అంశం: యాంగిల్ బైసెక్టర్ యొక్క లక్షణాలు. త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగము

ఈ పాఠంలో మనం ఒక కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉన్న బిందువుల లక్షణాలను మరియు ఒక విభాగానికి లంబంగా ఉన్న ద్వంద్వ రేఖపై ఉన్న పాయింట్లను వివరంగా పరిశీలిస్తాము.

అంశం: సర్కిల్

పాఠం: ఒక కోణం యొక్క ద్వంద్వ భాగము యొక్క లక్షణాలు మరియు ఒక సెగ్మెంట్ యొక్క లంబ విభాజకం

కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉన్న పాయింట్ యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం (Fig. 1 చూడండి).

అన్నం. 1

కోణం ఇవ్వబడింది, దాని ద్విదళం AL, పాయింట్ M బైసెక్టర్‌పై ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం:

పాయింట్ M కోణం యొక్క ద్వంద్వ భాగానికి చెందినట్లయితే, అది కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది, అనగా, పాయింట్ M నుండి AC మరియు కోణం యొక్క భుజాల BC వరకు ఉన్న దూరాలు సమానంగా ఉంటాయి.

రుజువు:

త్రిభుజాలను పరిగణించండి మరియు . ఇవి లంబ త్రిభుజాలు మరియు అవి సమానంగా ఉంటాయి ఎందుకంటే... ఒక సాధారణ హైపోటెన్యూస్ AMని కలిగి ఉంటుంది మరియు కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే AL అనేది కోణం యొక్క ద్విభాగం. అందువల్ల, లంబ త్రిభుజాలు హైపోటెన్యూస్ మరియు అక్యూట్ యాంగిల్‌లో సమానంగా ఉంటాయి, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది. ఆ విధంగా, ఒక కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఒక బిందువు ఆ కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

సంభాషణ సిద్ధాంతం నిజం.

ఒక బిందువు అభివృద్ధి చెందని కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటే, అది దాని ద్వైపాక్షికంపై ఉంటుంది.

అన్నం. 2

ఒక అభివృద్ధి చెందని కోణం ఇవ్వబడింది, పాయింట్ M, దాని నుండి కోణం వైపులా దూరం ఒకే విధంగా ఉంటుంది (Fig. 2 చూడండి).

పాయింట్ M కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉందని నిరూపించండి.

రుజువు:

ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరం లంబంగా ఉండే పొడవు. పాయింట్ M నుండి మనం MK నుండి AB వైపు మరియు MR నుండి AC వరకు లంబంగా గీస్తాము.

త్రిభుజాలను పరిగణించండి మరియు . ఇవి లంబ త్రిభుజాలు మరియు అవి సమానంగా ఉంటాయి ఎందుకంటే... సాధారణ హైపోటెన్యూస్ AM కలిగి ఉంటాయి, కాళ్లు MK మరియు MR షరతుల ప్రకారం సమానంగా ఉంటాయి. అందువలన, కుడి త్రిభుజాలు హైపోటెన్యూస్ మరియు లెగ్‌లో సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజాల సమానత్వం నుండి సంబంధిత మూలకాల సమానత్వం అనుసరిస్తుంది; సమాన కోణాలు సమాన భుజాల సరసన ఉంటాయి, అందువలన, కాబట్టి, పాయింట్ M ఇచ్చిన కోణం యొక్క ద్విసెక్టర్‌పై ఉంటుంది.

ప్రత్యక్ష మరియు సంభాషణ సిద్ధాంతాలను కలపవచ్చు.

సిద్ధాంతం

అభివృద్ధి చెందని కోణం యొక్క ద్వైపాక్షికం అనేది ఇచ్చిన కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం.

సిద్ధాంతం

త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగాలు AA 1, BB 1, СС 1 ఒక పాయింట్ O వద్ద కలుస్తాయి (Fig. 3 చూడండి).

అన్నం. 3

రుజువు:

ముందుగా BB 1 మరియు CC 1 అనే రెండు విభాగాలను పరిశీలిద్దాం. అవి కలుస్తాయి, ఖండన పాయింట్ O ఉనికిలో ఉంది. దీన్ని రుజువు చేయడానికి, మనం వ్యతిరేకతను ఊహిద్దాం - ఈ ద్వంద్వ ఖండాలు కలుస్తాయి కాకపోయినా, ఏ సందర్భంలో అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి. అప్పుడు సరళ రేఖ BC అనేది ఒక సెకెంట్, మరియు కోణాల మొత్తం , ఇది మొత్తం త్రిభుజంలో కోణాల మొత్తానికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, రెండు ద్విభాగాల ఖండన యొక్క పాయింట్ O ఉనికిలో ఉంది. దాని లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం:

పాయింట్ O కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉంటుంది, అంటే అది BA మరియు BC భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది. OK అనేది BCకి లంబంగా ఉంటే, OL BAకి లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు ఈ లంబాల పొడవులు సమానంగా ఉంటాయి - . అలాగే, పాయింట్ O కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉంటుంది మరియు దాని వైపులా CB మరియు CA నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది, OM మరియు OK లంబాలు సమానంగా ఉంటాయి.

మేము ఈ క్రింది సమానత్వాన్ని పొందాము:

, అంటే, పాయింట్ O నుండి త్రిభుజం వైపులా పడిపోయిన మూడు లంబాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

OL మరియు OM లంబంగా ఉండే సమానత్వంపై మాకు ఆసక్తి ఉంది. ఈ సమానత్వం పాయింట్ O కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉందని చెబుతుంది, అది దాని ద్విభాగ AA 1పై ఉంటుంది.

ఈ విధంగా, ఒక త్రిభుజం యొక్క మూడు ద్విభాగాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయని మేము నిరూపించాము.

సెగ్మెంట్, దాని లంబ ద్విభాగాన్ని మరియు లంబ ద్విభాగంపై ఉన్న బిందువు యొక్క లక్షణాలను పరిగణలోకి తీసుకుంటాము.

ఒక సెగ్మెంట్ AB ఇవ్వబడింది, p అనేది లంబ ద్విభాగము. దీనర్థం సరళ రేఖ p సెగ్మెంట్ AB మధ్యలో వెళుతుంది మరియు దానికి లంబంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం

అన్నం. 4

లంబ బైసెక్టర్‌పై ఉన్న ఏదైనా పాయింట్ సెగ్మెంట్ చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది (అంజీర్ 4 చూడండి).

నిరూపించు

రుజువు:

త్రిభుజాలను పరిగణించండి మరియు . అవి దీర్ఘచతురస్రాకారంగా మరియు సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే. సాధారణ లెగ్ OMని కలిగి ఉంటుంది మరియు AO మరియు OB కాళ్లు షరతుల ప్రకారం సమానంగా ఉంటాయి, కాబట్టి మనకు రెండు లంబ త్రిభుజాలు ఉన్నాయి, రెండు కాళ్లలో సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజాల హైపోటెన్యూస్ కూడా సమానంగా ఉన్నాయని ఇది అనుసరిస్తుంది, అంటే నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

సెగ్మెంట్ AB అనేక సర్కిల్‌లకు సాధారణ తీగ అని గమనించండి.

ఉదాహరణకు, పాయింట్ M వద్ద కేంద్రం మరియు MA మరియు MB వ్యాసార్థంతో మొదటి సర్కిల్; పాయింట్ N, వ్యాసార్థం NA మరియు NB వద్ద మధ్యలో ఉన్న రెండవ వృత్తం.

ఈ విధంగా, ఒక బిందువు ఒక సెగ్మెంట్ యొక్క లంబ ద్విభాగంపై ఉన్నట్లయితే, అది సెగ్మెంట్ చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుందని మేము నిరూపించాము (Fig. 5 చూడండి).

అన్నం. 5

సంభాషణ సిద్ధాంతం నిజం.

సిద్ధాంతం

ఒక నిర్దిష్ట బిందువు M ఒక సెగ్మెంట్ చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటే, అది ఈ విభాగానికి లంబంగా ఉండే ద్విసెక్టర్‌పై ఉంటుంది.

సెగ్మెంట్ AB ఇచ్చినట్లయితే, దానికి లంబంగా ఉండే ద్విభాగము p, సెగ్మెంట్ చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ M (Fig. 6 చూడండి).

పాయింట్ M అనేది సెగ్మెంట్ యొక్క లంబ ద్విభాగంపై ఉందని నిరూపించండి.

అన్నం. 6

రుజువు:

ఒక త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి. షరతు ప్రకారం ఇది ఐసోసెల్స్. త్రిభుజం మధ్యస్థాన్ని పరిగణించండి: పాయింట్ O అనేది బేస్ AB మధ్యలో, OM అనేది మధ్యస్థం. సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క లక్షణం ప్రకారం, దాని స్థావరానికి గీసిన మధ్యస్థం ఎత్తు మరియు ద్విభాగం రెండూ. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది . కానీ లైన్ p కూడా ABకి లంబంగా ఉంటుంది. పాయింట్ O వద్ద AB సెగ్మెంట్‌కు లంబంగా ఒక సింగిల్‌ను గీయడం సాధ్యమవుతుందని మాకు తెలుసు, అంటే OM మరియు p పంక్తులు సమానంగా ఉంటాయి, M పాయింట్ సరళ రేఖకు చెందినది p, ఇది మేము నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ప్రత్యక్ష మరియు సంభాషణ సిద్ధాంతాలను సాధారణీకరించవచ్చు.

సిద్ధాంతం

సెగ్మెంట్ యొక్క లంబ ద్విభాగము దాని చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం.

ఒక త్రిభుజం, మీకు తెలిసినట్లుగా, మూడు విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది, అంటే దానిలో మూడు లంబ ద్విభాగాలను గీయవచ్చు. అవి ఒక సమయంలో కలుస్తాయని తేలింది.

త్రిభుజం యొక్క లంబ ద్విభాగాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి.

ఒక త్రిభుజం ఇవ్వబడింది. దాని వైపులా లంబంగా: P 1 వైపు BC, P 2 వైపు AC, P 3 వైపు AB (Fig. 7 చూడండి).

P 1, P 2 మరియు P 3 లంబాలు పాయింట్ O వద్ద కలుస్తాయని నిరూపించండి.

సెగ్మెంట్ మధ్య బిందువు ఏమిటో మీకు తెలుసా? అయితే మీరు చేస్తారు. సర్కిల్ యొక్క కేంద్రం గురించి ఏమిటి? అదే.

కోణం యొక్క మధ్య బిందువు ఏమిటి?

ఇది జరగదని మీరు చెప్పవచ్చు. కానీ ఒక విభాగాన్ని సగానికి ఎందుకు విభజించవచ్చు, కానీ కోణం ఎందుకు విభజించబడదు? ఇది చాలా సాధ్యమే - కేవలం చుక్క కాదు, కానీ…. లైన్.

మీకు జోక్ గుర్తుందా: బైసెక్టర్ అనేది మూలల చుట్టూ తిరుగుతూ మూలను సగానికి విభజించే ఎలుక.కాబట్టి, బైసెక్టర్ యొక్క నిజమైన నిర్వచనం ఈ జోక్‌కి చాలా పోలి ఉంటుంది:

త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగము- ఇది ఈ కోణం యొక్క శీర్షాన్ని ఎదురుగా ఉన్న బిందువుతో కలిపే ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణం యొక్క ద్విభాగ విభాగం.

ఒకప్పుడు, పురాతన ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలు మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు బైసెక్టర్ యొక్క అనేక ఆసక్తికరమైన లక్షణాలను కనుగొన్నారు. ఈ జ్ఞానం ప్రజల జీవితాలను చాలా సరళీకృతం చేసింది.

దీనికి సహాయపడే మొదటి జ్ఞానం ...

మార్గం ద్వారా, ఈ నిబంధనలన్నీ మీకు గుర్తున్నాయా? అవి ఒకదానికొకటి ఎలా భిన్నంగా ఉన్నాయో మీకు గుర్తుందా? కాదా? భయానకంగా లేదు. దానిని ఇప్పుడు తెలుసుకుందాం.

• సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క ఆధారం- ఇది వేరొకటితో సమానంగా లేని వైపు. చిత్రాన్ని చూడండి, ఇది ఏ వైపు అని మీరు అనుకుంటున్నారు? అది నిజం - ఇది వైపు.
• మధ్యస్థం అనేది త్రిభుజం యొక్క శీర్షం నుండి గీసిన రేఖ మరియు ఎదురుగా ఉన్న భాగాన్ని (మళ్ళీ అంతే) సగానికి విభజించడం. "సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థం" అని మనం చెప్పలేదని గమనించండి. ఎందుకొ మీకు తెలుసా? ఎందుకంటే త్రిభుజం యొక్క శీర్షం నుండి గీసిన మధ్యస్థం ఏదైనా త్రిభుజంలో ఎదురుగా విభజిస్తుంది.
• ఎత్తు అనేది పై నుండి మరియు బేస్‌కు లంబంగా గీసిన గీత. మీరు గమనించారా? మనం మళ్ళీ ఏదైనా త్రిభుజం గురించి మాట్లాడుతున్నాము, కేవలం ఒక సమద్విబాగం గురించి కాదు. ఏదైనా త్రిభుజంలోని ఎత్తు ఎల్లప్పుడూ ఆధారానికి లంబంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, మీరు దాన్ని కనుగొన్నారా? దాదాపు.

మరింత మెరుగ్గా అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు ఎప్పటికీ గుర్తుంచుకోవడానికి ద్విభాగ, మధ్యస్థ మరియు ఎత్తు ఏమిటో, మీకు అవి అవసరం ఒకరితో ఒకరు పోల్చుకోండిమరియు అవి ఎలా సారూప్యంగా ఉన్నాయో మరియు అవి ఒకదానికొకటి ఎలా భిన్నంగా ఉన్నాయో అర్థం చేసుకోండి.

అదే సమయంలో, బాగా గుర్తుంచుకోవడానికి, "మానవ భాష" లో ప్రతిదీ వివరించడం మంచిది.

అప్పుడు మీరు గణిత భాషలో సులభంగా పనిచేస్తారు, కానీ మొదట మీకు ఈ భాష అర్థం కాలేదు మరియు మీరు ప్రతిదీ అర్థం చేసుకోవాలి మీ స్వంత భాషలో.

కాబట్టి, అవి ఎలా సమానంగా ఉంటాయి?

ద్విభుజం, మధ్యస్థం మరియు ఎత్తు - అవన్నీ త్రిభుజం యొక్క శీర్షం నుండి “బయటకు వచ్చి” ఎదురుగా విశ్రాంతి తీసుకుంటాయి మరియు అవి బయటకు వచ్చే కోణంతో లేదా ఎదురుగా “ఏదైనా చేస్తాయి”.

ఇది చాలా సులభం అని నేను అనుకుంటున్నాను, కాదా?

అవి ఎలా విభిన్నంగా ఉన్నాయి?

• ద్విదళం అది ఉద్భవించే కోణాన్ని సగానికి విభజిస్తుంది.
• మధ్యస్థం ఎదురుగా ఉన్న భాగాన్ని సగానికి విభజిస్తుంది.
• ఎత్తు ఎల్లప్పుడూ ఎదురుగా లంబంగా ఉంటుంది.

అంతే. అర్థం చేసుకోవడం సులభం. మరియు మీరు అర్థం చేసుకున్న తర్వాత, మీరు గుర్తుంచుకోగలరు.

ఇప్పుడు తదుపరి ప్రశ్న.

ఎందుకు, సమద్విబాహు త్రిభుజం విషయంలో, ద్విభుజం మధ్యస్థం మరియు ఎత్తు రెండూ?

మీరు బొమ్మను చూడవచ్చు మరియు మధ్యస్థం పూర్తిగా సమానమైన రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించబడిందని నిర్ధారించుకోండి.

అంతే! కానీ గణిత శాస్త్రవేత్తలు తమ కళ్లను నమ్మడానికి ఇష్టపడరు. వారు ప్రతిదీ నిరూపించాలి.

భయానక పదమా?

అలాంటిదేమీ లేదు - ఇది చాలా సులభం! చూడండి: రెండూ సమాన భుజాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు అవి సాధారణంగా ఉమ్మడి వైపు కలిగి ఉంటాయి. (- బైసెక్టర్!) కాబట్టి రెండు త్రిభుజాలకు రెండు సమాన భుజాలు మరియు వాటి మధ్య ఒక కోణం ఉన్నాయని తేలింది.

మేము త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క మొదటి సంకేతాన్ని గుర్తుచేసుకుంటాము (మీకు గుర్తులేకపోతే, టాపిక్‌లో చూడండి) మరియు దానిని ముగించాము, అందువలన = మరియు.

ఇది ఇప్పటికే మంచిది - ఇది మధ్యస్థంగా మారిందని అర్థం.

అయితే అది ఏమిటి?

చిత్రాన్ని చూద్దాం - . మరియు మేము దానిని పొందాము. కాబట్టి, కూడా! చివరగా, హుర్రే! మరియు.

మీరు ఈ రుజువును కొంచెం భారీగా కనుగొన్నారా? చిత్రాన్ని చూడండి - రెండు సారూప్య త్రిభుజాలు తమ కోసం మాట్లాడతాయి.

ఏదైనా సందర్భంలో, గట్టిగా గుర్తుంచుకోండి:

ఇప్పుడు ఇది మరింత కష్టం: మేము లెక్కిస్తాము ఏదైనా త్రిభుజంలో ద్విభాగాల మధ్య కోణం!భయపడవద్దు, ఇది అంత గమ్మత్తైనది కాదు. ఆ చిత్రాన్ని చూడు:

దానిని లెక్కిద్దాం. అది నీకు గుర్తుందా త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం?

ఈ అద్భుతమైన వాస్తవాన్ని వర్తింపజేద్దాం.

ఒక వైపు, నుండి:

అంటే.

ఇప్పుడు చూద్దాం:

కానీ ద్విభాగాలు, ద్విభాగాలు!

గురించి గుర్తుంచుకోండి:

ఇప్పుడు అక్షరాల ద్వారా

ఆశ్చర్యంగా లేదూ?

అని తేలింది రెండు కోణాల ద్విభాగాల మధ్య కోణం మూడవ కోణంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది!

బాగా, మేము రెండు ద్విభాగాలను చూశాము. ముగ్గురే వుంటే??!! అవన్నీ ఒక దశలో కలుస్తాయా?

లేక ఇలా ఉంటుందా?

నువ్వు ఎలా ఆలోచిస్తావు? కాబట్టి గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఆలోచించారు మరియు ఆలోచించారు మరియు నిరూపించారు:

అది గొప్పది కాదా?

ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారా?

తదుపరి స్థాయికి వెళ్లండి - మీరు బైసెక్టర్ గురించి కొత్త ఎత్తులను జయించటానికి సిద్ధంగా ఉన్నారు!

బైసెక్టర్. సగటు స్థాయి

బైసెక్టర్ అంటే ఏమిటో మీకు గుర్తుందా?

బైసెక్టర్ అనేది ఒక కోణాన్ని విభజించే రేఖ.

మీరు సమస్యలో ద్విభాగాన్ని ఎదుర్కొన్నారా? కింది అద్భుతమైన లక్షణాలలో ఒకటి (లేదా కొన్నిసార్లు అనేకం) ఉపయోగించడానికి ప్రయత్నించండి.

1. సమద్విబాహు త్రిభుజంలో ద్విభాగము.

"సిద్ధాంతం" అనే పదానికి మీరు భయపడలేదా? మీరు భయపడితే, అది వ్యర్థం. గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఇతర, సరళమైన స్టేట్‌మెంట్‌ల నుండి ఏదో ఒకవిధంగా తీసివేయగలిగే ఏదైనా స్టేట్‌మెంట్‌ను సిద్ధాంతాన్ని పిలవడం అలవాటు చేసుకున్నారు.

కాబట్టి, శ్రద్ధ, సిద్ధాంతం!

నిరూపిద్దాంఈ సిద్ధాంతం, అంటే, ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో అర్థం చేసుకుందాం? సమద్విబాహులను చూడండి.

వాటిని జాగ్రత్తగా చూద్దాం. మరి అది మనం చూస్తాం

1. - సాధారణ.

మరియు దీని అర్థం (త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క మొదటి సంకేతాన్ని త్వరగా గుర్తుంచుకోండి!) అని.

అయితే ఏంటి? అని చెప్పాలనుకుంటున్నారా? మరియు వాస్తవం ఏమిటంటే, మేము ఇంకా ఈ త్రిభుజాల యొక్క మూడవ వైపులా మరియు మిగిలిన కోణాలను చూడలేదు.

ఇప్పుడు చూద్దాం. ఒకసారి, అప్పుడు ఖచ్చితంగా, మరియు అదనంగా, .

కాబట్టి అది తేలింది

1. వైపు సగానికి విభజించబడింది, అంటే, అది మధ్యస్థంగా మారింది
2. , అంటే అవి రెండూ లాగా ఉన్నాయి (చిత్రాన్ని మళ్లీ చూడండి).

కాబట్టి అది ద్విభాగంగా మరియు ఎత్తుగా కూడా మారింది!

హుర్రే! మేము సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాము. అయితే ఊహించండి, అంతే కాదు. విశ్వాసపాత్రుడు కూడా సంభాషణ సిద్ధాంతం:

రుజువు? మీకు నిజంగా ఆసక్తి ఉందా? సిద్ధాంతం యొక్క తదుపరి స్థాయిని చదవండి!

మరియు మీకు ఆసక్తి లేకుంటే, అప్పుడు గట్టిగా గుర్తుంచుకో:

దీన్ని ఎందుకు గట్టిగా గుర్తుంచుకోవాలి? ఇది ఎలా సహాయపడుతుంది? కానీ మీకు ఒక పని ఉందని ఊహించండి:

ఇచ్చిన: .

కనుగొనండి: .

మీరు వెంటనే గ్రహించారు, ద్విభాగము మరియు, ఇదిగో, ఆమె పక్కను సగానికి విభజించింది! (షరతు ప్రకారం...). ఇది జరుగుతుందని మీరు గట్టిగా గుర్తుంచుకుంటే మాత్రమేసమద్విబాహు త్రిభుజంలో, మీరు ఒక ముగింపును తీయండి, అంటే, మీరు సమాధానం వ్రాస్తారు: . గ్రేట్, సరియైనదా? అయితే, అన్ని పనులు చాలా సులభం కాదు, కానీ జ్ఞానం ఖచ్చితంగా సహాయం చేస్తుంది!

మరియు ఇప్పుడు తదుపరి ఆస్తి. సిద్ధంగా ఉన్నారా?

2. కోణం యొక్క ద్వైపాక్షికం అనేది కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల స్థానం.

భయమా? ఇది నిజంగా పెద్ద విషయం కాదు. సోమరి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు రెండు లైన్లలో నలుగురిని దాచారు. కాబట్టి, దీని అర్థం ఏమిటి, “బిసెక్టర్ - పాయింట్ల స్థానం"? అంటే వాటిని వెంటనే అమలు చేస్తారు రెండుప్రకటనలు:

1. ఒక బిందువు బిసెక్టర్‌పై ఉంటే, దాని నుండి కోణం యొక్క భుజాల దూరాలు సమానంగా ఉంటాయి.
2. ఏదో ఒక సమయంలో కోణం యొక్క భుజాల దూరాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు ఈ పాయింట్ తప్పనిసరిగాబైసెక్టర్‌పై ఉంది.

మీరు ప్రకటనలు 1 మరియు 2 మధ్య వ్యత్యాసాన్ని చూస్తున్నారా? చాలా కాకపోతే, “ఆలిస్ ఇన్ వండర్‌ల్యాండ్” నుండి హేటర్‌ను గుర్తుంచుకోండి: “కాబట్టి మీరు ఇంకా ఏమి చెబుతారు, “నేను తినేదాన్ని నేను చూస్తున్నాను” మరియు “నేను చూసేది తింటాను” అనేవి ఒకటే!”

కాబట్టి మనం 1 మరియు 2 స్టేట్‌మెంట్‌లను నిరూపించాలి, ఆపై స్టేట్‌మెంట్: "బిసెక్టర్ అనేది ఒక కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం" అని నిరూపించబడుతుంది!

1 ఎందుకు నిజం?

బైసెక్టార్‌లో ఏదైనా పాయింట్ తీసుకుని దాన్ని పిలుద్దాం.

ఈ పాయింట్ నుండి కోణం వైపులా లంబాలను వదలండి.

మరియు ఇప్పుడు... కుడి త్రిభుజాల సమానత్వ సంకేతాలను గుర్తుంచుకోవడానికి సిద్ధంగా ఉండండి! మీరు వాటిని మరచిపోయినట్లయితే, విభాగాన్ని పరిశీలించండి.

కాబట్టి...రెండు లంబ త్రిభుజాలు: మరియు. వారు కలిగి ఉన్నారు:

• సాధారణ హైపోటెన్యూస్.
• (ఎందుకంటే ఇది ద్విభాగము!)

దీని అర్థం - కోణం మరియు హైపోటెన్యూస్ ద్వారా. కాబట్టి, ఈ త్రిభుజాల సంబంధిత కాళ్లు సమానంగా ఉంటాయి! అంటే.

పాయింట్ కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమానంగా (లేదా సమానంగా) దూరంలో ఉందని మేము నిరూపించాము. పాయింట్ 1 డీల్ చేయబడింది. ఇప్పుడు పాయింట్ 2కి వెళ్దాం.

2 ఎందుకు నిజం?

మరియు చుక్కలను కనెక్ట్ చేద్దాం మరియు.

దీనర్థం, ఇది ద్విఖండం మీద ఉంది!

అంతే!

సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఇవన్నీ ఎలా అన్వయించబడతాయి? ఉదాహరణకు, సమస్యలలో తరచుగా క్రింది పదబంధం ఉంటుంది: "ఒక వృత్తం కోణం యొక్క భుజాలను తాకుతుంది ...". బాగా, మీరు ఏదో కనుగొనాలి.

అప్పుడు మీరు దానిని త్వరగా గ్రహిస్తారు

మరియు మీరు సమానత్వాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

3. త్రిభుజంలోని మూడు ద్విభాగాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి

ఒక కోణ భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల స్థానానికి ద్విసెక్టర్ యొక్క ఆస్తి నుండి, క్రింది ప్రకటన క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

ఇది ఖచ్చితంగా ఎలా బయటకు వస్తుంది? కానీ చూడండి: రెండు ద్విభాగాలు ఖచ్చితంగా కలుస్తాయి, సరియైనదా?

మరియు మూడవ విభాగము ఇలా వెళ్ళవచ్చు:

కానీ వాస్తవానికి, ప్రతిదీ చాలా మెరుగ్గా ఉంది!

రెండు బైసెక్టర్ల ఖండన బిందువును చూద్దాం. దానిని పిలుద్దాం.

మేము ఇక్కడ రెండు సార్లు ఏమి ఉపయోగించాము? అవును పేరా 1, అయితే! ఒక బిందువు బిసెక్టర్‌పై ఉంటే, అది కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమానంగా ఉంటుంది.

మరియు అది జరిగింది.

అయితే ఈ రెండు సమానత్వాన్ని జాగ్రత్తగా చూడండి! అన్ని తరువాత, అది వారి నుండి అనుసరిస్తుంది మరియు, అందువలన, .

మరియు ఇప్పుడు అది అమలులోకి వస్తుంది పాయింట్ 2: ఒక కోణం యొక్క భుజాల దూరాలు సమానంగా ఉంటే, ఆ బిందువు ద్విభాగంపై ఉంటుంది...ఏ కోణం? చిత్రాన్ని మళ్లీ చూడండి:

మరియు కోణం యొక్క భుజాలకు దూరాలు, మరియు అవి సమానంగా ఉంటాయి, అంటే పాయింట్ కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉంటుంది. అదే పాయింట్‌ గుండా మూడో ద్వైపాక్షికం గడిచింది! మూడు ఖండాంతరాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి! మరియు అదనపు బహుమతిగా -

వ్యాసార్థం లిఖించబడిందివృత్తాలు.

(నిశ్చయంగా, మరొక అంశాన్ని చూడండి).

బాగా, ఇప్పుడు మీరు ఎప్పటికీ మరచిపోలేరు:

త్రిభుజం యొక్క ఖండన బిందువు దానిలో వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం.

తదుపరి ప్రాపర్టీకి వెళ్దాం... వావ్, బైసెక్టర్‌కి చాలా ప్రాపర్టీలు ఉన్నాయి, కాదా? మరియు ఇది చాలా బాగుంది, ఎందుకంటే ఎక్కువ లక్షణాలు, బైసెక్టర్ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మరిన్ని సాధనాలు.

4. బైసెక్టర్ మరియు సమాంతరత, ప్రక్కనే ఉన్న కోణాల ద్విభాగాలు

బైసెక్టర్ కొన్ని సందర్భాల్లో కోణాన్ని సగానికి విభజిస్తుందనే వాస్తవం పూర్తిగా ఊహించని ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది. ఉదాహరణకి,

కేసు 1

గ్రేట్, సరియైనదా? ఇది ఎందుకు అని అర్థం చేసుకుందాం.

ఒక వైపు, మేము ఒక ద్విభాగాన్ని గీస్తాము!

కానీ, మరోవైపు, అడ్డంగా ఉండే కోణాలు ఉన్నాయి (థీమ్‌ను గుర్తుంచుకోండి).

మరియు ఇప్పుడు అది మారుతుంది; మధ్యలో విసిరేయండి: ! - ఐసోసెల్స్!

కేసు 2

ఒక త్రిభుజాన్ని ఊహించండి (లేదా చిత్రాన్ని చూడండి)

పాయింట్ దాటి సైడ్ కంటిన్యూ చేద్దాం. ఇప్పుడు మనకు రెండు కోణాలు ఉన్నాయి:

• - అంతర్గత మూలలో
• - బయటి మూలలో బయట ఉంది, సరియైనదా?

కాబట్టి, ఇప్పుడు ఎవరైనా ఒకటి కాదు, రెండు ద్విభాగాలను ఒకేసారి గీయాలని కోరుకున్నారు: రెండు కోసం మరియు కోసం. ఏమి జరుగుతుంది?

ఇది వర్కవుట్ అవుతుందా? దీర్ఘచతురస్రాకార!

ఆశ్చర్యకరంగా, ఇది సరిగ్గా కేసు.

దాన్ని గుర్తించండి.

మొత్తం ఎంత అని మీరు అనుకుంటున్నారు?

వాస్తవానికి, - అన్నింటికంటే, అవన్నీ కలిసి అటువంటి కోణాన్ని తయారు చేస్తాయి, అది సరళ రేఖగా మారుతుంది.

ఇప్పుడు దానిని గుర్తుంచుకోండి మరియు అవి ద్విభాగాలుగా ఉన్నాయి మరియు కోణం లోపల ఖచ్చితంగా ఉందని చూడండి సగంనాలుగు కోణాల మొత్తం నుండి: మరియు - - అంటే ఖచ్చితంగా. మీరు దానిని సమీకరణంగా కూడా వ్రాయవచ్చు:

కాబట్టి, నమ్మశక్యం కాని నిజం:

త్రిభుజం యొక్క అంతర్గత మరియు బాహ్య కోణాల ద్విభాగాల మధ్య కోణం సమానంగా ఉంటుంది.

కేసు 3

అంతర్గత మరియు బాహ్య మూలల మాదిరిగానే ఇక్కడ ప్రతిదీ ఒకేలా ఉందని మీరు చూస్తున్నారా?

లేక ఇలా ఎందుకు జరుగుతుందో మరోసారి ఆలోచిద్దాం?

మళ్ళీ, ప్రక్కనే ఉన్న మూలల కోసం,

(సమాంతర స్థావరాలకు అనుగుణంగా).

మరియు మళ్ళీ, వారు తయారు చేస్తారు సరిగ్గా సగంమొత్తం నుండి

ముగింపు:సమస్య ద్విభాగాలను కలిగి ఉంటే ప్రక్కనేకోణాలు లేదా ద్విభాగాలు సంబంధితసమాంతర చతుర్భుజం లేదా ట్రాపజోయిడ్ యొక్క కోణాలు, అప్పుడు ఈ సమస్యలో ఖచ్చితంగాఒక లంబ త్రిభుజం చేరి ఉంటుంది లేదా మొత్తం దీర్ఘ చతురస్రం కూడా ఉండవచ్చు.

5. బైసెక్టర్ మరియు ఎదురుగా

ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణం యొక్క ద్విభుజం ఎదురుగా ఉన్న భాగాన్ని ఏదో ఒక విధంగా మాత్రమే కాకుండా, ప్రత్యేకమైన మరియు చాలా ఆసక్తికరమైన రీతిలో విభజిస్తుందని తేలింది:

అంటే:

ఒక అద్భుతమైన వాస్తవం, కాదా?

ఇప్పుడు మేము ఈ వాస్తవాన్ని నిరూపిస్తాము, కానీ సిద్ధంగా ఉండండి: ఇది మునుపటి కంటే కొంచెం కష్టంగా ఉంటుంది.

మళ్ళీ - "స్పేస్" నుండి నిష్క్రమించండి - అదనపు నిర్మాణం!

నేరుగా వెళ్దాం.

దేనికోసం? మనం ఇప్పుడు చూస్తాము.

బైసెక్టర్‌ను లైన్‌తో కలిపే వరకు కొనసాగిద్దాం.

ఇది తెలిసిన చిత్రమా? అవును, అవును, అవును, పాయింట్ 4, కేస్ 1లో సరిగ్గా అదే - ఇది (- బైసెక్టర్)

అడ్డంగా పడుకుంది

కాబట్టి, అది కూడా.

ఇప్పుడు త్రిభుజాలను చూద్దాం మరియు.

మీరు వారి గురించి ఏమి చెప్పగలరు?

అవి పోలి ఉంటాయి. సరే, అవును, వాటి కోణాలు నిలువుగా సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, రెండు మూలల్లో.

ఇప్పుడు సంబంధిత పార్టీల సంబంధాలను వ్రాయడానికి మాకు హక్కు ఉంది.

మరియు ఇప్పుడు సంక్షిప్త సంజ్ఞామానంలో:

ఓ! నాకు ఏదో గుర్తుచేస్తుంది, సరియైనదా? మేము నిరూపించాలనుకున్నది ఇది కాదా? అవును, అవును, సరిగ్గా అదే!

“స్పేస్‌వాక్” ఎంత గొప్పగా నిరూపించబడిందో మీరు చూస్తారు - అదనపు సరళ రేఖ నిర్మాణం - అది లేకుండా ఏమీ జరిగేది కాదు! కాబట్టి, మేము దానిని నిరూపించాము

ఇప్పుడు మీరు దీన్ని సురక్షితంగా ఉపయోగించవచ్చు! త్రిభుజం యొక్క మూలల ద్విభాగాల యొక్క మరొక ఆస్తిని చూద్దాం - భయపడవద్దు, ఇప్పుడు కష్టతరమైన భాగం ముగిసింది - ఇది సులభం అవుతుంది.

మేము దానిని పొందుతాము

సిద్ధాంతం 1:

సిద్ధాంతం 2:

సిద్ధాంతం 3:

సిద్ధాంతం 4:

సిద్ధాంతం 5:

సిద్ధాంతం 6:

సరే, టాపిక్ ముగిసింది. మీరు ఈ పంక్తులు చదువుతుంటే, మీరు చాలా కూల్ గా ఉన్నారని అర్థం.

ఎందుకంటే కేవలం 5% మంది మాత్రమే సొంతంగా ఏదైనా నైపుణ్యం సాధించగలుగుతారు. మరియు మీరు చివరి వరకు చదివితే, మీరు ఈ 5% లో ఉన్నారు!

ఇప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం.

మీరు ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకున్నారు. మరియు, నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, ఇది... ఇది కేవలం సూపర్! మీ తోటివారిలో చాలా మంది కంటే మీరు ఇప్పటికే మెరుగ్గా ఉన్నారు.

సమస్య ఏమిటంటే ఇది సరిపోకపోవచ్చు ...

దేనికోసం?

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణత సాధించినందుకు, బడ్జెట్‌లో కాలేజీలో చేరినందుకు మరియు చాలా ముఖ్యమైనది జీవితాంతం.

నేను మిమ్మల్ని ఏదీ ఒప్పించను, ఒక్కటి మాత్రమే చెబుతాను...

మంచి విద్యను పొందిన వారు దానిని పొందని వారి కంటే చాలా ఎక్కువ సంపాదిస్తారు. ఇది గణాంకాలు.

కానీ ఇది ప్రధాన విషయం కాదు.

ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే వారు మరింత సంతోషంగా ఉన్నారు (అలాంటి అధ్యయనాలు ఉన్నాయి). బహుశా వారి ముందు చాలా అవకాశాలు తెరుచుకుంటాయి మరియు జీవితం ప్రకాశవంతంగా మారుతుంది? తెలియదు...

అయితే మీరే ఆలోచించండి...

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో ఇతరుల కంటే మెరుగ్గా ఉండటానికి మరియు చివరికి... సంతోషంగా ఉండటానికి ఏమి అవసరం?

ఈ అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడం ద్వారా మీ చేతిని పొందండి.

పరీక్ష సమయంలో మీరు సిద్ధాంతం కోసం అడగబడరు.

నీకు అవసరం అవుతుంది సమయానికి వ్యతిరేకంగా సమస్యలను పరిష్కరించండి.

మరియు, మీరు వాటిని పరిష్కరించకపోతే (చాలా!), మీరు ఖచ్చితంగా ఎక్కడో ఒక తెలివితక్కువ పొరపాటు చేస్తారు లేదా సమయం ఉండదు.

ఇది క్రీడలలో లాగా ఉంటుంది - ఖచ్చితంగా గెలవడానికి మీరు దీన్ని చాలాసార్లు పునరావృతం చేయాలి.

మీకు కావలసిన చోట సేకరణను కనుగొనండి, తప్పనిసరిగా పరిష్కారాలతో, వివరణాత్మక విశ్లేషణమరియు నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి!

మీరు మా పనులను ఉపయోగించవచ్చు (ఐచ్ఛికం) మరియు మేము వాటిని సిఫార్సు చేస్తాము.

మా టాస్క్‌లను ఉపయోగించడంలో మెరుగ్గా ఉండటానికి, మీరు ప్రస్తుతం చదువుతున్న YouClever పాఠ్యపుస్తకం యొక్క జీవితాన్ని పొడిగించడంలో మీరు సహాయం చేయాలి.

ఎలా? రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

1. ఈ కథనంలో దాచిన అన్ని పనులను అన్‌లాక్ చేయండి -
2. పాఠ్యపుస్తకంలోని మొత్తం 99 కథనాలలో దాచిన అన్ని పనులకు యాక్సెస్‌ను అన్‌లాక్ చేయండి - పాఠ్యపుస్తకాన్ని కొనండి - 899 RUR

అవును, మా పాఠ్యపుస్తకంలో అటువంటి 99 కథనాలు ఉన్నాయి మరియు అన్ని టాస్క్‌లకు యాక్సెస్ మరియు వాటిలో దాచిన అన్ని పాఠాలు వెంటనే తెరవబడతాయి.

అన్ని దాచిన పనులకు యాక్సెస్ సైట్ యొక్క మొత్తం జీవితానికి అందించబడుతుంది.

ముగింపులో...

మా పనులు మీకు నచ్చకపోతే, ఇతరులను కనుగొనండి. కేవలం సిద్ధాంతం వద్ద ఆగవద్దు.

"అర్థమైంది" మరియు "నేను పరిష్కరించగలను" పూర్తిగా భిన్నమైన నైపుణ్యాలు. మీకు రెండూ కావాలి.

సమస్యలను కనుగొని వాటిని పరిష్కరించండి!

ఈ పాఠంలో, మేము కోణ ద్విసెక్టర్ యొక్క భావనను గుర్తుకు తెచ్చుకుంటాము, కోణ ద్విసెక్టర్ యొక్క లక్షణాల గురించి ప్రత్యక్ష మరియు విలోమ సిద్ధాంతాలను రూపొందించి మరియు రుజువు చేస్తాము మరియు వాటిని సాధారణీకరిస్తాము. బైసెక్టర్ గురించిన వాస్తవాలతో పాటు, మేము ఇతర రేఖాగణిత వాస్తవాలను వర్తింపజేసే సమస్యను పరిష్కరిద్దాం.

అంశం: సర్కిల్

పాఠం: యాంగిల్ బైసెక్టర్ యొక్క లక్షణాలు. పనులు

త్రిభుజం అన్ని జ్యామితి యొక్క కేంద్ర వ్యక్తి, మరియు ఇది ఒక అణువు వలె తరగనిది అని సరదాగా చెప్పబడింది. దీని లక్షణాలు అనేకమైనవి, ఆసక్తికరమైనవి, వినోదాత్మకమైనవి. మేము ఈ లక్షణాలలో కొన్నింటిని పరిశీలిస్తాము.

ఏదైనా త్రిభుజం, మొదటగా, మూడు కోణాలు మరియు మూడు విభాగాలు (Fig. 1 చూడండి).

అన్నం. 1

శీర్షం A మరియు భుజాలు B మరియు C తో కోణాన్ని పరిగణించండి - కోణం .

త్రిభుజం యొక్క కోణంతో సహా ఏదైనా కోణంలో, మీరు ఒక ద్విభాగాన్ని గీయవచ్చు - అంటే, కోణాన్ని సగానికి విభజించే సరళ రేఖ (అంజీర్ 2 చూడండి).

అన్నం. 2

కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉన్న బిందువు యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం (Fig. 3 చూడండి).

కోణం యొక్క బిసెక్టర్‌పై ఉన్న పాయింట్ Mని పరిగణించండి.

ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరం ఈ పాయింట్ నుండి రేఖకు గీసిన లంబ పొడవు అని గుర్తుంచుకోండి.

అన్నం. 3

సహజంగానే, మనం బైసెక్టర్‌పై పడని బిందువును తీసుకుంటే, ఈ పాయింట్ నుండి కోణం వైపులా ఉన్న దూరాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. పాయింట్ M నుండి కోణం వైపులా దూరం ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం

అభివృద్ధి చెందని కోణం యొక్క ద్వైపాక్షిక బిందువు కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది, అనగా, పాయింట్ M నుండి AC మరియు కోణం యొక్క భుజాల BC వరకు ఉన్న దూరాలు సమానంగా ఉంటాయి.

కోణం ఇవ్వబడింది, దాని బైసెక్టర్ AL, పాయింట్ M బైసెక్టర్‌పై ఉంటుంది (Fig. 4 చూడండి).

నిరూపించు .

అన్నం. 4

రుజువు:

త్రిభుజాలను పరిగణించండి మరియు . ఇవి లంబ త్రిభుజాలు, మరియు అవి సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే వాటికి సాధారణ హైపోటెన్యూస్ AM ఉంటుంది మరియు కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే AL అనేది కోణం యొక్క ద్వైపాక్షికం. అందువల్ల, లంబ త్రిభుజాలు హైపోటెన్యూస్ మరియు అక్యూట్ యాంగిల్‌లో సమానంగా ఉంటాయి, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది. ఆ విధంగా, ఒక కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఒక బిందువు ఆ కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

సంభాషణ సిద్ధాంతం నిజం.

సిద్ధాంతం

ఒక బిందువు అభివృద్ధి చెందని కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటే, అది దాని ద్వైపాక్షికంపై ఉంటుంది.

ఒక అభివృద్ధి చెందని కోణం ఇవ్వబడింది, పాయింట్ M, దాని నుండి కోణం యొక్క భుజాల దూరం ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

పాయింట్ M కోణం యొక్క బైసెక్టర్‌పై ఉందని నిరూపించండి (Fig. 5 చూడండి).

అన్నం. 5

రుజువు:

ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరం లంబంగా ఉండే పొడవు. పాయింట్ M నుండి మనం MK నుండి AB వైపు మరియు MR నుండి AC వరకు లంబంగా గీస్తాము.

త్రిభుజాలను పరిగణించండి మరియు . ఇవి లంబ త్రిభుజాలు, మరియు అవి సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే వాటికి సాధారణ హైపోటెన్యూస్ AM ఉంటుంది, MK మరియు MR కాళ్లు షరతులతో సమానంగా ఉంటాయి. అందువలన, కుడి త్రిభుజాలు హైపోటెన్యూస్ మరియు లెగ్‌లో సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజాల సమానత్వం నుండి సంబంధిత మూలకాల సమానత్వం అనుసరిస్తుంది; సమాన కోణాలు సమాన భుజాల సరసన ఉంటాయి, అందువలన, కాబట్టి, పాయింట్ M ఇచ్చిన కోణం యొక్క ద్విసెక్టర్‌పై ఉంటుంది.

కొన్నిసార్లు ప్రత్యక్ష మరియు సంభాషణ సిద్ధాంతాలు ఈ క్రింది విధంగా మిళితం చేయబడతాయి:

సిద్ధాంతం

ఒక బిందువు ఈ కోణం యొక్క ద్విసెక్టార్‌పై ఉన్నట్లయితే మరియు అది మాత్రమే కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

ఒక కోణం యొక్క భుజాల నుండి ద్విభాగ బిందువుల సమాన దూరం వివిధ సమస్యలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

సమస్య సంఖ్య 674అటనాస్యన్ యొక్క పాఠ్యపుస్తకం నుండి, జ్యామితి, తరగతులు 7-9:

అభివృద్ధి చెందని కోణం యొక్క బిసెక్టర్ యొక్క పాయింట్ M నుండి, లంబంగా MA మరియు MB ఈ కోణం వైపులా డ్రా చేయబడతాయి (Fig. 6 చూడండి). నిరూపించు .

ఇవ్వబడింది: కోణం, ద్విభాగ OM, కోణం యొక్క భుజాలకు లంబంగా MA మరియు MB.

అన్నం. 6

నిరూపించు:

రుజువు:

ప్రత్యక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాయింట్ M కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది, ఎందుకంటే షరతుల ప్రకారం అది దాని ద్విభాగంపై ఉంటుంది. .

కుడి త్రిభుజాలను పరిగణించండి మరియు (Fig. 7 చూడండి). వారు ఒక సాధారణ హైపోటెన్యూస్ OMని కలిగి ఉన్నారు, మేము ఇంతకు ముందు నిరూపించినట్లుగా, కాళ్లు MA మరియు MB సమానంగా ఉంటాయి. అందువలన, రెండు దీర్ఘచతురస్రాకార

అన్నం. 7

త్రిభుజాలు లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్‌లో సమానంగా ఉంటాయి. త్రిభుజాల సమానత్వం నుండి వాటి సంబంధిత మూలకాల సమానత్వాన్ని అనుసరిస్తుంది, అందుకే కోణాల సమానత్వం మరియు ఇతర కాళ్ల సమానత్వం.

OA మరియు OB కాళ్ల సమానత్వం నుండి త్రిభుజం సమద్విబాహు అని మరియు AB దాని ఆధారం. OM సరళ రేఖ త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగము. సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క ఆస్తి ప్రకారం, ఈ ద్విభుజం కూడా ఒక ఎత్తు, అంటే OM మరియు AB రేఖలు లంబ కోణంలో కలుస్తాయి, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

కాబట్టి, మేము కోణం యొక్క ద్విభాగంపై ఉన్న పాయింట్ యొక్క ఆస్తి గురించి ప్రత్యక్ష మరియు సంభాషణ సిద్ధాంతాలను పరిశీలించాము, వాటిని సాధారణీకరించాము మరియు ఈ సిద్ధాంతంతో సహా వివిధ రేఖాగణిత వాస్తవాలను ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించాము.

గ్రంథ పట్టిక

1. అలెగ్జాండ్రోవ్ A.D. మరియు ఇతరులు. జ్యామితి, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2006.
2. బుతుజోవ్ V.F., కడోమ్ట్సేవ్ S.B., ప్రసోలోవ్ V.V. జామెట్రీ, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2011.
3. మెర్జ్లియాక్ A.G., పోలోన్స్కీ V.B., యాకిర్ S.M. జామెట్రీ, 8వ తరగతి. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

ఇంటి పని

1. అటనాస్యన్ L.S., బుట్యుజోవ్ V.F., కడోమ్ట్సేవ్ S.B. మరియు ఇతరులు. జ్యామితి, 7-9, నం. 676-678, కళ. 180.

త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగము - ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణం యొక్క ద్విదళం యొక్క విభాగం, త్రిభుజం యొక్క శీర్షం మరియు దానికి ఎదురుగా ఉన్న వైపు మధ్య ఉంటుంది.

బైసెక్టర్ యొక్క లక్షణాలు

1. త్రిభుజం యొక్క ద్విభుజం కోణాన్ని విభజిస్తుంది.

2. ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణం యొక్క ద్విభుజం ఎదురుగా ఉన్న రెండు ప్రక్కల () నిష్పత్తికి సమానమైన నిష్పత్తిలో ఎదురుగా విభజిస్తుంది.

3. ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణపు ద్విభాగ బిందువులు ఆ కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి.

4. ఒక త్రిభుజం యొక్క అంతర్గత కోణాల ద్విభాగాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి - ఈ త్రిభుజంలో చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం.

త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగానికి సంబంధించిన కొన్ని సూత్రాలు

(ఫార్ములా రుజువు - )
, ఎక్కడ
- ప్రక్కకు గీసిన బైసెక్టర్ పొడవు,
- త్రిభుజం యొక్క భుజాలు వరుసగా శీర్షాలకు ఎదురుగా ఉంటాయి,
- ద్వంద్వ భాగాన్ని విభజించే విభాగాల పొడవు,

చూడటానికి మిమ్మల్ని ఆహ్వానిస్తున్నాను వీడియో ట్యుటోరియల్, ఇది బైసెక్టర్ యొక్క పైన పేర్కొన్న అన్ని లక్షణాల అనువర్తనాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది.

వీడియోలో కవర్ చేయబడిన పనులు:
1. త్రిభుజం ABCలో AB = 2 సెం.మీ, BC = 3 సెం.మీ, AC = 3 సెం.మీ, ఒక బైసెక్టర్ VM డ్రా చేయబడింది. AM మరియు MC విభాగాల పొడవులను కనుగొనండి
2. శీర్షం A వద్ద అంతర్గత కోణం యొక్క ద్వంద్వ భాగము మరియు త్రిభుజం ABC యొక్క శీర్షం C వద్ద బాహ్య కోణం యొక్క బైసెక్టర్ M పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి. B కోణం 40 డిగ్రీలు, కోణం C 80 డిగ్రీలు అయితే BMC కోణాన్ని కనుగొనండి
3. 1కి సమానమైన చతురస్రాకార కణాల భుజాలను పరిగణనలోకి తీసుకుని, త్రిభుజంలో చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి

మీరు ఒక చిన్న వీడియో ట్యుటోరియల్‌పై కూడా ఆసక్తి కలిగి ఉండవచ్చు, ఇక్కడ బైసెక్టర్ యొక్క లక్షణాలలో ఒకటి వర్తించబడుతుంది

ఈ రోజు చాలా సులభమైన పాఠం అవుతుంది. మేము కేవలం ఒక వస్తువును పరిగణిస్తాము - కోణ బైసెక్టర్ - మరియు దాని యొక్క అతి ముఖ్యమైన ఆస్తిని నిరూపిస్తాము, ఇది భవిష్యత్తులో మనకు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

విశ్రాంతి తీసుకోకండి: కొన్నిసార్లు అదే యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ లేదా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో ఎక్కువ స్కోర్‌ని పొందాలనుకునే విద్యార్థులు మొదటి పాఠంలో బైసెక్టర్ నిర్వచనాన్ని కూడా ఖచ్చితంగా రూపొందించలేరు.

మరియు నిజంగా ఆసక్తికరమైన పనులు చేయడానికి బదులుగా, మేము అలాంటి సాధారణ విషయాలపై సమయాన్ని వృథా చేస్తాము. కాబట్టి చదవండి, చూడండి మరియు స్వీకరించండి. :)

ప్రారంభించడానికి, కొంచెం విచిత్రమైన ప్రశ్న: కోణం అంటే ఏమిటి? అది నిజం: ఒక కోణం అంటే ఒకే బిందువు నుండి వెలువడే రెండు కిరణాలు. ఉదాహరణకి:

కోణాల ఉదాహరణలు: తీవ్రమైన, మందమైన మరియు కుడి

మీరు చిత్రం నుండి చూడగలిగినట్లుగా, కోణాలు తీవ్రంగా, మందంగా, సూటిగా ఉంటాయి - ఇది ఇప్పుడు పట్టింపు లేదు. తరచుగా, సౌలభ్యం కోసం, ప్రతి కిరణంపై అదనపు పాయింట్ గుర్తించబడుతుంది మరియు వారు మా ముందు కోణం $AOB$ ($\angle AOB$ అని వ్రాయబడింది) అని చెప్పారు.

$OA$ మరియు $OB$ కిరణాలతో పాటు, $O$ బిందువు నుండి మరిన్ని కిరణాల సమూహాన్ని గీయడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమేనని కెప్టెన్ ఆబ్వియస్‌నెస్ సూచిస్తున్నట్లు కనిపిస్తోంది. కానీ వాటిలో ఒక ప్రత్యేకత ఉంటుంది - అతన్ని ద్విపద అని పిలుస్తారు.

నిర్వచనం. ఒక కోణం యొక్క శీర్షం నుండి బయటకు వచ్చి కోణాన్ని విభజించే కిరణాన్ని కోణపు ద్వివర్తి అంటారు.

పై కోణాల కోసం, ద్విభాగాలు ఇలా కనిపిస్తాయి:

తీవ్రమైన, మందమైన మరియు లంబ కోణాల కోసం బైసెక్టర్‌ల ఉదాహరణలు

నిజమైన డ్రాయింగ్‌లలో ఒక నిర్దిష్ట కిరణం (మా విషయంలో ఇది $OM$ కిరణం) అసలు కోణాన్ని రెండు సమానమైనవిగా విభజిస్తుందనేది ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా కనిపించదు కాబట్టి, జ్యామితిలో ఒకే సంఖ్యలో ఆర్క్‌లతో సమాన కోణాలను గుర్తించడం ఆచారం ( మా డ్రాయింగ్‌లో ఇది తీవ్రమైన కోణానికి 1 ఆర్క్, మొండికి రెండు, నేరుగా కోసం మూడు).

సరే, మేము నిర్వచనాన్ని క్రమబద్ధీకరించాము. ఇప్పుడు మీరు బైసెక్టర్ ఏ లక్షణాలను కలిగి ఉందో అర్థం చేసుకోవాలి.

యాంగిల్ బైసెక్టర్ యొక్క ప్రధాన లక్షణం

నిజానికి, బైసెక్టర్ చాలా లక్షణాలను కలిగి ఉంది. మరియు మేము వాటిని తదుపరి పాఠంలో ఖచ్చితంగా పరిశీలిస్తాము. కానీ మీరు ఇప్పుడు అర్థం చేసుకోవలసిన ఒక ఉపాయం ఉంది:

సిద్ధాంతం. ఒక కోణం యొక్క ద్వంద్వ రేఖ అనేది ఇచ్చిన కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల స్థానం.

గణితశాస్త్రం నుండి రష్యన్‌లోకి అనువదించబడింది, దీని అర్థం ఒకేసారి రెండు వాస్తవాలు:

1. ఒక నిర్దిష్ట కోణం యొక్క బైసెక్టర్‌పై ఉన్న ఏదైనా బిందువు ఈ కోణం యొక్క భుజాల నుండి అదే దూరంలో ఉంటుంది.
2. మరియు వైస్ వెర్సా: ఒక బిందువు ఇచ్చిన కోణం యొక్క భుజాల నుండి అదే దూరంలో ఉంటే, అది ఈ కోణం యొక్క ద్విభాగంపై పడుతుందని హామీ ఇవ్వబడుతుంది.

ఈ ప్రకటనలను రుజువు చేయడానికి ముందు, ఒక అంశాన్ని స్పష్టం చేద్దాం: సరిగ్గా, ఒక పాయింట్ నుండి కోణం వైపుకు ఉన్న దూరాన్ని ఏమని పిలుస్తారు? ఇక్కడ ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరం యొక్క మంచి పాత నిర్ణయం మాకు సహాయం చేస్తుంది:

నిర్వచనం. ఒక బిందువు నుండి రేఖకు దూరం అనేది ఇచ్చిన పాయింట్ నుండి ఈ రేఖకు గీసిన లంబ పొడవు.

ఉదాహరణకు, ఈ లైన్‌లో లేని $l$ లైన్ మరియు $A$ పాయింట్‌ను పరిగణించండి. మనం $AH$కి లంబంగా గీయండి, ఇక్కడ $H\in l$. అప్పుడు ఈ లంబంగా ఉండే పొడవు పాయింట్ $A$ నుండి సరళ రేఖ $l$ వరకు దూరం అవుతుంది.

ఒక పాయింట్ నుండి రేఖకు దూరం యొక్క గ్రాఫిక్ ప్రాతినిధ్యం

ఒక కోణం కేవలం రెండు కిరణాలు, మరియు ప్రతి కిరణం సరళ రేఖ యొక్క భాగం కాబట్టి, ఒక బిందువు నుండి కోణం వైపులా దూరాన్ని గుర్తించడం సులభం. ఇవి కేవలం రెండు లంబాలు:

పాయింట్ నుండి కోణం వైపులా దూరాన్ని నిర్ణయించండి

అంతే! ఇప్పుడు మనకు దూరం అంటే ఏమిటో మరియు బైసెక్టర్ అంటే ఏమిటో తెలుసు. అందువలన, మేము ప్రధాన ఆస్తి నిరూపించవచ్చు.

వాగ్దానం చేసినట్లుగా, మేము రుజువును రెండు భాగాలుగా విభజిస్తాము:

1. బైసెక్టర్‌లోని బిందువు నుండి కోణం వైపులా ఉన్న దూరాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి

$O$ శీర్షం మరియు $OM$ ద్విభాగంతో ఏకపక్ష కోణాన్ని పరిగణించండి:

ఈ పాయింట్ $M$ కోణం యొక్క భుజాల నుండి అదే దూరంలో ఉందని నిరూపిద్దాం.

రుజువు. పాయింట్ $M$ నుండి కోణం వైపులా లంబాలను గీయండి. వాటిని $M((H)_(1))$ మరియు $M((H)_(2))$ అని పిలుద్దాం:

కోణం వైపులా లంబంగా గీయండి

మేము రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలను పొందాము: $\vartriangle OM((H)_(1))$ మరియు $\vartriangle OM((H)_(2))$. వారు సాధారణ హైపోటెన్యూస్ $OM$ మరియు సమాన కోణాలను కలిగి ఉన్నారు:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ షరతు ప్రకారం ($OM$ ఒక ద్విసెక్టార్ కాబట్టి);
2. నిర్మాణం ద్వారా $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, నుండి మొత్తం లంబ త్రిభుజం యొక్క తీవ్రమైన కోణాలు ఎల్లప్పుడూ 90 డిగ్రీలు.

పర్యవసానంగా, త్రిభుజాలు వైపు మరియు రెండు ప్రక్కనే ఉన్న కోణాలలో సమానంగా ఉంటాయి (త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సంకేతాలను చూడండి). కాబట్టి, ముఖ్యంగా, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, అనగా. పాయింట్ $O$ నుండి కోణం యొక్క భుజాల వరకు ఉన్న దూరాలు నిజానికి సమానంగా ఉంటాయి. Q.E.D. :)

2. దూరాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు పాయింట్ బైసెక్టర్‌పై ఉంటుంది

ఇప్పుడు పరిస్థితి తారుమారైంది. ఒక కోణాన్ని $O$ ఇవ్వనివ్వండి మరియు ఈ కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ $M$:

$OM$ కిరణం ద్విభాగమని నిరూపిద్దాం, అనగా. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

రుజువు. ముందుగా, ఈ రే $OM$ని గీయండి, లేకుంటే నిరూపించడానికి ఏమీ ఉండదు:

మూలలో లోపల $OM$ పుంజం నిర్వహించబడింది

మళ్లీ మనకు రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు లభిస్తాయి: $\వర్ట్రయాంగిల్ OM((H)_(1))$ మరియు $\vartriangle OM((H)_(2))$. సహజంగానే అవి సమానంగా ఉంటాయి ఎందుకంటే:

1. హైపోటెన్యూస్ $OM$ - సాధారణ;
2. కాళ్లు $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ షరతు ప్రకారం (అన్నింటికంటే, పాయింట్ $M$ కోణం యొక్క భుజాల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది);
3. మిగిలిన కాళ్ళు కూడా సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ద్వారా $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

కాబట్టి, మూడు వైపులా $\vartriangle OM((H)_(1))$ మరియు $\vartriangle OM((H)_(2))$. ప్రత్యేకించి, వాటి కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. మరియు దీని అర్థం $OM$ ఒక ద్విభాగమని.

రుజువును ముగించడానికి, మేము ఎరుపు వంపులతో సమాన కోణాలను గుర్తించాము:

బిసెక్టర్ $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ని రెండు సమానమైనవిగా విభజిస్తుంది

మీరు గమనిస్తే, సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. కోణం యొక్క ద్వైపాక్షికం ఈ కోణం యొక్క భుజాలకు సమానమైన బిందువుల స్థానం అని మేము నిరూపించాము. :)

ఇప్పుడు మేము పరిభాషపై ఎక్కువ లేదా తక్కువ నిర్ణయించుకున్నాము, తదుపరి స్థాయికి వెళ్లడానికి ఇది సమయం. తరువాతి పాఠంలో మనం బైసెక్టర్ యొక్క మరింత సంక్లిష్టమైన లక్షణాలను పరిశీలిస్తాము మరియు నిజమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వాటిని ఎలా ఉపయోగించాలో నేర్చుకుంటాము.