ఏదైనా సంఖ్యను సున్నాతో గుణించే నియమం. గణిత పాఠాలు: మీరు సున్నాతో ఎందుకు భాగించలేరు ఏదైనా సంఖ్యను 0తో గుణిస్తే సమానం

Evgeniy Shiryaev, ఉపాధ్యాయుడు మరియు పాలిటెక్నిక్ మ్యూజియం యొక్క గణిత ప్రయోగశాల అధిపతి, సున్నా ద్వారా విభజన గురించి AiF.ru కి చెప్పారు:

1. సమస్య యొక్క అధికార పరిధి

అంగీకరిస్తున్నాను, నియమాన్ని ముఖ్యంగా రెచ్చగొట్టేది నిషేధం. ఇది ఎలా జరగదు? ఎవరు నిషేధించారు? మన పౌర హక్కుల సంగతేంటి?

రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క రాజ్యాంగం, లేదా క్రిమినల్ కోడ్ లేదా మీ పాఠశాల యొక్క చార్టర్ కూడా మాకు ఆసక్తిని కలిగించే మేధోపరమైన చర్యకు అభ్యంతరం లేదు. దీని అర్థం నిషేధానికి చట్టపరమైన శక్తి లేదు మరియు AiF.ru పేజీలలో ఇక్కడే సున్నాతో ఏదైనా విభజించడానికి ప్రయత్నించకుండా ఏమీ నిరోధించదు. ఉదాహరణకు, వెయ్యి.

2. బోధించినట్లు విభజించుదాం

గుర్తుంచుకోండి, మీరు మొదట ఎలా విభజించాలో నేర్చుకున్నప్పుడు, మొదటి ఉదాహరణలు గుణకారాన్ని తనిఖీ చేయడం ద్వారా పరిష్కరించబడ్డాయి: భాగహారంతో గుణించిన ఫలితం భాగించదగినదిగా ఉండాలి. ఇది సరిపోలకపోతే, వారు నిర్ణయించలేదు.

ఉదాహరణ 1. 1000: 0 =...

ఒక క్షణం నిషేధించబడిన నియమాన్ని మరచిపోండి మరియు సమాధానాన్ని ఊహించడానికి అనేక ప్రయత్నాలు చేద్దాం.

సరికానివి చెక్కు ద్వారా కత్తిరించబడతాయి. కింది ఎంపికలను ప్రయత్నించండి: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000 వాటిలో ప్రతిదానికీ, చెక్ అదే ఫలితాన్ని ఇస్తుంది:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0

సున్నాని గుణించడం ద్వారా, ప్రతిదీ స్వయంగా మారుతుంది మరియు ఎప్పుడూ వెయ్యికి కాదు. ముగింపు సూత్రీకరించడం సులభం: ఏ సంఖ్య పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించదు. అంటే, సున్నా కాని సంఖ్యను సున్నాతో భాగిస్తే ఏ సంఖ్యా ఫలితం ఉండదు. అటువంటి విభజన నిషేధించబడలేదు, కానీ ఫలితం లేదు.

3. స్వల్పభేదాన్ని

నిషేధాన్ని తిరస్కరించడానికి మేము దాదాపు ఒక అవకాశాన్ని కోల్పోయాము. అవును, సున్నా కాని సంఖ్యను 0తో భాగించలేమని మేము అంగీకరిస్తున్నాము. అయితే 0నే భాగించవచ్చా?

ఉదాహరణ 2. 0: 0 = ...

ప్రైవేట్ కోసం మీ సూచనలు ఏమిటి? 100? దయచేసి: డివైజర్ 0తో గుణించిన 100 గుణకం డివిడెండ్ 0కి సమానం.

మరిన్ని ఎంపికలు! 1? సరిపోతుంది కూడా. మరియు −23, మరియు 17, అంతే. ఈ ఉదాహరణలో, ఫలితం తనిఖీ ఏ సంఖ్యకైనా సానుకూలంగా ఉంటుంది. మరియు నిజం చెప్పాలంటే, ఈ ఉదాహరణలోని పరిష్కారం సంఖ్య కాదు, సంఖ్యల సమితి అని పిలవాలి. ప్రతి ఒక్కరూ. మరియు ఆలిస్ ఆలిస్ కాదని, మేరీ ఆన్ అని అంగీకరించడానికి ఎక్కువ సమయం పట్టదు మరియు వారిద్దరూ కుందేలు కల.

4. ఉన్నత గణితం గురించి ఏమిటి?

సమస్య పరిష్కరించబడింది, సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు పరిగణనలోకి తీసుకోబడ్డాయి, చుక్కలు ఉంచబడ్డాయి, ప్రతిదీ స్పష్టంగా మారింది - సున్నా ద్వారా విభజనతో ఉదాహరణకి సమాధానం ఒకే సంఖ్య కాదు. అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడం నిస్సహాయమైనది మరియు అసాధ్యం. అంటే... ఆసక్తికరం! రెండు తీసుకోండి.

ఉదాహరణ 3. 1000ని 0తో ఎలా విభజించాలో గుర్తించండి.

కానీ మార్గం లేదు. కానీ 1000ని ఇతర సంఖ్యలతో సులభంగా భాగించవచ్చు. సరే, కనీసం మనం చేయాల్సిన పనిని మార్చుకున్నా మనం చేయగలిగినదైనా చేద్దాం. ఆపై, మీరు చూస్తారు, మేము దూరంగా ఉంటాము, మరియు సమాధానం స్వయంగా కనిపిస్తుంది. సున్నా గురించి ఒక్క నిమిషం మరచిపోయి వందతో భాగిద్దాం:

సున్నాకి వంద దూరం. డివైజర్‌ని తగ్గించడం ద్వారా దాని వైపు ఒక అడుగు వేద్దాం:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

డైనమిక్స్ స్పష్టంగా ఉన్నాయి: భాగహారం సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటే, గుణకం పెద్దది. భిన్నాలకు తరలించడం మరియు న్యూమరేటర్‌ను తగ్గించడం కొనసాగించడం ద్వారా ట్రెండ్‌ను మరింత గమనించవచ్చు:

గమనించదగ్గ విషయం ఏమిటంటే, మనకు నచ్చినంత సున్నాకి దగ్గరగా ఉండగలము, గుణకాన్ని మనకు నచ్చినంత పెద్దదిగా చేస్తుంది.

ఈ ప్రక్రియలో సున్నా లేదు మరియు చివరి భాగం లేదు. మేము ఆసక్తి ఉన్న సంఖ్యకు క్రమాన్ని మార్చడం ద్వారా సంఖ్యను భర్తీ చేయడం ద్వారా వారి వైపు కదలికను సూచించాము:

ఇది డివిడెండ్ కోసం ఇదే విధమైన భర్తీని సూచిస్తుంది:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

బాణాలు ద్విపార్శ్వంగా ఉండటం దేనికీ కాదు: కొన్ని సన్నివేశాలు సంఖ్యలకు కలుస్తాయి. అప్పుడు మనం క్రమాన్ని దాని సంఖ్యా పరిమితితో అనుబంధించవచ్చు.

గుణకాల క్రమాన్ని చూద్దాం:

ఇది అపరిమితంగా పెరుగుతుంది, ఏ సంఖ్య కోసం ప్రయత్నించదు మరియు దేనినీ అధిగమించదు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు సంఖ్యలకు చిహ్నాలను జోడిస్తారు ∞ అటువంటి శ్రేణికి ప్రక్కన ద్విపార్శ్వ బాణాన్ని ఉంచగలగాలి:

పరిమితిని కలిగి ఉన్న శ్రేణుల సంఖ్యలతో పోల్చడం మూడవ ఉదాహరణకి పరిష్కారాన్ని ప్రతిపాదించడానికి అనుమతిస్తుంది:

0కి కలుస్తున్న సానుకూల సంఖ్యల శ్రేణితో 1000కి కలుస్తున్న క్రమాన్ని మూలకం వారీగా విభజించినప్పుడు, మేము ∞కి కలుస్తున్న క్రమాన్ని పొందుతాము.

5. మరియు ఇక్కడ రెండు సున్నాలతో స్వల్పభేదం ఉంది

సున్నాకి కలుస్తున్న ధనాత్మక సంఖ్యల రెండు శ్రేణులను విభజించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం ఏమిటి? అవి ఒకేలా ఉంటే, యూనిట్ ఒకేలా ఉంటుంది. డివిడెండ్ సీక్వెన్స్ సున్నాకి వేగంగా కలుస్తుంటే, కోటీన్‌లో సీక్వెన్స్ సున్నా పరిమితిని కలిగి ఉంటుంది. మరియు డివైజర్ యొక్క మూలకాలు డివిడెండ్ కంటే చాలా వేగంగా తగ్గినప్పుడు, గుణకం యొక్క క్రమం బాగా పెరుగుతుంది:

అనిశ్చిత పరిస్థితి. మరియు దీనిని పిలుస్తారు: రకం యొక్క అనిశ్చితి 0/0 . గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అటువంటి అనిశ్చితికి సరిపోయే సీక్వెన్స్‌లను చూసినప్పుడు, వారు రెండు ఒకే సంఖ్యలను ఒకదానికొకటి విభజించడానికి తొందరపడరు, అయితే ఏ శ్రేణులు సున్నాకి వేగంగా నడుస్తాయో మరియు ఎంత ఖచ్చితంగా నడుస్తాయో గుర్తించండి. మరియు ప్రతి ఉదాహరణకి దాని స్వంత నిర్దిష్ట సమాధానం ఉంటుంది!

6. జీవితంలో

ఓం యొక్క చట్టం ఒక సర్క్యూట్‌లో కరెంట్, వోల్టేజ్ మరియు రెసిస్టెన్స్‌కు సంబంధించినది. ఇది తరచుగా ఈ రూపంలో వ్రాయబడుతుంది:

చక్కని భౌతిక అవగాహనను విస్మరించి, అధికారికంగా రెండు సంఖ్యల గుణకం వలె కుడి వైపున చూద్దాం. మేము విద్యుత్‌పై పాఠశాల సమస్యను పరిష్కరిస్తున్నామని ఊహించుకుందాం. పరిస్థితి వోల్ట్‌లలో వోల్టేజీని మరియు ఓంలలో నిరోధకతను ఇస్తుంది. ప్రశ్న స్పష్టంగా ఉంది, పరిష్కారం ఒక చర్యలో ఉంది.

ఇప్పుడు సూపర్ కండక్టివిటీ యొక్క నిర్వచనాన్ని చూద్దాం: ఇది సున్నా విద్యుత్ నిరోధకతను కలిగి ఉండే కొన్ని లోహాల లక్షణం.

సరే, సూపర్ కండక్టింగ్ సర్క్యూట్ కోసం సమస్యను పరిష్కరిద్దాం? జస్ట్ అలా సెటప్ చేయండి R= 0 ఇది పని చేయకపోతే, భౌతికశాస్త్రం ఒక ఆసక్తికరమైన సమస్యను విసురుతుంది, దాని వెనుక, స్పష్టంగా, శాస్త్రీయ ఆవిష్కరణ ఉంది. మరియు ఈ పరిస్థితిలో సున్నాతో విభజించగలిగిన వ్యక్తులు నోబెల్ బహుమతిని అందుకున్నారు. ఏదైనా నిషేధాలను దాటవేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది!

చాలా తరచుగా, సున్నా ద్వారా విభజన ఎందుకు ఉపయోగించబడదని చాలా మంది ఆశ్చర్యపోతున్నారు? ఈ ఆర్టికల్లో ఈ నియమం ఎక్కడ నుండి వచ్చింది, అలాగే సున్నాతో ఏ చర్యలు చేపట్టవచ్చనే దాని గురించి మేము చాలా వివరంగా మాట్లాడుతాము.

తో పరిచయంలో ఉన్నారు

సున్నాను అత్యంత ఆసక్తికరమైన సంఖ్యలలో ఒకటిగా పిలుస్తారు. ఈ సంఖ్యకు అర్థం లేదు, పదం యొక్క సాహిత్యపరమైన అర్థంలో శూన్యత అని అర్థం. అయితే, ఏదైనా సంఖ్య పక్కన సున్నాని ఉంచినట్లయితే, ఈ సంఖ్య యొక్క విలువ అనేక రెట్లు ఎక్కువ అవుతుంది.

సంఖ్య కూడా చాలా రహస్యమైనది. దీనిని పురాతన మాయన్ ప్రజలు ఉపయోగించారు. మాయన్లకు, సున్నా అంటే "ప్రారంభం" మరియు క్యాలెండర్ రోజులు కూడా సున్నా నుండి ప్రారంభమయ్యాయి.

చాలా ఆసక్తికరమైన విషయం ఏమిటంటే, సున్నా గుర్తు మరియు అనిశ్చితి గుర్తు ఒకేలా ఉన్నాయి. దీని ద్వారా, సున్నా అనిశ్చితితో సమానమైన సంకేతం అని మాయన్లు చూపించాలనుకున్నారు. ఐరోపాలో, సున్నా హోదా సాపేక్షంగా ఇటీవల కనిపించింది.

చాలా మందికి సున్నాతో సంబంధం ఉన్న నిషేధం కూడా తెలుసు. ఏ వ్యక్తి అయినా చెబుతాడు మీరు సున్నాతో భాగించలేరు. పాఠశాలలో ఉపాధ్యాయులు ఈ విధంగా చెబుతారు, మరియు పిల్లలు సాధారణంగా వారి మాటను తీసుకుంటారు. సాధారణంగా, పిల్లలు దీన్ని తెలుసుకోవడంలో ఆసక్తి చూపరు, లేదా ఒక ముఖ్యమైన నిషేధాన్ని విన్న వెంటనే, “మీరు సున్నాతో ఎందుకు విభజించలేరు?” అని అడిగితే ఏమి జరుగుతుందో వారికి తెలుసు. కానీ మీరు పెద్దయ్యాక, మీ ఆసక్తి మేల్కొంటుంది మరియు ఈ నిషేధానికి గల కారణాల గురించి మీరు మరింత తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు. అయితే, సహేతుకమైన ఆధారాలు ఉన్నాయి.

సున్నాతో చర్యలు

మొదట మీరు సున్నాతో ఏ చర్యలు చేయవచ్చో నిర్ణయించుకోవాలి. ఉనికిలో ఉంది అనేక రకాల చర్యలు:

• అదనంగా;
• గుణకారం;
• వ్యవకలనం;
• విభజన (సంఖ్య ద్వారా సున్నా);
• ఎక్స్పోనెన్షియేషన్.

ముఖ్యమైనది!మీరు జోడింపు సమయంలో ఏదైనా సంఖ్యకు సున్నాని జోడిస్తే, ఈ సంఖ్య అలాగే ఉంటుంది మరియు దాని సంఖ్యా విలువను మార్చదు. మీరు ఏదైనా సంఖ్య నుండి సున్నాని తీసివేస్తే అదే జరుగుతుంది.

గుణించడం మరియు విభజించేటప్పుడు విషయాలు కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటాయి. ఉంటే ఏదైనా సంఖ్యను సున్నాతో గుణించండి, అప్పుడు ఉత్పత్తి కూడా సున్నా అవుతుంది.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

దీన్ని అదనంగా వ్రాస్దాం:

మొత్తం ఐదు సున్నాలు ఉన్నాయి, కాబట్టి అది మారుతుంది

సున్నాతో ఒకదానిని గుణించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఫలితం కూడా సున్నా అవుతుంది.

సున్నాను దానికి సమానంగా లేని ఇతర సంఖ్యలతో కూడా భాగించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, ఫలితం ఉంటుంది, దీని విలువ కూడా సున్నాగా ఉంటుంది. అదే నియమం ప్రతికూల సంఖ్యలకు వర్తిస్తుంది. సున్నాను ప్రతికూల సంఖ్యతో భాగిస్తే, ఫలితం సున్నా.

మీరు ఏదైనా సంఖ్యను కూడా నిర్మించవచ్చు సున్నా డిగ్రీకి. ఈ సందర్భంలో, ఫలితం 1. "సున్నా యొక్క శక్తికి సున్నా" అనే వ్యక్తీకరణ పూర్తిగా అర్థరహితమని గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం. మీరు ఏదైనా శక్తికి సున్నాని పెంచడానికి ప్రయత్నిస్తే, మీకు సున్నా వస్తుంది. ఉదాహరణ:

మేము గుణకార నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు 0ని పొందుతాము.

కాబట్టి సున్నాతో విభజించడం సాధ్యమేనా?

కాబట్టి, ఇక్కడ మనం ప్రధాన ప్రశ్నకు వచ్చాము. సున్నాతో విభజించడం సాధ్యమేనా?అస్సలు? మరియు సున్నాతో ఉన్న అన్ని ఇతర చర్యలు ఉన్నందున మరియు వర్తింపజేయబడినందున, మనం సున్నాతో సంఖ్యను ఎందుకు విభజించలేము? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి ఉన్నత గణితశాస్త్రం వైపు తిరగడం అవసరం.

భావన యొక్క నిర్వచనంతో ప్రారంభిద్దాం, సున్నా అంటే ఏమిటి? సున్నా ఏమీ కాదంటున్నారు స్కూల్ టీచర్లు. శూన్యం. అంటే, మీకు 0 హ్యాండిల్స్ ఉన్నాయని చెప్పినప్పుడు, మీకు హ్యాండిల్స్ లేవని అర్థం.

ఉన్నత గణితంలో, "సున్నా" అనే భావన విస్తృతమైనది. దీని అర్థం శూన్యం కాదు. ఇక్కడ సున్నాని అనిశ్చితి అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే మనం కొంచెం పరిశోధన చేస్తే, మనం సున్నాని సున్నాతో విభజించినప్పుడు, మనం ఏదైనా ఇతర సంఖ్యతో ముగించవచ్చు, అది తప్పనిసరిగా సున్నా కాకపోవచ్చు.

మీరు పాఠశాలలో చదివిన ఆ సాధారణ అంకగణిత కార్యకలాపాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండవని మీకు తెలుసా? అత్యంత ప్రాథమిక చర్యలు కూడిక మరియు గుణకారం.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు, "" మరియు "వ్యవకలనం" అనే భావనలు లేవు. చెప్పండి: మీరు ఐదు నుండి మూడు తీసివేస్తే, మీకు రెండు మిగిలిపోతాయి. తీసివేత ఇలా కనిపిస్తుంది. అయితే, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఈ విధంగా వ్రాస్తారు:

అందువల్ల, తెలియని వ్యత్యాసం 5ని పొందడానికి 3కి జోడించాల్సిన నిర్దిష్ట సంఖ్య అని తేలింది. అంటే, మీరు దేనినీ తీసివేయవలసిన అవసరం లేదు, మీరు తగిన సంఖ్యను కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ఈ నియమం అదనంగా వర్తిస్తుంది.

తో విషయాలు కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటాయి గుణకారం మరియు విభజన నియమాలు.సున్నాతో గుణించడం సున్నా ఫలితానికి దారితీస్తుందని తెలుసు. ఉదాహరణకు, 3:0=x అయితే, మీరు ఎంట్రీని రివర్స్ చేస్తే, మీకు 3*x=0 వస్తుంది. మరియు 0తో గుణించిన సంఖ్య ఉత్పత్తిలో సున్నాని ఇస్తుంది. సున్నాతో ఉత్పత్తిలో సున్నా తప్ప మరేదైనా విలువను ఇచ్చే సంఖ్య ఉనికిలో లేదని తేలింది. అంటే సున్నాతో భాగించడం అర్థరహితం, అంటే అది మన నియమానికి సరిపోతుంది.

కానీ మీరు సున్నాని స్వయంగా విభజించడానికి ప్రయత్నిస్తే ఏమి జరుగుతుంది? కొంత నిరవధిక సంఖ్యను x గా తీసుకుందాం. ఫలిత సమీకరణం 0*x=0. ఇది పరిష్కరించవచ్చు.

xకి బదులు సున్నా తీసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తే, మనకు 0:0=0 వస్తుంది. ఇది తార్కికంగా అనిపిస్తుందా? కానీ మనం ఏదైనా ఇతర సంఖ్యను తీసుకోవాలని ప్రయత్నిస్తే, ఉదాహరణకు, 1, x బదులుగా, మనం 0:0=1తో ముగుస్తుంది. మేము ఏదైనా ఇతర సంఖ్యను తీసుకుంటే అదే పరిస్థితి జరుగుతుంది దానిని సమీకరణంలోకి చేర్చండి.

ఈ సందర్భంలో, మనం ఏదైనా ఇతర సంఖ్యను కారకంగా తీసుకోవచ్చని తేలింది. ఫలితంగా వివిధ సంఖ్యల అనంతమైన సంఖ్య ఉంటుంది. కొన్నిసార్లు అధిక గణితంలో 0 ద్వారా విభజించడం ఇప్పటికీ అర్ధమే, కానీ సాధారణంగా ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితి కనిపిస్తుంది, దానికి ధన్యవాదాలు మనం ఇప్పటికీ తగిన సంఖ్యను ఎంచుకోవచ్చు. ఈ చర్యను "అనిశ్చిత బహిర్గతం" అంటారు. సాధారణ అంకగణితంలో, సున్నా ద్వారా భాగహారం మళ్లీ దాని అర్థాన్ని కోల్పోతుంది, ఎందుకంటే మేము సెట్ నుండి ఒక సంఖ్యను ఎంచుకోలేము.

ముఖ్యమైనది!మీరు సున్నాను సున్నాతో విభజించలేరు.

సున్నా మరియు అనంతం

ఉన్నత గణితంలో అనంతం చాలా తరచుగా కనుగొనబడుతుంది. అనంతంతో గణిత కార్యకలాపాలు కూడా ఉన్నాయని పాఠశాల పిల్లలకు తెలుసుకోవడం ముఖ్యం కాదు కాబట్టి, సున్నాతో విభజించడం ఎందుకు అసాధ్యం అని ఉపాధ్యాయులు పిల్లలకు సరిగ్గా వివరించలేరు.

విద్యార్థులు ప్రాథమిక గణిత రహస్యాలను ఇన్‌స్టిట్యూట్‌లోని మొదటి సంవత్సరంలోనే నేర్చుకోవడం ప్రారంభిస్తారు. ఉన్నత గణిత శాస్త్రం ఎటువంటి పరిష్కారం లేని సమస్యల యొక్క పెద్ద సంక్లిష్టతను అందిస్తుంది. అత్యంత ప్రసిద్ధ సమస్యలు అనంతంతో సమస్యలు. వాటిని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు గణిత విశ్లేషణ.

అనంతానికి కూడా వర్తించవచ్చు ప్రాథమిక గణిత కార్యకలాపాలు:అదనంగా, సంఖ్య ద్వారా గుణకారం. సాధారణంగా వారు వ్యవకలనం మరియు విభజనను కూడా ఉపయోగిస్తారు, కానీ చివరికి అవి ఇప్పటికీ రెండు సాధారణ కార్యకలాపాలకు వస్తాయి.

అయితే ఏమవుతుంది మీరు ప్రయత్నిస్తే:

• అనంతం సున్నాతో గుణించబడుతుంది. సిద్ధాంతంలో, మనం ఏదైనా సంఖ్యను సున్నాతో గుణించడానికి ప్రయత్నిస్తే, మనకు సున్నా వస్తుంది. కానీ అనంతం అనేది నిరవధిక సంఖ్యల సమితి. మేము ఈ సెట్ నుండి ఒక సంఖ్యను ఎంచుకోలేము కాబట్టి, ∞*0 అనే వ్యక్తీకరణకు పరిష్కారం లేదు మరియు పూర్తిగా అర్థరహితం.
• సున్నాని అనంతం ద్వారా విభజించారు. పైన చెప్పిన కథే ఇక్కడ కూడా జరుగుతోంది. మేము ఒక సంఖ్యను ఎంచుకోలేము, అంటే దేనితో విభజించాలో మాకు తెలియదు. వ్యక్తీకరణకు అర్థం లేదు.

ముఖ్యమైనది!అనంతం అనిశ్చితి నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది! అనిశ్చితి రకాల్లో అనంతం ఒకటి.

ఇప్పుడు అనంతాన్ని సున్నాతో భాగించే ప్రయత్నం చేద్దాం. అనిశ్చితి ఉండాలి అని అనిపిస్తుంది. కానీ మనం గుణకారంతో విభజనను భర్తీ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తే, మనకు చాలా ఖచ్చితమైన సమాధానం లభిస్తుంది.

ఉదాహరణకు: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

ఇది ఇలా మారుతుంది గణిత వైరుధ్యం.

మీరు సున్నాతో ఎందుకు భాగించలేరు అనేదానికి సమాధానం

ఆలోచన ప్రయోగం, సున్నాతో విభజించడానికి ప్రయత్నిస్తుంది

ముగింపు

కాబట్టి, సున్నా అనేది ఒకే ఒక్కటి మినహా దాదాపు అన్ని కార్యకలాపాలకు లోబడి ఉంటుందని ఇప్పుడు మనకు తెలుసు. ఫలితం అనిశ్చితి అయినందున మీరు సున్నాతో భాగించలేరు. జీరో మరియు ఇన్ఫినిటీతో ఆపరేషన్లు ఎలా చేయాలో కూడా మేము నేర్చుకున్నాము. అటువంటి చర్యల ఫలితంగా అనిశ్చితి ఉంటుంది.

పాఠశాలలో కూడా, ఉపాధ్యాయులు మా తలపై సరళమైన నియమాన్ని కొట్టడానికి ప్రయత్నించారు: "సున్నాతో గుణించిన సంఖ్య సున్నాకి సమానం!", - కానీ ఇప్పటికీ అతని చుట్టూ చాలా వివాదాలు నిరంతరం తలెత్తుతాయి. కొందరు వ్యక్తులు నియమాన్ని గుర్తుంచుకుంటారు మరియు "ఎందుకు?" అనే ప్రశ్నతో తమను తాము ఇబ్బంది పెట్టరు. "మీరు చేయలేరు మరియు అంతే, వారు పాఠశాలలో చెప్పారు కాబట్టి, నియమం నియమం!" ఎవరైనా సూత్రాలతో సగం నోట్‌బుక్‌ను పూరించవచ్చు, ఈ నియమాన్ని రుజువు చేయవచ్చు లేదా, దానికి విరుద్ధంగా, దాని అశాస్త్రీయత.

తో పరిచయంలో ఉన్నారు

చివరికి ఎవరు సరైనవారు?

ఈ వివాదాల సమయంలో, పరస్పర విరుద్ధమైన దృక్కోణాలు ఉన్న వ్యక్తులు ఇద్దరూ ఒకరినొకరు పొట్టేలులా చూసుకుంటారు మరియు వారు సరైనవారని తమ శక్తితో నిరూపించుకుంటారు. అయినప్పటికీ, మీరు వాటిని వైపు నుండి చూస్తే, మీరు ఒకటి కాదు, రెండు పొట్టేలు, తమ కొమ్ములను ఒకదానికొకటి ఉంచడం చూడవచ్చు. వారి మధ్య ఉన్న తేడా ఏమిటంటే, ఒకరి కంటే ఒకరు కొంచెం తక్కువ చదువుకున్నవారు.

చాలా తరచుగా, ఈ నియమాన్ని తప్పుగా భావించే వారు ఈ విధంగా తర్కానికి విజ్ఞప్తి చేయడానికి ప్రయత్నిస్తారు:

నా టేబుల్‌పై రెండు ఆపిల్స్ ఉన్నాయి, నేను వాటిపై సున్నా ఆపిల్స్ వేస్తే, అంటే నేను ఒక్కటి కూడా పెట్టను, అప్పుడు నా రెండు ఆపిల్‌లు కనిపించవు! నియమం అశాస్త్రీయం!

నిజానికి, ఆపిల్ల ఎక్కడా కనిపించదు, కానీ నియమం అశాస్త్రీయంగా ఉన్నందున కాదు, కానీ ఇక్కడ కొద్దిగా భిన్నమైన సమీకరణం ఉపయోగించబడినందున: 2 + 0 = 2. కాబట్టి ఈ తీర్మానాన్ని వెంటనే విస్మరించండి - ఇది వ్యతిరేక లక్ష్యాన్ని కలిగి ఉన్నప్పటికీ ఇది అశాస్త్రీయమైనది. - తర్కానికి కాల్ చేయడానికి.

గుణకారం అంటే ఏమిటి

నిజానికి గుణకారం నియమంసహజ సంఖ్యల కోసం మాత్రమే నిర్వచించబడింది: గుణకారం అనేది నిర్దిష్ట సంఖ్యలో సార్లు జోడించబడిన సంఖ్య, ఇది సంఖ్య సహజమైనదని సూచిస్తుంది. కాబట్టి, గుణకారంతో ఏ సంఖ్యనైనా ఈ సమీకరణానికి తగ్గించవచ్చు:

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

ఈ సమీకరణం నుండి అది అనుసరిస్తుంది గుణకారం అనేది సరళీకృతమైన అదనం.

సున్నా అంటే ఏమిటి

బాల్యం నుండి ఏ వ్యక్తికైనా తెలుసు: శూన్యత అనేది ఈ శూన్యతకు ఒక హోదా ఉన్నప్పటికీ, అది దేనినీ తీసుకువెళ్లదు. పురాతన తూర్పు శాస్త్రవేత్తలు భిన్నంగా ఆలోచించారు - వారు సమస్యను తాత్వికంగా సంప్రదించారు మరియు శూన్యత మరియు అనంతం మధ్య కొన్ని సమాంతరాలను చిత్రీకరించారు మరియు ఈ సంఖ్యలో లోతైన అర్థాన్ని చూశారు. అన్నింటికంటే, శూన్యత అనే అర్థాన్ని కలిగి ఉన్న సున్నా, ఏదైనా సహజ సంఖ్య పక్కన నిలబడి, దానిని పది రెట్లు గుణిస్తుంది. అందువల్ల గుణకారం గురించి అన్ని వివాదాలు - ఈ సంఖ్య చాలా అస్థిరతను కలిగి ఉంటుంది, గందరగోళం చెందకుండా ఉండటం కష్టం అవుతుంది. అదనంగా, దశాంశ భిన్నాలలో ఖాళీ అంకెలను నిర్వచించడానికి సున్నా నిరంతరం ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది దశాంశ బిందువుకు ముందు మరియు తరువాత జరుగుతుంది.

శూన్యం ద్వారా గుణించడం సాధ్యమేనా?

సున్నాతో గుణించడం సాధ్యమే, కానీ అది పనికిరానిది, ఎందుకంటే, ఎవరైనా ఏది చెప్పినా, ప్రతికూల సంఖ్యలను గుణించినప్పుడు కూడా ఫలితం సున్నాగా ఉంటుంది. ఈ సాధారణ నియమాన్ని గుర్తుంచుకోవడానికి సరిపోతుంది మరియు ఈ ప్రశ్నను మళ్లీ అడగవద్దు. నిజానికి, ప్రతిదీ మొదటి చూపులో కనిపించే దానికంటే చాలా సులభం. పురాతన శాస్త్రవేత్తలు విశ్వసించినట్లు దాచిన అర్థాలు మరియు రహస్యాలు లేవు. ఈ గుణకారం పనికిరానిదని మేము చాలా తార్కిక వివరణను ఇస్తాము, ఎందుకంటే మీరు దానితో ఒక సంఖ్యను గుణించినప్పుడు, మీరు ఇప్పటికీ అదే విషయాన్ని పొందుతారు - సున్నా.

ప్రారంభానికి తిరిగి, రెండు ఆపిల్ల గురించి వాదనకు, 2 సార్లు 0 ఇలా కనిపిస్తుంది:

• మీరు రెండు యాపిల్స్‌ను ఐదుసార్లు తింటే, మీరు 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 యాపిల్స్ తింటారు.
• మీరు వాటిలో రెండు మూడు సార్లు తింటే, మీరు 2×3 = 2+2+2 = 6 యాపిల్స్ తింటారు.
• మీరు రెండు ఆపిల్లను సున్నా సార్లు తింటే, ఏమీ తినదు - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

అన్నింటికంటే, ఆపిల్ 0 సార్లు తినడం అంటే ఒక్కటి కూడా తినకూడదు. ఇది చిన్న పిల్లవాడికి కూడా స్పష్టంగా ఉంటుంది. ఒకరు ఏది చెప్పినా, ఫలితం 0 అవుతుంది, రెండు లేదా మూడు ఖచ్చితంగా ఏదైనా సంఖ్యతో భర్తీ చేయవచ్చు మరియు ఫలితం ఖచ్చితంగా ఒకే విధంగా ఉంటుంది. మరియు సరళంగా చెప్పాలంటే, అప్పుడు సున్నా ఏమీ కాదు, మరియు మీరు ఎప్పుడు కలిగి ఉన్నారు అక్కడ ఏమీలేదు, అప్పుడు మీరు ఎంత గుణించినా, అది ఇప్పటికీ అలాగే ఉంటుంది సున్నా ఉంటుంది. మ్యాజిక్ లాంటిదేమీ లేదు మరియు మీరు 0ని మిలియన్‌తో గుణించినప్పటికీ ఏదీ యాపిల్‌ను తయారు చేయదు. ఇది సున్నా ద్వారా గుణకారం యొక్క నియమం యొక్క సరళమైన, అత్యంత అర్థమయ్యే మరియు తార్కిక వివరణ. అన్ని సూత్రాలు మరియు గణితాలకు దూరంగా ఉన్న వ్యక్తికి, తలలోని వైరుధ్యాన్ని పరిష్కరించడానికి మరియు ప్రతిదీ సరిగ్గా జరగడానికి అటువంటి వివరణ సరిపోతుంది.

విభజన

పైన పేర్కొన్న అన్నింటి నుండి, మరొక ముఖ్యమైన నియమం క్రింది విధంగా ఉంది:

మీరు సున్నాతో భాగించలేరు!

ఈ నియమం చిన్నతనం నుండి మన తలపైకి కూడా నిరంతరంగా ఉంటుంది. అనవసరమైన సమాచారంతో మన తలలను నింపకుండా ప్రతిదీ చేయడం అసాధ్యం అని మాకు తెలుసు. సున్నాతో విభజించడం ఎందుకు నిషేధించబడిందని మీరు అనుకోకుండా ప్రశ్న అడిగితే, చాలా మంది గందరగోళానికి గురవుతారు మరియు పాఠశాల పాఠ్యాంశాల నుండి సరళమైన ప్రశ్నకు స్పష్టంగా సమాధానం ఇవ్వలేరు, ఎందుకంటే ఈ నియమం చుట్టూ చాలా వివాదాలు మరియు వైరుధ్యాలు లేవు.

ప్రతి ఒక్కరూ కేవలం నియమాన్ని గుర్తుపెట్టుకున్నారు మరియు సున్నాతో విభజించలేదు, సమాధానం ఉపరితలంపై దాగి ఉందని అనుమానించలేదు. కూడిక, గుణకారం, భాగహారం మరియు వ్యవకలనం పైన పేర్కొన్న వాటిలో అసమానమైనవి, గుణకారం మరియు కూడిక మాత్రమే చెల్లుబాటు అవుతాయి మరియు సంఖ్యలతో కూడిన అన్ని ఇతర అవకతవకలు వాటి నుండి నిర్మించబడ్డాయి. అంటే, 10: 2 సంజ్ఞామానం 2 * x = 10 సమీకరణం యొక్క సంక్షిప్తీకరణ. దీని అర్థం 10: 0 సంజ్ఞామానం 0 * x = 10కి అదే సంక్షిప్తీకరణ. ఇది సున్నాతో భాగించడం అనేది ఒక పని అని తేలింది. ఒక సంఖ్యను కనుగొనండి, 0 ద్వారా గుణిస్తే, మీకు 10 వస్తుంది మరియు అటువంటి సంఖ్య ఉనికిలో లేదని మేము ఇప్పటికే కనుగొన్నాము, అంటే ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం లేదు మరియు ఇది ముందస్తు తప్పుగా ఉంటుంది.

నన్ను చెప్పనివ్వండి,

కాబట్టి 0 ద్వారా విభజించబడదు!

1ని మీకు కావలసిన విధంగా పొడవుగా కత్తిరించండి

కేవలం 0తో భాగించవద్దు!

సున్నాతో భాగించటంగణితంలో, భాగహారం సున్నాగా ఉండే విభజన. అటువంటి విభజనను అధికారికంగా ⁄ 0 అని వ్రాయవచ్చు, డివిడెండ్ ఎక్కడ ఉంది.

సాధారణ అంకగణితంలో (వాస్తవ సంఖ్యలతో), ఈ వ్యక్తీకరణ అర్ధవంతం కాదు, ఎందుకంటే:

• ≠ 0 కోసం 0తో గుణించినప్పుడు ఇచ్చే సంఖ్య లేదు, కాబట్టి సంఖ్యను గుణకం ⁄ 0గా తీసుకోలేరు;
• వద్ద = 0, సున్నా ద్వారా భాగహారం కూడా నిర్వచించబడలేదు, ఎందుకంటే ఏదైనా సంఖ్య 0తో గుణించినప్పుడు 0 వస్తుంది మరియు 0 ⁄ 0గా తీసుకోవచ్చు.

చారిత్రాత్మకంగా, ⁄ 0 విలువను కేటాయించడం యొక్క గణిత అసంభవానికి సంబంధించిన మొదటి సూచనలలో ఒకటి జార్జ్ బర్కిలీ యొక్క అనంతమైన కాలిక్యులస్ యొక్క విమర్శలో ఉంది.

లాజికల్ లోపాలు

మనం ఏదైనా సంఖ్యను సున్నాతో గుణించినప్పుడు, మనం ఎల్లప్పుడూ సున్నాని పొందుతాము, × 0 = × 0 వ్యక్తీకరణ యొక్క రెండు భాగాలను విభజించినప్పుడు, ఇది విలువతో సంబంధం లేకుండా నిజం మరియు 0 ద్వారా వ్యక్తీకరణ =, ఇది పొందుతుంది ఏకపక్షంగా పేర్కొన్న వేరియబుల్స్ విషయంలో తప్పు. సున్నాని స్పష్టంగా పేర్కొనలేము, కానీ సంక్లిష్టమైన గణిత వ్యక్తీకరణ రూపంలో, ఉదాహరణకు బీజగణిత పరివర్తనల ద్వారా ఒకదానికొకటి తగ్గించబడిన రెండు విలువల వ్యత్యాసం రూపంలో, అటువంటి విభజన అస్పష్టమైన లోపం కావచ్చు. స్పష్టంగా భిన్నమైన పరిమాణాల గుర్తింపును చూపించడానికి రుజువు ప్రక్రియలో అటువంటి విభజనను అస్పష్టంగా ప్రవేశపెట్టడం, తద్వారా ఏదైనా అసంబద్ధమైన ప్రకటనను రుజువు చేయడం గణిత శాస్త్ర సోఫిజం యొక్క రకాల్లో ఒకటి.

కంప్యూటర్ సైన్స్ లో

ప్రోగ్రామింగ్‌లో, ప్రోగ్రామింగ్ లాంగ్వేజ్, డేటా రకం మరియు డివిడెండ్ విలువపై ఆధారపడి, సున్నాతో విభజించడానికి ప్రయత్నించడం విభిన్న పరిణామాలను కలిగి ఉంటుంది. పూర్ణాంకం మరియు నిజమైన అంకగణితంలో సున్నా ద్వారా విభజన యొక్క పరిణామాలు ప్రాథమికంగా భిన్నంగా ఉంటాయి:

• ప్రయత్నం పూర్ణ సంఖ్యసున్నా ద్వారా విభజించడం అనేది ఎల్లప్పుడూ క్లిష్టమైన లోపం, ఇది ప్రోగ్రామ్ యొక్క తదుపరి అమలును అసాధ్యం చేస్తుంది. ఇది ఒక మినహాయింపును (ప్రోగ్రామ్ స్వయంగా నిర్వహించగలదు, తద్వారా క్రాష్‌ను నివారించవచ్చు) లేదా ప్రోగ్రామ్ వెంటనే ఆగిపోయేలా చేస్తుంది, సరిదిద్దలేని దోష సందేశాన్ని మరియు బహుశా కాల్ స్టాక్‌లోని కంటెంట్‌లను ప్రదర్శిస్తుంది. Go వంటి కొన్ని ప్రోగ్రామింగ్ భాషలలో, సున్నా స్థిరాంకం ద్వారా పూర్ణాంక విభజన అనేది సింటాక్స్ లోపంగా పరిగణించబడుతుంది మరియు ప్రోగ్రామ్ అసాధారణంగా కంపైల్ అయ్యేలా చేస్తుంది.
• IN నిజమైనవివిధ భాషలలో అంకగణిత పరిణామాలు భిన్నంగా ఉండవచ్చు:

• పూర్ణాంక విభజన వలె మినహాయింపును విసిరివేయడం లేదా ప్రోగ్రామ్‌ను నిలిపివేయడం;
• ఒక ఆపరేషన్ ఫలితంగా ప్రత్యేక సంఖ్యేతర విలువను పొందడం. ఈ సందర్భంలో, గణనలు అంతరాయం కలిగించవు మరియు వాటి ఫలితాన్ని ప్రోగ్రామ్ స్వయంగా లేదా వినియోగదారు అర్థవంతమైన విలువగా లేదా తప్పు గణనల సాక్ష్యంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. విస్తృతంగా ఉపయోగించే సూత్రం ఏమిటంటే, ⁄ 0 లాగా విభజించినప్పుడు, ≠ 0 అనేది ఫ్లోటింగ్ పాయింట్ నంబర్, ఫలితం సానుకూల లేదా ప్రతికూల (డివిడెండ్ యొక్క గుర్తుపై ఆధారపడి) అనంతానికి సమానం - లేదా, మరియు ఎప్పుడు = 0 ఫలితం ఒక ప్రత్యేక విలువ NaN (abbr. . ఆంగ్లం నుండి “సంఖ్య కాదు”). ఈ విధానం IEEE 754 ప్రమాణంలో అవలంబించబడింది, దీనికి అనేక ఆధునిక ప్రోగ్రామింగ్ భాషల మద్దతు ఉంది.

కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లో సున్నాతో ప్రమాదవశాత్తు విభజన కొన్నిసార్లు ప్రోగ్రామ్ ద్వారా నియంత్రించబడే హార్డ్‌వేర్‌లో ఖరీదైన లేదా ప్రమాదకరమైన లోపాలను కలిగిస్తుంది. ఉదాహరణకు, సెప్టెంబర్ 21, 1997న, US నేవీ క్రూయిజర్ USS యార్క్‌టౌన్ (CG-48) యొక్క కంప్యూటరైజ్డ్ కంట్రోల్ సిస్టమ్‌లో సున్నా ద్వారా విభజించబడిన ఫలితంగా, సిస్టమ్‌లోని అన్ని ఎలక్ట్రానిక్ పరికరాలు ఆపివేయబడ్డాయి, దీనివల్ల ఓడ యొక్క ప్రొపల్షన్ సిస్టమ్ ఆపరేటింగ్ ఆపండి.

ఇది కూడ చూడు

గమనికలు

ఫంక్షన్ = 1 ⁄ . ఇది కుడి నుండి సున్నాకి మారినప్పుడు, అది అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది; ఎడమ నుండి సున్నాకి మారినప్పుడు, మైనస్ అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది

మీరు సాధారణ కాలిక్యులేటర్‌లో ఏదైనా సంఖ్యను సున్నాతో భాగిస్తే, అది మీకు E అక్షరాన్ని లేదా ఎర్రర్ అనే పదాన్ని ఇస్తుంది, అంటే “ఎర్రర్”.

ఇదే సందర్భంలో, కంప్యూటర్ కాలిక్యులేటర్ వ్రాస్తుంది (Windows XPలో): "సున్నా ద్వారా విభజించడం నిషేధించబడింది."

మీరు సున్నాతో విభజించలేరని పాఠశాల నుండి తెలిసిన నియమానికి ప్రతిదీ స్థిరంగా ఉంటుంది.

ఎందుకో తెలుసుకుందాం.

విభజన అనేది గుణకారానికి విలోమ గణిత చర్య. గుణకారం ద్వారా విభజన నిర్ణయించబడుతుంది.

ఒక సంఖ్యను విభజించండి a(భాగించదగినది, ఉదాహరణకు 8) సంఖ్య ద్వారా బి(డివైజర్, ఉదాహరణకు సంఖ్య 2) - అంటే అటువంటి సంఖ్యను కనుగొనడం x(quotient), భాగహారంతో గుణించినప్పుడు బిఅది డివిడెండ్‌గా మారుతుంది a(4 2 = 8), అంటే aద్వారా విభజించండి బిఅంటే x · b = a సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం.

a: b = x సమీకరణం x · b = a సమీకరణానికి సమానం.

మేము గుణకారంతో విభజనను భర్తీ చేస్తాము: 8: 2 = x బదులుగా మేము x · 2 = 8 అని వ్రాస్తాము.

8: 2 = 4 4 2 = 8కి సమానం

18: 3 = 6 6 3 = 18కి సమానం

20: 2 = 10 10 2 = 20కి సమానం

విభజన ఫలితాన్ని ఎల్లప్పుడూ గుణకారం ద్వారా తనిఖీ చేయవచ్చు. భాజకాన్ని గుణకంతో గుణిస్తే వచ్చే ఫలితం తప్పనిసరిగా డివిడెండ్ అయి ఉండాలి.

అదే విధంగా సున్నాతో విభజించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

ఉదాహరణకు, 6: 0 = ... మనం 0తో గుణించినప్పుడు 6 ఇచ్చే సంఖ్యను కనుగొనాలి. కానీ సున్నాతో గుణించినప్పుడు, మనకు ఎల్లప్పుడూ సున్నా వస్తుందని మనకు తెలుసు. సున్నాతో గుణించినప్పుడు, సున్నా కాకుండా వేరేది ఇచ్చే సంఖ్య లేదు.

సున్నాతో భాగించడం అసాధ్యం లేదా నిషేధించబడుతుందని వారు చెప్పినప్పుడు, అటువంటి విభజన ఫలితానికి అనుగుణంగా సంఖ్య లేదని వారు అర్థం (సున్నాతో విభజించడం సాధ్యమే, కానీ విభజించడం కాదు :)).

మీరు సున్నాతో విభజించలేరని వారు పాఠశాలలో ఎందుకు చెప్పారు?

అందువలన లో నిర్వచనం aని bతో భాగించే ఆపరేషన్ వెంటనే b ≠ 0ని నొక్కి చెబుతుంది.

పైన వ్రాసిన ప్రతిదీ మీకు చాలా క్లిష్టంగా అనిపిస్తే, ఒకసారి ప్రయత్నించండి: 8ని 2తో భాగించడం అంటే 8ని పొందడానికి మీరు ఎన్ని రెండొందలు తీసుకోవాలో తెలుసుకోవడం (సమాధానం: 4). 18ని 3తో భాగించడం అంటే 18ని పొందడానికి మీరు ఎన్ని మూడులు తీసుకోవాలో తెలుసుకోవడం (సమాధానం: 6).

6ని సున్నాతో భాగించడం అంటే 6ని పొందడానికి మీరు ఎన్ని సున్నాలు తీసుకోవాలో తెలుసుకోవడం. మీరు ఎన్ని సున్నాలు తీసుకున్నా, మీకు సున్నా వస్తుంది, కానీ మీరు ఎప్పటికీ 6ని పొందలేరు, అంటే, సున్నాతో భాగించడం అనేది నిర్వచించబడలేదు.

మీరు Android కాలిక్యులేటర్‌లో సంఖ్యను సున్నాతో విభజించడానికి ప్రయత్నిస్తే ఆసక్తికరమైన ఫలితం లభిస్తుంది. స్క్రీన్ ∞ (అనంతం) (లేదా - ∞ ప్రతికూల సంఖ్యతో భాగిస్తే) ప్రదర్శిస్తుంది. ∞ సంఖ్య ఉనికిలో లేనందున ఈ ఫలితం తప్పు. స్పష్టంగా, ప్రోగ్రామర్లు పూర్తిగా భిన్నమైన కార్యకలాపాలను గందరగోళపరిచారు - సంఖ్యలను విభజించడం మరియు సంఖ్యల శ్రేణి n/x యొక్క పరిమితిని కనుగొనడం, ఇక్కడ x → 0. సున్నాతో సున్నాని విభజించినప్పుడు, NaN (సంఖ్య కాదు) వ్రాయబడుతుంది.

"మీరు సున్నాతో విభజించలేరు!" - చాలా మంది పాఠశాల పిల్లలు ప్రశ్నలు అడగకుండానే ఈ నియమాన్ని హృదయపూర్వకంగా నేర్చుకుంటారు. "మీరు చేయలేరు" అంటే ఏమిటో పిల్లలందరికీ తెలుసు మరియు మీరు దానికి ప్రతిస్పందనగా అడిగితే ఏమి జరుగుతుంది: "ఎందుకు?" కానీ నిజానికి, ఇది ఎందుకు సాధ్యం కాదో తెలుసుకోవడం చాలా ఆసక్తికరంగా మరియు ముఖ్యమైనది.

విషయం ఏమిటంటే, అంకగణితం యొక్క నాలుగు కార్యకలాపాలు - కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు భాగహారం - వాస్తవానికి అసమానంగా ఉంటాయి. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వాటిలో రెండు మాత్రమే చెల్లుబాటు అయ్యేవిగా గుర్తిస్తారు: కూడిక మరియు గుణకారం. ఈ కార్యకలాపాలు మరియు వాటి లక్షణాలు సంఖ్య యొక్క భావన యొక్క నిర్వచనంలో చేర్చబడ్డాయి. అన్ని ఇతర చర్యలు ఈ రెండింటి నుండి ఒక విధంగా లేదా మరొక విధంగా నిర్మించబడ్డాయి.

ఉదాహరణకు, వ్యవకలనాన్ని పరిగణించండి. అర్ధం ఏమిటి 5 - 3 ? విద్యార్థి దీనికి సరళంగా సమాధానం ఇస్తాడు: మీరు ఐదు వస్తువులను తీసుకోవాలి, వాటిలో మూడింటిని తీసివేయండి (తొలగించండి) మరియు ఎన్ని మిగిలి ఉన్నాయో చూడండి. కానీ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ సమస్యను పూర్తిగా భిన్నంగా చూస్తారు. తీసివేత లేదు, కూడిక మాత్రమే. అందుచేత ప్రవేశము 5 - 3 ఒక సంఖ్యకు జోడించినప్పుడు, ఒక సంఖ్య అని అర్థం 3 ఒక నంబర్ ఇస్తుంది 5 . అంటే 5 - 3 సమీకరణం యొక్క సంక్షిప్త రూపము: x + 3 = 5. ఈ సమీకరణంలో వ్యవకలనం లేదు.

సున్నాతో భాగించటం

ఒక పని మాత్రమే ఉంది - తగిన సంఖ్యను కనుగొనడం.

గుణకారం మరియు భాగహారం విషయంలో కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. రికార్డ్ చేయండి 8: 4 ఎనిమిది వస్తువులను నాలుగు సమాన కుప్పలుగా విభజించిన ఫలితంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. కానీ వాస్తవానికి ఇది సమీకరణం యొక్క సంక్షిప్త రూపం 4 x = 8.

సున్నాతో విభజించడం ఎందుకు అసాధ్యం (లేదా బదులుగా అసాధ్యం) అనేది ఇక్కడే స్పష్టమవుతుంది. రికార్డ్ చేయండి 5: 0 కోసం సంక్షిప్తీకరణ 0 x = 5. అంటే, గుణించినప్పుడు ఆ సంఖ్యను కనుగొనడం ఈ పని 0 ఇస్తుంది 5 . కానీ గుణించినప్పుడు మనకు తెలుస్తుంది 0 ఇది ఎల్లప్పుడూ పని చేస్తుంది 0 . ఇది సున్నా యొక్క స్వాభావిక ఆస్తి, ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, దాని నిర్వచనంలో భాగం.

గుణించినప్పుడు అటువంటి సంఖ్య 0 సున్నా కాకుండా వేరేదాన్ని ఇస్తుంది, అది ఉనికిలో లేదు. అంటే మన సమస్యకు పరిష్కారం లేదు. (అవును, ఇది జరుగుతుంది; ప్రతి సమస్యకు పరిష్కారం ఉండదు.) అంటే రికార్డులు 5: 0 ఏ నిర్దిష్ట సంఖ్యకు అనుగుణంగా లేదు, మరియు అది కేవలం ఏదైనా అర్థం కాదు మరియు అందువలన అర్థం లేదు. మీరు సున్నాతో భాగించలేరు అని చెప్పడం ద్వారా ఈ ఎంట్రీ యొక్క అర్థరహితత క్లుప్తంగా వ్యక్తీకరించబడింది.

ఈ స్థలంలో అత్యంత శ్రద్ధగల పాఠకులు ఖచ్చితంగా అడుగుతారు: సున్నాని సున్నాతో విభజించడం సాధ్యమేనా?

నిజానికి, సమీకరణం 0 x = 0విజయవంతంగా పరిష్కరించబడింది. ఉదాహరణకు, మీరు తీసుకోవచ్చు x = 0, ఆపై మేము పొందుతాము 0 0 = 0. ఇది మారుతుంది 0: 0=0 ? అయితే తొందరపడకు. తీసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం x = 1. మాకు దొరికింది 0 1 = 0. సరియైనదా? అంటే, 0: 0 = 1 ? కానీ మీరు ఏదైనా నంబర్ తీసుకొని పొందవచ్చు 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 మొదలైనవి

కానీ ఏదైనా సంఖ్య అనుకూలంగా ఉంటే, వాటిలో దేనినైనా ఎంచుకోవడానికి మాకు ఎటువంటి కారణం లేదు. అంటే, ఎంట్రీ ఏ సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉందో మనం చెప్పలేము 0: 0 . మరియు అలా అయితే, ఈ ఎంట్రీ కూడా అర్ధవంతం కాదని మేము అంగీకరించవలసి వస్తుంది. సున్నాను కూడా సున్నాతో విభజించలేమని తేలింది. (గణిత విశ్లేషణలో, సమస్య యొక్క అదనపు పరిస్థితుల కారణంగా, సమీకరణానికి సాధ్యమయ్యే పరిష్కారాలలో ఒకదానికి ప్రాధాన్యత ఇవ్వగల సందర్భాలు ఉన్నాయి. 0 x = 0; అటువంటి సందర్భాలలో, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు "అనిశ్చితి" గురించి మాట్లాడతారు, కానీ అలాంటి సందర్భాలు అంకగణితంలో జరగవు.)

ఇది విభజన ఆపరేషన్ యొక్క ప్రత్యేకత. మరింత ఖచ్చితంగా, గుణకారం యొక్క ఆపరేషన్ మరియు దానితో అనుబంధించబడిన సంఖ్య సున్నాని కలిగి ఉంటుంది.

బాగా, చాలా సూక్ష్మంగా ఉన్నవారు, ఇంతవరకు చదివిన తర్వాత, అడగవచ్చు: మీరు సున్నాతో భాగించలేరు, కానీ మీరు సున్నాని తీసివేయవచ్చు ఎందుకు? ఒక కోణంలో, ఇక్కడే నిజమైన గణితం ప్రారంభమవుతుంది. మీరు సంఖ్యా సెట్లు మరియు వాటిపై కార్యకలాపాల యొక్క అధికారిక గణిత నిర్వచనాలను తెలుసుకోవడం ద్వారా మాత్రమే దీనికి సమాధానం ఇవ్వగలరు. ఇది అంత కష్టం కాదు, కానీ కొన్ని కారణాల వల్ల ఇది పాఠశాలలో బోధించబడదు. కానీ విశ్వవిద్యాలయంలో గణిత ఉపన్యాసాలలో, ఇది మీకు మొదట బోధించబడుతుంది.

డివైజర్ సున్నా ఉన్న పరిధికి విభజన ఫంక్షన్ నిర్వచించబడలేదు. మీరు విభజించవచ్చు, కానీ ఫలితం ఖచ్చితంగా లేదు

మీరు సున్నాతో భాగించలేరు. సెకండరీ స్కూల్ గ్రేడ్ 2 గణితం.

నా జ్ఞాపకశక్తి నాకు సరిగ్గా పనిచేస్తే, సున్నాను అనంతమైన విలువగా సూచించవచ్చు, కాబట్టి అనంతం ఉంటుంది. మరియు పాఠశాల "సున్నా - ఏమీ లేదు" అనేది పాఠశాల గణితంలో చాలా ఉన్నాయి). కానీ అవి లేకుండా అసాధ్యం, ప్రతిదీ సరైన సమయంలో జరుగుతుంది.

ప్రత్యుత్తరం వ్రాయడానికి లాగిన్ చేయండి

సున్నాతో భాగించటం

నుండి కోషెంట్ సున్నాతో భాగించటంసున్నా తప్ప వేరే సంఖ్య లేదు.

ఇక్కడ తార్కికం క్రింది విధంగా ఉంది: ఈ సందర్భంలో ఏ సంఖ్య కూడా గుణకం యొక్క నిర్వచనాన్ని సంతృప్తిపరచదు.

ఉదాహరణకు, వ్రాద్దాం.

మీరు ఏ సంఖ్యను ప్రయత్నించినా (చెప్పండి, 2, 3, 7), అది తగినది కాదు ఎందుకంటే:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

మీరు 0 ద్వారా భాగిస్తే ఏమి జరుగుతుంది?

మొదలైనవి, కానీ మీరు ఉత్పత్తిలో 2,3,7 పొందాలి.

సున్నా కాని సంఖ్యను సున్నాతో భాగించే సమస్యకు పరిష్కారం లేదని మనం చెప్పగలం. అయితే, సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్యను సున్నాకి దగ్గరగా ఉన్న సంఖ్యతో భాగించవచ్చు, మరియు భాగహారం సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటే, గుణకం పెద్దది. కాబట్టి, మేము 7 ద్వారా విభజించినట్లయితే

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

అప్పుడు మనకు 70, 700, 7000, 70,000, మొదలైనవి పరిమితి లేకుండా పెరుగుతాయి.

అందువల్ల, వారు తరచుగా 0తో భాగించిన 7 యొక్క గుణకం "అనంత పెద్దది" లేదా "అనంతంతో సమానం" అని చెబుతారు మరియు వ్రాయండి

\[ 7: 0 = \infin \]

ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం ఏమిటంటే, డివైజర్ సున్నాకి చేరుకుంటే మరియు డివిడెండ్ 7కి సమానంగా ఉంటే (లేదా 7కి చేరుకుంటుంది), అప్పుడు గుణకం పరిమితి లేకుండా పెరుగుతుంది.

వాస్తవ సంఖ్యల ప్రపంచాన్ని ఊహాత్మక లేదా ప్రతికూల వాటి నుండి వేరుచేసే నిర్దిష్ట సరిహద్దుగా సంఖ్య 0ని ఊహించవచ్చు. అస్పష్టమైన స్థానం కారణంగా, ఈ సంఖ్యా విలువ కలిగిన అనేక కార్యకలాపాలు గణిత తర్కాన్ని పాటించవు. సున్నాతో భాగించడం అసంభవం దీనికి ప్రధాన ఉదాహరణ. మరియు సున్నాతో అనుమతించబడిన అంకగణిత కార్యకలాపాలు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన నిర్వచనాలను ఉపయోగించి నిర్వహించబడతాయి.

సున్నా చరిత్ర

అన్ని స్టాండర్డ్ నంబర్ సిస్టమ్స్‌లో జీరో రిఫరెన్స్ పాయింట్. యూరోపియన్లు సాపేక్షంగా ఇటీవలే ఈ సంఖ్యను ఉపయోగించడం ప్రారంభించారు, అయితే యూరోపియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఖాళీ సంఖ్యను క్రమం తప్పకుండా ఉపయోగించే ముందు పురాతన భారతదేశంలోని ఋషులు సున్నాని వెయ్యి సంవత్సరాల ముందు ఉపయోగించారు. భారతీయుల కంటే ముందే, మాయన్ సంఖ్యా విధానంలో సున్నా తప్పనిసరి విలువ. ఈ అమెరికన్ ప్రజలు డ్యూడెసిమల్ నంబర్ సిస్టమ్‌ను ఉపయోగించారు మరియు ప్రతి నెల మొదటి రోజు సున్నాతో ప్రారంభమవుతుంది. మాయన్లలో "సున్నా"ని సూచించే సంకేతం "అనంతం"ని సూచించే సంకేతంతో పూర్తిగా ఏకీభవించడం ఆసక్తికరంగా ఉంది. ఈ విధంగా, పురాతన మాయన్లు ఈ పరిమాణాలు ఒకేలా ఉన్నాయని మరియు తెలియదు అని నిర్ధారించారు.

సున్నాతో గణిత కార్యకలాపాలు

సున్నాతో ప్రామాణిక గణిత కార్యకలాపాలను కొన్ని నియమాలకు తగ్గించవచ్చు.

అదనంగా: మీరు ఏకపక్ష సంఖ్యకు సున్నాని జోడిస్తే, అది దాని విలువను మార్చదు (0+x=x).

వ్యవకలనం: మీరు ఏదైనా సంఖ్య నుండి సున్నాని తీసివేసినప్పుడు, సబ్‌ట్రాహెండ్ విలువ మారదు (x-0=x).

గుణకారం: ఏదైనా సంఖ్యను 0తో గుణిస్తే 0 (a*0=0) వస్తుంది.

విభజన: సున్నాను సున్నాకి సమానం కాని సంఖ్యతోనైనా భాగించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, అటువంటి భిన్నం యొక్క విలువ 0 అవుతుంది. మరియు సున్నా ద్వారా విభజన నిషేధించబడింది.

ఎక్స్పోనెన్షియేషన్. ఈ చర్య ఏ సంఖ్యతోనైనా చేయవచ్చు. సున్నా శక్తికి పెంచబడిన ఏకపక్ష సంఖ్య 1 (x 0 =1) ఇస్తుంది.

ఏదైనా శక్తికి సున్నా 0 (0 a = 0)కి సమానం.

ఈ సందర్భంలో, ఒక వైరుధ్యం వెంటనే తలెత్తుతుంది: వ్యక్తీకరణ 0 0 అర్ధవంతం కాదు.

గణితం యొక్క వైరుధ్యాలు

సున్నా ద్వారా విభజించడం అసాధ్యం అని చాలా మందికి పాఠశాల నుండి తెలుసు. కానీ కొన్ని కారణాల వల్ల అటువంటి నిషేధానికి కారణాన్ని వివరించడం అసాధ్యం. వాస్తవానికి, సున్నాతో విభజించే సూత్రం ఎందుకు లేదు, కానీ ఈ సంఖ్యతో ఇతర చర్యలు చాలా సహేతుకమైనవి మరియు సాధ్యమే? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం గణిత శాస్త్రజ్ఞులచే ఇవ్వబడింది.

విషయమేమిటంటే, ప్రాథమిక పాఠశాలలో పాఠశాల పిల్లలు నేర్చుకునే సాధారణ అంకగణిత కార్యకలాపాలు, వాస్తవానికి, మనం అనుకున్నంత సమానంగా లేవు. అన్ని సాధారణ సంఖ్య కార్యకలాపాలను రెండుకి తగ్గించవచ్చు: కూడిక మరియు గుణకారం. ఈ చర్యలు సంఖ్య యొక్క భావన యొక్క సారాంశాన్ని ఏర్పరుస్తాయి మరియు ఇతర కార్యకలాపాలు ఈ రెండింటిని ఉపయోగించడంపై నిర్మించబడ్డాయి.

కూడిక మరియు గుణకారం

ప్రామాణిక వ్యవకలన ఉదాహరణను తీసుకుందాం: 10-2=8. పాఠశాలలో వారు దానిని సరళంగా పరిగణిస్తారు: మీరు పది విషయాల నుండి రెండు తీసివేస్తే, ఎనిమిది మిగిలి ఉంటాయి. కానీ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ ఆపరేషన్‌ను పూర్తిగా భిన్నంగా చూస్తారు. అన్నింటికంటే, వ్యవకలనం వంటి ఆపరేషన్ వారికి లేదు. ఈ ఉదాహరణను మరొక విధంగా వ్రాయవచ్చు: x+2=10. గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు, తెలియని వ్యత్యాసం కేవలం ఎనిమిది చేయడానికి రెండుకి జోడించాల్సిన సంఖ్య. మరియు ఇక్కడ వ్యవకలనం అవసరం లేదు, మీరు తగిన సంఖ్యా విలువను కనుగొనవలసి ఉంటుంది.

గుణకారం మరియు భాగహారం ఒకేలా పరిగణించబడుతుంది. ఉదాహరణ 12:4=3లో మనం ఎనిమిది వస్తువులను రెండు సమాన పైల్స్‌గా విభజించడం గురించి మాట్లాడుతున్నామని మీరు అర్థం చేసుకోవచ్చు. కానీ వాస్తవానికి, ఇది కేవలం 3x4 = 12 వ్రాయడానికి విలోమ సూత్రం. విభజన యొక్క ఇటువంటి ఉదాహరణలు అనంతంగా ఇవ్వబడతాయి.

0 ద్వారా విభజనకు ఉదాహరణలు

ఇక్కడే మీరు సున్నాతో ఎందుకు విభజించలేరనేది కొంచెం స్పష్టమవుతుంది. సున్నా ద్వారా గుణకారం మరియు భాగహారం వారి స్వంత నియమాలను అనుసరిస్తాయి. ఈ పరిమాణాన్ని విభజించే అన్ని ఉదాహరణలను 6:0 = xగా రూపొందించవచ్చు. కానీ ఇది 6 * x = 0 వ్యక్తీకరణ యొక్క విలోమ సంజ్ఞామానం. కానీ, మీకు తెలిసినట్లుగా, 0 ద్వారా గుణించిన ఏదైనా సంఖ్య ఉత్పత్తిలో 0 మాత్రమే ఇస్తుంది.

0 ద్వారా గుణించినప్పుడు, ఏదైనా స్పష్టమైన విలువను ఇచ్చే అటువంటి సంఖ్య లేదని తేలింది, అంటే, ఈ సమస్యకు పరిష్కారం లేదు. మీరు ఈ సమాధానానికి భయపడకూడదు; ఈ రకమైన సమస్యలకు ఇది సహజమైన సమాధానం. ఇది కేవలం 6:0 రికార్డు ఏ అర్ధవంతం కాదు మరియు అది దేనినీ వివరించలేదు. సంక్షిప్తంగా, ఈ వ్యక్తీకరణ అమరత్వం ద్వారా వివరించబడుతుంది "సున్నా ద్వారా విభజన అసాధ్యం."

0:0 ఆపరేషన్ ఉందా? నిజానికి, 0 ద్వారా గుణకారం యొక్క ఆపరేషన్ చట్టబద్ధమైనట్లయితే, సున్నాని సున్నాతో భాగించవచ్చా? అన్నింటికంటే, 0x 5=0 రూపం యొక్క సమీకరణం చాలా చట్టబద్ధమైనది. సంఖ్య 5కి బదులుగా మీరు 0ని ఉంచవచ్చు, ఉత్పత్తి మారదు.

నిజానికి, 0x0=0. కానీ మీరు ఇప్పటికీ 0 ద్వారా విభజించలేరు. చెప్పినట్లుగా, విభజన అనేది గుణకారం యొక్క విలోమం. కాబట్టి, 0x5=0 ఉదాహరణలో, మీరు రెండవ కారకాన్ని గుర్తించవలసి ఉంటే, మనకు 0x0=5 వస్తుంది. లేదా 10. లేదా అనంతం. అనంతాన్ని సున్నాతో భాగించడం - మీరు దీన్ని ఎలా ఇష్టపడతారు?

కానీ ఏదైనా సంఖ్య వ్యక్తీకరణకు సరిపోతే, అది అర్ధవంతం కాదు; మరియు అలా అయితే, 0:0 వ్యక్తీకరణకు అర్థం లేదని దీని అర్థం. సున్నాను కూడా సున్నాతో విభజించలేమని తేలింది.

ఉన్నత గణితం

హైస్కూల్ గణితానికి సున్నా ద్వారా విభజన తలనొప్పి. సాంకేతిక విశ్వవిద్యాలయాలలో అధ్యయనం చేయబడిన గణిత విశ్లేషణ పరిష్కారం లేని సమస్యల భావనను కొద్దిగా విస్తరిస్తుంది. ఉదాహరణకు, పాఠశాల గణిత కోర్సులలో పరిష్కారాలు లేని, ఇప్పటికే తెలిసిన వ్యక్తీకరణ 0:0కి కొత్తవి జోడించబడ్డాయి:

• అనంతం అనంతం ద్వారా విభజించబడింది: ∞:∞;
• అనంతం మైనస్ అనంతం: ∞−∞;
• యూనిట్ అనంత శక్తికి పెరిగింది: 1 ∞ ;
• అనంతం 0: ∞*0తో గుణించబడుతుంది;
• మరికొందరు.

ప్రాథమిక పద్ధతులను ఉపయోగించి అటువంటి వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించడం అసాధ్యం. కానీ ఉన్నత గణితశాస్త్రం, అనేక సారూప్య ఉదాహరణల కోసం అదనపు అవకాశాలకు ధన్యవాదాలు, తుది పరిష్కారాలను అందిస్తుంది. పరిమితుల సిద్ధాంతం నుండి సమస్యల పరిశీలనలో ఇది ప్రత్యేకంగా కనిపిస్తుంది.

అన్‌లాకింగ్ అనిశ్చితి

పరిమితుల సిద్ధాంతంలో, విలువ 0 నియత అనంతమైన వేరియబుల్ ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది. మరియు కావలసిన విలువను భర్తీ చేసినప్పుడు, సున్నా ద్వారా విభజన పొందబడిన వ్యక్తీకరణలు రూపాంతరం చెందుతాయి. సాధారణ బీజగణిత పరివర్తనలను ఉపయోగించి పరిమితిని బహిర్గతం చేయడానికి దిగువ ప్రామాణిక ఉదాహరణ:

మీరు ఉదాహరణలో చూడగలిగినట్లుగా, భిన్నాన్ని తగ్గించడం దాని విలువను పూర్తిగా హేతుబద్ధమైన సమాధానానికి దారి తీస్తుంది.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల పరిమితులను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, వాటి వ్యక్తీకరణలు మొదటి విశేషమైన పరిమితికి తగ్గించబడతాయి. పరిమితిని భర్తీ చేసినప్పుడు హారం 0 అయ్యే పరిమితులను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, రెండవ గొప్ప పరిమితి ఉపయోగించబడుతుంది.

L'Hopital పద్ధతి

కొన్ని సందర్భాల్లో, వ్యక్తీకరణల పరిమితులను వాటి ఉత్పన్నాల పరిమితులతో భర్తీ చేయవచ్చు. Guillaume L'Hopital - ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఫ్రెంచ్ స్కూల్ ఆఫ్ మ్యాథమెటికల్ అనాలిసిస్ స్థాపకుడు. వ్యక్తీకరణల పరిమితులు ఈ వ్యక్తీకరణల ఉత్పన్నాల పరిమితులకు సమానమని అతను నిరూపించాడు. గణిత సంజ్ఞామానంలో, అతని నియమం ఇలా కనిపిస్తుంది.