Mlinganyo wa mstari katika vigeu viwili ni mlinganyo wowote ambao una namna ifuatayo: a*x + b*y =с. Hapa x na y ni vigezo viwili, a,b,c ni baadhi ya nambari.

Chini ni chache mifano ya milinganyo ya mstari.

1. 10 * x + 25 * y = 150;

Kama hesabu na moja isiyojulikana, equation ya mstari iliyo na vijiti viwili (isiyojulikana) pia ina suluhisho. Kwa mfano, mlingano wa mstari x-y=5, na x=8 na y=3 hugeuka kuwa utambulisho sahihi 8-3=5. Katika kesi hii, jozi ya nambari x=8 na y=3 inasemekana kuwa suluhisho la mlinganyo wa mstari x-y=5. Unaweza pia kusema kwamba jozi ya nambari x=8 na y=3 inatosheleza mlingano wa mstari x-y=5.

Kutatua Mlingano wa Linear

Kwa hivyo, suluhu la mlinganyo wa mstari a*x + b*y = c ni jozi yoyote ya nambari (x,y) inayotosheleza mlingano huu, yaani, hugeuza mlinganyo wenye viambajengo x na y kuwa usawa sahihi wa nambari. Angalia jinsi jozi ya nambari x na y zimeandikwa hapa. Ingizo hili ni fupi na rahisi zaidi. Unahitaji tu kukumbuka kwamba nafasi ya kwanza katika rekodi hiyo ni thamani ya kutofautiana x, na pili ni thamani ya kutofautiana y.

Tafadhali kumbuka kuwa nambari x=11 na y=8, x=205 na y=200 x= 4.5 na y= -0.5 pia zinakidhi mlingano wa mstari x-y=5, na kwa hivyo ni suluhu kwa mlingano huu wa mstari.

Kutatua mlingano wa mstari na mambo mawili yasiyojulikana sio pekee. Kila equation ya mstari katika mbili zisizojulikana ina masuluhisho mengi tofauti kabisa. Hiyo ni, kuna nyingi tofauti kabisa nambari mbili x na y zinazobadilisha mlinganyo wa mstari kuwa utambulisho wa kweli.

Ikiwa equations kadhaa zilizo na vigezo viwili zina suluhu zinazofanana, basi milinganyo kama hiyo inaitwa milinganyo sawa. Ikumbukwe kwamba ikiwa equations na mbili haijulikani hazina ufumbuzi, basi pia huchukuliwa kuwa sawa.

Sifa za kimsingi za milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana

1. Masharti yoyote katika equation yanaweza kuhamishwa kutoka sehemu moja hadi nyingine, lakini ni muhimu kubadili ishara yake kwa moja kinyume. Mlinganyo utakaotokana utakuwa sawa na ule wa awali.

2. Pande zote mbili za equation zinaweza kugawanywa na nambari yoyote ambayo si sifuri. Kama matokeo, tunapata mlinganyo unaolingana na ule wa asili.

Maagizo

Ubadilishaji MethodExpress kigezo kimoja na ukibadilishe katika mlinganyo mwingine. Unaweza kueleza tofauti yoyote kwa hiari yako. Kwa mfano, eleza y kutoka kwa mlinganyo wa pili:
x-y=2 => y=x-2Kisha ubadilishe kila kitu kwenye mlinganyo wa kwanza:
2x+(x-2)=10 Sogeza kila kitu bila “x” hadi upande wa kulia na uhesabu:
2x+x=10+2
3x=12 Ifuatayo, ili kupata x, gawanya pande zote mbili za equation na 3:
x=4. Kwa hivyo, umepata “x. Tafuta "y. Ili kufanya hivyo, badilisha "x" kwenye mlinganyo ambao ulionyesha "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Fanya ukaguzi. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yanayotokana na hesabu:
2*4+2=10
4-2=2
Wasiojulikana wamepatikana kwa usahihi!

Njia ya kuongeza au kupunguza milinganyo Ondoa tofauti yoyote mara moja. Kwa upande wetu, hii ni rahisi kufanya na "y.
Kwa kuwa katika "y" kuna ishara "+", na katika pili "-", basi unaweza kufanya operesheni ya kuongeza, i.e. kunja upande wa kushoto na wa kushoto, na wa kulia na wa kulia:
2x+y+(x-y)=10+2Geuza:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Badilisha “x” kwenye mlinganyo wowote na utafute “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Kwa mbinu ya 1 unaweza kuona kwamba zilipatikana kwa usahihi.

Ikiwa hakuna vigezo vilivyoelezwa wazi, basi ni muhimu kubadilisha kidogo equations.
Katika equation ya kwanza tunayo "2x", na ya pili tunayo "x". Ili x ipunguzwe wakati wa kuongeza, zidisha equation ya pili na 2:
x-y=2
2x-2y=4Kisha toa ya pili kutoka kwa mlinganyo wa kwanza:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Kumbuka kwamba ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi baada ya kufungua, ibadilishe kwa kinyume:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
pata y=2x kwa kueleza kutoka kwa mlinganyo wowote, i.e.
x=4

Video kwenye mada

Kidokezo cha 2: Jinsi ya kutatua equation ya mstari katika vigezo viwili

Mlinganyo, iliyoandikwa kwa umbo la jumla ax+bу+c=0, inaitwa mlingano wa mstari na mbili vigezo. Equation kama hiyo yenyewe ina idadi isiyo na kipimo ya suluhisho, kwa hivyo katika shida daima huongezewa na kitu - equation nyingine au masharti ya kikomo. Kulingana na masharti yaliyotolewa na shida, suluhisha equation ya mstari na mbili vigezo hufuata kwa njia tofauti.

Utahitaji

• - usawa wa mstari na vigezo viwili;
• - equation ya pili au masharti ya ziada.

Maagizo

Kwa kuzingatia mfumo wa milinganyo miwili ya mstari, isuluhishe kama ifuatavyo. Chagua mojawapo ya milinganyo ambayo migawo iko vigezo ndogo na kueleza moja ya vigezo, kwa mfano, x. Kisha ubadilishe thamani hii iliyo na y kwenye mlinganyo wa pili. Katika equation inayosababisha kutakuwa na tofauti moja tu y, songa sehemu zote na y upande wa kushoto, na za bure kwa kulia. Tafuta y na ubadilishe katika milinganyo yoyote ya asili ili kupata x.

Kuna njia nyingine ya kutatua mfumo wa equations mbili. Zidisha moja ya milinganyo kwa nambari ili mgawo wa mojawapo ya vigeuzo, kama vile x, iwe sawa katika milinganyo yote miwili. Kisha toa moja ya milinganyo kutoka kwa nyingine (ikiwa upande wa kulia sio sawa na 0, kumbuka kutoa pande za kulia kwa njia ile ile). Utaona kwamba utofauti wa x umetoweka na ni moja tu ya y iliyobaki. Tatua mlingano unaotokana, na ubadilishe thamani iliyopatikana ya y kwa usawa wowote asili. Tafuta x.

Njia ya tatu ya kutatua mfumo wa milinganyo miwili ya mstari ni ya kielelezo. Chora mfumo wa kuratibu na uchore mistari miwili iliyonyooka ambayo milinganyo yake imetolewa kwenye mfumo wako. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yoyote mawili ya x kwenye equation na upate y inayolingana - hizi zitakuwa kuratibu za alama za mstari. Njia rahisi zaidi ya kupata makutano na shoka za kuratibu ni kubadilisha tu maadili x=0 na y=0. Kuratibu za hatua ya makutano ya mistari hii miwili itakuwa kazi.

Ikiwa kuna equation moja tu ya mstari katika hali ya shida, basi umepewa masharti ya ziada ambayo unaweza kupata suluhisho. Soma tatizo kwa uangalifu ili kupata hali hizi. Kama vigezo x na y zinaonyesha umbali, kasi, uzito - jisikie huru kuweka kikomo x≥0 na y≥0. Inawezekana kabisa kwamba x au y huficha idadi ya apples, nk. - basi maadili yanaweza tu kuwa . Ikiwa x ni umri wa mtoto, ni wazi kuwa hawezi kuwa mzee kuliko baba yake, kwa hivyo onyesha hii katika hali ya shida.

Vyanzo:

• jinsi ya kutatua equation na variable moja

Pekee yake mlinganyo na watatu haijulikani ina masuluhisho mengi, kwa hivyo mara nyingi huongezewa na milinganyo au masharti mawili zaidi. Kulingana na data ya awali ni nini, mwendo wa uamuzi utategemea sana.

Utahitaji

• - mfumo wa equations tatu na haijulikani tatu.

Maagizo

Ikiwa mifumo miwili kati ya mitatu ina mbili tu kati ya tatu zisizojulikana, jaribu kuelezea vigeu kadhaa kulingana na vingine na ubadilishe katika mlinganyo na watatu haijulikani. Lengo lako katika kesi hii ni kuibadilisha kuwa ya kawaida mlinganyo na mtu asiyejulikana. Ikiwa hii ni , suluhu zaidi ni rahisi sana - badilisha thamani iliyopatikana katika milinganyo mingine na upate zisizojulikana zingine zote.

Baadhi ya mifumo ya milinganyo inaweza kupunguzwa kutoka kwa mlinganyo mmoja hadi mwingine. Angalia ikiwa inawezekana kuzidisha moja au kigezo ili mambo mawili yasiyojulikana yaghairiwe mara moja. Ikiwa kuna fursa kama hiyo, tumia fursa hiyo; uwezekano mkubwa, suluhisho linalofuata halitakuwa ngumu. Kumbuka kwamba wakati wa kuzidisha kwa nambari, lazima uzidishe upande wa kushoto na wa kulia. Vivyo hivyo, wakati wa kutoa milinganyo, lazima ukumbuke kuwa upande wa kulia lazima pia utolewe.

Ikiwa njia za awali hazikusaidia, tumia njia ya jumla ya kutatua equations yoyote na tatu haijulikani. Ili kufanya hivyo, andika upya milinganyo katika fomu a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sasa unda matrix ya coefficients ya x (A), matrix ya haijulikani (X) na matriki ya vigezo vya bure (B). Tafadhali kumbuka kuwa kwa kuzidisha matrix ya mgawo kwa matrix ya haijulikani, utapata matrix ya maneno ya bure, ambayo ni, A*X=B.

Pata matrix A kwa nguvu (-1) kwa kutafuta kwanza, kumbuka kuwa haipaswi kuwa sawa na sifuri. Baada ya hayo, zidisha matrix inayotokana na matrix B, kama matokeo utapokea matrix inayotaka X, ikionyesha maadili yote.

Unaweza pia kupata suluhisho kwa mfumo wa hesabu tatu kwa kutumia njia ya Cramer. Ili kufanya hivyo, pata kibainishi cha mpangilio wa tatu ∆ sambamba na matrix ya mfumo. Kisha mtawalia pata viambajengo vitatu zaidi ∆1, ∆2 na ∆3, ukibadilisha maadili ya istilahi zisizolipishwa badala ya maadili ya safuwima zinazolingana. Sasa tafuta x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Vyanzo:

• suluhisho kwa milinganyo na tatu zisizojulikana

Kutatua mfumo wa milinganyo ni changamoto na kusisimua. Mfumo mgumu zaidi, ndivyo unavyovutia zaidi kutatua. Mara nyingi katika hisabati ya shule ya sekondari kuna mifumo ya equations na mbili haijulikani, lakini katika hisabati ya juu kunaweza kuwa na vigezo zaidi. Mifumo inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia kadhaa.

Maagizo

Njia ya kawaida ya kutatua mfumo wa equations ni uingizwaji. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuelezea tofauti moja kwa suala la mwingine na kuibadilisha kwa pili mlinganyo mifumo, hivyo kuongoza mlinganyo kwa kutofautiana moja. Kwa mfano, kutokana na milinganyo ifuatayo: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Kutoka kwa usemi wa pili ni rahisi kuelezea moja ya vigezo, kusonga kila kitu kwa upande wa kulia wa usemi, bila kusahau kubadilisha ishara ya mgawo: x = 3-y.

Fungua mabano: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Tunabadilisha thamani inayotokana na y kwenye usemi: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Katika usemi wa kwanza, maneno yote ni 2, unaweza kuchukua 2 nje ya mabano hadi mali ya usambazaji ya kuzidisha: 2*(2x-y-3)=0. Sasa sehemu zote mbili za usemi zinaweza kupunguzwa kwa nambari hii, na kisha kuonyeshwa kama y, kwani mgawo wa moduli ni sawa na moja: -y = 3-2x au y = 2x-3.

Kama ilivyo katika kesi ya kwanza, tunabadilisha usemi huu hadi wa pili mlinganyo na tunapata: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Badilisha thamani inayotokana na usemi: y=2x -3;y=4-3=1.

Tunaona kwamba mgawo wa y ni sawa kwa thamani, lakini tofauti katika ishara, kwa hivyo, ikiwa tutaongeza milinganyo hii, tutaondoa kabisa y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0;x=2. Badilisha thamani ya x katika milinganyo yoyote kati ya mbili za mfumo na upate y=1.

Video kwenye mada

Biquadratic mlinganyo inawakilisha mlinganyo shahada ya nne, fomu ya jumla ambayo inawakilishwa na usemi ax^4 + bx^2 + c = 0. Suluhisho lake linatokana na matumizi ya njia ya uingizwaji wa haijulikani. Katika kesi hii, x ^ 2 inabadilishwa na tofauti nyingine. Kwa hivyo, matokeo ni mraba wa kawaida mlinganyo, ambayo inahitaji kutatuliwa.

Maagizo

Tatua quadratic mlinganyo, kutokana na uingizwaji. Ili kufanya hivyo, kwanza uhesabu thamani kwa mujibu wa formula: D = b^2? 4ac. Katika kesi hii, vigezo a, b, c ni coefficients ya equation yetu.

Pata mizizi ya equation ya biquadratic. Kwa kufanya hivyo, chukua mizizi ya mraba ya ufumbuzi uliopatikana. Ikiwa kulikuwa na suluhisho moja, basi kutakuwa na mbili - thamani nzuri na hasi ya mizizi ya mraba. Ikiwa kulikuwa na suluhisho mbili, equation ya biquadratic itakuwa na mizizi minne.

Video kwenye mada

Mojawapo ya njia za kitamaduni za kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ni njia ya Gauss. Inajumuisha uondoaji wa mlolongo wa vigezo, wakati mfumo wa equations kwa kutumia mabadiliko rahisi hubadilishwa kuwa mfumo wa hatua, ambayo vigezo vyote vinapatikana kwa sequentially, kuanzia na mwisho.

Maagizo

Kwanza, kuleta mfumo wa equations katika fomu ambapo haijulikani wote ni katika utaratibu madhubuti defined. Kwa mfano, X zote zisizojulikana zitaonekana kwanza kwenye kila mstari, zote za Y zitakuja baada ya X, Z zote zitakuja baada ya Y, na kadhalika. Haipaswi kuwa na haijulikani kwenye upande wa kulia wa kila mlinganyo. Akili kuamua coefficients mbele ya kila haijulikani, pamoja na coefficients upande wa kulia wa kila equation.

Usawa f(x; y) = 0 inawakilisha mlinganyo wenye vigeu viwili. Suluhisho la equation kama hii ni jozi ya maadili tofauti ambayo hubadilisha equation na vigeu viwili kuwa usawa wa kweli.

Ikiwa tuna equation yenye vigeu viwili, basi, kwa mapokeo, ni lazima tuweke x katika nafasi ya kwanza na y katika nafasi ya pili.

Fikiria mlinganyo x – 3y = 10. Jozi (10; 0), (16; 2), (-2; -4) ni suluhu kwa mlinganyo unaozingatiwa, wakati jozi (1; 5) sio suluhisho.

Ili kupata jozi zingine za suluhisho kwa equation hii, ni muhimu kuelezea tofauti moja kwa suala la mwingine - kwa mfano, x kwa suala la y. Kama matokeo, tunapata equation
x = 10 + 3y. Wacha tuhesabu maadili ya x kwa kuchagua maadili ya kiholela ya y.

Ikiwa y = 7, basi x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.

Ikiwa y = -2, basi x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 - 6 = 4.

Kwa hivyo, jozi (31; 7), (4; -2) pia ni suluhisho kwa mlinganyo uliotolewa.

Ikiwa equations na vigezo viwili vina mizizi sawa, basi equations vile huitwa sawa.

Kwa milinganyo yenye vigeu viwili, nadharia juu ya mabadiliko sawa ya milinganyo ni halali.

Fikiria grafu ya equation na vigezo viwili.

Hebu usawa na vigezo viwili f (x; y) = 0. Ufumbuzi wake wote unaweza kuwakilishwa na pointi kwenye ndege ya kuratibu, kupata seti fulani ya pointi kwenye ndege. Seti hii ya pointi kwenye ndege inaitwa grafu ya equation f(x; y) = 0.

Kwa hivyo, grafu ya equation y - x 2 = 0 ni parabola y = x 2; grafu ya equation y - x = 0 ni mstari wa moja kwa moja; grafu ya equation y - 3 = 0 ni mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa x, nk.

Equation ya fomu ax + by = c, ambapo x na y ni vigezo na, b na c ni namba, inaitwa linear; nambari a, b huitwa coefficients ya vigezo, c ni neno la bure.

Grafu ya shoka ya equation ya mstari + by = c ni:

Wacha tupange equation 2x - 3y = -6.

1. Kwa sababu hakuna coefficients ya vigezo ni sawa na sifuri, basi grafu ya equation hii itakuwa mstari wa moja kwa moja.

2. Kujenga mstari wa moja kwa moja, tunahitaji kujua angalau pointi zake mbili. Badilisha maadili ya x kwenye milinganyo na upate maadili y na kinyume chake:

ikiwa x = 0, basi y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);

ikiwa y = 0, basi x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6).

Kwa hivyo, tulipata alama mbili kwenye grafu: (0; 2) na (-3; 0).

3. Hebu tupe mstari wa moja kwa moja kupitia pointi zilizopatikana na kupata grafu ya equation
2x - 3y = -6.

Ikiwa mstari wa equation ax + by = c una fomu 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, basi ni lazima tuzingatie kesi mbili:

1. c = 0. Katika kesi hii, jozi yoyote (x; y) inakidhi equation, na kwa hiyo grafu ya equation ni ndege nzima ya kuratibu;

2. c ≠ 0. Katika kesi hii, equation haina ufumbuzi, ambayo ina maana grafu yake haina pointi moja.

blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.

Mada:Utendakazi wa mstari

Somo:Mlinganyo wa mstari katika vigezo viwili na grafu yake

Tulifahamu dhana za mhimili wa kuratibu na ndege ya kuratibu. Tunajua kwamba kila nukta kwenye ndege inafafanua kipekee jozi ya nambari (x; y), na nambari ya kwanza ikiwa abscissa ya nukta, na ya pili ikiwa ya kuratibu.

Mara nyingi tutakutana na equation ya mstari katika vigezo viwili, suluhisho ambalo ni jozi ya nambari ambazo zinaweza kuwakilishwa kwenye ndege ya kuratibu.

Mlinganyo wa fomu:

Ambapo a, b, c ni nambari, na

Inaitwa mlingano wa mstari na vigeu viwili x na y. Suluhisho la mlingano kama huo litakuwa jozi yoyote kama hiyo ya nambari x na y, ikibadilisha ambayo katika mlinganyo tutapata usawa sahihi wa nambari.

Jozi ya nambari itaonyeshwa kwenye ndege ya kuratibu kama hatua.

Kwa hesabu kama hizo tutaona suluhisho nyingi, ambayo ni, jozi nyingi za nambari, na alama zote zinazolingana zitalala kwenye mstari sawa.

Hebu tuangalie mfano:

Ili kupata suluhisho la equation hii unahitaji kuchagua jozi zinazolingana za nambari x na y:

Let , basi equation ya asili inageuka kuwa equation na moja isiyojulikana:

,

Hiyo ni, jozi ya kwanza ya nambari ambayo ni suluhisho la equation fulani (0; 3). Tulipata pointi A(0; 3)

Hebu . Tunapata equation ya asili na tofauti moja: , kutoka hapa, tulipata uhakika B(3; 0)

Wacha tuweke jozi za nambari kwenye meza:

Wacha tupange vidokezo kwenye grafu na tuchore mstari wa moja kwa moja:

Kumbuka kwamba hatua yoyote kwenye mstari uliopewa itakuwa suluhisho kwa equation iliyotolewa. Wacha tuangalie - chukua hatua na kuratibu na utumie grafu kupata uratibu wake wa pili. Ni dhahiri kwamba katika hatua hii. Wacha tubadilishe jozi hii ya nambari kwenye mlinganyo. Tunapata 0=0 - usawa sahihi wa nambari, ambayo inamaanisha kuwa nukta iliyo kwenye mstari ni suluhisho.

Kwa sasa, hatuwezi kuthibitisha kwamba hatua yoyote iliyo kwenye mstari uliojengwa ni suluhu la mlinganyo, kwa hivyo tunakubali hili kama kweli na tutalithibitisha baadaye.

Mfano 2 - piga mlinganyo:

Wacha tutengeneze jedwali; tunahitaji vidokezo viwili tu ili kuunda laini iliyonyooka, lakini tutachukua ya tatu kudhibiti:

Katika safu ya kwanza tulichukua inayofaa, tutaipata kutoka:

, ,

Kwenye safu ya pili tulichukua inayofaa, wacha tupate x:

, , ,

Wacha tuangalie na tupate:

, ,

Wacha tujenge grafu:

Wacha tuzidishe equation iliyotolewa na mbili:

Kutoka kwa mabadiliko hayo, seti ya ufumbuzi haitabadilika na grafu itabaki sawa.

Hitimisho: tulijifunza kutatua equations na vigezo viwili na kujenga grafu zao, tulijifunza kwamba grafu ya equation kama hiyo ni mstari wa moja kwa moja na kwamba hatua yoyote kwenye mstari huu ni suluhisho la equation.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. na wengine Aljebra 7. Toleo la 6. M.: Kuelimika. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. na wengine Aljebra 7.M.: Mwangaza. 2006

2. Tovuti ya kutazama kwa familia ().

Kazi ya 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nambari 960, Sanaa ya 210;

Kazi ya 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, No. 961, Sanaa ya 210;

Kazi ya 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nambari 962, Sanaa ya 210;

§ 1 Uchaguzi wa mizizi ya equation katika hali halisi

Wacha tuangalie hali hii halisi:

Bwana na mwanafunzi kwa pamoja walitengeneza sehemu 400 maalum. Kwa kuongezea, bwana alifanya kazi kwa siku 3, na mwanafunzi kwa siku 2. Kila mtu alifanya sehemu ngapi?

Wacha tuunde mfano wa algebra wa hali hii. Acha bwana atoe sehemu kwa siku 1. Na mwanafunzi yuko kwenye maelezo. Kisha bwana atafanya sehemu 3 kwa siku 3, na mwanafunzi atafanya sehemu 2 kwa siku 2. Kwa pamoja watatoa sehemu 3 + 2. Kwa kuwa, kulingana na hali hiyo, jumla ya sehemu 400 zilitengenezwa, tunapata equation:

Equation inayotokana inaitwa equation ya mstari katika vigezo viwili. Hapa tunahitaji kupata jozi ya nambari x na y ambayo equation itachukua fomu ya usawa wa kweli wa nambari. Kumbuka kuwa ikiwa x = 90, y = 65, basi tunapata usawa:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Kwa kuwa usawa sahihi wa nambari umepatikana, jozi ya nambari 90 na 65 itakuwa suluhisho kwa usawa huu. Lakini suluhisho lililopatikana sio pekee. Ikiwa x = 96 na y = 56, basi tunapata usawa:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Hii pia ni usawa wa kweli wa nambari, ambayo ina maana kwamba jozi ya namba 96 na 56 pia ni suluhisho la equation hii. Lakini jozi ya nambari x = 73 na y = 23 haitakuwa suluhisho kwa mlinganyo huu. Kwa kweli, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 itatupa usawa usio sahihi wa nambari 265 = 400. Ikumbukwe kwamba ikiwa tunazingatia usawa kuhusiana na hali hii halisi, basi kutakuwa na jozi za namba ambazo, kuwa. suluhu ya mlingano huu, haitakuwa suluhisho la tatizo. Kwa mfano, nambari kadhaa:

x = 200 na y = -100

ni suluhisho la equation, lakini mwanafunzi hawezi kufanya sehemu -100, na kwa hiyo jozi ya namba hizo haziwezi kuwa jibu la swali la tatizo. Kwa hivyo, katika kila hali maalum ni muhimu kuchukua njia nzuri ya kuchagua mizizi ya equation.

Wacha tufanye muhtasari wa matokeo ya kwanza:

Mlinganyo wa fomu shoka + bу + c = 0, ambapo a, b, c ni nambari yoyote, inaitwa mlinganyo wa mstari na vigezo viwili.

Suluhisho la equation ya mstari katika vigezo viwili ni jozi ya nambari zinazolingana na x na y, ambayo equation inageuka kuwa usawa wa nambari wa kweli.

§ Grafu 2 ya mlingano wa mstari

Rekodi yenyewe ya jozi (x;y) hutuongoza kufikiria juu ya uwezekano wa kuionyesha kama sehemu yenye viwianishi xy y kwenye ndege. Hii ina maana kwamba tunaweza kupata mfano wa kijiometri wa hali maalum. Kwa mfano, fikiria equation:

2x + y - 4 = 0

Wacha tuchague jozi kadhaa za nambari ambazo zitakuwa suluhisho la equation hii na tujenge alama na viwianishi vilivyopatikana. Wacha hizi ziwe pointi:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).

Kumbuka kwamba pointi zote ziko kwenye mstari mmoja. Mstari huu unaitwa grafu ya equation ya mstari katika vigezo viwili. Ni kielelezo cha picha (au kijiometri) cha mlingano fulani.

Ikiwa jozi ya nambari (x;y) ni suluhisho la mlinganyo

shoka + vy + c = 0, kisha uhakika M(x;y) ni wa grafu ya equation. Tunaweza kusema kwa njia nyingine kote: ikiwa hatua M(x;y) ni ya grafu ya shoka ya equation + y + c = 0, basi jozi ya nambari (x;y) ni suluhisho la mlinganyo huu.

Kutoka kwa kozi ya jiometri tunajua:

Ili kuunda mstari wa moja kwa moja, unahitaji pointi 2, ili kupanga grafu ya equation ya mstari na vigezo viwili, inatosha kujua jozi 2 tu za ufumbuzi. Lakini kubahatisha mizizi sio rahisi kila wakati au utaratibu wa busara. Unaweza kutenda kulingana na sheria nyingine. Kwa kuwa abscissa ya uhakika (kigeu x) ni tofauti inayojitegemea, unaweza kuipa thamani yoyote inayofaa. Kubadilisha nambari hii kwenye mlinganyo, tunapata thamani ya kigezo y.

Kwa mfano, acha equation itolewe:

Hebu x = 0, basi tunapata 0 - y + 1 = 0 au y = 1. Hii ina maana kwamba ikiwa x = 0, basi y = 1. Jozi ya namba (0;1) ni suluhisho la equation hii. Hebu tuweke thamani nyingine kwa kutofautiana x: x = 2. Kisha tunapata 2 - y + 1 = 0 au y = 3. Jozi ya namba (2;3) pia ni suluhisho la equation hii. Kwa kutumia pointi mbili zilizopatikana, tayari inawezekana kuunda grafu ya equation x - y + 1 = 0.

Unaweza kufanya hivi: kwanza toa thamani fulani kwa utofauti y, na kisha tu uhesabu thamani ya x.

§ 3 Mfumo wa milinganyo

Tafuta nambari mbili asilia ambazo jumla yake ni 11 na tofauti ni 1.

Ili kutatua tatizo hili, kwanza tunaunda mfano wa hisabati (yaani, algebraic). Acha nambari ya kwanza iwe x na nambari ya pili y. Kisha jumla ya nambari x + y = 11 na tofauti ya nambari x - y = 1. Kwa kuwa equations zote mbili zinahusika na namba sawa, masharti haya lazima yatimizwe wakati huo huo. Kawaida katika hali kama hizo rekodi maalum hutumiwa. Milinganyo imeandikwa moja chini ya nyingine na kuunganishwa na brace ya curly.

Rekodi kama hiyo inaitwa mfumo wa milinganyo.

Sasa hebu tujenge seti za ufumbuzi kwa kila equation, i.e. grafu za kila milinganyo. Wacha tuchukue equation ya kwanza:

Ikiwa x = 4, basi y = 7. Ikiwa x = 9, basi y = 2.

Wacha tuchore mstari ulionyooka kupitia alama (4;7) na (9;2).

Hebu tuchukue equation ya pili x - y = 1. Ikiwa x = 5, basi y = 4. Ikiwa x = 7, basi y = 6. Pia tunatoa mstari wa moja kwa moja kupitia pointi (5;4) na (7;6) ) Tulipata mfano wa kijiometri wa tatizo. Jozi za nambari tunazopenda (x;y) lazima ziwe suluhu kwa milinganyo yote miwili. Katika takwimu tunaona nukta moja ambayo iko kwenye mistari yote miwili; hii ndio hatua ya makutano ya mistari.

Viratibu vyake ni (6;5). Kwa hivyo, suluhisho la shida litakuwa: nambari ya kwanza inayohitajika ni 6, ya pili ni 5.

Orodha ya fasihi iliyotumika:

1. Mordkovich A.G., Algebra daraja la 7 katika sehemu 2, Sehemu ya 1, Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya jumla / A.G. Mordkovich. - Toleo la 10, lililorekebishwa - Moscow, "Mnemosyne", 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra daraja la 7 katika sehemu 2, Sehemu ya 2, Kitabu cha Shida kwa taasisi za elimu / [A.G. Mordkovich na wengine]; iliyohaririwa na A.G. Mordkovich - toleo la 10, lililorekebishwa - Moscow, "Mnemosyne", 2007
3. YAKE. Tulchinskaya, Algebra daraja la 7. Uchunguzi wa Blitz: mwongozo kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla, toleo la 4, lililorekebishwa na kupanuliwa, Moscow, "Mnemosyne", 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra daraja la 7. Karatasi za mtihani wa mada katika fomu mpya kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla, iliyohaririwa na A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra daraja la 7. Kazi za kujitegemea kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla, iliyohaririwa na A.G. Mordkovich - toleo la 6, stereotypical, Moscow, "Mnemosyne", 2010