గ్రాఫ్ థియరీ ఏమి అధ్యయనం చేస్తుంది? గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క శాస్త్రీయ సమస్యలు మరియు వాటి పరిష్కారాలు

అనధికారికంగా, గ్రాఫ్‌ను బాణాలతో లేదా లేకుండా ఈ పాయింట్‌లను అనుసంధానించే పాయింట్లు మరియు పంక్తుల సమితిగా భావించవచ్చు.

గణితశాస్త్ర విభాగంగా గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క మొదటి పని యూలర్స్ పేపర్ (1736)గా పరిగణించబడుతుంది, ఇది కోనింగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల సమస్యను పరిగణించింది. ఏడు నగర వంతెనలను దాటవేయడం మరియు ప్రతి వంతెనను సరిగ్గా ఒకసారి దాటడం ద్వారా ప్రారంభ స్థానానికి తిరిగి రావడం అసాధ్యం అని ఆయిలర్ చూపించాడు. దాదాపు 100 సంవత్సరాల తర్వాత ఎలక్ట్రికల్ నెట్‌వర్క్‌లు, క్రిస్టలోగ్రఫీ, ఆర్గానిక్ కెమిస్ట్రీ మరియు ఇతర శాస్త్రాలలో పరిశోధన అభివృద్ధితో గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం దాని తదుపరి ప్రేరణను పొందింది.

అది కూడా గమనించకుండా, మేము గ్రాఫ్‌లను ఎప్పటికప్పుడు ఎదుర్కొంటాము. ఉదాహరణకు, గ్రాఫ్ అనేది సబ్వే లైన్ల రేఖాచిత్రం. దానిపై ఉన్న చుక్కలు స్టేషన్లను సూచిస్తాయి మరియు లైన్లు రైలు మార్గాలను సూచిస్తాయి. మన పూర్వీకులను పరిశోధించడం ద్వారా మరియు దానిని సుదూర పూర్వీకుల నుండి గుర్తించడం ద్వారా, మేము కుటుంబ వృక్షాన్ని నిర్మించాము. మరియు ఈ చెట్టు ఒక గ్రాఫ్.

వస్తువుల మధ్య సంబంధాలను వివరించడానికి గ్రాఫ్‌లు అనుకూలమైన సాధనంగా ఉపయోగపడతాయి. పరిమిత బైనరీ సంబంధాలను దృశ్యమానంగా సూచించడానికి మేము ఇంతకు ముందు గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించాము.

కానీ గ్రాఫ్ ఒక ఉదాహరణగా మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, జనసాంద్రత ఉన్న ప్రాంతాల మధ్య రోడ్ల నెట్‌వర్క్‌ను చిత్రించే గ్రాఫ్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా, మీరు పాయింట్ A నుండి పాయింట్ B వరకు మార్గాన్ని నిర్ణయించవచ్చు. అలాంటి అనేక మార్గాలు ఉంటే, మీరు ఒక నిర్దిష్ట కోణంలో సరైనదాన్ని ఎంచుకోవాలనుకుంటున్నారు, ఉదాహరణకు చిన్నది లేదా సురక్షితమైనది. ఎంపిక సమస్యను పరిష్కరించడానికి, గ్రాఫ్‌లపై కొన్ని గణనలను నిర్వహించడం అవసరం. అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, బీజగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది మరియు గ్రాఫ్ యొక్క చాలా భావనను అధికారికీకరించడం అవసరం.

గ్రాఫ్ థియరీ పద్ధతులు వివిక్త గణితంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి. వివిధ వివిక్త కన్వర్టర్లను విశ్లేషించేటప్పుడు మరియు సంశ్లేషణ చేసేటప్పుడు అవి లేకుండా చేయడం అసాధ్యం: కంప్యూటర్ల ఫంక్షనల్ బ్లాక్స్, సాఫ్ట్‌వేర్ ప్యాకేజీలు మొదలైనవి.

ప్రస్తుతం, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం చాలా విషయాలను కవర్ చేస్తుంది మరియు చురుకుగా అభివృద్ధి చెందుతోంది. దీన్ని ప్రదర్శించేటప్పుడు, మేము ఫలితాలలో కొంత భాగాన్ని మాత్రమే పరిమితం చేస్తాము మరియు అధికారిక భాషల సిద్ధాంతంలో ఉపయోగించే కొన్ని విస్తృత గ్రాఫ్ విశ్లేషణ అల్గారిథమ్‌ల వివరణ మరియు సమర్థనపై ప్రధాన ప్రాధాన్యతనిస్తాము.

• ప్రాథమిక నిర్వచనాలు

  ఉదాహరణలలో ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, గ్రాఫ్‌లు నిర్దిష్ట వస్తువుల మధ్య కనెక్షన్‌లను “విజువలైజ్” చేసే మార్గం. ఈ కనెక్షన్‌లను “డైరెక్ట్” చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు, కుటుంబ వృక్షంలో లేదా “అన్‌డైరెక్ట్” (రెండు-మార్గాల నెట్‌వర్క్) రోడ్లు). దీనికి అనుగుణంగా, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతంలో రెండు ప్రధాన రకాల గ్రాఫ్‌లు ఉన్నాయి: దర్శకత్వం (లేదా దర్శకత్వం) మరియు నిర్దేశించనివి.

• ప్రదర్శన పద్ధతులు

  ఇప్పటివరకు, మేము దర్శకత్వం వహించిన మరియు నిర్దేశించని గ్రాఫ్‌లను డ్రాయింగ్‌లను ఉపయోగించి వాటిని వర్ణించాము. మీరు నిర్వచనాన్ని అనుసరించి, గ్రాఫ్‌ను జత సెట్‌లుగా నిర్వచించవచ్చు, కానీ ఈ పద్ధతి చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది మరియు సైద్ధాంతిక ఆసక్తిని కలిగి ఉంటుంది. గ్రాఫ్‌ల లక్షణాలను విశ్లేషించడానికి అల్గారిథమిక్ విధానాల అభివృద్ధికి కంప్యూటర్‌ను ఉపయోగించడంతో సహా ఆచరణాత్మక గణనలకు మరింత అనుకూలంగా ఉండే గ్రాఫ్‌లను వివరించే ఇతర మార్గాలు అవసరం. గ్రాఫ్‌లను సూచించడానికి మూడు అత్యంత సాధారణ మార్గాలను చూద్దాం.

• చెట్లు

  నిర్వచనం 5.5. నిర్దేశించబడని చెట్టు అనేది అనుసంధానించబడిన మరియు అసైక్లిక్ మళ్ళించబడని గ్రాఫ్. నిర్వచనం 5.6. డైరెక్ట్ ట్రీ అనేది నాన్-కాంటౌర్ డైరెక్ట్ గ్రాఫ్, దీనిలో ఏదైనా శీర్షం యొక్క సగం డిగ్రీ 1 కంటే ఎక్కువ కాదు మరియు నిర్దేశిత చెట్టు యొక్క మూలం అని పిలువబడే ఖచ్చితంగా ఒక శీర్షం ఉంటుంది, దీని సగం డిగ్రీ 0.

• తక్కువ బరువున్న చెట్టు

  కింది సమస్యను గ్రాఫ్ థియరీలో స్టెయినర్ సమస్యగా పిలుస్తారు: n పాయింట్లు ఒక విమానంలో ఇవ్వబడ్డాయి; సెగ్మెంట్ల మొత్తం పొడవు తక్కువగా ఉండే విధంగా మీరు వాటిని స్ట్రెయిట్ సెగ్మెంట్లతో కనెక్ట్ చేయాలి.

• గ్రాఫ్ శీర్షాలను క్రమపద్ధతిలో ప్రయాణించే పద్ధతులు

  గ్రాఫ్ థియరీలో ముఖ్యమైన సమస్యలు నిర్దేశించబడని మరియు నిర్దేశించబడిన గ్రాఫ్‌ల యొక్క ప్రపంచ విశ్లేషణ యొక్క సమస్యలు. ఈ పనులు, ఉదాహరణకు, చక్రాలు లేదా ఆకృతులను కనుగొనడం, శీర్షాల జతల మధ్య మార్గాల పొడవులను లెక్కించడం, నిర్దిష్ట లక్షణాలతో మార్గాలను జాబితా చేయడం మొదలైనవి. గ్లోబల్ గ్రాఫ్ విశ్లేషణ స్థానిక విశ్లేషణ నుండి వేరు చేయబడాలి, దీనికి ఉదాహరణగా నిర్దేశించబడిన గ్రాఫ్ యొక్క స్థిర శీర్షం యొక్క పూర్వీకులు మరియు వారసుల సెట్‌లను నిర్ణయించడంలో సమస్య ఉంది.

• బరువున్న నిర్దేశిత గ్రాఫ్‌లలో మార్గ సమస్య

• గ్రాఫ్ ఐసోమోర్ఫిజం

  దర్శకత్వం వహించిన గ్రాఫ్ (V, E), ఆర్క్‌ల సెట్ E శీర్షాల సెట్‌పై నిర్వచించబడిన బైనరీ డైరెక్ట్ రీచబిలిటీ రిలేషన్ యొక్క గ్రాఫ్‌గా పరిగణించబడుతుంది. నిర్దేశించని గ్రాఫ్‌లో (V, E), అంచుల సెట్ E అనేది క్రమం లేని జతల సమితి. క్రమం లేని ప్రతి జత (u, v) ∈ E శీర్షాలు u మరియు v ఒక సిమెట్రిక్ బైనరీ రిలేషన్ p ద్వారా అనుసంధానించబడిందని మనం భావించవచ్చు, అనగా. (u, v) ∈ р మరియు (v, u) ∈ р.

• టోపోలాజికల్ సార్టింగ్

  నిర్వచనం 5.17. నిర్దేశిత నెట్‌వర్క్ (లేదా కేవలం నెట్‌వర్క్) అనేది ఆకృతి లేని నిర్దేశిత గ్రాఫ్*. నెట్‌వర్క్ కాంటౌర్‌లెస్ గ్రాఫ్ కాబట్టి, నెట్‌వర్క్ యొక్క శీర్షాలు (నోడ్‌లు) సున్నా అవుట్-డిగ్రీతో ఉన్నాయని, అలాగే సున్నా ఇన్-డిగ్రీతో శీర్షాలు (నోడ్‌లు) ఉన్నాయని చూపవచ్చు. మునుపటి వాటిని సింక్‌లు లేదా నెట్‌వర్క్ అవుట్‌పుట్‌లు అని పిలుస్తారు మరియు తరువాతి వాటిని నెట్‌వర్క్ యొక్క మూలాలు లేదా ఇన్‌పుట్‌లు అంటారు.

• సైక్లోమాటిక్స్ యొక్క మూలకాలు

  డైరెక్ట్ చేయని గ్రాఫ్‌లో డెప్త్-ఫస్ట్ సెర్చ్ అల్గోరిథం గురించి చర్చిస్తున్నప్పుడు, గ్రాఫ్ యొక్క ఫండమెంటల్ సైకిల్స్ అని పిలవబడే వాటి కోసం శోధించే ప్రశ్న పరిగణించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ఒక ప్రాథమిక చక్రం ఖచ్చితంగా ఒక రివర్స్ అంచుని కలిగి ఉన్న చక్రంగా అర్థం చేసుకోబడింది మరియు ప్రాథమిక చక్రాలు మరియు రివర్స్ అంచుల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఏర్పడింది; నిర్దేశించబడని గ్రాఫ్ యొక్క అన్ని అంచుల యొక్క ఏకపక్ష విభజన జరిగినప్పుడు ప్రాథమిక చక్రాలు తలెత్తుతాయి. చెట్లు (అసలు గ్రాఫ్ యొక్క కొన్ని గరిష్ట అంచు అటవీని ఏర్పరుస్తుంది) మరియు విలోమం, మరియు సాధారణ సందర్భంలో ఈ విభజన లోతు-మొదటి శోధన అల్గోరిథం నుండి పూర్తిగా స్వతంత్రంగా పేర్కొనబడుతుంది. అటువంటి విభజనను అమలు చేయడానికి డెప్త్-ఫస్ట్ శోధన కేవలం ఒక మార్గం.

గ్రాఫ్ థియరీ అనేది కంప్యూటర్ సైన్స్ మరియు ప్రోగ్రామింగ్, ఎకనామిక్స్, లాజిస్టిక్స్ మరియు కెమిస్ట్రీలో ఉపయోగించే గణిత శాస్త్ర విభాగం.

గ్రాఫ్ అంటే ఏమిటి

వ్యవస్థల నిర్మాణాన్ని వివరించడానికి గ్రాఫిక్ రేఖాచిత్రాలు తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి. వాటిలోని మూలకాలు సర్కిల్‌లు, చుక్కలు, చతురస్రాలు మొదలైన వాటి ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు మూలకాల మధ్య కనెక్షన్‌లు పంక్తులు లేదా బాణాల ద్వారా సూచించబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, మూలకాలు ఎలా వర్ణించబడ్డాయి లేదా పంక్తుల పొడవు లేదా ఆకారం ముఖ్యమైనవి కావు - ఏ మూలకాలు కనెక్ట్ చేయబడతాయో మాత్రమే ముఖ్యమైనది. కాబట్టి, గ్రాఫ్ అనేది ఫారమ్ (A, M) యొక్క జత, ఇక్కడ A అనేది పరిమిత శీర్షాల సమితి, మరియు M అనేది అంచుల సమితి - కొన్ని శీర్షాలను కలిపే పంక్తులు.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు

ఓరియెంటెడ్ గ్రాఫ్ లేదా డిగ్రాఫ్ (క్రింద ఉన్న బొమ్మను చూడండి) ఆర్క్‌లు అని పిలువబడే ఓరియంటెడ్ అంచులను కలిగి ఉంటుంది మరియు బాణాలతో వర్ణించబడుతుంది. ఒక ఆర్క్‌ను అది అనుసంధానించే ఆర్డర్ చేసిన జత శీర్షాల ద్వారా సూచించవచ్చు, ఒక ప్రారంభం మరియు ముగింపు.

మళ్లించబడని గ్రాఫ్ (క్రింద ఉన్న బొమ్మను చూడండి) ఓరియంటేషన్ లేకుండా పంక్తులుగా గీసిన అంచులను కలిగి ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, అంచుతో అనుసంధానించబడిన శీర్షాల జత క్రమం చేయబడదు. ఈ రెండు శీర్షాలు అంచు చివరలు.

a మరియు b శీర్షాలు గ్రాఫ్ యొక్క అంచు (లేదా ఆర్క్ యొక్క ప్రారంభం మరియు ముగింపు) చివరలు అయితే, a మరియు b శీర్షాలు ఈ అంచుకు (ఆర్క్) సంఘటనగా చెప్పబడతాయి మరియు అంచు (ఆర్క్) కూడా సంఘటన a మరియు b శీర్షాలకు. a మరియు b శీర్షాలు ఒక అంచు యొక్క చివరలు అయితే, వాటిని (a మరియు b) ప్రక్కనే అంటారు.

చాలా తరచుగా, మేము గ్రాఫ్‌లను పరిగణిస్తాము, దీని అంచులు ఒక రకానికి చెందినవి - అవి దర్శకత్వం వహించినా లేదా చేయకపోయినా.

అంచులు ఒకే ప్రారంభ మరియు ముగింపు కలిగి ఉంటే, వాటిని బహుళ అంచులు అంటారు మరియు అవి ఉన్న గ్రాఫ్‌ను మల్టీగ్రాఫ్ అంటారు.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం "లూప్" అనే భావనను కూడా ఉపయోగిస్తుంది - ఒక అంచు బయటకు వెళ్లి అదే శీర్షంలోకి వెళుతుంది. లూప్‌లు ఉన్న గ్రాఫ్‌ను సూడోగ్రాఫ్ అంటారు.

అత్యంత సాధారణమైనవి మళ్లింపు లేని గ్రాఫ్‌లు, వీటిలో బహుళ అంచులు మరియు లూప్‌లు లేవు. ఇటువంటి గ్రాఫ్‌లను సాధారణం అంటారు. వాటికి బహుళ అంచులు లేవు, కాబట్టి మనం ఒక అంచుని మరియు సంబంధిత శీర్షాలను గుర్తించగలము.

డిగ్రాఫ్ యొక్క ప్రతి శీర్షం దీని ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది:

• సగం డిగ్రీ ఫలితం. ఇది దాని నుండి వచ్చే ఆర్క్‌ల సంఖ్య.
• విధానం యొక్క సగం డిగ్రీ. ఇచ్చిన శీర్షంలోకి ప్రవేశించే ఆర్క్‌ల సంఖ్య ఇది.

డిగ్రాఫ్ యొక్క ప్రవేశం యొక్క సగం-డిగ్రీల మొత్తం, అలాగే ఫలితం యొక్క సగం-డిగ్రీల మొత్తం, గ్రాఫ్ యొక్క మొత్తం ఆర్క్‌ల సంఖ్యకు సమానం.

నిర్దేశించని గ్రాఫ్‌లో, ప్రతి శీర్షం శీర్షం యొక్క డిగ్రీ ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. ఇది ఒక శీర్షానికి సంభవించే అంచుల సంఖ్య. గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాల డిగ్రీల మొత్తం మొత్తం రెండు అంచుల సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది: ప్రతి అంచు రెండింటికి సమానమైన సహకారాన్ని అందిస్తుంది.

డిగ్రీ 0 ఉన్న శీర్షాన్ని ఐసోలేటెడ్ అంటారు.

ఉరి శీర్షం అనేది డిగ్రీ 1తో కూడిన శీర్షం.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం అంచులు లేని ఖాళీ గ్రాఫ్‌ని పిలుస్తుంది. పూర్తి గ్రాఫ్ అనేది ఏదైనా 2 శీర్షాలు ప్రక్కనే ఉండే సాధారణ గ్రాఫ్.

వెయిటెడ్ గ్రాఫ్‌లు అంటే శీర్షాలు లేదా అంచులు (ఆర్క్‌లు), లేదా రెండు శీర్షాలు మరియు అంచులు (ఆర్క్‌లు) ఒకేసారి నిర్దిష్ట సంఖ్యలను కేటాయించే గ్రాఫ్‌లు. వాటిని స్కేల్స్ అంటారు. రెండవ బొమ్మ అంచులు వెయిటేడ్‌గా ఉండే డైరెక్ట్ చేయని గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది.

గ్రాఫ్‌లు: ఐసోమోర్ఫిజం

ఐసోమోర్ఫిజం భావన గణితంలో ఉపయోగించబడుతుంది. ప్రత్యేకించి, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం దీనిని ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచిస్తుంది: ఈ గ్రాఫ్‌లలో వాటి శీర్షాల సెట్‌ల మధ్య బైజెక్షన్ ఉంటే రెండు గ్రాఫ్‌లు U మరియు V ఐసోమార్ఫిక్‌గా ఉంటాయి: గ్రాఫ్ Uలోని ప్రతి 2 శీర్షాలు ఒక అంచుతో అనుసంధానించబడి ఉంటే మరియు గ్రాఫ్ V అదే వాటిని అంచు శీర్షాల ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉంటాయి (వీటికి వేర్వేరు పేర్లు ఉండవచ్చు). దిగువన ఉన్న బొమ్మ రెండు ఐసోమోర్ఫిక్ గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది, దీనిలో మొదటి మరియు రెండవ గ్రాఫ్‌లలో ఒకే రంగులలో రంగులు వేసిన శీర్షాల మధ్య పైన వివరించిన బైజెక్షన్ ఉంది.

మార్గాలు మరియు చక్రాలు

మళ్లించబడని లేదా నిర్దేశించబడిన గ్రాఫ్‌లోని పాత్ అనేది అంచుల క్రమం, ఇక్కడ ప్రతి తదుపరిది మునుపటిది ముగిసే శీర్షం వద్ద ప్రారంభమవుతుంది. ఒక సాధారణ మార్గం అంటే అన్ని శీర్షాలు, బహుశా ప్రారంభం మరియు ముగింపు మరియు అంచులు భిన్నంగా ఉంటాయి. డిగ్రాఫ్‌లోని చక్రం అనేది ఒక మార్గం, దీని ప్రారంభ మరియు ముగింపు శీర్షాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఇది కనీసం ఒక అంచుని కలిగి ఉంటుంది. నిర్దేశించని గ్రాఫ్‌లోని చక్రం అనేది కనీసం మూడు విభిన్న అంచులను కలిగి ఉండే మార్గం. రెండవ చిత్రంలో, చక్రం, ఉదాహరణకు, మార్గం (3, 1), (6, 3), (1, 6).

ప్రోగ్రామింగ్‌లోని గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం అల్గారిథమ్‌ల గ్రాఫ్ రేఖాచిత్రాలను రూపొందించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

K. బెర్జ్ రాసిన పుస్తకం రష్యన్ భాషలో గ్రాఫ్ సిద్ధాంతంపై మొదటిది. ఇంతలో, ఇటీవలి సంవత్సరాలలో, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరియు అనేక రకాల విభాగాల ప్రతినిధుల నుండి సిద్ధాంతంపై ఆసక్తి బాగా పెరిగింది. గ్రాఫ్ థియరీ పద్ధతులు ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్ల సిద్ధాంతం, రవాణా గొలుసుల సిద్ధాంతం, సమాచార సిద్ధాంతం, సైబర్నెటిక్స్ మొదలైన వాటిలో అనేక సమస్యలను విజయవంతంగా పరిష్కరిస్తాయనే వాస్తవం ద్వారా ఇది వివరించబడింది.
బెర్జ్ పుస్తకంలో, గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం చాలా ప్రాథమిక అంశాల నుండి ప్రారంభించి వరుసగా ప్రదర్శించబడింది. పాఠకుడికి కొంత గణిత సంస్కృతి ఉన్నప్పటికీ చాలా నిరాడంబరమైన గణిత జ్ఞానం ఉందని భావించబడుతుంది. వచనంలో అనేక, తరచుగా ఫన్నీ, ఉదాహరణలు ఉన్నాయి. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రారంభ అధ్యయనం కోసం పుస్తకాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. వృత్తిపరమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కూడా ఇందులో చాలా ఆసక్తికరమైన విషయాలను కనుగొంటారు.

యులేరియన్ చక్రాన్ని నేరుగా గుర్తించడానికి ఒక అల్గారిథమ్.
[ఫ్లూరీ]. కనెక్ట్ చేయబడిన మల్టీగ్రాఫ్ Gని పరిశీలిద్దాం, దీని శీర్షాలన్నీ సరి స్థాయిని కలిగి ఉంటాయి మరియు నిర్మాణ ప్రక్రియలో పథం యొక్క ఇప్పటికే గీసిన భాగంలో దిద్దుబాట్లను ఆశ్రయించకుండా, మేము దానిని ఒకే స్ట్రోక్‌తో గీయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. కింది నియమానికి కట్టుబడి ఉంటే సరిపోతుంది:
1 మేము ఏకపక్ష శీర్షం నుండి నిష్క్రమిస్తాము a; మేము ప్రతి పాస్ అంచుని దాటుతాము.
2 మేము అలాంటి అంచు వెంట ఎప్పుడూ వెళ్లలేము మరియు ప్రస్తుతం పరిశీలనలో ఉన్న ఒక ఇస్త్మస్ (అంటే, క్రాస్ చేయని అంచుల ద్వారా ఏర్పడిన గ్రాఫ్ కనీసం ఒక అంచుని కలిగి ఉండే రెండు అనుసంధాన భాగాలుగా విడిపోతుంది),

ఈ నియమాన్ని అనుసరించడం ద్వారా, మేము ఎల్లప్పుడూ అనుకూలమైన స్థితిలో ఉంటాము, ఎందుకంటే మనం x = a వద్ద ఉన్నప్పుడు, గ్రాఫ్ (అన్‌క్రాస్డ్ అంచుల) బేసి డిగ్రీ యొక్క రెండు శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది: x మరియు a; వివిక్త శీర్షాలు విస్మరించబడితే, అప్పుడు కనెక్ట్ చేయబడిన గ్రాఫ్ మిగిలి ఉంటుంది, ఇది సిద్ధాంతం 1 ద్వారా, x నుండి ప్రారంభమయ్యే ఆయిలర్ గొలుసును కలిగి ఉంటుంది.

విషయము
పరిచయం
అధ్యాయం 1. ప్రాథమిక నిర్వచనాలు
సెట్‌లు మరియు మల్టీవాల్యూడ్ మ్యాపింగ్‌లు
గ్రాఫ్. మార్గాలు మరియు ఆకృతులు
సర్క్యూట్లు మరియు చక్రాలు
చాప్టర్ 2. పాక్షిక-క్రమబద్ధత యొక్క ప్రాథమిక అధ్యయనం
పాక్షిక-క్రమం గ్రాఫ్ ద్వారా నిర్వచించబడింది
ప్రేరక గ్రాఫ్ మరియు స్థావరాలు
చాప్టర్ 3. ఆర్డినల్ ఫంక్షన్ మరియు ఫంక్షన్
అనంతమైన గ్రాఫ్ కోసం గ్రుండీ
అనంతమైన గ్రాఫ్‌లకు సంబంధించి సాధారణ పరిగణనలు
ఆర్డినల్ ఫంక్షన్
గ్రుండీ విధులు
గ్రాఫ్‌లపై కార్యకలాపాలు
అధ్యాయం 4. గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక సంఖ్యలు
సైక్లోమాటిక్ సంఖ్య
క్రోమాటిక్ సంఖ్య
అంతర్గత స్థిరత్వం సంఖ్య
బాహ్య స్థిరత్వం సంఖ్య
అధ్యాయం 5. గ్రాఫ్ కెర్నలు
ఉనికి మరియు ప్రత్యేకత సిద్ధాంతాలు
Grundy ఫంక్షన్లకు అప్లికేషన్
చాప్టర్ 6. గ్రాఫ్ గేమ్‌లు
గేమ్ నిమ్
ఆట యొక్క సాధారణ నిర్వచనం (పూర్తి సమాచారంతో)
వ్యూహాలు
అధ్యాయం 7. చిన్నదైన మార్గం సమస్య
దశల వారీగా ప్రక్రియలు కొన్ని సాధారణీకరణలు
చాప్టర్ 8. రవాణా నెట్వర్క్లు
గరిష్ట ప్రవాహ సమస్య తక్కువ ప్రవాహ సమస్య
సెట్-విలువ అనుకూల ప్రవాహ సమస్య
అంతులేని రవాణా నెట్‌వర్క్‌లు
అధ్యాయం 9. సగం శక్తులపై సిద్ధాంతం
అవుట్‌గోయింగ్ మరియు ఎంటరింగ్ సెమీ డిగ్రీ
అధ్యాయం 10. సాధారణ గ్రాఫ్‌తో సరిపోలడం
గరిష్ట సరిపోలిక సమస్య
సాధారణ గ్రాఫ్ లోపం
హంగేరియన్ అల్గోరిథం
అనంతమైన కేసుకు సాధారణీకరణ
మాతృక సిద్ధాంతానికి అప్లికేషన్
అధ్యాయం 11. కారకాలు
హామిల్టోనియన్ మార్గాలు మరియు హామిల్టోనియన్ ఆకృతులు
ఒక కారకాన్ని కనుగొనడం
ఇచ్చిన సగం-డిగ్రీలతో పాక్షిక గ్రాఫ్‌ను కనుగొనడం
అధ్యాయం 12. గ్రాఫ్ కేంద్రాలు
కేంద్రాలు
వ్యాసార్థం
చాప్టర్ 13. గట్టిగా కనెక్ట్ చేయబడిన గ్రాఫ్ యొక్క వ్యాసం
లూప్‌లు లేకుండా గట్టిగా కనెక్ట్ చేయబడిన గ్రాఫ్‌ల సాధారణ లక్షణాలు
వ్యాసం
చాప్టర్ 14. గ్రాఫ్ అడ్జసెన్సీ మ్యాట్రిక్స్
సంప్రదాయ మాతృక ఆపరేషన్ల అప్లికేషన్
లెక్కింపు సమస్యలు
నాయకుడి సమస్య
బూలియన్ కార్యకలాపాలను ఉపయోగించడం
అధ్యాయం 15. సంఘటన మాత్రికలు
పూర్తిగా ఏకరీతి మాత్రికలు
పూర్తిగా ఏకరీతి వ్యవస్థలు
సైక్లోమాటిక్ మాత్రికలు
అధ్యాయం 16. చెట్లు మరియు పూర్వీకుల చెట్లు
చెట్లు
విశ్లేషణాత్మక పరిశోధన
గ్రాండ్ ట్రీస్
అధ్యాయం 17. ఆయిలర్ సమస్య
ఆయిలర్ సైకిల్స్ ఆయిలర్ ఆకృతులు
అధ్యాయం 18. ఏకపక్ష గ్రాఫ్‌ను సరిపోల్చడం
ఆల్టర్నేటింగ్ సర్క్యూట్ థియరీ
ఇచ్చిన శీర్ష డిగ్రీలతో పాక్షిక గ్రాఫ్‌ను కనుగొనడం
పర్ఫెక్ట్ మ్యాచింగ్
అంతర్గత స్థిరత్వ సంఖ్యకు దరఖాస్తు
అధ్యాయం 19. ఫాక్టోరాయిడ్స్
హామిల్టోనియన్ సైకిల్స్ మరియు ఫ్యాక్టరాయిడ్స్
ఫ్యాక్టరాయిడ్ ఉనికికి అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి
చాప్టర్ 20. గ్రాఫ్ కనెక్టివిటీ
ఉచ్చారణ పాయింట్లు
ఉచ్చారణలు లేని గ్రాఫ్‌లు
h- కనెక్ట్ చేయబడిన గ్రాఫ్‌లు
అధ్యాయం 21. ప్లానర్ గ్రాఫ్‌లు
ప్రాథమిక లక్షణాలు
సాధారణీకరణ
చేర్పులు
I. సాధారణ సిద్ధాంతం, ఆటలు
II. రవాణా పనుల గురించి
III. రవాణా నెట్‌వర్క్‌లలో సంభావ్య భావనల వినియోగంపై
IV. పరిష్కరించని సమస్యలు మరియు నిరూపించబడని ఊహలు
V. లెక్కింపు యొక్క కొన్ని ప్రాథమిక సూత్రాలపై (J. రిగుయెట్)
VI. రష్యన్ అనువాదానికి చేర్పులు (A.A. జైకోవ్ మరియు G.I. కొజుఖిన్)
సాహిత్యం
గ్రాఫ్ థియరీ మరియు బుక్ ఆఫ్ సి. బెర్జ్ (రష్యన్ అనువాదానికి తరువాతి పదం)
అక్షర సూచిక
పేరు సూచిక
విషయ సూచిక.

ఇ-బుక్‌ని అనుకూలమైన ఆకృతిలో ఉచితంగా డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి, చూడండి మరియు చదవండి:
పుస్తకాన్ని డౌన్‌లోడ్ చేయండి గ్రాఫ్ థియరీ మరియు దాని అప్లికేషన్స్, బెర్జ్ K. - fileskachat.com, వేగంగా మరియు ఉచితంగా డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి.

గ్రాఫ్ థియరీ అనేది వివిక్త గణితశాస్త్రం యొక్క ఒక శాఖ, ఇది వ్యక్తిగత అంశాలు (శీర్షాలు) మరియు వాటి మధ్య కనెక్షన్‌లు (ఆర్క్‌లు, అంచులు)గా సూచించబడే వస్తువులను అధ్యయనం చేస్తుంది.

గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం 1736లో ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రవేత్తచే కోనిగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల సమస్య పరిష్కారం నుండి ఉద్భవించింది. లియోనార్డ్ ఆయిలర్(1707-1783: స్విట్జర్లాండ్‌లో జన్మించారు, రష్యాలో నివసించారు మరియు పనిచేశారు).

కోనిగ్స్‌బర్గ్ వంతెనల గురించిన సమస్య.

ప్రీగల్ నదిపై ప్రష్యన్ పట్టణంలోని కోనిగ్స్‌బర్గ్‌లో ఏడు వంతెనలు ఉన్నాయి. ఒక్కో బ్రిడ్జిని సరిగ్గా ఒకసారి దాటి అదే ప్రదేశంలో ప్రారంభమై ముగిసే నడక మార్గాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమేనా?

అదే శీర్షంలో ప్రారంభమయ్యే మరియు ముగిసే మార్గం ఉన్న గ్రాఫ్‌ను మరియు గ్రాఫ్ యొక్క అన్ని అంచుల వెంట సరిగ్గా ఒకసారి వెళుతుంది.ఆయిలర్ గ్రాఫ్.

శీర్షాల క్రమాన్ని (బహుశా పునరావృతం కావచ్చు) దీని ద్వారా కావలసిన మార్గం వెళుతుంది, అలాగే మార్గాన్ని అంటారుఆయిలర్ చక్రం .

మూడు ఇళ్లు, మూడు బావుల సమస్య.

మూడు ఇళ్ళు మరియు మూడు బావులు ఉన్నాయి, ఏదో ఒక విమానంలో ఉన్నాయి. ప్రతి ఇంటి నుండి ప్రతి బావికి మార్గాన్ని గీయండి, తద్వారా మార్గాలు కలుస్తాయి. ఈ సమస్య 1930లో కురాటోవ్‌స్కీ (1896 - 1979) చేత పరిష్కరించబడింది (దీనికి పరిష్కారం లేదని చూపబడింది).

నాలుగు రంగుల సమస్య. ఒక విమానాన్ని ఖండన లేని ప్రాంతాలుగా విభజించడాన్ని అంటారు కార్డు ద్వారా. మ్యాప్ ప్రాంతాలకు ఉమ్మడి సరిహద్దు ఉంటే వాటిని ప్రక్కనే అంటారు. ఏ రెండు ప్రక్కనే ఉన్న ప్రాంతాలు ఒకే రంగుతో పెయింట్ చేయబడని విధంగా మ్యాప్‌కు రంగు వేయడం పని. 19వ శతాబ్దం చివరి నుండి, దీనికి నాలుగు రంగులు సరిపోతాయని ఒక పరికల్పన తెలిసింది. పరికల్పన ఇంకా నిరూపించబడలేదు.

ప్రచురించబడిన పరిష్కారం యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, నాలుగు-రంగు సిద్ధాంతానికి పెద్ద కానీ పరిమిత సంఖ్యలో (సుమారు 2000) రకాల సంభావ్య ప్రతిరూపాలను ప్రయత్నించడం మరియు ఒక్క కేసు కూడా ప్రతిరూపం కాదని చూపడం. సుమారు వెయ్యి గంటల సూపర్‌కంప్యూటర్ ఆపరేషన్‌లో ప్రోగ్రామ్ ద్వారా ఈ శోధన పూర్తయింది.

ఫలిత పరిష్కారాన్ని “మాన్యువల్‌గా” తనిఖీ చేయడం అసాధ్యం - గణన యొక్క పరిధి మానవ సామర్థ్యాల పరిధికి మించినది. చాలా మంది గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ ప్రశ్నను లేవనెత్తారు: అటువంటి "ప్రోగ్రామ్ ప్రూఫ్" చెల్లుబాటు అయ్యే రుజువుగా పరిగణించబడుతుందా? అన్ని తరువాత, ప్రోగ్రామ్‌లో లోపాలు ఉండవచ్చు ...

అందువల్ల, మేము రచయితల ప్రోగ్రామింగ్ నైపుణ్యాలపై మాత్రమే ఆధారపడగలము మరియు వారు ప్రతిదీ సరిగ్గా చేశారని నమ్ముతాము.

నిర్వచనం 7.1. లెక్కించు జి= జి(వి, ఇ) అనేది రెండు పరిమిత సెట్ల సమాహారం: V – అంటారు అనేక శీర్షాలుమరియు V నుండి మూలకాల జతల E సెట్, అనగా. EÍV´V, అని పిలుస్తారు అనేక అంచులు, జతలు క్రమం చేయకపోతే, లేదా అనేక వంపులు, జతలు ఆదేశించినట్లయితే.

మొదటి సందర్భంలో, గ్రాఫ్ జి(వి, ఇ) అని పిలిచారు దిక్కులేని, రెండవదానిలో - ఓరియెంటెడ్.

ఉదాహరణ. V = (a,b,c) మరియు అంచుల సమితి E =((a, b), (b, c)) శీర్షాల సమితితో గ్రాఫ్

ఉదాహరణ. V = (a,b,c,d,e) మరియు E = ((a, b), (a, e), (b, e), (b, d), (b, c) , తో గ్రాఫ్ (సి, డి)),

e=(v 1 ,v 2), еОЕ అయితే, అప్పుడు వారు అంచు e అని చెప్పారు కలుపుతుందిశీర్షాలు v 1 మరియు v 2.

రెండు శీర్షాలు v 1,v 2 అంటారు ప్రక్కనే, వాటిని కలుపుతూ ఒక అంచు ఉంటే. ఈ పరిస్థితిలో, ప్రతి శీర్షాలను పిలుస్తారు సంఘటన సంబంధిత అంచు .

రెండు వేర్వేరు పక్కటెముకలు ప్రక్కనే, వారికి ఉమ్మడి శీర్షం ఉంటే. ఈ పరిస్థితిలో, ప్రతి అంచులను పిలుస్తారు సంఘటన సంబంధిత శీర్షం .

గ్రాఫ్ శీర్షాల సంఖ్య జిసూచిస్తాం v, మరియు అంచుల సంఖ్య ఇ:

.

గ్రాఫ్‌ల రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యం క్రింది విధంగా ఉంది:

1) గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షం అంతరిక్షంలో ఒక బిందువు (విమానంలో);

2) మళ్లించబడని గ్రాఫ్ యొక్క అంచు - ఒక విభాగం;

3) దర్శకత్వం వహించిన గ్రాఫ్ యొక్క ఆర్క్ - దర్శకత్వం వహించిన విభాగం.

నిర్వచనం 7.2.అంచులో e=(v 1 ,v 2) v 1 =v 2 వస్తే, అంచు e అంటారు లూప్. గ్రాఫ్ లూప్‌లను అనుమతించినట్లయితే, దానిని అంటారు లూప్‌లతో గ్రాఫ్ లేదా సూడోగ్రాఫ్ .

ఒక గ్రాఫ్ రెండు శీర్షాల మధ్య ఒకటి కంటే ఎక్కువ అంచులను అనుమతించినట్లయితే, దానిని అంటారు మల్టీగ్రాఫ్ .

గ్రాఫ్ మరియు/లేదా అంచు యొక్క ప్రతి శీర్షం లేబుల్ చేయబడితే, అటువంటి గ్రాఫ్ అంటారు గుర్తించబడింది (లేదా లోడ్ చేయబడింది ) అక్షరాలు లేదా పూర్ణాంకాలు సాధారణంగా గుర్తులుగా ఉపయోగించబడతాయి.

నిర్వచనం 7.3.గ్రాఫ్ జి (వి , ఇ ) అని పిలిచారు ఉపగ్రాఫ్ (లేదా భాగం ) గ్రాఫ్ జి(వి,ఇ), ఉంటే వి వి, ఇ ఇ. ఉంటే వి = వి, ఆ జి అని పిలిచారు ఉపగ్రాఫ్ విస్తరించి ఉంది జి.

ఉదాహరణ 7 . 1 . నిర్దేశించని గ్రాఫ్ ఇవ్వబడింది.

నిర్వచనం 7.4.గ్రాఫ్ అంటారు పూర్తి , ఉంటే ఏదైనా దాని రెండు శీర్షాలు అంచుతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. పూర్తి గ్రాఫ్ nశీర్షాల ద్వారా సూచించబడుతుంది కె n .

కౌంట్స్ కె 2 , TO 3, TO 4 మరియు కె 5 .

నిర్వచనం 7.5.గ్రాఫ్ జి=జి(వి, ఇ) అంటారు ద్విపద , ఉంటే విఅసమ్మతి సెట్ల యూనియన్‌గా సూచించవచ్చు, చెప్పండి వి=ఎబి, కాబట్టి ప్రతి అంచుకు రూపం ఉంటుంది ( v i , v జె), ఎక్కడ v i ఎమరియు v జె బి.

ప్రతి అంచు A నుండి B నుండి శీర్షానికి ఒక శీర్షాన్ని కలుపుతుంది, కానీ A నుండి రెండు శీర్షాలు లేదా B నుండి రెండు శీర్షాలు కనెక్ట్ చేయబడవు.

ద్విపార్శ్వ గ్రాఫ్ అంటారు పూర్తి డైకోటిలిడన్ లెక్కించండి కె m , n, ఉంటే ఎకలిగి ఉంటుంది mశిఖరాలు, బికలిగి ఉంటుంది nశీర్షాలు మరియు ప్రతిదానికి v i ఎ, v జె బిమాకు ఉంది ( v i , v జె)ఇ.

అందువలన, అందరికీ v i ఎ, మరియు v జె బివాటిని కలుపుతూ ఒక అంచు ఉంది.

K 12 K 23 K 22 K 33

ఉదాహరణ 7 . 2 . పూర్తి ద్విపార్టీ గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి కె 2.4 మరియు పూర్తి గ్రాఫ్ కె 4 .

యూనిట్ గ్రాఫ్n-డైమెన్షనల్ క్యూబ్IN n .

గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలు n-డైమెన్షనల్ బైనరీ సెట్‌లు. అంచులు ఒక కోఆర్డినేట్‌లో విభిన్నమైన శీర్షాలను కలుపుతాయి.

ఉదాహరణ:

గ్రాఫ్‌లు ఒక ఆహ్లాదకరమైన, బహుమానకరమైన మరియు భయానక అంశం. గ్రాఫ్ థియరీ - "విద్యార్థుల భయానక". గ్రాఫ్ అల్గోరిథంలు వాటిని కనుగొన్న వ్యక్తుల అద్భుతమైన మనస్సులు.

గ్రాఫ్ అంటే ఏమిటి? నా పాఠకుల కోసం ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, నేను అంశాన్ని కొద్దిగా భిన్నంగా వివరిస్తాను.
గ్రాఫ్ అనేది వస్తువుల సమితి.
చాలా సమస్యలలో ఇవి ఒకే రకమైన వస్తువులు. (అనేక నగరాలు, లేదా అనేక ఇళ్ళు, లేదా చాలా మంది వ్యక్తులు, లేదా ఒకే రకమైన అనేక ఇతర వస్తువులు)

అటువంటి సెట్‌తో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, మీరు ఈ సెట్‌లోని ప్రతి వస్తువును ఏదో ఒక విధంగా నియమించాలి. ఈ విషయాన్ని గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలు అని పిలవడం సాధారణంగా అంగీకరించబడుతుంది.

చిత్రాలతో గ్రాఫ్‌లు మరియు ప్రాథమిక నిర్వచనాలను వివరించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ పేజీని చదవడానికి చిత్రాలను తప్పనిసరిగా చేర్చాలి.

నేను ఇంతకు ముందు వ్రాసినట్లుగా, గ్రాఫ్ అనేది వస్తువుల సమితి. ఈ వస్తువులు సాధారణంగా ఒకే రకమైనవి. నగరాల్లో ఉదాహరణ ఇవ్వడానికి సులభమైన మార్గం. మనలో ప్రతి ఒక్కరికి నగరం అంటే ఏమిటి మరియు రహదారి అంటే ఏమిటి. నగరానికి రోడ్లు ఉండవచ్చని లేదా ఉండకపోవచ్చని మనలో ప్రతి ఒక్కరికి తెలుసు. సాధారణంగా, ఏదైనా వస్తువుల సమితిని గ్రాఫ్‌గా వర్గీకరించవచ్చు.

మేము నగరాల గురించి గ్రాఫ్ గురించి మాట్లాడినట్లయితే, నగరాల మధ్య రోడ్లు నిర్మించబడవచ్చు లేదా ఎక్కడో నాశనం చేయబడవచ్చు, నిర్మించబడదు, లేదా నగరం సాధారణంగా ఒక ద్వీపంలో ఉంది, వంతెన లేదు, మరియు చదును చేయబడిన రోడ్లు మాత్రమే ఆసక్తిని కలిగిస్తాయి. . అటువంటి నగరానికి రహదారి లేనప్పటికీ, ఈ నగరాన్ని అనేక విశ్లేషించబడిన వస్తువులలో చేర్చవచ్చు మరియు అన్ని వస్తువులు కలిసి వస్తువుల సమాహారం లేదా, మరింత సరళంగా చెప్పాలంటే, గ్రాఫ్.

ఖచ్చితంగా మీరు పాఠ్యపుస్తకాలను చదివి ఈ సంజ్ఞామానం G(V,E) లేదా ఇలాంటిదే చూసారు. కాబట్టి, V అనేది మొత్తం వస్తువుల సెట్ నుండి ఏదో ఒక వస్తువు. మా విషయంలో, వస్తువుల సమితి నగరాలు, కాబట్టి, V ఒక నిర్దిష్ట నగరం. వస్తువులు తప్పనిసరిగా నగరాలు కానందున మరియు ఆబ్జెక్ట్ అనే పదం గందరగోళంగా ఉండవచ్చు కాబట్టి, సెట్ నుండి అటువంటి వస్తువును పాయింట్, పాయింట్ లేదా మరేదైనా అని పిలుస్తారు, కానీ చాలా తరచుగా దీనిని గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షం అని పిలుస్తారు మరియు అక్షరంతో సూచించబడుతుంది. వి.
ప్రోగ్రామింగ్‌లో, ఇది సాధారణంగా ద్విమితీయ శ్రేణి యొక్క నిలువు వరుస లేదా వరుస, ఇక్కడ శ్రేణిని ప్రక్కనే ఉన్న మాతృక లేదా ఇన్‌సిడెన్స్ మ్యాట్రిక్స్ అని పిలుస్తారు.

సాహిత్యంలో, ఇంటర్నెట్‌లో మరియు సాధారణంగా గ్రాఫ్‌ల గురించి ఏదైనా వ్రాసిన చోట, మీరు ఆర్క్‌లు మరియు అంచులు వంటి భావనలను చూస్తారు. ఈ బొమ్మ గ్రాఫ్ అంచులను చూపుతుంది. ఆ. ఇవి మూడు అంచులు E1, E2 మరియు E3.

ఒక అంచు ద్విదిశాత్మక కనెక్షన్‌లో ఒక ఆర్క్ మరియు అంచు విభిన్నంగా ఉంటాయి. అతను దానిని కోరుకున్నాడు, అతను తన పొరుగువారికి వెళ్ళాడు, అతను కోరుకున్నాడు, అతను తన పొరుగువారి నుండి తిరిగి వచ్చాడు. ఇది చాలా స్పష్టంగా తెలియకపోతే, మీరు ఇల్లు, ఎయిర్‌ఫీల్డ్, ఎగిరే విమానం మరియు పారాచూటిస్ట్‌ని ఊహించవచ్చు. ఒక స్కైడైవర్ తన ఇంటి నుండి ఎయిర్‌ఫీల్డ్‌కు వెళ్ళవచ్చు, కానీ అతను ఎయిర్‌ఫీల్డ్‌కు వచ్చినప్పుడు, అతను తన అదృష్ట పారాచూట్‌ను ఇంట్లో మరచిపోయానని గుర్తుచేసుకున్నాడు, ఆపై ఇంటికి తిరిగి వచ్చి పారాచూట్ తీసుకుంటాడు. - మీరు ముందుకు వెనుకకు నడవగలిగే రహదారిని అంచు అంటారు.
ఒక స్కైడైవర్ విమానంలో ఉండి విమానం నుండి దూకుతుంటే, స్కైడైవర్ తన లక్కీ పారాచూట్‌ని విమానంలో ఉంచడం మరచిపోతే, స్కైడైవర్ అతను మరచిపోయినదాన్ని తీయగలడా? ఒక దిశలో మాత్రమే వెళ్ళే మార్గాన్ని ఆర్క్ అంటారు. సాధారణంగా మనం ఒక అంచు రెండు శీర్షాలను కలుపుతుందని మరియు ఒక ఆర్క్ ఒక శీర్షం నుండి మరొక శీర్షానికి వెళుతుందని చెబుతాము.

ఈ చిత్రంలో, గ్రాఫ్‌లో ఆర్క్‌లు మాత్రమే ఉన్నాయి. గ్రాఫ్‌లోని ఆర్క్‌లు బాణాల ద్వారా సూచించబడతాయి, ఎందుకంటే ప్రాప్యత దిశ చాలా స్పష్టంగా ఉంటుంది. గ్రాఫ్ అటువంటి ఆర్క్‌లను మాత్రమే కలిగి ఉన్నట్లయితే, అటువంటి గ్రాఫ్‌ను దర్శకత్వం అంటారు.

మీరు తరచుగా పరస్పరం మరియు సంఘటనల భావనలను చూస్తారు. చిత్రంలో, ఒక బిందువుకు వెళ్ళే రెండు అంచులు ఎరుపు రంగులో గుర్తించబడతాయి. అటువంటి అంచులు, పైన వివరించిన శీర్షాల వలె, ప్రక్కనే అని కూడా పిలుస్తారు.

చాలా వరకు వివరించబడలేదు, కానీ ఈ సమాచారం ఎవరికైనా సహాయపడవచ్చు.