హోమ్
వ్యక్తీకరణలను శక్తులతో మార్చే అంశాన్ని పరిశీలిద్దాం, అయితే మొదట శక్తితో సహా ఏదైనా వ్యక్తీకరణలతో నిర్వహించగల అనేక పరివర్తనలపై నివసిద్దాం. కుండలీకరణాలను తెరవడం, సారూప్య పదాలను జోడించడం, స్థావరాలు మరియు ఘాతాంకాలతో పని చేయడం మరియు అధికారాల లక్షణాలను ఉపయోగించడం ఎలాగో మేము నేర్చుకుంటాము.
Yandex.RTB R-A-339285-1
శక్తి వ్యక్తీకరణలు ఏమిటి?
పాఠశాల కోర్సులలో, కొంతమంది వ్యక్తులు "శక్తివంతమైన వ్యక్తీకరణలు" అనే పదబంధాన్ని ఉపయోగిస్తారు, అయితే ఈ పదం యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సిద్ధమయ్యే సేకరణలలో నిరంతరం కనుగొనబడుతుంది. చాలా సందర్భాలలో, ఒక పదబంధం వారి ఎంట్రీలలో డిగ్రీలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలను సూచిస్తుంది. ఇది మన నిర్వచనంలో ప్రతిబింబిస్తుంది.
నిర్వచనం 1శక్తి వ్యక్తీకరణ
అనేది డిగ్రీలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ.
శక్తి వ్యక్తీకరణల యొక్క అనేక ఉదాహరణలను ఇద్దాం, సహజ ఘాతాంకంతో శక్తితో ప్రారంభించి మరియు నిజమైన ఘాతాంకంతో శక్తితో ముగుస్తుంది.
సరళమైన శక్తి వ్యక్తీకరణలను సహజ ఘాతాంకం కలిగిన సంఖ్య యొక్క శక్తులుగా పరిగణించవచ్చు: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . మరియు సున్నా ఘాతాంకంతో శక్తులు: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. మరియు ప్రతికూల పూర్ణాంక శక్తులతో శక్తులు: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక ఘాతాంకాలను కలిగి ఉన్న డిగ్రీతో పని చేయడం కొంచెం కష్టం: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 . సూచిక వేరియబుల్ 3 x - 54 - 7 3 x - 58 లేదా లాగరిథమ్ కావచ్చు.
x 2 · l g x - 5 · x l g x
శక్తి వ్యక్తీకరణలు ఏమిటి అనే ప్రశ్నతో మేము వ్యవహరించాము. ఇప్పుడు వాటిని మార్చడం ప్రారంభిద్దాం.
శక్తి వ్యక్తీకరణల రూపాంతరాల యొక్క ప్రధాన రకాలు
అన్నింటిలో మొదటిది, పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లతో ప్రదర్శించబడే వ్యక్తీకరణల యొక్క ప్రాథమిక గుర్తింపు పరివర్తనలను మేము పరిశీలిస్తాము.
ఉదాహరణ 1 శక్తి వ్యక్తీకరణ విలువను లెక్కించండి.
2 3 (4 2 − 12)
పరిష్కారం మేము చర్యల క్రమానికి అనుగుణంగా అన్ని పరివర్తనలను నిర్వహిస్తాము. ఈ సందర్భంలో, మేము బ్రాకెట్లలో చర్యలను చేయడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము: మేము డిగ్రీని డిజిటల్ విలువతో భర్తీ చేస్తాము మరియు రెండు సంఖ్యల వ్యత్యాసాన్ని లెక్కిస్తాము. మన దగ్గర ఉంది.
2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 2 3 మనం చేయాల్సిందల్లా డిగ్రీని భర్తీ చేయడం 8 మరియు ఉత్పత్తిని లెక్కించండి 8 4 = 32. ఇదిగో మా సమాధానం.
సమాధానం: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .
ఉదాహరణ 2
అధికారాలతో వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.
2 3 (4 2 − 12)
సమస్య స్టేట్‌మెంట్‌లో మాకు ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణలో మనం ఇవ్వగల సారూప్య పదాలు ఉన్నాయి: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.
సమాధానం: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 - 1 .
ఉదాహరణ 3
9 - b 3 · π - 1 2 శక్తులతో వ్యక్తీకరణను ఉత్పత్తిగా వ్యక్తపరచండి.
2 3 (4 2 − 12)
9 సంఖ్యను శక్తిగా ఊహించుకుందాం 3 2 మరియు సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాన్ని వర్తింపజేయండి:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
సమాధానం: 9 - బి 3 · π - 1 2 = 3 - బి 3 · π - 1 3 + బి 3 · π - 1 .
ఇప్పుడు శక్తి వ్యక్తీకరణలకు ప్రత్యేకంగా వర్తించే గుర్తింపు పరివర్తనల విశ్లేషణకు వెళ్దాం.
బేస్ మరియు ఎక్స్పోనెంట్తో పని చేస్తోంది
ఆధారం లేదా ఘాతాంకంలోని డిగ్రీ సంఖ్యలు, వేరియబుల్స్ మరియు కొన్ని వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7మరియు . అలాంటి రికార్డులతో పనిచేయడం కష్టం. డిగ్రీ యొక్క బేస్‌లో ఉన్న వ్యక్తీకరణను లేదా ఘాతాంకంలోని వ్యక్తీకరణను ఒకేలా సమానమైన వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయడం చాలా సులభం.
డిగ్రీ మరియు ఘాతాంకం యొక్క పరివర్తనలు ఒకదానికొకటి విడిగా మనకు తెలిసిన నియమాల ప్రకారం నిర్వహించబడతాయి. అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, రూపాంతరం అసలు వ్యక్తీకరణకు సమానమైన వ్యక్తీకరణకు దారి తీస్తుంది.
రూపాంతరాల యొక్క ఉద్దేశ్యం అసలు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడం లేదా సమస్యకు పరిష్కారాన్ని పొందడం. ఉదాహరణకు, మేము పైన ఇచ్చిన ఉదాహరణలో, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 మీరు డిగ్రీకి వెళ్లడానికి దశలను అనుసరించవచ్చు 4 , 1 1 , 3 . కుండలీకరణాలను తెరవడం ద్వారా, మేము శక్తి యొక్క ఆధారానికి సమానమైన పదాలను ప్రదర్శించవచ్చు (a · (a + 1) - a 2) 2 · (x + 1)మరియు సరళమైన రూపం యొక్క శక్తి వ్యక్తీకరణను పొందండి a 2 (x + 1).
డిగ్రీ లక్షణాలను ఉపయోగించడం
సమానత్వ రూపంలో వ్రాయబడిన అధికారాల లక్షణాలు, శక్తులతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి ప్రధాన సాధనాల్లో ఒకటి. మేము దానిని పరిగణనలోకి తీసుకొని ప్రధానమైన వాటిని ఇక్కడ అందిస్తున్నాము aమరియు బిఏదైనా సానుకూల సంఖ్యలు, మరియు ఆర్మరియు లు- ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్యలు:
నిర్వచనం 2
- a r · a s = a r + s ;
- a r: a s = a r - s ;
- (a · b) r = a r · b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r · s .
మేము సహజ, పూర్ణాంకం, సానుకూల ఘాతాంకాలతో వ్యవహరిస్తున్న సందర్భాల్లో, a మరియు b సంఖ్యలపై పరిమితులు చాలా తక్కువ కఠినంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, మేము సమానత్వాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే a m · a n = a m + n, ఎక్కడ mమరియు nసహజ సంఖ్యలు, అప్పుడు అది a యొక్క ఏదైనా విలువలకు, ధనాత్మక మరియు ప్రతికూల, అలాగే వాటి కోసం కూడా వర్తిస్తుంది a = 0.
అధికారాల యొక్క స్థావరాలు సానుకూలంగా లేదా వేరియబుల్‌లను కలిగి ఉన్న సందర్భాలలో అధికారాల లక్షణాలను పరిమితులు లేకుండా ఉపయోగించవచ్చు, దీని అనుమతించదగిన విలువల పరిధి స్థావరాలు దానిపై సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటాయి. వాస్తవానికి, పాఠశాల గణిత పాఠ్యాంశాల్లో, విద్యార్థి యొక్క పని తగిన ఆస్తిని ఎంచుకుని దానిని సరిగ్గా వర్తింపజేయడం.
విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రవేశించడానికి సిద్ధమవుతున్నప్పుడు, మీరు సమస్యలను ఎదుర్కొంటారు, దీనిలో ప్రాపర్టీల యొక్క సరికాని అప్లికేషన్ DL యొక్క సంకుచితం మరియు పరిష్కరించడంలో ఇతర ఇబ్బందులకు దారి తీస్తుంది. ఈ విభాగంలో మేము అలాంటి రెండు కేసులను మాత్రమే పరిశీలిస్తాము. అంశంపై మరింత సమాచారం "అధికార లక్షణాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను మార్చడం" అనే అంశంలో చూడవచ్చు.
ఉదాహరణ 4
వ్యక్తీకరణను ఊహించండి a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5ఒక ఆధారంతో శక్తి రూపంలో a.
2 3 (4 2 − 12)
మొదట, మేము ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ యొక్క లక్షణాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు దానిని ఉపయోగించి రెండవ కారకాన్ని మారుస్తాము (a 2) - 3. అప్పుడు మేము అదే ఆధారంతో గుణకారం మరియు శక్తుల విభజన యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము:
a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a − 3 , 5 − (-, 5) = a 2 .
సమాధానం: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.
అధికారాల ఆస్తి ప్రకారం శక్తి వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం ఎడమ నుండి కుడికి మరియు వ్యతిరేక దిశలో చేయవచ్చు.
ఉదాహరణ 5
శక్తి వ్యక్తీకరణ 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 విలువను కనుగొనండి.
2 3 (4 2 − 12)
మనం సమానత్వాన్ని వర్తింపజేస్తే (a · b) r = a r · b r, కుడి నుండి ఎడమకు, మేము 3 · 7 1 3 · 21 2 3 మరియు తర్వాత 21 1 3 · 21 2 3 ఫారమ్ యొక్క ఉత్పత్తిని పొందుతాము. 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 శక్తులను గుణించేటప్పుడు ఘాతాంకాలను జోడిద్దాం.
పరివర్తనను నిర్వహించడానికి మరొక మార్గం ఉంది:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
సమాధానం: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
ఉదాహరణ 6
పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ ఇచ్చారు a 1, 5 - a 0, 5 - 6, కొత్త వేరియబుల్‌ని నమోదు చేయండి t = a 0.5.
2 3 (4 2 − 12)
డిగ్రీని ఊహించుకుందాం ఒక 1, 5ఎలా a 0.5 3. డిగ్రీల నుండి డిగ్రీల ఆస్తిని ఉపయోగించడం (a r) s = a r · sకుడి నుండి ఎడమకు మరియు మనకు (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . ఫలిత వ్యక్తీకరణలో మీరు కొత్త వేరియబుల్‌ని సులభంగా పరిచయం చేయవచ్చు t = a 0.5: మేము పొందుతాము t 3 - t - 6.
సమాధానం: t 3 - t - 6 .
అధికారాలను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను మార్చడం
మేము సాధారణంగా భిన్నాలతో పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ల యొక్క రెండు వెర్షన్‌లతో వ్యవహరిస్తాము: వ్యక్తీకరణ శక్తితో భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది లేదా అలాంటి భిన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది. భిన్నాల యొక్క అన్ని ప్రాథమిక రూపాంతరాలు పరిమితులు లేకుండా అటువంటి వ్యక్తీకరణలకు వర్తిస్తాయి. వాటిని తగ్గించవచ్చు, కొత్త హారంలోకి తీసుకురావచ్చు లేదా న్యూమరేటర్ మరియు హారంతో విడిగా పని చేయవచ్చు. దీనిని ఉదాహరణలతో ఉదహరిద్దాం.
ఉదాహరణ 7
శక్తి వ్యక్తీకరణ 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 ను సరళీకృతం చేయండి.
2 3 (4 2 − 12)
మేము భిన్నంతో వ్యవహరిస్తున్నాము, కాబట్టి మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ పరివర్తనలను నిర్వహిస్తాము:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
హారం యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడానికి భిన్నం ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచండి: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
సమాధానం: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
శక్తులను కలిగి ఉన్న భిన్నాలు హేతుబద్ధమైన భిన్నాల మాదిరిగానే కొత్త హారంకు తగ్గించబడతాయి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు అదనపు కారకాన్ని కనుగొని, దాని ద్వారా భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను గుణించాలి. అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ వేరియబుల్స్ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు సున్నాకి వెళ్లని విధంగా అదనపు కారకాన్ని ఎంచుకోవడం అవసరం.
ఉదాహరణ 8
భిన్నాలను కొత్త హారంకి తగ్గించండి: a) a + 1 a 0, 7 హారం a, బి) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 హారం x + 8 · y 1 2 .
2 3 (4 2 − 12)
ఎ) కొత్త హారంకు తగ్గించడానికి అనుమతించే కారకాన్ని ఎంచుకుందాం. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,కాబట్టి, అదనపు అంశంగా మేము తీసుకుంటాము a 0, 3. వేరియబుల్ a యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధి అన్ని సానుకూల వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని కలిగి ఉంటుంది. ఈ రంగంలో డిగ్రీ a 0, 3సున్నాకి పోదు.
భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం ద్వారా గుణిద్దాం a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
బి) హారంపై దృష్టి పెడదాం:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
ఈ వ్యక్తీకరణను x 1 3 + 2 · y 1 6 ద్వారా గుణిద్దాం, మేము x 1 3 మరియు 2 · y 1 6 ఘనాల మొత్తాన్ని పొందుతాము, అనగా. x + 8 · y 1 2 . ఇది మా కొత్త హారం, దీనికి మనం అసలు భిన్నాన్ని తగ్గించాలి.
ఈ విధంగా మేము అదనపు కారకాన్ని x 1 3 + 2 · y 1 6 కనుగొన్నాము. వేరియబుల్స్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిపై xమరియు వై x 1 3 + 2 y 1 6 అనే వ్యక్తీకరణ అదృశ్యం కాదు, కాబట్టి, మనం భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను దాని ద్వారా గుణించవచ్చు:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
సమాధానం: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
ఉదాహరణ 9
భిన్నాన్ని తగ్గించండి: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - బి 1 4 ఎ 1 2 - బి 1 2.
2 3 (4 2 − 12)
ఎ) మేము గొప్ప సాధారణ హారం (GCD)ని ఉపయోగిస్తాము, దీని ద్వారా మనం లవం మరియు హారంను తగ్గించవచ్చు. 30 మరియు 45 సంఖ్యలకు ఇది 15. ద్వారా తగ్గింపు కూడా చేయవచ్చు x0.5+1మరియు x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 పై.
మేము పొందుతాము:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
బి) ఇక్కడ ఒకే విధమైన కారకాల ఉనికి స్పష్టంగా లేదు. న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో ఒకే కారకాలను పొందడానికి మీరు కొన్ని పరివర్తనలను నిర్వహించాలి. దీన్ని చేయడానికి, మేము చతురస్రాల ఫార్ములా తేడాను ఉపయోగించి హారంను విస్తరింపజేస్తాము:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
సమాధానం:ఎ) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
భిన్నాలతో కూడిన ప్రాథమిక కార్యకలాపాలలో భిన్నాలను కొత్త హారంగా మార్చడం మరియు భిన్నాలను తగ్గించడం ఉంటాయి. రెండు చర్యలు అనేక నియమాలకు అనుగుణంగా నిర్వహించబడతాయి. భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు, మొదట భిన్నాలు సాధారణ హారంకు తగ్గించబడతాయి, ఆ తర్వాత సంఖ్యలతో కార్యకలాపాలు (జోడించడం లేదా తీసివేత) నిర్వహించబడతాయి. హారం అలాగే ఉంటుంది. మా చర్యల ఫలితం కొత్త భిన్నం, దీని లవం సంఖ్యల ఉత్పత్తి, మరియు హారం హారం యొక్క ఉత్పత్తి.
ఉదాహరణ 10
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 దశలను చేయండి.
2 3 (4 2 − 12)
కుండలీకరణాల్లో ఉన్న భిన్నాలను తీసివేయడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. వాటిని ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
సంఖ్యలను తీసివేద్దాం:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
ఇప్పుడు మేము భిన్నాలను గుణిస్తాము:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
ఒక శక్తి ద్వారా తగ్గించుకుందాం x 1 2, మనకు 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 వస్తుంది.
అదనంగా, మీరు చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించి హారంలోని శక్తి వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయవచ్చు: చతురస్రాలు: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
సమాధానం: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
ఉదాహరణ 11
పవర్-లా వ్యక్తీకరణ x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 సరళీకృతం చేయండి.
2 3 (4 2 − 12)
ద్వారా భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు (x 2 , 7 + 1) 2. మనకు భిన్నం x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 వస్తుంది.
x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 శక్తులను మార్చడం కొనసాగిద్దాం. ఇప్పుడు మీరు అదే స్థావరాలతో విభజన శక్తుల ఆస్తిని ఉపయోగించవచ్చు: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.
మేము చివరి ఉత్పత్తి నుండి భిన్నం x 1 3 8 x 2, 7 + 1కి తరలిస్తాము.
సమాధానం: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
చాలా సందర్భాలలో, ఘాతాంకం యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడం, లవం నుండి హారం మరియు వెనుకకు ప్రతికూల ఘాతాంకాలతో కారకాలను బదిలీ చేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఈ చర్య తదుపరి నిర్ణయాన్ని సులభతరం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం: పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1ని x 3 · (x + 1) 0, 2 ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు.
మూలాలు మరియు శక్తులతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడం
సమస్యలలో పాక్షిక ఘాతాంకాలతో శక్తులు మాత్రమే కాకుండా మూలాలను కూడా కలిగి ఉండే శక్తి వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణలను మూలాలకు లేదా అధికారాలకు మాత్రమే తగ్గించడం మంచిది. వారితో పని చేయడం తేలికైనందున డిగ్రీలకు వెళ్లడం మంచిది. అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం వేరియబుల్స్ యొక్క ODZ మాడ్యులస్‌ను యాక్సెస్ చేయకుండా లేదా ODZని అనేక విరామాలుగా విభజించాల్సిన అవసరం లేకుండా శక్తులతో మూలాలను భర్తీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించినప్పుడు ఈ పరివర్తన ప్రత్యేకంగా ఉత్తమం.
ఉదాహరణ 12
x 1 9 · x · x 3 6 అనే వ్యక్తీకరణను శక్తిగా వ్యక్తపరచండి.
2 3 (4 2 − 12)
అనుమతించదగిన వేరియబుల్ విలువల పరిధి xరెండు అసమానతల ద్వారా నిర్వచించబడింది x ≥ 0మరియు x x 3 ≥ 0, ఇది సమితిని నిర్వచిస్తుంది [ 0 , + ∞) .
ఈ సెట్‌లో మూలాల నుండి అధికారాలకు వెళ్లే హక్కు మాకు ఉంది:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
అధికారాల లక్షణాలను ఉపయోగించి, ఫలిత శక్తి వ్యక్తీకరణను మేము సరళీకృతం చేస్తాము.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
సమాధానం: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
ఘాతాంకంలోని వేరియబుల్స్‌తో అధికారాలను మార్చడం
మీరు డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలను సరిగ్గా ఉపయోగిస్తే ఈ పరివర్తనలు చేయడం చాలా సులభం. ఉదాహరణకు, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.
మేము శక్తుల ఉత్పత్తి ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు, వీటిలో ఘాతాంకాలు కొన్ని వేరియబుల్ మరియు సంఖ్యల మొత్తం. ఎడమ వైపున, వ్యక్తీకరణ యొక్క ఎడమ వైపు మొదటి మరియు చివరి నిబంధనలతో ఇది చేయవచ్చు:
5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .
ఇప్పుడు సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా విభజించండి 7 2 x. వేరియబుల్ x కోసం ఈ వ్యక్తీకరణ సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
శక్తులతో భిన్నాలను తగ్గిద్దాం, మనకు లభిస్తుంది: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
చివరగా, అదే ఘాతాంకాలతో ఉన్న శక్తుల నిష్పత్తి నిష్పత్తుల శక్తులతో భర్తీ చేయబడుతుంది, ఫలితంగా సమీకరణం 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, ఇది 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x కు సమానం. - 2 = 0 .
5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 అనే వర్గ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారానికి అసలు ఘాతాంక సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాన్ని తగ్గించే కొత్త వేరియబుల్ t = 5 7 xని పరిచయం చేద్దాం.
అధికారాలు మరియు లాగరిథమ్‌లతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడం
అధికారాలు మరియు లాగరిథమ్‌లను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలు కూడా సమస్యలలో కనిపిస్తాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణలకు ఉదాహరణ: 1 4 1 - 5 · లాగ్ 2 3 లేదా లాగ్ 3 27 9 + 5 (1 - లాగ్ 3 5) · లాగ్ 5 3. అటువంటి వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం పైన చర్చించిన లాగరిథమ్‌ల యొక్క విధానాలు మరియు లక్షణాలను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది, ఇది మేము "లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం" అనే అంశంలో వివరంగా చర్చించాము.
మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి
ఇతర ప్రదర్శనల సారాంశం"సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించే పద్ధతులు" - సమీకరణం. వ్యక్తీకరణ. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు. పరిష్కారాలు. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి. సంఖ్య. వ్యవస్థలను పరిష్కరించండి. మేము దానిని కనుగొంటాము. జోడింపు పద్ధతి. వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం.
"కారకీకరణ పద్ధతులు" - బీజగణిత భిన్నాలను తగ్గించడం. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. ఫాక్టరింగ్ బహుపది. గుర్తింపులు. ప్రధాన ఫలితాలు. కలయికను ఉపయోగించి బహుపదిని కారకం చేయడం. మరొక పరిస్థితిని పరిశీలిద్దాం. బహుపది యొక్క కారకాన్ని ఉపయోగిస్తాము. గుణకాల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన. సూత్రాలను ఉపయోగించి బహుపదిని కారకం చేయడం. బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకాన్ని తీసుకోవడం. ఫ్యాక్టరింగ్ ఒక ఉపయోగకరమైన విషయం.
““డిగ్రీలు” 7వ తరగతి” - సమీకరణాలను పరిష్కరించండి. సమీకరణంలో K ని కనుగొనండి. లెక్కించు. సంఖ్య 625. నోటి లెక్కింపు. 7 ఆధారంతో వ్యక్తీకరణను శక్తిగా వ్యక్తపరచండి. దానిని ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయండి. సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలు. మాడ్యులస్‌తో సమీకరణం. సమస్యను పరిష్కరించండి. సంఖ్య 64. పాఠం పురోగతి. పాఠం లక్ష్యాలు. సంఖ్య 729. పరీక్ష పని.
“మోనోమియల్ యొక్క ప్రామాణిక రూపం” - వ్యక్తీకరణలను చదవండి. గుణకారం యొక్క కమ్యుటేటివ్ మరియు అసోసియేటివ్ చట్టాలను ఉపయోగిస్తాము. బోర్డు మీద. సంఖ్యల ఉత్పత్తి. ఇది ఒక డిగ్రీగా భావించండి. మోనోమియల్ డిగ్రీని దేన్ని పిలుస్తారు? కొత్త పదార్థం యొక్క ఏకీకరణ. ఘాతాంకం. అసమానత. ఏకీకరణ. ప్రాక్టికల్ పని. మోనోమియల్. పట్టికను పూరించండి. విద్యార్థుల కంప్యూటింగ్ నైపుణ్యాలు. స్వతంత్ర పని. జాగ్రత్తగా చూడండి. మోనోమియల్ మరియు దాని ప్రామాణిక రూపం.
“సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలు” - పాఠం యొక్క ఎపిగ్రాఫ్. ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ కేసులు. కథ. భౌతిక సంస్కృతి. జీవశాస్త్రం. సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ యొక్క లక్షణాలు. వ్యక్తీకరణలను శక్తులుగా వ్యక్తపరచండి. సంపాదకీయం. పైథాగరస్. భూగోళశాస్త్రం. తరగతిలో మెటీరియల్ పునరావృతమైంది. మనస్సు యొక్క జిమ్నాస్టిక్స్.
““పాలినోమియల్‌ల గుణకారం” 7వ తరగతి” - బహుపదిని బహుపది ద్వారా గుణించండి. బహుపదిలను గుణించడం. హోంవర్క్. పాఠం లక్ష్యాలు. బహుపదిలను గుణించడం కోసం అల్గోరిథం. బహుపదిని మోనోమియల్ ద్వారా గుణించడం. నియమం. "బహుపదుల గుణకారం" అనే అంశంపై పాఠం. సమస్య పుస్తకం ప్రకారం పని చేయండి. నోటి పని.
వ్యక్తీకరణలు, వ్యక్తీకరణ మార్పిడి
శక్తి వ్యక్తీకరణలు (శక్తులతో వ్యక్తీకరణలు) మరియు వాటి పరివర్తన
ఈ కథనంలో మేము వ్యక్తీకరణలను అధికారాలతో మార్చడం గురించి మాట్లాడుతాము. ముందుగా, కుండలీకరణాలను తెరవడం మరియు సారూప్య పదాలను తీసుకురావడం వంటి పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లతో సహా ఏ రకమైన వ్యక్తీకరణలతోనైనా ప్రదర్శించబడే పరివర్తనలపై మేము దృష్టి పెడతాము. ఆపై మేము డిగ్రీలతో వ్యక్తీకరణలలో ప్రత్యేకంగా అంతర్గతంగా ఉన్న పరివర్తనలను విశ్లేషిస్తాము: బేస్ మరియు ఎక్స్పోనెంట్తో పని చేయడం, డిగ్రీల లక్షణాలను ఉపయోగించడం మొదలైనవి.
పేజీ నావిగేషన్.
శక్తి వ్యక్తీకరణలు ఏమిటి?
"పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్స్" అనే పదం ఆచరణాత్మకంగా పాఠశాల గణిత పాఠ్యపుస్తకాలలో కనిపించదు, కానీ ఇది చాలా తరచుగా సమస్యల సేకరణలలో కనిపిస్తుంది, ప్రత్యేకించి యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ మరియు యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లకు సన్నద్ధం కావడానికి ఉద్దేశించినవి. పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లతో ఏదైనా చర్యలను చేయాల్సిన పనిని విశ్లేషించిన తర్వాత, పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లు వాటి ఎంట్రీలలో శక్తులను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలుగా అర్థం చేసుకోవచ్చని స్పష్టమవుతుంది. కాబట్టి, మీరు మీ కోసం క్రింది నిర్వచనాన్ని అంగీకరించవచ్చు:
నిర్వచనం.
శక్తి వ్యక్తీకరణలుఅధికారాలను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలు.
ఇద్దాం శక్తి వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలు. అంతేకాకుండా, సహజ ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ నుండి నిజమైన ఘాతాంకం ఉన్న డిగ్రీ వరకు వీక్షణల అభివృద్ధి ఎలా జరుగుతుందో దాని ప్రకారం మేము వాటిని ప్రదర్శిస్తాము.
తెలిసినట్లుగా, ఈ దశలో 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (-0.1) యొక్క మొదటి సరళమైన శక్తి వ్యక్తీకరణలు కలిగిన ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తితో మొదటి వ్యక్తికి పరిచయం ఏర్పడుతుంది; 4, 3 a 2 కనిపిస్తుంది −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 మొదలైనవి.
కొద్దిసేపటి తరువాత, పూర్ణాంకం ఘాతాంకం ఉన్న సంఖ్య యొక్క శక్తి అధ్యయనం చేయబడుతుంది, ఇది క్రింది విధంగా ప్రతికూల పూర్ణాంక శక్తులతో శక్తి వ్యక్తీకరణల రూపానికి దారితీస్తుంది: 3 -2, 
, a −2 +2 b -3 +c 2 .
ఉన్నత పాఠశాలలో వారు తిరిగి డిగ్రీలకు చేరుకుంటారు. అక్కడ హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీ ప్రవేశపెట్టబడింది, ఇది సంబంధిత శక్తి వ్యక్తీకరణల రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: 
, , 
మొదలైనవి చివరగా, అహేతుక ఘాతాంకాలు మరియు వాటిని కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణలతో కూడిన డిగ్రీలు పరిగణించబడతాయి: , .
విషయం లిస్టెడ్ పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లకు మాత్రమే పరిమితం కాదు: మరింత వేరియబుల్ ఘాతాంకంలోకి చొచ్చుకుపోతుంది మరియు ఉదాహరణకు, కింది వ్యక్తీకరణలు ఉత్పన్నమవుతాయి: 2 x 2 +1 లేదా 
. మరియు పరిచయమైన తర్వాత, అధికారాలు మరియు లాగరిథమ్‌లతో వ్యక్తీకరణలు కనిపించడం ప్రారంభిస్తాయి, ఉదాహరణకు, x 2·lgx −5·x lgx.
కాబట్టి, శక్తి వ్యక్తీకరణలు దేనిని సూచిస్తాయి అనే ప్రశ్నతో మేము వ్యవహరించాము. తరువాత మనం వాటిని మార్చడం నేర్చుకుందాం.
శక్తి వ్యక్తీకరణలు ఏమిటి అనే ప్రశ్నతో మేము వ్యవహరించాము. ఇప్పుడు వాటిని మార్చడం ప్రారంభిద్దాం.
శక్తి వ్యక్తీకరణలతో మీరు ఏదైనా ప్రాథమికంగా చేయవచ్చు వ్యక్తీకరణల గుర్తింపు రూపాంతరాలు. ఉదాహరణకు, మీరు కుండలీకరణాలను తెరవవచ్చు, సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను వాటి విలువలతో భర్తీ చేయవచ్చు, సారూప్య పదాలను జోడించవచ్చు. సహజంగానే, అంగీకరించిన వాటికి అనుగుణంగా ఉండటం అవసరం చర్యల క్రమం. ఉదాహరణలు ఇద్దాం.
ఉదాహరణ.
శక్తి వ్యక్తీకరణ 2 3 ·(4 2 −12) విలువను లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
చర్యల అమలు క్రమం ప్రకారం, మొదట బ్రాకెట్లలో చర్యలను చేయండి. అక్కడ, మొదట, మేము పవర్ 4 2 ను దాని విలువ 16తో భర్తీ చేస్తాము (అవసరమైతే చూడండి), మరియు రెండవది, మేము 16-12=4 వ్యత్యాసాన్ని లెక్కిస్తాము. మన దగ్గర ఉంది 2 3 ·(4 2 -12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
ఫలిత వ్యక్తీకరణలో, మేము పవర్ 2 3 ను దాని విలువ 8తో భర్తీ చేస్తాము, దాని తర్వాత మేము ఉత్పత్తి 8 · 4 = 32 ను లెక్కిస్తాము. ఇది కావలసిన విలువ.
కాబట్టి, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
సమాధానం:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
ఉదాహరణ.
అధికారాలతో వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయండి 3 a 4 b −7 -1+2 a 4 b -7.
పరిష్కారం.
సహజంగానే, ఈ వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉంటుంది సారూప్య నిబంధనలు 3·a 4 ·b −7 మరియు 2·a 4 ·b −7 , మరియు మేము వాటిని ఇవ్వగలము: .
సమాధానం:
3 a 4 b −7 -1+2 a 4 b -7 =5 a 4 b -7 −1.
ఉదాహరణ.
శక్తులతో వ్యక్తీకరణను ఉత్పత్తిగా వ్యక్తపరచండి.
పరిష్కారం.
మీరు 9 సంఖ్యను 3 2 యొక్క శక్తిగా సూచించి, ఆపై ఉపయోగించడం ద్వారా పనిని ఎదుర్కోవచ్చు సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలుచతురస్రాల వ్యత్యాసం: 
సమాధానం:
శక్తి వ్యక్తీకరణలలో ప్రత్యేకంగా అంతర్లీనంగా అనేక సారూప్య పరివర్తనలు కూడా ఉన్నాయి. మేము వాటిని మరింత విశ్లేషిస్తాము.
బేస్ మరియు ఎక్స్పోనెంట్తో పని చేస్తోంది
బేస్ మరియు/లేదా ఘాతాంకం కేవలం సంఖ్యలు లేదా వేరియబుల్స్ కాదు, కొన్ని వ్యక్తీకరణలు ఉండే డిగ్రీలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణగా, మేము ఎంట్రీలు (2+0.3·7) 5−3.7 మరియు (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
సారూప్య వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు, మీరు డిగ్రీ యొక్క బేస్‌లోని వ్యక్తీకరణ మరియు ఎక్స్‌పోనెంట్‌లోని వ్యక్తీకరణ రెండింటినీ ఒకే సమానమైన వ్యక్తీకరణతో భర్తీ చేయవచ్చు ODZదాని వేరియబుల్స్. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనకు తెలిసిన నియమాల ప్రకారం, మేము డిగ్రీ యొక్క ఆధారాన్ని విడిగా మరియు ఘాతాంకాన్ని విడిగా మార్చవచ్చు. ఈ పరివర్తన ఫలితంగా, అసలైన దానికి సమానంగా సమానమైన వ్యక్తీకరణ పొందబడుతుంది.
ఇటువంటి పరివర్తనలు అధికారాలతో వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి లేదా మనకు అవసరమైన ఇతర లక్ష్యాలను సాధించడానికి అనుమతిస్తాయి. ఉదాహరణకు, పైన పేర్కొన్న పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో (2+0.3 7) 5−3.7, మీరు బేస్ మరియు ఎక్స్‌పోనెంట్‌లోని సంఖ్యలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహించవచ్చు, ఇది మిమ్మల్ని పవర్ 4.1 1.3కి తరలించడానికి అనుమతిస్తుంది. మరియు బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, డిగ్రీ (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) యొక్క ఆధారానికి సారూప్య పదాలను తీసుకువచ్చిన తర్వాత మేము 2·(x+1) సరళమైన రూపం యొక్క శక్తి వ్యక్తీకరణను పొందుతాము. ) .
డిగ్రీ లక్షణాలను ఉపయోగించడం
వ్యక్తీకరణలను శక్తులతో మార్చడానికి ప్రధాన సాధనాల్లో ఒకటి ప్రతిబింబించే సమానత్వం. ప్రధానమైన వాటిని గుర్తుచేసుకుందాం. ఏదైనా సానుకూల సంఖ్యలు a మరియు b మరియు ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్యలు r మరియు s కోసం, శక్తుల యొక్క క్రింది లక్షణాలు నిజమైనవి:
- a r ·a s = a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
సహజ, పూర్ణాంకం మరియు సానుకూల ఘాతాంకాల కోసం, a మరియు b సంఖ్యలపై పరిమితులు అంత కఠినంగా ఉండకపోవచ్చని గమనించండి. ఉదాహరణకు, సహజ సంఖ్యలకు m మరియు n సమానత్వం a m ·a n =a m+n అనేది సానుకూల a కోసం మాత్రమే కాదు, ప్రతికూల a కోసం మరియు a=0 కోసం కూడా నిజం.
పాఠశాలలో, శక్తి వ్యక్తీకరణలను మార్చేటప్పుడు, సరైన ఆస్తిని ఎంచుకునే మరియు సరిగ్గా వర్తించే సామర్థ్యంపై ప్రధాన దృష్టి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, డిగ్రీల స్థావరాలు సాధారణంగా సానుకూలంగా ఉంటాయి, ఇది డిగ్రీల లక్షణాలను పరిమితులు లేకుండా ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది. శక్తుల స్థావరాలలో వేరియబుల్స్ ఉన్న వ్యక్తీకరణల పరివర్తనకు ఇది వర్తిస్తుంది - వేరియబుల్స్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధి సాధారణంగా స్థావరాలు దానిపై సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటాయి, ఇది శక్తుల లక్షణాలను స్వేచ్ఛగా ఉపయోగించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. . సాధారణంగా, ఈ సందర్భంలో డిగ్రీ యొక్క ఏదైనా ఆస్తిని ఉపయోగించడం సాధ్యమేనా అని మీరు నిరంతరం మిమ్మల్ని మీరు ప్రశ్నించుకోవాలి, ఎందుకంటే ఆస్తుల యొక్క సరికాని ఉపయోగం విద్యా విలువ మరియు ఇతర ఇబ్బందులను తగ్గించడానికి దారితీస్తుంది. ఈ అంశాలు వ్యాసంలో వివరంగా మరియు ఉదాహరణలతో చర్చించబడ్డాయి. అధికారాల లక్షణాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను మార్చడం. ఇక్కడ మనం కొన్ని సాధారణ ఉదాహరణలను పరిగణలోకి తీసుకోవడానికి పరిమితం చేస్తాము.
ఉదాహరణ.
a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 అనే వ్యక్తీకరణను బేస్ aతో పవర్‌గా వ్యక్తపరచండి.
పరిష్కారం.
ముందుగా, పవర్‌ను పవర్‌కి పెంచే లక్షణాన్ని ఉపయోగించి మేము రెండవ కారకాన్ని (a 2) -3ని మారుస్తాము: (a 2) −3 =a 2·(-3) =a −6. అసలు శక్తి వ్యక్తీకరణ 2.5 ·a −6:a −5.5 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. సహజంగానే, గుణకారం మరియు శక్తుల విభజన యొక్క లక్షణాలను ఒకే ఆధారంతో ఉపయోగించడం మిగిలి ఉంది.
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .
సమాధానం:
a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.
శక్తి వ్యక్తీకరణలను మార్చేటప్పుడు శక్తుల లక్షణాలు ఎడమ నుండి కుడికి మరియు కుడి నుండి ఎడమకు ఉపయోగించబడతాయి.
ఉదాహరణ.
శక్తి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
సమానత్వం (a·b) r =a r ·b r, కుడి నుండి ఎడమకు వర్తించబడుతుంది, అసలు వ్యక్తీకరణ నుండి ఫారమ్ యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు మరింత ముందుకు వెళ్లడానికి అనుమతిస్తుంది. మరియు అదే స్థావరాలతో శక్తులను గుణించినప్పుడు, ఘాతాంకాలు జోడించబడతాయి: 
.
అసలు వ్యక్తీకరణను మరొక విధంగా మార్చడం సాధ్యమైంది: 
సమాధానం:
.
ఉదాహరణ.
పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను 1.5 -a 0.5 −6 ఇచ్చినట్లయితే, కొత్త వేరియబుల్ t=a 0.5ని పరిచయం చేయండి.
పరిష్కారం.
డిగ్రీ a 1.5ని 0.5 3గా సూచించవచ్చు మరియు ఆపై డిగ్రీ (a r) s =a r s వరకు ఉన్న లక్షణం ఆధారంగా, కుడి నుండి ఎడమకు వర్తించబడుతుంది, దానిని ఫారమ్ (a 0.5) 3కి మార్చవచ్చు. అందువలన, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ఇప్పుడు కొత్త వేరియబుల్ t=a 0.5ని పరిచయం చేయడం సులభం, మనకు t 3 -t−6 వస్తుంది.
సమాధానం:
t 3 -t-6 .
అధికారాలను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను మార్చడం
శక్తి వ్యక్తీకరణలు శక్తులతో భిన్నాలను కలిగి ఉండవచ్చు లేదా సూచించవచ్చు. ప్రాథమిక వాటిలో ఏదైనా అటువంటి భిన్నాలకు పూర్తిగా వర్తిస్తుంది భిన్నం మార్పిడులు, ఏ రకమైన భిన్నాలలో అంతర్లీనంగా ఉంటాయి. అంటే, శక్తులను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను తగ్గించవచ్చు, కొత్త హారంకు తగ్గించవచ్చు, వాటి సంఖ్యతో విడిగా మరియు హారంతో విడిగా పని చేయవచ్చు. ఈ పదాలను వివరించడానికి, అనేక ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను పరిగణించండి.
ఉదాహరణ.
శక్తి వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి 
.
పరిష్కారం.
ఈ శక్తి వ్యక్తీకరణ ఒక భిన్నం. దాని న్యూమరేటర్ మరియు హారంతో పని చేద్దాం. న్యూమరేటర్‌లో మేము బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, అధికారాల లక్షణాలను ఉపయోగించి ఫలిత వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేస్తాము మరియు హారంలో మేము ఇలాంటి పదాలను ప్రదర్శిస్తాము: 
మరియు భిన్నం ముందు మైనస్‌ని ఉంచడం ద్వారా హారం యొక్క చిహ్నాన్ని కూడా మారుద్దాం: 
.
సమాధానం:
.
శక్తులను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను కొత్త హారంకు తగ్గించడం హేతుబద్ధమైన భిన్నాలను కొత్త హారంకు తగ్గించడం వలెనే నిర్వహించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ఒక అదనపు కారకం కూడా కనుగొనబడింది మరియు భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం దాని ద్వారా గుణించబడతాయి. ఈ చర్యను నిర్వహిస్తున్నప్పుడు, కొత్త హారంకు తగ్గింపు VA యొక్క సంకుచితానికి దారితీస్తుందని గుర్తుంచుకోవడం విలువ. ఇది జరగకుండా నిరోధించడానికి, అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం ODZ వేరియబుల్స్ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా విలువలకు అదనపు కారకం సున్నాకి వెళ్లకుండా ఉండటం అవసరం.
ఉదాహరణ.
భిన్నాలను కొత్త హారంకి తగ్గించండి: a) హారం నుండి a, b) 
హారం కు.
పరిష్కారం.
ఎ) ఈ సందర్భంలో, ఆశించిన ఫలితాన్ని సాధించడానికి ఏ అదనపు గుణకం సహాయపడుతుందో గుర్తించడం చాలా సులభం. ఇది 0.3 యొక్క గుణకం, ఎందుకంటే 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. వేరియబుల్ a యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిలో (ఇది అన్ని సానుకూల వాస్తవ సంఖ్యల సమితి), 0.3 యొక్క శక్తి అదృశ్యం కాదని గమనించండి, కాబట్టి, ఇచ్చిన లవం మరియు హారంను గుణించే హక్కు మనకు ఉంది. ఈ అదనపు కారకం ద్వారా భిన్నం: 
బి) హారంను నిశితంగా పరిశీలిస్తే, మీరు దానిని కనుగొంటారు 
మరియు ఈ వ్యక్తీకరణతో గుణించడం ఘనాల మొత్తాన్ని ఇస్తుంది మరియు , అంటే, . మరియు ఇది మేము అసలు భిన్నాన్ని తగ్గించాల్సిన కొత్త హారం.
ఈ విధంగా మేము అదనపు కారకాన్ని కనుగొన్నాము. x మరియు y వేరియబుల్స్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిలో, వ్యక్తీకరణ అదృశ్యం కాదు, కాబట్టి, మనం భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను దాని ద్వారా గుణించవచ్చు: 
సమాధానం:
ఎ) 
, బి) 
.
శక్తులను కలిగి ఉన్న భిన్నాలను తగ్గించడంలో కూడా కొత్తది ఏమీ లేదు: న్యూమరేటర్ మరియు హారం అనేక కారకాలుగా సూచించబడతాయి మరియు న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క అదే కారకాలు తగ్గించబడతాయి.
ఉదాహరణ.
భిన్నాన్ని తగ్గించండి: a) 
, బి) .
పరిష్కారం.
ఎ) ముందుగా, న్యూమరేటర్ మరియు హారం 30 మరియు 45 సంఖ్యల ద్వారా తగ్గించవచ్చు, ఇది 15కి సమానం. x 0.5 +1 మరియు ద్వారా తగ్గింపు చేయడం కూడా స్పష్టంగా సాధ్యమే 
. మన దగ్గర ఉన్నది ఇక్కడ ఉంది: 
బి) ఈ సందర్భంలో, న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో ఒకే విధమైన కారకాలు వెంటనే కనిపించవు. వాటిని పొందడానికి, మీరు ప్రాథమిక పరివర్తనలను నిర్వహించాలి. ఈ సందర్భంలో, అవి చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించి హారంను కారకం చేయడంలో ఉంటాయి: 
సమాధానం:
ఎ) 
బి) 
.
భిన్నాలను కొత్త హారంలోకి మార్చడం మరియు భిన్నాలను తగ్గించడం ప్రధానంగా భిన్నాలతో పనులు చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. తెలిసిన నియమాల ప్రకారం చర్యలు నిర్వహించబడతాయి. భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు (తీసివేసేటప్పుడు), అవి సాధారణ హారంకి తగ్గించబడతాయి, దాని తర్వాత సంఖ్యలు జోడించబడతాయి (వ్యవకలనం చేయబడతాయి), కానీ హారం అలాగే ఉంటుంది. ఫలితం ఒక భిన్నం, దీని లవం సంఖ్యల ఉత్పత్తి, మరియు హారం హారం యొక్క ఉత్పత్తి. భిన్నం ద్వారా విభజించడం అనేది దాని విలోమం ద్వారా గుణించడం.
ఉదాహరణ.
దశలను అనుసరించండి 
.
పరిష్కారం.
మొదట, మేము కుండలీకరణాల్లోని భిన్నాలను తీసివేస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము వాటిని ఒక సాధారణ హారంకి తీసుకువస్తాము, అంటే 
, దాని తర్వాత మేము న్యూమరేటర్లను తీసివేస్తాము: 
ఇప్పుడు మేము భిన్నాలను గుణిస్తాము: 
సహజంగానే, x 1/2 శక్తితో తగ్గించడం సాధ్యమవుతుంది, దాని తర్వాత మనకు ఉంటుంది 
.
మీరు చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా హారంలోని శక్తి వ్యక్తీకరణను కూడా సులభతరం చేయవచ్చు: 
.
సమాధానం:
ఉదాహరణ.
పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను సరళీకృతం చేయండి 
.
పరిష్కారం.
సహజంగానే, ఈ భిన్నాన్ని (x 2.7 +1) 2 ద్వారా తగ్గించవచ్చు, ఇది భిన్నాన్ని ఇస్తుంది 
. X యొక్క అధికారాలతో ఇంకేదో చేయవలసి ఉందని స్పష్టమైంది. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఫలిత భిన్నాన్ని ఉత్పత్తిగా మారుస్తాము. అదే స్థావరాలతో విభజించే అధికారాల ఆస్తిని సద్వినియోగం చేసుకోవడానికి ఇది మాకు అవకాశాన్ని ఇస్తుంది: 
. మరియు ప్రక్రియ ముగింపులో మేము చివరి ఉత్పత్తి నుండి భిన్నానికి తరలిస్తాము.
సమాధానం:
.
మరియు ఘాతాంకం యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడం ద్వారా న్యూమరేటర్ నుండి హారం లేదా హారం నుండి న్యూమరేటర్‌కు ప్రతికూల ఘాతాంకాలతో కారకాలను బదిలీ చేయడం సాధ్యమవుతుందని మరియు చాలా సందర్భాలలో కావాల్సినది అని కూడా జతచేద్దాం. ఇటువంటి పరివర్తనలు తరచుగా తదుపరి చర్యలను సులభతరం చేస్తాయి. ఉదాహరణకు, పవర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని దీని ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు.
మూలాలు మరియు శక్తులతో వ్యక్తీకరణలను మార్చడం
తరచుగా, కొన్ని రూపాంతరాలు అవసరమయ్యే వ్యక్తీకరణలలో, శక్తులతో పాటు పాక్షిక ఘాతాంకాలతో మూలాలు కూడా ఉంటాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణను కావలసిన రూపంలోకి మార్చడానికి, చాలా సందర్భాలలో మూలాలకు లేదా శక్తులకు మాత్రమే వెళ్లడానికి సరిపోతుంది. కానీ అధికారాలతో పనిచేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది కాబట్టి, అవి సాధారణంగా మూలాల నుండి శక్తులకు మారుతాయి. అయినప్పటికీ, అసలు వ్యక్తీకరణ కోసం వేరియబుల్స్ యొక్క ODZ మాడ్యూల్‌ను సూచించాల్సిన అవసరం లేకుండా లేదా ODZని అనేక విరామాలుగా విభజించాల్సిన అవసరం లేకుండా మూలాలను శక్తులతో భర్తీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించినప్పుడు అటువంటి పరివర్తనను నిర్వహించడం మంచిది (మేము దీనిని వివరంగా చర్చించాము మూలాల నుండి శక్తులకు మరియు వెనుకకు ఆర్టికల్ పరివర్తన హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో డిగ్రీని పరిచయం చేసిన తర్వాత, ఈ దశలో ఒక అహేతుక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ గురించి మాట్లాడటానికి అనుమతిస్తుంది, పాఠశాల ప్రారంభమవుతుంది చదువు. ఘాతాంక విధి, ఇది శక్తి ద్వారా విశ్లేషణాత్మకంగా ఇవ్వబడుతుంది, దీని ఆధారం ఒక సంఖ్య మరియు ఘాతాంకం ఒక వేరియబుల్. కాబట్టి మనం శక్తి యొక్క బేస్‌లో సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న శక్తి వ్యక్తీకరణలను ఎదుర్కొంటాము మరియు ఘాతాంకంలో - వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణలు, మరియు సహజంగా అటువంటి వ్యక్తీకరణల రూపాంతరాలను నిర్వహించాల్సిన అవసరం ఏర్పడుతుంది.
పరిష్కరించేటప్పుడు సూచించిన రకం యొక్క వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం సాధారణంగా నిర్వహించబడుతుందని చెప్పాలి ఘాతాంక సమీకరణాలుమరియు ఘాతాంక అసమానతలు, మరియు ఈ మార్పిడులు చాలా సులభం. అధిక సంఖ్యలో కేసుల్లో, అవి డిగ్రీల లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు భవిష్యత్తులో కొత్త వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయడానికి ఎక్కువగా లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నాయి. సమీకరణం వాటిని ప్రదర్శించడానికి అనుమతిస్తుంది 5 2 x+1 −3 5 x 7 x -14 7 2 x−1 =0.
ముందుగా, పవర్స్, ఘాతాంకాలలో నిర్దిష్ట వేరియబుల్ (లేదా వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణ) మరియు ఒక సంఖ్య యొక్క మొత్తం, ఉత్పత్తుల ద్వారా భర్తీ చేయబడతాయి. ఇది ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క మొదటి మరియు చివరి నిబంధనలకు వర్తిస్తుంది:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x -3 5 x 7 x -2 7 2 x =0.
తరువాత, సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా వ్యక్తీకరణ 7 2 x ద్వారా విభజించబడింది, ఇది అసలు సమీకరణం కోసం వేరియబుల్ x యొక్క ODZ పై సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది (ఈ రకమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇది ప్రామాణిక సాంకేతికత, మేము కాదు ఇప్పుడు దాని గురించి మాట్లాడుతున్నాను, కాబట్టి అధికారాలతో వ్యక్తీకరణల తదుపరి రూపాంతరాలపై దృష్టి పెట్టండి ): 
ఇప్పుడు మనం శక్తులతో భిన్నాలను రద్దు చేయవచ్చు, ఇది ఇస్తుంది 
.
చివరగా, అదే ఘాతాంకాలతో ఉన్న శక్తుల నిష్పత్తి సంబంధాల శక్తులతో భర్తీ చేయబడుతుంది, ఫలితంగా సమీకరణం ఏర్పడుతుంది 
, ఇది సమానమైనది 
. చేసిన పరివర్తనలు కొత్త వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి, ఇది క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారానికి అసలు ఘాతాంక సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాన్ని తగ్గిస్తుంది.