รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าด้านหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม เรียกว่าปิรามิด

สามเหลี่ยมเหล่านี้ที่ประกอบเป็นปิรามิดเรียกว่า ใบหน้าด้านข้างและรูปหลายเหลี่ยมที่เหลือคือ พื้นฐานปิรามิด

ที่ฐานของปิรามิดมีรูปทรงเรขาคณิตอยู่ - เอ็นกอน ในกรณีนี้เรียกว่าปิรามิด n-คาร์บอน.

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมที่มีขอบเท่ากันทั้งหมดเรียกว่าปิรามิดสามเหลี่ยม จัตุรมุข.

เรียกว่าขอบของปิรามิดที่ไม่อยู่ในฐาน ด้านข้างและจุดร่วมของพวกเขาก็คือ จุดยอดปิรามิด ขอบอีกด้านของปิรามิดมักเรียกว่า ฝ่ายที่เป็นพื้นฐาน.

ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้องถ้ามีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานและขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

เรียกว่าระยะทางจากยอดปิรามิดถึงระนาบฐาน ความสูงปิรามิด เราสามารถพูดได้ว่าความสูงของปิรามิดนั้นเป็นส่วนตั้งฉากกับฐาน โดยส่วนปลายจะอยู่ที่ด้านบนสุดของปิรามิดและบนระนาบของฐาน

สำหรับปิระมิดใดๆ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

1) S เต็ม = ด้าน S + S หลัก, ที่ไหน

S รวม – พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด

ด้าน S – พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างเช่น ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิด

S main – พื้นที่ฐานของปิรามิด

2) V = 1/3 S ฐาน N, ที่ไหน

V คือปริมาตรของปิรามิด

H คือความสูงของปิรามิด

สำหรับ ปิรามิดปกติเกิดขึ้น:

ด้าน S = 1/2 P หลัก ชม, ที่ไหน

P main – เส้นรอบวงของฐานปิรามิด;

h คือความยาวของจุดกึ่งกลางด้านกลาง นั่นคือ ความยาวของความสูงของหน้าด้านข้างที่ลดลงจากด้านบนของปิรามิด

ส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างระนาบ 2 ระนาบ เรียกว่า ระนาบของฐานและระนาบตัดขนานกับฐาน เรียกว่า ปิรามิดที่ถูกตัดทอน.

เรียกว่าฐานของปิรามิดและส่วนของปิรามิดโดยระนาบขนานกัน เหตุผลปิรามิดที่ถูกตัดทอน ใบหน้าที่เหลือเรียกว่า ด้านข้าง- เรียกว่าระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน ความสูงปิรามิดที่ถูกตัดทอน ขอบที่ไม่อยู่ในฐานเรียกว่า ด้านข้าง.

นอกจากนี้ฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอน เอ็นกอนที่คล้ายกัน- ถ้าฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน เรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอนดังกล่าว ถูกต้อง.

สำหรับ ปิรามิดที่ถูกตัดทอนโดยพลการใช้สูตรต่อไปนี้:

1) S เต็ม = ด้าน S + S 1 + S 2, ที่ไหน

S รวม – พื้นที่ผิวทั้งหมด;

ด้าน S – พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างเช่น ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

S 1, S 2 – พื้นที่ฐาน;

2) วี = 1/3(ส 1 + ส 2 + √(ส 1 · ส 2))เอช, ที่ไหน

V คือปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

H คือความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับ ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติเรายังมี:

ด้าน S = 1/2(P 1 + P 2) ชม.ที่ไหน

P 1, P 2 – เส้นรอบวงของฐาน;

h – apothem (ความสูงของใบหน้าด้านข้าง ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู)

ลองพิจารณาปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ภารกิจที่ 1

ในปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีความสูงเท่ากับ 10 ด้านข้างของฐานด้านใดด้านหนึ่งคือ 27, 29 และ 52 จงหาปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนหากเส้นรอบวงของฐานอีกฐานหนึ่งคือ 72

สารละลาย.

พิจารณาปิรามิดที่ถูกตัดทอน ABCA 1 B 1 C 1 ที่แสดงใน รูปที่ 1.

1. ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนสามารถพบได้โดยใช้สูตร

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) โดยที่ S 1 คือพื้นที่ของฐานใดฐานหนึ่ง หาได้จากสูตรของนกกระสา

S = √(พี(พี – ก)(พี – ข)(พี – ค))

เพราะ โจทย์กำหนดความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

เราได้: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54

ส 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270

2. ปิระมิดถูกตัดทอนลง ซึ่งหมายความว่ามีรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันอยู่ที่ฐาน ในกรณีของเรา สามเหลี่ยม ABC คล้ายกับสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงยังหาได้จากอัตราส่วนของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมที่พิจารณา และอัตราส่วนของพื้นที่จะเท่ากับกำลังสองของค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน ดังนั้นเราจึงมี:

ส 1 /ส 2 = (ป 1) 2 /(ป 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4 ดังนั้น S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120

ดังนั้น V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900

คำตอบ: 1900

ภารกิจที่ 2

ในปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสามเหลี่ยม เครื่องบินจะถูกลากผ่านด้านข้างของฐานด้านบนขนานกับขอบด้านตรงข้าม ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะถูกหารในอัตราส่วนเท่าใด หากด้านที่ตรงกันของฐานอยู่ในอัตราส่วน 1:2

สารละลาย.

พิจารณา ABCA 1 B 1 C 1 - ปิรามิดที่ถูกตัดทอนแสดงไว้ ข้าว. 2.

เนื่องจากด้านข้างของฐานอยู่ในอัตราส่วน 1:2 พื้นที่ของฐานจึงอยู่ในอัตราส่วน 1:4 (สามเหลี่ยม ABC คล้ายกับสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1)

ดังนั้นปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือ:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2 โดยที่ S 2 – พื้นที่ฐานบน, h – ความสูง

แต่ปริมาตรของปริซึม ADEA 1 B 1 C 1 คือ V 1 = S 2 h ดังนั้น

วี 2 = วี – วี 1 = 7/3 · ชั่วโมง · ส 2 - ชั่วโมง · ส 2 = 4/3 · ชั่วโมง · S 2

ดังนั้น วี 2: วี 1 = 3: 4

คำตอบ: 3:4.

ภารกิจที่ 3

ด้านข้างของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 2 และ 1 และความสูงคือ 3 ระนาบถูกลากผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของปิรามิดขนานกับฐานของปิรามิดเพื่อแบ่งปิรามิด เป็นสองส่วน ค้นหาปริมาตรของแต่ละรายการ

สารละลาย.

พิจารณาปิรามิดที่ถูกตัดทอน ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 แสดงใน ข้าว. 3.

ให้เราแสดงว่า O 1 O 2 = x จากนั้น OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x

พิจารณาสามเหลี่ยม B 1 O 2 D 1 และสามเหลี่ยม BO 2 D:

มุม B 1 O 2 D 1 เท่ากับมุม BO 2 D เป็นแนวตั้ง

มุม BDO 2 เท่ากับมุม D 1 B 1 O 2 และมุม O 2 ВD เท่ากับมุม B 1 D 1 O 2 นอนขวางที่ B 1 D 1 || BD และซีแคนต์ B₁D และ BD₁ ตามลำดับ

ดังนั้น สามเหลี่ยม B 1 O 2 D 1 จึงคล้ายกับสามเหลี่ยม BO 2 D และอัตราส่วนด้านคือ:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 หรือ 1/2 = x/(x – 3) โดยที่ x = 1

พิจารณาสามเหลี่ยม B 1 D 1 B และสามเหลี่ยม LO 2 B: มุม B เป็นเรื่องธรรมดา และยังมีมุมด้านเดียวคู่หนึ่งที่ B 1 D 1 || LM ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม B 1 D 1 B คล้ายกับสามเหลี่ยม LO 2 B โดยที่ B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2 เช่น

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

จากนั้น S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9

ดังนั้น V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27

วี 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27

คำตอบ: 152/27; 37/27.

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

พีระมิด ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม ( ฐาน ) และใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม ( ใบหน้าด้านข้าง ) (รูปที่ 15) ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้อง หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและด้านบนของปิรามิดถูกฉายเข้าตรงกลางฐาน (รูปที่ 16) ปิระมิดสามเหลี่ยมที่มีขอบทุกด้านเท่ากันเรียกว่า จัตุรมุข .

ซี่โครงด้านข้างของปิระมิดคือด้านของหน้าด้านข้างที่ไม่เป็นฐาน ความสูง พีระมิดคือระยะห่างจากด้านบนถึงระนาบฐาน ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากันทุกด้าน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง . ส่วนแนวทแยง เรียกว่าส่วนของปิรามิดโดยเครื่องบินที่วิ่งผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างพีระมิดคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด พื้นที่ผิวทั้งหมด เรียกว่าผลรวมของพื้นที่หน้าด้านและฐานทั้งหมด

ทฤษฎีบท

1. ถ้าในปิระมิดขอบด้านข้างทั้งหมดเอียงกับระนาบของฐานเท่าๆ กัน ยอดของปิรามิดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบใกล้กับฐาน

2. ถ้าขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดมีความยาวเท่ากัน ยอดของปิรามิดจะยื่นออกมาที่กึ่งกลางวงกลมที่ล้อมรอบฐานไว้

3. หากใบหน้าทั้งหมดในปิรามิดเอียงไปทางระนาบของฐานเท่ากัน ให้ฉายส่วนบนของปิรามิดไว้ที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิดตามอำเภอใจ สูตรที่ถูกต้องคือ:

ที่ไหน วี- ปริมาณ;

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

ชม– ความสูงของปิรามิด

สำหรับปิรามิดปกติ สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน พี– เส้นรอบฐานฐาน

ฮา– ระยะกึ่งกลาง;

ชม- ความสูง;

สเต็มเลย

ด้านเอส

ฐานเอส– พื้นที่ฐาน

วี– ปริมาตรของปิระมิดปกติ

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าส่วนของปิรามิดที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิรามิด (รูปที่ 17) ปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ เรียกว่าส่วนของปิรามิดปกติที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดขนานกับฐานของปิระมิด

บริเวณปิรามิดที่ถูกตัดทอน - รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน หน้าด้านข้าง – สี่เหลี่ยมคางหมู ความสูง ของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือระยะห่างระหว่างฐานของมัน เส้นทแยงมุม ปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดซึ่งไม่ได้อยู่บนใบหน้าเดียวกัน ส่วนแนวทแยง คือส่วนของปิรามิดที่ถูกตัดทอนโดยระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่ได้อยู่ในหน้าเดียวกัน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน สูตรต่อไปนี้ใช้ได้:

(4)

ที่ไหน ส 1 , ส 2 – พื้นที่ฐานบนและล่าง

สเต็มเลย– พื้นที่ผิวทั้งหมด

ด้านเอส– พื้นที่ผิวด้านข้าง

ชม- ความสูง;

วี– ปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ สูตรถูกต้อง:

ที่ไหน พี 1 , พี 2 – เส้นรอบวงของฐาน;

ฮา– เส้นกึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ

ตัวอย่างที่ 1ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ 60° ค้นหาแทนเจนต์ของมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 18)

ปิระมิดเป็นแบบปกติ ซึ่งหมายความว่าที่ฐานจะมีสามเหลี่ยมด้านเท่าและใบหน้าด้านข้างทั้งหมดมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน มุมไดฮีดรัลที่ฐานคือมุมเอียงของด้านข้างของพีระมิดกับระนาบของฐาน มุมเชิงเส้นคือมุม กระหว่างสองตั้งฉาก: ฯลฯ ด้านบนของปิรามิดถูกฉายไว้ที่ศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม (ศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลมและวงกลมที่จารึกไว้ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี- มุมเอียงของขอบด้านข้าง (เช่น เอส.บี.) คือมุมระหว่างขอบกับส่วนที่ยื่นออกมาบนระนาบของฐาน สำหรับซี่โครงนั้น เอส.บี.มุมนี้จะเป็นมุม สบส- หากต้องการหาแทนเจนต์คุณต้องรู้ขา ดังนั้นและ โอ.บี.- ให้ความยาวของส่วน บีดีเท่ากับ 3 ก- จุด เกี่ยวกับส่วนของเส้น บีดีแบ่งออกเป็นส่วนๆ และจากที่เราพบ ดังนั้น: จากที่เราพบ:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกตัดทอนปกติ หากเส้นทแยงมุมของฐานเท่ากับ ซม. และ ซม. และมีความสูง 4 ซม.

สารละลาย.ในการหาปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน เราใช้สูตร (4) ในการหาพื้นที่ของฐาน คุณต้องค้นหาด้านข้างของฐานสี่เหลี่ยมโดยรู้เส้นทแยงมุม ด้านข้างของฐานเท่ากับ 2 ซม. และ 8 ซม. ตามลำดับ ซึ่งหมายถึงพื้นที่ของฐานและการแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร เราจะคำนวณปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน:

คำตอบ: 112 ซม.3.

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ด้านข้างของฐานคือ 10 ซม. และ 4 ซม. และความสูงของปิรามิดคือ 2 ซม.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 19)

ด้านข้างของปิรามิดนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ในการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูง ฐานจะให้ตามเงื่อนไข ไม่ทราบส่วนสูงเท่านั้น เราจะพบเธอจากที่ไหน ก 1 อีตั้งฉากจากจุดหนึ่ง ก 1 บนระนาบฐานล่าง ก 1 ดี– ตั้งฉากจาก ก 1 ต่อ เครื่องปรับอากาศ. ก 1 อี= 2 ซม. เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด การค้นหา เดมาสร้างภาพวาดเพิ่มเติมเพื่อแสดงมุมมองด้านบน (รูปที่ 20) จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพกึ่งกลางฐานบนและล่าง เนื่องจาก (ดูรูปที่ 20) และในทางกลับกัน ตกลง– รัศมีที่จารึกไว้ในวงกลมและ โอม– รัศมีที่เขียนไว้ในวงกลม:

เอ็มเค = DE.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจาก

บริเวณใบหน้าด้านข้าง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ที่ฐานของปิรามิดมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งมีฐานอยู่ กและ ข (ก> ข- ใบหน้าแต่ละด้านมีมุมเท่ากับระนาบฐานของปิรามิด เจ- หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 21) พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด SABCDเท่ากับผลรวมของพื้นที่และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี.

ให้เราใช้ข้อความที่ว่าถ้าทุกด้านของปิรามิดเอียงไปที่ระนาบของฐานเท่ากัน จุดยอดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน จุด เกี่ยวกับ– การฉายภาพจุดยอด สที่ฐานของปิรามิด สามเหลี่ยม เอสโอดีคือเส้นโครงตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม ซีเอสดีไปจนถึงระนาบของฐาน เมื่อใช้ทฤษฎีบทกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปเครื่องบินเราได้รับ:

หมายความเช่นเดียวกัน ปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดี- มาวาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกัน เอบีซีดีแยกกัน (รูปที่ 22) จุด เกี่ยวกับ– จุดศูนย์กลางของวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู

เนื่องจากวงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ ดังนั้น หรือ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรามี

• 29.05.2016

  วงจรออสซิลเลเตอร์เป็นวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และแหล่งพลังงานไฟฟ้า เมื่อส่วนประกอบวงจรเชื่อมต่อแบบอนุกรม วงจรออสซิลเลเตอร์เรียกว่าอนุกรม และเมื่อเชื่อมต่อแบบขนานจะเรียกว่าขนาน วงจรออสซิลเลเตอร์เป็นระบบที่ง่ายที่สุดที่สามารถเกิดการสั่นของแม่เหล็กไฟฟ้าอิสระได้ ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจรถูกกำหนดโดยสูตรที่เรียกว่าสูตรของทอมสัน: ƒ = 1/(2π√(LC)) สำหรับ ...

• 20.09.2014

  เครื่องรับได้รับการออกแบบให้รับสัญญาณในช่วง DV (150 kHz…300 kHz) คุณสมบัติหลักของเครื่องรับคือเสาอากาศซึ่งมีความเหนี่ยวนำสูงกว่าเสาอากาศแม่เหล็กทั่วไป ทำให้สามารถใช้ความจุของตัวเก็บประจุปรับค่าในช่วง 4...20 pF ได้ และตัวรับสัญญาณดังกล่าวก็มีความไวที่ยอมรับได้และเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในเส้นทาง RF ตัวรับสัญญาณใช้งานได้กับหูฟัง (headphones) มีไฟ...

• 24.09.2014

  อุปกรณ์นี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อตรวจสอบระดับของเหลวในถัง ทันทีที่ของเหลวเพิ่มขึ้นถึงระดับที่กำหนด อุปกรณ์จะเริ่มส่งเสียงสัญญาณอย่างต่อเนื่อง เมื่อระดับของเหลวถึงระดับวิกฤติ อุปกรณ์จะเริ่มส่งเสียง สัญญาณไม่ต่อเนื่อง ตัวบ่งชี้ประกอบด้วยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 2 เครื่องซึ่งควบคุมโดยองค์ประกอบเซ็นเซอร์ E วางอยู่ในถังในระดับสูงถึง ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 เป็นตัวจับเวลาหลายโปรแกรมแบบดิจิทัลที่ออกแบบมาเพื่อทำงานกับตัวบ่งชี้ ILC3-5\7 ทำหน้าที่นับและแสดงเวลาปัจจุบันเป็นชั่วโมงและนาที วันในสัปดาห์ และควบคุมหมายเลขช่องสัญญาณ (นาฬิกาปลุก 9 ตัว) วงจรนาฬิกาปลุกดังแสดงในรูป ไมโครวงจรถูกโอเวอร์คล็อก ตัวสะท้อนเสียง Q1 ที่ 32768Hz อาหารเป็นลบ ผลรวมบวกไปที่...

ความสามารถในการคำนวณปริมาตรของตัวเลขเชิงพื้นที่เป็นสิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายประการในเรขาคณิต หนึ่งในตัวเลขที่พบบ่อยที่สุดคือปิรามิด ในบทความนี้เราจะพิจารณาทั้งปิรามิดแบบเต็มและปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ปิรามิดเป็นรูปสามมิติ

ทุกคนรู้เกี่ยวกับปิรามิดของอียิปต์ดังนั้นพวกเขาจึงมีความคิดที่ดีว่าเราจะพูดถึงรูปร่างแบบไหน อย่างไรก็ตาม โครงสร้างหินของอียิปต์เป็นเพียงกรณีพิเศษของปิรามิดขนาดใหญ่ประเภทหนึ่งเท่านั้น

วัตถุทางเรขาคณิตที่พิจารณาในกรณีทั่วไปคือฐานรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งแต่ละจุดยอดเชื่อมต่อกับจุดหนึ่งในอวกาศซึ่งไม่อยู่ในระนาบของฐาน คำจำกัดความนี้นำไปสู่รูปที่ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม n เหลี่ยมหนึ่งรูปและรูปสามเหลี่ยม n รูป

พีระมิดใดๆ ประกอบด้วยหน้า n+1 หน้า ขอบ 2*n และจุดยอด n+1 เนื่องจากรูปดังกล่าวเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ จำนวนองค์ประกอบที่ทำเครื่องหมายไว้จึงเป็นไปตามความเท่าเทียมกันของออยเลอร์:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2

รูปหลายเหลี่ยมที่ฐานเป็นชื่อของปิรามิด เช่น สามเหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และอื่นๆ ชุดปิรามิดที่มีฐานต่างกันแสดงไว้ในรูปภาพด้านล่าง

จุดที่รูปสามเหลี่ยม n รูปมาบรรจบกัน เรียกว่า จุดยอดของพีระมิด หากตั้งฉากลดลงจากฐานไปยังฐานและตัดกันที่จุดศูนย์กลางเรขาคณิต รูปดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง หากไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้จะเกิดปิรามิดแบบเอียง

รูปขวาซึ่งฐานประกอบด้วย n-gon ด้านเท่ากันหมด (เท่ากันหมด) เรียกว่าปกติ

สูตรปริมาตรพีระมิด

ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิด เราจะใช้แคลคูลัสอินทิกรัล ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งตัวเลขโดยการตัดระนาบที่ขนานกับฐานออกเป็นชั้นบางๆ จำนวนอนันต์ รูปด้านล่างแสดงปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความสูง h และความยาวด้าน L โดยที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทำเครื่องหมายชั้นบางๆ ของส่วนดังกล่าว

พื้นที่ของแต่ละชั้นสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /ชั่วโมง 2 .

โดยที่ 0 คือพื้นที่ของฐาน z คือค่าของพิกัดแนวตั้ง จะเห็นได้ว่าถ้า z = 0 สูตรจะให้ค่า A 0 .

เพื่อให้ได้สูตรปริมาตรของปิรามิด คุณควรคำนวณอินทิกรัลส่วนสูงทั้งหมดของรูป ซึ่งก็คือ:

V = ∫ ชั่วโมง 0 (A(z)*dz)

แทนที่การพึ่งพา A(z) และคำนวณแอนติเดริเวทีฟ เราจะได้นิพจน์:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| ชั่วโมง 0 = 1/3*A 0 *ชั่วโมง

เราได้สูตรปริมาตรของปิรามิดมา หากต้องการค้นหาค่า V เพียงคูณความสูงของรูปด้วยพื้นที่ฐานแล้วหารผลลัพธ์ด้วยสาม

โปรดทราบว่านิพจน์ผลลัพธ์นั้นใช้คำนวณปริมาตรของปิรามิดประเภทใดก็ได้ นั่นคือมันสามารถเอียงได้และฐานของมันสามารถเป็น n-gon ได้ตามอำเภอใจ

และปริมาตรของมัน

สูตรทั่วไปสำหรับปริมาตรที่ได้รับในย่อหน้าข้างต้นสามารถปรับแต่งได้ในกรณีของปิรามิดที่มีฐานปกติ พื้นที่ของฐานดังกล่าวคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

A 0 = ไม่มี/4*L 2 *ctg(pi/n)

โดยที่ L คือความยาวด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจุดยอด n จุด สัญลักษณ์ pi คือตัวเลข pi

เมื่อแทนนิพจน์ A 0 ลงในสูตรทั่วไป เราจะได้ปริมาตรของปิรามิดปกติ:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n)

ตัวอย่างเช่น สำหรับปิรามิดสามเหลี่ยม สูตรนี้ให้ผลลัพธ์เป็นนิพจน์ต่อไปนี้:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h

สำหรับพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ สูตรปริมาตรจะอยู่ในรูปแบบ:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h

การกำหนดปริมาตรของปิรามิดปกติต้องอาศัยความรู้ด้านฐานและความสูงของปิรามิด

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

สมมติว่าเราเลือกปิรามิดตามใจชอบแล้วตัดพื้นผิวด้านข้างที่มีจุดยอดออก ส่วนที่เหลือเรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน ประกอบด้วยฐาน n-gonal สองฐานและสี่เหลี่ยมคางหมู n อันที่เชื่อมต่อพวกมันเข้าด้วยกัน หากระนาบการตัดขนานกับฐานของรูป พีระมิดที่ถูกตัดทอนจะถูกสร้างขึ้นโดยมีฐานขนานกันคล้ายกัน นั่นคือความยาวของด้านหนึ่งของด้านใดด้านหนึ่งสามารถหาได้โดยการคูณความยาวของอีกด้านหนึ่งด้วยสัมประสิทธิ์ k

รูปด้านบนแสดงฐานปกติที่ถูกตัดทอน จะเห็นได้ว่าฐานบนของมันเหมือนกับฐานล่างที่ประกอบขึ้นด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ

สูตรที่สามารถหาได้โดยใช้แคลคูลัสอินทิกรัลที่คล้ายกับสูตรข้างต้นคือ:

V = 1/3*ส*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1))

โดยที่ A 0 และ A 1 คือพื้นที่ของฐานล่าง (ใหญ่) และฐานบน (เล็ก) ตามลำดับ ตัวแปร h แสดงถึงความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ปริมาตรของปิรามิด Cheops

เป็นเรื่องที่น่าสนใจในการแก้ปัญหาการกำหนดปริมาตรที่ปิรามิดอียิปต์ที่ใหญ่ที่สุดบรรจุอยู่ภายในตัวมันเอง

ในปี 1984 นักอียิปต์วิทยาชาวอังกฤษ Mark Lehner และ Jon Goodman ได้สร้างมิติที่แน่นอนของปิรามิด Cheops ความสูงเดิมคือ 146.50 เมตร (ปัจจุบันประมาณ 137 เมตร) ความยาวเฉลี่ยทั้งสี่ด้านของโครงสร้างคือ 230.363 เมตร ฐานของปิระมิดเป็นทรงสี่เหลี่ยมมีความแม่นยำสูง

ให้เราใช้ตัวเลขที่กำหนดเพื่อกำหนดปริมาตรของหินยักษ์นี้ เนื่องจากปิระมิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ สูตรจึงใช้ได้:

แทนที่ตัวเลขเราจะได้:

โวลต์ 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 data 2591444 ม. 3

ปริมาตรของปิรามิด Cheops เกือบ 2.6 ล้านลูกบาศก์เมตร สำหรับการเปรียบเทียบ เราทราบว่าสระว่ายน้ำโอลิมปิกมีปริมาตร 2.5,000 ลบ.ม. นั่นคือเพื่อเติมเต็มปิรามิด Cheops ทั้งหมดคุณจะต้องมีพูลดังกล่าวมากกว่า 1,000 พูล!