వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ డిపెండెన్స్ మరియు లీనియర్ ఇండిపెండెన్స్.
వెక్టర్స్ యొక్క ఆధారం. అఫైన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్

ఆడిటోరియంలో చాక్లెట్‌లతో కూడిన బండి ఉంది మరియు ఈ రోజు ప్రతి సందర్శకుడు ఒక మధురమైన జంటను పొందుతారు - సరళ బీజగణితంతో విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి. ఈ వ్యాసం ఒకేసారి ఉన్నత గణితంలో రెండు విభాగాలను తాకుతుంది మరియు అవి ఒక రేపర్‌లో ఎలా సహజీవనం చేస్తాయో చూద్దాం. విరామం తీసుకోండి, ట్విక్స్ తినండి! ...పాపం, ఎంత అర్ధంలేనిది. అయినప్పటికీ, సరే, నేను స్కోర్ చేయను, చివరికి, మీరు చదువు పట్ల సానుకూల దృక్పథాన్ని కలిగి ఉండాలి.

వెక్టర్స్ యొక్క సరళ ఆధారపడటం, లీనియర్ వెక్టర్ స్వాతంత్ర్యం, వెక్టర్స్ యొక్క ఆధారంమరియు ఇతర పదాలకు రేఖాగణిత వివరణ మాత్రమే కాకుండా, అన్నింటికంటే, బీజగణిత అర్థం ఉంటుంది. సరళ బీజగణితం యొక్క దృక్కోణం నుండి "వెక్టర్" అనే భావన ఎల్లప్పుడూ మనం విమానంలో లేదా అంతరిక్షంలో చిత్రీకరించగల "సాధారణ" వెక్టర్ కాదు. మీరు రుజువు కోసం చాలా దూరం వెళ్లవలసిన అవసరం లేదు; ఐదు డైమెన్షనల్ స్పేస్ యొక్క వెక్టర్‌ను గీయడానికి ప్రయత్నించండి. లేదా వాతావరణ వెక్టర్, నేను ఇప్పుడే Gismeteoకి వెళ్ళాను: ఉష్ణోగ్రత మరియు వాతావరణ పీడనం, వరుసగా. ఉదాహరణకు, వెక్టర్ స్థలం యొక్క లక్షణాల దృక్కోణం నుండి తప్పుగా ఉంది, అయితే, ఈ పారామితులను వెక్టర్‌గా అధికారికం చేయడాన్ని ఎవరూ నిషేధించరు. శరదృతువు శ్వాస...

లేదు, నేను మీకు థియరీ, లీనియర్ వెక్టర్ స్పేస్‌లతో విసుగు తెప్పించను, పని చేయడమే అర్థం చేసుకుంటారునిర్వచనాలు మరియు సిద్ధాంతాలు. కొత్త నిబంధనలు (లీనియర్ డిపెండెన్స్, ఇండిపెండెన్స్, లీనియర్ కాంబినేషన్, బేస్, మొదలైనవి) బీజగణిత కోణం నుండి అన్ని వెక్టర్‌లకు వర్తిస్తాయి, అయితే రేఖాగణిత ఉదాహరణలు ఇవ్వబడతాయి. అందువలన, ప్రతిదీ సులభం, అందుబాటులో మరియు స్పష్టంగా ఉంటుంది. విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి సమస్యలతో పాటు, మేము కొన్ని సాధారణ బీజగణిత సమస్యలను కూడా పరిశీలిస్తాము. మెటీరియల్‌పై నైపుణ్యం సాధించడానికి, పాఠాలతో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవడం మంచిది డమ్మీస్ కోసం వెక్టర్స్మరియు డిటర్మినెంట్‌ను ఎలా లెక్కించాలి?

ప్లేన్ వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ డిపెండెన్స్ మరియు ఇండిపెండెన్స్.
ప్లేన్ బేస్ మరియు అఫైన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్

మీ కంప్యూటర్ డెస్క్ యొక్క విమానం (కేవలం టేబుల్, పడక పట్టిక, నేల, పైకప్పు, మీకు నచ్చినది) పరిశీలిద్దాం. పని క్రింది చర్యలను కలిగి ఉంటుంది:

1) విమానం ఆధారంగా ఎంచుకోండి. స్థూలంగా చెప్పాలంటే, టేబుల్‌టాప్ పొడవు మరియు వెడల్పును కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఆధారాన్ని నిర్మించడానికి రెండు వెక్టర్‌లు అవసరమవుతాయని సహజంగానే చెప్పవచ్చు. ఒక వెక్టర్ స్పష్టంగా సరిపోదు, మూడు వెక్టర్స్ చాలా ఎక్కువ.

2) ఎంచుకున్న ప్రాతిపదికన సెట్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్(కోఆర్డినేట్ గ్రిడ్) టేబుల్‌పై ఉన్న అన్ని వస్తువులకు కోఆర్డినేట్‌లను కేటాయించడానికి.

ఆశ్చర్యపోకండి, మొదట వివరణలు వేళ్లపై ఉంటాయి. పైగా, మీదే. దయచేసి ఉంచండి ఎడమ చూపుడు వేలుటేబుల్‌టాప్ అంచున అతను మానిటర్ వైపు చూస్తాడు. ఇది వెక్టర్ అవుతుంది. ఇప్పుడు ఉంచండి కుడి చిటికెన వేలుఅదే విధంగా టేబుల్ అంచున - ఇది మానిటర్ స్క్రీన్ వద్ద దర్శకత్వం వహించబడుతుంది. ఇది వెక్టర్ అవుతుంది. చిరునవ్వు, మీరు చాలా బాగుంది! వెక్టర్స్ గురించి మనం ఏమి చెప్పగలం? డేటా వెక్టర్స్ కొలినియర్, ఏమిటంటే సరళఒకదానికొకటి వ్యక్తీకరించబడింది:
, అలాగే, లేదా వైస్ వెర్సా: , ఇక్కడ కొంత సంఖ్య సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది.

మీరు తరగతిలో ఈ చర్య యొక్క చిత్రాన్ని చూడవచ్చు. డమ్మీస్ కోసం వెక్టర్స్, ఇక్కడ నేను వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించే నియమాన్ని వివరించాను.

మీ వేళ్లు కంప్యూటర్ డెస్క్ యొక్క విమానంలో ఆధారాన్ని సెట్ చేస్తాయా? ఖచ్చితంగా కాదు. కొలినియర్ వెక్టర్స్ అంతటా ముందుకు వెనుకకు ప్రయాణిస్తాయి ఒంటరిగాదిశ, మరియు ఒక విమానం పొడవు మరియు వెడల్పు కలిగి ఉంటుంది.

అటువంటి వెక్టర్స్ అంటారు రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటుంది.

సూచన: "లీనియర్", "లీనియర్" అనే పదాలు గణిత సమీకరణాలు మరియు వ్యక్తీకరణలలో చతురస్రాలు, ఘనాలు, ఇతర శక్తులు, లాగరిథమ్‌లు, సైన్స్ మొదలైనవి లేవనే వాస్తవాన్ని సూచిస్తాయి. లీనియర్ (1వ డిగ్రీ) వ్యక్తీకరణలు మరియు డిపెండెన్సీలు మాత్రమే ఉన్నాయి.

రెండు ప్లేన్ వెక్టర్స్ రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటుందిఒకవేళ మరియు అవి కొలినియర్ అయితే మాత్రమే.

టేబుల్‌పై మీ వేళ్లను దాటండి, తద్వారా వాటి మధ్య 0 లేదా 180 డిగ్రీలు కాకుండా ఏదైనా కోణం ఉంటుంది. రెండు ప్లేన్ వెక్టర్స్సరళ కాదుఅవి కొలినియర్ కానట్లయితే మరియు మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటాయి. కాబట్టి, ఆధారం పొందబడుతుంది. వేర్వేరు పొడవుల లంబంగా లేని వెక్టర్స్‌తో ఆధారం "వక్రంగా" మారిందని సిగ్గుపడవలసిన అవసరం లేదు. దాని నిర్మాణానికి 90 డిగ్రీల కోణం మాత్రమే సరిపోదని మరియు సమాన పొడవు గల యూనిట్ వెక్టర్స్ మాత్రమే కాదని త్వరలో మనం చూస్తాము.

ఏదైనావిమానం వెక్టర్ ఏకైక మార్గంఆధారంగా విస్తరించబడింది:
, వాస్తవ సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. నంబర్లు అంటారు వెక్టర్ కోఆర్డినేట్లుఈ ఆధారంగా.

అని కూడా అంటారు వెక్టర్గా సమర్పించబడింది సరళ కలయికప్రాతిపదిక వెక్టర్స్. అంటే, వ్యక్తీకరణ అంటారు వెక్టర్ కుళ్ళిపోవడంఆధారంగాలేదా సరళ కలయికప్రాతిపదిక వెక్టర్స్.

ఉదాహరణకు, విమానం యొక్క ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన వెక్టర్ కుళ్ళిపోయిందని మేము చెప్పగలం లేదా అది వెక్టర్స్ యొక్క సరళ కలయికగా సూచించబడుతుందని చెప్పవచ్చు.

సూత్రీకరించుదాం ఆధారం యొక్క నిర్వచనంఅధికారికంగా: విమానం యొక్క ఆధారంసరళ స్వతంత్ర (నాన్-కాలినియర్) వెక్టర్స్ జత అంటారు, , ఇందులో ఏదైనాప్లేన్ వెక్టర్ అనేది బేస్ వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ కలయిక.

నిర్వచనం యొక్క ముఖ్యమైన అంశం వెక్టర్స్ తీసుకోబడిన వాస్తవం ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో. స్థావరాలు రెండు పూర్తిగా భిన్నమైన స్థావరాలు! వారు చెప్పినట్లుగా, మీ కుడి చేతి యొక్క చిన్న వేలు స్థానంలో మీ ఎడమ చేతి యొక్క చిన్న వేలును మీరు భర్తీ చేయలేరు.

మేము ప్రాతిపదికను కనుగొన్నాము, కానీ మీ కంప్యూటర్ డెస్క్‌లోని ప్రతి అంశానికి కోఆర్డినేట్ గ్రిడ్‌ను సెట్ చేయడం మరియు కోఆర్డినేట్‌లను కేటాయించడం సరిపోదు. ఎందుకు సరిపోదు? వెక్టర్స్ ఉచితం మరియు మొత్తం విమానం అంతటా తిరుగుతాయి. కాబట్టి అడవి వారాంతంలో మిగిలి ఉన్న టేబుల్‌పై ఉన్న చిన్న మురికి మచ్చలకు మీరు కోఆర్డినేట్‌లను ఎలా కేటాయిస్తారు? ఒక ప్రారంభ స్థానం అవసరం. మరియు అటువంటి మైలురాయి అందరికీ తెలిసిన అంశం - కోఆర్డినేట్‌ల మూలం. సమన్వయ వ్యవస్థను అర్థం చేసుకుందాం:

నేను "పాఠశాల" వ్యవస్థతో ప్రారంభిస్తాను. ఇప్పటికే పరిచయ పాఠంలో డమ్మీస్ కోసం వెక్టర్స్నేను దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ మరియు ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన కొన్ని తేడాలను హైలైట్ చేసాను. ఇక్కడ ప్రామాణిక చిత్రం ఉంది:

వారు మాట్లాడినప్పుడు దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థ, అప్పుడు చాలా తరచుగా అవి మూలం, కోఆర్డినేట్ అక్షాలు మరియు అక్షాల వెంట స్కేల్ అని అర్ధం. శోధన ఇంజిన్‌లో “దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్” అని టైప్ చేయడానికి ప్రయత్నించండి మరియు 5వ-6వ తరగతి నుండి తెలిసిన కోఆర్డినేట్ గొడ్డలి గురించి మరియు విమానంలో పాయింట్‌లను ఎలా ప్లాట్ చేయాలో అనేక మూలాలు మీకు తెలియజేస్తాయని మీరు చూస్తారు.

మరోవైపు, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థను ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికన పూర్తిగా నిర్వచించవచ్చని తెలుస్తోంది. మరియు అది దాదాపు నిజం. పదజాలం క్రింది విధంగా ఉంది:

మూలం, మరియు ఆర్థోనార్మల్ఆధారం సెట్ చేయబడింది కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార విమానం సమన్వయ వ్యవస్థ . అంటే, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఖచ్చితంగాఒకే పాయింట్ మరియు రెండు యూనిట్ ఆర్తోగోనల్ వెక్టర్స్ ద్వారా నిర్వచించబడింది. అందుకే నేను పైన ఇచ్చిన డ్రాయింగ్‌ను మీరు చూస్తారు - రేఖాగణిత సమస్యలలో, వెక్టర్స్ మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలు రెండూ తరచుగా (కానీ ఎల్లప్పుడూ కాదు) డ్రా చేయబడతాయి.

ప్రతి ఒక్కరూ ఒక పాయింట్ (మూలం) మరియు ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికను ఉపయోగించారని నేను భావిస్తున్నాను విమానంలో ఏదైనా పాయింట్ మరియు విమానంలో ఏదైనా వెక్టర్కోఆర్డినేట్‌లను కేటాయించవచ్చు. అలంకారికంగా చెప్పాలంటే, "విమానంలో ఉన్న ప్రతిదీ లెక్కించబడుతుంది."

కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ యూనిట్‌గా ఉండాల్సిన అవసరం ఉందా? లేదు, అవి ఏకపక్ష సున్నా కాని పొడవును కలిగి ఉండవచ్చు. ఏకపక్ష నాన్-జీరో పొడవు యొక్క పాయింట్ మరియు రెండు ఆర్తోగోనల్ వెక్టర్‌లను పరిగణించండి:

అటువంటి ఆధారం అంటారు ఆర్తోగోనల్. వెక్టర్స్‌తో కోఆర్డినేట్‌ల మూలం కోఆర్డినేట్ గ్రిడ్ ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది మరియు విమానంలోని ఏదైనా పాయింట్, ఏదైనా వెక్టర్ ఇచ్చిన ప్రాతిపదికన దాని కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, లేదా. స్పష్టమైన అసౌకర్యం కోఆర్డినేట్ వెక్టర్స్ సాధారణంగాఐక్యత కాకుండా వివిధ పొడవులను కలిగి ఉంటాయి. పొడవులు ఏకత్వానికి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు సాధారణ ఆర్థోనార్మల్ ఆధారం పొందబడుతుంది.

! గమనిక : ఆర్తోగోనల్ ప్రాతిపదికన, అలాగే క్రింద ఉన్న విమానం మరియు స్థలం యొక్క అఫైన్ బేస్‌లలో, అక్షాల వెంట యూనిట్లు పరిగణించబడతాయి షరతులతో కూడిన. ఉదాహరణకు, x-అక్షం వెంట ఒక యూనిట్ 4 సెం.మీ కలిగి ఉంటుంది మరియు ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట ఒక యూనిట్ 2 సెం.మీ కలిగి ఉంటుంది. ఈ సమాచారం అవసరమైతే, “ప్రామాణికం కాని” కోఆర్డినేట్‌లను “మా సాధారణ సెంటీమీటర్‌లు”గా మార్చడానికి సరిపోతుంది.

మరియు రెండవ ప్రశ్న, వాస్తవానికి ఇప్పటికే సమాధానం ఇవ్వబడింది, ప్రాతిపదిక వెక్టర్స్ మధ్య కోణం తప్పనిసరిగా 90 డిగ్రీలకు సమానంగా ఉండాలి? లేదు! నిర్వచనం చెప్పినట్లుగా, ఆధార వెక్టర్‌లు తప్పనిసరిగా ఉండాలి నాన్-కాలినియర్ మాత్రమే. దీని ప్రకారం, కోణం 0 మరియు 180 డిగ్రీలు తప్ప ఏదైనా కావచ్చు.

విమానంలో ఒక పాయింట్ అంటారు మూలం, మరియు నాన్-కాలినియర్వెక్టర్స్, , సెట్ అఫైన్ ప్లేన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ :

కొన్నిసార్లు అలాంటి కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ అంటారు వాలుగావ్యవస్థ. ఉదాహరణలుగా, డ్రాయింగ్ పాయింట్లు మరియు వెక్టర్లను చూపుతుంది:

మీరు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, అఫైన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ కూడా తక్కువ సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది; పాఠం యొక్క రెండవ భాగంలో మేము చర్చించిన వెక్టర్స్ మరియు సెగ్మెంట్ల పొడవు యొక్క సూత్రాలు దానిలో పనిచేయవు. డమ్మీస్ కోసం వెక్టర్స్, సంబంధించిన అనేక రుచికరమైన సూత్రాలు వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి. కానీ వెక్టర్‌లను జోడించడం మరియు వెక్టర్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం కోసం నియమాలు, ఈ సంబంధంలో ఒక విభాగాన్ని విభజించే సూత్రాలు, అలాగే మేము త్వరలో పరిగణించే కొన్ని ఇతర రకాల సమస్యలు చెల్లుబాటు అయ్యేవి.

మరియు ముగింపు ఏమిటంటే, అఫైన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క అత్యంత అనుకూలమైన ప్రత్యేక సందర్భం కార్టెసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థ. అందుకే మీరు ఆమెను తరచుగా చూడవలసి ఉంటుంది, నా ప్రియమైన. ...అయితే, ఈ జీవితంలో ప్రతిదీ సాపేక్షంగా ఉంటుంది - వాలుగా ఉండే అనేక పరిస్థితులు ఉన్నాయి (లేదా కొన్ని ఇతర ఒకటి, ఉదాహరణకు, ధ్రువ) నిరూపక వ్యవస్థ. మరియు హ్యూమనాయిడ్స్ అటువంటి వ్యవస్థలను ఇష్టపడవచ్చు =)

ఆచరణాత్మక భాగానికి వెళ్దాం. ఈ పాఠంలోని అన్ని సమస్యలు దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ మరియు సాధారణ అఫైన్ కేస్ రెండింటికీ చెల్లుబాటు అవుతాయి. ఇక్కడ సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు; అన్ని పదార్థాలు పాఠశాల పిల్లలకు కూడా అందుబాటులో ఉంటాయి.

ప్లేన్ వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీని ఎలా గుర్తించాలి?

విలక్షణమైన విషయం. రెండు ప్లేన్ వెక్టర్‌లు కోలినియర్‌గా ఉండాలంటే, వాటి సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లు అనులోమానుపాతంలో ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.ముఖ్యంగా, ఇది స్పష్టమైన సంబంధం యొక్క కోఆర్డినేట్-బై-కోఆర్డినేట్ రిఫైన్‌మెంట్.

ఉదాహరణ 1

ఎ) వెక్టర్స్ కొల్లినియర్‌గా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయండి.
బి) వెక్టర్స్ ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయా?

పరిష్కారం:
ఎ) సమానతలు సంతృప్తి చెందే విధంగా వెక్టర్స్ కోసం అనుపాత గుణకం ఉందో లేదో కనుగొనండి:

ఈ నియమాన్ని వర్తింపజేసే "ఫోపిష్" సంస్కరణ గురించి నేను ఖచ్చితంగా మీకు చెప్తాను, ఇది ఆచరణలో బాగా పనిచేస్తుంది. తక్షణమే నిష్పత్తిని తయారు చేసి, అది సరైనదేనా అని చూడాలనే ఆలోచన ఉంది:

వెక్టర్స్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల నిష్పత్తుల నుండి నిష్పత్తిని చేద్దాం:

చిన్నదిగా చేద్దాం:
, కాబట్టి సంబంధిత అక్షాంశాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి, కాబట్టి,

సంబంధం ఇతర మార్గం చుట్టూ చేయవచ్చు; ఇది సమానమైన ఎంపిక:

స్వీయ-పరీక్ష కోసం, కొల్లినియర్ వెక్టర్స్ ఒకదానికొకటి సరళంగా వ్యక్తీకరించబడతాయనే వాస్తవాన్ని మీరు ఉపయోగించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, సమానత్వం ఉంటుంది. వెక్టర్స్‌తో ప్రాథమిక కార్యకలాపాల ద్వారా వాటి చెల్లుబాటును సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు:

బి) రెండు ప్లేన్ వెక్టర్స్ అవి కొల్లినియర్ కానట్లయితే (లీనియర్‌గా ఇండిపెండెంట్) ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. కోలినియారిటీ కోసం వెక్టర్‌లను పరిశీలిద్దాం. ఒక వ్యవస్థను రూపొందిద్దాం:

మొదటి సమీకరణం నుండి అది అనుసరిస్తుంది, రెండవ సమీకరణం నుండి అది అనుసరిస్తుంది, అంటే వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉంది(పరిష్కారాలు లేవు). అందువలన, వెక్టర్స్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్లు అనుపాతంలో లేవు.

ముగింపు: వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

పరిష్కారం యొక్క సరళీకృత సంస్కరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:

వెక్టర్స్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌ల నుండి నిష్పత్తిని చేద్దాం:
, అంటే ఈ వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

సాధారణంగా ఈ ఎంపిక సమీక్షకులచే తిరస్కరించబడదు, అయితే కొన్ని కోఆర్డినేట్‌లు సున్నాకి సమానంగా ఉన్న సందర్భాల్లో సమస్య తలెత్తుతుంది. ఇలా: . లేదా ఇలా: . లేదా ఇలా: . ఇక్కడ నిష్పత్తిలో ఎలా పని చేయాలి? (నిజానికి, మీరు సున్నాతో విభజించలేరు). ఈ కారణంగానే నేను సరళీకృత పరిష్కారాన్ని "ఫోపిష్" అని పిలిచాను.

సమాధానం:ఎ) , బి) రూపం.

మీ స్వంత పరిష్కారం కోసం ఒక చిన్న సృజనాత్మక ఉదాహరణ:

ఉదాహరణ 2

పరామితి యొక్క ఏ విలువ వద్ద వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉంటాయి?

నమూనా పరిష్కారంలో, పరామితి నిష్పత్తి ద్వారా కనుగొనబడుతుంది.

కోలినియారిటీ కోసం వెక్టర్‌లను తనిఖీ చేయడానికి ఒక సొగసైన బీజగణిత మార్గం ఉంది. మన పరిజ్ఞానాన్ని క్రమబద్ధీకరించి, దానిని ఐదవ పాయింట్‌గా చేర్చుదాం:

రెండు ప్లేన్ వెక్టర్‌లకు కింది స్టేట్‌మెంట్‌లు సమానం:

2) వెక్టర్స్ ఒక ఆధారం;
3) వెక్టర్స్ కొలినియర్ కాదు;

+ 5) ఈ వెక్టర్‌ల కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన నిర్ణాయకం నాన్‌జీరో.

వరుసగా, కింది వ్యతిరేక ప్రకటనలు సమానం:
1) వెక్టర్స్ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి;
2) వెక్టర్స్ ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరచవు;
3) వెక్టర్స్ కొలినియర్;
4) వెక్టర్స్ ఒకదానికొకటి సరళంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి;
+ 5) ఈ వెక్టార్‌ల కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన డిటర్మినెంట్ సున్నాకి సమానం.

మీరు ఎదుర్కొన్న అన్ని నిబంధనలు మరియు ప్రకటనలను మీరు ఇప్పటికే అర్థం చేసుకున్నారని నేను నిజంగా ఆశిస్తున్నాను.

కొత్త, ఐదవ పాయింట్‌ను మరింత వివరంగా పరిశీలిద్దాం: ఈ వెక్టార్‌ల కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన డిటర్‌మినెంట్ సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే విమానం యొక్క రెండు వెక్టర్‌లు కొలినియర్‌గా ఉంటాయి. ఈ లక్షణాన్ని వర్తింపజేయడానికి, మీరు చేయగలగాలి నిర్ణాయకాలను కనుగొనండి.

తేల్చుకుందాంరెండవ మార్గంలో ఉదాహరణ 1:

ఎ)
, అంటే ఈ వెక్టర్స్ కోలినియర్ అని అర్థం.

బి) రెండు ప్లేన్ వెక్టర్స్ అవి కొల్లినియర్ కానట్లయితే (లీనియర్‌గా ఇండిపెండెంట్) ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌లతో రూపొందించబడిన డిటర్‌మినెంట్‌ను గణిద్దాం:
, అంటే వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

సమాధానం:ఎ) , బి) రూపం.

ఇది నిష్పత్తులతో కూడిన పరిష్కారం కంటే చాలా కాంపాక్ట్ మరియు అందంగా కనిపిస్తుంది.

పరిగణించబడిన పదార్థం సహాయంతో, వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియరిటీని మాత్రమే కాకుండా, విభాగాలు మరియు సరళ రేఖల సమాంతరతను నిరూపించడం కూడా సాధ్యమవుతుంది. నిర్దిష్ట రేఖాగణిత ఆకృతులతో కొన్ని సమస్యలను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 3

చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు ఇవ్వబడ్డాయి. చతుర్భుజం సమాంతర చతుర్భుజం అని నిరూపించండి.

రుజువు: సమస్యలో డ్రాయింగ్ సృష్టించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే పరిష్కారం పూర్తిగా విశ్లేషణాత్మకంగా ఉంటుంది. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోండి:
సమాంతర చతుర్భుజం ఒక చతుర్భుజం, దాని వ్యతిరేక భుజాలు జతలలో సమాంతరంగా ఉంటాయి.

కాబట్టి, నిరూపించడం అవసరం:
1) వ్యతిరేక భుజాల సమాంతరత మరియు;
2) వ్యతిరేక భుజాల సమాంతరత మరియు.

మేము నిరూపిస్తాము:

1) వెక్టర్లను కనుగొనండి:

వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌లతో రూపొందించబడిన డిటర్‌మినెంట్‌ను గణిద్దాం:

2) వెక్టర్లను కనుగొనండి:

ఫలితం అదే వెక్టర్ ("పాఠశాల ప్రకారం" - సమాన వెక్టర్స్). కొలినియారిటీ చాలా స్పష్టంగా ఉంది, కానీ నిర్ణయాన్ని స్పష్టంగా, ఏర్పాటుతో అధికారికీకరించడం మంచిది. వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌లతో రూపొందించబడిన డిటర్‌మినెంట్‌ను గణిద్దాం:
, అంటే ఈ వెక్టర్స్ కొలినియర్, మరియు .

ముగింపు: చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక భుజాలు జతలలో సమాంతరంగా ఉంటాయి, అంటే ఇది నిర్వచనం ప్రకారం సమాంతర చతుర్భుజం. Q.E.D.

మరింత మంచి మరియు విభిన్నమైన గణాంకాలు:

ఉదాహరణ 4

చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు ఇవ్వబడ్డాయి. చతుర్భుజం ఒక ట్రాపెజాయిడ్ అని నిరూపించండి.

రుజువు యొక్క మరింత కఠినమైన సూత్రీకరణ కోసం, ట్రెపెజాయిడ్ యొక్క నిర్వచనాన్ని పొందడం మంచిది, అయితే అది ఎలా ఉంటుందో గుర్తుంచుకోవడం సరిపోతుంది.

ఇది మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవలసిన పని. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం.

మరియు ఇప్పుడు నెమ్మదిగా విమానం నుండి అంతరిక్షంలోకి వెళ్లే సమయం వచ్చింది:

స్పేస్ వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియారిటీని ఎలా గుర్తించాలి?

నియమం చాలా పోలి ఉంటుంది. రెండు స్పేస్ వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉండాలంటే, వాటి సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లు అనులోమానుపాతంలో ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ 5

కింది స్పేస్ వెక్టర్స్ కొలినియర్ కాదా అని కనుగొనండి:

ఎ) ;
బి)
V)

పరిష్కారం:
ఎ) వెక్టర్స్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లకు అనుపాత గుణకం ఉందో లేదో చూద్దాం:

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం లేదు, అంటే వెక్టర్స్ కొల్లినియర్ కాదు.

నిష్పత్తిని తనిఖీ చేయడం ద్వారా "సరళీకృతం" అధికారికీకరించబడింది. ఈ విషయంలో:
- సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లు అనులోమానుపాతంలో లేవు, అంటే వెక్టర్స్ కొలినియర్ కాదు.

సమాధానం:వెక్టర్స్ కొలినియర్ కాదు.

బి-సి) ఇవి స్వతంత్ర నిర్ణయం కోసం పాయింట్లు. దీన్ని రెండు విధాలుగా ప్రయత్నించండి.

థర్డ్-ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ ద్వారా కోలినియారిటీ కోసం ప్రాదేశిక వెక్టర్‌లను తనిఖీ చేయడానికి ఒక పద్ధతి ఉంది; ఈ పద్ధతి వ్యాసంలో వివరించబడింది. వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి.

ప్లేన్ కేస్ మాదిరిగానే, ప్రాదేశిక విభాగాలు మరియు సరళ రేఖల సమాంతరతను అధ్యయనం చేయడానికి పరిగణించబడిన సాధనాలను ఉపయోగించవచ్చు.

రెండవ విభాగానికి స్వాగతం:

త్రిమితీయ ప్రదేశంలో వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ డిపెండెన్స్ మరియు ఇండిపెండెన్స్.
ప్రాదేశిక ఆధారం మరియు అఫైన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్

మేము విమానంలో పరిశీలించిన అనేక నమూనాలు స్పేస్ కోసం చెల్లుబాటు అవుతాయి. సమాచారంలో సింహభాగం ఇప్పటికే నమిలినందున నేను సిద్ధాంత గమనికలను తగ్గించడానికి ప్రయత్నించాను. అయినప్పటికీ, కొత్త నిబంధనలు మరియు భావనలు కనిపిస్తాయి కాబట్టి మీరు పరిచయ భాగాన్ని జాగ్రత్తగా చదవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

ఇప్పుడు, కంప్యూటర్ డెస్క్ యొక్క విమానం బదులుగా, మేము త్రిమితీయ స్థలాన్ని అన్వేషిస్తాము. మొదట, దాని ఆధారాన్ని సృష్టిద్దాం. ఎవరో ఇప్పుడు ఇంటి లోపల ఉన్నారు, ఎవరైనా ఆరుబయట ఉన్నారు, కానీ ఏ సందర్భంలోనైనా, మేము మూడు కోణాలను తప్పించుకోలేము: వెడల్పు, పొడవు మరియు ఎత్తు. అందువల్ల, ఒక ఆధారాన్ని నిర్మించడానికి, మూడు ప్రాదేశిక వెక్టర్స్ అవసరం. ఒకటి లేదా రెండు వెక్టర్స్ సరిపోవు, నాల్గవది నిరుపయోగంగా ఉంటుంది.

మరియు మళ్ళీ మేము మా వేళ్లపై వేడెక్కుతాము. దయచేసి మీ చేతిని పైకి లేపండి మరియు దానిని వేర్వేరు దిశల్లో విస్తరించండి బొటనవేలు, చూపుడు మరియు మధ్య వేలు. ఇవి వెక్టర్‌లుగా ఉంటాయి, అవి వేర్వేరు దిశల్లో కనిపిస్తాయి, వేర్వేరు పొడవులను కలిగి ఉంటాయి మరియు వాటి మధ్య వేర్వేరు కోణాలను కలిగి ఉంటాయి. అభినందనలు, త్రిమితీయ స్థలం యొక్క ఆధారం సిద్ధంగా ఉంది! మార్గం ద్వారా, మీరు మీ వేళ్లను ఎంత గట్టిగా తిప్పినా, ఉపాధ్యాయులకు దీన్ని ప్రదర్శించాల్సిన అవసరం లేదు, కానీ నిర్వచనాల నుండి తప్పించుకునే అవకాశం లేదు =)

తరువాత, మనల్ని మనం ఒక ముఖ్యమైన ప్రశ్న వేసుకుందాం: ఏదైనా మూడు వెక్టర్స్ త్రీ-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌కి ఆధారం? దయచేసి కంప్యూటర్ డెస్క్ పైభాగంలో మూడు వేళ్లను గట్టిగా నొక్కండి. ఏం జరిగింది? మూడు వెక్టర్స్ ఒకే విమానంలో ఉన్నాయి మరియు సుమారుగా చెప్పాలంటే, మేము కొలతలలో ఒకదాన్ని కోల్పోయాము - ఎత్తు. అటువంటి వెక్టర్స్ కొప్లానార్మరియు, త్రిమితీయ స్థలం యొక్క ఆధారం సృష్టించబడలేదని చాలా స్పష్టంగా ఉంది.

కోప్లానార్ వెక్టర్స్ ఒకే విమానంలో పడుకోవాల్సిన అవసరం లేదని గమనించాలి, అవి సమాంతర విమానాలలో ఉండవచ్చు (మీ వేళ్లతో దీన్ని చేయవద్దు, సాల్వడార్ డాలీ మాత్రమే దీన్ని చేసాడు =)).

నిర్వచనం: వెక్టర్స్ అంటారు కొప్లానార్, అవి సమాంతరంగా ఉండే విమానం ఉంటే. అటువంటి విమానం ఉనికిలో లేకుంటే, వెక్టర్స్ కోప్లానార్ కావు అని ఇక్కడ జోడించడం తార్కికం.

మూడు కోప్లానార్ వెక్టర్స్ ఎల్లప్పుడూ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి, అంటే, అవి ఒకదానికొకటి సరళంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి. సరళత కోసం, వారు ఒకే విమానంలో పడుకున్నారని మనం మళ్లీ ఊహించుకుందాం. మొదట, వెక్టర్స్ కాప్లానార్ మాత్రమే కాదు, అవి కొల్లినియర్ కూడా కావచ్చు, అప్పుడు ఏదైనా వెక్టర్ ఏదైనా వెక్టర్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. రెండవ సందర్భంలో, ఉదాహరణకు, వెక్టర్స్ కొల్లినియర్ కానట్లయితే, మూడవ వెక్టర్ వాటి ద్వారా ఒక ప్రత్యేకమైన మార్గంలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది: (మరియు మునుపటి విభాగంలోని పదార్థాల నుండి ఎందుకు ఊహించడం సులభం).

సంభాషణ కూడా నిజం: మూడు నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్స్ ఎల్లప్పుడూ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి, అంటే, అవి ఒకదానికొకటి వ్యక్తీకరించబడవు. మరియు, స్పష్టంగా, అటువంటి వెక్టర్స్ మాత్రమే త్రిమితీయ స్థలం యొక్క ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

నిర్వచనం: త్రిమితీయ స్థలం యొక్క ఆధారంసరళ స్వతంత్ర (నాన్-కోప్లానార్) వెక్టర్స్ యొక్క ట్రిపుల్ అని పిలుస్తారు, ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో తీసుకోబడింది, మరియు స్థలం యొక్క ఏదైనా వెక్టర్ ఏకైక మార్గంఇచ్చిన ప్రాతిపదికన కుళ్ళిపోతుంది, ఈ ప్రాతిపదికన వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు ఎక్కడ ఉన్నాయి

వెక్టర్ రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుందని కూడా మనం చెప్పగలమని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను సరళ కలయికప్రాతిపదిక వెక్టర్స్.

కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క భావన విమానం కేసుకు సరిగ్గా అదే విధంగా ప్రవేశపెట్టబడింది; ఒక పాయింట్ మరియు ఏదైనా మూడు సరళ స్వతంత్ర వెక్టర్స్ సరిపోతాయి:

మూలం, మరియు నాన్-కోప్లానార్వెక్టర్స్, ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో తీసుకోబడింది, సెట్ త్రిమితీయ స్థలం యొక్క అఫైన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ :

వాస్తవానికి, కోఆర్డినేట్ గ్రిడ్ "వాలుగా" మరియు అసౌకర్యంగా ఉంటుంది, అయితే, నిర్మించిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ మాకు అనుమతిస్తుంది. ఖచ్చితంగాఏదైనా వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను మరియు అంతరిక్షంలో ఏదైనా బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి. విమానం మాదిరిగానే, నేను ఇప్పటికే పేర్కొన్న కొన్ని సూత్రాలు స్పేస్ యొక్క అఫైన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పని చేయవు.

అఫైన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క అత్యంత సుపరిచితమైన మరియు అనుకూలమైన ప్రత్యేక సందర్భం, అందరూ ఊహించినట్లుగా, దీర్ఘచతురస్రాకార స్పేస్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్:

అంతరిక్షంలో ఒక బిందువు అంటారు మూలం, మరియు ఆర్థోనార్మల్ఆధారం సెట్ చేయబడింది కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార స్పేస్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ . తెలిసిన చిత్రం:

ఆచరణాత్మక పనులకు వెళ్లే ముందు, సమాచారాన్ని మళ్లీ క్రమబద్ధం చేద్దాం:

మూడు స్పేస్ వెక్టర్‌లకు కింది స్టేట్‌మెంట్‌లు సమానం:
1) వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి;
2) వెక్టర్స్ ఒక ఆధారం;
3) వెక్టర్స్ కోప్లానార్ కాదు;
4) వెక్టర్స్ ఒకదానికొకటి సరళంగా వ్యక్తీకరించబడవు;
5) ఈ వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన డిటర్మినెంట్ సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది.

వ్యతిరేక ప్రకటనలు అర్థం చేసుకోవచ్చని నేను భావిస్తున్నాను.

స్పేస్ వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ డిపెండెన్స్/ఇండిపెండెన్స్ సాంప్రదాయకంగా డిటర్మినెంట్ (పాయింట్ 5) ఉపయోగించి తనిఖీ చేయబడుతుంది. మిగిలిన ఆచరణాత్మక పనులు ఉచ్చారణ బీజగణిత స్వభావం కలిగి ఉంటాయి. ఇది జ్యామితి స్టిక్‌ను వేలాడదీయడానికి మరియు లీనియర్ ఆల్జీబ్రా యొక్క బేస్‌బాల్ బ్యాట్‌ను పట్టుకునే సమయం:

స్థలం యొక్క మూడు వెక్టర్స్ఇవ్వబడిన వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన నిర్ణాయకం సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే కాప్లానార్:.

నేను ఒక చిన్న సాంకేతిక స్వల్పభేదాన్ని మీ దృష్టిని ఆకర్షించాలనుకుంటున్నాను: వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను నిలువు వరుసలలో మాత్రమే కాకుండా, వరుసలలో కూడా వ్రాయవచ్చు (దీని కారణంగా డిటర్మినెంట్ యొక్క విలువ మారదు - డిటర్మినెంట్ల లక్షణాలను చూడండి). కానీ కొన్ని ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఇది మరింత ప్రయోజనకరంగా ఉంటుంది కాబట్టి, నిలువు వరుసలలో ఇది చాలా మంచిది.

డిటర్మినేట్‌లను లెక్కించే పద్ధతులను కొంచెం మరచిపోయిన పాఠకుల కోసం లేదా వాటి గురించి అస్సలు అవగాహన లేని పాఠకుల కోసం, నేను నా పురాతన పాఠాలలో ఒకదాన్ని సిఫార్సు చేస్తున్నాను: డిటర్మినెంట్‌ను ఎలా లెక్కించాలి?

ఉదాహరణ 6

క్రింది వెక్టర్స్ త్రిమితీయ స్థలానికి ప్రాతిపదికగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయండి:

పరిష్కారం: నిజానికి, మొత్తం పరిష్కారం డిటర్మినెంట్‌ను లెక్కించడానికి వస్తుంది.

ఎ) వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌లతో రూపొందించబడిన డిటర్‌మినెంట్‌ను గణిద్దాం (నిర్ధారణ మొదటి పంక్తిలో వెల్లడి చేయబడింది):

, అంటే వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి (కాప్లానార్ కాదు) మరియు త్రిమితీయ స్థలానికి ఆధారం.

సమాధానం: ఈ వెక్టర్స్ ఒక ఆధారం

బి) ఇది స్వతంత్ర నిర్ణయానికి సంబంధించిన అంశం. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

సృజనాత్మక పనులు కూడా ఉన్నాయి:

ఉదాహరణ 7

పరామితి యొక్క ఏ విలువ వద్ద వెక్టార్‌లు కోప్లానార్‌గా ఉంటాయి?

పరిష్కారం: ఈ వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన నిర్ణాయకం సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే వెక్టర్స్ కాప్లానార్‌గా ఉంటాయి:

ముఖ్యంగా, మీరు డిటర్మినేట్‌తో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. మేము జెర్బోయాస్‌లో గాలిపటాల వంటి సున్నాలను తగ్గించుకుంటాము - రెండవ పంక్తిలో డిటర్‌మినెంట్‌ని తెరిచి, వెంటనే మైనస్‌లను వదిలించుకోవడం ఉత్తమం:

మేము మరింత సరళీకరణలను నిర్వహిస్తాము మరియు విషయాన్ని సరళమైన సరళ సమీకరణానికి తగ్గిస్తాము:

సమాధానం: వద్ద

ఇక్కడ తనిఖీ చేయడం సులభం; దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఫలిత విలువను అసలు డిటర్‌మినేంట్‌లో భర్తీ చేయాలి మరియు దాన్ని మళ్లీ తెరవడం ద్వారా నిర్ధారించుకోండి.

ముగింపులో, మేము మరొక విలక్షణమైన సమస్యను పరిశీలిస్తాము, ఇది ప్రకృతిలో ఎక్కువ బీజగణితం మరియు సాంప్రదాయకంగా సరళ బీజగణిత కోర్సులో చేర్చబడుతుంది. ఇది చాలా సాధారణం, ఇది దాని స్వంత అంశానికి అర్హమైనది:

3 వెక్టర్స్ త్రిమితీయ స్థలానికి ఆధారమని నిరూపించండి
మరియు ఈ ప్రాతిపదికన 4వ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి

ఉదాహరణ 8

వెక్టర్స్ ఇవ్వబడ్డాయి. వెక్టర్స్ త్రిమితీయ ప్రదేశంలో ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి మరియు ఈ ప్రాతిపదికన వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: మొదట, పరిస్థితిని పరిష్కరించుకుందాం. షరతు ప్రకారం, నాలుగు వెక్టర్స్ ఇవ్వబడ్డాయి మరియు మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అవి ఇప్పటికే కొన్ని ప్రాతిపదికన కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉన్నాయి. ఈ ప్రాతిపదిక ఏమిటి అనేది మాకు ఆసక్తి లేదు. మరియు కింది విషయం ఆసక్తిని కలిగి ఉంది: మూడు వెక్టర్స్ బాగా కొత్త ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. మరియు మొదటి దశ పూర్తిగా ఉదాహరణ 6 యొక్క పరిష్కారంతో సమానంగా ఉంటుంది; వెక్టర్స్ నిజంగా సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయడం అవసరం:

వెక్టార్ కోఆర్డినేట్‌లతో రూపొందించబడిన డిటర్‌మినెంట్‌ను గణిద్దాం:

, అంటే వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు త్రిమితీయ స్థలం యొక్క ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

! ముఖ్యమైనది : వెక్టర్ కోఆర్డినేట్స్ తప్పనిసరిగావ్రాయండి నిలువు వరుసలలోకినిర్ణయాత్మకం, స్ట్రింగ్స్‌లో కాదు. లేకపోతే, తదుపరి పరిష్కార అల్గోరిథంలో గందరగోళం ఉంటుంది.- వెక్టర్ కోఆర్డినేట్స్, క్రామెర్ యొక్క పద్ధతి ఇక్కడ మంచు కాదు ;-)

మరియు, నేను ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, పని ప్రకృతిలో బీజగణితం. పరిగణించబడిన వెక్టర్స్ తప్పనిసరిగా అంతరిక్షంలో గీయగల వెక్టర్స్ కాదు, కానీ, మొదటగా, ఏకపక్ష లీనియర్ ఆల్జీబ్రా కోర్సు వెక్టర్స్. ద్విమితీయ వెక్టర్స్ విషయంలో, ఇదే విధమైన సమస్యను రూపొందించవచ్చు మరియు పరిష్కరించవచ్చు - పరిష్కారం సాంకేతికంగా చాలా సరళంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల నేను మునుపటి పేరాలో దాటవేసాను.

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం త్రిమితీయ వెక్టర్స్‌తో అదే సమస్య:

ఉదాహరణ 9

వెక్టర్స్ ఇవ్వబడ్డాయి. వెక్టర్‌లు ఒక ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి మరియు ఈ ప్రాతిపదికన వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.

పూర్తి పరిష్కారం మరియు పాఠం ముగింపులో తుది డిజైన్ యొక్క ఉజ్జాయింపు నమూనా.

అదేవిధంగా, మనం నాలుగు డైమెన్షనల్, ఫైవ్ డైమెన్షనల్ మొదలైనవాటిని పరిగణించవచ్చు. వెక్టార్ ఖాళీలు, ఇక్కడ వెక్టర్స్ వరుసగా 4, 5 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి. ఈ వెక్టార్ ఖాళీల కోసం, లీనియర్ డిపెండెన్స్, వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ ఇండిపెండెన్స్ అనే కాన్సెప్ట్ కూడా ఉంది, ఒక ఆధారం ఉంది, ఆర్థోనార్మల్ ప్రాతిపదికతో సహా, ఒక ప్రాతిపదికకు సంబంధించి వెక్టర్ యొక్క విస్తరణ. అవును, అటువంటి ఖాళీలను రేఖాగణితంగా గీయడం సాధ్యం కాదు, కానీ రెండు మరియు త్రిమితీయ కేసుల యొక్క అన్ని నియమాలు, లక్షణాలు మరియు సిద్ధాంతాలు వాటిలో పనిచేస్తాయి - స్వచ్ఛమైన బీజగణితం... అయినప్పటికీ, ఎవరికి తెలుసు, స్వచ్ఛమైనది కాకపోవచ్చు ..., కానీ దానిని మూసివేయండి - వ్యాసంలో తాత్విక ప్రశ్నలు చర్చ గురించి నేను ఇప్పటికే అడిగాను మూడు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలు, ఈ పాఠం కంటే ముందుగా కనిపించింది.

వెక్టర్లను ప్రేమించండి మరియు వెక్టర్స్ మిమ్మల్ని ప్రేమిస్తాయి!

లీనియర్ స్పేస్‌ల సిద్ధాంతంలో అత్యంత ముఖ్యమైన అంశం వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ డిపెండెన్స్. ఈ భావనను నిర్వచించే ముందు, కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణలు. 1. స్పేస్ Tk నుండి క్రింది మూడు వెక్టర్స్ సిస్టమ్ అందించబడింది:

ఇది చూడటం సులభం లేదా

2. ఇప్పుడు వెక్టర్స్ యొక్క మరొక వ్యవస్థను తీసుకుందాం

ఈ వెక్టర్స్ వ్యవస్థకు సమానత్వం (1) లాంటి సంబంధాన్ని నేరుగా గుర్తించడం కష్టం. అయితే, దాన్ని తనిఖీ చేయడం సులభం

సంబంధం (2) యొక్క గుణకాలు 4, -7.5 క్రింది విధంగా కనుగొనవచ్చు. వాటిని తెలియని వాటిని పరిగణించడం ద్వారా వాటిని సూచిస్తాము మరియు వెక్టర్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

గుణకారం మరియు సంకలనం యొక్క సూచించిన కార్యకలాపాలను నిర్వహించి మరియు (2) లోని వెక్టర్స్ యొక్క భాగాల సమానత్వానికి వెళ్ళిన తరువాత, మేము సంబంధించి సరళ సమీకరణాల యొక్క సజాతీయ వ్యవస్థను పొందుతాము

ఈ వ్యవస్థకు ఒక పరిష్కారం:

3. వెక్టర్స్ వ్యవస్థను పరిగణించండి:

సమానత్వం

ప్రత్యేకమైన - సున్నా - పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉన్న సమీకరణాల వ్యవస్థకు దారి తీస్తుంది. (తనిఖీ!) ఈ విధంగా, సమానత్వం (3) నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది,

ఇతర మాటలలో, సమానత్వం (3) మాత్రమే సంతృప్తి చెందుతుంది

ఉదాహరణ 1-2లోని వెక్టర్ సిస్టమ్‌లు రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటాయి, ఉదాహరణ 3లోని సిస్టమ్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం 3. ఫీల్డ్‌పై ఉన్న లీనియర్ స్పేస్ యొక్క వెక్టర్స్ సిస్టమ్‌ని లీనియర్‌ డిపెండెంట్ అంటారు, ఫీల్డ్‌లోని అన్ని సంఖ్యలు సున్నాకి సమానం కానట్లయితే.

వెక్టర్స్ కోసం సమానత్వం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే సంభవిస్తే, అప్పుడు వెక్టర్స్ వ్యవస్థను సరళ స్వతంత్రంగా పిలుస్తారు.

లీనియర్ డిపెండెన్స్ మరియు ఇండిపెండెన్స్ యొక్క ఆస్తి వెక్టర్స్ సిస్టమ్ యొక్క ఆస్తి అని గమనించండి. ఏది ఏమైనప్పటికీ, సాహిత్యంలో అదే విశేషణాలు నేరుగా వెక్టర్స్‌కు వర్తించినప్పుడు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి మరియు వారు మాట్లాడే స్వేచ్ఛను తీసుకుంటారు, "రేఖీయ స్వతంత్ర వెక్టర్స్ వ్యవస్థ" మరియు "వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి."

సిస్టమ్‌లో ఒక వెక్టార్ a మాత్రమే ఉన్నట్లయితే, అప్పుడు ప్రాపర్టీ 6 (§ 2) ద్వారా ఒక సున్నా కాని వెక్టార్‌తో కూడిన సిస్టమ్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, సున్నా వెక్టార్ 0ని కలిగి ఉన్న ఏదైనా వెక్టర్ సిస్టమ్ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, అలా అయితే

రెండు వెక్టర్‌ల వ్యవస్థ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటే, అప్పుడు సమానత్వం (లేదా . అప్పుడు

అంటే వెక్టర్స్ అనుపాతంలో ఉంటాయి. రెండు వెక్టార్‌ల వ్యవస్థ అనుపాతంలో ఉంటే మరియు అది మాత్రమే రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటుందని ఇది అనుసరిస్తుంది కాబట్టి, సంభాషణ కూడా నిజం.

అనుపాత వెక్టర్స్ ఒకే సరళ రేఖపై ఉంటాయి; ఈ విషయంలో, మరియు సాధారణ సందర్భంలో, అనుపాత వెక్టర్లను కొన్నిసార్లు కొల్లినియర్ అని పిలుస్తారు.

వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ డిపెండెన్స్ యొక్క కొన్ని లక్షణాలను మనం గమనించండి.

ప్రాపర్టీ 1. లీనియర్‌గా డిపెండెంట్ సబ్‌సిస్టమ్‌ను కలిగి ఉన్న వెక్టర్స్ సిస్టమ్ లీనియర్‌గా డిపెండెంట్‌గా ఉంటుంది.

ఉపవ్యవస్థ సరళంగా ఆధారపడి ఉండనివ్వండి

అప్పుడు సున్నాకి సమానమైన అన్ని సంఖ్యలు ఉండవు

ఈ సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపున సున్నా గుణకాలతో ఈ వ్యవస్థ యొక్క మిగిలిన వెక్టర్లను జోడించడం ద్వారా, మేము అవసరమైన ఫలితాన్ని పొందుతాము.

ప్రాపర్టీ 1 నుండి వెక్టర్స్ యొక్క సరళ స్వతంత్ర వ్యవస్థ యొక్క ప్రతి ఉపవ్యవస్థ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.

ఆస్తి 2. వెక్టర్స్ వ్యవస్థ ఉంటే

సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది మరియు వెక్టర్స్ వ్యవస్థ

సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది, అప్పుడు వెక్టార్ వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్స్ ద్వారా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది (4).

వెక్టర్స్ వ్యవస్థ (5) సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది కాబట్టి, సున్నాకి సమానమైన అన్ని సంఖ్యలు ఉండవు

ఆపై వాటిలో సున్నా కాని గుణకాలు ఉంటే, అంటే సిస్టమ్ యొక్క సరళ ఆధారపడటం (4). అది ఏంటి అంటే

ఆస్తి 3. నాన్జీరో వెక్టర్స్ యొక్క ఆర్డర్ సిస్టమ్

కొన్ని వెక్టార్ మునుపటి వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ కలయిక అయితే మరియు మాత్రమే లీనియర్‌గా ఆధారపడి ఉంటుంది.

వ్యవస్థ సరళంగా ఆధారపడి ఉండనివ్వండి. వెక్టర్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది కాబట్టి. సిస్టమ్ సరళంగా ఆధారపడే అతి చిన్న సహజ సంఖ్యతో సూచిస్తాము. (ఇది ఉంది: విపరీతమైన సందర్భంలో, వ్యవస్థలు సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటే, సున్నాకి సమానమైన అన్ని సంఖ్యలు ఉండవు.

వాటిలో సున్నా కాని గుణకాలు ఉంటే మరియు సమానత్వం ఉంటుంది

ఇది సిస్టమ్ యొక్క సరళ ఆధారపడటాన్ని సూచిస్తుంది, కానీ ఇది సంఖ్య ఎంపికకు విరుద్ధంగా ఉంటుంది కాబట్టి, అందువలన

దీనికి విరుద్ధంగా, ఆస్తి 1 ద్వారా సమానత్వం (7) నుండి సిస్టమ్ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది

ప్రాపర్టీ 3 నుండి వెక్టర్స్ సిస్టమ్ లీనియర్‌గా ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు దాని వెక్టర్‌లలో కనీసం ఒకటి ఇతర వాటి పరంగా లీనియర్‌గా వ్యక్తీకరించబడితే మాత్రమే. ఈ కోణంలో, లీనియర్ డిపెండెన్స్ అనే భావన లీనియర్ ఎక్స్‌ప్రెస్సిబిలిటీ భావనకు సమానమని వారు అంటున్నారు.

ప్రాపర్టీ 4. సిస్టమ్ యొక్క వెక్టర్స్ ద్వారా వెక్టార్ x సరళంగా వ్యక్తీకరించబడితే

మరియు వెక్టర్ సిస్టమ్ (8) యొక్క మిగిలిన వెక్టర్స్ ద్వారా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, ఆపై వెక్టర్ సిస్టమ్ యొక్క ఈ వెక్టర్స్ ద్వారా కూడా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది (8).

నిజానికి,

ఇప్పుడు మనం వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ డిపెండెన్స్ గురించి చాలా ముఖ్యమైన సిద్ధాంతాలలో ఒకదాన్ని నిరూపించగలము.

సిద్ధాంతం 1. ఒక సరళ స్వతంత్ర వ్యవస్థ యొక్క ప్రతి వెక్టార్ అయితే

వెక్టర్స్ యొక్క సరళ కలయిక ఉంది

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ కాంబినేషన్ అయిన వెక్టర్స్ యొక్క సరళ స్వతంత్ర వ్యవస్థలో, వెక్టర్స్ సంఖ్య ఎక్కువగా ఉండకూడదు.

రుజువు. 1వ దశ. ఒక వ్యవస్థను నిర్మించుకుందాం

షరతు ప్రకారం, సిస్టమ్ (9) యొక్క ప్రతి వెక్టర్, ప్రత్యేకించి, వెక్టర్ వెక్టర్స్ (10) ద్వారా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది మరియు అందువల్ల సిస్టమ్ (11) సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. సిస్టమ్ (11)లోని ఆస్తి 3 ద్వారా, ఒక నిర్దిష్ట వెక్టర్ ముందున్న వెక్టర్‌ల ద్వారా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది మరియు అందువల్ల సిస్టమ్ యొక్క వెక్టర్స్ ద్వారా

వెక్టార్‌ను తీసివేయడం ద్వారా (11) నుండి పొందబడింది.అందుచేత, ఆస్తి 4 ద్వారా, మనకు ఉంది: సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి వెక్టార్ (9) వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్స్ ద్వారా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది (12).

2వ దశ. వెక్టర్ సిస్టమ్‌లకు దశలో ఉన్న అదే తార్కికతను వర్తింపజేయడం

మరియు (12) మరియు వెక్టర్స్ వ్యవస్థ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉందని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము వెక్టర్స్ వ్యవస్థను పొందుతాము

దీని ద్వారా సిస్టమ్ యొక్క అన్ని వెక్టర్స్ (9) సరళంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి.

ఈ ప్రక్రియను కొనసాగిస్తూ, దశల ద్వారా మేము అన్ని వెక్టర్లను ఎగ్జాస్ట్ చేస్తాము మరియు సిస్టమ్‌ను పొందుతాము

సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి వెక్టర్ (9), ప్రత్యేకించి, సిస్టమ్ యొక్క వెక్టర్స్ ద్వారా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది (14). అప్పుడు సిస్టమ్ (9) సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది పరిస్థితికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. దానిని అంగీకరించడం మిగిలి ఉంది

వేర్వేరు ప్రదేశాలలో వెక్టర్స్ యొక్క సరళ ఆధారపడటం అంటే ఏమిటో ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం.

1. స్పేస్ రెండు వెక్టర్స్ వ్యవస్థ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటే, లేదా అంటే వెక్టర్స్ కొలినియర్. వ్యతిరేకం కూడా నిజం. మూడు అంతరిక్ష వెక్టార్‌ల వ్యవస్థ ఒకే విమానంలో ఉన్నట్లయితే మరియు అవి మాత్రమే సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. (నిరూపించండి!) నాలుగు అంతరిక్ష వెక్టర్స్ వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. నిజానికి, మన సిస్టమ్‌లోని ఏదైనా సబ్‌సిస్టమ్ లీనియర్‌గా డిపెండెంట్ అయితే, మొత్తం సిస్టమ్ లీనియర్‌గా డిపెండెంట్‌గా ఉంటుంది. సరైన సబ్‌సిస్టమ్ ఏదీ రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉండకపోతే, మునుపటి దాని ప్రకారం, మన సిస్టమ్‌లోని మూడు వెక్టర్‌లు ఒకే విమానంలో లేవని దీని అర్థం. అప్పుడు రేఖాగణిత పరిశీలనల నుండి ఇది వాస్తవ సంఖ్యల ఉనికిని అనుసరిస్తుంది అంటే అంచు-వెక్టార్‌లతో సమాంతరంగా ఉన్న ఒక వికర్ణాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే సమానత్వంలో

లీనియర్ డిపెండెన్స్ మరియు వెక్టర్ ఇండిపెండెన్స్

సరళ ఆధారిత మరియు స్వతంత్ర వెక్టర్ వ్యవస్థల నిర్వచనాలు

నిర్వచనం 22

అప్పుడు మనకు n-వెక్టార్ల వ్యవస్థ మరియు సంఖ్యల సమితిని కలిగి ఉండండి

(11)

ఇచ్చిన గుణకాల సమితితో వెక్టర్స్ యొక్క ఇచ్చిన వ్యవస్థ యొక్క సరళ కలయిక అని పిలుస్తారు.

నిర్వచనం 23

గుణకాల సమితి ఉంటే వెక్టర్స్ వ్యవస్థను లీనియర్‌గా డిపెండెంట్ అంటారు, వీటిలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానం కాకపోతే, ఈ గుణకాల సమితితో వెక్టర్స్ యొక్క ఇచ్చిన సిస్టమ్ యొక్క సరళ కలయిక సున్నా వెక్టార్‌కి సమానం:

అది అప్పుడు ఉండనివ్వండి

నిర్వచనం 24 (సిస్టమ్ యొక్క ఒక వెక్టర్‌ను ఇతరుల సరళ కలయికగా సూచించడం ద్వారా)

ఈ వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్లలో కనీసం ఒకదానిని ఈ వ్యవస్థ యొక్క మిగిలిన వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ కలయికగా సూచించగలిగితే వెక్టర్స్ వ్యవస్థను లీనియర్ డిపెండెంట్ అంటారు.

ప్రకటన 3

23 మరియు 24 నిర్వచనాలు సమానం.

నిర్వచనం 25(సున్నా లీనియర్ కలయిక ద్వారా)

అన్ని సున్నాకి సమానంగా ఉంటేనే ఈ వ్యవస్థ యొక్క సున్నా లీనియర్ కలయిక సాధ్యమైతే వెక్టర్స్ వ్యవస్థను సరళ స్వతంత్రంగా పిలుస్తారు.

నిర్వచనం 26(సిస్టమ్‌లోని ఒక వెక్టర్‌ను ఇతరుల సరళ కలయికగా సూచించడం అసంభవం కారణంగా)

ఈ వ్యవస్థలోని ఇతర వెక్టర్‌ల యొక్క లీనియర్ కలయికగా ఈ వ్యవస్థ యొక్క వెక్టర్‌లలో ఒకదానిని సూచించలేకపోతే, వెక్టర్‌ల వ్యవస్థను సరళ స్వతంత్రంగా పిలుస్తారు.

సరళ ఆధారిత మరియు స్వతంత్ర వెక్టర్ వ్యవస్థల లక్షణాలు

సిద్ధాంతం 2 (వెక్టార్ల వ్యవస్థలో సున్నా వెక్టర్)

వెక్టర్స్ సిస్టమ్ సున్నా వెక్టార్‌ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు సిస్టమ్ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది.

అలా ఉండనివ్వండి.

కాబట్టి మేము సున్నా లీనియర్ కలయిక ద్వారా వెక్టర్స్ యొక్క సరళ ఆధారిత వ్యవస్థ యొక్క నిర్వచనం ద్వారా పొందుతాము (12) వ్యవస్థ రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 3 (వెక్టార్ సిస్టమ్‌లో డిపెండెంట్ సబ్‌సిస్టమ్)

వెక్టర్స్ సిస్టమ్ లీనియర్‌గా డిపెండెంట్ సబ్‌సిస్టమ్‌ను కలిగి ఉంటే, మొత్తం సిస్టమ్ లీనియర్‌గా డిపెండెంట్‌గా ఉంటుంది.

 సరళ ఆధారిత ఉపవ్యవస్థగా ఉండనివ్వండి, వీటిలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానం కాదు:

దీని అర్థం, నిర్వచనం 23 ప్రకారం, సిస్టమ్ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. 

సిద్ధాంతం 4

సరళ స్వతంత్ర వ్యవస్థ యొక్క ఏదైనా ఉపవ్యవస్థ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.

 ఎదురుగా నుండి. సిస్టమ్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉండనివ్వండి మరియు సరళ ఆధారిత ఉపవ్యవస్థను కలిగి ఉండనివ్వండి. అయితే, సిద్ధాంతం 3 ప్రకారం, మొత్తం వ్యవస్థ కూడా సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. వైరుధ్యం. కాబట్టి, ఒక సరళ స్వతంత్ర వ్యవస్థ యొక్క ఉపవ్యవస్థ రేఖీయంగా ఆధారపడదు.

వెక్టర్స్ వ్యవస్థ యొక్క సరళ ఆధారపడటం మరియు స్వతంత్రత యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

సిద్ధాంతం 5

రెండు వెక్టర్స్ ఉంటే మరియు మాత్రమే ఉంటే సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి.

 ఆవశ్యకత.

మరియు - పరిస్థితి సంతృప్తికరంగా ఉందని సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి. అప్పుడు, అంటే...

సమర్ధత.

రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. 

కరోలరీ 5.1

సున్నా వెక్టార్ ఏదైనా వెక్టర్‌కి కొలినియర్‌గా ఉంటుంది

కరోలరీ 5.2

రెండు వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉండటానికి, ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది .

సిద్ధాంతం 6

మూడు వెక్టర్‌ల వ్యవస్థ సరళంగా ఆధారపడాలంటే, ఈ వెక్టర్‌లు కోప్లానార్‌గా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది .

 ఆవశ్యకత.

లీనియర్‌గా డిపెండెంట్, కాబట్టి, ఒక వెక్టార్‌ని ఇతర రెండింటి యొక్క లీనియర్ కలయికగా సూచించవచ్చు.

ఎక్కడ మరియు. సమాంతర చతుర్భుజం నియమం ప్రకారం, భుజాలతో సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణం ఉంటుంది, అయితే సమాంతర చతుర్భుజం అనేది కోప్లానార్ - కోప్లానార్ కూడా.

సమర్ధత.

కోప్లానార్. పాయింట్ Oకి మూడు వెక్టర్‌లను వర్తింపజేద్దాం:

- సరళ ఆధారితం

కరోలరీ 6.1

సున్నా వెక్టార్ ఏదైనా జత వెక్టర్‌లకు కోప్లానార్.

కరోలరీ 6.2

వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉండాలంటే, అవి కోప్లానార్ కాకపోవడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

కరోలరీ 6.3

ఒక విమానం యొక్క ఏదైనా వెక్టార్‌ని ఒకే విమానం యొక్క ఏదైనా రెండు నాన్-కాలినియర్ వెక్టర్‌ల సరళ కలయికగా సూచించవచ్చు.

సిద్ధాంతం 7

అంతరిక్షంలోని ఏదైనా నాలుగు వెక్టర్స్ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటాయి .

 4 కేసులను పరిశీలిద్దాం:

వెక్టర్స్ ద్వారా విమానం, వెక్టర్స్ ద్వారా ప్లేన్ మరియు వెక్టర్స్ ద్వారా ప్లేన్ గీద్దాం. అప్పుడు మేము పాయింట్ D ద్వారా ప్రయాణిస్తున్న విమానాలను గీస్తాము, వెక్టర్స్ జతలకు సమాంతరంగా; ; వరుసగా. మేము విమానాల ఖండన రేఖల వెంట సమాంతర పైప్‌ను నిర్మిస్తాము ఓ.బి. 1 డి 1 సి 1 ABDC.

పరిగణలోకి తీసుకుందాం ఓ.బి. 1 డి 1 సి 1 - సమాంతర చతుర్భుజం నియమం ప్రకారం నిర్మించబడిన సమాంతర చతుర్భుజం.

OADD 1ని పరిగణించండి - ఒక సమాంతర చతుర్భుజం (సమాంతర పైప్డ్ యొక్క ఆస్తి నుండి), ఆపై

EMBED సమీకరణం.3.

సిద్ధాంతం 1 ద్వారా అలాంటిది. అప్పుడు, నిర్వచనం 24 ప్రకారం, వెక్టర్స్ వ్యవస్థ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. 

కరోలరీ 7.1

అంతరిక్షంలో ఉన్న మూడు నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్స్ మొత్తం వెక్టార్, ఇది ఒక సాధారణ మూలానికి వర్తించే ఈ మూడు వెక్టర్‌లపై నిర్మించిన సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వికర్ణంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు మొత్తం వెక్టర్ యొక్క మూలం ఈ మూడు వెక్టర్‌ల ఉమ్మడి మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది.

కరోలరీ 7.2

మనం అంతరిక్షంలో 3 నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్‌లను తీసుకుంటే, ఈ స్థలంలోని ఏదైనా వెక్టర్‌ను ఈ మూడు వెక్టర్‌ల సరళ కలయికగా విడదీయవచ్చు.

వెక్టర్ సిస్టమ్ అంటారు రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటుంది, కనీసం ఒకటి సున్నాకి భిన్నంగా ఉండే సంఖ్యలు ఉంటే, సమానత్వం https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

ఈ సమానత్వం అన్ని సందర్భాల్లో మాత్రమే సంతృప్తి చెందితే, వెక్టర్స్ వ్యవస్థ అంటారు సరళ స్వతంత్ర.

సిద్ధాంతం.వెక్టర్ వ్యవస్థ ఉంటుంది రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటుందిఒకవేళ దాని వెక్టర్‌లలో కనీసం ఒకటి ఇతర వాటి యొక్క సరళ కలయిక అయితే మాత్రమే.

ఉదాహరణ 1.బహుపది అనేది బహుపదిల యొక్క సరళ కలయిక https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. బహుపదిలు సరళ స్వతంత్ర వ్యవస్థను కలిగి ఉంటాయి, బహుపది నుండి https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

ఉదాహరణ 2.మ్యాట్రిక్స్ సిస్టమ్, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఒక సరళ కలయికకు సమానం https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text ఉన్నప్పుడు మాత్రమే సున్నా మాతృక /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటుంది.

పరిష్కారం.

ఈ వెక్టర్స్ యొక్క సరళ కలయికను చేద్దాం https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" ఎత్తు="22">.

సమాన వెక్టర్స్ యొక్క అదే కోఆర్డినేట్‌లను సమం చేస్తే, మేము https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">ని పొందుతాము

చివరకు మనకు లభిస్తుంది

సిస్టమ్ ఒక ప్రత్యేకమైన పనికిమాలిన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది, కాబట్టి అన్ని గుణకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఈ వెక్టర్స్ యొక్క సరళ కలయిక సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, వెక్టర్స్ యొక్క ఈ వ్యవస్థ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 4.వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి. వెక్టర్ సిస్టమ్స్ ఎలా ఉంటాయి?

పరిష్కారం.

a)సరళ కలయికను తయారు చేసి, దానిని సున్నాకి సమం చేద్దాం

లీనియర్ స్పేస్‌లో వెక్టర్స్‌తో ఆపరేషన్ల లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము చివరి సమానత్వాన్ని రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

వెక్టర్స్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉన్నందున, వద్ద గుణకాలు తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి, అనగా..gif" width="12" height="23 src=">

సమీకరణాల ఫలితంగా ఏర్పడే వ్యవస్థ ఒక ప్రత్యేకమైన పనికిమాలిన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

సమానత్వం నుండి (*) https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే అమలు చేయబడుతుంది;

బి)సమానత్వం చేద్దాం https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

సారూప్య తర్కాన్ని వర్తింపజేస్తే, మేము పొందుతాము

గాస్ పద్ధతి ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం, మేము పొందుతాము

తరువాతి సిస్టమ్‌లో అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. అందువలన, కానిది ఉంది సమానత్వాన్ని కలిగి ఉండే సున్నా గుణకాల సమితి (**) . పర్యవసానంగా, వెక్టర్స్ వ్యవస్థ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 5వెక్టర్స్ సిస్టమ్ లీనియర్‌గా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది మరియు వెక్టర్స్ సిస్టమ్ లీనియర్‌గా డిపెండెంట్‌గా ఉంటుంది..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

సమానత్వంలో (***) . నిజానికి, వద్ద, సిస్టమ్ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది.

సంబంధం నుండి (***) మేము పొందుతాము లేదా సూచిస్తాము .

స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం సమస్యలు (తరగతి గదిలో)

1. సున్నా వెక్టార్‌ను కలిగి ఉన్న వ్యవస్థ సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది.

2. ఒక వెక్టర్‌తో కూడిన వ్యవస్థ ఎ, రేఖీయంగా ఆధారపడి ఉంటే మరియు మాత్రమే అయితే, a=0.

3. రెండు వెక్టర్‌లను కలిగి ఉండే వ్యవస్థ, వెక్టార్‌లు అనుపాతంలో ఉంటేనే సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది (అంటే, వాటిలో ఒకటి సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా మరొకదాని నుండి పొందబడుతుంది).

4. మీరు లీనియర్‌గా డిపెండెంట్ సిస్టమ్‌కు వెక్టార్‌ని జోడిస్తే, మీరు లీనియర్‌గా డిపెండెంట్ సిస్టమ్‌ను పొందుతారు.

5. ఒక వెక్టార్‌ని లీనియర్‌గా ఇండిపెండెంట్ సిస్టమ్ నుండి తొలగించినట్లయితే, ఫలితంగా వెక్టర్స్ సిస్టమ్ లీనియర్‌గా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.

6. వ్యవస్థ ఉంటే ఎస్రేఖీయంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది, కానీ వెక్టార్‌ని జోడించేటప్పుడు సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది బి, తర్వాత వెక్టర్ బిసిస్టమ్ వెక్టర్స్ ద్వారా సరళంగా వ్యక్తీకరించబడింది ఎస్.

c)మాత్రికల వ్యవస్థ , , రెండవ-ఆర్డర్ మాత్రికల స్థలంలో.

10. వెక్టర్స్ సిస్టమ్ లెట్ a,b,సివెక్టార్ స్పేస్ సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది. కింది వెక్టర్ సిస్టమ్స్ యొక్క సరళ స్వతంత్రతను నిరూపించండి:

a)a+బి, బి, సి.

బి)a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–ఏకపక్ష సంఖ్య

c)a+b, a+c, b+c.

11. వీలు a,b,సి- త్రిభుజం ఏర్పడే విమానంలో మూడు వెక్టర్స్. ఈ వెక్టర్స్ లీనియర్‌గా ఆధారపడతాయా?

12. రెండు వెక్టర్స్ ఇవ్వబడ్డాయి a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). మరో రెండు నాలుగు డైమెన్షనల్ వెక్టర్‌లను కనుగొనండి a3 మరియుa4తద్వారా వ్యవస్థ a1,a2,a3,a4సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉండేది .