సర్కిల్ నిర్వచనానికి టాంజెంట్ అంటే ఏమిటి. వృత్తానికి టాంజెంట్

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్‌లోని ప్రభుత్వ సంస్థల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

నిర్వచనం. వృత్తానికి టాంజెంట్ అనేది వృత్తంతో ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉండే ఒక విమానంలో సరళ రేఖ.

ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

కేంద్రంతో సర్కిల్ ఓసరళ రేఖను తాకుతుంది ఎల్పాయింట్ వద్ద ఎ ఎక్కడి నుండైనా ఎంవృత్తం వెలుపల సరిగ్గా రెండు టాంజెంట్లను గీయవచ్చు టాంజెంట్ మధ్య వ్యత్యాసం ఎల్, సెకెంట్ బి.సి.మరియు నేరుగా m, సర్కిల్‌తో సాధారణ పాయింట్‌లు లేవు

మేము ఇక్కడ ముగించవచ్చు, కానీ అభ్యాసం కేవలం నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోవడం సరిపోదని చూపిస్తుంది - మీరు డ్రాయింగ్‌లలో టాంజెంట్‌లను చూడటం, వాటి లక్షణాలను తెలుసుకోవడం మరియు అదనంగా, నిజమైన సమస్యలను పరిష్కరించడం ద్వారా ఈ లక్షణాలను వర్తింపజేయడంలో సరిగ్గా సాధన చేయడం నేర్చుకోవాలి. మేము ఈ రోజు ఇవన్నీ చేస్తాము.

టాంజెంట్ల ప్రాథమిక లక్షణాలు

ఏదైనా సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు నాలుగు ముఖ్య లక్షణాలను తెలుసుకోవాలి. వాటిలో రెండు ఏదైనా రిఫరెన్స్ పుస్తకం/పాఠ్య పుస్తకంలో వివరించబడ్డాయి, కానీ చివరి రెండు ఏదో ఒకవిధంగా మరచిపోయాయి, కానీ ఫలించలేదు.

1. ఒక పాయింట్ నుండి గీసిన టాంజెంట్ విభాగాలు సమానంగా ఉంటాయి

ఒక పాయింట్ M నుండి గీసిన రెండు టాంజెంట్‌ల గురించి మేము ఇప్పటికే కొంచెం ఎక్కువగా మాట్లాడాము. కాబట్టి:

ఒక పాయింట్ నుండి గీసిన వృత్తానికి టాంజెంట్ విభాగాలు సమానంగా ఉంటాయి.

విభాగాలు ఎ.ఎం.మరియు బి.ఎం.సమానం

2. టాంజెంట్ స్పర్శ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది

పై చిత్రాన్ని మళ్ళీ చూద్దాం. రేడియాలను గీయండి ఓ ఏ.మరియు O.B., దాని తర్వాత మేము కోణాలను కనుగొన్నాము OAMమరియు O.B.M.- నేరుగా.

సంపర్క బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థం టాంజెంట్‌కు లంబంగా ఉంటుంది.

ఈ వాస్తవాన్ని ఏ సమస్యలోనూ రుజువు లేకుండా ఉపయోగించవచ్చు:

టాంజెంట్ పాయింట్‌కి గీసిన రేడీలు టాంజెంట్‌లకు లంబంగా ఉంటాయి

మార్గం ద్వారా, గమనించండి: మీరు ఒక విభాగాన్ని గీస్తే ఓం, అప్పుడు మనకు రెండు సమాన త్రిభుజాలు లభిస్తాయి: OAMమరియు O.B.M..

3. టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్ మధ్య సంబంధం

కానీ ఇది మరింత తీవ్రమైన వాస్తవం, మరియు చాలా మంది పాఠశాల విద్యార్థులకు ఇది తెలియదు. ఒకే సాధారణ బిందువు గుండా వెళ్ళే టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్‌ను పరిగణించండి ఎం. సహజంగానే, సెకాంట్ మనకు రెండు విభాగాలను ఇస్తుంది: సర్కిల్ లోపల (సెగ్మెంట్ బి.సి.- దీనిని తీగ అని కూడా పిలుస్తారు) మరియు వెలుపల (దీనిని బయటి భాగం అని కూడా పిలుస్తారు ఎం.సి.).

మొత్తం సెకాంట్ మరియు దాని బాహ్య భాగం యొక్క ఉత్పత్తి టాంజెంట్ సెగ్మెంట్ యొక్క వర్గానికి సమానం

సెకెంట్ మరియు టాంజెంట్ మధ్య సంబంధం

4. టాంజెంట్ మరియు తీగ మధ్య కోణం

సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి తరచుగా ఉపయోగించే మరింత అధునాతన వాస్తవం. దీన్ని సేవలోకి తీసుకోవాలని నేను బాగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

టాంజెంట్ మరియు తీగ మధ్య ఉన్న కోణం ఈ తీగ ద్వారా వ్రాయబడిన కోణానికి సమానం.

పాయింట్ ఎక్కడ నుండి వస్తుంది? బి? నిజమైన సమస్యలలో, ఇది సాధారణంగా పరిస్థితిలో ఎక్కడో "పాప్ అప్" అవుతుంది. అందువల్ల, డ్రాయింగ్లలో ఈ కాన్ఫిగరేషన్ను గుర్తించడం నేర్చుకోవడం ముఖ్యం.

కొన్నిసార్లు ఇది ముఖ్యమైనది :)

పాఠం లక్ష్యాలు

• విద్యా - అంశంపై పునరావృతం, సాధారణీకరణ మరియు జ్ఞానం యొక్క పరీక్ష: "ఒక సర్కిల్కు టాంజెంట్"; ప్రాథమిక నైపుణ్యాల అభివృద్ధి.
• అభివృద్ధి - విద్యార్థుల శ్రద్ధ, పట్టుదల, పట్టుదల, తార్కిక ఆలోచన, గణిత ప్రసంగం అభివృద్ధి.
• విద్యా - పాఠం ద్వారా, ఒకరికొకరు శ్రద్ధగల వైఖరిని పెంపొందించుకోండి, సహచరులను వినే సామర్థ్యాన్ని, పరస్పర సహాయం మరియు స్వాతంత్ర్యాన్ని కలిగించండి.
• టాంజెంట్, కాంటాక్ట్ పాయింట్ అనే భావనను పరిచయం చేయండి.
• టాంజెంట్ మరియు దాని సంకేతం యొక్క ఆస్తిని పరిగణించండి మరియు ప్రకృతి మరియు సాంకేతికతలో సమస్యలను పరిష్కరించడంలో వారి అనువర్తనాన్ని చూపండి.

పాఠం లక్ష్యాలు

• స్కేల్ రూలర్, ప్రొట్రాక్టర్ మరియు డ్రాయింగ్ ట్రయాంగిల్‌ని ఉపయోగించి టాంజెంట్‌లను నిర్మించడంలో నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయండి.
• విద్యార్థుల సమస్య పరిష్కార నైపుణ్యాలను పరీక్షించండి.
• వృత్తానికి టాంజెంట్‌ను నిర్మించడానికి ప్రాథమిక అల్గారిథమిక్ పద్ధతులపై నైపుణ్యం ఉందని నిర్ధారించుకోండి.
• సమస్య పరిష్కారానికి సైద్ధాంతిక జ్ఞానాన్ని అన్వయించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి.
• విద్యార్థుల ఆలోచన మరియు ప్రసంగాన్ని అభివృద్ధి చేయండి.
• నమూనాలను గమనించడం, గమనించడం, సాధారణీకరించడం మరియు సారూప్యత ద్వారా వాదించే నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయడంపై పని చేయండి.
• గణితంపై ఆసక్తిని కలిగించడం.

లెసన్ ప్లాన్

1. టాంజెంట్ భావన యొక్క ఆవిర్భావం.
2. టాంజెంట్ యొక్క చరిత్ర.
3. రేఖాగణిత నిర్వచనాలు.
4. ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు.
5. వృత్తానికి టాంజెంట్‌ను నిర్మించడం.
6. ఏకీకరణ.

టాంజెంట్ భావన యొక్క ఆవిర్భావం

టాంజెంట్ భావన గణితశాస్త్రంలో పురాతనమైనది. జ్యామితిలో, ఒక వృత్తానికి టాంజెంట్ ఆ వృత్తంతో సరిగ్గా ఒక పాయింట్ ఖండనను కలిగి ఉన్న రేఖగా నిర్వచించబడుతుంది. పూర్వీకులు, దిక్సూచి మరియు పాలకులను ఉపయోగించి, ఒక వృత్తానికి టాంజెంట్‌లను గీయగలిగారు మరియు తరువాత శంఖాకార విభాగాలకు: దీర్ఘవృత్తాలు, హైపర్బోలాస్ మరియు పారాబోలాస్.

టాంజెంట్ యొక్క చరిత్ర

ఆధునిక కాలంలో టాంజెంట్లపై ఆసక్తి పునరుద్ధరించబడింది. అప్పుడు పురాతన శాస్త్రవేత్తలకు తెలియని వక్రతలు కనుగొనబడ్డాయి. ఉదాహరణకు, గెలీలియో సైక్లాయిడ్‌ను పరిచయం చేశాడు మరియు డెస్కార్టెస్ మరియు ఫెర్మాట్ దానికి టాంజెంట్‌ను నిర్మించారు. 17వ శతాబ్దం మొదటి మూడవ భాగంలో. టాంజెంట్ అనేది ఒక సరళ రేఖ అని వారు అర్థం చేసుకోవడం ప్రారంభించారు, ఇచ్చిన బిందువు యొక్క చిన్న పొరుగు ప్రాంతంలో వక్రరేఖకు “అత్యంత దగ్గరగా” ఉంటుంది. ఇచ్చిన పాయింట్ (ఫిగర్) వద్ద వక్రరేఖకు టాంజెంట్‌ను నిర్మించడం అసాధ్యం అనే పరిస్థితిని ఊహించడం సులభం.

రేఖాగణిత నిర్వచనాలు

వృత్తం- ఇచ్చిన బిందువు నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న సమతలంపై ఉన్న పాయింట్ల రేఖాగణిత స్థానం, దాని కేంద్రం అని పిలుస్తారు.

వృత్తం.

సంబంధిత నిర్వచనాలు

• వృత్తం యొక్క కేంద్రాన్ని దానిపై ఏదైనా బిందువుతో (అలాగే ఈ సెగ్మెంట్ పొడవు) కలిపే విభాగాన్ని అంటారు వ్యాసార్థంవృత్తాలు.
• ఒక వృత్తంతో చుట్టబడిన విమానం యొక్క భాగాన్ని అంటారు అన్ని చుట్టూ.
• ఒక వృత్తంలో రెండు బిందువులను కలిపే విభాగాన్ని దాని అంటారు తీగ. వృత్తం మధ్యలో గుండా వెళ్ళే తీగను అంటారు వ్యాసం.
• ఒక వృత్తంపై ఏవైనా రెండు విభిన్న బిందువులు దానిని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తాయి. ఈ భాగాలలో ప్రతి ఒక్కటి అంటారు ఆర్క్వృత్తాలు. ఆర్క్ యొక్క కొలత దాని సంబంధిత కేంద్ర కోణం యొక్క కొలత కావచ్చు. ఒక ఆర్క్ దాని చివరలను కలిపే సెగ్మెంట్ ఒక వ్యాసం అయితే దానిని సెమిసర్కిల్ అంటారు.
• వృత్తంతో ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉండే సరళ రేఖను అంటారు టాంజెంట్ఒక వృత్తానికి, మరియు వాటి సాధారణ బిందువును లైన్ మరియు సర్కిల్ యొక్క టాంజెన్సీ పాయింట్ అంటారు.
• ఒక వృత్తంలో రెండు బిందువుల గుండా వెళ్లే సరళ రేఖను అంటారు సెకెంట్.
• వృత్తంలోని కేంద్ర కోణం అనేది దాని మధ్యలో శీర్షంతో కూడిన సమతల కోణం.
• ఒక వృత్తంపై శీర్షం ఉండి, ఈ వృత్తాన్ని భుజాలు కలుస్తున్న కోణాన్ని అంటారు లిఖించబడిన కోణం.
• ఉమ్మడి కేంద్రాన్ని కలిగి ఉన్న రెండు సర్కిల్‌లను అంటారు కేంద్రీకృతమైన.

టాంజెంట్ లైన్- ఒక వక్రరేఖపై ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ మరియు ఈ సమయంలో మొదటి ఆర్డర్ వరకు దానితో సమానంగా ఉంటుంది.

వృత్తానికి టాంజెంట్వృత్తంతో ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉండే సరళ రేఖ.

ఈ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా అదే విమానంలో ఒక వృత్తంపై ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ టాంజెంట్ అంటారు. ఈ సందర్భంలో, సర్కిల్‌లోని ఈ బిందువును టాంజెన్సీ పాయింట్ అంటారు.

మా సందర్భాలలో “a” అనేది ఒక నిర్దిష్ట వృత్తానికి టాంజెంట్‌గా ఉండే సరళ రేఖ అయితే, “A” పాయింట్ టాంజెన్సీ పాయింట్. ఈ సందర్భంలో, a⊥OA (సరళ రేఖ a OA వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది).

అని అంటున్నారు రెండు వృత్తాలు తాకాయి, వారికి ఒకే సాధారణ పాయింట్ ఉంటే. ఈ పాయింట్ అంటారు సర్కిల్‌ల పరిచయ స్థానం. కాంటాక్ట్ పాయింట్ ద్వారా, మీరు సర్కిల్‌లలో ఒకదానికి టాంజెంట్‌ని గీయవచ్చు, ఇది ఇతర సర్కిల్‌కు కూడా టాంజెంట్. తాకడం సర్కిల్‌లు అంతర్గత లేదా బాహ్యంగా ఉండవచ్చు.

వృత్తాల కేంద్రాలు టాంజెంట్‌కి ఒకే వైపున ఉంటే టాంజెన్సీని ఇంటర్నల్ అంటారు.

వృత్తాల కేంద్రాలు టాంజెంట్‌కి ఎదురుగా ఉంటే టాంజెన్సీని ఎక్స్‌టర్నల్ అంటారు

a అనేది రెండు సర్కిల్‌లకు సాధారణ టాంజెంట్, K అనేది టాంజెన్సీ పాయింట్.

ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు

సిద్ధాంతంటాంజెంట్ మరియు సెకెంట్ గురించి

వృత్తం వెలుపల ఉన్న బిందువు నుండి టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్ గీసినట్లయితే, టాంజెంట్ యొక్క పొడవు యొక్క స్క్వేర్ సెకెంట్ మరియు దాని బయటి భాగం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది: MC 2 = MA MB.

సిద్ధాంతం.వృత్తం యొక్క టాంజెన్సీ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థం టాంజెంట్‌కు లంబంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం.వ్యాసార్థం ఒక వృత్తాన్ని కలిపే పాయింట్ వద్ద ఒక రేఖకు లంబంగా ఉంటే, ఈ రేఖ ఈ వృత్తానికి టాంజెంట్‌గా ఉంటుంది.

రుజువు.

ఈ సిద్ధాంతాలను నిరూపించడానికి, ఒక బిందువు నుండి ఒక రేఖకు లంబంగా ఏమి ఉంటుందో మనం గుర్తుంచుకోవాలి. ఈ పాయింట్ నుండి ఈ రేఖకు ఇది అతి తక్కువ దూరం. OA టాంజెంట్‌కు లంబంగా లేదని ఊహిద్దాం, కానీ టాంజెంట్‌కు లంబంగా సరళ రేఖ OS ఉంది. పొడవు OS వ్యాసార్థం యొక్క పొడవు మరియు ఒక నిర్దిష్ట సెగ్మెంట్ BCని కలిగి ఉంటుంది, ఇది ఖచ్చితంగా వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. అందువలన, ఏ లైన్ కోసం అయినా నిరూపించవచ్చు. వ్యాసార్థం, సంపర్క బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థం, పాయింట్ O నుండి టాంజెంట్‌కు అతి తక్కువ దూరం అని మేము నిర్ధారించాము, అనగా. OS టాంజెంట్‌కు లంబంగా ఉంటుంది. సంభాషణ సిద్ధాంతం యొక్క రుజువులో, టాంజెంట్ సర్కిల్‌తో ఒకే ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉన్న వాస్తవం నుండి మేము కొనసాగుతాము. ఈ సరళ రేఖకు సర్కిల్‌తో మరో సాధారణ బిందువు B ఉండనివ్వండి. త్రిభుజం AOB దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది మరియు దాని రెండు భుజాలు రేడియాల వలె సమానంగా ఉంటాయి, ఇది అలా ఉండకూడదు. ఈ విధంగా, ఈ సరళ రేఖకు పాయింట్ A తప్ప సర్కిల్‌తో ఉమ్మడిగా ఉన్న పాయింట్లు లేవని మేము కనుగొన్నాము, అనగా. టాంజెంట్ ఉంది.

సిద్ధాంతం.ఒక బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన టాంజెంట్ విభాగాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఈ బిందువును వృత్తం యొక్క కేంద్రంతో అనుసంధానించే సరళ రేఖ టాంజెంట్‌ల మధ్య కోణాన్ని విభజిస్తుంది.

రుజువు.

రుజువు చాలా సులభం. మునుపటి సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, OB ABకి లంబంగా ఉందని మరియు OS ACకి లంబంగా ఉంటుందని మేము నొక్కిచెప్పాము. కుడి త్రిభుజాలు ABO మరియు ACO లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్‌లో సమానంగా ఉంటాయి (OB=OS - రేడి, AO - మొత్తం). కాబట్టి, వాటి భుజాలు AB=AC మరియు కోణాలు OAC మరియు OAB సమానంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం.ఒక వృత్తంపై ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉన్న టాంజెంట్ మరియు తీగ ద్వారా ఏర్పడిన కోణం యొక్క పరిమాణం దాని భుజాల మధ్య ఉన్న ఆర్క్ యొక్క సగం కోణీయ పరిమాణంతో సమానంగా ఉంటుంది.

రుజువు.

టాంజెంట్ మరియు తీగ ద్వారా ఏర్పడిన కోణ NABని పరిగణించండి. AC యొక్క వ్యాసాన్ని గీయండి. సంపర్క బిందువుకు గీసిన వ్యాసానికి టాంజెంట్ లంబంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, ∠CAN=90 o. సిద్ధాంతాన్ని తెలుసుకోవడం, ఆల్ఫా కోణం (a) అనేది ఆర్క్ BC లేదా సగం కోణం BOS యొక్క సగం కోణీయ విలువకు సమానం అని మేము చూస్తాము. ∠NAB=90 o -a, ఇక్కడ నుండి మనకు ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB లేదా = ఆర్క్ BA యొక్క కోణీయ విలువలో సగం లభిస్తుంది. మొదలైనవి

సిద్ధాంతం.ఒక బిందువు నుండి వృత్తానికి టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్ గీస్తే, టాంజెంట్ సెగ్మెంట్ యొక్క స్క్వేర్ ఇచ్చిన పాయింట్ నుండి టాంజెన్సీ బిందువు వరకు ఇచ్చిన పాయింట్ నుండి పాయింట్ల వరకు ఉన్న సెకెంట్ విభాగాల పొడవుల ఉత్పత్తికి సమానం సర్కిల్‌తో దాని ఖండన.

రుజువు.

చిత్రంలో, ఈ సిద్ధాంతం ఇలా కనిపిస్తుంది: MA 2 = MV * MC. నిరూపిద్దాం. మునుపటి సిద్ధాంతం ప్రకారం, కోణం MAC ఆర్క్ AC యొక్క సగం కోణీయ విలువకు సమానం, అయితే ABC కోణం కూడా సిద్ధాంతం ప్రకారం ఆర్క్ AC యొక్క సగం కోణీయ విలువకు సమానం, కాబట్టి, ఈ కోణాలు ప్రతిదానికి సమానంగా ఉంటాయి. ఇతర. AMC మరియు BMA త్రిభుజాలు M శీర్షంలో ఒక సాధారణ కోణాన్ని కలిగి ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము ఈ త్రిభుజాల సారూప్యతను రెండు కోణాలలో (రెండవ సంకేతం) పేర్కొంటాము. మనకు ఉన్న సారూప్యత నుండి: MA/MB=MC/MA, దీని నుండి మనకు MA 2 =MB*MC వస్తుంది

వృత్తానికి టాంజెంట్‌లను నిర్మించడం

ఇప్పుడు దాన్ని గుర్తించడానికి ప్రయత్నిద్దాం మరియు సర్కిల్‌కు టాంజెంట్‌ను నిర్మించడానికి ఏమి చేయాలో కనుగొనండి.

ఈ సందర్భంలో, ఒక నియమం వలె, సమస్య ఒక సర్కిల్ మరియు పాయింట్ ఇస్తుంది. మరియు మీరు మరియు నేను సర్కిల్‌కు టాంజెంట్‌ను నిర్మించాలి, తద్వారా ఈ టాంజెంట్ ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళుతుంది.

ఒక పాయింట్ యొక్క స్థానం మనకు తెలియని సందర్భంలో, పాయింట్ల సాధ్యమైన స్థానాల కేసులను పరిశీలిద్దాం.

ముందుగా, ఒక పాయింట్ సర్కిల్ లోపల ఉండవచ్చు, ఇది ఇచ్చిన సర్కిల్ ద్వారా పరిమితం చేయబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ఈ సర్కిల్ ద్వారా టాంజెంట్‌ను నిర్మించడం సాధ్యం కాదు.

రెండవ సందర్భంలో, పాయింట్ ఒక వృత్తంలో ఉంది మరియు వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉన్న గీతను గీయడం ద్వారా మనం ఒక టాంజెంట్‌ను నిర్మించవచ్చు, ఇది మనకు తెలిసిన బిందువుకు డ్రా అవుతుంది.

మూడవదిగా, పాయింట్ సర్కిల్ వెలుపల ఉందని అనుకుందాం, ఇది సర్కిల్ ద్వారా పరిమితం చేయబడింది. ఈ సందర్భంలో, టాంజెంట్‌ను నిర్మించే ముందు, టాంజెంట్ తప్పనిసరిగా దాటవలసిన వృత్తంపై ఒక బిందువును కనుగొనడం అవసరం.

మొదటి సందర్భంలో, ప్రతిదీ మీకు స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను, కానీ రెండవ ఎంపికను పరిష్కరించడానికి మేము వ్యాసార్థం ఉన్న సరళ రేఖపై ఒక విభాగాన్ని నిర్మించాలి. ఈ విభాగం తప్పనిసరిగా వ్యాసార్థానికి మరియు ఎదురుగా ఉన్న సర్కిల్‌పై ఉన్న విభాగానికి సమానంగా ఉండాలి.

వృత్తంలోని బిందువు వ్యాసార్థానికి రెండు రెట్లు సమానమైన సెగ్మెంట్ మధ్యలో ఉంటుందని ఇక్కడ మనం చూస్తాము. తదుపరి దశ రెండు సర్కిల్‌లను నిర్మించడం. ఈ వృత్తాల వ్యాసార్థం మూల వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి రెండు రెట్లు సమానంగా ఉంటుంది, సెగ్మెంట్ చివరల్లో కేంద్రాలు ఉంటాయి, ఇది రెండు రెట్లు వ్యాసార్థానికి సమానం. ఇప్పుడు మనం ఈ సర్కిల్‌ల ఖండన మరియు ఇచ్చిన పాయింట్ ద్వారా ఏదైనా సరళ రేఖను గీయవచ్చు. అటువంటి సరళ రేఖ ప్రారంభంలో గీసిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి మధ్యస్థ లంబంగా ఉంటుంది. ఈ విధంగా, ఈ రేఖ వృత్తానికి లంబంగా ఉన్నట్లు మనం చూస్తాము మరియు దీని నుండి ఇది వృత్తానికి టాంజెంట్‌గా ఉంటుంది.

మూడవ ఎంపికలో, మనకు సర్కిల్ వెలుపల ఒక పాయింట్ ఉంది, ఇది సర్కిల్ ద్వారా పరిమితం చేయబడింది. ఈ సందర్భంలో, మేము ముందుగా అందించిన సర్కిల్ మధ్యలో మరియు ఇచ్చిన పాయింట్‌ను కనెక్ట్ చేసే విభాగాన్ని నిర్మిస్తాము. ఆపై మేము దాని మధ్యలో కనుగొంటాము. కానీ దీని కోసం లంబంగా ద్విభాగాన్ని నిర్మించడం అవసరం. మరియు దీన్ని ఎలా నిర్మించాలో మీకు ఇప్పటికే తెలుసు. అప్పుడు మనం ఒక వృత్తాన్ని లేదా కనీసం దానిలో కొంత భాగాన్ని గీయాలి. ఇప్పుడు మనం ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క ఖండన బిందువు మరియు కొత్తగా నిర్మించబడినది టాంజెంట్ పాస్ అయ్యే బిందువు అని చూస్తాము. ఇది సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా పేర్కొన్న పాయింట్ ద్వారా కూడా వెళుతుంది. చివరకు, మీకు తెలిసిన రెండు పాయింట్ల ద్వారా, మీరు టాంజెంట్ లైన్‌ను గీయవచ్చు.

చివరగా, మనం నిర్మించిన సరళ రేఖ ఒక టాంజెంట్ అని నిరూపించడానికి, వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం మరియు వృత్తాల ఖండన బిందువును అనుసంధానించే పరిస్థితి ద్వారా తెలిసిన సెగ్మెంట్ ద్వారా ఏర్పడిన కోణంపై మనం శ్రద్ధ వహించాలి. సమస్య యొక్క పరిస్థితి ఇచ్చిన పాయింట్‌తో. ఫలిత కోణం సెమిసర్కిల్‌పై ఉందని ఇప్పుడు మనం చూస్తాము. మరియు దీని నుండి ఈ కోణం సరైనదని అనుసరిస్తుంది. పర్యవసానంగా, వ్యాసార్థం కొత్తగా నిర్మించిన రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది మరియు ఈ రేఖ టాంజెంట్.

ఒక టాంజెంట్ నిర్మాణం.

అవకలన కాలిక్యులస్ పుట్టుకకు దారితీసిన సమస్యలలో టాంజెంట్ లైన్ల నిర్మాణం ఒకటి. లీబ్నిజ్ రచించిన అవకలన కాలిక్యులస్‌కు సంబంధించిన మొదటి ప్రచురించబడిన రచన, "మాగ్జిమా మరియు మినిమా యొక్క కొత్త పద్ధతి, అలాగే టాంజెంట్‌లు, దీనికి భిన్నం లేదా అహేతుక పరిమాణాలు లేదా ప్రత్యేక రకం కాలిక్యులస్ అడ్డంకి కాదు."

పురాతన ఈజిప్షియన్ల రేఖాగణిత జ్ఞానం.

టైగ్రిస్ మరియు యూఫ్రేట్స్ మరియు ఆసియా మైనర్ మధ్య లోయలోని పురాతన నివాసుల యొక్క నిరాడంబరమైన సహకారాన్ని మేము పరిగణనలోకి తీసుకోకపోతే, జ్యామితి 1700 BC కి ముందు పురాతన ఈజిప్టులో ఉద్భవించింది. ఉష్ణమండల వర్షాకాలంలో, నైలు దాని నీటి నిల్వలను తిరిగి నింపింది మరియు పొంగిపొర్లింది. సాగు చేసిన భూమి యొక్క ప్రాంతాలను నీరు కవర్ చేస్తుంది మరియు పన్ను ప్రయోజనాల కోసం ఎంత భూమి పోయిందో నిర్ణయించడం అవసరం. సర్వేయర్లు కొలిచే సాధనంగా గట్టిగా సాగదీసిన తాడును ఉపయోగించారు. ఈజిప్షియన్లు రేఖాగణిత జ్ఞానాన్ని సేకరించేందుకు మరొక ప్రోత్సాహకం పిరమిడ్లు మరియు లలిత కళల నిర్మాణం వంటి వారి కార్యకలాపాలు.

రేఖాగణిత జ్ఞానం యొక్క స్థాయిని పురాతన మాన్యుస్క్రిప్ట్‌ల నుండి అంచనా వేయవచ్చు, ఇవి ప్రత్యేకంగా గణితానికి అంకితం చేయబడ్డాయి మరియు పాఠ్యపుస్తకాలు లేదా సమస్య పుస్తకాలు వంటివి, ఇక్కడ వివిధ ఆచరణాత్మక సమస్యలకు పరిష్కారాలు ఇవ్వబడతాయి.

ఈజిప్షియన్ల పురాతన గణిత మాన్యుస్క్రిప్ట్ 1800 - 1600 మధ్య ఒక నిర్దిష్ట విద్యార్థిచే కాపీ చేయబడింది. క్రీ.పూ. పాత వచనం నుండి. పాపిరస్‌ను రష్యన్ ఈజిప్టు శాస్త్రవేత్త వ్లాదిమిర్ సెమెనోవిచ్ గోలెనిష్చెవ్ కనుగొన్నారు. ఇది మాస్కోలో ఉంచబడింది - మ్యూజియం ఆఫ్ ఫైన్ ఆర్ట్స్ పేరు A.S. పుష్కిన్, మరియు దీనిని మాస్కో పాపిరస్ అని పిలుస్తారు.

మాస్కో కంటే రెండు నుండి మూడు వందల సంవత్సరాల తరువాత వ్రాసిన మరొక గణిత పాపిరస్ లండన్‌లో ఉంచబడింది. దీనిని అంటారు: "అన్ని చీకటి విషయాల గురించి, విషయాలు తమలో తాము దాచుకునే అన్ని రహస్యాల గురించి ఎలా తెలుసుకోవాలో సూచన... పాత స్మారక చిహ్నాల ప్రకారం, లేఖకుడు అహ్మెస్ దీనిని వ్రాసాడు." మాన్యుస్క్రిప్ట్‌ని "అహ్మేస్ పాపిరస్" అని పిలుస్తారు, లేదా రిండ్ పాపిరస్ - ఈజిప్టులో ఈ పాపిరస్‌ని కనుగొని కొనుగోలు చేసిన ఆంగ్లేయుడి పేరు తర్వాత. అహ్మేస్ పాపిరస్ ఆచరణలో అవసరమయ్యే వివిధ గణనలతో కూడిన 84 సమస్యలకు పరిష్కారాలను అందిస్తుంది.

వ్యాసం నిర్వచనాల వివరణాత్మక వివరణను అందిస్తుంది, గ్రాఫిక్ సంకేతాలతో ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం. టాంజెంట్ లైన్ యొక్క సమీకరణం ఉదాహరణలతో పరిగణించబడుతుంది, టాంజెంట్ నుండి 2వ ఆర్డర్ వక్రతలకు సంబంధించిన సమీకరణాలు కనుగొనబడతాయి.

Yandex.RTB R-A-339285-1 నిర్వచనం 1

సరళ రేఖ y = k x + b యొక్క వంపు కోణాన్ని కోణం α అని పిలుస్తారు, ఇది x అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ నుండి సరళ రేఖకు y = k x + b సానుకూల దిశలో కొలుస్తారు.

చిత్రంలో, x దిశ ఆకుపచ్చ బాణం మరియు ఆకుపచ్చ ఆర్క్ మరియు ఎరుపు ఆర్క్ ద్వారా వంపు కోణం సూచించబడుతుంది. నీలి రేఖ సరళ రేఖను సూచిస్తుంది.

నిర్వచనం 2

సరళ రేఖ y = k x + b యొక్క వాలును సంఖ్యా గుణకం k అంటారు.

కోణీయ గుణకం సరళ రేఖ యొక్క టాంజెంట్‌కు సమానం, ఇతర మాటలలో k = t g α.

• సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణం 0కి సమానంగా ఉంటుంది, అది xకి సమాంతరంగా ఉంటే మరియు వాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే సున్నా యొక్క టాంజెంట్ 0కి సమానం. అంటే సమీకరణం యొక్క రూపం y = b అవుతుంది.
• y = k x + b సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణం తీవ్రంగా ఉంటే, పరిస్థితులు 0 సంతృప్తి చెందుతాయి< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, మరియు గ్రాఫ్‌లో పెరుగుదల ఉంది.
• α = π 2 అయితే, లైన్ యొక్క స్థానం xకి లంబంగా ఉంటుంది. సమానత్వం x = c ద్వారా పేర్కొనబడింది, c విలువ వాస్తవ సంఖ్య.
• y = k x + b సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణం మందంగా ఉంటే, అది π 2 పరిస్థితులకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

నిర్వచనం 3

సెకెంట్ అనేది ఫంక్షన్ f (x) యొక్క 2 పాయింట్ల గుండా వెళ్ళే పంక్తి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సెకాంట్ అనేది ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లోని ఏదైనా రెండు పాయింట్ల గుండా వెళ్ళే సరళ రేఖ.

ఫిగర్ A B అనేది ఒక సెకాంట్, మరియు f (x) ఒక బ్లాక్ కర్వ్, α అనేది ఎరుపు ఆర్క్, ఇది సెకాంట్ యొక్క వంపు కోణాన్ని సూచిస్తుంది.

సరళ రేఖ యొక్క కోణీయ కోఎఫీషియంట్ వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కి సమానంగా ఉన్నప్పుడు, A B C లంబ త్రిభుజం యొక్క టాంజెంట్‌ను ప్రక్కనే ఉన్న దానికి ఎదురుగా ఉన్న నిష్పత్తి ద్వారా కనుగొనవచ్చని స్పష్టమవుతుంది.

నిర్వచనం 4

ఫారమ్ యొక్క సెకెంట్‌ను కనుగొనడానికి మేము ఒక సూత్రాన్ని పొందుతాము:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, ఇక్కడ A మరియు B పాయింట్ల అబ్సిస్సాస్ x A, x B, మరియు f (x A), f (x) B) ఈ పాయింట్ల వద్ద విలువలు విధులు.

సహజంగానే, సెకాంట్ యొక్క కోణీయ గుణకం k = f (x B) - f (x A) x B - x A లేదా k = f (x A) - f (x B) x A - x B సమానత్వం ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది. , మరియు సమీకరణాన్ని తప్పనిసరిగా y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) లేదా
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

సెకెంట్ గ్రాఫ్‌ను దృశ్యమానంగా 3 భాగాలుగా విభజిస్తుంది: పాయింట్ A యొక్క ఎడమవైపు, A నుండి B వరకు, Bకి కుడి వైపునకు. దిగువన ఉన్న బొమ్మలో యాదృచ్చికంగా పరిగణించబడే మూడు సెకంట్‌లు ఉన్నాయని చూపిస్తుంది, అనగా అవి ఒక ఉపయోగించి సెట్ చేయబడ్డాయి సారూప్య సమీకరణం.

నిర్వచనం ప్రకారం, ఈ సందర్భంలో సరళ రేఖ మరియు దాని సెకెంట్ సమానంగా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది.

ఒక సెకెంట్ ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను అనేకసార్లు ఖండిస్తుంది. ఒక సెకెంట్‌కు y = 0 రూపంలో సమీకరణం ఉంటే, అప్పుడు సైనూసోయిడ్‌తో ఖండన బిందువుల సంఖ్య అనంతం.

నిర్వచనం 5

పాయింట్ x 0 వద్ద f (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్; f (x 0) అనేది ఇచ్చిన పాయింట్ x 0 గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ; f (x 0), x 0కి దగ్గరగా ఉన్న అనేక x విలువలను కలిగి ఉన్న సెగ్మెంట్ ఉనికిని కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1

దిగువ ఉదాహరణను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం. అప్పుడు y = x + 1 ఫంక్షన్ ద్వారా నిర్వచించబడిన పంక్తి అక్షాంశాలతో (1; 2) పాయింట్ వద్ద y = 2 xకి టాంజెంట్‌గా పరిగణించబడుతుంది. స్పష్టత కోసం, (1; 2)కి దగ్గరగా ఉన్న విలువలతో గ్రాఫ్‌లను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం. ఫంక్షన్ y = 2 x నలుపు రంగులో చూపబడింది, నీలి రేఖ టాంజెంట్ లైన్, మరియు ఎరుపు బిందువు ఖండన స్థానం.

సహజంగానే, y = 2 x y = x + 1 లైన్‌తో విలీనం అవుతుంది.

టాంజెంట్‌ను గుర్తించడానికి, పాయింట్ B పాయింట్ A ని అనంతంగా చేరుకునేటప్పుడు మేము టాంజెంట్ A B యొక్క ప్రవర్తనను పరిగణించాలి. స్పష్టత కోసం, మేము డ్రాయింగ్‌ను ప్రదర్శిస్తాము.

నీలి రేఖచే సూచించబడిన సెకాంట్ A B, టాంజెంట్ యొక్క స్థానానికి మొగ్గు చూపుతుంది మరియు సెకాంట్ α యొక్క వంపు కోణం టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణం α x వైపు మొగ్గు చూపుతుంది.

నిర్వచనం 6

A బిందువు వద్ద y = f (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ A B యొక్క పరిమితి స్థానంగా పరిగణించబడుతుంది, ఎందుకంటే B A వైపు మొగ్గు చూపుతుంది, అంటే B → A.

ఇప్పుడు ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థాన్ని పరిగణలోకి చేద్దాం.

x 0, f (x 0) మరియు x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) మరియు ∆ x అనే కోఆర్డినేట్‌లతో A మరియు B అనే ఫంక్షన్ f (x) కోసం సెకెంట్ A Bని పరిగణలోకి తీసుకుంటాము. వాదన యొక్క పెరుగుదలగా సూచించబడుతుంది. ఇప్పుడు ఫంక్షన్ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. స్పష్టత కోసం, డ్రాయింగ్ యొక్క ఉదాహరణను ఇద్దాం.

ఫలితంగా లంబకోణ త్రిభుజం A B Cని పరిగణించండి. మేము పరిష్కరించడానికి టాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము, అనగా, మేము సంబంధాన్ని పొందుతాము ∆ y ∆ x = t g α . టాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనం నుండి అది లిమ్ ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క నియమం ప్రకారం, x 0 పాయింట్‌లోని ఉత్పన్నం f (x)ని ఆర్గ్యుమెంట్ ఇంక్రిమెంట్‌కు ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ నిష్పత్తి పరిమితి అంటారు, ఇక్కడ ∆ ​​x → 0 , అప్పుడు మేము దానిని f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x గా సూచిస్తాము.

ఇది f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, ఇక్కడ k x టాంజెంట్ యొక్క వాలుగా సూచించబడుతుంది.

అంటే, f ' (x) పాయింట్ x 0 వద్ద ఉండవచ్చని మరియు x 0, f 0 (x 0)కి సమానమైన టాంజెన్సీ పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఇచ్చిన గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ లాగా ఉంటుందని మేము కనుగొన్నాము, ఇక్కడ విలువ పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ యొక్క వాలు పాయింట్ x 0 వద్ద ఉత్పన్నానికి సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు మనకు k x = f " (x 0) వస్తుంది.

ఒక పాయింట్ వద్ద ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం ఏమిటంటే, అదే పాయింట్ వద్ద గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఉనికి యొక్క భావనను ఇస్తుంది.

విమానంలో ఏదైనా సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయడానికి, అది వెళ్ళే బిందువుతో కోణీయ గుణకం కలిగి ఉండటం అవసరం. ఖండన వద్ద దీని సంజ్ఞామానం x 0గా తీసుకోబడుతుంది.

x 0, f 0 (x 0) పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ y = f (x) యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ సమీకరణం y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.

దీనర్థం f "(x 0) ఉత్పన్నం యొక్క తుది విలువ టాంజెంట్ యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయించగలదు, అనగా నిలువుగా, అందించబడిన lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ మరియు lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ లేదా పూర్తిగా లేకపోవడం lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

టాంజెంట్ యొక్క స్థానం దాని కోణీయ గుణకం k x = f "(x 0) విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది. o x అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు, మేము k k = 0, o y - k x = ∞కి సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు మరియు రూపాన్ని పొందుతాము. టాంజెంట్ సమీకరణం x = x 0 k x > 0తో పెరుగుతుంది, k xగా తగ్గుతుంది< 0 .

ఉదాహరణ 2

y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 అనే ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ కోసం సమీకరణాన్ని అక్షాంశాలతో (1; 3) పాయింట్‌లో కంపైల్ చేయండి మరియు వంపు కోణాన్ని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం

షరతు ప్రకారం, అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల కోసం ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిందని మేము కలిగి ఉన్నాము. షరతు ద్వారా నిర్దేశించబడిన కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన పాయింట్, (1; 3) టాంజెన్సీ పాయింట్ అని, ఆపై x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 అని మేము కనుగొన్నాము.

విలువ కలిగిన పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం అవసరం - 1. మేము దానిని పొందుతాము

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = ఇ - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

స్పర్శ బిందువు వద్ద f' (x) విలువ టాంజెంట్ యొక్క వాలు, ఇది వాలు యొక్క టాంజెంట్‌కి సమానం.

అప్పుడు k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

ఇది α x = a r c t g 3 3 = π 6 అని అనుసరిస్తుంది

సమాధానం:టాంజెంట్ సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

స్పష్టత కోసం, మేము గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్‌లో ఒక ఉదాహరణ ఇస్తాము.

ఒరిజినల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కోసం నలుపు రంగు ఉపయోగించబడుతుంది, నీలం రంగు అనేది టాంజెంట్ యొక్క చిత్రం మరియు ఎరుపు చుక్క అనేది టాంజెన్సీ పాయింట్. కుడి వైపున ఉన్న బొమ్మ విస్తారిత వీక్షణను చూపుతుంది.

ఉదాహరణ 3

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఉనికిని నిర్ణయించండి
y = 3 · x - 1 5 + 1 పాయింట్ వద్ద అక్షాంశాలు (1 ; 1) . ఒక సమీకరణాన్ని వ్రాసి, వంపు కోణాన్ని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం

షరతు ప్రకారం, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితిగా పరిగణించబడుతుంది.

ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి వెళ్దాం

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

x 0 = 1 అయితే, f' (x) నిర్వచించబడకపోతే, పరిమితులు లిమ్ x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 అని వ్రాయబడతాయి. · 1 + 0 = + ∞ మరియు లిమ్ x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , అంటే పాయింట్ వద్ద ఉనికి నిలువు టాంజెంట్ (1; 1).

సమాధానం:సమీకరణం x = 1 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది, ఇక్కడ వంపు కోణం π 2కి సమానంగా ఉంటుంది.

స్పష్టత కోసం, దానిని గ్రాఫికల్‌గా చిత్రీకరిద్దాం.

ఉదాహరణ 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 అనే ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌పై పాయింట్లను కనుగొనండి, ఇక్కడ

1. టాంజెంట్ లేదు;
2. టాంజెంట్ xకి సమాంతరంగా ఉంటుంది;
3. టాంజెంట్ లైన్ y = 8 5 x + 4కి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

పరిష్కారం

నిర్వచనం యొక్క పరిధికి శ్రద్ధ చూపడం అవసరం. షరతు ప్రకారం, అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సెట్‌లో ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిందని మేము కలిగి ఉన్నాము. మేము మాడ్యూల్‌ను విస్తరిస్తాము మరియు సిస్టమ్‌ను విరామాలతో పరిష్కరిస్తాము x ∈ - ∞ ; 2 మరియు [- 2 ; +∞) . మేము దానిని పొందుతాము

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడం అవసరం. మన దగ్గర అది ఉంది

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

x = − 2 అయినప్పుడు, అప్పుడు ఉత్పన్నం ఉండదు ఎందుకంటే ఆ సమయంలో ఏకపక్ష పరిమితులు సమానంగా ఉండవు:

లిమ్ x → - 2 - 0 y " (x) = లిమ్ x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 లిమ్ x → - 2 + 0 y " (x) = లిమ్ x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

మేము ఫంక్షన్ యొక్క విలువను x = - 2 పాయింట్ వద్ద గణిస్తాము, ఇక్కడ మనకు అది లభిస్తుంది

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, అంటే బిందువు వద్ద టాంజెంట్ ( - 2; - 2) ఉనికిలో ఉండదు.
2. వాలు సున్నా అయినప్పుడు టాంజెంట్ xకి సమాంతరంగా ఉంటుంది. అప్పుడు k x = t g α x = f "(x 0). అంటే, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం దానిని సున్నాకి మార్చినప్పుడు అటువంటి x విలువలను కనుగొనడం అవసరం. అంటే, f ' విలువలు (x) అనేది టాంజెన్సీ పాయింట్లు, ఇక్కడ టాంజెంట్ xకి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

ఎప్పుడు x ∈ - ∞ ; - 2, ఆపై - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, మరియు x ∈ (- 2; + ∞) కోసం మనకు 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 వస్తుంది.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

సంబంధిత ఫంక్షన్ విలువలను లెక్కించండి

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

అందుకే - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క అవసరమైన పాయింట్లుగా పరిగణించబడతాయి.

పరిష్కారం యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యాన్ని చూద్దాం.

బ్లాక్ లైన్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, ఎరుపు చుక్కలు టాంజెన్సీ పాయింట్లు.

1. పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు, కోణీయ గుణకాలు సమానంగా ఉంటాయి. అప్పుడు ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లో పాయింట్ల కోసం శోధించడం అవసరం, ఇక్కడ వాలు విలువ 8 5కి సమానంగా ఉంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, మీరు y "(x) = 8 5 ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. అప్పుడు, x ∈ - ∞; - 2 అయితే, మేము దానిని పొందుతాము - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, మరియు x ∈ (- 2 ; + ∞), అప్పుడు 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

వివక్షత సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్నందున మొదటి సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. అని రాసుకుందాం

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

మరొక సమీకరణానికి రెండు నిజమైన మూలాలు ఉన్నాయి

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను కనుగొనడానికి వెళ్దాం. మేము దానిని పొందుతాము

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

విలువలతో పాయింట్లు - 1; 4 15, 5; 8 3 అనేది y = 8 5 x + 4 రేఖకు టాంజెంట్‌లు సమాంతరంగా ఉండే పాయింట్లు.

సమాధానం:బ్లాక్ లైన్ – ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, రెడ్ లైన్ – గ్రాఫ్ ఆఫ్ y = 8 5 x + 4, బ్లూ లైన్ – పాయింట్ల వద్ద టాంజెంట్లు - 1; 4 15, 5; 8 3.

ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌ల కోసం అనంతమైన టాంజెంట్‌లు ఉండవచ్చు.

ఉదాహరణ 5

y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ఫంక్షన్ యొక్క అందుబాటులో ఉన్న అన్ని టాంజెంట్‌ల సమీకరణాలను వ్రాయండి, ఇవి y = - 2 x + 1 2 సరళ రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి.

పరిష్కారం

టాంజెంట్ సమీకరణాన్ని కంపైల్ చేయడానికి, పంక్తుల లంబంగా ఉన్న స్థితి ఆధారంగా టాంజెంట్ పాయింట్ యొక్క గుణకం మరియు కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం అవసరం. నిర్వచనం క్రింది విధంగా ఉంది: సరళ రేఖలకు లంబంగా ఉండే కోణీయ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క ఉత్పత్తి సమానం - 1, అంటే k x · k ⊥ = - 1 గా వ్రాయబడుతుంది. షరతు నుండి కోణీయ గుణకం రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది మరియు k ⊥ = - 2కి సమానం, అప్పుడు k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

ఇప్పుడు మీరు టచ్ పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనాలి. మీరు ఇచ్చిన ఫంక్షన్ కోసం xని ఆపై దాని విలువను కనుగొనాలి. పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం నుండి గమనించండి
x 0 మేము k x = y "(x 0) పొందుతాము. ఈ సమానత్వం నుండి మనం సంప్రదింపు పాయింట్ల కోసం x విలువలను కనుగొంటాము.

మేము దానిని పొందుతాము

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 పాపం 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 పాపం 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ పాపం 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

ఈ త్రికోణమితి సమీకరణం టాంజెంట్ పాయింట్ల ఆర్డినేట్‌లను లెక్కించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

3 2 x 0 - π 4 = a r c పాపం - 1 9 + 2 πk లేదా 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c పాపం - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c సిన్ 1 9 + 2 πk లేదా 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c సిన్ 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c పాపం 1 9 + 2 πk లేదా x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c పాపం 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z అనేది పూర్ణాంకాల సమితి.

x సంప్రదింపు పాయింట్లు కనుగొనబడ్డాయి. ఇప్పుడు మీరు y విలువల కోసం శోధించడానికి వెళ్లాలి:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 లేదా y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 లేదా y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 లేదా y 0 = - 4 5 + 1 3

దీని నుండి మనం 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c సిన్ 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 టాంజెన్సీ పాయింట్లు.

సమాధానం:అవసరమైన సమీకరణాలు ఇలా వ్రాయబడతాయి

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c పాపం 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c పాపం 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

దృశ్యమాన ప్రాతినిధ్యం కోసం, కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఫంక్షన్ మరియు టాంజెంట్‌ను పరిగణించండి.

ఫంక్షన్ విరామం [ - 10 ; 10 ], ఇక్కడ బ్లాక్ లైన్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, నీలం గీతలు టాంజెంట్‌లు, ఇవి y = - 2 x + 1 2 రూపంలో ఇచ్చిన రేఖకు లంబంగా ఉంటాయి. ఎరుపు చుక్కలు టచ్ పాయింట్లు.

2వ ఆర్డర్ వక్రరేఖల యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణాలు ఒకే-విలువ ఫంక్షన్‌లు కావు. తెలిసిన పథకాల ప్రకారం వాటి కోసం టాంజెంట్ సమీకరణాలు సంకలనం చేయబడతాయి.

వృత్తానికి టాంజెంట్

పాయింట్ x c e n t e r వద్ద కేంద్రంతో వృత్తాన్ని నిర్వచించడానికి; y c e n t e r మరియు R వ్యాసార్థం, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 సూత్రాన్ని వర్తింపజేయండి.

ఈ సమానత్వాన్ని రెండు విధుల కలయికగా వ్రాయవచ్చు:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

చిత్రంలో చూపిన విధంగా మొదటి ఫంక్షన్ ఎగువన మరియు రెండవది దిగువన ఉంది.

x 0 పాయింట్ వద్ద వృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని కంపైల్ చేయడానికి; y 0 , ఇది ఎగువ లేదా దిగువ సెమిసర్కిల్‌లో ఉంది, మీరు y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r లేదా y = - R 2 - x - x c e r2 t రూపం యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనాలి సూచించిన పాయింట్ వద్ద y c e n t e r.

పాయింట్లు x c e n t e r వద్ద ఉన్నప్పుడు; y c e n t e r + R మరియు x c e n t e r; y c e n t e r - R టాంజెంట్లను y = y c e n t e r + R మరియు y = y c e n t e r - R , మరియు పాయింట్ల వద్ద x c e n t e r + R సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వవచ్చు; y c e n t e r మరియు
x c e n t e r - R ; y c e n t e r o y కి సమాంతరంగా ఉంటుంది, అప్పుడు మేము x = x c e n t e r + R మరియు x = x c e n t e r - R రూపం యొక్క సమీకరణాలను పొందుతాము.

దీర్ఘవృత్తానికి టాంజెంట్

దీర్ఘవృత్తం x c e n t e r వద్ద కేంద్రాన్ని కలిగి ఉన్నప్పుడు; y c e n t e r సెమీ-యాక్సెస్‌తో a మరియు b, అప్పుడు దానిని x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 అనే సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పేర్కొనవచ్చు.

ఒక దీర్ఘవృత్తం మరియు వృత్తాన్ని రెండు ఫంక్షన్లను కలపడం ద్వారా సూచించవచ్చు, అవి ఎగువ మరియు దిగువ అర్ధ-దీర్ఘవృత్తం. అప్పుడు మనకు అది వస్తుంది

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

టాంజెంట్‌లు దీర్ఘవృత్తాకార శీర్షాల వద్ద ఉన్నట్లయితే, అవి x లేదా y గురించి సమాంతరంగా ఉంటాయి. క్రింద, స్పష్టత కోసం, బొమ్మను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 6

x = 2కి సమానమైన x విలువలతో బిందువుల వద్ద దీర్ఘవృత్తాకార x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1కి టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం

x = 2 విలువకు అనుగుణంగా ఉండే టాంజెంట్ పాయింట్‌లను కనుగొనడం అవసరం. మేము దీర్ఘవృత్తం యొక్క ప్రస్తుత సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు దానిని కనుగొంటాము

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

అప్పుడు 2; 5 3 2 + 5 మరియు 2; - 5 3 2 + 5 ఎగువ మరియు దిగువ సగం దీర్ఘవృత్తాకారానికి చెందిన టాంజెంట్ పాయింట్లు.

yకి సంబంధించి దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణాన్ని కనుగొనడం మరియు పరిష్కరించడానికి ముందుకు వెళ్దాం. మేము దానిని పొందుతాము

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

సహజంగానే, ఎగువ సగం దీర్ఘవృత్తాకారం y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, మరియు దిగువ సగం దీర్ఘవృత్తం y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 రూపం యొక్క ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి పేర్కొనబడింది.

ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ కోసం సమీకరణాన్ని రూపొందించడానికి ప్రామాణిక అల్గారిథమ్‌ను వర్తింపజేద్దాం. పాయింట్ 2 వద్ద మొదటి టాంజెంట్ కోసం సమీకరణం అని వ్రాద్దాం; 5 3 2 + 5 లాగా ఉంటుంది

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

పాయింట్ వద్ద విలువతో రెండవ టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణం అని మేము కనుగొన్నాము
2 ; - 5 3 2 + 5 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

గ్రాఫికల్‌గా, టాంజెంట్‌లు ఈ క్రింది విధంగా నిర్దేశించబడ్డాయి:

అతిశయోక్తికి టాంజెంట్

హైపర్బోలా x c e n t e r వద్ద కేంద్రాన్ని కలిగి ఉన్నప్పుడు; y c e n t e r మరియు శీర్షాలు x c e n t e r + α ; y c e n t e r మరియు x c e n t e r - α ; y c e n t e r , అసమానత x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 జరుగుతుంది, శీర్షాలతో ఉంటే x c e n t e r ; y c e n t e r + b మరియు x c e n t e r; y c e n t e r -b , అప్పుడు అసమానత x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 ఉపయోగించి పేర్కొనబడుతుంది.

ఒక హైపర్బోలా రూపం యొక్క రెండు మిశ్రమ విధులుగా సూచించబడుతుంది

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r లేదా y = x a · 2 n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

మొదటి సందర్భంలో, టాంజెంట్‌లు yకి సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు రెండవ సందర్భంలో అవి xకి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

ఇది హైపర్బోలాకు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, టాంజెన్సీ పాయింట్ ఏ ఫంక్షన్‌కు చెందినదో కనుగొనడం అవసరం. దీన్ని నిర్ణయించడానికి, సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం మరియు గుర్తింపు కోసం తనిఖీ చేయడం అవసరం.

ఉదాహరణ 7

పాయింట్ 7 వద్ద హైపర్బోలా x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1కి టాంజెంట్ కోసం ఒక సమీకరణాన్ని వ్రాయండి; - 3 3 - 3 .

పరిష్కారం

2 ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి హైపర్‌బోలాను కనుగొనడం కోసం పరిష్కార రికార్డును మార్చడం అవసరం. మేము దానిని పొందుతాము

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 మరియు y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

అక్షాంశాలు 7తో ఇచ్చిన పాయింట్ ఏ ఫంక్షన్‌కు చెందినదో గుర్తించడం అవసరం; - 3 3 - 3 .

సహజంగానే, మొదటి ఫంక్షన్‌ను తనిఖీ చేయడానికి ఇది అవసరం y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, అప్పుడు పాయింట్ గ్రాఫ్‌కు చెందదు, ఎందుకంటే సమానత్వం ఉండదు.

రెండవ ఫంక్షన్ కోసం మనకు y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, అంటే పాయింట్ ఇచ్చిన గ్రాఫ్‌కు చెందినది. ఇక్కడ నుండి మీరు వాలును కనుగొనాలి.

మేము దానిని పొందుతాము

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

సమాధానం:టాంజెంట్ సమీకరణాన్ని ఇలా సూచించవచ్చు

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

ఇది స్పష్టంగా ఇలా చిత్రీకరించబడింది:

పారాబొలాకు టాంజెంట్

x 0, y (x 0) పాయింట్ వద్ద పారాబొలా y = a x 2 + b x + cకి టాంజెంట్ కోసం సమీకరణాన్ని సృష్టించడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా ప్రామాణిక అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించాలి, అప్పుడు సమీకరణం y = y "(x) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది 0) x - x 0 + y ( x 0).శీర్షం వద్ద అటువంటి టాంజెంట్ x కి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

మీరు పారాబొలా x = a y 2 + b y + cని రెండు ఫంక్షన్ల యూనియన్‌గా నిర్వచించాలి. కాబట్టి, మనం y కోసం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. మేము దానిని పొందుతాము

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

గ్రాఫికల్‌గా ఇలా వర్ణించబడింది:

పాయింట్ x 0, y (x 0) ఒక ఫంక్షన్‌కు చెందినదో లేదో తెలుసుకోవడానికి, ప్రామాణిక అల్గారిథమ్ ప్రకారం సున్నితంగా కొనసాగండి. అటువంటి టాంజెంట్ పారాబొలాకు సంబంధించి o yకి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 8

మనకు 150 ° టాంజెంట్ కోణం ఉన్నప్పుడు x - 2 y 2 - 5 y + 3 గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

పరిష్కారం

మేము పారాబొలాను రెండు విధులుగా సూచించడం ద్వారా పరిష్కారాన్ని ప్రారంభిస్తాము. మేము దానిని పొందుతాము

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

వాలు విలువ ఈ ఫంక్షన్ యొక్క పాయింట్ x 0 వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క విలువకు సమానంగా ఉంటుంది మరియు వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సమానంగా ఉంటుంది.

మాకు దొరికింది:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

ఇక్కడ నుండి మేము పరిచయం పాయింట్ల కోసం x విలువను నిర్ణయిస్తాము.

మొదటి ఫంక్షన్ ఇలా వ్రాయబడుతుంది

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

సహజంగానే, నిజమైన మూలాలు లేవు, ఎందుకంటే మనకు ప్రతికూల విలువ వచ్చింది. అటువంటి ఫంక్షన్ కోసం 150° కోణంతో టాంజెంట్ లేదని మేము నిర్ధారించాము.

రెండవ ఫంక్షన్ ఇలా వ్రాయబడుతుంది

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

మేము సంప్రదింపు పాయింట్లను కలిగి ఉన్నాము 23 4 ; - 5 + 3 4 .

సమాధానం:టాంజెంట్ సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

దీన్ని గ్రాఫికల్‌గా ఈ విధంగా వర్ణిద్దాం:

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క సాపేక్ష స్థానం యొక్క సందర్భాలను గుర్తుచేసుకుందాం.

O కేంద్రం మరియు r వ్యాసార్థంతో వృత్తం ఇవ్వబడింది. సరళ రేఖ P, కేంద్రం నుండి సరళ రేఖకు దూరం, అంటే OMకి లంబంగా, dకి సమానం.

కేసు 1- వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది:

r వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే దూరం d తక్కువగా ఉన్నప్పుడు, సరళ రేఖ మరియు వృత్తం రెండు సాధారణ పాయింట్లను మాత్రమే కలిగి ఉన్నాయని మేము నిరూపించాము (Fig. 1).

అన్నం. 1. కేసు 1 కోసం ఉదాహరణ

కేసు రెండు- వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటుంది:

ఈ సందర్భంలో ఒకే ఒక సాధారణ పాయింట్ (Fig. 2) మాత్రమే ఉందని మేము నిరూపించాము.

అన్నం. 2. కేసు 2 కోసం ఉదాహరణ

కేసు 3- వృత్తం మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది:

ఈ సందర్భంలో సర్కిల్ మరియు సరళ రేఖకు సాధారణ పాయింట్లు లేవని మేము నిరూపించాము (Fig. 3).

అన్నం. 3. కేసు 3 కోసం ఉదాహరణ

ఈ పాఠంలో మేము రెండవ సందర్భంలో ఆసక్తి కలిగి ఉంటాము, ఒక పంక్తి మరియు వృత్తం ఒకే సాధారణ బిందువును కలిగి ఉన్నప్పుడు.

నిర్వచనం:

వృత్తంతో ఒకే సాధారణ బిందువును కలిగి ఉండే సరళ రేఖను వృత్తానికి టాంజెంట్ అంటారు; ఒక సాధారణ బిందువును రేఖ మరియు వృత్తం యొక్క టాంజెంట్ పాయింట్ అంటారు.

స్ట్రెయిట్ లైన్ p అనేది టాంజెంట్, పాయింట్ A అనేది టాంజెన్సీ పాయింట్ (Fig. 4).

అన్నం. 4. టాంజెంట్

సిద్ధాంతం:

వృత్తానికి టాంజెంట్ సంపర్క బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది (Fig. 5).

అన్నం. 5. సిద్ధాంతానికి ఉదాహరణ

రుజువు:

దీనికి విరుద్ధంగా, OA సరళ రేఖ rకి లంబంగా ఉండకూడదు. ఈ సందర్భంలో, మేము పాయింట్ O నుండి సరళ రేఖ pకి లంబంగా తగ్గిస్తాము, ఇది సర్కిల్ మధ్యలో నుండి సరళ రేఖకు దూరం అవుతుంది:

లంబ త్రిభుజం నుండి మనం OH కణ OA కంటే తక్కువ అని చెప్పగలం, అనగా సరళ రేఖ మరియు వృత్తం రెండు సాధారణ బిందువులను కలిగి ఉంటాయి, సరళ రేఖ p ఒక సెకెంట్. అందువలన, మేము ఒక వైరుధ్యాన్ని పొందాము, అంటే సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

అన్నం. 6. సిద్ధాంతానికి ఉదాహరణ

సంభాషణ సిద్ధాంతం కూడా నిజం.

సిద్ధాంతం:

ఒక రేఖ ఒక వృత్తంపై ఉన్న వ్యాసార్థం చివర గుండా వెళితే మరియు ఈ వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటే, అది టాంజెంట్.

రుజువు:

సరళ రేఖ వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉన్నందున, దూరం OA అనేది సరళ రేఖ నుండి వృత్తం మధ్యలో ఉన్న దూరం మరియు అది వ్యాసార్థానికి సమానం: . అంటే, మరియు ఈ సందర్భంలో, మేము ఇంతకుముందు నిరూపించినట్లుగా, పంక్తి మరియు వృత్తం ఒకే సాధారణ బిందువును కలిగి ఉంటాయి - పాయింట్ A, అందువలన p లైన్ నిర్వచనం ప్రకారం సర్కిల్‌కు టాంజెంట్ (Fig. 7).

అన్నం. 7. సిద్ధాంతానికి ఉదాహరణ

ప్రత్యక్ష మరియు విలోమ సిద్ధాంతాలను ఈ క్రింది విధంగా కలపవచ్చు (Fig. 8):

కేంద్రం O, సరళ రేఖ p, OA వ్యాసార్థంతో వృత్తం ఇవ్వబడింది

అన్నం. 8. సిద్ధాంతానికి ఉదాహరణ

సిద్ధాంతం:

ఒక సరళ రేఖ వృత్తానికి టాంజెంట్‌గా ఉంటుంది మరియు వ్యాసార్థం టాంజెన్సీ బిందువుకు లంబంగా ఉంటే మాత్రమే.

ఈ సిద్ధాంతం అంటే, ఒక రేఖ ఒక టాంజెంట్ అయితే, స్పర్శ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థం దానికి లంబంగా ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, OA మరియు p లంబంగా p అనేది ఒక టాంజెంట్, అంటే సరళ రేఖ అని అనుసరిస్తుంది. మరియు వృత్తానికి ఒకే సాధారణ బిందువు ఉంటుంది.

ఒక బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన రెండు టాంజెంట్‌లను పరిగణించండి.

సిద్ధాంతం:

ఒక బిందువు నుండి గీసిన వృత్తానికి టాంజెంట్‌ల విభాగాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఈ బిందువు మరియు వృత్తం మధ్యలో గీసిన సరళ రేఖతో సమాన కోణాలను తయారు చేస్తాయి.

వృత్తం, సెంటర్ O, వృత్తం వెలుపల పాయింట్ A ఇవ్వబడింది. పాయింట్ A నుండి రెండు టాంజెంట్‌లు డ్రా చేయబడతాయి, B మరియు C పాయింట్లు టాంజెన్సీ పాయింట్‌లు. 3 మరియు 4 కోణాలు సమానంగా ఉన్నాయని మీరు నిరూపించాలి.

అన్నం. 9. సిద్ధాంతానికి ఉదాహరణ

రుజువు:

రుజువు త్రిభుజాల సమానత్వంపై ఆధారపడి ఉంటుంది . త్రిభుజాల సమానత్వాన్ని వివరిస్తాము. అవి దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఉంటాయి, ఎందుకంటే సంపర్క బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థం టాంజెంట్‌కు లంబంగా ఉంటుంది. అంటే కోణాలు కుడి మరియు సమానంగా ఉంటాయి. OB మరియు OS కాళ్లు సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థం. హైపోటెన్యూస్ AO సాధారణం.

అందువలన, త్రిభుజాలు లెగ్ మరియు హైపోటెన్యూస్ యొక్క సమానత్వం పరంగా సమానంగా ఉంటాయి. ఇక్కడ నుండి కాళ్ళు AB మరియు AC కూడా సమానంగా ఉన్నాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. అలాగే, సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే కోణాలు మరియు , సమానంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

కాబట్టి, వృత్తానికి టాంజెంట్ అనే భావనతో మనకు పరిచయం ఏర్పడింది; తరువాతి పాఠంలో మనం వృత్తం యొక్క ఆర్క్ యొక్క డిగ్రీ కొలతను పరిశీలిస్తాము.

గ్రంథ పట్టిక

1. అలెగ్జాండ్రోవ్ A.D. మొదలైనవి. జ్యామితి 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2006.
2. బుతుజోవ్ V.F., కడోమ్ట్సేవ్ S.B., ప్రసోలోవ్ V.V. జ్యామితి 8. - M.: విద్య, 2011.
3. మెర్జ్లియాక్ A.G., పోలోన్స్కీ V.B., యాకిర్ S.M. జామెట్రీ 8వ తరగతి. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

ఇంటి పని

1. అటనాస్యన్ L.S., బుట్యుజోవ్ V.F., కడోమ్ట్సేవ్ S.B. et al., జ్యామితి 7-9, No. 634-637, p. 168.