Trigonometry katika maisha. Ripoti juu ya trigonometry katika maisha halisi

(1561-1613), na sayansi yenyewe ilitumika katika nyakati za kale kwa mahesabu katika astronomy, geodesy na usanifu.

Hesabu za trigonometric hutumiwa katika takriban maeneo yote ya jiometri, fizikia na uhandisi. Ya umuhimu mkubwa ni mbinu ya utatuzi, ambayo inaruhusu mtu kupima umbali wa nyota zilizo karibu katika astronomia, kati ya alama za jiografia, na kudhibiti mifumo ya urambazaji ya satelaiti. Pia muhimu ni matumizi ya trigonometry katika nyanja kama vile nadharia ya muziki, acoustics, optics, uchambuzi wa soko la fedha, umeme, nadharia ya uwezekano, takwimu, biolojia, dawa (pamoja na ultrasound (US) na tomografia ya kompyuta), dawa, kemia, nadharia ya nambari ( na, kama matokeo, kriptografia), seismology, hali ya hewa, bahari, katuni, matawi mengi ya fizikia, topografia na jiografia, usanifu, fonetiki, uchumi, uhandisi wa elektroniki, uhandisi wa mitambo, picha za kompyuta, fuwele.

Katika Shule ya USSR ilikuwa na hadhi ya somo la kitaaluma.

Ufafanuzi wa kazi za trigonometric

Awali, utendakazi wa trigonometriki zilihusiana na uwiano wa vipengele katika pembetatu ya kulia. Hoja yao pekee ni pembe (moja ya pembe za papo hapo za pembetatu hii).

Sine ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse.
Cosine ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.
Tangenti ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu.
Cotangent ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume.
Secant ni uwiano wa hypotenuse kwa mguu wa karibu.
Cosecant ni uwiano wa hypotenuse kwa upande mwingine.

Ufafanuzi huu hukuruhusu kuhesabu maadili ya kazi kwa pembe za papo hapo, ambayo ni, kutoka 0 ° hadi 90 ° (kutoka 0 hadi radians). Katika karne ya 18, Leonhard Euler alitoa ufafanuzi wa kisasa, wa jumla zaidi, kupanua wigo wa ufafanuzi wa kazi hizi kwa mstari mzima wa nambari. Hebu tuchunguze mduara wa radius ya kitengo katika mfumo wa kuratibu wa mstatili (angalia takwimu) na upange pembe kutoka kwa mhimili wa usawa (ikiwa angle ni chanya, basi tunapanga kinyume cha saa, vinginevyo saa). Hebu tuonyeshe hatua ya makutano ya upande uliojengwa wa pembe na mduara A. Kisha:

Kwa pembe za papo hapo, ufafanuzi mpya unafanana na uliopita.

Ufafanuzi kamili wa uchanganuzi wa kazi hizi pia unawezekana, ambao hauhusiani na jiometri na inawakilisha kila kazi kwa upanuzi wake hadi mfululizo usio na kikomo.

Hadithi

Ugiriki ya Kale

Wanahisabati wa Ugiriki wa kale walitumia mbinu ya chord katika miundo yao inayohusiana na kipimo cha arcs ya duara. Perpendicular kwa chord, iliyopunguzwa kutoka katikati ya mduara, hupunguza arc na chord iliyokaa juu yake. Nusu ya chord iliyokatwa mara mbili ni sine ya nusu ya pembe, na hivyo kazi ya sine pia inajulikana kama "nusu ya chord." Kwa sababu ya uhusiano huu, idadi kubwa ya utambulisho wa trigonometric na nadharia zinazojulikana leo zilijulikana pia kwa wanahisabati wa Ugiriki wa kale, lakini kwa fomu sawa ya chordal.

Ingawa kazi za Euclid na Archimedes hazina trigonometria kwa maana kali ya neno, nadharia zao zinawasilishwa kwa fomu ya kijiometri, sawa na fomula maalum za trigonometric. Nadharia ya Archimedes ya kugawanya chords ni sawa na kanuni za sines za jumla na tofauti za pembe. Ili kulipa fidia kwa ukosefu wa jedwali la chords, wanahisabati kutoka wakati wa Aristarko wakati mwingine walitumia nadharia inayojulikana, katika nukuu ya kisasa - sin α/ sin β.< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Nadharia ya Ptolemy inahusisha usawa wa jumla na tofauti nne za kanuni za sine na kosine. Baadaye Ptolemy alitengeneza fomula ya pembe-nusu. Ptolemy alitumia matokeo haya kuunda majedwali yake ya trigonometric, ingawa majedwali haya yanaweza kuwa yametokana na kazi za Hipparchus. Wala meza za Hipparchus au Ptolemy hazijabaki hadi leo, ingawa ushahidi wa waandishi wengine wa zamani huondoa mashaka juu ya uwepo wao.

India ya Zama za Kati

Vyanzo vingine vinaripoti kwamba ilikuwa uingizwaji wa chords na sinuses ambayo ikawa mafanikio kuu ya India ya Zama za Kati. Uingizwaji huu ulifanya uwezekano wa kuanzisha kazi mbalimbali zinazohusiana na pande na pembe za pembetatu ya kulia. Kwa hivyo, nchini India, mwanzo wa trigonometry uliwekwa kama utafiti wa kiasi cha trigonometric.

Wanasayansi wa India walitumia mahusiano mbalimbali ya trigonometric, ikiwa ni pamoja na yale ambayo yanaonyeshwa kwa fomu ya kisasa kama

Wahindi pia walijua kanuni za pembe nyingi, wapi.

Trigonometry ni muhimu kwa mahesabu ya astronomia, ambayo yanawasilishwa kwa namna ya meza. Jedwali la kwanza la sines linapatikana katika Surya Siddhanta na Aryabhata. Baadaye, wanasayansi walikusanya meza za kina zaidi: kwa mfano, Bhaskara hutoa meza ya sines kila 1 °.

Wanahisabati wa India Kusini katika karne ya 16 walipiga hatua kubwa katika nyanja ya muhtasari wa mfululizo wa nambari usio na kikomo. Inavyoonekana, walikuwa wakifanya utafiti huu walipokuwa wakitafuta njia za kukokotoa thamani sahihi zaidi za nambari π. Nilakanta kwa maneno anatoa sheria za kupanua arctangent hadi mfululizo wa nishati usio na kikomo. Na katika mkataba usiojulikana "Karanapaddhati" ("Mbinu ya Kuhesabu"), sheria zinatolewa kwa upanuzi wa sine na cosine katika mfululizo wa nguvu usio na kipimo. Ni lazima kusema kwamba katika Ulaya matokeo sawa yalipatikana tu katika karne ya 17 na 18. Kwa hivyo, safu ya sine na cosine ilitolewa na Isaac Newton karibu 1666, na safu ya arctangent ilipatikana na J. Gregory mnamo 1671 na G. W. Leibniz mnamo 1673.

Katika karne ya 8. Wanasayansi kutoka nchi za Mashariki ya Kati na ya Karibu walifahamu kazi za wanahisabati na wanajimu wa Kihindi na kuzitafsiri kwa Kiarabu. Katikati ya karne ya 9, mwanasayansi wa Asia ya Kati al-Khwarizmi aliandika insha "Juu ya Uhasibu wa India". Baada ya maandishi ya Kiarabu kutafsiriwa katika Kilatini, mawazo mengi ya wanahisabati wa Kihindi yakawa mali ya sayansi ya Ulaya na kisha dunia.

Angalia pia

Vidokezo

Wikimedia Foundation. 2010.

Tazama "Trigonometry" ni nini katika kamusi zingine:

Trigonometry... Tahajia kitabu cha marejeleo ya kamusi

- (Kigiriki, kutoka kwa tri, gonia angle, na kipimo cha metron). Sehemu ya hisabati inayohusika na kipimo cha pembetatu. Kamusi ya maneno ya kigeni iliyojumuishwa katika lugha ya Kirusi. Chudinov A.N., 1910. TRIGONOMETRY Kigiriki, kutoka kwa trigonon, pembetatu, na metreo, ninapima.… … Kamusi ya maneno ya kigeni ya lugha ya Kirusi

Ensaiklopidia ya kisasa

Trigonometry- (kutoka kwa pembetatu ya trigononi ya Kigiriki na ... jiometri), tawi la hisabati ambalo kazi za trigonometric na maombi yao kwa jiometri hujifunza. Matatizo fulani ya trigonometry yalitatuliwa na wanaastronomia wa Ugiriki ya Kale (karne ya 3 KK);... ... Illustrated Encyclopedic Dictionary

- (kutoka kwa pembetatu ya utatu wa Kigiriki na... jiometri) tawi la hisabati ambamo kazi za trigonometric na matumizi yake kwa jiometri husomwa... Kamusi kubwa ya Encyclopedic

UTATU KATIKA MAISHA YETU

Watu wengi huuliza: kwa nini trigonometry inahitajika? Inatumikaje katika ulimwengu wetu? Trigonometry inaweza kuhusishwa na nini? Na hapa kuna majibu ya maswali haya. Utendaji wa trigonometry au trigonometric hutumiwa katika astronomia (hasa kwa kuhesabu nafasi za vitu vya mbinguni) wakati trigonometry ya spherical inahitajika, katika urambazaji wa baharini na hewa, katika nadharia ya muziki, katika acoustics, katika optics, katika uchambuzi wa soko la fedha, katika umeme, kwa uwezekano. nadharia, katika takwimu, baiolojia, taswira ya kimatibabu kama vile tomografia ya kompyuta na ultrasound, duka la dawa, kemia, nadharia ya nambari, seismology, hali ya hewa, oceanography, sayansi nyingi za kimwili, upimaji wa ardhi na upimaji, usanifu, fonetiki , katika uchumi, katika uhandisi wa umeme, katika uhandisi wa mitambo, katika uhandisi wa kiraia, katika michoro ya kompyuta, katika katuni, katika fuwele, katika ukuzaji wa mchezo na nyanja zingine nyingi.

Geodesy

Wachunguzi mara nyingi wanapaswa kushughulika na sines na cosines. Wana zana maalum za kupima kwa usahihi pembe. Kwa kutumia sines na cosines, pembe zinaweza kubadilishwa kuwa urefu au kuratibu za pointi kwenye uso wa dunia.

Astronomy ya kale

Mwanzo wa trigonometry unaweza kupatikana katika hati za hisabati za Misri ya Kale, Babeli na Uchina wa Kale. Tatizo la 56 kutoka kwa mafunjo ya Rhinda (milenia ya 2 KK) linapendekeza kupata mwelekeo wa piramidi ambayo urefu wake ni dhiraa 250 na urefu wa upande wa msingi ni dhiraa 360.

Maendeleo zaidi ya trigonometry yanahusishwa na jina la mwanaastronomia Aristarko Samos (karne ya III KK). Hati yake ya "Juu ya ukubwa na umbali wa Jua na Mwezi" ilileta shida ya kuamua umbali wa miili ya mbinguni; tatizo hili lilihitaji kukokotoa uwiano wa pande za pembetatu ya kuliakwa thamani inayojulikana ya moja ya pembe. Aristarko alizingatia pembetatu sahihi iliyoundwa na Jua, Mwezi na Dunia wakati wa quadrature. Alihitaji kukokotoa thamani ya hypotenuse (umbali kutoka kwa Dunia hadi Jua) kupitia mguu (umbali kutoka kwa Dunia hadi Mwezi) na thamani inayojulikana ya pembe iliyo karibu (87°), ambayo ni sawa na kukokotoa. Thamanidhambi ya pembe 3. Kulingana na Aristarko, thamani hii iko katika safu kutoka 1/20 hadi 1/18, ambayo ni, umbali wa Jua ni kubwa mara 20 kuliko Mwezi.; kwa kweli, Jua liko karibu mara 400 zaidi kuliko Mwezi, kosa linalosababishwa na kutokuwa sahihi katika kipimo cha pembe.

Miongo kadhaa baadaye Claudius Ptolemy katika kazi zake "Jiografia", "Analemma" na "Planispherium" anatoa uwasilishaji wa kina wa matumizi ya trigonometric kwa katuni, unajimu na mechanics. Miongoni mwa mambo mengine, inaelezwamakadirio ya stereographic, matatizo kadhaa ya vitendo yamejifunza, kwa mfano: kuamua urefu na azimuthmwili wa mbinguni kulingana na yeye kushuka na pembe ya saa. Kwa upande wa trigonometry, hii ina maana kwamba unahitaji kupata upande wa pembetatu ya spherical kutoka pande nyingine mbili na pembe kinyume.

Kwa ujumla, tunaweza kusema kwamba trigonometry ilitumika kwa:

· kwa usahihi kuamua wakati wa siku;

· mahesabu ya eneo la baadaye la miili ya mbinguni, wakati wa jua na machweo yao, kupatwa kwa jua na Mwezi;

· kutafuta viwianishi vya kijiografia vya eneo la sasa;

· kuhesabu umbali kati ya miji inayojulikana kuratibu za kijiografia.

Gnomon ndio chombo cha zamani zaidi cha astronomia, kitu cha wima (stele, safu, nguzo),

kuruhusu kwa uchache

Urefu wa kivuli chake (saa sita mchana) huamua urefu wa angular wa jua.

Kwa hivyo, cotangent ilieleweka kama urefu wa kivuli kutoka kwa mbilikimo wima yenye urefu wa vitengo 12 (wakati mwingine 7); awali dhana hizi zilitumika kukokotoa miale ya jua. Tangent ilikuwa kivuli cha mbilikimo mlalo. Kosekanti na sekunde zilikuwa hypotenuses za pembetatu zinazolingana za kulia (sehemu AO kwenye kielelezo upande wa kushoto)

Usanifu

Trigonometry hutumiwa sana katika ujenzi, na hasa katika usanifu. Suluhisho nyingi za utungaji na ujenzi

Michoro ilifanywa kwa usahihi kwa msaada wa jiometri. Lakini data ya kinadharia inamaanisha kidogo. Ningependa kutoa mfano wa ujenzi wa sanamu moja na bwana wa Kifaransa wa Golden Age ya sanaa.

mahesabu mengi ili kufanya takwimu ionekane sawia kutoka kwa urefu mkubwa. Walikuwa hasa kwa kuzingatia njia ya kuona, yaani, kipimo cha takriban kwa jicho. Hata hivyo, mgawo wa tofauti wa uwiano fulani ulifanya iwezekanavyo kufanya takwimu karibu na bora. Kwa hivyo, kwa kujua umbali wa takriban kutoka kwa sanamu hadi kwa mtazamo, ambayo ni kutoka juu ya sanamu hadi kwa macho ya mtu na urefu wa sanamu, tunaweza kuhesabu sine ya angle ya matukio ya mtazamo kwa kutumia meza. tunaweza kufanya vivyo hivyo na mtazamo wa chini), na hivyo kupata maono ya uhakika

Hali inabadilika sanamu inapoinuliwa hadi urefu, hivyo umbali kutoka juu ya sanamu hadi macho ya mtu huongezeka, na kwa hiyo sine ya angle ya matukio huongezeka. Kwa kulinganisha mabadiliko katika umbali kutoka juu ya sanamu hadi chini katika kesi ya kwanza na ya pili, tunaweza kupata mgawo wa uwiano. Baadaye, tutapokea mchoro, na kisha sanamu, ikiinuliwa, takwimu itakuwa karibu na ile bora.

Dawa na biolojia.

Mfano wa Bohrhythm inaweza kujengwa kwa kutumia kazi za trigonometric. Ili kujenga mfano wa biorhythm, unahitaji kuingiza tarehe ya kuzaliwa ya mtu, tarehe ya kumbukumbu (siku, mwezi, mwaka) na muda wa utabiri (idadi ya siku).

Mfumo wa moyo. Kutokana na utafiti uliofanywa na mwanafunzi wa chuo kikuu cha Iran Shiraz na Vahid-Reza Abbasi, Kwa mara ya kwanza, madaktari waliweza kuandaa taarifa zinazohusiana na shughuli za umeme za moyo au, kwa maneno mengine, electrocardiography. Fomula ni mlingano changamano wa algebraic-trigonometric inayojumuisha misemo 8, coefficients 32 na vigezo kuu 33, ikiwa ni pamoja na kadhaa ya ziada kwa ajili ya mahesabu katika kesi ya yasiyo ya kawaida. Kulingana na madaktari, formula hii inawezesha sana mchakato wa kuelezea vigezo kuu vya shughuli za moyo, na hivyo kuharakisha uchunguzi na kuanza kwa matibabu yenyewe.

Trigonometry pia husaidia ubongo wetu kuamua umbali wa vitu.

Wanasayansi wa Marekani wanadai kwamba ubongo unakadiria umbali wa vitu kwa kupima pembe kati ya ndege ya dunia na ndege ya maono. Kwa kusema kweli, wazo la "pembe za kupimia" sio mpya. Hata wasanii wa Uchina wa Kale walichora vitu vya mbali zaidi katika uwanja wa maoni, kwa kiasi fulani wakipuuza sheria za mtazamo. Nadharia ya kuamua umbali kwa kukadiria pembe ilitungwa na mwanasayansi Mwarabu wa karne ya 11 Alhazen. Baada ya muda mrefu wa kusahaulika katikati ya karne iliyopita, wazo hilo lilifufuliwa na mwanasaikolojia James.

Gibson (James Gibson), ambaye aliweka hitimisho lake kwa msingi wa uzoefu wake wa kufanya kazi na marubani wa anga za kijeshi. Walakini, baada ya hapo juu ya nadharia

kusahaulika tena.

Kusonga kwa samaki ndani maji hutokea kwa mujibu wa sheria ya sine au cosine, ikiwa unatengeneza uhakika kwenye mkia na kisha uzingatia trajectory ya harakati. Wakati wa kuogelea, mwili wa samaki huchukua sura

curve inayofanana na grafu ya chaguo za kukokotoa y=tgx.

Kazi ya kupima

Taasisi ya elimu ya bajeti ya manispaa

shule ya sekondari namba 10

na utafiti wa kina wa masomo ya mtu binafsi

Mradi umekamilika:

Pavlov Kirumi

mwanafunzi wa daraja la 10b

Msimamizi:

mwalimu wa hisabati

Boldyreva N. A

Yelets, 2012

1. Utangulizi.

3. Ulimwengu wa trigonometry.

· Trigonometry katika fizikia.

· Trigonometry katika planimetry.

· Trigonometry katika sanaa na usanifu.

· Trigonometry katika dawa na biolojia.

3.2 Maonyesho ya picha ya mabadiliko ya kazi za trigonometric "za kuvutia kidogo" kuwa mikunjo ya asili (kwa kutumia programu ya kompyuta "Kazi na Grafu").

· Curves katika kuratibu za polar (Rosettes).

· Mikunjo katika kuratibu za Cartesian (Lissajous Curves).

· Mapambo ya hisabati.

4. Hitimisho.

5. Orodha ya marejeleo.

Lengo la mradi - Ukuzaji wa shauku ya kusoma mada "Trigonometry" wakati wa algebra na mwanzo wa uchambuzi kupitia prism ya thamani iliyotumika ya nyenzo inayosomwa; upanuzi wa uwakilishi wa picha zilizo na kazi za trigonometric; matumizi ya trigonometry katika sayansi kama vile fizikia na biolojia. Pia ina jukumu muhimu katika dawa, na, ni nini kinachovutia zaidi, hata muziki na usanifu hauwezi kufanya bila hiyo.

Kitu cha kujifunza - trigonometry

Somo la masomo - mwelekeo uliotumika wa trigonometry; grafu za baadhi ya chaguo za kukokotoa kwa kutumia fomula za trigonometriki.

Malengo ya utafiti:

1. Fikiria historia ya kuibuka na maendeleo ya trigonometry.

2. Onyesha matumizi ya vitendo ya trigonometria katika sayansi mbalimbali kwa kutumia mifano maalum.

3. Kwa kutumia mifano maalum, onyesha uwezekano wa kutumia vipengele vya trigonometric, ambayo inaruhusu kugeuza kazi "za kuvutia kidogo" katika utendaji ambao grafu zina mwonekano wa awali sana.

Hypothesis - mawazo: Uunganisho wa trigonometry na ulimwengu wa nje, umuhimu wa trigonometry katika kutatua matatizo mengi ya vitendo, na uwezo wa kielelezo wa kazi za trigonometric hufanya iwezekanavyo "kuweka" ujuzi wa watoto wa shule. Hii inakuwezesha kuelewa vizuri umuhimu muhimu wa ujuzi unaopatikana kupitia utafiti wa trigonometry, na huongeza maslahi katika utafiti wa mada hii.

Mbinu za utafiti - uchambuzi wa fasihi ya hisabati juu ya mada hii; uteuzi wa kazi maalum zilizotumika kwenye mada hii; mfano wa kompyuta kulingana na programu ya kompyuta. Fungua hisabati "Kazi na grafu" (Physikon).

1. Utangulizi

"Jambo moja linabaki wazi: ulimwengu umeundwa

ya kutisha na mrembo."

N. Rubtsov

Trigonometry ni tawi la hisabati ambalo husoma uhusiano kati ya pembe na urefu wa upande wa pembetatu, pamoja na vitambulisho vya aljebra vya kazi za trigonometric. Ni vigumu kufikiria, lakini tunakutana na sayansi hii si tu katika masomo ya hisabati, bali pia katika maisha yetu ya kila siku. Labda haukushuku, lakini trigonometry hupatikana katika sayansi kama fizikia, biolojia, ina jukumu muhimu katika dawa, na, cha kufurahisha zaidi, hata muziki na usanifu haziwezi kufanya bila hiyo. Shida na yaliyomo katika vitendo huchukua jukumu kubwa katika ukuzaji wa ujuzi katika kutumia maarifa ya kinadharia yaliyopatikana katika masomo ya hisabati kwa vitendo. Kila mwanafunzi wa hisabati anavutiwa na jinsi na wapi maarifa yaliyopatikana yanatumika. Kazi hii inatoa jibu la swali hili.

2. Historia ya maendeleo ya trigonometry.

Neno trigonometry linaloundwa na maneno mawili ya Kigiriki: τρίγονον (pembetatu-tatu) na na μετρειν (mita - kupima) maana yake halisi kupima pembetatu.

Ni kazi hii haswa - kupima pembetatu au, kama wanasema sasa, kutatua pembetatu, i.e. kuamua pande zote na pembe za pembetatu kutoka kwa vitu vyake vitatu vinavyojulikana (upande na pembe mbili, pande mbili na pembe, au pande tatu) - tangu nyakati za kale imekuwa msingi wa matumizi ya vitendo ya trigonometry.

Kama sayansi nyingine yoyote, trigonometry ilikua nje ya mazoezi ya binadamu, katika mchakato wa kutatua matatizo maalum ya vitendo. Hatua za kwanza za maendeleo ya trigonometry zinahusiana kwa karibu na maendeleo ya astronomy. Ukuzaji wa unajimu na trigonometry inayohusiana kwa karibu iliathiriwa sana na mahitaji ya kukuza urambazaji, ambayo ilihitaji uwezo wa kuamua kwa usahihi mwendo wa meli kwenye bahari ya wazi na nafasi ya miili ya mbinguni. Jukumu kubwa katika ukuzaji wa trigonometry lilichezwa na hitaji la kukusanya ramani za kijiografia na hitaji la karibu la kuamua kwa usahihi umbali mkubwa kwenye uso wa dunia.

Kazi za mwanaastronomia wa kale wa Uigiriki zilikuwa na umuhimu wa kimsingi kwa maendeleo ya trigonometry katika enzi ya kuanzishwa kwake. Hipparchus(katikati ya karne ya 2 KK). Trigonometry kama sayansi, kwa maana ya kisasa ya neno, haikupatikana sio tu na Hipparchus, bali pia na wanasayansi wengine wa zamani, kwani bado hawakuwa na wazo juu ya kazi za pembe na hata hawakuibua swali kwa ujumla. uhusiano kati ya pembe na pande za pembetatu. Lakini kimsingi, kwa kutumia njia za jiometri ya msingi inayojulikana kwao, walitatua shida ambazo trigonometry inashughulikia. Katika kesi hii, njia kuu ya kupata matokeo yaliyohitajika ilikuwa uwezo wa kuhesabu urefu wa chords za mviringo kulingana na uhusiano unaojulikana kati ya pande za mara kwa mara tatu-, nne-, tano- na decagon na radius ya mzunguko wa mzunguko. .

Hipparchus alikusanya meza za kwanza za chords, ambayo ni, meza zinazoonyesha urefu wa chord kwa pembe tofauti za kati kwenye mduara wa radius ya mara kwa mara. Hizi zilikuwa hasa jedwali za sines mbili za nusu ya pembe ya kati. Walakini, meza za asili za Hipparchus (kama karibu kila kitu kilichoandikwa naye) hazijatufikia, na tunaweza kupata wazo juu yao haswa kutoka kwa kazi ya "The Great Construction" au (katika tafsiri ya Kiarabu) "Almagest" na mtaalam wa nyota maarufu. Claudius Ptolemy, aliyeishi katikati ya karne ya 2 BK. e.

Ptolemy aligawanya duara katika digrii 360 na kipenyo katika sehemu 120. Alizingatia radius kuwa sehemu 60 (60 ¢ ¢). Aligawanya kila sehemu kuwa 60 ¢, kila dakika kuwa 60 ¢, pili katika theluthi 60 (60 ¢ ¢), nk., kwa kutumia mgawanyiko ulioonyeshwa, Ptolemy alionyesha upande wa hexagon ya kawaida iliyoandikwa au chord inayoweka safu. ya 60° katika umbo la sehemu 60 za kipenyo (saa 60), na upande wa mraba ulioandikwa au chodi ya 90° ulilinganishwa na nambari 84h51¢10². alionyesha nambari 103h55¢23², nk Kwa pembetatu ya kulia yenye hypotenuse, sawa na kipenyo cha duara, aliandika kwa msingi wa nadharia ya Pythagorean: (chord a)2+(chord|180-a| )2=(kipenyo)2, ambayo inalingana na fomula ya kisasa sin2a+cos2a=1.

Almagest ina jedwali la chords kila nusu digrii kutoka 0 ° hadi 180 °, ambayo kutoka kwa mtazamo wetu wa kisasa inawakilisha jedwali la sine kwa pembe kutoka 0 ° hadi 90 ° kila digrii ya robo.

Hesabu zote za trigonometric kati ya Wagiriki zilitegemea nadharia ya Ptolemy, inayojulikana kwa Hipparchus: "mstatili uliojengwa juu ya mistatili ya pembe nne iliyoandikwa kwenye duara ni sawa na jumla ya mistatili iliyojengwa kwa pande tofauti" (yaani, bidhaa za diagonals ni sawa na jumla ya bidhaa za pande tofauti). Kwa kutumia nadharia hii, Wagiriki waliweza (kwa kutumia nadharia ya Pythagorean) kukokotoa chord ya jumla (au chord ya tofauti) ya pembe hizi au chord ya nusu ya angle iliyotolewa kutoka kwa chords ya pembe mbili, i.e. kuweza kupata matokeo ambayo sasa tunapata kwa kutumia fomula za sine ya jumla (au tofauti) ya pembe mbili au nusu ya pembe.

Hatua mpya katika maendeleo ya trigonometry zinahusishwa na maendeleo ya utamaduni wa hisabati wa watu India, Asia ya Kati na Ulaya (V-XII).

Hatua muhimu ya kusonga mbele katika kipindi cha kuanzia karne ya 5 hadi 12 ilifanywa na Wahindu, ambao, tofauti na Wagiriki, walianza kuzingatia na kutumia katika mahesabu sio chord nzima MM¢ (tazama kuchora) ya pembe ya kati inayolingana, lakini. nusu yake tu ya MR, yaani, kile tunachoita sasa mstari wa sine wa nusu ya pembe ya kati.

Pamoja na sine, Wahindi walianzisha cosine katika trigonometry kwa usahihi zaidi, walianza kutumia mstari wa cosine katika hesabu zao. (Neno cosine lenyewe lilionekana baadaye sana katika kazi za wanasayansi wa Uropa kwa mara ya kwanza mwishoni mwa karne ya 16 kutoka kwa ile inayoitwa "sine wa kikamilisha," yaani, sine ya pembe inayokamilisha pembe fulani. 90 ° "Sine of the complement" au (kwa Kilatini) sinus complementi ilianza kufupishwa kama sinus co au co-sinus).

Pia walijua mahusiano cosa=sin(90°-a) na sin2a+cos2a=r2, pamoja na fomula za sine ya jumla na tofauti ya pembe mbili.

Hatua inayofuata katika maendeleo ya trigonometry inahusishwa na nchi

Asia ya Kati, Mashariki ya Kati, Transcaucasia (VII-Karne ya XV)

Kukua kwa uhusiano wa karibu na unajimu na jiografia, hisabati ya Asia ya Kati ilikuwa na "tabia ya hesabu" iliyotamkwa na ililenga kutatua shida zinazotumika za upimaji wa jiometri na trigonometry, na trigonometry iliundwa kuwa taaluma maalum ya hisabati kwa kiasi kikubwa katika kazi za wanasayansi wa Asia ya Kati. Miongoni mwa mafanikio muhimu zaidi waliyofanya, tunapaswa kwanza kutambua kuanzishwa kwa mistari yote sita ya trigonometric: sine, cosine, tangent, cotangent, secant na cosecant, ambayo ni mbili tu za kwanza zilijulikana kwa Wagiriki na Wahindu.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif" width="41" height="44"> =a×ctgj ya nguzo ya urefu fulani (a=12) kwa j= 1°,2 °,3°……

Abu-l-Wafa kutoka kwa Khorosan, aliyeishi katika karne ya 10 (940-998), alikusanya "meza ya tangent" sawa, ambayo ni, alihesabu urefu wa kivuli b=a×=a×tgj iliyotupwa na nguzo ya usawa ya urefu fulani. (a=60) kwenye ukuta wima ( tazama mchoro).

Ikumbukwe kwamba maneno "tangent" (iliyotafsiriwa kama "kugusa") na "cotangent" yenyewe yanatoka kwa lugha ya Kilatini na yalionekana huko Uropa baadaye (karne za XVI-XVII). Wanasayansi wa Asia ya Kati waliita mistari inayolingana "vivuli": cotangent - "kivuli cha kwanza", tangent - "kivuli cha pili".

Abu-l-Wafa alitoa ufafanuzi sahihi kabisa wa kijiometri wa mstari wa tanjiti katika mduara wa trigonometriki na akaongeza mistari ya sekanti na kositanti kwenye mistari ya tanjiti na ya kotanji. Pia alionyesha (kwa maneno) utegemezi wa algebraic kati ya kazi zote za trigonometric na, hasa, kwa kesi wakati radius ya duara ni sawa na moja. Kesi hii muhimu sana ilizingatiwa na wanasayansi wa Uropa miaka 300 baadaye. Hatimaye, Abul-Wafa alikusanya jedwali la sine kila baada ya 10¢.

Katika kazi za wanasayansi wa Asia ya Kati, trigonometry iligeuka kutoka kwa sayansi inayohudumia unajimu kuwa taaluma maalum ya hesabu ya riba ya kujitegemea.

Trigonometry imetenganishwa na unajimu na inakuwa sayansi inayojitegemea. Idara hii kawaida huhusishwa na jina la mwanahisabati wa Kiazabajani Nasireddin Tusi ().

Kwa mara ya kwanza katika sayansi ya Uropa, uwasilishaji unaofaa wa trigonometry ulitolewa katika kitabu "On Triangles of Different Kinds," kilichoandikwa na Johann Muller, inayojulikana zaidi katika hisabati kama regiomontana(). Anajumuisha ndani yake njia za kutatua pembetatu za kulia na anatoa meza za sines kwa usahihi wa 0.0000001. Jambo la kushangaza ni kwamba alidhani eneo la mduara kuwa sawa na maili, ambayo ni, alionyesha maadili ya kazi za trigonometric katika sehemu za decimal, kwa kweli akihama kutoka kwa mfumo wa nambari ya ngono hadi nambari moja.

Mwanasayansi wa Kiingereza wa karne ya 14 Bradwardin () alikuwa wa kwanza barani Ulaya kuanzisha katika hesabu za trigonometric cotangent inayoitwa "kivuli cha moja kwa moja" na tanjenti inayoitwa "kivuli cha nyuma".

Kwenye kizingiti cha karne ya 17. Mwelekeo mpya unajitokeza katika maendeleo ya trigonometry - uchambuzi. Ikiwa kabla ya hili lengo kuu la trigonometry lilizingatiwa kuwa suluhisho la pembetatu, hesabu ya vipengele vya takwimu za kijiometri na mafundisho ya kazi za trigonometric zilijengwa kwa misingi ya kijiometri, kisha katika karne ya 17-19. trigonometry polepole inakuwa moja ya sura za uchambuzi wa hisabati. Pia nilijua juu ya mali ya upimaji wa kazi za trigonometric Viet, ambaye masomo yake ya kwanza ya hisabati yanahusiana na trigonometry.

Mwanahisabati wa Uswizi Johann Bernoulli () tayari imetumia alama za kazi za trigonometric.

Katika nusu ya kwanza ya karne ya 19. Mwanasayansi wa Ufaransa J. Fourier ilithibitisha kuwa mwendo wowote wa mara kwa mara unaweza kuwakilishwa kama jumla ya oscillations rahisi ya harmonic.

Kazi ya msomi maarufu wa St. Petersburg ilikuwa ya umuhimu mkubwa katika historia ya trigonometry Leonhard Euler(), aliipa trigonometry nzima sura ya kisasa.

Katika kazi yake "Utangulizi wa Uchambuzi" (1748), Euler aliendeleza trigonometry kama sayansi ya kazi za trigonometric, alitoa wasilisho la uchanganuzi, akipata seti nzima ya fomula za trigonometric kutoka kwa fomula chache za kimsingi.

Euler aliwajibika kwa suluhisho la mwisho kwa swali la ishara za kazi za trigonometric katika robo zote za duara na kupatikana kwa fomula za kupunguza kwa kesi za jumla.

Baada ya kuanzisha kazi mpya katika hisabati - trigonometric, ikawa sawa kuinua swali la kupanua kazi hizi katika mfululizo usio na kipimo. Inabadilika kuwa upanuzi kama huo unawezekana:

Sinx=x-https://pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif" width="224" height="47">

Mfululizo huu hurahisisha zaidi kukusanya majedwali ya kiasi cha trigonometriki na kuzipata kwa kiwango chochote cha usahihi.

Ujenzi wa uchambuzi wa nadharia ya kazi za trigonometric, iliyoanzishwa na Euler, ilikamilishwa katika kazi , Gauss, Cauchy, Fourier na wengine.

"Mazingatio ya kijiometri," anaandika Lobachevsky, "ni muhimu hadi mwanzo wa trigonometria, mpaka watumie kugundua sifa tofauti za kazi za trigonometric ... Kutoka hapa trigonometry inakuwa huru kabisa na jiometri na ina faida zote za uchambuzi."

Siku hizi, trigonometry haizingatiwi tena kama tawi huru la hisabati. Sehemu yake muhimu zaidi, mafundisho ya kazi za trigonometric, ni sehemu ya mafundisho ya jumla zaidi ya kazi zilizojifunza katika uchambuzi wa hisabati, iliyojengwa kutoka kwa mtazamo wa umoja; sehemu nyingine - suluhisho la pembetatu - inachukuliwa kuwa sura ya jiometri.

3. Ulimwengu wa trigonometry.

3.1 Utumiaji wa trigonometry katika sayansi mbalimbali.

Mahesabu ya trigonometric hutumiwa karibu na maeneo yote ya jiometri, fizikia na uhandisi.

Ya umuhimu mkubwa ni mbinu ya utatuzi, ambayo inaruhusu mtu kupima umbali wa nyota zilizo karibu katika astronomia, kati ya alama za jiografia, na kudhibiti mifumo ya urambazaji ya satelaiti. Ikumbukwe ni matumizi ya trigonometry katika maeneo yafuatayo: teknolojia ya urambazaji, nadharia ya muziki, acoustics, optics, uchambuzi wa soko la fedha, umeme, nadharia ya uwezekano, takwimu, biolojia, dawa (ikiwa ni pamoja na ultrasound), tomografia ya kompyuta, dawa, kemia, nadharia ya nambari, seismology, meteorology, oceanology, cartography, matawi mengi ya fizikia, topografia, geodesy, usanifu, fonetiki, uchumi, uhandisi wa elektroniki, uhandisi wa mitambo, michoro ya kompyuta, fuwele.

Trigonometry katika fizikia.

Mitetemo ya Harmonic.

Wakati hatua inaposogea katika mstari ulionyooka kwa njia tofauti katika mwelekeo mmoja au mwingine, hatua hiyo inasemekana kutengeneza kushuka kwa thamani.

Moja ya aina rahisi zaidi za oscillations ni harakati kando ya mhimili wa makadirio ya uhakika M, ambayo huzunguka sare katika mduara. Sheria ya oscillations hizi ina fomu x=Rcos(https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif" width="19" height="41 src="> .

Kawaida, badala ya mzunguko huu, tunazingatia mzunguko wa mzungukow=, inayoonyesha kasi ya angular ya mzunguko inayoonyeshwa katika radiani kwa sekunde. Katika nukuu hii tunayo: x=Rcos (wt+a). (2)

Nambari a kuitwa awamu ya awali ya oscillation.

Utafiti wa vibrations ya kila aina ni muhimu kwa sababu tu tunakutana na harakati za oscillatory au mawimbi mara nyingi sana katika ulimwengu unaotuzunguka na kuzitumia kwa mafanikio makubwa (mawimbi ya sauti, mawimbi ya umeme).

Mitetemo ya mitambo.

Mitetemo ya mitambo ni mienendo ya miili inayojirudia haswa (au takriban) kwa vipindi sawa vya wakati. Mifano ya mifumo rahisi ya oscillatory ni mzigo kwenye chemchemi au pendulum. Hebu tuchukue, kwa mfano, uzito uliosimamishwa kwenye chemchemi (tazama takwimu) na kuisukuma chini. Uzito utaanza kuzunguka juu na chini..gif" align="left" width="132 height=155" height="155">.gif" width="72" height="59 src=">.jpg " align= "left" width="202 height=146" height="146"> Grafu ya swing (2) inapatikana kutoka kwa grafu ya swing (1) kwa kuhamia kushoto

juu ya. Nambari A inaitwa awamu ya awali.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif" width="29" height="45 src=">), ambapo l ni urefu wa pendulum, na j0 ni pembe ya awali ya mchepuko. Kwa muda mrefu pendulum, polepole inazunguka (Hii inaonekana wazi katika Mchoro 1-7, Kiambatisho VIII). Katika Mchoro 8-16, Kiambatisho VIII, unaweza kuona wazi jinsi mabadiliko katika kupotoka kwa awali huathiri amplitude ya oscillations ya pendulum, wakati kipindi haibadilika. Kwa kupima kipindi cha oscillation ya pendulum ya urefu unaojulikana, mtu anaweza kuhesabu kuongeza kasi ya mvuto g katika pointi mbalimbali juu ya uso wa dunia.

Utoaji wa capacitor.

Sio tu vibrations nyingi za mitambo hutokea kulingana na sheria ya sinusoidal. Na oscillations ya sinusoidal hutokea katika nyaya za umeme. Kwa hiyo katika mzunguko ulioonyeshwa kwenye kona ya juu ya kulia ya mfano, malipo kwenye sahani za capacitor hubadilika kulingana na sheria q = CU + (q0 - CU) cos ωt, ambapo C ni uwezo wa capacitor, U ni voltage. kwenye chanzo cha sasa, L ni kuingizwa kwa coil, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg" align="left" width="348" height="253 src=" >Shukrani kwa mfano wa capacitor unaopatikana katika programu ya "Kazi na Grafu", unaweza kuweka vigezo vya mzunguko wa oscillatory na kujenga grafu zinazofanana g (t) na I (t Grafu 1-4) zinaonyesha wazi jinsi voltage inathiri mabadiliko kwa sasa na malipo ya capacitor, na ni wazi kwamba kwa voltage chanya malipo pia inachukua maadili mazuri Kielelezo 5-8 ya Kiambatisho IX inaonyesha kwamba wakati wa kubadilisha capacitance ya capacitor (wakati kubadilisha inductance ya coil katika. Kielelezo 9-14 cha Kiambatisho IX) na kuweka vigezo vingine mara kwa mara, kipindi cha oscillation kinabadilika, yaani mzunguko wa oscillations ya sasa katika mabadiliko ya mzunguko na Mzunguko wa malipo ya capacitor hubadilika..(angalia Kiambatisho IX).

Jinsi ya kuunganisha mabomba mawili.

Mifano iliyotolewa inaweza kutoa hisia kwamba sinusoids hutokea tu kuhusiana na oscillations. Hata hivyo, sivyo. Kwa mfano, mawimbi ya sine hutumiwa wakati wa kuunganisha mabomba mawili ya silinda kwa pembe kwa kila mmoja. Ili kuunganisha mabomba mawili kwa njia hii, unahitaji kuzipunguza diagonally.

Ikiwa unafungua bomba iliyokatwa kwa oblique, itageuka kuwa imefungwa juu na sinusoid. Unaweza kuthibitisha hili kwa kuifunga mshumaa kwenye karatasi, kukata diagonally na kufunua karatasi. Kwa hiyo, ili kupata kata hata ya bomba, unaweza kwanza kukata karatasi ya chuma kutoka juu pamoja na sinusoid na kuifungua kwenye bomba.

Nadharia ya upinde wa mvua.

Nadharia ya upinde wa mvua ilitolewa kwanza 1637 na Rene Descartes. Alielezea upinde wa mvua kama jambo linalohusiana na kuakisi na kuakisi mwanga katika matone ya mvua.

Upinde wa mvua hutokea kwa sababu mwanga wa jua unarudiwa na matone ya maji yaliyosimamishwa angani kulingana na sheria ya kinzani:

ambapo n1=1, n2≈1.33 ni fahirisi za kuakisi za hewa na maji, mtawalia, α ni pembe ya matukio, na β ni pembe ya mwonekano wa mwanga.

Taa za kaskazini

Kupenya kwa chembe za upepo wa jua zilizochajiwa kwenye anga ya juu ya sayari imedhamiriwa na mwingiliano wa uwanja wa sumaku wa sayari na upepo wa jua.

Nguvu inayofanya kazi kwenye chembe iliyochajiwa inayosonga kwenye uwanja wa sumaku inaitwa nguvu Lorenz. Ni sawia na chaji ya chembe na bidhaa ya vekta ya shamba na kasi ya chembe.

Matatizo ya Trigonometry na maudhui ya vitendo.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif" width="25" height="41">.

Uamuzi wa mgawo wa msuguano.

Mwili wa uzito wa P umewekwa kwenye ndege iliyoelekezwa na pembe ya mwelekeo a. Mwili, chini ya ushawishi wa uzito wake mwenyewe, umesafiri njia ya kasi S katika sekunde t. Amua mgawo wa msuguano k.

Nguvu ya shinikizo la mwili kwenye ndege inayoelekea =kPcosa.

Nguvu inayovuta mwili chini ni sawa na F=Psina-kPcosa=P(sina-kcosa).(1)

Ikiwa mwili unasogea kando ya ndege iliyoinama, basi kuongeza kasi ni a=https://pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif" width="20" height="41">==gF; kwa hivyo, .(2)

Kutoka kwa usawa (1) na (2) inafuata kwamba g(sina-kcosa)=https://pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif" width="129" height="48"> =gtga-.

Trigonometry katika planimetry.

Njia za kimsingi za kutatua shida za jiometri kwa kutumia trigonometry:

sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

dhambi(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Uwiano wa pande na pembe katika pembetatu ya kulia:

1) Mguu wa pembetatu ya kulia ni sawa na bidhaa ya mguu mwingine na tangent ya pembe kinyume.

2) Mguu wa pembetatu ya kulia ni sawa na bidhaa ya hypotenuse na sine ya pembe iliyo karibu.

3) Mguu wa pembetatu ya kulia ni sawa na bidhaa ya hypotenuse na cosine ya pembe ya karibu.

4) Mguu wa pembetatu ya kulia ni sawa na bidhaa ya mguu mwingine na cotangent ya pembe iliyo karibu.

Kazi ya 1:Kwa pande AB na CD ya trapezoid ya isoscelesABCD pointi M naN kwa njia ambayo mstari wa moja kwa mojaMN ni sawa na misingi ya trapezoid. Inajulikana kuwa katika kila trapezoids ndogo iliyoundwaMBCN naAMND tunaweza kuandika mduara, na radii ya miduara hii ni sawar naR ipasavyo. Tafuta sababuAD naB.C.

Imetolewa: ABCD-trapezoid, AB=CD, MєAB, NєCD, MN||AD, duara yenye radius r na R inaweza kuandikwa katika trapezoida MBCN na AMND, mtawalia.

Tafuta: AD na BC.

Suluhisho:

Hebu O1 na O2 iwe vituo vya miduara iliyoandikwa katika trapezoids ndogo. Moja kwa moja O1K||CD.

Katika ∆ O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Kwa kuwa ∆O2FD ni mstatili, basi O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Kwa sababu AD=2DF=2R*ctg(α/2),

vile vile BC = 2r* tan(α/2).

cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), kisha AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), tunapata jibu.

Jibu : AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Tatizo 2:Katika pembetatu Vyama vinavyojulikana vya ABC b, c na pembe kati ya wastani na urefu unaotoka kwenye kipeo A. Kuhesabu eneo la pembetatu ABC.

Imetolewa: ∆ ABC, AD-urefu, AE-median, DAE=α, AB=c, AC=b.

Tafuta: S∆ABC.

Suluhisho:

Acha CE=EB=x, AE=y, AED=γ. Kwa nadharia ya kosine katika ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); na katika ∆ACE kwa nadharia ya cosine c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Tukiondoa usawa 2 kutoka 1 tunapata c²-b²=4xy*cosγ(3).

T.K. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), kisha kugawanya usawa 3 kwa 4 tunapata: (c²-b²)/S=4*ctgγ, lakini ctgγ=tgαb, kwa hivyo S∆ABC= ( с² -b²)/4*tgα.

Jibu: (s²- b² )/4*tg α .

Trigonometry katika sanaa na usanifu.

Usanifu sio uwanja pekee wa sayansi ambao fomula za trigonometric hutumiwa. Wengi wa maamuzi ya utungaji na ujenzi wa michoro ulifanyika kwa usahihi kwa msaada wa jiometri. Lakini data ya kinadharia inamaanisha kidogo. Ningependa kutoa mfano wa ujenzi wa sanamu moja na bwana wa Kifaransa wa Golden Age ya sanaa.

Uhusiano wa uwiano katika ujenzi wa sanamu ulikuwa bora. Hata hivyo, sanamu hiyo ilipoinuliwa kwenye sehemu ya juu, ilionekana kuwa mbaya. Mchongaji hakuzingatia kwamba kwa mtazamo, kuelekea upeo wa macho, maelezo mengi yamepunguzwa na wakati wa kuangalia kutoka chini kwenda juu, hisia ya ubora wake haijaundwa tena. Mahesabu mengi yalifanywa ili kuhakikisha kwamba takwimu kutoka urefu mkubwa inaonekana sawia. Walikuwa hasa kwa kuzingatia njia ya kuona, yaani, kipimo cha takriban kwa jicho. Hata hivyo, mgawo wa tofauti wa uwiano fulani ulifanya iwezekanavyo kufanya takwimu karibu na bora. Kwa hivyo, kwa kujua umbali wa takriban kutoka kwa sanamu hadi kwa mtazamo, ambayo ni kutoka juu ya sanamu hadi kwa macho ya mtu na urefu wa sanamu, tunaweza kuhesabu sine ya angle ya matukio ya mtazamo kwa kutumia meza. tunaweza kufanya vivyo hivyo na mtazamo wa chini), na hivyo kupata maono ya uhakika (Mchoro 1)

Hali inabadilika (Mchoro 2), kwa kuwa sanamu imeinuliwa hadi urefu wa AC na NS huongezeka, tunaweza kuhesabu maadili ya cosine ya angle C, na kutoka kwa meza tutapata angle ya matukio ya macho. . Katika mchakato, unaweza kuhesabu AN, pamoja na sine ya angle C, ambayo itawawezesha kuangalia matokeo kwa kutumia kitambulisho cha msingi cha trigonometric. kos 2a+dhambi 2a = 1.

Kwa kulinganisha vipimo vya AN katika kesi ya kwanza na ya pili, mtu anaweza kupata mgawo wa uwiano. Baadaye, tutapokea mchoro, na kisha sanamu, ikiinuliwa, takwimu itakuwa karibu na ile bora.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif" width="162" height="101">.gif" width="108 height=132" height="132">

Trigonometry katika dawa na biolojia.

Mfano wa Biorhythm

Mfano wa biorhythms unaweza kujengwa kwa kutumia kazi za trigonometric. Ili kujenga mfano wa biorhythm, unahitaji kuingiza tarehe ya kuzaliwa ya mtu, tarehe ya kumbukumbu (siku, mwezi, mwaka) na muda wa utabiri (idadi ya siku).

Harakati ya samaki katika maji hutokea kwa mujibu wa sheria ya sine au cosine, ikiwa unatengeneza uhakika kwenye mkia na kisha uzingatia trajectory ya harakati. Wakati wa kuogelea, mwili wa samaki huchukua umbo la curve inayofanana na grafu ya kazi y=tgx.

Mfumo wa moyo

Kutokana na utafiti uliofanywa na mwanafunzi wa chuo kikuu cha Iran Shiraz na Vahid-Reza Abbasi, Kwa mara ya kwanza, madaktari waliweza kuandaa taarifa zinazohusiana na shughuli za umeme za moyo au, kwa maneno mengine, electrocardiography.
Fomula hiyo iitwayo Tehran, iliwasilishwa kwa jumuiya ya wanasayansi kwa ujumla katika mkutano wa 14 wa tiba ya kijiografia na kisha katika mkutano wa 28 wa matumizi ya teknolojia ya kompyuta katika magonjwa ya moyo, uliofanyika nchini Uholanzi. Fomula hii ni mlingano changamano wa algebraic-trigonometric inayojumuisha misemo 8, coefficients 32 na vigezo kuu 33, ikiwa ni pamoja na kadhaa za ziada kwa ajili ya hesabu katika kesi za yasiyo ya kawaida. Kulingana na madaktari, formula hii inawezesha sana mchakato wa kuelezea vigezo kuu vya shughuli za moyo, na hivyo kuharakisha uchunguzi na kuanza kwa matibabu yenyewe.

Trigonometry husaidia ubongo wetu kuamua umbali wa vitu.

Wanasayansi wa Marekani wanadai kwamba ubongo unakadiria umbali wa vitu kwa kupima pembe kati ya ndege ya dunia na ndege ya maono. Kwa kusema kweli, wazo la "pembe za kupimia" sio mpya. Hata wasanii wa Uchina wa Kale walichora vitu vya mbali zaidi katika uwanja wa maoni, kwa kiasi fulani wakipuuza sheria za mtazamo. Nadharia ya kuamua umbali kwa kukadiria pembe ilitungwa na mwanasayansi Mwarabu wa karne ya 11 Alhazen. Baada ya muda mrefu wa kusahaulika, wazo hilo lilifufuliwa katikati ya karne iliyopita na mwanasaikolojia James Gibson, ambaye aliweka hitimisho lake kwa msingi wa uzoefu wake wa kufanya kazi na marubani wa anga za kijeshi. Walakini, baada ya hapo juu ya nadharia

kusahaulika tena.

Matokeo ya utafiti mpya, kama mtu anavyoweza kudhani, yatawavutia wahandisi wanaobuni mifumo ya urambazaji ya roboti, na pia wataalamu wanaofanya kazi katika kuunda miundo ya kweli zaidi. Maombi katika uwanja wa dawa pia yanawezekana, katika ukarabati wa wagonjwa wenye uharibifu wa maeneo fulani ya ubongo.

3.2 Vielelezo vya picha vya ugeuzaji wa vitendaji vya trigonometriki "za kuvutia kidogo" kuwa mikunjo asili.

Curves katika kuratibu za polar.

Na. 16 ni. 19 Soketi.

Katika kuratibu za polar, sehemu moja imechaguliwa e, pole O na mhimili wa polar Ox. Msimamo wa hatua yoyote ya M imedhamiriwa na radius ya polar OM na pembe ya polar j inayoundwa na ray OM na Ox ya ray. Nambari r inayoonyesha urefu wa OM kulingana na e(OM=re) na thamani ya nambari ya pembe j, iliyoonyeshwa kwa digrii au radiani, huitwa viwianishi vya polar vya nukta M.

Kwa nukta yoyote isipokuwa nukta O, tunaweza kuzingatia 0≤j<2p и r>0. Walakini, wakati wa kuunda mikondo inayolingana na milinganyo ya fomu r=f(j), ni kawaida kugawa maadili yoyote kwa j tofauti (pamoja na hasi na zile zinazozidi 2p), na r inaweza kuwa chanya au hasi.

Ili kupata uhakika (j, r), tunachora ray kutoka kwa uhakika O, na kutengeneza pembe j na mhimili wa Ox, na kupanga njama juu yake (kwa r> 0) au kwa kuendelea kwake kwa mwelekeo tofauti (kwa r. >0) sehemu ½ r ½e.

Kila kitu kitarahisishwa sana ikiwa kwanza utaunda gridi ya kuratibu inayojumuisha miduara iliyozingatia na radii e, 2e, 3e, nk (pamoja na katikati kwenye pole O) na miale ambayo j = 0 °, 10 °, 20 °, ... ,340°,350°; miale hii pia itafaa kwa j<0°, и при j>360°; kwa mfano, saa j = 740 ° na saa j=-340 ° tutaanguka kwenye ray ambayo j = 20 °.

Utafiti wa data ya grafu husaidia programu ya kompyuta "Kazi na grafu". Kutumia uwezo wa programu hii, tutachunguza grafu za kuvutia za kazi za trigonometric.

1 .Zingatia mikunjo iliyotolewa na milinganyo:r=a+dhambi3j

I. r=sin3j ( shamrock ) (Mchoro 1)

II. r = 1/2 + sin3j (Mchoro 2), III. r=1+ sin3j (Kielelezo 3), r=3/2+ sin3j (Mchoro 4) .

Curve IV ina thamani ndogo zaidi ya r = 0.5 na petals zina mwonekano ambao haujakamilika. Kwa hivyo, wakati> 1, petals za trefoil zina mwonekano ambao haujakamilika.

2. Fikiria mikunjowakati a=0; 1/2; 1;3/2

Kwa = 0 (Mchoro 1), kwa = 1/2 (Kielelezo 2), kwa = 1 (Kielelezo 3) petals zina mwonekano wa kumaliza, kwa = 3/2 kutakuwa na petals tano ambazo hazijakamilika. ., (Mchoro .4).

3. Kwa ujumla, curver=https://pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif" width="45 height=41" height="41">), kwa sababu katika sekta hii 0°≤≤180 °.. gif" width="20" height="41">.gif" width="16" height="41"> kwa petali moja utahitaji "sekta" inayozidi 360°.

Kielelezo 1-4 kinaonyesha mwonekano wa petali katika =https://pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif" width="16" height="41 src=">.gif" width= "16" urefu = "41 src=">.

4.Milinganyo iliyopatikana na mwanahisabati na mwanaasili wa Ujerumani Habenicht kwa maumbo ya kijiometri yanayopatikana katika ulimwengu wa mimea. Kwa mfano, milinganyo r=4(1+cos3j) na r=4(1+cos3j)+4sin23j inalingana na mikunjo iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 1.2.

Curves katika kuratibu za Cartesian.

Mikondo ya Lissajous.

Curve nyingi za kuvutia zinaweza kujengwa katika kuratibu za Cartesian. Curves ambazo milinganyo yake imetolewa kwa fomu ya parametric inaonekana ya kuvutia sana:

Ambapo t ni kigezo msaidizi (parameta). Kwa mfano, fikiria mikondo ya Lissajous, inayojulikana kwa jumla na milinganyo:

Ikiwa tutachukua muda kama paramu t, basi takwimu za Lissajous zitakuwa matokeo ya kuongezwa kwa harakati mbili za oscillatory za usawa zinazofanywa kwa mwelekeo wa pande zote. Kwa ujumla, curve iko ndani ya mstatili na pande 2a na 2b.

Hebu tuangalie hili kwa kutumia mifano ifuatayo

I.x=sin3t; y=sin 5t (Kielelezo 1)

II. x=dhambi 3t; y=cos 5t (Kielelezo 2)

III. x=dhambi 3t; y=dhambi 4t.(Mtini.3)

Curves inaweza kufungwa au kufunguliwa.

Kwa mfano, kubadilisha milinganyo I na milinganyo: x=sin 3t; y=sin5(t+3) hugeuza mkunjo kuwa mkunjo uliofungwa (Mchoro 4)

Inavutia na ya kipekee ni mistari inayolingana na hesabu za fomu

katika= arcsin(sin k(x-a)).

Kutoka kwa equation y=arcsin(sinx) ifuatavyo:

1) na 2) siny=sinx.

Chini ya masharti haya mawili, chaguo la kukokotoa y=x linatosheleza. Kwa kuichora katika muda (-;https://pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif" width="77" height="41"> tutakuwa na y=p-x, kwani dhambi( p-x)=sinx na katika kipindi hiki

. Hapa grafu inaonyeshwa na sehemu BC.

Kwa kuwa sinx ni kazi ya mara kwa mara yenye kipindi cha 2p, ABC iliyovunjika iliyojengwa katika muda (,) itarudiwa katika sehemu nyingine.

Equation y=arcsin(sinkx) italingana na mstari uliovunjika wenye kipindi https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif" width="79 height=48" height="48" >

kukidhi kuratibu za pointi ambazo ziko wakati huo huo juu ya sinusoid (kwao y>sinx) na chini ya curve y=-sinx, yaani "eneo la ufumbuzi" la mfumo litakuwa na maeneo yenye kivuli kwenye Mchoro 1.

2. Fikiria ukosefu wa usawa

1) (y-sinx)(y+sinx)<0.

Ili kutatua ukosefu huu wa usawa, kwanza tunaunda grafu za utendakazi: y=sinx; y=-sinx.

Kisha tunapiga rangi maeneo ambapo y>sinx na wakati huo huo y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Ukosefu huu wa usawa utaridhishwa na maeneo yaliyowekwa kivuli kwenye Mchoro 2

2)(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(dhambi(x+))))<0

Wacha tuendelee kwenye ukosefu wa usawa ufuatao:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))(y-arcsin(dhambi(x+))))(y+arcsin(dhambi(x+))}<0

Ili kutatua ukosefu huu wa usawa, kwanza tunaunda grafu za kazi: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(dhambi(x+ )) .

Wacha tufanye meza ya suluhisho zinazowezekana.

1 kizidishi ina ishara	2 kizidishi ina ishara	3 kizidishi ina ishara	4 kizidishi ina ishara

Kisha tunazingatia na kivuli ufumbuzi wa mifumo ifuatayo.

)| na |y|>|dhambi(x-)|.

2) Kizidishi cha pili ni chini ya sifuri, yaani..gif" width="17" height="41">)|.

3) Sababu ya tatu ni chini ya sifuri, i.e. |y|<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>|sinx| na |y|>|sin(x+Taaluma za Taaluma" href="/text/category/uchebnie_distciplini/" rel="bookmark">taaluma za kitaaluma, teknolojia, katika maisha ya kila siku.

Matumizi ya programu ya modeli "Kazi na Grafu" ilipanua kwa kiasi kikubwa uwezekano wa kufanya utafiti na kuifanya iwezekane kupata maarifa wakati wa kuzingatia matumizi ya trigonometry katika fizikia. Shukrani kwa mpango huu, masomo ya kompyuta ya maabara ya vibrations ya mitambo yalifanyika kwa kutumia mfano wa oscillations ya pendulum, na oscillations katika mzunguko wa umeme zilizingatiwa. Utumiaji wa programu ya kompyuta ulifanya iwezekane kuchunguza mikondo ya kihesabu ya kuvutia iliyofafanuliwa kwa kutumia milinganyo ya trigonometric na kupanga michoro katika kuratibu za polar na Cartesian. Suluhisho la kielelezo la kutofautiana kwa trigonometric lilisababisha kuzingatia mifumo ya kuvutia ya hisabati.

5. Orodha ya fasihi iliyotumika.

1. ., Atanasov matatizo ya hisabati na maudhui ya vitendo: Kitabu. kwa mwalimu.-M.: Elimu, p.

2. Vilenkin katika asili na teknolojia: Kitabu. kwa usomaji wa ziada wa darasa la IX-X-M.: Kuelimika, 5s (Ulimwengu wa Maarifa).

3. Michezo ya kutunza nyumba na burudani. Jimbo mh. fizikia na hisabati lit. M, 9 kurasa.

4. Trigonometry ya Kozhurov kwa shule za ufundi. Jimbo mh. kiufundi-kinadharia lit. M., 1956

5. Kitabu. kwa usomaji wa ziada katika hisabati katika shule ya upili. Jimbo ufundishaji wa elimu mh. Dak. Kuelimika RF, M., uk.

6. , trigonometry ya Tarakanova. Daraja la 10.-M.: Bustard, p.

7. Kuhusu trigonometry na si tu kuhusu hilo: mwongozo kwa wanafunzi wa darasa la 9-11 -M.: Elimu, 1996-80p.

8. Shida za Shapiro na maudhui ya vitendo katika kufundisha hisabati. Kitabu kwa mwalimu.-M.: Elimu, 1990-96 p.

utafiti, mwanzo ambao unafanana na wimbi ndogo, baada ya hapo kuongezeka kwa systolic kunazingatiwa. Wimbi dogo kawaida huonyesha contraction ya atria. Mwanzo wa kupanda unafanana na mwanzo wa kufukuzwa kwa damu kwenye aorta. Kwenye mkanda huo huo unaweza kuona kilele kingine cha juu, ambacho kinaashiria kufungwa kwa valves za semilunar. Sura ya sehemu fulani ya kuongezeka kwa kiwango cha juu inaweza kuwa tofauti kabisa, ambayo husababisha matokeo tofauti ya utafiti huu. Baada ya kuongezeka kwa kiwango cha juu, kuna kushuka kwa curve, ambayo inaendelea hadi mwisho. Sehemu hii ya cardiogram ya apical inaambatana na ufunguzi wa valve ya mitral. Baada ya hayo kuna ongezeko kidogo la wimbi. Inaonyesha wakati wa kujaza haraka. Sehemu nzima iliyobaki ya curve imeteuliwa kama wakati wa kujaza ventrikali tulivu. Uchunguzi huo wa ventricle sahihi unaweza kuonyesha uwezekano wa kutofautiana kwa patholojia.

Trigonometry katika dawa na biolojia

Mfumo wa moyo. Kama matokeo ya utafiti uliofanywa na mwanafunzi wa Chuo Kikuu cha Irani cha Shiraz Vahid-Reza Abbasi, madaktari kwa mara ya kwanza waliweza kupanga habari zinazohusiana na shughuli za umeme za moyo, au, kwa maneno mengine, electrocardiography. Fomula ni mlingano changamano wa algebraic-trigonometric inayojumuisha misemo 8, coefficients 32 na vigezo kuu 33, ikiwa ni pamoja na kadhaa ya ziada kwa ajili ya mahesabu katika kesi ya yasiyo ya kawaida. Kulingana na madaktari, formula hii inawezesha sana mchakato wa kuelezea vigezo kuu vya shughuli za moyo, na hivyo kuharakisha uchunguzi na kuanza kwa matibabu yenyewe.

Trigonometry pia husaidia ubongo wetu kuamua umbali wa vitu.

1) Trigonometry husaidia ubongo wetu kuamua umbali wa vitu.

2)Harakati ya samaki katika maji hutokea kwa mujibu wa sheria ya sine au cosine, ikiwa unatengeneza uhakika kwenye mkia na kisha uzingatia trajectory ya harakati. Wakati wa kuogelea, mwili wa samaki huchukua umbo la curve inayofanana na grafu ya chaguo za kukokotoa y=tg(x)
5.Hitimisho

Kama matokeo ya kazi ya utafiti:

· Nilifahamu historia ya trigonometry.

· Mbinu zilizoratibiwa za kutatua milinganyo ya trigonometric.

· Kujifunza kuhusu matumizi ya trigonometry katika usanifu, biolojia, na dawa.