ఫంక్షన్ యొక్క సమానత్వం లేదా అసమానతను ఎలా గుర్తించాలి. విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువ

ఏదైనా మరియు సమానత్వం కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ను సరి (బేసి) అంటారు

.

సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది
.

బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 6.2.ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదా అని పరిశీలించండి

1)
; 2)
; 3)
.

పరిష్కారం.

1) ఫంక్షన్ ఎప్పుడు నిర్వచించబడింది
. మేము కనుగొంటాము
.

ఆ.
. దీని అర్థం ఈ ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది.

2) ఫంక్షన్ ఎప్పుడు నిర్వచించబడింది

ఆ.
. అందువలన, ఈ ఫంక్షన్ బేసి.

3) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది, అనగా. కోసం

,
. అందువల్ల ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు. దీనిని సాధారణ రూపం యొక్క ఫంక్షన్ అని పిలుద్దాం.

3. మోనోటోనిసిటీ కోసం ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం.

ఫంక్షన్
ఈ విరామంలో ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ప్రతి పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద (చిన్న) విలువకు అనుగుణంగా ఉంటే, నిర్దిష్ట విరామంలో పెరుగుతున్న (తగ్గడం) అంటారు.

నిర్దిష్ట వ్యవధిలో పెరుగుతున్న (తగ్గుతున్న) విధులను మోనోటోనిక్ అంటారు.

ఫంక్షన్ అయితే
విరామంలో తేడా ఉంటుంది
మరియు సానుకూల (ప్రతికూల) ఉత్పన్నం ఉంది
, తర్వాత ఫంక్షన్
ఈ విరామంలో పెరుగుతుంది (తగ్గుతుంది).

ఉదాహరణ 6.3. ఫంక్షన్ల మోనోటోనిసిటీ యొక్క విరామాలను కనుగొనండి

1)
; 3)
.

పరిష్కారం.

1) ఈ ఫంక్షన్ మొత్తం సంఖ్య రేఖపై నిర్వచించబడింది. ఉత్పన్నం కనుక్కోండి.

ఉత్పన్నం అయితే సున్నాకి సమానం
మరియు
. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ సంఖ్య అక్షం, చుక్కల ద్వారా విభజించబడింది
,
విరామాలలో. ప్రతి విరామంలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ధారిద్దాం.

ఇంటర్వెల్‌లో
ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది.

ఇంటర్వెల్‌లో
ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

2) ఉంటే ఈ ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది
లేదా

.

మేము ప్రతి విరామంలో క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయిస్తాము.

అందువలన, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్

ఉత్పన్నం కనుక్కోండి
,
, ఉంటే
, అనగా
, కానీ
. విరామాలలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ధారిద్దాం
.

ఇంటర్వెల్‌లో
ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, విరామంలో ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది
. ఇంటర్వెల్‌లో
ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది, విరామంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది
.

4. ఎక్స్‌ట్రీమ్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం.

చుక్క
ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట (కనిష్ట) పాయింట్ అని పిలుస్తారు
, పాయింట్ అటువంటి పొరుగు ఉంటే అది అందరి కోసం
ఈ పొరుగు ప్రాంతం నుండి అసమానత ఉంది

.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్లు అంటారు.

ఫంక్షన్ అయితే
పాయింట్ వద్ద ఒక విపరీతాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం లేదా ఉనికిలో ఉండదు (అతివృత్తం యొక్క ఉనికికి అవసరమైన పరిస్థితి).

ఉత్పన్నం సున్నా లేదా ఉనికిలో లేని పాయింట్లను క్రిటికల్ అంటారు.

5. ఒక విపరీతమైన ఉనికికి తగిన పరిస్థితులు.

నియమం 1. పరివర్తన సమయంలో (ఎడమ నుండి కుడికి) క్లిష్టమైన పాయింట్ ద్వారా ఉంటే ఉత్పన్నం
చిహ్నాన్ని “+” నుండి “–”కి మారుస్తుంది, ఆపై పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్
గరిష్టంగా ఉంది; ఒకవేళ “–” నుండి “+” వరకు, అప్పుడు కనిష్టం; ఉంటే
చిహ్నాన్ని మార్చదు, అప్పుడు అంత్యాంశం లేదు.

నియమం 2. పాయింట్ వద్ద లెట్
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం
సున్నాకి సమానం
, మరియు రెండవ ఉత్పన్నం ఉంది మరియు సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఉంటే
, ఆ - గరిష్ట పాయింట్, అయితే
, ఆ - ఫంక్షన్ యొక్క కనీస పాయింట్.

ఉదాహరణ 6.4 . గరిష్ట మరియు కనిష్ట విధులను అన్వేషించండి:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

పరిష్కారం.

1) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది మరియు విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది
.

ఉత్పన్నం కనుక్కోండి
మరియు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
, అనగా
.ఇక్కడనుంచి
- క్లిష్టమైన పాయింట్లు.

వ్యుత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని విరామాలలో నిర్ధారిద్దాం,
.

పాయింట్ల గుండా వెళుతున్నప్పుడు
మరియు
"-" నుండి "+"కి ఉత్పన్న మార్పుల గుర్తు, కాబట్టి, నియమం 1 ప్రకారం
- కనీస పాయింట్లు.

ఒక పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు
ఉత్పన్నం చిహ్నాన్ని “+” నుండి “–”కి మారుస్తుంది, కాబట్టి
- గరిష్ట పాయింట్.

,
.

2) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది మరియు విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది
. ఉత్పన్నం కనుక్కోండి
.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత
, మేము కనుగొంటాము
మరియు
- క్లిష్టమైన పాయింట్లు. హారం ఉంటే
, అనగా
, అప్పుడు ఉత్పన్నం లేదు. కాబట్టి,
- మూడవ క్లిష్టమైన పాయింట్. వ్యుత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని విరామాలలో నిర్ధారిద్దాం.

అందువల్ల, ఫంక్షన్ పాయింట్ వద్ద కనిష్టంగా ఉంటుంది
, పాయింట్లలో గరిష్టంగా
మరియు
.

3) ఒక ఫంక్షన్ నిర్వచించబడుతుంది మరియు నిరంతరంగా ఉంటే
, అనగా వద్ద
.

ఉత్పన్నం కనుక్కోండి

.

క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనండి:

పాయింట్ల పరిసరాలు
నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినవి కావు, కాబట్టి అవి అంత్యాంశాలు కావు. కాబట్టి, క్లిష్టమైన అంశాలను పరిశీలిద్దాం
మరియు
.

4) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది మరియు విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది
. నియమం 2ని ఉపయోగిస్తాము. ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి
.

క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనండి:

రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి
మరియు పాయింట్ల వద్ద దాని గుర్తును నిర్ణయించండి

పాయింట్ల వద్ద
ఫంక్షన్ కనిష్టంగా ఉంటుంది.

పాయింట్ల వద్ద
ఫంక్షన్ గరిష్టంగా ఉంటుంది.

ఫంక్షన్అత్యంత ముఖ్యమైన గణిత భావనలలో ఒకటి. ఫంక్షన్ - వేరియబుల్ డిపెండెన్సీ వద్దవేరియబుల్ నుండి x, ప్రతి విలువ ఉంటే Xఒకే విలువతో సరిపోలుతుంది వద్ద. వేరియబుల్ Xస్వతంత్ర వేరియబుల్ లేదా ఆర్గ్యుమెంట్ అని పిలుస్తారు. వేరియబుల్ వద్దడిపెండెంట్ వేరియబుల్ అంటారు. స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క అన్ని విలువలు (వేరియబుల్ x) ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను ఏర్పరుస్తుంది. డిపెండెంట్ వేరియబుల్ తీసుకునే అన్ని విలువలు (వేరియబుల్ వై), ఫంక్షన్ యొక్క విలువల పరిధిని ఏర్పరుస్తుంది.

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల సమితిని కాల్ చేయండి, వీటిలో అబ్సిస్సాస్ వాదన యొక్క విలువలకు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఆర్డినేట్‌లు ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత విలువలకు సమానం, అనగా, విలువలు వేరియబుల్ abscissa అక్షం వెంట ప్లాట్ చేయబడింది x, మరియు వేరియబుల్ యొక్క విలువలు ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట ప్లాట్ చేయబడ్డాయి వై. ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయడానికి, మీరు ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను తెలుసుకోవాలి. ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు క్రింద చర్చించబడతాయి!

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి, మా ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము - ఆన్‌లైన్‌లో గ్రాఫింగ్ ఫంక్షన్‌లు. ఈ పేజీలోని విషయాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే, మీరు వాటిని మా ఫోరమ్‌లో ఎల్లప్పుడూ అడగవచ్చు. ఫోరమ్‌లో గణితం, రసాయన శాస్త్రం, జ్యామితి, సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు అనేక ఇతర విషయాలలో సమస్యలను పరిష్కరించడంలో వారు మీకు సహాయం చేస్తారు!

ఫంక్షన్ల ప్రాథమిక లక్షణాలు.

1) ఫంక్షన్ డొమైన్ మరియు ఫంక్షన్ పరిధి.

ఫంక్షన్ డొమైన్ అనేది అన్ని చెల్లుబాటు అయ్యే ఆర్గ్యుమెంట్ విలువల సమితి x(వేరియబుల్ x), దీని కోసం ఫంక్షన్ y = f(x)నిర్ణయించారు.
ఫంక్షన్ యొక్క పరిధి అన్ని వాస్తవ విలువల సమితి వై, ఇది ఫంక్షన్ అంగీకరిస్తుంది.

ప్రాథమిక గణితంలో, విధులు వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో మాత్రమే అధ్యయనం చేయబడతాయి.

2) ఫంక్షన్ సున్నాలు.

విలువలు X, దేని వద్ద y=0, అని పిలిచారు ఫంక్షన్ సున్నాలు. ఇవి ఆక్స్ అక్షంతో ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన బిందువుల అబ్సిస్సాస్.

3) ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు.

ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు అటువంటి విలువల విరామాలు x, దీనిలో ఫంక్షన్ విలువలు ఉంటాయి వైకేవలం పాజిటివ్ లేదా నెగెటివ్ మాత్రమే అంటారు ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు.

4) ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ.

పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ (నిర్దిష్ట విరామంలో) అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీనిలో ఈ విరామం నుండి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ (నిర్దిష్ట విరామంలో) అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీనిలో ఈ విరామం నుండి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

5) సరి (బేసి) ఫంక్షన్.

ఈవెన్ ఫంక్షన్ అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మూలానికి సంబంధించి మరియు దేనికైనా సుష్టంగా ఉంటుంది. X f(-x) = f(x). సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఆర్డినేట్ గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

బేసి ఫంక్షన్ అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మూలానికి సంబంధించి మరియు దేనికైనా సుష్టంగా ఉంటుంది. Xనిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి సమానత్వం నిజం f(-x) = - f(x) బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

కూడా ఫంక్షన్
1) నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ పాయింట్ (0; 0)కి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది, అంటే, పాయింట్ అయితే aనిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినది, ఆపై పాయింట్ -ఎనిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు కూడా చెందినది.
2) ఏదైనా విలువ కోసం x f(-x)=f(x)
3) సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ Oy అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

బేసి ఫంక్షన్కింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది:
1) నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ పాయింట్ (0; 0) గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.
2) ఏదైనా విలువ కోసం x, నిర్వచనం, సమానత్వం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినది f(-x)=-f(x)
3) బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది (0; 0).

ప్రతి ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు. విధులు సాధారణ వీక్షణసరి లేదా బేసి కాదు.

6) పరిమిత మరియు అపరిమిత విధులు.

|f(x)| అనే ధనాత్మక సంఖ్య M ఉన్నట్లయితే ఒక ఫంక్షన్‌ని బౌండడ్ అంటారు x యొక్క అన్ని విలువలకు ≤ M. అటువంటి సంఖ్య లేనట్లయితే, ఫంక్షన్ అపరిమితంగా ఉంటుంది.

7) ఫంక్షన్ యొక్క ఆవర్తనము.

ఒక ఫంక్షన్ f(x) అనేది సున్నా కాని సంఖ్య T ఉన్నట్లయితే, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి ఏదైనా x కోసం కింది వాటిని కలిగి ఉంటుంది: f(x+T) = f(x). ఈ అతి చిన్న సంఖ్యను ఫంక్షన్ యొక్క కాలం అంటారు. అన్ని త్రికోణమితి విధులు ఆవర్తనమైనవి. (త్రికోణమితి సూత్రాలు).

ఫంక్షన్ fఏదైనా ఒక సంఖ్య ఉంటే ఆవర్తన అంటారు xసమానత్వం నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి f(x)=f(x-T)=f(x+T). టిఫంక్షన్ యొక్క కాలం.

ప్రతి ఆవర్తన ఫంక్షన్ అనంతమైన కాలాలను కలిగి ఉంటుంది. ఆచరణలో, చిన్న సానుకూల కాలం సాధారణంగా పరిగణించబడుతుంది.

ఆవర్తన ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు కాలానికి సమానమైన విరామం తర్వాత పునరావృతమవుతాయి. గ్రాఫ్‌లను నిర్మించేటప్పుడు ఇది ఉపయోగించబడుతుంది.

గ్రాఫ్‌లను మారుస్తోంది.

ఫంక్షన్ యొక్క మౌఖిక వివరణ.

గ్రాఫిక్ పద్ధతి.

ఫంక్షన్‌ను పేర్కొనే గ్రాఫికల్ పద్ధతి అత్యంత దృశ్యమానమైనది మరియు సాంకేతికతలో తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. గణిత విశ్లేషణలో, ఫంక్షన్‌లను పేర్కొనే గ్రాఫికల్ పద్ధతి ఒక ఉదాహరణగా ఉపయోగించబడుతుంది.

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ f అనేది కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల (x;y) సమితి, ఇక్కడ y=f(x), మరియు x ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌ను “రన్ చేస్తుంది”.

Oy అక్షానికి సమాంతరంగా ఏదైనా సరళ రేఖతో ఒకటి కంటే ఎక్కువ సాధారణ బిందువులు లేకుంటే, కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క ఉపసమితి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్.

ఉదాహరణ. దిగువన ఉన్న బొమ్మలు ఫంక్షన్‌ల గ్రాఫ్‌లా?

గ్రాఫిక్ టాస్క్ యొక్క ప్రయోజనం దాని స్పష్టత. ఫంక్షన్ ఎలా ప్రవర్తిస్తుందో, ఎక్కడ పెరుగుతుంది మరియు ఎక్కడ తగ్గుతుందో మీరు వెంటనే చూడవచ్చు. గ్రాఫ్ నుండి మీరు వెంటనే ఫంక్షన్ యొక్క కొన్ని ముఖ్యమైన లక్షణాలను కనుగొనవచ్చు.

సాధారణంగా, ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించే విశ్లేషణాత్మక మరియు గ్రాఫికల్ పద్ధతులు ఒకదానితో ఒకటి కలిసిపోతాయి. ఫార్ములాతో పని చేయడం గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడంలో సహాయపడుతుంది. మరియు గ్రాఫ్ తరచుగా మీరు సూత్రంలో గమనించని పరిష్కారాలను సూచిస్తుంది.

మనం ఇప్పుడే చూసిన ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించడానికి దాదాపు ఏ విద్యార్థికైనా మూడు మార్గాలు తెలుసు.

ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిద్దాం: "ఫంక్షన్‌ను పేర్కొనడానికి ఇతర మార్గాలు ఉన్నాయా?"

అలాంటి మార్గం ఉంది.

ఫంక్షన్ చాలా నిస్సందేహంగా పదాలలో పేర్కొనవచ్చు.

ఉదాహరణకు, y=2x ఫంక్షన్‌ని క్రింది శబ్ద వివరణ ద్వారా పేర్కొనవచ్చు: ఆర్గ్యుమెంట్ x యొక్క ప్రతి వాస్తవ విలువ దాని డబుల్ విలువతో అనుబంధించబడుతుంది. నియమం స్థాపించబడింది, ఫంక్షన్ పేర్కొనబడింది.

అంతేకాకుండా, మీరు ఫార్ములాను ఉపయోగించి నిర్వచించడం అసాధ్యం కాకపోయినా చాలా కష్టమైన ఫంక్షన్‌ను మౌఖికంగా పేర్కొనవచ్చు.

ఉదాహరణకు: సహజ ఆర్గ్యుమెంట్ x యొక్క ప్రతి విలువ x విలువను రూపొందించే అంకెల మొత్తంతో అనుబంధించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, x=3 అయితే, y=3. x=257 అయితే, y=2+5+7=14. మరియు అందువలన న. దీన్ని ఫార్ములాలో రాయడం సమస్యాత్మకం. కానీ సంకేతం చేయడం సులభం.

మౌఖిక వివరణ పద్ధతి చాలా అరుదుగా ఉపయోగించే పద్ధతి. కానీ కొన్నిసార్లు అది చేస్తుంది.

x మరియు y మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఉన్నట్లయితే, అప్పుడు ఒక ఫంక్షన్ ఉంటుంది. ఏ చట్టం, ఏ రూపంలో వ్యక్తీకరించబడింది - ఒక సూత్రం, టాబ్లెట్, గ్రాఫ్, పదాలు - విషయం యొక్క సారాంశాన్ని మార్చదు.

మూలానికి సంబంధించి నిర్వచన డొమైన్‌లు సుష్టంగా ఉండే ఫంక్షన్‌లను పరిశీలిద్దాం, అనగా. ఎవరికైనా Xడెఫినిషన్ నంబర్ డొమైన్ నుండి (- X) కూడా నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినది. వీటిలో విధులు ఉన్నాయి సరి మరియు బేసి.

నిర్వచనం.ఫంక్షన్ f అంటారు కూడా, ఏదైనా ఉంటే Xదాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి

ఉదాహరణ.ఫంక్షన్ పరిగణించండి

ఇది సమానంగా ఉంటుంది. దాన్ని తనిఖీ చేద్దాం.

ఎవరికైనా Xసమానత్వాలు సంతృప్తి చెందుతాయి

అందువలన, రెండు షరతులు నెరవేరుతాయి, అంటే ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ క్రింద ఉంది.

నిర్వచనం.ఫంక్షన్ f అంటారు బేసి, ఏదైనా ఉంటే Xదాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి

ఉదాహరణ. ఫంక్షన్ పరిగణించండి

ఇది బేసిగా ఉంది. దాన్ని తనిఖీ చేద్దాం.

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మొత్తం సంఖ్యా అక్షం, అంటే ఇది పాయింట్ (0;0) గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఎవరికైనా Xసమానత్వాలు సంతృప్తి చెందుతాయి

అందువలన, రెండు షరతులు కలుసుకున్నాయి, అంటే ఫంక్షన్ బేసిగా ఉంటుంది. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ క్రింద ఉంది.

మొదటి మరియు మూడవ బొమ్మలలో చూపబడిన గ్రాఫ్‌లు ఆర్డినేట్ అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటాయి మరియు రెండవ మరియు నాల్గవ బొమ్మలలో చూపిన గ్రాఫ్‌లు మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటాయి.

బొమ్మల్లో గ్రాఫ్‌లు చూపబడిన ఫంక్షన్‌లలో ఏవి సరి మరియు బేసిగా ఉంటాయి?

చూపించు దాచు

ఫంక్షన్‌ని పేర్కొనే పద్ధతులు

ఫంక్షన్‌ని ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వనివ్వండి: y=2x^(2)-3. స్వతంత్ర వేరియబుల్ xకి ఏదైనా విలువలను కేటాయించడం ద్వారా, మీరు ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, డిపెండెంట్ వేరియబుల్ y యొక్క సంబంధిత విలువలను లెక్కించవచ్చు. ఉదాహరణకు, x=-0.5 అయితే, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, y యొక్క సంబంధిత విలువ y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 అని మేము కనుగొంటాము.

ఫార్ములా y=2x^(2)-3లో ఆర్గ్యుమెంట్ x ద్వారా తీసుకున్న ఏదైనా విలువను తీసుకుంటే, మీరు దానికి సంబంధించిన ఫంక్షన్ యొక్క ఒక విలువను మాత్రమే లెక్కించవచ్చు. ఫంక్షన్‌ను పట్టికగా సూచించవచ్చు:

x	−2	−1	0	1	2	3
వై	−4	−3	−2	−1	0	1

ఈ పట్టికను ఉపయోగించి, మీరు ఆర్గ్యుమెంట్ విలువ −1కి ఫంక్షన్ విలువ −3 అనుగుణంగా ఉంటుందని చూడవచ్చు; మరియు x=2 విలువ y=0 మొదలైన వాటికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. పట్టికలోని ప్రతి ఆర్గ్యుమెంట్ విలువ ఒక ఫంక్షన్ విలువకు మాత్రమే అనుగుణంగా ఉంటుందని తెలుసుకోవడం కూడా ముఖ్యం.

గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించి మరిన్ని ఫంక్షన్‌లను పేర్కొనవచ్చు. గ్రాఫ్‌ని ఉపయోగించి, ఫంక్షన్ యొక్క ఏ విలువ నిర్దిష్ట విలువ xతో సహసంబంధం కలిగి ఉందో నిర్ధారించబడుతుంది. చాలా తరచుగా, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువ అవుతుంది.

సరి మరియు బేసి ఫంక్షన్

ఫంక్షన్ ఉంది కూడా ఫంక్షన్, డెఫినిషన్ డొమైన్ నుండి ఏదైనా x కోసం f(-x)=f(x) ఉన్నప్పుడు. ఇటువంటి ఫంక్షన్ Oy అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఫంక్షన్ ఉంది బేసి ఫంక్షన్, డెఫినిషన్ డొమైన్ నుండి ఏదైనా x కోసం f(-x)=-f(x) ఉన్నప్పుడు. అటువంటి ఫంక్షన్ మూలం O (0;0) గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఫంక్షన్ ఉంది కూడా కాదు, బేసి కాదుమరియు అంటారు సాధారణ ఫంక్షన్, ఇది అక్షం లేదా మూలం గురించి సమరూపతను కలిగి లేనప్పుడు.

సమానత్వం కోసం కింది ఫంక్షన్‌ను పరిశీలిద్దాం:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) మూలానికి సంబంధించి నిర్వచనం యొక్క సుష్ట డొమైన్‌తో. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

దీని అర్థం f(x)=3x^(3)-7x^(7) అనే ఫంక్షన్ బేసి.

ఆవర్తన ఫంక్షన్

ఫంక్షన్ y=f(x) , ఏ డొమైన్‌లోని సమానత్వం f(x+T)=f(x-T)=f(x) ఏదైనా xకి కలిగి ఉంటుంది, అంటారు ఆవర్తన ఫంక్షన్కాలం T \neq 0 తో.

T పొడవు ఉన్న x-అక్షంలోని ఏదైనా విభాగంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పునరావృతం చేయడం.

ఫంక్షన్ సానుకూలంగా ఉండే విరామాలు, అంటే, f(x) > 0, అబ్సిస్సా అక్షం పైన ఉన్న ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క బిందువులకు అనుగుణంగా ఉండే అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క విభాగాలు.

f(x) > 0 ఆన్ (x_(1); x_(2)) \కప్ (x_(3); +\infty)

ఫంక్షన్ ప్రతికూలంగా ఉన్న విరామాలు, అంటే f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

పరిమిత ఫంక్షన్

దిగువ నుండి బంధించబడిందిఏదైనా x \in Xకి అసమానత f(x) \geq A ఉన్న సంఖ్య A ఉన్నప్పుడు ఫంక్షన్‌ని y=f(x), x \in X అని పిలవడం ఆచారం.

దిగువ నుండి పరిమితమైన ఫంక్షన్ యొక్క ఉదాహరణ: y=\sqrt(1+x^(2)) నుండి y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 ఏదైనా x .

పై నుండి బంధించబడిందిఏదైనా x \in Xకి అసమానత f(x) \neq B కలిగి ఉండే ఒక సంఖ్య B ఉన్నపుడు y=f(x), x \in X అనే ఫంక్షన్ అంటారు.

క్రింద ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉదాహరణ: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 ఏదైనా x \in [-1;1] .

పరిమితం చేయబడిందిఅసమానత \ ఎడమకు K > 0 సంఖ్య ఉన్నప్పుడు ఫంక్షన్‌ని y=f(x), x \in X అని పిలవడం ఆచారం. f(x)\కుడి | \neq K ఏదైనా x కోసం \in X .

పరిమిత ఫంక్షన్‌కి ఉదాహరణ: y=\sin x మొత్తం సంఖ్య అక్షం మీద పరిమితం చేయబడింది \ఎడమ | \sin x \కుడి | \neq 1.

పనితీరును పెంచడం మరియు తగ్గించడం

వంటి పరిశీలనలో ఉన్న విరామంలో పెరిగే ఫంక్షన్ గురించి మాట్లాడటం ఆచారం పెరుగుతున్న ఫంక్షన్అప్పుడు, x యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉన్నప్పుడు. పరిశీలనలో ఉన్న విరామం నుండి x_(1) మరియు x_(2) వాదన యొక్క రెండు ఏకపక్ష విలువలను x_(1) > x_(2) తో తీసుకుంటే, ఫలితం y(x_(1)) > y(x_(2)).

పరిశీలనలో ఉన్న విరామంలో తగ్గే ఫంక్షన్ అంటారు తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ x యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ y(x) యొక్క చిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉన్నప్పుడు. x_(1) మరియు x_(2) , మరియు x_(1) > x_(2) అనే ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క రెండు ఏకపక్ష విలువలను పరిగణనలోకి తీసుకున్న విరామం నుండి తీసుకుంటే, ఫలితం y(x_(1))< y(x_{2}) .

ఫంక్షన్ రూట్స్ F=y(x) ఫంక్షన్ అబ్సిస్సా అక్షాన్ని కలుస్తున్న పాయింట్లను పిలవడం ఆచారం (అవి సమీకరణం y(x)=0ని పరిష్కరించడం ద్వారా పొందబడతాయి).

a) x > 0కి సరి ఫంక్షన్ పెరిగితే, అది xకి తగ్గుతుంది< 0

బి) x > 0 కోసం సరి ఫంక్షన్ తగ్గినప్పుడు, అది xకి పెరుగుతుంది< 0

c) బేసి ఫంక్షన్ x > 0 వద్ద పెరిగినప్పుడు, అది x వద్ద కూడా పెరుగుతుంది< 0

d) x > 0కి బేసి ఫంక్షన్ తగ్గినప్పుడు, అది xకి కూడా తగ్గుతుంది< 0

ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్ట్రీమా

ఫంక్షన్ యొక్క కనీస పాయింట్ y=f(x)ని సాధారణంగా ఒక పాయింట్ x=x_(0) అని పిలుస్తారు, దీని పరిసరాలు ఇతర పాయింట్‌లను కలిగి ఉంటాయి (పాయింట్ x=x_(0) తప్ప), మరియు వాటికి అసమానత f(x) > f అప్పుడు ఉంటుంది సంతృప్తి చెందింది (x_(0)) . y_(నిమి) - కనిష్ట పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క హోదా.

ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట పాయింట్ y=f(x)ని సాధారణంగా ఒక పాయింట్ x=x_(0) అని పిలుస్తారు, దీని పరిసరాలు ఇతర పాయింట్‌లను కలిగి ఉంటాయి (పాయింట్ x=x_(0) తప్ప), మరియు వాటికి అసమానత f(x) అప్పుడు సంతృప్తి చెందుతుంది< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

ముందస్తు అవసరం

ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతం ప్రకారం: f"(x)=0, x_(0) పాయింట్ వద్ద భేదాత్మకంగా ఉండే ఫంక్షన్ f(x) ఈ సమయంలో ఒక ఎక్స్‌ట్రంమ్‌ను కలిగి ఉంటుంది.

తగినంత పరిస్థితి

1. ఉత్పన్నం చిహ్నాన్ని ప్లస్ నుండి మైనస్‌కి మార్చినప్పుడు, అప్పుడు x_(0) కనిష్ట పాయింట్ అవుతుంది;
2. x_(0) - స్థిర బిందువు x_(0) గుండా వెళుతున్నప్పుడు ఉత్పన్నం చిహ్నాన్ని మైనస్ నుండి ప్లస్‌కి మార్చినప్పుడు మాత్రమే గరిష్ట పాయింట్ అవుతుంది.

విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువ

గణన దశలు:

1. ఉత్పన్నం f"(x) కోరబడుతుంది;
2. ఫంక్షన్ యొక్క స్థిర మరియు క్లిష్టమైన పాయింట్లు కనుగొనబడ్డాయి మరియు విభాగానికి చెందినవి ఎంపిక చేయబడతాయి;
3. ఫంక్షన్ f(x) యొక్క విలువలు సెగ్మెంట్ యొక్క స్థిర మరియు క్లిష్టమైన పాయింట్లు మరియు చివరలలో కనుగొనబడతాయి. పొందిన ఫలితాలలో చిన్నది ఉంటుంది ఫంక్షన్ యొక్క అతి చిన్న విలువ, ఇంకా చాలా - అతి పెద్ద.

వేరియబుల్ xపై వేరియబుల్ y ఆధారపడటం, దీనిలో x యొక్క ప్రతి విలువ y యొక్క ఒకే విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, దీనిని ఫంక్షన్ అంటారు. హోదా కోసం y=f(x) అనే సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించండి. ప్రతి ఫంక్షన్ మోనోటోనిసిటీ, ప్యారిటీ, ఆవర్తన మరియు ఇతర వంటి అనేక ప్రాథమిక లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది.

సమాన ప్రాపర్టీని నిశితంగా పరిశీలించండి.

కింది రెండు షరతులను సంతృప్తిపరిచినా కూడా ఫంక్షన్ y=f(x) అంటారు:

2. ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందిన పాయింట్ x వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ తప్పనిసరిగా పాయింట్ -x వద్ద ఫంక్షన్ విలువకు సమానంగా ఉండాలి. అంటే, ఏదైనా పాయింట్ x కోసం, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి క్రింది సమానత్వం తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాలి: f(x) = f(-x).

సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్

మీరు సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేస్తే, అది Oy అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ y=x^2 సరి. దాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మొత్తం సంఖ్యా అక్షం, అంటే ఇది పాయింట్ O గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఏకపక్ష x=3ని తీసుకుందాం. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. కాబట్టి f(x) = f(-x). అందువలన, రెండు షరతులు నెరవేరుతాయి, అంటే ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది. క్రింద ఫంక్షన్ y=x^2 యొక్క గ్రాఫ్ ఉంది.

Oy అక్షం గురించి గ్రాఫ్ సుష్టంగా ఉందని ఫిగర్ చూపిస్తుంది.

బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్

ఒక ఫంక్షన్ y=f(x) కింది రెండు షరతులను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే బేసి అంటారు:

1. ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ తప్పనిసరిగా O పాయింట్‌కి సంబంధించి సుష్టంగా ఉండాలి. అంటే, కొంత పాయింట్ a ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినట్లయితే, సంబంధిత పాయింట్ -a కూడా డెఫినిషన్ డొమైన్‌కు చెందాలి. ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క.

2. ఏదైనా పాయింట్ x కోసం, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం డొమైన్ నుండి క్రింది సమానత్వం తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాలి: f(x) = -f(x).

బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పాయింట్ Oకి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది - కోఆర్డినేట్‌ల మూలం. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ y=x^3 బేసి. దాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మొత్తం సంఖ్యా అక్షం, అంటే ఇది పాయింట్ O గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఏకపక్ష x=2ని తీసుకుందాం. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. కాబట్టి f(x) = -f(x). అందువలన, రెండు షరతులు కలుసుకున్నాయి, అంటే ఫంక్షన్ బేసి అని అర్థం. క్రింద ఫంక్షన్ y=x^3 యొక్క గ్రాఫ్ ఉంది.

బేసి ఫంక్షన్ y=x^3 మూలం గురించి సుష్టంగా ఉందని బొమ్మ స్పష్టంగా చూపిస్తుంది.