การเคลื่อนที่เชิงเส้นและความเร็วเชิงมุมของเส้นโค้ง เส้นโค้ง

แนวคิดเรื่องความเร็วและความเร่งเป็นเรื่องปกติทั่วไปในกรณีของจุดวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามนั้น วิถีโค้ง- ตำแหน่งของจุดที่เคลื่อนที่บนวิถีถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี ร ดึงมาจากจุดคงที่จุดหนึ่งมาถึงจุดนี้ เกี่ยวกับเช่น ที่มาของพิกัด (รูปที่ 1.2) ให้ทันเวลา ทีจุดวัสดุอยู่ในตำแหน่ง มด้วยเวกเตอร์รัศมี ร = ร (ที- หลังจากนั้นไม่นาน D ทีมันก็จะย้ายไปยังตำแหน่ง ม.1มีรัศมี - เวกเตอร์ ร 1 = ร (ที+ ดี ที- รัศมี - เวกเตอร์ของจุดวัสดุจะได้รับการเพิ่มขึ้นซึ่งกำหนดโดยความแตกต่างทางเรขาคณิต D ร = ร 1 - ร . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งดี ทีเรียกว่าปริมาณ

ทิศทางความเร็วเฉลี่ย วี พุธ ไม้ขีดโดยมีทิศทางเวกเตอร์ D ร .

จำกัดความเร็วเฉลี่ยที่ D ที® 0 เช่น อนุพันธ์ของรัศมี - เวกเตอร์ ร ตามเวลา

(1.9)

เรียกว่า จริงหรือ ทันทีความเร็วของจุดวัสดุ เวกเตอร์ วี กำกับ สัมผัสกันสู่วิถีของจุดที่เคลื่อนที่

การเร่งความเร็ว ก เรียกว่าเวกเตอร์เท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเวกเตอร์ความเร็ว วี หรืออนุพันธ์อันดับสองของรัศมี - เวกเตอร์ ร ตามเวลา:

(1.10)

(1.11)

ให้เราสังเกตการเปรียบเทียบอย่างเป็นทางการต่อไปนี้ระหว่างความเร็วและความเร่ง จากจุดคงที่ที่กำหนด O 1 เราจะพล็อตเวกเตอร์ความเร็ว วี จุดเคลื่อนที่ตลอดเวลาที่เป็นไปได้ (รูปที่ 1.3)

จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ วี เรียกว่า จุดความเร็ว- สถานเรขาคณิตของจุดความเร็วเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่า โฮโดกราฟความเร็วเมื่อจุดวัสดุอธิบายวิถีโคจร จุดความเร็วที่สอดคล้องกันจะเคลื่อนที่ไปตามโฮโดกราฟ

ข้าว. 1.2 แตกต่างจากรูป 1.3 โดยสัญกรณ์เท่านั้น รัศมี – เวกเตอร์ ร แทนที่ด้วยเวกเตอร์ความเร็ว วี , จุดวัตถุ - ไปยังจุดความเร็ว, วิถีโคจร - ไปยังโฮโดกราฟ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์บนเวกเตอร์ ร เมื่อหาความเร็วและอยู่เหนือเวกเตอร์ วี เมื่อพบความเร่งจะเท่ากันทุกประการ

ความเร็ว วี มุ่งไปตามวิถีสัมผัส นั่นเป็นเหตุผล การเร่งความเร็วก จะถูกส่งไปยังเครื่อง Hodograph ความเร็วแบบสัมผัสก็สามารถพูดได้ว่า ความเร่งคือความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดความเร็วตามแนวโฮโดกราฟ- เพราะฉะนั้น,

เมื่อพิจารณาถึงการเคลื่อนไหวโค้งของร่างกาย เราจะเห็นว่าความเร็วของมันแตกต่างกันในแต่ละช่วงเวลา แม้ว่าขนาดของความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลง ทิศทางของความเร็วก็ยังมีการเปลี่ยนแปลงอยู่ ในกรณีทั่วไป ทั้งขนาดและทิศทางของความเร็วจะเปลี่ยนไป

ดังนั้น ในระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้ง ความเร็วจะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นการเคลื่อนไหวนี้จึงเกิดขึ้นด้วยความเร่ง ในการพิจารณาความเร่งนี้ (ทั้งในด้านขนาดและทิศทาง) จำเป็นต้องค้นหาการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในรูปแบบเวกเตอร์ เช่น ค้นหาการเพิ่มขึ้นของขนาดของความเร็วและการเปลี่ยนแปลงทิศทาง

ข้าว. 49. การเปลี่ยนแปลงความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่ทางโค้ง

ตัวอย่างเช่น ปล่อยให้จุดหนึ่งเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้ง (รูปที่ 49) ในช่วงเวลาหนึ่งมีความเร็ว และหลังจากช่วงระยะเวลาสั้น ๆ - ความเร็ว การเพิ่มความเร็วคือความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์และ เนื่องจากเวกเตอร์เหล่านี้มีทิศทางต่างกัน คุณจึงต้องหาผลต่างเวกเตอร์ของมัน ความเร็วที่เพิ่มขึ้นจะแสดงโดยเวกเตอร์ที่แสดงด้วยด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมและอีกด้านหนึ่ง ความเร่งคืออัตราส่วนของความเร็วที่เพิ่มขึ้นต่อช่วงเวลาที่เกิดการเพิ่มขึ้นนี้ นี่หมายถึงการเร่งความเร็ว

ทิศทางเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์

เมื่อเลือกให้เล็กพอ เราก็มาถึงแนวคิดเรื่องการเร่งความเร็วทันที (เปรียบเทียบ § 16) เมื่อไม่มีกฎเกณฑ์ เวกเตอร์จะแสดงความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่ง

ทิศทางความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้งไม่ตรงกับทิศทางความเร็ว ในขณะที่การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงทิศทางเหล่านี้จะตรงกัน (หรือตรงกันข้าม) ในการหาทิศทางความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้ง การเปรียบเทียบทิศทางความเร็วที่จุดใกล้สองจุดของวิถีก็เพียงพอแล้ว เนื่องจากความเร็วถูกกำหนดทิศทางให้สัมผัสกับวิถี ดังนั้นจากรูปร่างของวิถีเราสามารถสรุปได้ว่าความเร่งนั้นพุ่งไปในทิศทางใดจากวิถีวิถี อันที่จริง เนื่องจากความแตกต่างของความเร็วที่จุดปิดสองจุดของวิถีนั้นจะมีทิศทางในทิศทางที่วิถีโค้งเสมอ หมายความว่าความเร่งจะมุ่งไปที่ความเว้าของวิถีเสมอ ตัวอย่างเช่น เมื่อลูกบอลกลิ้งไปตามรางโค้ง (รูปที่ 50) ความเร่งในส่วนต่างๆ และถูกกำหนดทิศทางตามที่แสดงโดยลูกศร และไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าลูกบอลกลิ้งจากไปหรือไปในทิศทางตรงกันข้าม

ข้าว. 50. ความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่โค้งจะมุ่งตรงไปที่ความเว้าของวิถีเสมอ

ข้าว. 51. หาสูตรความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของจุดตามวิถีโค้ง เรารู้อยู่แล้วว่านี่คือการเคลื่อนไหวที่มีความเร่ง มาหาความเร่งกัน. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะพิจารณาความเร่งสำหรับกรณีพิเศษของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลม ลองใช้ตำแหน่งปิดสองตำแหน่งและจุดเคลื่อนที่ โดยคั่นด้วยช่วงเวลาสั้นๆ (รูปที่ 51, a) ความเร็วของจุดที่เคลื่อนที่เข้าและมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางต่างกัน มาหาความแตกต่างระหว่างความเร็วเหล่านี้โดยใช้กฎสามเหลี่ยม (รูปที่ 51, b) สามเหลี่ยมและมีลักษณะคล้ายกัน เช่น สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอดเท่ากัน ความยาวของด้านที่แสดงถึงความเร็วที่เพิ่มขึ้นในช่วงเวลาหนึ่งสามารถกำหนดได้เท่ากับ โดยที่ คือโมดูลัสของความเร่งที่ต้องการ ด้านที่คล้ายกันคือคอร์ดของส่วนโค้ง เนื่องจากส่วนโค้งมีขนาดเล็ก ความยาวของคอร์ดจึงสามารถประมาณได้เท่ากับความยาวของส่วนโค้ง เช่น - ไกลออกไป, - , รัศมีของวิถีอยู่ที่ไหน จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม อัตราส่วนของด้านที่คล้ายกันในสามเหลี่ยมเหล่านั้นจะเท่ากัน:

จากที่เราพบโมดูลัสของความเร่งที่ต้องการ:

ทิศทางความเร่งตั้งฉากกับคอร์ด สำหรับช่วงเวลาที่สั้นเพียงพอ เราสามารถสรุปได้ว่าแทนเจนต์ของส่วนโค้งนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับคอร์ดของมัน ซึ่งหมายความว่าความเร่งสามารถพิจารณาตั้งฉาก (ปกติ) กับเส้นสัมผัสของวิถี ซึ่งก็คือ ตามรัศมีไปยังศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้นความเร่งดังกล่าวจึงเรียกว่าความเร่งปกติหรือความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ถ้าวิถีโคจรไม่ใช่วงกลม แต่เป็นเส้นโค้งใดๆ ในสูตร (27.1) เราควรใช้รัศมีของวงกลมใกล้กับเส้นโค้งมากที่สุด ณ จุดที่กำหนด ทิศทางของการเร่งความเร็วปกติในกรณีนี้จะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของวิถี ณ จุดที่กำหนดด้วย ถ้าในระหว่างการเคลื่อนที่โค้ง ความเร่งคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง สามารถหาได้จากอัตราส่วนของความเร็วที่เพิ่มขึ้นต่อระยะเวลาที่การเพิ่มขึ้นนี้เกิดขึ้น ไม่ว่าช่วงระยะเวลานี้จะเป็นอย่างไรก็ตาม ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้สามารถหาความเร่งได้โดยใช้สูตร

คล้ายกับสูตร (17.1) สำหรับการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งคงที่ นี่คือความเร็วของร่างกาย ณ ขณะแรก a คือความเร็ว ณ ขณะนั้น

จลนศาสตร์ของจุด เส้นทาง. การย้าย. ความเร็วและความเร่ง การฉายภาพลงบนแกนพิกัด การคำนวณระยะทางที่เดินทาง ค่าเฉลี่ย

จลนศาสตร์ของจุด- สาขาวิชาจลนศาสตร์ที่ศึกษาคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ ภารกิจหลักของจลนศาสตร์คือการอธิบายการเคลื่อนไหวโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์โดยไม่ต้องระบุสาเหตุที่ทำให้เกิดการเคลื่อนไหวนี้

เส้นทางและการเคลื่อนไหวเส้นที่เรียกว่าจุดบนร่างกายเคลื่อนไหว วิถีการเคลื่อนที่- เรียกว่าความยาวเส้นทาง เส้นทางที่เดินทาง- เรียกว่าเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของวิถี การย้าย ความเร็ว- ปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์ที่แสดงความเร็วของการเคลื่อนที่ของร่างกาย โดยตัวเลขเท่ากับอัตราส่วนของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาสั้น ๆ ต่อค่าของช่วงเวลานี้ ถือว่าช่วงเวลาหนึ่งมีน้อยเพียงพอหากความเร็วระหว่างการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอไม่เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลานี้ สูตรกำหนดความเร็วคือ v = s/t หน่วยของความเร็วคือ m/s ในทางปฏิบัติ หน่วยความเร็วที่ใช้คือ กม./ชม. (36 กม./ชม. = 10 ม./วินาที) ความเร็ววัดด้วยมาตรวัดความเร็ว

การเร่งความเร็ว- ปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์ที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วซึ่งเท่ากับตัวเลขของอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อระยะเวลาที่การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้น หากความเร็วเปลี่ยนแปลงเท่ากันตลอดการเคลื่อนที่ ความเร่งสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร a=Δv/Δt หน่วยเร่งความเร็ว – m/s 2

ความเร็วและความเร่งขณะเคลื่อนที่โค้ง ความเร่งในวงสัมผัสและความเร่งปกติ

การเคลื่อนไหวแบบโค้ง– การเคลื่อนไหวที่มีวิถีไม่ตรง แต่เป็นเส้นโค้ง

การเคลื่อนไหวแบบโค้ง– เป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเสมอ แม้ว่าความเร็วสัมบูรณ์จะคงที่ก็ตาม การเคลื่อนที่เชิงโค้งที่มีความเร่งคงที่มักเกิดขึ้นในระนาบซึ่งมีเวกเตอร์ความเร่งและความเร็วเริ่มต้นของจุดอยู่ ในกรณีการเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งด้วยความเร่งคงที่ในระนาบ xOyการคาดการณ์ วีเอ็กซ์และ วีวายความเร็วของมันบนแกน วัวและ เฮ้ยและพิกัด xและ ยจุดได้ตลอดเวลา ทีกำหนดโดยสูตร

โวลต์ x =v 0 x +a xt, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a xt 2 /2; v y =v 0 y +a y t, y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2

กรณีพิเศษของการเคลื่อนที่แนวโค้งคือการเคลื่อนที่แบบวงกลม การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอกันก็คือการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเสมอ: โมดูลความเร็วจะเคลื่อนที่ในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจรเสมอ และเปลี่ยนทิศทางอยู่ตลอดเวลา ดังนั้น การเคลื่อนที่แบบวงกลมจะเกิดขึ้นด้วยความเร่งสู่ศูนย์กลางเสมอ |a|=v 2 /r โดยที่ ร– รัศมีของวงกลม

เวกเตอร์ความเร่งเมื่อเคลื่อนที่ในวงกลมจะมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลมและตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็ว

ในการเคลื่อนที่แนวโค้ง ความเร่งสามารถแสดงเป็นผลรวมขององค์ประกอบปกติและองค์ประกอบวงสัมผัส: ,

การเร่งความเร็วปกติ (สู่ศูนย์กลาง) มุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางของความโค้งของวิถีและแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงความเร็วในทิศทาง:

วี –ค่าความเร็วทันที ร– รัศมีความโค้งของวิถี ณ จุดที่กำหนด

การเร่งความเร็วในแนวสัมผัส (วงสัมผัส) จะถูกส่งตรงไปยังวิถีวิถีสัมผัสและแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของโมดูโลความเร็ว

ความเร่งทั้งหมดที่จุดวัสดุเคลื่อนที่เท่ากับ:

ความเร่งในวงสัมผัสกำหนดลักษณะของความเร็วของการเปลี่ยนแปลงความเร็วในการเคลื่อนที่ด้วยค่าตัวเลขและมุ่งตรงไปยังวิถีโคจร

เพราะฉะนั้น

อัตราเร่งปกติแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วในทิศทาง มาคำนวณเวกเตอร์กัน:

4. จลนศาสตร์ของร่างกายแข็งเกร็ง การหมุนรอบแกนคงที่ ความเร็วเชิงมุมและความเร่ง ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้นและความเร่ง

จลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน

การเคลื่อนไหวของร่างกายสามารถแปลหรือหมุนได้ ในกรณีนี้ร่างกายจะแสดงเป็นระบบของจุดวัสดุที่เชื่อมต่อกันอย่างเหนียวแน่น

ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปลน เส้นตรงใดๆ ที่ลากในร่างกายจะเคลื่อนที่ขนานกับตัวมันเอง ตามรูปร่างของวิถีการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่สามารถเป็นเส้นตรงหรือโค้งได้ ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปลน ทุกจุดของวัตถุแข็งเกร็งในช่วงเวลาเดียวกันจะทำให้การเคลื่อนไหวมีขนาดและทิศทางเท่ากัน ดังนั้นความเร็วและความเร่งของทุกจุดของร่างกาย ณ เวลาใดเวลาหนึ่งจึงเท่ากันเช่นกัน เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของการแปล การระบุการเคลื่อนที่ของจุดหนึ่งก็เพียงพอแล้ว

การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่เรียกว่าการเคลื่อนไหวโดยที่จุดต่างๆ ของร่างกายเคลื่อนที่เป็นวงกลม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (แกนหมุน)

แกนหมุนสามารถผ่านร่างกายหรือนอนอยู่ด้านนอกได้ ถ้าแกนหมุนผ่านตัววัตถุ จุดที่วางอยู่บนแกนจะยังคงอยู่นิ่งเมื่อตัววัตถุหมุน จุดของวัตถุแข็งเกร็งซึ่งอยู่ในระยะห่างจากแกนการหมุนในช่วงเวลาเท่ากันจะเดินทางในระยะทางที่ต่างกัน ดังนั้น จึงมีความเร็วเชิงเส้นต่างกัน

เมื่อวัตถุหมุนรอบแกนคงที่ จุดต่าง ๆ ของร่างกายจะได้รับการเคลื่อนไหวเชิงมุมเดียวกันในช่วงเวลาเดียวกัน โมดูลเท่ากับมุมการหมุนของร่างกายรอบแกนในเวลา ทิศทางของเวกเตอร์การกระจัดเชิงมุมกับทิศทางการหมุนของร่างกายจะเชื่อมต่อกันด้วยกฎสกรู: หากคุณรวมทิศทางการหมุนของสกรู กับทิศทางการหมุนของตัวเครื่อง จากนั้นเวกเตอร์จะตรงกับการเคลื่อนที่ของสกรู เวกเตอร์มีทิศทางตามแกนการหมุน

อัตราการเปลี่ยนแปลงของการกระจัดเชิงมุมถูกกำหนดโดยความเร็วเชิงมุม - ω โดยการเปรียบเทียบกับความเร็วเชิงเส้นแนวคิด ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยและทันที:

ความเร็วเชิงมุม- ปริมาณเวกเตอร์

อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมมีลักษณะเฉพาะ ปานกลางและทันที

ความเร่งเชิงมุม.

เวกเตอร์และสามารถตรงกับเวกเตอร์และอยู่ตรงข้ามกับมันได้

ในระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้ง ทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วจะเปลี่ยนไป ในขณะเดียวกัน โมดูลของมัน เช่น ความยาว ก็อาจเปลี่ยนแปลงได้เช่นกัน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ความเร่งจะถูกแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบ: สัมผัสกับวิถีและตั้งฉากกับวิถี (รูปที่ 10) ส่วนประกอบที่เรียกว่า วงสัมผัส(วงสัมผัส) ความเร่ง องค์ประกอบ – ปกติ(ศูนย์กลาง) ความเร่ง

ความเร่งขณะเคลื่อนที่โค้ง

ความเร่งในวงโคจรแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงเส้น และความเร่งปกติแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงทิศทางการเคลื่อนที่

ความเร่งรวมเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งปกติ:

(15)

โมดูลการเร่งความเร็วรวมเท่ากับ:

.

ลองพิจารณาการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของจุดหนึ่งๆ ตามแนววงกลม โดยที่ และ - ให้ ณ เวลาที่พิจารณา เสื้อ อยู่ในตำแหน่งที่ 1 (รูปที่ 11) หลังจากเวลา Δt จุดจะอยู่ที่ตำแหน่ง 2 โดยผ่านเส้นทางไปแล้ว Δsเท่ากับส่วนโค้ง 1-2 ในกรณีนี้ ความเร็วของจุด v จะเพิ่มขึ้น ∆vเป็นผลจากการที่เวกเตอร์ความเร็วซึ่งยังคงขนาดไม่เปลี่ยนแปลงจะหมุนไปตามมุม Δφ ซึ่งมีขนาดเท่ากันกับมุมที่จุดศูนย์กลางโดยพิจารณาจากส่วนโค้งของความยาว Δs:

(16)

โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่จุดเคลื่อนที่ มาหาการเพิ่มขึ้นของเวกเตอร์ความเร็วกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาย้ายเวกเตอร์กันดีกว่า เพื่อให้จุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ จากนั้นเวกเตอร์จะถูกแทนด้วยส่วนที่ลากจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ - ส่วนนี้ทำหน้าที่เป็นฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านข้างและ และมุม Δφ ที่ยอด หากมุม Δφ เล็ก (ซึ่งเป็นจริงสำหรับ Δt ขนาดเล็ก) สำหรับด้านข้างของสามเหลี่ยมนี้ เราสามารถเขียนได้ประมาณว่า:

.

เมื่อแทนที่ Δφ จาก (16) ที่นี่ เราจะได้นิพจน์สำหรับโมดูลัสของเวกเตอร์:

.

เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการด้วย Δt แล้วผ่านไปยังขีดจำกัด เราจะได้ค่าความเร่งสู่ศูนย์กลาง:

นี่ปริมาณ. โวลต์และ รมีค่าคงที่จึงสามารถนำเกินเครื่องหมายจำกัดได้ ขีดจำกัดอัตราส่วนคือโมดูลัสความเร็ว เรียกอีกอย่างว่าความเร็วเชิงเส้น

รัศมีความโค้ง

รัศมีของวงกลม R เรียกว่า รัศมีความโค้งวิถี ค่าผกผันของ R เรียกว่าความโค้งของวิถี:

.

โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่ต้องการ ถ้า α เป็นมุมที่ศูนย์กลางซึ่งสอดคล้องกับส่วนโค้งของวงกลม s ดังที่ทราบ ความสัมพันธ์ระหว่าง R, α และ s จะเป็นดังนี้:

ส = รา. (18)

แนวคิดเรื่องรัศมีความโค้งไม่เพียงแต่ใช้กับวงกลมเท่านั้น แต่ยังใช้กับเส้นโค้งใดๆ ด้วย รัศมีความโค้ง (หรือค่าผกผัน - ความโค้ง) เป็นตัวกำหนดระดับความโค้งของเส้น ยิ่งรัศมีความโค้งเล็กลง (ตามลำดับ ยิ่งมีความโค้งมากขึ้น) เส้นก็จะมีความโค้งมากขึ้น ลองมาดูแนวคิดนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น

วงกลมแห่งความโค้งของเส้นแบนที่จุด A คือตำแหน่งจำกัดของวงกลมที่ผ่านจุด A และอีกสองจุด B 1 และ B 2 ขณะที่เข้าใกล้จุด A อย่างไม่สิ้นสุด (ในรูปที่ 12 เส้นโค้งจะถูกวาดโดย a เส้นทึบ และวงกลมโค้งด้วยเส้นประ) รัศมีของวงกลมแห่งความโค้งจะให้รัศมีของความโค้งของเส้นโค้งที่จุด A และจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้ให้จุดศูนย์กลางของความโค้งของเส้นโค้งสำหรับจุด A เดียวกัน

ที่จุด B 1 และ B 2 วาดแทนเจนต์ B 1 D และ B 2 E ไปยังวงกลมที่ผ่านจุด B 1, A และ B 2 บรรทัดฐานของแทนเจนต์เหล่านี้ B 1 C และ B 2 C จะแสดงรัศมี R ของวงกลม และจะตัดกันที่ศูนย์กลาง C ให้เราแนะนำมุม Δα ระหว่างบรรทัดฐาน B1 C และ B 2 C; เห็นได้ชัดว่ามันเท่ากับมุมระหว่างแทนเจนต์ B 1 D และ B 2 E ให้เราแสดงส่วนของเส้นโค้งระหว่างจุด B 1 และ B 2 เป็น Δs จากนั้นตามสูตร (18):

.

วงกลมแห่งความโค้งของเส้นโค้งแบน

การกำหนดความโค้งของเส้นโค้งระนาบที่จุดต่างๆ

ในรูป รูปที่ 13 แสดงวงกลมความโค้งของเส้นแบนที่จุดต่างๆ ที่จุด A 1 โดยที่เส้นโค้งแบนกว่า รัศมีของความโค้งมากกว่าที่จุด A 2 ตามลำดับ ความโค้งของเส้นตรงที่จุด A 1 จะน้อยกว่าที่จุด A 2 ที่จุด A 3 เส้นโค้งจะราบเรียบกว่าจุด A 1 และ A 2 ดังนั้นรัศมีความโค้ง ณ จุดนี้จึงจะมากกว่าและความโค้งน้อยกว่า นอกจากนี้ วงกลมแห่งความโค้งที่จุด A 3 ยังอยู่อีกด้านหนึ่งของเส้นโค้ง ดังนั้นค่าความโค้ง ณ จุดนี้จึงถูกกำหนดให้เป็นเครื่องหมายตรงข้ามกับสัญลักษณ์ความโค้งที่จุด A 1 และ A 2: หากความโค้งที่จุด A 1 และ A 2 ถือเป็นบวก ความโค้งที่จุด A 3 จะเป็น เชิงลบ.

จลนศาสตร์ศึกษาการเคลื่อนไหวโดยไม่ระบุสาเหตุที่ทำให้เกิดการเคลื่อนไหวนี้ จลนศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ ภารกิจหลักของจลนศาสตร์คือการกำหนดตำแหน่งทางคณิตศาสตร์และลักษณะของการเคลื่อนที่ของจุดหรือวัตถุตามเวลา

ปริมาณจลนศาสตร์พื้นฐาน:

- เคลื่อนไหว() -เวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

r – เวกเตอร์รัศมี กำหนดตำแหน่งของ MT ในอวกาศ

- ความเร็ว– อัตราส่วนเส้นทางต่อเวลา .

- เส้นทาง- ชุดของจุดที่ร่างกายผ่านไป

- การเร่งความเร็ว –อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว กล่าวคือ อนุพันธ์อันดับหนึ่งของความเร็ว

2. ความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่โค้ง: ความเร่งปกติและความเร่งในวงสัมผัส การหมุนแบบแบน ความเร็วเชิงมุม ความเร่ง

การเคลื่อนไหวแบบโค้งคือการเคลื่อนไหวที่มีวิถีโคจรเป็นเส้นโค้ง ตัวอย่างของการเคลื่อนที่แนวโค้ง ได้แก่ การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ การสิ้นสุดเข็มนาฬิกาไปตามหน้าปัด เป็นต้น

การเคลื่อนไหวแบบโค้ง– เป็นการเคลื่อนไหวที่มีความเร่งอยู่เสมอ นั่นคือ ความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่เชิงโค้งจะเกิดขึ้นเสมอ แม้ว่าโมดูลความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะมีเพียงทิศทางของความเร็วเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง

การเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อหน่วยเวลา – นี่คือความเร่งในวงสัมผัส:

โดยที่ 𝛖 τ , 𝛖 0 คือค่าความเร็ว ณ เวลา t 0 + Δt และ t 0 ตามลำดับ ความเร่งในวงสัมผัสณ จุดที่กำหนดของวิถีทิศทางจะสอดคล้องกับทิศทางความเร็วของการเคลื่อนที่ของร่างกายหรือตรงกันข้ามกับทิศทางนั้น

อัตราเร่งปกติคือการเปลี่ยนแปลงความเร็วในทิศทางต่อหน่วยเวลา:

อัตราเร่งปกติกำกับไปตามรัศมีความโค้งของวิถี (ไปทางแกนหมุน) ความเร่งปกติจะตั้งฉากกับทิศทางของความเร็ว

อัตราเร่งเต็มที่ด้วยการเคลื่อนไหวโค้งของร่างกายที่แปรผันสม่ำเสมอจะเท่ากับ:

-ความเร็วเชิงมุมแสดงมุมที่จุดหมุนระหว่างการเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นวงกลมต่อหน่วยเวลา หน่วย SI คือ rad/s

การหมุนแบบแบนคือการหมุนของเวกเตอร์ความเร็วทั้งหมดของจุดวัตถุในระนาบเดียว

3. ความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ของความเร็วและความเร็วเชิงมุมของจุดวัสดุ ความเร่งปกติ วงสัมผัส และอัตราเร่งเต็มที่

ความเร่งในวงสัมผัส (วงสัมผัส)– นี่คือองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่พุ่งไปตามเส้นสัมผัสของวิถี ณ จุดที่กำหนดของวิถีการเคลื่อนที่ ความเร่งในวงโคจรแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของโมดูโลความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้ง

ความเร่งปกติ (สู่ศูนย์กลาง)เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร่งที่พุ่งไปตามเส้นปกติไปยังวิถีการเคลื่อนที่ ณ จุดที่กำหนดบนวิถีการเคลื่อนที่ของร่างกาย นั่นคือเวกเตอร์ความเร่งปกติจะตั้งฉากกับความเร็วเชิงเส้นของการเคลื่อนที่ (ดูรูปที่ 1.10) ความเร่งปกติแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงความเร็วในทิศทางและเขียนแทนด้วยตัวอักษร n เวกเตอร์ความเร่งปกติจะพุ่งไปตามรัศมีความโค้งของวิถี

อัตราเร่งเต็มที่ในการเคลื่อนที่แนวโค้ง ประกอบด้วยความเร่งในวงสัมผัสและความเร่งปกติตามกฎของการบวกเวกเตอร์ และถูกกำหนดโดยสูตร