เป้า:พิจารณาแนวคิดของเส้นตรงบนเครื่องบินพร้อมยกตัวอย่าง จากนิยามของเส้น ให้แนะนำแนวคิดเรื่องสมการของเส้นบนระนาบ พิจารณาประเภทของเส้นตรง ยกตัวอย่าง และวิธีการกำหนดเส้นตรง เสริมสร้างความสามารถในการแปลสมการเส้นตรงจากรูปแบบทั่วไปเป็นสมการของเส้นตรง "ในส่วน" โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม
- สมการของเส้นตรงบนระนาบ
- สมการของเส้นตรงบนระนาบ ประเภทของสมการ
- วิธีการกำหนดเส้นตรง
1. ให้ x และ y เป็นตัวแปรอิสระสองตัว
คำนิยาม: ความสัมพันธ์ของรูปแบบ F(x,y)=0 เรียกว่า สมการ ถ้ามันไม่เป็นความจริงสำหรับคู่ตัวเลข x และ y ใดๆ
ตัวอย่าง: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0
หากความเท่าเทียมกัน F(x,y)=0 ถือเป็นค่า x, y ใดๆ ดังนั้น F(x,y) = 0 จึงเป็นอัตลักษณ์
ตัวอย่าง: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0
พวกเขาบอกว่าตัวเลข x เป็น 0 และ y เป็น 0 ตอบสนองสมการ หากเมื่อแทนที่พวกมันลงในสมการนี้ มันจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง
แนวคิดที่สำคัญที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์คือแนวคิดเรื่องสมการเส้นตรง
คำนิยาม: สมการของเส้นตรงที่กำหนดคือสมการ F(x,y)=0 ซึ่งพอใจกับพิกัดของจุดทั้งหมดบนเส้นนี้ และไม่พอใจกับพิกัดของจุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนี้
เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ y = f(x) เรียกว่ากราฟของ f(x) ตัวแปร x และ y เรียกว่าพิกัดปัจจุบัน เนื่องจากเป็นพิกัดของจุดตัวแปร
บาง ตัวอย่างคำจำกัดความของเส้น
1) x – y = 0 => x = y สมการนี้กำหนดเส้นตรง:
2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => คะแนนจะต้องเป็นไปตามสมการ x - y = 0 หรือสมการ x + y = 0 ซึ่งสอดคล้องกับบนระนาบถึง เส้นตรงคู่หนึ่งที่ตัดกันซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัด:
3) x 2 + y 2 = 0 สมการนี้มีจุด O(0,0) เพียงจุดเดียว
2. คำนิยาม: เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการอันดับหนึ่ง
ขวาน + Wu + C = 0,
ยิ่งกว่านั้นค่าคงที่ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกันนั่นคือ A 2 + B 2 ¹ 0 เรียกว่าสมการลำดับแรก สมการทั่วไปของเส้นตรง
ขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ A, B และ C อาจมีกรณีพิเศษต่อไปนี้:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – เส้นตรงตัดผ่านจุดกำเนิด
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (โดย + C = 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Ox
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – เส้นตรงขนานกับแกน Oy
B = C = 0, A ¹ 0 – เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Oy
A = C = 0, B ¹ 0 – เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Ox
สมการของเส้นตรงสามารถแสดงได้ในรูปแบบต่างๆ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุม
หากสมการทั่วไปของเส้นตรง Ax + By + C = 0 ลดลงเป็นรูปแบบ:
และแสดงว่า แล้วจึงเรียกสมการผลลัพธ์ สมการของเส้นตรงกับความชัน k.
สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0 จากนั้นหารด้วย –С เราจะได้: หรือ โดยที่
ความหมายทางเรขาคณิตของค่าสัมประสิทธิ์ก็คือค่าสัมประสิทธิ์ กคือพิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนอ็อกซ์ และ ข– พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนออย
สมการปกติของเส้นตรง
หากทั้งสองข้างของสมการ Ax + By + C = 0 หารด้วยตัวเลขที่เรียกว่า ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้
xcosj + ysinj - p = 0 – สมการปกติของเส้นตรง
ต้องเลือกเครื่องหมาย ± ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน เพื่อให้ m×С< 0.
p คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง และ j คือมุมที่เกิดจากตั้งฉากกับทิศทางบวกของแกน Ox
3. สมการเส้นตรงโดยใช้จุดและความชัน
ปล่อยให้สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับ k เส้นจะผ่านจุด M(x 0, y 0) จากนั้นสมการของเส้นตรงจะพบได้จากสูตร: y – y 0 = k(x – x 0)
สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด
ให้จุดสองจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ถูกกำหนดไว้ในอวกาศ จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้คือ:
ถ้าตัวส่วนใดๆ เป็นศูนย์ ควรตั้งค่าตัวเศษที่สอดคล้องกันให้เท่ากับศูนย์
บนระนาบ สมการของเส้นตรงที่เขียนด้านบนจะถูกทำให้ง่ายขึ้น:
ถ้า x 1 ¹ x 2 และ x = x 1 ถ้า x 1 = x 2
เรียกว่าเศษส่วน = k ความลาดชันตรง.
เส้นบนระนาบสามารถกำหนดได้โดยใช้สมการสองสมการ
ที่ไหน เอ็กซ์และ คุณ -พิกัดของจุดใดก็ได้ ม(เอ็กซ์; ที่) นอนอยู่บนบรรทัดนี้และ ที- ตัวแปรที่เรียกว่า พารามิเตอร์.
พารามิเตอร์ ทีกำหนดตำแหน่งของจุด ( เอ็กซ์; ที่) บนพื้นผิว
ถ้าอย่างนั้น
จากนั้นค่าพารามิเตอร์ ที= 2 ตรงกับจุด (4; 1) บนระนาบ เพราะ เอ็กซ์ = 2 + 2 = 4, ย= 2 2 – 3 = 1.
ถ้าเป็นพารามิเตอร์ ทีเปลี่ยนแปลง จากนั้นจุดบนเครื่องบินจะเคลื่อนที่ อธิบายบรรทัดนี้ วิธีการกำหนดเส้นโค้งนี้เรียกว่า พารามิเตอร์และสมการ (1) - สมการเส้นพาราเมตริก.
ลองพิจารณาตัวอย่างของเส้นโค้งที่รู้จักกันดีซึ่งระบุไว้ในรูปแบบพาราเมตริก
1) แอสทรอยด์:
ที่ไหน ก> 0 – ค่าคงที่
ที่ ก= 2 มีรูปแบบ:
รูปที่ 4. แอสทรอยด์
2) ไซโคลิด: 
ที่ไหน ก> 0 – ค่าคงที่
ที่ ก= 2 มีรูปแบบ:
รูปที่ 5 ไซโคลลอยด์
สมการเส้นเวกเตอร์
สามารถระบุเส้นบนเครื่องบินได้ สมการเวกเตอร์
ที่ไหน ที– พารามิเตอร์ตัวแปรสเกลาร์
แต่ละค่าพารามิเตอร์ ที 0 สอดคล้องกับเวกเตอร์ระนาบที่แน่นอน เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะอธิบายเส้นบางเส้น (รูปที่ 6)
สมการเวกเตอร์ของเส้นตรงในระบบพิกัด โอ้โห
สอดคล้องกับสมการสเกลาร์สองสมการ (4) เช่น สมการฉายภาพ
บนแกนพิกัดของสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงจะมีสมการพาราเมตริก
 |
รูปที่ 6. สมการเส้นเวกเตอร์
สมการเวกเตอร์และสมการเส้นพาราเมตริกมีความหมายเชิงกล หากจุดเคลื่อนที่บนระนาบ สมการที่ระบุจะถูกเรียก สมการของการเคลื่อนที่, เส้น - วิถีจุด, พารามิเตอร์ ที- เวลา.
ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ F(x, y) = 0 เรียกว่าสมการที่มีตัวแปร x, y สองตัว หากค่า x, y ทุกคู่ไม่เป็นความจริง พวกเขาบอกว่าตัวเลขสองตัว x = x 0, y = y 0 เป็นไปตามสมการบางอย่างในรูปแบบ F(x, y) = 0 หากเมื่อแทนตัวเลขเหล่านี้แทนตัวแปร x และ y ลงในสมการ ทางด้านซ้ายของตัวเลขจะกลายเป็นศูนย์ .
สมการของเส้นตรงที่กำหนด (ในระบบพิกัดที่กำหนด) คือสมการที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งพอใจกับพิกัดของทุกจุดที่วางอยู่บนเส้นนี้ และไม่พอใจกับพิกัดของทุกจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนั้น
ต่อไปนี้ แทนที่จะใช้นิพจน์ “เมื่อให้สมการของเส้นตรง F(x, y) = 0” เรามักจะพูดสั้นกว่านี้ว่า เมื่อให้เส้นตรง F(x, y) = 0
หากกำหนดสมการของสองบรรทัด: F(x, y) = 0 และ Ф(x, y) = 0 ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาร่วมของระบบ
F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0
ให้จุดตัดทั้งหมด แม่นยำยิ่งขึ้น แต่ละคู่ของตัวเลขที่เป็นคำตอบร่วมของระบบนี้จะกำหนดจุดตัดจุดใดจุดหนึ่ง
157. คะแนนที่ได้รับ *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), ม 6 (3; -2) พิจารณาว่าจุดใดที่ให้มาอยู่บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ x + y = 0 และจุดใดที่ไม่อยู่บนเส้นนั้น เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด)
158. บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ x 2 + y 2 = 25 ให้หาจุดที่มีจุดหักล้างเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; ในบรรทัดเดียวกันให้ค้นหาจุดที่มีพิกัดเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: 5) 3, 6) -5, 7) -8 เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด)
159. กำหนดว่าเส้นใดถูกกำหนดโดยสมการต่อไปนี้ (สร้างตามรูปวาด): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) ปี + 2 = 0; 7) x = 0; 8) ย = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - ย 2 = 0; 12) xy = 0; 13) ปี 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) และ 2 + คูณ + 4 = 0; 16) x 2 ปี - 7xy + 10y = 0; 17) ย - |x|; 18) x - |y|; 19) ย + |x| = 0; 20) x + |ย| = 0; 21) ย = |x - 1|; 22) ย = |x + 2|; 23) x 2 + ย 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (ย + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0
160. เส้นที่กำหนด: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0 พิจารณาว่าอันไหนผ่านจุดกำเนิด
161. เส้นที่กำหนด: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. หาจุดตัดกัน: a) ด้วยแกน Ox; b) ด้วยแกน Oy
162. ค้นหาจุดตัดของเส้นสองเส้น:
1) x 2 + ปี 2 - 8; x - ย =0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4
163. ในระบบพิกัดเชิงขั้ว จุด M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) และ M 5 ( 1; 2/3π). พิจารณาว่าจุดใดอยู่บนเส้นที่กำหนดในพิกัดเชิงขั้วโดยสมการ p = 2cosΘ และจุดใดไม่ได้อยู่บนเส้นนั้น เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด)
164. บนเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ p = 3/cosΘ ให้หาจุดที่มีมุมเชิงขั้วเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6 เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (สร้างมันขึ้นมาบนภาพวาด)
165. บนเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ p = 1/sinΘ ให้หาจุดที่มีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: a) 1 6) 2, c) √2 เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (สร้างมันขึ้นมาบนภาพวาด)
166. กำหนดเส้นที่กำหนดในพิกัดเชิงขั้วโดยสมการต่อไปนี้ (สร้างบนภาพวาด): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) พี cosΘ = 2; 5) p บาปΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 บาปΘ; 8) บาปΘ = 1/2; 9) ไซน์ = 1/2
167. สร้างเกลียวอาร์คิมิดีสต่อไปนี้บนภาพวาด: 1) p = 20; 2) พี = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.
168. สร้างเกลียวไฮเพอร์โบลิกต่อไปนี้บนภาพวาด: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) พี= - π/Θ
169. สร้างเกลียวลอการิทึมต่อไปนี้บนภาพวาด: 1) p = 2 Θ; 2) พี = (1/2) Θ
170. จงหาความยาวของส่วนที่เกลียวอาร์คิมิดีส p = 3Θ ถูกตัดด้วยลำแสงที่โผล่ออกมาจากขั้วและเอียงไปที่แกนขั้วที่มุม Θ = π/6 วาดรูป.
171. บนเกลียวอาร์คิมิดีสที่ p = 5/πΘ ให้หาจุด C โดยมีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับ 47 จงพิจารณาว่าเกลียวนี้จะตัดรัศมีเชิงขั้วของจุด C ได้กี่ส่วน จงวาดรูป
172. บนเกลียวไฮเปอร์โบลิก P = 6/Θ หาจุด P ที่มีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับ 12 วาดรูป
173. บนเกลียวลอการิทึม p = 3 Θ หาจุด P ที่มีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับ 81 วาดรูป
เส้นตรงบนเครื่องบินและในอวกาศ
การศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตโดยใช้พีชคณิตเรียกว่า เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ และเราจะใช้สิ่งที่เรียกว่า วิธีการประสานงาน .
เส้นบนระนาบมักถูกกำหนดให้เป็นชุดของจุดที่มีคุณสมบัติเฉพาะตัว ความจริงที่ว่าพิกัด x และ y (ตัวเลข) ของจุดที่วางอยู่บนเส้นนี้ถูกเขียนเชิงวิเคราะห์ในรูปแบบของสมการบางอย่าง
Def.1 สมการเส้นตรง (สมการเส้นโค้ง) บนระนาบ Oxy เรียกว่าสมการ (*) ซึ่งเป็นไปตามพิกัด x และ y ของแต่ละจุดบนเส้นที่กำหนด และไม่พอใจกับพิกัดของจุดอื่นใดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนี้
จากคำจำกัดความ 1 เป็นไปตามว่าทุกเส้นบนระนาบสอดคล้องกับสมการบางอย่างระหว่างพิกัดปัจจุบัน ( เอ็กซ์, ย ) จุดของเส้นนี้และในทางกลับกัน แต่ละสมการจะสอดคล้องกับเส้นบางเส้น โดยทั่วไป
สิ่งนี้ทำให้เกิดปัญหาหลักสองประการเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์บนระนาบ
1. เส้นถูกกำหนดให้อยู่ในรูปของชุดจุด เราจำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับเส้นนี้
2. ให้สมการของเส้นตรง จำเป็นต้องศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิต (รูปร่างและตำแหน่ง)
ตัวอย่าง- ทำประเด็นโกหก ก(-2;1) และ ใน (1;1) ในบรรทัดที่ 2 เอ็กซ์ +ที่ +3=0?
ปัญหาการหาจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการ แล้วลงมาสู่การหาพิกัดที่เป็นไปตามสมการของเส้นทั้งสองเส้น กล่าวคือ เพื่อแก้ระบบสมการสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัว
หากระบบนี้ไม่มีคำตอบที่แท้จริง เส้นต่างๆ จะไม่ตัดกัน
แนวคิดของเส้นถูกนำมาใช้ใน UCS ในลักษณะเดียวกัน
เส้นบนระนาบสามารถกำหนดได้ด้วยสมการสองสมการ
ที่ไหน เอ็กซ์ และ ที่ – พิกัดจุดโดยพลการ ม(x;ย) นอนอยู่บนเส้นนี้และ ที - ตัวแปรที่เรียกว่า พารามิเตอร์ พารามิเตอร์จะกำหนดตำแหน่งของจุดบนระนาบ
ตัวอย่างเช่น หาก ค่าของพารามิเตอร์ t=2 จะสอดคล้องกับจุด (3;4) บนระนาบ
หากพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลง จุดบนระนาบจะเคลื่อนที่โดยอธิบายบรรทัดนี้ วิธีการกำหนดเส้นนี้เรียกว่า พาราเมตริก และสมการ (5.1) เป็นสมการพาราเมตริกของเส้นตรง
ในการย้ายจากสมการพาราเมตริกไปเป็นสมการทั่วไป (*) เราจะต้องกำจัดพารามิเตอร์ออกจากสมการทั้งสองด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง อย่างไรก็ตาม เราทราบว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่แนะนำให้ทำเสมอไปและไม่สามารถทำได้เสมอไป
สามารถระบุเส้นบนเครื่องบินได้ สมการเวกเตอร์ โดยที่ t คือพารามิเตอร์ตัวแปรสเกลาร์ ค่าพารามิเตอร์แต่ละค่าสอดคล้องกับเวกเตอร์ระนาบเฉพาะ เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จะอธิบายเส้นบางเส้น
สมการเวกเตอร์ ใน DSC สอดคล้องกับสมการสเกลาร์สองสมการ
(5.1) กล่าวคือ สมการของเส้นโครงบนแกนพิกัดของสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงคือสมการของมัน
สมการพาราเมตริก
สมการเวกเตอร์และสมการเส้นพาราเมตริกมีความหมายเชิงกล หากจุดเคลื่อนที่บนระนาบ สมการที่ระบุจะถูกเรียก สมการของการเคลื่อนที่ และเส้นตรงคือวิถีของจุด พารามิเตอร์ t คือเวลา
สรุป: ทุกเส้นบนระนาบสอดคล้องกับสมการของแบบฟอร์ม.
ในกรณีทั่วไป สมการใดๆ ของมุมมองจะสอดคล้องกับเส้นบางเส้น ซึ่งคุณสมบัติของสมการนั้นถูกกำหนดโดยสมการที่กำหนด (ยกเว้นว่าไม่มีภาพเรขาคณิตใดที่สอดคล้องกับสมการบนระนาบ)
ให้เลือกระบบพิกัดบนเครื่องบิน
Def. 5.1. สมการเส้น สมการประเภทนี้เรียกว่าฉ(x;y) =0 ซึ่งพอใจกับพิกัดของทุกจุดที่วางอยู่บนเส้นนี้ และไม่พอใจกับพิกัดของจุดใด ๆ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนี้
สมการของแบบฟอร์มฉ(x;y )=0 – เรียกว่าสมการทั่วไปของเส้นหรือสมการในรูปแบบโดยปริยาย
ดังนั้น เส้น Г คือตำแหน่งของจุดที่เป็นไปตามสมการนี้ Г=((x, y): F(x;y)=0).
สายเรียกอีกอย่างว่า คดเคี้ยว
ความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม F (x, y) = 0เรียกว่าสมการในสองตัวแปร x, ใช่,หากไม่เป็นจริงกับตัวเลขทุกคู่ เอ็กซ์, ย.พวกเขาบอกว่าตัวเลขสองตัว x = x 0 , ย=ย 0, เป็นไปตามสมการของแบบฟอร์มบางอย่าง ฉ(x, y)=0,ถ้าเมื่อแทนตัวเลขเหล่านี้แทนตัวแปร เอ็กซ์และ ที่ในสมการ ด้านซ้ายจะหายไป
สมการของเส้นตรงที่กำหนด (ในระบบพิกัดที่กำหนด) คือสมการที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งพอใจกับพิกัดของทุกจุดที่วางอยู่บนเส้นนี้ และไม่พอใจกับพิกัดของทุกจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นนั้น
ต่อไปนี้แทนที่จะใช้นิพจน์ "ให้สมการของเส้นตรง" ฉ(x, y) = 0" เรามักจะพูดสั้นๆ ว่า: ให้บรรทัด ฉ (x, y) = 0
ถ้าให้สมการสองเส้นมา ฉ(x, y) = 0และ Ф(x, y) = Q,แล้วการแก้ปัญหาร่วมกันของระบบ
ให้จุดตัดทั้งหมด เจาะจงกว่านั้นคือตัวเลขแต่ละคู่ที่เป็นคำตอบร่วมของระบบนี้จะกำหนดจุดตัดจุดใดจุดหนึ่ง
*) ในกรณีที่ไม่ได้ตั้งชื่อระบบพิกัด ให้ถือว่าเป็นระบบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน
157. ให้คะแนน *) ม 1 (2; - 2), ม 2 (2; 2), ม 3 (2; - 1), ม 4 (3; -3), ม 5 (5; -5), ม 6 (3; -2) กำหนดจุดที่เผยแพร่ซึ่งอยู่บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ เอ็กซ์+ ย = 0,และอันไหนที่ไม่โกหก เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด)
158. บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ เอ็กซ์ 2 +y 2 =25 ค้นหาจุดที่ abscissas เท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; ในบรรทัดเดียวกันให้ค้นหาจุดที่มีพิกัดเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: e) 3, f) - 5, g) - 8 เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด)
159. กำหนดว่าเส้นใดถูกกำหนดโดยสมการต่อไปนี้ (สร้างตามรูปวาด):
1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;
5) y - 5 = 0; 6) ย+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) ย = 0;
9) x 2 - เอ็กซ์วาย = 0; 10) เอ็กซ์ซี+ ปี 2 = 0; สิบเอ็ด) x 2 - ย 2 = 0; 12) เอ็กซ์ซี= 0;
13) ปี 2 - 9 = 0; 14) เอ็กซ์ซี 2 - 8เอ็กซ์ซี+15 = 0; 15) ปี 2 +5y+4 = 0;
16) เอ็กซ์ 2 คุณ - 7xy+ 10ย = 0; 17) ย =|x|; 18) x=|ที่|; 19)ย + |x|=0;
20) x +|ที่|= 0; 21)ย =|เอ็กซ์- 1|; 22) ย = |x+ 2|; 23) เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 16;
24) (x-2) 2 +(ย-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(ย- 1) 2 = 9;
26) (เอ็กซ์- 1) 2 + ย 2 = 4; 27) x 2 +(ย + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + ย 2 = 0;
29) เอ็กซ์ 2 + 2ย 2 = 0; 30) 2เอ็กซ์ 2 + 3ย 2 + 5 = 0
31) (x- 2) 2 + (ย + 3) 2 + 1=0.
160.บรรทัดที่กำหนด:
1)เอ็กซ์+ ย = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + ย 2 - 36 = 0;
4) x 2 +ย 2 -2x==0; 5) x 2 +ย 2 + 4x-6ย-1 =0.
พิจารณาว่าอันไหนผ่านจุดกำเนิด
161.บรรทัดที่กำหนด:
1) x 2 + ย 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (ย+ 4) 2 = 25;
3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;
5) x 2 +ย 2 - 12x + 16ย = 0; 6) x 2 +ย 2 - 2x + 8ที่+ 7 = 0;
7) x 2 +ย 2 - 6x + 4ใช่ + 12 = 0.
ค้นหาจุดตัด: ก) กับแกน โอ้; b) ด้วยแกน อู๋
162. ค้นหาจุดตัดของเส้นสองเส้น
1)เอ็กซ์ 2 +ย 2 = 8, x-y = 0;
2) เอ็กซ์ 2 +ย 2 -16x+4ที่+18 = 0, x + ย= 0;
3) เอ็กซ์ 2 +ย 2 -2x+4ที่ -3 = 0, เอ็กซ์ 2 + ย 2 = 25;
4) เอ็กซ์ 2 +ย 2 -8x+10у+40 = 0, เอ็กซ์ 2 + ย 2 = 4.
163. คะแนนจะได้รับในระบบพิกัดเชิงขั้ว
ม 1
(1;
),
ม 2
(2;
0), ม 3
(2;
)
ม 4
(
;
) และ ม 5
(1;
)
พิจารณาว่าจุดใดอยู่บนเส้นที่กำหนดโดยสมการในพิกัดเชิงขั้ว = 2 cos และจุดใดไม่ได้อยู่บนนั้น เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (วาดลงบนภาพวาด :)
164. บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ = 
,
หาจุดที่มีมุมเชิงขั้วเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้ ก) 
,ข) - 
, ค) 0, ง)
- เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้?
(สร้างมันขึ้นมาบนภาพวาด)
165.บนเส้นที่กำหนดโดยสมการ = 
ค้นหาจุดที่รัศมีเชิงขั้วเท่ากับตัวเลขต่อไปนี้: a) 1, b) 2, c) 
.
เส้นใดถูกกำหนดโดยสมการนี้? (สร้างมันขึ้นมาบนภาพวาด)
166. กำหนดว่าเส้นใดถูกกำหนดในพิกัดเชิงขั้วโดยสมการต่อไปนี้ (สร้างบนภาพวาด):
1) = 5; 2) = 
- 3) = 
- 4) คอส = 2; 5) บาป = 1;
6) = 6 คอส ; 7) = 10 บาป ; 8) บาป = 9) บาป =
167. สร้างเกลียวอาร์คิมิดีสต่อไปนี้บนภาพวาด:
1) = 5, 2) = 5; 3) = 
-
4)ร = -1.
168. สร้างเกลียวไฮเปอร์โบลิกต่อไปนี้บนภาพวาด: 
1) = ; 2) = ; 3) = 
.
- 4) = -
,
.
169. สร้างเกลียวลอการิทึมต่อไปนี้บนภาพวาด: 
รังสีที่โผล่ออกมาจากขั้วแล้วเอียงไปทางแกนขั้วเป็นมุมหนึ่ง 
- วาดรูป.
171. บนเกลียวอาร์คิมิดีส 
จุดที่ถ่าย กับ,ซึ่งมีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับ 47 จงพิจารณาว่าเกลียวนี้มีกี่ส่วนที่ตัดรัศมีเชิงขั้วของจุดนั้น กับ,วาดรูป.
172. บนเกลียวไฮเปอร์โบลิก 
หาจุด อาร์ซึ่งมีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับ 12 วาดรูป
173. บนเกลียวลอการิทึม 
หาจุด Q ซึ่งมีรัศมีเชิงขั้วเท่ากับ 81 วาดรูป