హేతుబద్ధమైన అసమానతలను పరిష్కరించడం. విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి హేతుబద్ధమైన అసమానతలను పరిష్కరించడం

మేము "ఒక వేరియబుల్‌తో అసమానతలను పరిష్కరించడం" అనే అంశాన్ని పరిశీలిస్తాము. సరళ అసమానతలు మరియు చతుర్భుజ అసమానతలతో మనకు ఇప్పటికే సుపరిచితం. అవి ప్రత్యేక కేసులు హేతుబద్ధమైన అసమానతలు, మేము ఇప్పుడు అధ్యయనం చేస్తాము. ఏ రకమైన అసమానతలను హేతుబద్ధంగా పిలుస్తారో తెలుసుకోవడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. తదుపరి మేము మొత్తం హేతుబద్ధమైన మరియు పాక్షిక హేతుబద్ధమైన అసమానతలుగా వారి విభజనను పరిశీలిస్తాము. మరియు దీని తరువాత మేము ఒక వేరియబుల్‌తో హేతుబద్ధమైన అసమానతలను ఎలా పరిష్కరించాలో అధ్యయనం చేస్తాము, సంబంధిత అల్గారిథమ్‌లను వ్రాసి వివరణాత్మక వివరణలతో సాధారణ ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

హేతుబద్ధమైన అసమానతలు అంటే ఏమిటి?

పాఠశాలలో ఆల్జీబ్రా తరగతుల్లో, అసమానతలను పరిష్కరించడం గురించి సంభాషణ ప్రారంభమైన వెంటనే, మేము వెంటనే హేతుబద్ధమైన అసమానతలను ఎదుర్కొంటాము. ఏదేమైనా, మొదట వారు వారి పేరుతో పిలవబడరు, ఎందుకంటే ఈ దశలో అసమానతల రకాలు తక్కువ ఆసక్తిని కలిగి ఉంటాయి మరియు అసమానతలతో పనిచేయడంలో ప్రారంభ నైపుణ్యాలను పొందడం ప్రధాన లక్ష్యం. "హేతుబద్ధమైన అసమానత" అనే పదం 9వ తరగతిలో ఈ ప్రత్యేక రకం అసమానతలపై వివరణాత్మక అధ్యయనం ప్రారంభించినప్పుడు పరిచయం చేయబడింది.

హేతుబద్ధమైన అసమానతలు ఏమిటో తెలుసుకుందాం. ఇక్కడ నిర్వచనం ఉంది:

పేర్కొన్న నిర్వచనం వేరియబుల్స్ సంఖ్య గురించి ఏమీ చెప్పలేదు, అంటే వాటిలో ఎన్ని అయినా అనుమతించబడతాయి. దీనిపై ఆధారపడి, ఒకటి, రెండు, మొదలైన వాటితో హేతుబద్ధమైన అసమానతలు వేరు చేయబడతాయి. వేరియబుల్స్. మార్గం ద్వారా, పాఠ్యపుస్తకం ఇదే విధమైన నిర్వచనాన్ని ఇస్తుంది, కానీ ఒక వేరియబుల్తో హేతుబద్ధమైన అసమానతలకు. పాఠశాల ఒక వేరియబుల్‌తో అసమానతలను పరిష్కరించడంపై దృష్టి సారిస్తుంది కాబట్టి ఇది అర్థమయ్యేలా ఉంది (క్రింద మేము ఒక వేరియబుల్‌తో హేతుబద్ధమైన అసమానతలను పరిష్కరించడం గురించి మాత్రమే మాట్లాడుతాము). రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతలుతక్కువగా పరిగణించబడతాయి మరియు మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్తో అసమానతలు ఆచరణాత్మకంగా ఎటువంటి శ్రద్ధ ఇవ్వబడవు.

కాబట్టి, హేతుబద్ధమైన అసమానతను దాని సంజ్ఞామానం ద్వారా గుర్తించవచ్చు, దాని ఎడమ మరియు కుడి వైపులా ఉన్న వ్యక్తీకరణలను చూడండి మరియు అవి హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు అని నిర్ధారించుకోండి. ఈ పరిశీలనలు హేతుబద్ధమైన అసమానతలకు ఉదాహరణలు ఇవ్వడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి. ఉదాహరణకు, x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), హేతుబద్ధమైన అసమానతలు. మరియు అసమానత హేతుబద్ధమైనది కాదు, ఎందుకంటే దాని ఎడమ వైపు మూల చిహ్నం క్రింద వేరియబుల్ ఉంటుంది మరియు కనుక ఇది హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ కాదు. అసమానత కూడా హేతుబద్ధమైనది కాదు, ఎందుకంటే దాని రెండు భాగాలు హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు కావు.

మరింత వివరణ సౌలభ్యం కోసం, మేము పూర్ణాంకం మరియు భిన్నమైనవిగా హేతుబద్ధ అసమానతలను విభజించడాన్ని పరిచయం చేస్తాము.

నిర్వచనం.

మేము హేతుబద్ధమైన అసమానత అని పిలుస్తాము మొత్తం, దాని రెండు భాగాలు మొత్తం హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు అయితే.

నిర్వచనం.

పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతహేతుబద్ధమైన అసమానత, కనీసం ఒక భాగమైనా పాక్షిక వ్యక్తీకరణ.

కాబట్టి 0.5 x≤3 (2−5 y) , పూర్ణాంకాల అసమానతలు, మరియు 1:x+3>0 మరియు - పాక్షికంగా హేతుబద్ధమైనది.

హేతుబద్ధమైన అసమానతలు అంటే ఏమిటో ఇప్పుడు మనకు స్పష్టమైన అవగాహన ఉంది మరియు ఒక వేరియబుల్‌తో పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతలను పరిష్కరించే సూత్రాలను సురక్షితంగా అర్థం చేసుకోవడం ప్రారంభించవచ్చు.

మొత్తం అసమానతలను పరిష్కరించడం

మనమే ఒక పనిని నిర్దేశించుకుందాం: r(x) ఫారమ్‌లోని ఒక వేరియబుల్ xతో మొత్తం హేతుబద్ధమైన అసమానతను పరిష్కరించాలని అనుకుందాం. , ≥), ఇక్కడ r(x) మరియు s(x) కొన్ని పూర్ణాంకాల హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలు. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము సమానమైన అసమానత పరివర్తనలను ఉపయోగిస్తాము.

వ్యక్తీకరణను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలిద్దాం, ఇది r(x)−s(x) రూపం యొక్క సమానమైన అసమానతకు దారి తీస్తుంది.<0 (≤, >, ≥) కుడివైపు సున్నాతో. సహజంగానే, ఎడమ వైపున ఏర్పడిన వ్యక్తీకరణ r(x)−s(x) కూడా పూర్ణాంకం, మరియు అది ఏదైనా అని తెలుస్తుంది. r(x)−s(x) వ్యక్తీకరణను ఒకే సమానమైన బహుపది h(x)గా మార్చిన తర్వాత (ఇక్కడ మేము r(x)−s(x) మరియు h(x) అనే వ్యక్తీకరణలు ఒకే వేరియబుల్ xని కలిగి ఉన్నాయని గమనించాము), మేము సమానమైన అసమానత h(x)కి వెళ్తాము<0 (≤, >, ≥).

సరళమైన సందర్భాల్లో, అవసరమైన పరిష్కారాన్ని పొందడానికి పరివర్తనలు సరిపోతాయి, ఎందుకంటే అవి అసలైన మొత్తం హేతుబద్ధమైన అసమానత నుండి అసమానతకి దారి తీస్తాయి, ఉదాహరణకు, సరళ లేదా చతురస్రాకారానికి ఎలా పరిష్కరించాలో మాకు తెలుసు. ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

మొత్తం హేతుబద్ధ అసమానత x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1కి పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

మొదట మనం వ్యక్తీకరణను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలిస్తాము: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. ఎడమ వైపున ప్రతిదీ పూర్తి చేసిన తర్వాత, మేము సరళ అసమానత 3·x−2≤0 వద్దకు వస్తాము, ఇది అసలైన పూర్ణాంక అసమానతకు సమానం. పరిష్కారం కష్టం కాదు:
3 x≤2 ,
x≤2/3.

సమాధానం:

x≤2/3.

ఉదాహరణ.

అసమానతను పరిష్కరించండి (x 2 +1) 2 -3 x 2 >(x 2 -x) (x 2 +x).

పరిష్కారం.

మేము వ్యక్తీకరణను కుడి వైపు నుండి బదిలీ చేయడం ద్వారా ఎప్పటిలాగే ప్రారంభిస్తాము, ఆపై దీన్ని ఉపయోగించి ఎడమ వైపున పరివర్తనలను చేస్తాము:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 -(x 2 -x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 -x 4 +x 2 >0,
1>0 .

ఈ విధంగా, సమానమైన పరివర్తనలను చేయడం ద్వారా, మేము అసమానత 1>0 వద్దకు చేరుకున్నాము, ఇది వేరియబుల్ x యొక్క ఏదైనా విలువకు వర్తిస్తుంది. అసలు పూర్ణాంక అసమానతకు పరిష్కారం ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య అని దీని అర్థం.

సమాధానం:

x - ఏదైనా.

ఉదాహరణ.

అసమానతను పరిష్కరించండి x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

పరిష్కారం.

కుడి వైపున సున్నా ఉంది, కాబట్టి దాని నుండి ఏదైనా తరలించాల్సిన అవసరం లేదు. ఎడమ వైపున ఉన్న మొత్తం వ్యక్తీకరణను బహుపదిలోకి మారుద్దాం:
x+6+2 x 3 −2 x 3 -2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

మేము చతుర్భుజ అసమానతను పొందాము, ఇది అసలు అసమానతకు సమానం. మనకు తెలిసిన ఏదైనా పద్ధతిని ఉపయోగించి మేము దానిని పరిష్కరిస్తాము. చతుర్భుజ అసమానతను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరిద్దాం.

క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ −2 x 2 +11 x+6 మూలాలను కనుగొనండి:

మేము కనుగొన్న సున్నాలను గుర్తించే స్కీమాటిక్ డ్రాయింగ్‌ను తయారు చేస్తాము మరియు ప్రముఖ గుణకం ప్రతికూలంగా ఉన్నందున పారాబొలా యొక్క శాఖలు క్రిందికి మళ్లించబడిందని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము:

మేము > గుర్తుతో అసమానతను పరిష్కరిస్తున్నందున, పారాబొలా x-అక్షం పైన ఉన్న విరామాలపై మాకు ఆసక్తి ఉంది. ఇది విరామం (−0.5, 6)లో జరుగుతుంది, ఇది కావలసిన పరిష్కారం.

సమాధానం:

(−0,5, 6) .

మరింత సంక్లిష్ట సందర్భాలలో, ఫలితంగా అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున h(x)<0 (≤, >, ≥) అనేది మూడవ లేదా అంతకంటే ఎక్కువ డిగ్రీ యొక్క బహుపది. అటువంటి అసమానతలను పరిష్కరించడానికి, విరామం పద్ధతి అనుకూలంగా ఉంటుంది, మొదటి దశలో మీరు బహుపది h(x) యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, ఇది తరచుగా ద్వారా చేయబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

మొత్తం హేతుబద్ధ అసమానత (x 2 +2)·(x+4)కి పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి<14−9·x .

పరిష్కారం.

అన్నింటినీ ఎడమ వైపుకు తరలిద్దాం, దాని తర్వాత:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

ప్రదర్శించిన అవకతవకలు అసమానతకు సమానమైన అసమానతకు దారితీస్తాయి. దాని ఎడమ వైపున మూడవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది ఉంది. ఇది విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, ముందుగా, మీరు x 3 +4 x 2 +11 x−6=0పై ఉండే బహుపది మూలాలను కనుగొనాలి. ఇది హేతుబద్ధమైన మూలాలను కలిగి ఉందో లేదో తెలుసుకుందాం, ఇది ఉచిత పదం యొక్క విభజనలలో మాత్రమే ఉంటుంది, అంటే ±1, ±2, ±3, ±6 సంఖ్యల మధ్య ఉంటుంది. ఈ సంఖ్యలను వేరియబుల్ xకి బదులుగా x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా, సమీకరణం యొక్క మూలాలు 1, 2 మరియు 3 సంఖ్యలు అని మేము కనుగొన్నాము. ఇది బహుపది x 3 +4 x 2 +11 x−6ని ఉత్పత్తిగా (x−1) (x−2) (x−3) , మరియు అసమానత x 3 +4 x 2 +11 x−ని సూచించడానికి అనుమతిస్తుంది. 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

ఆపై విరామ పద్ధతి యొక్క ప్రామాణిక దశలను అమలు చేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది: ఈ పంక్తిని నాలుగు విరామాలుగా విభజించే 1, 2 మరియు 3 కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్లను నంబర్ లైన్‌లో గుర్తించండి, గుర్తులను నిర్ణయించండి మరియు ఉంచండి, దానిపై షేడింగ్ గీయండి. మైనస్ గుర్తుతో విరామాలు (మేము మైనస్ గుర్తుతో అసమానతను పరిష్కరిస్తున్నాము కాబట్టి<) и записать ответ.

మనకు ఎక్కడ నుండి (-∞, 1)∪(2, 3) .

సమాధానం:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

కొన్నిసార్లు ఇది అసమానత r(x)−s(x)కి తగదని గమనించాలి.<0 (≤, >, ≥) అసమానత h(x)కి వెళ్లండి<0 (≤, >, ≥), ఇక్కడ h(x) అనేది రెండు కంటే ఎక్కువ డిగ్రీ ఉన్న బహుపది. r(x)−s(x) అనే వ్యక్తీకరణను లీనియర్ బైనామియల్స్ మరియు క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌ల ఉత్పత్తిగా సూచించడం కంటే బహుపది h(x)ని కారకం చేయడం చాలా కష్టమైన సందర్భాలకు ఇది వర్తిస్తుంది, ఉదాహరణకు, సాధారణ కారకాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం ద్వారా . దీనిని ఒక ఉదాహరణతో వివరిద్దాం.

ఉదాహరణ.

అసమానతను పరిష్కరించండి (x 2 −2·x−1)·(x 2 -19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

పరిష్కారం.

ఇది మొత్తం అసమానత. మేము వ్యక్తీకరణను దాని కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలించినట్లయితే, బ్రాకెట్లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను జోడిస్తే, మనకు అసమానత వస్తుంది x 4 -4 x 3 -16 x 2 +40 x+19≥0. నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది మూలాలను కనుగొనడం వలన దీనిని పరిష్కరించడం చాలా కష్టం. దీనికి హేతుబద్ధమైన మూలాలు లేవని ధృవీకరించడం సులభం (అవి 1, −1, 19 లేదా -19 సంఖ్యలు కావచ్చు), కానీ దాని ఇతర మూలాల కోసం వెతకడం సమస్యాత్మకం. అందుచేత ఈ దారి అంతంతమాత్రంగానే ఉంది.

సాధ్యమయ్యే ఇతర పరిష్కారాల కోసం చూద్దాం. అసలు పూర్ణాంక అసమానత యొక్క కుడి వైపు నుండి వ్యక్తీకరణను ఎడమ వైపుకు బదిలీ చేసిన తర్వాత, మేము బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకం x 2 −2 x−1ని తీసుకోవచ్చు:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 -19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

ప్రదర్శించబడిన పరివర్తన సమానమైనది, కాబట్టి ఫలిత అసమానతకు పరిష్కారం కూడా అసలు అసమానతకు పరిష్కారం అవుతుంది.

మరియు ఇప్పుడు మనం ఫలిత అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క సున్నాలను కనుగొనవచ్చు, దీని కోసం మనకు x 2 -2·x−1=0 మరియు x 2 -2·x−19=0 అవసరం. వాటి మూలాలు సంఖ్యలు . ఇది సమానమైన అసమానతకి వెళ్ళడానికి అనుమతిస్తుంది మరియు మేము దానిని విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు:

మేము డ్రాయింగ్ ప్రకారం సమాధానాన్ని వ్రాస్తాము.

సమాధానం:

ఈ అంశాన్ని ముగించడానికి, బహుపది h(x) యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదని నేను జోడించాలనుకుంటున్నాను మరియు పర్యవసానంగా, దానిని సరళ ద్విపదలు మరియు స్క్వేర్ ట్రినోమియల్‌ల ఉత్పత్తిగా విస్తరించండి. ఈ సందర్భాలలో అసమానత h(x)ని పరిష్కరించడానికి మార్గం లేదు<0 (≤, >, ≥), అంటే అసలు పూర్ణాంకాల హేతుబద్ధ సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనే మార్గం లేదు.

పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతలను పరిష్కరించడం

ఇప్పుడు కింది సమస్యను పరిష్కరిద్దాం: r(x) ఫారమ్‌లోని ఒక వేరియబుల్ xతో పాక్షిక హేతుబద్ధమైన అసమానతను పరిష్కరించాలని అనుకుందాం. , ≥), ఇక్కడ r(x) మరియు s(x) కొన్ని హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు మరియు వాటిలో కనీసం ఒకటి భిన్నం. దాన్ని పరిష్కరించడానికి వెంటనే అల్గోరిథంను అందజేద్దాం, దాని తర్వాత మేము అవసరమైన వివరణలను చేస్తాము.

పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథంఒక వేరియబుల్ r(x)తో , ≥):

• మొదట మీరు అసలు అసమానత కోసం వేరియబుల్ x యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువల (APV) పరిధిని కనుగొనాలి.
• తర్వాత, మీరు వ్యక్తీకరణను అసమానత యొక్క కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలించాలి మరియు అక్కడ ఏర్పడిన r(x)−s(x) వ్యక్తీకరణను భిన్నం p(x)/q(x) రూపంలోకి మార్చాలి , ఇక్కడ p(x) మరియు q(x) అనేవి పూర్ణాంకాల వ్యక్తీకరణలు, ఇవి లీనియర్ ద్విపదలు, విడదీయలేని చతుర్భుజ త్రిపదాలు మరియు సహజ ఘాతాంకంతో వాటి శక్తుల ఉత్పత్తులు.
• తరువాత, మేము విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించి ఫలిత అసమానతను పరిష్కరించాలి.
• చివరగా, మునుపటి దశలో పొందిన పరిష్కారం నుండి, అసలు అసమానత కోసం వేరియబుల్ x యొక్క ODZ లో చేర్చబడని పాయింట్లను మినహాయించడం అవసరం, ఇది మొదటి దశలో కనుగొనబడింది.

ఈ విధంగా పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతకి కావలసిన పరిష్కారం లభిస్తుంది.

అల్గోరిథం యొక్క రెండవ దశకు వివరణ అవసరం. అసమానత యొక్క కుడి వైపు నుండి ఎడమకు వ్యక్తీకరణను బదిలీ చేయడం వలన అసమానత r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), ఇది అసలైన దానికి సమానం. ఇక్కడ ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంది. కానీ p(x)/q(x) రూపానికి దాని తదుపరి రూపాంతరం ద్వారా ప్రశ్నలు తలెత్తుతాయి.<0 (≤, >, ≥).

మొదటి ప్రశ్న: "దీనిని నిర్వహించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమేనా"? సిద్ధాంతపరంగా, అవును. ఏదైనా సాధ్యమేనని మనకు తెలుసు. హేతుబద్ధమైన భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం బహుపదిలను కలిగి ఉంటాయి. మరియు బీజౌట్ యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం మరియు బీజౌట్ సిద్ధాంతం నుండి ఒక వేరియబుల్‌తో డిగ్రీ n యొక్క ఏదైనా బహుపదిని సరళ ద్విపదల ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చు. ఈ పరివర్తనను నిర్వహించే అవకాశాన్ని ఇది వివరిస్తుంది.

ఆచరణలో, బహుపదాలను కారకం చేయడం చాలా కష్టం, మరియు వాటి డిగ్రీ నాలుగు కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అది ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. కారకం అసాధ్యమైతే, అసలు అసమానతకు పరిష్కారం కనుగొనే మార్గం ఉండదు, కానీ అలాంటి సందర్భాలు సాధారణంగా పాఠశాలలో జరగవు.

రెండవ ప్రశ్న: “అసమానత్వం p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) అసమానత r(x)−s(x)కి సమానం<0 (≤, >, ≥), అందువలన అసలుకు”? ఇది సమానమైనది లేదా అసమానమైనది కావచ్చు. వ్యక్తీకరణ p(x)/q(x) కోసం ODZ, r(x)−s(x) వ్యక్తీకరణ కోసం ODZతో సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఇది సమానం. ఈ సందర్భంలో, అల్గోరిథం యొక్క చివరి దశ అనవసరంగా ఉంటుంది. కానీ p(x)/q(x) వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ r(x)−s(x) వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ కంటే విస్తృతంగా ఉండవచ్చు. భిన్నాలు తగ్గించబడినప్పుడు ODZ యొక్క విస్తరణ జరుగుతుంది, ఉదాహరణకు, నుండి కదిలేటప్పుడు కు . అలాగే, ODZ యొక్క విస్తరణ సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావడం ద్వారా సులభతరం చేయబడుతుంది, ఉదాహరణకు, నుండి వెళ్లేటప్పుడు కు . అల్గోరిథం యొక్క చివరి దశ ఈ సందర్భంలో ఉద్దేశించబడింది, దీనిలో ODZ యొక్క విస్తరణ కారణంగా ఉత్పన్నమయ్యే అదనపు నిర్ణయాలు మినహాయించబడతాయి. దిగువ ఉదాహరణలకు మేము పరిష్కారాలను చూసినప్పుడు దీనిని అనుసరించండి.

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, ఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో, మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలోని ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

ఉదాహరణలు:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, విరామం పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. అందువల్ల, క్రింద ఇవ్వబడిన అల్గోరిథం మీకు ఇబ్బందులను కలిగిస్తే, కథనాన్ని పరిశీలించండి .

పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతలను ఎలా పరిష్కరించాలి:

పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం.

ఉదాహరణలు:



సంఖ్య లైన్ విరామాలపై సంకేతాలను ఉంచండి. గుర్తులను ఉంచే నియమాలను నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను:

మేము చిహ్నాన్ని కుడివైపు విరామంలో నిర్ణయిస్తాము - ఈ విరామం నుండి ఒక సంఖ్యను తీసుకొని దానిని Xకి బదులుగా అసమానతలోకి మార్చండి. దీని తరువాత, మేము బ్రాకెట్లలోని సంకేతాలను మరియు ఈ సంకేతాలను గుణించడం యొక్క ఫలితాన్ని నిర్ణయిస్తాము;

ఉదాహరణలు:




అవసరమైన విరామాలను ఎంచుకోండి. ప్రత్యేక రూట్ ఉన్నట్లయితే, దాన్ని చెక్‌బాక్స్‌తో గుర్తించండి, తద్వారా దాన్ని సమాధానంలో చేర్చడం మర్చిపోవద్దు (క్రింద ఉదాహరణ చూడండి).

ఉదాహరణలు:


మీ సమాధానంలో హైలైట్ చేయబడిన ఖాళీలు మరియు ఫ్లాగ్ చేయబడిన మూలాలను (ఏదైనా ఉంటే) వ్రాయండి.

ఉదాహరణలు:
సమాధానం: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)