ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి, మీరు విమానం బొమ్మల ప్రాంతాలను లెక్కించవచ్చు, ఎందుకంటే ఈ పని ఎల్లప్పుడూ కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ల ప్రాంతాలను లెక్కించడానికి వస్తుంది.
దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని ఏదైనా వ్యక్తి యొక్క వైశాల్యం అక్షానికి ప్రక్కనే ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ల ప్రాంతాలతో కూడి ఉంటుంది. ఓహ్లేదా అక్షానికి ఓయూ.
కింది ప్రణాళికను ఉపయోగించి విమాన బొమ్మల ప్రాంతాలను లెక్కించడంలో సమస్యలను పరిష్కరించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:
1. సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, స్కీమాటిక్ డ్రాయింగ్ చేయండి
2. అవసరమైన ప్రాంతాన్ని కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ల ప్రాంతాల మొత్తం లేదా వ్యత్యాసంగా ప్రదర్శించండి. సమస్య మరియు డ్రాయింగ్ యొక్క పరిస్థితుల నుండి, కర్విలినియర్ ట్రాపజోయిడ్ యొక్క ప్రతి భాగం కోసం ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు నిర్ణయించబడతాయి.
3. ప్రతి ఫంక్షన్‌ను ఫారమ్‌లో వ్రాయండి y = f(x).
4. ప్రతి కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని మరియు కావలసిన వ్యక్తి యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.
బొమ్మల అమరిక కోసం అనేక ఎంపికలను పరిశీలిద్దాం.
1) సెగ్మెంట్లో లెట్ [ a; బి] ఫంక్షన్ f(x)ప్రతికూల విలువలను తీసుకుంటుంది. అప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = f(x)అక్షం పైన ఉన్న ఓహ్.
S=
2) సెగ్మెంట్లో లెట్ [ a; బి] నాన్-పాజిటివ్ నిరంతర ఫంక్షన్ f(x)అప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = f(x)అక్షం కింద ఉన్న ఓహ్:
అటువంటి వ్యక్తి యొక్క ప్రాంతం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది: S = -
అటువంటి వ్యక్తి యొక్క ప్రాంతం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది: S= 
4) సెగ్మెంట్లో లెట్ [ a; బి] ఫంక్షన్ f(x)సానుకూల మరియు ప్రతికూల విలువలను తీసుకుంటుంది. అప్పుడు సెగ్మెంట్ [ a; బి] ఫంక్షన్ గుర్తును మార్చని భాగాలుగా విభజించబడాలి, ఆపై, పై సూత్రాలను ఉపయోగించి, ఈ భాగాలకు సంబంధించిన ప్రాంతాలను లెక్కించండి మరియు కనుగొనబడిన ప్రాంతాలను జోడించండి.
S 1 = S 2 = - S f = S 1 + S 2
మాధ్యమిక వృత్తి విద్యా సంస్థల మొదటి సంవత్సరం గణిత పాఠం
విషయం: "ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి విమాన బొమ్మల ప్రాంతాలను గణించడం."
గణిత ఉపాధ్యాయుడు ఎస్.బి. బరనోవా
విద్యా లక్ష్యాలు:
ఈ అంశంపై పునరావృతం, సాధారణీకరణ మరియు క్రమబద్ధీకరణను నిర్ధారించండి;
జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాల నియంత్రణ (స్వీయ నియంత్రణ) కోసం పరిస్థితులను సృష్టించండి.
అభివృద్ధి పనులు:
పోలిక, సాధారణీకరణ మరియు ప్రధాన విషయాన్ని హైలైట్ చేసే పద్ధతులను వర్తింపజేయడానికి నైపుణ్యాల ఏర్పాటును ప్రోత్సహించండి;
గణిత క్షితిజాలు, ఆలోచన మరియు ప్రసంగం, శ్రద్ధ మరియు జ్ఞాపకశక్తి అభివృద్ధిని కొనసాగించండి.
విద్యా పనులు:
గణితంలో ఆసక్తిని పెంపొందించుకోండి;
కార్యాచరణ, చలనశీలత, కమ్యూనికేషన్ నైపుణ్యాల విద్య.
పాఠం రకం - సమస్య-ఆధారిత అభ్యాస అంశాలతో కలిపి పాఠం.
బోధన పద్ధతులు మరియు పద్ధతులు - సమస్యాత్మక, దృశ్య, విద్యార్థుల స్వతంత్ర పని, స్వీయ-పరీక్ష.
పరికరాలు - పాఠం అనుబంధం, పట్టికలు.
లెసన్ ప్లాన్
ఆర్గనైజింగ్ సమయం. తరగతిలో పని కోసం విద్యార్థులను సిద్ధం చేయడం.
చురుకైన పని కోసం విద్యార్థులను సిద్ధం చేయడం (గణన నైపుణ్యాలను పరీక్షించడం మరియు సమూహం ద్వారా సమగ్రాల పట్టికలు).
పునరావృతం చేయడం మరియు ప్రాథమిక జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం ద్వారా కొత్త విషయాలను నేర్చుకోవడం కోసం తయారీ.
కొత్త మెటీరియల్‌తో పని చేస్తోంది.
అధ్యయనం చేసిన పదార్థం యొక్క ప్రాథమిక గ్రహణశక్తి మరియు అప్లికేషన్, దాని ఏకీకరణ.
ఇంటి పని.
జ్ఞానం యొక్క అప్లికేషన్.
సారాంశం.
ప్రతిబింబం.
తరగతుల సమయంలో
1. సంస్థాగత క్షణం.
గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒక నిర్దిష్ట సమగ్ర భావన ఒకటి. 17వ శతాబ్దం చివరి నాటికి. న్యూటన్ మరియు లీబ్నిజ్ గణిత విశ్లేషణకు ఆధారమైన అవకలన మరియు సమగ్ర కాలిక్యులస్ యొక్క ఉపకరణాన్ని సృష్టించారు.
మునుపటి పాఠాలలో మేము నిరవధిక సమగ్రాలను "తీసుకోవడం" మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను లెక్కించడం నేర్చుకున్నాము. కానీ చాలా ముఖ్యమైనది ఖచ్చితమైన సమగ్ర ఉపయోగం. వక్ర ట్రాపజోయిడ్ల ప్రాంతాలను లెక్కించడానికి దీనిని ఉపయోగించవచ్చని మాకు తెలుసు. ఈ రోజు మనం ప్రశ్నకు సమాధానం ఇస్తాము: "దీన్ని ఎలా చేయాలి?"
2. క్రియాశీల పని కోసం విద్యార్థులను సిద్ధం చేయడం.
అయితే ముందుగా మనం మన గణన నైపుణ్యాలను మరియు ఇంటిగ్రల్స్ పట్టిక యొక్క పరిజ్ఞానాన్ని పరీక్షించుకోవాలి. మీరు ఒక పనికి ముందు, దాని ఫలితం ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు S.D. పాయిసన్ (జీవితం రెండు విషయాల ద్వారా సుసంపన్నం అవుతుంది: గణితం చేయడం మరియు దానిని బోధించడం).
పని జంటగా నిర్వహించబడుతుంది ().
3. పునరావృతం మరియు ప్రాథమిక జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం ద్వారా కొత్త విషయాలను నేర్చుకోవడం కోసం తయారీ.
మన పాఠం యొక్క అంశానికి వెళ్దాం: "ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి విమానం బొమ్మల ప్రాంతాలను గణించడం." ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించే సామర్థ్యంతో పాటు, మేము ప్రాంతాల లక్షణాలను గుర్తుంచుకోవాలి. ఏమిటి అవి?
సమాన సంఖ్యలు సమాన ప్రాంతాలను కలిగి ఉంటాయి.
ఒక బొమ్మను రెండు భాగాలుగా విభజించినట్లయితే, దాని వైశాల్యం వ్యక్తిగత భాగాల ప్రాంతాల మొత్తంగా కనుగొనబడుతుంది.
మేము మొత్తం సమగ్ర నియమాన్ని మరియు న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని కూడా పునరావృతం చేయాలి.
4. కొత్త ఇంటిగ్రల్‌తో పని చేయడం
1. కర్విలినియర్ ట్రాపెజోయిడ్స్ యొక్క ప్రాంతాలను లెక్కించడానికి ఖచ్చితమైన సమగ్రత ఉపయోగించబడుతుంది. కానీ ఆచరణలో, అలాంటివి లేని బొమ్మలు చాలా తరచుగా ఉన్నాయి మరియు అలాంటి బొమ్మల ప్రాంతాలను ఎలా కనుగొనాలో మనం నేర్చుకోవాలి.
"ప్లేన్ ఫిగర్ యొక్క అమరిక యొక్క ప్రాథమిక కేసులు మరియు సంబంధిత ప్రాంత సూత్రాలు" () పట్టిక ప్రకారం పని చేయండి.
2. మనల్ని మనం పరీక్షించుకుందాం.
వెరిఫికేషన్ (టేబుల్ నం. 3) తర్వాత టాస్క్ ()తో పని చేయండి.
3. కానీ ప్రాంతం కోసం సరైన సూత్రాలను ఎంచుకునే సామర్థ్యం సరిపోదు. కింది పట్టికలో () ప్రతి పనిలో ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి అనుమతించని "బాహ్య" కారణం ఉంది. వాటిని వెతుకుదాం.
a) ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల సూత్రాలు సూచించబడలేదు.
బి) ఏకీకరణకు పరిమితులు లేవు.
సి) గ్రాఫ్‌ల పేర్లు సూచించబడలేదు మరియు ఒకే పరిమితి లేదు.
d) గ్రాఫ్‌లలో ఒకదాని సూత్రం సూచించబడలేదు.
4. చేసిన పనిని పరిగణనలోకి తీసుకొని, పాఠం యొక్క అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మేము ఒక అల్గోరిథంను రూపొందించాము మరియు వ్రాస్తాము.
ఈ లైన్ల గ్రాఫ్‌లను రూపొందించండి. కావలసిన సంఖ్యను నిర్ణయించండి.
ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను కనుగొనండి.
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి కావలసిన బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని వ్రాయండి.
ఫలిత సమగ్రతను లెక్కించండి.
5. అధ్యయనం చేసిన పదార్థం యొక్క ప్రాథమిక గ్రహణశక్తి మరియు అప్లికేషన్, దాని ఏకీకరణ.
1. అల్గోరిథంను పరిగణనలోకి తీసుకుని, చివరి పట్టిక నుండి పని సంఖ్య 2 పూర్తి చేద్దాం.
చిత్రం 1
పరిష్కారం:
పాయింట్ A కోసం:
– విధి పరిస్థితులను సంతృప్తి పరచదు
పాయింట్ B కోసం:
– సమస్య యొక్క పరిస్థితులను సంతృప్తిపరచదు.
సమాధానం: (చదరపు యూనిట్లు).
2. కానీ ఈ పనిని నిర్వహిస్తున్నప్పుడు, అల్గోరిథం పూర్తిగా వర్తించబడలేదు. దీన్ని పని చేయడానికి, కింది పనిని పూర్తి చేద్దాం:
వ్యాయామం. పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి , .
మూర్తి 2
పరిష్కారం:
– పారాబొలా, శీర్షం (m,n).
(0;2) - టాప్
ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను కనుగొనండి.
సమాధానం: (చదరపు యూనిట్లు).
6. హోంవర్క్.
పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి (పనిని విడదీయండి).
7. జ్ఞానం యొక్క అప్లికేషన్.
స్వతంత్ర పని (అనుబంధం నం. 5))
8. సంగ్రహించడం.
విమానం బొమ్మల ప్రాంతాలను కనుగొనడానికి సూత్రాలను రూపొందించడం నేర్చుకున్నాడు;
ఏకీకరణ పరిమితులను కనుగొనండి;
బొమ్మల ప్రాంతాన్ని లెక్కించండి.
9. ప్రతిబింబం.
విద్యార్థులకు కరపత్రాలు పంపిణీ చేశారు. ఇచ్చిన సమాధాన ఎంపికలలో ఒకదాన్ని ఎంచుకోవడం ద్వారా వారు తమ పనిని తప్పనిసరిగా మూల్యాంకనం చేయాలి.
పాఠం యొక్క క్లిష్టత స్థాయిని అంచనా వేయండి.
తరగతిలో మీరు కలిగి ఉన్నారు:
సులభంగా;
సాధారణంగా;
కష్టం.
నేను దానిని పూర్తిగా గ్రహించాను మరియు దానిని అన్వయించగలను;
నేను పూర్తిగా ప్రావీణ్యం సంపాదించాను, కానీ దానిని ఉపయోగించడం కష్టం;
పాక్షికంగా నేర్చుకున్నాడు;
అర్థం కాలేదు.
సమాధానాలను సమీక్షించిన తర్వాత, ఆచరణాత్మక పని కోసం విద్యార్థుల సంసిద్ధత గురించి తీర్మానం చేయండి.
వాడిన పుస్తకాలు:
Valutse I.I., Diligulin G.D. సాంకేతిక పాఠశాలలకు గణితం.
క్రామెర్ N.Sh., పుట్కో B.A., త్రిషిన్ I.M. ఆర్థికవేత్తలకు ఉన్నత గణితశాస్త్రం.
డాంకో P.E., పోపోవ్ A.G. ఉన్నత గణితం, పార్ట్ 1.
జ్వానిచ్ L.I., రియాజనోవ్స్కీ A.R. M., కొత్త పాఠశాల.
వార్తాపత్రిక "గణితం". పబ్లిషింగ్ హౌస్ "సెప్టెంబర్ మొదటి".
అనుబంధం నం. 1
ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను లెక్కించండి మరియు మీరు ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు S.D పాయిసన్ యొక్క ప్రకటనలలో ఒకదాన్ని నేర్చుకుంటారు.
9
జీవితం
మూడు
రెండు
విషయాలు
వృత్తి
గణితం
అంకగణితం
బోధన
ఆమె
అలంకరించారు
మర్చిపోవడం ద్వారా
అనుబంధం సంఖ్య 2
ఫ్లాట్ ఫిగర్ యొక్క స్థానం మరియు సంబంధిత ప్రాంత సూత్రాలు యొక్క ప్రధాన సందర్భాలు
______________________________________
_
__________________________________
______
________________________________
______
___________________________________
ఆర్డినేట్ అక్షం లేదా మూలం గురించి సుష్టంగా ఉండే బొమ్మ.
అనుబంధం సంఖ్య 3
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి, చిత్రంలో షేడెడ్ బొమ్మల ప్రాంతాలను లెక్కించడానికి సూత్రాలను వ్రాయండి.
_________________________________________
__________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
____________________________________________
అనుబంధం నం. 4
ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించని "బాహ్య" కారణాన్ని కనుగొనండి.
చిత్రం 1
మూర్తి 2
మూర్తి 3
చిత్రం 4
_____________________________
అనుబంధం సంఖ్య 5
స్వతంత్ర పని
ఎంపిక 1
బొమ్మల ప్రాంతం యొక్క సమగ్రాలను ఉపయోగించి వ్రాసి వాటిని లెక్కించండి
ఆకారాలను గీయండి, plదీని ప్రాంతాలు క్రింది సమగ్రాలకు సమానంగా ఉంటాయి:
స్వతంత్ర పని
ఎంపిక 2
కింది ప్రకటనలు నిజమో కాదో నిర్ణయించండి:
తో రికార్డ్ చేయండిబొమ్మల ప్రాంత సమగ్రాలను ఉపయోగించి మరియు వాటిని లెక్కించండి
కింది సమగ్రాలకు సమానమైన ప్రాంతాలు ఉన్న బొమ్మలను గీయండి:
26. ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి విమానం బొమ్మల ప్రాంతాలను గణించడం
నిర్వచనం 1.కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్, నాన్-నెగటివ్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా రూపొందించబడింది fఒక సెగ్మెంట్లో, ఒక సెగ్మెంట్‌తో బంధించబడిన ఫిగర్ అంటారు 
x-అక్షం, లైన్ విభాగాలు 
,
మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ 
పై 
.
1. విభాగాన్ని విభజిద్దాం 
పాక్షిక విభాగాలుగా పాయింట్లు.
2. ప్రతి విభాగంలో 
(ఎక్కడ కె=1,2,...,n) ఏకపక్ష పాయింట్‌ని ఎంచుకోండి 
.
3. స్థావరాలు విభాగాలుగా ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాల ప్రాంతాలను లెక్కించండి 
x-అక్షాలు మరియు ఎత్తులు పొడవులను కలిగి ఉంటాయి 
. అప్పుడు ఈ దీర్ఘచతురస్రాల ద్వారా ఏర్పడిన స్టెప్డ్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యం సమానంగా ఉంటుంది 
.
పాక్షిక విభాగాల పొడవు తక్కువగా ఉంటే, స్టెప్డ్ ఫిగర్ ఇచ్చిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్‌కు దగ్గరగా ఉంటుంది. కాబట్టి, ఈ క్రింది నిర్వచనం ఇవ్వడం సహజం.
నిర్వచనం 2.వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం,నాన్-నెగటివ్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా రూపొందించబడింది fవిభాగంలో 
, స్టెప్డ్ ఫిగర్‌ల ప్రాంతాల యొక్క పరిమితి (అన్ని పాక్షిక విభాగాల పొడవులు 0 వరకు ఉంటాయి) అంటారు:
1) ఈ పరిమితి ఉంది మరియు పరిమితమైనది;
2) విభాగం విభజించబడిన విధానంపై ఆధారపడి ఉండదు 
పాక్షిక విభాగాలుగా;
3) పాయింట్ల ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు 
.
సిద్ధాంతం 1.ఫంక్షన్ అయితే
విరామంలో నిరంతర మరియు ప్రతికూలమైనది 
, తర్వాత కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ఎఫ్,గ్రాఫ్ ద్వారా రూపొందించబడిన ఫంక్షన్fపై 
, ఒక ప్రాంతం ఉంది, ఇది ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది 
.
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి, మీరు విమానం బొమ్మలు మరియు మరింత సంక్లిష్టమైన వాటి ప్రాంతాలను లెక్కించవచ్చు.
ఉంటే fమరియు g- విభాగంలో నిరంతర మరియు ప్రతికూలత లేనిది
అందరికీ విధులు xసెగ్మెంట్ నుండి
అసమానత కలిగి ఉంటుంది 
, అప్పుడు ఫిగర్ యొక్క ప్రాంతం ఎఫ్, సరళ రేఖల ద్వారా పరిమితం చేయబడింది 
,
మరియు ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లు 
,
, ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది
.
వ్యాఖ్య.మేము ఫంక్షన్ల యొక్క ప్రతికూలత లేని పరిస్థితిని విస్మరిస్తే fమరియు g, చివరి ఫార్ములా నిజం.
అంశం 9. అవకలన సమీకరణాలు
27. అవకలన సమీకరణం యొక్క భావన. సాధారణ మరియు నిర్దిష్ట పరిష్కారం. కౌచీ సమస్య. జనాభా ప్రక్రియ యొక్క గణిత నమూనాను నిర్మించడంలో సమస్య
అవకలన సమీకరణాల సిద్ధాంతం మెకానిక్స్ మరియు ఇతర సహజ విజ్ఞాన విభాగాల అవసరాల ప్రభావంతో 17వ శతాబ్దం చివరలో ఉద్భవించింది, ముఖ్యంగా ఏకకాలంలో సమగ్ర మరియు అవకలన కాలిక్యులస్‌తో.
నిర్వచనం 1.n-వ ఆర్డర్అనేది రూపం యొక్క సమీకరణం 
- తెలియని ఫంక్షన్.
నిర్వచనం 2.ఫంక్షన్ 
విరామంపై అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం అంటారు I, ఈ ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నాల ప్రత్యామ్నాయం మీద అవకలన సమీకరణం గుర్తింపుగా మారుతుంది.
అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి- దాని అన్ని పరిష్కారాలను కనుగొనడం.
నిర్వచనం 3.అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం యొక్క గ్రాఫ్ అంటారు సమగ్ర వక్రరేఖఅవకలన సమీకరణం.
నిర్వచనం 4.సాధారణ అవకలన సమీకరణం 1-వ ఆర్డర్రూపం యొక్క సమీకరణం అని పిలుస్తారు 
.
నిర్వచనం 5.రూపం యొక్క సమీకరణం 
అని పిలిచారు అవకలన సమీకరణం 1-వ ఆర్డర్,ఉత్పన్నానికి సంబంధించి పరిష్కరించబడింది.
నియమం ప్రకారం, ఏదైనా అవకలన సమీకరణం అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. అన్ని పరిష్కారాల మొత్తం నుండి ఏదైనా ఒక పరిష్కారాన్ని వేరు చేయడానికి, అదనపు షరతులను విధించడం అవసరం.
నిర్వచనం 6.రకం పరిస్థితి 
1వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారంపై సూపర్మోస్డ్ అంటారు ప్రారంభ పరిస్థితి, లేదా కాశీ పరిస్థితి.
రేఖాగణితంగా, దీని అర్థం సంబంధిత సమగ్ర వక్రరేఖ పాయింట్ గుండా వెళుతుంది 
.
నిర్వచనం 7.సాధారణ పరిష్కారం 1వ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం 
ఒక చదునైన ప్రదేశంలో డిఫంక్షన్ల యొక్క ఒక-పారామితి కుటుంబం అంటారు 
, షరతులను సంతృప్తిపరచడం:
1) ఎవరికైనా 
ఫంక్షన్ 
సమీకరణానికి పరిష్కారం;
2) ప్రతి పాయింట్ కోసం 
అటువంటి పరామితి విలువ ఉంది 
, సంబంధిత ఫంక్షన్ అని 
ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే సమీకరణానికి పరిష్కారం 
.
నిర్వచనం 8.పరామితి యొక్క నిర్దిష్ట విలువ కోసం సాధారణ పరిష్కారం నుండి పొందిన పరిష్కారం అంటారు ప్రైవేట్ పరిష్కారంఅవకలన సమీకరణం.
నిర్వచనం 9.ప్రత్యేక నిర్ణయంతోఅవకలన సమీకరణం అనేది పరామితి యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం సాధారణ పరిష్కారం నుండి పొందలేని ఏదైనా పరిష్కారం.
అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం చాలా కష్టమైన సమస్య, మరియు సాధారణంగా చెప్పాలంటే, సమీకరణం యొక్క అధిక క్రమం, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మార్గాలను పేర్కొనడం మరింత కష్టం. మొదటి-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలకు కూడా, తక్కువ సంఖ్యలో ప్రత్యేక సందర్భాలలో మాత్రమే సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనే పద్ధతులను సూచించడం సాధ్యమవుతుంది. అంతేకాకుండా, ఈ సందర్భాలలో, కావలసిన పరిష్కారం ఎల్లప్పుడూ ప్రాథమిక విధి కాదు.
అవకలన సమీకరణాల సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన సమస్యలలో ఒకటి, మొదట O. కౌచీచే అధ్యయనం చేయబడింది, ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం.
ఉదాహరణకు, అవకలన సమీకరణానికి ఎల్లప్పుడూ పరిష్కారం ఉంటుంది 
, ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచడం 
, మరియు అది ఒక్కటే అవుతుందా? సాధారణంగా చెప్పాలంటే, సమాధానం లేదు. నిజానికి, సమీకరణం 
, మొత్తం విమానంలో నిరంతరంగా ఉండే కుడి వైపు, పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది వై=0 మరియు వై=(x+సి) 3 ,సిఆర్
. అందువల్ల, O అక్షం మీద ఏదైనా పాయింట్ ద్వారా Xరెండు సమగ్ర వక్రరేఖల గుండా వెళుతుంది.
కాబట్టి ఫంక్షన్ కొన్ని అవసరాలను తీర్చాలి. కింది సిద్ధాంతం అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం యొక్క ఉనికి మరియు ప్రత్యేకత కోసం తగిన పరిస్థితుల యొక్క వైవిధ్యాలలో ఒకదాన్ని కలిగి ఉంది 
, ప్రారంభ పరిస్థితిని సంతృప్తి పరుస్తుంది 
.
డెఫినిషన్ నుండి నాన్-నెగటివ్ ఫంక్షన్ f(x) కోసం ఖచ్చితమైన సమగ్రత y = f(x), సరళ రేఖలు x = a, x = b అనే వక్రరేఖతో సరిహద్దులుగా ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ వైశాల్యానికి సమానం. మరియు abscissa = 0 (Figure 4.1).
ఫంక్షన్ – f(x) సానుకూలం కానిది అయితే, ఖచ్చితమైన సమగ్రం 
సంబంధిత కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యానికి సమానం, మైనస్ గుర్తుతో తీసుకోబడింది (మూర్తి 4.7).
మూర్తి 4.7 – నాన్-పాజిటివ్ ఫంక్షన్ కోసం ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క రేఖాగణిత అర్థం
ఏకపక్ష నిరంతర ఫంక్షన్ f(x) కోసం, ఖచ్చితమైన సమగ్రం 
f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కింద మరియు అబ్సిస్సా అక్షం పైన ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానం, f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైన మరియు దిగువన ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ల వైశాల్యాల మొత్తానికి మైనస్ అవుతుంది అబ్సిస్సా అక్షం (మూర్తి 4.8).
మూర్తి 4.8 – ఏకపక్ష నిరంతర ఫంక్షన్ f(x) కోసం ఖచ్చితమైన సమగ్రం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం (ప్లస్ గుర్తు జోడించబడిన ప్రాంతాన్ని సూచిస్తుంది మరియు మైనస్ గుర్తు తీసివేయబడిన ప్రాంతాన్ని సూచిస్తుంది).
ఆచరణలో కర్విలినియర్ బొమ్మల ప్రాంతాలను లెక్కించేటప్పుడు, కింది సూత్రం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది: 
, ఇక్కడ S అనేది [a,b] సెగ్మెంట్‌లోని y = f 1 (x) మరియు y = f 2 (x) వక్రరేఖల మధ్య మరియు f 1 (x) మరియు f 2 (x) మధ్య ఉన్న ఫిగర్ వైశాల్యం. ) ఈ విభాగంలో నిర్వచించబడిన నిరంతర విధులు, అంటే f 1 (x) ≥ f 2 (x) (గణాంకాలు 4.9, 4.10 చూడండి).
ఉత్పన్నం యొక్క ఆర్థిక అర్థాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ఉత్పన్నం కొంత ఆర్థిక వస్తువు లేదా ప్రక్రియ యొక్క కాలక్రమేణా లేదా అధ్యయనంలో ఉన్న మరొక కారకంతో పోలిస్తే మార్పు రేటుగా పనిచేస్తుందని కనుగొనబడింది. ఒక నిర్దిష్ట సమగ్రత యొక్క ఆర్థిక అర్ధాన్ని స్థాపించడానికి, ఈ వేగాన్ని సమయం లేదా మరొక కారకంగా పరిగణించడం అవసరం. అప్పుడు, ఖచ్చితమైన సమగ్రత యాంటీడెరివేటివ్‌లో మార్పును సూచిస్తుంది కాబట్టి, ఆర్థికశాస్త్రంలో అది నిర్దిష్ట వ్యవధిలో (లేదా మరొక కారకంలో నిర్దిష్ట మార్పుతో) ఈ వస్తువు (ప్రక్రియ)లో మార్పును అంచనా వేస్తుంది.
ఉదాహరణకు, q=q(t) ఫంక్షన్ సమయాన్ని బట్టి కార్మిక ఉత్పాదకతను వివరిస్తే, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఖచ్చితమైన సమగ్రత 
t 0 నుండి t 1 వరకు అవుట్‌పుట్ Q వాల్యూమ్‌ను సూచిస్తుంది.
ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను గణించే పద్ధతులుముందుగా చర్చించిన ఏకీకరణ పద్ధతులపై ఆధారపడి ఉంటాయి (మేము రుజువులను అమలు చేయము).
నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొన్నప్పుడు, మేము ఫార్ములా ఆధారంగా వేరియబుల్ మార్పు పద్ధతిని ఉపయోగించాము: f(x)dx= =f((t))`(t)dt, ఇక్కడ x =(t) ఒక ఫంక్షన్ పరిగణించబడిన వాటి మధ్య తేడా ఉంటుంది. ఖచ్చితమైన సమగ్రత కోసం, వేరియబుల్ మార్పు ఫార్ములా రూపాన్ని తీసుకుంటుంది 
, ఎక్కడ 
మరియు అందరికీ.
ఉదాహరణ 1. కనుగొనండి
t= 2 –x 2 లెట్. Thendt= -2xdxandxdx= - ½dt.
x = 0 t= 2 – 0 2 = 2. x = 1t= 2 – 1 2 = 1 వద్ద. అప్పుడు
ఉదాహరణ 2. కనుగొనండి
ఉదాహరణ 3. కనుగొనండి
ఖచ్చితమైన సమగ్రం కోసం భాగాల సూత్రం ద్వారా ఏకీకరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: 
, ఎక్కడ 
.
ఉదాహరణ 1. కనుగొనండి
u=ln(1 +x),dv=dx లెట్. అప్పుడు
ఉదాహరణ 2. కనుగొనండి
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి సమతల బొమ్మల ప్రాంతాలను గణించడం
ఉదాహరణ 1. y = x 2 – 2 మరియు y = x పంక్తులచే సరిహద్దు చేయబడిన బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
y= x 2 – 2 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అనేది x= 0, y= -2 వద్ద కనిష్ట బిందువుతో కూడిన పారాబొలా; అబ్సిస్సా అక్షం పాయింట్ల వద్ద కలుస్తుంది 
. y = x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక సరళ రేఖ, ఇది నాన్-నెగటివ్ కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్ యొక్క బైసెక్టర్.
ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ద్వారా పారాబొలా y = x 2 - 2 మరియు సరళ రేఖ y = x యొక్క ఖండన బిందువుల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి:
x 2 – x - 2 = 0
x = 2; y= 2 లేదా x = -1;y= -1
ఈ విధంగా, ఏ ప్రాంతం కనుగొనబడాలి అనేది మూర్తి 4.9లో సూచించబడుతుంది.
మూర్తి 4.9 – y = x 2 – 2 మరియు y = x పంక్తులతో బంధించబడిన చిత్రం
విభాగంలో [-1, 2] x ≥ x 2 – 2.
సూత్రాన్ని ఉపయోగించుకుందాం 
, f 1 (x) = x పెట్టడం; f 2 (x) = x 2 – 2;a= -1;b= 2.
ఉదాహరణ 2. y = 4 - x 2 మరియు y = x 2 - 2x పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
y = 4 - x 2 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అనేది x = 0, y = 4 వద్ద గరిష్ట పాయింట్‌తో కూడిన పారాబొలా; x-అక్షం పాయింట్లు 2 మరియు -2 వద్ద కలుస్తుంది. y = x 2 – 2x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అనేది 2x- 2 = 0, x = 1 వద్ద కనిష్ట బిందువుతో కూడిన పారాబొలా; x-అక్షం పాయింట్లు 0 మరియు 2 వద్ద కలుస్తుంది.
వక్రరేఖల ఖండన బిందువుల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి:
4 - x 2 = x 2 – 2x
2x 2 – 2x - 4 = 0
x 2 – x - 2 = 0
x = 2; y= 0 లేదా x = -1;y= 3
ఈ విధంగా, ఏ ప్రాంతం కనుగొనబడాలి అనేది మూర్తి 4.10లో సూచించబడుతుంది.
మూర్తి 4.10 - y = 4 - x 2 మరియు y = x 2 – 2x పంక్తులతో బంధించబడిన చిత్రం
విభాగంలో [-1, 2] 4 - x 2 ≥ x 2 – 2x.
సూత్రాన్ని ఉపయోగించుకుందాం 
, f 1 (x) = 4 - - x 2 పెట్టడం; f 2 (x) = x 2 – 2x;a= -1;b= 2.
ఉదాహరణ 3.నాన్-నెగటివ్ కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్‌లో y = 1/x పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
y = 1/x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అనేది ధనాత్మక x కోసం అది కుంభాకారంగా ఉంటుంది; కోఆర్డినేట్ అక్షాలు లక్షణములు. నాన్-నెగటివ్ కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్‌లోని ఫంక్షన్ y = x 2 యొక్క గ్రాఫ్ అనేది మూలం వద్ద కనిష్ట బిందువుతో పారాబొలా యొక్క శాఖ. ఈ గ్రాఫ్‌లు 1/x = x 2 వద్ద కలుస్తాయి; x 3 = 1; x = 1; y = 1.
y = 1/x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ x = 1/4 వద్ద y = 4 సరళ రేఖను మరియు x = 2 (లేదా -2) వద్ద y = x 2 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను కలుస్తుంది.
ఈ విధంగా, ఏ ప్రాంతం కనుగొనబడాలి అనేది మూర్తి 4.11లో సూచించబడుతుంది.
మూర్తి 4.11 - y = 1/x పంక్తులతో బంధించబడిన చిత్రం; నాన్-నెగటివ్ కోఆర్డినేట్ క్వాడ్రంట్‌లో y= x 2 మరియు y= 4
ఫిగర్ ABC యొక్క అవసరమైన వైశాల్యం దీర్ఘచతురస్రం ABHE వైశాల్యం మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం, ఇది 4*(2 – ¼) = 7కి సమానం, మరియు రెండు కర్విలినియర్ ట్రాపెజోయిడ్స్ ACFE మరియు CBHF. ACFE ప్రాంతాన్ని గణిద్దాం:
SVНF ప్రాంతాన్ని గణిద్దాం:
.
కాబట్టి, అవసరమైన ప్రాంతం 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43.28 (యూనిట్ 2).
సమగ్ర కాలిక్యులస్ యొక్క అనువర్తనాలను పరిశీలిద్దాం. ఈ పాఠంలో మేము సాధారణ మరియు అత్యంత సాధారణ పనిని విశ్లేషిస్తాము ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి సమతల బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం. చివరగా, ఉన్నత గణితంలో అర్థాన్ని కోరుకునే వారందరూ దానిని కనుగొననివ్వండి. నీకు ఎన్నటికి తెలియదు. నిజ జీవితంలో, మీరు ప్రాథమిక విధులను ఉపయోగించి డాచా ప్లాట్‌ను అంచనా వేయాలి మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి దాని ప్రాంతాన్ని కనుగొనాలి.
మెటీరియల్‌ను విజయవంతంగా నేర్చుకోవడానికి, మీరు తప్పక:
1) కనీసం ఇంటర్మీడియట్ స్థాయిలో నిరవధిక సమగ్రతను అర్థం చేసుకోండి. కాబట్టి, డమ్మీలు మొదట పాఠాన్ని చదవాలి కాదు.
2) న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని వర్తింపజేయగలరు మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించగలరు. మీరు పేజీలోని కొన్ని సమగ్రాలతో స్నేహపూర్వక సంబంధాలను ఏర్పరచుకోవచ్చు ఖచ్చితమైన సమగ్ర. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు. "ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని లెక్కించడం" అనే పని ఎల్లప్పుడూ డ్రాయింగ్ను నిర్మించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి మీ జ్ఞానం మరియు డ్రాయింగ్ నైపుణ్యాలు కూడా సంబంధిత సమస్యగా ఉంటాయి. కనిష్టంగా, మీరు సరళ రేఖ, పారాబొలా మరియు హైపర్బోలాను నిర్మించగలగాలి.
వక్ర ట్రాపెజాయిడ్‌తో ప్రారంభిద్దాం. వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ అనేది కొన్ని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫ్లాట్ ఫిగర్ వై = f(x), అక్షం OXమరియు పంక్తులు x = a; x = బి.
కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం సంఖ్యాపరంగా ఖచ్చితమైన సమగ్రానికి సమానం
ఏదైనా ఖచ్చితమైన సమగ్ర (ఉన్నది) చాలా మంచి రేఖాగణిత అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. పాఠం వద్ద ఖచ్చితమైన సమగ్ర. పరిష్కారాల ఉదాహరణలుమేము ఒక ఖచ్చితమైన సమగ్ర సంఖ్య అని చెప్పాము. మరియు ఇప్పుడు మరొక ఉపయోగకరమైన వాస్తవాన్ని చెప్పడానికి సమయం ఆసన్నమైంది. జ్యామితి యొక్క కోణం నుండి, ఖచ్చితమైన సమగ్రత AREA. అంటే, ఖచ్చితమైన సమగ్ర (అది ఉన్నట్లయితే) జ్యామితీయంగా ఒక నిర్దిష్ట వ్యక్తి యొక్క వైశాల్యానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఖచ్చితమైన సమగ్రతను పరిగణించండి
సమగ్ర
విమానంలో ఒక వక్రరేఖను నిర్వచిస్తుంది (కావాలనుకుంటే దానిని గీయవచ్చు), మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రత సంబంధిత కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యానికి సంఖ్యాపరంగా సమానంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణ 1
, , , .
ఇది ఒక సాధారణ అసైన్‌మెంట్ స్టేట్‌మెంట్. నిర్ణయంలో అత్యంత ముఖ్యమైన అంశం డ్రాయింగ్ నిర్మాణం. అంతేకాక, డ్రాయింగ్ తప్పనిసరిగా నిర్మించబడాలి కుడి.
డ్రాయింగ్ను నిర్మిస్తున్నప్పుడు, నేను ఈ క్రింది క్రమాన్ని సిఫార్సు చేస్తున్నాను: మొదటఅన్ని సరళ రేఖలను (అవి ఉన్నట్లయితే) మరియు మాత్రమే నిర్మించడం మంచిది అప్పుడు- పారాబొలాస్, హైపర్బోలాస్, ఇతర ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు. పాయింట్-బై-పాయింట్ నిర్మాణ సాంకేతికతను రిఫరెన్స్ మెటీరియల్‌లో కనుగొనవచ్చు ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు. అక్కడ మీరు మా పాఠం కోసం చాలా ఉపయోగకరమైన పదార్థాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు - పారాబొలాను త్వరగా ఎలా నిర్మించాలో.
ఈ సమస్యలో, పరిష్కారం ఇలా ఉండవచ్చు.
డ్రాయింగ్ చేద్దాం (సమీకరణం అని గమనించండి వై= 0 అక్షాన్ని నిర్దేశిస్తుంది OX):
మేము వంకరగా ఉన్న ట్రాపెజాయిడ్‌ను షేడ్ చేయము; ఇక్కడ మనం ఏ ప్రాంతం గురించి మాట్లాడుతున్నామో స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. పరిష్కారం ఇలా కొనసాగుతుంది:
విభాగంలో [-2; 1] ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ వై = x 2 + 2 ఉంది అక్షం పైనOX, అందుకే:
సమాధానం: .
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించడంలో మరియు న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడంలో ఎవరికి ఇబ్బందులు ఉన్నాయి
,
ఉపన్యాసం చూడండి ఖచ్చితమైన సమగ్ర. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు. పని పూర్తయిన తర్వాత, డ్రాయింగ్ను చూడటం మరియు సమాధానం నిజమో కాదో గుర్తించడం ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, “కంటి ద్వారా” డ్రాయింగ్‌లోని కణాల సంఖ్యను మేము లెక్కిస్తాము - సరే, సుమారు 9 ఉంటుంది, ఇది నిజం అనిపిస్తుంది. మనకు సమాధానం దొరికితే, చెప్పాలంటే, 20 చదరపు యూనిట్లు, ఎక్కడో పొరపాటు జరిగిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది - 20 కణాలు స్పష్టంగా డజనులో ప్రశ్నకు సరిపోవు. సమాధానం ప్రతికూలంగా ఉంటే, అప్పుడు పని కూడా తప్పుగా పరిష్కరించబడింది.
ఉదాహరణ 2
పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి xy = 4, x = 2, x= 4 మరియు అక్షం OX.
మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.
వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ ఉన్నట్లయితే ఏమి చేయాలి ఇరుసు కిందOX?
ఉదాహరణ 3
పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి వై = e-x, x= 1 మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలు.
పరిష్కారం: డ్రాయింగ్ చేద్దాం:
ఒక వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ ఉంటే పూర్తిగా అక్షం కింద ఉంది OX , అప్పుడు దాని ప్రాంతాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:
ఈ విషయంలో:
.
శ్రద్ధ! రెండు రకాల పనులు గందరగోళంగా ఉండకూడదు:
1) మీరు ఏ రేఖాగణిత అర్థం లేకుండా కేవలం ఖచ్చితమైన సమగ్రతను పరిష్కరించమని అడిగితే, అది ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు.
2) ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనమని మిమ్మల్ని అడిగితే, ఆ ప్రాంతం ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది! అందుకే ఇప్పుడు చర్చించిన ఫార్ములాలో మైనస్ కనిపిస్తుంది.
ఆచరణలో, చాలా తరచుగా ఫిగర్ ఎగువ మరియు దిగువ సగం-విమానం రెండింటిలోనూ ఉంది మరియు అందువల్ల, సరళమైన పాఠశాల సమస్యల నుండి మేము మరింత అర్ధవంతమైన ఉదాహరణలకు వెళ్తాము.
ఉదాహరణ 4
పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న విమానం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి వై = 2x – x 2 , వై = -x.
పరిష్కారం: మొదట మీరు డ్రాయింగ్ చేయాలి. ఏరియా సమస్యలలో డ్రాయింగ్ను నిర్మిస్తున్నప్పుడు, మేము పంక్తుల ఖండన పాయింట్లపై చాలా ఆసక్తి కలిగి ఉంటాము. పారాబొలా యొక్క ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి వై = 2x – x 2 మరియు నేరుగా వై = -x. ఇది రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు. మొదటి పద్ధతి విశ్లేషణాత్మకమైనది. మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:
దీని అర్థం ఏకీకరణ యొక్క తక్కువ పరిమితి a= 0, ఏకీకరణ యొక్క ఎగువ పరిమితి బి= 3. పాయింట్ల వారీగా లైన్‌లను నిర్మించడం తరచుగా మరింత లాభదాయకంగా మరియు వేగంగా ఉంటుంది మరియు ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు "తాము స్వయంగా" స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి. అయినప్పటికీ, గ్రాఫ్ తగినంత పెద్దదిగా ఉంటే లేదా వివరణాత్మక నిర్మాణం ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను బహిర్గతం చేయనట్లయితే (అవి భిన్నం లేదా అహేతుకం కావచ్చు) పరిమితులను కనుగొనే విశ్లేషణాత్మక పద్ధతిని కొన్నిసార్లు ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. మన పనికి తిరిగి వెళ్దాం: మొదట సరళ రేఖను నిర్మించడం మరింత హేతుబద్ధమైనది మరియు తర్వాత మాత్రమే పారాబొలా. డ్రాయింగ్ చేద్దాం:
పాయింట్‌వైజ్‌గా నిర్మిస్తున్నప్పుడు, ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు చాలా తరచుగా "స్వయంచాలకంగా" నిర్ణయించబడతాయి అని పునరావృతం చేద్దాం.
మరియు ఇప్పుడు పని సూత్రం:
సెగ్మెంట్లో ఉంటే [ a; బి] కొన్ని నిరంతర ఫంక్షన్ f(x) కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంకొన్ని నిరంతర ఫంక్షన్ g(x), అప్పుడు సంబంధిత ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:
ఇక్కడ మీరు ఇకపై ఫిగర్ ఎక్కడ ఉందో ఆలోచించాల్సిన అవసరం లేదు - అక్షం పైన లేదా అక్షం క్రింద, కానీ ఏ గ్రాఫ్ ఎక్కువగా ఉందో ముఖ్యం(మరొక గ్రాఫ్‌కు సంబంధించి), మరియు క్రింద ఉన్నది ఏది.
పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో, సెగ్మెంట్లో పారాబొలా సరళ రేఖకు పైన ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది మరియు అందువల్ల 2 నుండి x – x 2 తప్పక తీసివేయాలి - x.
పూర్తయిన పరిష్కారం ఇలా ఉండవచ్చు:
కావలసిన సంఖ్య పారాబొలా ద్వారా పరిమితం చేయబడింది వై = 2x – x 2 పైన మరియు నేరుగా వై = -xక్రింద.
సెగ్మెంట్ 2లో x – x 2 ≥ -x. సంబంధిత సూత్రం ప్రకారం:
సమాధానం: .
వాస్తవానికి, దిగువ సగం-విమానంలో కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం కోసం పాఠశాల ఫార్ములా (ఉదాహరణ సంఖ్య 3 చూడండి) ఫార్ములా యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.
.
ఎందుకంటే అక్షం OXసమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడింది వై= 0, మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ g(x) అక్షం క్రింద ఉంది OX, ఆ
.
మరియు ఇప్పుడు మీ స్వంత పరిష్కారం కోసం కొన్ని ఉదాహరణలు
ఉదాహరణ 5
ఉదాహరణ 6
పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని లెక్కించడంలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, కొన్నిసార్లు ఒక తమాషా సంఘటన జరుగుతుంది. డ్రాయింగ్ సరిగ్గా జరిగింది, లెక్కలు సరిగ్గా ఉన్నాయి, కానీ అజాగ్రత్త కారణంగా ... తప్పు బొమ్మ యొక్క ప్రాంతం కనుగొనబడింది.
ఉదాహరణ 7
మొదట డ్రాయింగ్ చేద్దాం:
మనం కనుగొనవలసిన ప్రాంతం నీలం రంగులో ఉంటుంది(పరిస్థితిని జాగ్రత్తగా చూడండి - ఫిగర్ ఎలా పరిమితం చేయబడింది!). కానీ ఆచరణలో, అజాగ్రత్త కారణంగా, ప్రజలు తరచుగా ఆకుపచ్చ రంగులో ఉన్న బొమ్మ యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనాలని నిర్ణయించుకుంటారు!
ఈ ఉదాహరణ కూడా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే ఇది రెండు ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను ఉపయోగించి ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని గణిస్తుంది. నిజంగా:
1) విభాగంలో [-1; 1] అక్షం పైన OXగ్రాఫ్ నేరుగా ఉంది వై = x+1;
2) అక్షం పైన ఉన్న విభాగంలో OXహైపర్బోలా యొక్క గ్రాఫ్ ఉంది వై = (2/x).
ప్రాంతాలను జోడించవచ్చని (మరియు తప్పక) చాలా స్పష్టంగా ఉంది, కాబట్టి:
సమాధానం:
ఉదాహరణ 8
పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి
సమీకరణాలను "పాఠశాల" రూపంలో ప్రదర్శిస్తాము
మరియు పాయింట్-బై-పాయింట్ డ్రాయింగ్ చేయండి:
మా ఎగువ పరిమితి "మంచిది" అని డ్రాయింగ్ నుండి స్పష్టంగా తెలుస్తుంది: బి = 1.
కానీ తక్కువ పరిమితి ఏమిటి?! ఇది పూర్ణాంకం కాదని స్పష్టంగా ఉంది, కానీ అది ఏమిటి?
బహుశా, a=(-1/3)? కానీ డ్రాయింగ్ ఖచ్చితమైన ఖచ్చితత్వంతో తయారు చేయబడిందని హామీ ఎక్కడ ఉంది, అది బాగా మారవచ్చు a=(-1/4). మనం గ్రాఫ్‌ను తప్పుగా నిర్మించినట్లయితే?
అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు అదనపు సమయాన్ని వెచ్చించాలి మరియు ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను విశ్లేషణాత్మకంగా స్పష్టం చేయాలి.
గ్రాఫ్‌ల ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి
దీన్ని చేయడానికి, మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము:
.
అందుకే, a=(-1/3).
తదుపరి పరిష్కారం అల్పమైనది. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే ప్రత్యామ్నాయాలు మరియు సంకేతాలలో గందరగోళం చెందకూడదు. ఇక్కడ లెక్కలు సరళమైనవి కావు. విభాగంలో
, 
,
సంబంధిత సూత్రం ప్రకారం:
సమాధానం: 
పాఠాన్ని ముగించడానికి, మరో రెండు కష్టమైన పనులను చూద్దాం.
ఉదాహరణ 9
పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి
పరిష్కారం: డ్రాయింగ్‌లో ఈ బొమ్మను వర్ణిద్దాం.
పాయింట్-బై-పాయింట్ డ్రాయింగ్ను నిర్మించడానికి, మీరు సైనూసోయిడ్ రూపాన్ని తెలుసుకోవాలి. సాధారణంగా, అన్ని ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను, అలాగే కొన్ని సైన్ విలువలను తెలుసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. వాటిని విలువల పట్టికలో చూడవచ్చు త్రికోణమితి విధులు. కొన్ని సందర్భాల్లో (ఉదాహరణకు, ఈ సందర్భంలో), స్కీమాటిక్ డ్రాయింగ్ను నిర్మించడం సాధ్యమవుతుంది, దానిపై గ్రాఫ్‌లు మరియు ఏకీకరణ పరిమితులు ప్రాథమికంగా సరిగ్గా ప్రదర్శించబడాలి.
ఇక్కడ ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులతో ఎటువంటి సమస్యలు లేవు, అవి నేరుగా పరిస్థితి నుండి అనుసరిస్తాయి:
– “x” సున్నా నుండి “pi”కి మారుతుంది. తదుపరి నిర్ణయం తీసుకుందాం:
సెగ్మెంట్లో, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ వై= పాపం 3 xఅక్షం పైన ఉన్న OX, అందుకే:
(1) మీరు పాఠంలో బేసి శక్తులలో సైన్‌లు మరియు కొసైన్‌లు ఎలా కలిసిపోయారో చూడవచ్చు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల సమగ్రతలు. మేము ఒక సైనస్‌ను చిటికెడు చేస్తాము.
(2) మేము రూపంలో ప్రధాన త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగిస్తాము
(3) వేరియబుల్‌ని మారుద్దాం t= కోస్ x, అప్పుడు: అక్షం పైన ఉంది, కాబట్టి:
.
.
గమనిక:టాంజెంట్ క్యూబ్ యొక్క సమగ్రత ఇక్కడ ఎలా ఉపయోగించబడుతుందో గమనించండి;
.