సంఘటనల సంభావ్యతను లెక్కించడానికి సూత్రాలు
1.3.1 స్వతంత్ర పరీక్షల క్రమం (బెర్నౌలీ సర్క్యూట్)
కొన్ని ప్రయోగాలు అదే పరిస్థితుల్లో పదేపదే నిర్వహించవచ్చని అనుకుందాం. ఈ అనుభవాన్ని పొందనివ్వండి nసార్లు, అనగా, ఒక క్రమం nపరీక్షలు.
నిర్వచనం. తదనంతరము n పరీక్షలు అంటారు పరస్పర స్వతంత్రం , ఇచ్చిన పరీక్షకు సంబంధించిన ఏదైనా ఈవెంట్ ఇతర పరీక్షలకు సంబంధించిన ఏవైనా ఈవెంట్‌ల నుండి స్వతంత్రంగా ఉంటే.
ఏదో ఒక సంఘటన అనుకుందాం ఎజరిగే అవకాశం ఉంది pఒక పరీక్ష ఫలితంగా లేదా జరిగే అవకాశం లేదు q= 1- p.
నిర్వచనం . యొక్క క్రమం nకింది షరతులు నెరవేరినట్లయితే పరీక్షలు బెర్నౌలీ పథకాన్ని ఏర్పరుస్తాయి:
తదుపరి nపరీక్షలు పరస్పరం స్వతంత్రంగా ఉంటాయి,
2) ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎట్రయల్ నుండి ట్రయల్‌కి మారదు మరియు ఇతర ట్రయల్స్‌లో ఫలితంపై ఆధారపడదు.
ఈవెంట్ ఎపరీక్ష యొక్క "విజయం" అని పిలుస్తారు మరియు వ్యతిరేక సంఘటనను "వైఫల్యం" అని పిలుస్తారు. సంఘటనను పరిగణించండి
=(లో nపరీక్షలు సరిగ్గా జరిగాయి m"విజయం").
ఈ ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను గణించడానికి, బెర్నౌలీ ఫార్ములా చెల్లుబాటు అవుతుంది
p(
)
=
, m
= 1, 2, …, n
, (1.6)
ఎక్కడ 
- కలయికల సంఖ్య nద్వారా అంశాలు m
:
=
=
.
ఉదాహరణ 1.16. డై మూడు సార్లు విసిరివేయబడుతుంది. కనుగొనండి:
a) 6 పాయింట్లు రెండుసార్లు కనిపించే సంభావ్యత;
బి) సిక్సర్ల సంఖ్య రెండుసార్లు కంటే ఎక్కువ కనిపించని సంభావ్యత.
పరిష్కారం . డైలో 6 పాయింట్ల చిత్రం ఉన్న వైపు కనిపించినప్పుడు మేము పరీక్ష యొక్క “విజయాన్ని” పరిశీలిస్తాము.
ఎ) మొత్తం పరీక్షల సంఖ్య - n=3, "విజయాల" సంఖ్య - m
= 2. "విజయం" సంభావ్యత - p=
,
మరియు "వైఫల్యం" యొక్క సంభావ్యత q= 1 - =.
.
అప్పుడు, బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం, మూడు సార్లు డైని విసిరిన ఫలితంగా, ఆరు పాయింట్లు ఉన్న వైపు రెండుసార్లు కనిపించే సంభావ్యత, సమానంగా ఉంటుంది బి) ద్వారా సూచిస్తాముఎ ఒక ఈవెంట్ అంటే 6 స్కోర్ ఉన్న వైపు రెండు సార్లు కంటే ఎక్కువ కనిపించదు. అప్పుడు ఈవెంట్‌ను ఇలా సూచించవచ్చుమూడు అననుకూల మొత్తం సంఘటనలు
,
ఎక్కడ A= IN
A= 3 0 – ఆసక్తి యొక్క అంచు ఎప్పుడూ కనిపించని సంఘటన,
A= 3 1 - ఆసక్తి యొక్క అంచు ఒకసారి కనిపించిన సంఘటన,
3 2 - ఆసక్తి యొక్క అంచు రెండుసార్లు కనిపించిన సంఘటన.
p(బి) ద్వారా సూచిస్తాము)
బెర్నౌలీ ఫార్ములా (1.6)ని ఉపయోగించి మనం కనుగొంటాము
)
=
p(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2 ఈవెంట్ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత
= p (
షరతులతో కూడిన సంభావ్యత మరొక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతపై ఒక సంఘటన యొక్క ప్రభావాన్ని ప్రతిబింబిస్తుంది. ప్రయోగం నిర్వహించబడే పరిస్థితులను మార్చడం కూడా ప్రభావితం చేస్తుంది
నిర్వచనం. ఆసక్తి సంఘటన సంభవించే సంభావ్యతపై. ఎ లెట్ మరియుబి p(మరియు)> 0.
- కొన్ని సంఘటనలు మరియు సంభావ్యతషరతులతో కూడిన సంభావ్యత ఎసంఘటనలు మరియుఅందించిన “సంఘటనఇప్పటికే p(ఎ మరియు). జరిగినది” అనేది ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క సంభావ్యత మరియు సంభావ్యతను కనుగొనవలసిన సంఘటన కంటే ముందుగా సంభవించిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క నిష్పత్తి. షరతులతో కూడిన సంభావ్యత ఇలా సూచించబడుతుంది
p
(ఎ
మరియు)
=
.
(1.7)
అప్పుడు నిర్వచనం ప్రకారం ఉదాహరణ 1.17.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
రెండు పాచికలు విసిరారు. ఎలిమెంటరీ ఈవెంట్స్ స్పేస్‌లో ఆర్డర్ చేసిన జతల సంఖ్యలు ఉంటాయి ఎఉదాహరణ 1.16లో ఈవెంట్ అని నిర్ణయించబడింది =(మొదటి డైలో పాయింట్ల సంఖ్య > 4) మరియు ఈవెంట్సి
.
=(పాయింట్ల మొత్తం 8) ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒక సంబంధం చేసుకుందాం ఎ:
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
ఈ సంబంధాన్ని ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మొదటి త్రో యొక్క ఫలితం మొదటి డైలో ఉన్న పాయింట్ల సంఖ్య > 4 అని తెలుసుకుందాం. రెండవ డైని విసిరితే ఈవెంట్‌ను రూపొందించే 12 ఫలితాలలో ఒకదానికి దారితీయవచ్చు. =(మొదటి డైలో పాయింట్ల సంఖ్య > 4) మరియు ఈవెంట్ఈ కార్యక్రమంలో =(మొదటి డైలో పాయింట్ల సంఖ్య > 4) మరియు ఈవెంట్
వాటిలో రెండు మాత్రమే సరిపోలవచ్చు (5,3) (6,2). ఈ సందర్భంలో, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 
సమానంగా ఉంటుంది ఎఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను ప్రభావితం చేసింది =(మొదటి డైలో పాయింట్ల సంఖ్య > 4) మరియు ఈవెంట్.
సంఘటనలు జరిగే సంభావ్యత
గుణకార సిద్ధాంతం
సంఘటనలు జరిగే సంభావ్యతఎ 1 ఎ 2 ఎ n సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
p(ఎ 1 ఎ 2 ఎ n)= p(ఎ 1)p(ఎ 2 ఎ 1)) p(ఎ n ఎ 1 ఎ 2 ఎ n- 1). (1.8)
రెండు సంఘటనల ఉత్పత్తి కోసం అది అనుసరిస్తుంది
p(AB)= p(ఎ బి) పి{మరియు)= p(మరియు ఎ)p{ఎ). (1.9)
ఉదాహరణ 1.18. 25 ఉత్పత్తుల బ్యాచ్‌లో, 5 ఉత్పత్తులు లోపభూయిష్టంగా ఉన్నాయి. 3 అంశాలు వరుసగా యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడ్డాయి. ఎంచుకున్న అన్ని ఉత్పత్తులు లోపభూయిష్టంగా ఉన్న సంభావ్యతను నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం. సంఘటనలను సూచిస్తాము:
ఎ 1 = (మొదటి ఉత్పత్తి లోపభూయిష్టంగా ఉంది),
ఎ 2 = (రెండవ ఉత్పత్తి లోపభూయిష్టంగా ఉంది),
ఎ 3 = (మూడవ ఉత్పత్తి లోపభూయిష్టంగా ఉంది),
ఎ = (అన్ని ఉత్పత్తులు లోపభూయిష్టంగా ఉన్నాయి).
ఈవెంట్ బి) ద్వారా సూచిస్తాము మూడు సంఘటనల ఉత్పత్తి ఎ = ఎ 1 ఎ 2 ఎ 3 .
గుణకార సిద్ధాంతం నుండి (1.6) మేము పొందుతాము
p(ఎ)= p( ఎ 1 ఎ 2 ఎ 3 ) = p(ఎ 1) p(ఎ 2 ఎ 1))p(ఎ 3 ఎ 1 ఎ 2).
సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం మాకు కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది p(ఎ 1) మొత్తం ఉత్పత్తుల సంఖ్యకు లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్య నిష్పత్తి:
p(ఎ 1)=
;
p(ఎ 2) – ఈ ఒకదానిని తీసివేసిన తర్వాత మిగిలి ఉన్న లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్య మరియు మిగిలిన మొత్తం ఉత్పత్తుల సంఖ్యకు నిష్పత్తి:
p(ఎ 2
ఎ 1))=
;
p(ఎ 3) - ఇది రెండు లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తులను తీసివేసిన తర్వాత మిగిలి ఉన్న లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంఖ్య మరియు మిగిలిన ఉత్పత్తుల సంఖ్యకు నిష్పత్తి:
p(ఎ 3
ఎ 1 ఎ 2)=
.
అప్పుడు ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎ సమానంగా ఉంటుంది
p(ఎ)
=
=
.
"ప్రమాదాలు ప్రమాదవశాత్తు కాదు"... ఇది ఏదో ఒక తత్వవేత్త చెప్పినట్లుగా అనిపిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి, యాదృచ్ఛికతను అధ్యయనం చేయడం గొప్ప గణిత శాస్త్రం యొక్క విధి. గణితంలో, సంభావ్యత సిద్ధాంతం ద్వారా అవకాశం పరిష్కరించబడుతుంది. సూత్రాలు మరియు పనుల ఉదాహరణలు, అలాగే ఈ శాస్త్రం యొక్క ప్రాథమిక నిర్వచనాలు వ్యాసంలో ప్రదర్శించబడతాయి.
సంభావ్యత సిద్ధాంతం అంటే ఏమిటి?
యాదృచ్ఛిక సంఘటనలను అధ్యయనం చేసే గణిత విభాగాలలో సంభావ్యత సిద్ధాంతం ఒకటి.
దీన్ని కొంచెం స్పష్టంగా చెప్పాలంటే, ఒక చిన్న ఉదాహరణ ఇద్దాం: మీరు ఒక నాణెం పైకి విసిరితే, అది తలలు లేదా తోకలపైకి రావచ్చు. నాణెం గాలిలో ఉన్నప్పుడు, ఈ రెండు సంభావ్యతలు సాధ్యమే. అంటే, సాధ్యమయ్యే పరిణామాల సంభావ్యత 1:1. 36 కార్డుల డెక్ నుండి ఒకటి డ్రా అయినట్లయితే, సంభావ్యత 1:36గా సూచించబడుతుంది. ముఖ్యంగా గణిత సూత్రాల సహాయంతో ఇక్కడ అన్వేషించడానికి మరియు అంచనా వేయడానికి ఏమీ లేదని అనిపిస్తుంది. అయితే, మీరు ఒక నిర్దిష్ట చర్యను చాలాసార్లు పునరావృతం చేస్తే, మీరు ఒక నిర్దిష్ట నమూనాను గుర్తించవచ్చు మరియు దాని ఆధారంగా, ఇతర పరిస్థితులలో సంఘటనల ఫలితాలను అంచనా వేయవచ్చు.
పైన పేర్కొన్నవన్నీ క్లుప్తంగా చెప్పాలంటే, శాస్త్రీయ కోణంలో సంభావ్యత సిద్ధాంతం సంఖ్యా విలువలో సాధ్యమయ్యే సంఘటనలలో ఒకటి సంభవించే అవకాశాన్ని అధ్యయనం చేస్తుంది.
చరిత్ర పుటల నుండి
మొదటి పనుల యొక్క సంభావ్యత, సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు సుదూర మధ్య యుగాలలో కనిపించాయి, మొదట కార్డ్ గేమ్‌ల ఫలితాలను అంచనా వేసే ప్రయత్నాలు ఉద్భవించాయి.
ప్రారంభంలో, సంభావ్యత సిద్ధాంతానికి గణితంతో సంబంధం లేదు. ఆచరణలో పునరుత్పత్తి చేయగల సంఘటన యొక్క అనుభావిక వాస్తవాలు లేదా లక్షణాల ద్వారా ఇది సమర్థించబడింది. గణితశాస్త్ర విభాగంగా ఈ ప్రాంతంలో మొదటి రచనలు 17వ శతాబ్దంలో కనిపించాయి. వ్యవస్థాపకులు బ్లేజ్ పాస్కల్ మరియు పియరీ ఫెర్మాట్. వారు చాలా కాలం పాటు జూదం గురించి అధ్యయనం చేసారు మరియు కొన్ని నమూనాలను చూశారు, వారు ప్రజలకు చెప్పాలని నిర్ణయించుకున్నారు.
పాస్కల్ మరియు ఫెర్మాట్ పరిశోధన ఫలితాల గురించి అతనికి తెలియనప్పటికీ, అదే సాంకేతికతను క్రిస్టియాన్ హ్యూజెన్స్ కనుగొన్నారు. క్రమశిక్షణ చరిత్రలో మొదటిదిగా పరిగణించబడే "సంభావ్యత సిద్ధాంతం", సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు అతనిచే పరిచయం చేయబడ్డాయి.
జాకబ్ బెర్నౌలీ, లాప్లేస్ మరియు పాయిసన్ సిద్ధాంతాల రచనలు కూడా చిన్న ప్రాముఖ్యతను కలిగి లేవు. వారు సంభావ్యత సిద్ధాంతాన్ని గణిత శాస్త్ర విభాగం వలె రూపొందించారు. సంభావ్యత సిద్ధాంతం, సూత్రాలు మరియు ప్రాథమిక పనుల ఉదాహరణలు కోల్మోగోరోవ్ యొక్క సిద్ధాంతాల కారణంగా వాటి ప్రస్తుత రూపాన్ని పొందాయి. అన్ని మార్పుల ఫలితంగా, సంభావ్యత సిద్ధాంతం గణిత శాఖలలో ఒకటిగా మారింది.
సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు. ఈవెంట్స్
ఈ క్రమశిక్షణ యొక్క ప్రధాన భావన "ఈవెంట్". మూడు రకాల సంఘటనలు ఉన్నాయి:
- విశ్వసనీయమైనది.ఎలాగైనా జరిగేవి (నాణెం పడిపోతుంది).
- అసాధ్యం.ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ జరగని సంఘటనలు (నాణెం గాలిలో వేలాడుతూనే ఉంటుంది).
- యాదృచ్ఛికంగా.జరిగేవి లేదా జరగనివి. వారు అంచనా వేయడానికి చాలా కష్టంగా ఉండే వివిధ కారకాలచే ప్రభావితమవుతారు. మేము నాణెం గురించి మాట్లాడినట్లయితే, ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేసే యాదృచ్ఛిక కారకాలు ఉన్నాయి: నాణెం యొక్క భౌతిక లక్షణాలు, దాని ఆకారం, దాని అసలు స్థానం, త్రో యొక్క శక్తి మొదలైనవి.
ఉదాహరణలలోని అన్ని సంఘటనలు పెద్ద లాటిన్ అక్షరాలతో సూచించబడతాయి, P మినహా, ఇది వేరే పాత్రను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు:
- A = "విద్యార్థులు ఉపన్యాసానికి వచ్చారు."
- Ā = "విద్యార్థులు ఉపన్యాసానికి రాలేదు."
ఆచరణాత్మక పనులలో, సంఘటనలు సాధారణంగా పదాలలో వ్రాయబడతాయి.
సంఘటనల యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణాలలో ఒకటి వాటి సమాన అవకాశం. అంటే, మీరు ఒక నాణెం టాసు చేస్తే, అది పడిపోయే వరకు ప్రారంభ పతనం కోసం అన్ని ఎంపికలు సాధ్యమే. కానీ సంఘటనలు కూడా సమానంగా సాధ్యం కాదు. ఎవరైనా ఉద్దేశపూర్వకంగా ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేసినప్పుడు ఇది జరుగుతుంది. ఉదాహరణకు, "గుర్తించబడిన" ప్లేయింగ్ కార్డ్‌లు లేదా పాచికలు, దీనిలో గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం మార్చబడుతుంది.
ఈవెంట్‌లు అనుకూలమైనవి మరియు అననుకూలమైనవి కూడా కావచ్చు. అనుకూలమైన సంఘటనలు ఒకదానికొకటి సంభవించడాన్ని మినహాయించవు. ఉదాహరణకు:
- A = "విద్యార్థి ఉపన్యాసానికి వచ్చాడు."
- B = "విద్యార్థి ఉపన్యాసానికి వచ్చారు."
ఈ సంఘటనలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉంటాయి మరియు వాటిలో ఒకటి సంభవించడం మరొకటి సంభవించడాన్ని ప్రభావితం చేయదు. అననుకూల సంఘటనలు ఒకదాని సంభవం మరొకటి సంభవించడాన్ని మినహాయించడం ద్వారా నిర్వచించబడతాయి. మేము అదే నాణెం గురించి మాట్లాడినట్లయితే, "తోకలు" కోల్పోవడం వలన అదే ప్రయోగంలో "తలలు" కనిపించడం అసాధ్యం.
సంఘటనలపై చర్యలు
ఈవెంట్‌లను గుణించవచ్చు మరియు తదనుగుణంగా జోడించవచ్చు, లాజికల్ కనెక్టివ్‌లు "AND" మరియు "OR" క్రమశిక్షణలో ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి.
ఈవెంట్ A లేదా B లేదా రెండు ఏకకాలంలో సంభవించవచ్చు అనే వాస్తవం ద్వారా మొత్తం నిర్ణయించబడుతుంది. అవి అననుకూలంగా ఉంటే, చివరి ఎంపిక అసాధ్యం లేదా A లేదా B రోల్ చేయబడుతుంది.
సంఘటనల గుణకారం ఒకే సమయంలో A మరియు B రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
ఇప్పుడు మనం బేసిక్స్, ప్రాబబిలిటీ థియరీ మరియు ఫార్ములాలను బాగా గుర్తుంచుకోవడానికి అనేక ఉదాహరణలు ఇవ్వవచ్చు. దిగువ సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు.
టాస్క్ 1: కంపెనీ మూడు రకాల పని కోసం కాంట్రాక్టులను స్వీకరించడానికి పోటీలో పాల్గొంటుంది. సంభవించే సంభావ్య సంఘటనలు:
- A = "సంస్థ మొదటి ఒప్పందాన్ని అందుకుంటుంది."
- A 1 = "సంస్థ మొదటి ఒప్పందాన్ని స్వీకరించదు."
- B = "సంస్థ రెండవ ఒప్పందాన్ని అందుకుంటుంది."
- B 1 = "సంస్థ రెండవ ఒప్పందాన్ని స్వీకరించదు"
- C = "సంస్థ మూడవ ఒప్పందాన్ని అందుకుంటుంది."
- C 1 = "సంస్థ మూడవ ఒప్పందాన్ని స్వీకరించదు."
ఈవెంట్‌లపై చర్యలను ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది పరిస్థితులను వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నిస్తాము:
- K = "కంపెనీ అన్ని ఒప్పందాలను స్వీకరిస్తుంది."
గణిత రూపంలో, సమీకరణం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: K = ABC.
- M = "కంపెనీ ఒక్క ఒప్పందాన్ని పొందదు."
M = A 1 B 1 C 1.
పనిని క్లిష్టతరం చేద్దాం: H = "కంపెనీ ఒక ఒప్పందాన్ని అందుకుంటుంది." కంపెనీ ఏ కాంట్రాక్టును స్వీకరిస్తుందో తెలియదు కాబట్టి (మొదటి, రెండవ లేదా మూడవ), సాధ్యమయ్యే ఈవెంట్‌ల మొత్తం శ్రేణిని రికార్డ్ చేయడం అవసరం:
H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
మరియు 1 BC 1 అనేది సంస్థ మొదటి మరియు మూడవ ఒప్పందాన్ని స్వీకరించని సంఘటనల శ్రేణి, కానీ రెండవది పొందుతుంది. ఇతర సాధ్యమయ్యే సంఘటనలు తగిన పద్ధతిని ఉపయోగించి రికార్డ్ చేయబడ్డాయి. క్రమశిక్షణలో υ గుర్తు కనెక్టివ్ "OR"ని సూచిస్తుంది. మేము పై ఉదాహరణను మానవ భాషలోకి అనువదిస్తే, కంపెనీ మూడవ ఒప్పందాన్ని లేదా రెండవది లేదా మొదటిది పొందుతుంది. ఇదే విధంగా, మీరు "ప్రాబబిలిటీ థియరీ" అనే క్రమశిక్షణలో ఇతర షరతులను వ్రాయవచ్చు. పైన అందించిన సమస్య పరిష్కార సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు దీన్ని మీరే చేయడంలో మీకు సహాయపడతాయి.
వాస్తవానికి, సంభావ్యత
బహుశా, ఈ గణిత శాస్త్ర విభాగంలో, ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత అనేది కేంద్ర భావన. సంభావ్యత యొక్క 3 నిర్వచనాలు ఉన్నాయి:
- క్లాసిక్;
- గణాంక;
- రేఖాగణిత.
సంభావ్యత అధ్యయనంలో ప్రతి దానికీ దాని స్థానం ఉంది. సంభావ్యత సిద్ధాంతం, సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు (9వ తరగతి) ప్రధానంగా క్లాసిక్ నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాయి, ఇది ఇలా ఉంటుంది:
- పరిస్థితి A యొక్క సంభావ్యత దాని సంభవించిన అన్ని ఫలితాల సంఖ్యకు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తికి సమానం.
సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది: P(A)=m/n.
A నిజానికి ఒక సంఘటన. A కి ఎదురుగా ఉన్న సందర్భం కనిపిస్తే, దానిని Ā లేదా A 1 గా వ్రాయవచ్చు.
m అనేది అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్య.
n - జరిగే అన్ని సంఘటనలు.
ఉదాహరణకు, A = "హార్ట్ సూట్ యొక్క కార్డును గీయండి." ప్రామాణిక డెక్‌లో 36 కార్డులు ఉన్నాయి, వాటిలో 9 హృదయాలు ఉన్నాయి. దీని ప్రకారం, సమస్యను పరిష్కరించడానికి సూత్రం ఇలా ఉంటుంది:
P(A)=9/36=0.25.
ఫలితంగా, డెక్ నుండి హార్ట్ సూట్ యొక్క కార్డ్ డ్రా చేయబడే సంభావ్యత 0.25 అవుతుంది.
ఉన్నత గణితం వైపు
పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లో వచ్చే సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సంభావ్యత సిద్ధాంతం, సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలు ఏమిటో ఇప్పుడు కొంచెం తెలిసింది. అయినప్పటికీ, సంభావ్యత సిద్ధాంతం ఉన్నత గణితంలో కూడా కనుగొనబడింది, ఇది విశ్వవిద్యాలయాలలో బోధించబడుతుంది. చాలా తరచుగా అవి సిద్ధాంతం మరియు సంక్లిష్ట సూత్రాల రేఖాగణిత మరియు గణాంక నిర్వచనాలతో పనిచేస్తాయి.
సంభావ్యత సిద్ధాంతం చాలా ఆసక్తికరమైనది. సంభావ్యత యొక్క గణాంక (లేదా ఫ్రీక్వెన్సీ) నిర్వచనంతో - సూత్రాలు మరియు ఉదాహరణలను (అధిక గణితం) చిన్నగా అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించడం మంచిది.
గణాంక విధానం శాస్త్రీయ పద్ధతికి విరుద్ధంగా లేదు, కానీ దానిని కొద్దిగా విస్తరిస్తుంది. మొదటి సందర్భంలో ఒక సంఘటన ఏ సంభావ్యతతో సంభవిస్తుందో నిర్ణయించాల్సిన అవసరం ఉంటే, ఈ పద్ధతిలో అది ఎంత తరచుగా జరుగుతుందో సూచించడం అవసరం. ఇక్కడ "సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ" యొక్క కొత్త భావన పరిచయం చేయబడింది, దీనిని W n (A) ద్వారా సూచించవచ్చు. ఫార్ములా క్లాసిక్ నుండి భిన్నంగా లేదు:
ప్రిడిక్షన్ కోసం క్లాసికల్ ఫార్ములా లెక్కించబడితే, ప్రయోగ ఫలితాల ప్రకారం గణాంక ఒకటి లెక్కించబడుతుంది. ఉదాహరణకు ఒక చిన్న పని తీసుకుందాం.
సాంకేతిక నియంత్రణ విభాగం నాణ్యత కోసం ఉత్పత్తులను తనిఖీ చేస్తుంది. 100 ఉత్పత్తుల్లో 3 నాణ్యత లేనివిగా గుర్తించారు. నాణ్యమైన ఉత్పత్తి యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ సంభావ్యతను ఎలా కనుగొనాలి?
A = "నాణ్యమైన ఉత్పత్తి యొక్క రూపాన్ని."
W n (A)=97/100=0.97
అందువలన, నాణ్యమైన ఉత్పత్తి యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ 0.97. మీకు 97 ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? తనిఖీ చేసిన 100 ఉత్పత్తుల్లో 3 నాణ్యత లేనివిగా గుర్తించారు. మేము 100 నుండి 3 తీసివేసి 97 పొందుతాము, ఇది నాణ్యమైన వస్తువుల మొత్తం.
కాంబినేటరిక్స్ గురించి కొంచెం
సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క మరొక పద్ధతిని కాంబినేటరిక్స్ అంటారు. దీని ప్రాథమిక సూత్రం ఏమిటంటే, ఒక నిర్దిష్ట ఎంపిక Aని m వివిధ మార్గాల్లో తయారు చేయగలిగితే మరియు B ఎంపికను n విభిన్న మార్గాల్లో తయారు చేయగలిగితే, A మరియు B ఎంపికను గుణకారం ద్వారా చేయవచ్చు.
ఉదాహరణకు, నగరం A నుండి B నగరానికి 5 రహదారులు ఉన్నాయి. నగరం B నుండి సిటీ Cకి 4 మార్గాలు ఉన్నాయి. మీరు సిటీ A నుండి సిటీ Cకి ఎన్ని మార్గాల్లో చేరుకోవచ్చు?
ఇది చాలా సులభం: 5x4=20, అంటే ఇరవై రకాలుగా మీరు పాయింట్ A నుండి పాయింట్ C వరకు పొందవచ్చు.
పనిని క్లిష్టతరం చేద్దాం. సాలిటైర్‌లో కార్డులను వేయడానికి ఎన్ని మార్గాలు ఉన్నాయి? డెక్‌లో 36 కార్డులు ఉన్నాయి - ఇది ప్రారంభ స్థానం. మార్గాల సంఖ్యను తెలుసుకోవడానికి, మీరు ప్రారంభ స్థానం నుండి ఒకేసారి ఒక కార్డును "తీసివేయాలి" మరియు గుణించాలి.
అంటే, 36x35x34x33x32...x2x1= ఫలితం కాలిక్యులేటర్ స్క్రీన్‌పై సరిపోదు, కాబట్టి దీనిని కేవలం 36గా పేర్కొనవచ్చు!. సైన్ "!" సంఖ్య పక్కన మొత్తం సంఖ్యల శ్రేణి కలిసి గుణించబడిందని సూచిస్తుంది.
కాంబినేటరిక్స్‌లో ప్రస్తారణ, ప్లేస్‌మెంట్ మరియు కలయిక వంటి భావనలు ఉన్నాయి. వాటిలో ప్రతి దాని స్వంత ఫార్ములా ఉంది.
సెట్ యొక్క మూలకాల యొక్క ఆర్డర్ సెట్‌ను అమరిక అంటారు. ప్లేస్‌మెంట్‌లను పునరావృతం చేయవచ్చు, అంటే, ఒక మూలకాన్ని చాలాసార్లు ఉపయోగించవచ్చు. మరియు పునరావృతం లేకుండా, మూలకాలు పునరావృతం కానప్పుడు. n అనేది అన్ని మూలకాలు, m అనేది ప్లేస్‌మెంట్‌లో పాల్గొనే మూలకాలు. పునరావృతం లేకుండా ప్లేస్‌మెంట్ కోసం సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:
A n m =n!/(n-m)!
ప్లేస్‌మెంట్ క్రమంలో మాత్రమే తేడా ఉండే n మూలకాల కనెక్షన్‌లను ప్రస్తారణలు అంటారు. గణితంలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: P n = n!
m యొక్క n మూలకాల కలయికలు ఆ సమ్మేళనాలు, అవి ఏ మూలకాలు మరియు వాటి మొత్తం సంఖ్య ఎంత అనేది ముఖ్యమైనది. ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది:
A n m =n!/m!(n-m)!
బెర్నౌలీ సూత్రం
ప్రాబబిలిటీ థియరీలో, ప్రతి విభాగంలో వలె, కొత్త స్థాయికి తీసుకెళ్లిన వారి రంగంలో అత్యుత్తమ పరిశోధకుల రచనలు ఉన్నాయి. ఈ రచనలలో ఒకటి బెర్నౌలీ ఫార్ములా, ఇది స్వతంత్ర పరిస్థితులలో సంభవించే నిర్దిష్ట సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను గుర్తించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ప్రయోగంలో A సంభవించడం అనేది మునుపటి లేదా తదుపరి ట్రయల్స్‌లో అదే సంఘటన సంభవించడం లేదా జరగకపోవడంపై ఆధారపడి ఉండదని ఇది సూచిస్తుంది.
బెర్నౌలీ సమీకరణం:
P n (m) = C n m ×p m × q n-m.
ప్రతి ట్రయల్‌కు ఈవెంట్ (A) సంభవించే సంభావ్యత (p) స్థిరంగా ఉంటుంది. n ప్రయోగాలలో పరిస్థితి సరిగ్గా m సార్లు సంభవించే సంభావ్యత పైన అందించిన ఫార్ములా ద్వారా గణించబడుతుంది. దీని ప్రకారం, q సంఖ్యను ఎలా కనుగొనాలనే ప్రశ్న తలెత్తుతుంది.
ఈవెంట్ A అనేక సార్లు p సంభవించినట్లయితే, తదనుగుణంగా, అది జరగకపోవచ్చు. యూనిట్ అనేది ఒక క్రమశిక్షణలో పరిస్థితి యొక్క అన్ని ఫలితాలను సూచించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్య. కాబట్టి, q అనేది ఒక సంఘటన జరగని అవకాశాన్ని సూచించే సంఖ్య.
ఇప్పుడు మీకు బెర్నౌలీ సూత్రం (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) తెలుసు. మేము దిగువ సమస్య పరిష్కార (మొదటి స్థాయి) ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము.
టాస్క్ 2:ఒక స్టోర్ సందర్శకుడు సంభావ్యత 0.2తో కొనుగోలు చేస్తాడు. 6 మంది సందర్శకులు స్వతంత్రంగా స్టోర్‌లోకి ప్రవేశించారు. సందర్శకుడు కొనుగోలు చేసే అవకాశం ఎంత?
పరిష్కారం: ఎంత మంది సందర్శకులు కొనుగోలు చేస్తారో తెలియదు, ఒకటి లేదా మొత్తం ఆరు, బెర్నౌలీ ఫార్ములా ఉపయోగించి సాధ్యమయ్యే అన్ని సంభావ్యతలను లెక్కించడం అవసరం.
A = "సందర్శకుడు కొనుగోలు చేస్తాడు."
ఈ సందర్భంలో: p = 0.2 (పనిలో సూచించినట్లు). దీని ప్రకారం, q=1-0.2 = 0.8.
n = 6 (స్టోర్‌లో 6 మంది కస్టమర్‌లు ఉన్నారు కాబట్టి). m సంఖ్య 0 (ఒక్క కస్టమర్ కూడా కొనుగోలు చేయడు) నుండి 6 వరకు మారుతుంది (స్టోర్‌కి వచ్చే సందర్శకులందరూ ఏదైనా కొనుగోలు చేస్తారు). ఫలితంగా, మేము పరిష్కారం పొందుతాము:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 × q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.
కొనుగోలుదారులు ఎవరూ సంభావ్యత 0.2621తో కొనుగోలు చేయరు.
బెర్నౌలీ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) ఇంకా ఎలా ఉపయోగించబడుతుంది? దిగువ సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు (రెండవ స్థాయి).
పై ఉదాహరణ తర్వాత, C మరియు r ఎక్కడికి వెళ్లాయి అనే ప్రశ్నలు తలెత్తుతాయి. pకి సంబంధించి, 0 యొక్క శక్తికి ఒక సంఖ్య ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది. C కొరకు, దీనిని ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనవచ్చు:
C n m = n! /m!(n-m)!
మొదటి ఉదాహరణలో m = 0, వరుసగా, C = 1, ఇది సూత్రప్రాయంగా ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేయదు. కొత్త సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, ఇద్దరు సందర్శకులు వస్తువులను కొనుగోలు చేసే సంభావ్యత ఏమిటో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.
సంభావ్యత సిద్ధాంతం అంత క్లిష్టంగా లేదు. బెర్నౌలీ యొక్క ఫార్ములా, పైన అందించిన ఉదాహరణలు దీనికి ప్రత్యక్ష రుజువు.
పాయిసన్ సూత్రం
తక్కువ సంభావ్యత యాదృచ్ఛిక పరిస్థితులను లెక్కించడానికి పాయిసన్ సమీకరణం ఉపయోగించబడుతుంది.
ప్రాథమిక సూత్రం:
P n (m)=λ m /m! × ఇ (-λ) .
ఈ సందర్భంలో λ = n x p. ఇక్కడ ఒక సాధారణ పాయిజన్ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) ఉంది. మేము దిగువ సమస్యను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము.
టాస్క్ 3: ఫ్యాక్టరీ 100,000 భాగాలను ఉత్పత్తి చేసింది. లోపభూయిష్ట భాగం సంభవించడం = 0.0001. ఒక బ్యాచ్‌లో 5 లోపభూయిష్ట భాగాలు ఉండే సంభావ్యత ఎంత?
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వివాహం అనేది అసంభవమైన సంఘటన, అందువల్ల పాయిసన్ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) గణన కోసం ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ రకమైన సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు క్రమశిక్షణలోని ఇతర పనుల నుండి భిన్నంగా ఉండవు;
A = "యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన భాగం లోపభూయిష్టంగా ఉంటుంది."
p = 0.0001 (పని పరిస్థితుల ప్రకారం).
n = 100000 (భాగాల సంఖ్య).
m = 5 (లోపభూయిష్ట భాగాలు). మేము డేటాను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు పొందండి:
R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.
బెర్నౌలీ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) వలె, పైన వ్రాసిన పరిష్కారాల ఉదాహరణలు, పాయిసన్ సమీకరణం తెలియని ఇను కలిగి ఉంటుంది.
e -λ = లిమ్ n ->∞ (1-λ/n) n .
అయినప్పటికీ, ఇ యొక్క దాదాపు అన్ని విలువలను కలిగి ఉన్న ప్రత్యేక పట్టికలు ఉన్నాయి.
డి మోయివ్రే-లాప్లేస్ సిద్ధాంతం
బెర్నౌలీ స్కీమ్‌లో ట్రయల్స్ సంఖ్య తగినంతగా ఉంటే మరియు అన్ని స్కీమ్‌లలో ఈవెంట్ A సంభవించే సంభావ్యత ఒకేలా ఉంటే, పరీక్షల శ్రేణిలో నిర్దిష్ట సంఖ్యలో ఈవెంట్ A సంభవించే సంభావ్యతను దీని ద్వారా కనుగొనవచ్చు లాప్లేస్ సూత్రం:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
X m = m-np/√npq.
లాప్లేస్ సూత్రాన్ని (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) మెరుగ్గా గుర్తుంచుకోవడానికి, సహాయం కోసం సమస్యల ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.
ముందుగా, X mని కనుగొని, డేటాను (అవన్నీ పైన జాబితా చేయబడ్డాయి) ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేసి 0.025 పొందండి. పట్టికలను ఉపయోగించి, మేము ϕ (0.025) సంఖ్యను కనుగొంటాము, దీని విలువ 0.3988. ఇప్పుడు మీరు మొత్తం డేటాను ఫార్ములాలో భర్తీ చేయవచ్చు:
P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.
అందువలన, ఫ్లైయర్ సరిగ్గా 267 సార్లు పని చేసే సంభావ్యత 0.03.
బేస్ ఫార్ములా
బేయెస్ ఫార్ములా (సంభావ్యత సిద్ధాంతం), దాని సహాయంతో సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు క్రింద ఇవ్వబడతాయి, ఇది ఒక సంఘటనతో అనుబంధించబడే పరిస్థితుల ఆధారంగా సంభావ్యతను వివరించే సమీకరణం. ప్రాథమిక సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంది:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A మరియు B ఖచ్చితమైన సంఘటనలు.
P(A|B) అనేది షరతులతో కూడిన సంభావ్యత, అంటే, ఈవెంట్ B నిజమైతే ఈవెంట్ A సంభవించవచ్చు.
P (B|A) - ఈవెంట్ B యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత.
కాబట్టి, చిన్న కోర్సు "థియరీ ఆఫ్ ప్రాబబిలిటీ" యొక్క చివరి భాగం బేస్ ఫార్ములా, క్రింద ఉన్న సమస్యలకు పరిష్కారాల ఉదాహరణలు.
టాస్క్ 5: గోదాముకు మూడు కంపెనీల ఫోన్లు తెప్పించారు. అదే సమయంలో, మొదటి ప్లాంట్‌లో తయారు చేయబడిన ఫోన్‌ల వాటా 25%, రెండవది - 60%, మూడవది - 15%. మొదటి ఫ్యాక్టరీలో లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సగటు శాతం 2%, రెండవది - 4% మరియు మూడవది - 1% అని కూడా తెలుసు. మీరు యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న ఫోన్ లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనాలి.
A = "యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న ఫోన్."
B 1 - మొదటి ఫ్యాక్టరీ ఉత్పత్తి చేసిన ఫోన్. దీని ప్రకారం, పరిచయ B 2 మరియు B 3 కనిపిస్తాయి (రెండవ మరియు మూడవ కర్మాగారాలకు).
ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది:
P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - అందువలన మేము ప్రతి ఎంపిక యొక్క సంభావ్యతను కనుగొన్నాము.
ఇప్పుడు మీరు కోరుకున్న ఈవెంట్ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యతలను కనుగొనాలి, అనగా కంపెనీలలో లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తుల సంభావ్యత:
P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;
P(A/B 2) = 0.04;
P (A/B 3) = 0.01.
ఇప్పుడు బేయస్ ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు పొందండి:
P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.
వ్యాసం సంభావ్యత సిద్ధాంతం, సూత్రాలు మరియు సమస్య పరిష్కారం యొక్క ఉదాహరణలను అందిస్తుంది, అయితే ఇది విస్తారమైన క్రమశిక్షణ యొక్క మంచుకొండ యొక్క కొన మాత్రమే. మరియు వ్రాసిన ప్రతిదాని తర్వాత, సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతం జీవితంలో అవసరమా అనే ప్రశ్న అడగడం తార్కికంగా ఉంటుంది. ఒక సాధారణ వ్యక్తికి సమాధానం చెప్పడం కష్టం; జాక్‌పాట్‌ను ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు గెలవడానికి ఉపయోగించిన వారిని అడగడం మంచిది.
సంభావ్యత సిద్ధాంతం అనేది గణితం యొక్క చాలా విస్తృతమైన స్వతంత్ర శాఖ. పాఠశాల కోర్సులో, సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతం చాలా ఉపరితలంగా చర్చించబడింది, కానీ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ మరియు స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్లో, ఈ అంశంపై సమస్యలు ఉన్నాయి. అయినప్పటికీ, పాఠశాల కోర్సు సమస్యలను పరిష్కరించడం అంత కష్టం కాదు (కనీసం అంకగణిత కార్యకలాపాలకు సంబంధించినంతవరకు) - ఇక్కడ మీరు ఉత్పన్నాలను లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు, సమగ్రాలను తీసుకోవాలి మరియు సంక్లిష్ట త్రికోణమితి పరివర్తనలను పరిష్కరించాలి - ప్రధాన సంఖ్యలను నిర్వహించడం ప్రధాన విషయం. మరియు భిన్నాలు.
సంభావ్యత సిద్ధాంతం - ప్రాథమిక నిబంధనలు
సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన నిబంధనలు పరీక్ష, ఫలితం మరియు యాదృచ్ఛిక సంఘటన. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో పరీక్ష అనేది ఒక ప్రయోగం - నాణెం విసిరివేయడం, కార్డును గీయడం, లాట్లు గీయడం - ఇవన్నీ పరీక్షలు. పరీక్ష ఫలితం, మీరు ఊహించినట్లుగా, ఫలితం అంటారు.
యాదృచ్ఛిక సంఘటన అంటే ఏమిటి? సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, పరీక్ష ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు నిర్వహించబడుతుందని మరియు అనేక ఫలితాలు ఉన్నాయని భావించబడుతుంది. యాదృచ్ఛిక సంఘటన అనేది ట్రయల్ ఫలితాల సమితి. ఉదాహరణకు, మీరు నాణెం విసిరితే, రెండు యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు జరగవచ్చు - తలలు లేదా తోకలు.
ఫలితం మరియు యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క భావనలను కంగారు పెట్టవద్దు. ఒక ఫలితం అనేది ఒక ట్రయల్ యొక్క ఒక ఫలితం. యాదృచ్ఛిక సంఘటన అనేది సాధ్యమయ్యే ఫలితాల సమితి. మార్గం ద్వారా, అసాధ్యమైన సంఘటన వంటి పదం ఉంది. ఉదాహరణకు, స్టాండర్డ్ డైస్‌లో "8 వ సంఖ్యను రోలింగ్ చేయడం" అసాధ్యం.
సంభావ్యతను ఎలా కనుగొనాలి?
సంభావ్యత అంటే ఏమిటో మనమందరం దాదాపుగా అర్థం చేసుకున్నాము మరియు ఈ పదాన్ని మా పదజాలంలో తరచుగా ఉపయోగిస్తాము. అదనంగా, మేము ఒక నిర్దిష్ట సంఘటన యొక్క సంభావ్యతకు సంబంధించి కొన్ని తీర్మానాలను కూడా తీసుకోవచ్చు, ఉదాహరణకు, విండో వెలుపల మంచు ఉంటే, అది వేసవి కాదని మనం ఎక్కువగా చెప్పగలం. అయితే, మేము ఈ ఊహను సంఖ్యాపరంగా ఎలా వ్యక్తపరచగలము?
సంభావ్యతను కనుగొనడానికి ఒక సూత్రాన్ని పరిచయం చేయడానికి, మేము మరొక భావనను పరిచయం చేస్తాము - అనుకూలమైన ఫలితం, అంటే, ఒక నిర్దిష్ట సంఘటనకు అనుకూలమైన ఫలితం. నిర్వచనం చాలా అస్పష్టంగా ఉంది, అయితే సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, ఏ ఫలితం అనుకూలంగా ఉంటుందో ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణకు: తరగతిలో 25 మంది ఉన్నారు, వారిలో ముగ్గురు కాత్య. ఉపాధ్యాయుడు ఒలియాను విధికి నియమిస్తాడు మరియు ఆమెకు భాగస్వామి కావాలి. కాత్య మీ భాగస్వామి అయ్యే సంభావ్యత ఏమిటి?
ఈ ఉదాహరణలో, అనుకూలమైన ఫలితం భాగస్వామి కాత్య. మేము ఈ సమస్యను కొంచెం తరువాత పరిష్కరిస్తాము. కానీ ముందుగా, అదనపు నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, సంభావ్యతను కనుగొనడానికి మేము ఒక సూత్రాన్ని పరిచయం చేస్తాము.
- P = A/N, ఇక్కడ P అనేది సంభావ్యత, A అనేది అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య, N అనేది మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య.
అన్ని పాఠశాల సమస్యలు ఈ ఒక సూత్రం చుట్టూ తిరుగుతాయి మరియు సాధారణంగా ఫలితాలను కనుగొనడంలో ప్రధాన ఇబ్బంది ఉంటుంది. కొన్నిసార్లు వాటిని కనుగొనడం చాలా సులభం, కొన్నిసార్లు చాలా కాదు.
సంభావ్యత సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలి?
సమస్య 1
కాబట్టి ఇప్పుడు పై సమస్యను పరిష్కరిద్దాం.
అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య (ఉపాధ్యాయుడు కాత్యను ఎంచుకుంటాడు) మూడు, ఎందుకంటే తరగతిలో ముగ్గురు కాత్యాలు ఉన్నారు మరియు మొత్తం ఫలితాలు 24 (25-1, ఎందుకంటే ఒలియా ఇప్పటికే ఎంపిక చేయబడింది). అప్పుడు సంభావ్యత: P = 3/24=1/8=0.125. అందువల్ల, ఒలియా భాగస్వామి కాట్యా అయ్యే సంభావ్యత 12.5%. కష్టం కాదు, సరియైనదా? మరింత సంక్లిష్టమైనదాన్ని చూద్దాం.
సమస్య 2
నాణెం రెండుసార్లు విసిరివేయబడింది, ఒక తల మరియు ఒక తోక పొందడానికి సంభావ్యత ఎంత?
కాబట్టి, సాధారణ ఫలితాలను పరిశీలిద్దాం. నాణేలు ఎలా దిగుతాయి - తలలు/తలలు, తోకలు/తోకలు, తలలు/తోకలు, తోకలు/తలలు? అంటే మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 4. ఎన్ని అనుకూల ఫలితాలు? రెండు - తలలు/తోకలు మరియు తోకలు/తలలు. అందువలన, తలలు/తోకలు కలయికను పొందే సంభావ్యత:
- P = 2/4 = 0.5 లేదా 50 శాతం.
ఇప్పుడు ఈ సమస్యను చూద్దాం. మాషా తన జేబులో 6 నాణేలను కలిగి ఉంది: రెండు 5 రూబిళ్లు మరియు నాలుగు ముఖ విలువ 10 రూబిళ్లు. మాషా 3 నాణేలను మరొక జేబుకు తరలించాడు. 5-రూబుల్ నాణేలు వేర్వేరు పాకెట్లలో ముగిసే సంభావ్యత ఏమిటి?
సరళత కోసం, మేము నాణేలను సంఖ్యల ద్వారా సూచిస్తాము - 1,2 - ఐదు-రూబుల్ నాణేలు, 3,4,5,6 - పది-రూబుల్ నాణేలు. కాబట్టి, మీ జేబులో నాణేలు ఎలా ఉంటాయి? మొత్తం 20 కలయికలు ఉన్నాయి:
- 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.
మొదటి చూపులో, కొన్ని కలయికలు తప్పిపోయినట్లు అనిపించవచ్చు, ఉదాహరణకు, 231, కానీ మా విషయంలో, 123, 231 మరియు 321 కలయికలు సమానంగా ఉంటాయి.
ఇప్పుడు మనకు ఎన్ని అనుకూలమైన ఫలితాలు ఉన్నాయో లెక్కిస్తాము. వాటి కోసం మేము సంఖ్య 1 లేదా సంఖ్య 2 కలిగి ఉన్న ఆ కలయికలను తీసుకుంటాము: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. ఈ విధంగా, వాటిలో 12 ఉన్నాయి సంభావ్యత దీనికి సమానం:
- P = 12/20 = 0.6 లేదా 60%.
ఇక్కడ సమర్పించబడిన సంభావ్యత సమస్యలు చాలా సరళమైనవి, కానీ సంభావ్యత అనేది గణితశాస్త్రంలో ఒక సాధారణ శాఖ అని అనుకోకండి. మీరు విశ్వవిద్యాలయంలో మీ విద్యను కొనసాగించాలని నిర్ణయించుకుంటే (మానవ శాస్త్రాలు మినహా), మీరు ఖచ్చితంగా ఉన్నత గణితంలో తరగతులను కలిగి ఉంటారు, దీనిలో మీరు ఈ సిద్ధాంతం యొక్క మరింత సంక్లిష్టమైన నిబంధనలకు పరిచయం చేయబడతారు మరియు అక్కడ పనులు చాలా కష్టంగా ఉంటాయి. .
ఇది మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్యకు ప్రశ్నలోని సంఘటన సంభవించిన పరిశీలనల సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తి. తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలు లేదా ప్రయోగాల విషయంలో ఈ వివరణ ఆమోదయోగ్యమైనది. ఉదాహరణకు, మీరు వీధిలో కలిసే వారిలో దాదాపు సగం మంది మహిళలు ఉంటే, మీరు వీధిలో కలిసే వ్యక్తి స్త్రీ అయ్యే సంభావ్యత 1/2 అని చెప్పవచ్చు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క స్వతంత్ర పునరావృతాల సుదీర్ఘ శ్రేణిలో దాని సంభవించిన ఫ్రీక్వెన్సీగా ఉంటుంది.
గణితంలో సంభావ్యత
ఆధునిక గణిత విధానంలో, క్లాసికల్ (అంటే క్వాంటం కాదు) సంభావ్యత కోల్మోగోరోవ్ యాక్సియోమాటిక్స్ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. సంభావ్యత ఒక కొలత పి, ఇది సెట్లో నిర్వచించబడింది X, సంభావ్యత స్థలం అని పిలుస్తారు. ఈ కొలత కింది లక్షణాలను కలిగి ఉండాలి:
ఈ పరిస్థితుల నుండి సంభావ్యత కొలతను అనుసరిస్తుంది పిఆస్తి కూడా ఉంది సంకలితం: సెట్ చేస్తే ఎ 1 మరియు ఎ 2 కలుస్తాయి, అప్పుడు . నిరూపించడానికి మీరు ప్రతిదీ ఉంచాలి ఎ 3 , ఎ 4 , ... ఖాళీ సెట్‌కు సమానం మరియు లెక్కించదగిన సంకలిత ఆస్తిని వర్తింపజేయండి.
సెట్ యొక్క అన్ని ఉపసమితుల కోసం సంభావ్యత కొలత నిర్వచించబడకపోవచ్చు X. సెట్‌లోని కొన్ని ఉపసమితులను కలిగి ఉన్న సిగ్మా ఆల్జీబ్రాపై దానిని నిర్వచించడం సరిపోతుంది. X. ఈ సందర్భంలో, యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు స్థలం యొక్క కొలవగల ఉపసమితులుగా నిర్వచించబడతాయి X, అంటే, సిగ్మా బీజగణితం యొక్క మూలకాలుగా.
సంభావ్యత భావం
వాస్తవంగా సంభవించే కొన్ని వాస్తవాల కారణాలు విరుద్ధమైన కారణాల కంటే ఎక్కువగా ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నప్పుడు, మేము ఆ వాస్తవాన్ని పరిశీలిస్తాము సంభావ్య, లేకపోతే - అపురూపమైన. ప్రతికూల వాటిపై సానుకూల స్థావరాల యొక్క ఈ ప్రాధాన్యత మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, నిరవధిక డిగ్రీల సెట్‌ను సూచిస్తుంది, దీని ఫలితంగా సంభావ్యత(మరియు అసంభవం) ఇది జరుగుతుంది మరింతలేదా తక్కువ .
సంక్లిష్ట వ్యక్తిగత వాస్తవాలు వారి సంభావ్యత యొక్క డిగ్రీల యొక్క ఖచ్చితమైన గణనను అనుమతించవు, కానీ ఇక్కడ కూడా కొన్ని పెద్ద ఉపవిభాగాలను ఏర్పాటు చేయడం ముఖ్యం. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, చట్టపరమైన రంగంలో, విచారణకు సంబంధించిన వ్యక్తిగత వాస్తవం సాక్ష్యం ఆధారంగా స్థాపించబడినప్పుడు, అది ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది, ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, సంభావ్యత మాత్రమే, మరియు ఈ సంభావ్యత ఎంత ముఖ్యమైనదో తెలుసుకోవడం అవసరం; రోమన్ చట్టంలో ఇక్కడ నాలుగు రెట్లు విభజన ఆమోదించబడింది: ప్రొబేటియో ప్లీనా(ఇక్కడ సంభావ్యత ఆచరణాత్మకంగా మారుతుంది విశ్వసనీయత), అప్పుడు - ప్రోబేటియో మైనస్ ప్లీనా, అప్పుడు - ప్రొబేటియో సెమిప్లీనా మేజర్మరియు చివరకు ప్రొబేటియో సెమిప్లీనా మైనర్ .
కేసు యొక్క సంభావ్యత యొక్క ప్రశ్నతో పాటు, న్యాయ రంగంలో మరియు నైతిక రంగంలో (నిర్దిష్ట నైతిక దృక్కోణంతో) ప్రశ్న తలెత్తవచ్చు, ఇచ్చిన నిర్దిష్ట వాస్తవం ఏ విధంగా ఉంటుంది సాధారణ చట్టం యొక్క ఉల్లంఘన. తాల్ముడ్ యొక్క మతపరమైన న్యాయశాస్త్రంలో ప్రధాన ఉద్దేశ్యంగా ఉపయోగపడే ఈ ప్రశ్న రోమన్ కాథలిక్ నైతిక వేదాంతశాస్త్రంలో (ముఖ్యంగా 16వ శతాబ్దం చివరి నుండి) (ముఖ్యంగా 16వ శతాబ్దం చివరి నుండి) (ముఖ్యంగా 16వ శతాబ్దం చివరి నుండి) (ప్రత్యేకంగా) సంభావ్యత చూడండి).
సంభావ్యత యొక్క భావన నిర్దిష్ట సజాతీయ శ్రేణిలో భాగమైన అటువంటి వాస్తవాలకు మాత్రమే వర్తించినప్పుడు నిర్దిష్ట సంఖ్యా వ్యక్తీకరణను అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి (సరళమైన ఉదాహరణలో), ఎవరైనా ఒక నాణేన్ని వరుసగా వంద సార్లు విసిరినప్పుడు, మేము ఇక్కడ ఒక సాధారణ లేదా పెద్ద శ్రేణిని (నాణెం యొక్క అన్ని పతనాల మొత్తం) కనుగొంటాము, ఇందులో రెండు ప్రైవేట్ లేదా చిన్నవి ఉంటాయి, ఈ సందర్భంలో సంఖ్యాపరంగా సమానం, సిరీస్ (పడుతుంది "తలలు" మరియు పడిపోతుంది "తోకలు"); ఈసారి నాణెం తలపైకి వచ్చే అవకాశం, అంటే సాధారణ సిరీస్‌లోని ఈ కొత్త సభ్యుడు రెండు చిన్న సిరీస్‌లకు చెందినవాడు కావడం, ఈ చిన్న సిరీస్ మరియు పెద్ద సిరీస్ మధ్య సంఖ్యా సంబంధాన్ని వ్యక్తీకరించే భిన్నానికి సమానం, అవి 1/2, అంటే, ఒకే సంభావ్యత రెండు నిర్దిష్ట సిరీస్‌లలో ఒకటి లేదా మరొకదానికి చెందినది. తక్కువ సాధారణ ఉదాహరణలలో, సమస్య యొక్క డేటా నుండి ముగింపు నేరుగా తీసివేయబడదు, కానీ ముందస్తు ప్రేరణ అవసరం. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ప్రశ్న: ఇచ్చిన నవజాత 80 సంవత్సరాల వయస్సు వరకు జీవించడానికి సంభావ్యత ఏమిటి? ఇక్కడ సారూప్య పరిస్థితులలో జన్మించిన మరియు వివిధ వయసులలో మరణిస్తున్న నిర్దిష్ట సంఖ్యలో వ్యక్తుల సాధారణ లేదా పెద్ద శ్రేణి ఉండాలి (ఈ సంఖ్య యాదృచ్ఛిక విచలనాలను తొలగించడానికి తగినంత పెద్దదిగా ఉండాలి మరియు సిరీస్ యొక్క సజాతీయతను కొనసాగించడానికి తగినంత చిన్నదిగా ఉండాలి. ఒక వ్యక్తి కోసం, ఉదాహరణకు, సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్‌లో సంపన్న, సంస్కారవంతమైన కుటుంబంలో జన్మించారు, నగరంలోని మొత్తం మిలియన్-బలమైన జనాభా, ఇందులో గణనీయమైన భాగం అకాల మరణానికి దారితీసే వివిధ సమూహాలకు చెందిన వ్యక్తులను కలిగి ఉంటుంది - సైనికులు, పాత్రికేయులు, ప్రమాదకరమైన వృత్తులలోని కార్మికులు - సంభావ్యత యొక్క నిజమైన నిర్ణయానికి చాలా భిన్నమైన సమూహాన్ని సూచిస్తుంది) ; ఈ సాధారణ శ్రేణి పది వేల మానవ జీవితాలను కలిగి ఉండనివ్వండి; ఇది ఒక నిర్దిష్ట వయస్సులో నివసించే వ్యక్తుల సంఖ్యను సూచించే చిన్న శ్రేణిని కలిగి ఉంటుంది; ఈ చిన్న శ్రేణుల్లో ఒకటి 80 ఏళ్ల వరకు జీవించే వ్యక్తుల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. కానీ ఈ చిన్న శ్రేణి సంఖ్యను గుర్తించడం అసాధ్యం (అన్నింటిలాగే) ఒక ప్రయోరి; ఇది గణాంకాల ద్వారా పూర్తిగా ప్రేరేపకంగా చేయబడుతుంది. 10,000 మంది మధ్యతరగతి సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ నివాసితులలో 45 మంది మాత్రమే 80 ఏళ్ల వరకు జీవిస్తున్నారని గణాంక అధ్యయనాలు నిర్ధారించాయని అనుకుందాం; ఈ విధంగా, ఈ చిన్న శ్రేణి 45 నుండి 10,000 వరకు పెద్దదానికి సంబంధించినది మరియు ఈ చిన్న శ్రేణికి చెందిన వ్యక్తికి, అంటే 80 సంవత్సరాల వరకు జీవించే సంభావ్యత 0.0045 యొక్క భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది. గణిత కోణం నుండి సంభావ్యత యొక్క అధ్యయనం ఒక ప్రత్యేక క్రమశిక్షణను కలిగి ఉంటుంది - సంభావ్యత సిద్ధాంతం.
ఇది కూడా చూడండి
గమనికలు
సాహిత్యం
- ఆల్ఫ్రెడ్ రెని. సంభావ్యత / ట్రాన్స్‌పై అక్షరాలు. హంగేరియన్ నుండి D. సాస్ మరియు A. క్రమ్లీ, eds. B.V. గ్నెడెంకో. M.: మీర్. 1970
- గ్నెడెంకో బి.వి.సంభావ్యత సిద్ధాంత కోర్సు. M., 2007. 42 p.
- కుప్త్సోవ్ V.I.నిర్ణయాత్మకత మరియు సంభావ్యత. M., 1976. 256 p.
వికీమీడియా ఫౌండేషన్.
2010.:పర్యాయపదాలు:
వ్యతిరేక పదాలు
ఇతర నిఘంటువులలో "సంభావ్యత" ఏమిటో చూడండి: సాధారణ శాస్త్రీయ మరియు తాత్విక. స్థిర పరిశీలన పరిస్థితులలో సామూహిక యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు సంభవించే అవకాశం యొక్క పరిమాణాత్మక స్థాయిని సూచించే వర్గం, వాటి సాపేక్ష పౌనఃపున్యాల స్థిరత్వాన్ని వర్ణిస్తుంది. లాజిక్, సెమాంటిక్ డిగ్రీలో... ...
ఫిలాసఫికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా సంభావ్యత, సున్నా నుండి ఒకటి కలుపుకొని పరిధిలోని సంఖ్య, ఇచ్చిన ఈవెంట్ సంభవించే అవకాశాన్ని సూచిస్తుంది. ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అనేది ఒక ఈవెంట్ సంభవించే అవకాశాల సంఖ్య మరియు సాధ్యమయ్యే మొత్తం సంఖ్యల నిష్పత్తిగా నిర్వచించబడింది... ...
శాస్త్రీయ మరియు సాంకేతిక ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు అన్ని సంభావ్యతలోనూ.. రష్యన్ పర్యాయపదాలు మరియు సారూప్య వ్యక్తీకరణల నిఘంటువు. కింద. ed. N. అబ్రమోవా, M.: రష్యన్ నిఘంటువులు, 1999. సంభావ్యత అవకాశం, సంభావ్యత, అవకాశం, లక్ష్యం అవకాశం, మజా, ఆమోదయోగ్యత, ప్రమాదం. చీమ. అసంభవం......
సంభావ్యతపర్యాయపదాల నిఘంటువు - ఒక సంఘటన జరిగే అవకాశం ఉన్న కొలత. గమనిక సంభావ్యత యొక్క గణిత నిర్వచనం: "యాదృచ్ఛిక సంఘటనతో అనుబంధించబడిన 0 మరియు 1 మధ్య వాస్తవ సంఖ్య." సంఖ్య పరిశీలనల శ్రేణిలో సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీని ప్రతిబింబిస్తుంది... ...
సాంకేతిక అనువాదకుని గైడ్సంభావ్యత - "అపరిమిత సంఖ్యలో పునరావృతమయ్యే నిర్దిష్ట నిర్దిష్ట పరిస్థితులలో ఏదైనా సంఘటన సంభవించే అవకాశం యొక్క డిగ్రీ యొక్క గణిత, సంఖ్యా లక్షణం." ఈ క్లాసిక్ ఆధారంగా.....
ఆర్థిక-గణిత నిఘంటువు - (సంభావ్యత) ఒక సంఘటన లేదా నిర్దిష్ట ఫలితం సంభవించే అవకాశం. ఇది 0 నుండి 1 వరకు విభజనలతో స్కేల్ రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది. ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత సున్నా అయితే, దాని సంభవించడం అసాధ్యం. 1కి సమానమైన సంభావ్యతతో, ప్రారంభం...
అసమానత ఆధారంగా ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను ఎలా అంచనా వేయాలో తెలుసుకోవడం సరైన పందెం ఎంచుకోవడానికి అవసరం. బుక్‌మేకర్ యొక్క అసమానతలను సంభావ్యతగా ఎలా మార్చాలో మీకు అర్థం కాకపోతే, బుక్‌మేకర్ యొక్క అసమానతలు ఈవెంట్ జరుగుతున్న వాస్తవ అసమానతలతో ఎలా పోలుస్తాయో మీరు ఎప్పటికీ గుర్తించలేరు. బుక్మేకర్ల ప్రకారం ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత మీ స్వంత సంస్కరణ ప్రకారం అదే ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత కంటే తక్కువగా ఉంటే, ఈ ఈవెంట్‌పై పందెం విలువైనదని మీరు అర్థం చేసుకోవాలి. మీరు Odds.ru వెబ్‌సైట్‌లో వివిధ ఈవెంట్‌ల కోసం అసమానతలను పోల్చవచ్చు.
1.1 అసమానతల రకాలు
బుక్‌మేకర్‌లు సాధారణంగా మూడు రకాల అసమానతలను అందిస్తారు - దశాంశ, పాక్షిక మరియు అమెరికన్. ప్రతి రకాలను చూద్దాం.
1.2 దశాంశ అసమానత
పందెం పరిమాణంతో గుణించినప్పుడు దశాంశ అసమానతలు మీరు గెలిస్తే మీ చేతుల్లోకి వచ్చే మొత్తం మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. ఉదాహరణకు, మీరు 1.80 యొక్క అసమానతపై $1 పందెం వేస్తే, మీరు గెలిస్తే, మీరు $1.80 అందుకుంటారు ($1 అనేది తిరిగి వచ్చిన పందెం మొత్తం, 0.80 అనేది మీ నికర లాభం కూడా).
అంటే, బుక్మేకర్ల ప్రకారం, ఫలితం యొక్క సంభావ్యత 55%.
1.3 పాక్షిక అసమానతలు
భిన్నమైన అసమానత అనేది అసమానత యొక్క అత్యంత సాంప్రదాయ రకం. న్యూమరేటర్ సంభావ్య నికర విజయాలను చూపుతుంది. హారం అనేది ఈ విజయాన్ని పొందడానికి పందెం మొత్తం. ఉదాహరణకు, 7/2 అసమానత అంటే $7 విజయాన్ని పొందాలంటే, మీరు $2 పందెం వేయాలి.
దశాంశ గుణకం ఆధారంగా ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించడానికి, మీరు సాధారణ గణనలను నిర్వహించాలి - హారంను న్యూమరేటర్ మరియు హారం మొత్తంతో విభజించండి. పై అసమానత 7/2 కోసం, గణన క్రింది విధంగా ఉంటుంది:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
అంటే, బుక్మేకర్ల ప్రకారం, ఫలితం యొక్క సంభావ్యత 22%.
1.4 అమెరికన్ అసమానత
ఈ రకమైన అసమానత ఉత్తర అమెరికాలో ప్రసిద్ధి చెందింది. మొదటి చూపులో, అవి చాలా క్లిష్టంగా మరియు అపారమయినవిగా అనిపిస్తాయి, కానీ భయపడవద్దు. అమెరికన్ అసమానతలను అర్థం చేసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, అమెరికన్ కాసినోలలో ఆడుతున్నప్పుడు, ఉత్తర అమెరికా క్రీడా ప్రసారాలపై చూపిన కోట్‌లను అర్థం చేసుకోవడానికి. అమెరికన్ అసమానత ఆధారంగా ఫలితం యొక్క సంభావ్యతను ఎలా అంచనా వేయాలో చూద్దాం.
అన్నింటిలో మొదటిది, అమెరికన్ అసమానత సానుకూలంగా మరియు ప్రతికూలంగా ఉంటుందని మీరు అర్థం చేసుకోవాలి. ప్రతికూల అమెరికన్ గుణకం ఎల్లప్పుడూ ఫార్మాట్‌లో వస్తుంది, ఉదాహరణకు, "-150". అంటే నికర లాభం (విజేతలు)లో $100 పొందడానికి, మీరు $150 పందెం వేయాలి.
సానుకూల అమెరికన్ గుణకం రివర్స్‌లో లెక్కించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, మనకు "+120" గుణకం ఉంది. అంటే నికర లాభం (విజేతలు)లో $120 పొందడానికి, మీరు $100 పందెం వేయాలి.
ప్రతికూల అమెరికన్ అసమానత ఆధారంగా సంభావ్యత గణన క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చేయబడుతుంది:
(-(ప్రతికూల అమెరికన్ కోఎఫీషియంట్)) / ((-(ప్రతికూల అమెరికన్ గుణకం)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
అంటే, ప్రతికూల అమెరికన్ గుణకం "-150" ఇవ్వబడిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత 60%.
ఇప్పుడు సానుకూల అమెరికన్ గుణకం కోసం ఇలాంటి గణనలను పరిగణించండి. ఈ సందర్భంలో సంభావ్యత క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:
100 / (పాజిటివ్ అమెరికన్ కోఎఫీషియంట్ + 100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
అంటే, "+120" యొక్క సానుకూల అమెరికన్ గుణకం ఇవ్వబడిన ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 45%.
1.5 అసమానతలను ఒక ఫార్మాట్ నుండి మరొక ఫార్మాట్‌కి మార్చడం ఎలా?
అసమానతలను ఒక ఫార్మాట్ నుండి మరొక ఫార్మాట్‌కి మార్చగల సామర్థ్యం మీకు తర్వాత బాగా ఉపయోగపడుతుంది. విచిత్రమేమిటంటే, అసమానతలు మార్చబడని కార్యాలయాలు ఇప్పటికీ ఉన్నాయి మరియు ఒక ఫార్మాట్‌లో మాత్రమే చూపబడతాయి, ఇది మాకు అసాధారణమైనది. దీన్ని ఎలా చేయాలో ఉదాహరణలను చూద్దాం. కానీ ముందుగా, మనకు ఇచ్చిన గుణకం ఆధారంగా ఫలితం యొక్క సంభావ్యతను ఎలా లెక్కించాలో మనం నేర్చుకోవాలి.
1.6 సంభావ్యత ఆధారంగా దశాంశ అసమానతలను ఎలా లెక్కించాలి?
ఇక్కడ ప్రతిదీ చాలా సులభం. ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతతో 100 శాతంగా విభజించడం అవసరం. అంటే, ఈవెంట్ యొక్క అంచనా సంభావ్యత 60% అయితే, మీరు వీటిని చేయాలి:
60% ఈవెంట్ యొక్క అంచనా సంభావ్యతతో, దశాంశ అసమానత 1.66 అవుతుంది.
1.7 సంభావ్యత ఆధారంగా పాక్షిక అసమానతలను ఎలా లెక్కించాలి?
ఈ సందర్భంలో, మీరు ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ద్వారా 100ని విభజించి, పొందిన ఫలితం నుండి ఒకదాన్ని తీసివేయాలి. ఉదాహరణకు, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 40%:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
అంటే, మేము 1.5/1 యొక్క పాక్షిక గుణకాన్ని పొందుతాము లేదా, గణన సౌలభ్యం కోసం, 3/2.
1.8 సంభావ్య ఫలితం ఆధారంగా అమెరికన్ అసమానతలను ఎలా లెక్కించాలి?
ఇక్కడ, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతపై చాలా ఆధారపడి ఉంటుంది - ఇది 50% కంటే ఎక్కువ లేదా అంతకంటే తక్కువ. ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 50% కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణన చేయబడుతుంది:
- ((సంభావ్యత) / (100 - సంభావ్యత)) * 100
ఉదాహరణకు, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 80% అయితే, అప్పుడు:
— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)
80% ఈవెంట్ యొక్క అంచనా సంభావ్యతతో, మేము ప్రతికూల అమెరికన్ గుణకం "-400"ని పొందాము.
ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 50 శాతం కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు సూత్రం ఇలా ఉంటుంది:
((100 - సంభావ్యత) / సంభావ్యత) * 100
ఉదాహరణకు, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 40% అయితే, అప్పుడు:
((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150
40% ఈవెంట్ యొక్క అంచనా సంభావ్యతతో, మేము "+150" యొక్క సానుకూల అమెరికన్ గుణకాన్ని అందుకున్నాము.
ఈ లెక్కలు పందెం మరియు అసమానత యొక్క భావనను బాగా అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడతాయి మరియు నిర్దిష్ట పందెం యొక్క నిజమైన విలువను ఎలా అంచనా వేయాలో తెలుసుకోండి.