คำแนะนำ

ภาคีและมุมถือเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน ก- รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยองค์ประกอบพื้นฐานใดๆ ต่อไปนี้: ด้านสามด้านหรือด้านเดียวและสองมุม หรือสองด้านและมุมระหว่างสองด้าน เพื่อการดำรงอยู่ สามเหลี่ยมกำหนดให้ด้าน a, b, c ทั้งสามด้าน จำเป็นและเพียงพอที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่เรียกว่าอสมการ สามเหลี่ยม:
ก+ข > ค,
ก+ค > ข
ข+ค > ก

สำหรับการก่อสร้าง สามเหลี่ยมทั้งสามด้าน a, b, c จำเป็นจากจุด C ของส่วน CB = a เพื่อวาดวงกลมรัศมี b ด้วยเข็มทิศ ในทำนองเดียวกัน ให้วาดวงกลมจากจุด B โดยมีรัศมีเท่ากับด้าน c จุดตัด A คือจุดยอดที่สามของจุดที่ต้องการ สามเหลี่ยม ABC โดยที่ AB=c, CB=a, CA=b - ด้านข้าง สามเหลี่ยม- ปัญหาคือ ถ้าด้าน a, b, c เป็นไปตามอสมการ สามเหลี่ยมระบุไว้ในขั้นตอนที่ 1

พื้นที่ S สร้างขึ้นในลักษณะนี้ สามเหลี่ยม ABC ที่มีด้านที่ทราบ a, b, c คำนวณโดยใช้สูตรของ Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
โดยที่ a, b, c เป็นด้าน สามเหลี่ยม, p – กึ่งปริมณฑล
พี = (ก+ข+ค)/2

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด กล่าวคือ ด้านทุกด้านเท่ากัน (a=b=c)พื้นที่ สามเหลี่ยมคำนวณโดยสูตร:
S=(ก^2 ว3)/4

หากรูปสามเหลี่ยมมีมุมฉาก นั่นคือมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 90° และด้านที่เป็นขา ด้านที่สามคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมเท่ากับผลคูณของขาหารด้วยสอง
เอส=เอบี/2

การค้นหา สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมคุณสามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งได้ เลือกสูตรขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบอยู่แล้ว

คุณจะต้องการ

• ความรู้เรื่องสูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

หากคุณทราบขนาดของด้านใดด้านหนึ่งและค่าของความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้จากมุมตรงข้าม คุณจะพบพื้นที่โดยใช้ดังนี้: S = a*h/2 โดยที่ S คือพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยม a คือด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และ h คือความสูงด้าน a

มีวิธีการที่ทราบกันดีในการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหากทราบด้านทั้งสามของมัน มันเป็นสูตรของเฮรอน เพื่อให้การบันทึกง่ายขึ้น จึงมีการแนะนำค่ากลาง - กึ่งปริมณฑล: p = (a+b+c)/2 โดยที่ a, b, c - . ดังนั้น สูตรของเฮรอนจะเป็นดังนี้: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ การยกกำลัง

สมมติว่าคุณทราบด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและมุมสามมุม จากนั้นจึงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้ง่าย: S = a²sinα sinγ / (2sinβ) โดยที่ β คือมุมตรงข้ามกับด้าน a และ α และ γ เป็นมุมที่อยู่ติดกับด้านข้าง

วิดีโอในหัวข้อ

บันทึก

สูตรทั่วไปที่เหมาะกับทุกกรณีคือสูตรของเฮรอน

แหล่งที่มา:

เคล็ดลับ 3: วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสาม

การค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในการวางแผนแผนผังของโรงเรียน การรู้ด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมก็เพียงพอที่จะกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้ ในกรณีพิเศษของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านสองด้านและด้านหนึ่งตามลำดับ

คุณจะต้องการ

• ความยาวของด้านของสามเหลี่ยม สูตรของเฮรอน ทฤษฎีบทโคไซน์

คำแนะนำ

สูตรของนกกระสาสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมีดังนี้ S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) ถ้าเราเขียน p กึ่งเส้นรอบรูป เราจะได้: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4

คุณสามารถหาสูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้จากการพิจารณา เช่น โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์

ตามทฤษฎีบทโคไซน์ AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC) การใช้สัญลักษณ์ที่แนะนำสามารถเขียนในรูปแบบ: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC) ดังนั้น cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

พื้นที่ของสามเหลี่ยมยังหาได้จากสูตร S = a*c*sin(ABC)/2 โดยใช้สองด้านและมุมระหว่างสองด้าน ไซน์ของมุม ABC สามารถแสดงได้โดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) โดยการแทนที่ไซน์ลงในสูตรสำหรับพื้นที่แล้วเขียนมันออกมา ก็สามารถหาสูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC ได้

วิดีโอในหัวข้อ

ในการทำงานซ่อมแซมอาจจำเป็นต้องมีการวัดผล สี่เหลี่ยมผนัง ช่วยให้คำนวณปริมาณสีหรือวอลเปเปอร์ที่ต้องการได้ง่ายขึ้น สำหรับการวัด วิธีที่ดีที่สุดคือใช้สายวัดหรือสายวัด ควรทำการวัดหลังจากนั้น ผนังถูกปรับระดับ

คุณจะต้องการ

• -รูเล็ต;
• -บันไดปีน.

คำแนะนำ

ที่จะนับ สี่เหลี่ยมผนังคุณจำเป็นต้องทราบความสูงที่แน่นอนของเพดานและวัดความยาวตามแนวพื้นด้วย ทำได้ดังนี้: ใช้เซนติเมตรแล้ววางไว้บนกระดานข้างก้น โดยปกติแล้วเซนติเมตรหนึ่งจะไม่เพียงพอสำหรับความยาวทั้งหมด ดังนั้นให้ยึดไว้ตรงมุมแล้วคลายออกให้สุดความยาวสูงสุด ณ จุดนี้ ให้ทำเครื่องหมายด้วยดินสอ เขียนผลลัพธ์ที่ได้ และทำการวัดเพิ่มเติมในลักษณะเดียวกัน โดยเริ่มจากจุดการวัดสุดท้าย

เพดานมาตรฐานมีขนาด 2 เมตร 80 เซนติเมตร 3 เมตร และ 3 เมตร 20 เซนติเมตร แล้วแต่บ้าน หากบ้านถูกสร้างขึ้นก่อนทศวรรษที่ 50 ความสูงจริงน่าจะต่ำกว่าที่ระบุไว้เล็กน้อย หากคุณกำลังคำนวณ สี่เหลี่ยมสำหรับงานซ่อมแซมอุปทานเล็กน้อยจะไม่เสียหาย - พิจารณาตามมาตรฐาน หากคุณยังต้องการทราบส่วนสูงที่แท้จริง ให้ทำการวัด หลักการคล้ายกับการวัดความยาว แต่คุณจะต้องมีบันได

คูณตัวบ่งชี้ผลลัพธ์ - นี่คือ สี่เหลี่ยมของคุณ ผนัง- จริงอยู่ที่เมื่อทาสีหรือทาสีจำเป็นต้องลบออก สี่เหลี่ยมการเปิดประตูและหน้าต่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วางเซนติเมตรตามแนวช่องเปิด หากเรากำลังพูดถึงประตูที่คุณจะเปลี่ยนในภายหลังให้ดำเนินการถอดกรอบประตูออกโดยคำนึงถึงเท่านั้น สี่เหลี่ยมตรงไปที่ช่องเปิดนั่นเอง พื้นที่ของหน้าต่างคำนวณตามเส้นรอบวงของกรอบ หลังจาก สี่เหลี่ยมคำนวณหน้าต่างและทางเข้าประตูแล้วลบผลลัพธ์ออกจากพื้นที่ผลลัพธ์รวมของห้อง

โปรดทราบว่าการวัดความยาวและความกว้างของห้องนั้นดำเนินการโดยคนสองคนทำให้ง่ายต่อการแก้ไขเซนติเมตรหรือเทปวัดและดังนั้นจึงได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ทำการวัดแบบเดียวกันหลายๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นแม่นยำ

วิดีโอในหัวข้อ

การหาปริมาตรของรูปสามเหลี่ยมเป็นงานที่ไม่สำคัญเลย ความจริงก็คือสามเหลี่ยมเป็นรูปสองมิตินั่นคือ มันอยู่ในระนาบเดียว ซึ่งหมายความว่ามันไม่มีปริมาตร แน่นอนว่าคุณไม่สามารถหาสิ่งที่ไม่มีอยู่ได้ แต่อย่ายอมแพ้! เราสามารถยอมรับสมมติฐานต่อไปนี้: ปริมาตรของรูปสองมิติคือพื้นที่ของมัน เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

คุณจะต้องการ

• แผ่นกระดาษ ดินสอ ไม้บรรทัด เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

วาดบนกระดาษโดยใช้ไม้บรรทัดและดินสอ เมื่อตรวจสอบสามเหลี่ยมอย่างละเอียด คุณจะแน่ใจได้ว่าสามเหลี่ยมนั้นไม่มีรูปสามเหลี่ยมจริงๆ เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมนั้นวาดบนเครื่องบิน เขียนกำกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม: ให้ด้านหนึ่งเป็นด้าน "a" อีกด้านเป็น "b" และด้านที่สามเป็น "c" ติดป้ายกำกับจุดยอดของสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร "A", "B" และ "C"

วัดด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัดแล้วจดผลลัพธ์ไว้ หลังจากนั้นให้คืนค่าตั้งฉากกับด้านที่วัดจากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับจุดนั้น ซึ่งตั้งฉากดังกล่าวจะเป็นความสูงของรูปสามเหลี่ยม ในกรณีที่แสดงในรูป ค่าตั้งฉาก "h" จะกลับคืนสู่ด้าน "c" จากจุดยอด "A" วัดความสูงผลลัพธ์ด้วยไม้บรรทัดแล้วจดผลการวัด

อาจเป็นเรื่องยากสำหรับคุณที่จะคืนค่าตั้งฉากที่แน่นอน ในกรณีนี้ คุณควรใช้สูตรอื่น วัดทุกด้านของสามเหลี่ยมด้วยไม้บรรทัด หลังจากนั้น ให้คำนวณกึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม “p” โดยบวกความยาวผลลัพธ์ของด้านแล้วหารผลรวมเป็นครึ่งหนึ่ง เมื่อรู้ค่ากึ่งเส้นรอบรูปแล้ว คุณสามารถใช้สูตรของเฮรอนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหาค่ารากที่สองของค่าต่อไปนี้: p(p-a)(p-b)(p-c)

คุณได้พื้นที่สามเหลี่ยมที่ต้องการแล้ว ปัญหาการหาปริมาตรของสามเหลี่ยมยังไม่ได้รับการแก้ไข แต่ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ปริมาตรไม่ได้ได้รับการแก้ไข คุณสามารถหาปริมาตรที่เป็นรูปสามเหลี่ยมได้ในโลกสามมิติ หากเราจินตนาการว่าสามเหลี่ยมเดิมของเรากลายเป็นปิรามิดสามมิติ ปริมาตรของปิรามิดนั้นจะเป็นผลคูณของความยาวของฐานคูณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เราได้รับ

บันทึก

ยิ่งคุณวัดได้ละเอียดมากเท่าไร การคำนวณของคุณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

แหล่งที่มา:

• เครื่องคิดเลข "ทุกอย่างถึงทุกสิ่ง" - พอร์ทัลสำหรับค่าอ้างอิง
• ปริมาณสามเหลี่ยมในปี 2562

จุดสามจุดที่กำหนดสามเหลี่ยมในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยเฉพาะคือจุดยอด เมื่อทราบตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดแต่ละแกนแล้ว คุณสามารถคำนวณพารามิเตอร์ใดๆ ของรูปแบนนี้ได้ รวมถึงพารามิเตอร์ที่ถูกจำกัดด้วยเส้นรอบวงด้วย สี่เหลี่ยม- ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี

คำแนะนำ

ใช้สูตรของนกกระสาในการคำนวณพื้นที่ สามเหลี่ยม- มันเกี่ยวข้องกับขนาดของด้านทั้งสามของรูป ดังนั้นให้เริ่มการคำนวณด้วย ความยาวของแต่ละด้านจะต้องเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของความยาวของเส้นโครงลงบนแกนพิกัด หากเราแสดงพิกัด A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) และ C(X₃,Y₃,Z₃) ความยาวของด้านสามารถแสดงได้ดังนี้: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ให้แนะนำตัวแปรเสริม - เซมิเส้นรอบวง (P) จากข้อเท็จจริงที่ว่านี่คือผลรวมครึ่งหนึ่งของความยาวของทุกด้าน: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²)

ดังที่คุณอาจจำได้จากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน สามเหลี่ยมคือรูปร่างที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อกันด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน รูปสามเหลี่ยมประกอบขึ้นเป็นสามมุม จึงเป็นที่มาของชื่อรูปนั้น คำจำกัดความอาจแตกต่างกัน สามเหลี่ยมสามารถเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมที่มีสามมุมได้คำตอบก็จะถูกต้องเช่นกัน สามเหลี่ยมจะถูกแบ่งตามจำนวนด้านที่เท่ากันและขนาดของมุมในรูป ดังนั้น สามเหลี่ยมจึงถูกจำแนกเป็นหน้าจั่ว ด้านเท่ากันหมด และด้านไม่เท่ากัน เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยม เฉียบพลัน และป้าน ตามลำดับ

มีสูตรคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมมากมาย เลือกวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเช่น จะใช้สูตรไหนก็ขึ้นอยู่กับคุณ แต่ก็น่าสังเกตเพียงสัญลักษณ์บางส่วนที่ใช้ในหลายสูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น จำไว้ว่า:

S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

h คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม

R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

p คือกึ่งปริมณฑล

ต่อไปนี้เป็นสัญลักษณ์พื้นฐานที่อาจเป็นประโยชน์สำหรับคุณ หากคุณลืมวิชาเรขาคณิตไปจนหมด ด้านล่างนี้เป็นตัวเลือกที่เข้าใจได้และไม่ซับซ้อนที่สุดสำหรับการคำนวณพื้นที่ที่ไม่รู้จักและลึกลับของรูปสามเหลี่ยม ไม่ใช่เรื่องยากและจะเป็นประโยชน์ทั้งต่อความต้องการในครัวเรือนและช่วยเหลือลูก ๆ ของคุณ จำวิธีคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมให้ง่ายที่สุด:

ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ: S = ½ * 2.2 ซม. * 2.5 ซม. = 2.75 ตร.ซม. โปรดจำไว้ว่าพื้นที่มีหน่วยเป็นตารางเซนติเมตร (ตร.ซม.)

สามเหลี่ยมมุมฉากและพื้นที่ของมัน

สามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา (จึงเรียกว่ามุมฉาก) มุมฉากเกิดจากเส้นตั้งฉากสองเส้น (ในกรณีของสามเหลี่ยม เส้นตั้งฉากสองส่วน) ในสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมฉากได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น เพราะ... ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมด้านใดด้านหนึ่งจะเท่ากับ 180 องศา ปรากฎว่าอีก 2 มุมควรใช้มุม 90 องศาที่เหลือร่วมกัน เช่น 70 กับ 20, 45 และ 45 เป็นต้น ดังนั้นคุณจำสิ่งสำคัญได้สิ่งที่เหลืออยู่คือค้นหาวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองจินตนาการว่าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ตรงหน้า และเราจำเป็นต้องหาพื้นที่ S ของมัน

1. วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ: S = 2.5 ซม. * 3 ซม. / 2 = 3.75 ตร.ซม.

โดยหลักการแล้วไม่จำเป็นต้องตรวจสอบพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วยวิธีอื่นอีกต่อไปเพราะว่า เพียงเท่านี้ก็จะมีประโยชน์และจะช่วยในชีวิตประจำวัน แต่ยังมีตัวเลือกในการวัดพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านมุมแหลมอีกด้วย

2. สำหรับวิธีคำนวณอื่นๆ คุณต้องมีตารางโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตัดสินด้วยตัวคุณเองต่อไปนี้เป็นตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ยังสามารถใช้ได้:

เราตัดสินใจใช้สูตรแรกและมีจุดเล็กๆ น้อยๆ (เราวาดมันในสมุดบันทึกและใช้ไม้บรรทัดและไม้โปรแทรกเตอร์เก่า) แต่เราได้รับการคำนวณที่ถูกต้อง:

ส = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2) เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: 3.6=3.7 แต่เมื่อคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของเซลล์ เราสามารถให้อภัยความแตกต่างเล็กน้อยนี้ได้

สามเหลี่ยมหน้าจั่วและพื้นที่ของมัน

หากคุณกำลังเผชิญกับงานคำนวณสูตรสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ววิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้หลักและสิ่งที่ถือเป็นสูตรคลาสสิกสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม

แต่ก่อนอื่น ก่อนที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เรามาดูกันว่าเป็นรูปชนิดใด สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน ทั้งสองด้านเรียกว่าด้านข้าง ด้านที่สามเรียกว่าฐาน อย่าสับสนระหว่างสามเหลี่ยมหน้าจั่วกับสามเหลี่ยมด้านเท่า เช่น สามเหลี่ยมปกติที่มีด้านทั้งสามด้านเท่ากัน ในรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่มีแนวโน้มพิเศษกับมุมหรือขนาดของมัน อย่างไรก็ตาม มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากัน แต่แตกต่างจากมุมระหว่างด้านที่เท่ากัน คุณรู้สูตรแรกและสูตรหลักแล้ว แต่ยังต้องหาสูตรอื่นในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

ในการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคุณสามารถใช้สูตรต่างๆได้ จากวิธีการทั้งหมด วิธีที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุดคือคูณความสูงด้วยความยาวของฐานแล้วหารผลลัพธ์ด้วยสอง อย่างไรก็ตามวิธีนี้ยังห่างไกลจากวิธีเดียว ด้านล่างนี้คุณสามารถอ่านวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรต่างๆ ได้

แยกกันเราจะดูวิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทเฉพาะ - สี่เหลี่ยม, หน้าจั่วและด้านเท่ากันหมด เรามาพร้อมกับแต่ละสูตรพร้อมคำอธิบายสั้นๆ ที่จะช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของสูตร

วิธีการสากลในการค้นหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรด้านล่างใช้สัญลักษณ์พิเศษ เราจะถอดรหัสแต่ละรายการ:

• a, b, c – ความยาวของด้านทั้งสามของรูปที่เรากำลังพิจารณา
• r คือรัศมีของวงกลมที่สามารถจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมของเราได้
• R คือรัศมีของวงกลมที่สามารถอธิบายได้โดยรอบ
• α คือขนาดของมุมที่เกิดจากด้าน b และ c;
• β คือขนาดของมุมระหว่าง a และ c;
• γ คือขนาดของมุมที่เกิดจากด้าน a และ b;
• h คือความสูงของสามเหลี่ยมของเรา ลดลงจากมุม α ไปทางด้าน a;
• p – ครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้าน a, b และ c

เป็นที่ชัดเจนว่าทำไมคุณจึงสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วยวิธีนี้ได้ สามเหลี่ยมสามารถต่อให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานได้อย่างง่ายดาย โดยด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมจะทำหน้าที่เป็นเส้นทแยงมุม หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้โดยการคูณความยาวของด้านใดด้านหนึ่งด้วยค่าของความสูงที่วาดลงไป เส้นทแยงมุมจะแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานแบบมีเงื่อนไขนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมที่เหมือนกัน 2 รูป ดังนั้นจึงค่อนข้างชัดเจนว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิมของเราจะต้องเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเสริมนี้

S=½ ข บาป γ

ตามสูตรนี้ พื้นที่ของสามเหลี่ยมพบได้โดยการคูณความยาวของด้านทั้งสองของมัน ซึ่งก็คือ a และ b ด้วยไซน์ของมุมที่เกิดจากพวกมัน สูตรนี้ได้มาจากสูตรก่อนหน้าในทางตรรกะ ถ้าเราลดความสูงจากมุม β ลงด้าน b ตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเราคูณความยาวของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ เราจะได้ความสูงของสามเหลี่ยม นั่นคือ h .

หาพื้นที่ของร่างที่เป็นปัญหาได้โดยการคูณรัศมีครึ่งหนึ่งของวงกลมที่สามารถจารึกไว้ในเส้นรอบวงได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะหาผลคูณของกึ่งเส้นรอบรูปและรัศมีของวงกลมดังกล่าว

S= ก ค/4R

ตามสูตรนี้ ค่าที่เราต้องการสามารถหาได้โดยการหารผลคูณของด้านข้างของรูปด้วยรัศมี 4 ของวงกลมที่อธิบายรอบๆ รูปนั้น

สูตรเหล่านี้เป็นสูตรสากลเนื่องจากทำให้สามารถกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ (สเกลน, หน้าจั่ว, ด้านเท่ากันหมด, สี่เหลี่ยม) ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้การคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งเราจะไม่พูดถึงรายละเอียด

พื้นที่สามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติเฉพาะ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร? ลักษณะเฉพาะของรูปนี้คือทั้งสองด้านมีความสูงเท่ากัน ถ้า a และ b เป็นขา และ c กลายเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจะพบพื้นที่ดังนี้:

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร? มีด้านยาว a สองด้าน และด้านหนึ่งยาว b ดังนั้น พื้นที่ของมันสามารถกำหนดได้โดยการหารด้วย 2 ผลคูณของกำลังสองของด้าน a ด้วยไซน์ของมุม γ

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร? ในนั้น ความยาวของด้านทุกด้านเท่ากับ a และขนาดของมุมทั้งหมดคือ α ความสูงเท่ากับครึ่งหนึ่งผลคูณของความยาวของด้าน a และรากที่สองของ 3 ในการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ คุณต้องคูณกำลังสองของด้าน a ด้วยรากที่สองของ 3 แล้วหารด้วย 4.

รูปสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งเราคุ้นเคยกันดีในโรงเรียนประถมศึกษา นักเรียนทุกคนต้องเผชิญกับคำถามว่าจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในบทเรียนเรขาคณิตได้อย่างไร ดังนั้นคุณลักษณะใดของการค้นหาพื้นที่ของรูปที่กำหนดจึงสามารถระบุได้? ในบทความนี้เราจะดูสูตรพื้นฐานที่จำเป็นในการทำงานดังกล่าวให้สำเร็จและวิเคราะห์ประเภทของรูปสามเหลี่ยมด้วย

ประเภทของรูปสามเหลี่ยม

คุณสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้หลายวิธีเนื่องจากในเรขาคณิตมีรูปมากกว่าหนึ่งประเภทที่มีสามมุม ประเภทเหล่านี้ได้แก่:

• ป้าน.
• ด้านเท่ากันหมด (ถูกต้อง)
• สามเหลี่ยมมุมฉาก.
• หน้าจั่ว.

มาดูสามเหลี่ยมแต่ละประเภทที่มีอยู่กันดีกว่า

รูปทรงเรขาคณิตนี้ถือเป็นเรื่องธรรมดาที่สุดเมื่อแก้ไขปัญหาทางเรขาคณิต เมื่อจำเป็นต้องวาดรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ ตัวเลือกนี้จะช่วยได้

ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมตามชื่อ มุมทุกมุมจะมีความแหลมและรวมกันได้ 180°

สามเหลี่ยมประเภทนี้ก็พบได้ทั่วไปเช่นกัน แต่ก็พบได้น้อยกว่าสามเหลี่ยมมุมแหลมบ้าง ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้โจทย์รูปสามเหลี่ยม (นั่นคือ รู้ด้านและมุมหลายด้านแล้ว และคุณจำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบที่เหลือ) บางครั้งคุณจำเป็นต้องพิจารณาว่ามุมนั้นเป็นรูปป้านหรือไม่ โคไซน์เป็นจำนวนลบ

B ค่าของมุมใดมุมหนึ่งเกิน 90° ดังนั้นอีกสองมุมที่เหลือจึงมีค่าน้อยได้ (เช่น 15° หรือ 3°)

หากต้องการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทนี้ คุณจำเป็นต้องทราบความแตกต่างบางประการซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง

สามเหลี่ยมปกติและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปที่มีมุม n มุม และมีด้านและมุมเท่ากันหมด นี่คือลักษณะของสามเหลี่ยมปกติ เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมคือ 180° ดังนั้นแต่ละมุมของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 60°

เนื่องจากคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมปกติจึงเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าสามารถจารึกวงกลมได้เพียงวงเดียวในรูปสามเหลี่ยมปกติและสามารถอธิบายวงกลมรอบ ๆ ได้เพียงวงเดียวเท่านั้นและศูนย์กลางของพวกมันอยู่ที่จุดเดียวกัน

นอกจากประเภทด้านเท่ากันหมดแล้ว เรายังสามารถแยกแยะสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ ซึ่งจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย ในรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว ด้านสองด้านและสองมุมจะเท่ากัน และด้านที่สาม (ซึ่งมีมุมเท่ากันอยู่ติดกัน) เป็นฐาน

รูปนี้แสดง DEF สามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งมีมุม D และ F เท่ากัน และ DF เป็นฐาน

สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากได้ชื่อนี้เพราะว่ามุมหนึ่งของมันเป็นมุมฉาก นั่นคือ เท่ากับ 90° อีกสองมุมรวมกันได้ 90°

ด้านที่ใหญ่ที่สุดของรูปสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุม 90° คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ในขณะที่อีกสองด้านที่เหลือคือขา สำหรับสามเหลี่ยมประเภทนี้ จะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

รูปนี้แสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก BAC โดยมีด้านตรงข้ามมุมฉาก AC และขา AB และ BC

ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก คุณจำเป็นต้องรู้ค่าตัวเลขของขาของมัน

เรามาดูสูตรการหาพื้นที่ของรูปที่กำหนดกันดีกว่า

สูตรพื้นฐานในการหาพื้นที่

ในเรขาคณิตมีสองสูตรที่เหมาะสำหรับการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ ได้แก่ สามเหลี่ยมเฉียบพลัน, ป้าน, ธรรมดา และสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มาดูกันทีละอัน

ด้านข้างและความสูง

สูตรนี้เป็นสูตรสากลสำหรับการค้นหาพื้นที่ของรูปที่เรากำลังพิจารณา ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านและความยาวของความสูงที่ลากไป สูตรเอง (ครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง) มีดังต่อไปนี้:

โดยที่ A คือด้านของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด และ H คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ACB คุณต้องคูณด้าน AB ด้วยความสูง CD แล้วหารค่าผลลัพธ์ด้วยสอง

อย่างไรก็ตาม การหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วยวิธีนี้ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากต้องการใช้สูตรนี้กับสามเหลี่ยมป้าน คุณต้องขยายด้านใดด้านหนึ่งแล้วจึงวาดระดับความสูงลงไป

ในทางปฏิบัติมีการใช้สูตรนี้บ่อยกว่าสูตรอื่น

ทั้งสองด้านและมุม

สูตรนี้เหมือนกับสูตรก่อนหน้า เหมาะสำหรับสามเหลี่ยมส่วนใหญ่ และความหมายเป็นผลจากสูตรในการหาพื้นที่ข้างเคียงและความสูงของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือสูตรที่เป็นปัญหาสามารถหามาจากสูตรก่อนหน้าได้อย่างง่ายดาย สูตรของมันมีลักษณะดังนี้:

S = ½*บาปO*A*B

โดยที่ A และ B เป็นด้านของสามเหลี่ยม และ O คือมุมระหว่างด้าน A และ B

ให้เราระลึกว่าสามารถดูไซน์ของมุมได้ในตารางพิเศษที่ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตผู้มีชื่อเสียง V. M. Bradis

ตอนนี้เรามาดูสูตรอื่นๆ ที่เหมาะกับสามเหลี่ยมประเภทพิเศษเท่านั้น

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

นอกจากสูตรสากลซึ่งรวมถึงความจำเป็นในการค้นหาระดับความสูงในรูปสามเหลี่ยมแล้วยังสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากได้จากขาของมัน

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา หรือ:

โดยที่ a และ b เป็นขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมปกติ

รูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้แตกต่างตรงที่พื้นที่สามารถพบได้ด้วยค่าที่ระบุของด้านใดด้านหนึ่งเท่านั้น (เนื่องจากทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมปกติเท่ากัน) ดังนั้น เมื่อต้องเผชิญกับภารกิจ “หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเมื่อด้านเท่ากัน” คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้:

ส = ก 2 *√3 / 4,

โดยที่ A คือด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า

สูตรของนกกระสา

ตัวเลือกสุดท้ายในการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือสูตรของเฮรอน หากต้องการใช้ คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของด้านทั้งสามของรูป สูตรของนกกระสามีลักษณะดังนี้:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c)

โดยที่ a, b และ c เป็นด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนด

บางครั้งปัญหาก็ได้รับมา: “พื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติคือการหาความยาวของด้าน” ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องใช้สูตรที่เรารู้อยู่แล้วในการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติและรับค่าของด้าน (หรือกำลังสอง):

ก 2 = 4S / √3

งานสอบ

โจทย์ GIA ทางคณิตศาสตร์มีหลายสูตร นอกจากนี้บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมบนกระดาษตารางหมากรุก

ในกรณีนี้จะสะดวกที่สุดในการวาดความสูงไปที่ด้านใดด้านหนึ่งของรูป กำหนดความยาวจากเซลล์ และใช้สูตรสากลในการค้นหาพื้นที่:

ดังนั้นหลังจากศึกษาสูตรที่นำเสนอในบทความแล้ว คุณจะไม่มีปัญหาในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมชนิดใดๆ