స్థిర సంఖ్య ఎఅని పిలిచారు పరిమితి సీక్వెన్సులు(x n ), ఏదైనా ఏకపక్షంగా చిన్న ధనాత్మక సంఖ్య కోసంε > 0 అన్ని విలువలను కలిగి ఉన్న సంఖ్య N ఉంది x n, దీని కోసం n>N, అసమానతను సంతృప్తి పరుస్తుంది
|x n - a|< ε. (6.1)
దానిని క్రింది విధంగా వ్రాయండి: లేదా x n → a.
అసమానత (6.1) డబుల్ అసమానతతో సమానం
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
అంటే పాయింట్లు x n, కొంత సంఖ్య n>N నుండి ప్రారంభించి, విరామం లోపల పడుకోండి (a-ε, a+ ε ), అనగా. ఏ చిన్న పతనంε -ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగు ఎ.
పరిమితి ఉన్న క్రమాన్ని అంటారు కలుస్తాయి, లేకపోతే - భిన్న.
ఫంక్షన్ పరిమితి యొక్క భావన అనేది శ్రేణి పరిమితి యొక్క భావన యొక్క సాధారణీకరణ, ఎందుకంటే ఒక శ్రేణి యొక్క పరిమితిని పూర్ణాంక ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఫంక్షన్ x n = f(n) యొక్క పరిమితిగా పరిగణించవచ్చు. n.
f(x) ఫంక్షన్ ఇవ్వబడనివ్వండి మరియు లెట్ a - పరిమితి పాయింట్ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ D(f), i.e. అటువంటి పాయింట్, ఏ పరిసర ప్రాంతం అయినా కాకుండా సెట్ D(f) యొక్క పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది a. చుక్క a D(f) సమితికి చెందినది కావచ్చు లేదా కాకపోవచ్చు.
నిర్వచనం 1.స్థిర సంఖ్య A అంటారు పరిమితి విధులు f(x) వద్ద x→a, ఏదైనా శ్రేణి (x n ) ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలు ఉంటే ఎ, సంబంధిత సీక్వెన్సులు (f(x n)) ఒకే పరిమితి Aని కలిగి ఉంటాయి.
ఈ నిర్వచనం అంటారు హీన్ ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని నిర్వచించడం ద్వారా,లేదా " వరుస భాషలో”.
నిర్వచనం 2. స్థిర సంఖ్య A అంటారు పరిమితి విధులు f(x) వద్ద x→a, అయితే, ఏకపక్ష చిన్న సానుకూల సంఖ్య εని పేర్కొనడం ద్వారా, అటువంటి δని కనుగొనవచ్చు>0 (εపై ఆధారపడి), ఇది అందరికి సంబంధించినది x, పడుకోవడంసంఖ్య యొక్క ε-పరిసరాలు ఎ, అనగా కోసం x, అసమానతను సంతృప్తి పరచడం
0 <
x-a< ε
, f(x) ఫంక్షన్ విలువలు ఉంటాయిసంఖ్య A యొక్క ε-పరిసరం, అనగా.|f(x)-A|<
ε.
ఈ నిర్వచనం అంటారు కౌచీ ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని నిర్వచించడం ద్వారా,లేదా “ε-δ భాషలో “.
నిర్వచనాలు 1 మరియు 2 సమానం. f(x) ఫంక్షన్ x →గా ఉంటేఒక ఉంది పరిమితి, A కి సమానం, ఇది రూపంలో వ్రాయబడింది
. (6.3)
ఏదైనా ఉజ్జాయింపు పద్ధతికి పరిమితి లేకుండా క్రమం (f(x n)) పెరుగుతుంది (లేదా తగ్గుతుంది) xమీ పరిమితికి ఎ, అప్పుడు f(x) ఫంక్షన్ ఉందని మనం చెబుతాము అనంతమైన పరిమితి,మరియు దానిని రూపంలో వ్రాయండి:
పరిమితి సున్నా అయిన వేరియబుల్ (అనగా ఒక క్రమం లేదా ఫంక్షన్) అంటారు అనంతమైన చిన్నది.
పరిమితి అనంతం అయిన వేరియబుల్ అంటారు అనంతంగా పెద్దది.
ఆచరణలో పరిమితిని కనుగొనడానికి, క్రింది సిద్ధాంతాలు ఉపయోగించబడతాయి.
సిద్ధాంతం 1 . ప్రతి పరిమితి ఉంటే
(6.4)
(6.5)
(6.6)
వ్యాఖ్య. 0/0 వంటి వ్యక్తీకరణలు, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - అనిశ్చితంగా ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు, రెండు అనంతమైన చిన్న లేదా అనంతమైన పెద్ద పరిమాణాల నిష్పత్తి, మరియు ఈ రకమైన పరిమితిని కనుగొనడాన్ని "అనిశ్చితులను వెలికితీయడం" అంటారు.
సిద్ధాంతం 2. (6.7)
ఆ. స్థిరమైన ఘాతాంకంతో శక్తి ఆధారంగా పరిమితికి వెళ్లవచ్చు, ప్రత్యేకించి, 
;
(6.8)
(6.9)
సిద్ధాంతం 3.
(6.10)
(6.11)
ఎక్కడ ఇ » 2.7 - సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం. సూత్రాలు (6.10) మరియు (6.11) మొదటివి అంటారు అద్భుతమైన పరిమితిమరియు రెండవ గొప్ప పరిమితి.
ఫార్ములా (6.11) యొక్క పరిణామాలు కూడా ఆచరణలో ఉపయోగించబడతాయి:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
ముఖ్యంగా పరిమితి,
x అయితే → a మరియు అదే సమయంలో x > a, ఆపై x అని వ్రాయండి→a + 0. ప్రత్యేకించి, a = 0 అయితే, 0+0 గుర్తుకు బదులుగా +0 అని వ్రాయండి. అదేవిధంగా x→a మరియు అదే సమయంలో x 
మరియు తదనుగుణంగా పిలుస్తారు కుడి పరిమితిమరియు ఎడమ పరిమితి విధులు f(x) పాయింట్ వద్ద ఎ. ఫంక్షన్ f(x)కి x→గా పరిమితి ఉండాలిa అవసరం మరియు సరిపోతుంది కాబట్టి 
. ఫంక్షన్ f(x) అంటారు నిరంతర పాయింట్ వద్ద x 0 అయితే పరిమితి
. (6.15)
పరిస్థితి (6.15) ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
,
అంటే, ఇచ్చిన పాయింట్‌లో అది నిరంతరంగా ఉంటే, ఫంక్షన్ యొక్క సంకేతం కింద పరిమితికి వెళ్లడం సాధ్యమవుతుంది.
సమానత్వం (6.15) ఉల్లంఘించబడితే, మేము అలా అంటాము వద్ద x = xo ఫంక్షన్ f(x) ఇది కలిగి ఉంది అంతరం y = 1/x ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ సెట్ ఆర్, x = 0 మినహా. పాయింట్ x = 0 అనేది సెట్ D(f) యొక్క పరిమితి బిందువు, ఎందుకంటే దాని యొక్క ఏదైనా పరిసరాల్లో, అనగా. పాయింట్ 0ని కలిగి ఉన్న ఏదైనా ఓపెన్ ఇంటర్వెల్‌లో, D(f) నుండి పాయింట్లు ఉన్నాయి, కానీ అది ఈ సెట్‌కు చెందినది కాదు. విలువ f(x o)= f(0) నిర్వచించబడలేదు, కాబట్టి x o = 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్‌కు నిలిపివేత ఉంటుంది.
ఫంక్షన్ f(x) అంటారు పాయింట్ వద్ద కుడి వైపున నిరంతరంగాపరిమితి ఉంటే x o
,
మరియు పాయింట్ వద్ద ఎడమవైపు నిరంతరంగా x o, పరిమితి అయితే
ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు xoకుడి మరియు ఎడమ రెండు ఈ సమయంలో దాని కొనసాగింపు సమానం.
ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉండటానికి xo, ఉదాహరణకు, కుడివైపున, ముందుగా, పరిమిత పరిమితి ఉండాలి మరియు రెండవది, ఈ పరిమితి f(x o)కి సమానంగా ఉండాలి. అందువల్ల, ఈ రెండు షరతులలో కనీసం ఒకదానిని నెరవేర్చకపోతే, అప్పుడు ఫంక్షన్ నిలిపివేయబడుతుంది.
1. పరిమితి ఉనికిలో ఉండి, f(x o)కి సమానం కానట్లయితే, వారు అలా అంటారు ఫంక్షన్ f(x) పాయింట్ వద్ద x o ఉంది మొదటి రకమైన విరామం,లేదా అల్లరి.
2. పరిమితి ఉంటే+∞ లేదా -∞ లేదా ఉనికిలో లేదు, అప్పుడు వారు లో అని చెప్పారు పాయింట్ xo ఫంక్షన్ నిలిపివేత ఉంది రెండవ రకం.
ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ y = cot x వద్ద x→ +0కి +∞కి సమానమైన పరిమితి ఉంది, అంటే x=0 బిందువు వద్ద ఇది రెండవ రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది. ఫంక్షన్ y = E(x) (పూర్ణాంకం భాగం x) మొత్తం అబ్సిస్సాస్‌తో ఉన్న పాయింట్‌లలో మొదటి రకం లేదా జంప్‌ల యొక్క నిలిపివేతలు ఉంటాయి.
విరామంలో ప్రతి పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉండే ఫంక్షన్ అంటారు నిరంతరవి. ఒక నిరంతర ఫంక్షన్ ఘన వక్రత ద్వారా సూచించబడుతుంది.
కొంత పరిమాణం యొక్క నిరంతర వృద్ధికి సంబంధించిన అనేక సమస్యలు రెండవ గొప్ప పరిమితికి దారితీస్తాయి. ఉదాహరణకు, ఇటువంటి పనులు: సమ్మేళనం వడ్డీ చట్టం ప్రకారం డిపాజిట్ల పెరుగుదల, దేశ జనాభా పెరుగుదల, రేడియోధార్మిక పదార్ధాల క్షయం, బ్యాక్టీరియా విస్తరణ మొదలైనవి.
పరిగణలోకి తీసుకుందాం యా I. పెరెల్మాన్ యొక్క ఉదాహరణ, సంఖ్యకు వివరణ ఇవ్వడం ఇచక్రవడ్డీ సమస్యలో. సంఖ్య ఇఒక పరిమితి ఉంది 
. పొదుపు బ్యాంకులలో, వడ్డీ డబ్బు ఏటా స్థిర మూలధనానికి జోడించబడుతుంది. ప్రవేశం తరచుగా జరిగితే, పెద్ద మొత్తంలో వడ్డీ ఏర్పడటం వలన మూలధనం వేగంగా పెరుగుతుంది. పూర్తిగా సైద్ధాంతిక, చాలా సరళమైన ఉదాహరణను తీసుకుందాం. 100 మంది నిరాకరించిన వారిని బ్యాంకులో డిపాజిట్ చేయనివ్వండి. యూనిట్లు సంవత్సరానికి 100% ఆధారంగా. ఒక సంవత్సరం తర్వాత మాత్రమే వడ్డీ డబ్బును స్థిర మూలధనానికి జోడించినట్లయితే, ఈ కాలానికి 100 డెన్. యూనిట్లు 200 ద్రవ్య యూనిట్లుగా మారుతుంది. ఇప్పుడు 100 తిరస్కరణలు ఎలా మారతాయో చూద్దాం. యూనిట్లు, వడ్డీ డబ్బు ప్రతి ఆరు నెలలకు స్థిర మూలధనానికి జోడించబడితే. ఆరు నెలల తర్వాత, 100 డెన్. యూనిట్లు 100 వరకు పెరగనుంది×
1.5 = 150, మరియు మరో ఆరు నెలల తర్వాత - 150 వద్ద×
1.5 = 225 (డెన్. యూనిట్లు). ప్రవేశం సంవత్సరంలో ప్రతి 1/3 జరిగితే, ఒక సంవత్సరం తర్వాత 100 డెన్. యూనిట్లు 100గా మారుతుంది× (1 +1/3) 3 " 237 (డెన్. యూనిట్లు). మేము వడ్డీ డబ్బును 0.1 సంవత్సరం, 0.01 సంవత్సరం, 0.001 సంవత్సరం మొదలైన వాటికి జోడించే నిబంధనలను పెంచుతాము. అప్పుడు 100 డెన్ నుండి. యూనిట్లు ఒక సంవత్సరం తర్వాత ఇది ఉంటుంది:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (డెన్. యూనిట్లు),
100 × (1+1/100) 100 »270 (డెన్. యూనిట్లు),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (డెన్. యూనిట్లు).
వడ్డీని జోడించే నిబంధనలలో అపరిమిత తగ్గింపుతో, సంచిత మూలధనం నిరవధికంగా పెరగదు, కానీ సుమారుగా 271కి సమానమైన నిర్దిష్ట పరిమితిని చేరుకుంటుంది. సంవత్సరానికి 100% చొప్పున డిపాజిట్ చేయబడిన మూలధనం 2.71 రెట్లు ఎక్కువ పెరగదు, వడ్డీ పెరిగినప్పటికీ. పరిమితి కారణంగా ప్రతి సెకను రాజధానికి జోడించబడ్డాయి
ఉదాహరణ 3.1.సంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, శ్రేణి x n =(n-1)/n 1కి సమానమైన పరిమితిని కలిగి ఉందని నిరూపించండి.
పరిష్కారం.ఏది ఏమైనా మనం నిరూపించుకోవాలిε > 0, మనం దేనిని తీసుకున్నా, దానికి సహజ సంఖ్య N ఉంది అంటే అన్ని n Nకి అసమానత ఉంటుంది|x n -1|< ε.
ఏదైనా ఇ > 0 తీసుకుందాం. నుండి ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, అప్పుడు N ను కనుగొనడానికి 1/n అసమానతను పరిష్కరించడానికి సరిపోతుంది< ఇ. అందువల్ల n>1/ ఇ మరియు, కాబట్టి, N 1/ యొక్క పూర్ణాంకం భాగంగా తీసుకోవచ్చు e , N = E(1/ e ) పరిమితి అని మేము తద్వారా నిరూపించాము.
ఉదాహరణ 3.2
. సాధారణ పదం ద్వారా ఇవ్వబడిన క్రమం యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి 
.
పరిష్కారం.మొత్తం సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితిని వర్తింపజేద్దాం మరియు ప్రతి పదం యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి. ఎప్పుడు n→ ∞ ప్రతి పదం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతాయి మరియు మేము నేరుగా భాగస్వామ్య పరిమితి సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయలేము. అందువల్ల, మొదట మనం రూపాంతరం చెందుతాము x n, మొదటి పదం యొక్క లవం మరియు హారం ద్వారా విభజించడం n 2, మరియు రెండవది n. అప్పుడు, గుణకం యొక్క పరిమితి మరియు మొత్తం సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితిని వర్తింపజేస్తే, మేము కనుగొంటాము:
.
ఉదాహరణ 3.3. 
. కనుగొనండి.
పరిష్కారం. 
.
ఇక్కడ మేము డిగ్రీ సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితిని ఉపయోగించాము: డిగ్రీ యొక్క పరిమితి బేస్ యొక్క పరిమితి యొక్క డిగ్రీకి సమానం.
ఉదాహరణ 3.4
. కనుగొను ( 
).
పరిష్కారం.మేము రూపం యొక్క అనిశ్చితిని కలిగి ఉన్నందున, వ్యత్యాస సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితిని వర్తింపజేయడం అసాధ్యం ∞-∞ . సాధారణ పదం యొక్క సూత్రాన్ని మారుద్దాం:
.
ఉదాహరణ 3.5 . f(x)=2 1/x ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది. పరిమితి లేదని నిరూపించండి.
పరిష్కారం.ఒక క్రమం ద్వారా ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనం 1ని ఉపయోగిస్తాము. మనం 0కి మారుతున్న (x n) క్రమాన్ని తీసుకుందాం, అనగా. f(x n)= విలువ వేర్వేరు శ్రేణులకు భిన్నంగా ప్రవర్తిస్తుందని చూపిద్దాం. x n = 1/n లెట్. సహజంగానే, అప్పుడు పరిమితి 
ఇప్పుడు ఇలా ఎంచుకుందాం x n x n = -1/n అనే సాధారణ పదంతో కూడిన క్రమం, సున్నాకి కూడా ఉంటుంది. 
అందువల్ల పరిమితి లేదు.
ఉదాహరణ 3.6 . పరిమితి లేదని నిరూపించండి.
పరిష్కారం.x 1 , x 2 ,..., x n ,... అనేవి సీక్వెన్స్‌గా ఉండనివ్వండి
. వివిధ x n → ∞ కోసం క్రమం (f(x n)) = (sin x n) ఎలా ప్రవర్తిస్తుంది
x n = p n అయితే, sin x n = sin p అందరికీ n = 0 nమరియు పరిమితి ఉంటే
x n =2 p n+ p /2, అప్పుడు sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p అందరికీ /2 = 1 nఅందువలన పరిమితి. కనుక ఇది ఉనికిలో లేదు.
ఆన్‌లైన్‌లో పరిమితులను లెక్కించడానికి విడ్జెట్
ఎగువ విండోలో, sin(x)/x బదులుగా, మీరు కనుగొనాలనుకుంటున్న పరిమితిని నమోదు చేయండి. దిగువ విండోలో, x ఉండే సంఖ్యను నమోదు చేయండి మరియు కాలిక్యులర్ బటన్‌ను క్లిక్ చేయండి, కావలసిన పరిమితిని పొందండి. మరియు ఫలిత విండోలో మీరు ఎగువ కుడి మూలలో ఉన్న దశలను చూపుపై క్లిక్ చేస్తే, మీరు వివరణాత్మక పరిష్కారం పొందుతారు.
ఫంక్షన్లను నమోదు చేయడానికి నియమాలు: sqrt(x) - వర్గమూలం, cbrt(x) - క్యూబ్ రూట్, exp(x) - ఘాతాంకం, ln(x) - సహజ సంవర్గమానం, sin(x) - సైన్, cos(x) - కొసైన్, tan (x) - టాంజెంట్, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. సంకేతాలు: * గుణకారం, / భాగహారం, ^ ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్, బదులుగా అనంతంఅనంతం. ఉదాహరణ: ఫంక్షన్ sqrt(tan(x/2))గా నమోదు చేయబడింది.
విద్యార్థులు మరియు పాఠశాల పిల్లలు వారు కవర్ చేసిన మెటీరియల్‌ను పూర్తిగా ఏకీకృతం చేయడానికి మరియు వారి ఆచరణాత్మక నైపుణ్యాలకు శిక్షణ ఇవ్వడానికి సైట్‌లో ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్. మా వనరుపై ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌ను ఎలా ఉపయోగించాలి? ఇది చాలా సులభంగా చేయవచ్చు, మీరు అందుబాటులో ఉన్న ఫీల్డ్‌లో అసలు ఫంక్షన్‌ను నమోదు చేయాలి, సెలెక్టర్ నుండి వేరియబుల్ కోసం అవసరమైన పరిమితి విలువను ఎంచుకోండి మరియు "సొల్యూషన్" బటన్‌పై క్లిక్ చేయండి. ఏదో ఒక సమయంలో మీరు పరిమితి విలువను లెక్కించవలసి వస్తే, మీరు ఈ పాయింట్ యొక్క విలువను నమోదు చేయాలి - సంఖ్యా లేదా సింబాలిక్. ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ మీకు ఇచ్చిన పాయింట్‌లో, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క విరామంలో పరిమితి, పరిమితి యొక్క విలువ మరియు ఈ విలువను కనుగొనడంలో మీకు సహాయం చేస్తుంది, ఇక్కడ అధ్యయనంలో ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క విలువ ఇవ్వబడినదానికి పరుగెత్తినప్పుడు దాని విలువ పరుగెత్తుతుంది. పాయింట్, పరిమితి యొక్క పరిష్కారం. మా వెబ్‌సైట్‌లోని ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ ఆధారంగా, మేము ఈ క్రింది వాటిని చెప్పగలము - ఇంటర్నెట్‌లో భారీ సంఖ్యలో అనలాగ్‌లు ఉన్నాయి, మీరు విలువైన వాటిని కనుగొనవచ్చు, మీరు వాటి కోసం కష్టపడి వెతకాలి. కానీ ఇక్కడ మీరు ఒక సైట్ మరొక సైట్ నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది అనే వాస్తవాన్ని ఎదుర్కొంటారు. వారిలో చాలా మంది మనలా కాకుండా ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌ను అందించరు. ఏదైనా ప్రసిద్ధ శోధన ఇంజిన్‌లో, అది Yandex లేదా Google అయినా, మీరు "ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్" అనే పదబంధాన్ని ఉపయోగించి సైట్‌ల కోసం శోధిస్తే, ఆ సైట్ శోధన ఫలితాల ఎగువన కనిపిస్తుంది. అంటే ఈ శోధన ఇంజిన్‌లు మమ్మల్ని విశ్వసిస్తాయని మరియు మా సైట్‌లో అధిక-నాణ్యత కంటెంట్ మాత్రమే ఉంది మరియు ముఖ్యంగా పాఠశాలలు మరియు విశ్వవిద్యాలయాల విద్యార్థులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది! పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌ల గురించి మరియు సాధారణంగా పరిమితికి ప్రకరణం యొక్క సిద్ధాంతం గురించి సంభాషణను కొనసాగిద్దాం. చాలా తరచుగా, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనంలో, పొరుగు ప్రాంతాల భావన రూపొందించబడింది. ఇక్కడ, ఫంక్షన్ల పరిమితులు, అలాగే ఈ పరిమితులకు పరిష్కారం, ఫంక్షన్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు పరిమితం చేసే పాయింట్ల వద్ద మాత్రమే అధ్యయనం చేయబడతాయి, అటువంటి పాయింట్ యొక్క ప్రతి పరిసరాల్లో నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి పాయింట్లు ఉన్నాయని తెలుసుకోవడం. ఈ ఫంక్షన్. ఇది ఇచ్చిన పాయింట్‌కి వేరియబుల్ ఫంక్షన్ యొక్క ధోరణి గురించి మాట్లాడటానికి అనుమతిస్తుంది. ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం డొమైన్‌లో ఏదో ఒక సమయంలో పరిమితి ఉంటే మరియు ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క వివరణాత్మక పరిమితి పరిష్కారాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తే, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ నిరంతరంగా మారుతుంది. పరిష్కారంతో మా ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ కొంత సానుకూల ఫలితాన్ని అందించనివ్వండి మరియు మేము దానిని ఇతర సైట్‌లలో తనిఖీ చేస్తాము. ఇది మా వనరు యొక్క నాణ్యతను రుజువు చేయగలదు మరియు చాలా మందికి ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, ఇది అత్యుత్తమంగా ఉంది మరియు అత్యధిక ప్రశంసలకు అర్హమైనది. దీనితో పాటు, ఒక వివరణాత్మక పరిష్కారంతో ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ యొక్క పరిమితులను స్వతంత్రంగా అధ్యయనం చేయడం సాధ్యపడుతుంది, కానీ ఒక ప్రొఫెషనల్ టీచర్ దగ్గరి పర్యవేక్షణలో. తరచుగా ఈ చర్య ఆశించిన ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది. ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ సెమిస్టర్ ప్రారంభంలో ఉపాధ్యాయుడు కేటాయించిన వారి సంక్లిష్ట సమస్యను వివరంగా వివరిస్తుందని విద్యార్థులందరూ కలలు కంటారు. కానీ అది అంత సులభం కాదు. మీరు మొదట సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేసి, ఆపై ఉచిత కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించాలి. ఆన్‌లైన్ పరిమితుల మాదిరిగానే, కాలిక్యులేటర్ మీకు అవసరమైన ఎంట్రీలను వివరంగా ఇస్తుంది మరియు మీరు ఫలితంతో సంతృప్తి చెందుతారు. కానీ డెఫినిషన్ డొమైన్ యొక్క పరిమితి స్థానం ఈ నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినది కాకపోవచ్చు మరియు ఇది ఆన్‌లైన్‌లో పరిమితుల కాలిక్యులేటర్ యొక్క వివరణాత్మక గణన ద్వారా నిరూపించబడింది. ఉదాహరణ: మన ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన ఓపెన్ సెగ్మెంట్ చివర్లలో ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని మనం పరిగణించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, సెగ్మెంట్ యొక్క సరిహద్దులు నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో చేర్చబడలేదు. ఈ కోణంలో, ఈ పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతాల వ్యవస్థ అటువంటి ఉపసమితుల బేస్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. వివరణాత్మక పరిష్కారంతో కూడిన ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ నిజ సమయంలో ఉత్పత్తి చేయబడుతుంది మరియు ఇచ్చిన స్పష్టమైన విశ్లేషణాత్మక రూపంలో దానికి సూత్రాలు వర్తింపజేయబడతాయి. వివరణాత్మక పరిష్కారంతో ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించి ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి అనేది ఒక క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క భావన యొక్క సాధారణీకరణ: ప్రారంభంలో, ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి డొమైన్ యొక్క మూలకాల శ్రేణి యొక్క పరిమితిగా అర్థం చేసుకోబడింది. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క, ఇచ్చిన బిందువుకు (పరిగణింపబడే పరిమితి) ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క మూలకాల శ్రేణి యొక్క పాయింట్ల చిత్రాలతో కూడి ఉంటుంది; అటువంటి పరిమితి ఉన్నట్లయితే, ఫంక్షన్ పేర్కొన్న విలువకు కలుస్తుంది; అటువంటి పరిమితి లేనట్లయితే, ఫంక్షన్ వేరుగా ఉంటుంది. సాధారణంగా, చెప్పాలంటే, పరిమితికి ప్రకరణం యొక్క సిద్ధాంతం అన్ని గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమిక భావన. ప్రతిదీ ఖచ్చితంగా పరిమితులకు సంబంధించిన భాగాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అంటే పరిమితుల యొక్క వివరణాత్మక పరిష్కారం గణిత విశ్లేషణ యొక్క శాస్త్రం యొక్క ఆధారం మరియు ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ విద్యార్థుల శిక్షణకు పునాది వేస్తుంది. వెబ్‌సైట్‌లో వివరణాత్మక పరిష్కారంతో కూడిన ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ నిజ సమయంలో ఖచ్చితమైన మరియు తక్షణ సమాధానాన్ని స్వీకరించడానికి ఒక ప్రత్యేక సేవ. ఇది అసాధారణం కాదు, లేదా చాలా తరచుగా, ప్రారంభంలో గణిత విశ్లేషణను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు విద్యార్థులకు వెంటనే పరిమితులను పరిష్కరించడంలో ఇబ్బంది ఉంటుంది. మా సేవలో ఆన్‌లైన్‌లో కాలిక్యులేటర్‌తో పరిమితులను పరిష్కరించడం ఖచ్చితత్వానికి కీలకమని మరియు అధిక-నాణ్యత సమాధానాన్ని పొందడం అని మేము హామీ ఇస్తున్నాము. తక్షణమే. మీరు తప్పు డేటాను అందిస్తే, అంటే, సిస్టమ్ ఆమోదయోగ్యం కాని అక్షరాలు, ఫర్వాలేదు, సేవ స్వయంచాలకంగా లోపాన్ని మీకు తెలియజేస్తుంది. ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగించి గతంలో నమోదు చేసిన ఫంక్షన్‌ను (లేదా పరిమితి పాయింట్) సరి చేయండి మరియు సరైన వివరణాత్మక పరిష్కారాన్ని పొందండి. మమ్మల్ని నమ్మండి మరియు మేము మిమ్మల్ని ఎప్పటికీ నిరాశపరచము. మీరు సైట్‌ను సులభంగా ఉపయోగించవచ్చు మరియు పరిష్కారంతో ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ సమస్యను గణించడానికి దశల వారీ చర్యలను వివరంగా వివరిస్తుంది. మీరు కేవలం కొన్ని సెకన్లు వేచి ఉండాలి మరియు మీరు కోరుకున్న సమాధానం అందుకుంటారు. వివరణాత్మక పరిష్కారంతో ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్‌తో పరిమితులను పరిష్కరించడానికి, సాధ్యమయ్యే అన్ని పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి, ముఖ్యంగా L'Hopital యొక్క పద్ధతి చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఇది సార్వత్రికమైనది మరియు ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని లెక్కించే ఇతర పద్ధతుల కంటే వేగంగా సమాధానానికి దారితీస్తుంది. సంఖ్యల శ్రేణి మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి తరచుగా పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌తో కూడిన ఆన్‌లైన్ వివరణాత్మక పరిష్కారం అవసరం. మీకు తెలిసినట్లుగా, సంఖ్యా శ్రేణి మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ఈ క్రమం యొక్క పాక్షిక మొత్తాన్ని సరిగ్గా వ్యక్తీకరించాలి, ఆపై మా ఉచిత సేవా వెబ్‌సైట్‌ని ఉపయోగించి, పాక్షికం నుండి మా ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌ను ఉపయోగించి పరిమితిని లెక్కించడం వలన ప్రతిదీ చాలా సులభం. మొత్తం సంఖ్యా క్రమం యొక్క చివరి మొత్తం అవుతుంది. వెబ్‌సైట్ సేవను ఉపయోగించి ఆన్‌లైన్‌లో పరిమితుల కాలిక్యులేటర్ యొక్క వివరణాత్మక పరిష్కారం విద్యార్థులు సమస్యలను పరిష్కరించడంలో పురోగతిని చూడటానికి అనుమతిస్తుంది, ఇది పరిమితుల సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకోవడం సులభం మరియు దాదాపు ప్రతి ఒక్కరికీ అందుబాటులో ఉంటుంది. ఏకాగ్రతతో ఉండండి మరియు మీ తప్పు చర్యలు గ్రేడ్‌లు విఫలమయ్యే రూపంలో మీకు ఇబ్బంది కలిగించనివ్వవద్దు. పరిమితి కాలిక్యులేటర్ ఆన్‌లైన్ సేవతో ఏదైనా వివరణాత్మక పరిష్కారం వలె, సమస్య అనుకూలమైన మరియు అర్థమయ్యే రూపంలో, వివరణాత్మక పరిష్కారంతో, పరిష్కారాన్ని పొందడం కోసం అన్ని నియమాలు మరియు నిబంధనలకు అనుగుణంగా అందించబడుతుంది.. అదే సమయంలో, మీరు సేవ్ చేయవచ్చు సమయం మరియు డబ్బు, మేము దీని కోసం ఖచ్చితంగా ఏమీ అడగదు కాబట్టి . మా వెబ్‌సైట్‌లో, ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌ల యొక్క వివరణాత్మక పరిష్కారం రోజుకు ఇరవై నాలుగు గంటలూ అందుబాటులో ఉంటుంది. వాస్తవానికి, పరిష్కారంతో కూడిన అన్ని ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌లు దశల వారీ పరిష్కారం యొక్క పురోగతి గురించి వివరణాత్మక సమాచారాన్ని అందించకపోవచ్చు; వివరణాత్మక పరిష్కారంతో ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ యొక్క పరిమితులు మిమ్మల్ని "సొల్యూషన్" బటన్‌పై క్లిక్ చేయమని ప్రాంప్ట్ చేసిన వెంటనే, దయచేసి ముందుగా ప్రతిదీ తనిఖీ చేయండి. అంటే, నమోదు చేసిన ఫంక్షన్‌ను, పరిమితి విలువను కూడా తనిఖీ చేయండి మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే చర్యను కొనసాగించండి. ఇది విజయవంతం కాని లెక్కల బాధాకరమైన అనుభవాల నుండి మిమ్మల్ని కాపాడుతుంది. ఆపై వివరణాత్మక చట్టంతో ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ యొక్క పరిమితులు దశల వారీ చర్య యొక్క సరైన కారకమైన ప్రాతినిధ్యాన్ని ఇస్తాయి. ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ అకస్మాత్తుగా వివరణాత్మక పరిష్కారాన్ని అందించకపోతే, దీనికి అనేక కారణాలు ఉండవచ్చు. ముందుగా, వ్రాసిన ఫంక్షన్ వ్యక్తీకరణను తనిఖీ చేయండి. ఇది తప్పనిసరిగా వేరియబుల్ "x"ని కలిగి ఉండాలి, లేకపోతే మొత్తం ఫంక్షన్ సిస్టమ్ ద్వారా స్థిరంగా పరిగణించబడుతుంది. తర్వాత, మీరు ఇచ్చిన పాయింట్ లేదా సింబాలిక్ విలువను పేర్కొన్నట్లయితే పరిమితి విలువను తనిఖీ చేయండి. ఇది లాటిన్ అక్షరాలను మాత్రమే కలిగి ఉండాలి - ఇది ముఖ్యం! ఆపై మీరు మా అద్భుతమైన సేవలో ఆన్‌లైన్‌లో పరిమితులకు వివరణాత్మక పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి మళ్లీ ప్రయత్నించవచ్చు మరియు ఫలితాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. వివరంగా ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కారం యొక్క పరిమితులు చాలా కష్టం అని వారు చెప్పిన వెంటనే - దానిని నమ్మవద్దు మరియు ముఖ్యంగా భయపడవద్దు, శిక్షణా కోర్సు యొక్క చట్రంలో ప్రతిదీ పరిష్కరించబడుతుంది. మీరు భయాందోళన లేకుండా, మా సేవకు కొన్ని నిమిషాలు కేటాయించి, ఇచ్చిన వ్యాయామాన్ని తనిఖీ చేయాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. అయినప్పటికీ, ఆన్‌లైన్ పరిష్కారం యొక్క పరిమితులను వివరంగా పరిష్కరించలేకపోతే, మీరు అక్షరదోషం చేసారు, లేకపోతే సైట్ ఏదైనా సమస్యను చాలా ఇబ్బంది లేకుండా పరిష్కరిస్తుంది. కానీ మీరు కష్టపడకుండా మరియు పెట్టుబడి లేకుండానే ఆశించిన ఫలితాన్ని వెంటనే పొందవచ్చని మీరు ఆలోచించాల్సిన అవసరం లేదు. ఏదైనా సందర్భంలో, మీరు పదార్థాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి తగినంత సమయాన్ని కేటాయించాలి. బహిర్గతమైన పరిష్కారాన్ని నిర్మించే దశలో ప్రతి పరిమితి కాలిక్యులేటర్‌ను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కారంతో వివరంగా చూపడం మరియు వ్యతిరేకతను ఊహించడం సాధ్యమవుతుంది. కానీ శాస్త్రీయ విధానం యొక్క ప్రక్రియ గురించి మేము ఆందోళన చెందుతున్నాము కాబట్టి దీన్ని ఎలా వ్యక్తీకరించాలో పట్టింపు లేదు. ఫలితంగా, ఆన్‌లైన్ సొల్యూషన్‌తో పరిమితి కాలిక్యులేటర్ ఎలా గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రాథమిక అంశంపై వివరంగా ఆధారపడి ఉందో మేము చూపుతాము. ఐదు ప్రాథమిక సూత్రాలను హైలైట్ చేయండి మరియు తదుపరి చర్యలను ప్రారంభించండి. ప్రతి ఒక్కరికీ వివరణాత్మక పరిష్కారంతో పరిమితి కాలిక్యులేటర్ పరిష్కారం ఆన్‌లైన్‌లో అందుబాటులో ఉందా అని మీరు అడగబడతారు మరియు మీరు సమాధానం ఇస్తారు - అవును! బహుశా ఈ కోణంలో ఫలితాలపై ప్రత్యేక దృష్టి ఉండదు, కానీ ఆన్‌లైన్ పరిమితి క్రమశిక్షణను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు మొదట కనిపించే దానికంటే కొంచెం భిన్నమైన అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. సమతుల్య విధానంతో, సరైన శక్తుల సమతుల్యతతో, మీరు వీలైనంత తక్కువ సమయంలో ఆన్‌లైన్ పరిమితిని వివరంగా ప్రదర్శించవచ్చు.! వాస్తవానికి, పరిష్కారంతో కూడిన ఆన్‌లైన్ పరిమితి కాలిక్యులేటర్ దశల వారీ గణన యొక్క అన్ని దశలను త్వరగా దామాషా ప్రకారం సూచించడం ప్రారంభమవుతుంది.
పరిమితులను ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకోవాలనుకునే వారికి, ఈ వ్యాసంలో మేము దాని గురించి మీకు తెలియజేస్తాము. ఉపాధ్యాయులు సాధారణంగా ఉపన్యాసాలలో ఇచ్చే సిద్ధాంతాన్ని మేము పరిశోధించము. కాబట్టి "బోరింగ్ థియరీ" మీ నోట్‌బుక్‌లలో వ్రాయబడాలి. ఇది కాకపోతే, మీరు విద్యా సంస్థ యొక్క లైబ్రరీ నుండి లేదా ఇతర ఇంటర్నెట్ వనరుల నుండి తీసుకున్న పాఠ్యపుస్తకాలను చదవవచ్చు.
కాబట్టి, ఉన్నత గణిత శాస్త్రాన్ని అధ్యయనం చేయడంలో పరిమితి అనే భావన చాలా ముఖ్యమైనది, ప్రత్యేకించి మీరు సమగ్ర కాలిక్యులస్‌ని చూసినప్పుడు మరియు పరిమితి మరియు సమగ్ర మధ్య సంబంధాన్ని అర్థం చేసుకున్నప్పుడు. ప్రస్తుత మెటీరియల్ సాధారణ ఉదాహరణలతో పాటు వాటిని పరిష్కరించడానికి మార్గాలను పరిశీలిస్తుంది.
పరిష్కారాల ఉదాహరణలు
| ఉదాహరణ 1 |
| ఎ) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; బి)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| పరిష్కారం |
|
ఎ) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ బి)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ ప్రజలు తరచుగా ఈ పరిమితులను పరిష్కరించడంలో సహాయం కోసం అభ్యర్థనతో మాకు పంపుతారు. మేము వాటిని ప్రత్యేక ఉదాహరణగా హైలైట్ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నాము మరియు ఈ పరిమితులను ఒక నియమం వలె గుర్తుంచుకోవాల్సిన అవసరం ఉందని వివరించాము. మీరు మీ సమస్యను పరిష్కరించలేకపోతే, దానిని మాకు పంపండి. మేము వివరణాత్మక పరిష్కారాన్ని అందిస్తాము. మీరు గణన పురోగతిని వీక్షించగలరు మరియు సమాచారాన్ని పొందగలరు. ఇది సకాలంలో మీ ఉపాధ్యాయుని నుండి మీ గ్రేడ్‌ను పొందడానికి మీకు సహాయం చేస్తుంది! |
| సమాధానం |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితితో ఏమి చేయాలి: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| ఉదాహరణ 3 |
| $ \lim \పరిమితులు_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ని పరిష్కరించండి |
| పరిష్కారం |
|
ఎప్పటిలాగే, మేము $ x $ విలువను పరిమితి గుర్తు క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేయడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ ఇప్పుడు తర్వాత ఏమిటి? చివరికి ఏం జరగాలి? ఇది అనిశ్చితి కాబట్టి, ఇది ఇంకా సమాధానం కాదు మరియు మేము గణనను కొనసాగిస్తాము. మేము న్యూమరేటర్‌లలో బహుపదిని కలిగి ఉన్నందున, పాఠశాల నుండి ప్రతి ఒక్కరికీ తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మేము దానిని ఫ్యాక్టర్‌గా మారుస్తాము $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. నీకు గుర్తుందా? గొప్ప! ఇప్పుడు ముందుకు సాగండి మరియు దానిని పాటతో ఉపయోగించండి :) న్యూమరేటర్ $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ అని మేము కనుగొన్నాము పై పరివర్తనను పరిగణనలోకి తీసుకొని మేము పరిష్కరించడం కొనసాగిస్తాము: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| సమాధానం |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
చివరి రెండు ఉదాహరణలలోని పరిమితిని అనంతానికి పుష్ చేద్దాం మరియు అనిశ్చితిని పరిశీలిద్దాం: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| ఉదాహరణ 5 |
| $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ని లెక్కించండి |
| పరిష్కారం |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ ఏం చేయాలి? నేనేం చేయాలి? భయపడవద్దు, ఎందుకంటే అసాధ్యం సాధ్యమే. న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ xని తీసివేసి, ఆపై దానిని తగ్గించడం అవసరం. దీని తరువాత, పరిమితిని లెక్కించడానికి ప్రయత్నించండి. ప్రయత్నిద్దాం... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ ఉదాహరణ 2 నుండి నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి మరియు x కోసం అనంతాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| సమాధానం |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
పరిమితులను లెక్కించడానికి అల్గోరిథం
కాబట్టి, ఉదాహరణలను క్లుప్తంగా సంగ్రహించండి మరియు పరిమితులను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథంను రూపొందించండి:
- పరిమితి గుర్తును అనుసరించి వ్యక్తీకరణలో పాయింట్ xని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య లేదా అనంతం పొందినట్లయితే, అప్పుడు పరిమితి పూర్తిగా పరిష్కరించబడుతుంది. లేకపోతే, మనకు అనిశ్చితి ఉంది: "సున్నాతో విభజించబడిన సున్నా" లేదా "అనంతం ద్వారా విభజించబడిన అనంతం" మరియు సూచనల తదుపరి దశలకు వెళ్లండి.
- "సున్నాతో భాగించబడిన సున్నా" యొక్క అనిశ్చితిని తొలగించడానికి, మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారంను కారకం చేయాలి. ఇలాంటి వాటిని తగ్గించండి. పరిమితి గుర్తు కింద వ్యక్తీకరణలో పాయింట్ xని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.
- అనిశ్చితి "అనంతం ద్వారా విభజించబడిన అనంతం" అయితే, మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం x రెండింటినీ గొప్ప స్థాయికి తీసుకుంటాము. మేము X లను తగ్గించాము. మేము x విలువలను పరిమితి క్రింద నుండి మిగిలిన వ్యక్తీకరణలోకి మారుస్తాము.
ఈ వ్యాసంలో, మీరు తరచుగా కాలిక్యులస్ కోర్సులో ఉపయోగించే పరిమితులను పరిష్కరించే ప్రాథమికాలను నేర్చుకున్నారు. వాస్తవానికి, ఇవి ఎగ్జామినర్లు అందించే అన్ని రకాల సమస్యలు కాదు, కానీ సరళమైన పరిమితులు మాత్రమే. మేము భవిష్యత్ కథనాలలో ఇతర రకాల అసైన్‌మెంట్‌ల గురించి మాట్లాడుతాము, అయితే ముందుగా మీరు ముందుకు వెళ్లడానికి ఈ పాఠాన్ని నేర్చుకోవాలి. మూలాలు, డిగ్రీలు, అధ్యయనం అనంతమైన సమానమైన విధులు, విశేషమైన పరిమితులు, L'Hopital నియమం ఉంటే ఏమి చేయాలో చర్చిద్దాం.
మీరు పరిమితులను మీరే గుర్తించలేకపోతే, భయపడవద్దు. సహాయం చేయడానికి మేము ఎల్లప్పుడూ సంతోషంగా ఉన్నాము!
పరిమితుల సిద్ధాంతం గణిత విశ్లేషణ యొక్క శాఖలలో ఒకటి. పరిమితులను పరిష్కరించే ప్రశ్న చాలా విస్తృతమైనది, ఎందుకంటే వివిధ రకాల పరిమితులను పరిష్కరించడానికి డజన్ల కొద్దీ పద్ధతులు ఉన్నాయి. ఈ లేదా ఆ పరిమితిని పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే డజన్ల కొద్దీ సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు మరియు ఉపాయాలు ఉన్నాయి. అయినప్పటికీ, ఆచరణలో తరచుగా ఎదుర్కొనే పరిమితుల యొక్క ప్రధాన రకాలను అర్థం చేసుకోవడానికి మేము ఇప్పటికీ ప్రయత్నిస్తాము.
పరిమితి అనే భావనతో ప్రారంభిద్దాం. కానీ ముందుగా, సంక్షిప్త చారిత్రక నేపథ్యం. 19వ శతాబ్దంలో అగస్టిన్ లూయిస్ కౌచీ అనే ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి నివసించాడు, అతను గణిత విశ్లేషణకు పునాదులు వేసాడు మరియు ఖచ్చితమైన నిర్వచనాలు, పరిమితి యొక్క నిర్వచనం ఇచ్చాడు. అతను గణిత విశ్లేషణ యొక్క భారీ సంఖ్యలో సిద్ధాంతాలను నిరూపించాడు మరియు ప్రతి సిద్ధాంతం మరొకదాని కంటే అసహ్యకరమైనది కాబట్టి, ఇదే కౌచీ భౌతిక మరియు గణిత శాస్త్ర విద్యార్థులందరి పీడకలలలో ఉంది, ఉంది మరియు ఉంటుందని చెప్పాలి. ఈ విషయంలో, మేము పరిమితి యొక్క ఖచ్చితమైన నిర్వచనాన్ని పరిగణించము, కానీ రెండు పనులను చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము:
1. పరిమితి అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోండి.
2. పరిమితుల యొక్క ప్రధాన రకాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోండి.
కొన్ని అశాస్త్రీయ వివరణలకు నేను క్షమాపణలు కోరుతున్నాను, టీపాట్‌కు కూడా పదార్థం అర్థమయ్యేలా ఉండటం ముఖ్యం, వాస్తవానికి ఇది ప్రాజెక్ట్ యొక్క పని.
కాబట్టి పరిమితి ఏమిటి?
మరియు బామ్మను ఎందుకు షాగీ చేయాలి అనేదానికి ఒక ఉదాహరణ...
ఏదైనా పరిమితి మూడు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది:
1) బాగా తెలిసిన పరిమితి చిహ్నం.
2) పరిమితి చిహ్నం క్రింద నమోదులు, ఈ సందర్భంలో . ఎంట్రీలో “X ఒకరికి మొగ్గు చూపుతుంది.” చాలా తరచుగా - ఖచ్చితంగా, ఆచరణలో “X” కి బదులుగా ఇతర వేరియబుల్స్ ఉన్నప్పటికీ. ఆచరణాత్మక పనులలో, ఒకరి స్థానం ఖచ్చితంగా ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు, అలాగే అనంతం ().
3) పరిమితి గుర్తు కింద విధులు, ఈ సందర్భంలో .
రికార్డింగ్ కూడా 
ఇలా చదువుతుంది: "x వంటి ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఐక్యతను కలిగి ఉంటుంది."
తదుపరి ముఖ్యమైన ప్రశ్నను చూద్దాం - “x” వ్యక్తీకరణకు అర్థం ఏమిటి? కృషి చేస్తుందిఒకరికి"? మరియు "ప్రయత్నించు" అంటే ఏమిటి?
పరిమితి యొక్క భావన ఒక భావన, మాట్లాడటానికి, డైనమిక్. ఒక క్రమాన్ని రూపొందిద్దాం: మొదట , తరువాత , …, 
, ….
అంటే, “x కృషి చేస్తుందిఒకరికి” ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి: “x” స్థిరంగా విలువలను తీసుకుంటుంది ఇది ఐక్యతను సమీపిస్తుంది మరియు ఆచరణాత్మకంగా దానితో సమానంగా ఉంటుంది.
పై ఉదాహరణను ఎలా పరిష్కరించాలి? పైన పేర్కొన్నదాని ఆధారంగా, మీరు పరిమితి గుర్తు క్రింద ఫంక్షన్‌లో ఒకదాన్ని భర్తీ చేయాలి:
కాబట్టి, మొదటి నియమం: ఏదైనా పరిమితిని ఇచ్చినప్పుడు, ముందుగా మనం ఫంక్షన్‌లో నంబర్‌ను ప్లగ్ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము.
మేము సరళమైన పరిమితిని పరిగణించాము, కానీ ఇవి ఆచరణలో కూడా జరుగుతాయి మరియు చాలా అరుదుగా కాదు!
అనంతం తో ఉదాహరణ:
అది ఏమిటో తెలుసుకుందాం? ఇది పరిమితి లేకుండా పెరిగినప్పుడు ఇది జరుగుతుంది, అంటే: మొదట, ఆపై, ఆపై, ఆపై, మరియు ప్రకటన అనంతం.
ఈ సమయంలో ఫంక్షన్‌కు ఏమి జరుగుతుంది?
, , 
, …
కాబట్టి: ఉంటే , అప్పుడు ఫంక్షన్ మైనస్ అనంతానికి ఉంటుంది:
స్థూలంగా చెప్పాలంటే, మన మొదటి నియమం ప్రకారం, “X”కి బదులుగా మేము అనంతాన్ని ఫంక్షన్‌లో భర్తీ చేస్తాము మరియు సమాధానాన్ని పొందుతాము.
అనంతంతో మరొక ఉదాహరణ:
మళ్ళీ మనం అనంతానికి పెరగడం ప్రారంభిస్తాము మరియు ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనను చూడండి: 
ముగింపు: ఫంక్షన్ పరిమితి లేకుండా పెరిగినప్పుడు:
మరియు మరొక ఉదాహరణల శ్రేణి:
దయచేసి మీ కోసం క్రింది వాటిని మానసికంగా విశ్లేషించడానికి ప్రయత్నించండి మరియు సరళమైన పరిమితుల రకాలను గుర్తుంచుకోండి:
, , , , 
, , , , 
,
మీకు ఏవైనా సందేహాలు ఉంటే, మీరు కాలిక్యులేటర్‌ని ఎంచుకొని కొద్దిగా ప్రాక్టీస్ చేయవచ్చు.
ఆ సందర్భంలో, క్రమాన్ని నిర్మించడానికి ప్రయత్నించండి , . అయితే , అప్పుడు , , .
గమనిక: ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, అనేక సంఖ్యల క్రమాలను నిర్మించే ఈ విధానం తప్పు, కానీ సరళమైన ఉదాహరణలను అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది చాలా సరిఅయినది.
ఈ క్రింది విషయానికి కూడా శ్రద్ధ వహించండి. ఎగువన పెద్ద సంఖ్యతో పరిమితి ఇచ్చినా, లేదా మిలియన్‌తో ఉన్నప్పటికీ: , అప్పుడు అంతా ఒకటే 
, త్వరలో లేదా తరువాత “X” అటువంటి భారీ విలువలను తీసుకుంటుంది, వాటితో పోలిస్తే మిలియన్ నిజమైన సూక్ష్మజీవి అవుతుంది.
పై నుండి మీరు ఏమి గుర్తుంచుకోవాలి మరియు అర్థం చేసుకోవాలి?
1) ఏదైనా పరిమితిని ఇచ్చినప్పుడు, ముందుగా మనం ఆ సంఖ్యను ఫంక్షన్‌లో భర్తీ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము.
2) మీరు అర్థం చేసుకోవాలి మరియు తక్షణమే సరళమైన పరిమితులను పరిష్కరించాలి 
, , మొదలైనవి
ఇప్పుడు మనం పరిమితుల సమూహాన్ని ఎప్పుడు పరిగణిస్తాము మరియు ఫంక్షన్ అనేది ఒక భిన్నం, దీని లవం మరియు హారం బహుపదిలను కలిగి ఉంటాయి
ఉదాహరణ:
పరిమితిని లెక్కించండి 
మా నియమం ప్రకారం, మేము ఫంక్షన్‌లో అనంతాన్ని భర్తీ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. ఎగువన మనం ఏమి పొందుతాము? అనంతం. మరియు క్రింద ఏమి జరుగుతుంది? అలాగే అనంతం. అందువల్ల మనకు జాతుల అనిశ్చితి అని పిలుస్తారు. అని ఒకరు అనుకోవచ్చు , మరియు సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది, కానీ సాధారణ సందర్భంలో ఇది అస్సలు కాదు మరియు కొన్ని పరిష్కార సాంకేతికతను వర్తింపజేయడం అవసరం, దానిని మనం ఇప్పుడు పరిశీలిస్తాము.
ఈ రకమైన పరిమితులను ఎలా పరిష్కరించాలి?
మొదట మేము న్యూమరేటర్‌ను చూస్తాము మరియు అత్యధిక శక్తిని కనుగొంటాము: 
న్యూమరేటర్‌లో ప్రధాన శక్తి రెండు.
ఇప్పుడు మేము హారంని చూస్తాము మరియు దానిని అత్యధిక శక్తికి కూడా కనుగొంటాము: 
హారం యొక్క అత్యధిక డిగ్రీ రెండు.
అప్పుడు మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క అత్యధిక శక్తిని ఎంచుకుంటాము: ఈ ఉదాహరణలో, అవి ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు రెండింటికి సమానంగా ఉంటాయి.
కాబట్టి, పరిష్కార పద్ధతి క్రింది విధంగా ఉంది: అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి, అత్యధిక శక్తితో న్యూమరేటర్ మరియు హారంను విభజించడం అవసరం.
ఇక్కడ ఇది సమాధానం, మరియు అనంతం కాదు.
నిర్ణయం రూపకల్పనలో ప్రాథమికంగా ముఖ్యమైనది ఏమిటి?
ముందుగా, మేము అనిశ్చితిని సూచిస్తాము, ఏదైనా ఉంటే.
రెండవది, ఇంటర్మీడియట్ వివరణల కోసం పరిష్కారానికి అంతరాయం కలిగించడం మంచిది. నేను సాధారణంగా గుర్తును ఉపయోగిస్తాను, దీనికి గణిత శాస్త్ర అర్థం లేదు, కానీ ఇంటర్మీడియట్ వివరణ కోసం పరిష్కారం అంతరాయం కలిగిందని అర్థం.
మూడవదిగా, పరిమితిలో ఎక్కడికి వెళుతుందో గుర్తించడం మంచిది. పని చేతితో గీసినప్పుడు, ఈ విధంగా చేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది: 
నోట్స్ కోసం సాధారణ పెన్సిల్ ఉపయోగించడం మంచిది.
వాస్తవానికి, మీరు వీటిలో దేనినీ చేయవలసిన అవసరం లేదు, కానీ అప్పుడు, బహుశా, ఉపాధ్యాయుడు పరిష్కారంలో లోపాలను ఎత్తి చూపుతారు లేదా అప్పగించిన గురించి అదనపు ప్రశ్నలను అడగడం ప్రారంభిస్తారు. మీకు ఇది అవసరమా?
ఉదాహరణ 2
పరిమితిని కనుగొనండి 
మళ్లీ న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో మనం అత్యధిక స్థాయిలో కనుగొంటాము: 
న్యూమరేటర్‌లో గరిష్ట డిగ్రీ: 3
హారంలో గరిష్ట డిగ్రీ: 4
ఎంచుకోండి గొప్పవిలువ, ఈ సందర్భంలో నాలుగు.
మా అల్గోరిథం ప్రకారం, అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి, మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా భాగిస్తాము.
పూర్తి అసైన్‌మెంట్ ఇలా ఉండవచ్చు:
న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజించండి
ఉదాహరణ 3
పరిమితిని కనుగొనండి 
న్యూమరేటర్‌లో "X" గరిష్ట డిగ్రీ: 2
హారంలో "X" గరిష్ట డిగ్రీ: 1 (ఇలా వ్రాయవచ్చు)
అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజించడం అవసరం. తుది పరిష్కారం ఇలా ఉండవచ్చు:
న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజించండి
సంజ్ఞామానం ద్వారా మేము సున్నా ద్వారా భాగహారం కాదు (మీరు సున్నాతో భాగించలేరు), కానీ అనంతమైన సంఖ్యతో విభజించడం.
అందువలన, జాతుల అనిశ్చితిని వెలికితీయడం ద్వారా, మనం చేయగలము చివరి సంఖ్య, సున్నా లేదా అనంతం.
వాటిని పరిష్కరించడానికి రకం మరియు పద్ధతి యొక్క అనిశ్చితితో పరిమితులు
పరిమితుల యొక్క తదుపరి సమూహం ఇప్పుడు పరిగణించబడిన పరిమితులకు కొంతవరకు సమానంగా ఉంటుంది: లవం మరియు హారం బహుపదాలను కలిగి ఉంటాయి, కానీ “x” ఇకపై అనంతం వైపు మొగ్గు చూపదు, కానీ పరిమిత సంఖ్య.
ఉదాహరణ 4
పరిమితిని పరిష్కరించండి 
ముందుగా, భిన్నంలో -1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం: 
ఈ సందర్భంలో, అని పిలవబడే అనిశ్చితి పొందబడుతుంది.
సాధారణ నియమం: న్యూమరేటర్ మరియు హారం బహుపదాలను కలిగి ఉంటే మరియు ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితి ఉంటే , దానిని బహిర్గతం చేయడానికి మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేయాలి.
దీన్ని చేయడానికి, చాలా తరచుగా మీరు చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి మరియు/లేదా సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించాలి. ఈ విషయాలు మరచిపోయినట్లయితే, పేజీని సందర్శించండి గణిత సూత్రాలు మరియు పట్టికలుమరియు బోధనా సామగ్రిని చదవండి పాఠశాల గణిత కోర్సు కోసం హాట్ ఫార్ములాలు. మార్గం ద్వారా, ఇది చాలా తరచుగా అవసరం, మరియు సమాచారం కాగితం నుండి బాగా గ్రహించబడుతుంది.
కాబట్టి, మన పరిమితిని పరిష్కరించుకుందాం 
న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం
న్యూమరేటర్‌ను కారకం చేయడానికి, మీరు చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి: 
మొదట మేము వివక్షను కనుగొంటాము:
మరియు దాని వర్గమూలం: .
వివక్షత పెద్దది అయినట్లయితే, ఉదాహరణకు 361, మేము ఒక కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగిస్తాము, వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించే పని సరళమైన కాలిక్యులేటర్‌లో ఉంటుంది.
! మూలం పూర్తిగా సంగ్రహించబడకపోతే (కామాతో పాక్షిక సంఖ్య పొందబడుతుంది), వివక్షత తప్పుగా లెక్కించబడి ఉండవచ్చు లేదా పనిలో అక్షర దోషం ఉండవచ్చు.
తరువాత మనం మూలాలను కనుగొంటాము: 
ఈ విధంగా:
అన్నీ. న్యూమరేటర్ కారకం చేయబడింది.
హారం. హారం ఇప్పటికే సరళమైన అంశం, మరియు దానిని సరళీకృతం చేయడానికి మార్గం లేదు.
సహజంగానే, దీనిని కుదించవచ్చు:
ఇప్పుడు మనం పరిమితి గుర్తు క్రింద మిగిలి ఉన్న వ్యక్తీకరణలో -1ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
సహజంగానే, పరీక్ష, పరీక్ష లేదా పరీక్షలో, పరిష్కారం అంత వివరంగా వివరించబడదు. చివరి సంస్కరణలో, డిజైన్ ఇలా ఉండాలి:
న్యూమరేటర్‌ని ఫ్యాక్టరైజ్ చేద్దాం. 
ఉదాహరణ 5
పరిమితిని లెక్కించండి 
మొదట, పరిష్కారం యొక్క "ముగింపు" వెర్షన్
న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేద్దాం.
న్యూమరేటర్:
హారం: 
, 
ఈ ఉదాహరణలో ముఖ్యమైనది ఏమిటి?
ముందుగా, న్యూమరేటర్ ఎలా వెల్లడి చేయబడిందనే దానిపై మీకు మంచి అవగాహన ఉండాలి, ముందుగా మేము బ్రాకెట్లలో 2ని తీసివేసి, ఆపై చతురస్రాల వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాము. ఇది మీరు తెలుసుకోవలసిన మరియు చూడవలసిన సూత్రం.