సంఖ్యల ఉత్పత్తి క్రమం అంటే ఏమిటి? సహజ సంఖ్యల గుణకారం లేదా ఉత్పత్తి, వాటి లక్షణాలు

సమస్య 1.2
రెండు పూర్ణాంకాల X మరియు T. అవి వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటే, ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క విలువను X మరియు T వాటి సంపూర్ణ వ్యత్యాసం యొక్క విలువను కేటాయించండి. సంఖ్యలు ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉంటే, అసలైన సంఖ్యల మాడ్యులో వ్యత్యాసం యొక్క విలువ X మరియు ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క విలువ Tని కేటాయించండి. స్క్రీన్‌పై కొత్త X మరియు T విలువలను ప్రదర్శించండి.

పని కూడా కష్టం కాదు. మాడ్యులస్ తేడా ఏమిటో మీరు మరచిపోయినట్లయితే మాత్రమే "అపార్థాలు" తలెత్తుతాయి (రెండు పూర్ణాంకాల యొక్క ఉత్పత్తి ఏమిటో మీరు ఇప్పటికీ గుర్తుంచుకోవాలని నేను ఆశిస్తున్నాను)).

రెండు సంఖ్యల మాడ్యులో తేడా

రెండు పూర్ణాంకాల మాడ్యులో వ్యత్యాసం (పూర్ణాంకాలు అవసరం కానప్పటికీ - ఇది పర్వాలేదు, మన సమస్యలో సంఖ్యలు పూర్ణాంకాలు మాత్రమే) - ఇది సరళంగా చెప్పాలంటే, గణన ఫలితం రెండు తేడా యొక్క మాడ్యులస్. సంఖ్యలు.

అంటే, మొదట ఒక సంఖ్య నుండి మరొక సంఖ్యను తీసివేయడం అనే ఆపరేషన్ జరుగుతుంది. ఆపై ఈ ఆపరేషన్ ఫలితం యొక్క మాడ్యులస్ లెక్కించబడుతుంది.

గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

మాడ్యూల్ అంటే ఏమిటో లేదా పాస్కల్‌లో దాన్ని ఎలా లెక్కించాలో ఎవరైనా మర్చిపోయి ఉంటే, అప్పుడు చూడండి.

రెండు సంఖ్యల సంకేతాలను నిర్ణయించడానికి అల్గోరిథం

మొత్తంగా సమస్యకు పరిష్కారం చాలా సులభం. ప్రారంభకులకు ఇబ్బంది కలిగించే ఏకైక విషయం రెండు సంఖ్యల సంకేతాలను గుర్తించడం. అంటే, మనం ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వాలి: సంఖ్యలు ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉన్నాయా లేదా వేర్వేరు వాటిని కలిగి ఉన్నాయో లేదో ఎలా కనుగొనాలి.

మొదట, ఇది సున్నాతో సంఖ్యల పోలికను ఒక్కొక్కటిగా సూచిస్తుంది. ఇది ఆమోదయోగ్యమైనది. కానీ సోర్స్ కోడ్ చాలా పెద్దదిగా ఉంటుంది. కాబట్టి, ఈ అల్గోరిథంను ఉపయోగించడం మరింత సరైనది:

1. సంఖ్యలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించండి
2. ఫలితం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు సంఖ్యలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి
3. ఫలితం సున్నా లేదా సున్నా కంటే ఎక్కువ అయితే, సంఖ్యలు ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి

నేను ఈ అల్గారిథమ్‌ని ప్రత్యేకంగా అమలు చేసాను. మరియు దిగువ పాస్కల్ మరియు సి ++ లోని ఉదాహరణలలో చూపిన విధంగా ప్రోగ్రామ్ కూడా మారిపోయింది.

పాస్కల్‌లో 1.2 సమస్యను పరిష్కరించడంప్రోగ్రామ్ చెక్‌నమ్‌లు; var A, X, T: పూర్ణాంకం; //*************************************************** **************** // N1 మరియు N2 సంఖ్యలు ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేస్తుంది. అవును అయితే, // TRUEని అందిస్తుంది, లేకపోతే - FALSE //**************************************** **************************** ఫంక్షన్ ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; ప్రారంభం := (N1 * N2) >= 0; ముగింపు; //*************************************************** ******************* // ప్రధాన కార్యక్రమం //****************************** **************************************** ప్రారంభించండి వ్రాయండి("X = "); ReadLn(X); వ్రాయండి("T ="); ReadLn(T); ZnakNumbers(X, T) అయితే //సంఖ్యలు ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉంటే A:= (X - T); //అసలు సంఖ్యల మాడ్యులో తేడాను పొందండి T:= X * T; ముగింపు else //సంఖ్యలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటే A:= X * T; T:= Abs(X - T); ముగింపు; X:=A; //A నుండి X WriteLn ("X = ", X) విలువను వ్రాయండి; //అవుట్‌పుట్ X WriteLn("T = ", T); //అవుట్‌పుట్ T WriteLn("ముగింపు. ENTER నొక్కండి..."); ReadLn; ముగింపు.

C++లో 1.2 సమస్య పరిష్కారం#చేర్చండి #నేమ్‌స్పేస్ stdని ఉపయోగించి చేర్చండి; int A, X, T; //*************************************************** **************** // N1 మరియు N2 సంఖ్యలు ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేస్తుంది. అవును అయితే, // TRUEని అందిస్తుంది, లేకపోతే - FALSE //**************************************** **************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) (రిటర్న్ ((N1 * N2) >= 0); ) //*************************************************** ********************** // ప్రధాన కార్యక్రమం //********************* ****** ***************************************** int main( int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; అయితే (ZnakNumbers(X, T)) //సంఖ్యలు ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉంటే ( A = abs(X - T); //వ్యత్యాసాన్ని పొందండి అసలు సంఖ్యలు T = X * T; ) లేకపోతే // సంఖ్యలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటే (A = X * T; T = abs (X - T); ) X = A; //A విలువను X కౌట్‌లో వ్రాయండి

సర్వోత్తమీకరణం

మీరు ఫంక్షన్‌ను ఉపయోగించకపోతే మరియు ప్రోగ్రామ్ యొక్క సోర్స్ కోడ్‌ను కొద్దిగా రీవర్క్ చేయకపోతే ఈ సాధారణ ప్రోగ్రామ్‌ను కొంచెం సరళీకృతం చేయవచ్చు. ఇది సోర్స్ కోడ్ యొక్క మొత్తం లైన్ల సంఖ్యను కొద్దిగా తగ్గిస్తుంది. దీన్ని ఎలా చేయాలో - మీ కోసం ఆలోచించండి.

ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి గుణకారం యొక్క భావనను చూద్దాం:

మూడు రోజులుగా పర్యాటకులు రోడ్డెక్కారు. రోజూ 4200 మీటర్లు అదే దారిలో నడిచారు.. మూడు రోజుల్లో ఎంత దూరం నడిచారు? సమస్యను రెండు విధాలుగా పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం:
సమస్యను వివరంగా పరిశీలిద్దాం.

తొలిరోజు పర్యాటకులు 4200మీటర్లు నడిచారు. రెండవ రోజు, పర్యాటకులు అదే మార్గంలో 4200 మీటర్లు మరియు మూడవ రోజు - 4200 మీ. దీన్ని గణిత భాషలో వ్రాస్దాం:
4200+4200+4200=12600మీ.
4200 సంఖ్య యొక్క నమూనాను మూడుసార్లు పునరావృతం చేయడాన్ని మేము చూస్తాము, కాబట్టి, మొత్తాన్ని గుణకారం ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు:
4200⋅3=12600మీ.
సమాధానం: పర్యాటకులు మూడు రోజుల్లో 12,600 మీటర్లు నడిచారు.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

లాంగ్ ఎంట్రీని వ్రాయకుండా ఉండేందుకు, మనం దానిని గుణకారం రూపంలో వ్రాయవచ్చు. సంఖ్య 2 11 సార్లు పునరావృతమవుతుంది, కాబట్టి గుణకారంతో ఒక ఉదాహరణ ఇలా ఉంటుంది:
2⋅11=22

సంగ్రహించండి. గుణకారం అంటే ఏమిటి?

గుణకారం- ఇది m n సార్లు పదం యొక్క పునరావృత్తిని భర్తీ చేసే చర్య.

m⋅n సంజ్ఞామానం మరియు ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క ఫలితం అంటారు సంఖ్యల ఉత్పత్తి, మరియు సంఖ్యలు m మరియు n అంటారు గుణకాలు.

దీన్ని ఒక ఉదాహరణతో చూద్దాం:
7⋅12=84
వ్యక్తీకరణ 7⋅12 మరియు ఫలితం 84 అంటారు సంఖ్యల ఉత్పత్తి.
7 మరియు 12 సంఖ్యలు అంటారు గుణకాలు.

గణితంలో అనేక గుణకార నియమాలు ఉన్నాయి. వాటిని చూద్దాం:

గుణకారం యొక్క పరివర్తన చట్టం.

సమస్యను పరిశీలిద్దాం:

మా స్నేహితుల్లో 5 మందికి రెండు ఆపిల్స్ ఇచ్చాం. గణితశాస్త్రపరంగా, ఎంట్రీ ఇలా ఉంటుంది: 2⋅5.
లేదా మేము మా స్నేహితులలో ఇద్దరికి 5 ఆపిల్లను ఇచ్చాము. గణితశాస్త్రపరంగా, ఎంట్రీ ఇలా ఉంటుంది: 5⋅2.
మొదటి మరియు రెండవ సందర్భాలలో, మేము 10 ముక్కలకు సమానమైన ఆపిల్లల సంఖ్యను పంపిణీ చేస్తాము.

మనం 2⋅5=10 మరియు 5⋅2=10ని గుణిస్తే ఫలితం మారదు.

కమ్యుటేటివ్ గుణకార చట్టం యొక్క ఆస్తి:
కారకాల స్థానాలను మార్చడం వల్ల ఉత్పత్తి మారదు.
m⋅ n=n⋅m

గుణకారం యొక్క మిశ్రమ చట్టం.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 లేదా 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 మనకు లభిస్తుంది,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅ బి) ⋅ సి= a⋅(బి⋅ సి)

అనుబంధ గుణకార చట్టం యొక్క ఆస్తి:
రెండు సంఖ్యల ఉత్పత్తితో సంఖ్యను గుణించడానికి, మీరు మొదట దాన్ని మొదటి కారకంతో గుణించవచ్చు, ఆపై ఫలిత ఉత్పత్తిని రెండవ దానితో గుణించాలి.

బహుళ కారకాలను మార్చుకోవడం మరియు వాటిని కుండలీకరణాల్లో ఉంచడం ద్వారా, ఫలితం లేదా ఉత్పత్తి మారదు.

ఈ చట్టాలు ఏవైనా సహజ సంఖ్యల కోసం నిజమైనవి.

ఏదైనా సహజ సంఖ్యను ఒకటితో గుణించడం.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
7⋅1=7 లేదా 1⋅7=7
a⋅1=a లేదా 1⋅a= a
ఏదైనా సహజ సంఖ్యను ఒకటితో గుణించినప్పుడు, ఉత్పత్తి ఎల్లప్పుడూ అదే సంఖ్యగా ఉంటుంది.

ఏదైనా సహజ సంఖ్యను సున్నాతో గుణించడం.

6⋅0=0 లేదా 0⋅6=0
a⋅0=0 లేదా 0⋅a=0
ఏదైనా సహజ సంఖ్యను సున్నాతో గుణించినప్పుడు, ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం అవుతుంది.

అంశం "గుణకారం" కోసం ప్రశ్నలు:

సంఖ్యల ఉత్పత్తి అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: సంఖ్యల ఉత్పత్తి లేదా సంఖ్యల గుణకారం అనేది m⋅n అనే వ్యక్తీకరణ, ఇక్కడ m అనేది ఒక పదం మరియు n అనేది ఈ పదం యొక్క పునరావృతాల సంఖ్య.

గుణకారం దేనికి ఉపయోగించబడుతుంది?
సమాధానం: సంఖ్యలను ఎక్కువసేపు వ్రాయకుండా, సంక్షిప్తంగా వ్రాయడానికి. ఉదాహరణకు, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

గుణకారం యొక్క ఫలితం ఏమిటి?
సమాధానం: పని యొక్క అర్థం.

గుణకారం 3⋅5 అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

మీరు సున్నాతో మిలియన్ని గుణిస్తే, ఉత్పత్తి దేనికి సమానం?
సమాధానం: 0

ఉదాహరణ #1:
మొత్తాన్ని ఉత్పత్తితో భర్తీ చేయండి: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
సమాధానం: ఎ) 12⋅5=60 బి) 3⋅9=27

ఉదాహరణ #2:
దీన్ని ఉత్పత్తిగా వ్రాయండి: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
పరిష్కారం:
a)a+a+a+a=4⋅a
బి) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

టాస్క్ #1:
అమ్మ 3 పెట్టెల చాక్లెట్లు కొన్నది. ప్రతి పెట్టెలో 8 క్యాండీలు ఉంటాయి. అమ్మ ఎన్ని మిఠాయిలు కొన్నది?
పరిష్కారం:
ఒక పెట్టెలో 8 క్యాండీలు ఉన్నాయి మరియు మా వద్ద 3 అటువంటి పెట్టెలు ఉన్నాయి.
8+8+8=8⋅3=24 క్యాండీలు
సమాధానం: 24 క్యాండీలు.

టాస్క్ #2:
ఆర్ట్ టీచర్ తన ఎనిమిది మంది విద్యార్థులకు ప్రతి పాఠానికి ఏడు పెన్సిల్స్ సిద్ధం చేయమని చెప్పారు. పిల్లల దగ్గర మొత్తం ఎన్ని పెన్సిళ్లు ఉన్నాయి?
పరిష్కారం:
మీరు పని మొత్తాన్ని లెక్కించవచ్చు. మొదటి విద్యార్థి వద్ద 7 పెన్సిళ్లు, రెండో విద్యార్థి వద్ద 7 పెన్సిళ్లు మొదలైనవి ఉన్నాయి.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
రికార్డింగ్ అసౌకర్యంగా మరియు పొడవుగా ఉంది, ఉత్పత్తితో మొత్తాన్ని భర్తీ చేద్దాం.
7⋅8=56
సమాధానం 56 పెన్సిల్స్.

ఈ వ్యాసంలో దీన్ని ఎలా చేయాలో మనం కనుగొంటాము పూర్ణాంకాలను గుణించడం. ముందుగా, నిబంధనలు మరియు సంజ్ఞామానాలను పరిచయం చేద్దాం మరియు రెండు పూర్ణాంకాలను గుణించడం యొక్క అర్థాన్ని కూడా తెలుసుకుందాం. దీని తరువాత, మేము రెండు సానుకూల పూర్ణాంకాలు, ప్రతికూల పూర్ణాంకాలు మరియు పూర్ణాంకాలను వేర్వేరు సంకేతాలతో గుణించడం కోసం నియమాలను పొందుతాము. అదే సమయంలో, మేము పరిష్కార ప్రక్రియ యొక్క వివరణాత్మక వివరణతో ఉదాహరణలను ఇస్తాము. కారకాల్లో ఒకటి ఒకటి లేదా సున్నాకి సమానమైనప్పుడు మేము పూర్ణాంకాల గుణకార కేసులను కూడా తాకుతాము. ఫలిత గుణకార ఫలితాన్ని ఎలా తనిఖీ చేయాలో తరువాత మనం నేర్చుకుంటాము. చివరకు, మూడు, నాలుగు మరియు మరిన్ని పూర్ణాంకాలను గుణించడం గురించి మాట్లాడుదాం.

పేజీ నావిగేషన్.

నిబంధనలు మరియు చిహ్నాలు

పూర్ణాంకాల గుణకారాన్ని వివరించడానికి, మేము సహజ సంఖ్యల గుణకారాన్ని వివరించిన అదే పదాలను ఉపయోగిస్తాము. వాటిని గుర్తు చేద్దాం.

గుణించిన పూర్ణాంకాలు అంటారు గుణకాలు. గుణకారం యొక్క ఫలితాన్ని అంటారు పని. గుణకారం చర్య "·" రూపం యొక్క గుణకారం గుర్తు ద్వారా సూచించబడుతుంది. కొన్ని మూలాధారాలలో మీరు "*" లేదా "×" సంకేతాలతో గుర్తించబడిన గుణకారాన్ని కనుగొనవచ్చు.

a·b=c రూపం యొక్క సమానత్వాన్ని ఉపయోగించి గుణించిన పూర్ణాంకాల a, b మరియు వాటి గుణకారం c ఫలితాన్ని వ్రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ఈ సంజ్ఞామానంలో, పూర్ణాంకం a మొదటి కారకం, పూర్ణాంకం b రెండవ అంశం మరియు పూర్ణాంకం c అనేది ఉత్పత్తి. a·b రూపాన్ని ఉత్పత్తి అని కూడా పిలుస్తారు, అలాగే ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ c .

ముందుకు చూస్తే, రెండు పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తి పూర్ణాంకాన్ని సూచిస్తుందని మేము గమనించాము.

పూర్ణాంకాలను గుణించడం యొక్క అర్థం

ధన పూర్ణాంకాలను గుణించడం

సానుకూల పూర్ణాంకాలు సహజ సంఖ్యలు, కాబట్టి ధన పూర్ణాంకాలను గుణించడంసహజ సంఖ్యలను గుణించడం కోసం అన్ని నియమాల ప్రకారం నిర్వహించబడుతుంది. రెండు ధన పూర్ణాంకాలను గుణించడం వలన సానుకూల పూర్ణాంకం (సహజ సంఖ్య) వస్తుందని స్పష్టమవుతుంది. కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

ధనాత్మక పూర్ణాంకాల 127 మరియు 5 ల ఉత్పత్తి ఏమిటి?

పరిష్కారం.

మొదటి కారకం 107ని బిట్ పదాల మొత్తంగా, అంటే 100+20+7 రూపంలో అందజేద్దాం. దీని తరువాత, ఇచ్చిన సంఖ్యతో సంఖ్యల మొత్తాన్ని గుణించడం కోసం మేము నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము: 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5. గణనను పూర్తి చేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635.

ఈ విధంగా, ఇచ్చిన ధనాత్మక పూర్ణాంకాల 127 మరియు 5 ల ఉత్పత్తి 635.

సమాధానం:

127·5=635.

బహుళ-అంకెల సానుకూల పూర్ణాంకాలను గుణించడానికి, నిలువు గుణకార పద్ధతిని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ.

మూడు-అంకెల ధనాత్మక పూర్ణాంకం 712ని రెండు అంకెల సానుకూల పూర్ణాంకం 92తో గుణించండి.

పరిష్కారం.

ఈ సానుకూల పూర్ణాంకాలను నిలువు వరుసలో గుణిద్దాం:

సమాధానం:

712·92=65,504.

విభిన్న సంకేతాలు, ఉదాహరణలతో పూర్ణాంకాలను గుణించడం కోసం నియమం

వివిధ సంకేతాలతో పూర్ణాంకాలను గుణించడం కోసం నియమాన్ని రూపొందించడంలో క్రింది ఉదాహరణ మాకు సహాయం చేస్తుంది.

గుణకారం యొక్క అర్థం ఆధారంగా ప్రతికూల పూర్ణాంకం −5 మరియు ధనాత్మక పూర్ణాంకం 3 ల ఉత్పత్తిని గణిద్దాం. కాబట్టి (−5)·3=(-5)+(-5)+(-5)=-15. గుణకారం యొక్క కమ్యుటేటివ్ ఆస్తి చెల్లుబాటులో ఉండాలంటే, సమానత్వం (−5)·3=3·(−5) సంతృప్తి చెందాలి. అంటే, ఉత్పత్తి 3·(−5) కూడా −15కి సమానం. −15 అనేది అసలైన కారకాల యొక్క మాడ్యులి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం అని చూడటం సులభం, అంటే వివిధ సంకేతాలతో ఉన్న అసలైన పూర్ణాంకాల యొక్క ఉత్పత్తి మైనస్ గుర్తుతో తీసిన అసలైన కారకాల యొక్క మాడ్యులి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. .

కాబట్టి మేము పొందాము వివిధ సంకేతాలతో పూర్ణాంకాలను గుణించడం కోసం నియమం: వేర్వేరు సంకేతాలతో రెండు పూర్ణాంకాలను గుణించడానికి, మీరు ఈ సంఖ్యల మాడ్యూల్‌లను గుణించాలి మరియు ఫలిత సంఖ్యకు ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచాలి.

పేర్కొన్న నియమం నుండి మేము వివిధ సంకేతాలతో పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తి ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూల పూర్ణాంకం అని నిర్ధారించవచ్చు. నిజానికి, కారకాల యొక్క మాడ్యులీని గుణించడం ఫలితంగా, మనకు ధనాత్మక పూర్ణాంకం లభిస్తుంది మరియు ఈ సంఖ్యకు ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచినట్లయితే, అది ప్రతికూల పూర్ణాంకం అవుతుంది.

ఫలిత నియమాన్ని ఉపయోగించి వివిధ సంకేతాలతో పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తిని లెక్కించే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

ధనాత్మక పూర్ణాంకం 7ను ప్రతికూల పూర్ణాంకం −14తో గుణించండి.

పరిష్కారం.

వివిధ సంకేతాలతో పూర్ణాంకాలను గుణించడం కోసం నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము. గుణకాల యొక్క మాడ్యులీలు వరుసగా 7 మరియు 14. మాడ్యూల్స్ యొక్క ఉత్పత్తిని గణిద్దాం: 7·14=98. ఫలిత సంఖ్యకు ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది: −98. కాబట్టి, 7·(−14)=−98.

సమాధానం:

7·(−14)=−98 .

ఉదాహరణ.

ఉత్పత్తి (−36)·29ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

మేము వివిధ సంకేతాలతో పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తిని లెక్కించాలి. దీన్ని చేయడానికి, మేము కారకాల యొక్క సంపూర్ణ విలువల ఉత్పత్తిని గణిస్తాము: 36 · 29 = 1,044 (ఇది నిలువు వరుసలో గుణించడం మంచిది). ఇప్పుడు మనం 1044 సంఖ్య ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచాము, మనకు −1044 వస్తుంది.

సమాధానం:

(−36)·29=−1,044 .

ఈ పేరాను ముగించడానికి, a·(−b)=−(a·b) , ఇక్కడ a మరియు −b ఏకపక్ష పూర్ణాంకాలు అనే సమానత్వం యొక్క చెల్లుబాటును మేము నిరూపిస్తాము. ఈ సమానత్వం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం వివిధ సంకేతాలతో పూర్ణాంకాలను గుణించడం కోసం పేర్కొన్న నియమం.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, a·(−b) మరియు a·b అనే వ్యక్తీకరణల విలువలు వ్యతిరేక సంఖ్యలు అని మనం నిరూపించాలి. దీన్ని రుజువు చేయడానికి, a·(−b)+a·b మొత్తాన్ని కనుగొని, అది సున్నాకి సమానమని నిర్ధారించుకోండి. సంకలనానికి సంబంధించి పూర్ణాంకాల గుణకారం యొక్క పంపిణీ లక్షణం కారణంగా, సమానత్వం a·(−b)+a·b=a·((-b)+b) నిజం. మొత్తం (−b)+b వ్యతిరేక పూర్ణాంకాల మొత్తంగా సున్నాకి సమానం, ఆపై a·((-b)+b)=a·0. పూర్ణాంకాన్ని సున్నాతో గుణించే లక్షణం ద్వారా చివరి ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం. అందువలన, a·(-b)+a·b=0, కాబట్టి, a·(−b) మరియు a·b అనేవి వ్యతిరేక సంఖ్యలు, ఇది a·(−b)=−(a·b) సమానత్వాన్ని సూచిస్తుంది. అదేవిధంగా, మనం (-a) b=-(a b) అని చూపవచ్చు.

ప్రతికూల పూర్ణాంకాలను గుణించడం కోసం నియమం, ఉదాహరణలు

సమానత్వం (−a)·(−b)=a·b, ఇప్పుడు మనం నిరూపిస్తాము, రెండు ప్రతికూల పూర్ణాంకాలను గుణించడం కోసం నియమాన్ని పొందడంలో మాకు సహాయం చేస్తుంది.

మునుపటి పేరా చివరలో, మేము a·(−b)=-(a·b) మరియు (-a)·b=-(a·b) అని చూపించాము, కాబట్టి మనం ఈ క్రింది సమానత్వ గొలుసును వ్రాయవచ్చు. (−a)·(-b)=-(a·(-b))=-(-(a·b)). మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణ −(−(a·b)) వ్యతిరేక సంఖ్యల నిర్వచనం కారణంగా a·b కంటే ఎక్కువ కాదు. కాబట్టి, (−a)·(−b)=a·b.

నిరూపితమైన సమానత్వం (−a)·(−b)=a·b మాకు సూత్రీకరించడానికి అనుమతిస్తుంది ప్రతికూల పూర్ణాంకాలను గుణించడం కోసం నియమం: రెండు ప్రతికూల పూర్ణాంకాల లబ్ధం ఈ సంఖ్యల మాడ్యులీల ఉత్పత్తికి సమానం.

పేర్కొన్న నియమం నుండి రెండు ప్రతికూల పూర్ణాంకాలను గుణించడం యొక్క ఫలితం ధనాత్మక పూర్ణాంకం అని అనుసరిస్తుంది.

ప్రతికూల పూర్ణాంకాల గుణకారం చేసేటప్పుడు ఈ నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ.

ఉత్పత్తిని లెక్కించండి (−34)·(−2) .

పరిష్కారం.

మేము రెండు ప్రతికూల పూర్ణాంకాలను −34 మరియు −2 గుణించాలి. సంబంధిత నియమాన్ని ఉపయోగించుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము మల్టిప్లైయర్‌ల మాడ్యూల్‌లను కనుగొంటాము: మరియు . 34 మరియు 2 సంఖ్యల ఉత్పత్తిని లెక్కించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది, ఇది ఎలా చేయాలో మనకు తెలుసు. క్లుప్తంగా, మొత్తం పరిష్కారాన్ని (−34)·(−2)=34·2=68గా వ్రాయవచ్చు.

సమాధానం:

(−34)·(−2)=68 .

ఉదాహరణ.

ప్రతికూల పూర్ణాంకం −1041ని ప్రతికూల పూర్ణాంకం −538తో గుణించండి.

పరిష్కారం.

ప్రతికూల పూర్ణాంకాలను గుణించే నియమం ప్రకారం, కావలసిన ఉత్పత్తి కారకాల యొక్క మాడ్యులి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. గుణకాల మాడ్యులీలు వరుసగా 1,041 మరియు 538. కాలమ్ గుణకారం చేద్దాం:

సమాధానం:

(−1,041)·(−538)=560,058 .

పూర్ణాంకాన్ని ఒకటితో గుణించడం

ఏదైనా పూర్ణాంకం aని ఒకదానితో గుణిస్తే a సంఖ్య వస్తుంది. మేము రెండు పూర్ణాంకాలను గుణించడం యొక్క అర్ధాన్ని చర్చించినప్పుడు మేము దీనిని ఇప్పటికే ప్రస్తావించాము. కాబట్టి a·1=a . గుణకారం యొక్క కమ్యుటేటివ్ ప్రాపర్టీ కారణంగా, సమానత్వం a·1=1·a తప్పక నిజం. కాబట్టి, 1·a=a.

పై తార్కికం రెండు పూర్ణాంకాలని గుణించే నియమానికి దారి తీస్తుంది, వాటిలో ఒకటి ఒకటికి సమానం. రెండు పూర్ణాంకాల లబ్ధం, అందులో ఒక కారకం మరొక కారకంతో సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, 56·1=56, 1·0=0 మరియు 1·(−601)=−601. మరికొన్ని ఉదాహరణలు ఇద్దాం. పూర్ణాంకాల −53 మరియు 1 ల ఉత్పత్తి −53, మరియు ఒకటి మరియు ప్రతికూల పూర్ణాంకం −989,981 -989,981.

పూర్ణాంకాన్ని సున్నాతో గుణించడం

ఏదైనా పూర్ణాంకం a మరియు సున్నా యొక్క ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం, అంటే a·0=0 అని మేము అంగీకరించాము. గుణకారం యొక్క కమ్యుటేటివ్ ప్రాపర్టీ 0·a=0 సమానత్వాన్ని అంగీకరించేలా చేస్తుంది. ఈ విధంగా, రెండు పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తిలో కనీసం ఒక కారకం సున్నా అయితే సున్నాకి సమానం. ప్రత్యేకించి, సున్నాని సున్నాతో గుణిస్తే వచ్చే ఫలితం సున్నా: 0·0=0.

కొన్ని ఉదాహరణలు ఇద్దాం. ధనాత్మక పూర్ణాంకం 803 మరియు సున్నా యొక్క ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం; ప్రతికూల పూర్ణాంకం −51తో సున్నాని గుణిస్తే ఫలితం సున్నా; కూడా (−90 733)·0=0 .

రెండు పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం అని కూడా గమనించండి మరియు కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానం అయితే మాత్రమే.

పూర్ణాంకాలను గుణించడం యొక్క ఫలితాన్ని తనిఖీ చేస్తోంది

రెండు పూర్ణాంకాలను గుణించడం యొక్క ఫలితాన్ని తనిఖీ చేస్తోందివిభజనను ఉపయోగించి నిర్వహించబడింది. ఫలిత ఉత్పత్తిని కారకాల్లో ఒకదానితో విభజించడం అవసరం; ఇది ఇతర కారకంతో సమానమైన సంఖ్యను కలిగి ఉంటే, గుణకారం సరిగ్గా నిర్వహించబడుతుంది. ఫలితం ఇతర పదం నుండి భిన్నమైన సంఖ్య అయితే, ఎక్కడో పొరపాటు జరిగింది.

పూర్ణాంకాలను గుణించడం యొక్క ఫలితం తనిఖీ చేయబడే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

రెండు పూర్ణాంకాల −5 మరియు 21 గుణించడం ఫలితంగా, సంఖ్య −115 పొందబడింది. ఉత్పత్తి సరిగ్గా లెక్కించబడిందా?

పరిష్కారం.

తనిఖీ చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, లెక్కించిన ఉత్పత్తి −115ని కారకాల్లో ఒకదానితో విభజించండి, ఉదాహరణకు, −5., ఫలితాన్ని తనిఖీ చేయండి. (−17)·(−67)=1 139 .

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పూర్ణాంకాలను గుణించడం

పూర్ణాంకాల గుణకారం యొక్క కలయిక లక్షణం మూడు, నాలుగు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తిని ప్రత్యేకంగా గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది. అదే సమయంలో, పూర్ణాంకాల గుణకారం యొక్క మిగిలిన లక్షణాలు మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తి కుండలీకరణాలను ఉంచే పద్ధతిపై మరియు ఉత్పత్తిలోని కారకాల క్రమంపై ఆధారపడి ఉండదని నొక్కిచెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది. మేము మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్యలను గుణించడం గురించి మాట్లాడినప్పుడు ఇలాంటి ప్రకటనలను మేము ధృవీకరించాము. పూర్ణాంక కారకాల విషయంలో, హేతుబద్ధత పూర్తిగా ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ పరిష్కారాన్ని చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

ఐదు పూర్ణాంకాల 5, −12, 1, −2 మరియు 15 ల ఉత్పత్తిని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

మేము రెండు ప్రక్కనే ఉన్న కారకాలను వాటి ఉత్పత్తితో వరుసగా ఎడమ నుండి కుడికి భర్తీ చేయవచ్చు: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)· (−2 )·15= 120·15=1,800. ఉత్పత్తిని లెక్కించడానికి ఈ ఎంపిక బ్రాకెట్లను ఏర్పాటు చేసే క్రింది పద్ధతికి అనుగుణంగా ఉంటుంది: (((5·(−12))·1)·(-2))·15.

ఇచ్చిన ఐదు పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తిని మరింత సమర్ధవంతంగా గణించడానికి ఇది అనుమతించినట్లయితే మేము కొన్ని కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించవచ్చు మరియు కుండలీకరణాలను విభిన్నంగా అమర్చవచ్చు. ఉదాహరణకు, కింది క్రమంలో 1·5·(−12)·(−2)·15లో కారకాలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం సాధ్యమైంది, ఆపై బ్రాకెట్‌లను ఇలా అమర్చండి ((1·5)·(−12))·((-2)·15). ఈ సందర్భంలో, లెక్కలు క్రింది విధంగా ఉంటాయి: ((1·5)·(−12))·((-2)·15)=(5·(−12))·((-2)·15)= (−60)·(-30)=1 800 .

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, బ్రాకెట్‌లు మరియు కారకాల యొక్క విభిన్న ఆర్డర్‌లను ఏర్పాటు చేయడానికి వివిధ ఎంపికలు మమ్మల్ని ఒకే ఫలితానికి దారితీశాయి.

సమాధానం:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800.

విడిగా, ఒక ఉత్పత్తిలో మూడు, నాలుగు మొదలైనవి ఉన్నాయని మేము గమనించాము. పూర్ణాంకాలలో, కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానం, అప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం. ఉదాహరణకు, నాలుగు పూర్ణాంకాల 5, −90321, 0 మరియు 111 ల ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం; మూడు పూర్ణాంకాల 0, 0 మరియు −1983 గుణించిన ఫలితం కూడా సున్నా. సంభాషణ కూడా నిజం: ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం అయితే, కనీసం ఒక కారకం సున్నాకి సమానం.

"గరిష్టంగా మరియు కనిష్టంగా" అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, అనగా. వేరియబుల్ యొక్క అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలను కనుగొనడానికి, మీరు కొన్ని బీజగణిత ప్రకటనలను విజయవంతంగా ఉపయోగించవచ్చు, వీటిని మేము ఇప్పుడు పరిచయం చేస్తాము.

x వై

కింది సమస్యను పరిగణించండి:

ఈ సంఖ్యను వాటి ఉత్పత్తి అత్యధికంగా ఉండేలా ఏ రెండు భాగాలుగా విభజించాలి?

ఇచ్చిన సంఖ్యను తెలియజేయండిఎ. అప్పుడు సంఖ్య విభజించబడిన భాగాలుఎ, ద్వారా సూచించవచ్చు

a/2 + x మరియు a/2 - x;

సంఖ్య Xఈ భాగాలు సగం సంఖ్య నుండి ఎంత భిన్నంగా ఉంటాయో చూపిస్తుంది ఎ. రెండు వైపుల ఉత్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది

(a/2 + x) · ( a/2 - x) = a 2/4 - x 2.

తీసిన భాగాల ఉత్పత్తి అంతగా పెరుగుతుందని స్పష్టమైంది X, అనగా ఈ భాగాల మధ్య వ్యత్యాసం తగ్గుతుంది. గొప్ప ఉత్పత్తి వద్ద ఉంటుంది x = 0, అనగా రెండు వైపులా సమానంగా ఉన్నప్పుడు a/2.

కాబట్టి,

ఈ సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉన్నప్పుడు మొత్తం స్థిరంగా ఉండే రెండు సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఎక్కువగా ఉంటుంది.

x y z

మూడు సంఖ్యల కోసం ఒకే ప్రశ్నను పరిశీలిద్దాం.

ఈ సంఖ్యను వాటి ఉత్పత్తి అత్యధికంగా ఉండేలా ఏ మూడు భాగాలుగా విభజించాలి?

ఈ సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము మునుపటి వాటిపై ఆధారపడతాము.

సంఖ్యను తెలియజేయండి ఎమూడు భాగాలుగా విభజించబడింది. ముందుగా ఏ భాగమూ సమానం కాదని అనుకుందాం a/3.అప్పుడు వాటిలో ఒక భాగం, పెద్దది ఉంటుంది a/3(మూడు తక్కువగా ఉండకూడదు a/3); దీని ద్వారా సూచిస్తాము

a/3+x.

అదే విధంగా, వాటిలో చిన్న భాగం ఉంటుంది a/3; దీని ద్వారా సూచిస్తాము

a/3 - y.

సంఖ్యలు Xమరియు వద్దసానుకూలంగా ఉన్నాయి. మూడవ భాగం స్పష్టంగా సమానంగా ఉంటుంది

a/3 + y - x.

సంఖ్యలు a/3మరియు a/3 + x - yసంఖ్య యొక్క మొదటి రెండు భాగాలకు సమానమైన మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది ఎ, మరియు వాటి మధ్య వ్యత్యాసం, అనగా. x - y, మొదటి రెండు భాగాల మధ్య వ్యత్యాసం కంటే తక్కువ, ఇది సమానంగా ఉంది x + y. మునుపటి సమస్యకు పరిష్కారం నుండి మనకు తెలిసినట్లుగా, ఇది ఉత్పత్తిని అనుసరిస్తుంది

a/3 · ( a/3 + x - y)

సంఖ్య యొక్క మొదటి రెండు భాగాల ఉత్పత్తి కంటే ఎక్కువ ఎ.

కాబట్టి, ఒక సంఖ్య యొక్క మొదటి రెండు భాగాలు ఉంటే ఎసంఖ్యలతో భర్తీ చేయండి

a/3మరియు a/3 + x - y,

మరియు మూడవది మారకుండా వదిలివేయండి, అప్పుడు ఉత్పత్తి పెరుగుతుంది.

ఇప్పుడు భాగాలలో ఒకటి ఇప్పటికే సమానంగా ఉండనివ్వండి a/3. అప్పుడు మిగిలిన రెండింటికి రూపం ఉంటుంది

a/3+zమరియు a/3 - z.

మేము ఈ చివరి రెండు భాగాలను సమానంగా చేస్తే a/3 (అందుకే వాటి మొత్తం మారదు), అప్పుడు ఉత్పత్తి మళ్లీ పెరిగి సమానంగా మారుతుంది

a/3 a/3 a/3 = a 3/27 .

కాబట్టి,

a సంఖ్యను ఒకదానికొకటి సమానంగా లేని 3 భాగాలుగా విభజించినట్లయితే, ఈ భాగాల ఉత్పత్తి 3/27 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అనగా. a వరకు జోడించే మూడు సమాన కారకాల ఉత్పత్తి కంటే.

అదే విధంగా, ఈ సిద్ధాంతాన్ని నాలుగు కారకాలు, ఐదు, మొదలైన వాటి కోసం నిరూపించవచ్చు.

x p · y q

ఇప్పుడు మరింత సాధారణ కేసును పరిశీలిద్దాం.

x మరియు y యొక్క ఏ విలువలకు x + y = a అయితే x p y q వ్యక్తీకరణ గొప్పది?

ఎక్స్‌ప్రెషన్ యొక్క ఏ విలువను మనం కనుగొనాలి

x p ·(a - x) q

దాని గొప్ప విలువను చేరుకుంటుంది.

ఈ వ్యక్తీకరణను సంఖ్యతో గుణిద్దాం 1/р p q q. కొత్త వ్యక్తీకరణను పొందుదాం

x p / p p · (a-x ) q / q q,

ఇది స్పష్టంగా అదే సమయంలో ప్రారంభ విలువను చేరుకుంటుంది.

ఇప్పుడు పొందిన వ్యక్తీకరణను రూపంలో ప్రదర్శిస్తాము

(a-x) /q (a-x) /q · ... · (a-x) /q ,

ఇక్కడ మొదటి రకం కారకాలు పునరావృతమవుతాయి pఒకసారి, మరియు రెండుసార్లు - qఒకసారి.

ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క అన్ని కారకాల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది

x / p + x / p + ... + x / p + (a-x) /q+ (a-x) /q + ... + (a-x) /q =

= px / p + q (a-x) / q = x + a - x = a ,

ఆ. స్థిరమైన విలువ.

గతంలో నిరూపించబడిన దాని ఆధారంగా, మేము ఉత్పత్తి అని నిర్ధారించాము

x/p · x/p · ... · x/p · (a-x) /q (a-x) /q · ... · (a-x) /q

దాని వ్యక్తిగత కారకాలన్నీ సమానంగా ఉన్నప్పుడు గరిష్ట స్థాయికి చేరుకుంటుంది, అనగా. ఎప్పుడు

x/p= (a-x) /q.

తెలుసుకొనుట a - x = y, మేము నిబంధనలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం ద్వారా నిష్పత్తిని పొందుతాము

x / y = p / q.

కాబట్టి,

x p y q ఉత్పత్తి, మొత్తం x + y స్థిరాంకంతో, దాని గొప్ప విలువను ఎప్పుడు చేరుకుంటుంది

x: y = p: q.

అదే విధంగా నిరూపించవచ్చు

పనిచేస్తుంది

x p y q z r , x p y q z r t u మొదలైనవి.

స్థిరమైన మొత్తాలతో x + y + z, x + y + z + t మొదలైనవి ఎప్పుడు వారి గొప్ప విలువను చేరుకుంటారు

x: y: z = p: q: r,x: y: z: t = p: q: r: u, మొదలైనవి.

ఒకే విధమైన నిబంధనలు. ఉదాహరణకు, 5*3 సంజ్ఞామానం అంటే "5 దానిలో 3 సార్లు జోడించబడింది", అంటే, ఇది కేవలం 5+5+5 కోసం చిన్న సంజ్ఞామానం. గుణకారం యొక్క ఫలితాన్ని అంటారు పని, మరియు గుణించబడుతున్న సంఖ్యలు గుణకాలులేదా కారకాలు. గుణకార పట్టికలు కూడా ఉన్నాయి.

రికార్డ్ చేయండి

గుణకారం నక్షత్రం *, క్రాస్ లేదా చుక్క ద్వారా సూచించబడుతుంది. పోస్ట్‌లు

అదే విషయం అర్థం. గుణకారం చిహ్నాన్ని గందరగోళానికి గురి చేస్తే తప్ప తరచుగా విస్మరించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, వారు సాధారణంగా వ్రాస్తారు.

అనేక కారకాలు ఉంటే, వాటిలో కొన్ని దీర్ఘవృత్తాకారాలతో భర్తీ చేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, 1 నుండి 100 వరకు ఉన్న పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తిని ఇలా వ్రాయవచ్చు

ఆల్ఫాబెటిక్ సంజ్ఞామానంలో, ఉత్పత్తి చిహ్నం కూడా ఉపయోగించబడుతుంది:

ఇది కూడ చూడు

వికీమీడియా ఫౌండేషన్. 2010.

ఇతర నిఘంటువులలో “ఉత్పత్తి (గణితం)” ఏమిటో చూడండి:

- (గణితం) గుణకారం యొక్క ఫలితం. కళ యొక్క భాగం. సంగీత కూర్పు. ఆడియోవిజువల్ పని. సేవా పని... వికీపీడియా

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వస్తువుల ఉత్పత్తి అనేది సెట్ల కార్టీసియన్ ఉత్పత్తి, సమూహాల యొక్క ప్రత్యక్ష ఉత్పత్తి మరియు టోపోలాజికల్ స్పేస్‌ల ఉత్పత్తి వంటి భావనల వర్గ సిద్ధాంతంలో సాధారణీకరణ. వస్తువుల కుటుంబం యొక్క ఉత్పత్తి... ... వికీపీడియాలో ఉంది

క్రోనెకర్ ఉత్పత్తి అనేది ఏకపక్ష పరిమాణంలోని మాత్రికలపై బైనరీ ఆపరేషన్, దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఫలితం బ్లాక్ మ్యాట్రిక్స్. క్రోనెకర్ ఉత్పత్తిని సాధారణ మ్యాట్రిక్స్ గుణకారంతో అయోమయం చేయకూడదు. ఈ ఆపరేషన్‌కు జర్మన్... ... వికీపీడియా పేరు పెట్టారు

సైన్స్ చరిత్ర అంశం ఆధారంగా గణితం సహజ శాస్త్రాలు ... వికీపీడియా

I. గణితం యొక్క విషయం యొక్క నిర్వచనం, ఇతర శాస్త్రాలు మరియు సాంకేతికతతో అనుసంధానం. గణితం (గ్రీకు గణితశాస్త్రం, గణిత జ్ఞానం, సైన్స్ నుండి), వాస్తవ ప్రపంచం యొక్క పరిమాణాత్మక సంబంధాలు మరియు ప్రాదేశిక రూపాల శాస్త్రం. "శుభ్రం... గ్రేట్ సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా

వర్గం సిద్ధాంతం అనేది గణిత శాస్త్ర విభాగం, ఇది వస్తువుల అంతర్గత నిర్మాణంపై ఆధారపడని గణిత వస్తువుల మధ్య సంబంధాల లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తుంది. కొంతమంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు [ఎవరు?] వర్గ సిద్ధాంతాన్ని చాలా వియుక్తంగా మరియు అనుచితంగా భావిస్తారు... ... వికీపీడియా

వెక్టర్ ఈ పదానికి ఇతర అర్థాలు ఉన్నాయి, వెక్టర్ ... వికీపీడియా చూడండి

ఈ పదానికి ఇతర అర్థాలు ఉన్నాయి, ఫంక్షన్ చూడండి. "ప్రదర్శన" అభ్యర్థన ఇక్కడ దారి మళ్లించబడింది; ఇతర అర్థాలను కూడా చూడండి... వికీపీడియా

ఈ పదానికి ఇతర అర్థాలు ఉన్నాయి, ఆపరేషన్ చూడండి. సెట్ (వాదనలు) యొక్క ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మూలకాలను మరొక మూలకానికి (విలువ) కేటాయించే మ్యాపింగ్ ఆపరేషన్. "ఆపరేషన్" అనే పదం సాధారణంగా... ... వికీపీడియాకు వర్తించబడుతుంది

ఈ పదానికి ఇతర అర్థాలు ఉన్నాయి, రోటర్ చూడండి. రోటర్, లేదా వోర్టెక్స్ అనేది వెక్టార్ ఫీల్డ్‌పై వెక్టార్ డిఫరెన్షియల్ ఆపరేటర్. (రష్యన్ భాషా సాహిత్యంలో) లేదా (ఇంగ్లీష్ భాషా సాహిత్యంలో), మరియు వెక్టర్ గుణకారంగా కూడా సూచించబడింది ... వికీపీడియా

పుస్తకాలు

• పట్టికల సెట్. గణితం. 4వ తరగతి. 8 పట్టికలు + పద్దతి, . 8 షీట్‌ల విద్యా ఆల్బమ్ (ఫార్మాట్ 68 x 98 సెం.మీ): - షేర్లు. - ఉత్పత్తి ద్వారా సంఖ్యను గుణించడం మరియు విభజించడం. - పరిమాణాల కూడిక మరియు తీసివేత. - పరిమాణాల గుణకారం మరియు విభజన. - వ్రాసిన గుణకారం...
• కిరిక్ నొవ్‌గోరోడెట్స్ - రష్యన్ పుస్తక సంస్కృతిలో 12వ శతాబ్దానికి చెందిన రష్యన్ శాస్త్రవేత్త, సిమోనోవ్ R.A.. ఈ పుస్తకం మొదటి రష్యన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు క్యాలెండర్ నిపుణుడు, నోవ్‌గోరోడ్ సన్యాసి కిరిక్ (1110 - 1156 తర్వాత) జీవితం మరియు పనికి అంకితం చేయబడింది. 1136లో ఒక శాస్త్రీయ గ్రంథాన్ని రాశారు, ...