లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ సిస్టమ్స్ సమీకరణాలు.
అవకలన సమీకరణాల వ్యవస్థను అంటారు సరళ,తెలియని ఫంక్షన్‌లు మరియు వాటి ఉత్పన్నాలకు సంబంధించి అది సరళంగా ఉంటే. వ్యవస్థ n-1 వ ఆర్డర్ యొక్క సరళ సమీకరణాలు రూపంలో వ్రాయబడ్డాయి:
సిస్టమ్ గుణకాలు స్థిరంగా ఉంటాయి.
ఈ వ్యవస్థను మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో వ్రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది: ,
ఒక ఆర్గ్యుమెంట్ ఆధారంగా తెలియని ఫంక్షన్ల నిలువు వెక్టర్ ఎక్కడ ఉంది.
ఈ ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల కాలమ్ వెక్టర్.
ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ వెక్టర్.
గుణకం మాతృక.
సిద్ధాంతం 1:అన్ని మాతృక గుణకాలు ఉంటే ఎఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో నిరంతరంగా ఉంటాయి మరియు ప్రతి m యొక్క నిర్దిష్ట పరిసరాల్లో ఉంటాయి. 
TS&E షరతులు నెరవేరాయి. పర్యవసానంగా, అటువంటి ప్రతి బిందువు గుండా ఒకే సమగ్ర వక్రరేఖ వెళుతుంది.
నిజానికి, ఈ సందర్భంలో, సిస్టమ్ యొక్క కుడి-భుజాలు ఆర్గ్యుమెంట్‌ల సమితికి సంబంధించి నిరంతరంగా ఉంటాయి మరియు వాటి పాక్షిక ఉత్పన్నాలు (మ్యాట్రిక్స్ A యొక్క కోఎఫీషియంట్‌లకు సమానం) సంవృత విరామంలో కొనసాగింపు కారణంగా పరిమితం చేయబడతాయి.
SLDలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు
1. అవకలన సమీకరణాల వ్యవస్థ తెలియని వాటిని తొలగించడం ద్వారా ఒక సమీకరణానికి తగ్గించవచ్చు.
ఉదాహరణ:సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: 
(1)
పరిష్కారం:మినహాయించండి zఈ సమీకరణాల నుండి. మేము కలిగి ఉన్న మొదటి సమీకరణం నుండి. రెండవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, 
సరళీకరణ తర్వాత మనకు లభిస్తుంది: 
.
ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థ (1) ఒకే రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణానికి తగ్గించబడింది. ఈ సమీకరణం నుండి కనుగొన్న తర్వాత వై, కనుక్కోవాలి z, సమానత్వాన్ని ఉపయోగించడం.
2. తెలియని వాటిని తొలగించడం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు, అధిక ఆర్డర్ యొక్క సమీకరణం సాధారణంగా పొందబడుతుంది, కాబట్టి చాలా సందర్భాలలో కనుగొనడం ద్వారా వ్యవస్థను పరిష్కరించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. సమీకృత కలయికలు.
27b కొనసాగింది
ఉదాహరణ:వ్యవస్థను పరిష్కరించండి 
పరిష్కారం:
యూలర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం. లక్షణాన్ని కనుగొనడానికి డిటర్మినేట్‌ను వ్రాస్దాం
సమీకరణం: , (సిస్టమ్ సజాతీయంగా ఉన్నందున, అది చిన్నవిషయం కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండాలంటే, ఈ డిటర్మినెంట్ సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి). మేము ఒక లక్షణ సమీకరణాన్ని పొందుతాము మరియు దాని మూలాలను కనుగొంటాము: 
సాధారణ పరిష్కారం: 
;
- ఈజెన్‌వెక్టర్.
మేము పరిష్కారాన్ని వ్రాస్తాము: 
;
- ఈజెన్‌వెక్టర్.
మేము పరిష్కారాన్ని వ్రాస్తాము: 
;
మేము సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందుతాము: 
.
తనిఖీ చేద్దాం:
కనుక్కొందాము : మరియు దానిని ఈ సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలోకి మార్చండి, అనగా. .
మాకు దొరికింది:
- నిజమైన సమానత్వం.
సరళ వ్యత్యాసం. n వ ఆర్డర్ సమీకరణాలు. nవ క్రమం యొక్క అసమాన సరళ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారంపై సిద్ధాంతం.
nవ క్రమం యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణం రూపం యొక్క సమీకరణం: (1)
ఈ సమీకరణం గుణకం కలిగి ఉంటే, దాని ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మేము సమీకరణానికి చేరుకుంటాము: (2) .
సాధారణంగా రకం సమీకరణాలు (2). అది ur-iలో అనుకుందాం (2) అన్ని అసమానతలు, అలాగే f(x)కొంత విరామంలో నిరంతరాయంగా (a,b).అప్పుడు, TS&E ప్రకారం, సమీకరణం (2) ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది: , , ..., కోసం . ఇక్కడ - విరామం నుండి ఏదైనా పాయింట్ (a,b),మరియు అన్నీ - ఏదైనా ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు. సమీకరణం (2) TC&Eని సంతృప్తిపరుస్తుంది , అందువలన లేదు ప్రత్యేక పరిష్కారాలు.
డెఫ్.: ప్రత్యేకంపాయింట్లు =0.
సరళ సమీకరణం యొక్క లక్షణాలు:
- స్వతంత్ర చరరాశిలో ఏదైనా మార్పు కోసం సరళ సమీకరణం అలాగే ఉంటుంది.
- కావలసిన ఫంక్షన్ యొక్క ఏదైనా సరళ మార్పు కోసం సరళ సమీకరణం అలాగే ఉంటుంది.
డెఫ్:సమీకరణంలో ఉంటే (2) చాలు f(x)=0, అప్పుడు మేము ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము: (3) , అని పిలుస్తారు సజాతీయ సమీకరణంఅసమాన సమీకరణానికి సంబంధించి (2).
లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఆపరేటర్‌ని పరిచయం చేద్దాం: (4). ఈ ఆపరేటర్‌ని ఉపయోగించి, మీరు సమీకరణాన్ని చిన్న రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు (2) మరియు (3): L(y)=f(x), L(y)=0.ఆపరేటర్ (4) కింది సాధారణ లక్షణాలను కలిగి ఉంది:
ఈ రెండు లక్షణాల నుండి ఒక పరిణామాన్ని తగ్గించవచ్చు: .
ఫంక్షన్ y=y(x)అసమాన సమీకరణానికి పరిష్కారం (2), ఉంటే L(y(x))=f(x), అప్పుడు f(x)సమీకరణానికి పరిష్కారం అంటారు. కాబట్టి సమీకరణానికి పరిష్కారం (3) ఫంక్షన్ అని y(x), ఉంటే L(y(x))=0పరిగణించబడిన విరామాలపై.
పరిగణించండి అసమాన సరళ సమీకరణం: , L(y)=f(x).
మనం ఏదో ఒక విధంగా నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నామని అనుకుందాం, అప్పుడు .
కొత్త తెలియని ఫంక్షన్‌ని పరిచయం చేద్దాం zసూత్రం ప్రకారం: , ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం ఎక్కడ ఉంది.
దానిని సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: , బ్రాకెట్లను తెరిచి, పొందండి: .
ఫలిత సమీకరణాన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు: 
అసలు సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కనుక, అప్పుడు .
ఈ విధంగా, మేము సంబంధించి ఒక సజాతీయ సమీకరణాన్ని పొందాము z. ఈ సజాతీయ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం సరళ కలయిక: , ఇక్కడ విధులు - సజాతీయ సమీకరణానికి పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి. ప్రత్యామ్నాయం zభర్తీ సూత్రంలో, మేము పొందుతాము: 
(*) ఫంక్షన్ కోసం వై- అసలు సమీకరణం యొక్క తెలియని ఫంక్షన్. అసలు సమీకరణానికి అన్ని పరిష్కారాలు (*)లో ఉంటాయి.
అందువలన, అసమాన రేఖ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం. సమీకరణం సజాతీయ సరళ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం మరియు అసమాన సమీకరణం యొక్క కొంత నిర్దిష్ట పరిష్కారం యొక్క మొత్తంగా సూచించబడుతుంది.
(మరోవైపు కొనసాగింది)
30. అవకలనకు పరిష్కారం యొక్క ఉనికి మరియు ప్రత్యేకత యొక్క సిద్ధాంతం. సమీకరణాలు
సిద్ధాంతం:సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు దీర్ఘ చతురస్రంలో నిరంతరంగా ఉంటే 
మరియు పరిమితం చేయబడింది మరియు లిప్‌స్చిట్జ్ స్థితిని కూడా సంతృప్తిపరుస్తుంది: , N=const, అప్పుడు ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే మరియు విభాగంలో నిర్వచించబడిన ఒక ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంది 
, ఎక్కడ .
రుజువు:
పూర్తి మెట్రిక్ స్థలాన్ని పరిగణించండి తో,దీని పాయింట్లు అన్ని సాధ్యం నిరంతర విధులు y(x) విరామంలో నిర్వచించబడ్డాయి , దీర్ఘచతురస్రం లోపల ఉండే గ్రాఫ్‌లు మరియు దూరం సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: 
. ఈ స్థలం తరచుగా గణిత విశ్లేషణలో ఉపయోగించబడుతుంది మరియు దీనిని పిలుస్తారు ఏకరీతి కలయిక యొక్క స్థలం, ఈ స్థలం యొక్క మెట్రిక్‌లో కలయిక ఏకరీతిగా ఉన్నందున.
అవకలనను భర్తీ చేద్దాం. సమానమైన సమగ్ర సమీకరణానికి ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులతో సమీకరణం: 
మరియు ఆపరేటర్‌ను పరిగణించండి A(y), ఈ సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు సమానం: 
. ఈ ఆపరేటర్ ప్రతి నిరంతర ఫంక్షన్‌కు కేటాయిస్తుంది
Lipschitz యొక్క అసమానతను ఉపయోగించి, మనం దూరం అని వ్రాయవచ్చు. ఇప్పుడు కింది అసమానతలను కలిగి ఉండే ఒకదాన్ని ఎంచుకుందాం: .
మీరు అలా ఎంచుకోవాలి , అప్పుడు . కాబట్టి మేము దానిని చూపించాము.
సంకోచం మ్యాపింగ్‌ల సూత్రం ప్రకారం, ఒకే పాయింట్ లేదా, అదే అంటే, ఒకే ఫంక్షన్ - ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం.
ప్రత్యక్ష ఏకీకరణ ద్వారా సమీకరణాలు పరిష్కరించబడతాయి
కింది అవకలన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:
.
మేము n సార్లు ఏకీకృతం చేస్తాము.
;
;
మరియు అందువలన న. మీరు సూత్రాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు:
.
నేరుగా పరిష్కరించగల అవకలన సమీకరణాలను చూడండి ఏకీకరణ >>>
డిపెండెంట్ వేరియబుల్ yని స్పష్టంగా కలిగి లేని సమీకరణాలు
ప్రత్యామ్నాయం సమీకరణం యొక్క క్రమాన్ని ఒకటి తగ్గిస్తుంది. నుండి ఒక ఫంక్షన్ ఇక్కడ ఉంది.
ఒక విధిని స్పష్టంగా కలిగి లేని అధిక ఆర్డర్‌ల యొక్క అవకలన సమీకరణాలను చూడండి > > >
స్వతంత్ర వేరియబుల్ xని స్పష్టంగా చేర్చని సమీకరణాలు
.
ఇది ఒక ఫంక్షన్ అని మేము భావిస్తున్నాము. అప్పుడు
.
అదేవిధంగా ఇతర ఉత్పన్నాల కోసం. ఫలితంగా, సమీకరణం యొక్క క్రమం ఒకటి తగ్గింది.
స్పష్టమైన వేరియబుల్ లేని అధిక ఆర్డర్‌ల అవకలన సమీకరణాలను చూడండి > > >
y, y′, y′′, ... లకు సంబంధించి సజాతీయ సమీకరణాలు
ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము ప్రత్యామ్నాయాన్ని చేస్తాము
,
యొక్క ఫంక్షన్ ఎక్కడ ఉంది. అప్పుడు
.
మేము అదే విధంగా ఉత్పన్నాలు మొదలైనవాటిని మారుస్తాము. ఫలితంగా, సమీకరణం యొక్క క్రమం ఒకటి తగ్గింది.
ఒక ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నాలకు సంబంధించి సజాతీయంగా ఉండే ఉన్నత-క్రమం అవకలన సమీకరణాలను చూడండి > > >
అధిక ఆర్డర్‌ల సరళ అవకలన సమీకరణాలు
పరిగణలోకి తీసుకుందాం nవ క్రమం యొక్క సరళ సజాతీయ అవకలన సమీకరణం:
(1)
,
స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క విధులు ఎక్కడ ఉన్నాయి. ఈ సమీకరణానికి n సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలు ఉండనివ్వండి. అప్పుడు సమీకరణం (1) యొక్క సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
(2)
,
ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. విధులు స్వయంగా పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి.
ప్రాథమిక పరిష్కార వ్యవస్థ nవ క్రమం యొక్క సరళ సజాతీయ సమీకరణం ఈ సమీకరణానికి n సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలు.
పరిగణలోకి తీసుకుందాం nవ క్రమం యొక్క సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణం:
.
ఈ సమీకరణానికి నిర్దిష్ట (ఏదైనా) పరిష్కారం ఉండనివ్వండి. అప్పుడు సాధారణ పరిష్కారం రూపం కలిగి ఉంటుంది:
,
సజాతీయ సమీకరణం (1) యొక్క సాధారణ పరిష్కారం ఎక్కడ ఉంది.
స్థిరమైన గుణకాలు మరియు వాటికి తగ్గించగల సరళ అవకలన సమీకరణాలు
స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ సజాతీయ సమీకరణాలు
ఇవి రూపం యొక్క సమీకరణాలు:
(3)
.
ఇక్కడ వాస్తవ సంఖ్యలు ఉన్నాయి. ఈ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి, మేము పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను రూపొందించే n సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలను కనుగొనాలి. అప్పుడు సాధారణ పరిష్కారం సూత్రం (2) ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
(2)
.
మేము రూపంలో పరిష్కారం కోసం చూస్తున్నాము. మాకు దొరికింది లక్షణ సమీకరణం:
(4)
.
ఈ సమీకరణం ఉంటే వివిధ మూలాలు, అప్పుడు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
.
అందుబాటులో ఉంటే సంక్లిష్ట మూలం
,
అప్పుడు సంక్లిష్ట సంయోగ మూలం కూడా ఉంది. ఈ రెండు మూలాలు పరిష్కారాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి మరియు , సంక్లిష్ట పరిష్కారాలకు బదులుగా మేము ప్రాథమిక వ్యవస్థలో చేర్చాము మరియు .
మూలాల బహుళగుణకాలు సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి: .
సంక్లిష్ట మూలాల బహుళగుణకాలు మరియు వాటి సంక్లిష్ట సంయోగ విలువలు సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి:
.
ప్రత్యేక అసమాన భాగంతో సరళ అసమాన సమీకరణాలు
ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిగణించండి
,
డిగ్రీల బహుపదాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి 1
మరియు ఎస్ 2
; - శాశ్వత.
మొదట మనం సజాతీయ సమీకరణం (3)కి సాధారణ పరిష్కారం కోసం చూస్తాము. లక్షణ సమీకరణం (4) అయితే రూట్ కలిగి ఉండదు, అప్పుడు మేము రూపంలో ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కోసం చూస్తాము:
,
ఎక్కడ
;
;
s - s లో గొప్పది 1
మరియు ఎస్ 2
.
లక్షణ సమీకరణం (4) అయితే ఒక రూట్ ఉందిగుణకారం, అప్పుడు మేము రూపంలో ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కోసం చూస్తాము:
.
దీని తరువాత మేము సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందుతాము:
.
స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ అసమాన సమీకరణాలు
ఇక్కడ మూడు సాధ్యమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.
1)
బెర్నౌలీ పద్ధతి.
మొదట, మేము సజాతీయ సమీకరణానికి ఏదైనా నాన్జీరో పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము
.
అప్పుడు మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము
,
వేరియబుల్ x యొక్క ఫంక్షన్ ఎక్కడ ఉంది. మేము u కోసం అవకలన సమీకరణాన్ని పొందుతాము, ఇది xకి సంబంధించి u యొక్క ఉత్పన్నాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది. ప్రత్యామ్నాయాన్ని నిర్వహించడం ద్వారా, మేము n సమీకరణాన్ని పొందుతాము - 1
- వ ఆర్డర్.
2)
లీనియర్ ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి.
ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం
,
లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో ఒకటి ఎక్కడ ఉంది (4). ఫలితంగా, మేము క్రమం యొక్క స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ అసమాన సమీకరణాన్ని పొందుతాము. ఈ ప్రత్యామ్నాయాన్ని స్థిరంగా వర్తింపజేస్తూ, మేము అసలు సమీకరణాన్ని మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణానికి తగ్గిస్తాము.
3)
లాగ్రాంజ్ స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి.
ఈ పద్ధతిలో, మేము మొదట సజాతీయ సమీకరణాన్ని (3) పరిష్కరిస్తాము. అతని పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది:
(2)
.
స్థిరాంకాలు వేరియబుల్ x యొక్క విధులు అని మేము ఇంకా ఊహిస్తాము. అప్పుడు అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారం రూపం కలిగి ఉంటుంది:
,
తెలియని విధులు ఎక్కడ ఉన్నాయి. అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా మరియు కొన్ని పరిమితులను విధించడం ద్వారా, మేము ఫంక్షన్ల రకాన్ని కనుగొనగల సమీకరణాలను పొందుతాము.
ఆయిలర్ యొక్క సమీకరణం
ఇది ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ సమీకరణానికి తగ్గిస్తుంది:
.
అయితే, ఆయిలర్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, అటువంటి ప్రత్యామ్నాయం చేయవలసిన అవసరం లేదు. మీరు వెంటనే రూపంలో సజాతీయ సమీకరణానికి పరిష్కారం కోసం చూడవచ్చు
.
ఫలితంగా, స్థిరమైన గుణకాలతో సమీకరణం కోసం మేము అదే నియమాలను పొందుతాము, దీనిలో మీరు వేరియబుల్‌కు బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి .
ప్రస్తావనలు:
వి.వి. స్టెపనోవ్, అవకలన సమీకరణాల కోర్సు, "LKI", 2015.
ఎన్.ఎం. గుంథర్, R.O. కుజ్మిన్, ఉన్నత గణితంలో సమస్యల సేకరణ, "లాన్", 2003.
n-వ ఆర్డర్
సిద్ధాంతం. ఉంటే y 0- సజాతీయ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం L[y]=0, y 1- సంబంధిత అసమాన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం L[y] = f(x), తర్వాత మొత్తం y 0 +y 1అనేది ఈ అసమాన సమీకరణానికి పరిష్కారం.
అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం యొక్క నిర్మాణం క్రింది సిద్ధాంతం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
సిద్ధాంతం. ఉంటే వై- సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం L[y] = f(x)నిరంతర గుణకాలతో, 
- సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం L[y] = 0, అప్పుడు ఈ అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
వ్యాఖ్య. సరళ అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్రాయడానికి, ఈ సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని మరియు సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం అవసరం.
సరళ అసమాన సమీకరణాలు n
సరళ అసమాన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి nస్థిరమైన గుణకాలతో -వ క్రమం
ఎక్కడ a 1, ఒక 2, …, ఒక ఎన్- వాస్తవ సంఖ్యలు. సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణాన్ని వ్రాద్దాం
అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం y 0మేము ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనవచ్చు వైకింది సాధారణ సందర్భాలలో నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి ద్వారా కనుగొనవచ్చు:
సాధారణ సందర్భంలో, వివిధ ఏకపక్ష స్థిరాంకాల పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.
ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి
సరళ అసమాన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి nవేరియబుల్ కోఎఫీషియంట్స్‌తో -వ క్రమం
ఈ సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం కష్టంగా మారితే, సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం తెలిసినట్లయితే, అసమాన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనవచ్చు. ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి.
సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణాన్ని తెలియజేయండి
సాధారణ పరిష్కారం ఉంది
మేము రూపంలో అసమాన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం కోసం చూస్తాము
ఎక్కడ y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x)ఒక సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలు దాని సాధారణ పరిష్కారంలో చేర్చబడ్డాయి మరియు C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- తెలియని విధులు. ఈ ఫంక్షన్‌లను కనుగొనడానికి, వాటిని కొన్ని షరతులకు లోబడి చూద్దాం.
ఉత్పన్నం కనుక్కోండి
రెండవ బ్రాకెట్‌లోని మొత్తం సున్నాకి సమానం కావాలి, అంటే
రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి
మరియు మేము దానిని డిమాండ్ చేస్తాము
ఇదే విధమైన ప్రక్రియను కొనసాగిస్తూ, మేము పొందుతాము
ఈ సందర్భంలో, ఫంక్షన్ల నుండి రెండవ బ్రాకెట్‌లోని మొత్తం అదృశ్యం కావాల్సిన అవసరం లేదు C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)ఇప్పటికే అధీనంలో ఉంది n-1పరిస్థితులు, కానీ మీరు ఇప్పటికీ అసలైన అసమాన సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి.