6 తెలియని వాటితో సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం. బీజగణిత సంకలనాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కారం

వివిధ ప్రక్రియల గణిత నమూనా కోసం ఆర్థిక రంగంలో సమీకరణాల వ్యవస్థలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి. ఉదాహరణకు, ఉత్పత్తి నిర్వహణ మరియు ప్రణాళిక, లాజిస్టిక్స్ మార్గాలు (రవాణా సమస్య) లేదా పరికరాల ప్లేస్‌మెంట్ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు.

జనాభా పరిమాణాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు సమీకరణాల వ్యవస్థలు గణితంలో మాత్రమే కాకుండా, భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం మరియు జీవశాస్త్రంలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనేది అనేక వేరియబుల్స్‌తో కూడిన రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమీకరణాలు, దీని కోసం సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం అవసరం. అన్ని సమీకరణాలు నిజమైన సమానత్వం లేదా క్రమం ఉనికిలో లేదని నిరూపించే అటువంటి సంఖ్యల క్రమం.

సరళ సమీకరణం

ax+by=c రూపం యొక్క సమీకరణాలను రేఖీయం అంటారు. x, y అనే పదాలు తెలియనివి, వీటి విలువ తప్పనిసరిగా కనుగొనబడాలి, b, a అనేది వేరియబుల్స్ యొక్క గుణకాలు, c అనేది సమీకరణం యొక్క ఉచిత పదం.
ప్లాట్ చేయడం ద్వారా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సరళ రేఖలా కనిపిస్తుంది, వీటిలో అన్ని పాయింట్లు బహుపదికి పరిష్కారాలు.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల రకాలు

సరళమైన ఉదాహరణలు X మరియు Y అనే రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలుగా పరిగణించబడతాయి.

F1(x, y) = 0 మరియు F2(x, y) = 0, ఇక్కడ F1,2 ఫంక్షన్‌లు మరియు (x, y) ఫంక్షన్ వేరియబుల్స్.

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి - దీని అర్థం సిస్టమ్ నిజమైన సమానత్వంగా మారే విలువలను (x, y) కనుగొనడం లేదా x మరియు y యొక్క తగిన విలువలు లేవని నిర్ధారించడం.

ఒక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లుగా వ్రాయబడిన ఒక జత విలువలు (x, y), సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం అంటారు.

సిస్టమ్‌లకు ఒక సాధారణ పరిష్కారం ఉంటే లేదా పరిష్కారం లేనట్లయితే, వాటిని సమానమైనవి అంటారు.

సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థలు అంటే కుడి వైపు సున్నాకి సమానంగా ఉండే వ్యవస్థలు. సమాన సంకేతం తర్వాత కుడి భాగం విలువను కలిగి ఉంటే లేదా ఫంక్షన్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడినట్లయితే, అటువంటి వ్యవస్థ భిన్నమైనది.

వేరియబుల్స్ సంఖ్య రెండు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, అప్పుడు మనం మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్తో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉదాహరణ గురించి మాట్లాడాలి.

వ్యవస్థలను ఎదుర్కొన్నప్పుడు, పాఠశాల పిల్లలు సమీకరణాల సంఖ్య తప్పనిసరిగా తెలియని వారి సంఖ్యతో సమానంగా ఉండాలని అనుకుంటారు, అయితే ఇది అలా కాదు. వ్యవస్థలోని సమీకరణాల సంఖ్య వేరియబుల్స్‌పై ఆధారపడి ఉండదు;

సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి సరళమైన మరియు సంక్లిష్టమైన పద్ధతులు

అటువంటి వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ విశ్లేషణ పద్ధతి లేదు; అన్ని పద్ధతులు సంఖ్యాపరమైన పరిష్కారాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. పాఠశాల గణిత కోర్సు ప్రస్తారణ, బీజగణిత సంకలనం, ప్రత్యామ్నాయం, అలాగే గ్రాఫికల్ మరియు మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతులు, గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కారం వంటి పద్ధతులను వివరంగా వివరిస్తుంది.

పరిష్కార పద్ధతులను బోధించేటప్పుడు ప్రధాన పని ఏమిటంటే, సిస్టమ్‌ను ఎలా సరిగ్గా విశ్లేషించాలో మరియు ప్రతి ఉదాహరణకి సరైన పరిష్కార అల్గోరిథంను ఎలా కనుగొనాలో నేర్పడం. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే ప్రతి పద్ధతికి నియమాలు మరియు చర్యల వ్యవస్థను గుర్తుంచుకోవడం కాదు, కానీ ఒక నిర్దిష్ట పద్ధతిని ఉపయోగించే సూత్రాలను అర్థం చేసుకోవడం.

7వ తరగతి సాధారణ విద్యా పాఠ్యాంశాల్లో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం చాలా సులభం మరియు చాలా వివరంగా వివరించబడింది. ఏదైనా గణిత పాఠ్య పుస్తకంలో, ఈ విభాగానికి తగినంత శ్రద్ధ ఇవ్వబడుతుంది. గాస్ మరియు క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం ఉన్నత విద్య యొక్క మొదటి సంవత్సరాల్లో మరింత వివరంగా అధ్యయనం చేయబడుతుంది.

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి యొక్క చర్యలు రెండవ పరంగా ఒక వేరియబుల్ యొక్క విలువను వ్యక్తీకరించే లక్ష్యంతో ఉంటాయి. వ్యక్తీకరణ మిగిలిన సమీకరణంలోకి భర్తీ చేయబడుతుంది, తర్వాత అది ఒక వేరియబుల్‌తో రూపానికి తగ్గించబడుతుంది. సిస్టమ్‌లోని తెలియని వ్యక్తుల సంఖ్యను బట్టి చర్య పునరావృతమవుతుంది

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి తరగతి 7 యొక్క సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉదాహరణకి ఒక పరిష్కారాన్ని ఇద్దాం:

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, వేరియబుల్ x F(X) = 7 + Y ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది. ఫలితంగా వ్యక్తీకరణ, X స్థానంలో సిస్టమ్ యొక్క 2వ సమీకరణంలోకి మార్చబడింది, 2వ సమీకరణంలో ఒక వేరియబుల్ Yని పొందడంలో సహాయపడింది. . ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడం సులభం మరియు మీరు Y విలువను పొందడానికి చివరి దశ పొందిన విలువలను తనిఖీ చేయడం.

ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉదాహరణను పరిష్కరించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. సమీకరణాలు సంక్లిష్టంగా ఉండవచ్చు మరియు రెండవ తెలియని పరంగా వేరియబుల్‌ను వ్యక్తీకరించడం తదుపరి గణనలకు చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది. సిస్టమ్‌లో 3 కంటే ఎక్కువ తెలియనివి ఉన్నప్పుడు, ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా పరిష్కరించడం కూడా సరికాదు.

సరళ అసమాన సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉదాహరణ యొక్క పరిష్కారం:

బీజగణిత సంకలనాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కారం

అదనపు పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌లకు పరిష్కారాల కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు, సమీకరణాలు పదం ద్వారా పదం జోడించబడతాయి మరియు వివిధ సంఖ్యలతో గుణించబడతాయి. గణిత కార్యకలాపాల యొక్క అంతిమ లక్ష్యం ఒక వేరియబుల్‌లోని సమీకరణం.

ఈ పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి అభ్యాసం మరియు పరిశీలన అవసరం. 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ ఉన్నప్పుడు అదనపు పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం సులభం కాదు. సమీకరణాలు భిన్నాలు మరియు దశాంశాలను కలిగి ఉన్నప్పుడు బీజగణిత సంకలనం ఉపయోగించడానికి సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

పరిష్కార అల్గోరిథం:

1. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణించండి. అంకగణిత ఆపరేషన్ ఫలితంగా, వేరియబుల్ యొక్క గుణకాలలో ఒకటి 1కి సమానంగా ఉండాలి.
2. పదం ద్వారా ఫలిత వ్యక్తీకరణ పదాన్ని జోడించి, తెలియని వాటిలో ఒకదాన్ని కనుగొనండి.
3. మిగిలిన వేరియబుల్‌ను కనుగొనడానికి ఫలిత విలువను సిస్టమ్ యొక్క 2వ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా పరిష్కారం యొక్క పద్ధతి

సిస్టమ్‌కు రెండు సమీకరణాల కంటే ఎక్కువ పరిష్కారం కనుగొనాల్సిన అవసరం ఉన్నట్లయితే, తెలియని వాటి సంఖ్య కూడా రెండు కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు;

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా సమీకరణాలలో ఒకదాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. కొత్త సమీకరణం పరిచయం చేయబడిన తెలియని వాటి కోసం పరిష్కరించబడుతుంది మరియు ఫలిత విలువ అసలు వేరియబుల్‌ను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

కొత్త వేరియబుల్ tని పరిచయం చేయడం ద్వారా, సిస్టమ్ యొక్క 1వ సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌కి తగ్గించడం సాధ్యమవుతుందని ఉదాహరణ చూపిస్తుంది. మీరు వివక్షను కనుగొనడం ద్వారా బహుపదిని పరిష్కరించవచ్చు.

బాగా తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వివక్షత యొక్క విలువను కనుగొనడం అవసరం: D = b2 - 4*a*c, ఇక్కడ D అనేది కావలసిన వివక్షత, b, a, c బహుపది యొక్క కారకాలు. ఇచ్చిన ఉదాహరణలో, a=1, b=16, c=39, కాబట్టి D=100. వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: t = -b±√D / 2*a, వివక్షత సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు ఒక పరిష్కారం ఉంటుంది: x = -b / 2*a.

ఫలిత వ్యవస్థలకు పరిష్కారం అదనపు పద్ధతి ద్వారా కనుగొనబడుతుంది.

వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి దృశ్య పద్ధతి

3 సమీకరణ వ్యవస్థలకు అనుకూలం. కోఆర్డినేట్ యాక్సిస్‌లో సిస్టమ్‌లో చేర్చబడిన ప్రతి సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడంలో ఈ పద్ధతి ఉంటుంది. వక్రరేఖల ఖండన పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారంగా ఉంటాయి.

గ్రాఫికల్ పద్ధతిలో అనేక సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు ఉన్నాయి. దృశ్య మార్గంలో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించే అనేక ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, ప్రతి పంక్తికి రెండు పాయింట్లు నిర్మించబడ్డాయి, వేరియబుల్ x యొక్క విలువలు ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడ్డాయి: 0 మరియు 3. x విలువల ఆధారంగా, y కోసం విలువలు కనుగొనబడ్డాయి: 3 మరియు 0. కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్లు (0, 3) మరియు (3, 0) గ్రాఫ్‌లో గుర్తించబడ్డాయి మరియు ఒక లైన్ ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడ్డాయి.

రెండవ సమీకరణం కోసం దశలను పునరావృతం చేయాలి. పంక్తుల ఖండన స్థానం వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం.

కింది ఉదాహరణకి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు గ్రాఫికల్ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం అవసరం: 0.5x-y+2=0 మరియు 0.5x-y-1=0.

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం లేదు, ఎందుకంటే గ్రాఫ్‌లు సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు వాటి మొత్తం పొడవుతో కలుస్తాయి.

ఉదాహరణలు 2 మరియు 3 నుండి సిస్టమ్‌లు ఒకేలా ఉంటాయి, కానీ నిర్మించినప్పుడు వాటి పరిష్కారాలు భిన్నంగా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది. సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం ఉందా లేదా అనేది ఎల్లప్పుడూ గ్రాఫ్‌ను నిర్మించాల్సిన అవసరం ఉందని చెప్పడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదని గుర్తుంచుకోవాలి.

మాతృక మరియు దాని రకాలు

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను సంక్షిప్తంగా వ్రాయడానికి మాత్రికలు ఉపయోగించబడతాయి. మ్యాట్రిక్స్ అనేది సంఖ్యలతో నిండిన ఒక ప్రత్యేక రకం పట్టిక. n*m n - అడ్డు వరుసలు మరియు m - నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుంది.

నిలువు వరుసలు మరియు అడ్డు వరుసల సంఖ్య సమానంగా ఉన్నప్పుడు మాతృక చతురస్రంగా ఉంటుంది. మ్యాట్రిక్స్-వెక్టార్ అనేది అనంతమైన సాధ్యమైన వరుసల సంఖ్యతో ఒక నిలువు వరుస యొక్క మాతృక. వికర్ణాలలో ఒకదానితో పాటు ఇతర సున్నా మూలకాలతో కూడిన మాతృకను గుర్తింపు అంటారు.

విలోమ మాతృక అనేది ఒక మాతృక, దీని ద్వారా గుణించినప్పుడు అసలు ఒక యూనిట్ మ్యాట్రిక్స్‌గా మారుతుంది;

సమీకరణాల వ్యవస్థను మాతృకగా మార్చడానికి నియమాలు

సమీకరణాల వ్యవస్థలకు సంబంధించి, సమీకరణాల యొక్క గుణకాలు మరియు ఉచిత నిబంధనలు మాతృక సంఖ్యలుగా వ్రాయబడతాయి;

అడ్డు వరుసలో కనీసం ఒక మూలకం సున్నా కానట్లయితే, మాతృక అడ్డు వరుసను నాన్‌జీరో అని చెప్పవచ్చు. అందువల్ల, ఏదైనా సమీకరణాలలో వేరియబుల్స్ సంఖ్య భిన్నంగా ఉంటే, తప్పిపోయిన తెలియని స్థానంలో సున్నాని నమోదు చేయడం అవసరం.

మాతృక నిలువు వరుసలు ఖచ్చితంగా వేరియబుల్స్‌కు అనుగుణంగా ఉండాలి. దీని అర్థం వేరియబుల్ x యొక్క గుణకాలు ఒక నిలువు వరుసలో మాత్రమే వ్రాయబడతాయి, ఉదాహరణకు మొదటిది, తెలియని y యొక్క గుణకం - రెండవది మాత్రమే.

మాతృకను గుణించేటప్పుడు, మాతృకలోని అన్ని మూలకాలు వరుసగా సంఖ్యతో గుణించబడతాయి.

విలోమ మాతృకను కనుగొనే ఎంపికలు

విలోమ మాత్రికను కనుగొనే సూత్రం చాలా సులభం: K -1 = 1 / |K|, ఇక్కడ K -1 అనేది విలోమ మాతృక, మరియు |K| మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి. |కె| సున్నాకి సమానంగా ఉండకూడదు, అప్పుడు వ్యవస్థకు పరిష్కారం ఉంటుంది.

రెండు-రెండు మాతృక కోసం డిటర్మినెంట్ సులభంగా లెక్కించబడుతుంది; “త్రీ బై త్రీ” ఎంపిక కోసం, |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c ఫార్ములా ఉంది 3 + a 3 b 2 c 1 . మీరు సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు లేదా మీరు ప్రతి అడ్డు వరుస మరియు ప్రతి నిలువు వరుస నుండి ఒక మూలకాన్ని తీసుకోవాలని గుర్తుంచుకోవచ్చు, తద్వారా నిలువు వరుసల సంఖ్యలు మరియు మూలకాల వరుసలు పనిలో పునరావృతం కావు.

మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం

పరిష్కారాన్ని కనుగొనే మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి పెద్ద సంఖ్యలో వేరియబుల్స్ మరియు ఈక్వేషన్‌లతో సిస్టమ్‌లను పరిష్కరించేటప్పుడు గజిబిజిగా ఉండే ఎంట్రీలను తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణలో, a nm సమీకరణాల గుణకాలు, మాతృక వెక్టర్ x n వేరియబుల్స్, మరియు b n అనేది ఉచిత పదాలు.

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

ఉన్నత గణితంలో, గాస్సియన్ పద్ధతి క్రామెర్ పద్ధతితో కలిసి అధ్యయనం చేయబడుతుంది మరియు సిస్టమ్‌లకు పరిష్కారాలను కనుగొనే ప్రక్రియను గాస్-క్రామెర్ సొల్యూషన్ మెథడ్ అంటారు. పెద్ద సంఖ్యలో సరళ సమీకరణాలతో వ్యవస్థల వేరియబుల్‌లను కనుగొనడానికి ఈ పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి.

గాస్ పద్ధతి ప్రత్యామ్నాయం మరియు బీజగణిత సంకలనం ద్వారా పరిష్కారాలను పోలి ఉంటుంది, కానీ మరింత క్రమబద్ధమైనది. పాఠశాల కోర్సులో, గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కారం 3 మరియు 4 సమీకరణాల వ్యవస్థలకు ఉపయోగించబడుతుంది. వ్యవస్థను విలోమ ట్రాపజోయిడ్ రూపంలోకి తగ్గించడం పద్ధతి యొక్క ఉద్దేశ్యం. బీజగణిత పరివర్తనలు మరియు ప్రత్యామ్నాయాల ద్వారా, ఒక వేరియబుల్ యొక్క విలువ వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలలో ఒకదానిలో కనుగొనబడుతుంది. రెండవ సమీకరణం 2 తెలియని వాటితో కూడిన వ్యక్తీకరణ, అయితే 3 మరియు 4 వరుసగా 3 మరియు 4 వేరియబుల్స్‌తో ఉంటాయి.

సిస్టమ్‌ను వివరించిన రూపంలోకి తీసుకువచ్చిన తర్వాత, సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలలోకి తెలిసిన వేరియబుల్స్ యొక్క సీక్వెన్షియల్ ప్రత్యామ్నాయానికి తదుపరి పరిష్కారం తగ్గించబడుతుంది.

గ్రేడ్ 7 కోసం పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలలో, గాస్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కారం యొక్క ఉదాహరణ క్రింది విధంగా వివరించబడింది:

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, దశ (3) వద్ద రెండు సమీకరణాలు పొందబడ్డాయి: 3x 3 -2x 4 =11 మరియు 3x 3 +2x 4 =7. ఏదైనా సమీకరణాలను పరిష్కరించడం వలన మీరు x n వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానిని కనుగొనవచ్చు.

టెక్స్ట్‌లో ప్రస్తావించబడిన సిద్ధాంతం 5, సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలలో ఒకదానిని సమానమైన దానితో భర్తీ చేస్తే, ఫలితంగా వచ్చే సిస్టమ్ కూడా అసలు దానికి సమానంగా ఉంటుంది.

మిడిల్ స్కూల్ విద్యార్థులకు గాస్సియన్ పద్ధతిని అర్థం చేసుకోవడం కష్టం, కానీ గణిత మరియు భౌతిక తరగతులలో అధునాతన అభ్యాస కార్యక్రమాలలో నమోదు చేయబడిన పిల్లల చాతుర్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి ఇది అత్యంత ఆసక్తికరమైన మార్గాలలో ఒకటి.

రికార్డింగ్ సౌలభ్యం కోసం, గణనలు సాధారణంగా ఈ క్రింది విధంగా చేయబడతాయి:

సమీకరణాల గుణకాలు మరియు ఉచిత పదాలు మాతృక రూపంలో వ్రాయబడతాయి, ఇక్కడ మాతృక యొక్క ప్రతి వరుస వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలలో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. సమీకరణం యొక్క ఎడమ భాగాన్ని కుడి నుండి వేరు చేస్తుంది. రోమన్ సంఖ్యలు వ్యవస్థలోని సమీకరణాల సంఖ్యలను సూచిస్తాయి.

మొదట, పని చేయవలసిన మాతృకను వ్రాయండి, ఆపై అన్ని చర్యలు వరుసలలో ఒకదానితో నిర్వహించబడతాయి. ఫలిత మాతృక "బాణం" గుర్తు తర్వాత వ్రాయబడుతుంది మరియు ఫలితాన్ని సాధించే వరకు అవసరమైన బీజగణిత కార్యకలాపాలు కొనసాగించబడతాయి.

ఫలితం మాతృక అయి ఉండాలి, దీనిలో వికర్ణాలలో ఒకటి 1కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు అన్ని ఇతర గుణకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి, అనగా మాతృక యూనిట్ రూపానికి తగ్గించబడుతుంది. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సంఖ్యలతో గణనలను నిర్వహించడం మనం మర్చిపోకూడదు.

ఈ రికార్డింగ్ పద్ధతి తక్కువ గజిబిజిగా ఉంటుంది మరియు అనేక తెలియని వాటిని జాబితా చేయడం ద్వారా పరధ్యానంలో ఉండకుండా మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఏదైనా పరిష్కార పద్ధతి యొక్క ఉచిత ఉపయోగం సంరక్షణ మరియు కొంత అనుభవం అవసరం. అన్ని పద్ధతులు అనువర్తిత స్వభావం కలిగి ఉండవు. మానవ కార్యకలాపాల యొక్క నిర్దిష్ట ప్రాంతంలో పరిష్కారాలను కనుగొనే కొన్ని పద్ధతులు మరింత ప్రాధాన్యతనిస్తాయి, మరికొన్ని విద్యా ప్రయోజనాల కోసం ఉన్నాయి.

లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి గాస్సియన్ పద్ధతి ప్రాథమిక రూపాంతరాలను ఉపయోగించి తెలియని వాటిని వరుసగా తొలగించడం మరియు వాటిని ఎగువ త్రిభుజాకార సమీకరణానికి (స్టెప్ లేదా ట్రాపెజోయిడల్) తగ్గించడం. అప్పుడు వారు కనుగొన్న పరిష్కారాలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా వ్యవస్థను చివరి నుండి ప్రారంభం వరకు పరిష్కరిస్తారు.

V.P. డుబోవిక్, I.I ద్వారా సమస్యల సేకరణను ఉపయోగించి, గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం. "హయ్యర్ మ్యాథమెటిక్స్".

-------------

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి.

1) అసలు సిస్టమ్‌ను దశలవారీగా మారుద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ సమీకరణం నుండి మనం మొదటిదాన్ని తీసివేస్తాము, 3 ద్వారా గుణించండి మరియు నాల్గవ నుండి, మొదటిదాన్ని తీసివేయండి, 4 ద్వారా గుణించాలి.

ఫలితంగా, మేము కలిగి ఉన్న మూడవ సమీకరణం నుండి ఫలిత విలువను కనుగొనడానికి అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము

మేము పొందిన విలువలను మొదటి సమీకరణంలోకి మారుస్తాము

మూడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం వేరియబుల్స్ యొక్క క్రింది విలువలు

2) మనకు నాలుగు తెలియని వాటితో మూడు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉంది. అటువంటి సందర్భాలలో, ఒక వేరియబుల్ ఉచితం కావచ్చు మరియు మిగిలినవి దాని ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి. సిస్టమ్‌ను దశలవారీగా కుదిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాల నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేయండి

చివరి రెండు సమీకరణాల నుండి మనం ఒకే పరిష్కారాలను పొందుతాము

మొదటి సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేసిన తర్వాత మనకు లభిస్తుంది

ఈ సమీకరణం మూడు వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించినది. ఈ విధంగా, వేరియబుల్స్‌లో ఏదైనా ఇతర రెండింటి పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు

కాబట్టి మేము ఈ క్రింది పరిష్కారాన్ని పొందుతాము

3) మనకు ఐదు తెలియని వాటితో ఐదవ-క్రమం సరళ సమీకరణాల యొక్క ఒక చిన్న వ్యవస్థ ఉంది. దానిని దశ రూపానికి కుదిద్దాం. రెండవ సమీకరణం నుండి మేము మొదటిదాన్ని తీసివేసి, విశ్లేషణకు అనుకూలమైన రూపంలో వ్రాస్తాము

రెండవ సమీకరణం నుండి మనం దానిని కనుగొంటాము. మేము విలువలను అన్ని దిగువ సమీకరణాలలోకి మారుస్తాము మరియు వాటిని సమాన గుర్తుకు మించి బదిలీ చేస్తాము. రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాలను కూడా మార్చుకుందాం

నాల్గవ మరియు ఐదవ సమీకరణాలు సమానంగా ఉంటాయి. వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానిని మరొకటి ద్వారా వ్యక్తపరుస్తాము

మేము ఫలిత విలువను రెండవ సమీకరణంలోకి మారుస్తాము మరియు కనుగొనండి

మొదటి సమీకరణం నుండి మేము నిర్ణయిస్తాము

సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం క్రింది విధంగా ఉంటుంది

గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి లీనియర్ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థలను లెక్కించేటప్పుడు, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను దశలవారీగా తగ్గించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, వేరియబుల్స్ క్రింద వేరియబుల్స్ రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, చివరి ఉదాహరణలో, ఇది పరిష్కారాన్ని వేగవంతం చేస్తుంది. మిగిలినవన్నీ పరిష్కరించాల్సిన మాతృక మరియు మీ నైపుణ్యాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి.

n తెలియని వాటితో m సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థరూపం యొక్క వ్యవస్థ అని పిలుస్తారు

ఎక్కడ ఒక ijమరియు b i (i=1,…,m; బి=1,…,n) కొన్ని తెలిసిన సంఖ్యలు, మరియు x 1 ,..., x n- తెలియదు. గుణకాల హోదాలో ఒక ijమొదటి సూచిక iసమీకరణ సంఖ్యను సూచిస్తుంది మరియు రెండవది జె- ఈ గుణకం ఉన్న తెలియని సంఖ్య.

మేము తెలియని వాటి కోసం గుణకాలను మాతృక రూపంలో వ్రాస్తాము , మేము పిలుస్తాము వ్యవస్థ యొక్క మాతృక.

సమీకరణాల కుడి వైపున ఉన్న సంఖ్యలు b 1 ,…,b mఅంటారు ఉచిత సభ్యులు.

సంపూర్ణత nసంఖ్యలు c 1 ,…,c nఅని పిలిచారు నిర్ణయంఇచ్చిన సిస్టమ్ యొక్క, సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణం దానిలో సంఖ్యలను భర్తీ చేసిన తర్వాత సమానత్వంగా మారినట్లయితే c 1 ,…,c nసంబంధిత తెలియని వాటికి బదులుగా x 1 ,..., x n.

వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను కనుగొనడమే మా పని. ఈ సందర్భంలో, మూడు పరిస్థితులు సంభవించవచ్చు:

కనీసం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను అంటారు ఉమ్మడి. లేకపోతే, అనగా. సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాలు లేనట్లయితే, దానిని అంటారు ఉమ్మడి కాని.

వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను కనుగొనే మార్గాలను పరిశీలిద్దాం.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి

మాత్రికలు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను క్లుప్తంగా వ్రాయడం సాధ్యం చేస్తాయి. మూడు తెలియని వాటితో 3 సమీకరణాల వ్యవస్థను ఇవ్వండి:

సిస్టమ్ మాతృకను పరిగణించండి మరియు తెలియని మరియు ఉచిత నిబంధనల నిలువు వరుసలు

పని వెతుకుదాం

ఆ. ఉత్పత్తి ఫలితంగా మేము ఈ వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపులా పొందుతాము. అప్పుడు, మాతృక సమానత్వం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, ఈ వ్యవస్థను రూపంలో వ్రాయవచ్చు

లేదా చిన్నది ఎ∙X=B.

ఇక్కడ మాత్రికలు ఉన్నాయి ఎమరియు బిఅంటారు, మరియు మాతృక Xతెలియని. దానిని కనుగొనడం అవసరం, ఎందుకంటే ... దాని మూలకాలు ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారం. ఈ సమీకరణం అంటారు మాతృక సమీకరణం.

మాతృక నిర్ణాయకం సున్నా నుండి భిన్నంగా ఉండనివ్వండి | ఎ| ≠ 0. అప్పుడు మాతృక సమీకరణం క్రింది విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది. ఎడమవైపు ఉన్న సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా మాతృకతో గుణించండి A-1, మాతృక యొక్క విలోమం ఎ: . ఎందుకంటే A -1 A = Eమరియు ఇ∙X = X, అప్పుడు మేము రూపంలో మాతృక సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని పొందుతాము X = A -1 B .

విలోమ మాతృక చతురస్రాకార మాత్రికల కోసం మాత్రమే కనుగొనబడుతుంది కాబట్టి, మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి ఆ వ్యవస్థలను మాత్రమే పరిష్కరించగలదని గమనించండి సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వారి సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది. ఏదేమైనప్పటికీ, సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వాటి సంఖ్యకు సమానంగా లేనప్పుడు, అప్పుడు మాతృకలో సిస్టమ్ యొక్క మ్యాట్రిక్స్ రికార్డింగ్ కూడా సాధ్యమవుతుంది. ఎచతురస్రంగా ఉండదు మరియు అందువల్ల రూపంలో వ్యవస్థకు పరిష్కారం కనుగొనడం అసాధ్యం X = A -1 B.

ఉదాహరణలు.సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించండి.

క్రామర్స్ రూల్

మూడు తెలియని వాటితో 3 సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిగణించండి:

సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్‌కు సంబంధించిన థర్డ్-ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్, అనగా. తెలియని వ్యక్తుల కోసం గుణకాలతో కూడి ఉంటుంది,

అని పిలిచారు వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణయాధికారి.

ఈ క్రింది విధంగా మరో మూడు నిర్ణాయకాలను కంపోజ్ చేద్దాం: డిటర్మినెంట్ Dలోని 1, 2 మరియు 3 నిలువు వరుసలను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయండి

అప్పుడు మేము ఈ క్రింది ఫలితాన్ని నిరూపించగలము.

సిద్ధాంతం (క్రామెర్ నియమం).సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణాయకం Δ ≠ 0 అయితే, పరిశీలనలో ఉన్న సిస్టమ్‌కు ఒకే ఒక పరిష్కారం ఉంటుంది, మరియు

రుజువు. కాబట్టి, మూడు తెలియని వాటితో 3 సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిశీలిద్దాం. సిస్టమ్ యొక్క 1వ సమీకరణాన్ని బీజగణిత పూరకంతో గుణిద్దాం A 11మూలకం ఒక 11, 2వ సమీకరణం – ఆన్ A 21మరియు 3 వ - ఆన్ A 31:

ఈ సమీకరణాలను జోడిద్దాం:

ఈ సమీకరణం యొక్క ప్రతి బ్రాకెట్లను మరియు కుడి వైపున చూద్దాం. 1వ నిలువు వరుసలోని మూలకాలలో డిటర్మినెంట్ యొక్క విస్తరణపై సిద్ధాంతం ద్వారా

అదేవిధంగా, దానిని చూపవచ్చు మరియు .

చివరగా, దానిని గమనించడం సులభం

అందువలన, మేము సమానత్వాన్ని పొందుతాము: .

అందుకే, .

సమానత్వాలు మరియు అదే విధంగా ఉద్భవించాయి, దీని నుండి సిద్ధాంతం యొక్క ప్రకటన అనుసరిస్తుంది.

ఈ విధంగా, సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినేట్ Δ ≠ 0 అయితే, సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినెంట్ సున్నాకి సమానం అయితే, సిస్టమ్ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది లేదా పరిష్కారాలను కలిగి ఉండదు, అనగా. అననుకూలమైనది.

ఉదాహరణలు.సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

గాస్ పద్ధతి

సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వారి సంఖ్యతో సమానంగా ఉండే వ్యవస్థలను మాత్రమే పరిష్కరించడానికి గతంలో చర్చించిన పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి మరియు సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారం సున్నాకి భిన్నంగా ఉండాలి. గాస్ పద్ధతి మరింత సార్వత్రికమైనది మరియు ఎన్ని సమీకరణాలు ఉన్న సిస్టమ్‌లకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. ఇది సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాల నుండి తెలియని వాటి యొక్క స్థిరమైన తొలగింపులో ఉంటుంది.

మూడు తెలియని వాటితో మూడు సమీకరణాల వ్యవస్థను మళ్లీ పరిగణించండి:

.

మేము మొదటి సమీకరణాన్ని మార్చకుండా వదిలివేస్తాము మరియు 2వ మరియు 3వ నుండి మేము కలిగి ఉన్న నిబంధనలను మినహాయిస్తాము x 1. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ సమీకరణాన్ని విభజించండి ఎ 21 మరియు గుణించాలి – ఎ 11, ఆపై దానిని 1వ సమీకరణానికి జోడించండి. అదేవిధంగా, మేము మూడవ సమీకరణాన్ని విభజిస్తాము ఎ 31 మరియు గుణించాలి – ఎ 11, ఆపై దాన్ని మొదటి దానితో జోడించండి. ఫలితంగా, అసలు సిస్టమ్ రూపం తీసుకుంటుంది:

ఇప్పుడు చివరి సమీకరణం నుండి మనం కలిగి ఉన్న పదాన్ని తొలగిస్తాము x 2. దీన్ని చేయడానికి, మూడవ సమీకరణాన్ని విభజించి, గుణించి, రెండవదానితో జోడించండి. అప్పుడు మనకు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉంటుంది:

ఇక్కడ నుండి, చివరి సమీకరణం నుండి కనుగొనడం సులభం x 3, తర్వాత 2వ సమీకరణం నుండి x 2మరియు చివరకు, 1 నుండి - x 1.

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, అవసరమైతే సమీకరణాలను మార్చుకోవచ్చు.

తరచుగా, సమీకరణాల యొక్క కొత్త వ్యవస్థను వ్రాయడానికి బదులుగా, వారు సిస్టమ్ యొక్క విస్తరించిన మాతృకను వ్రాయడానికి తమను తాము పరిమితం చేసుకుంటారు:

ఆపై ప్రాథమిక రూపాంతరాలను ఉపయోగించి దానిని త్రిభుజాకార లేదా వికర్ణ రూపంలోకి తీసుకురండి.

TO ప్రాథమిక రూపాంతరాలుమాత్రికలు క్రింది రూపాంతరాలను కలిగి ఉంటాయి:

1. వరుసలు లేదా నిలువు వరుసలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం;
2. సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్యతో స్ట్రింగ్‌ను గుణించడం;
3. ఒక పంక్తికి ఇతర పంక్తులను జోడించడం.

ఉదాహరణలు:గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించండి.

అందువలన, వ్యవస్థకు అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

5.1 క్రామెర్ నియమం

ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క మాత్రికల నిర్ణాయకాలను లెక్కించే ప్రాథమిక లక్షణాలు మరియు పద్ధతులను స్థాపించిన తరువాత, ప్రధాన పనికి తిరిగి వెళ్దాం - 1 వ ఆర్డర్ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం మరియు అధ్యయనం చేయడం. సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వారి సంఖ్యతో సమానంగా ఉన్నప్పుడు ప్రధాన సందర్భాన్ని విశ్లేషించడం ద్వారా ఈ సమస్యపై మా అధ్యయనాన్ని ప్రారంభిద్దాం.

సిస్టమ్ (1) యొక్క 1వ సమీకరణంలోని అన్ని నిబంధనలను A 11 ద్వారా గుణిద్దాం - మూలకం యొక్క బీజగణితం ఎమాతృక A యొక్క 11, A 21లో సిస్టమ్ (1) యొక్క 2వ సమీకరణం యొక్క అన్ని నిబంధనలు - మూలకం యొక్క బీజగణిత పూరక ఎ 21 మాత్రికలు A, చివరగా, A n1పై సిస్టమ్ (1) యొక్క nవ సమీకరణం యొక్క అన్ని నిబంధనలు - మూలకం యొక్క బీజగణితం పూరక ఎమాతృక A యొక్క n1. అప్పుడు మేము సిస్టమ్‌ను పొందుతాము

(1")

సిస్టమ్ టర్మ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను టర్మ్ వారీగా జోడిద్దాం, మనకు లభిస్తుంది

(a i1 A i1)x 1 +( a i2 A i1)x 2 +...+( a A i1) x n =b i A i1లో

బీజగణిత పూరకాలను గురించి సిద్ధాంతం ప్రకారం, మనకు ఉంది

a i1 A i1 =det A a i2 A i1 =0, ........., a A i1 =0లో

అందువల్ల, ఫలిత సమీకరణాన్ని రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు

మాతృకను పరిగణించండి

,

సిస్టమ్ సమీకరణాల యొక్క ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో 1వ నిలువు వరుస యొక్క మూలకాలను భర్తీ చేయడం ద్వారా మాతృక A నుండి పొందబడింది. 1వ నిలువు వరుస మూలకాలపై det B1ని విస్తరిస్తే, మేము det B 1 =b i A i1ని పొందుతాము, అందువలన

అదేవిధంగా, సిస్టమ్ (1) యొక్క సమీకరణాలను Аі2 (u=1, 2, ... n) ద్వారా గుణించడం మరియు వాటిని జోడించడం, మేము పొందుతాము

,

భవిష్యత్తులో ఇలా చేయడం ద్వారా, మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము

(2),

Kth నిలువు వరుసను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా A నుండి మాతృక Bk పొందబడుతుంది. సహజంగానే, సిస్టమ్ (1)కి ఏదైనా పరిష్కారం సిస్టమ్ (2)కి కూడా ఒక పరిష్కారం.

(3)

సిస్టమ్ (1)కి పరిష్కారం ఉందని ఊహతో సూత్రాలు (3) పొందాయని గుర్తుంచుకోండి. X i యొక్క కనుగొనబడిన విలువలను నేరుగా సిస్టమ్ (1)లోకి మార్చడం ద్వారా, అవి సిస్టమ్ (1)కి పరిష్కారం అని ధృవీకరించవచ్చు మరియు అందువల్ల, ఊహ ప్రకారం
, సిస్టమ్ (1) ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది మరియు అంతేకాకుండా, ప్రత్యేకమైనది.

^ సిద్ధాంతం (క్రామెర్స్ సిద్ధాంతం): n తెలియని వాటితో n ఫస్ట్-ఆర్డర్ సమీకరణాల సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి నాన్ జీరో అయితే, సిస్టమ్‌కు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ప్రతి తెలియని వాటి విలువ రెండు మాత్రికల నిర్ణయాధికారుల విభజన యొక్క భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది: హారం సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కలిగి ఉంటుంది మరియు న్యూమరేటర్ పొందిన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని కలిగి ఉంటుంది. సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక నుండి ఎంచుకున్న తెలియని కాలమ్‌ను ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌తో భర్తీ చేయడం ద్వారా.

ఈ సిద్ధాంతం నుండి, సమీకరణాల వ్యవస్థ సజాతీయంగా ఉంటే, అంటే, సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలలోని ఉచిత పదాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి మరియు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు వ్యవస్థ సున్నా పరిష్కారం మాత్రమే ఉంది. నిజానికి, ఈ సందర్భంలో, సూత్రాల సంఖ్య (3)లో నిర్ణాయకాలు ఉండే మాత్రికలు సున్నాలను మాత్రమే కలిగి ఉండే నిలువు వరుసను కలిగి ఉంటాయి మరియు అందువల్ల, అన్ని సంఖ్యలు X i సున్నాకి సమానం. నిరూపించబడిన దాని నుండి క్రింది సిద్ధాంతం క్రింది విధంగా ఉంది:

^ n తెలియని వాటితో n సజాతీయ 1వ ఆర్డర్ సమీకరణాల వ్యవస్థ కనీసం ఒక సున్నా కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సున్నాకి సమానం. నిజానికి, ఈ డిటర్‌మినేట్ సున్నాకి సమానం కాకపోతే, సిస్టమ్ సున్నా పరిష్కారాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది, ఇది షరతుకు విరుద్ధంగా ఉంటుంది.

కింది వాటిలో, సున్నాకి వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణయానికి సమానత్వం అనేది సున్నా కాని పరిష్కారం యొక్క ఉనికికి తప్పనిసరి, అవసరమైన షరతు మాత్రమే కాదు, అటువంటి పరిష్కారం యొక్క ఉనికికి తగిన షరతు కూడా అని మేము నిరూపిస్తాము. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణాయకం సున్నాకి సమానం అయితే, సిస్టమ్ నాన్ జీరో సొల్యూషన్‌ను కలిగి ఉంటుంది (మరియు అటువంటి పరిష్కారాల అనంతమైన సంఖ్య).

^ 5.2 పూర్తి తొలగింపు (గాస్ పద్ధతి) పద్ధతిని ఉపయోగించి మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం మరియు అధ్యయనం చేయడం.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారం సున్నాకి భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం యొక్క సంఖ్యా విలువలను కనుగొనడం, నిర్ణయాధికారులను లెక్కించే పద్ధతిని ఉపయోగించి క్రామెర్ యొక్క సూత్రాలు సాధ్యం చేస్తాయి. కానీ ఈ సూత్రాల యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనం చాలా సందర్భాలలో సంక్లిష్టంగా ఉంటుంది. అన్నింటిలో మొదటిది, సూత్రాలను (3) ఉపయోగించి పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి, n వ ఆర్డర్ యొక్క n +1 నిర్ణయాధికారులను లెక్కించడం అవసరం, ఇది చాలా శ్రమతో కూడుకున్న పని, §లో సూచించిన పద్ధతులను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు కూడా 4. కానీ చాలా ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, సమీకరణం యొక్క గుణకాలు సుమారుగా ఇవ్వబడినప్పుడు (వాస్తవ సమస్యలలో ఇది దాదాపు ఎల్లప్పుడూ జరుగుతుంది), పరిష్కారంలో లోపం చాలా పెద్దదిగా ఉంటుంది. సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారం నిర్ణయించబడే ప్రతి నిర్ణయాధికారంలో చేర్చబడిన నిబంధనలు చాలా పెద్దవిగా ఉండవచ్చని ఇది వివరించబడింది (గుర్తుంచుకోండి, అవి n కారకాల ఉత్పత్తి - సిస్టమ్ యొక్క విస్తరించిన మాతృక యొక్క వివిధ గుణకాలు ), మరియు బీజగణిత మొత్తం అయిన డిటర్మినెంట్ అటువంటి పదాలు చిన్నవి కావచ్చు. ప్రారంభ సమీకరణాల వ్యవస్థలోని కోఎఫీషియంట్స్ ఖచ్చితంగా తెలిసినప్పటికీ, గణనలు నిర్దిష్ట సంఖ్యలో ముఖ్యమైన వ్యక్తులను మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకుంటాయి, అదే కారణాల వల్ల మనం ఫలితంలో చాలా పెద్ద లోపాలను పొందవచ్చు. అందువల్ల, సమీకరణాల వ్యవస్థల ఆచరణాత్మక పరిష్కారంలో, చాలా సందర్భాలలో వారు క్రామెర్ సూత్రాలను ఉపయోగించరు, కానీ ఇతర గణన పద్ధతులను ఉపయోగిస్తారు.

ఈ కోర్సులో, సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వారి సంఖ్యతో ఏకీభవించనప్పుడు కూడా 1వ ఆర్డర్ సమీకరణాల వ్యవస్థల పరిష్కారానికి సంబంధించి పూర్తి తొలగింపు పద్ధతిని మేము పరిశీలిస్తాము. కానీ మేము ఈ పద్ధతి యొక్క ప్రదర్శనను ప్రధాన సందర్భంలో ప్రారంభిస్తాము: సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వారి సంఖ్యతో సమానంగా ఉన్నప్పుడు.

కాబట్టి, n తెలియని వాటితో n సమీకరణాల వ్యవస్థను మళ్లీ ఇవ్వండి:

(1)

గుణకాలలో కనీసం ఒకటి నుండి a i1 సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది (లేకపోతే x1 సిస్టమ్‌లో చేర్చబడదు), మరియు సిస్టమ్‌లోని సమీకరణాలను మార్చుకోవచ్చు, అప్పుడు సాధారణత యొక్క ఎటువంటి పరిమితి లేకుండా మనం ఊహించవచ్చు
సిస్టమ్ యొక్క 1వ సమీకరణాన్ని a11తో విభజించి దానిని ఫారమ్‌కి తీసుకువద్దాం,

ఫలిత సమీకరణం యొక్క అన్ని నిబంధనలను ai1 ద్వారా గుణించడం మరియు నుండి తీసివేయడం і సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణం (1), మేము కొత్త వ్యవస్థను పొందుతాము

(2),

i=1, 2, ..., n; k=1, 2, ... , n

సిస్టమ్ (2) యొక్క సమీకరణాలు సిస్టమ్ (1) యొక్క సమీకరణాల సరళ కలయికలుగా పొందబడినందున, సిస్టమ్ (1)కి ఏదైనా పరిష్కారం కూడా సిస్టమ్ (2)కి పరిష్కారం. అదే సమయంలో, నుండి

అప్పుడు సిస్టమ్ (1) యొక్క సమీకరణాలను సిస్టమ్ (2) సమీకరణాల సరళ కలయికగా పొందవచ్చు. పర్యవసానంగా, సిస్టమ్ (2)కి ఏదైనా పరిష్కారం సిస్టమ్ (1)కి కూడా ఒక పరిష్కారం. అందువలన, వ్యవస్థలు (1) మరియు (2) సమానంగా ఉంటాయి. (11 x 1 +c 12 x 2 +...+c 1n x n =d 1 i, 21 x 1 +c 22 x 2 +...+c 2n x n =d 2 తో రెండు సమీకరణాల సరళ కలయిక సమీకరణం  1 (c 11 x 1 +c 12 x 2 +...+c 1n x n) + 2 (c 21 x 1 +c 22 x 2 +...+c 2n x n)= 1 d 1 + 2 d 2, ఇక్కడ  1 మరియు  2 సంఖ్యలు)

సిస్టమ్ (1) మరియు (2) యొక్క ప్రధాన మాత్రికల యొక్క డిటర్మినేట్ D1 మరియు D2 లను ఇప్పుడు పోల్చి చూద్దాం. సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క మొదటి వరుస (2) సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క మొదటి వరుస నుండి (1) విభజించడం ద్వారా పొందబడుతుంది ఎపదకొండు . ఈ ఆపరేషన్ D1ని a11తో విభజించడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. మొదటి వరుసకు అనులోమానుపాతంలో సిస్టమ్ (1) విలువల యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క సంబంధిత వరుసల నుండి తీసివేయడం ద్వారా ఇతర అడ్డు వరుసలు పొందబడతాయి. ఈ ఆపరేషన్ డిటర్మినెంట్ విలువను మార్చదు. సిస్టమ్ (2) యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క డిటర్మినెంట్ D2 సమానంగా ఉంటుందని ఇది అనుసరిస్తుంది . ఇందుమూలంగా
, ఉంటే
మరియు D1=0 అయితే D2=0. చివరగా, మేము సిస్టమ్ (1) యొక్క సమీకరణాల గుణకాలతో మాత్రమే గణనలను నిర్వహించామని మేము గమనించాము, కాబట్టి సమీకరణాలను స్వయంగా వ్రాయవలసిన అవసరం లేదు. సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను మాత్రమే వ్రాసి, ఈ మాతృకలోని మూలకాలను మాత్రమే మార్చడం సరిపోతుంది.

మేము ఒక పొడిగించిన మాతృక నుండి మరొకదానికి పరివర్తనను సూచిస్తాము, అంటే, వాస్తవానికి, ఒక సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి దానికి సమానమైన వ్యవస్థకు, చిహ్నం ద్వారా పరివర్తనను సూచిస్తాము. లేదా
. అప్పుడు చేసిన కార్యకలాపాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

సిస్టమ్ (1) యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క డిటర్మినెంట్ D1 నాన్ జీరో అని మేము ముందుగా ఊహిస్తాము. అప్పుడు, పైన పేర్కొన్న విధంగా,
, అందువలన, తీవ్రమైన సందర్భాల్లో, సంఖ్యలలో ఒకటి
(u=1, 2, ... , n) సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే అన్నీ సున్నాకి సమానం అయితే, సిస్టమ్ (2) యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క డిటర్మినెంట్ D2 కూడా సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది.

సిస్టమ్ (2)లోని సమీకరణాలను మార్చుకోవచ్చు కాబట్టి, పరిమితి లేకుండా, మనం ఊహించవచ్చు
. సిస్టమ్ (2) యొక్క 2వ సమీకరణాన్ని దీని ద్వారా భాగిద్దాం
, ఫలిత పంక్తిని (i=1, 3, 4, ... , n) ద్వారా గుణించండి మరియు i-th లైన్ నుండి తీసివేయండి.

అప్పుడు మనకు ఉంటుంది

మాతృక B 3కి అనుగుణంగా ఉండే సమీకరణాల వ్యవస్థ సిస్టమ్ (2)కి సమానం, అందువలన అసలు సిస్టమ్ (1). ఈ వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క డిటర్మినెంట్ D3 నాన్-జీరో, ఎందుకంటే డిటర్మినెంట్ D2 నాన్-జీరో. అందువల్ల, తీవ్రమైన సందర్భాల్లో, సంఖ్యలలో ఒకటి
(u=3, ... , n) సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు మీరు మళ్లీ మునుపటిలా అదే కార్యకలాపాలను నిర్వహించవచ్చు. ఇలాంటి ఆలోచనలను కొనసాగించడం, n ఆపరేషన్ల తర్వాత మనం మాతృకను పొందుతాము

సమీకరణాల యొక్క సంబంధిత వ్యవస్థ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

(3),

దీని ఏకైక పరిష్కారం (4)

సిస్టమ్ (3) సిస్టమ్ (1)కి సమానం మరియు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి, అసలు సిస్టమ్ (1) కూడా ఒక ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది (4).

ఉదాహరణ 1 . వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం

x1=1; x2=-1; x3=0; x4=2

సిస్టమ్ సజాతీయంగా ఉంటే, అన్ని సంఖ్యలు ద్వి (u=1, 2, ... , n) సున్నాకి సమానం అయితే, అన్ని సంఖ్యలు సున్నాకి సమానం అని గమనించండి
కాబట్టి, ఈ సందర్భంలో సిస్టమ్ (1) సున్నా పరిష్కారాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

ఇప్పుడు సిస్టమ్ (1) యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క డిటర్మినెంట్ D1 సున్నాకి సమానంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు సంఖ్యల మధ్య అని చెప్పడం సాధ్యం కాదు
(u=m, m+1, ... , n) రూపాంతరాల (m-1)వ దశ తర్వాత పొందినది, సున్నాకి భిన్నంగా కనీసం ఒకటి ఉంటుంది. అంతేకాకుండా, ఏదో ఒక దశలో ఈ సంఖ్యలన్నీ ఖచ్చితంగా సున్నాకి సమానంగా మారతాయి (లేకపోతే మనకు వేరే సందర్భం ఉంటుంది). ఈ విధంగా, మాతృకను పొందనివ్వండి

మాతృక యొక్క m-వ నిలువు వరుసను n-వ స్థానానికి మరియు m-వ నిలువు వరుసను అనుసరించే వారందరికీ, ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌ను మినహాయించి మళ్లీ అమర్చుదాం
ఒక ప్రదేశాన్ని ఎడమవైపుకు తరలిద్దాం (అటువంటి ఆపరేషన్ అంటే సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలలో తెలియని వాటిని పునర్వ్యవస్థీకరించడం లేదా వాటిని తిరిగి నంబర్ చేయడం, ఇది సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారాన్ని మార్చదు). ఫలితంగా, మేము మాతృకను పొందుతాము

,

I=1, 2, ... , n;

k=m, m+1, ... , n.

మునుపటి మాదిరిగానే పరివర్తనలను కొనసాగించడం ద్వారా, మేము చివరికి మాతృకను పొందుతాము

(5)

మ్యాట్రిక్స్ (5) సమీకరణాల వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉంటుంది

(6),

ఇందులో తెలియనిది తెలియని వాటికి భిన్నంగా X і వ్యవస్థలో (1) నంబరింగ్ ద్వారా మాత్రమే. సిస్టమ్ (6) అనేది సిస్టమ్ (1)కి సమానం కాబట్టి, సిస్టమ్ (1) యొక్క పరిష్కారం గురించిన తీర్మానం సిస్టమ్ (6)కి పరిష్కారం గురించిన ముగింపుకు సమానం.

సహజంగానే, కనీసం ఒక సంఖ్య అయినా
(u=k+1, ... , n) సున్నాకి సమానం కాదు, అప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణం (6), కాబట్టి సిస్టమ్ (1) సమీకరణం అననుకూలంగా ఉంటాయి. అన్నీ (i=k+1, ... , n) సున్నాకి సమానం అయితే, సమీకరణాలు స్థిరంగా ఉంటాయి. అదే సమయంలో తెలియదు
ఏదైనా విలువలు ఇవ్వవచ్చు మరియు సిస్టమ్ కింది పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది:

,

ఎక్కడ t1, t2, ... , te ( =n-k) ఏకపక్ష

తెలియని వారి అసలు వ్యవస్థకు తిరిగి వెళ్లడం సౌకర్యంగా ఉండటానికి, పరివర్తనల సమయంలో పొందిన మాత్రికల నిలువు వరుసలపై సంబంధిత తెలియని వారి హోదాలను వ్రాయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అసలు సిస్టమ్ (1) సజాతీయంగా ఉంటే, అన్ని సంఖ్యలు (u=1, 2, ... , n) సున్నాకి సమానం అని కూడా మేము సూచిస్తాము. కాబట్టి, క్రింది రెండు ప్రకటనలు ఉన్నాయి.

1. 1వ క్రమం యొక్క సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది.

2. 1వ క్రమం యొక్క సజాతీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క నిర్ణాయకం సున్నాకి సమానం అయితే, సిస్టమ్ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 2

పరిష్కారం

ఫలిత మాతృకకు అనుగుణంగా ఉండే సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది, x4=t ఏకపక్షంగా ఉంటుంది. సిస్టమ్ అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది

ఇక్కడ t అనేది ఏకపక్ష సంఖ్య.

ఈక్వేషన్స్‌లోని ఉచిత నిబంధనలు షరతులో పేర్కొన్న వాటి కంటే భిన్నంగా ఉంటే, సిస్టమ్ అననుకూలంగా ఉండవచ్చని గమనించండి. ఉదాహరణకు, b4=1. అప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క రూపాంతరం చెందిన మాతృక ఉంటుంది

మరియు సిస్టమ్ యొక్క చివరి సమీకరణం 0x1+0x2+0x3+0x4=1 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది, ఇది అర్ధవంతం కాదు.

ఉదాహరణ 3.

పరిష్కారం.

సిస్టమ్ అనుకూలమైనది, x2=t ఏకపక్షం; x1=1-t, x2=t, x3=-2, x4=1.

తెలియని వారి సంఖ్య సమీకరణాల సంఖ్యతో ఏకీభవించనప్పుడు విశ్లేషించబడిన పద్ధతిని ఎటువంటి మార్పులు లేకుండా బదిలీ చేయవచ్చు.

II. సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు

1.20 వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారిని గణిద్దాం

సిస్టమ్ యొక్క డిటర్మినేంట్ నాన్ జీరో అయినందున, మేము క్రామర్ నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము. detB1 యొక్క నిర్ణాయకాన్ని లెక్కించడానికి, మేము నిలువు వరుసను భర్తీ చేస్తాము ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ ద్వారా సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణయాధికారి
. మన దగ్గర ఉంది

కాలమ్‌ను భర్తీ చేయడం ద్వారా డిటర్మినెంట్ detB2 పొందబడుతుంది
ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ ద్వారా సిస్టమ్ యొక్క నిర్ణాయకం:

క్రామెర్ నియమం ప్రకారం, మేము కనుగొన్నాము
;

సంఖ్యల సమితి (5;-4) ఈ వ్యవస్థకు ఏకైక పరిష్కారం.

1.21 సిస్టమ్ పరిష్కారాలను కనుగొనండి

సున్నా కాకుండా సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్స్ డిటర్మినేట్:

detA=
=2·3·(-5)+5·(-9) ·2+(-8) ·4·3-(-8) ·3·2-5·4·(-5)-2·3· (-9)=-140

కాబట్టి, మేము క్రామెర్ నియమాన్ని వర్తింపజేయవచ్చు

ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము
;
;

సంఖ్యల సమితి (3, 2, 1) వ్యవస్థకు ఏకైక పరిష్కారం.

1.22 వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

/IVp+II-I-III/ ~

సిస్టమ్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క డిటర్మినేంట్ సున్నాకి సమానం అని చూడటం సులభం, ఎందుకంటే దాని 4వ వరుసలో సున్నాలు ఉంటాయి. పొడిగించిన మాతృక యొక్క చివరి వరుస సిస్టమ్ అనుకూలంగా లేదని సూచిస్తుంది.

1.23 వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాస్దాం

/IIp. -2· I, IIIp. -I, IVp. -II-III/ ~
~

/డివైడ్ ІІІр. వద్ద (-3), IVp. ద్వారా (-3)/

~
/ఐఆర్. +2· ІІ/ ~

అన్ని పరివర్తనల ఫలితంగా, ఈ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గించబడింది.

దీనికి ఒకే ఒక పరిష్కారం ఉంది.

x3=1 x4=-1 x2=-2 x1=2 ▲

సమీకరణాలు అనుకూలంగా ఉంటాయి, x4=t ఏకపక్షం,

1.25 సిస్టమ్ పరిష్కారాలను కనుగొనండి

సిస్టమ్ స్థిరంగా ఉంటుంది, x4=t ఏకపక్షంగా ఉంటుంది,

1.26 వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

సిస్టమ్ అనుకూలమైనది, x4=t ఏకపక్షం, x1=t, x2=-2t, x3=0, x4=t. ▲
^

§6 మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్, ఫస్ట్-ఆర్డర్ సమీకరణాల వ్యవస్థల అనుకూలతపై సిద్ధాంతం

1వ ఆర్డర్ సమీకరణాల పరిష్కార వ్యవస్థలకు సంబంధించిన అనేక సమస్యలను అధ్యయనం చేయడానికి, భావన తరచుగా పరిచయం చేయబడుతుంది మాతృక ర్యాంక్.

నిర్వచనం.మాతృక యొక్క ర్యాంక్ అనేది కొన్ని అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను తొలగించడం ద్వారా ఇచ్చిన మాతృక నుండి పొందిన స్క్వేర్ సబ్‌మ్యాట్రిక్స్ యొక్క నాన్‌జీరో డిటర్మినెంట్ యొక్క అత్యధిక క్రమం.

ఉదాహరణకు, మాతృకను పరిగణించండి

ఎన్ని అడ్డు వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలను తొలగించడం ద్వారా, ఇచ్చిన మ్యాట్రిక్స్ నుండి 3 కంటే ఎక్కువ ఆర్డర్ యొక్క స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్‌ను పొందడం అసాధ్యం. అందువల్ల, దాని ర్యాంక్ మూడు కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు. కానీ నిలువు వరుసలలో ఒకదానిని దాటడం ద్వారా, మేము రెండు ఒకే వరుసలను కలిగి ఉన్న చదరపు మాత్రికలను పొందుతాము మరియు అందువల్ల వాటి నిర్ణాయకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, అసలు మాతృక యొక్క ర్యాంక్ 3 కంటే తక్కువ. ఉదాహరణకు, 3వ మరియు 4వ నిలువు వరుసలు మరియు 3వ అడ్డు వరుసలను దాటడం ద్వారా, మనకు చదరపు మాతృక లభిస్తుంది
, దీని నిర్ణాయకం సున్నాకి సమానం కాదు. ఈ విధంగా, 3వ ఆర్డర్ సబ్‌మ్యాట్రిక్స్ యొక్క అన్ని డిటర్‌మెంట్లు సున్నాకి సమానం, కానీ 2వ ఆర్డర్ మాత్రికల నిర్ణాయకాలలో నాన్‌జీరో ఒకటి ఉంటుంది. అందువలన, అసలు మాతృక యొక్క ర్యాంక్ రెండుకి సమానం.

సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిద్దాం: మాతృక యొక్క ర్యాంక్ దాని వరుసలపై సరళ కార్యకలాపాల సమయంలో మారదు.

నిజానికి, ఏదైనా మాత్రిక యొక్క వరుసలతో కూడిన లీనియర్ ఆపరేషన్‌లు ఏదైనా సబ్‌మ్యాట్రిక్స్ యొక్క వరుసలతో అదే సరళ కార్యకలాపాలకు దారితీస్తాయి. కానీ, పైన పేర్కొన్న విధంగా, స్క్వేర్ మాత్రికల వరుసలతో సరళ కార్యకలాపాల సమయంలో, ఈ మాత్రికల నిర్ణాయకాలు సున్నా నుండి భిన్నమైన సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా ఒకదాని నుండి మరొకటి పొందబడతాయి. అందువల్ల, సున్నా డిటర్మినెంట్ సున్నాగా మిగిలిపోతుంది మరియు సున్నా కాని డిటర్మినెంట్ నాన్-జీరోగా ఉంటుంది, అంటే సబ్‌మాట్రిక్స్ యొక్క నాన్-జీరో డిటర్మినెంట్ యొక్క అత్యధిక క్రమం మారదు. సహజంగానే, నిలువు వరుసలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను ప్రభావితం చేయదు, ఎందుకంటే అటువంటి పునర్వ్యవస్థీకరణ సంబంధిత నిర్ణయాధికారుల చిహ్నాన్ని మాత్రమే ప్రభావితం చేస్తుంది.

నిరూపితమైన సిద్ధాంతం నుండి, మునుపటి పేరాలో పరిగణించబడిన రూపాంతరం చెందిన మాత్రికలు అసలు వాటికి సమానమైన ర్యాంక్‌ను కలిగి ఉన్నాయని అనుసరిస్తుంది. అందువల్ల, మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ రూపాంతరం చెందిన మాతృక యొక్క ప్రధాన వికర్ణంలో ఉన్న వాటి సంఖ్యకు సమానం.

ఇప్పుడు మనం 1వ ఆర్డర్ సమీకరణాల (క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతం) వ్యవస్థల అనుకూలత గురించి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిద్దాం: 1వ ఆర్డర్ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనుకూలంగా ఉండాలంటే, పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ ప్రధాన మాతృక ర్యాంక్‌తో సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ k కి సమానంగా ఉండనివ్వండి. సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ కూడా k అయితే, సిస్టమ్ కేవలం k సమీకరణాలు లేదా అన్ని సంఖ్యలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుందని దీని అర్థం
(i= k+1, ... , k) రూపాంతరం చెందిన మాతృకలో సున్నాకి సమానం (లేకపోతే రూపాంతరం చెందిన పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్, అందువలన అసలు సిస్టమ్, k +1 అవుతుంది)

సిస్టమ్ యొక్క రూపాంతరం చెందిన (అందువలన అసలు) పొడిగించిన మాతృక యొక్క ర్యాంక్ k కంటే ఎక్కువగా ఉండనివ్వండి, అనగా రూపాంతరం చెందిన మాతృక యొక్క ప్రధాన వికర్ణంలో ఉన్న వాటి సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. అప్పుడు (k+1) క్రమం యొక్క కనీసం ఒక సబ్‌మ్యాట్రిక్స్ ఉంది, దీని డిటర్మినెంట్ సున్నాకి సమానంగా ఉండదు. అటువంటి సబ్‌మ్యాట్రిక్స్‌ను ఆర్డర్ k (ఇది రూపాంతరం చెందిన మాతృక యొక్క ఎగువ ఎడమ మూలలో ఉంది) యొక్క గుర్తింపు మాతృకకు కొన్ని ఒక అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసను జోడించడం ద్వారా మాత్రమే పొందవచ్చు, ఇది రూపాంతరం చెందిన సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాల యొక్క మొదటి k ఉచిత నిబంధనలను కలిగి ఉంటుంది. మరియు తదుపరి n-k సమీకరణాల నుండి ఏదైనా ఒక ఉచిత పదం. పేర్కొన్న సబ్‌మ్యాట్రిక్స్ నిర్ణాయకం సున్నా కానిదిగా ఉండాలంటే, ఈ చివరిగా జోడించిన మూలకం అంటే, సంఖ్య (i=k+1, ... , k) కూడా తప్పనిసరిగా సున్నా కాదు. కానీ, ఇంతకు ముందు నిరూపించబడినట్లుగా, ఈ సందర్భంలో
వ్యవస్థ అనుకూలంగా లేదు. అందువల్ల, మెయిన్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ర్యాంక్ పొడిగించిన మాతృక ర్యాంక్‌తో సరిపోలితే మరియు మాత్రమే సిస్టమ్ అనుకూలంగా ఉంటుంది.

II. సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు

1.39 ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను లెక్కించండి

సంకేతం ఎక్కడ ఉంది దాని ద్వారా అనుసంధానించబడిన మాత్రికలు ప్రాథమిక పరివర్తనల ద్వారా ఒకదానికొకటి పొందబడతాయని మరియు అందువల్ల ఒకే ర్యాంక్ కలిగి ఉన్నాయని సూచిస్తుంది.

మాతృక A యొక్క ర్యాంక్ 2, అంటే r=2. ^

1.40 ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను లెక్కించండి

r=3 , ఎందుకంటే మొదటి మూడు నిలువు వరుసల నుండి త్రిభుజాకార మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం సున్నాకి సమానం కాదు. ▲

ఫ్రేమింగ్ పద్ధతిని ఉపయోగించి మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను గణించడం

మేము ఈ మ్యాట్రిక్స్‌లో సున్నాకి భిన్నమైన రెండవ-ఆర్డర్ మైనర్‌ని ఎంచుకుంటాము. ఆ తర్వాత, మేము వాటిలో సున్నా కాని ఒకదాన్ని కనుగొనే వరకు ఎంచుకున్న దాన్ని ఫ్రేమ్ (చేర్చండి) చేసే మూడవ-ఆర్డర్ మైనర్‌లను లెక్కిస్తాము. తర్వాత, మేము వాటిలో నాన్‌జీరో మైనర్‌ను కనుగొనే వరకు మూడవ-ఆర్డర్ నాన్‌జీరో మైనర్‌ను ఫ్రేమ్ చేసే నాల్గవ-ఆర్డర్ మైనర్‌లను లెక్కిస్తాము. మీరు rth క్రమంలో సున్నా కాని మైనర్‌ని కనుగొంటే, మరియు (r+1)వ క్రమాన్ని రూపొందించే మైనర్‌లందరూ సున్నాకి సమానం లేదా అవి ఉనికిలో లేకుంటే, మాతృక ర్యాంక్ rకి సమానం.

1.41 మాతృక ర్యాంక్‌ను లెక్కించండి

∆
IIIని దాటింది. , 2·ఆర్ఆర్ నుండి. +నేను ఐసార్.

ఎంచుకుందాం, ఉదాహరణకు,

దీన్ని ఫ్రేమ్ చేసే మూడవ-ఆర్డర్ మైనర్‌లను లెక్కిద్దాం

సున్నా నుండి భిన్నమైన మూడవ క్రమంలో మైనర్.

ఇది సున్నాకి సమానమైన ఇచ్చిన మాతృక యొక్క నాల్గవ ఆర్డర్ డిటర్మినేంట్‌లో ఉంటుంది. కాబట్టి, r=3. ▲

1.42 సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించండి

a) ఇక్కడ r(A)=3, r(B)=3; సిస్టమ్ అనుకూలమైనది, నిర్వచించబడింది.

ఎందుకంటే
,

మొదటి మూడు వ్యవస్థల నుండి, ఉదాహరణకు, క్రామెర్ సూత్రాల ప్రకారం, మేము కనుగొంటాము

x1=-1, x2=0, x3=1

బి) ఇక్కడ r(A)=2, r(B)=2; సిస్టమ్ అనుకూలమైనది కానీ నిర్వచించబడలేదు.

నిర్ణాయకం

మరియు సిస్టమ్ యొక్క మొదటి రెండు సమీకరణాల నుండి

ఇక్కడ తెలియని x3 మరియు x4 లకు ఏవైనా విలువలు ఇవ్వవచ్చు.

సి) ఈ సందర్భంలో r(A)=2, r(B)=3; మరియు వ్యవస్థ అనుకూలంగా లేదు.

1.43 గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి (తెలియని వారి వరుస తొలగింపు), సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

మరియు దాని ప్రాథమిక పరిష్కారాల వ్యవస్థను కనుగొనండి.

సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాద్దాం (ఈ సందర్భంలో, సున్నా కాలమ్ వ్రాయబడదు). స్పష్టమైన పరివర్తనల తర్వాత మేము కలిగి ఉంటాము

అంటే, ఇవ్వబడిన వ్యవస్థ కింది వాటికి సమానం:

ఇక్కడ r=3, మరియు మూడు తెలియని వాటిని తరువాతి పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు, ఉదాహరణకు, ఇలా:

x 2 = -2x 3 -3x 4 -9x 5 = -2x 3 -12x 5

x 1 = -2x 2 -3x 3 -4x 4 -5x 5 =x 3 +15x 5

ఉచిత తెలియని x3, x5 విలువ x3=1, x5=0 (అప్పుడు x1=1, x2=-2, x4=0) మరియు x3=0, x5=1 (విలువ) ఇచ్చినట్లయితే ప్రాథమిక వ్యవస్థను పొందవచ్చు. తర్వాత x1=15, x2=-12, x4=1). ఇది పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను అందిస్తుంది:

ఇ 1 =(1, -2, 1, 0, 0), ఇ 2 =(15, -12, 0, 1, 1)

ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఉపయోగించి, సాధారణ పరిష్కారం తరచుగా పరిష్కారాల సరళ కలయికగా వ్రాయబడుతుంది ఇ 1 టా ఇ 2, అంటే:

1.44 సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను కనుగొని దాని సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్రాయండి

మూడవ పంక్తిని విస్మరిద్దాం. సిస్టమ్ ప్రధాన తెలియని x1, x2 మరియు ఉచిత తెలియని x3, x4తో దశలవారీగా కుదించబడింది:

చివరి సమీకరణం నుండి
. మొదటి నుండి
2 ఉచిత తెలియనివి ఉన్నాయి కాబట్టి, మేము ద్వితీయ వికర్ణం యొక్క ప్రధాన వికర్ణ మరియు సున్నా మూలకాల యొక్క యూనిట్ మూలకాలతో రెండవ-ఆర్డర్ డిటర్మినేట్‌ను తీసుకుంటాము:
.

వెక్టార్‌ని తీసుకుందాం ఇ 1 = (
)

వెక్టర్స్ ఇ 1 మరియు ఇపరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను సూచిస్తుంది.

ఇప్పుడు సాధారణ పరిష్కారాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు

గుణకాలు కేటాయించడం , ఏదైనా (ఏకపక్ష) సంఖ్యా విలువలు మేము వివిధ పాక్షిక పరిష్కారాలను పొందుతాము.

/అన్ని పంక్తుల నుండి IVని తీసివేయండి/

మొదటి పంక్తికి అనులోమానుపాతంలో ఉన్న II, III, V పంక్తులు దాటబడతాయి. ఫలిత మాతృకలో మేము I మరియు II నిలువు వరుసలను క్రమాన్ని మార్చాము:

మాతృక యొక్క ర్యాంక్ 2.

ప్రధాన తెలియనివి x2 మరియు x1. ఉచిత - x3, x4, x5. సిస్టమ్ ఇప్పుడు ఇలా కనిపిస్తుంది:

డిటర్మినెంట్ యొక్క నిలువు వరుసల మూలకాలకు సమానమైన ఉచిత తెలియని వాటికి వరుసగా విలువలను కేటాయించడం

1) x3=1, x4=0, x5=0; 2) x3=0, x4=1, x5=0; 3) x3=0, x4=0, x5=1

1) x2=1, x1=1; 2) x2=1, x1=-2; 3) x2=-2, x1=1

అంటే, వెక్టర్స్ C 1 = (1, 2, 1, 0, 0)

సి 2 =(-2, 1, 0, 1, 0)

సి 3 =(1, -2, 0, 0, 1)

పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తుంది. సిస్టమ్ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం ఇప్పుడు అలాగే ఉంటుంది.

గుణకం మాతృక

ర్యాంక్ r=2 (చెక్) కలిగి ఉంది.

ప్రాథమిక మైనర్ కోసం ఎంచుకుందాం

అప్పుడు తగ్గిన సిస్టమ్ రూపం కలిగి ఉంటుంది:

ఎక్కడ, లెక్కింపు x3=c1, x4=c2, x5=c3, మేము కనుగొంటాము

వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం

సాధారణ పరిష్కారం నుండి మేము పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను కనుగొంటాము

ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఉపయోగించి, సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్రాయవచ్చు

e=с1e1+с2e2+с3e3
^

§7 మాత్రికలతో ప్రాథమిక కార్యకలాపాలు

మునుపటి పేరాలో, వివిధ మాత్రికల వరుసలు మరియు నిలువు వరుసలతో సరళ కార్యకలాపాలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడ్డాయి. కానీ లీనియర్ బీజగణితం యొక్క కొన్ని ప్రశ్నలలో ఒకే వస్తువు వలె మాత్రికలతో కార్యకలాపాలను పరిగణించడం అవసరం.

మాత్రికలతో కార్యకలాపాల అధ్యయనం మాతృక సమానత్వం అనే భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మేము దీని నుండి ముందుకు వెళ్తాము నిర్వచనాలు: ఒకే పరిమాణంలోని రెండు మాత్రికలు వాటి సంబంధిత అంశాలన్నీ సమానంగా ఉంటే సమానం అని చెప్పబడింది.

పర్యవసానంగా, Aik=Bik i=1, 2,... , n అయితే, అదే పరిమాణం nxm యొక్క A మరియు B మాత్రికలు సమానం అయితే మరియు మాత్రమే; k=1, 2,... , m. అదే సమయంలో, ఒకే పరిమాణంలోని మాత్రికలను మాత్రమే పోల్చవచ్చని మేము మరోసారి నొక్కిచెబుతున్నాము.

ఒకే డైమెన్షన్ nxm యొక్క రెండు మాత్రికల మొత్తం A మరియు B అదే పరిమాణంలో ఉన్న మాతృక C.

(C) ik =(A) ik +(B) ik (1)

కాబట్టి, మాత్రికలను జోడించేటప్పుడు (మీరు ఒకే పరిమాణంలోని మాత్రికలను మాత్రమే జోడించగలరు), మీరు వాటి సంబంధిత అంశాలన్నింటినీ తప్పనిసరిగా జోడించాలి.

మాత్రికలను జోడించడం సంఖ్యలను జోడించడాన్ని తగ్గిస్తుంది కాబట్టి - ఈ మాత్రికల మూలకాలు, సహజంగానే, కమ్యుటేటివ్ మరియు అనుబంధ లక్షణం ఉంది.

A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C) (2)

మాతృక A మరియు సంఖ్య  (లేదా సంఖ్య  మరియు మాతృక A) యొక్క ఉత్పత్తి మాతృక B అంటే

(B) ik =(A) ik (3),

అంటే, మాతృకను సంఖ్యతో (లేదా సంఖ్యలను మాతృకతో) గుణించినప్పుడు, మాతృకలోని అన్ని మూలకాలను తప్పనిసరిగా ఈ సంఖ్యతో గుణించాలి. మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సంఖ్యతో గుణించేటప్పుడు, ఈ సంఖ్యతో ఏదైనా అడ్డు వరుస (లేదా నిలువు వరుస) యొక్క మూలకాలను మాత్రమే గుణిస్తే సరిపోతుందని గుర్తుంచుకోండి.

మాతృకను సంఖ్యతో గుణించినప్పుడు, పంపిణీ ఆస్తి కలిగి ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడం సులభం:

(A+B)=A+B; (+)=A+B (4)

ఇప్పుడు మనం రెండు మాత్రికల ఉత్పత్తిని నిర్వచిద్దాం. డైమెన్షన్ nxm యొక్క మ్యాట్రిక్స్ A మరియు డైమెన్షన్ mxp యొక్క మ్యాట్రిక్స్ B ఇవ్వబడనివ్వండి.

నిర్వచనం. డైమెన్షన్ mxp యొక్క మాతృక B ద్వారా డైమెన్షన్ nxm యొక్క మాతృక A యొక్క ఉత్పత్తి nxp యొక్క మాతృక C పరిమాణం nxp

(5),

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఉత్పత్తి మాతృక యొక్క i-వ వరుసలో మరియు k-వ నిలువు వరుసలో ఉన్న మూలకాన్ని పొందేందుకు, మీరు మొదటి కారకం యొక్క i-వ వరుస యొక్క మూలకాల యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని లెక్కించాలి. మరియు రెండవ కారకం యొక్క k-th నిలువు వరుస యొక్క సంబంధిత అంశాలు. కాబట్టి, పేర్కొన్న మొత్తాన్ని జోడించడానికి, మొదటి మాతృకలోని నిలువు వరుసల సంఖ్య (అంటే, ప్రతి అడ్డు వరుసలోని మూలకాల సంఖ్య) తప్పనిసరిగా ఇతర వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండాలి (అంటే, సంఖ్య ప్రతి నిలువు వరుసలోని మూలకాలు).

ఉదాహరణ 1.

ABని కనుగొనండి

పరిష్కారం. మ్యాట్రిక్స్ A పరిమాణం 3x2, మాతృక B 2x2 పరిమాణం కలిగి ఉంటుంది; ఉత్పత్తి ఉంది - ఇది 3x2 మాతృక.

మాత్రికల ఉత్పత్తికి మార్చదగిన ఆస్తి లేదు: AB, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, BAకి సమానం కాదు.

ముందుగా, ABని లెక్కించవచ్చు అనే వాస్తవం నుండి, BA అర్ధవంతంగా ఉంటుందని ఇది అస్సలు అనుసరించదు. ఉదాహరణకు, ఇప్పుడే చర్చించిన ఉదాహరణలో, కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం, అంటే, Bని Aతో గుణించడం అసాధ్యం, ఎందుకంటే 2x2 మాతృకను 3x2 మాతృకతో గుణించడం అసాధ్యం - ఇక్కడ మొదటి మాత్రిక యొక్క నిలువు వరుసల సంఖ్య సమానంగా ఉండదు. ఇతర వరుసల సంఖ్య. కానీ ఉత్పత్తి BA ఉనికిలో ఉన్నప్పటికీ, తరచుగా
. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

వీలు
. అప్పుడు

అదే సమయంలో, అది నిరూపించబడవచ్చు (రీడర్ అటువంటి రుజువును నిర్వహించాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము).

(AB)C=A(BC) (6)

A(B+C)=AB+AC

(సాధారణంగా ఈ పనులన్నింటికీ అర్థం ఉందని భావించబడుతుంది).

మాతృక ఉత్పత్తి యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, అదే క్రమంలో చతురస్రాకార మాత్రికలను గుణించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యపడుతుంది మరియు ఉత్పత్తి అదే క్రమంలో మాతృకగా ఉంటుంది. అదే క్రమంలో ఉన్న చదరపు మాత్రికల ఉత్పత్తి యొక్క లక్షణాలలో ఒకదానిని రుజువు లేకుండా గమనించండి: ఒకే క్రమంలో ఉన్న రెండు మాత్రికల ఉత్పత్తిని నిర్ణయించే అంశం గుణించబడిన మాత్రికల నిర్ణయాధికారుల ఉత్పత్తికి సమానం.

చాలా తరచుగా మనం డైమెన్షన్ mx1 యొక్క మాతృక ద్వారా డైమెన్షన్ nxm యొక్క మాతృక యొక్క ఉత్పత్తిని పరిగణించాలి, అంటే ఒక నిలువు వరుసతో కూడిన మాతృక. సహజంగానే, ఫలితంగా మనం డైమెన్షన్ nx1 యొక్క మాతృకను పొందాలి, అంటే ఒక నిలువు వరుసతో కూడిన మాతృక కూడా. ఉదాహరణకు, మీరు మాతృకను గుణించాలి

మాతృకకు

ఫలితంగా, మేము మాతృకను పొందుతాము
, సూత్రాలను ఉపయోగించి గణించబడే అంశాలు:

కానీ దీని అర్థం మునుపటి పేరాలో చర్చించబడిన 1వ ఆర్డర్ సమీకరణాల వ్యవస్థ చాలా అనుకూలమైన మాతృక రూపంలో వ్రాయబడుతుంది: AX=B.

మాతృక బీజగణితం యొక్క వివిధ అనువర్తనాల్లో ఒక ముఖ్యమైన పాత్ర ఒక చదరపు మాతృక ద్వారా పోషించబడుతుంది, దీనిలో అన్ని వికర్ణ మూలకాలు (అంటే, ప్రధాన వికర్ణంలో ఉన్న మూలకాలు) 1కి సమానంగా ఉంటాయి మరియు అన్ని ఇతర మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి. అటువంటి మాతృకను గుర్తింపు మాతృక అంటారు. సహజంగానే, గుర్తింపు మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి

= 1

గుర్తింపు మాతృక యొక్క క్రింది లక్షణాలు విశిష్టమైనవి: n యొక్క స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ A మరియు అదే ఆర్డర్ యొక్క E-యూనిట్ మాతృకను ఇవ్వండి. అప్పుడు AE=EA=A.

నిజంగా
, కానీ

అందువలన మొత్తంగా
e=k సున్నాకి భిన్నంగా ఉండే భాగాలు మాత్రమే. పర్యవసానంగా, (AE) ік =(A) ік, అందుచేత AE=A. మేము ఉత్పత్తి EA కోసం అదేవిధంగా పొందుతాము.

సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలు

1.61. రెండు మాత్రికల ఉత్పత్తి AB మరియు BAని కనుగొనండి

∆ ఉత్పత్తి AB ఉనికిలో లేదు, ఎందుకంటే మాతృక A యొక్క నిలువు వరుసల సంఖ్య మాతృక B యొక్క వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండదు. మాతృక B యొక్క నిలువు వరుసల సంఖ్య మాతృక A యొక్క వరుసల సంఖ్యకు సమానం. కాబట్టి, ఉత్పత్తి BA ఉంది:

1.62 ఉంటే 2A+5B మాతృకను కనుగొనండి

1. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి: సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా సమీకరణం నుండి మనం తెలియని ఒకదాన్ని మరొక దాని ద్వారా వ్యక్తీకరిస్తాము మరియు దానిని సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలోకి మారుస్తాము.

టాస్క్.సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం.వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం నుండి మనం వ్యక్తపరుస్తాము వద్దద్వారా Xమరియు దానిని సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలోకి మార్చండి. వ్యవస్థను పొందుదాం అసలు దానికి సమానం.

సారూప్య నిబంధనలను తీసుకువచ్చిన తర్వాత, సిస్టమ్ ఈ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

రెండవ సమీకరణం నుండి మనం కనుగొంటాము: . ఈ విలువను సమీకరణంలోకి మార్చడం వద్ద = 2 - 2X, మాకు దొరికింది వద్ద= 3. కాబట్టి, ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారం ఒక జత సంఖ్యలు.

2. బీజగణిత సంకలన పద్ధతి: రెండు సమీకరణాలను జోడించడం ద్వారా, మీరు ఒక వేరియబుల్‌తో సమీకరణాన్ని పొందుతారు.

టాస్క్.సిస్టమ్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం.రెండవ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2 ద్వారా గుణించడం, మేము వ్యవస్థను పొందుతాము అసలు దానికి సమానం. ఈ వ్యవస్థ యొక్క రెండు సమీకరణాలను జోడిస్తే, మేము సిస్టమ్‌కు చేరుకుంటాము

సారూప్య నిబంధనలను తీసుకువచ్చిన తర్వాత, ఈ సిస్టమ్ ఈ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: రెండవ సమీకరణం నుండి మనం కనుగొంటాము. ఈ విలువను సమీకరణం 3గా మార్చడం X + 4వద్ద= 5, మేము పొందుతాము , ఎక్కడ . కాబట్టి, ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారం ఒక జత సంఖ్యలు.

3. కొత్త వేరియబుల్స్‌ని పరిచయం చేసే విధానం: మేము సిస్టమ్‌లో కొన్ని పునరావృత వ్యక్తీకరణల కోసం చూస్తున్నాము, వీటిని మేము కొత్త వేరియబుల్స్ ద్వారా సూచిస్తాము, తద్వారా సిస్టమ్ రూపాన్ని సులభతరం చేస్తాము.

టాస్క్.సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

పరిష్కారం.ఈ వ్యవస్థను విభిన్నంగా వ్రాస్దాం:

వీలు x + y = u, xy = v.అప్పుడు మేము వ్యవస్థను పొందుతాము

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరిద్దాం. వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం నుండి మనం వ్యక్తపరుస్తాము uద్వారా vమరియు దానిని సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలోకి మార్చండి. వ్యవస్థను పొందుదాం ఆ.

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం నుండి మనం కనుగొంటాము v 1 = 2, v 2 = 3.

ఈ విలువలను సమీకరణంలోకి మార్చడం u = 5 - v, మాకు దొరికింది u 1 = 3,
u 2 = 2. అప్పుడు మనకు రెండు వ్యవస్థలు ఉన్నాయి

మొదటి వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తే, మనకు రెండు జతల సంఖ్యలు (1; 2), (2; 1) లభిస్తాయి. రెండవ వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు.

స్వతంత్ర పని కోసం వ్యాయామాలు

1. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించండి.