థేల్స్ సిద్ధాంతం మరియు దాని రుజువు. సాధారణీకరించిన థేల్స్ సిద్ధాంతం; సూత్రీకరణ

అందువలన, థేల్స్ సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ఈ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం వలన రేఖాగణిత సమస్యల పరిష్కారాన్ని సులభతరం చేస్తుంది మరియు వేగవంతం చేస్తుంది. ఈ వినోదాత్మక గణిత శాస్త్రంలో నైపుణ్యం సాధించడంలో అదృష్టం!

blog.site, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, అసలు మూలానికి లింక్ అవసరం.

ఒక కోణం యొక్క భుజాలు నేరుగా సమాంతర రేఖల ద్వారా కలుస్తే, ఒక భుజాన్ని అనేక భాగాలుగా విభజించినట్లయితే, రెండవ వైపు, సరళ రేఖలు కూడా మరొక వైపుకు సమానమైన భాగాలుగా విభజించబడతాయి.

థేల్స్ సిద్ధాంతంకింది వాటిని రుజువు చేస్తుంది: C 1, C 2, C 3 అనేది కోణం యొక్క ఏ వైపుననైనా సమాంతర రేఖలు కలిసే ప్రదేశాలు. C 2 అనేది C 1 మరియు C 3కి సంబంధించి మధ్యలో ఉంటుంది.. పాయింట్లు D 1, D 2, D 3 అనే పాయింట్లు పంక్తులు కలిసే ప్రదేశాలు, ఇవి కోణం యొక్క మరొక వైపు ఉన్న పంక్తులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. C 1 C 2 = C 2 C h, అప్పుడు D 1 D 2 = D 2 D 3 అని మేము నిరూపిస్తాము.
మేము D 2 స్థానంలో ఒక స్ట్రెయిట్ సెగ్మెంట్ KR, సెక్షన్ C 1 C 3కి సమాంతరంగా గీస్తాము. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క లక్షణాలలో, C 1 C 2 = KD 2, C 2 C 3 = D 2 P. C 1 C 2 = C 2 C 3 అయితే, KD 2 = D 2 P.

ఫలితంగా త్రిభుజాకార బొమ్మలు D 2 D 1 K మరియు D 2 D 3 P సమానంగా ఉంటాయి. మరియు రుజువు ద్వారా D 2 K=D 2 P. ఎగువ బిందువు D 2తో ఉన్న కోణాలు నిలువుగా సమానంగా ఉంటాయి మరియు D 2 KD 1 మరియు D 2 PD 3 కోణాలు సమాంతరంగా C 1 D 1 మరియు C 3 D 3 మరియు విభజన KPతో అంతర్గత అడ్డంగా ఉంటాయి.
D 1 D 2 =D 2 D 3 సిద్ధాంతం త్రిభుజం యొక్క భుజాల సమానత్వం ద్వారా నిరూపించబడింది.

గమనిక: మేము కోణం యొక్క భుజాలను కాకుండా, రెండు వరుస విభాగాలను తీసుకుంటే, రుజువు ఒకే విధంగా ఉంటుంది.
ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉండే ఏవైనా సరళమైన విభాగాలు, మనం పరిశీలిస్తున్న రెండు పంక్తులను కలుస్తాయి మరియు వాటిలో ఒకదానిని సమాన విభాగాలుగా విభజించి, రెండవదానితో అదే చేయండి.

కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం

మొదటి ఉదాహరణ

పని యొక్క పరిస్థితి సరళ రేఖ CDని విభజించడం పిఒకే విభాగాలు.
పాయింట్ సి నుండి మేము సెమీ-లైన్ సి గీస్తాము, ఇది లైన్ సిడిలో ఉండదు. అదే పరిమాణంలోని భాగాలను గుర్తించండి. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 .....C p-1 C pని D తో కనెక్ట్ చేయండి. C 1, C 2,...., C p-1 పాయింట్ల నుండి సరళ రేఖలను గీయండి. ఇది C p Dకి సంబంధించి సమాంతరంగా ఉంటుంది. D 1 D 2 D p-1 స్థానాల్లో సరళ రేఖలు CDని కలుస్తాయి మరియు సరళ రేఖ CDని n సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి.

రెండవ ఉదాహరణ

పాయింట్ CK ABC త్రిభుజం AB వైపు గుర్తు పెట్టబడింది. సెగ్మెంట్ SC త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థ AMని పాయింట్ P వద్ద కలుస్తుంది, అయితే AK = AP. VC మరియు RM నిష్పత్తిని కనుగొనడం అవసరం.
మేము పాయింట్ M ద్వారా నేరుగా విభాగాన్ని గీస్తాము, SCకి సమాంతరంగా ఉంటుంది, ఇది పాయింట్ D వద్ద ABని కలుస్తుంది

ద్వారా థేల్స్ సిద్ధాంతంВD=KD
అనుపాత సెగ్మెంట్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మేము దానిని కనుగొంటాము
РМ = КD = ВК/2, కాబట్టి, ВК: РМ = 2:1
సమాధానం: VK: RM = 2:1

మూడవ ఉదాహరణ

త్రిభుజం ABCలో, వైపు BC = 8 సెం.మీ. రేఖ ACకి సమాంతరంగా AB మరియు BCలను కలుస్తుంది. మరియు BC వైపున EC = 4 సెం.మీ విభాగాన్ని కట్ చేస్తుంది. AD = DB అని నిరూపించండి.

BC = 8 cm మరియు EC = 4 cm కాబట్టి, అప్పుడు
BE = BC-EC, కాబట్టి BE = 8-4 = 4(సెం.మీ)
ద్వారా థేల్స్ సిద్ధాంతం, AC DE మరియు EC = BEకి సమాంతరంగా ఉన్నందున, AD = DB. Q.E.D.

మహిళల మ్యాగజైన్‌లో - ఆన్‌లైన్‌లో, మీరు మీ కోసం చాలా ఆసక్తికరమైన సమాచారాన్ని కనుగొంటారు. సెర్గీ యెసెనిన్ రాసిన కవితలకు అంకితమైన విభాగం కూడా ఉంది. లోపలికి రండి, మీరు చింతించరు!

పాఠం అంశం

పాఠం లక్ష్యాలు

• కొత్త నిర్వచనాలతో పరిచయం చేసుకోండి మరియు ఇప్పటికే అధ్యయనం చేసిన కొన్నింటిని గుర్తుంచుకోండి.
• చతురస్రం యొక్క లక్షణాలను రూపొందించండి మరియు నిరూపించండి, దాని లక్షణాలను నిరూపించండి.
• సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఆకారాల లక్షణాలను వర్తింపజేయడం నేర్చుకోండి.
• అభివృద్ధి - విద్యార్థుల శ్రద్ధ, పట్టుదల, పట్టుదల, తార్కిక ఆలోచన, గణిత ప్రసంగం అభివృద్ధి.
• విద్యా - పాఠం ద్వారా, ఒకరికొకరు శ్రద్ధగల వైఖరిని పెంపొందించుకోండి, కామ్రేడ్‌లను వినే సామర్థ్యాన్ని, పరస్పర సహాయం మరియు స్వాతంత్ర్యాన్ని కలిగించండి.

పాఠం లక్ష్యాలు

• విద్యార్థుల సమస్య పరిష్కార నైపుణ్యాలను పరీక్షించండి.

లెసన్ ప్లాన్

1. చారిత్రక సూచన.
2. థేల్స్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా మరియు అతని రచనలు.
3. గుర్తుంచుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

చారిత్రక సూచన

• థేల్స్ సిద్ధాంతం ఇప్పటికీ సముద్ర నావిగేషన్‌లో ఉపయోగించబడుతోంది, ఓడలు ఒకదానికొకటి ఒకదానికొకటి వెళ్ళేటప్పుడు స్థిరమైన వేగంతో కదులుతున్న నౌకల మధ్య ఢీకొనడం అనివార్యం.

• రష్యన్ భాషా సాహిత్యం వెలుపల, థేల్స్ సిద్ధాంతాన్ని కొన్నిసార్లు ప్లానిమెట్రీ యొక్క మరొక సిద్ధాంతం అని పిలుస్తారు, అవి ఒక వృత్తం యొక్క వ్యాసం ఆధారంగా చెక్కబడిన కోణం సరైనదని ప్రకటన. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క ఆవిష్కరణ వాస్తవానికి థేల్స్‌కు ఆపాదించబడింది, ప్రోక్లస్ ద్వారా రుజువు చేయబడింది.

• థేల్స్ ఈజిప్టులో జ్యామితి యొక్క ప్రాథమికాలను నేర్చుకున్నాడు.

దాని రచయిత యొక్క ఆవిష్కరణలు మరియు మెరిట్‌లు

ఆ సమయంలో అత్యంత ప్రసిద్ధి చెందిన ఏడుగురిలో థేల్స్ ఆఫ్ మిలేటస్ ఒకరని మీకు తెలుసా, గ్రీస్ ఋషి. అతను అయోనియన్ పాఠశాలను స్థాపించాడు. ఈ పాఠశాలలో థేల్స్ ప్రోత్సహించిన ఆలోచన అన్ని విషయాల ఐక్యత. అన్ని వస్తువులు ఆవిర్భవించిన ఒకే ఒక ప్రారంభం ఉందని ఋషి విశ్వసించాడు.

థేల్స్ ఆఫ్ మిలేటస్ యొక్క గొప్ప మెరిట్ శాస్త్రీయ జ్యామితిని సృష్టించడం. ఈ గొప్ప బోధన ఈజిప్షియన్ కళ యొక్క కొలత నుండి, ఒక తగ్గింపు జ్యామితిని సృష్టించగలిగింది, దీని ఆధారం సాధారణ మైదానం.

జ్యామితిపై అతని అపారమైన జ్ఞానంతో పాటు, థేల్స్ ఖగోళశాస్త్రంలో కూడా బాగా ప్రావీణ్యం సంపాదించాడు. సూర్యుని సంపూర్ణ గ్రహణాన్ని అంచనా వేసిన మొదటి వ్యక్తి ఆయనే. కానీ ఇది ఆధునిక ప్రపంచంలో జరగలేదు, కానీ 585 లో, మన యుగానికి ముందే.

ఉర్సా మైనర్ రాశి ద్వారా ఉత్తరాన్ని ఖచ్చితంగా నిర్ణయించవచ్చని గ్రహించిన వ్యక్తి థేల్స్ ఆఫ్ మిలేటస్. కానీ ఇది అతని చివరి ఆవిష్కరణ కాదు, ఎందుకంటే అతను సంవత్సరం పొడవును ఖచ్చితంగా నిర్ణయించగలిగాడు, దానిని మూడు వందల అరవై ఐదు రోజులుగా విభజించాడు మరియు విషువత్తుల సమయాన్ని కూడా స్థాపించాడు.

థేల్స్ నిజానికి సమగ్రంగా అభివృద్ధి చెందిన మరియు తెలివైన వ్యక్తి. అతను అద్భుతమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, భౌతిక శాస్త్రవేత్త మరియు ఖగోళ శాస్త్రవేత్తగా ప్రసిద్ధి చెందాడు అనే వాస్తవంతో పాటు, అతను నిజమైన వాతావరణ శాస్త్రవేత్త మరియు ఆలివ్ పంటను చాలా ఖచ్చితంగా అంచనా వేయగలిగాడు.

కానీ చాలా విశేషమైన విషయం ఏమిటంటే, థేల్స్ తన జ్ఞానాన్ని శాస్త్రీయ మరియు సైద్ధాంతిక రంగానికి మాత్రమే పరిమితం చేయలేదు, కానీ ఆచరణలో తన సిద్ధాంతాల సాక్ష్యాలను ఎల్లప్పుడూ ఏకీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నించాడు. మరియు అత్యంత ఆసక్తికరమైన విషయం ఏమిటంటే, గొప్ప జ్ఞాని తన జ్ఞానం యొక్క ఏ ఒక్క రంగంపైనా దృష్టి పెట్టలేదు, అతని ఆసక్తికి వివిధ దిశలు ఉన్నాయి.

థేల్స్ అనే పేరు అప్పటికి కూడా ఋషికి ఇంటి పేరుగా మారింది. గ్రీస్‌కు అతని ప్రాముఖ్యత మరియు ప్రాముఖ్యత రష్యాకు లోమోనోసోవ్ పేరు వలె గొప్పది. వాస్తవానికి, అతని జ్ఞానాన్ని వివిధ మార్గాల్లో అర్థం చేసుకోవచ్చు. కానీ అతను చాతుర్యం, ఆచరణాత్మక చాతుర్యం మరియు కొంతవరకు నిర్లిప్తతతో వర్ణించబడ్డాడని మనం ఖచ్చితంగా చెప్పగలం.

థేల్స్ ఆఫ్ మిలేటస్ ఒక అద్భుతమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, తత్వవేత్త, ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడు, ప్రయాణించడానికి ఇష్టపడేవాడు, వ్యాపారి మరియు వ్యవస్థాపకుడు, వాణిజ్యంలో నిమగ్నమై ఉన్నాడు మరియు మంచి ఇంజనీర్, దౌత్యవేత్త, దర్శకుడు మరియు రాజకీయ జీవితంలో చురుకుగా పాల్గొన్నాడు.

అతను సిబ్బంది మరియు నీడ సహాయంతో పిరమిడ్ ఎత్తును కూడా గుర్తించగలిగాడు. మరియు అది అలా ఉంది. ఒక మంచి ఎండ రోజు, పిరమిడ్ యొక్క నీడ ముగిసిన సరిహద్దులో థేల్స్ తన సిబ్బందిని ఉంచాడు. తరువాత, అతను తన సిబ్బంది నీడ యొక్క పొడవు దాని ఎత్తుకు సమానంగా ఉండే వరకు వేచి ఉండి, పిరమిడ్ యొక్క నీడ యొక్క పొడవును కొలిచాడు. కాబట్టి, థేల్స్ కేవలం పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తును నిర్ణయించినట్లు అనిపిస్తుంది మరియు ఒక నీడ యొక్క పొడవు మరొక నీడ యొక్క పొడవుతో సంబంధం కలిగి ఉందని నిరూపించాడు, పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు సిబ్బంది యొక్క ఎత్తుకు సంబంధించినది. ఇది ఫరో అమాసిస్‌కు స్వయంగా తాకింది.

థేల్స్‌కు ధన్యవాదాలు, ఆ సమయంలో తెలిసిన అన్ని జ్ఞానం శాస్త్రీయ ఆసక్తి రంగానికి బదిలీ చేయబడింది. అతను శాస్త్రీయ వినియోగానికి అనువైన స్థాయికి ఫలితాలను తెలియజేయగలిగాడు, నిర్దిష్ట భావనలను హైలైట్ చేశాడు. మరియు బహుశా థేల్స్ సహాయంతో పురాతన తత్వశాస్త్రం యొక్క తదుపరి అభివృద్ధి ప్రారంభమైంది.

థేల్స్ సిద్ధాంతం గణితశాస్త్రంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది. ఇది ప్రాచీన ఈజిప్ట్ మరియు బాబిలోన్‌లో మాత్రమే కాకుండా, ఇతర దేశాలలో కూడా ప్రసిద్ది చెందింది మరియు గణిత శాస్త్ర అభివృద్ధికి ఆధారం. మరియు రోజువారీ జీవితంలో, భవనాలు, నిర్మాణాలు, రోడ్లు మొదలైన వాటి నిర్మాణ సమయంలో, థేల్స్ సిద్ధాంతం లేకుండా చేయలేరు.

సంస్కృతిలో థేల్స్ సిద్ధాంతం

థేల్స్ సిద్ధాంతం గణితంలో మాత్రమే కాకుండా, సంస్కృతికి కూడా పరిచయం చేయబడింది. ఒక రోజు, అర్జెంటీనా సంగీత బృందం లెస్ లూథియర్స్ (స్పానిష్) ప్రేక్షకులకు ఒక పాటను అందించారు, వారు ఒక ప్రసిద్ధ సిద్ధాంతానికి అంకితం చేశారు. లెస్ లూథియర్స్ సభ్యులు, ఈ పాట కోసం ప్రత్యేకంగా వారి వీడియో క్లిప్‌లో, అనుపాత విభాగాల కోసం ప్రత్యక్ష సిద్ధాంతానికి రుజువులను అందించారు.

ప్రశ్నలు

1. ఏ పంక్తులను సమాంతరంగా పిలుస్తారు?
2. థేల్స్ సిద్ధాంతం ఆచరణాత్మకంగా ఎక్కడ వర్తించబడుతుంది?
3. థేల్స్ సిద్ధాంతం ఏమి చెబుతుంది?

ఉపయోగించిన మూలాల జాబితా

1. పిల్లల కోసం ఎన్సైక్లోపీడియా. T.11. గణితం/ఎడిటర్-ఇన్-చీఫ్ M.D.Aksenova.-m.: Avanta+, 2001.
2. “యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2006. గణితం. విద్యార్ధులు / రోసోబ్రనాడ్జోర్, ISOP - M.: ఇంటెలెక్ట్-సెంటర్, 2006"
3. L. S. Atanasyan, V. F. బుట్జోవ్, S. B. కడోమ్ట్సేవ్, E. G. పోజ్న్యాక్, I. I. యుడినా "జ్యామెట్రీ, 7 - 9: విద్యా సంస్థల కోసం పాఠ్య పుస్తకం"

సమాంతరాలు మరియు సెకెంట్ల గురించి.

రష్యన్ భాషా సాహిత్యం వెలుపల, థేల్స్ సిద్ధాంతాన్ని కొన్నిసార్లు ప్లానిమెట్రీ యొక్క మరొక సిద్ధాంతం అని పిలుస్తారు, అవి ఒక వృత్తం యొక్క వ్యాసం ద్వారా వ్రాయబడిన కోణం సరైనదని ప్రకటన. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క ఆవిష్కరణ వాస్తవానికి థేల్స్‌కు ఆపాదించబడింది, ప్రోక్లస్ ద్వారా రుజువు చేయబడింది.

సూత్రీకరణలు

రెండు పంక్తులలో ఒకదానిపై అనేక సమాన విభాగాలు వరుసగా వేయబడి, రెండవ పంక్తిని కలుస్తున్న వాటి చివరల ద్వారా సమాంతర రేఖలు గీసినట్లయితే, అవి రెండవ పంక్తిలో సమాన విభాగాలను కత్తిరించుకుంటాయి.

మరింత సాధారణ సూత్రీకరణ, అని కూడా పిలుస్తారు అనుపాత విభాగ సిద్ధాంతం

సమాంతర రేఖలు సెకెంట్ల వద్ద అనుపాత విభాగాలను కత్తిరించాయి:

గమనికలు

• సిద్ధాంతానికి సెకెంట్ల సాపేక్ష స్థానంపై ఎటువంటి పరిమితులు లేవు (ఇది ఖండన మరియు సమాంతర రేఖలు రెండింటికీ వర్తిస్తుంది). సెకాంట్‌లలోని విభాగాలు ఎక్కడ ఉన్నాయో కూడా పట్టింపు లేదు.

• థేల్స్ సిద్ధాంతం అనుపాత విభాగాల సిద్ధాంతం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం, ఎందుకంటే సమాన విభాగాలను 1కి సమానమైన అనుపాత గుణకంతో అనుపాత విభాగాలుగా పరిగణించవచ్చు.

సెకెంట్ల విషయంలో రుజువు

కనెక్ట్ చేయని జతల విభాగాలతో ఎంపికను పరిశీలిద్దాం: కోణాన్ని సరళ రేఖల ద్వారా కలుస్తుంది A A 1 | | B B 1 | | సి సి 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))మరియు అందులో A B = C D (\displaystyle AB=CD).

1. పాయింట్ల ద్వారా డ్రా చేద్దాం A (\డిస్ప్లేస్టైల్ A)మరియు సి (\డిస్ప్లేస్టైల్ సి)కోణం యొక్క ఇతర వైపుకు సమాంతరంగా సరళ రేఖలు. A B 2 B 1 A 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ AB_(2)B_(1)A_(1))మరియు C D 2 D 1 C 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ CD_(2)D_(1)C_(1)). సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆస్తి ప్రకారం: A B 2 = A 1 B 1 (\ displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1))మరియు C D 2 = C 1 D 1 (\డిస్ప్లేస్టైల్ CD_(2)=C_(1)D_(1)).
2. త్రిభుజాలు △ A B B 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ \bigtriangleup ABB_(2))మరియు △ C D D 2 (\డిస్ప్లేస్టైల్ \bigtriangleup CDD_(2))త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క రెండవ సంకేతం ఆధారంగా సమానంగా ఉంటాయి

సమాంతర రేఖల విషయంలో రుజువు

డైరెక్ట్ చేద్దాం బి.సి.. కోణాలు ABCమరియు BCDసమాంతర రేఖలతో అంతర్గత క్రాస్‌వైస్ అబద్ధం వలె సమానంగా ఉంటుంది ABమరియు CDమరియు సెకెంట్ బి.సి., మరియు కోణాలు ఎసిబిమరియు CBDసమాంతర రేఖలతో అంతర్గత క్రాస్‌వైస్ అబద్ధం వలె సమానంగా ఉంటుంది ఎ.సి.మరియు BDమరియు సెకెంట్ బి.సి.. అప్పుడు, త్రిభుజాలు, త్రిభుజాల సమానత్వం కోసం రెండవ ప్రమాణం ద్వారా ABCమరియు DCBసమానంగా ఉంటాయి. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది ఎ.సి. = BDమరియు AB = CD. ■

వైవిధ్యాలు మరియు సాధారణీకరణలు

సంభాషణ సిద్ధాంతం

థేల్స్ సిద్ధాంతంలో సమాన భాగాలు శీర్షం నుండి ప్రారంభమైతే (ఈ సూత్రీకరణ తరచుగా పాఠశాల సాహిత్యంలో ఉపయోగించబడుతుంది), అప్పుడు సంభాషణ సిద్ధాంతం కూడా నిజం అవుతుంది. ఖండన సెకెంట్ల కోసం ఇది క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది:

కాబట్టి (ఫిగర్ చూడండి) వాస్తవం నుండి C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\ displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), దానిని అనుసరిస్తుంది A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\డిస్ప్లేస్టైల్ A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

సెకెంట్‌లు సమాంతరంగా ఉంటే, రెండు సెకంట్‌లలోని విభాగాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండాలని అవసరం, లేకుంటే ఈ ప్రకటన తప్పుగా మారుతుంది (ప్రతిరూపం అనేది బేస్‌ల మధ్య బిందువుల గుండా వెళుతున్న రేఖ ద్వారా కలుస్తున్న ట్రాపెజాయిడ్).

ఈ సిద్ధాంతం నావిగేషన్‌లో ఉపయోగించబడుతుంది: ఒక ఓడ నుండి మరొక నౌకకు దిశను నిర్వహించినట్లయితే స్థిరమైన వేగంతో కదులుతున్న నౌకల మధ్య ఢీకొనడం అనివార్యం.

సోల్లెర్టిన్స్కీ లెమ్మా

కింది ప్రకటన సోలెర్టిన్స్కీ యొక్క లెమ్మాకి ద్వంద్వమైనది:

ఒక కోణం యొక్క భుజాలను ఖండిస్తున్న సమాంతర రేఖలు ఒక వైపు సమాన భాగాలను కత్తిరించినట్లయితే, అవి మరొక వైపు సమాన భాగాలను కత్తిరించాయి.

రుజువు. A 1, A 2, A 3 అనేది కోణం యొక్క ఒక భుజంతో సమాంతర రేఖల ఖండన బిందువులుగా ఉండనివ్వండి మరియు A 2 A 1 మరియు A 3 మధ్య ఉంటుంది (Fig. 1).

B 1 B 2, B 3 ఈ రేఖల ఖండన యొక్క సంబంధిత బిందువులుగా ఉండనివ్వండి. A 1 A 2 = A 2 A 3 అయితే, B 1 B 2 = B 2 B 3 అని నిరూపిద్దాం.

A 1 A 3 సరళ రేఖకు సమాంతరంగా పాయింట్ B 2 ద్వారా EF సరళ రేఖను గీయండి. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆస్తి ద్వారా A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E.

మరియు A 1 A 2 = A 2 A 3 నుండి, FB 2 = B 2 E.

త్రిభుజాలు B 2 B 1 F మరియు B 2 B 3 E రెండవ ప్రమాణం ప్రకారం సమానంగా ఉంటాయి. నిరూపించబడిన దాని ప్రకారం వారు B 2 F = B 2 Eని కలిగి ఉన్నారు. B 2 శీర్షంలోని కోణాలు నిలువుగా సమానంగా ఉంటాయి మరియు B 2 FB 1 మరియు B 2 EB 3 కోణాలు సమాంతరంగా A 1 B 1 మరియు A 3 B 3 మరియు సెకాంట్ EFతో అంతర్గత క్రాస్‌వైస్‌తో సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజాల సమానత్వం నుండి భుజాల సమానత్వం అనుసరిస్తుంది: B 1 B 2 = B 2 B 3. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

థేల్స్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, కింది సిద్ధాంతం స్థాపించబడింది.

సిద్ధాంతం 2. త్రిభుజం యొక్క మధ్య రేఖ మూడవ వైపుకు సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు దానిలో సగానికి సమానంగా ఉంటుంది.

త్రిభుజం యొక్క మధ్య రేఖ దాని రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే విభాగం. మూర్తి 2లో, సెగ్మెంట్ ED అనేది ABC త్రిభుజం మధ్య రేఖ.

ED - ABC త్రిభుజం మధ్యరేఖ

ఉదాహరణ 1.ఈ విభాగాన్ని నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించండి.

పరిష్కారం. AB ఇచ్చిన సెగ్మెంట్ (Fig. 3)గా ఉండనివ్వండి, ఇది తప్పనిసరిగా 4 సమాన భాగాలుగా విభజించబడాలి.

ఒక విభాగాన్ని నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించడం

దీన్ని చేయడానికి, పాయింట్ A ద్వారా ఏకపక్ష అర్ధ-రేఖను గీయండి మరియు దానిపై AC, CD, DE, EK అనే నాలుగు సమాన విభాగాలను వరుసగా ప్లాట్ చేయండి.

B మరియు K పాయింట్లను సెగ్మెంట్‌తో కనెక్ట్ చేద్దాం. మిగిలిన పాయింట్లు C, D, E ద్వారా లైన్ BKకి సమాంతరంగా సరళ రేఖలను గీద్దాం, తద్వారా అవి సెగ్మెంట్ ABని కలుస్తాయి.

థేల్స్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, సెగ్మెంట్ AB నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 2.దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క వికర్ణం a. దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు శీర్షాలుగా ఉండే చతుర్భుజం యొక్క చుట్టుకొలత ఎంత?

పరిష్కారం. మూర్తి 4 సమస్య యొక్క పరిస్థితులను తీర్చనివ్వండి.

అప్పుడు EF అనేది ABC త్రిభుజం యొక్క మధ్యరేఖ మరియు, కాబట్టి, సిద్ధాంతం 2 ద్వారా. $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$

అదేవిధంగా $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ మరియు అందువల్ల చతుర్భుజ EFGH చుట్టుకొలత 2a.

ఉదాహరణ 3.త్రిభుజం యొక్క భుజాలు 2 సెం.మీ., 3 సెం.మీ మరియు 4 సెం.మీ. మరియు దాని శీర్షాలు మరొక త్రిభుజం యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు. పెద్ద త్రిభుజం చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మూర్తి 5 సమస్య యొక్క పరిస్థితులను తీర్చనివ్వండి.

AB, BC, AC విభాగాలు త్రిభుజం DEF యొక్క మధ్య రేఖలు. కాబట్టి, సిద్ధాంతం 2 ప్రకారం $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\\ ,\\ AC = \frac(1)(2) DF $$ లేదా $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ ఎక్కడ నుండి $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ మరియు అందువలన, త్రిభుజం DEF చుట్టుకొలత 18 సెం.మీ.

ఉదాహరణ 4.లంబ త్రిభుజంలో, దాని కాళ్ళకు సమాంతరంగా సరళ రేఖలు దాని హైపోటెన్యూస్ మధ్యలో గీస్తారు. త్రిభుజం యొక్క భుజాలు 10 సెం.మీ మరియు 8 సెం.మీ ఉంటే ఫలిత దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. ABC త్రిభుజంలో (Fig. 6)

∠ A అనేది ఒక సరళ రేఖ, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD మరియు MD అనేవి త్రిభుజం ABC యొక్క మధ్యరేఖలు, ఇక్కడ నుండి $$ KD = \frac(1)(2)AC = 4 సెం.మీ. frac(1) (2)AB = 5 cm $$ దీర్ఘచతురస్రం K DMA చుట్టుకొలత 18 సెం.మీ.