సమగ్ర భావన యొక్క ఆవిర్భావం దాని ఉత్పన్నం నుండి యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడం, అలాగే పని మొత్తం, సంక్లిష్ట బొమ్మల వైశాల్యం, ప్రయాణించిన దూరం, వివరించిన వక్రరేఖల ద్వారా వివరించబడిన పారామితులతో నిర్ణయించడం. నాన్ లీనియర్ ఫార్ములాల ద్వారా.
మరియు ఆ పని శక్తి మరియు దూరం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. మొత్తం కదలిక స్థిరమైన వేగంతో సంభవిస్తే లేదా దూరం అదే శక్తితో కప్పబడి ఉంటే, అప్పుడు ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంటుంది, మీరు వాటిని గుణించాలి. స్థిరాంకం యొక్క సమగ్రత ఏమిటి? రూపం y=kx+c.
కానీ బలం పని అంతటా మారవచ్చు, మరియు ఒకరకమైన సహజ ఆధారపడటం. వేగం స్థిరంగా లేకపోతే ప్రయాణించిన దూరం యొక్క గణనతో అదే పరిస్థితి తలెత్తుతుంది.
కాబట్టి, సమగ్రత ఎందుకు అవసరమో స్పష్టంగా ఉంది. ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క అనంతమైన ఇంక్రిమెంట్ ద్వారా ఫంక్షన్ యొక్క విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తంగా దాని నిర్వచనం ఈ భావన యొక్క ప్రధాన అర్థాన్ని ఫంక్షన్ యొక్క రేఖ ద్వారా పైభాగంలో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఒక ఫిగర్ వైశాల్యంగా పూర్తిగా వివరిస్తుంది, మరియు నిర్వచనం యొక్క సరిహద్దుల ద్వారా అంచుల వద్ద.
జీన్ గాస్టన్ డార్బౌక్స్ అనే ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు 19వ శతాబ్దపు ద్వితీయార్ధంలో సమగ్రత అంటే ఏమిటో చాలా స్పష్టంగా వివరించాడు. సాధారణంగా ఒక జూనియర్ హైస్కూల్ విద్యార్థికి కూడా ఈ విషయాన్ని అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కాదని ఆయన స్పష్టం చేశారు.
ఏదైనా క్లిష్టమైన ఆకారం యొక్క ఫంక్షన్ ఉందని చెప్పండి. ఆర్డినేట్ యాక్సిస్‌పై ఆర్డినేట్ యాక్సిస్‌పై ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువలు చిన్న విరామాలుగా విభజించబడ్డాయి, ఆదర్శంగా అవి అనంతమైనవి, కానీ అనంతం అనే భావన చాలా నైరూప్యమైనది కాబట్టి, చిన్న భాగాలను ఊహించడం సరిపోతుంది, దీని విలువ సాధారణంగా ఉంటుంది. గ్రీకు అక్షరం Δ (డెల్టా) ద్వారా సూచించబడుతుంది.
ఫంక్షన్ చిన్న ఇటుకలు "తరిగిన" మారినది.
ప్రతి ఆర్గ్యుమెంట్ విలువ ఆర్డినేట్ యాక్సిస్‌పై ఒక బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, దానిపై సంబంధిత ఫంక్షన్ విలువలు ప్లాట్ చేయబడతాయి. కానీ ఎంచుకున్న ప్రాంతానికి రెండు సరిహద్దులు ఉన్నందున, ఎక్కువ మరియు తక్కువ అనే రెండు ఫంక్షన్ విలువలు కూడా ఉంటాయి.
ఇంక్రిమెంట్ Δ ద్వారా పెద్ద విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని పెద్ద డార్బౌక్స్ సమ్ అంటారు మరియు దీనిని S గా సూచిస్తారు. దీని ప్రకారం, పరిమిత ప్రాంతంలోని చిన్న విలువలు, Δతో గుణిస్తే, అన్నీ కలిసి చిన్న డార్బౌక్స్ మొత్తాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. . ఈ విభాగం కూడా దీర్ఘచతురస్రాకార ట్రాపెజాయిడ్‌ను పోలి ఉంటుంది, ఎందుకంటే అనంతమైన ఇంక్రిమెంట్‌తో ఫంక్షన్ లైన్ యొక్క వక్రతను విస్మరించవచ్చు. అటువంటి రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సులభమైన మార్గం ఏమిటంటే, ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద మరియు చిన్న విలువల ఉత్పత్తులను Δ- ఇంక్రిమెంట్ ద్వారా జోడించడం మరియు రెండుగా విభజించడం, అంటే దానిని అంకగణిత సగటుగా నిర్ణయించడం.
ఇది డార్బౌక్స్ సమగ్రమైనది:
s=Σf(x) Δ - చిన్న మొత్తం;
S= Σf(x+Δ)Δ అనేది పెద్ద మొత్తం.
కాబట్టి సమగ్రం అంటే ఏమిటి? ఫంక్షన్ యొక్క లైన్ మరియు నిర్వచనం యొక్క సరిహద్దుల ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:
∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c
అంటే, పెద్ద మరియు చిన్న డార్బౌక్స్ మొత్తాల అంకగణిత సగటు అనేది భేదం సమయంలో రీసెట్ చేయబడిన స్థిరమైన విలువ.
ఈ భావన యొక్క రేఖాగణిత వ్యక్తీకరణ ఆధారంగా, సమగ్రత యొక్క భౌతిక అర్ధం స్పష్టమవుతుంది. స్పీడ్ ఫంక్షన్ ద్వారా వివరించబడింది మరియు x-అక్షం వెంట సమయ విరామం ద్వారా పరిమితం చేయబడుతుంది, ప్రయాణించిన దూరం యొక్క పొడవు ఉంటుంది.
t1 నుండి t2 వరకు విరామంలో L = ∫f(x)dx,
f(x) అనేది వేగం యొక్క విధి, అంటే కాలక్రమేణా అది మారే ఫార్ములా;
L - మార్గం పొడవు;
t1 - ప్రయాణం ప్రారంభ సమయం;
t2 అనేది ప్రయాణం యొక్క ముగింపు సమయం.
పని మొత్తాన్ని నిర్ణయించడానికి సరిగ్గా అదే సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది, అబ్సిస్సా వెంట దూరం మాత్రమే ప్లాట్ చేయబడుతుంది మరియు ప్రతి నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద వర్తించే శక్తి మొత్తం ఆర్డినేట్ వెంట ప్లాట్ చేయబడుతుంది.
కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్ర నిర్వచనం యొక్క సమస్యకు తిరిగి వెళ్దాం. y=f(x) అనే వక్రరేఖతో బంధించబడిన కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ వైశాల్యం, ఇక్కడ f(x)0 విభాగంలో, x అక్షం మరియు పంక్తులు x = a మరియు x = b సంఖ్యాపరంగా సమానం ఒక ఖచ్చితమైన సమగ్రం, అనగా.
ఇప్పటివరకు మేము ఏకీకరణ a మరియు b యొక్క స్థిరమైన పరిమితులతో ఖచ్చితమైన సమగ్రతను పరిగణించాము. మీరు మార్చినట్లయితే, ఉదాహరణకు, సెగ్మెంట్ నుండి వదలకుండా ఎగువ పరిమితి, సమగ్ర విలువ మారుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వేరియబుల్ ఎగువ పరిమితితో కూడిన సమగ్రత దాని ఎగువ పరిమితి యొక్క విధి. అందువలన, మేము సమగ్ర కలిగి ఉంటే
స్థిరమైన తక్కువ పరిమితితో ఎమరియు వేరియబుల్ ఎగువ పరిమితి x, అప్పుడు ఈ సమగ్ర విలువ ఎగువ పరిమితి x యొక్క ఫంక్షన్ అవుతుంది. ఈ ఫంక్షన్‌ను Ф(х) ద్వారా సూచిస్తాము, అనగా మనం ఉంచాము
(2.1)
మరియు దానిని వేరియబుల్ ఎగువ పరిమితితో ఖచ్చితమైన సమగ్రంగా పిలుద్దాం. రేఖాగణితంగా, ఫంక్షన్ Ф(x) అనేది f(x)0 (Fig. 2) అయితే షేడెడ్ వంకర ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం.
ఇప్పుడు గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రధాన సిద్ధాంతాలలో ఒకటైన సిద్ధాంతం యొక్క రుజువును చూద్దాం.
సిద్ధాంతం
3
.
f(t) ఒక నిరంతర ఫంక్షన్ అయితే మరియు 
అప్పుడు సమానత్వం ఉంటుంది
లేదా 
(2.2)
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వేరియబుల్ ఎగువ పరిమితికి సంబంధించి నిరంతర ఫంక్షన్ యొక్క ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క ఉత్పన్నం ఉనికిలో ఉంది మరియు ఎగువ పరిమితిలో ఉన్న సమగ్ర విలువకు సమానంగా ఉంటుంది.
రుజువు.ఏదైనా విలువ x తీసుకొని దానికి x + x , అనగా ఇంక్రిమెంట్ x 0 ఇద్దాం. 
. అప్పుడు ఫంక్షన్ Ф(х) కొత్త విలువను అందుకుంటుంది:
మేము ఫంక్షన్ Ф(х) యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌ను కనుగొంటాము:
Ф = Ф(x+x) – Ф(x) =
సగటు విలువ సిద్ధాంతాన్ని చివరి సమగ్రానికి వర్తింపజేస్తే మనకు లభిస్తుంది:
ఇక్కడ C అనేది x మరియు x + x సంఖ్యల మధ్య ఉన్న సంఖ్య. ఇక్కడనుంచి 
ఇప్పుడు x 0 అయితే, c x మరియు f(c) f(x) (పై f(x) కొనసాగింపు కారణంగా). అందువల్ల, చివరి సమానత్వంలో పరిమితికి ఉత్తీర్ణత సాధించడం
f
(
x
)
లేదా 
,
Q.E.D.
పర్యవసానం.వేరియబుల్ ఎగువ పరిమితితో కూడిన ఖచ్చితమైన సమగ్రం నిరంతర సమగ్రత కోసం యాంటీడెరివేటివ్‌లలో ఒకటి. ఇతర మాటలలో, కోసం ఏదైనా నిరంతర ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ ఉంటుంది,
వ్యాఖ్య.అనేక కొత్త ఫంక్షన్లను నిర్వచించడంలో ఏకీకరణ యొక్క వేరియబుల్ ఎగువ పరిమితితో కూడిన సమగ్రత ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు:
.
3. న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా
మేము ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, సమగ్ర మొత్తాల పరిమితిని కనుగొనడం ఆధారంగా ఒక పద్ధతిని ఉపయోగించి ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించడం సాధారణంగా చాలా ఇబ్బందులతో ముడిపడి ఉంటుంది. అందువల్ల, ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను లెక్కించడానికి మరొక, సాధారణంగా మరింత అనుకూలమైన పద్ధతి ఉంది, ఇది ఖచ్చితమైన మరియు నిరవధిక సమగ్ర భావనల మధ్య ఉన్న దగ్గరి సంబంధంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ కనెక్షన్ క్రింది వాటి ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది
సిద్ధాంతం 4 . నిరంతర ఫంక్షన్ యొక్క ఖచ్చితమైన సమగ్రత, ఏకీకరణ యొక్క ఎగువ మరియు దిగువ పరిమితుల కోసం దాని ఏదైనా యాంటీడెరివేటివ్‌ల విలువల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం.
రుజువు.ఈ విభాగంలో నిరంతరాయంగా f(x) ఫంక్షన్‌కు యాంటీడెరివేటివ్ ఉందని మరియు యాంటీడెరివేటివ్‌లలో ఒకటి ఫంక్షన్ అని మేము నిర్ధారించాము
.
అదే విభాగంలో f(x) ఫంక్షన్ కోసం F(x) ఏదైనా ఇతర యాంటీడెరివేటివ్‌గా ఉండనివ్వండి. యాంటీడెరివేటివ్‌లు Ф(х) మరియు F(х) స్థిరాంకంతో విభేదిస్తాయి (యాంటిడెరివేటివ్‌ల లక్షణాలను చూడండి), కింది సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది:
ఇక్కడ C అనేది నిర్దిష్ట సంఖ్య. ఈ సమానత్వం విలువను భర్తీ చేయడం x = aఉంటుంది 0 = ఎఫ్(a) + సి, సి = - ఎఫ్(a), అంటే x కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము
x = bని సెట్ చేయడం, మేము సంబంధాన్ని పొందుతాము
(3.1)
ఫార్ములా (3.1)ని న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా అంటారు. తేడా ఎఫ్(బి)
–
ఎఫ్(a)
సాంప్రదాయకంగా దానిని రూపంలో వ్రాయడం ఆచారం 
ఆపై ఫార్ములా (3.1) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది
కాబట్టి, మేము పొందిన ఫార్ములా (3.1) ఒక వైపు, ఖచ్చితమైన మరియు నిరవధిక సమగ్రాల మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరుస్తుంది, మరోవైపు, ఇది ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించడానికి ఒక సాధారణ పద్ధతిని ఇస్తుంది:
నిరంతర ఫంక్షన్ యొక్క ఖచ్చితమైన సమగ్రత దానిలోని ఏదైనా యాంటీడెరివేటివ్‌ల విలువల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఇది ఏకీకరణ యొక్క ఎగువ మరియు దిగువ పరిమితుల కోసం లెక్కించబడుతుంది.
సూచనలు
ఏకీకరణ అనేది భేదానికి వ్యతిరేకమైన ఆపరేషన్. అందువల్ల, మీరు బాగా ఇంటిగ్రేట్ చేయడం ఎలాగో నేర్చుకోవాలనుకుంటే, మీరు ముందుగా ఏదైనా ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకోవాలి. మీరు దీన్ని చాలా త్వరగా నేర్చుకోవచ్చు. అన్ని తరువాత, ఒక ప్రత్యేక ఉత్పన్నం ఉంది. దాని సహాయంతో సాధారణ సమగ్రాలను నిర్వహించడం ఇప్పటికే సాధ్యమే. ప్రాథమిక నిరవధిక సమగ్రాల పట్టిక కూడా ఉంది. ఇది చిత్రంలో చూపబడింది.
రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, మీరు వాటిని ఒక్కొక్కటిగా వేరు చేసి ఫలితాలను జోడించాలి: (u+v)" = u"+v";
రెండు ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనేటప్పుడు, మొదటి ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని రెండవ దానితో గుణించడం అవసరం మరియు రెండవ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని మొదటి ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించడం అవసరం: (u*v)" = u"*v +v"*u;
రెండు ఫంక్షన్ల యొక్క గుణకం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తి నుండి డివిడెండ్ ఫంక్షన్ ద్వారా గుణించబడిన డివిడెండ్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తిని డివిడెండ్ యొక్క ఫంక్షన్ ద్వారా గుణిస్తే, మరియు విభజించడం అవసరం. డివైజర్ ఫంక్షన్ స్క్వేర్డ్ ద్వారా ఇవన్నీ. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ ఇవ్వబడితే, అంతర్గత ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం మరియు బాహ్యమైన దాని ఉత్పన్నాన్ని గుణించడం అవసరం. y=u(v(x)), ఆపై y"(x)=y"(u)*v"(x) అని చెప్పండి.
పైన పొందిన ఫలితాలను ఉపయోగించి, మీరు దాదాపు ఏదైనా ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయవచ్చు. కాబట్టి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడంలో సమస్యలు కూడా ఉన్నాయి. ఫంక్షన్ y=e^(x^2+6x+5) ఇవ్వబడనివ్వండి, మీరు x=1 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనాలి.
1) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) ఇచ్చిన పాయింట్ y"(1)=8*e^0=8 వద్ద ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి
ఫంక్షన్ F(x ) అని పిలిచారు యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ కోసం f(x) ఇచ్చిన విరామంలో, అందరికీ అయితే x ఈ విరామం నుండి సమానత్వం ఉంటుంది
F"(x ) = f(x ) .
ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ F(x) = x 2 f(x ) = 2X , ఎందుకంటే
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క ప్రధాన ఆస్తి
ఉంటే F(x) - ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f(x) ఇచ్చిన విరామంలో, ఆపై ఫంక్షన్ f(x) అనంతమైన అనేక యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంది మరియు ఈ యాంటీడెరివేటివ్‌లన్నింటినీ రూపంలో వ్రాయవచ్చు F(x) + C, ఎక్కడ తో ఒక ఏకపక్ష స్థిరాంకం.
ఉదాహరణకి. ఫంక్షన్ F(x) = x 2 + 1 ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f(x ) = 2X , ఎందుకంటే F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); ఫంక్షన్ F(x) = x 2 - 1 ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f(x ) = 2X , ఎందుకంటే F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; ఫంక్షన్ F(x) = x 2 - 3 ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f(x) = 2X , ఎందుకంటే F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); ఏదైనా ఫంక్షన్ F(x) = x 2 + తో , ఎక్కడ తో - ఏకపక్ష స్థిరాంకం, మరియు అటువంటి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f(x) = 2X . ◄ |
యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించడానికి నియమాలు
- ఉంటే F(x) - కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x) , ఎ G(x) - కోసం యాంటీడెరివేటివ్ g(x) , ఆ F(x) + G(x) - కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x) + g(x) . వేరే పదాల్లో, మొత్తం యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ యాంటీడెరివేటివ్‌ల మొత్తానికి సమానం .
- ఉంటే F(x) - కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x) , మరియు కె - స్థిరంగా, అప్పుడు కె · F(x) - కోసం యాంటీడెరివేటివ్ కె · f(x) . వేరే పదాల్లో, స్థిరమైన కారకాన్ని ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు .
- ఉంటే F(x) - కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x) , మరియు కె,బి- స్థిరమైన, మరియు k ≠ 0 , ఆ 1 / కె F(కె x+బి ) - కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(కె x+ బి) .
నిరవధిక సమగ్రం
నిరవధిక సమగ్రం ఫంక్షన్ నుండి f(x) వ్యక్తీకరణ అని పిలుస్తారు F(x) + C, అంటే, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితి f(x) . నిరవధిక సమగ్రత క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- వారు పిలుస్తారు సమగ్ర ఫంక్షన్ ;
f(x) dx- వారు పిలుస్తారు సమగ్ర ;
x - వారు పిలుస్తారు ఇంటిగ్రేషన్ వేరియబుల్ ;
F(x) - ఆదిమ విధుల్లో ఒకటి f(x) ;
తో ఒక ఏకపక్ష స్థిరాంకం.
ఉదాహరణకి, ∫ 2 x dx =X 2 + తో , ∫ కాస్x dx =పాపం X + తో మరియు అందువలన న. ◄
"ఇంటిగ్రల్" అనే పదం లాటిన్ పదం నుండి వచ్చింది పూర్ణ సంఖ్య , అంటే "పునరుద్ధరించబడింది". యొక్క నిరవధిక సమగ్రతను పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది 2 x, మేము ఫంక్షన్‌ని రీస్టోర్ చేస్తున్నట్టు అనిపిస్తోంది X 2 , దీని ఉత్పన్నం సమానం 2 x. ఒక ఫంక్షన్‌ని దాని ఉత్పన్నం నుండి పునరుద్ధరించడం, లేదా, అదే ఏమిటంటే, ఇచ్చిన ఇంటిగ్రండ్‌పై నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనడం అంటారు. అనుసంధానం ఈ ఫంక్షన్. ఏకీకరణ అనేది భేదం యొక్క విలోమ ఆపరేషన్. ఏకీకరణ సరిగ్గా నిర్వహించబడిందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి, ఫలితాన్ని వేరు చేసి, సమగ్రతను పొందడం సరిపోతుంది.
నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు
- నిరవధిక సమగ్రం యొక్క ఉత్పన్నం సమగ్రతకు సమానం:
- సమగ్ర చిహ్నం యొక్క స్థిరమైన కారకాన్ని సమగ్ర చిహ్నం నుండి తీసుకోవచ్చు:
- ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) యొక్క సమగ్రత ఈ ఫంక్షన్ల సమగ్రాల మొత్తానికి (తేడా) సమానంగా ఉంటుంది:
- ఉంటే కె,బి- స్థిరమైన, మరియు k ≠ 0 , ఆ
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ కె · f(x) dx = కె · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f ( కె x+ బి) dx = 1 / కె F(కె x+బి ) + సి .
యాంటీడెరివేటివ్‌లు మరియు నిరవధిక సమగ్రాల పట్టిక
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| I. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| వి. | $$\పాపం x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \కుడి ) \end(vmatrix)+C $$ |
| ఈ పట్టికలో ఇవ్వబడిన యాంటీడెరివేటివ్ మరియు నిరవధిక సమగ్రాలను సాధారణంగా అంటారు పట్టిక యాంటీడెరివేటివ్స్
మరియు పట్టిక సమగ్రతలు
. |
|||
ఖచ్చితమైన సమగ్ర
మధ్యన ఉండనివ్వండి [a; బి] నిరంతర ఫంక్షన్ ఇవ్వబడుతుంది y = f(x) , అప్పుడు a నుండి b వరకు ఖచ్చితమైన సమగ్రం విధులు f(x) యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ అంటారు F(x) ఈ ఫంక్షన్, అంటే
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
సంఖ్యలు aమరియు బితదనుగుణంగా పిలుస్తారు తక్కువ మరియు టాప్ ఏకీకరణ పరిమితులు.
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను లెక్కించడానికి ప్రాథమిక నియమాలు
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) ఎక్కడ కె - స్థిరమైన;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\ int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), ఎక్కడ f(x) - కూడా ఫంక్షన్;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), ఎక్కడ f(x) ఒక బేసి ఫంక్షన్.
వ్యాఖ్య . అన్ని సందర్భాల్లో, సమగ్రతలు సంఖ్యా విరామాలపై సమగ్రంగా ఉన్నాయని భావించబడుతుంది, వీటి సరిహద్దులు ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు.
ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క రేఖాగణిత మరియు భౌతిక అర్థం
| రేఖాగణిత అర్థం ఖచ్చితమైన సమగ్ర | భౌతిక అర్థం
ఖచ్చితమైన సమగ్ర |
 |  |
చతురస్రం ఎస్కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ (విరామంపై నిరంతర సానుకూల గ్రాఫ్ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన సంఖ్య [a; బి] విధులు f(x) , అక్షం ఎద్దు మరియు నేరుగా x=a , x=b ) సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | మార్గం లు, మెటీరియల్ పాయింట్ అధిగమించింది, చట్టం ప్రకారం మారుతున్న వేగంతో రెక్టిలినియర్‌గా కదులుతుంది v(t)
, కొంత కాలానికి a ;
బి] , అప్పుడు ఫిగర్ వైశాల్యం ఈ ఫంక్షన్‌లు మరియు సరళ రేఖల గ్రాఫ్‌ల ద్వారా పరిమితం చేయబడింది x = a
, x = బి
, ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | ఉదాహరణకి. పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని గణిద్దాం y = x 2 మరియు y = 2-x . ఈ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను స్కీమాటిక్‌గా వర్ణిద్దాం మరియు ఏ ప్రాంతాన్ని కనుగొనాలో వేరే రంగులో హైలైట్ చేద్దాం. ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను కనుగొనడానికి, మేము సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\ఎడమ (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \కుడి )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్
 | ఒక అక్షం చుట్టూ తిరిగే ఫలితంగా శరీరం పొందినట్లయితే ఎద్దు కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ విరామంపై నిరంతర మరియు ప్రతికూల గ్రాఫ్‌తో సరిహద్దులుగా ఉంటుంది [a; బి] విధులు y = f(x) మరియు నేరుగా x = aమరియు x = బి , అప్పుడు అంటారు భ్రమణ శరీరం . విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల ద్వారా పైన మరియు క్రింద సరిహద్దులుగా ఉన్న వ్యక్తి యొక్క భ్రమణ ఫలితంగా విప్లవం యొక్క శరీరం పొందబడితే y = f(x) మరియు y = g(x) , తదనుగుణంగా, అప్పుడు $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | ఉదాహరణకి. వ్యాసార్థంతో కోన్ వాల్యూమ్‌ను గణిద్దాం ఆర్
మరియు ఎత్తు h
. కోన్‌ను దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఉంచుదాం, తద్వారా దాని అక్షం అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది ఎద్దు
, మరియు బేస్ యొక్క కేంద్రం మూలం వద్ద ఉంది. జనరేటర్ భ్రమణం ABఒక కోన్ నిర్వచిస్తుంది. సమీకరణం నుండి AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| మరియు మేము కలిగి ఉన్న కోన్ యొక్క వాల్యూమ్ కోసం $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2గం\ఎడమ (0-\frac(1)(3) \కుడివైపు)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|