సూచించిన నిరవధిక సమగ్రాలను కనుగొనండి. డమ్మీస్ కోసం ఇంటిగ్రల్స్: ఎలా పరిష్కరించాలి, గణన నియమాలు, వివరణ

సమగ్రాలను పరిష్కరించడం చాలా తేలికైన పని, కానీ ఎంపిక చేసిన కొంతమందికి మాత్రమే. ఈ వ్యాసం సమగ్రాలను అర్థం చేసుకోవడం నేర్చుకోవాలనుకునే వారి కోసం, కానీ వాటి గురించి ఏమీ లేదా దాదాపు ఏమీ తెలియదు. సమగ్ర... ఇది ఎందుకు అవసరం? దాన్ని ఎలా లెక్కించాలి? ఖచ్చితమైన మరియు నిరవధిక సమగ్రతలు అంటే ఏమిటి? చేరుకోవడానికి కష్టతరమైన ప్రదేశాల నుండి ఉపయోగకరమైన ఏదైనా పొందడానికి సమగ్ర చిహ్నం ఆకారంలో ఉన్న క్రోచెట్ హుక్‌ని ఉపయోగించడం మాత్రమే సమగ్రం కోసం మీకు తెలిసిన ఏకైక ఉపయోగం అయితే, స్వాగతం! సమగ్రాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మరియు అది లేకుండా మీరు ఎందుకు చేయలేరని తెలుసుకోండి.

మేము "సమగ్ర" భావనను అధ్యయనం చేస్తాము

ప్రాచీన ఈజిప్టులో ఇంటిగ్రేషన్ తిరిగి తెలుసు. వాస్తవానికి, దాని ఆధునిక రూపంలో కాదు, కానీ ఇప్పటికీ. అప్పటి నుండి, గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ అంశంపై చాలా పుస్తకాలు రాశారు. ముఖ్యంగా తమను తాము ప్రత్యేకించుకున్నారు న్యూటన్ మరియు లీబ్నిజ్ , కానీ విషయాల సారాంశం మారలేదు. మొదటి నుండి సమగ్రాలను ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి? అవకాశమే లేదు! ఈ అంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, మీకు గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమిక విషయాల గురించి ఇంకా ప్రాథమిక జ్ఞానం అవసరం. ఇది మీరు మా బ్లాగ్‌లో కనుగొనే ప్రాథమిక సమాచారం.

నిరవధిక సమగ్ర

మాకు కొంత ఫంక్షన్ చేద్దాం f(x) .

నిరవధిక సమగ్ర విధి f(x) ఈ ఫంక్షన్ అంటారు F(x) , దీని ఉత్పన్నం ఫంక్షన్‌కి సమానం f(x) .

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమగ్రత అనేది రివర్స్ లేదా యాంటీడెరివేటివ్‌లో ఉత్పన్నం. మార్గం ద్వారా, మా వ్యాసంలో ఎలా గురించి చదవండి.

అన్ని నిరంతర ఫంక్షన్లకు యాంటీడెరివేటివ్ ఉంది. అలాగే, స్థిరమైన సంకేతం తరచుగా యాంటిడెరివేటివ్‌కు జోడించబడుతుంది, ఎందుకంటే స్థిరంగా భిన్నంగా ఉండే ఫంక్షన్‌ల ఉత్పన్నాలు సమానంగా ఉంటాయి. సమగ్రతను కనుగొనే ప్రక్రియను ఇంటిగ్రేషన్ అంటారు.

సాధారణ ఉదాహరణ:

ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌లను నిరంతరం లెక్కించకుండా ఉండటానికి, వాటిని పట్టికలో సంగ్రహించడం మరియు రెడీమేడ్ విలువలను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:

ఖచ్చితమైన సమగ్ర

సమగ్ర భావనతో వ్యవహరిస్తున్నప్పుడు, మేము అనంతమైన పరిమాణాలతో వ్యవహరిస్తున్నాము. ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యం, ఏకరీతి కాని శరీరం యొక్క ద్రవ్యరాశి, అసమాన కదలిక సమయంలో ప్రయాణించిన దూరం మరియు మరెన్నో లెక్కించడానికి సమగ్రత సహాయపడుతుంది. సమగ్రం అనేది అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో ఉన్న అనంతమైన పదాల మొత్తం అని గుర్తుంచుకోవాలి.

ఉదాహరణగా, కొన్ని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ఊహించండి. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో పరిమితమైన ఫిగర్ వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?

సమగ్రతను ఉపయోగించడం! కోఆర్డినేట్ అక్షాలు మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్‌ను అనంతమైన విభాగాలుగా విభజిద్దాము. ఈ విధంగా ఫిగర్ సన్నని నిలువు వరుసలుగా విభజించబడుతుంది. నిలువు వరుసల మొత్తం ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యం అవుతుంది. కానీ అలాంటి గణన సుమారుగా ఫలితాన్ని ఇస్తుందని గుర్తుంచుకోండి. అయితే, చిన్న మరియు ఇరుకైన విభాగాలు, మరింత ఖచ్చితమైన గణన ఉంటుంది. పొడవు సున్నాకి వచ్చేంత వరకు మనం వాటిని తగ్గిస్తే, విభాగాల వైశాల్యం మొత్తం ఫిగర్ వైశాల్యానికి మొగ్గు చూపుతుంది. ఇది ఒక ఖచ్చితమైన సమగ్రం, ఇది ఇలా వ్రాయబడింది:

పాయింట్లు a మరియు b ఏకీకరణ పరిమితులు అంటారు.

బారి అలీబాసోవ్ మరియు సమూహం "ఇంటిగ్రల్"

మార్గం ద్వారా! మా పాఠకులకు ఇప్పుడు 10% తగ్గింపు ఉంది

డమ్మీల కోసం సమగ్రాలను లెక్కించడానికి నియమాలు

నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలు

నిరవధిక సమగ్రతను ఎలా పరిష్కరించాలి? ఇక్కడ మనం నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిస్తాము, ఇది ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

• సమగ్రం యొక్క ఉత్పన్నం సమగ్రానికి సమానం:

• సమగ్ర సంకేతం క్రింద నుండి స్థిరాంకం తీసుకోవచ్చు:

• మొత్తానికి పూర్ణాంకం సమగ్రాల మొత్తానికి సమానం. వ్యత్యాసానికి కూడా ఇది నిజం:

ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క లక్షణాలు

• సరళత:

• ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను మార్చుకుంటే సమగ్ర మార్పుల సంకేతం:

• వద్ద ఏదైనాపాయింట్లు a, బిమరియు తో:

ఖచ్చితమైన సమగ్రత అనేది మొత్తం యొక్క పరిమితి అని మేము ఇప్పటికే కనుగొన్నాము. కానీ ఒక ఉదాహరణను పరిష్కరించేటప్పుడు నిర్దిష్ట విలువను ఎలా పొందాలి? దీని కోసం న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రం ఉంది:

సమగ్రాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు

క్రింద మేము నిరవధిక సమగ్రాలను కనుగొనే అనేక ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము. పరిష్కారం యొక్క చిక్కులను మీరే గుర్తించమని మేము మిమ్మల్ని ఆహ్వానిస్తున్నాము మరియు ఏదైనా స్పష్టంగా తెలియకపోతే, వ్యాఖ్యలలో ప్రశ్నలు అడగండి.

పదార్థాన్ని బలోపేతం చేయడానికి, ఆచరణలో సమగ్రతలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయి అనే దాని గురించి వీడియోను చూడండి. సమగ్రం వెంటనే ఇవ్వకపోతే నిరాశ చెందకండి. ఇంటిగ్రల్స్‌ను లెక్కించడం గురించి వారికి తెలిసిన ప్రతిదాన్ని అడగండి మరియు వారు మీకు చెబుతారు. మా సహాయంతో, మూసివున్న ఉపరితలంపై ఏదైనా ట్రిపుల్ లేదా వంకర సమగ్రత మీ సామర్థ్యాలలో ఉంటుంది.

గణితం అనే శాస్త్రంలో సమగ్రాలను పరిష్కరించే ప్రక్రియను ఏకీకరణ అంటారు. ఏకీకరణను ఉపయోగించి, మీరు కొన్ని భౌతిక పరిమాణాలను కనుగొనవచ్చు: ప్రాంతం, వాల్యూమ్, శరీర ద్రవ్యరాశి మరియు మరిన్ని.

సమగ్రతలు నిరవధికంగా లేదా నిర్దిష్టంగా ఉండవచ్చు. ఖచ్చితమైన సమగ్ర రూపాన్ని పరిశీలిద్దాం మరియు దాని భౌతిక అర్థాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఇది ఈ రూపంలో సూచించబడుతుంది: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. నిరవధిక సమగ్రం నుండి ఖచ్చితమైన సమగ్రతను వ్రాయడం యొక్క విలక్షణమైన లక్షణం ఏమిటంటే, ఏకీకరణ a మరియు b యొక్క పరిమితులు ఉన్నాయి. అవి ఎందుకు అవసరమో ఇప్పుడు మనం కనుగొంటాము మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రత అంటే ఏమిటి. రేఖాగణిత కోణంలో, అటువంటి సమగ్రత వక్రరేఖ f(x), a మరియు b పంక్తులు మరియు ఆక్స్ అక్షంతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫిగర్ వైశాల్యానికి సమానం.

అంజీర్ 1 నుండి ఖచ్చితమైన సమగ్రత బూడిద రంగులో ఉన్న అదే ప్రాంతం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. దీన్ని ఒక సాధారణ ఉదాహరణతో తనిఖీ చేద్దాం. ఇంటిగ్రేషన్‌ని ఉపయోగించి దిగువ చిత్రంలో ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొని, ఆపై వెడల్పుతో పొడవును గుణించే సాధారణ పద్ధతిలో లెక్కించండి.

చిత్రం 2 నుండి $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. ఇప్పుడు మనం వాటిని సమగ్రం యొక్క నిర్వచనంలో భర్తీ చేస్తాము, $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ సాధారణ పద్ధతిలో చెక్ చేద్దాం. మా విషయంలో, పొడవు = 3, ఫిగర్ వెడల్పు = 1. $$ S = \text(పొడవు) \cdot \text(వెడల్పు) = 3 \cdot 1 = 3 \text(యూనిట్లు)^2 $$ మీరు చేయగలిగినంత చూడండి, ప్రతిదీ సరిగ్గా సరిపోతుంది.

ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: నిరవధిక సమగ్రాలను ఎలా పరిష్కరించాలి మరియు వాటి అర్థం ఏమిటి? అటువంటి సమగ్రాలను పరిష్కరించడం అనేది యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌లను కనుగొనడం. ఈ ప్రక్రియ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి వ్యతిరేకం. యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడానికి, మీరు గణితంలో సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మా సహాయాన్ని ఉపయోగించవచ్చు లేదా మీరు ఇంటిగ్రల్స్ యొక్క లక్షణాలను మరియు సరళమైన ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఏకీకరణ పట్టికను స్వతంత్రంగా గుర్తుంచుకోవాలి. అన్వేషణ ఇలా కనిపిస్తుంది: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(ఎక్కడ) F(x) $ అనేది $ f(x), C = const $ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్.

సమగ్రతను పరిష్కరించడానికి, మీరు వేరియబుల్‌పై $ f(x) $ ఫంక్షన్‌ను ఏకీకృతం చేయాలి. ఫంక్షన్ పట్టికగా ఉంటే, సమాధానం తగిన రూపంలో వ్రాయబడుతుంది. కాకపోతే, $ f(x) $ ఫంక్షన్ నుండి ఒక పట్టిక ఫంక్షన్‌ను గమ్మత్తైన గణిత పరివర్తనల ద్వారా పొందడం వరకు ప్రక్రియ వస్తుంది. దీని కోసం వివిధ పద్ధతులు మరియు లక్షణాలు ఉన్నాయి, వీటిని మేము మరింత పరిశీలిస్తాము.

కాబట్టి, ఇప్పుడు డమ్మీల కోసం సమగ్రాలను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గారిథమ్‌ని క్రియేట్ చేద్దామా?

సమగ్రాలను లెక్కించడానికి అల్గోరిథం

1. ఖచ్చితమైన సమగ్రత లేదా అని తెలుసుకుందాం.
2. నిర్వచించబడకపోతే, మీరు $ f(x) $ ఫంక్షన్ యొక్క పట్టిక రూపానికి దారితీసే గణిత పరివర్తనలను ఉపయోగించి సమగ్ర $ f(x) $ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ $ F(x) $ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది.
3. నిర్వచించబడితే, మీరు 2వ దశను నిర్వహించాలి, ఆపై $ a $ మరియు $ b $ పరిమితులను యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ $ F(x) $లో భర్తీ చేయాలి. "న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా" వ్యాసంలో దీన్ని చేయడానికి ఏ సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలో మీరు కనుగొంటారు.

పరిష్కారాల ఉదాహరణలు

కాబట్టి, డమ్మీల కోసం సమగ్రాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మీరు నేర్చుకున్నారు, సమగ్రాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు క్రమబద్ధీకరించబడ్డాయి. మేము వారి భౌతిక మరియు రేఖాగణిత అర్థాన్ని నేర్చుకున్నాము. పరిష్కార పద్ధతులు ఇతర కథనాలలో వివరించబడతాయి.

నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనడం (యాంటిడెరివేటివ్స్ లేదా "యాంటిడెరివేటివ్స్" సమితి) అంటే ఈ ఫంక్షన్ యొక్క తెలిసిన ఉత్పన్నం నుండి ఒక ఫంక్షన్‌ను పునర్నిర్మించడం. యాంటీడెరివేటివ్‌ల సెట్ పునరుద్ధరించబడింది ఎఫ్(x) + తో ఫంక్షన్ కోసం f(x) ఏకీకరణ స్థిరాంకాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది సి. మెటీరియల్ పాయింట్ (ఉత్పన్నం) యొక్క కదలిక వేగం ఆధారంగా, ఈ పాయింట్ (యాంటీడెరివేటివ్) యొక్క చలన నియమాన్ని పునరుద్ధరించవచ్చు; పాయింట్ యొక్క కదలిక త్వరణం ప్రకారం - దాని వేగం మరియు చలన నియమం. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, భౌతిక శాస్త్రానికి చెందిన షెర్లాక్ హోమ్స్ యొక్క కార్యకలాపాలకు ఏకీకరణ అనేది విస్తృత క్షేత్రం. మరియు ఆర్థిక శాస్త్రంలో, అనేక భావనలు విధులు మరియు వాటి ఉత్పన్నాల ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు ఉదాహరణకు, ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో (ఉత్పన్నం) కార్మిక ఉత్పాదకతను ఉపయోగించి సంబంధిత సమయంలో ఉత్పత్తి చేయబడిన ఉత్పత్తుల పరిమాణాన్ని పునరుద్ధరించడం సాధ్యమవుతుంది.

నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనడానికి చాలా తక్కువ సంఖ్యలో ప్రాథమిక ఏకీకరణ సూత్రాలు అవసరం. కానీ ఈ సూత్రాలను వర్తింపజేయడం కంటే దానిని కనుగొనే ప్రక్రియ చాలా కష్టం. అన్ని సంక్లిష్టత ఏకీకరణకు సంబంధించినది కాదు, కానీ పైన పేర్కొన్న ప్రాథమిక సూత్రాలను ఉపయోగించి నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనడం సాధ్యం చేసే రూపానికి సమగ్ర వ్యక్తీకరణను తీసుకురావడం. దీని అర్థం ఏకీకరణను అభ్యసించడం ప్రారంభించడానికి, మీరు హైస్కూల్‌లో పొందిన వ్యక్తీకరణ పరివర్తన నైపుణ్యాలను సక్రియం చేయాలి.

ఉపయోగించి సమగ్రాలను కనుగొనడం నేర్చుకుంటాము లక్షణాలు మరియు నిరవధిక సమగ్రాల పట్టికఈ అంశం యొక్క ప్రాథమిక భావనల గురించి పాఠం నుండి (కొత్త విండోలో తెరవబడుతుంది).

సమగ్రతను కనుగొనడానికి అనేక పద్ధతులు ఉన్నాయి, వాటిలో వేరియబుల్ భర్తీ పద్ధతిమరియు భాగాల పద్ధతి ద్వారా ఏకీకరణ- ఉన్నత గణితంలో విజయవంతంగా ఉత్తీర్ణులైన ప్రతి ఒక్కరికీ తప్పనిసరి పెద్దమనిషి సెట్. అయినప్పటికీ, నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలపై క్రింది రెండు సిద్ధాంతాల ఆధారంగా విస్తరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి మాస్టరింగ్ ఇంటిగ్రేషన్ ప్రారంభించడం మరింత ఉపయోగకరంగా మరియు ఆనందదాయకంగా ఉంటుంది, ఇది మేము సౌలభ్యం కోసం ఇక్కడ పునరావృతం చేస్తాము.

సిద్ధాంతం 3.సమగ్రతలోని స్థిరమైన కారకాన్ని నిరవధిక సమగ్ర సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు, అనగా.

సిద్ధాంతం 4.పరిమిత సంఖ్యలో ఫంక్షన్ల బీజగణిత మొత్తం యొక్క నిరవధిక సమగ్రం ఈ ఫంక్షన్ల యొక్క నిరవధిక సమగ్రాల బీజగణిత మొత్తానికి సమానం, అనగా.

(2)

అదనంగా, కింది నియమం ఏకీకరణలో ఉపయోగకరంగా ఉండవచ్చు: సమగ్రత యొక్క వ్యక్తీకరణ స్థిరమైన కారకాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క వ్యక్తీకరణ స్థిరమైన కారకం యొక్క విలోమంతో గుణించబడుతుంది, అనగా

(3)

ఇది ఇంటిగ్రేషన్ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పరిచయ పాఠం కాబట్టి, ప్రారంభంలో లేదా కొంచెం తర్వాత మిమ్మల్ని ఆశ్చర్యపరిచే రెండు విషయాలను గమనించడం ముఖ్యం. ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ ఆపరేషన్ మరియు నిరవధిక సమగ్రతను సరిగ్గా "యాంటీడెరివేటివ్" అని పిలవవచ్చు అనే వాస్తవం ఆశ్చర్యానికి కారణం.

ఇంటిగ్రేట్ చేసేటప్పుడు మీరు ఆశ్చర్యపోనవసరం లేదు మొదటి విషయం.సమగ్రాల పట్టికలో డెరివేటివ్ టేబుల్ ఫార్ములాల్లో అనలాగ్‌లు లేని ఫార్ములాలు ఉన్నాయి . ఇవి క్రింది సూత్రాలు:

అయినప్పటికీ, ఈ సూత్రాల యొక్క కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణల యొక్క ఉత్పన్నాలు సంబంధిత సమగ్రతలతో సమానంగా ఉన్నాయని మీరు నిర్ధారించుకోవచ్చు.

ఇంటిగ్రేట్ చేసేటప్పుడు ఆశ్చర్యపోనవసరం లేని రెండవ విషయం. ఏదైనా ప్రాథమిక విధి యొక్క ఉత్పన్నం కూడా ప్రాథమిక విధి అయినప్పటికీ, కొన్ని ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల యొక్క నిరవధిక సమగ్రాలు ఇకపై ప్రాథమిక విధులు కావు . అటువంటి సమగ్రాల ఉదాహరణలు క్రిందివి కావచ్చు:

ఏకీకరణ పద్ధతులను అభివృద్ధి చేయడానికి, కింది నైపుణ్యాలు ఉపయోగపడతాయి: భిన్నాలను తగ్గించడం, భిన్నం యొక్క లవంలోని బహుపదిని హారంలోని మోనోమియల్ ద్వారా విభజించడం (నిరవధిక సమగ్రాల మొత్తాన్ని పొందడం), మూలాలను శక్తులుగా మార్చడం, మోనోమియల్‌ను గుణించడం బహుపది, ఒక శక్తికి పెంచడం. సమగ్రత యొక్క పరివర్తనల కోసం ఈ నైపుణ్యాలు అవసరం, దీని ఫలితంగా సమగ్రాల పట్టికలో ఉన్న సమగ్రాల మొత్తం వస్తుంది.

కలిసి నిరవధిక సమగ్రాలను కనుగొనడం

ఉదాహరణ 1.నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనండి

.

పరిష్కారం. మనం సమగ్రత యొక్క హారంలో x స్క్వేర్ చేయబడిన బహుపదిని చూస్తాము. మీరు పట్టిక సమగ్ర 21 (ఫలితంగా ఆర్క్టాంజెంట్‌తో) వర్తింపజేయగలరని ఇది దాదాపు ఖచ్చితంగా సంకేతం. మేము హారం నుండి కారకం-రెండును తీసుకుంటాము (ఇంటిగ్రల్ యొక్క అటువంటి ఆస్తి ఉంది - స్థిరమైన కారకాన్ని సమగ్ర సంకేతం దాటి బయటకు తీయవచ్చు; ఇది పైన సిద్ధాంతం 3 గా పేర్కొనబడింది). వీటన్నింటికీ ఫలితం:

ఇప్పుడు హారం అనేది చతురస్రాల మొత్తం, అంటే మనం పేర్కొన్న పట్టిక సమగ్రతను వర్తింపజేయవచ్చు. చివరగా మనకు సమాధానం వస్తుంది:

.

ఉదాహరణ 2.నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనండి

పరిష్కారం. మేము మళ్ళీ సిద్ధాంతం 3ని వర్తింపజేస్తాము - సమగ్రత యొక్క ఆస్తి, దీని ఆధారంగా స్థిరమైన కారకాన్ని సమగ్ర చిహ్నం నుండి తీసుకోవచ్చు:

మేము ఫార్ములా 7ని సమగ్రాల పట్టిక నుండి (పవర్‌కి వేరియబుల్) ఇంటిగ్రండ్ ఫంక్షన్‌కి వర్తింపజేస్తాము:

.

మేము ఫలిత భిన్నాలను తగ్గిస్తాము మరియు మాకు చివరి సమాధానం ఉంది:

ఉదాహరణ 3.నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనండి

పరిష్కారం. లక్షణాలపై మొదటి సిద్ధాంతం 4 మరియు తరువాత సిద్ధాంతం 3ని వర్తింపజేస్తే, మేము ఈ సమగ్రతను మూడు సమగ్రాల మొత్తంగా కనుగొంటాము:

పొందిన మూడు సమగ్రాలు పట్టికగా ఉంటాయి. మేము ఇంటిగ్రల్స్ పట్టిక నుండి ఫార్ములా (7) ను ఉపయోగిస్తాము n = 1/2, n= 2 మరియు n= 1/5, ఆపై

మూడు సమగ్రాలను కనుగొనేటప్పుడు ప్రవేశపెట్టిన మూడు ఏకపక్ష స్థిరాంకాలను మిళితం చేస్తుంది. అందువల్ల, ఇలాంటి పరిస్థితులలో, ఒక ఏకపక్ష ఏకీకరణ స్థిరాంకం మాత్రమే ప్రవేశపెట్టాలి.

ఉదాహరణ 4.నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనండి

పరిష్కారం. సమగ్రత యొక్క హారం ఒక మోనోమియల్‌ని కలిగి ఉన్నప్పుడు, మేము పదం ద్వారా హారం పదం ద్వారా లవంను విభజించవచ్చు. అసలు సమగ్రం రెండు సమగ్రాల మొత్తంగా మారింది:

.

పట్టిక సమగ్రతను వర్తింపజేయడానికి, మేము మూలాలను శక్తులుగా మారుస్తాము మరియు ఇక్కడ చివరి సమాధానం:

మేము కలిసి నిరవధిక సమగ్రాలను కనుగొనడం కొనసాగిస్తాము

ఉదాహరణ 7.నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనండి

పరిష్కారం. మేము ద్విపదను వర్గీకరించడం ద్వారా మరియు పదం ద్వారా హారం పదం ద్వారా సంఖ్యను భాగించడం ద్వారా సమగ్రతను మార్చినట్లయితే, అసలు సమగ్రత మూడు సమగ్రాల మొత్తం అవుతుంది.

అప్లికేషన్

విద్యార్థులు మరియు పాఠశాల పిల్లలు వారు కవర్ చేసిన మెటీరియల్‌ను ఏకీకృతం చేయడానికి సైట్‌లో ఆన్‌లైన్‌లో సమగ్రతలు. మరియు మీ ఆచరణాత్మక నైపుణ్యాలకు శిక్షణ ఇవ్వండి. మీరు ఆన్‌లైన్‌లో సమగ్రతను పరిష్కరించడం ప్రారంభించిన ప్రతిసారీ ప్రక్రియ యొక్క అన్ని దశలను నిర్ణయించడంలో మీ కోసం ఆన్‌లైన్‌లో సమగ్ర పరిష్కారం మీకు సహాయం చేస్తుంది, ఇది లేకుండా మీరు ఒకే పద్ధతిని ఉపయోగించలేరు మీరు సమగ్రతను పట్టికగా పరిగణిస్తారు. ఇచ్చిన ఉదాహరణ నుండి ప్రతి పట్టిక సమగ్రం స్పష్టంగా కనిపించదు; ఆచరణలో, సమగ్రాలను పరిష్కరించడం అనేది అసలైనదాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యను వివరించడానికి వస్తుంది, అంటే, అనంతమైన ఫంక్షన్ల కుటుంబం నుండి యాంటీడెరివేటివ్, కానీ ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు ఇచ్చినట్లయితే, న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా ప్రకారం ఒకే ఒక ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉంటుంది. గణనలను వర్తింపజేయడానికి మిగిలి ఉంది. ఆన్‌లైన్ సమగ్రతలు - ఆన్‌లైన్ నిరవధిక సమగ్రం మరియు ఆన్‌లైన్ ఖచ్చితమైన సమగ్రం. ఆన్‌లైన్ ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రత వాటి ఏకీకరణ కోసం ఉద్దేశించిన ఏదైనా సంఖ్యల మొత్తం. కాబట్టి, అనధికారికంగా, ఆన్‌లైన్ డెఫినిట్ ఇంటిగ్రల్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మరియు ఇంటిగ్రేషన్ పరిమితుల్లో x-యాక్సిస్ మధ్య ఉండే ప్రాంతం. ఇంటిగ్రల్స్‌తో సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు. మనం ఒక వేరియబుల్‌పై సంక్లిష్ట సమగ్రతను మూల్యాంకనం చేద్దాం మరియు సమస్య యొక్క తదుపరి పరిష్కారానికి దాని సమాధానాన్ని తెలియజేస్తాము. వారు చెప్పినట్లుగా, సమగ్రత యొక్క సమగ్రతను నేరుగా కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది. ఏదైనా సమగ్రత పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని అధిక ఖచ్చితత్వంతో నిర్ణయిస్తుంది. ఇది దాని రేఖాగణిత అర్థాలలో ఒకటి. ఈ పద్ధతి విద్యార్థులకు విషయాలను సులభతరం చేస్తుంది. అనేక దశలు, నిజానికి, వెక్టర్ విశ్లేషణపై ఎక్కువ ప్రభావం చూపవు. ఆన్‌లైన్ ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రత అనేది నిరవధిక సమగ్రాలను పరిష్కరించడం యొక్క ప్రాథమిక భావన. విశ్లేషణ యొక్క ప్రధాన సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ ఆపరేషన్, ఇది అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో సహాయపడుతుంది. ఏకీకరణ యొక్క ఆపరేషన్ యొక్క అనేక విభిన్న నిర్వచనాలు ఉన్నాయి, సాంకేతిక వివరాలలో విభిన్నంగా ఉంటాయి. అయినప్పటికీ, అవన్నీ అనుకూలంగా ఉంటాయి, అంటే, ఏదైనా రెండు ఏకీకరణ పద్ధతులు, అవి ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌కు వర్తించగలిగితే, అదే ఫలితాన్ని ఇస్తుంది. సరళమైనది రీమాన్ ఇంటిగ్రల్ - ఒక ఖచ్చితమైన సమగ్రం లేదా నిరవధిక సమగ్రం. అనధికారికంగా, ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను గ్రాఫ్ కింద ఉన్న ప్రాంతంగా పరిచయం చేయవచ్చు (ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మరియు x-యాక్సిస్ మధ్య ఉన్న బొమ్మ). అటువంటి ఉపసమస్య ఏదైనా ఒక ముఖ్యమైన విధానం ప్రారంభంలోనే సమగ్రతను లెక్కించడం చాలా అవసరం అని సమర్థించవచ్చు. ఇది మర్చిపోవద్దు! ఈ ప్రాంతాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు, మేము నిర్దిష్ట సంఖ్యలో నిలువు దీర్ఘచతురస్రాలను కలిగి ఉన్న బొమ్మలను పరిగణించవచ్చు, వీటిలో స్థావరాలు కలిసి ఏకీకరణ యొక్క విభాగాన్ని ఏర్పరుస్తాయి మరియు విభాగాన్ని తగిన సంఖ్యలో చిన్న విభాగాలుగా విభజించడం ద్వారా పొందబడతాయి. సమగ్రాలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడం.. ఆన్‌లైన్ సమగ్రం - ఆన్‌లైన్‌లో నిరవధిక సమగ్రం మరియు ఆన్‌లైన్‌లో ఖచ్చితమైన సమగ్రం. సమగ్రాలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడం: ఆన్‌లైన్ నిరవధిక సమగ్రం మరియు ఆన్‌లైన్ డెఫినిట్ ఇంటిగ్రల్. కాలిక్యులేటర్ చర్యల యొక్క వివరణాత్మక వర్ణనతో మరియు ఉచితంగా సమగ్రాలను పరిష్కరిస్తుంది! ఒక ఫంక్షన్ కోసం ఆన్‌లైన్ నిరవధిక సమగ్రం అనేది ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితి. ఒక ఫంక్షన్ నిర్వచించబడి మరియు విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటే, దానికి యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ (లేదా యాంటీడెరివేటివ్‌ల కుటుంబం) ఉంటుంది. సమగ్రత అనేది వ్యక్తీకరణను మాత్రమే నిర్వచిస్తుంది, అటువంటి అవసరం వచ్చినప్పుడు మీరు సెట్ చేసిన షరతులు. ఈ విషయాన్ని జాగ్రత్తగా సంప్రదించడం మరియు చేసిన పని నుండి అంతర్గత సంతృప్తిని అనుభవించడం మంచిది. కానీ క్లాసికల్ నుండి భిన్నమైన పద్ధతిని ఉపయోగించి సమగ్రతను లెక్కించడం కొన్నిసార్లు ఊహించని ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది మరియు దీని గురించి ఆశ్చర్యపోనవసరం లేదు. ఈ వాస్తవం ఏమి జరుగుతుందో దానిపై సానుకూల ప్రతిధ్వనిని కలిగి ఉన్నందుకు నేను సంతోషిస్తున్నాను. స్టెప్ బై స్టెప్ సొల్యూషన్‌తో ఖచ్చితమైన సమగ్రాల జాబితా మరియు సమగ్రాల యొక్క నిరవధిక సమగ్రాల జాబితా. ఆన్‌లైన్‌లో వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో అన్ని సమగ్రతలు. నిరవధిక సమగ్రం. ఆన్‌లైన్‌లో నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనడం అనేది ఉన్నత గణితం మరియు సైన్స్‌లోని ఇతర సాంకేతిక రంగాలలో చాలా సాధారణ సమస్య. ఏకీకరణ యొక్క ప్రాథమిక పద్ధతులు. సమగ్ర, ఖచ్చితమైన మరియు నిరవధిక సమగ్రం యొక్క నిర్వచనం, సమగ్రాల పట్టిక, న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రం. మళ్ళీ, మీరు సమగ్ర వ్యక్తీకరణల పట్టికను ఉపయోగించి మీ సమగ్రతను కనుగొనవచ్చు, అయితే ఇది ఇప్పటికీ సాధించాల్సిన అవసరం ఉంది, ఎందుకంటే ప్రతిదీ మొదటి చూపులో కనిపించేంత సులభం కాదు. తప్పులు కనుగొనే ముందు పూర్తయిన భవనాల గురించి ఆలోచించండి. దాని గణన కోసం ఖచ్చితమైన సమగ్ర మరియు పద్ధతులు. వేరియబుల్ ఎగువ పరిమితితో ఆన్‌లైన్ ఖచ్చితమైన సమగ్రం. సమగ్రాలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడం. పట్టిక సూత్రాలను ఉపయోగించి సమగ్రతను లెక్కించడంలో సహాయపడే ఏదైనా ఉదాహరణ ఏ స్థాయి శిక్షణా విద్యార్థులకు చర్య తీసుకోవడానికి ఉపయోగకరమైన మార్గదర్శిగా ఉంటుంది. సరైన సమాధానం వైపు అత్యంత ముఖ్యమైన అడుగు.. ఇంటిగ్రల్స్ ఆన్‌లైన్. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉన్న నిరవధిక సమగ్రతలు. సమగ్రాలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడం - మీరు వివిధ రకాల సమగ్రాల కోసం వివరణాత్మక పరిష్కారాన్ని అందుకుంటారు: నిరవధిక, ఖచ్చితమైన, సరికాని. డెఫినిట్ ఇంటిగ్రల్ కాలిక్యులేటర్ సంఖ్యా సమాకలనాన్ని ఉపయోగించి ఇంటర్వెల్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క ఖచ్చితమైన సమగ్ర ఆన్‌లైన్‌ను గణిస్తుంది. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రత అనేది సీక్వెన్స్ మొత్తానికి ఒక అనలాగ్. అనధికారికంగా చెప్పాలంటే, ఖచ్చితమైన సమగ్రత అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క భాగం. ఆన్‌లైన్‌లో సమగ్రతను పరిష్కరించడం.. ఆన్‌లైన్ సమగ్రం - ఆన్‌లైన్‌లో నిరవధిక సమగ్రం మరియు ఆన్‌లైన్‌లో ఖచ్చితమైన సమగ్రం. తరచుగా, అటువంటి సమగ్రత శరీరం దానితో పోలిస్తే అదే సాంద్రత కలిగిన వస్తువు కంటే ఎంత బరువుగా ఉందో నిర్ణయిస్తుంది మరియు అది ఏ ఆకారంలో ఉన్నా అది పట్టింపు లేదు, ఎందుకంటే ఉపరితలం నీటిని గ్రహించదు. సమగ్రాలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడం.. ఆన్‌లైన్ ఇంటిగ్రల్స్ - ఆన్‌లైన్‌లో నిరవధిక సమగ్రం మరియు ఆన్‌లైన్‌లో ఖచ్చితమైన సమగ్రం. ప్రతి జూనియర్ విద్యార్థికి ఆన్‌లైన్‌లో సమగ్రతను ఎలా కనుగొనాలో తెలుసు. పాఠశాల పాఠ్యాంశాల ఆధారంగా, గణితశాస్త్రం యొక్క ఈ విభాగం కూడా అధ్యయనం చేయబడుతుంది, కానీ వివరంగా కాదు, కానీ అటువంటి సంక్లిష్టమైన మరియు ముఖ్యమైన అంశం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు మాత్రమే. చాలా సందర్భాలలో, విద్యార్థులు విస్తృతమైన సిద్ధాంతంతో సమగ్రాలను అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభిస్తారు, ఇది ఉత్పన్నాలు మరియు పరిమితులకు వెళ్లడం వంటి ముఖ్యమైన అంశాలతో కూడా ముందు ఉంటుంది - అవి కూడా పరిమితులు. సమగ్రాలను పరిష్కరించడం క్రమంగా సాధారణ ఫంక్షన్‌ల యొక్క అత్యంత ప్రాథమిక ఉదాహరణలతో ప్రారంభమవుతుంది మరియు గత శతాబ్దంలో మరియు చాలా ముందుగానే ప్రతిపాదించబడిన అనేక విధానాలు మరియు నియమాల ఉపయోగంతో ముగుస్తుంది. సమగ్ర కాలిక్యులస్ అనేది లైసియంలు మరియు పాఠశాలల్లో, అంటే మాధ్యమిక విద్యా సంస్థలలో విద్యా ప్రయోజనాల కోసం. మా వెబ్‌సైట్ ఎల్లప్పుడూ మీకు సహాయం చేస్తుంది మరియు ఆన్‌లైన్‌లో సమగ్రాలను పరిష్కరించడం మీకు సాధారణం అవుతుంది మరియు ముఖ్యంగా అర్థమయ్యే పని. ఈ వనరు ఆధారంగా, మీరు ఈ గణిత విభాగంలో సులభంగా పరిపూర్ణతను సాధించవచ్చు. మీరు దశల వారీగా అధ్యయనం చేస్తున్న నియమాలను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, ఉదాహరణకు, భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ లేదా చెబిషెవ్ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్, మీరు గరిష్ట సంఖ్యలో పాయింట్ల కోసం ఏదైనా పరీక్షను సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. కాబట్టి మనం ఇంకా బాగా తెలిసిన ఇంటిగ్రల్స్ పట్టికను ఉపయోగించి సమగ్రతను ఎలా లెక్కించవచ్చు, కానీ పరిష్కారం సరైనది, సరైనది మరియు సాధ్యమైనంత ఖచ్చితమైన సమాధానంతో సాధ్యమయ్యే విధంగా? దీన్ని ఎలా నేర్చుకోవాలి మరియు ఒక సాధారణ ఫ్రెష్‌మాన్‌కు సాధ్యమైనంత తక్కువ సమయంలో దీన్ని చేయడం సాధ్యమేనా? ఈ ప్రశ్నకు నిశ్చయాత్మకంగా సమాధానం ఇద్దాం - మీరు చేయగలరు! అదే సమయంలో, మీరు ఏదైనా ఉదాహరణను మాత్రమే పరిష్కరించలేరు, కానీ అధిక అర్హత కలిగిన ఇంజనీర్ స్థాయికి కూడా చేరుకుంటారు. రహస్యం గతంలో కంటే సరళమైనది - మీరు గరిష్ట ప్రయత్నం చేయాలి మరియు స్వీయ తయారీకి అవసరమైన సమయాన్ని కేటాయించాలి. దురదృష్టవశాత్తు, ఎవరూ ఇంకా మరొక మార్గంతో ముందుకు రాలేదు! కానీ ప్రతిదీ మొదటి చూపులో కనిపించేంత మేఘావృతం కాదు. మీరు ఈ ప్రశ్నతో మా సేవా సైట్‌ని సంప్రదిస్తే, మేము మీ జీవితాన్ని సులభతరం చేస్తాము, ఎందుకంటే మా సైట్ ఆన్‌లైన్‌లో సమగ్రాలను వివరంగా, చాలా ఎక్కువ వేగంతో మరియు నిష్కళంకమైన ఖచ్చితమైన సమాధానంతో లెక్కించగలదు. దాని ప్రధాన భాగంలో, ఆర్గ్యుమెంట్‌ల నిష్పత్తి మొత్తం వ్యవస్థ యొక్క స్థిరత్వాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుందో సమగ్రత నిర్ణయించదు. ప్రతిదీ సమతుల్యంగా ఉంటే మాత్రమే. మీరు ఈ గణిత అంశం యొక్క ప్రాథమికాలను నేర్చుకుంటారు, ప్రాథమిక ఫంక్షన్లలో ఈ సమగ్రతను పరిష్కరించగలిగితే సేవ ఏదైనా సమగ్రతను కనుగొనగలదు. లేకపోతే, ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్లలో తీసుకోని ఇంటిగ్రల్స్ కోసం, ఆచరణలో సమాధానాన్ని విశ్లేషణాత్మకంగా లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్పష్టమైన రూపంలో కనుగొనడం అవసరం లేదు. ఇంటెగ్రల్స్ యొక్క అన్ని గణనలు ఇచ్చిన ఇంటిగ్రాండ్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌ను నిర్ణయించడానికి వస్తాయి. దీన్ని చేయడానికి, ముందుగా ఆన్‌లైన్‌లో గణితశాస్త్రం యొక్క అన్ని చట్టాల ప్రకారం నిరవధిక సమగ్రతను లెక్కించండి. అప్పుడు, అవసరమైతే, సమగ్ర యొక్క ఎగువ మరియు దిగువ విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. నిరవధిక సమగ్రం యొక్క సంఖ్యా విలువను గుర్తించడం లేదా లెక్కించడం అవసరం లేకపోతే, ఫలితంగా వచ్చే యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌కు స్థిరాంకం జోడించబడుతుంది, తద్వారా యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ల కుటుంబాన్ని నిర్వచిస్తుంది. కంటిన్యూమ్ మెకానిక్స్‌తో సహా సైన్స్‌లో మరియు సాధారణంగా ఏదైనా ఇంజనీరింగ్ రంగంలో ఏకీకరణకు ప్రత్యేక స్థానం ఉంది, ఇది మొత్తం యాంత్రిక వ్యవస్థలు, వాటి కదలికలు మరియు మరెన్నో వివరిస్తుంది. అనేక సందర్భాల్లో, కంపైల్డ్ ఇంటిగ్రల్ మెటీరియల్ పాయింట్ యొక్క చలన నియమాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. అనువర్తిత శాస్త్రాల అధ్యయనంలో ఇది చాలా ముఖ్యమైన సాధనం. దీని ఆధారంగా, యాంత్రిక వ్యవస్థల ఉనికి మరియు ప్రవర్తన యొక్క చట్టాలను నిర్ణయించడానికి పెద్ద-స్థాయి గణనలను పేర్కొనడానికి సహాయం చేయలేరు. వెబ్‌సైట్‌లోని సమగ్రాలను పరిష్కరించడానికి ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ ప్రొఫెషనల్ ఇంజనీర్‌లకు శక్తివంతమైన సాధనం. మేము దీన్ని మీకు ఖచ్చితంగా హామీ ఇస్తున్నాము, కానీ మీరు ఇంటిగ్రండ్ డొమైన్‌లో సరైన వ్యక్తీకరణను నమోదు చేసిన తర్వాత మాత్రమే మేము మీ సమగ్రతను లెక్కించగలుగుతాము. తప్పులు చేయడానికి బయపడకండి, ఈ విషయంలో ప్రతిదీ సరిదిద్దవచ్చు! సాధారణంగా, సమగ్రాలను పరిష్కరించడం అనేది ప్రసిద్ధ పాఠ్యపుస్తకాలు లేదా ఎన్సైక్లోపీడియాల నుండి పట్టిక ఫంక్షన్లను ఉపయోగించడం. ఏదైనా ఇతర నిరవధిక సమగ్రం వలె, ఇది ఎటువంటి పెద్ద విమర్శలు లేకుండా ప్రామాణిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది. మొదటి-సంవత్సరం విద్యార్థులు వారు అక్కడికక్కడే అధ్యయనం చేసిన విషయాన్ని సులభంగా మరియు సహజంగా గ్రహించగలరు మరియు వారికి సమగ్రతను కనుగొనడానికి కొన్నిసార్లు రెండు నిమిషాల కంటే ఎక్కువ సమయం పట్టదు. మరియు ఒక విద్యార్థి ఇంటిగ్రల్స్ పట్టికను నేర్చుకున్నట్లయితే, అతను సాధారణంగా తన తలపై సమాధానాలను నిర్ణయించగలడు. ఉపరితలాలకు సంబంధించి వేరియబుల్స్ ద్వారా ఫంక్షన్‌లను విస్తరింపజేయడం అంటే మొదట్లో కొన్ని అబ్సిస్సా పాయింట్ వద్ద సరైన వెక్టర్ దిశ. ఉపరితల రేఖల యొక్క అనూహ్య ప్రవర్తన గణిత విధుల ప్రతిస్పందన మూలంలో ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను ప్రాతిపదికగా తీసుకుంటుంది. మీరు ఒక విమానంలో కట్‌ను చూస్తే, బంతి యొక్క ఎడమ అంచు సిలిండర్‌ను తాకదు. చిన్న ఏరియాల మొత్తం వందలాది పీస్‌వైస్ నిరంతర ఫంక్షన్‌లుగా విభజించబడింది, ఇది ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఆన్‌లైన్ సమగ్రం. సమగ్రం యొక్క యాంత్రిక అర్ధం అనేక అనువర్తిత సమస్యలలో ఉంది, శరీరాల వాల్యూమ్‌ను నిర్ణయించడం మరియు శరీరం యొక్క ద్రవ్యరాశిని లెక్కించడం వంటివి. ఈ గణనలలో ట్రిపుల్ మరియు డబుల్ ఇంటిగ్రల్స్ ఉంటాయి. అనుభవజ్ఞులైన ఉపాధ్యాయుల పర్యవేక్షణలో మరియు అనేక తనిఖీల ద్వారా మాత్రమే ఇంటిగ్రల్స్ ఆన్‌లైన్ పరిష్కారం నిర్వహించబడుతుందని మేము నొక్కిచెప్పాము, ఉపన్యాసాలకు హాజరుకాని, ఎటువంటి కారణం లేకుండా వారిని దాటవేసే విద్యార్థుల పనితీరు గురించి మేము తరచుగా అడుగుతాము. సమగ్ర తమను. విద్యార్థులు స్వేచ్చగా ఉంటారని మరియు వారి స్వంత ఇంటిలో సౌకర్యంగా ఉండేటటువంటి పరీక్షకు లేదా పరీక్షకు సిద్ధమయ్యేటటువంటి బాహ్యంగా చదువుకునే సామర్థ్యం కలిగి ఉంటారని మేము సమాధానం ఇస్తున్నాము. కొన్ని సెకన్లలో, మా సేవ ఎవరైనా వేరియబుల్ ద్వారా ఏదైనా ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను లెక్కించడంలో సహాయపడుతుంది. యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా పొందిన ఫలితాన్ని తనిఖీ చేయాలి. ఈ సందర్భంలో, సమగ్ర పరిష్కారం నుండి స్థిరాంకం సున్నా అవుతుంది. ఈ నియమం స్పష్టంగా అందరికీ వర్తిస్తుంది. మల్టీడైరెక్షనల్ కార్యకలాపాలు సమర్థించబడుతున్నందున, నిరవధిక సమగ్రత తరచుగా డొమైన్‌ను చిన్న భాగాలుగా విభజించడానికి తగ్గించబడుతుంది. అయితే, కొంతమంది విద్యార్థులు మరియు పాఠశాల విద్యార్థులు ఈ అవసరాన్ని విస్మరిస్తున్నారు. ఎప్పటిలాగే, ఆన్‌లైన్ ఇంటిగ్రల్స్ మా సేవా వెబ్‌సైట్ ద్వారా వివరంగా పరిష్కరించబడతాయి మరియు అభ్యర్థనల సంఖ్యపై ఎటువంటి పరిమితులు లేవు, ప్రతిదీ ఉచితం మరియు అందరికీ అందుబాటులో ఉంటుంది. క్షణాల వ్యవధిలో దశల వారీ సమాధానాన్ని అందించే అనేక సైట్‌లు లేవు మరియు ముఖ్యంగా అధిక ఖచ్చితత్వంతో మరియు అనుకూలమైన రూపంలో ఉంటాయి. చివరి ఉదాహరణలో, హోంవర్క్ యొక్క ఐదవ పేజీలో, సమగ్ర దశల వారీగా లెక్కించవలసిన అవసరాన్ని చూపించే ఒకటి ఉంది. అయితే ఆన్‌లైన్‌లో వేలకొద్దీ సాల్వ్ చేసిన ఉదాహరణల్లో టైమ్-టెస్ట్ చేయబడిన మరియు పరీక్షించబడిన రెడీమేడ్ సర్వీస్‌ని ఉపయోగించి సమగ్రతను ఎలా కనుగొనడం సాధ్యమవుతుందనే దాని గురించి మనం మర్చిపోకూడదు. అటువంటి సమగ్రత వ్యవస్థ యొక్క కదలికను ఎలా నిర్ణయిస్తుందో, ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థ ద్వారా వివరించబడిన జిగట ద్రవం యొక్క చలన స్వభావం ద్వారా మనకు స్పష్టంగా మరియు స్పష్టంగా ప్రదర్శించబడుతుంది.

సమగ్ర కాలిక్యులస్.

యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్.

నిర్వచనం: ఫంక్షన్ F(x) అంటారు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ఈ సెగ్మెంట్‌లోని ఏదైనా పాయింట్‌లో సమానత్వం నిజమైతే సెగ్మెంట్‌లో f(x) ఫంక్షన్:

ఒకే ఫంక్షన్ కోసం అనంతమైన యాంటీడెరివేటివ్‌లు ఉండవచ్చని గమనించాలి. అవి కొన్ని స్థిరమైన సంఖ్యల ద్వారా ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

నిరవధిక సమగ్రం.

నిర్వచనం: నిరవధిక సమగ్రఫంక్షన్‌ఎఫ్(x) అనేది రిలేషన్ ద్వారా నిర్వచించబడిన యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌ల సమితి:

వ్రాయండి:

ఒక నిర్దిష్ట విభాగంలో నిరవధిక సమగ్ర ఉనికికి సంబంధించిన షరతు ఈ విభాగంలోని ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు.

లక్షణాలు:

1.

2.

3.

4.

ఉదాహరణ:

నిరవధిక సమగ్రం యొక్క విలువను కనుగొనడం అనేది ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడంలో ప్రధానంగా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. కొన్ని ఫంక్షన్లకు ఇది చాలా కష్టమైన పని. హేతుబద్ధమైన, అహేతుకమైన, త్రికోణమితి, ఘాతాంక, మొదలైనవి - ఫంక్షన్ల యొక్క ప్రధాన తరగతుల కోసం నిరవధిక సమగ్రాలను కనుగొనే పద్ధతులను మేము క్రింద పరిశీలిస్తాము.

సౌలభ్యం కోసం, చాలా ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల యొక్క నిరవధిక సమగ్రాల విలువలు సమగ్రాల ప్రత్యేక పట్టికలలో సేకరించబడతాయి, ఇవి కొన్నిసార్లు చాలా పెద్దవిగా ఉంటాయి. అవి సాధారణంగా ఉపయోగించే వివిధ ఫంక్షన్ల కలయికలను కలిగి ఉంటాయి. కానీ ఈ పట్టికలలో సమర్పించబడిన చాలా సూత్రాలు ఒకదానికొకటి పరిణామాలు, కాబట్టి క్రింద మేము ప్రాథమిక సమగ్రాల పట్టికను ప్రదర్శిస్తాము, దీని సహాయంతో మీరు వివిధ ఫంక్షన్ల యొక్క నిరవధిక సమగ్రాల విలువలను పొందవచ్చు.

సమగ్ర		అర్థం	సమగ్ర		అర్థం
		lnsinx+ C
		ln

ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతులు.

ఏకీకరణ యొక్క మూడు ప్రధాన పద్ధతులను పరిశీలిద్దాం.

ప్రత్యక్ష ఏకీకరణ.

డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతి అనేది భేదం ద్వారా ఈ విలువ యొక్క మరింత ధృవీకరణతో యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ యొక్క సాధ్యమైన విలువ యొక్క ఊహపై ఆధారపడి ఉంటుంది. సాధారణంగా, ఏకీకరణ ఫలితాలను తనిఖీ చేయడానికి భేదం ఒక శక్తివంతమైన సాధనం అని మేము గమనించాము.

ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ పద్ధతి యొక్క అనువర్తనాన్ని చూద్దాం:

మేము సమగ్ర విలువను కనుగొనాలి . బాగా తెలిసిన డిఫరెన్సియేషన్ ఫార్ములా ఆధారంగా
కోరిన సమగ్రం సమానం అని మేము నిర్ధారించగలము
, ఇక్కడ C అనేది కొంత స్థిరమైన సంఖ్య. అయితే, మరోవైపు
. అందువలన, మేము చివరకు ముగించవచ్చు:

వ్యుత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి స్పష్టమైన పద్ధతులు మరియు పద్ధతులు ఉపయోగించబడిన భేదానికి విరుద్ధంగా, ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే నియమాలు మరియు చివరకు ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం, అటువంటి పద్ధతులు ఏకీకరణకు అందుబాటులో లేవని గమనించండి. ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనేటప్పుడు, మేము నిర్మాణాత్మక పద్ధతులను ఉపయోగించినట్లయితే, ఇది కొన్ని నియమాల ఆధారంగా ఫలితానికి దారితీసింది, అప్పుడు యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనేటప్పుడు మనం ప్రధానంగా ఉత్పన్నాలు మరియు యాంటీడెరివేటివ్‌ల పట్టికల పరిజ్ఞానంపై ఆధారపడాలి.

డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతికి సంబంధించి, ఇది చాలా పరిమిత తరగతుల ఫంక్షన్లకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. మీరు వెంటనే యాంటీడెరివేటివ్‌ని కనుగొనగలిగే చాలా తక్కువ ఫంక్షన్‌లు ఉన్నాయి. అందువలన, చాలా సందర్భాలలో, క్రింద వివరించిన పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి.

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి (వేరియబుల్స్ స్థానంలో).

సిద్ధాంతం: మీరు సమగ్రతను కనుగొనవలసి ఉంటే
, కానీ యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడం కష్టం, ఆపై x =  (t) మరియు dx =  (t) dt భర్తీని ఉపయోగించడం ద్వారా ఇది మారుతుంది:

రుజువు : ప్రతిపాదిత సమానత్వాన్ని వేరు చేద్దాం:

పైన చర్చించిన నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ఆస్తి సంఖ్య 2 ప్రకారం:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

ఇది, ప్రవేశపెట్టిన సంజ్ఞామానాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ఇది ప్రారంభ ఊహ. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ.నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనండి
.

ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం t = సింక్స్, dt = cosxdt.

ఉదాహరణ.

ప్రత్యామ్నాయం
మాకు దొరికింది:

వివిధ రకాల ఫంక్షన్ల కోసం ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించే ఇతర ఉదాహరణలను మేము క్రింద పరిశీలిస్తాము.

భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ.

ఈ పద్ధతి ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం కోసం బాగా తెలిసిన సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది:

(uv)=uv+vu

ఇక్కడ uIV x యొక్క కొన్ని విధులు.

అవకలన రూపంలో: d(uv) =udv+vdu

సమగ్రపరచడం, మేము పొందుతాము:
, మరియు నిరవధిక సమగ్రం యొక్క పై లక్షణాలకు అనుగుణంగా:

లేదా
;

మేము భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ కోసం ఒక సూత్రాన్ని పొందాము, ఇది అనేక ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల సమగ్రాలను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణ.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, భాగాల ఫార్ములా ద్వారా ఏకీకరణ యొక్క స్థిరమైన అప్లికేషన్ మిమ్మల్ని క్రమంగా ఫంక్షన్‌ను సులభతరం చేయడానికి మరియు సమగ్రతను పట్టికకు తీసుకురావడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణ.

భాగాల వారీగా ఏకీకరణ యొక్క పునరావృత అప్లికేషన్ ఫలితంగా, ఫంక్షన్ పట్టిక రూపంలోకి సరళీకరించబడలేదని చూడవచ్చు. ఏది ఏమైనప్పటికీ, పొందబడిన చివరి సమగ్రత అసలు దానికి భిన్నంగా లేదు. అందువల్ల, మేము దానిని సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపుకు తరలిస్తాము.

అందువల్ల, సమగ్రాల పట్టికలను ఉపయోగించకుండా సమగ్రం కనుగొనబడింది.

మేము వివిధ తరగతుల ఫంక్షన్‌లను ఏకీకృతం చేయడానికి వివరమైన పద్ధతులను పరిగణించే ముందు, మేము వాటిని పట్టిక వాటికి తగ్గించడం ద్వారా నిరవధిక సమగ్రాలను కనుగొనడానికి మరిన్ని ఉదాహరణలను ఇస్తాము.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

ప్రాథమిక భిన్నాల ఏకీకరణ.

నిర్వచనం: ప్రాథమికకింది నాలుగు రకాల భిన్నాలను అంటారు:

I.
III.

II.
IV.

m,n – సహజ సంఖ్యలు (m2,n2) మరియు b 2 – 4ac<0.

ప్రాథమిక భిన్నాల యొక్క మొదటి రెండు రకాల సమగ్రాలను t=ax+b ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా చాలా సరళంగా పట్టికలకు తీసుకురావచ్చు.

రకం III యొక్క ప్రాథమిక భిన్నాలను ఏకీకృతం చేసే పద్ధతిని పరిశీలిద్దాం.

రకం III యొక్క భిన్నం యొక్క సమగ్రతను ఇలా సూచించవచ్చు:

ఇక్కడ, సాధారణ రూపంలో, రకం III యొక్క భిన్నం సమగ్రతను రెండు పట్టిక సమగ్రాలకు తగ్గించడం చూపబడింది.

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి పై సూత్రం యొక్క అనువర్తనాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ట్రినోమియల్ గొడ్డలి 2 +bx+cకి b 2 – 4ac>0 అనే వ్యక్తీకరణ ఉంటే, అప్పుడు భిన్నం, నిర్వచనం ప్రకారం, ప్రాథమికమైనది కాదు, అయినప్పటికీ, అది పైన సూచించిన పద్ధతిలో ఏకీకృతం చేయబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

రకం IV యొక్క సాధారణ భిన్నాలను ఏకీకృతం చేయడానికి ఇప్పుడు పద్ధతులను పరిశీలిద్దాం.

ముందుగా, M = 0, N = 1తో ప్రత్యేక సందర్భాన్ని పరిశీలిద్దాం.

అప్పుడు రూపం యొక్క సమగ్రం
రూపంలో పూర్తి చతురస్రం యొక్క హారంను వేరుచేయడం ద్వారా సూచించవచ్చు
. కింది పరివర్తనను చేద్దాం:

మేము ఈ సమానత్వంలో చేర్చబడిన రెండవ సమగ్రతను భాగాల వారీగా తీసుకుంటాము.

సూచిస్తాము:

అసలు సమగ్రం కోసం మేము పొందుతాము:

ఫలిత సూత్రం అంటారు పునరావృతం.మీరు దీన్ని n-1 సార్లు వర్తింపజేస్తే, మీరు పట్టిక సమగ్రతను పొందుతారు
.

ఇప్పుడు సాధారణ సందర్భంలో రకం IV యొక్క ప్రాథమిక భిన్నం యొక్క సమగ్రానికి తిరిగి వెళ్దాం.

ఫలితంగా సమానత్వంలో, ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి మొదటి సమగ్రం t = u 2 + లుపట్టికకు తగ్గించబడింది , మరియు పైన చర్చించిన పునరావృత సూత్రం రెండవ సమగ్రానికి వర్తించబడుతుంది.

రకం IV యొక్క ప్రాథమిక భిన్నాన్ని ఏకీకృతం చేయడంలో స్పష్టమైన సంక్లిష్టత ఉన్నప్పటికీ, ఆచరణలో చిన్న డిగ్రీ ఉన్న భిన్నాల కోసం ఉపయోగించడం చాలా సులభం. n, మరియు విధానం యొక్క సార్వత్రికత మరియు సాధారణత కంప్యూటర్లో ఈ పద్ధతి యొక్క చాలా సులభమైన అమలును సాధ్యం చేస్తుంది.

ఉదాహరణ:

హేతుబద్ధమైన విధుల ఏకీకరణ.

హేతుబద్ధమైన భిన్నాలను సమగ్రపరచడం.

హేతుబద్ధమైన భిన్నాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి, దానిని ప్రాథమిక భిన్నాలుగా విడదీయడం అవసరం.

సిద్ధాంతం: ఉంటే
- సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నం, దీని యొక్క హారం P(x) సరళ మరియు వర్గ కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుంది (వాస్తవ గుణకాలు కలిగిన ఏదైనా బహుపది ఈ రూపంలో సూచించబడుతుందని గమనించండి: పి(x) = (x - a)  …(x - బి)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + లు)  ), అప్పుడు ఈ భిన్నాన్ని కింది పథకం ప్రకారం ప్రాథమికంగా విభజించవచ్చు:

ఇక్కడ A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i కొన్ని స్థిరమైన పరిమాణాలు.

హేతుబద్ధమైన భిన్నాలను ఏకీకృతం చేస్తున్నప్పుడు, అవి అసలు భిన్నాన్ని ప్రాథమికంగా కుళ్ళిపోవడాన్ని ఆశ్రయిస్తాయి. A i , B i , M i , N i , R i , Si , అని పిలవబడే పరిమాణాలను కనుగొనడానికి అనిశ్చిత గుణకాల పద్ధతి, దీని సారాంశం ఏమిటంటే, రెండు బహుపదాలు ఒకేలా సమానంగా ఉండాలంటే, x యొక్క అదే శక్తుల వద్ద ఉన్న గుణకాలు సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

సాధారణ హారంకు తగ్గించడం మరియు సంబంధిత సంఖ్యలను సమం చేయడం, మేము పొందుతాము:

ఉదాహరణ.

ఎందుకంటే భిన్నం సరికాకపోతే, మీరు ముందుగా దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోవాలి:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 – 25x – 25

ఫలిత భిన్నం యొక్క హారంను కారకం చేద్దాం. x = 3 వద్ద భిన్నం యొక్క హారం సున్నాకి మారుతుందని చూడవచ్చు. అప్పుడు:

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x- 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2

అందువలన 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). అప్పుడు:

బ్రాకెట్‌లను తెరవడాన్ని నివారించడానికి, అనిశ్చిత గుణకాలను కనుగొనేటప్పుడు సమీకరణాల వ్యవస్థను సమూహపరచడం మరియు పరిష్కరించడం (కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది చాలా పెద్దదిగా మారవచ్చు). ఏకపక్ష విలువ పద్ధతి. పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, అనేక (నిర్ధారించబడని గుణకాల సంఖ్య ప్రకారం) x యొక్క ఏకపక్ష విలువలు పై వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటాయి. గణనలను సరళీకృతం చేయడానికి, భిన్నం యొక్క హారం సున్నాకి సమానమైన పాయింట్లను ఏకపక్ష విలువలుగా తీసుకోవడం ఆచారం, అనగా. మా విషయంలో – 3, -2, 1/3. మాకు దొరికింది:

చివరగా మనకు లభిస్తుంది:

=

ఉదాహరణ.

నిర్ణయించబడని గుణకాలను కనుగొనండి:

అప్పుడు ఇచ్చిన సమగ్ర విలువ:

కొన్ని త్రికోణమితి యొక్క ఏకీకరణ

విధులు.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల నుండి అనంతమైన సంఖ్యలు ఉండవచ్చు. ఈ సమగ్రాలను చాలా వరకు విశ్లేషణాత్మకంగా లెక్కించలేము, కాబట్టి మేము ఎల్లప్పుడూ ఏకీకృతం చేయగల కొన్ని ముఖ్యమైన రకాల ఫంక్షన్‌లను పరిశీలిస్తాము.

రూపం యొక్క సమగ్రత
.

ఇక్కడ R అనేది sinx మరియు cosx వేరియబుల్స్ యొక్క కొంత హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క హోదా.

ఈ రకమైన ఇంటిగ్రల్స్ ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడతాయి
. ఈ ప్రత్యామ్నాయం త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌ను హేతుబద్ధమైనదిగా మార్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

,

అప్పుడు

ఈ విధంగా:

పైన వివరించిన పరివర్తన అంటారు సార్వత్రిక త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయం.

ఉదాహరణ.

ఈ ప్రత్యామ్నాయం యొక్క నిస్సందేహమైన ప్రయోజనం ఏమిటంటే, దాని సహాయంతో మీరు ఎల్లప్పుడూ త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌ను హేతుబద్ధమైనదిగా మార్చవచ్చు మరియు సంబంధిత సమగ్రతను లెక్కించవచ్చు. ప్రతికూలతలు ఏమిటంటే, పరివర్తన సంక్లిష్టమైన హేతుబద్ధమైన పనితీరును కలిగిస్తుంది, దీని ఏకీకరణకు చాలా సమయం మరియు కృషి పడుతుంది.

అయినప్పటికీ, వేరియబుల్ యొక్క మరింత హేతుబద్ధమైన భర్తీని వర్తింపజేయడం అసాధ్యం అయితే, ఈ పద్ధతి మాత్రమే ప్రభావవంతమైనది.

ఉదాహరణ.

రూపం యొక్క సమగ్రత
ఉంటే

ఫంక్షన్ఆర్cosx.

సార్వత్రిక త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి అటువంటి సమగ్రతను లెక్కించే అవకాశం ఉన్నప్పటికీ, ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించడం మరింత హేతుబద్ధమైనది t = సింక్స్.

ఫంక్షన్
సమాన శక్తులలో మాత్రమే cosxని కలిగి ఉంటుంది మరియు అందువల్ల sinxకి సంబంధించి హేతుబద్ధమైన విధిగా మార్చబడుతుంది.

ఉదాహరణ.

సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఈ పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి, కొసైన్‌కు సంబంధించి ఫంక్షన్ యొక్క అసమానత మాత్రమే అవసరం మరియు ఫంక్షన్‌లో చేర్చబడిన సైన్ డిగ్రీ పూర్ణాంకం మరియు భిన్నం రెండూ కావచ్చు.

రూపం యొక్క సమగ్రత
ఉంటే

ఫంక్షన్ఆర్బేసి సాపేక్షంగా ఉందిసింక్స్.

పైన పరిగణించబడిన కేసుతో సారూప్యత ద్వారా, ప్రత్యామ్నాయం చేయబడుతుంది t = cosx.

ఉదాహరణ.

రూపం యొక్క సమగ్రత

ఫంక్షన్ఆర్సాపేక్షంగా కూడాసింక్స్మరియుcosx.

ఫంక్షన్ R ను హేతుబద్ధమైనదిగా మార్చడానికి, ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించండి

t = tgx.

ఉదాహరణ.

సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల ఉత్పత్తి యొక్క సమగ్రత

వివిధ వాదనలు.

పని రకాన్ని బట్టి, మూడు సూత్రాలలో ఒకటి వర్తించబడుతుంది:

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

కొన్నిసార్లు త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను ఏకీకృతం చేసేటప్పుడు ఫంక్షన్ల క్రమాన్ని తగ్గించడానికి బాగా తెలిసిన త్రికోణమితి సూత్రాలను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ.

ఉదాహరణ.

కొన్నిసార్లు కొన్ని ప్రామాణికం కాని పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి.

ఉదాహరణ.

కొన్ని అహేతుక ఫంక్షన్ల ఏకీకరణ.

ప్రతి అహేతుక విధి ప్రాథమిక విధుల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన సమగ్రతను కలిగి ఉండదు. అహేతుక ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను కనుగొనడానికి, మీరు ఫంక్షన్‌ను హేతుబద్ధమైనదిగా మార్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించాలి, దాని సమగ్రతను ఎల్లప్పుడూ తెలిసినట్లుగా కనుగొనవచ్చు.

వివిధ రకాల అహేతుక విధులను ఏకీకృతం చేయడానికి కొన్ని పద్ధతులను చూద్దాం.

రూపం యొక్క సమగ్రత
ఎక్కడn- సహజ సంఖ్య.

ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించడం
ఫంక్షన్ హేతుబద్ధీకరించబడింది.

ఉదాహరణ.

అహేతుక ఫంక్షన్ యొక్క కూర్పు వివిధ డిగ్రీల మూలాలను కలిగి ఉన్నట్లయితే, ఒక కొత్త వేరియబుల్‌గా వ్యక్తీకరణలో చేర్చబడిన మూలాల డిగ్రీల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానమైన డిగ్రీ యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడం హేతుబద్ధమైనది.

దీనిని ఒక ఉదాహరణతో ఉదహరిద్దాం.

ఉదాహరణ.

ద్విపద భేదాల ఏకీకరణ.

నిర్వచనం: ద్విపద భేదంవ్యక్తీకరణ అని పిలుస్తారు

x m (a + bx n ) p dx

ఎక్కడ m, n, మరియు p- హేతుబద్ధ సంఖ్యలు.

విద్యావేత్త P.L. చెబిషెవ్ చేత నిరూపించబడింది. (1821-1894), ద్విపద భేదం యొక్క సమగ్రత క్రింది మూడు సందర్భాలలో మాత్రమే ప్రాథమిక విధుల పరంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

ఉంటే ఆర్ఒక పూర్ణాంకం, అప్పుడు సమగ్రత ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి హేతుబద్ధీకరించబడుతుంది

, ఇక్కడ  అనేది సాధారణ హారం mమరియు n.