที่สาม – 2.23 และต่อ ๆ ไปใน 2.236067977… ให้เราอธิบายว่าจะหาค่าของตัวเลขได้อย่างไร

พบตัวเลขโดยการค้นหาผ่านค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., 9 ในกรณีนี้ กำลังที่ n ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องจะถูกคำนวณแบบขนาน และนำไปเปรียบเทียบกับจำนวนราก หากในบางขั้นตอนค่าของระดับเกินจำนวนรากจะถือว่าพบค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าก่อนหน้าและจะเปลี่ยนไปใช้ขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูตหากไม่เกิดขึ้น แล้วค่าของหลักนี้คือ 9

ให้เราอธิบายประเด็นเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างเดียวกันในการแยกรากที่สองของห้า

ก่อนอื่นเราจะหาค่าของหลักหน่วย เราจะผ่านค่า 0, 1, 2, ..., 9 โดยคำนวณ 0 2, 1 2, ..., 9 2 ตามลำดับจนกว่าเราจะได้ค่าที่มากกว่าเลขราก 5 สะดวกในการนำเสนอการคำนวณทั้งหมดเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

ดังนั้นค่าของหลักหน่วยคือ 2 (เนื่องจาก 2 2<5 , а 2 3 >5) มาดูค่าของตำแหน่งในสิบกันดีกว่า. ในกรณีนี้เราจะยกกำลังสองตัวเลข 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 เปรียบเทียบค่าผลลัพธ์กับเลขราก 5:

ตั้งแต่ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 แล้วค่าของตำแหน่งในสิบคือ 2 คุณสามารถดำเนินการค้นหาค่าของตำแหน่งที่ร้อยได้:

นี่คือวิธีที่หาค่าถัดไปของรากของห้าได้ ซึ่งก็คือ 2.23 ดังนั้นคุณจึงสามารถค้นหาค่าต่อไปได้: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ในการรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์การแยกรากด้วยความแม่นยำระดับหนึ่งในร้อยโดยใช้อัลกอริธึมที่พิจารณา

ขั้นแรกเรากำหนดตัวเลขที่สำคัญที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรายกกำลังสามของตัวเลข 0, 10, 100 ฯลฯ จนเราได้จำนวนที่มากกว่า 2,151,186 เรามี 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 ดังนั้นเลขนัยสำคัญที่สุดคือหลักสิบ

มากำหนดมูลค่าของมันกัน

ตั้งแต่ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 แล้วค่าหลักสิบคือ 1 มาดูหน่วยกันต่อ

ดังนั้น ค่าของหลักหน่วยคือ 2 เรามาต่อกันที่สิบกันดีกว่า

เนื่องจากแม้แต่ 12.9 3 ก็น้อยกว่าเลขราก 2 151.186 ดังนั้นค่าของตำแหน่งที่สิบคือ 9 ยังคงดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมโดยจะให้ค่าของรูตแก่เราด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ในขั้นตอนนี้ ค่าของรากจะพบว่าแม่นยำถึงหนึ่งในร้อย: .

โดยสรุปของบทความนี้ผมอยากจะบอกว่ามีวิธีอื่นอีกมากมายในการแยกราก แต่สำหรับงานส่วนใหญ่ งานที่เราศึกษาข้างต้นก็เพียงพอแล้ว

บรรณานุกรม.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา.
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

ฉันมองดูป้ายอีกครั้ง... และไปกันเถอะ!

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ:

แค่นาทีเดียว this ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

เข้าใจแล้ว? นี่คือสิ่งถัดไปสำหรับคุณ:

รากของตัวเลขผลลัพธ์ไม่ได้ถูกแยกออกมาอย่างแม่นยำใช่หรือไม่? ไม่มีปัญหา นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าไม่ใช่สองตัว แต่มีตัวคูณมากกว่า? เหมือน! สูตรคูณรากใช้ได้กับปัจจัยหลายประการ:

ตอนนี้เป็นของคุณเองโดยสมบูรณ์:

คำตอบ:ทำได้ดี! เห็นด้วยทุกอย่างง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการรู้ตารางสูตรคูณ!

การแบ่งราก

เราได้แยกการคูณรากแล้ว มาดูคุณสมบัติของการหารกัน.

ฉันขอเตือนคุณว่าสูตรทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

ซึ่งหมายความว่า รากของผลหารเท่ากับผลหารของราก

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

นั่นคือทั้งหมดที่วิทยาศาสตร์เป็น นี่คือตัวอย่าง:

ทุกอย่างไม่ราบรื่นเหมือนตัวอย่างแรก แต่อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน

จะเป็นอย่างไรถ้าคุณเจอสำนวนนี้:

คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตรในทิศทางตรงกันข้าม:

และนี่คือตัวอย่าง:

คุณอาจเจอสำนวนนี้:

ทุกอย่างเหมือนเดิม มีเพียงที่นี่เท่านั้นที่คุณต้องจำวิธีแปลเศษส่วน (ถ้าจำไม่ได้ ให้ดูที่หัวข้อแล้วกลับมาใหม่!) คุณจำได้ไหม? ตอนนี้มาตัดสินใจกันเถอะ!

ฉันแน่ใจว่าคุณได้รับมือกับทุกสิ่งแล้ว ตอนนี้เรามาลองยกระดับรากให้เป็นระดับกัน

การยกกำลัง

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ารากที่สองถูกยกกำลังสอง? ง่ายมาก จำความหมายของรากที่สองของตัวเลข นั่นคือตัวเลขที่มีรากที่สองเท่ากับ

แล้วถ้าเรายกกำลังสองจำนวนที่มีรากที่สองเท่ากัน เราจะได้อะไร?

แน่นอน !

ลองดูตัวอย่าง:

มันง่ายใช่มั้ย? จะเกิดอะไรขึ้นถ้ารูตอยู่ในระดับที่แตกต่างออกไป? ไม่เป็นไร!

ทำตามตรรกะเดียวกันและจดจำคุณสมบัติและการกระทำที่เป็นไปได้ด้วยองศา

อ่านทฤษฎีในหัวข้อ "" แล้วทุกอย่างชัดเจนสำหรับคุณ

ตัวอย่างเช่น นี่คือนิพจน์:

ในตัวอย่างนี้ ดีกรีเป็นเลขคู่ แต่ถ้าเป็นเลขคี่ล่ะ? อีกครั้ง ใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลังและแยกตัวประกอบทุกอย่าง:

ทุกอย่างดูชัดเจนในเรื่องนี้ แต่จะแยกรากของตัวเลขให้เป็นกำลังได้อย่างไร ตัวอย่างเช่นนี่คือ:

ค่อนข้างง่ายใช่มั้ย? เกิดอะไรขึ้นถ้าระดับมากกว่าสอง? เราปฏิบัติตามตรรกะเดียวกันโดยใช้คุณสมบัติขององศา:

ทุกอย่างชัดเจนไหม? จากนั้นแก้ตัวอย่างด้วยตัวเอง:

และนี่คือคำตอบ:

เข้าใต้เครื่องหมายราก

เราไม่ได้เรียนรู้อะไรเกี่ยวกับราก! สิ่งที่เหลืออยู่คือการฝึกป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรูท!

มันง่ายจริงๆ!

สมมุติว่าเราเขียนตัวเลขไว้

เราสามารถทำอะไรกับมันได้บ้าง? แน่นอน ซ่อนทั้งสามไว้ใต้ราก โดยจำไว้ว่าทั้งสามคือรากที่สองของ!

ทำไมเราถึงต้องการสิ่งนี้? ใช่ เพียงเพื่อขยายขีดความสามารถของเราเมื่อแก้ไขตัวอย่าง:

คุณชอบคุณสมบัติของรากนี้อย่างไร? มันทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมากไหม? สำหรับฉัน ถูกต้องเลย! เท่านั้น เราต้องจำไว้ว่าเราสามารถใส่จำนวนบวกได้เฉพาะใต้เครื่องหมายรากที่สองเท่านั้น

แก้ตัวอย่างนี้ด้วยตัวเอง -
คุณจัดการหรือไม่? มาดูกันว่าคุณควรได้รับอะไรบ้าง:

ทำได้ดี! คุณสามารถป้อนหมายเลขใต้เครื่องหมายรูทได้! มาดูเรื่องที่สำคัญไม่แพ้กันกันดีกว่า มาดูวิธีเปรียบเทียบตัวเลขที่มีรากที่สองกัน!

การเปรียบเทียบราก

ทำไมเราต้องเรียนรู้ที่จะเปรียบเทียบตัวเลขที่มีรากที่สอง?

ง่ายมาก. บ่อยครั้งในสำนวนที่ยาวและใหญ่ที่พบในข้อสอบ เราได้รับคำตอบที่ไม่ลงตัว (จำได้ไหมว่านี่คืออะไร วันนี้เราคุยกันเรื่องนี้แล้ว!)

เราจำเป็นต้องวางคำตอบที่ได้รับไว้บนเส้นพิกัด เช่น เพื่อกำหนดช่วงที่เหมาะสมสำหรับการแก้สมการ และนี่คือปัญหาที่เกิดขึ้น: ไม่มีเครื่องคิดเลขในการสอบ และหากไม่มีเครื่องคิดเลข คุณจะจินตนาการได้อย่างไรว่าจำนวนใดมากกว่าและน้อยกว่า? แค่นั้นแหละ!

ตัวอย่างเช่น พิจารณาว่าอันไหนมากกว่า: หรือ?

คุณไม่สามารถบอกได้ทันที ลองใช้คุณสมบัติแบบแยกส่วนในการป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทกันไหม?

จากนั้นไปข้างหน้า:

เห็นได้ชัดว่ายิ่งตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทมากขึ้นเท่าใด รูทก็จะยิ่งใหญ่เท่านั้น!

เหล่านั้น. ถ้าอย่างนั้น .

จากนี้เราจึงสรุปได้อย่างชัดเจนว่า และจะไม่มีใครโน้มน้าวเราเป็นอย่างอื่น!

การแยกรากออกจากจำนวนมาก

ก่อนหน้านี้เราได้ป้อนตัวคูณไว้ใต้สัญลักษณ์รูท แต่จะลบออกได้อย่างไร? คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบออกเป็นปัจจัยแล้วแยกสิ่งที่คุณสกัดออกมา!

มีความเป็นไปได้ที่จะใช้เส้นทางที่แตกต่างออกไปและขยายไปสู่ปัจจัยอื่นๆ:

ไม่เลวใช่มั้ย? แนวทางใดแนวทางหนึ่งเหล่านี้ถูกต้องตัดสินใจตามที่คุณต้องการ

การแยกตัวประกอบมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานดังนี้:

อย่ากลัว แต่ลงมือทำ! ลองแยกแต่ละปัจจัยใต้รากออกเป็นปัจจัยแยกกัน:

ทีนี้ลองด้วยตัวเอง (ไม่มีเครื่องคิดเลข! มันจะไม่ติดข้อสอบ):

นี่คือจุดจบเหรอ? อย่าหยุดครึ่งทาง!

แค่นี้ก็ไม่น่ากลัวเท่าไหร่แล้วใช่ไหม?

เกิดขึ้น? ทำได้ดีมาก ถูกต้องเลย!

ตอนนี้ลองตัวอย่างนี้:

แต่ตัวอย่างนี้เป็นเรื่องยากที่จะถอดรหัส ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถทราบวิธีแก้ไขได้ในทันที แต่แน่นอนว่าเราสามารถจัดการได้

เรามาเริ่มการแยกตัวประกอบกันไหม? ให้เราทราบทันทีว่าคุณสามารถหารตัวเลขด้วย (จำสัญญาณของการหารลงตัว):

ตอนนี้ลองด้วยตัวเอง (อีกครั้งโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข!):

มันได้ผลเหรอ? ทำได้ดีมาก ถูกต้องแล้ว!

มาสรุปกัน

1. รากที่สอง (รากที่สองทางคณิตศาสตร์) ของจำนวนที่ไม่เป็นลบคือจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ
   .
2. หากเราหารากที่สองของสิ่งใดสิ่งหนึ่ง เราจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบเสมอ
3. คุณสมบัติของรูตเลขคณิต:
4. เมื่อเปรียบเทียบรากที่สอง จำเป็นต้องจำไว้ว่ายิ่งตัวเลขใต้เครื่องหมายรากมากเท่าใด ตัวรากก็จะยิ่งใหญ่ขึ้นเท่านั้น

สแควร์รูทเป็นอย่างไรบ้าง? ชัดเจนทั้งหมดเหรอ?

เราพยายามอธิบายทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้ในข้อสอบเกี่ยวกับสแควร์รูทให้คุณฟังโดยไม่ต้องยุ่งยาก

ตาของคุณแล้ว. เขียนถึงเราว่าหัวข้อนี้ยากสำหรับคุณหรือไม่

คุณได้เรียนรู้สิ่งใหม่ ๆ หรือทุกอย่างชัดเจนแล้ว?

เขียนความคิดเห็นและขอให้โชคดีในการสอบของคุณ!

สูตรปริญญาใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนในการแก้สมการและอสมการ

ตัวเลข คเป็น n- กำลังของตัวเลข กเมื่อไร:

การดำเนินงานที่มีองศา

1. โดยการคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกเพิ่ม:

เช้า·a n = a m + n

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก:

3. ผลคูณเลขตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป ตัวคูณเท่ากับผลคูณของกำลังของปัจจัยเหล่านี้:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. ปริญญา เศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนอำนาจของเงินปันผลและตัวหาร:

(ก/ข) n = n /b n

5. การยกกำลังให้เป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

(ก) n = ก ม n .

แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่น. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

การดำเนินการที่มีราก

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายประการมีค่าเท่ากับ งานรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:

3. เมื่อยกรากเป็นกำลัง ก็เพียงพอที่จะเพิ่มเลขรากเป็นกำลังนี้:

4. หากเพิ่มระดับรากเข้าไป nครั้งหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็สร้างเป็น nยกกำลัง th เป็นจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5.ถ้าลดระดับรากลง nแยกรากไปพร้อมๆ กัน n- กำลังของจำนวนราก ดังนั้นค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบกำลังของจำนวนหนึ่งที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นค่าที่หารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน โดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่ค่าบวก:

สูตร เช้า:a n =a ม - nสามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ ม> nแต่ยังมี ม< n.

ตัวอย่างเช่น. ก4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ให้เป็นสูตร เช้า:a n =a ม - nยุติธรรมเมื่อ ม=นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์

องศาที่มีดัชนีเป็นศูนย์กำลังของจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์โดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

องศาที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนที่จะสร้าง เบอร์จริง กในระดับ ม./นคุณต้องแยกรากออก nระดับของ ม- ยกกำลังของเลขนี้ ก.