మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం
వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.
మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.
మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.
మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:
- మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, ఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:
- మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
- ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
- మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
- మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.
మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం
మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.
మినహాయింపులు:
- అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో, మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలోని ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
- పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.
వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ
మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.
కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం
మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.
ఈ వ్యాసం సమాంతర రేఖలు మరియు సమాంతర రేఖల గురించి. మొదట, విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో సమాంతర రేఖల నిర్వచనం ఇవ్వబడింది, సంజ్ఞామానాలు ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి, ఉదాహరణలు మరియు సమాంతర రేఖల గ్రాఫిక్ దృష్టాంతాలు ఇవ్వబడ్డాయి. తరువాత, పంక్తుల సమాంతరత కోసం సంకేతాలు మరియు షరతులు చర్చించబడ్డాయి. ముగింపులో, పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించే సాధారణ సమస్యలకు పరిష్కారాలు చూపబడతాయి, ఇవి ఒక విమానంలో మరియు త్రిమితీయ ప్రదేశంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఒక రేఖ యొక్క నిర్దిష్ట సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడతాయి.
పేజీ నావిగేషన్.
సమాంతర రేఖలు - ప్రాథమిక సమాచారం.
నిర్వచనం.
ఒక విమానంలో రెండు లైన్లు అంటారు సమాంతరంగా, వారికి సాధారణ పాయింట్లు లేకుంటే.
నిర్వచనం.
త్రిమితీయ స్థలంలో రెండు పంక్తులు అంటారు సమాంతరంగా, వారు ఒకే విమానంలో పడుకుని సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉండకపోతే.
స్పేస్‌లో సమాంతర రేఖల నిర్వచనంలో “అవి ఒకే విమానంలో ఉంటే” అనే నిబంధన చాలా ముఖ్యమైనదని దయచేసి గమనించండి. మేము ఈ విషయాన్ని స్పష్టం చేద్దాం: త్రిమితీయ స్థలంలో సాధారణ పాయింట్లు లేని మరియు ఒకే విమానంలో పడుకోని రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండవు, కానీ కలుస్తాయి.
ఇక్కడ సమాంతర రేఖలకు కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి. నోట్బుక్ షీట్ యొక్క వ్యతిరేక అంచులు సమాంతర రేఖలపై ఉంటాయి. ఇంటి గోడ యొక్క విమానం పైకప్పు మరియు నేల యొక్క విమానాలను కలిపే సరళ రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి. లెవెల్ గ్రౌండ్‌లో ఉన్న రైల్‌రోడ్ పట్టాలను కూడా సమాంతర రేఖలుగా పరిగణించవచ్చు.
సమాంతర రేఖలను సూచించడానికి, "" చిహ్నాన్ని ఉపయోగించండి. అంటే, a మరియు b పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే, మనం క్లుప్తంగా b వ్రాయవచ్చు.
దయచేసి గమనించండి: a మరియు b పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు a పంక్తి b పంక్తికి సమాంతరంగా ఉంటుందని మరియు పంక్తి b పంక్తికి సమాంతరంగా ఉంటుందని కూడా చెప్పవచ్చు.
ఒక విమానంలో సమాంతర రేఖల అధ్యయనంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తున్న ఒక ప్రకటనను వాయిస్ చేద్దాం: ఇచ్చిన రేఖపై పడని పాయింట్ ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకే సరళ రేఖను దాటుతుంది. ఈ ప్రకటన వాస్తవంగా అంగీకరించబడింది (ఇది ప్లానిమెట్రీ యొక్క తెలిసిన సిద్ధాంతాల ఆధారంగా నిరూపించబడదు), మరియు దీనిని సమాంతర రేఖల సిద్ధాంతం అంటారు.
అంతరిక్షంలో ఉన్న సందర్భంలో, సిద్ధాంతం చెల్లుబాటు అవుతుంది: ఇచ్చిన రేఖపై పడని స్పేస్‌లోని ఏదైనా పాయింట్ ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకే సరళ రేఖ ఉంటుంది. ఈ సిద్ధాంతం సమాంతర రేఖల యొక్క పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సులభంగా నిరూపించబడింది (మీరు 10-11 తరగతులకు జ్యామితి పాఠ్య పుస్తకంలో దాని రుజువును కనుగొనవచ్చు, ఇది సూచనల జాబితాలో వ్యాసం చివరిలో జాబితా చేయబడింది).
అంతరిక్షంలో ఉన్న సందర్భంలో, సిద్ధాంతం చెల్లుబాటు అవుతుంది: ఇచ్చిన రేఖపై పడని స్పేస్‌లోని ఏదైనా పాయింట్ ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకే సరళ రేఖ ఉంటుంది. పై సమాంతర రేఖ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ సిద్ధాంతాన్ని సులభంగా నిరూపించవచ్చు.
పంక్తుల సమాంతరత - సమాంతరత యొక్క సంకేతాలు మరియు పరిస్థితులు.
పంక్తుల సమాంతరతకు సంకేతంపంక్తులు సమాంతరంగా ఉండటానికి సరిపోయే షరతు, అంటే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండటానికి హామీనిచ్చే షరతు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని స్థాపించడానికి ఈ షరతు యొక్క నెరవేర్పు సరిపోతుంది.
విమానంలో మరియు త్రిమితీయ ప్రదేశంలో పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులు కూడా ఉన్నాయి.
"సమాంతర రేఖల కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు" అనే పదబంధానికి అర్థాన్ని వివరిద్దాం.
మేము ఇప్పటికే సమాంతర రేఖల కోసం తగినంత షరతుతో వ్యవహరించాము. "సమాంతర రేఖల కోసం అవసరమైన పరిస్థితి" అంటే ఏమిటి? "అవసరం" అనే పేరు నుండి ఈ పరిస్థితి యొక్క నెరవేర్పు సమాంతర రేఖలకు అవసరమని స్పష్టమవుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండటానికి అవసరమైన షరతును నెరవేర్చకపోతే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండవు. ఈ విధంగా, సమాంతర రేఖల కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితిసమాంతర రేఖలకు అవసరమైన మరియు తగినంతగా ఉండే షరతు. అంటే, ఒక వైపు, ఇది పంక్తుల సమాంతరతకు సంకేతం, మరియు మరోవైపు, ఇది సమాంతర రేఖలు కలిగి ఉన్న ఆస్తి.
పంక్తుల సమాంతరత కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితిని రూపొందించడానికి ముందు, అనేక సహాయక నిర్వచనాలను గుర్తుకు తెచ్చుకోవడం మంచిది.
సెకంట్ లైన్ఇవ్వబడిన రెండు నాన్-యాదృచ్చిక పంక్తులలో ప్రతిదానిని కలుస్తుంది.
రెండు సరళ రేఖలు విలోమతో కలుస్తున్నప్పుడు, ఎనిమిది అభివృద్ధి చెందనివి ఏర్పడతాయి. పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు యొక్క సూత్రీకరణలో, అని పిలవబడేది అడ్డంగా పడుకుని, అనుగుణంగామరియు ఒక-వైపు కోణాలు. వాటిని డ్రాయింగ్‌లో చూపిద్దాం.
సిద్ధాంతం.
ఒక సమతలంలో రెండు సరళ రేఖలు ఒక విలోమంతో కలుస్తే, అవి సమాంతరంగా ఉండాలంటే, ఖండన కోణాలు సమానంగా ఉండటం లేదా సంబంధిత కోణాలు సమానంగా ఉండటం లేదా ఏకపక్ష కోణాల మొత్తం 180కి సమానం కావడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. డిగ్రీలు.
విమానంలో పంక్తుల సమాంతరత కోసం ఈ అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి యొక్క గ్రాఫిక్ దృష్టాంతాన్ని చూపిద్దాం.
మీరు 7-9 తరగతులకు సంబంధించిన జ్యామితి పాఠ్యపుస్తకాలలో పంక్తుల సమాంతరత కోసం ఈ పరిస్థితుల యొక్క రుజువులను కనుగొనవచ్చు.
ఈ పరిస్థితులు త్రిమితీయ ప్రదేశంలో కూడా ఉపయోగించవచ్చని గమనించండి - ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే రెండు సరళ రేఖలు మరియు సెకెంట్ ఒకే విమానంలో ఉంటాయి.
రేఖల సమాంతరతను నిరూపించడానికి తరచుగా ఉపయోగించే మరికొన్ని సిద్ధాంతాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి.
సిద్ధాంతం.
ఒక విమానంలోని రెండు పంక్తులు మూడవ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటే, అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఈ ప్రమాణం యొక్క రుజువు సమాంతర రేఖల సూత్రం నుండి అనుసరిస్తుంది.
త్రిమితీయ స్థలంలో సమాంతర రేఖలకు ఇదే విధమైన పరిస్థితి ఉంది.
సిద్ధాంతం.
అంతరిక్షంలో రెండు పంక్తులు మూడవ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటే, అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఈ ప్రమాణం యొక్క రుజువు 10 వ తరగతిలో జ్యామితి పాఠాలలో చర్చించబడింది.
పేర్కొన్న సిద్ధాంతాలను ఉదహరిద్దాం.
మనం ఒక విమానంలో పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి అనుమతించే మరొక సిద్ధాంతాన్ని అందజేద్దాం.
సిద్ధాంతం.
ఒక విమానంలోని రెండు పంక్తులు మూడవ రేఖకు లంబంగా ఉంటే, అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి.
అంతరిక్షంలో పంక్తుల కోసం ఇదే విధమైన సిద్ధాంతం ఉంది.
సిద్ధాంతం.
త్రిమితీయ స్థలంలో రెండు పంక్తులు ఒకే సమతలానికి లంబంగా ఉంటే, అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి.
ఈ సిద్ధాంతాలకు అనుగుణంగా చిత్రాలను గీయండి.
జ్యామితి పద్ధతులను ఉపయోగించి రేఖల సమాంతరతను నిరూపించడానికి పైన రూపొందించిన అన్ని సిద్ధాంతాలు, ప్రమాణాలు మరియు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులు అద్భుతమైనవి. అంటే, ఇచ్చిన రెండు పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి, అవి మూడవ పంక్తికి సమాంతరంగా ఉన్నాయని మీరు చూపించాలి లేదా క్రాస్‌వైస్ అబద్ధం కోణాల సమానత్వాన్ని చూపించాలి. ఉన్నత పాఠశాలలో జ్యామితి పాఠాలలో ఇలాంటి అనేక సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి. అయినప్పటికీ, అనేక సందర్భాల్లో విమానంలో లేదా త్రిమితీయ ప్రదేశంలో పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుందని గమనించాలి. దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పేర్కొన్న పంక్తుల సమాంతరత కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులను రూపొందిద్దాం.
దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని పంక్తుల సమాంతరత.
వ్యాసం యొక్క ఈ పేరాలో మేము రూపొందిస్తాము సమాంతర రేఖల కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులుదీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, ఈ పంక్తులను నిర్వచించే సమీకరణాల రకాన్ని బట్టి, మరియు మేము లక్షణ సమస్యలకు వివరణాత్మక పరిష్కారాలను కూడా అందిస్తాము.
దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఆక్సీలో ఒక విమానంలో రెండు సరళ రేఖల సమాంతరత యొక్క స్థితితో ప్రారంభిద్దాం. అతని రుజువు ఒక రేఖ యొక్క దిశ వెక్టర్ యొక్క నిర్వచనం మరియు ఒక విమానంలో ఒక లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ యొక్క నిర్వచనంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
సిద్ధాంతం.
సమతలంలో రెండు నాన్-యాదృచ్చిక పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండాలంటే, ఈ రేఖల దిశ వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉండటం లేదా ఈ రేఖల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉండటం లేదా ఒక లైన్ యొక్క డైరెక్షన్ వెక్టర్ సాధారణానికి లంబంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. రెండవ పంక్తి యొక్క వెక్టర్.
సహజంగానే, ఒక విమానంలో రెండు పంక్తుల సమాంతరత కోసం పరిస్థితి (రేఖల దిశ వెక్టర్స్ లేదా లైన్ల సాధారణ వెక్టర్స్) లేదా (ఒక లైన్ యొక్క దిశ వెక్టర్ మరియు రెండవ పంక్తి యొక్క సాధారణ వెక్టర్) కు తగ్గించబడుతుంది. అందువలన, a మరియు b పంక్తుల దిశ వెక్టర్స్ అయితే మరియు 
మరియు 
వరుసగా a మరియు b పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్, అప్పుడు a మరియు b పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి ఇలా వ్రాయబడుతుంది 
, లేదా 
, లేదా , ఇక్కడ t అనేది కొంత వాస్తవ సంఖ్య. ప్రతిగా, గైడ్‌ల కోఆర్డినేట్లు మరియు (లేదా) a మరియు b పంక్తుల సాధారణ వెక్టర్‌లు పంక్తుల యొక్క తెలిసిన సమీకరణాలను ఉపయోగించి కనుగొనబడతాయి.
ప్రత్యేకించి, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని సరళ రేఖ a అయితే, విమానంలోని ఆక్సీ రూపం యొక్క సాధారణ సరళ రేఖ సమీకరణాన్ని నిర్వచిస్తుంది 
, మరియు సరళ రేఖ బి - 
, అప్పుడు ఈ పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి మరియు వరుసగా, మరియు a మరియు b పంక్తుల సమాంతరత కోసం షరతు ఇలా వ్రాయబడుతుంది.
పంక్తి a రూపం యొక్క కోణీయ గుణకం మరియు పంక్తి b - రేఖ యొక్క సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటే, ఈ పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి మరియు , మరియు ఈ పంక్తుల సమాంతరత యొక్క స్థితి రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. 
. పర్యవసానంగా, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని విమానంలో ఉన్న పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే మరియు కోణీయ గుణకాలతో పంక్తుల సమీకరణాల ద్వారా పేర్కొనవచ్చు, అప్పుడు పంక్తుల కోణీయ గుణకాలు సమానంగా ఉంటాయి. మరియు విరుద్దంగా: ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఒక విమానంలో నాన్-కాలిసిడింగ్ లైన్‌లను సమాన కోణీయ గుణకాలతో రేఖ యొక్క సమీకరణాల ద్వారా పేర్కొనగలిగితే, అలాంటి పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సరళ రేఖ a మరియు సరళ రేఖ b రూపం యొక్క విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణాల ద్వారా నిర్ణయించబడినట్లయితే 
మరియు 
, లేదా రూపం యొక్క విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు 
మరియు 
తదనుగుణంగా, ఈ పంక్తుల దిశ వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి మరియు a మరియు b పంక్తుల సమాంతరత కోసం షరతు ఇలా వ్రాయబడుతుంది.
అనేక ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూద్దాం.
ఉదాహరణ.
పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నాయా? 
మరి ?
పరిష్కారం.
పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణం రూపంలో విభాగాలలో ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం: 
. ఇప్పుడు అది లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ అని మనం చూడవచ్చు , a అనేది లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్. ఈ వెక్టర్స్ కొలినియర్ కావు, ఎందుకంటే సమానత్వం ఉన్న వాస్తవ సంఖ్య t లేదు ( 
) పర్యవసానంగా, విమానంలో పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి సంతృప్తి చెందదు, కాబట్టి, ఇచ్చిన పంక్తులు సమాంతరంగా లేవు.
సమాధానం:
లేదు, పంక్తులు సమాంతరంగా లేవు.
ఉదాహరణ.
సరళ రేఖలు మరియు సమాంతరంగా ఉన్నాయా?
పరిష్కారం.
కోణీయ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణానికి సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాన్ని తగ్గిద్దాం: . సహజంగానే, పంక్తుల సమీకరణాలు మరియు ఒకేలా ఉండవు (ఈ సందర్భంలో, ఇచ్చిన పంక్తులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి) మరియు పంక్తుల కోణీయ గుణకాలు సమానంగా ఉంటాయి, కాబట్టి, అసలు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.
ఎంత కాలం కొనసాగినా అవి కలుస్తాయి. వ్రాతపూర్వక సరళ రేఖల సమాంతరత క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: AB|| తోఇ
అటువంటి పంక్తుల ఉనికి యొక్క అవకాశం సిద్ధాంతం ద్వారా నిరూపించబడింది.
సిద్ధాంతం.
ఇచ్చిన రేఖ వెలుపల తీసుకున్న ఏదైనా పాయింట్ ద్వారా, ఈ రేఖకు సమాంతరంగా ఒక బిందువును గీయవచ్చు.
వీలు ABఈ సరళ రేఖ మరియు తోదాని వెలుపల కొంత పాయింట్ తీసుకోబడింది. ద్వారా నిరూపించుకోవాల్సిన అవసరం ఉంది తోమీరు సరళ రేఖను గీయవచ్చు సమాంతరంగాAB. దానిని తగ్గిద్దాం ABపాయింట్ నుండి తో లంబంగాతోడిఆపై మేము నిర్వహిస్తాము తోఇ^ తోడి, ఏమి సాధ్యం. నేరుగా సి.ఇ.సమాంతరంగా AB.
దీన్ని రుజువు చేయడానికి, మనం వ్యతిరేకం అనుకుందాం, అంటే, అది సి.ఇ.కలుస్తుంది ABఫలానా చోట ఎం. అప్పుడు పాయింట్ నుండి ఎంసరళ రేఖకు తోడిమనకు రెండు వేర్వేరు లంబాలు ఉంటాయి ఎండిమరియు కుమారి, ఇది అసాధ్యం. అంటే, సి.ఇ.తో దాటలేరు AB, అనగా తోఇసమాంతరంగా AB.
పర్యవసానం.
రెండు లంబాలు (సిఇమరియుడి.బి.) ఒక సరళ రేఖకు (సిడి) సమాంతరంగా ఉంటాయి.
సమాంతర రేఖల సూత్రం.
ఒకే పాయింట్ ద్వారా ఒకే రేఖకు సమాంతరంగా రెండు వేర్వేరు పంక్తులను గీయడం అసాధ్యం.
కాబట్టి, నేరుగా ఉంటే తోడి, పాయింట్ ద్వారా డ్రా తోరేఖకు సమాంతరంగా AB, ఆపై ప్రతి ఇతర లైన్ తోఇ, అదే పాయింట్ ద్వారా డ్రా తో, సమాంతరంగా ఉండకూడదు AB, అనగా ఆమె కొనసాగింపులో ఉంది కలుస్తుందితో AB.
ఇది పూర్తిగా స్పష్టమైన సత్యం కాదు అని నిరూపించడం అసాధ్యం. ఇది రుజువు లేకుండా, అవసరమైన ఊహగా (పోస్టులాటం) అంగీకరించబడుతుంది.
పరిణామాలు.
1. ఉంటే నేరుగా(తోఇ) ఒకదానితో కలుస్తుంది సమాంతరంగా(NE), తర్వాత అది మరొకదానితో కలుస్తుంది ( AB), లేకపోతే అదే పాయింట్ ద్వారా తోసమాంతరంగా రెండు వేర్వేరు పంక్తులు ఉంటాయి AB, ఇది అసాధ్యం.
2. రెండింటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఉంటే ప్రత్యక్షంగా (ఎమరియుబి) అదే మూడవ పంక్తికి సమాంతరంగా ఉంటాయి ( తో) , అప్పుడు వారు సమాంతరంగాతమ మధ్య.
వాస్తవానికి, మేము దానిని ఊహించినట్లయితే ఎమరియు బిఏదో ఒక సమయంలో కలుస్తాయి ఎం, అప్పుడు ఈ బిందువుకు సమాంతరంగా ఉన్న రెండు వేర్వేరు పంక్తులు గుండా వెళతాయి తో, ఇది అసాధ్యం.
సిద్ధాంతం.
ఉంటే లైన్ లంబంగా ఉంటుందిసమాంతర రేఖలలో ఒకదానికి, అది మరొకదానికి లంబంగా ఉంటుంది సమాంతరంగా.
వీలు AB || తోడిమరియు ఇ.ఎఫ్. ^ AB.అది నిరూపించడానికి ఇది అవసరం ఇ.ఎఫ్. ^ తోడి.
లంబంగాఇఎఫ్, తో కలుస్తుంది AB, ఖచ్చితంగా దాటుతుంది మరియు తోడి. ఖండన పాయింట్ ఉండనివ్వండి హెచ్.
అని ఇప్పుడు అనుకుందాం తోడిలంబంగా లేదు ఇ.హెచ్.. అప్పుడు కొన్ని ఇతర సరళ రేఖ, ఉదాహరణకు హెచ్.కె., లంబంగా ఉంటుంది ఇ.హెచ్.అందువలన అదే పాయింట్ ద్వారా హెచ్రెండు ఉంటుంది నేరుగా సమాంతరంగా AB: ఒకటి తోడి, షరతు ద్వారా, మరియు ఇతర హెచ్.కె.గతంలో నిరూపించబడింది. ఇది అసాధ్యమైనది కాబట్టి, అది ఊహించలేము NEలంబంగా లేదు ఇ.హెచ్..
సూచనలు
రుజువును ప్రారంభించే ముందు, పంక్తులు ఒకే విమానంలో ఉన్నాయని మరియు దానిపై డ్రా చేయవచ్చని నిర్ధారించుకోండి. పాలకుడితో కొలవడం ద్వారా దీనిని నిరూపించడానికి సులభమైన మార్గం. ఇది చేయుటకు, సాధ్యమైనంతవరకు అనేక ప్రదేశాలలో సరళ రేఖల మధ్య దూరాన్ని కొలవడానికి పాలకుడిని ఉపయోగించండి. దూరం మారకుండా ఉంటే, ఇచ్చిన పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. కానీ ఈ పద్ధతి తగినంత ఖచ్చితమైనది కాదు, కాబట్టి ఇతర పద్ధతులను ఉపయోగించడం మంచిది.
మూడవ పంక్తిని గీయండి, తద్వారా ఇది రెండు సమాంతర రేఖలను కలుస్తుంది. ఇది వాటితో నాలుగు బయటి మరియు నాలుగు అంతర్గత మూలలను ఏర్పరుస్తుంది. అంతర్గత మూలలను పరిగణించండి. సెకెంట్ లైన్ ద్వారా పడుకునే వాటిని క్రాస్-లైయింగ్ అంటారు. ఒక వైపు పడుకునే వాటిని ఏకపక్షం అంటారు. ప్రొట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగించి, రెండు అంతర్గత ఖండన కోణాలను కొలవండి. అవి ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. అనుమానం ఉంటే, ఒక-వైపు అంతర్గత కోణాలను కొలవండి మరియు ఫలిత విలువలను జోడించండి. ఏకపక్ష అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180ºకి సమానంగా ఉంటే పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.
మీకు ప్రొట్రాక్టర్ లేకపోతే, 90º చతురస్రాన్ని ఉపయోగించండి. పంక్తులలో ఒకదానికి లంబంగా నిర్మించడానికి దాన్ని ఉపయోగించండి. దీని తరువాత, ఈ లంబంగా కొనసాగించండి, తద్వారా ఇది మరొక రేఖను కలుస్తుంది. అదే చతురస్రాన్ని ఉపయోగించి, ఈ లంబంగా ఏ కోణంలో కలుస్తుందో తనిఖీ చేయండి. ఈ కోణం కూడా 90º అయితే, పంక్తులు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి.
పంక్తులు కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఇవ్వబడితే, వాటి దిశ లేదా సాధారణ వెక్టర్‌లను కనుగొనండి. ఈ వెక్టర్స్ వరుసగా ఒకదానికొకటి కోలినియర్ అయితే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. పంక్తుల సమీకరణాన్ని సాధారణ రూపానికి తగ్గించండి మరియు ప్రతి పంక్తి యొక్క సాధారణ వెక్టర్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి. దీని కోఆర్డినేట్లు కోఎఫీషియంట్స్ A మరియు Bకి సమానంగా ఉంటాయి. సాధారణ వెక్టర్స్ యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్ల నిష్పత్తి ఒకేలా ఉంటే, అవి కొల్లినియర్ మరియు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.
ఉదాహరణకు, 4x-2y+1=0 మరియు x/1=(y-4)/2 సమీకరణాల ద్వారా సరళ రేఖలు ఇవ్వబడ్డాయి. మొదటి సమీకరణం సాధారణ రూపం, రెండవది కానానికల్. రెండవ సమీకరణాన్ని దాని సాధారణ రూపానికి తీసుకురండి. దీని కోసం నిష్పత్తి మార్పిడి నియమాన్ని ఉపయోగించండి, ఫలితం 2x=y-4 అవుతుంది. సాధారణ ఫారమ్‌కి తగ్గించిన తర్వాత, మీరు 2x-y+4=0 పొందుతారు. ఏదైనా పంక్తికి సాధారణ సమీకరణం Ax+By+C=0 అని వ్రాయబడినందున, మొదటి పంక్తికి: A=4, B=2, మరియు రెండవ పంక్తి A=2, B=1. సాధారణ వెక్టర్ (4;2) యొక్క మొదటి ప్రత్యక్ష కోఆర్డినేట్ కోసం, మరియు రెండవది - (2;1). సాధారణ వెక్టర్స్ 4/2=2 మరియు 2/1=2 యొక్క సంబంధిత కోఆర్డినేట్ల నిష్పత్తిని కనుగొనండి. ఈ సంఖ్యలు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే వెక్టర్స్ కొల్లినియర్. వెక్టర్స్ కొలినియర్ కాబట్టి, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.
సమాంతర రేఖలు ఒకే విమానంలో ఉండే పంక్తులు మరియు సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉండవు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇవి ఎప్పటికీ కలుస్తాయి. మన ప్రపంచంలో సమాంతరతకు చాలా ఉదాహరణలు ఉన్నాయి: ఇవి రైల్వే పట్టాలు, మరియు గిటార్‌పై తీగలు మరియు అధిక-వోల్టేజ్ లైన్ యొక్క వైర్లు. ఈ జాబితాను అనంతంగా కొనసాగించవచ్చు. కొన్ని భాగాల ఉత్పత్తిలో, సమాంతరతను నిర్వహించడం చాలా ముఖ్యం, కాబట్టి విభాగాలు సమాంతరంగా ఉన్నాయని ఎలా నిరూపించాలో తెలుసుకోవడం మాకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
కొందరు కోపంగా ఉండవచ్చు: "సరళ రేఖల సమాంతరత యొక్క సంకేతాలు మాత్రమే తెలిస్తే మీరు విభాగాల సమాంతరతను ఎలా నిరూపించగలరు?" ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం చాలా సులభం: ఏదైనా విభాగాన్ని రెండు వైపులా విస్తరించవచ్చు, దిశను కొనసాగిస్తూ, తద్వారా సరళ రేఖను పొందవచ్చు. అప్పుడు ఇప్పటికే పొందిన పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించండి మరియు దీని నుండి విభాగాల సమాంతరత అనుసరించబడుతుంది. పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడం అనేది సెగ్మెంట్ యొక్క మధ్య బిందువు యొక్క ఆర్డినేట్‌ను ఎలా కనుగొనాలో అదే విధంగా ఉంటుంది - ఇది ఒకటి లేదా రెండు దశల్లో చేయబడుతుంది మరియు ఏదైనా పాఠశాల పిల్లల చేత చేయబడుతుంది.
మొదటి, సరళమైన మరియు అత్యంత దృశ్యమాన రుజువు ఒక రేఖకు లంబ రేఖను గీయడానికి లంబ త్రిభుజాన్ని ఉపయోగించడం. గీసిన గీత కూడా రెండవ పంక్తికి లంబంగా ఉంటే, ఈ పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి. సరళ రేఖ మరియు విలోమ ఖండనకు లంబ కోణాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా లంబంగా తనిఖీ చేయవచ్చు. ఒక విభాగాన్ని సగానికి ఎలా విభజించాలో తెలుసుకోవడం, మీరు వాటి చివరలను మరియు మధ్యభాగాలను కనెక్ట్ చేయవచ్చు. మీరు సమాంతర రేఖలను పొందినట్లయితే, అసలు విభాగాలు సమాంతరంగా ఉంటాయి.
కింది సిద్ధాంతం యొక్క షరతులు సంతృప్తికరంగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయడం ఒక క్లాసిక్ రుజువు: "రెండు పంక్తులు ఒక విలోమంతో కలుస్తున్నప్పుడు, ఏకపక్ష కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలకు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి." కానీ దీని కోసం మీరు ప్రొట్రాక్టర్ పొందాలి, ఖచ్చితమైన కొలతలు తీసుకోవాలి మరియు తప్పులను నివారించాలి. ఇచ్చిన దానితో సమానమైన విభాగాన్ని ఎలా నిర్మించాలో తెలిసిన వారికి, రుజువు యొక్క మరింత వక్రీకృత మార్గం ఉంది.
ఒక విభాగాన్ని నిర్మించడం అవసరం, దాని ప్రారంభం మొదటి సెగ్మెంట్ ప్రారంభంతో మరియు దాని ముగింపు ఇతర ముగింపుతో సమానంగా ఉంటుంది. తరువాత, మీరు దీనికి సమానమైన విభాగాన్ని నిర్మించాలి మరియు మొదటి ముగింపును రెండవది ప్రారంభంతో కనెక్ట్ చేయడానికి ఇది అనుకూలంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి. ఈ షరతు నెరవేరినట్లయితే, విభాగాలు సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఈ పద్ధతి సమాంతర మరియు సమాన పొడవు విభాగాలకు మాత్రమే పని చేస్తుందని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అత్యవసరం.
ఒక విభాగానికి చెందిన మూలాలను కనుగొనడం వలె, మీరు సహాయక పంక్తి లేదా సెగ్మెంట్ ద్వారా విభాగాల సమాంతరతను నిరూపించవచ్చు. మీరు ఈ క్రింది సిద్ధాంతాన్ని తెలుసుకోవాలి: మూడింటికి సమాంతరంగా ఉండే రెండు పంక్తులు కూడా ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి. సెకాంట్‌ను గీయడం అసాధ్యం లేదా ప్రోట్రాక్టర్ లేనప్పుడు ఆ సందర్భాలలో పద్ధతి మంచిది.