కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి సుమారుగా ప్రయోగాత్మక డేటా. తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి ఎక్కడ ఉపయోగించబడింది?

డిగ్రీ 2 యొక్క బహుపది ద్వారా ఫంక్షన్‌ను అంచనా వేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క గుణకాలను లెక్కిస్తాము:

, ,

ఫారమ్‌ని కలిగి ఉన్న సాధారణ మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ సిస్టమ్‌ని క్రియేట్ చేద్దాం:

సిస్టమ్కు పరిష్కారం కనుగొనడం సులభం :, , .

అందువలన, 2వ డిగ్రీ యొక్క బహుపది కనుగొనబడింది: .

సైద్ధాంతిక సమాచారం

పేజీకి తిరిగి వెళ్ళు<Введение в вычислительную математику. Примеры>

ఉదాహరణ 2. బహుపది యొక్క సరైన డిగ్రీని కనుగొనడం.

పేజీకి తిరిగి వెళ్ళు<Введение в вычислительную математику. Примеры>

ఉదాహరణ 3. అనుభావిక ఆధారపడటం యొక్క పారామితులను కనుగొనడానికి సమీకరణాల యొక్క సాధారణ వ్యవస్థ యొక్క ఉత్పన్నం.

గుణకాలు మరియు విధులను నిర్ణయించడానికి సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుదాం , ఇది పాయింట్ల ద్వారా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క రూట్-మీన్-స్క్వేర్ ఉజ్జాయింపును నిర్వహిస్తుంది. ఒక ఫంక్షన్ కంపోజ్ చేద్దాం మరియు దానికి అవసరమైన తీవ్రమైన పరిస్థితిని వ్రాయండి:

అప్పుడు సాధారణ వ్యవస్థ రూపం తీసుకుంటుంది:

మేము తెలియని పారామితుల కోసం సమీకరణాల సరళ వ్యవస్థను పొందాము మరియు ఇది సులభంగా పరిష్కరించబడుతుంది.

సైద్ధాంతిక సమాచారం

పేజీకి తిరిగి వెళ్ళు<Введение в вычислительную математику. Примеры>

ఉదాహరణ.

వేరియబుల్స్ విలువలపై ప్రయోగాత్మక డేటా Xమరియు వద్దపట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి.

వారి అమరిక ఫలితంగా, ఫంక్షన్ పొందబడుతుంది

ఉపయోగించి కనీసం చదరపు పద్ధతి, ఈ డేటాను లీనియర్ డిపెండెన్స్ ద్వారా అంచనా వేయండి y=ax+b(పారామితులను కనుగొనండి ఎమరియు బి) రెండు పంక్తులలో ఏది మెరుగ్గా ఉంటుందో (కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిలో) ప్రయోగాత్మక డేటాను సమలేఖనం చేస్తుందో కనుగొనండి. డ్రాయింగ్ చేయండి.

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి (LSM) యొక్క సారాంశం.

రెండు వేరియబుల్స్ ఫంక్షన్‌లో లీనియర్ డిపెండెన్స్ కోఎఫీషియంట్‌లను కనుగొనడం పని ఎమరియు బిఅతి చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది. అంటే, ఇచ్చారు ఎమరియు బికనుగొనబడిన సరళ రేఖ నుండి ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం చిన్నదిగా ఉంటుంది. ఇది తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క మొత్తం పాయింట్.

ఈ విధంగా, ఉదాహరణను పరిష్కరించడం అనేది రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగాలను కనుగొనడానికి వస్తుంది.

గుణకాలను కనుగొనడానికి సూత్రాలను పొందడం.

రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థ సంకలనం చేయబడింది మరియు పరిష్కరించబడుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం వేరియబుల్స్ ద్వారా ఎమరియు బి, మేము ఈ ఉత్పన్నాలను సున్నాకి సమం చేస్తాము.

మేము ఏదైనా పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము (ఉదాహరణకు ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి ద్వారాలేదా క్రామెర్ యొక్క పద్ధతి) మరియు తక్కువ స్క్వేర్స్ పద్ధతి (LSM) ఉపయోగించి గుణకాలను కనుగొనడానికి సూత్రాలను పొందండి.

ఇచ్చిన ఎమరియు బిఫంక్షన్ అతి చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది. ఈ వాస్తవం యొక్క రుజువు పేజీ చివరిలో ఉన్న వచనంలో క్రింద ఇవ్వబడింది.

అది కనీసం చతురస్రాల మొత్తం పద్ధతి. పరామితిని కనుగొనడానికి ఫార్ములా aమొత్తాలు , , , మరియు పరామితిని కలిగి ఉంటుంది n- ప్రయోగాత్మక డేటా మొత్తం. ఈ మొత్తాల విలువలను విడిగా లెక్కించాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.

గుణకం బిగణన తర్వాత కనుగొనబడింది a.

అసలు ఉదాహరణను గుర్తుంచుకోవలసిన సమయం ఇది.

పరిష్కారం.

మా ఉదాహరణలో n=5. అవసరమైన గుణకాల సూత్రాలలో చేర్చబడిన మొత్తాలను లెక్కించే సౌలభ్యం కోసం మేము పట్టికను పూరించాము.

పట్టికలోని నాల్గవ వరుసలోని విలువలు ప్రతి సంఖ్యకు 2వ వరుస యొక్క విలువలను 3వ వరుస విలువలతో గుణించడం ద్వారా పొందబడతాయి. i.

పట్టికలోని ఐదవ వరుసలోని విలువలు ప్రతి సంఖ్యకు 2వ వరుసలోని విలువలను వర్గీకరించడం ద్వారా పొందబడతాయి. i.

పట్టిక యొక్క చివరి నిలువు వరుసలోని విలువలు అడ్డు వరుసల అంతటా ఉన్న విలువల మొత్తాలు.

మేము గుణకాలను కనుగొనడానికి కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము ఎమరియు బి. మేము పట్టిక యొక్క చివరి నిలువు వరుస నుండి సంబంధిత విలువలను వాటికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

అందుకే, y = 0.165x+2.184- కావలసిన ఉజ్జాయింపు సరళ రేఖ.

ఏ పంక్తులు ఉన్నాయో తెలుసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది y = 0.165x+2.184లేదా మెరుగ్గా ఒరిజినల్ డేటాను అంచనా వేస్తుంది, అంటే అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి అంచనా వేస్తుంది.

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క లోపం అంచనా.

దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఈ పంక్తుల నుండి అసలు డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని లెక్కించాలి మరియు , తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి అనే అర్థంలో అసలు డేటాను మెరుగ్గా అంచనా వేసే పంక్తికి చిన్న విలువ అనుగుణంగా ఉంటుంది.

నుండి , అప్పుడు నేరుగా y = 0.165x+2.184అసలు డేటాను అంచనా వేయడం మంచిది.

అతి తక్కువ చతురస్రాల (LS) పద్ధతి యొక్క గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్.

గ్రాఫ్‌లలో ప్రతిదీ స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ఎరుపు రేఖ కనుగొనబడిన సరళ రేఖ y = 0.165x+2.184, నీలి రేఖ , గులాబీ చుక్కలు అసలు డేటా.

ఇది ఎందుకు అవసరం, ఈ ఉజ్జాయింపులన్నీ ఎందుకు?

డేటా స్మూటింగ్, ఇంటర్‌పోలేషన్ మరియు ఎక్స్‌ట్రాపోలేషన్ సమస్యల సమస్యలను పరిష్కరించడానికి నేను వ్యక్తిగతంగా దీనిని ఉపయోగిస్తాను (అసలు ఉదాహరణలో గమనించిన విలువ యొక్క విలువను కనుగొనమని వారిని అడగవచ్చు వైవద్ద x=3లేదా ఎప్పుడు x=6తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించడం). కానీ మేము దీని గురించి తరువాత సైట్ యొక్క మరొక విభాగంలో మాట్లాడుతాము.

పేజీ ఎగువన

రుజువు.

కనుక దొరికినప్పుడు ఎమరియు బిఫంక్షన్ అతి చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ కోసం రెండవ ఆర్డర్ డిఫరెన్షియల్ యొక్క క్వాడ్రాటిక్ రూపం యొక్క మాతృక అవసరం. ఖచ్చితంగా సానుకూలంగా ఉంది. చూపిద్దాం.

రెండవ ఆర్డర్ అవకలన రూపాన్ని కలిగి ఉంది:

అంటే

కాబట్టి, చతుర్భుజ రూపం యొక్క మాతృక రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

మరియు మూలకాల విలువలు ఆధారపడి ఉండవు ఎమరియు బి.

మాతృక సానుకూల ఖచ్చితమైనదని చూపిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, కోణీయ మైనర్లు సానుకూలంగా ఉండాలి.

మొదటి ఆర్డర్ యొక్క కోణీయ మైనర్ . పాయింట్లు ఏకీభవించనందున అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది. కింది వాటిలో మనం దీనిని సూచిస్తాము.

రెండవ ఆర్డర్ కోణీయ మైనర్

అని నిరూపిద్దాం గణిత ప్రేరణ పద్ధతి ద్వారా.

ముగింపు: కనుగొన్న విలువలు ఎమరియు బిఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది , కాబట్టి, తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతికి అవసరమైన పారామితులు.

దాన్ని గుర్తించడానికి సమయం లేదా?
పరిష్కారాన్ని ఆదేశించండి

పేజీ ఎగువన

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి సూచనను అభివృద్ధి చేయడం. సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణ

ఎక్స్ట్రాపోలేషన్ గత మరియు ప్రస్తుత పోకడలు, నమూనాలు మరియు సూచన వస్తువు యొక్క భవిష్యత్తు అభివృద్ధికి అనుసంధానాల వ్యాప్తిపై ఆధారపడిన శాస్త్రీయ పరిశోధన పద్ధతి. ఎక్స్‌ట్రాపోలేషన్ పద్ధతులు ఉన్నాయి కదిలే సగటు పద్ధతి, ఘాతాంక స్మూత్టింగ్ పద్ధతి, కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి.

సారాంశం కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి గమనించిన మరియు లెక్కించిన విలువల మధ్య వర్గ విచలనాల మొత్తాన్ని కనిష్టీకరించడంలో ఉంటుంది. లెక్కించిన విలువలు ఎంచుకున్న సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడతాయి - రిగ్రెషన్ సమీకరణం. వాస్తవ విలువలు మరియు లెక్కించిన వాటి మధ్య చిన్న దూరం, రిగ్రెషన్ సమీకరణం ఆధారంగా మరింత ఖచ్చితమైన సూచన.

అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయం యొక్క సారాంశం యొక్క సైద్ధాంతిక విశ్లేషణ, సమయ శ్రేణి ద్వారా ప్రతిబింబించే మార్పు, వక్రతను ఎంచుకోవడానికి ఆధారం. కొన్నిసార్లు సిరీస్ స్థాయిలలో పెరుగుదల స్వభావం గురించి పరిగణనలు పరిగణనలోకి తీసుకోబడతాయి. అందువల్ల, అంకగణిత పురోగతిలో అవుట్‌పుట్ వృద్ధిని అంచనా వేస్తే, అప్పుడు స్మూటింగ్ సరళ రేఖలో నిర్వహించబడుతుంది. వృద్ధి రేఖాగణిత పురోగతిలో ఉందని తేలితే, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ను ఉపయోగించి సున్నితంగా చేయాలి.

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి కోసం వర్కింగ్ ఫార్ములా : Y t+1 = a*X + b, ఇక్కడ t + 1 – సూచన కాలం; Уt+1 - ఊహించిన సూచిక; a మరియు b గుణకాలు; X అనేది కాలానికి చిహ్నం.

a మరియు b గుణకాల గణన క్రింది సూత్రాలను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది:

ఇక్కడ, Uf - డైనమిక్స్ సిరీస్ యొక్క వాస్తవ విలువలు; n – సమయ శ్రేణి స్థాయిల సంఖ్య;

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి సమయ శ్రేణిని సున్నితంగా చేయడం అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయం యొక్క అభివృద్ధి నమూనాను ప్రతిబింబిస్తుంది. ట్రెండ్ యొక్క విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణలో, సమయం స్వతంత్ర చరరాశిగా పరిగణించబడుతుంది మరియు సిరీస్ స్థాయిలు ఈ స్వతంత్ర చరరాశి యొక్క విధిగా పనిచేస్తాయి.

ఒక దృగ్విషయం యొక్క అభివృద్ధి ప్రారంభ స్థానం నుండి ఎన్ని సంవత్సరాలు గడిచిపోయింది అనే దానిపై ఆధారపడి ఉండదు, కానీ ఏ కారకాలు దాని అభివృద్ధిని ప్రభావితం చేశాయి, ఏ దిశలో మరియు ఏ తీవ్రతతో ఉంటాయి. కాలక్రమేణా ఒక దృగ్విషయం యొక్క అభివృద్ధి ఈ కారకాల చర్య యొక్క ఫలితం అని ఇక్కడ నుండి స్పష్టమవుతుంది.

వక్రరేఖ యొక్క రకాన్ని సరిగ్గా స్థాపించడం, సమయంపై విశ్లేషణాత్మక ఆధారపడటం అనేది అంచనా విశ్లేషణ యొక్క అత్యంత కష్టమైన పనులలో ఒకటి. .

ట్రెండ్‌ను వివరించే ఫంక్షన్ రకం ఎంపిక, వాటి యొక్క పారామితులు తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి, చాలా సందర్భాలలో అనుభవపూర్వకంగా, అనేక ఫంక్షన్‌లను నిర్మించడం ద్వారా మరియు వాటి విలువ ప్రకారం వాటిని ఒకదానితో ఒకటి పోల్చడం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. సగటు స్క్వేర్ ఎర్రర్, ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

ఇక్కడ UV అనేది డైనమిక్స్ సిరీస్ యొక్క వాస్తవ విలువలు; ఉర్ - డైనమిక్స్ సిరీస్ యొక్క లెక్కించిన (సున్నితమైన) విలువలు; n – సమయ శ్రేణి స్థాయిల సంఖ్య; p – ట్రెండ్‌ను వివరించే ఫార్ములాల్లో నిర్వచించబడిన పారామితుల సంఖ్య (అభివృద్ధి ధోరణి).

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క ప్రతికూలతలు :

• గణిత సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయబడిన ఆర్థిక దృగ్విషయాన్ని వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు, సూచన స్వల్ప కాలానికి ఖచ్చితమైనదిగా ఉంటుంది మరియు కొత్త సమాచారం అందుబాటులోకి వచ్చినప్పుడు తిరోగమన సమీకరణాన్ని తిరిగి లెక్కించాలి;
• ప్రామాణిక కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లను ఉపయోగించి పరిష్కరించగల రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని ఎంచుకోవడంలో సంక్లిష్టత.

సూచనను అభివృద్ధి చేయడానికి అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించే ఉదాహరణ

టాస్క్ . ప్రాంతంలో నిరుద్యోగ రేటును వివరించే డేటా ఉంది, %

• కింది పద్ధతులను ఉపయోగించి నవంబర్, డిసెంబర్, జనవరిలో ప్రాంతంలో నిరుద్యోగ రేటు అంచనాను రూపొందించండి: కదిలే సగటు, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ స్మూటింగ్, కనిష్ట చతురస్రాలు.
• ప్రతి పద్ధతిని ఉపయోగించి ఫలిత సూచనలలో లోపాలను లెక్కించండి.
• ఫలితాలను సరిపోల్చండి మరియు తీర్మానాలు చేయండి.

తక్కువ చతురస్రాల పరిష్కారం

దీన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము ఒక పట్టికను రూపొందిస్తాము, దీనిలో మేము అవసరమైన గణనలను చేస్తాము:

ε = 28.63/10 = 2.86% అంచనా ఖచ్చితత్వంఅధిక.

ముగింపు : లెక్కల నుండి పొందిన ఫలితాలను పోల్చడం కదిలే సగటు పద్ధతి , ఘాతాంక మృదువైన పద్ధతి మరియు అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ స్మూటింగ్ పద్ధతిని ఉపయోగించి లెక్కించేటప్పుడు సగటు సాపేక్ష లోపం 20-50% పరిధిలోకి వస్తుందని మేము చెప్పగలం. ఈ సందర్భంలో సూచన యొక్క ఖచ్చితత్వం మాత్రమే సంతృప్తికరంగా ఉందని దీని అర్థం.

మొదటి మరియు మూడవ సందర్భాలలో, సగటు సాపేక్ష లోపం 10% కంటే తక్కువగా ఉన్నందున, సూచన ఖచ్చితత్వం ఎక్కువగా ఉంటుంది. కానీ కదిలే సగటు పద్ధతి మరింత నమ్మదగిన ఫలితాలను పొందడం సాధ్యం చేసింది (నవంబర్ - 1.52%, డిసెంబర్ కోసం సూచన - 1.53%, జనవరి కోసం సూచన - 1.49%), ఎందుకంటే ఈ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు సగటు సాపేక్ష లోపం చిన్నది - 1 ,13%.

తక్కువ చదరపు పద్ధతి

ఈ అంశంపై ఇతర కథనాలు:

ఉపయోగించిన మూలాల జాబితా

1. సామాజిక ప్రమాదాలను గుర్తించడం మరియు సవాళ్లు, బెదిరింపులు మరియు సామాజిక పరిణామాలను అంచనా వేయడంపై శాస్త్రీయ మరియు పద్దతి సిఫార్సులు. రష్యన్ స్టేట్ సోషల్ యూనివర్శిటీ. మాస్కో. 2010;
2. వ్లాదిమిరోవా L.P. మార్కెట్ పరిస్థితులలో అంచనా మరియు ప్రణాళిక: పాఠ్య పుస్తకం. భత్యం. M.: పబ్లిషింగ్ హౌస్ "డాష్కోవ్ అండ్ కో", 2001;
3. నోవికోవా N.V., పోజ్దీవా O.G. జాతీయ ఆర్థిక వ్యవస్థను అంచనా వేయడం: విద్యా మరియు పద్దతి మాన్యువల్. ఎకాటెరిన్‌బర్గ్: ఉరల్ పబ్లిషింగ్ హౌస్. రాష్ట్రం ఆర్థిక వ్యవస్థ. యూనివర్సిటీ., 2007;
4. స్లట్స్కిన్ L.N. వ్యాపార అంచనాపై MBA కోర్సు. M.: అల్పినా బిజినెస్ బుక్స్, 2006.

MNC ప్రోగ్రామ్

డేటాను నమోదు చేయండి

డేటా మరియు ఉజ్జాయింపు y = a + b x

i- ప్రయోగాత్మక పాయింట్ సంఖ్య;
x i- ఒక పాయింట్ వద్ద స్థిర పరామితి విలువ i;
y i- ఒక పాయింట్ వద్ద కొలిచిన పరామితి యొక్క విలువ i;
ω i- ఒక పాయింట్ వద్ద కొలత బరువు i;
y i, calc.- కొలిచిన మరియు రిగ్రెషన్ లెక్కించిన విలువ మధ్య వ్యత్యాసం వైపాయింట్ వద్ద i;
S x i (x i)- లోపం అంచనా x iకొలిచేటప్పుడు వైపాయింట్ వద్ద i.

డేటా మరియు ఉజ్జాయింపు y = k x

i	x i	y i	ω i	y i, calc.	Δy i	S x i (x i)

చార్ట్‌పై క్లిక్ చేయండి

MNC ఆన్‌లైన్ ప్రోగ్రామ్ కోసం వినియోగదారు మాన్యువల్.

డేటా ఫీల్డ్‌లో, ప్రతి ప్రత్యేక లైన్‌లో ఒక ప్రయోగాత్మక పాయింట్‌లో `x` మరియు `y` విలువలను నమోదు చేయండి. విలువలు తప్పనిసరిగా వైట్‌స్పేస్ అక్షరంతో (స్పేస్ లేదా ట్యాబ్) వేరు చేయబడాలి.

మూడవ విలువ పాయింట్ `w` బరువు కావచ్చు. ఒక పాయింట్ యొక్క బరువు పేర్కొనబడకపోతే, అది ఒకదానికి సమానం. చాలా సందర్భాలలో, ప్రయోగాత్మక పాయింట్ల బరువులు తెలియవు లేదా లెక్కించబడవు, అనగా. అన్ని ప్రయోగాత్మక డేటా సమానంగా పరిగణించబడుతుంది. కొన్నిసార్లు అధ్యయనం చేయబడిన విలువల పరిధిలోని బరువులు ఖచ్చితంగా సమానంగా ఉండవు మరియు సిద్ధాంతపరంగా కూడా లెక్కించబడతాయి. ఉదాహరణకు, స్పెక్ట్రోఫోటోమెట్రీలో, సాధారణ సూత్రాలను ఉపయోగించి బరువులను లెక్కించవచ్చు, అయినప్పటికీ ఇది కార్మిక వ్యయాలను తగ్గించడానికి ఎక్కువగా నిర్లక్ష్యం చేయబడుతుంది.

Microsoft Office నుండి Excel లేదా Open Office నుండి Calc వంటి ఆఫీస్ సూట్‌లోని స్ప్రెడ్‌షీట్ నుండి క్లిప్‌బోర్డ్ ద్వారా డేటాను అతికించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, స్ప్రెడ్‌షీట్‌లో, కాపీ చేయడానికి, క్లిప్‌బోర్డ్‌కు కాపీ చేయడానికి మరియు ఈ పేజీలోని డేటా ఫీల్డ్‌లో డేటాను అతికించడానికి డేటా పరిధిని ఎంచుకోండి.

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి గణించడానికి, రెండు కోఎఫీషియంట్‌లను గుర్తించడానికి కనీసం రెండు పాయింట్లు అవసరం `b` - పంక్తి యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్ మరియు `a` - `y` అక్షంలోని పంక్తి ద్వారా అడ్డగించబడిన విలువ.

లెక్కించిన రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క లోపాన్ని అంచనా వేయడానికి, మీరు ప్రయోగాత్మక పాయింట్ల సంఖ్యను రెండు కంటే ఎక్కువ సెట్ చేయాలి.

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి (LSM).

ప్రయోగాత్మక పాయింట్ల సంఖ్య ఎక్కువ, గుణకాల యొక్క గణాంక అంచనా (విద్యార్థి గుణకం తగ్గుదల కారణంగా) మరియు సాధారణ నమూనా అంచనాకు దగ్గరగా అంచనా వేయబడుతుంది.

ప్రతి ప్రయోగాత్మక పాయింట్ వద్ద విలువలను పొందడం తరచుగా గణనీయమైన కార్మిక వ్యయాలతో ముడిపడి ఉంటుంది, కాబట్టి రాజీ సంఖ్య ప్రయోగాలు తరచుగా నిర్వహించబడతాయి, ఇది నిర్వహించదగిన అంచనాను ఇస్తుంది మరియు అధిక కార్మిక వ్యయాలకు దారితీయదు. నియమం ప్రకారం, రెండు కోఎఫీషియంట్‌లతో లీనియర్ మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ డిపెండెన్స్ కోసం ప్రయోగాత్మక పాయింట్ల సంఖ్య 5-7 పాయింట్ల ప్రాంతంలో ఎంపిక చేయబడుతుంది.

లీనియర్ రిలేషన్షిప్స్ కోసం తక్కువ చతురస్రాల యొక్క సంక్షిప్త సిద్ధాంతం

విలువల జతల రూపంలో మనకు ప్రయోగాత్మక డేటా సెట్ ఉందని అనుకుందాం [`y_i`, `x_i`], ఇక్కడ `i` అనేది 1 నుండి `n` వరకు ఉన్న ఒక ప్రయోగాత్మక కొలత సంఖ్య; `y_i` - పాయింట్ `i` వద్ద కొలవబడిన పరిమాణం యొక్క విలువ; `x_i` - మనం పాయింట్ `i` వద్ద సెట్ చేసిన పరామితి విలువ.

ఉదాహరణగా, ఓం చట్టం యొక్క ఆపరేషన్‌ను పరిగణించండి. ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్ యొక్క విభాగాల మధ్య వోల్టేజ్ (సంభావ్య వ్యత్యాసం) మార్చడం ద్వారా, మేము ఈ విభాగం ద్వారా ప్రస్తుత ప్రయాణాన్ని కొలుస్తాము. భౌతికశాస్త్రం మనకు ప్రయోగాత్మకంగా కనుగొనబడిన ఆధారపడటాన్ని ఇస్తుంది:

`I = U/R`,
ఇక్కడ `నేను` ప్రస్తుత బలం; `R` - ప్రతిఘటన; `U` - వోల్టేజ్.

ఈ సందర్భంలో, `y_i` అనేది కొలవబడుతున్న ప్రస్తుత విలువ మరియు `x_i` అనేది వోల్టేజ్ విలువ.

మరొక ఉదాహరణగా, ద్రావణంలో ఒక పదార్ధం యొక్క పరిష్కారం ద్వారా కాంతిని గ్రహించడాన్ని పరిగణించండి. కెమిస్ట్రీ మనకు సూత్రాన్ని ఇస్తుంది:

`A = ε l C`,
ఇక్కడ `A` అనేది పరిష్కారం యొక్క ఆప్టికల్ సాంద్రత; `ε` - ద్రావకం యొక్క ప్రసారం; `l` - కాంతి ఒక పరిష్కారంతో ఒక కువెట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు మార్గం పొడవు; `సి` అనేది కరిగిన పదార్ధం యొక్క గాఢత.

ఈ సందర్భంలో, `y_i` అనేది ఆప్టికల్ డెన్సిటీ `A` యొక్క కొలిచిన విలువ మరియు `x_i` అనేది మనం పేర్కొన్న పదార్ధం యొక్క ఏకాగ్రత విలువ.

అసైన్‌మెంట్ `x_i`లో సాపేక్ష లోపం `y_i` కొలతలోని సాపేక్ష లోపం కంటే గణనీయంగా తక్కువగా ఉన్నప్పుడు మేము కేసును పరిశీలిస్తాము. మేము అన్ని కొలిచిన విలువలు `y_i` యాదృచ్ఛికంగా మరియు సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడతాయని కూడా ఊహిస్తాము, అనగా. సాధారణ పంపిణీ చట్టాన్ని పాటించండి.

`x`పై `y` యొక్క లీనియర్ డిపెండెన్స్ విషయంలో, మనం సైద్ధాంతిక ఆధారపడటాన్ని వ్రాయవచ్చు:
`y = a + b x`.

రేఖాగణిత దృక్కోణం నుండి, గుణకం `b` అనేది `x` అక్షానికి రేఖ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌ని సూచిస్తుంది మరియు గుణకం `a` - ఖండన బిందువు వద్ద `y` విలువ `y` అక్షంతో లైన్ (`x = 0` వద్ద).

రిగ్రెషన్ లైన్ పారామితులను కనుగొనడం.

ఒక ప్రయోగంలో, నిజ జీవితంలో ఎల్లప్పుడూ అంతర్లీనంగా ఉండే కొలత లోపాల కారణంగా `y_i` యొక్క కొలిచిన విలువలు ఖచ్చితంగా సైద్ధాంతిక సరళ రేఖపై ఉండవు. కాబట్టి, ఒక సరళ సమీకరణం తప్పనిసరిగా సమీకరణాల వ్యవస్థ ద్వారా సూచించబడాలి:
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
ఇక్కడ `ε_i` అనేది `i`-వ ప్రయోగంలో `y` యొక్క తెలియని కొలత లోపం.

డిపెండెన్సీ (1) అని కూడా అంటారు తిరోగమనం, అనగా గణాంక ప్రాముఖ్యతతో ఒకదానిపై ఒకటి రెండు పరిమాణాల ఆధారపడటం.

ప్రయోగాత్మక పాయింట్లు [`y_i`, `x_i`] నుండి `a` మరియు `b` గుణకాలను కనుగొనడం ఆధారపడటాన్ని పునరుద్ధరించే పని.

గుణకాలు `a` మరియు `b`ని కనుగొనడానికి ఇది సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది కనీసం చదరపు పద్ధతి(MNC). ఇది గరిష్ట సంభావ్యత సూత్రం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.

(1)ని `ε_i = y_i - a - b x_i` రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం.

అప్పుడు స్క్వేర్డ్ ఎర్రర్‌ల మొత్తం ఉంటుంది
`Φ = sum_(i=1)^(n) ε_i^2 = sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)

`a` మరియు `b` పారామీటర్‌లకు సంబంధించి మొత్తం (2)ని కనిష్టీకరించడం కనిష్ట చతురస్రాల సూత్రం (తక్కువ చతురస్రాలు).

`a` మరియు `b` గుణకాలకి సంబంధించి మొత్తం (2) యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలు సున్నాకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు కనిష్టం సాధించబడుతుంది:
`frac(పాక్షిక Φ)(పాక్షిక a) = frac(పాక్షిక మొత్తం_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(పాక్షిక a) = 0`
`frac(పాక్షిక Φ)(పాక్షిక b) = frac(పాక్షిక మొత్తం_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(పాక్షిక b) = 0`

ఉత్పన్నాలను విస్తరిస్తున్నప్పుడు, మేము రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:
`sum_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i — 2y_i) = sum_(i=1)^(n) (a + bx_i — y_i) = 0`
`sum_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i — 2x_iy_i) = sum_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i — x_iy_i) = 0`

మేము బ్రాకెట్లను తెరిచి, అవసరమైన గుణకాల నుండి స్వతంత్రంగా మొత్తాలను ఇతర సగానికి బదిలీ చేస్తాము, మేము సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:
`సమ్_(i=1)^(n) y_i = a n + b sum_(i=1)^(n) bx_i`
`సమ్_(i=1)^(n) x_iy_i = a sum_(i=1)^(n) x_i + b sum_(i=1)^(n) x_i^2`

ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తూ, మేము గుణకాల `a` మరియు `b` కోసం సూత్రాలను కనుగొంటాము:

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 — sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n ) x_iy_i) (n సమ్_(i=1)^(n) x_i^2 — (మొత్తం_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)

`b = frac(n sum_(i=1)^(n) x_iy_i — sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) y_i) (n sum_(i=1)^ (n) x_i^2 — (మొత్తం_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)

ఈ సూత్రాలు `n > 1` (కనీసం 2 పాయింట్లను ఉపయోగించి లైన్‌ను నిర్మించవచ్చు) మరియు నిర్ణయాత్మక `D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 - (మొత్తం_(i= 1) ఉన్నప్పుడు పరిష్కారాలు ఉంటాయి. )^(n) x_i)^2 != 0`, అనగా. ప్రయోగంలో `x_i` పాయింట్లు భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు (అనగా పంక్తి నిలువుగా లేనప్పుడు).

రిగ్రెషన్ లైన్ కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క లోపాల అంచనా

గుణకాలు `a` మరియు `b` గణించడంలో లోపం యొక్క మరింత ఖచ్చితమైన అంచనా కోసం, పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాత్మక పాయింట్లు అవసరం. `n = 2` అయినప్పుడు, కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క లోపాన్ని అంచనా వేయడం అసాధ్యం, ఎందుకంటే ఉజ్జాయింపు రేఖ ప్రత్యేకంగా రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ `V` యొక్క లోపం నిర్ణయించబడింది లోపం చేరడం చట్టం
`S_V^2 = sum_(i=1)^p (frac(పాక్షిక f)(పాక్షిక z_i))^2 S_(z_i)^2`,
ఇక్కడ `p` అనేది `S_V` లోపాన్ని ప్రభావితం చేసే `S_(z_i)` లోపం ఉన్న `z_i` పారామీటర్‌ల సంఖ్య;
`f` అనేది `z_i`పై `V` ఆధారపడటం యొక్క ఫంక్షన్.

గుణకాల లోపం `a` మరియు `b` కోసం లోపం సంచితం యొక్క చట్టాన్ని వ్రాస్దాం
`S_a^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial a )(పాక్షిక x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 `,
`S_b^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial b) )(పాక్షిక x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(పాక్షిక b)(పాక్షిక y_i))^2 `,
ఎందుకంటే `S_(x_i)^2 = 0` (మేము గతంలో `x` లోపం చాలా తక్కువగా ఉందని రిజర్వేషన్ చేసాము).

`S_y^2 = S_(y_i)^2` - `y` యొక్క కొలతలో లోపం (వైవిధ్యం, స్క్వేర్డ్ స్టాండర్డ్ విచలనం), `y` యొక్క అన్ని విలువలకు లోపం ఏకరీతిగా ఉంటుందని ఊహిస్తారు.

ఫలిత వ్యక్తీకరణలలో `a` మరియు `b` గణన కోసం సూత్రాలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం

`S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (sum_(i=1)^(n) x_i^2 — x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 frac((n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2) sum_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (n x_i — sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac( n (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (మొత్తం_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D) ` (4.2)

చాలా వాస్తవ ప్రయోగాలలో, `Sy` విలువ కొలవబడదు. దీన్ని చేయడానికి, ప్రణాళికలో ఒకటి లేదా అనేక పాయింట్ల వద్ద అనేక సమాంతర కొలతలు (ప్రయోగాలు) నిర్వహించడం అవసరం, ఇది ప్రయోగం యొక్క సమయాన్ని (మరియు బహుశా ఖర్చు) పెంచుతుంది. అందువల్ల, రిగ్రెషన్ లైన్ నుండి `y` యొక్క విచలనం యాదృచ్ఛికంగా పరిగణించబడుతుందని సాధారణంగా భావించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో వైవిధ్యం `y` యొక్క అంచనా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది.

`S_y^2 = S_(y, rest)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`.

ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క ఒకే నమూనాను ఉపయోగించి రెండు కోఎఫీషియంట్‌ల గణన కారణంగా మన స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య తగ్గినందున `n-2` డివైజర్ కనిపిస్తుంది.

ఈ అంచనా రిగ్రెషన్ లైన్ `S_(y, rest)^2`కి సంబంధించి అవశేష వ్యత్యాసంగా కూడా పిలువబడుతుంది.

విద్యార్థుల t పరీక్షను ఉపయోగించి గుణకాల యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేస్తారు

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

లెక్కించిన ప్రమాణాలు `t_a`, `t_b` పట్టిక ప్రమాణం `t(P, n-2)` కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు సంబంధిత గుణకం సున్నాకి ఇచ్చిన సంభావ్యత `P`తో గణనీయంగా భిన్నంగా లేదని పరిగణించబడుతుంది.

సరళ సంబంధం యొక్క వివరణ నాణ్యతను అంచనా వేయడానికి, మీరు ఫిషర్ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించి సగటుకు సంబంధించి `S_(y, మిగిలిన)^2` మరియు `S_(బార్ y)`ని పోల్చవచ్చు.

`S_(బార్ y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i — బార్ y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i — (sum_(i= 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - సగటుకు సంబంధించి `y` వ్యత్యాసం యొక్క నమూనా అంచనా.

ఆధారపడటాన్ని వివరించడానికి రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క ప్రభావాన్ని అంచనా వేయడానికి, ఫిషర్ గుణకం లెక్కించబడుతుంది
`F = S_(బార్ y) / S_(y, మిగిలిన)^2`,
ఇది పట్టిక ఫిషర్ గుణకం `F(p, n-1, n-2)`తో పోల్చబడింది.

`F > F(P, n-1, n-2)` అయితే, రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి `y = f(x)` సంబంధం యొక్క వర్ణన మరియు సగటును ఉపయోగించి వివరణ మధ్య వ్యత్యాసం సంభావ్యతతో గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది `పి`. ఆ. రిగ్రెషన్ సగటు చుట్టూ `y` వ్యాప్తి కంటే మెరుగైన ఆధారపడటాన్ని వివరిస్తుంది.

చార్ట్‌పై క్లిక్ చేయండి
పట్టికకు విలువలను జోడించడానికి

తక్కువ చదరపు పద్ధతి. తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి అంటే తెలియని పారామితులు a, b, c, ఆమోదించబడిన ఫంక్షనల్ డిపెండెన్స్

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి తెలియని పారామితుల నిర్ణయాన్ని సూచిస్తుంది ఎ, బి, సి,...క్రియాత్మక ఆధారపడటాన్ని అంగీకరించింది

y = f(x,a,b,c,...),

ఇది లోపం యొక్క కనిష్ట సగటు చతురస్రాన్ని (వైవిధ్యం) అందిస్తుంది

, (24)

ఇక్కడ x i, y i అనేది ప్రయోగం నుండి పొందిన జతల సంఖ్యల సమితి.

అనేక వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగం యొక్క షరతు దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాలు సున్నాకి సమానం కాబట్టి, పారామితులు ఎ, బి, సి,...సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి నిర్ణయించబడతాయి:

; ; ; … (25)

ఫంక్షన్ రకం తర్వాత పారామితులను ఎంచుకోవడానికి కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుందని గుర్తుంచుకోవాలి y = f(x)నిర్వచించబడింది

సైద్ధాంతిక పరిశీలనల నుండి, అనుభావిక ఫార్ములా ఎలా ఉండాలనే దాని గురించి ఎటువంటి ముగింపులు తీసుకోలేకపోతే, దృశ్యమాన ప్రాతినిధ్యాల ద్వారా, ప్రధానంగా గమనించిన డేటా యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యాల ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయాలి.

ఆచరణలో, అవి చాలా తరచుగా క్రింది రకాల ఫంక్షన్లకు పరిమితం చేయబడ్డాయి:

1) సరళ ;

2) చతుర్భుజం a.

ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క ఉజ్జాయింపు అనేది ప్రయోగాత్మకంగా పొందిన డేటాను ఒక విశ్లేషణాత్మక ఫంక్షన్‌తో భర్తీ చేయడంపై ఆధారపడిన పద్ధతి, ఇది నోడల్ పాయింట్‌ల వద్ద అసలు విలువలతో (ప్రయోగం లేదా ప్రయోగం సమయంలో పొందిన డేటా) చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది. ప్రస్తుతం, విశ్లేషణాత్మక విధిని నిర్వచించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:

పాస్ అయ్యే n-డిగ్రీ ఇంటర్‌పోలేషన్ బహుపదిని నిర్మించడం ద్వారా నేరుగా అన్ని పాయింట్ల ద్వారాఇచ్చిన డేటా శ్రేణి. ఈ సందర్భంలో, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది: లాగ్రాంజ్ రూపంలో ఇంటర్‌పోలేషన్ బహుపది లేదా న్యూటన్ రూపంలో ఇంటర్‌పోలేషన్ బహుపది.

n-డిగ్రీ ఉజ్జాయింపుగా ఉండే బహుపదిని నిర్మించడం ద్వారా పాయింట్ల తక్షణ సమీపంలోఇచ్చిన డేటా శ్రేణి నుండి. అందువలన, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ ప్రయోగం సమయంలో ఉత్పన్నమయ్యే అన్ని యాదృచ్ఛిక శబ్దం (లేదా లోపాలు) ను సున్నితంగా చేస్తుంది: ప్రయోగం సమయంలో కొలిచిన విలువలు వారి స్వంత యాదృచ్ఛిక చట్టాల ప్రకారం (కొలత లేదా సాధన లోపాలు, సరికాని లేదా ప్రయోగాత్మకమైన) హెచ్చుతగ్గుల యాదృచ్ఛిక కారకాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. లోపాలు). ఈ సందర్భంలో, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది.

తక్కువ చదరపు పద్ధతి(ఇంగ్లీష్ సాహిత్యంలో ఆర్డినరీ లీస్ట్ స్క్వేర్స్, OLS) అనేది ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క ఇచ్చిన శ్రేణి నుండి పాయింట్లకు అత్యంత సమీపంలో నిర్మించబడిన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌ను నిర్ణయించడంపై ఆధారపడిన గణిత పద్ధతి. అసలైన మరియు ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ల F(x) యొక్క సామీప్యత సంఖ్యాపరమైన కొలమానం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, అవి: ఉజ్జాయింపు వక్రరేఖ F(x) నుండి ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం చిన్నదిగా ఉండాలి.

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి నిర్మించబడిన సుమారు వక్రరేఖ

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది:

సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వాటి సంఖ్యను మించి ఉన్నప్పుడు సమీకరణాల యొక్క అతిగా నిర్ణయించబడిన వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి;

సాధారణ (అతిగా నిర్ణయించబడని) సమీకరణాల నాన్ లీనియర్ సిస్టమ్‌ల విషయంలో పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం;

కొంత ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌తో పాయింట్ విలువలను అంచనా వేయడానికి.

ఇవ్వబడిన ప్రయోగాత్మక డేటా శ్రేణి నుండి లెక్కించబడిన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట స్క్వేర్డ్ విచలనాల యొక్క కనిష్ట మొత్తం యొక్క స్థితి నుండి కనిష్ట స్క్వేర్‌ల పద్ధతిని ఉపయోగించి ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ నిర్ణయించబడుతుంది. తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క ఈ ప్రమాణం క్రింది వ్యక్తీకరణగా వ్రాయబడింది:

నోడల్ పాయింట్ల వద్ద లెక్కించిన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు,

నోడల్ పాయింట్ల వద్ద ఇచ్చిన ప్రయోగాత్మక డేటా శ్రేణి.

క్వాడ్రాటిక్ ప్రమాణం అనేక "మంచి" లక్షణాలను కలిగి ఉంది, భేదం వంటిది, బహుపది ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌లతో ఉజ్జాయింపు సమస్యకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని అందిస్తుంది.

సమస్య యొక్క పరిస్థితులపై ఆధారపడి, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ డిగ్రీ m యొక్క బహుపది

ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీ నోడల్ పాయింట్ల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉండదు, కానీ దాని పరిమాణం ఎల్లప్పుడూ ఇచ్చిన ప్రయోగాత్మక డేటా శ్రేణి యొక్క పరిమాణం (పాయింట్ల సంఖ్య) కంటే తక్కువగా ఉండాలి.

∙ ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీ m=1 అయితే, మేము పట్టిక ఫంక్షన్‌ను సరళ రేఖతో (లీనియర్ రిగ్రెషన్) అంచనా వేస్తాము.

∙ ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీ m=2 అయితే, మేము పట్టిక ఫంక్షన్‌ను క్వాడ్రాటిక్ పారాబొలా (క్వాడ్రాటిక్ ఉజ్జాయింపు)తో అంచనా వేస్తాము.

∙ ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీ m=3 అయితే, మేము టేబుల్ ఫంక్షన్‌ను క్యూబిక్ పారాబొలా (క్యూబిక్ ఉజ్జాయింపు)తో అంచనా వేస్తాము.

సాధారణ సందర్భంలో, ఇచ్చిన పట్టిక విలువల కోసం డిగ్రీ m యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపదిని నిర్మించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, అన్ని నోడల్ పాయింట్లపై స్క్వేర్డ్ విచలనాల కనిష్ట మొత్తానికి షరతు క్రింది రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:

- డిగ్రీ m యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపది యొక్క తెలియని గుణకాలు;

పేర్కొన్న పట్టిక విలువల సంఖ్య.

కనిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉనికికి అవసరమైన షరతు తెలియని వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాల సున్నాకి సమానం . ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:

ఫలిత సమీకరణాల సరళ వ్యవస్థను మారుద్దాం: బ్రాకెట్‌లను తెరిచి, వ్యక్తీకరణ యొక్క కుడి వైపుకు ఉచిత నిబంధనలను తరలించండి. ఫలితంగా, సరళ బీజగణిత వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థ క్రింది రూపంలో వ్రాయబడుతుంది:

ఈ సరళ బీజగణిత వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థను మాతృక రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

ఫలితంగా, పరిమాణం m+1 యొక్క సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ పొందబడింది, ఇది m+1 తెలియని వాటిని కలిగి ఉంటుంది. సరళ బీజగణిత సమీకరణాలను (ఉదాహరణకు, గాస్సియన్ పద్ధతి) పరిష్కరించడానికి ఏదైనా పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించవచ్చు. పరిష్కారం ఫలితంగా, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క తెలియని పారామితులు కనుగొనబడతాయి, ఇవి అసలు డేటా నుండి ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల కనీస మొత్తాన్ని అందిస్తాయి, అనగా. ఉత్తమమైన చతుర్భుజ ఉజ్జాయింపు. మూలాధార డేటా యొక్క ఒక విలువ కూడా మారితే, అన్ని గుణకాలు వాటి విలువలను మారుస్తాయని గుర్తుంచుకోవాలి, ఎందుకంటే అవి మూలాధార డేటా ద్వారా పూర్తిగా నిర్ణయించబడతాయి.

లీనియర్ డిపెండెన్స్ ద్వారా సోర్స్ డేటా యొక్క ఉజ్జాయింపు

(లీనియర్ రిగ్రెషన్)

ఉదాహరణగా, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌ను నిర్ణయించే సాంకేతికతను పరిశీలిద్దాం, ఇది సరళ ఆధారపడటం రూపంలో పేర్కొనబడింది. కనిష్ట చతురస్రాల పద్ధతికి అనుగుణంగా, స్క్వేర్డ్ విచలనాల కనీస మొత్తం షరతు క్రింది రూపంలో వ్రాయబడుతుంది:

టేబుల్ నోడ్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు;

ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క తెలియని కోఎఫీషియంట్స్, ఇది లీనియర్ డిపెండెన్స్‌గా పేర్కొనబడింది.

కనిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉనికికి అవసరమైన షరతు తెలియని వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాల సున్నాకి సమానత్వం. ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:

ఫలిత సమీకరణాల సరళ వ్యవస్థను మారుద్దాం.

మేము సరళ సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము. విశ్లేషణాత్మక రూపంలో ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క గుణకాలు క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడతాయి (క్రామెర్ పద్ధతి):

ఈ గుణకాలు ఇచ్చిన పట్టిక విలువల (ప్రయోగాత్మక డేటా) నుండి ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క చతురస్రాల మొత్తాన్ని కనిష్టీకరించే ప్రమాణానికి అనుగుణంగా సరళ ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్మాణాన్ని నిర్ధారిస్తాయి.

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని అమలు చేయడానికి అల్గోరిథం

1. ప్రారంభ డేటా:

N కొలతల సంఖ్యతో ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క శ్రేణి పేర్కొనబడింది

ఉజ్జాయింపు బహుపది (m) యొక్క డిగ్రీ పేర్కొనబడింది

2. గణన అల్గోరిథం:

2.1 కొలతలతో సమీకరణాల వ్యవస్థను నిర్మించడానికి గుణకాలు నిర్ణయించబడతాయి

సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క గుణకాలు (సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు)

- సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క చదరపు మాతృక యొక్క నిలువు వరుస సంఖ్య యొక్క సూచిక

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉచిత నిబంధనలు (సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు)

- సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క వరుస సంఖ్య యొక్క సూచిక

2.2 పరిమాణంతో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఏర్పడటం.

2.3 డిగ్రీ m యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపది యొక్క తెలియని గుణకాలను గుర్తించడానికి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం.

2.4. అన్ని నోడల్ పాయింట్ల వద్ద అసలు విలువల నుండి సుమారుగా బహుపది యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడం

స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం కనుగొనబడిన విలువ కనీస సాధ్యం.

ఇతర ఫంక్షన్లను ఉపయోగించి ఉజ్జాయింపు

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతికి అనుగుణంగా అసలు డేటాను అంచనా వేసేటప్పుడు, లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ మరియు పవర్ ఫంక్షన్ కొన్నిసార్లు ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌గా ఉపయోగించబడుతుందని గమనించాలి.

లాగరిథమిక్ ఉజ్జాయింపు

ఫారమ్ యొక్క లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ ద్వారా ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ ఇవ్వబడినప్పుడు కేసును పరిశీలిద్దాం:

ఉదాహరణ.

వేరియబుల్స్ విలువలపై ప్రయోగాత్మక డేటా Xమరియు వద్దపట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి.

వారి అమరిక ఫలితంగా, ఫంక్షన్ పొందబడుతుంది

ఉపయోగించి కనీసం చదరపు పద్ధతి, ఈ డేటాను లీనియర్ డిపెండెన్స్ ద్వారా అంచనా వేయండి y=ax+b(పారామితులను కనుగొనండి ఎమరియు బి) రెండు పంక్తులలో ఏది మెరుగ్గా ఉంటుందో (కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిలో) ప్రయోగాత్మక డేటాను సమలేఖనం చేస్తుందో కనుగొనండి. డ్రాయింగ్ చేయండి.

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి (LSM) యొక్క సారాంశం.

రెండు వేరియబుల్స్ ఫంక్షన్‌లో లీనియర్ డిపెండెన్స్ కోఎఫీషియంట్‌లను కనుగొనడం పని ఎమరియు బి అతి చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది. అంటే, ఇచ్చారు ఎమరియు బికనుగొనబడిన సరళ రేఖ నుండి ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం చిన్నదిగా ఉంటుంది. ఇది తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క మొత్తం పాయింట్.

ఈ విధంగా, ఉదాహరణను పరిష్కరించడం అనేది రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క అంత్య భాగాలను కనుగొనడానికి వస్తుంది.

గుణకాలను కనుగొనడానికి సూత్రాలను పొందడం.

రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థ సంకలనం చేయబడింది మరియు పరిష్కరించబడుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం వేరియబుల్స్ ద్వారా ఎమరియు బి, మేము ఈ ఉత్పన్నాలను సున్నాకి సమం చేస్తాము.

మేము ఏదైనా పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము (ఉదాహరణకు ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి ద్వారాలేదా క్రామెర్ పద్ధతి) మరియు తక్కువ స్క్వేర్స్ పద్ధతి (LSM) ఉపయోగించి గుణకాలను కనుగొనడానికి సూత్రాలను పొందండి.

ఇచ్చిన ఎమరియు బిఫంక్షన్ అతి చిన్న విలువను తీసుకుంటుంది. ఈ వాస్తవం యొక్క రుజువు ఇవ్వబడింది పేజీ చివర టెక్స్ట్‌లో క్రింద.

అది కనీసం చతురస్రాల మొత్తం పద్ధతి. పరామితిని కనుగొనడానికి ఫార్ములా aమొత్తాలు ,,, మరియు పరామితిని కలిగి ఉంటుంది n- ప్రయోగాత్మక డేటా మొత్తం. ఈ మొత్తాల విలువలను విడిగా లెక్కించాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. గుణకం బిగణన తర్వాత కనుగొనబడింది a.

అసలు ఉదాహరణను గుర్తుంచుకోవలసిన సమయం ఇది.

పరిష్కారం.

మా ఉదాహరణలో n=5. అవసరమైన గుణకాల సూత్రాలలో చేర్చబడిన మొత్తాలను లెక్కించే సౌలభ్యం కోసం మేము పట్టికను పూరించాము.

పట్టికలోని నాల్గవ వరుసలోని విలువలు ప్రతి సంఖ్యకు 2వ వరుస యొక్క విలువలను 3వ వరుస విలువలతో గుణించడం ద్వారా పొందబడతాయి. i.

పట్టికలోని ఐదవ వరుసలోని విలువలు ప్రతి సంఖ్యకు 2వ వరుసలోని విలువలను వర్గీకరించడం ద్వారా పొందబడతాయి. i.

పట్టిక యొక్క చివరి నిలువు వరుసలోని విలువలు అడ్డు వరుసల అంతటా ఉన్న విలువల మొత్తాలు.

మేము గుణకాలను కనుగొనడానికి కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము ఎమరియు బి. మేము పట్టిక యొక్క చివరి నిలువు వరుస నుండి సంబంధిత విలువలను వాటికి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

అందుకే, y = 0.165x+2.184- కావలసిన ఉజ్జాయింపు సరళ రేఖ.

ఏ పంక్తులు ఉన్నాయో తెలుసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది y = 0.165x+2.184లేదా మెరుగ్గా ఒరిజినల్ డేటాను అంచనా వేస్తుంది, అంటే అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి అంచనా వేస్తుంది.

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క లోపం అంచనా.

దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఈ పంక్తుల నుండి అసలు డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని లెక్కించాలి మరియు , తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి అనే అర్థంలో అసలు డేటాను మెరుగ్గా అంచనా వేసే పంక్తికి చిన్న విలువ అనుగుణంగా ఉంటుంది.

నుండి , అప్పుడు నేరుగా y = 0.165x+2.184అసలు డేటాను అంచనా వేయడం మంచిది.

అతి తక్కువ చతురస్రాల (LS) పద్ధతి యొక్క గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్.

గ్రాఫ్‌లలో ప్రతిదీ స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ఎరుపు రేఖ కనుగొనబడిన సరళ రేఖ y = 0.165x+2.184, నీలి రేఖ , గులాబీ చుక్కలు అసలు డేటా.

ఆచరణలో, వివిధ ప్రక్రియలను మోడలింగ్ చేసేటప్పుడు - ప్రత్యేకించి, ఆర్థిక, భౌతిక, సాంకేతిక, సామాజిక - కొన్ని స్థిర పాయింట్ల వద్ద తెలిసిన విలువల నుండి ఫంక్షన్ల యొక్క సుమారు విలువలను లెక్కించే ఒకటి లేదా మరొక పద్ధతి విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

ఈ రకమైన ఫంక్షన్ ఉజ్జాయింపు సమస్య తరచుగా తలెత్తుతుంది:

ప్రయోగం ఫలితంగా పొందిన పట్టిక డేటాను ఉపయోగించి అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియ యొక్క లక్షణ పరిమాణాల విలువలను లెక్కించడానికి సుమారు సూత్రాలను నిర్మించేటప్పుడు;

సంఖ్యా ఏకీకరణ, భేదం, అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం మొదలైనవి;

అవసరమైతే, పరిగణించబడిన విరామం యొక్క ఇంటర్మీడియట్ పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ల విలువలను లెక్కించండి;

పరిగణించబడిన విరామం వెలుపల ప్రక్రియ యొక్క లక్షణ పరిమాణాల విలువలను నిర్ణయించేటప్పుడు, ముఖ్యంగా అంచనా వేసేటప్పుడు.

పట్టిక ద్వారా నిర్దేశించబడిన నిర్దిష్ట ప్రక్రియను మోడల్ చేయడానికి, మేము కనీసం స్క్వేర్‌ల పద్ధతి ఆధారంగా ఈ ప్రక్రియను సుమారుగా వివరించే ఒక ఫంక్షన్‌ను నిర్మిస్తే, దానిని ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ (రిగ్రెషన్) అని పిలుస్తారు మరియు ఇంచుమించు ఫంక్షన్‌లను నిర్మించే పని అంటారు. ఒక ఉజ్జాయింపు సమస్య.

ఈ రకమైన సమస్యను పరిష్కరించడానికి MS ఎక్సెల్ ప్యాకేజీ యొక్క సామర్థ్యాలను ఈ వ్యాసం చర్చిస్తుంది, అదనంగా, ఇది పట్టికలో ఉన్న ఫంక్షన్‌ల కోసం రిగ్రెషన్‌లను నిర్మించడానికి (సృష్టించడానికి) పద్ధతులు మరియు సాంకేతికతలను అందిస్తుంది (ఇది రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ యొక్క ఆధారం).

ఎక్సెల్ రిగ్రెషన్‌లను నిర్మించడానికి రెండు ఎంపికలను కలిగి ఉంది.

అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియ లక్షణం కోసం డేటా పట్టిక ఆధారంగా నిర్మించిన రేఖాచిత్రానికి ఎంచుకున్న రిగ్రెషన్‌లను (ట్రెండ్‌లైన్‌లు) జోడించడం (రేఖాచిత్రం రూపొందించబడితే మాత్రమే అందుబాటులో ఉంటుంది);

Excel వర్క్‌షీట్ యొక్క అంతర్నిర్మిత స్టాటిస్టికల్ ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించడం, సోర్స్ డేటా టేబుల్ నుండి నేరుగా రిగ్రెషన్‌లను (ట్రెండ్ లైన్‌లు) పొందేందుకు మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

చార్ట్‌కు ట్రెండ్ లైన్‌లను జోడిస్తోంది

ప్రక్రియను వివరించే మరియు రేఖాచిత్రం ద్వారా సూచించబడే డేటా పట్టిక కోసం, Excel సమర్థవంతమైన రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ సాధనాన్ని కలిగి ఉంది, అది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి ఆధారంగా రూపొందించండి మరియు రేఖాచిత్రానికి ఐదు రకాల రిగ్రెషన్‌లను జోడించండి, ఇది వివిధ స్థాయిల ఖచ్చితత్వంతో అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియను మోడల్ చేస్తుంది;

రేఖాచిత్రానికి నిర్మించిన రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని జోడించండి;

చార్ట్‌లో ప్రదర్శించబడే డేటాకు ఎంచుకున్న రిగ్రెషన్ యొక్క కరస్పాండెన్స్ స్థాయిని నిర్ణయించండి.

చార్ట్ డేటా ఆధారంగా, Excel మిమ్మల్ని లీనియర్, బహుపది, లాగరిథమిక్, పవర్, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ రకాల రిగ్రెషన్‌లను పొందేందుకు అనుమతిస్తుంది, ఇవి సమీకరణం ద్వారా పేర్కొనబడ్డాయి:

y = y(x)

ఇక్కడ x అనేది ఒక స్వతంత్ర వేరియబుల్, ఇది తరచుగా సహజ సంఖ్యల (1; 2; 3; ...) శ్రేణి యొక్క విలువలను తీసుకుంటుంది మరియు ఉదాహరణకు, అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియ (లక్షణాలు) యొక్క కౌంట్‌డౌన్‌ను ఉత్పత్తి చేస్తుంది.

1 . మోడలింగ్ లక్షణాలకు లీనియర్ రిగ్రెషన్ మంచిది, దీని విలువలు స్థిరమైన రేటుతో పెరుగుతాయి లేదా తగ్గుతాయి. అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియ కోసం నిర్మించడానికి ఇది సరళమైన నమూనా. ఇది సమీకరణానికి అనుగుణంగా నిర్మించబడింది:

y = mx + b

ఇక్కడ m అనేది x-అక్షానికి సరళ రిగ్రెషన్ వాలు యొక్క టాంజెంట్; బి - ఆర్డినేట్ యాక్సిస్‌తో లీనియర్ రిగ్రెషన్ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్.

2 . ఒక బహుపది ట్రెండ్ లైన్ అనేక విభిన్న విపరీతాలను (మాక్సిమా మరియు మినిమా) కలిగి ఉన్న లక్షణాలను వివరించడానికి ఉపయోగపడుతుంది. బహుపది డిగ్రీ ఎంపిక అధ్యయనంలో ఉన్న లక్షణం యొక్క తీవ్రత సంఖ్య ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. అందువల్ల, రెండవ-డిగ్రీ బహుపది అనేది ఒక గరిష్ట లేదా కనిష్ట ప్రక్రియను మాత్రమే వివరించగలదు; మూడవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది - రెండు తీవ్రత కంటే ఎక్కువ కాదు; నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది - మూడు తీవ్రత కంటే ఎక్కువ కాదు, మొదలైనవి.

ఈ సందర్భంలో, ట్రెండ్ లైన్ సమీకరణానికి అనుగుణంగా నిర్మించబడింది:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

ఇక్కడ గుణకాలు c0, c1, c2,... c6 స్థిరాంకాలు, దీని విలువలు నిర్మాణ సమయంలో నిర్ణయించబడతాయి.

3 . మోడలింగ్ లక్షణాలను మోడలింగ్ చేసేటప్పుడు లాగరిథమిక్ ట్రెండ్ లైన్ విజయవంతంగా ఉపయోగించబడుతుంది, దీని విలువలు మొదట్లో వేగంగా మారుతాయి మరియు క్రమంగా స్థిరీకరించబడతాయి.

y = c ln(x) + b

4 . అధ్యయనంలో ఉన్న సంబంధం యొక్క విలువలు వృద్ధి రేటులో స్థిరమైన మార్పుతో వర్గీకరించబడినట్లయితే పవర్-లా ట్రెండ్ లైన్ మంచి ఫలితాలను ఇస్తుంది. అటువంటి ఆధారపడటానికి ఒక ఉదాహరణ కారు యొక్క ఏకరీతి వేగవంతమైన చలనం యొక్క గ్రాఫ్. డేటాలో సున్నా లేదా ప్రతికూల విలువలు ఉంటే, మీరు పవర్ ట్రెండ్ లైన్‌ని ఉపయోగించలేరు.

సమీకరణం ప్రకారం నిర్మించబడింది:

y = c xb

ఇక్కడ గుణకాలు b, c స్థిరాంకాలు.

5 . డేటాలో మార్పు రేటు నిరంతరం పెరుగుతున్నప్పుడు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ట్రెండ్ లైన్‌ని ఉపయోగించాలి. సున్నా లేదా ప్రతికూల విలువలను కలిగి ఉన్న డేటా కోసం, ఈ రకమైన ఉజ్జాయింపు కూడా వర్తించదు.

సమీకరణం ప్రకారం నిర్మించబడింది:

y = c ebx

ఇక్కడ గుణకాలు b, c స్థిరాంకాలు.

ట్రెండ్ లైన్‌ను ఎంచుకున్నప్పుడు, ఎక్సెల్ స్వయంచాలకంగా R2 విలువను గణిస్తుంది, ఇది ఉజ్జాయింపు యొక్క విశ్వసనీయతను వర్ణిస్తుంది: R2 విలువ ఐక్యతకు దగ్గరగా ఉంటే, ట్రెండ్ లైన్ అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియను మరింత విశ్వసనీయంగా అంచనా వేస్తుంది. అవసరమైతే, R2 విలువ ఎల్లప్పుడూ చార్ట్‌లో ప్రదర్శించబడుతుంది.

సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

డేటా శ్రేణికి ట్రెండ్ లైన్ జోడించడానికి:

డేటా శ్రేణి ఆధారంగా చార్ట్‌ను సక్రియం చేయండి, అనగా చార్ట్ ప్రాంతంలో క్లిక్ చేయండి. రేఖాచిత్రం అంశం ప్రధాన మెనులో కనిపిస్తుంది;

ఈ ఐటెమ్‌పై క్లిక్ చేసిన తర్వాత, స్క్రీన్‌పై మెను కనిపిస్తుంది, దీనిలో మీరు యాడ్ ట్రెండ్ లైన్ ఆదేశాన్ని ఎంచుకోవాలి.

డేటా సిరీస్‌లో ఒకదానికి సంబంధించిన గ్రాఫ్‌పై మౌస్ పాయింటర్‌ను తరలించడం ద్వారా మరియు కుడి-క్లిక్ చేయడం ద్వారా అదే చర్యలు సులభంగా అమలు చేయబడతాయి; కనిపించే సందర్భ మెనులో, Add trend line ఆదేశాన్ని ఎంచుకోండి. Trendline డైలాగ్ బాక్స్ తెరవబడిన టైప్ ట్యాబ్‌తో స్క్రీన్‌పై కనిపిస్తుంది (Fig. 1).

దీని తరువాత మీకు ఇది అవసరం:

టైప్ ట్యాబ్‌లో అవసరమైన ట్రెండ్ లైన్ రకాన్ని ఎంచుకోండి (లీనియర్ రకం డిఫాల్ట్‌గా ఎంచుకోబడుతుంది). బహుపది రకం కోసం, డిగ్రీ ఫీల్డ్‌లో, ఎంచుకున్న బహుపది యొక్క డిగ్రీని పేర్కొనండి.

1 . బిల్ట్ ఆన్ సిరీస్ ఫీల్డ్ ప్రశ్నలోని చార్ట్‌లోని అన్ని డేటా సిరీస్‌లను జాబితా చేస్తుంది. నిర్దిష్ట డేటా సిరీస్‌కి ట్రెండ్ లైన్‌ని జోడించడానికి, బిల్ట్ ఆన్ సిరీస్ ఫీల్డ్‌లో దాని పేరును ఎంచుకోండి.

అవసరమైతే, పారామితుల ట్యాబ్‌కు వెళ్లడం ద్వారా (Fig. 2), మీరు ట్రెండ్ లైన్ కోసం క్రింది పారామితులను సెట్ చేయవచ్చు:

ఇంచుమించు (సున్నితమైన) వక్రరేఖ యొక్క పేరులో ట్రెండ్ లైన్ పేరును మార్చండి.

సూచన ఫీల్డ్‌లో సూచన కోసం కాలాల సంఖ్యను (ముందుకు లేదా వెనుకకు) సెట్ చేయండి;

రేఖాచిత్రం ప్రాంతంలో ట్రెండ్ లైన్ యొక్క సమీకరణాన్ని ప్రదర్శించండి, దీని కోసం మీరు రేఖాచిత్రం చెక్‌బాక్స్‌లో ప్రదర్శన సమీకరణాన్ని ప్రారంభించాలి;

రేఖాచిత్రం ప్రాంతంలో ఉజ్జాయింపు విశ్వసనీయత విలువ R2ని ప్రదర్శిస్తుంది, దీని కోసం మీరు రేఖాచిత్రం (R^2) చెక్‌బాక్స్‌పై ఉజ్జాయింపు విశ్వసనీయత విలువను ఉంచడాన్ని ప్రారంభించాలి;

Y అక్షంతో ట్రెండ్ లైన్ యొక్క ఖండన బిందువును సెట్ చేయండి, దీని కోసం మీరు ఒక పాయింట్ వద్ద Y అక్షంతో వక్రరేఖ యొక్క ఖండన కోసం చెక్‌బాక్స్‌ను ప్రారంభించాలి;

డైలాగ్ బాక్స్‌ను మూసివేయడానికి సరే బటన్‌ను క్లిక్ చేయండి.

ఇప్పటికే గీయబడిన ట్రెండ్ లైన్‌ని సవరించడం ప్రారంభించడానికి, మూడు మార్గాలు ఉన్నాయి:

ఫార్మాట్ మెను నుండి ఎంచుకున్న ట్రెండ్ లైన్ ఆదేశాన్ని ఉపయోగించండి, మునుపు ట్రెండ్ లైన్‌ని ఎంచుకున్నారు;

కాంటెక్స్ట్ మెను నుండి ఫార్మాట్ ట్రెండ్ లైన్ ఆదేశాన్ని ఎంచుకోండి, ఇది ట్రెండ్ లైన్‌పై కుడి-క్లిక్ చేయడం ద్వారా పిలువబడుతుంది;

ట్రెండ్ లైన్‌పై డబుల్ క్లిక్ చేయండి.

ట్రెండ్ లైన్ ఫార్మాట్ డైలాగ్ బాక్స్ స్క్రీన్‌పై కనిపిస్తుంది (Fig. 3), మూడు ట్యాబ్‌లను కలిగి ఉంటుంది: వీక్షణ, రకం, పారామితులు మరియు చివరి రెండు కంటెంట్‌లు ట్రెండ్ లైన్ డైలాగ్ బాక్స్‌లోని సారూప్య ట్యాబ్‌లతో పూర్తిగా సమానంగా ఉంటాయి (Fig. 1 -2). వీక్షణ ట్యాబ్‌లో, మీరు లైన్ రకాన్ని, దాని రంగు మరియు మందాన్ని సెట్ చేయవచ్చు.

ఇప్పటికే గీయబడిన ట్రెండ్ లైన్‌ను తొలగించడానికి, తొలగించాల్సిన ట్రెండ్ లైన్‌ని ఎంచుకుని, డిలీట్ కీని నొక్కండి.

పరిగణించబడిన రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ సాధనం యొక్క ప్రయోజనాలు:

దాని కోసం డేటా పట్టికను సృష్టించకుండా చార్ట్‌లపై ట్రెండ్ లైన్‌ను నిర్మించడంలో సాపేక్ష సౌలభ్యం;

ప్రతిపాదిత ట్రెండ్ లైన్‌ల రకాల విస్తృత జాబితా, మరియు ఈ జాబితాలో సాధారణంగా ఉపయోగించే రిగ్రెషన్ రకాలు ఉన్నాయి;

అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియ యొక్క ప్రవర్తనను ఏకపక్ష (సామాన్య జ్ఞానం యొక్క పరిమితుల్లో) ముందుకు మరియు వెనుకకు దశల సంఖ్య ద్వారా అంచనా వేయగల సామర్థ్యం;

విశ్లేషణాత్మక రూపంలో ట్రెండ్ లైన్ సమీకరణాన్ని పొందగల సామర్థ్యం;

అవకాశం, అవసరమైతే, ఉజ్జాయింపు యొక్క విశ్వసనీయత యొక్క అంచనాను పొందడం.

ప్రతికూలతలు క్రింది వాటిని కలిగి ఉంటాయి:

డేటా శ్రేణిపై నిర్మించిన రేఖాచిత్రం ఉంటే మాత్రమే ట్రెండ్ లైన్ నిర్మాణం జరుగుతుంది;

దాని కోసం పొందిన ట్రెండ్ లైన్ సమీకరణాల ఆధారంగా అధ్యయనంలో ఉన్న లక్షణం కోసం డేటా సిరీస్‌ని రూపొందించే ప్రక్రియ కొంత చిందరవందరగా ఉంది: అసలు డేటా సిరీస్ విలువలలో ప్రతి మార్పుతో అవసరమైన రిగ్రెషన్ సమీకరణాలు నవీకరించబడతాయి, కానీ చార్ట్ ప్రాంతంలో మాత్రమే , పాత లైన్ ఈక్వేషన్ ట్రెండ్ ఆధారంగా ఏర్పడిన డేటా సిరీస్ మారదు;

PivotChart నివేదికలలో, చార్ట్ లేదా అనుబంధిత PivotTable నివేదిక యొక్క వీక్షణను మార్చడం అనేది ఇప్పటికే ఉన్న ట్రెండ్‌లైన్‌లను భద్రపరచదు, అంటే మీరు ట్రెండ్‌లైన్‌లను గీయడానికి లేదా PivotChart నివేదికను ఫార్మాట్ చేయడానికి ముందు, నివేదిక లేఅవుట్ అవసరమైన అవసరాలకు అనుగుణంగా ఉందని మీరు నిర్ధారించుకోవాలి.

గ్రాఫ్, హిస్టోగ్రాం, ఫ్లాట్ నాన్-స్టాండర్డైజ్డ్ ఏరియా చార్ట్‌లు, బార్ చార్ట్‌లు, స్కాటర్ చార్ట్‌లు, బబుల్ చార్ట్‌లు మరియు స్టాక్ చార్ట్‌లు వంటి చార్ట్‌లపై అందించిన డేటా సిరీస్‌ను సప్లిమెంట్ చేయడానికి ట్రెండ్ లైన్‌లను ఉపయోగించవచ్చు.

మీరు 3D, సాధారణీకరించిన, రాడార్, పై మరియు డోనట్ చార్ట్‌లలో డేటా సిరీస్‌లకు ట్రెండ్ లైన్‌లను జోడించలేరు.

Excel యొక్క అంతర్నిర్మిత ఫంక్షన్లను ఉపయోగించడం

చార్ట్ ప్రాంతం వెలుపల ట్రెండ్ లైన్‌లను ప్లాట్ చేయడానికి Excel రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ సాధనాన్ని కూడా కలిగి ఉంది. మీరు ఈ ప్రయోజనం కోసం ఉపయోగించగల అనేక గణాంక వర్క్‌షీట్ ఫంక్షన్‌లు ఉన్నాయి, కానీ అవన్నీ లీనియర్ లేదా ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ రిగ్రెషన్‌లను రూపొందించడానికి మాత్రమే మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.

లీనియర్ రిగ్రెషన్‌ను నిర్మించడానికి Excel అనేక విధులను కలిగి ఉంది, ప్రత్యేకించి:

ట్రెండ్;

• వాలు మరియు కట్.

అలాగే ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ట్రెండ్ లైన్‌ను నిర్మించడానికి అనేక విధులు, ప్రత్యేకించి:

LGRFPRIBL.

TREND మరియు GROWTH ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి రిగ్రెషన్‌లను నిర్మించే పద్ధతులు దాదాపు ఒకే విధంగా ఉన్నాయని గమనించాలి. LINEST మరియు LGRFPRIBL ఫంక్షన్ల జత గురించి కూడా అదే చెప్పవచ్చు. ఈ నాలుగు ఫంక్షన్‌ల కోసం, విలువల పట్టికను సృష్టించడం అనేది శ్రేణి సూత్రాల వంటి Excel లక్షణాలను ఉపయోగిస్తుంది, ఇది రిగ్రెషన్‌లను నిర్మించే ప్రక్రియను కొంతవరకు అస్తవ్యస్తం చేస్తుంది. లీనియర్ రిగ్రెషన్ నిర్మాణం, మా అభిప్రాయం ప్రకారం, SLOPE మరియు INTERCEPT ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి చాలా సులభంగా సాధించబడుతుందని కూడా గమనించండి, వాటిలో మొదటిది లీనియర్ రిగ్రెషన్ యొక్క వాలును నిర్ణయిస్తుంది మరియు రెండవది y పై రిగ్రెషన్ ద్వారా అడ్డగించిన విభాగాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. -అక్షం.

రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ కోసం అంతర్నిర్మిత ఫంక్షన్ల సాధనం యొక్క ప్రయోజనాలు:

ట్రెండ్ లైన్‌లను నిర్వచించే అన్ని అంతర్నిర్మిత గణాంక ఫంక్షన్‌ల కోసం అధ్యయనంలో ఉన్న లక్షణం యొక్క డేటా శ్రేణిని రూపొందించడానికి చాలా సరళమైన, ఏకరీతి ప్రక్రియ;

ఉత్పత్తి చేయబడిన డేటా సిరీస్ ఆధారంగా ట్రెండ్ లైన్‌లను నిర్మించడానికి ప్రామాణిక పద్దతి;

ముందుకు లేదా వెనుకకు అవసరమైన దశల సంఖ్య ద్వారా అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియ యొక్క ప్రవర్తనను అంచనా వేయగల సామర్థ్యం.

ఇతర (లీనియర్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మినహా) రకాల ట్రెండ్ లైన్‌లను రూపొందించడానికి Excel అంతర్నిర్మిత ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉండకపోవడమే ప్రతికూలతలు. ఈ పరిస్థితి తరచుగా అధ్యయనంలో ఉన్న ప్రక్రియ యొక్క తగినంత ఖచ్చితమైన నమూనాను ఎంచుకోవడానికి అనుమతించదు, అలాగే వాస్తవికతకు దగ్గరగా ఉన్న సూచనలను పొందడం. అదనంగా, TREND మరియు GROWTH ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, ట్రెండ్ లైన్‌ల సమీకరణాలు తెలియవు.

రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ యొక్క కోర్సును ఏ విధమైన సంపూర్ణతతో ప్రదర్శించడానికి రచయితలు సిద్ధంగా లేరని గమనించాలి. ఉజ్జాయింపు సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఎక్సెల్ ప్యాకేజీ యొక్క సామర్థ్యాలను నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి చూపించడం దీని ప్రధాన పని; రిగ్రెషన్‌లను నిర్మించడానికి మరియు అంచనా వేయడానికి ఎక్సెల్ ఏ ప్రభావవంతమైన సాధనాలను కలిగి ఉందో ప్రదర్శించండి; రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ గురించి విస్తృతమైన జ్ఞానం లేని వినియోగదారు కూడా అటువంటి సమస్యలను సాపేక్షంగా సులభంగా ఎలా పరిష్కరించవచ్చో వివరించండి.

నిర్దిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలు

జాబితా చేయబడిన Excel సాధనాలను ఉపయోగించి నిర్దిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడాన్ని చూద్దాం.

సమస్య 1

1995-2002లో మోటారు రవాణా సంస్థ యొక్క లాభంపై డేటా పట్టికతో. మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయాలి:

రేఖాచిత్రాన్ని రూపొందించండి.

చార్ట్‌కు లీనియర్ మరియు బహుపది (క్వాడ్రాటిక్ మరియు క్యూబిక్) ట్రెండ్ లైన్‌లను జోడించండి.

ట్రెండ్ లైన్ సమీకరణాలను ఉపయోగించి, 1995-2004కి సంబంధించిన ప్రతి ట్రెండ్ లైన్ కోసం ఎంటర్‌ప్రైజ్ లాభాలపై పట్టిక డేటాను పొందండి.

2003 మరియు 2004లో సంస్థ యొక్క లాభం కోసం సూచన చేయండి.

సమస్య పరిష్కారం

Excel వర్క్‌షీట్‌లోని A4:C11 సెల్‌ల పరిధిలో, అంజీర్‌లో చూపిన వర్క్‌షీట్‌ను నమోదు చేయండి. 4.

B4:C11 కణాల పరిధిని ఎంచుకున్న తర్వాత, మేము రేఖాచిత్రాన్ని నిర్మిస్తాము.

మేము నిర్మించిన రేఖాచిత్రాన్ని సక్రియం చేస్తాము మరియు పైన వివరించిన పద్ధతి ప్రకారం, ట్రెండ్ లైన్ డైలాగ్ బాక్స్‌లో ట్రెండ్ లైన్ రకాన్ని ఎంచుకున్న తర్వాత (Fig. 1 చూడండి), మేము ప్రత్యామ్నాయంగా రేఖాచిత్రానికి సరళ, చతురస్రాకార మరియు క్యూబిక్ ట్రెండ్ లైన్‌లను జోడిస్తాము. అదే డైలాగ్ బాక్స్‌లో, పారామీటర్‌ల ట్యాబ్‌ను తెరవండి (అంజీర్ 2 చూడండి), ఇంచుమించు (సున్నితమైన) కర్వ్ ఫీల్డ్ పేరులో, జోడించబడుతున్న ట్రెండ్ పేరును నమోదు చేయండి మరియు ఫోర్‌కాస్ట్ ఫార్వార్డ్‌లో: పీరియడ్స్ ఫీల్డ్, సెట్ చేయండి విలువ 2, ఇది రెండు సంవత్సరాలకు ముందు లాభాలను అంచనా వేయడానికి ప్రణాళిక చేయబడింది. రేఖాచిత్రం ప్రాంతంలో రిగ్రెషన్ సమీకరణం మరియు ఉజ్జాయింపు విశ్వసనీయత విలువ R2ని ప్రదర్శించడానికి, స్క్రీన్ చెక్‌బాక్స్‌లపై ప్రదర్శన సమీకరణాన్ని ప్రారంభించండి మరియు రేఖాచిత్రంపై ఉజ్జాయింపు విశ్వసనీయత విలువ (R^2) ఉంచండి. మెరుగైన దృశ్యమాన అవగాహన కోసం, మేము నిర్మించిన ట్రెండ్ లైన్‌ల రకం, రంగు మరియు మందాన్ని మారుస్తాము, దీని కోసం మేము ట్రెండ్ లైన్ ఫార్మాట్ డైలాగ్ బాక్స్ యొక్క వీక్షణ ట్యాబ్‌ను ఉపయోగిస్తాము (Fig. 3 చూడండి). జోడించిన ట్రెండ్ లైన్‌లతో ఫలిత రేఖాచిత్రం అంజీర్‌లో చూపబడింది. 5.

1995-2004 కోసం ప్రతి ట్రెండ్ లైన్ కోసం ఎంటర్‌ప్రైజ్ లాభాలపై పట్టిక డేటాను పొందేందుకు. అంజీర్‌లో అందించిన ట్రెండ్ లైన్ సమీకరణాలను ఉపయోగించుకుందాం. 5. దీన్ని చేయడానికి, D3:F3 పరిధి సెల్‌లలో, ఎంచుకున్న ట్రెండ్ లైన్ రకం గురించి వచన సమాచారాన్ని నమోదు చేయండి: లీనియర్ ట్రెండ్, క్వాడ్రాటిక్ ట్రెండ్, క్యూబిక్ ట్రెండ్. తర్వాత, సెల్ D4లో లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఫార్ములాను నమోదు చేయండి మరియు పూరక మార్కర్‌ని ఉపయోగించి, సెల్ పరిధి D5:D13కి సంబంధిత సూచనలతో ఈ ఫార్ములాను కాపీ చేయండి. D4:D13 కణాల పరిధి నుండి లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఫార్ములా ఉన్న ప్రతి సెల్ A4:A13 పరిధి నుండి సంబంధిత సెల్‌ను వాదనగా కలిగి ఉందని గమనించాలి. అదేవిధంగా, క్వాడ్రాటిక్ రిగ్రెషన్ కోసం, E4:E13 కణాల పరిధిని పూరించండి మరియు క్యూబిక్ రిగ్రెషన్ కోసం, F4:F13 కణాల పరిధిని పూరించండి. ఈ విధంగా, 2003 మరియు 2004లో సంస్థ యొక్క లాభం కోసం ఒక సూచన సంకలనం చేయబడింది. మూడు పోకడలను ఉపయోగించడం. ఫలిత విలువల పట్టిక అంజీర్లో చూపబడింది. 6.

సమస్య 2

రేఖాచిత్రాన్ని రూపొందించండి.

చార్ట్‌కు లాగరిథమిక్, పవర్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ట్రెండ్ లైన్‌లను జోడించండి.

పొందిన ట్రెండ్ లైన్‌ల సమీకరణాలను, అలాగే వాటిలో ప్రతిదానికి ఉజ్జాయింపు R2 యొక్క విశ్వసనీయత విలువలను పొందండి.

ట్రెండ్ లైన్ సమీకరణాలను ఉపయోగించి, 1995-2002కి సంబంధించిన ప్రతి ట్రెండ్ లైన్‌కు ఎంటర్‌ప్రైజ్ లాభంపై పట్టిక డేటాను పొందండి.

ఈ ట్రెండ్ లైన్‌లను ఉపయోగించి 2003 మరియు 2004లో కంపెనీ లాభాలను అంచనా వేయండి.

సమస్య పరిష్కారం

సమస్య 1ని పరిష్కరించడంలో ఇచ్చిన పద్దతిని అనుసరించి, మేము దానికి జోడించబడిన లాగరిథమిక్, పవర్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ట్రెండ్ లైన్‌లతో కూడిన రేఖాచిత్రాన్ని పొందుతాము (Fig. 7). తరువాత, పొందిన ట్రెండ్ లైన్ సమీకరణాలను ఉపయోగించి, మేము 2003 మరియు 2004 కోసం అంచనా వేసిన విలువలతో సహా సంస్థ యొక్క లాభం కోసం విలువల పట్టికను పూరించాము. (Fig. 8).

అంజీర్లో. 5 మరియు అంజీర్. సంవర్గమాన ధోరణి కలిగిన మోడల్ ఉజ్జాయింపు విశ్వసనీయత యొక్క అత్యల్ప విలువకు అనుగుణంగా ఉన్నట్లు చూడవచ్చు

R2 = 0.8659

R2 యొక్క అత్యధిక విలువలు బహుపది ధోరణితో మోడల్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి: చతురస్రాకార (R2 = 0.9263) మరియు క్యూబిక్ (R2 = 0.933).

సమస్య 3

టాస్క్ 1లో ఇవ్వబడిన 1995-2002లో మోటారు రవాణా సంస్థ యొక్క లాభంపై డేటా పట్టికతో, మీరు క్రింది దశలను తప్పక చేయాలి.

TREND మరియు GROW ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి లీనియర్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ట్రెండ్ లైన్‌ల కోసం డేటా సిరీస్‌ను పొందండి.

TREND మరియు GROWTH ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి, 2003 మరియు 2004లో సంస్థ యొక్క లాభాలను అంచనా వేయండి.

అసలు డేటా మరియు ఫలిత డేటా సిరీస్ కోసం రేఖాచిత్రాన్ని రూపొందించండి.

సమస్య పరిష్కారం

సమస్య 1 కోసం వర్క్‌షీట్‌ని వుపయోగిద్దాం (Fig. 4 చూడండి). ట్రెండ్ ఫంక్షన్‌తో ప్రారంభిద్దాం:

సెల్స్ D4: D11 పరిధిని ఎంచుకోండి, ఇది ఎంటర్ప్రైజ్ లాభంపై తెలిసిన డేటాకు అనుగుణంగా TREND ఫంక్షన్ విలువలతో నింపాలి;

చొప్పించు మెను నుండి ఫంక్షన్ ఆదేశానికి కాల్ చేయండి. కనిపించే ఫంక్షన్ విజార్డ్ డైలాగ్ బాక్స్‌లో, స్టాటిస్టికల్ వర్గం నుండి TREND ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకుని, ఆపై OK బటన్‌ను క్లిక్ చేయండి. ప్రామాణిక టూల్‌బార్‌లోని (ఇన్సర్ట్ ఫంక్షన్) బటన్‌ను క్లిక్ చేయడం ద్వారా అదే ఆపరేషన్ చేయవచ్చు.

కనిపించే ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్స్ డైలాగ్ బాక్స్‌లో, Known_values_y ఫీల్డ్‌లో C4:C11 సెల్‌ల పరిధిని నమోదు చేయండి; Known_values_x ఫీల్డ్‌లో - కణాల పరిధి B4:B11;

నమోదు చేసిన సూత్రాన్ని శ్రేణి ఫార్ములాగా మార్చడానికి, కీ కలయిక + +ని ఉపయోగించండి.

మేము ఫార్ములా బార్‌లో నమోదు చేసిన ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది: =(TREND(C4:C11,B4:B11)).

ఫలితంగా, కణాల పరిధి D4:D11 TREND ఫంక్షన్ యొక్క సంబంధిత విలువలతో నిండి ఉంటుంది (Fig. 9).

2003 మరియు 2004లో సంస్థ యొక్క లాభాలను అంచనా వేయడానికి. అవసరం:

TREND ఫంక్షన్ ద్వారా అంచనా వేయబడిన విలువలు నమోదు చేయబడే D12:D13 కణాల పరిధిని ఎంచుకోండి.

TREND ఫంక్షన్‌కు కాల్ చేయండి మరియు కనిపించే ఫంక్షన్ ఆర్గ్యుమెంట్స్ డైలాగ్ బాక్స్‌లో, Known_values_y ఫీల్డ్‌లో నమోదు చేయండి - సెల్‌ల పరిధి C4:C11; Known_values_x ఫీల్డ్‌లో - కణాల పరిధి B4:B11; మరియు New_values_x ఫీల్డ్‌లో - కణాల పరిధి B12:B13.

Ctrl + Shift + Enter కీ కలయికను ఉపయోగించి ఈ సూత్రాన్ని శ్రేణి ఫార్ములాగా మార్చండి.

నమోదు చేసిన ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), మరియు D12:D13 కణాల పరిధి TREND ఫంక్షన్ యొక్క అంచనా విలువలతో నిండి ఉంటుంది (Fig. 9)

డేటా శ్రేణి అదే విధంగా GROWTH ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించడంలో పూరించబడింది, ఇది నాన్‌లీనియర్ డిపెండెన్సీల విశ్లేషణలో ఉపయోగించబడుతుంది మరియు దాని లీనియర్ కౌంటర్‌పార్ట్ TREND వలె సరిగ్గా అదే విధంగా పనిచేస్తుంది.

మూర్తి 10 ఫార్ములా డిస్ప్లే మోడ్‌లో పట్టికను చూపుతుంది.

ప్రారంభ డేటా మరియు పొందిన డేటా సిరీస్ కోసం, రేఖాచిత్రం అంజీర్‌లో చూపబడింది. పదకొండు.

సమస్య 4

ప్రస్తుత నెల 1 నుండి 11 వరకు మోటారు రవాణా సంస్థ యొక్క డిస్పాచ్ సేవ ద్వారా సేవల కోసం దరఖాస్తుల రసీదుపై డేటా పట్టికతో, మీరు తప్పనిసరిగా ఈ క్రింది చర్యలను చేయాలి.

లీనియర్ రిగ్రెషన్ కోసం డేటా సిరీస్‌ను పొందండి: SLOPE మరియు INTERCEPT ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించడం; LINEST ఫంక్షన్ ఉపయోగించి.

LGRFPRIBL ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ రిగ్రెషన్ కోసం డేటా శ్రేణిని పొందండి.

పై ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి, ప్రస్తుత నెల 12 నుండి 14వ తేదీ వరకు డిస్పాచ్ సేవకు దరఖాస్తుల రసీదు గురించి సూచన చేయండి.

అసలు మరియు స్వీకరించిన డేటా సిరీస్ కోసం రేఖాచిత్రాన్ని సృష్టించండి.

సమస్య పరిష్కారం

TREND మరియు GROWTH ఫంక్షన్‌ల వలె కాకుండా, పైన జాబితా చేయబడిన ఫంక్షన్‌లలో ఏదీ (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) తిరోగమనం కాదని గమనించండి. ఈ విధులు సహాయక పాత్రను మాత్రమే పోషిస్తాయి, అవసరమైన రిగ్రెషన్ పారామితులను నిర్ణయిస్తాయి.

SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి నిర్మించిన లీనియర్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ రిగ్రెషన్‌ల కోసం, ట్రెండ్ మరియు గ్రోత్ ఫంక్షన్‌లకు సంబంధించిన లీనియర్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ రిగ్రెషన్‌లకు భిన్నంగా వాటి సమీకరణాల రూపాన్ని ఎల్లప్పుడూ తెలుసుకుంటారు.

1 . సమీకరణంతో సరళ రిగ్రెషన్‌ను రూపొందిద్దాం:

y = mx+b

SLOPE మరియు INTERCEPT ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి, రిగ్రెషన్ స్లోప్ m స్లోప్ ఫంక్షన్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది మరియు ఉచిత పదం b INTERCEPT ఫంక్షన్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

దీన్ని చేయడానికి, మేము ఈ క్రింది చర్యలను చేస్తాము:

సెల్ పరిధి A4:B14లో అసలు పట్టికను నమోదు చేయండి;

పరామితి m విలువ సెల్ C19లో నిర్ణయించబడుతుంది. గణాంక వర్గం నుండి స్లోప్ ఫంక్షన్‌ను ఎంచుకోండి; తెలిసిన_విలువలు_y ఫీల్డ్‌లో B4:B14 కణాల పరిధిని మరియు తెలిసిన_విలువలు_x ఫీల్డ్‌లో A4:A14 సెల్‌ల పరిధిని నమోదు చేయండి. ఫార్ములా సెల్ C19లో నమోదు చేయబడుతుంది: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);

ఇదే సాంకేతికతను ఉపయోగించి, సెల్ D19లో పరామితి b విలువ నిర్ణయించబడుతుంది. మరియు దాని కంటెంట్‌లు ఇలా కనిపిస్తాయి: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14). అందువల్ల, ఒక లీనియర్ రిగ్రెషన్‌ను నిర్మించడానికి అవసరమైన m మరియు b పారామితుల విలువలు వరుసగా C19, D19 కణాలలో నిల్వ చేయబడతాయి;

తర్వాత, సెల్ C4లో లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఫార్ములాను ఫారమ్‌లో నమోదు చేయండి: =$C*A4+$D. ఈ ఫార్ములాలో, C19 మరియు D19 కణాలు సంపూర్ణ సూచనలతో వ్రాయబడ్డాయి (కాపీ చేసే సమయంలో సెల్ చిరునామా మారకూడదు). సెల్ అడ్రస్‌పై కర్సర్‌ని ఉంచిన తర్వాత $ అనే సంపూర్ణ సూచన గుర్తును కీబోర్డ్ నుండి లేదా F4 కీని ఉపయోగించి టైప్ చేయవచ్చు. ఫిల్ హ్యాండిల్‌ని ఉపయోగించి, ఈ ఫార్ములాను సెల్ C4:C17 పరిధిలోకి కాపీ చేయండి. మేము అవసరమైన డేటా శ్రేణిని పొందుతాము (Fig. 12). అభ్యర్థనల సంఖ్య పూర్ణాంకం అయినందున, మీరు సెల్ ఫార్మాట్ విండో యొక్క సంఖ్య ట్యాబ్‌లో దశాంశ స్థానాల సంఖ్యతో సంఖ్య ఆకృతిని 0కి సెట్ చేయాలి.

2 . ఇప్పుడు సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడిన ఒక సరళ రిగ్రెషన్‌ను రూపొందిద్దాం:

y = mx+b

LINEST ఫంక్షన్ ఉపయోగించి.

దీని కొరకు:

సెల్ పరిధి C20:D20: =(LINEST(B4:B14,A4:A14))లో LINEST ఫంక్షన్‌ని అర్రే ఫార్ములాగా నమోదు చేయండి. ఫలితంగా, మేము సెల్ C20 లో పరామితి m యొక్క విలువను మరియు సెల్ D20లో పరామితి b విలువను పొందుతాము;

సెల్ D4లో సూత్రాన్ని నమోదు చేయండి: =$C*A4+$D;

పూరక మార్కర్‌ని ఉపయోగించి ఈ ఫార్ములాను సెల్ పరిధి D4:D17కి కాపీ చేసి, కావలసిన డేటా శ్రేణిని పొందండి.

3 . మేము ఈక్వేషన్‌తో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ రిగ్రెషన్‌ను నిర్మిస్తాము:

LGRFPRIBL ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి ఇది ఇలాగే నిర్వహించబడుతుంది:

సెల్ పరిధి C21:D21లో మేము LGRFPRIBL ఫంక్షన్‌ను అర్రే ఫార్ములాగా నమోదు చేస్తాము: =(LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). ఈ సందర్భంలో, పరామితి m యొక్క విలువ సెల్ C21లో నిర్ణయించబడుతుంది మరియు పరామితి b యొక్క విలువ సెల్ D21లో నిర్ణయించబడుతుంది;

ఫార్ములా సెల్ E4లో నమోదు చేయబడింది: =$D*$C^A4;

పూరక మార్కర్‌ని ఉపయోగించి, ఈ ఫార్ములా E4:E17 కణాల పరిధికి కాపీ చేయబడుతుంది, ఇక్కడ ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ రిగ్రెషన్ కోసం డేటా సిరీస్ ఉంటుంది (Fig. 12 చూడండి).

అంజీర్లో. మూర్తి 13 ఒక పట్టికను చూపుతుంది, ఇక్కడ మేము అవసరమైన సెల్ పరిధులు, అలాగే సూత్రాలతో ఉపయోగించే ఫంక్షన్‌లను మీరు చూడవచ్చు.

పరిమాణం ఆర్ 2 అని పిలిచారు నిర్ణయం యొక్క గుణకం.

రిగ్రెషన్ డిపెండెన్స్‌ను నిర్మించే పని ఏమిటంటే, మోడల్ (1) యొక్క కోఎఫీషియంట్స్ m వెక్టర్‌ను కనుగొనడం, దీనిలో గుణకం R గరిష్ట విలువను తీసుకుంటుంది.

R యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడానికి, ఫిషర్ యొక్క F పరీక్ష ఉపయోగించబడుతుంది, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

ఎక్కడ n- నమూనా పరిమాణం (ప్రయోగాల సంఖ్య);

k అనేది మోడల్ గుణకాల సంఖ్య.

డేటా కోసం F కొంత క్లిష్టమైన విలువను మించి ఉంటే nమరియు కెమరియు ఆమోదించబడిన విశ్వాస సంభావ్యత, అప్పుడు R విలువ ముఖ్యమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. F యొక్క క్లిష్టమైన విలువల పట్టికలు గణిత గణాంకాలపై సూచన పుస్తకాలలో ఇవ్వబడ్డాయి.

అందువల్ల, R యొక్క ప్రాముఖ్యత దాని విలువ ద్వారా మాత్రమే కాకుండా, ప్రయోగాల సంఖ్య మరియు మోడల్ యొక్క గుణకాల సంఖ్య (పారామితులు) మధ్య నిష్పత్తి ద్వారా కూడా నిర్ణయించబడుతుంది. నిజానికి, ఒక సాధారణ రేఖీయ నమూనా కోసం n=2 సహసంబంధ నిష్పత్తి 1కి సమానం (ఒకే సరళ రేఖను ఎల్లప్పుడూ విమానంలో 2 పాయింట్ల ద్వారా గీయవచ్చు). అయితే, ప్రయోగాత్మక డేటా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ అయితే, అటువంటి R విలువను చాలా జాగ్రత్తగా విశ్వసించాలి. సాధారణంగా, ముఖ్యమైన R మరియు విశ్వసనీయ రిగ్రెషన్‌ను పొందేందుకు, ప్రయోగాల సంఖ్య గణనీయంగా మోడల్ కోఎఫీషియంట్స్ (n>k) సంఖ్యను మించి ఉండేలా చూసేందుకు వారు కృషి చేస్తారు.

లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్‌ను రూపొందించడానికి మీకు ఇది అవసరం:

1) ప్రయోగాత్మక డేటాను కలిగి ఉన్న n అడ్డు వరుసలు మరియు m నిలువు వరుసల జాబితాను సిద్ధం చేయండి (అవుట్‌పుట్ విలువను కలిగి ఉన్న కాలమ్ వైజాబితాలో మొదటి లేదా చివరిగా ఉండాలి); ఉదాహరణకు, మునుపటి టాస్క్ నుండి డేటాను తీసుకుందాం, "పీరియడ్ నంబర్" అనే కాలమ్‌ని జోడించి, 1 నుండి 12 వరకు ఉన్న పీరియడ్ నంబర్‌లను నంబర్ చేయండి. (ఇవి విలువలుగా ఉంటాయి. X)

2) మెను డేటా/డేటా విశ్లేషణ/రిగ్రెషన్‌కు వెళ్లండి

"టూల్స్" మెనులో "డేటా విశ్లేషణ" అంశం తప్పిపోయినట్లయితే, మీరు అదే మెనులోని "యాడ్-ఇన్‌లు" ఐటెమ్‌కు వెళ్లి "విశ్లేషణ ప్యాకేజీ" చెక్‌బాక్స్‌ని తనిఖీ చేయాలి.

3) "రిగ్రెషన్" డైలాగ్ బాక్స్‌లో, సెట్ చేయండి:

· ఇన్పుట్ విరామం Y;

· ఇన్పుట్ విరామం X;

· అవుట్‌పుట్ విరామం - గణన ఫలితాలు ఉంచబడే విరామం యొక్క ఎగువ ఎడమ సెల్ (వాటిని కొత్త వర్క్‌షీట్‌లో ఉంచడానికి సిఫార్సు చేయబడింది);

4) "సరే" క్లిక్ చేసి ఫలితాలను విశ్లేషించండి.

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క సారాంశం సమయం లేదా ప్రదేశంలో ఏదైనా యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయం యొక్క అభివృద్ధి యొక్క ధోరణిని ఉత్తమంగా వివరించే ట్రెండ్ మోడల్ యొక్క పారామితులను కనుగొనడంలో (ట్రెండ్ అనేది ఈ అభివృద్ధి యొక్క ధోరణిని వర్ణించే పంక్తి). మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ మెథడ్ (LSM) యొక్క పని కేవలం కొన్ని ట్రెండ్ మోడల్‌ను కనుగొనడమే కాదు, ఉత్తమమైన లేదా సరైన మోడల్‌ను కనుగొనడం. గమనించిన వాస్తవ విలువలు మరియు సంబంధిత లెక్కించబడిన ట్రెండ్ విలువల మధ్య స్క్వేర్ విచలనాల మొత్తం కనిష్టంగా ఉంటే (అతి చిన్నది) ఈ మోడల్ సరైనది:

గమనించిన వాస్తవ విలువ మధ్య వర్గ విచలనం ఎక్కడ ఉంది

మరియు సంబంధిత లెక్కించిన ట్రెండ్ విలువ,

అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయం యొక్క వాస్తవ (గమనింపబడిన) విలువ,

ట్రెండ్ మోడల్ యొక్క లెక్కించిన విలువ,

అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయం యొక్క పరిశీలనల సంఖ్య.

MNC స్వంతంగా చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది. నియమం ప్రకారం, చాలా తరచుగా ఇది సహసంబంధ అధ్యయనాలలో అవసరమైన సాంకేతిక సాంకేతికతగా మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది. OLS యొక్క సమాచార ప్రాతిపదిక విశ్వసనీయమైన గణాంక శ్రేణి మాత్రమే అని గుర్తుంచుకోవాలి మరియు పరిశీలనల సంఖ్య 4 కంటే తక్కువ ఉండకూడదు, లేకుంటే OLS యొక్క మృదువైన విధానాలు ఇంగితజ్ఞానాన్ని కోల్పోవచ్చు.

MNC టూల్‌కిట్ క్రింది విధానాలకు దిగువన ఉంది:

మొదటి విధానం. ఎంచుకున్న కారకం-వాదన మారినప్పుడు ఫలిత లక్షణాన్ని మార్చడానికి ఏదైనా ధోరణి ఉందా లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, "" మధ్య ఏదైనా సంబంధం ఉందా అని తేలింది. వద్ద "మరియు" X ».

రెండవ విధానం. ఈ ట్రెండ్‌ని ఏ పంక్తి (పథం) ఉత్తమంగా వివరించగలదో లేదా వర్ణించగలదో నిర్ణయించబడుతుంది.

మూడవ విధానం.

ఉదాహరణ. అధ్యయనంలో ఉన్న పొలంలో సగటు పొద్దుతిరుగుడు దిగుబడి గురించి మాకు సమాచారం ఉందని చెప్పండి (టేబుల్ 9.1).

పట్టిక 9.1

పరిశీలన సంఖ్య
ఉత్పాదకత, సి/హె

మన దేశంలో పొద్దుతిరుగుడు ఉత్పత్తిలో సాంకేతికత స్థాయి గత 10 సంవత్సరాలుగా వాస్తవంగా మారలేదు కాబట్టి, స్పష్టంగా, విశ్లేషించబడిన కాలంలో దిగుబడిలో హెచ్చుతగ్గులు వాతావరణం మరియు వాతావరణ పరిస్థితులలో హెచ్చుతగ్గులపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఇది నిజంగా నిజమేనా?

మొదటి OLS విధానం. విశ్లేషించబడిన 10 సంవత్సరాలలో వాతావరణం మరియు వాతావరణ పరిస్థితులలో మార్పులను బట్టి పొద్దుతిరుగుడు దిగుబడి మారుతున్న ధోరణి ఉనికి గురించి పరికల్పన పరీక్షించబడింది.

ఈ ఉదాహరణలో, " వై "పొద్దుతిరుగుడు దిగుబడిని తీసుకోవడం మంచిది, మరియు" x » – విశ్లేషించబడిన కాలంలో గమనించిన సంవత్సరం సంఖ్య. మధ్య ఏదైనా సంబంధం ఉనికి గురించి పరికల్పనను పరీక్షించడం " x "మరియు" వై "రెండు విధాలుగా చేయవచ్చు: మానవీయంగా మరియు కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లను ఉపయోగించడం. వాస్తవానికి, కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ లభ్యతతో, ఈ సమస్య స్వయంగా పరిష్కరించబడుతుంది. కానీ MNC సాధనాలను బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, "" మధ్య సంబంధం ఉనికి గురించి పరికల్పనను పరీక్షించడం మంచిది. x "మరియు" వై » మాన్యువల్‌గా, పెన్ను మరియు సాధారణ కాలిక్యులేటర్ మాత్రమే చేతిలో ఉన్నప్పుడు. అటువంటి సందర్భాలలో, డైనమిక్స్ యొక్క విశ్లేషించబడిన శ్రేణి యొక్క గ్రాఫికల్ చిత్రం యొక్క స్థానం ద్వారా ధోరణి యొక్క ఉనికి గురించి పరికల్పన ఉత్తమంగా దృశ్యమానంగా తనిఖీ చేయబడుతుంది - సహసంబంధ క్షేత్రం:

మా ఉదాహరణలో సహసంబంధ క్షేత్రం నెమ్మదిగా పెరుగుతున్న రేఖ చుట్టూ ఉంది. ఇది పొద్దుతిరుగుడు దిగుబడిలో మార్పులలో ఒక నిర్దిష్ట ధోరణి ఉనికిని సూచిస్తుంది. సహసంబంధ క్షేత్రం ఒక వృత్తం, వృత్తం, ఖచ్చితంగా నిలువుగా లేదా ఖచ్చితంగా అడ్డంగా ఉండే క్లౌడ్‌లా కనిపించినప్పుడు లేదా అస్తవ్యస్తంగా చెల్లాచెదురుగా ఉన్న పాయింట్‌లను కలిగి ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఏదైనా ధోరణి ఉనికి గురించి మాట్లాడటం అసాధ్యం. అన్ని ఇతర సందర్భాలలో, మధ్య సంబంధం ఉనికి గురించి పరికల్పన " x "మరియు" వై ", మరియు పరిశోధన కొనసాగించండి.

రెండవ OLS విధానం. విశ్లేషించబడిన వ్యవధిలో పొద్దుతిరుగుడు దిగుబడిలో మార్పుల ధోరణిని ఏ రేఖ (పథం) ఉత్తమంగా వివరించగలదో లేదా వర్ణించగలదో నిర్ణయించబడుతుంది.

మీకు కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ ఉంటే, సరైన ధోరణి ఎంపిక స్వయంచాలకంగా జరుగుతుంది. “మాన్యువల్” ప్రాసెసింగ్‌లో, ఆప్టిమల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఎంపిక, ఒక నియమం వలె, దృశ్యమానంగా - సహసంబంధ ఫీల్డ్ యొక్క స్థానం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. అంటే, గ్రాఫ్ రకం ఆధారంగా, అనుభావిక ధోరణికి (వాస్తవ పథం) బాగా సరిపోయే రేఖ యొక్క సమీకరణం ఎంచుకోబడుతుంది.

తెలిసినట్లుగా, ప్రకృతిలో అనేక రకాల ఫంక్షనల్ డిపెండెన్సీలు ఉన్నాయి, కాబట్టి వాటిలో ఒక చిన్న భాగాన్ని కూడా దృశ్యమానంగా విశ్లేషించడం చాలా కష్టం. అదృష్టవశాత్తూ, నిజమైన ఆర్థిక ఆచరణలో, చాలా సంబంధాలను పారాబొలా, లేదా హైపర్బోలా లేదా సరళ రేఖ ద్వారా చాలా ఖచ్చితంగా వివరించవచ్చు. ఈ విషయంలో, ఉత్తమ ఫంక్షన్‌ను ఎంచుకునే “మాన్యువల్” ఎంపికతో, మీరు ఈ మూడు మోడళ్లకు మాత్రమే మిమ్మల్ని పరిమితం చేసుకోవచ్చు.

		హైపర్బోలా:

రెండవ ఆర్డర్ పారాబొలా: :

మా ఉదాహరణలో, విశ్లేషించబడిన 10 సంవత్సరాలలో పొద్దుతిరుగుడు దిగుబడి మార్పుల ధోరణి సరళ రేఖ ద్వారా ఉత్తమంగా వర్గీకరించబడిందని చూడటం సులభం, కాబట్టి రిగ్రెషన్ సమీకరణం సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణంగా ఉంటుంది.

మూడవ విధానం. ఈ పంక్తిని వర్గీకరించే రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితులు లెక్కించబడతాయి లేదా ఇతర మాటలలో, ఉత్తమ ధోరణి నమూనాను వివరించే విశ్లేషణాత్మక సూత్రం నిర్ణయించబడుతుంది.

రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితుల విలువలను కనుగొనడం, మా విషయంలో పారామితులు మరియు , OLS యొక్క ప్రధాన అంశం. ఈ ప్రక్రియ సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి వస్తుంది.

(9.2)

ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థను గాస్ పద్ధతి ద్వారా చాలా సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. పరిష్కారం ఫలితంగా, మా ఉదాహరణలో, పారామితుల విలువలు మరియు కనుగొనబడ్డాయి అని గుర్తుచేసుకుందాం. అందువలన, కనుగొనబడిన రిగ్రెషన్ సమీకరణం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

తక్కువ చదరపు పద్ధతిరిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితులను అంచనా వేయడానికి ఉపయోగిస్తారు.

పంక్తుల సంఖ్య (మూల డేటా)

లక్షణాల మధ్య యాదృచ్ఛిక సంబంధాలను అధ్యయనం చేసే పద్ధతుల్లో ఒకటి రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ.
రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ అనేది రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం, దీని సహాయంతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ (ఫలితం లక్షణం) యొక్క సగటు విలువ మరొక (లేదా ఇతర) వేరియబుల్స్ (కారకం-గుణాలు) తెలిసినట్లయితే కనుగొనబడుతుంది. ఇది క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:

1. కనెక్షన్ రూపం యొక్క ఎంపిక (విశ్లేషణాత్మక రిగ్రెషన్ సమీకరణం రకం);
2. సమీకరణ పారామితుల అంచనా;
3. విశ్లేషణాత్మక రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క నాణ్యతను అంచనా వేయడం.

చాలా తరచుగా, లక్షణాల యొక్క గణాంక సంబంధాన్ని వివరించడానికి సరళ రూపం ఉపయోగించబడుతుంది. సరళ సంబంధాలపై దృష్టి దాని పారామితుల యొక్క స్పష్టమైన ఆర్థిక వివరణ, వేరియబుల్స్ యొక్క పరిమిత వైవిధ్యం మరియు చాలా సందర్భాలలో నాన్‌లీనియర్ రకాల సంబంధాలు (లాగరిథమ్ లేదా వేరియబుల్స్ ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా) గణనలను నిర్వహించడానికి సరళ రూపంలోకి మార్చబడతాయి. .
లీనియర్ పెయిర్‌వైస్ రిలేషన్‌షిప్ విషయంలో, రిగ్రెషన్ సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: y i =a+b·x i +u i . ఈ సమీకరణం యొక్క a మరియు b పారామితులు గణాంక పరిశీలన డేటా x మరియు y నుండి అంచనా వేయబడ్డాయి. అటువంటి అంచనా యొక్క ఫలితం సమీకరణం: , ఇక్కడ , పారామీటర్ల అంచనాలు a మరియు b , రిగ్రెషన్ సమీకరణం (గణన విలువ) నుండి పొందిన ఫలిత లక్షణం (వేరియబుల్) యొక్క విలువ.

చాలా తరచుగా పారామితులను అంచనా వేయడానికి ఉపయోగిస్తారు కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి (LSM).
తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితుల యొక్క ఉత్తమ (స్థిరమైన, సమర్థవంతమైన మరియు నిష్పాక్షికమైన) అంచనాలను అందిస్తుంది. కానీ యాదృచ్ఛిక పదం (u) మరియు ఇండిపెండెంట్ వేరియబుల్ (x) లకు సంబంధించి కొన్ని అంచనాలు కలిసినట్లయితే మాత్రమే (OLS అంచనాలను చూడండి).

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ జత సమీకరణం యొక్క పారామితులను అంచనా వేయడంలో సమస్యఈ క్రింది విధంగా ఉంది: అటువంటి పారామితుల అంచనాలను పొందడం కోసం , , ఫలితంగా వచ్చే లక్షణం యొక్క వాస్తవ విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం - y i లెక్కించిన విలువల నుండి - తక్కువగా ఉంటుంది.
అధికారికంగా OLS పరీక్షఇలా వ్రాయవచ్చు: .

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతుల వర్గీకరణ

1. తక్కువ చదరపు పద్ధతి.
2. గరిష్ట సంభావ్యత పద్ధతి (సాధారణ క్లాసికల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్ కోసం, రిగ్రెషన్ అవశేషాల సాధారణత సూచించబడుతుంది).
3. లోపాల యొక్క ఆటోకోరిలేషన్ విషయంలో మరియు హెటెరోసెడాస్టిసిటీ విషయంలో సాధారణీకరించిన మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ OLS పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.
4. వెయిటెడ్ మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ మెథడ్ (హెటెరోసెడాస్టిక్ రెసిడ్యూల్స్‌తో OLS యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం).

విషయాన్ని ఉదహరించుకుందాం క్లాసికల్ మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ మెథడ్ గ్రాఫికల్. దీన్ని చేయడానికి, మేము దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పరిశీలనాత్మక డేటా (x i, y i, i=1;n) ఆధారంగా స్కాటర్ ప్లాట్‌ను నిర్మిస్తాము (అటువంటి స్కాటర్ ప్లాట్‌ను కోరిలేషన్ ఫీల్డ్ అంటారు). సహసంబంధ ఫీల్డ్ యొక్క పాయింట్లకు దగ్గరగా ఉండే సరళ రేఖను ఎంచుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం. అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి ప్రకారం, సహసంబంధ ఫీల్డ్ మరియు ఈ రేఖ యొక్క పాయింట్ల మధ్య నిలువు దూరాల చతురస్రాల మొత్తం తక్కువగా ఉండేలా లైన్ ఎంచుకోబడుతుంది.

ఈ సమస్యకు గణిత సంజ్ఞామానం: .
y i మరియు x i =1...n విలువలు మనకు తెలుసు; ఇవి పరిశీలనాత్మక డేటా. S ఫంక్షన్‌లో అవి స్థిరాంకాలను సూచిస్తాయి. ఈ ఫంక్షన్‌లోని వేరియబుల్స్ పారామితుల యొక్క అవసరమైన అంచనాలు - , . రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క కనిష్ట ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడానికి, ప్రతి పారామితులకు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను లెక్కించడం మరియు వాటిని సున్నాకి సమం చేయడం అవసరం, అనగా. .
ఫలితంగా, మేము 2 సాధారణ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:
ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తూ, మేము అవసరమైన పరామితి అంచనాలను కనుగొంటాము:

రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితుల గణన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని మొత్తాలను పోల్చడం ద్వారా తనిఖీ చేయవచ్చు (గణనలను చుట్టుముట్టడం వలన కొంత వ్యత్యాసం ఉండవచ్చు).
పరామితి అంచనాలను లెక్కించేందుకు, మీరు టేబుల్ 1ని రూపొందించవచ్చు.
రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ b యొక్క సంకేతం సంబంధం యొక్క దిశను సూచిస్తుంది (b >0 అయితే, సంబంధం ప్రత్యక్షంగా ఉంటుంది, అయితే b<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
అధికారికంగా, పరామితి a విలువ సున్నాకి సమానమైన xతో y యొక్క సగటు విలువ. లక్షణం-కారకం సున్నా విలువను కలిగి ఉండకపోతే మరియు కలిగి ఉండకపోతే, పారామీటర్ a యొక్క పై వివరణ అర్ధవంతం కాదు.

లక్షణాల మధ్య సంబంధం యొక్క సామీప్యాన్ని అంచనా వేయడం లీనియర్ పెయిర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది - r x,y. దీనిని ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు: . అదనంగా, లీనియర్ పెయిర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ b ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: .
లీనియర్ పెయిర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి –1 నుండి +1 వరకు ఉంటుంది. సహసంబంధ గుణకం యొక్క సంకేతం సంబంధం యొక్క దిశను సూచిస్తుంది. r x, y >0 అయితే, కనెక్షన్ ప్రత్యక్షంగా ఉంటుంది; r x అయితే, y<0, то связь обратная.
ఈ గుణకం పరిమాణంలో ఐక్యతకు దగ్గరగా ఉంటే, లక్షణాల మధ్య సంబంధాన్ని చాలా దగ్గరి సరళంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. దాని మాడ్యూల్ ఒక ê r x , y ê =1కి సమానం అయితే, లక్షణాల మధ్య సంబంధం ఫంక్షనల్ లీనియర్‌గా ఉంటుంది. x మరియు y లక్షణాలు సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటే, అప్పుడు r x,y 0కి దగ్గరగా ఉంటుంది.
r x,yని లెక్కించడానికి, మీరు టేబుల్ 1ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

టేబుల్ 1

N పరిశీలనలు	x i	y i	x i ∙y i
1	x 1	y 1	x 1 y 1
2	x 2	y 2	x 2 y 2
...
n	x n	y n	x n y n
కాలమ్ సమ్	∑x	∑y	∑xy
సగటు విలువ

ఫలిత రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క నాణ్యతను అంచనా వేయడానికి, సైద్ధాంతిక గుణకం నిర్ధారణను లెక్కించండి - R 2 yx:

,
ఇక్కడ d 2 అనేది రిగ్రెషన్ సమీకరణం ద్వారా వివరించబడిన y యొక్క వైవిధ్యం;
ఇ 2 - y యొక్క అవశేష (రిగ్రెషన్ సమీకరణం ద్వారా వివరించబడలేదు) వైవిధ్యం;
s 2 y - y యొక్క మొత్తం (మొత్తం) భేదం.
నిర్ణయ గుణకం మొత్తం వైవిధ్యం (డిస్పర్షన్) y లో రిగ్రెషన్ (మరియు, తత్ఫలితంగా, కారకం x) ద్వారా వివరించబడిన ఫలిత లక్షణం y యొక్క వైవిధ్యం (డిస్పర్షన్) నిష్పత్తిని వర్గీకరిస్తుంది. R 2 yx నిర్ధారణ గుణకం 0 నుండి 1 వరకు విలువలను తీసుకుంటుంది. తదనుగుణంగా, 1-R 2 yx విలువ మోడల్ మరియు స్పెసిఫికేషన్ లోపాలలో పరిగణనలోకి తీసుకోని ఇతర కారకాల ప్రభావం వల్ల ఏర్పడే వైవిధ్యం యొక్క నిష్పత్తిని వర్ణిస్తుంది.
జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్‌తో, R 2 yx =r 2 yx.