మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం
వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.
మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.
మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.
మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:
- మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:
- మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
- ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
- మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
- మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.
మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం
మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.
మినహాయింపులు:
- అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో, మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలోని ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
- పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.
కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం
మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.
"బహుపదాలతో హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలు" అనేది గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టెస్ట్ టాస్క్‌లలో అత్యంత సాధారణ అంశాలలో ఒకటి. ఈ కారణంగా, వారి పునరావృతం ప్రత్యేక శ్రద్ధ ఇవ్వాలి. చాలా మంది విద్యార్థులు వివక్షను కనుగొనడం, సూచికలను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు బదిలీ చేయడం మరియు సమీకరణాన్ని సాధారణ హారంలోకి తీసుకురావడం వంటి సమస్యను ఎదుర్కొంటారు, అందుకే అలాంటి పనులను పూర్తి చేయడం ఇబ్బందులను కలిగిస్తుంది. మా వెబ్‌సైట్‌లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సన్నాహకంగా హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం వలన ఏదైనా సంక్లిష్టత యొక్క సమస్యలను త్వరగా ఎదుర్కోవటానికి మరియు ఎగిరే రంగులతో పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించడంలో మీకు సహాయపడుతుంది.
యూనిఫైడ్ మ్యాథమెటిక్స్ పరీక్షకు విజయవంతంగా సిద్ధం కావడానికి ష్కోల్కోవో విద్యా పోర్టల్‌ను ఎంచుకోండి!
తెలియని వాటిని లెక్కించడానికి మరియు సరైన ఫలితాలను సులభంగా పొందేందుకు నియమాలను తెలుసుకోవడానికి, మా ఆన్‌లైన్ సేవను ఉపయోగించండి. Shkolkovo పోర్టల్ అనేది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు ప్రిపేర్ కావడానికి అవసరమైన మెటీరియల్స్ సేకరించే ఒక రకమైన ప్లాట్‌ఫారమ్. మా ఉపాధ్యాయులు అన్ని గణిత నియమాలను క్రమబద్ధీకరించారు మరియు అర్థమయ్యే రూపంలో ప్రదర్శించారు. అదనంగా, ప్రామాణిక హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో వారి చేతిని ప్రయత్నించమని మేము పాఠశాల పిల్లలను ఆహ్వానిస్తున్నాము, దీని ఆధారంగా నిరంతరం నవీకరించబడుతుంది మరియు విస్తరించబడుతుంది.
పరీక్ష కోసం మరింత ప్రభావవంతమైన తయారీ కోసం, మా ప్రత్యేక పద్ధతిని అనుసరించి, నియమాలను పునరావృతం చేయడం మరియు సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించడం ప్రారంభించి, క్రమంగా మరింత సంక్లిష్టమైన వాటికి వెళ్లాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. అందువల్ల, గ్రాడ్యుయేట్ తనకు చాలా కష్టమైన అంశాలను గుర్తించగలడు మరియు వాటిని అధ్యయనం చేయడంపై దృష్టి పెట్టగలడు.
ఈ రోజు ష్కోల్కోవోతో చివరి పరీక్ష కోసం సిద్ధం చేయడం ప్రారంభించండి మరియు ఫలితాలు రావడానికి ఎక్కువ కాలం ఉండదు! ఇచ్చిన వాటి నుండి సులభమైన ఉదాహరణను ఎంచుకోండి. మీరు వ్యక్తీకరణను త్వరగా నేర్చుకుంటే, మరింత కష్టమైన పనికి వెళ్లండి. ఈ విధంగా మీరు ప్రత్యేక స్థాయిలో గణితంలో USE టాస్క్‌లను పరిష్కరించే స్థాయి వరకు మీ జ్ఞానాన్ని మెరుగుపరచుకోవచ్చు.
శిక్షణ మాస్కో నుండి గ్రాడ్యుయేట్లకు మాత్రమే కాకుండా, ఇతర నగరాల నుండి పాఠశాల పిల్లలకు కూడా అందుబాటులో ఉంది. ఉదాహరణకు, మా పోర్టల్‌లో అధ్యయనం చేయడానికి రోజుకు కొన్ని గంటలు గడపండి మరియు అతి త్వరలో మీరు ఏదైనా సంక్లిష్టత యొక్క సమీకరణాలను ఎదుర్కోగలుగుతారు!
చతురస్రాకార సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మనం ఇప్పటికే నేర్చుకున్నాము. ఇప్పుడు అధ్యయనం చేసిన పద్ధతులను హేతుబద్ధ సమీకరణాలకు విస్తరిద్దాం.
హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అంటే ఏమిటి? మేము ఇప్పటికే ఈ భావనను ఎదుర్కొన్నాము. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలుసంఖ్యలు, వేరియబుల్స్, వాటి శక్తులు మరియు గణిత కార్యకలాపాల చిహ్నాలతో రూపొందించబడిన వ్యక్తీకరణలు.
దీని ప్రకారం, హేతుబద్ధ సమీకరణాలు రూపం యొక్క సమీకరణాలు: , ఎక్కడ 
- హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు.
ఇంతకుముందు, మేము సరళమైన వాటికి తగ్గించగల హేతుబద్ధ సమీకరణాలను మాత్రమే పరిగణించాము. ఇప్పుడు చతుర్భుజ సమీకరణాలకు తగ్గించగల ఆ హేతుబద్ధ సమీకరణాలను చూద్దాం.
ఉదాహరణ 1
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .
పరిష్కారం:
ఒక భిన్నం 0కి సమానం మరియు దాని లవం 0కి సమానంగా ఉంటే మరియు దాని హారం 0కి సమానం కాకపోతే మాత్రమే.
మేము ఈ క్రింది వ్యవస్థను పొందుతాము:
వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం చతుర్భుజ సమీకరణం. దాన్ని పరిష్కరించే ముందు, దాని అన్ని కోఎఫీషియంట్‌లను 3 ద్వారా భాగిద్దాం. మనకు లభిస్తుంది:
మేము రెండు మూలాలను పొందుతాము: ; .
2 ఎప్పుడూ 0కి సమానం కాదు కాబట్టి, రెండు షరతులు తప్పక పాటించాలి: 
. పైన పొందిన సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఏవీ రెండవ అసమానతను పరిష్కరించేటప్పుడు పొందిన వేరియబుల్ యొక్క చెల్లని విలువలతో ఏకీభవించనందున, అవి రెండూ ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు.
సమాధానం:.
కాబట్టి, హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గోరిథంను రూపొందిద్దాం:
1. అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు తరలించండి, తద్వారా కుడి వైపు 0తో ముగుస్తుంది.
2. ఎడమ వైపును మార్చండి మరియు సరళీకృతం చేయండి, అన్ని భిన్నాలను సాధారణ హారంలోకి తీసుకురండి.
3. కింది అల్గోరిథం ఉపయోగించి ఫలిత భిన్నాన్ని 0కి సమం చేయండి: 
.
4. మొదటి సమీకరణంలో పొందిన మూలాలను వ్రాసి, సమాధానంలో రెండవ అసమానతను తీర్చండి.
మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం.
ఉదాహరణ 2
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .
పరిష్కారం
ప్రారంభంలోనే, మేము అన్ని నిబంధనలను ఎడమవైపుకు తరలిస్తాము, తద్వారా 0 కుడివైపున ఉంటుంది. మనకు:
ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ భాగాన్ని సాధారణ హారంకు తీసుకువద్దాం:
ఈ సమీకరణం వ్యవస్థకు సమానం:
వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం చతుర్భుజ సమీకరణం.
ఈ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు: . మేము వివక్షను లెక్కిస్తాము:
మేము రెండు మూలాలను పొందుతాము: ; .
ఇప్పుడు రెండవ అసమానతను పరిష్కరిద్దాం: కారకాలు ఏవీ 0కి సమానం కానట్లయితే, కారకాల ఉత్పత్తి 0కి సమానం కాదు.
రెండు షరతులు తప్పక పాటించాలి: 
. మొదటి సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలలో ఒకటి మాత్రమే సరిపోతుందని మేము కనుగొన్నాము - 3.
సమాధానం:.
ఈ పాఠంలో, హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అంటే ఏమిటో మేము గుర్తుంచుకున్నాము మరియు హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో కూడా నేర్చుకున్నాము, ఇది వర్గ సమీకరణాలకు తగ్గించబడుతుంది.
తదుపరి పాఠంలో మనం హేతుబద్ధ సమీకరణాలను వాస్తవ పరిస్థితుల నమూనాలుగా చూస్తాము మరియు చలన సమస్యలను కూడా పరిశీలిస్తాము.
గ్రంథ పట్టిక
- బాష్మాకోవ్ M.I. ఆల్జీబ్రా, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2004.
- డోరోఫీవ్ G.V., సువోరోవా S.B., బునిమోవిచ్ E.A. మరియు ఇతరులు ఆల్జీబ్రా, 8. 5వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2010.
- నికోల్స్కీ S.M., పొటాపోవ్ M.A., రెషెట్నికోవ్ N.N., షెవ్కిన్ A.V. ఆల్జీబ్రా, 8వ తరగతి. సాధారణ విద్యా సంస్థలకు పాఠ్య పుస్తకం. - M.: విద్య, 2006.
- బోధనా ఆలోచనల పండుగ "ఓపెన్ లెసన్" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
ఇంటి పని
భిన్నాలతో సమీకరణాలు కష్టం కాదు మరియు చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. పాక్షిక సమీకరణాల రకాలు మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో చూద్దాం.
భిన్నాలతో సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి - న్యూమరేటర్‌లో x
పాక్షిక సమీకరణం ఇవ్వబడితే, తెలియనిది న్యూమరేటర్‌లో ఉన్న చోట, పరిష్కారానికి అదనపు షరతులు అవసరం లేదు మరియు అనవసరమైన ఇబ్బంది లేకుండా పరిష్కరించబడుతుంది. అటువంటి సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపం x/a + b = c, ఇక్కడ x అనేది తెలియనిది, a, b మరియు c సాధారణ సంఖ్యలు.
x: x/5 + 10 = 70ని కనుగొనండి.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు భిన్నాలను వదిలించుకోవాలి. సమీకరణంలో ప్రతి పదాన్ని 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5తో గుణించండి. 5x మరియు 5 రద్దు చేయబడ్డాయి, 10 మరియు 70 5తో గుణించబడతాయి మరియు మనకు లభిస్తుంది: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
x: x/5 + x/10 = 90ని కనుగొనండి.
ఈ ఉదాహరణ మొదటిదానికి కొంచెం సంక్లిష్టమైన వెర్షన్. ఇక్కడ రెండు సాధ్యమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.
- ఎంపిక 1: సమీకరణంలోని అన్ని నిబంధనలను పెద్ద హారంతో గుణించడం ద్వారా భిన్నాలను తొలగిస్తాము, అంటే 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
- ఎంపిక 2: సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు జోడించండి. x/5 + x/10 = 90. సాధారణ హారం 10. 10ని 5తో భాగించండి, xతో గుణిస్తే మనకు 2x వస్తుంది. 10ని 10తో భాగించండి, xతో గుణించండి, మనకు x: 2x+x/10 = 90 వస్తుంది. అందుకే 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
మేము తరచుగా పాక్షిక సమీకరణాలను ఎదుర్కొంటాము, దీనిలో xలు సమాన గుర్తుకు వ్యతిరేక వైపులా ఉంటాయి. అటువంటి పరిస్థితులలో, X తో ఉన్న అన్ని భిన్నాలను ఒక వైపుకు మరియు సంఖ్యలను మరొక వైపుకు తరలించడం అవసరం.
- xని కనుగొనండి: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- వ్యతిరేక గుర్తుతో 2x/5ని కుడివైపుకు తరలించండి: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- మేము 5x/5 తగ్గిస్తాము మరియు పొందండి: x = 130.
భిన్నాలతో సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి - x హారంలో
ఈ రకమైన భిన్న సమీకరణాలకు అదనపు షరతులు రాయడం అవసరం. ఈ షరతులను పేర్కొనడం అనేది సరైన నిర్ణయంలో తప్పనిసరి మరియు అంతర్భాగం. వాటిని జోడించకపోవడం ద్వారా, మీరు ప్రమాదంలో పడ్డారు, ఎందుకంటే సమాధానం (ఇది సరైనది అయినప్పటికీ) లెక్కించబడకపోవచ్చు.
పాక్షిక సమీకరణాల సాధారణ రూపం, ఇక్కడ x హారంలో ఉంటుంది: a/x + b = c, ఇక్కడ x అనేది తెలియనిది, a, b, c సాధారణ సంఖ్యలు. దయచేసి x ఏ సంఖ్య కాకపోవచ్చునని గమనించండి. ఉదాహరణకు, x సున్నాకి సమానం కాదు, ఎందుకంటే దానిని 0తో విభజించలేము. ఇది ఖచ్చితంగా మనం పేర్కొనవలసిన అదనపు షరతు. ఇది అనుమతించదగిన విలువల శ్రేణిగా పిలువబడుతుంది, VAగా సంక్షిప్తీకరించబడింది.
x: 15/x + 18 = 21ని కనుగొనండి.
మేము వెంటనే x కోసం ODZ ను వ్రాస్తాము: x ≠ 0. ఇప్పుడు ODZ సూచించబడినందున, మేము భిన్నాలను వదిలించుకోవడం ద్వారా ప్రామాణిక పథకం ప్రకారం సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము. సమీకరణంలోని అన్ని నిబంధనలను xతో గుణించండి. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
హారం x మాత్రమే కాకుండా, దానితో కొన్ని ఇతర ఆపరేషన్లను కూడా కలిగి ఉన్న సమీకరణాలు తరచుగా ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు, కూడిక లేదా తీసివేత.
x: 15/(x-3) + 18 = 21ని కనుగొనండి.
హారం సున్నాకి సమానంగా ఉండదని మాకు ఇప్పటికే తెలుసు, అంటే x-3 ≠ 0. మేము -3ని కుడి వైపుకు తరలించి, “-” గుర్తును “+”కి మారుస్తాము మరియు మనకు x ≠ 3 వస్తుంది. ODZ సూచించింది.
మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము, ప్రతిదీ x-3 ద్వారా గుణించండి: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
X లను కుడివైపుకు, సంఖ్యలను ఎడమవైపుకు తరలించండి: 24 = 3x => x = 8.
గురించి మాట్లాడటం కొనసాగిద్దాం సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఈ వ్యాసంలో మేము గురించి వివరంగా వెళ్తాము హేతుబద్ధ సమీకరణాలుమరియు ఒక వేరియబుల్‌తో హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించే సూత్రాలు. మొదట, ఏ రకమైన సమీకరణాలను హేతుబద్ధం అని పిలుస్తారో తెలుసుకుందాం, మొత్తం హేతుబద్ధమైన మరియు పాక్షిక హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలకు నిర్వచనం ఇవ్వండి మరియు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. తరువాత, మేము హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌లను పొందుతాము మరియు, అవసరమైన అన్ని వివరణలతో సాధారణ ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిశీలిస్తాము.
పేజీ నావిగేషన్.
పేర్కొన్న నిర్వచనాల ఆధారంగా, మేము హేతుబద్ధమైన సమీకరణాల యొక్క అనేక ఉదాహరణలను ఇస్తాము. ఉదాహరణకు, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , అన్నీ హేతుబద్ధ సమీకరణాలు.
చూపిన ఉదాహరణల నుండి, హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలు, అలాగే ఇతర రకాల సమీకరణాలు ఒక వేరియబుల్‌తో లేదా రెండు, మూడు మొదలైన వాటితో ఉండవచ్చని స్పష్టమవుతుంది. వేరియబుల్స్. కింది పేరాల్లో మనం ఒక వేరియబుల్‌తో హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గురించి మాట్లాడుతాము. రెండు వేరియబుల్స్‌లో సమీకరణాలను పరిష్కరించడంమరియు వారి పెద్ద సంఖ్యలో ప్రత్యేక శ్రద్ధ అవసరం.
హేతుబద్ధ సమీకరణాలను తెలియని వేరియబుల్స్ సంఖ్యతో విభజించడంతో పాటు, అవి పూర్ణాంకం మరియు భిన్నమైనవిగా విభజించబడ్డాయి. సంబంధిత నిర్వచనాలను ఇద్దాం.
నిర్వచనం.
హేతుబద్ధమైన సమీకరణం అంటారు మొత్తం, దాని ఎడమ మరియు కుడి భుజాలు రెండూ పూర్ణాంకం హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలు అయితే.
నిర్వచనం.
హేతుబద్ధ సమీకరణంలోని కనీసం ఒక భాగం పాక్షిక వ్యక్తీకరణ అయితే, అటువంటి సమీకరణాన్ని అంటారు పాక్షికంగా హేతుబద్ధమైనది(లేదా పాక్షిక హేతుబద్ధమైనది).
మొత్తం సమీకరణాలు వేరియబుల్ ద్వారా విభజనను కలిగి ఉండవని స్పష్టమవుతుంది; దీనికి విరుద్ధంగా, పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలు తప్పనిసరిగా వేరియబుల్ (లేదా హారంలోని వేరియబుల్) ద్వారా విభజనను కలిగి ఉంటాయి. కాబట్టి 3 x+2=0 మరియు (x+y)·(3·x 2 -1)+x=−y+0.5- ఇవి మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణాలు, వాటి రెండు భాగాలు పూర్తి వ్యక్తీకరణలు. A మరియు x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలకు ఉదాహరణలు.
ఈ పాయింట్‌ను ముగించి, ఈ పాయింట్‌కి తెలిసిన సరళ సమీకరణాలు మరియు వర్గ సమీకరణాలు మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణాలు అనే వాస్తవాన్ని మనం దృష్టిలో ఉంచుకుందాం.
మొత్తం సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
మొత్తం సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన విధానాలలో ఒకటి వాటిని సమానమైన వాటికి తగ్గించడం బీజగణిత సమీకరణాలు. సమీకరణం యొక్క క్రింది సమానమైన పరివర్తనలను చేయడం ద్వారా ఇది ఎల్లప్పుడూ చేయవచ్చు:
- మొదట, అసలు పూర్ణాంక సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు నుండి వ్యక్తీకరణ కుడి వైపున సున్నాని పొందేందుకు వ్యతిరేక గుర్తుతో ఎడమ వైపుకు బదిలీ చేయబడుతుంది;
- దీని తరువాత, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ఫలితంగా ప్రామాణిక రూపం.
ఫలితం అసలైన పూర్ణాంక సమీకరణానికి సమానమైన బీజగణిత సమీకరణం. అందువల్ల, సరళమైన సందర్భాలలో, మొత్తం సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అనేది సరళ లేదా వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరియు సాధారణ సందర్భంలో, డిగ్రీ n యొక్క బీజగణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడుతుంది. స్పష్టత కోసం, ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
మొత్తం సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.
పరిష్కారం.
ఈ మొత్తం సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాన్ని సమానమైన బీజగణిత సమీకరణం యొక్క పరిష్కారానికి తగ్గిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మొదట, మేము వ్యక్తీకరణను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు బదిలీ చేస్తాము, ఫలితంగా మేము సమీకరణానికి వస్తాము 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. మరియు, రెండవది, అవసరమైన వాటిని పూర్తి చేయడం ద్వారా మేము ఎడమ వైపున ఏర్పడిన వ్యక్తీకరణను ప్రామాణిక రూపం బహుపదిలోకి మారుస్తాము: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 -5 x−6. అందువలన, అసలు పూర్ణాంక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అనేది x 2 −5·x−6=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడుతుంది.
మేము దాని వివక్షను లెక్కిస్తాము D=(-5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ఇది సానుకూలమైనది, అంటే సమీకరణం రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంది, ఇది వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తుంది:
పూర్తిగా ఖచ్చితంగా ఉండాలంటే, చేద్దాం సమీకరణం యొక్క కనుగొనబడిన మూలాలను తనిఖీ చేయడం. మొదట మనం రూట్ 6ని తనిఖీ చేస్తాము, అసలు పూర్ణాంక సమీకరణంలో వేరియబుల్ xకి బదులుగా దాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, అదే, 63=63. ఇది చెల్లుబాటు అయ్యే సంఖ్యా సమీకరణం, కాబట్టి x=6 అనేది నిజానికి సమీకరణం యొక్క మూలం. ఇప్పుడు మనం రూట్ −1ని తనిఖీ చేస్తాము, మన దగ్గర ఉంది 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, ఎక్కడ నుండి, 0=0 . x=−1 అయినప్పుడు, అసలు సమీకరణం కూడా సరైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మారుతుంది, కాబట్టి, x=−1 కూడా సమీకరణానికి మూలం.
సమాధానం:
6 , −1 .
ఇక్కడ "మొత్తం సమీకరణం యొక్క డిగ్రీ" అనే పదం బీజగణిత సమీకరణం రూపంలో మొత్తం సమీకరణం యొక్క ప్రాతినిధ్యంతో ముడిపడి ఉందని కూడా గమనించాలి. సంబంధిత నిర్వచనాన్ని ఇద్దాం:
నిర్వచనం.
మొత్తం సమీకరణం యొక్క శక్తిసమానమైన బీజగణిత సమీకరణం యొక్క డిగ్రీ అంటారు.
ఈ నిర్వచనం ప్రకారం, మునుపటి ఉదాహరణ నుండి మొత్తం సమీకరణం రెండవ డిగ్రీని కలిగి ఉంటుంది.
ఇది మొత్తం హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో ముగింపు కావచ్చు, ఒక విషయం కోసం కాకపోయినా…. తెలిసినట్లుగా, రెండవ కంటే ఎక్కువ డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గణనీయమైన ఇబ్బందులతో ముడిపడి ఉంటుంది మరియు నాల్గవ కంటే పైన ఉన్న డిగ్రీ సమీకరణాలకు సాధారణ మూల సూత్రాలు లేవు. అందువల్ల, మూడవ, నాల్గవ మరియు అధిక డిగ్రీల మొత్తం సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, ఇతర పరిష్కార పద్ధతులను ఆశ్రయించడం తరచుగా అవసరం.
అటువంటి సందర్భాలలో, ఆధారంగా మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించే విధానం కారకం పద్ధతి. ఈ సందర్భంలో, కింది అల్గోరిథం కట్టుబడి ఉంటుంది:
- మొదట, వారు సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున సున్నా ఉందని నిర్ధారిస్తారు; దీన్ని చేయడానికి, వారు వ్యక్తీకరణను మొత్తం సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు నుండి ఎడమకు బదిలీ చేస్తారు;
- అప్పుడు, ఎడమ వైపున ఫలిత వ్యక్తీకరణ అనేక కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిగా ప్రదర్శించబడుతుంది, ఇది అనేక సరళమైన సమీకరణాల సమితికి వెళ్లడానికి అనుమతిస్తుంది.
కారకం ద్వారా మొత్తం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఇవ్వబడిన అల్గారిథమ్‌కు ఉదాహరణను ఉపయోగించి వివరణాత్మక వివరణ అవసరం.
ఉదాహరణ.
మొత్తం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .
పరిష్కారం.
మొదట, ఎప్పటిలాగే, మేము వ్యక్తీకరణను కుడి వైపు నుండి సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపుకు బదిలీ చేస్తాము, గుర్తును మార్చడం మర్చిపోకుండా, మనకు లభిస్తుంది (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . ఫలితంగా సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపును ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదిలోకి మార్చడం మంచిది కాదని ఇక్కడ చాలా స్పష్టంగా ఉంది, ఎందుకంటే ఇది రూపం యొక్క నాల్గవ డిగ్రీకి బీజగణిత సమీకరణాన్ని ఇస్తుంది. x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x−13=0, దీని పరిష్కారం కష్టం.
మరోవైపు, ఫలిత సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున మనం x 2 -10 x+13 చేయవచ్చు, తద్వారా దానిని ఉత్పత్తిగా ప్రదర్శించవచ్చు. మన దగ్గర ఉంది (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x−1)=0. ఫలిత సమీకరణం అసలైన మొత్తం సమీకరణానికి సమానం, మరియు అది x 2 -10·x+13=0 మరియు x 2 −2·x−1=0 అనే రెండు వర్గ సమీకరణాల సమితితో భర్తీ చేయబడుతుంది. ఒక వివక్షత ద్వారా తెలిసిన రూట్ సూత్రాలను ఉపయోగించి వాటి మూలాలను కనుగొనడం కష్టం కాదు; మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి. అవి అసలు సమీకరణానికి కావలసిన మూలాలు.
సమాధానం:
మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి కూడా ఉపయోగపడుతుంది కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేసే పద్ధతి. కొన్ని సందర్భాల్లో, ఇది అసలైన మొత్తం సమీకరణం యొక్క డిగ్రీ కంటే తక్కువగా ఉన్న సమీకరణాలకు తరలించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
ఉదాహరణ.
హేతుబద్ధమైన సమీకరణం యొక్క నిజమైన మూలాలను కనుగొనండి (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
పరిష్కారం.
ఈ మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని బీజగణిత సమీకరణంగా తగ్గించడం, తేలికగా చెప్పాలంటే, చాలా మంచి ఆలోచన కాదు, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో మనం హేతుబద్ధమైన మూలాలు లేని నాల్గవ-డిగ్రీ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం వస్తుంది. అందువల్ల, మీరు మరొక పరిష్కారం కోసం వెతకాలి.
ఇక్కడ మీరు ఒక కొత్త వేరియబుల్ yని పరిచయం చేయగలరని మరియు దానితో ఎక్స్ 2 +3·x అనే వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేయవచ్చని చూడటం సులభం. ఈ రీప్లేస్‌మెంట్ మనలను మొత్తం సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , ఇది −2·(y−4) వ్యక్తీకరణను ఎడమ వైపుకు తరలించిన తర్వాత మరియు వ్యక్తీకరణ యొక్క తదుపరి రూపాంతరం అక్కడ ఏర్పడింది, y 2 +4·y+3=0 వర్గ సమీకరణానికి తగ్గించబడింది. ఈ సమీకరణం y=−1 మరియు y=−3 యొక్క మూలాలను కనుగొనడం సులభం, ఉదాహరణకు, వాటిని వియెటా సిద్ధాంతానికి విలోమ సిద్ధాంతం ఆధారంగా ఎంచుకోవచ్చు.
ఇప్పుడు మేము కొత్త వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేసే పద్ధతి యొక్క రెండవ భాగానికి వెళ్తాము, అంటే రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ చేయడం. రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేసిన తర్వాత, మేము x 2 +3 x=−1 మరియు x 2 +3 x=-3 అనే రెండు సమీకరణాలను పొందుతాము, వీటిని x 2 +3 x+1=0 మరియు x 2 +3 x+3గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. =0. క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము మొదటి సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొంటాము. మరియు రెండవ వర్గ సమీకరణానికి నిజమైన మూలాలు లేవు, ఎందుకంటే దాని విచక్షణ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది (D=3 2 -4·3=9−12=−3 ).
సమాధానం:
సాధారణంగా, మేము అధిక డిగ్రీల మొత్తం సమీకరణలతో వ్యవహరిస్తున్నప్పుడు, వాటిని పరిష్కరించడానికి ప్రామాణికం కాని పద్ధతి లేదా కృత్రిమ సాంకేతికత కోసం శోధించడానికి మేము ఎల్లప్పుడూ సిద్ధంగా ఉండాలి.
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
ముందుగా, p(x) మరియు q(x) అనేవి పూర్ణాంక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలు అయిన ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో అర్థం చేసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఆపై సూచించిన రకం సమీకరణాల పరిష్కారానికి ఇతర పాక్షికంగా హేతుబద్ధమైన సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని ఎలా తగ్గించాలో మేము చూపుతాము.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక విధానం క్రింది స్టేట్‌మెంట్‌పై ఆధారపడి ఉంటుంది: సంఖ్యా భిన్నం u/v, ఇక్కడ v అనేది సున్నా కాని సంఖ్య (లేకపోతే మనం ఎదుర్కొంటాము , ఇది నిర్వచించబడదు), దాని లవం మరియు ఉంటే మాత్రమే సున్నాకి సమానం సున్నాకి సమానం, అప్పుడు u=0 అయితే మాత్రమే. ఈ ప్రకటన కారణంగా, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం p(x)=0 మరియు q(x)≠0 అనే రెండు షరతులను నెరవేర్చడానికి తగ్గించబడుతుంది.
ఈ ముగింపు క్రింది వాటికి అనుగుణంగా ఉంటుంది పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం. ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీకు ఇది అవసరం
- మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి p(x)=0 ;
- మరియు కనుగొనబడిన ప్రతి రూట్ కోసం షరతు q(x)≠0 సంతృప్తి చెందిందో లేదో తనిఖీ చేయండి
- నిజమైతే, ఈ మూలం అసలు సమీకరణం యొక్క మూలం;
- అది సంతృప్తి చెందకపోతే, ఈ మూలం బాహ్యమైనది, అంటే ఇది అసలు సమీకరణం యొక్క మూలం కాదు.
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ప్రకటించిన అల్గారిథమ్‌ను ఉపయోగించడం యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
ఇది పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం మరియు రూపం , ఇక్కడ p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.
ఈ రకమైన పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించే అల్గోరిథం ప్రకారం, మనం మొదట 3 x−2=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. ఇది సరళ సమీకరణం, దీని మూలం x=2/3.
ఇది ఈ రూట్ కోసం తనిఖీ చేయవలసి ఉంది, అంటే, ఇది షరతు 5 x 2 −2≠0కి అనుగుణంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి. మేము 2/3 సంఖ్యను xకి బదులుగా 5 x 2 -2 వ్యక్తీకరణలోకి మారుస్తాము మరియు మనకు . షరతు నెరవేరింది, కాబట్టి x=2/3 అనేది అసలు సమీకరణం యొక్క మూలం.
సమాధానం:
2/3 .
మీరు కొద్దిగా భిన్నమైన స్థానం నుండి పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి చేరుకోవచ్చు. ఈ సమీకరణం అసలైన సమీకరణం యొక్క వేరియబుల్ xపై పూర్ణాంక సమీకరణం p(x)=0కి సమానం. అంటే, మీరు దీనికి కట్టుబడి ఉండవచ్చు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం :
- p(x)=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి;
- వేరియబుల్ x యొక్క ODZని కనుగొనండి;
- ఆమోదయోగ్యమైన విలువల ప్రాంతానికి చెందిన మూలాలను తీసుకోండి - అవి అసలైన పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క కావలసిన మూలాలు.
ఉదాహరణకు, ఈ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించి పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.
ఉదాహరణ.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
ముందుగా, మేము x 2 −2·x−11=0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము. మేము కలిగి ఉన్న రెండవ గుణకం కోసం మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాని మూలాలను లెక్కించవచ్చు D 1 =(-1) 2 −1·(-11)=12, మరియు .
రెండవది, అసలు సమీకరణం కోసం వేరియబుల్ x యొక్క ODZని మేము కనుగొంటాము. ఇది x 2 +3·x≠0 అన్ని సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది, ఇది x·(x+3)≠0కి సమానం, x≠0, x≠−3.
మొదటి దశలో కనుగొనబడిన మూలాలు ODZలో చేర్చబడ్డాయో లేదో తనిఖీ చేయడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. స్పష్టంగా అవును. కాబట్టి, అసలు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.
సమాధానం:
ODZ సులభంగా కనుగొనబడితే, ఈ విధానం మొదటిదాని కంటే ఎక్కువ లాభదాయకంగా ఉంటుందని గమనించండి మరియు p(x) = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు అహేతుకంగా లేదా హేతుబద్ధంగా ఉంటే ప్రత్యేకంగా ప్రయోజనకరంగా ఉంటుంది, కానీ పెద్ద సంఖ్యతో మరియు /లేదా హారం, ఉదాహరణకు, 127/1101 మరియు −31/59. అటువంటి సందర్భాలలో, పరిస్థితిని తనిఖీ చేయడం q(x)≠0కి గణనీయమైన గణన ప్రయత్నం అవసరమవుతుంది మరియు ODZని ఉపయోగించి అదనపు మూలాలను మినహాయించడం సులభం కావడం దీనికి కారణం.
ఇతర సందర్భాల్లో, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, ముఖ్యంగా p(x) = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు పూర్ణాంకాలు అయినప్పుడు, ఇచ్చిన అల్గారిథమ్‌లలో మొదటిదాన్ని ఉపయోగించడం మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది. అంటే, p(x)=0 మొత్తం సమీకరణం యొక్క మూలాలను వెంటనే కనుగొనడం మంచిది, ఆపై ODZని కనుగొనడం కంటే q(x)≠0 షరతు వారికి సంతృప్తికరంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేసి, ఆపై సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం మంచిది. ఈ ODZలో p(x)=0 . అటువంటి సందర్భాలలో సాధారణంగా DZని కనుగొనడం కంటే తనిఖీ చేయడం సులభం కావడమే దీనికి కారణం.
పేర్కొన్న సూక్ష్మ నైపుణ్యాలను వివరించడానికి రెండు ఉదాహరణల పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ.
సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
మొదట, మొత్తం సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి (2 x−1) (x−6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ ఉపయోగించి కంపోజ్ చేయబడింది. ఈ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ఒక ఉత్పత్తి, మరియు కుడి వైపు సున్నా, కాబట్టి, కారకం ద్వారా సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతి ప్రకారం, ఈ సమీకరణం నాలుగు సమీకరణాల సమితికి సమానం 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . ఈ సమీకరణాలలో మూడు సరళమైనవి మరియు ఒకటి చతుర్భుజం; మనం వాటిని పరిష్కరించగలము. మొదటి సమీకరణం నుండి మనం x=1/2, రెండవది - x=6, మూడవది - x=7, x=−2, నాల్గవ నుండి - x=−1.
కనుగొనబడిన మూలాలతో, అసలు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న భిన్నం యొక్క హారం అదృశ్యమవుతుందో లేదో తనిఖీ చేయడం చాలా సులభం, కానీ ODZ ని నిర్ణయించడం, దీనికి విరుద్ధంగా, అంత సులభం కాదు, దీని కోసం మీరు ఒక సమస్యను పరిష్కరించాలి. ఐదవ డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత సమీకరణం. అందువల్ల, మూలాలను తనిఖీ చేయడానికి అనుకూలంగా ODZని కనుగొనడాన్ని మేము వదిలివేస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లోని వేరియబుల్ xకి బదులుగా మేము వాటిని ఒక్కొక్కటిగా ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112, ప్రత్యామ్నాయం తర్వాత పొందబడింది మరియు వాటిని సున్నాతో పోల్చండి: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 -15·(-2) 4 +57·(-2) 3 -13·(-2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(-1) 5 -15·(-1) 4 +57·(-1) 3 −13·(-1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
ఈ విధంగా, 1/2, 6 మరియు −2 అసలు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క కావలసిన మూలాలు, మరియు 7 మరియు -1 అదనపు మూలాలు.
సమాధానం:
1/2 , 6 , −2 .
ఉదాహరణ.
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
మొదట, సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. ఈ సమీకరణం రెండు సమీకరణాల సమితికి సమానం: చదరపు 5 x 2 -7 x−1=0 మరియు సరళ x−2=0. వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము రెండు మూలాలను కనుగొంటాము మరియు రెండవ సమీకరణం నుండి మనకు x=2 ఉంటుంది.
x యొక్క కనుగొనబడిన విలువల వద్ద హారం సున్నాకి వెళుతుందో లేదో తనిఖీ చేయడం చాలా అసహ్యకరమైనది. మరియు అసలు సమీకరణంలో వేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిని నిర్ణయించడం చాలా సులభం. కాబట్టి, మేము ODZ ద్వారా పని చేస్తాము.
మా సందర్భంలో, అసలైన పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క వేరియబుల్ x యొక్క ODZ x 2 +5·x−14=0 షరతును సంతృప్తిపరిచే సంఖ్యలను మినహాయించి అన్ని సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ చతురస్రాకార సమీకరణం యొక్క మూలాలు x=−7 మరియు x=2, దీని నుండి మనం ODZ గురించి ఒక తీర్మానం చేస్తాము: ఇది అన్ని xని కలిగి ఉంటుంది.
కనుగొనబడిన మూలాలు మరియు x=2 ఆమోదయోగ్యమైన విలువల శ్రేణికి చెందినవో లేదో తనిఖీ చేయడం మిగిలి ఉంది. మూలాలు చెందినవి, కాబట్టి, అవి అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు, మరియు x=2 చెందినది కాదు, కాబట్టి, ఇది ఒక అదనపు మూలం.
సమాధానం:
ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణంలో న్యూమరేటర్‌లో ఒక సంఖ్య ఉన్నప్పుడు, అంటే p(x) కొంత సంఖ్య ద్వారా సూచించబడినప్పుడు, సందర్భాలపై విడిగా నివసించడం కూడా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఇందులో
- ఈ సంఖ్య సున్నా కానిది అయితే, సమీకరణానికి మూలాలు ఉండవు, ఎందుకంటే భిన్నం సున్నాకి సమానం మరియు దాని సంఖ్య సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే;
- ఈ సంఖ్య సున్నా అయితే, సమీకరణం యొక్క మూలం ODZ నుండి ఏదైనా సంఖ్య.
ఉదాహరణ.
పరిష్కారం.
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న భిన్నం యొక్క లవం సున్నా కాని సంఖ్యను కలిగి ఉన్నందున, ఏదైనా x కోసం ఈ భిన్నం యొక్క విలువ సున్నాకి సమానంగా ఉండదు. కాబట్టి, ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.
సమాధానం:
మూలాలు లేవు.
ఉదాహరణ.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
ఈ పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న భిన్నం యొక్క లవం సున్నాని కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ భిన్నం యొక్క విలువ ఏదైనా xకి సున్నాగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఈ వేరియబుల్ యొక్క ODZ నుండి x యొక్క ఏదైనా విలువ ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం.
ఈ ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని నిర్ణయించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. ఇది x యొక్క అన్ని విలువలను కలిగి ఉంటుంది, దీని కోసం x 4 +5 x 3 ≠0. x 4 +5 x 3 =0 సమీకరణానికి పరిష్కారాలు 0 మరియు −5, ఎందుకంటే ఈ సమీకరణం x 3 (x+5)=0 సమీకరణానికి సమానం, మరియు ఇది x అనే రెండు సమీకరణాల కలయికకు సమానం. 3 =0 మరియు x +5=0, ఈ మూలాలు ఎక్కడ నుండి కనిపిస్తాయి. కాబట్టి, x=0 మరియు x=−5 మినహా ఏదైనా x ఆమోదయోగ్యమైన విలువల యొక్క కావలసిన పరిధి.
అందువల్ల, ఒక భిన్నమైన హేతుబద్ధ సమీకరణం అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది, అవి సున్నా మరియు మైనస్ ఐదు మినహా ఏవైనా సంఖ్యలు.
సమాధానం:
చివరగా, ఏకపక్ష రూపం యొక్క పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గురించి మాట్లాడటానికి ఇది సమయం. వాటిని r(x)=s(x)గా వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ r(x) మరియు s(x) హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలు మరియు వాటిలో కనీసం ఒకటి భిన్నం. ముందుకు చూస్తే, వాటి పరిష్కారం మనకు ఇప్పటికే తెలిసిన ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి క్రిందికి వస్తుందని చెప్పండి.
ఒక పదాన్ని సమీకరణంలోని ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి వ్యతిరేక గుర్తుతో బదిలీ చేయడం సమానమైన సమీకరణానికి దారితీస్తుందని తెలుసు, కాబట్టి సమీకరణం r(x)=s(x) సమీకరణం r(x)−s(x)కి సమానం. )=0.
ఈ వ్యక్తీకరణకు సమానమైన ఏదైనా , సాధ్యమేనని కూడా మాకు తెలుసు. ఈ విధంగా, మేము ఎల్లప్పుడూ r(x)−s(x)=0 సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణను ఫారమ్ యొక్క ఒకే సమానమైన హేతుబద్ధమైన భిన్నంగా మార్చవచ్చు.
కాబట్టి మనం అసలు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం r(x)=s(x) నుండి సమీకరణానికి తరలిస్తాము మరియు దాని పరిష్కారం, పైన మనం కనుగొన్నట్లుగా, p(x)=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి తగ్గిస్తుంది.
అయితే ఇక్కడ r(x)−s(x)=0ని , ఆపై p(x)=0తో భర్తీ చేసినప్పుడు, వేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధి విస్తరించవచ్చు అనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం. .
పర్యవసానంగా, అసలు సమీకరణం r(x)=s(x) మరియు మనం చేరిన p(x)=0 సమీకరణం అసమానంగా మారవచ్చు మరియు p(x)=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా మనం మూలాలను పొందవచ్చు. అది అసలైన సమీకరణం r(x)=s(x) యొక్క అదనపు మూలాలు. మీరు తనిఖీ చేయడం ద్వారా లేదా అవి అసలు సమీకరణం యొక్క ODZకి చెందినవని తనిఖీ చేయడం ద్వారా సమాధానంలో అదనపు మూలాలను గుర్తించవచ్చు మరియు చేర్చకూడదు.
ఈ సమాచారాన్ని సంగ్రహించండి పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం r(x)=s(x). పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి r(x)=s(x) , మీకు అవసరం
- వ్యతిరేక చిహ్నంతో కుడి వైపు నుండి వ్యక్తీకరణను తరలించడం ద్వారా కుడి వైపున సున్నాని పొందండి.
- సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున భిన్నాలు మరియు బహుపదాలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహించండి, తద్వారా దానిని రూపం యొక్క హేతుబద్ధమైన భిన్నంగా మారుస్తుంది.
- p(x)=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
- అసలైన సమీకరణంలో వాటిని భర్తీ చేయడం ద్వారా లేదా అసలు సమీకరణంలోని ODZకి చెందిన వాటిని తనిఖీ చేయడం ద్వారా అదనపు మూలాలను గుర్తించండి మరియు తొలగించండి.
మరింత స్పష్టత కోసం, మేము పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించే మొత్తం గొలుసును చూపుతాము:
.
సమాచారం యొక్క బ్లాక్‌ను స్పష్టం చేయడానికి పరిష్కార ప్రక్రియ యొక్క వివరణాత్మక వివరణతో అనేక ఉదాహరణల పరిష్కారాలను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
మేము ఇప్పుడే పొందిన పరిష్కార అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేస్తాము. మరియు మొదట మనం నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలిస్తాము, ఫలితంగా మనం సమీకరణానికి వెళ్తాము.
రెండవ దశలో, ఫలిత సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న పాక్షిక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణను భిన్నం రూపంలోకి మార్చాలి. దీన్ని చేయడానికి, మేము హేతుబద్ధమైన భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గిస్తాము మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేస్తాము: . కాబట్టి మేము సమీకరణానికి వచ్చాము.
తదుపరి దశలో, మనం −2·x−1=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. మేము x=−1/2ని కనుగొంటాము.
కనుగొనబడిన సంఖ్య −1/2 అసలు సమీకరణం యొక్క అదనపు మూలం కాదా అని తనిఖీ చేయడం మిగిలి ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, మీరు అసలు సమీకరణం యొక్క వేరియబుల్ x యొక్క VAని తనిఖీ చేయవచ్చు లేదా కనుగొనవచ్చు. రెండు విధానాలను ప్రదర్శిస్తాము.
తనిఖీ చేయడంతో ప్రారంభిద్దాం. మేము వేరియబుల్ xకి బదులుగా అసలు సమీకరణంలో −1/2 సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు మనం అదే విషయాన్ని పొందుతాము, −1=−1. ప్రత్యామ్నాయం సరైన సంఖ్యా సమానత్వాన్ని ఇస్తుంది, కాబట్టి x=−1/2 అసలు సమీకరణం యొక్క మూలం.
ODZ ద్వారా అల్గోరిథం యొక్క చివరి పాయింట్ ఎలా నిర్వహించబడుతుందో ఇప్పుడు మేము చూపుతాము. అసలైన సమీకరణం యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి −1 మరియు 0 మినహా అన్ని సంఖ్యల సమితి (x=-1 మరియు x=0 వద్ద భిన్నాల హారం అదృశ్యమవుతుంది). మునుపటి దశలో కనుగొనబడిన x=−1/2 మూలం ODZకి చెందినది, కాబట్టి, x=-1/2 అనేది అసలు సమీకరణం యొక్క మూలం.
సమాధానం:
−1/2 .
మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
మేము పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి, అల్గోరిథం యొక్క అన్ని దశల ద్వారా వెళ్దాం.
మొదట, మేము పదాన్ని కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలించాము, మనకు లభిస్తుంది .
రెండవది, మేము ఎడమ వైపున ఏర్పడిన వ్యక్తీకరణను మారుస్తాము: . ఫలితంగా, మేము x=0 సమీకరణానికి చేరుకుంటాము.
దీని మూలం స్పష్టంగా ఉంది - ఇది సున్నా.
నాల్గవ దశలో, కనుగొనబడిన మూలం అసలైన పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణానికి అతీతమైనదా అని కనుగొనడం మిగిలి ఉంది. ఇది అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉన్నప్పుడు, వ్యక్తీకరణ పొందబడుతుంది. సహజంగానే, ఇది సున్నా ద్వారా విభజనను కలిగి ఉన్నందున ఇది అర్ధవంతం కాదు. 0 అనేది ఒక అదనపు మూలం అని మనం ఎక్కడ నుండి నిర్ధారించాము. కాబట్టి, అసలు సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.
7, ఇది Eqకి దారితీస్తుంది. దీని నుండి మనం ఎడమ వైపు హారంలోని వ్యక్తీకరణ కుడి వైపుకు సమానంగా ఉండాలి, అంటే, . ఇప్పుడు మనం ట్రిపుల్ యొక్క రెండు వైపుల నుండి తీసివేస్తాము: . సారూప్యత ద్వారా, ఎక్కడ నుండి మరియు మరింత.
కనుగొనబడిన రెండు మూలాలు అసలు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క మూలాలు అని చెక్ చూపిస్తుంది.
సమాధానం:
గ్రంథ పట్టిక.
- బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 8వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: ఎడ్యుకేషన్, 2008. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- మోర్డ్కోవిచ్ A. G.బీజగణితం. 8వ తరగతి. 2 గంటల్లో. పార్ట్ 1. సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం / A. G. మోర్డ్కోవిచ్. - 11వ ఎడిషన్, తొలగించబడింది. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-01155-2.
- బీజగణితం: 9వ తరగతి: విద్యా. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 16వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2009. - 271 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-021134-5.