గణిత ప్రేరణ యొక్క రుజువు. గణిత ప్రేరణ సూత్రం

ఉపన్యాసం 6. గణిత ప్రేరణ యొక్క పద్ధతి.

సైన్స్ మరియు జీవితంలో కొత్త జ్ఞానం వివిధ మార్గాల్లో పొందబడుతుంది, అయితే అవన్నీ (మీరు వివరాల్లోకి వెళ్లకపోతే) రెండు రకాలుగా విభజించబడ్డాయి - సాధారణం నుండి నిర్దిష్టంగా మరియు నిర్దిష్టం నుండి సాధారణానికి మారడం. మొదటిది తగ్గింపు, రెండవది ఇండక్షన్. డిడక్టివ్ రీజనింగ్‌ని సాధారణంగా గణితశాస్త్రంలో అంటారు. తార్కిక తార్కికం, మరియు గణిత శాస్త్రంలో మినహాయింపు అనేది పరిశోధన యొక్క ఏకైక చట్టబద్ధమైన పద్ధతి. లాజికల్ రీజనింగ్ యొక్క నియమాలు రెండున్నర సహస్రాబ్దాల క్రితం పురాతన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త అరిస్టాటిల్ చేత రూపొందించబడ్డాయి. అతను సరళమైన సరైన తార్కికం యొక్క పూర్తి జాబితాను సృష్టించాడు, సిలోజిజమ్స్- తర్కం యొక్క “బిల్డింగ్ బ్లాక్‌లు”, అదే సమయంలో చాలా సరైన, కానీ తప్పు (మీడియాలో ఇలాంటి “సూడోలాజికల్” రీజనింగ్‌లను మనం తరచుగా ఎదుర్కొంటాము) సాధారణ తార్కికతను సూచిస్తుంది.

ఇండక్షన్ (ఇండక్షన్ - లాటిన్లో మార్గదర్శకత్వం) ఐజాక్ న్యూటన్ తన తలపై ఆపిల్ పడిన తర్వాత సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని ఎలా రూపొందించాడో ప్రసిద్ధ పురాణం ద్వారా స్పష్టంగా వివరించబడింది. భౌతిక శాస్త్రం నుండి మరొక ఉదాహరణ: విద్యుదయస్కాంత ప్రేరణ వంటి దృగ్విషయంలో, ఒక విద్యుత్ క్షేత్రం అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని సృష్టిస్తుంది, "ప్రేరేపిస్తుంది". "న్యూటన్ యాపిల్" అనేది ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ప్రత్యేక సందర్భాలలో, అంటే, ఒక పరిస్థితికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ. పరిశీలనలు, సాధారణ ప్రకటనను "సూచించండి"; నిర్దిష్ట కేసుల ఆధారంగా సాధారణ ముగింపు తీసుకోబడుతుంది. సహజ మరియు మానవ శాస్త్రాలలో సాధారణ నమూనాలను పొందేందుకు ప్రేరక పద్ధతి ప్రధానమైనది. కానీ ఇది చాలా ముఖ్యమైన లోపాన్ని కలిగి ఉంది: నిర్దిష్ట ఉదాహరణల ఆధారంగా, ఒక తప్పు తీర్మానం చేయవచ్చు. ప్రైవేట్ పరిశీలనల నుండి ఉత్పన్నమయ్యే పరికల్పనలు ఎల్లప్పుడూ సరైనవి కావు. యూలర్ కారణంగా ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

మేము కొన్ని మొదటి విలువల కోసం ట్రినోమియల్ విలువను గణిస్తాము n:

గణనల ఫలితంగా పొందిన సంఖ్యలు ప్రధానమైనవి అని గమనించండి. మరియు ప్రతి ఒక్కటి నేరుగా ధృవీకరించవచ్చు n 1 నుండి 39 బహుపది విలువ
ఒక ప్రధాన సంఖ్య. అయితే, ఎప్పుడు n=40 మనకు 1681=41 2 అనే సంఖ్య వస్తుంది, ఇది ప్రైమ్ కాదు. అందువలన, ఇక్కడ ఉత్పన్నమయ్యే పరికల్పన, అంటే, ప్రతిదానికీ పరికల్పన nసంఖ్య
సులభం, తప్పు అని తేలింది.

లీబ్నిజ్ 17వ శతాబ్దంలో ప్రతి సానుకూల మొత్తానికి అని నిరూపించాడు nసంఖ్య
3 ద్వారా భాగించబడుతుంది, సంఖ్య
5 ద్వారా భాగించవచ్చు, మొదలైనవి దీని ఆధారంగా, అతను ఏదైనా బేసి కోసం ఊహించాడు కెమరియు ఏదైనా సహజమైనది nసంఖ్య
భాగించబడిన కె, కానీ వెంటనే నేను గమనించాను
9చే భాగించబడదు.

పరిగణించబడిన ఉదాహరణలు మాకు ఒక ముఖ్యమైన ముగింపుని ఇవ్వడానికి అనుమతిస్తాయి: ఒక ప్రకటన అనేక ప్రత్యేక సందర్భాలలో న్యాయంగా ఉంటుంది మరియు అదే సమయంలో సాధారణంగా అన్యాయంగా ఉంటుంది. సాధారణ సందర్భంలో స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు యొక్క ప్రశ్న అనేది ఒక ప్రత్యేక రీజనింగ్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది గణిత ప్రేరణ ద్వారా(పూర్తి ఇండక్షన్, పర్ఫెక్ట్ ఇండక్షన్).

6.1 గణిత ప్రేరణ సూత్రం.

♦ గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ఆధారంగా ఉంటుంది గణిత ప్రేరణ సూత్రం , ఇది క్రింది విధంగా ఉంది:

1) ఈ ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటు తనిఖీ చేయబడిందిn=1 (ఇండక్షన్ ప్రాతిపదిక) ,

2) ఈ ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటు కోసం భావించబడుతుందిn= కె, ఎక్కడకె- ఏకపక్ష సహజ సంఖ్య 1(ఇండక్షన్ ఊహ) , మరియు ఈ ఊహను పరిగణనలోకి తీసుకుని, దాని చెల్లుబాటు కోసం ఏర్పాటు చేయబడిందిn= కె+1.

రుజువు. మనము వ్యతిరేకతను ఊహించుదాము, అనగా ప్రతి సహజత్వానికి ఆ ప్రకటన నిజం కాదని అనుకుందాం n. అప్పుడు అటువంటి సహజమైనది m, ఏమిటి:

1) కోసం ప్రకటన n=mమంచిది కాదు,

2) అందరికీ n, చిన్నది m, ప్రకటన నిజం (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, mప్రకటన నిజం కాని మొదటి సహజ సంఖ్య).

అది స్పష్టంగా ఉంది m>1, ఎందుకంటే కోసం n=1 ప్రకటన నిజం (షరతు 1). అందుకే,
- సహజ సంఖ్య. ఇది సహజ సంఖ్య కోసం మారుతుంది
ప్రకటన నిజం మరియు తదుపరి సహజ సంఖ్య కోసం mఅది అన్యాయం. ఇది షరతు 2. ■కి విరుద్ధంగా ఉంది

సహజ సంఖ్యల యొక్క ఏదైనా సేకరణ అతి చిన్న సంఖ్యను కలిగి ఉంటుందని రుజువు సూత్రాన్ని ఉపయోగించిందని గమనించండి.

గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా ఒక రుజువు అంటారు పూర్తి గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా .

 ఉదాహరణ6.1. ఏదైనా సహజంగా నిరూపించండి nసంఖ్య
3 ద్వారా భాగించబడుతుంది.

పరిష్కారం.

1) ఎప్పుడు n=1, కాబట్టి a 1 అనేది 3చే భాగించబడుతుంది మరియు ప్రకటన ఎప్పుడు నిజం అవుతుంది n=1.

2) ప్రకటన నిజమని అనుకుందాం n=కె,
, అంటే, ఆ సంఖ్య
3 ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు ఎప్పుడు అని మేము నిర్ధారిస్తాము n=కె+1 సంఖ్య 3చే భాగించబడుతుంది.

నిజానికి,

ఎందుకంటే ప్రతి పదం 3తో భాగించబడుతుంది, ఆపై వాటి మొత్తం కూడా 3తో భాగించబడుతుంది. ■ 

 ఉదాహరణ6.2. మొదటి మొత్తం అని నిరూపించండి nసహజ బేసి సంఖ్యలు వాటి సంఖ్య యొక్క వర్గానికి సమానం, అంటే.

పరిష్కారం.పూర్తి గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం.

1) మేము ఈ ప్రకటన యొక్క చెల్లుబాటును ఎప్పుడు తనిఖీ చేస్తాము n=1: 1=1 2 – ఇది నిజం.

2) మొదటి మొత్తం అని అనుకుందాం కె (
) బేసి సంఖ్యల సంఖ్య ఈ సంఖ్యల సంఖ్య యొక్క వర్గానికి సమానం, అంటే. ఈ సమానత్వం ఆధారంగా, మేము మొదటి మొత్తాన్ని ఏర్పాటు చేస్తాము కె+1 బేసి సంఖ్యలు దీనికి సమానం
, అంటే.

మేము మా ఊహను ఉపయోగిస్తాము మరియు పొందుతాము

. ■ 

పూర్తి గణిత ప్రేరణ పద్ధతి కొన్ని అసమానతలను నిరూపించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. బెర్నౌలీ అసమానతను నిరూపిద్దాం.

 ఉదాహరణ6.3. ఎప్పుడు అని నిరూపించండి
మరియు ఏదైనా సహజమైనది nఅసమానత నిజం
(బెర్నౌలీ అసమానత).

పరిష్కారం. 1) ఎప్పుడు n=1 మనకు లభిస్తుంది
, ఇది నిజం.

2) మేము ఎప్పుడు అని ఊహిస్తాము n=కెఅసమానత ఉంది
(*). ఈ ఊహను ఉపయోగించి, మేము దానిని నిరూపిస్తాము
. ఎప్పుడు అని గమనించండి
ఈ అసమానత ఉంది మరియు అందువల్ల కేసును పరిగణనలోకి తీసుకోవడం సరిపోతుంది
.

అసమానత (*) యొక్క రెండు వైపులా సంఖ్యతో గుణిద్దాం
మరియు మేము పొందుతాము:

అంటే (1+
.■ 

పద్ధతి ద్వారా రుజువు అసంపూర్ణ గణిత ప్రేరణ ఆధారపడి కొంత ప్రకటన n, ఎక్కడ
ఇదే విధంగా నిర్వహించబడుతుంది, కానీ ప్రారంభంలో సరసత చిన్న విలువ కోసం స్థాపించబడింది n.

కొన్ని సమస్యలు గణిత ప్రేరణ ద్వారా నిరూపించబడే ప్రకటనను స్పష్టంగా పేర్కొనవు. అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు నమూనాను మీరే ఏర్పాటు చేసుకోవాలి మరియు ఈ నమూనా యొక్క ప్రామాణికత గురించి పరికల్పనను రూపొందించాలి, ఆపై ప్రతిపాదిత పరికల్పనను పరీక్షించడానికి గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించండి.

 ఉదాహరణ6.4. మొత్తాన్ని కనుగొనండి
.

పరిష్కారం.మొత్తాలను కనుక్కోండి ఎస్ 1 , ఎస్ 2 , ఎస్ 3. మన దగ్గర ఉంది
,
,
. మేము ఏదైనా సహజంగా ఊహిస్తాము nసూత్రం చెల్లుతుంది
. ఈ పరికల్పనను పరీక్షించడానికి, మేము పూర్తి గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము.

1) ఎప్పుడు n=1 పరికల్పన సరైనది, ఎందుకంటే
.

2) పరికల్పన నిజమని అనుకుందాం n=కె,
, అంటే
. ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, పరికల్పన నిజమని మేము నిర్ధారిస్తాము n=కె+1, అంటే

నిజానికి,

కాబట్టి, ఊహ ఆధారంగా పరికల్పన ఎప్పుడు నిజమవుతుంది n=కె,
, ఇది కూడా నిజమని నిరూపించబడింది n=కె+1, మరియు గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు ఫార్ములా చెల్లుబాటు అవుతుందని మేము నిర్ధారించాము n. ■ 

 ఉదాహరణ6.5. గణితశాస్త్రంలో, రెండు ఏకరీతి నిరంతర ఫంక్షన్ల మొత్తం ఏకరీతిగా నిరంతర ఫంక్షన్ అని నిరూపించబడింది. ఈ ప్రకటన ఆధారంగా, మీరు ఏదైనా సంఖ్య యొక్క మొత్తం అని నిరూపించాలి
ఏకరీతిగా నిరంతర విధులు ఏకరీతిగా నిరంతర ఫంక్షన్. కానీ మేము ఇంకా "ఏకరీతిగా నిరంతర ఫంక్షన్" అనే భావనను పరిచయం చేయలేదు కాబట్టి, సమస్యను మరింత వియుక్తంగా చూపుదాం: కొంత ఆస్తిని కలిగి ఉన్న రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తం అని తెలియజేయండి. ఎస్, దానికదే ఆస్తి ఉంది ఎస్. ఎన్ని ఫంక్షన్ల మొత్తానికి ఆస్తి ఉందని నిరూపిద్దాం ఎస్.

పరిష్కారం.ఇక్కడ ఇండక్షన్ యొక్క ఆధారం సమస్య యొక్క సూత్రీకరణలోనే ఉంటుంది. ఇండక్షన్ ఊహను చేసిన తర్వాత, పరిగణించండి
విధులు f 1 , f 2 , …, f n , f nఆస్తిని కలిగి ఉన్న +1 ఎస్. అప్పుడు . కుడి వైపున, మొదటి పదం ఆస్తిని కలిగి ఉంది ఎస్ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా, రెండవ పదం ఆస్తిని కలిగి ఉంటుంది ఎస్షరతు ద్వారా. పర్యవసానంగా, వారి మొత్తానికి ఆస్తి ఉంది ఎస్- రెండు పదాలకు ఇండక్షన్ ఆధారం "పనిచేస్తుంది".

ఇది ప్రకటనను రుజువు చేస్తుంది మరియు మేము దానిని మరింత ఉపయోగిస్తాము. ■ 

 ఉదాహరణ6.6. అన్నింటినీ సహజంగా కనుగొనండి n, దీనికి అసమానత నిజం

పరిష్కారం.పరిగణలోకి తీసుకుందాం n=1, 2, 3, 4, 5, 6. మనకు ఉన్నాయి: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2. అందువలన, మేము ఒక పరికల్పన చేయవచ్చు: అసమానత
అందరికీ చోటు ఉంది
. ఈ పరికల్పన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించడానికి, మేము అసంపూర్ణ గణిత ప్రేరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

1) పైన స్థాపించబడినట్లుగా, ఈ పరికల్పన ఎప్పుడు నిజమవుతుంది n=5.

2) ఇది నిజమని భావించండి n=కె,
, అంటే అసమానత చెల్లుబాటు అవుతుంది
. ఈ ఊహను ఉపయోగించి, అసమానత అని మేము నిరూపిస్తాము
.

ఎందుకంటే
మరియు వద్ద
అసమానత ఉంది

వద్ద
,

అప్పుడు మేము దానిని పొందుతాము
. కాబట్టి, వద్ద పరికల్పన యొక్క నిజం n=కె+1 అనేది ఎప్పుడు నిజమనే ఊహ నుండి అనుసరిస్తుంది n=కె,
.

పేరాల నుండి. 1 మరియు 2, అసంపూర్ణ గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, అసమానతని అనుసరిస్తుంది
ప్రతి సహజానికి నిజం
. ■ 

 ఉదాహరణ6.7. ఏదైనా సహజ సంఖ్య కోసం నిరూపించండి nభేద సూత్రం చెల్లుతుంది
.

పరిష్కారం.వద్ద n=1 ఈ ఫార్ములా కనిపిస్తుంది
, లేదా 1=1, అంటే ఇది సరైనది. ఇండక్షన్ ఊహను తయారు చేయడం, మేము కలిగి ఉన్నాము:

Q.E.D. ■ 

 ఉదాహరణ6.8. కలిగి ఉన్న సెట్ నిరూపించండి nమూలకాలు, ఉన్నాయి ఉపసమితులు

పరిష్కారం.ఒక మూలకంతో కూడిన సమితి ఎ, రెండు ఉపసమితులు ఉన్నాయి. ఇది నిజం ఎందుకంటే దాని అన్ని ఉపసమితులు ఖాళీ సెట్ మరియు ఖాళీ సెట్ కూడా, మరియు 2 1 =2.

ప్రతి సెట్ అని అనుకుందాం nఅంశాలు ఉన్నాయి ఉపసమితులు సెట్ A కలిగి ఉంటే n+1 మూలకాలు, ఆపై మేము దానిలో ఒక మూలకాన్ని పరిష్కరిస్తాము - మేము దానిని సూచిస్తాము డి, మరియు అన్ని ఉపసమితులను రెండు తరగతులుగా విభజించండి - కలిగి లేనివి డిమరియు కలిగి ఉంటుంది డి. మొదటి తరగతి నుండి అన్ని ఉపసమితులు ఒక మూలకాన్ని తీసివేయడం ద్వారా A నుండి పొందిన B సెట్ యొక్క ఉపసమితులు డి.

సెట్ B కలిగి ఉంటుంది nమూలకాలు, అందువలన, ఇండక్షన్ ద్వారా, అతను కలిగి ఉపసమితులు, కాబట్టి మొదటి తరగతిలో ఉపసమితులు

కానీ రెండవ తరగతిలో ఒకే సంఖ్యలో ఉపసమితులు ఉన్నాయి: వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఒక మూలకాన్ని జోడించడం ద్వారా మొదటి తరగతిలోని ఒక ఉపసమితి నుండి పొందబడుతుంది. డి. అందువలన, మొత్తం సెట్ A
ఉపసమితులు

కాబట్టి ప్రకటన నిరూపించబడింది. 0 మూలకాలతో కూడిన సెట్‌కు కూడా ఇది సరైనదని గమనించండి - ఖాళీ సెట్: ఇది ఒకే ఉపసమితిని కలిగి ఉంటుంది - దానికదే, మరియు 2 0 = 1. ■ 

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

పరిచయం

ముఖ్య భాగం

పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ ప్రేరణ
గణిత ప్రేరణ సూత్రం
గణిత ప్రేరణ పద్ధతి
పరిష్కార ఉదాహరణలు
సమానత్వాలు
సంఖ్యలను విభజించడం
అసమానతలు

ముగింపు

ఉపయోగించిన సాహిత్యం జాబితా

పరిచయం

ఏదైనా గణిత పరిశోధన యొక్క ఆధారం తగ్గింపు మరియు ప్రేరక పద్ధతులు. తార్కికం యొక్క తగ్గింపు పద్ధతి అనేది సాధారణ నుండి నిర్దిష్టానికి తార్కికం, అనగా. తార్కికం, దీని ప్రారంభ స్థానం సాధారణ ఫలితం మరియు చివరి పాయింట్ నిర్దిష్ట ఫలితం. నిర్దిష్ట ఫలితాల నుండి సాధారణ ఫలితాలకు వెళ్లేటప్పుడు ఇండక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది, అనగా. తగ్గింపు పద్ధతికి వ్యతిరేకం.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని పురోగతితో పోల్చవచ్చు. మేము అత్యల్ప నుండి ప్రారంభిస్తాము మరియు తార్కిక ఆలోచన ఫలితంగా మనం అత్యున్నత స్థాయికి వస్తాము. మనిషి ఎల్లప్పుడూ పురోగతి కోసం, తన ఆలోచనలను తార్కికంగా అభివృద్ధి చేయగల సామర్థ్యం కోసం ప్రయత్నిస్తాడు, అంటే ప్రకృతి అతనిని ప్రేరేపకంగా ఆలోచించాలని నిర్ణయించింది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క పరిధి పెరిగినప్పటికీ, పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లో దీనికి తక్కువ సమయం కేటాయించబడింది. సరే, ఆ రెండు లేదా మూడు పాఠాలు ఒక వ్యక్తికి ఉపయోగపడతాయని నాకు చెప్పండి, ఈ సమయంలో అతను ఐదు సిద్ధాంతాల పదాలను వింటాడు, ఐదు ఆదిమ సమస్యలను పరిష్కరిస్తాడు మరియు ఫలితంగా, అతనికి ఏమీ తెలియదనే వాస్తవం కోసం Aని అందుకుంటాడు.

కానీ ప్రేరేపకంగా ఆలోచించడం చాలా ముఖ్యం.

ముఖ్య భాగం

దాని అసలు అర్థంలో, "ఇండక్షన్" అనే పదం తార్కికానికి వర్తించబడుతుంది, దీని ద్వారా అనేక నిర్దిష్ట ప్రకటనల ఆధారంగా సాధారణ ముగింపులు పొందబడతాయి. ఈ రకమైన తార్కికం యొక్క సరళమైన పద్ధతి పూర్తి ఇండక్షన్. అటువంటి తార్కికానికి ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ.

4లోపు ప్రతి సరి సహజ సంఖ్య n అని నిర్ధారించడం అవసరం< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

ఈ తొమ్మిది సమానత్వాలు మనకు ఆసక్తి ఉన్న ప్రతి సంఖ్య వాస్తవానికి రెండు సాధారణ పదాల మొత్తంగా సూచించబడుతుందని చూపిస్తుంది.

అందువల్ల, పూర్తి ఇండక్షన్ అనేది పరిమిత సంఖ్యలో సాధ్యమయ్యే సందర్భాలలో ఒక్కొక్కటిగా సాధారణ ప్రకటనను విడిగా రుజువు చేస్తుంది.

కొన్నిసార్లు సాధారణ ఫలితాన్ని అన్నింటిని కాకుండా, తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో నిర్దిష్ట కేసులను (అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ అని పిలవబడేవి) పరిగణనలోకి తీసుకున్న తర్వాత అంచనా వేయవచ్చు.

అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ ద్వారా పొందిన ఫలితం, అయితే, అన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలను కవర్ చేస్తూ, ఖచ్చితమైన గణితశాస్త్ర రీజనింగ్ ద్వారా నిరూపించబడే వరకు కేవలం పరికల్పన మాత్రమే మిగిలి ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, గణితంలో అసంపూర్ణ ప్రేరణ అనేది కఠినమైన రుజువు యొక్క చట్టబద్ధమైన పద్ధతిగా పరిగణించబడదు, కానీ కొత్త సత్యాలను కనుగొనే శక్తివంతమైన పద్ధతి.

ఉదాహరణకు, మీరు మొదటి n వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనాలనుకుంటున్నాము. ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం:

1+3+5+7+9=25=5 2

ఈ కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలించిన తర్వాత, కింది సాధారణ ముగింపు స్వయంగా సూచిస్తుంది:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

ఆ. మొదటి n వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తం n 2

వాస్తవానికి, ఇచ్చిన ఫార్ములా యొక్క చెల్లుబాటుకు రుజువుగా చేసిన పరిశీలన ఇంకా ఉపయోగపడదు.

కంప్లీట్ ఇండక్షన్‌కు గణితంలో పరిమిత అప్లికేషన్‌లు మాత్రమే ఉన్నాయి. అనేక ఆసక్తికరమైన గణిత ప్రకటనలు అనంతమైన ప్రత్యేక కేసులను కవర్ చేస్తాయి, కానీ మేము వాటిని అనంతమైన కేసుల కోసం పరీక్షించలేము. అసంపూర్ణ ఇండక్షన్ తరచుగా తప్పుడు ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది.

అనేక సందర్భాల్లో, ఈ రకమైన కష్టం నుండి బయటపడే మార్గం గణిత ప్రేరణ పద్ధతి అని పిలువబడే ఒక ప్రత్యేక తార్కిక పద్ధతిని ఆశ్రయించడం. ఇది క్రింది విధంగా ఉంది.

మీరు ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం నిర్దిష్ట స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపించాలని అనుకుందాం (ఉదాహరణకు, మీరు మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం n 2కి సమానమని నిరూపించాలి). n యొక్క ప్రతి విలువకు ఈ ప్రకటన యొక్క ప్రత్యక్ష ధృవీకరణ అసాధ్యం, ఎందుకంటే సహజ సంఖ్యల సమితి అనంతం. ఈ ప్రకటనను నిరూపించడానికి, ముందుగా n=1 కోసం దాని చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి. అప్పుడు వారు k యొక్క ఏదైనా సహజ విలువ కోసం, n=k కోసం పరిశీలనలో ఉన్న స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు n=k+1 కోసం దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది.

అప్పుడు ప్రకటన అన్ని n కోసం నిరూపితమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. వాస్తవానికి, ప్రకటన n=1కి నిజం. కానీ తర్వాతి సంఖ్య n=1+1=2కి కూడా ఇది నిజం. n=2 కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు n=2+కి దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది

1=3. ఇది n=4 మొదలైన వాటి కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది. చివరికి, మనం ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి చేరుకుంటామని స్పష్టమవుతుంది. దీని అర్థం ఏదైనా n కోసం ప్రకటన నిజం.

చెప్పబడిన వాటిని సంగ్రహించి, మేము ఈ క్రింది సాధారణ సూత్రాన్ని రూపొందిస్తాము.

గణిత ప్రేరణ సూత్రం.

ఒక వాక్యం A(n), సహజ సంఖ్య nపై ఆధారపడి, n=1కి నిజమైతే మరియు అది n=k (k అనేది ఏదైనా సహజ సంఖ్య అయిన చోట)కి నిజమైనది అనే వాస్తవం నుండి అది కూడా నిజం అని అనుసరిస్తుంది. తదుపరి సంఖ్య n=k +1, అప్పుడు ఊహ A(n) ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి నిజం.

అనేక సందర్భాల్లో, ఒక నిర్దిష్ట స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును అన్ని సహజ సంఖ్యల కోసం కాకుండా n>p కోసం మాత్రమే నిరూపించడం అవసరం కావచ్చు, ఇక్కడ p అనేది స్థిర సహజ సంఖ్య. ఈ సందర్భంలో, గణిత ప్రేరణ సూత్రం క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది.

ఒకవేళ A(n) అనేది n=pకి నిజమైతే మరియు ఏదైనా k>pకి A(k)ÞA(k+1) అయితే, A(n) ప్రతిపాదన ఏదైనా n>pకి సరైనది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి రుజువు క్రింది విధంగా నిర్వహించబడుతుంది. ముందుగా, నిరూపించాల్సిన స్టేట్‌మెంట్ n=1 కోసం తనిఖీ చేయబడుతుంది, అనగా. ప్రకటన A(1) యొక్క సత్యం స్థాపించబడింది. రుజువు యొక్క ఈ భాగాన్ని ఇండక్షన్ ఆధారం అంటారు. అప్పుడు ప్రూఫ్‌లో ఇండక్షన్ స్టెప్ అనే భాగం వస్తుంది. ఈ భాగంలో, వారు n=k (ఇండక్షన్ ఊహ) కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు యొక్క ఊహ కింద n=k+1 కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును రుజువు చేస్తారు, అనగా. A(k)ÞA(k+1) అని నిరూపించండి.

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 అని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) మనకు n=1=1 2 ఉంది. అందుకే,

ప్రకటన n=1కి నిజం, అనగా. A(1) నిజం.

2) A(k)ÞA(k+1) అని నిరూపిద్దాం.

k ఏదైనా సహజ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి మరియు n=k కోసం స్టేట్‌మెంట్ నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, అనగా.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

తర్వాతి సహజ సంఖ్య n=k+1కి కూడా ఆ ప్రకటన సరైనదని నిరూపిద్దాం, అనగా. ఏమిటి

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

నిజానికి,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, ఏదైనా nÎNకి ఊహ A(n) నిజమని మేము నిర్ధారించాము.

నిరూపించు

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), ఇక్కడ x¹1

పరిష్కారం: 1) n=1 కోసం మనకు లభిస్తుంది

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

కాబట్టి, n=1 కోసం సూత్రం సరైనది; A(1) నిజం.

2) k ఏదైనా సహజ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి మరియు సూత్రం n=kకి నిజమైనదిగా ఉండనివ్వండి, అనగా.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

అప్పుడు సమానత్వం అని నిరూపిద్దాం

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

నిజానికి

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి సూత్రం సరైనదని మేము నిర్ధారించాము.

కుంభాకార n-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య n(n-3)/2కి సమానం అని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) n=3 కోసం ప్రకటన నిజం

మరియు 3 అర్ధవంతమైనది, ఎందుకంటే త్రిభుజంలో

 A 3 =3(3-3)/2=0 వికర్ణాలు;

A 2 A(3) నిజం.

2) ప్రతిదానిలో అని అనుకుందాం

ఒక కుంభాకార k-gon ఉంది-

A 1 x A k =k(k-3)/2 వికర్ణాలు.

మరియు k మనం దానిని కుంభాకారంలో నిరూపిద్దాం

(k+1)-gon సంఖ్య

వికర్ణాలు A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 ఒక కుంభాకార (k+1)-gonగా ఉండనివ్వండి. దానిలో వికర్ణ A 1 A k గీద్దాం. ఈ (k+1)-gon యొక్క మొత్తం వికర్ణాల సంఖ్యను లెక్కించడానికి, మీరు k-gon A 1 A 2 ...A k లోని వికర్ణాల సంఖ్యను లెక్కించాలి, ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్యకు k-2ని జోడించండి, అనగా. A k+1 శీర్షం నుండి వెలువడే (k+1)-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య మరియు అదనంగా, వికర్ణ A 1 A k పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి.

ఈ విధంగా,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం కారణంగా, ఏదైనా కుంభాకార n-gon కోసం ప్రకటన నిజం.

ఏదైనా n కింది ప్రకటన నిజమని నిరూపించండి:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

దీని అర్థం n=1 కోసం ప్రకటన నిజం.

2) n=k అని అనుకోండి

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.

3) n=k+1 కోసం ఈ ప్రకటనను పరిగణించండి

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

మేము n=k+1 కోసం సమానత్వం నిజమని నిరూపించాము, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన నిజం.

ఏదైనా సహజ సంఖ్య n సమానత్వం నిజమని నిరూపించండి:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.

పరిష్కారం: 1) n=1 లెట్.

అప్పుడు X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2/4=1.

మేము n=1 కోసం ప్రకటన నిజమని చూస్తాము.

2) n=kకి సమానత్వం సరైనదని అనుకుందాం

X k =k 2 (k+1) 2/4.

3) n=k+1 కోసం ఈ ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపిద్దాం, అనగా.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4.

పై రుజువు నుండి ప్రకటన n=k+1కి సరైనదని స్పష్టమవుతుంది, కాబట్టి, ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి సమానత్వం నిజమైనది.

నిరూపించు

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), ఇక్కడ n>2.

పరిష్కారం: 1) n=2 కోసం గుర్తింపు ఇలా కనిపిస్తుంది: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

ఆ. ఇది నిజం.

2) n=k కోసం వ్యక్తీకరణ నిజమని భావించండి

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) n=k+1 కోసం వ్యక్తీకరణ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిరూపిద్దాం.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´...´((k 3 +1)/(k 3 -1)))'(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

మేము n=k+1 కోసం సమానత్వం నిజమని నిరూపించాము, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ఏదైనా n>2 కోసం ప్రకటన నిజం

నిరూపించు

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

ఏదైనా సహజ n కోసం.

పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) అప్పుడు n=k అని అనుకుందాం

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) n=k+1 కోసం ఈ ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపిద్దాం

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

n=k+1 కోసం సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటు కూడా నిరూపించబడింది, కాబట్టి ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన నిజం.

గుర్తింపు సరైనదని నిరూపించండి

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

ఏదైనా సహజ n కోసం.

1) n=1కి గుర్తింపు నిజం 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) n=k కోసం అనుకుందాం

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) n=k+1కి గుర్తింపు నిజమని నిరూపిద్దాం.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

పై రుజువు నుండి ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన సరైనదని స్పష్టమవుతుంది.

(11 n+2 +12 2n+1) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23´133.

కానీ (23´133) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుంది, అంటే n=1 కోసం ప్రకటన నిజం; A(1) నిజం.

2) (11 k+2 +12 2k+1) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడిందని అనుకుందాం.

3) ఈ సందర్భంలో దానిని నిరూపిద్దాం

(11 k+3 +12 2k+3) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుంది. నిజానికి, 11 k+3 +12 2l+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

ఫలితంగా వచ్చే మొత్తాన్ని శేషం లేకుండా 133తో విభజించారు, ఎందుకంటే దాని మొదటి పదం ఊహ ద్వారా శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుంది మరియు రెండవది 133. కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏదైనా n 7 n -1 శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) n=1 లెట్, అప్పుడు X 1 =7 1 -1=6 శేషం లేకుండా 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. అంటే n=1 అయినప్పుడు ప్రకటన నిజం.

2) n=k కోసం అనుకుందాం

7 k -1 అనేది శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది.

3) n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

మొదటి పదం 6తో భాగించబడుతుంది, ఎందుకంటే 7 k -1 ఊహ ద్వారా 6తో భాగించబడుతుంది మరియు రెండవ పదం 6. దీని అర్థం ఏదైనా సహజ n కోసం 7 n -1 6 యొక్క గుణకం. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏకపక్ష సహజ n కోసం 3 3n-1 +2 4n-3 11 ద్వారా భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.
పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడుతుంది. దీని అర్థం n=1 కోసం ప్రకటన నిజం.

2) n=k కోసం అనుకుందాం

X k =3 3k-1 +2 4k-3 అనేది శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడుతుంది.

3) n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

మొదటి పదం శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడుతుంది, ఎందుకంటే 3 3k-1 +2 4k-3 ఊహ ద్వారా 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది, రెండవది 11 ద్వారా భాగించబడుతుంది, ఎందుకంటే దాని కారకాల్లో ఒకటి సంఖ్య 11. దీని అర్థం మొత్తం ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏకపక్ష సహజ n కోసం 11 2n -1 శేషం లేకుండా 6 ద్వారా భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: 1) n=1 లెట్, అప్పుడు 11 2 -1=120 శేషం లేకుండా 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. అంటే n=1 అయినప్పుడు ప్రకటన నిజం.

2) n=k కోసం అనుకుందాం

11 2k -1 అనేది శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

రెండు పదాలు శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడతాయి: మొదటిది 6 యొక్క గుణకం, సంఖ్య 120, మరియు రెండవది ఊహ ద్వారా శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది. అంటే మొత్తం శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏకపక్ష సహజ సంఖ్య n కోసం 3 3n+3 -26n-27 శేషం లేకుండా 26 2 (676)తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

పరిష్కారం: మొదట 3 3n+3 -1 శేషం లేకుండా 26తో భాగించబడుతుందని నిరూపిస్తాము.

n=0 ఉన్నప్పుడు

3 3 -1=26 26తో భాగించబడింది

n=k కోసం అని అనుకుందాం

3 3k+3 -1 26చే భాగించబడుతుంది

ప్రకటన అని నిరూపిద్దాం

n=k+1కి నిజం.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3л+3 +(3 3k+3 -1) – 26తో భాగించబడింది

ఇప్పుడు సమస్య ప్రకటనలో రూపొందించిన ప్రకటన యొక్క రుజువును అమలు చేద్దాం.

1) సహజంగానే, n=1 ప్రకటన నిజం అయినప్పుడు

3 3+3 -26-27=676

2) n=k కోసం అనుకుందాం

వ్యక్తీకరణ 3 3k+3 -26k-27 శేషం లేకుండా 26 2 ద్వారా విభజించబడింది.

3) n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

రెండు పదాలు 26 2 ద్వారా భాగించబడతాయి; మొదటిది 26 2తో భాగించబడుతుంది ఎందుకంటే కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ 26తో భాగించబడుతుందని మేము నిరూపించాము మరియు రెండవది ఇండక్షన్ పరికల్పన ద్వారా భాగించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

n>2 మరియు x>0 అయితే అసమానత నిజమని నిరూపించండి

(1+x) n >1+n´x.

పరిష్కారం: 1) n=2 కోసం అసమానత చెల్లుబాటు అవుతుంది, ఎందుకంటే

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

కాబట్టి A(2) నిజం.

2) A(k)ÞA(k+1), k> అయితే 2. A(k) నిజమని, అంటే అసమానత అని నిరూపిద్దాం.

(1+x) k >1+k´x. (3)

అప్పుడు A(k+1) కూడా నిజమని, అంటే అసమానత అని నిరూపిద్దాం

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

వాస్తవానికి, అసమానత యొక్క రెండు వైపులా (3) ధనాత్మక సంఖ్య 1+xతో గుణిస్తే, మనకు లభిస్తుంది

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

చివరి అసమానత యొక్క కుడి వైపున పరిశీలిద్దాం

స్తవా; మన దగ్గర ఉంది

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

ఫలితంగా, మేము దానిని పొందుతాము

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

కాబట్టి, A(k)ÞA(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, బెర్నౌలీ యొక్క అసమానత దేనికైనా నిజమని వాదించవచ్చు

అసమానత నిజమని నిరూపించండి

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 for a> 0.

పరిష్కారం: 1) m=1 ఎప్పుడు

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి.

2) m=k అని అనుకుందాం

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) m=k+1 కోసం అసమానత నిజమని నిరూపిద్దాం

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

మేము m=k+1 కోసం అసమానత యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపించాము, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, అసమానత ఏదైనా సహజ m కోసం చెల్లుబాటు అవుతుంది.

n>6కి అసమానత నిజమని నిరూపించండి

3 n >n´2 n+1 .

పరిష్కారం: రూపంలో అసమానతను తిరిగి వ్రాద్దాం

n=7 కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము

3 7/2 7 =2187/128>14=2´7

అసమానత నిజం.

n=k కోసం అని అనుకుందాం

3) n=k+1 కోసం అసమానత యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపిద్దాం.

3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

k>7 నుండి, చివరి అసమానత స్పష్టంగా ఉంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, అసమానత ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి చెల్లుతుంది.

n>2 కోసం అసమానత నిజమని నిరూపించండి

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

పరిష్కారం: 1) n=3 కోసం అసమానత నిజం

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

n=k కోసం అని అనుకుందాం

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) కాని వాటి చెల్లుబాటును నిరూపిద్దాం

n=k+1కి సమానత్వం

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2) అని నిరూపిద్దాం<1,7-(1/k+1)Û

Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

తరువాతి స్పష్టంగా ఉంది, అందువలన

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, అసమానత నిరూపించబడింది.

ముగింపు

ముఖ్యంగా, గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, నేను ఈ గణితంలో నా జ్ఞానాన్ని పెంచుకున్నాను మరియు గతంలో నా శక్తికి మించిన సమస్యలను పరిష్కరించడం నేర్చుకున్నాను.

ఇవి ప్రధానంగా తార్కిక మరియు వినోదాత్మక పనులు, అనగా. కేవలం గణితశాస్త్రంలో ఒక శాస్త్రంగా ఆసక్తిని పెంచేవి. అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడం వినోదాత్మక కార్యకలాపంగా మారుతుంది మరియు మరింత ఆసక్తిగల వ్యక్తులను గణిత చిక్కుల్లోకి ఆకర్షిస్తుంది. నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఇది ఏదైనా శాస్త్రానికి ఆధారం.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని అధ్యయనం చేయడం కొనసాగిస్తూ, నేను గణితంలో మాత్రమే కాకుండా, భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం మరియు జీవితంలోని సమస్యలను పరిష్కరించడంలో కూడా ఎలా ఉపయోగించాలో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

గణితం:

ఉపన్యాసాలు, సమస్యలు, పరిష్కారాలు

పాఠ్య పుస్తకం / V.G. బోల్ట్యాన్స్కీ, Yu.V. సిడోరోవ్, M.I. షాబునిన్. పాట్‌పూరీ LLC 1996.

బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభాలు

పాఠ్య పుస్తకం / I.T. డెమిడోవ్, A.N. కోల్మోగోరోవ్, S.I. ష్వార్ట్స్‌బర్గ్, O.S. ఇవాషెవ్-ముసాటోవ్, B.E. వీట్జ్. "జ్ఞానోదయం" 1975.

ఒకవేళ n=pకి A(n) మరియు ఏదైనా k>pకి A(k) ≈ A(k+1) నిజమైతే, A(n) ప్రతిపాదన ఏదైనా n>pకి సరైనది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఉపయోగించి రుజువు క్రింది విధంగా నిర్వహించబడుతుంది. ముందుగా, నిరూపించాల్సిన స్టేట్‌మెంట్ n=1 కోసం తనిఖీ చేయబడుతుంది, అనగా. ప్రకటన A(1) యొక్క సత్యం స్థాపించబడింది. రుజువు యొక్క ఈ భాగాన్ని ఇండక్షన్ ఆధారం అంటారు. అప్పుడు ప్రూఫ్‌లో ఇండక్షన్ స్టెప్ అనే భాగం వస్తుంది. ఈ భాగంలో, వారు n=k (ఇండక్షన్ ఊహ) కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు యొక్క ఊహ కింద n=k+1 కోసం స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును రుజువు చేస్తారు, అనగా. A(k) 1 A(k+1) అని నిరూపించండి

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 అని నిరూపించండి.

1) మనకు n=1=1 2 ఉంది. కాబట్టి, ప్రకటన n=1కి నిజం, అనగా. A(1) నిజం
2) A(k) ≥ A(k+1) అని నిరూపిద్దాం

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

తర్వాతి సహజ సంఖ్య n=k+1కి కూడా ఆ ప్రకటన సరైనదని నిరూపిద్దాం, అనగా. ఏమిటి

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 నిజానికి,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

కాబట్టి, A(k) 1 A(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, ఏదైనా n O Nకి ఊహ A(n) నిజమని మేము నిర్ధారించాము

నిరూపించు

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), ఇక్కడ x నం. 1

1) n=1 కోసం మనకు లభిస్తుంది
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

కాబట్టి, n=1 కోసం సూత్రం సరైనది; A(1) నిజం

2) k ఏదైనా సహజ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి మరియు n=k కోసం సూత్రం నిజమని భావించండి,
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

అప్పుడు సమానత్వం అని నిరూపిద్దాం

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) నిజానికి
1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

కాబట్టి, A(k) 1 A(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం సూత్రం సరైనదని మేము నిర్ధారించాము

కుంభాకార n-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య n(n-3)/2 అని నిరూపించండి

పరిష్కారం: 1) n=3 కోసం ప్రకటన నిజం, ఎందుకంటే త్రిభుజంలో

A 3 =3(3-3)/2=0 వికర్ణాలు; A 2 A(3) నిజం

2) ప్రతి కుంభాకార k-gonలో A 1 x A k =k(k-3)/2 వికర్ణాలు ఉన్నాయని అనుకుందాం. A k అప్పుడు కుంభాకార A k+1 (k+1)-gonలో వికర్ణాల సంఖ్య A k+1 =(k+1)(k-2)/2 అని నిరూపిద్దాం.

ఈ విధంగా,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

కాబట్టి, A(k) 1 A(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం కారణంగా, ఏదైనా కుంభాకార n-gon కోసం ప్రకటన నిజం.

ఏదైనా n కింది ప్రకటన నిజమని నిరూపించండి:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

2) n=k అని అనుకోండి

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6

3) n=k+1 కోసం ఈ ప్రకటనను పరిగణించండి

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

మేము n=k+1 కోసం సమానత్వం నిజమని నిరూపించాము, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన నిజం

ఏదైనా సహజ సంఖ్య n సమానత్వం నిజమని నిరూపించండి:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4

పరిష్కారం: 1) n=1 లెట్

అప్పుడు X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2/4=1. మేము n=1 కోసం ప్రకటన నిజమని చూస్తాము.

2) n=kకి సమానత్వం సరైనదని అనుకుందాం

X k =k 2 (k+1) 2/4

3) n=k+1 కోసం ఈ ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపిద్దాం, అనగా.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

పై రుజువు నుండి ప్రకటన n=k+1కి సరైనదని స్పష్టమవుతుంది, కాబట్టి, ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి సమానత్వం నిజమైనది

నిరూపించు

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ ... ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1) )= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), ఇక్కడ n>2

పరిష్కారం: 1) n=2 కోసం గుర్తింపు ఇలా కనిపిస్తుంది:

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), i.e. ఇది నిజం
2) n=k కోసం వ్యక్తీకరణ నిజమని భావించండి
(2 3 +1)/(2 3 -1) ґ … ґ (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)
3) n=k+1 కోసం వ్యక్తీకరణ యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపిద్దాం
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

నిరూపించు

ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) అప్పుడు n=k అని అనుకుందాం
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) n=k+1 కోసం ఈ ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపిద్దాం
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

గుర్తింపు సరైనదని నిరూపించండి

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) ఏదైనా సహజ n కోసం

1) n=1కి గుర్తింపు నిజం 1 2/1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) n=k కోసం అనుకుందాం
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
3) n=k+1కి గుర్తింపు నిజమని నిరూపిద్దాం
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1)

పై రుజువు నుండి ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం ప్రకటన సరైనదని స్పష్టమవుతుంది.

(11 n+2 +12 2n+1) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి

పరిష్కారం: 1) n=1, ఆపై

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

కానీ (23 ґ 133) అనేది శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుంది, అంటే n=1 కోసం ప్రకటన నిజం; A(1) నిజం.

2) (11 k+2 +12 2k+1) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడిందని అనుకుందాం
3) ఈ సందర్భంలో (11 k+3 +12 2k+3) శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుందని నిరూపిద్దాం. నిజానికి
11 k+3 +12 2l+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

ఫలితంగా వచ్చే మొత్తాన్ని శేషం లేకుండా 133తో విభజించారు, ఎందుకంటే దాని మొదటి పదం ఊహ ద్వారా శేషం లేకుండా 133తో భాగించబడుతుంది మరియు రెండవది 133. కాబట్టి, A(k) 1 A(k+1). గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది

ఏదైనా n 7 n -1 శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి

1) n=1 లెట్, అప్పుడు X 1 =7 1 -1=6 శేషం లేకుండా 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. దీని అర్థం n=1 కోసం ప్రకటన నిజం
2) n=k 7 k -1 శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడినప్పుడు అనుకుందాం
3) n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం

X k+1 =7 k+1 -1=7 ґ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6

మొదటి పదం 6చే భాగించబడుతుంది, ఎందుకంటే 7 k -1 ఊహ ద్వారా 6చే భాగించబడుతుంది మరియు రెండవ పదం 6. దీని అర్థం ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి 7 n -1 6 యొక్క గుణకం. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏకపక్ష సహజ సంఖ్య n కోసం 3 3n-1 +2 4n-3 11 ద్వారా భాగించబడుతుందని నిరూపించండి.

1) n=1ని లెట్

X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడుతుంది.

దీని అర్థం n=1 కోసం ప్రకటన నిజం

2) n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3ని శేషం లేకుండా 11తో భాగించినప్పుడు అనుకుందాం
3) n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 =

27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =(16+11) ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16 ґ 3 3k-1 +

11 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ґ 3 3k-1

ఏకపక్ష సహజ సంఖ్య n కోసం 11 2n -1 శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి

1) n=1 లెట్, అప్పుడు 11 2 -1=120 శేషం లేకుండా 6 ద్వారా భాగించబడుతుంది. దీని అర్థం n=1 కోసం ప్రకటన నిజం
2) n=k 1 2k -1 శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడిందని అనుకుందాం
11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

రెండు పదాలు శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడతాయి: మొదటిది 6, 120 యొక్క గుణకాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు రెండవది ఊహ ద్వారా శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది. అంటే మొత్తం శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడుతుంది. గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, ప్రకటన నిరూపించబడింది.

ఏకపక్ష సహజ సంఖ్య n కోసం 3 3n+3 -26n-27 శేషం లేకుండా 26 2 (676)తో భాగించబడుతుందని నిరూపించండి

3 3n+3 -1 శేషం లేకుండా 26తో భాగించబడుతుందని ముందుగా నిరూపిద్దాం

1. n=0 ఎప్పుడు
3 3 -1=26 26తో భాగించబడింది
2. n=k అని అనుకుందాం
3 3k+3 -1 26చే భాగించబడుతుంది
3. n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3l+3 +(3 3k+3 -1) -26తో భాగించబడింది

ఇప్పుడు సమస్య ప్రకటనలో రూపొందించిన ప్రకటనను నిరూపిద్దాం

1) సహజంగానే, n=1 కోసం ప్రకటన నిజం
3 3+3 -26-27=676
2) n=k కోసం 3 3k+3 -26k-27 వ్యక్తీకరణ శేషం లేకుండా 26 2తో భాగించబడిందని అనుకుందాం.
3) n=k+1 కోసం ప్రకటన నిజమని నిరూపిద్దాం
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

n>2 మరియు x>0 అయితే, అసమానత (1+x) n >1+n ґ x నిజమని నిరూపించండి

1) n=2 కోసం అసమానత చెల్లుబాటు అవుతుంది, ఎందుకంటే
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

కాబట్టి A(2) నిజం

2) A(k) ≈ A(k+1), అయితే k> 2 అని నిరూపిద్దాం. A(k) నిజమని అనుకుందాం, అనగా అసమానత
(1+x) k >1+k ґ x. (3)

అప్పుడు A(k+1) కూడా నిజమని, అంటే అసమానత అని నిరూపిద్దాం

(1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

చివరి అసమానత యొక్క కుడి వైపున పరిగణించండి; మన దగ్గర ఉంది

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

ఫలితంగా, మనకు (1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

కాబట్టి, A(k) 1 A(k+1). గణిత ప్రేరణ సూత్రం ఆధారంగా, బెర్నౌలీ అసమానత ఏదైనా n> 2కి చెల్లుబాటు అవుతుందని వాదించవచ్చు.

అసమానత (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 for a> 0 నిజమని నిరూపించండి

పరిష్కారం: 1) m=1 ఎప్పుడు

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 రెండు వైపులా సమానం
2) m=k అని అనుకుందాం
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) m=k+1 కోసం అసమానత నిజమని నిరూపిద్దాం
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

m=k+1 కోసం అసమానత నిజమని మేము నిరూపించాము, కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, అసమానత ఏదైనా సహజ సంఖ్య mకి చెల్లుబాటు అవుతుంది.

n>6 కోసం అసమానత 3 n >n ґ 2 n+1 నిజమని నిరూపించండి

అసమానతను (3/2) n >2n రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం

1. n=7 కోసం మనకు 3 7/2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 ఉంది అసమానత నిజం
2. n=k (3/2) k >2k అని అనుకుందాం
3) n=k+1 కోసం అసమానతను నిరూపిద్దాం
3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

k>7 నుండి, చివరి అసమానత స్పష్టంగా ఉంది.

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, అసమానత ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి చెల్లుతుంది

n>2 కోసం అసమానత నిజమని నిరూపించండి

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

1) n=3కి అసమానత నిజం
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. n=k అని అనుకుందాం
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
3) n=k+1 కోసం అసమానత యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపిద్దాం
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

1.7-(1/k)+(1/(k+1) 2) అని నిరూపిద్దాం<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

తరువాతి స్పష్టంగా ఉంది, అందువలన

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా, అసమానత నిరూపించబడింది.

బ్రయాన్స్క్ సిటీ లైసియం నం. 1

అంశంపై పరిశోధన పని:

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి

పూర్తయింది

ఎంకేవలం TOకాన్స్టాంటైన్

విద్యార్థి 10 భౌతిక శాస్త్రం మరియు గణితం

బ్రయాన్స్క్ సిటీ లైసియం నం. 1

తనిఖీ చేయబడింది

టియుకచేవా గురించిఅబద్ధం మరియువనోవ్నా

పరిచయం_ _ _ _ _ _ _ _

ముఖ్య భాగం

పూర్తి మరియు అసంపూర్ణ ప్రేరణ_ _ _ _ _ _ _ _ _ 3-4

గణిత ప్రేరణ సూత్రం_ _ _ _ _4-5

గణిత ప్రేరణ పద్ధతి_ _ _ _ _ 6

గణిత ప్రేరణ ద్వారా పరిష్కారం

సమ్మషన్ సమస్యలకు_ _ _ _ _ _ _ _ 7

అసమానతలను నిరూపించడంలో సమస్యలకు_ _8

విభజన సమస్యలకు _ _ _ _ __

గుర్తింపులను నిరూపించడంలో సమస్యలకు _ _ _12

ఇతర పనులకు _ _

తీర్మానం_ _ _ _ _ _ _ _ _

ఉపయోగించిన సాహిత్యాల జాబితా _ _ _ _17

పరిచయం

మాట ప్రేరణరష్యన్ భాషలో అంటే మార్గదర్శకత్వం, మరియు ప్రేరకపరిశీలనలు, ప్రయోగాల ఆధారంగా చేసిన తీర్మానాలను కాల్ చేయండి, అనగా. నిర్దిష్ట నుండి సాధారణ వరకు అనుమితి ద్వారా పొందబడింది.

ప్రయోగాత్మక శాస్త్రాలలో ప్రేరక ముగింపుల పాత్ర చాలా గొప్పది. వారు ఆ నిబంధనలను ఇస్తారు, దాని నుండి తగ్గింపు ద్వారా తదుపరి ముగింపులు తీసుకోబడతాయి. సైద్ధాంతిక మెకానిక్స్ న్యూటన్ యొక్క మూడు చలన నియమాలపై ఆధారపడి ఉన్నప్పటికీ, ఈ చట్టాలు ప్రయోగాత్మక డేటా ద్వారా లోతైన ఆలోచనల ఫలితంగా ఉన్నాయి, ప్రత్యేకించి కెప్లర్ యొక్క గ్రహ చలనాల నియమాలు, అతను డానిష్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త టైకోచే అనేక సంవత్సరాల పరిశీలనల ప్రాసెసింగ్ నుండి తీసుకోబడింది. బ్రహే. పరిశీలన మరియు ఇండక్షన్ చేసిన ఊహలను స్పష్టం చేయడానికి భవిష్యత్తులో ఉపయోగపడతాయి. కదిలే మాధ్యమంలో కాంతి వేగాన్ని కొలవడానికి మిచెల్సన్ చేసిన ప్రయోగాల తర్వాత, భౌతిక శాస్త్ర నియమాలను స్పష్టం చేయడం మరియు సాపేక్ష సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం అవసరం అని తేలింది.

గణితశాస్త్రంలో, ఇండక్షన్ పాత్ర ఎక్కువగా అది ఎంచుకున్న యాక్సియోమాటిక్స్‌లో ఉంటుంది. దీర్ఘ-కాల అభ్యాసం వక్ర లేదా విరిగిన మార్గం కంటే సరళమైన మార్గం ఎల్లప్పుడూ తక్కువగా ఉంటుందని చూపించిన తర్వాత, ఒక సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించడం సహజం: ఏదైనా మూడు పాయింట్లు A, B మరియు C, అసమానత

అంకగణితానికి ఆధారమైన “ఫాలోయింగ్” అనే భావన సైనికులు, నౌకలు మరియు ఇతర ఆర్డర్ సెట్‌ల ఏర్పాటు యొక్క పరిశీలనల నుండి కూడా కనిపించింది.

ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఇది గణితంలో ఇండక్షన్ పాత్రను నిర్వీర్యం చేస్తుందని భావించకూడదు. వాస్తవానికి, సిద్ధాంతాల నుండి తార్కికంగా తీసివేయబడిన సిద్ధాంతాలను మనం ప్రయోగాత్మకంగా పరీక్షించకూడదు: ఉత్పన్నం సమయంలో ఎటువంటి తార్కిక లోపాలు జరగకపోతే, మేము అంగీకరించిన సిద్ధాంతాలు నిజం అయినంత వరకు అవి నిజం. కానీ ఈ సిద్ధాంతాల వ్యవస్థ నుండి చాలా ప్రకటనలను తీసివేయవచ్చు. మరియు నిరూపించబడవలసిన ఆ ప్రకటనల ఎంపిక మళ్లీ ఇండక్షన్ ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఇది పనికిరాని వాటి నుండి ఉపయోగకరమైన సిద్ధాంతాలను వేరు చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఏ సిద్ధాంతాలు నిజం కావచ్చో సూచిస్తుంది మరియు రుజువు యొక్క మార్గాన్ని వివరించడానికి కూడా సహాయపడుతుంది.

గణిత ప్రేరణ యొక్క సారాంశం

ఉపయోగించడాన్ని ఉదాహరణగా చూపిద్దాం ఎంపద్ధతి ఎంగణిత మరియుఇండక్షన్ మరియు ముగింపులో మేము సాధారణీకరణ ముగింపు చేస్తాము.

4లోపు ప్రతి సరి సహజ సంఖ్యను నిర్ధారించడం అవసరం< n< 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

1+3+5+7+9=25=5 2

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

ఆ. మొదటి n వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తం n 2

వాస్తవానికి, చేసిన పరిశీలన ఇంకా ప్రామాణికతకు రుజువుగా ఉపయోగపడదు

ఇచ్చిన ఫార్ములా.

మీరు ఏదైనా సహజ సంఖ్య n కోసం కొంత స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును నిరూపించాలని అనుకుందాం (ఉదాహరణకు, మీరు మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం n 2కి సమానమని నిరూపించాలి). n యొక్క ప్రతి విలువకు ఈ ప్రకటన యొక్క ప్రత్యక్ష ధృవీకరణ అసాధ్యం, ఎందుకంటే సహజ సంఖ్యల సమితి అనంతం. ఈ ప్రకటనను నిరూపించడానికి, ముందుగా n=1 కోసం దాని చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి. అప్పుడు వారు k యొక్క ఏదైనా సహజ విలువ కోసం, n=k కోసం పరిశీలనలో ఉన్న స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు n=k+1 కోసం దాని చెల్లుబాటును సూచిస్తుంది.

గణిత ప్రేరణ సూత్రం.

ప్రతిపాదన ఉంటే A( n ), సహజ సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది n , నిజం n =1 మరియు ఇది నిజం అనే వాస్తవం నుండి n = కె (ఎక్కడ కె -ఏదైనా సహజ సంఖ్య), తదుపరి సంఖ్యకు ఇది నిజం అని అనుసరిస్తుంది n = కె +1, ఆపై ఊహ A( n ) ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు నిజం n .

అనేక సందర్భాల్లో, ఒక నిర్దిష్ట స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటును అన్ని సహజ సంఖ్యల కోసం కాకుండా, n> p కోసం మాత్రమే నిరూపించడం అవసరం కావచ్చు, ఇక్కడ p అనేది స్థిర సహజ సంఖ్య. ఈ సందర్భంలో, గణిత ప్రేరణ సూత్రం క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది.

ప్రతిపాదన ఉంటే A( n ) నిజం n = p మరియు ఒకవేళ A( కె ) Þ A( కె +1) ఎవరికైనా కె > p , తర్వాత ప్రతిపాదన A( n ) ఎవరికైనా నిజం n > p .

సమ్మషన్ సమస్యలలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్

సమ్మషన్ సమస్యలలో గణిత ప్రేరణ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్

దీన్ని చేయడానికి, ముందుగా స్టేట్‌మెంట్ నంబర్ 1 యొక్క సత్యాన్ని తనిఖీ చేయండి - ఇండక్షన్ బేస్, ఆపై నంబర్‌తో కూడిన ప్రకటన నిజమని నిరూపించబడింది n, అప్పుడు సంఖ్యతో కూడిన కింది స్టేట్‌మెంట్ కూడా నిజం n + 1 - ఇండక్షన్ దశ, లేదా ఇండక్షన్ పరివర్తన.

ఇండక్షన్ ద్వారా రుజువుని పిలవబడే రూపంలో స్పష్టంగా ప్రదర్శించవచ్చు డొమినో సూత్రం. ప్రతి డొమినో టైల్ పడిపోతున్నప్పుడు, తప్పనిసరిగా దానిని అనుసరించే డొమినో రాయిని తారుమారు చేసే విధంగా ఎన్ని డొమినో టైల్స్‌నైనా వరుసగా ఉంచనివ్వండి (ఇది ప్రేరక పరివర్తన). అప్పుడు, మేము మొదటి ఎముకను నెట్టివేస్తే (ఇది ఇండక్షన్ యొక్క ఆధారం), అప్పుడు వరుసలోని అన్ని ఎముకలు వస్తాయి.

రుజువు యొక్క ఈ పద్ధతికి తార్కిక ఆధారం అని పిలవబడేది ప్రేరణ యొక్క సూత్రం, సహజ సంఖ్యలను నిర్వచించే పీనో యొక్క సిద్ధాంతాలలో ఐదవది. ఇండక్షన్ పద్ధతి యొక్క ఖచ్చితత్వం సహజ సంఖ్యల యొక్క ఏదైనా ఉపసమితిలో కనిష్ట మూలకం ఉన్నదానికి సమానం.

పూర్తి గణిత ప్రేరణ సూత్రం అని పిలవబడే వైవిధ్యం కూడా ఉంది. దాని కఠినమైన సూత్రీకరణ ఇక్కడ ఉంది:

పూర్తి గణిత ప్రేరణ సూత్రం కూడా పీనో యొక్క సిద్ధాంతాలలో ఇండక్షన్ యాక్సియమ్‌కు సమానం.

ఉదాహరణలు

టాస్క్.అది నిరూపించడానికి, సహజమైనదైనా nమరియు నిజమైన q≠ 1, సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది

రుజువు.ఇండక్షన్ ఆన్ n.

బేస్, n = 1:

పరివర్తన: అలా నటిద్దాం

Q.E.D.

ఒక వ్యాఖ్య:ప్రకటన యొక్క ఖచ్చితత్వం పి nఈ రుజువులో - సమానత్వం యొక్క సత్యం వలె ఉంటుంది

ఇది కూడ చూడు

వైవిధ్యాలు మరియు సాధారణీకరణలు

సాహిత్యం

N. యా. విలెంకిన్ఇండక్షన్. కాంబినేటరిక్స్. ఉపాధ్యాయుల కోసం మాన్యువల్. M., విద్య, 1976.-48 p.
L. I. గోలోవినా, I. M. యాగ్లోమ్జ్యామితిలో ఇండక్షన్, "గణితంపై పాపులర్ లెక్చర్స్", ఇష్యూ 21, ఫిజ్మత్గిజ్ 1961.-100 పే.
R. కొరెంట్, G. రాబిన్స్"గణితం అంటే ఏమిటి?" అధ్యాయం I, § 2.
I. S. సోమిన్స్కీగణిత ప్రేరణ పద్ధతి. "గణితంపై పాపులర్ లెక్చర్స్", ఇష్యూ 3, పబ్లిషింగ్ హౌస్ "నౌకా" 1965.-58 పే.

వికీమీడియా ఫౌండేషన్. 2010.

ఇతర నిఘంటువులలో "గణిత ప్రేరణ పద్ధతి" ఏమిటో చూడండి:

గణితంలో గణిత ప్రేరణ అనేది రుజువు యొక్క పద్ధతుల్లో ఒకటి. అన్ని సహజ సంఖ్యల కోసం ఒక నిర్దిష్ట ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, సంఖ్య 1తో ఉన్న ప్రకటన యొక్క నిజం మొదట ఇండక్షన్ ఆధారంగా తనిఖీ చేయబడుతుంది, ఆపై... ... వికీపీడియా

ఒక సిద్ధాంతాన్ని నిర్మించే పద్ధతి, దానిలోని కొన్ని నిబంధనలపై ఆధారపడి ఉంటుంది - సిద్ధాంతాలు లేదా ప్రతిపాదనలు - దీని నుండి సిద్ధాంతం (సిద్ధాంతాలు) యొక్క అన్ని ఇతర నిబంధనలు తార్కికం ద్వారా తీసివేయబడతాయి, వీటిని రుజువులు m i అని పిలుస్తారు. క్రిమియా ప్రకారం నియమాలు ... ... ఫిలాసఫికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా

ఇండక్షన్ (lat. ఇండక్టియో గైడెన్స్) అనేది ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితి నుండి సాధారణ స్థితికి మారడంపై ఆధారపడిన తార్కిక అనుమితి ప్రక్రియ. ప్రేరక అనుమితి నిర్దిష్ట ప్రాంగణాన్ని తర్కం యొక్క చట్టాల ద్వారా అంతగా కాకుండా కొన్ని ... ... వికీపీడియాతో అనుసంధానిస్తుంది

జెనెటిక్ మెథడ్- అధ్యయనంలో ఉన్న విషయం యొక్క కంటెంట్ మరియు సారాంశాన్ని కన్వెన్షన్, ఆదర్శీకరణ లేదా తార్కిక ముగింపు ద్వారా కాకుండా, దాని మూలాన్ని అధ్యయనం చేయడం ద్వారా నిర్వచించే మార్గం (దాని ఆవిర్భావానికి దారితీసిన కారణాల అధ్యయనం, ఏర్పడే విధానం ఆధారంగా). వెడల్పు...... ఫిలాసఫీ ఆఫ్ సైన్స్: గ్లోసరీ ఆఫ్ బేసిక్ టర్మ్స్

ఒక శాస్త్రీయ సిద్ధాంతాన్ని నిర్మించే పద్ధతి, దీనిలో ఒక సిద్ధాంతం (సూత్రం చూడండి), లేదా పోస్ట్‌లేట్‌ల యొక్క కొన్ని ప్రారంభ నిబంధనల (తీర్పు) ఆధారంగా, ఈ శాస్త్రం యొక్క అన్ని ఇతర ప్రకటనలు (సిద్ధాంతాలు (సిద్ధాంతాన్ని చూడండి)) తప్పనిసరిగా తీసివేయబడాలి. .... గ్రేట్ సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా

అక్షసంబంధ పద్ధతి- యాక్సియోమాటిక్ మెథడ్ (గ్రీకు ఆక్సియోమా నుండి) అనేది ఆమోదించబడిన స్థానం - శాస్త్రీయ సిద్ధాంతాన్ని నిర్మించే పద్ధతి, దీనిలో గతంలో వాటి నుండి ఉద్భవించిన సిద్ధాంతాలు, ప్రతిపాదనలు మరియు ప్రకటనలు మాత్రమే రుజువులలో ఉపయోగించబడతాయి. మొదటి సారి స్పష్టంగా చూపించారు..... ఎన్సైక్లోపీడియా ఆఫ్ ఎపిస్టెమాలజీ అండ్ ఫిలాసఫీ ఆఫ్ సైన్స్

యాదృచ్ఛిక లోపాలను కలిగి ఉన్న కొలత ఫలితాల నుండి తెలియని పరిమాణాలను అంచనా వేయడానికి సిద్ధాంత దోష పద్ధతుల్లో ఒకటి. N.K.M. అనేది ఇతర (సరళమైన) ఫంక్షన్‌ల ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాతినిధ్యాన్ని అంచనా వేయడానికి కూడా ఉపయోగించబడుతుంది మరియు తరచుగా ఇలా మారుతుంది... మ్యాథమెటికల్ ఎన్‌సైక్లోపీడియా

గణిత ప్రేరేపణ అనేది గణిత రుజువు యొక్క పద్ధతుల్లో ఒకటి, ఇది అన్ని సహజ సంఖ్యల కోసం ఒక నిర్దిష్ట ప్రకటన యొక్క సత్యాన్ని నిరూపించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, మొదట తనిఖీ చేయండి ... వికీపీడియా

ఈ పదానికి ఇతర అర్థాలు ఉన్నాయి, ఇండక్షన్ చూడండి. ఇండక్షన్ (lat. ఇండక్టియో గైడెన్స్) అనేది ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితి నుండి సాధారణ స్థితికి మారడంపై ఆధారపడిన తార్కిక అనుమితి ప్రక్రియ. ప్రేరక అనుమితి నిర్దిష్ట ప్రాంగణాలను కలుపుతుంది... ... వికీపీడియా