దిశ కొసైన్లు. ప్రాదేశిక సమస్యల కోసం వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్‌లను లెక్కించడానికి సూత్రం వెక్టర్ యొక్క పొడవు మరియు దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనండి

వెక్టర్ లెట్ ( X , వద్ద , z ).

అక్షాలకు ఈ వెక్టర్ యొక్క వంపు కోణాలను సూచిస్తాము ఓహ్, ఓహ్ మరియు ఓజ్ తదనుగుణంగా అక్షరాలు , మరియు.మూడు సంఖ్యలు కాస్, కాస్మరియు కాస్సాధారణంగా అంటారు వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్లు. నమ్మకం = (1; 0; 0 ) మేము (9) నుండి పొందుతాము

అలాగే

సూత్రాల నుండి (11) - (13) ఇది క్రింది విధంగా ఉంది:

1) కాస్ 2 +కాస్ 2 +కాస్ 2 = 1 ,

ఆ. ఏదైనా సున్నా కాని వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్‌ల చతురస్రాల మొత్తం ఒకదానికి సమానం;

ఆ.ఈ వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్‌లు దాని సంబంధిత అంచనాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.

గమనిక. సూత్రాల నుండి (11)-(13) కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై ఏదైనా యూనిట్ వెక్టర్ యొక్క ప్రొజెక్షన్‌లు వరుసగా దాని దిశ కొసైన్‌లతో సమానంగా ఉంటాయి మరియు అందువల్ల,

ఉదాహరణ. వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనండి (1; 2; 2). సూత్రాల ప్రకారం (11)-(13) మనకు ఉంది

4. రెండు వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తి మరియు దాని ప్రధాన లక్షణాలు.

నిర్వచనం. రెండు వెక్టర్స్ యొక్క క్రాస్ ప్రొడక్ట్మరియుకొత్త వెక్టర్ అంటారు, దీని మాడ్యులస్ వెక్టర్స్‌పై నిర్మించిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం మరియు సాధారణ మూలానికి తగ్గించబడుతుంది మరియు ఇది వెక్టర్స్ గుణించబడటానికి లంబంగా ఉంటుంది (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, విమానం యొక్క సమతలానికి లంబంగా ఉంటుంది. వాటిపై నిర్మించబడిన సమాంతర చతుర్భుజం) మరియు వెక్టార్ చివరి నుండి చూసినప్పుడు ఫలితంగా వెక్టర్ చుట్టూ అతి తక్కువ భ్రమణం అపసవ్యదిశలో సంభవించేలా కనిపించే దిశలో నిర్దేశించబడింది (Fig. 40).

వెక్టర్స్ కొల్లినియర్ అయితే, వాటి వెక్టర్ ఉత్పత్తి సున్నా వెక్టర్‌కు సమానంగా పరిగణించబడుతుంది. ఈ నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది

|| = || || పాపం

వెక్టర్స్ మధ్య కోణం ఎక్కడ ఉంది( 0 ) వెక్టర్స్ యొక్క క్రాస్ ప్రొడక్ట్ మరియు చిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది

x లేదా లేదా [,].

వెక్టర్ ఉత్పత్తి యొక్క భౌతిక అర్థాన్ని తెలుసుకుందాం. ఒక వెక్టర్ ప్రాతినిధ్యం వహిస్తే ఏదో ఒక సమయంలో వర్తించబడుతుంది కుమారిసిల్ట్, మరియు వెక్టర్ ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ నుండి వస్తుంది గురించిసరిగ్గా M,అప్పుడు వెక్టర్ = ఒక పాయింట్ గురించి శక్తి యొక్క క్షణం సూచిస్తుంది గురించి.

క్రాస్ ఉత్పత్తి యొక్క లక్షణాలు

1 . కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు, వెక్టర్ ఉత్పత్తి గుర్తును మారుస్తుంది, అనగా.

x = -(x).

()x=x()=(x),స్కేలార్ ఎక్కడ ఉంది.

3. వెక్టార్ ఉత్పత్తి పంపిణీ చట్టానికి లోబడి ఉంటుంది, అనగా.

4. రెండు వెక్టర్‌ల వెక్టార్ ఉత్పత్తి సున్నా వెక్టర్‌కి సమానం అయితే, గుణించిన వెక్టర్‌లలో కనీసం ఒకటి సున్నా వెక్టర్‌కి (ట్రివియల్ కేస్) సమానంగా ఉంటుంది లేదా వాటి మధ్య కోణం యొక్క సైన్ సున్నాకి సమానం, అనగా. వెక్టర్స్ కొలినియర్.

వెనుకకు, రెండు నాన్ జీరో వెక్టర్స్ కొల్లినియర్ అయితే, వాటి క్రాస్ ప్రొడక్ట్ సున్నా వెక్టర్‌కి సమానం.

ఈ విధంగా , రెండు నాన్-జీరో వెక్టార్‌లు కోలినియర్‌గా ఉండాలంటే, వాటి వెక్టర్ ఉత్పత్తి సున్నా వెక్టర్‌కి సమానం కావడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

ఇక్కడ నుండి, ప్రత్యేకించి, వెక్టర్ యొక్క వెక్టార్ ఉత్పత్తి సున్నా వెక్టర్‌కు సమానం:

x =0

(Xఅని కూడా పిలవబడుతుంది వెక్టర్ స్క్వేర్ వెక్టర్ .

5. మూడు వెక్టర్స్ మరియు దాని ప్రధాన లక్షణాల మిశ్రమ ఉత్పత్తి.

మూడు వెక్టర్స్, మరియు, ఇవ్వబడనివ్వండి. వెక్టార్‌ని వెక్టార్‌తో వెక్టోరియల్‌గా గుణించబడిందని మరియు ఫలితంగా వెక్టర్‌ను వెక్టర్‌తో స్కేలార్‌గా గుణించి, తద్వారా సంఖ్యను (x) నిర్ణయిస్తుందని ఊహించుదాం. దీనిని పిలుస్తారు లేదా మిశ్రమ పనిమూడు వెక్టర్స్, మరియు.

సంక్షిప్తత కోసం, మేము మిశ్రమ ఉత్పత్తి (x) లేదా ()ని సూచిస్తాము.

మిశ్రమ ఉత్పత్తి యొక్క రేఖాగణిత అర్థాన్ని తెలుసుకుందాం. పరిశీలనలో ఉన్న వెక్టర్‌లు నాన్-కోప్లానార్‌గా ఉండనివ్వండి. వెక్టర్స్‌పై మరియు అంచులపై సమాంతర పైప్‌ని నిర్మిస్తాం.

క్రాస్ ప్రొడక్ట్ x అనేది వెక్టార్ (=) సంఖ్యాపరంగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం OADB (నిర్మించిన సమాంతర పైప్డ్ యొక్క ఆధారం), సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క సమతలానికి లంబంగా దర్శకత్వం వహించిన వెక్టోరాచియాపై నిర్మించబడింది (Fig. 41).

స్కేలార్ ఉత్పత్తి (x) = వెక్టార్ యొక్క మాడ్యులస్ మరియు వెక్టర్ యొక్క ప్రొజెక్షన్ యొక్క ఉత్పత్తి (పేరా 1, (2) చూడండి).

నిర్మించిన సమాంతర పైప్డ్ యొక్క ఎత్తు ఈ ప్రొజెక్షన్ యొక్క సంపూర్ణ విలువ.

అందువలన, ఉత్పత్తి | |సంపూర్ణ విలువలో ఇది సమాంతర పైప్డ్ యొక్క బేస్ మరియు దాని ఎత్తు యొక్క ప్రాంతం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం, అనగా. వెక్టర్స్‌పై నిర్మించిన సమాంతర పైప్డ్ వాల్యూమ్, మరియు.

స్కేలార్ ఉత్పత్తి సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను ఇస్తుంది, కొన్నిసార్లు సానుకూలంగా మరియు కొన్నిసార్లు ప్రతికూల గుర్తుతో ఉంటుంది. వెక్టర్స్ మధ్య కోణం తీవ్రంగా ఉంటే సానుకూల సంకేతం పొందబడుతుంది; ప్రతికూల - స్టుపిడ్ ఉంటే. మధ్య తీవ్రమైన కోణంతో మరియు వెక్టార్ విమానం యొక్క ఒకే వైపున ఉంటుంది OADB , ఇది వెక్టర్ మరియు, కాబట్టి, వెక్టార్ చివరి నుండి, దాని నుండి భ్రమణం వెక్టర్ చివరి నుండి అదే విధంగా కనిపిస్తుంది, అనగా. సానుకూల దిశలో (సవ్యదిశలో).

వెక్టార్ మధ్య మందమైన కోణంలో విమానం యొక్క మరొక వైపున ఉంది OADB వెక్టర్ కంటే, అందువలన, వెక్టర్ చివరి నుండి, నుండి భ్రమణం ప్రతికూల దిశలో (సవ్యదిశలో) కనిపిస్తుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వెక్టర్స్ మరియు ప్రధాన ఆక్సిజ్‌తో అదే పేరుతో వ్యవస్థను ఏర్పరుచుకుంటే ఉత్పత్తి సానుకూలంగా ఉంటుంది (పరస్పరంగా ఆక్స్, ఓయ్, ఓజ్ అక్షాల మాదిరిగానే ఉంటుంది), మరియు వెక్టర్స్ వ్యవస్థను ఏర్పరుచుకుంటే అది ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ప్రధాన పేరు అదే పేరు.

ఈ విధంగా, మిశ్రమ ఉత్పత్తి ఒక సంఖ్య,దీని యొక్క సంపూర్ణ విలువ సమాంతర పైప్డ్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను వ్యక్తపరుస్తుంది,వెక్టర్స్ మీద నిర్మించబడింది,పక్కటెముకల మీద లాగా.

వెక్టర్స్ ,, ప్రధానమైన అదే పేరుతో వ్యవస్థను ఏర్పరుచుకుంటే ఉత్పత్తి యొక్క సంకేతం సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు లేకపోతే ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

మేము కారకాలను ఏ క్రమంలో తీసుకున్నా, ఉత్పత్తి యొక్క సంపూర్ణ విలువ =(x) అలాగే ఉంటుంది. సంకేతం విషయానికొస్తే, ఇది కొన్ని సందర్భాల్లో సానుకూలంగా ఉంటుంది, ఇతరులలో ప్రతికూలంగా ఉంటుంది; ఇది ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో తీసుకున్న మా మూడు వెక్టర్‌లు, ప్రధానమైన అదే పేరుతో వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయా లేదా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మా కోఆర్డినేట్ అక్షాలు ఉన్నాయని గమనించండి, తద్వారా అవి లోపలి వైపు చూసేటప్పుడు అపసవ్య దిశలో ఒకదానిని అనుసరిస్తాయి (Fig. 42). మేము రెండవ లేదా మూడవ అక్షం నుండి ట్రావర్సల్‌ను ప్రారంభించినట్లయితే క్రమం ఉల్లంఘించబడదు, అదే దిశలో చేసినంత కాలం, అనగా. అపసవ్య వారీగా. ఈ సందర్భంలో, కారకాలు వృత్తాకార పద్ధతిలో (చక్రీయంగా) పునర్వ్యవస్థీకరించబడతాయి. అందువలన, మేము ఈ క్రింది ఆస్తిని పొందుతాము:

మిశ్రమ ఉత్పత్తి దాని కారకాల యొక్క వృత్తాకార (చక్రీయ) పునర్వ్యవస్థీకరణతో మారదు. రెండు ప్రక్కనే ఉన్న కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం ఉత్పత్తి యొక్క చిహ్నాన్ని మారుస్తుంది

= ==-()=-()=-().

చివరగా, కింది ప్రకటన నేరుగా మిశ్రమ ఉత్పత్తి యొక్క రేఖాగణిత అర్థం నుండి అనుసరిస్తుంది.

వెక్టర్స్ యొక్క కోప్లానారిటీకి అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు,,వారి మిశ్రమ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం:

డెఫ్. 1.5.6 దిశ కొసైన్లువెక్టర్ ఎ ఈ వెక్టర్ ఆధార వెక్టర్‌లతో ఏర్పడే కోణాల కోసైన్‌లను వరుసగా పిలుద్దాం, i , జె , కె .

వెక్టార్ యొక్క దిశ కొసైన్లు ఎ = (X, వద్ద, z) సూత్రాల ద్వారా కనుగొనబడ్డాయి:

దిశ కొసైన్ల చతురస్రాల మొత్తం ఒకదానికి సమానం:

వెక్టార్ యొక్క దిశ కొసైన్లు a దాని యూనిట్ వెక్టర్ యొక్క అక్షాంశాలు: .

ప్రాతిపదిక వెక్టర్లను లెట్ i , జె , కె ఒక సాధారణ పాయింట్ నుండి వాయిదా వేయబడింది గురించి. orts గొడ్డలి యొక్క సానుకూల దిశలను పేర్కొంటాయని మేము ఊహిస్తాము ఓహ్, ఓయూ, ఓజ్. పాయింట్ సెట్ గురించి (మూలం) మరియు ఆర్థోనార్మల్ ఆధారంగా i , జె , కె అని పిలిచారు అంతరిక్షంలో కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్. వీలు ఎ- అంతరిక్షంలో ఏకపక్ష పాయింట్. వెక్టర్ ఎ = ఓ ఏ= x i + వై జె + z కె అని పిలిచారు వ్యాసార్థం వెక్టర్పాయింట్లు ఎ, ఈ వెక్టర్ యొక్క అక్షాంశాలు ( x, వై, z) పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు అని కూడా అంటారు ఎ(హోదా: ఎ(x, వై, z)). కోఆర్డినేట్ అక్షాలు ఓహ్, ఓయూ, ఓజ్వరుసగా, అక్షం అని కూడా పిలుస్తారు అబ్సిస్సా, అక్షం ఆర్డినేట్, అక్షం దరఖాస్తు.

వెక్టార్ దాని ప్రారంభ స్థానం యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా అందించబడితే IN 1 (x 1 , వై 1 , z 1) మరియు ముగింపు పాయింట్ IN 2 (x 2 , వై 2 , z 2), అప్పుడు వెక్టర్ యొక్క అక్షాంశాలు ముగింపు మరియు ప్రారంభం యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానంగా ఉంటాయి: (నుండి ).

విమానంలో మరియు రేఖపై కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార సమన్వయ వ్యవస్థలుసంబంధిత పరిమాణాత్మక (పరిమాణానికి అనుగుణంగా) మార్పులతో సరిగ్గా అదే విధంగా నిర్ణయించబడతాయి.

సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించడం.

ఉదాహరణ 1.వెక్టర్ యొక్క పొడవు మరియు దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనండి ఎ = 6i – 2జె -3కె .

పరిష్కారం.వెక్టర్ పొడవు: . దిశ కొసైన్‌లు: .

ఉదాహరణ 2.వెక్టర్ కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి ఎ , కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో సమానమైన తీవ్రమైన కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది, ఈ వెక్టర్ యొక్క పొడవు సమానంగా ఉంటే.

పరిష్కారం.నుండి , సూత్రం (1.6) లోకి ప్రత్యామ్నాయం, మేము పొందుతాము . వెక్టర్ ఎ కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో తీవ్రమైన కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది, కాబట్టి ort . అందువలన, మేము వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్లను కనుగొంటాము .

ఉదాహరణ 3.మూడు నాన్-కోప్లానార్ వెక్టర్స్ ఇవ్వబడ్డాయి ఇ 1 = 2i – కె , ఇ 2 = 3i + 3జె , ఇ 3 = 2i + 3కె . వెక్టార్‌ని విస్తరించండి డి = i + 5జె - 2కె ఆధారంగా ఇ 1 , ఇ 2 , ఇ 3 .

ఆస్తి:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

బి) సరళ కార్యకలాపాల నిర్వచనం

రెండు నాన్-కాలినియర్ వెక్టర్స్ మొత్తం ఈ వెక్టర్స్‌పై నిర్మించిన సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణంతో పాటు వెక్టర్స్ యొక్క సాధారణ మూలం నుండి వచ్చే వెక్టర్.

వెక్టార్ వ్యత్యాసం అనేది వెక్టర్ మరియు వెక్టార్‌కి ఎదురుగా ఉన్న వెక్టర్ మొత్తం: . వెక్టర్స్ యొక్క ప్రారంభాలను కనెక్ట్ చేద్దాం మరియు , అప్పుడు వెక్టర్ వెక్టర్ చివరి నుండి వెక్టర్ చివరి వరకు నిర్దేశించబడుతుంది.

పని సంఖ్య ద్వారా వెక్టార్‌ని మాడ్యులస్‌తో వెక్టర్ అంటారు, మరియు వద్ద మరియు వద్ద. జ్యామితీయంగా, సంఖ్య ద్వారా గుణించడం అంటే వెక్టర్‌ను ఒక కారకం ద్వారా “సాగదీయడం”, వద్ద దిశను నిర్వహించడం మరియు వద్ద వ్యతిరేక స్థితికి మార్చడం.

వెక్టర్‌లను జోడించడం మరియు వాటిని సంఖ్యతో గుణించడం కోసం పై నియమాల నుండి, స్పష్టమైన ప్రకటనలు అనుసరించబడతాయి:

1. (అదనంగా పరివర్తన);

2. (అదనపు అనుబంధం);

3. (సున్నా వెక్టర్ ఉనికి);

4. (వ్యతిరేక వెక్టర్ ఉనికి);

5. (అదనపు అనుబంధం);

6. (సంఖ్య ద్వారా గుణించడం అనేది పంపిణీ);

7. (వెక్టర్ జోడింపు డిస్ట్రిబ్యూటివ్);

సి) స్కేలార్ ఉత్పత్తి మరియు దాని ప్రాథమిక లక్షణాలు

డాట్ ఉత్పత్తిరెండు నాన్-జీరో వెక్టర్స్ అనేది ఈ వెక్టర్స్ యొక్క పొడవు మరియు వాటి మధ్య ఉన్న కోణం యొక్క కొసైన్ యొక్క ఉత్పత్తికి సమానమైన సంఖ్య. రెండు వెక్టార్లలో కనీసం ఒకటి సున్నా అయితే, వాటి మధ్య కోణం నిర్వచించబడదు మరియు స్కేలార్ ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానంగా పరిగణించబడుతుంది. వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి మరియు సూచించబడుతుంది

, వెక్టర్స్ యొక్క పొడవు ఎక్కడ మరియు వరుసగా ఉంటాయి మరియు వెక్టర్స్ మధ్య కోణం మరియు .

వెక్టార్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తిని స్కేలార్ స్క్వేర్ అంటారు.

స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క లక్షణాలు.

ఏదైనా వెక్టర్స్ కోసం మరియు కిందివి నిజం: డాట్ ఉత్పత్తి యొక్క లక్షణాలు:

స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క కమ్యుటేటివ్ ప్రాపర్టీ;

పంపిణీ ఆస్తి లేదా ;

అనుబంధ ఆస్తి లేదా , ఒక ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది;

వెక్టార్ యొక్క స్కేలార్ స్క్వేర్ ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండదు మరియు వెక్టర్ సున్నా అయితే మాత్రమే.

డి) వెక్టర్ ఉత్పత్తి మరియు దాని లక్షణాలు

వెక్టర్ ఉత్పత్తివెక్టర్ a నుండి వెక్టర్ b వరకు వెక్టర్ c అని పిలుస్తారు, దీని పొడవు సంఖ్యాపరంగా వెక్టర్స్ a మరియు b లపై నిర్మించిన సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఈ వెక్టర్స్ యొక్క సమతలానికి లంబంగా మరియు a నుండి అతి చిన్న భ్రమణానికి దర్శకత్వం వహించబడుతుంది. b ఎండ్ వెక్టర్ c నుండి చూసినప్పుడు వెక్టర్ c చుట్టూ అపసవ్య దిశలో ఉంటుంది

వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తిని లెక్కించడానికి సూత్రాలు

వెక్టర్ కళాకృతికార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో రెండు వెక్టర్స్ a = (a x; a y; a z) మరియు b = (b x; b y; b z) అనేది వెక్టర్, దీని విలువను క్రింది సూత్రాలను ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

• రెండు నాన్-జీరో వెక్టర్స్ a మరియు b యొక్క క్రాస్ ప్రొడక్ట్ సున్నాకి సమానం మరియు వెక్టర్స్ కొలినియర్ అయితే మాత్రమే.
• వెక్టర్ సి, సున్నా కాని వెక్టర్స్ a మరియు b యొక్క క్రాస్ ప్రోడక్ట్‌కు సమానం, ఈ వెక్టర్‌లకు లంబంగా ఉంటుంది.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

ఒక విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

ఎ) కోణ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం

సరళ రేఖ యొక్క వాలుఈ రేఖ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్ అంటారు.

సరళ రేఖ యొక్క వాలు సాధారణంగా అక్షరంతో సూచించబడుతుంది కె. అప్పుడు నిర్వచనం ప్రకారం.

సరళ రేఖ ఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు వాలు ఉనికిలో ఉండదు (ఈ సందర్భంలో వాలు అనంతానికి వెళుతుందని కూడా చెప్పబడింది).

పంక్తి యొక్క సానుకూల వాలు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో పెరుగుదలను సూచిస్తుంది, ప్రతికూల వాలు తగ్గుదలని సూచిస్తుంది. కోణీయ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం y=kx+b రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ k అనేది రేఖ యొక్క కోణీయ గుణకం, b అనేది కొంత వాస్తవ సంఖ్య. కోణీయ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, మీరు Oy అక్షానికి సమాంతరంగా లేని ఏదైనా సరళ రేఖను పేర్కొనవచ్చు (ఆర్డినేట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖకు, కోణీయ గుణకం నిర్వచించబడలేదు).

బి) సరళ రేఖ సమీకరణాల రకాలు

సమీకరణం అని పిలిచారు లైన్ యొక్క సాధారణ సమీకరణంఉపరితలంపై.

రెండు వేరియబుల్స్‌లో ఏదైనా మొదటి డిగ్రీ సమీకరణం xమరియు వైరకం , ఎక్కడ ఎ, INమరియు తో- కొన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు, మరియు ఎమరియు INఒకే సమయంలో సున్నాకి సమానం కాదు, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది ఆక్సివిమానంలో, మరియు విమానంలోని ప్రతి పంక్తి రూపం యొక్క సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది .

ఫారమ్ యొక్క పంక్తి సమీకరణం , ఎక్కడ aమరియు బి- సున్నా కాకుండా కొన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం. ఈ పేరు ప్రమాదవశాత్తు కాదు, ఎందుకంటే సంఖ్యల సంపూర్ణ విలువలు ఎమరియు బికోఆర్డినేట్ అక్షాలపై సరళ రేఖ కత్తిరించే విభాగాల పొడవుకు సమానం ఎద్దుమరియు ఓయ్వరుసగా (విభాగాలు మూలం నుండి లెక్కించబడతాయి).

ఫారమ్ యొక్క పంక్తి సమీకరణం , ఎక్కడ xమరియు వై- వేరియబుల్స్, మరియు కెమరియు బి- కొన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు వాలుతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం (కె- వాలు)

విమానంలో ఒక రేఖ యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణందీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఆక్సికనిపిస్తోంది , ఎక్కడ మరియు కొన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు, మరియు అదే సమయంలో అవి సున్నాకి సమానంగా ఉండవు.

సహజంగానే, లైన్ యొక్క కానానికల్ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన సరళ రేఖ పాయింట్ గుండా వెళుతుంది. ప్రతిగా, సంఖ్యలు మరియు భిన్నాల హారం ఈ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను సూచిస్తాయి. అందువలన, లైన్ యొక్క కానానికల్ సమీకరణం దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థలో ఆక్సివిమానంలో ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు దిశ వెక్టర్ ఉంటుంది.

విమానంలో ఒక రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలువంటి చూడండి , ఎక్కడ మరియు కొన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు, మరియు అదే సమయంలో సున్నాకి సమానంగా ఉండవు మరియు ఏదైనా వాస్తవ విలువలను తీసుకునే పరామితి.

పారామెట్రిక్ లైన్ సమీకరణాలు పరామితిని ఉపయోగించి సరళ రేఖపై ఉన్న పాయింట్ల అబ్సిసాస్ మరియు ఆర్డినేట్‌ల మధ్య అవ్యక్త సంబంధాన్ని ఏర్పరుస్తాయి (అందుకే ఈ రకమైన రేఖ సమీకరణం పేరు).

పరామితి యొక్క కొంత వాస్తవ విలువ కోసం ఒక పంక్తి యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాల నుండి లెక్కించబడిన ఒక జత సంఖ్యలు రేఖపై ఒక నిర్దిష్ట బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను సూచిస్తాయి. ఉదాహరణకు, మనకు ఉన్నప్పుడు , అంటే, కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన పాయింట్ సరళ రేఖపై ఉంటుంది.

సరళ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలలోని గుణకాలు మరియు పరామితి కోసం ఈ సరళ రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అని గమనించాలి.

రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం

M 1 (x 1, y 1, z 1) మరియు M 2 (x 2, y 2, z 2) అనే రెండు పాయింట్లను స్పేస్‌లో ఇవ్వనివ్వండి, అప్పుడు ఈ పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం:

ఏదైనా హారం సున్నాకి సమానమైతే, సంబంధిత లవం సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. విమానంలో, పైన వ్రాసిన పంక్తి యొక్క సమీకరణం సరళీకృతం చేయబడింది:

x 1 ≠ x 2 మరియు x = x 1 అయితే, x 1 = x 2.

భిన్నం = k అంటారు వాలునేరుగా.

సి) రెండు సరళ రేఖల మధ్య కోణాన్ని లెక్కించడం

రెండు పంక్తులు y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 ఇచ్చినట్లయితే, ఈ పంక్తుల మధ్య తీవ్రమైన కోణం ఇలా నిర్వచించబడుతుంది

.

k 1 = k 2 అయితే రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. k 1 = -1/ k 2 అయితే రెండు పంక్తులు లంబంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం. A 1 = λA, B 1 = λB గుణకాలు అనుపాతంలో ఉన్నప్పుడు Ax + Bу + C = 0 మరియు A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. C 1 = λC అయితే, పంక్తులు సమానంగా ఉంటాయి. రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు ఈ రేఖల సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారంగా కనుగొనబడ్డాయి.

D) రెండు సరళ రేఖల సమాంతరత మరియు లంబంగా ఉండే పరిస్థితులు

రెండు పంక్తుల సమాంతరత కోసం షరతులు:

a) కోణీయ గుణకంతో సమీకరణాల ద్వారా పంక్తులు ఇవ్వబడితే, వాటి సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు వాటి కోణీయ గుణకాల సమానత్వం:

కె 1 = కె 2 .

బి) సాధారణ రూపంలో (6) సమీకరణాల ద్వారా పంక్తులు ఇవ్వబడిన సందర్భంలో, వాటి సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు ఏమిటంటే, వాటి సమీకరణాలలో సంబంధిత ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్‌ల గుణకాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి, అనగా.

రెండు సరళ రేఖల లంబంగా ఉండే షరతులు:

ఎ) కోణీయ గుణకంతో (4) సమీకరణాల ద్వారా పంక్తులు ఇచ్చిన సందర్భంలో, వాటి లంబంగా ఉండటానికి అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు ఏమిటంటే, వాటి కోణీయ గుణకాలు పరిమాణంలో విలోమం మరియు సంకేతంలో విరుద్ధంగా ఉంటాయి, అనగా.

ఈ పరిస్థితిని రూపంలో కూడా వ్రాయవచ్చు

కె 1 కె 2 = -1.

బి) పంక్తుల సమీకరణాలు సాధారణ రూపంలో ఇవ్వబడితే (6), అప్పుడు వాటి లంబంగా (అవసరం మరియు తగినంత) కోసం షరతు సమానత్వాన్ని సంతృప్తిపరచడం.

ఎ 1 ఎ 2 + బి 1 బి 2 = 0.

ఫంక్షన్ పరిమితి

ఎ) సీక్వెన్స్ పరిమితి

పరిమితి అనే భావనను 17వ శతాబ్దపు రెండవ భాగంలో న్యూటన్ మరియు 18వ శతాబ్దానికి చెందిన ఆయిలర్ మరియు లాగ్రాంజ్ వంటి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఉపయోగించారు, అయితే వారు పరిమితిని అకారణంగా అర్థం చేసుకున్నారు. క్రమ పరిమితి యొక్క మొదటి కఠినమైన నిర్వచనాలను 1816లో బోల్జానో మరియు 1821లో కౌచీ అందించారు.

నంబర్ అంటారు సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి, శ్రేణి అనంతంగా ఉంటే, అంటే దానిలోని అన్ని మూలకాలు, నిర్దిష్టమైన దాని నుండి మొదలై, సంపూర్ణ విలువలో ముందుగా నిర్ణయించిన ధన సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటాయి.

ఒక సంఖ్యా క్రమం వాస్తవ సంఖ్య రూపంలో పరిమితిని కలిగి ఉంటే, దానిని అంటారు కలుస్తాయి ఈ సంఖ్యకు. లేకపోతే, క్రమం అంటారు భిన్న . ఒకవేళ, అది అపరిమితంగా ఉంటే, దాని పరిమితి అనంతానికి సమానం అని భావించబడుతుంది.

అదనంగా, ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య నుండి ప్రారంభించి, అపరిమిత శ్రేణిలోని అన్ని మూలకాలు సానుకూల సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటే, అటువంటి క్రమం యొక్క పరిమితి ఇలా చెప్పబడుతుంది. ప్లస్ అనంతం .

ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య నుండి ప్రారంభమయ్యే అపరిమిత శ్రేణి యొక్క మూలకాలు ప్రతికూల సంకేతాన్ని కలిగి ఉంటే, అటువంటి శ్రేణి యొక్క పరిమితి దీనికి సమానం అని వారు చెప్పారు. మైనస్ అనంతం .

బి) ఫంక్షన్ పరిమితి

ఫంక్షన్ పరిమితి (ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి విలువ) ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు పరిమితం చేయడం, దాని ఆర్గ్యుమెంట్ ఇచ్చిన పాయింట్‌కి మొగ్గు చూపుతున్నందున, పరిశీలనలో ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క విలువకు విలువ ఉంటుంది.

ఫంక్షన్ పరిమితిసీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క భావన యొక్క సాధారణీకరణ: ప్రారంభంలో, ఒక పాయింట్ వద్ద ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని పాయింట్ల చిత్రాలతో కూడిన ఫంక్షన్ యొక్క విలువల డొమైన్ మూలకాల యొక్క పరిమితిగా అర్థం చేసుకోబడింది. ఇచ్చిన బిందువుకు (పరిగణింపబడే పరిమితి) ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మూలకాల క్రమం; అటువంటి పరిమితి ఉన్నట్లయితే, ఫంక్షన్ పేర్కొన్న విలువకు కలుస్తుంది; అటువంటి పరిమితి లేనట్లయితే, ఫంక్షన్ వేరుగా ఉంటుంది.

ఫంక్షన్ పరిమితి- గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి. విలువ అంటారు పరిమితి (పరిమితి విలువ) ఒక పాయింట్ వద్ద ఏదైనా పాయింట్ల శ్రేణికి కలుస్తున్నప్పుడు కానీ దాని మూలకాలలో ఒకదానిని కలిగి ఉండకపోతే (అంటే, పంక్చర్ చేయబడిన పరిసరాల్లో), ఫంక్షన్ యొక్క విలువల క్రమం కలుస్తుంది.

విలువ అంటారు పరిమితి (పరిమితి విలువ) ముందుగా తీసుకున్న ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్యకు సంబంధిత ధనాత్మక సంఖ్య ఉన్నట్లయితే, పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచే అన్ని వాదనల కోసం అసమానత సంతృప్తి చెందుతుంది.

సి) రెండు విశేషమైన పరిమితులు

· మొదటి విశేషమైన పరిమితి:

పరిణామాలు

·

·

·

· రెండవ గొప్ప పరిమితి:

పరిణామాలు

1.

2.

3.

4.

5. కోసం,

6.

D) అనంతమైన మరియు అనంతమైన పెద్ద విధులు

ఫంక్షన్ y=f(x)అని పిలిచారు అనంతమైనవద్ద x→aలేదా ఎప్పుడు x→∞, అయితే లేదా , అనగా. ఒక ఇన్ఫినిటీసిమల్ ఫంక్షన్ అనేది ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద పరిమితి సున్నాగా ఉండే ఫంక్షన్.

ఫంక్షన్ అయితే y=f(x)తో ప్రాతినిధ్యం వహించవచ్చు x→aస్థిరమైన సంఖ్య మొత్తంగా బిమరియు అనంతమైన పరిమాణం α(x): f (x)=b+ α(x)అని .

దీనికి విరుద్ధంగా, అయితే, అప్పుడు f (x)=b+α(x), ఎక్కడ a(x)- వద్ద అనంతం x→a.

పరిణామం 1.ఉంటే మరియు, అప్పుడు.

పరిణామం 2.ఉంటే c= const, అప్పుడు .

ఫంక్షన్ అయితే f(x)వద్ద అనంతంగా పెద్దది x→a, తర్వాత ఫంక్షన్ 1 /f(x)వద్ద అనంతమైనది x→a.

ఫంక్షన్ అయితే f(x)- వద్ద అనంతం x→a(లేదా x→∞)మరియు అదృశ్యం కాదు, అప్పుడు y= 1/f(x)అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్. అనంతమైన చిన్న మరియు అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ల యొక్క సరళమైన లక్షణాలను క్రింది షరతులతో కూడిన సంబంధాలను ఉపయోగించి వ్రాయవచ్చు: ఎ≠ 0

డి) అనిశ్చితుల వెల్లడి. L'Hopital యొక్క నియమం

అనిశ్చితి యొక్క ప్రధాన రకాలు: సున్నాను సున్నాతో విభజించారు ( 0 నుండి 0), అనంతం అనంతంతో భాగించబడింది, సున్నా అనంతంతో గుణించబడుతుంది, అనంతం మైనస్ అనంతం, ఒకటి అనంతం యొక్క శక్తికి, సున్నాకి సున్నా యొక్క శక్తికి, అనంతం సున్నా యొక్క శక్తికి.

L'Hopital యొక్క నియమంకోసం చాలా విస్తృతంగా ఉపయోగిస్తారు పరిమితి లెక్కలుసున్నా రూపంలో అనిశ్చితి ఉన్నప్పుడు సున్నాతో భాగించబడుతుంది, అనంతం అనంతంతో భాగించబడుతుంది.

ఈ రకమైన అనిశ్చితిలో అనిశ్చితులు సున్నా సార్లు అనంతం మరియు అనంతం మైనస్ అనంతం ఉంటాయి.

విధులు ఉంటే మరియు ఉంటే f(x)మరియు g(x)పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతంలో తేడా ఉంటుంది , అప్పుడు

L'Hopital నియమాన్ని వర్తింపజేసిన తర్వాత అనిశ్చితి అదృశ్యం కానట్లయితే, అది మళ్లీ వర్తించవచ్చు.

ఉత్పన్నాల గణన

ఎ) సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడానికి నియమం

అలా ఉండనివ్వండి క్లిష్టమైన ఫంక్షన్ , ఇక్కడ ఫంక్షన్ అనేది ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్. కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని ఎలా కనుగొనాలో మేము చూపుతాము, ఫంక్షన్ కోసం ఉత్పన్నం (మేము దానిని సూచిస్తాము) మరియు ఫంక్షన్ కోసం ఉత్పన్నం తెలుసుకోవడం.

సిద్ధాంతం 1. ఒక ఫంక్షన్ ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం కలిగి ఉంటే x, మరియు ఫంక్షన్ పాయింట్ వద్ద ఒక ఉత్పన్నం (), ఆపై పాయింట్ వద్ద సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ xఒక ఉత్పన్నం ఉంది, మరియు = .

లేకపోతే, కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క డెరివేటివ్‌కు సంబంధించి ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

B) పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క భేదం

ఫంక్షన్ పారామెట్రిక్ రూపంలో ఇవ్వబడనివ్వండి, అంటే రూపంలో:

ఇక్కడ విధులు మరియు నిర్వచించబడతాయి మరియు పరామితి యొక్క వైవిధ్యం యొక్క నిర్దిష్ట వ్యవధిలో నిరంతరంగా ఉంటాయి. ప్రతి సమానత్వం యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపుల భేదాలను కనుగొనండి:

రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, మేము ఈ క్రింది పరివర్తనలను చేస్తాము:

బి) ఒక ఫంక్షన్ యొక్క సంవర్గమాన ఉత్పన్నం యొక్క భావన

సానుకూల ఫంక్షన్ యొక్క లాగరిథమిక్ ఉత్పన్నాన్ని దాని ఉత్పన్నం అంటారు. నుండి , సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క భేదం యొక్క నియమం ప్రకారం మేము లాగరిథమిక్ ఉత్పన్నం కోసం క్రింది సంబంధాన్ని పొందుతాము:

.

లాగరిథమిక్ డెరివేటివ్‌ని ఉపయోగించి సంవర్గమానం ఫంక్షన్ యొక్క రూపాన్ని సులభతరం చేసే సందర్భాలలో సాధారణ ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

ఈ భేదం యొక్క సారాంశం క్రింది విధంగా ఉంది: మొదట, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క సంవర్గమానం కనుగొనబడుతుంది మరియు అప్పుడు మాత్రమే దాని ఉత్పన్నం లెక్కించబడుతుంది. కొంత ఫంక్షన్ ఇవ్వనివ్వండి. ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపుల లాగరిథమ్‌లను తీసుకుందాం:

ఆపై, కావలసిన ఉత్పన్నాన్ని వ్యక్తీకరించడం, ఫలితం:

డి) విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

y=f(x) మరియు x=g(y) పరస్పర విలోమ ఫంక్షన్‌ల జత అయితే, మరియు y=f(x) ఫంక్షన్‌కు f"(x) ఉత్పన్నం ఉంటే, అప్పుడు విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం g"( x)=1/f" (x).

అందువలన, పరస్పర విలోమ ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలు పరస్పర పరిమాణాలు. విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం ఫార్ములా:

D) అవ్యక్త ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ సమీకరణం ద్వారా వివరించబడితే వై=f(x), ఇక్కడ వేరియబుల్ వైఎడమ వైపున ఉంది, మరియు కుడి వైపు వాదనపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది x, అప్పుడు ఫంక్షన్ ఇచ్చినట్లు చెప్పారు స్పష్టంగా. ఉదాహరణకు, కింది విధులు స్పష్టంగా పేర్కొనబడ్డాయి:

వై= పాపం x,వై=x 2+2x+5,వై= lncos x.

అయితే అనేక సమస్యలలో, ఫంక్షన్‌ను పేర్కొనవచ్చు పరోక్షంగా, అనగా సమీకరణంగా

ఎఫ్(x,వై)=0.

ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి వై′( x) పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్‌ను స్పష్టమైన రూపంలోకి మార్చాల్సిన అవసరం లేదు. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణాన్ని తెలుసుకోవడం ఎఫ్(x,వై)=0, కింది వాటిని చేయండి:

మొదట మీరు వేరియబుల్‌కు సంబంధించి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా వేరు చేయాలి x, అని ఊహిస్తూ వై− అనేది డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్ xమరియు సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడానికి నియమాన్ని ఉపయోగించడం. ఈ సందర్భంలో, సున్నా యొక్క ఉత్పన్నం (కుడి వైపున) కూడా సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది.
వ్యాఖ్య: కుడివైపు సున్నా కానిది అయితే, అనగా. అవ్యక్త సమీకరణం

f(x,వై)=g(x,వై),

అప్పుడు మేము సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను వేరు చేస్తాము.

ఉత్పన్నం కోసం ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి వై′( x).

ఉత్పన్నం యొక్క భావన

ఎ) ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం భేదం అనుసంధానం.

వై xx

ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం

ఫంక్షన్ పరిగణించండి f(x x 0. అప్పుడు ఫంక్షన్ f(x) ఉంది భిన్నమైనదిపాయింట్ వద్ద x 0, మరియు ఆమె ఉత్పన్నంసూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

f′( x 0)=limΔ x→0Δ వైΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నంఅనేది గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి, మరియు గణిత విశ్లేషణలో ఉత్పన్నం, సమగ్రతతో పాటు, ఒక ప్రధాన స్థానాన్ని ఆక్రమిస్తుంది. ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే ప్రక్రియ అంటారు భేదం. విలోమ ఆపరేషన్ - తెలిసిన ఉత్పన్నం నుండి ఫంక్షన్‌ను పునరుద్ధరించడం - అంటారు అనుసంధానం.

ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఆ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటును వర్ణిస్తుంది. ఫంక్షన్ Δలో మార్పు యొక్క నిష్పత్తిని లెక్కించడం ద్వారా మార్పు రేటు యొక్క అంచనాను పొందవచ్చు వైవాదనలో సంబంధిత మార్పుకు Δ x. ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనంలో, అటువంటి సంబంధం షరతు Δ క్రింద పరిమితిలో పరిగణించబడుతుంది x→0. మరింత కఠినమైన సూత్రీకరణకు వెళ్దాం:

ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం

ఫంక్షన్ పరిగణించండి f(x), దీని డొమైన్ పాయింట్ చుట్టూ కొంత ఓపెన్ ఇంటర్వెల్‌ను కలిగి ఉంటుంది x 0. అప్పుడు ఫంక్షన్ f(x) ఉంది భిన్నమైనదిపాయింట్ వద్ద x 0, మరియు ఆమె ఉత్పన్నంసూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

f′( x 0)=limΔ x→0Δ వైΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

బి) ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం, ఇచ్చిన విలువ కోసం లెక్కించబడుతుంది, ఇది అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సమానం మరియు అబ్సిస్సాతో పాయింట్ వద్ద ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు గీసిన టాంజెంట్ యొక్క సానుకూల దిశ:

ఒక ఫంక్షన్ ఒక పాయింట్ వద్ద పరిమిత ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటే, పొరుగున అది సరళ ఫంక్షన్ ద్వారా అంచనా వేయబడుతుంది.

ఫంక్షన్‌ను పాయింట్ నంబర్ వద్ద టాంజెంట్ అంటారు.

D) సరళమైన ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల పట్టిక

వెక్టార్ యొక్క దిశ కొసైన్లు.

వెక్టార్ యొక్క దిశ కొసైన్లు aకోఆర్డినేట్‌ల ధనాత్మక సెమీ-యాక్సెస్‌తో వెక్టర్ ఏర్పడే కోణాల కోసైన్‌లు.

వెక్టర్ a యొక్క దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనడానికి, వెక్టర్ యొక్క సంపూర్ణ విలువతో వెక్టర్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్‌లను విభజించడం అవసరం.

ఆస్తి:దిశ కొసైన్‌ల చతురస్రాల మొత్తం ఒకదానికి సమానం.

కాబట్టి విమానం సమస్య విషయంలోవెక్టార్ a = (గొడ్డలి; ay) యొక్క దిశ కొసైన్‌లు సూత్రాల ద్వారా కనుగొనబడతాయి:

వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్‌లను లెక్కించడానికి ఒక ఉదాహరణ:

వెక్టర్ a = (3; 4) యొక్క దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: |a| =

కాబట్టి లోపలికి ప్రాదేశిక సమస్య కేసువెక్టార్ a = (ax; ay; az) యొక్క దిశ కొసైన్‌లు సూత్రాల ద్వారా కనుగొనబడతాయి:

వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్‌లను లెక్కించడానికి ఒక ఉదాహరణ

వెక్టార్ a = (2; 4; 4) యొక్క దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: |a| =

కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో వెక్టర్ ఏర్పడే కోణాల ద్వారా అంతరిక్షంలో వెక్టర్ యొక్క దిశ నిర్ణయించబడుతుంది (Fig. 12). ఈ కోణాల కొసైన్‌లు అంటారు వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్లు: , , . అంచనాల లక్షణాల నుండి :, , . అందుకే, దానిని చూపించడం సులభం 2) ఏదైనా యూనిట్ వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు దాని దిశ కొసైన్‌లతో సమానంగా ఉంటాయి: .

"వెక్టార్ యొక్క దిశ కొసైన్‌లను ఎలా కనుగొనాలి"

కోఆర్డినేట్ అక్షాల సానుకూల దిశతో వెక్టర్ a ద్వారా ఏర్పడిన కోణాలను ఆల్ఫా, బీటా మరియు గామా ద్వారా సూచించండి (Fig. 1 చూడండి). ఈ కోణాల కొసైన్‌లను వెక్టర్ a యొక్క దిశ కొసైన్‌లు అంటారు.

కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని కోఆర్డినేట్‌లు కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై వెక్టర్ యొక్క ప్రొజెక్షన్‌లకు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి, అప్పుడు a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (గామా). అందుకే: cos (alpha)=a1||a|, cos(beta) =a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. ఈ సందర్భంలో |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). కాబట్టి cos (alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

ఇది దిశ కొసైన్ల యొక్క ప్రధాన ఆస్తిని గమనించాలి. వెక్టార్ యొక్క దిశ కొసైన్‌ల చతురస్రాల మొత్తం ఒకదానికి సమానం. నిజానికి, cos^2(alpha)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

మొదటి మార్గం

ఉదాహరణ: ఇవ్వబడింది: వెక్టర్ a=(1, 3, 5). దాని దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనండి. పరిష్కారం. మేము కనుగొన్న దానికి అనుగుణంగా, మేము ఇలా వ్రాస్తాము: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. అందువలన, సమాధానాన్ని క్రింది రూపంలో వ్రాయవచ్చు: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0.16;0.5;0.84).

రెండవ మార్గం

వెక్టర్ a యొక్క దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనేటప్పుడు, మీరు స్కేలార్ ఉత్పత్తిని ఉపయోగించి కోణాల కొసైన్‌లను నిర్ణయించే సాంకేతికతను ఉపయోగించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, దీర్ఘచతురస్రాకార కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్‌ల i, j మరియు k యొక్క దిశ యూనిట్ వెక్టర్స్ మధ్య కోణాలను మేము సూచిస్తాము. వాటి అక్షాంశాలు వరుసగా (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి క్రింది విధంగా నిర్వచించబడిందని గుర్తుంచుకోవాలి.

వెక్టర్స్ మధ్య కోణం φ అయితే, రెండు విండ్‌ల స్కేలార్ ఉత్పత్తి (నిర్వచనం ప్రకారం) వెక్టర్స్ మరియు cosφ యొక్క మాడ్యులీల ఉత్పత్తికి సమానమైన సంఖ్య. (a, b) = |a||b|cos f. అప్పుడు, b=i అయితే, (a, i) = |a||i|cos(alpha), లేదా a1 = |a|cos(alpha). ఇంకా, అన్ని చర్యలు j మరియు k కోఆర్డినేట్‌లను పరిగణనలోకి తీసుకొని పద్ధతి 1 వలె నిర్వహించబడతాయి.

నిర్వచనం

వెక్టర్ఆర్డర్ చేయబడిన జత పాయింట్లు అని పిలుస్తారు మరియు (అంటే, ఈ జతలోని పాయింట్లలో ఏది మొదటిదో ఖచ్చితంగా తెలుస్తుంది).

మొదటి పాయింట్ అంటారు వెక్టర్ యొక్క ప్రారంభం, మరియు రెండవది అతనిది ముగింపు.

వెక్టర్ ప్రారంభం మరియు ముగింపు మధ్య దూరాన్ని అంటారు పొడవులేదా వెక్టర్ మాడ్యూల్.

ప్రారంభం మరియు ముగింపు సమానంగా ఉండే వెక్టర్ అంటారు సున్నామరియు దీనిచే సూచించబడుతుంది; దాని పొడవు సున్నాగా పరిగణించబడుతుంది. లేకపోతే, వెక్టర్ యొక్క పొడవు సానుకూలంగా ఉంటే, దానిని అంటారు సున్నా కాని.

వ్యాఖ్య. వెక్టార్ యొక్క పొడవు ఒకదానికి సమానంగా ఉంటే, దానిని అంటారు ortomలేదా యూనిట్ వెక్టర్మరియు నియమించబడినది.

ఉదాహరణ

వ్యాయామం	వెక్టర్ ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి సింగిల్.
పరిష్కారం	ఇచ్చిన వెక్టర్ యొక్క పొడవును గణిద్దాం, ఇది కోఆర్డినేట్‌ల స్క్వేర్‌ల మొత్తానికి వర్గమూలానికి సమానం: వెక్టార్ యొక్క పొడవు ఒకదానికి సమానం కాబట్టి, వెక్టార్ ఒక ఆర్థ్ అని అర్థం.
సమాధానం	యూనిట్ వెక్టర్.

నాన్ జీరో వెక్టార్‌ని నిర్దేశిత విభాగంగా కూడా నిర్వచించవచ్చు.

వ్యాఖ్య. సున్నా వెక్టార్ యొక్క దిశ నిర్వచించబడలేదు.

వెక్టార్ యొక్క దిశ కొసైన్లు

నిర్వచనం

దిశ కొసైన్లుఒక నిర్దిష్ట వెక్టార్‌ను కోఆర్డినేట్ అక్షాల సానుకూల దిశలతో వెక్టర్ ఏర్పరుచుకునే కోణాల కోసైన్‌లు అంటారు.

వ్యాఖ్య. వెక్టర్ యొక్క దిశ దాని దిశ కొసైన్‌ల ద్వారా ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడుతుంది.

వెక్టర్ యొక్క దిశ కొసైన్‌లను కనుగొనడానికి, వెక్టర్‌ను సాధారణీకరించడం అవసరం (అనగా, వెక్టర్‌ను దాని పొడవుతో విభజించండి):

వ్యాఖ్య. యూనిట్ వెక్టార్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు దాని దిశ కొసైన్‌లకు సమానంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం

(దిశ కోసైన్ల ఆస్తి). దిశ కొసైన్ల చతురస్రాల మొత్తం ఒకదానికి సమానం: