Milinganyo ya kifahari zaidi ya hisabati. Kutatua milinganyo na sehemu

Equations za hisabati sio tu muhimu - zinaweza pia kuwa nzuri. Na wanasayansi wengi wanakubali kwamba mara nyingi hupenda fomula fulani sio tu kwa utendaji wao, bali pia kwa fomu yao, mashairi fulani maalum. Kuna milinganyo ambayo inajulikana ulimwenguni kote, kama vile E = mc^2. Nyingine hazijaenea sana, lakini uzuri wa equation hautegemei umaarufu wake.

Nadharia ya jumla ya uhusiano

Mlinganyo ulioelezewa hapo juu uliundwa na Albert Einstein mnamo 1915 kama sehemu ya nadharia yake ya jumla ya ubunifu ya uhusiano. Nadharia hiyo kwa kweli ilibadilisha ulimwengu wa sayansi. Inashangaza jinsi equation moja inaweza kuelezea kabisa kila kitu kilicho karibu, ikiwa ni pamoja na nafasi na wakati. Fikra zote za kweli za Einstein zimejumuishwa ndani yake. Ni mlinganyo wa kifahari sana ambao unaeleza kwa ufupi jinsi kila kitu kinachokuzunguka kimeunganishwa - kwa mfano, jinsi uwepo wa Jua kwenye galaksi unavyokunja nafasi na wakati ili Dunia izunguke kuizunguka.

Mfano wa kawaida

Mfano wa kawaida ni nadharia nyingine muhimu zaidi ya fizikia; Kuna milinganyo mbalimbali inayoweza kuelezea nadharia hii, lakini mlinganyo unaotumika mara nyingi zaidi ni ule wa Lagrange, mwanahisabati na mnajimu wa Ufaransa wa karne ya 18. Alifafanua kwa ufanisi chembe zote na nguvu zinazotenda juu yao, isipokuwa mvuto. Hii pia inajumuisha kifua cha Higgs kilichogunduliwa hivi karibuni. Inaendana kikamilifu na mechanics ya quantum na uhusiano wa jumla.

Uchambuzi wa hisabati

Ingawa milinganyo miwili ya kwanza inaelezea vipengele maalum vya ulimwengu, mlingano huu unaweza kutumika katika hali zote zinazowezekana. Nadharia ya kimsingi ya calculus huunda msingi wa mbinu ya hisabati inayojulikana kama calculus na inahusiana na mawazo yake makuu mawili - dhana ya kuunganisha na dhana ya derivative. Uchambuzi wa hisabati ulianzia nyakati za zamani, lakini nadharia zote zililetwa pamoja na Isaac Newton katika karne ya 17 - alizitumia kuhesabu na kuelezea harakati za sayari kuzunguka Jua.

Nadharia ya Pythagorean

Equation nzuri ya zamani inayojulikana kwa kila mtu inaelezea theorem maarufu ya Pythagorean, ambayo watoto wote wa shule hujifunza katika masomo ya jiometri. Fomula hii inaeleza kuwa katika pembetatu yoyote ya kulia, mraba wa urefu wa hypotenuse, mrefu zaidi wa pande zote (c), ni sawa na jumla ya miraba ya pande nyingine mbili, miguu (a na b). Kama matokeo, equation inaonekana kama hii: a^2 + b^2 = c^2. Nadharia hii inashangaza wanahisabati na wanafizikia wengi wanaoanza wakati wanasoma tu shuleni na bado hawajui ni nini ulimwengu mpya umewaandalia.

1 = 0.999999999….

Mlinganyo huu rahisi unaonyesha kuwa nambari 0.999, yenye nambari isiyo na kikomo ya nines baada ya nukta ya desimali, ni sawa na moja. Mlinganyo huu ni wa kushangaza kwa sababu ni rahisi sana, unaoonekana sana, lakini bado unaweza kushangaza na kushangaza wengi. Watu wengine hawawezi kuamini kwamba hii ni kweli. Aidha, equation yenyewe ni nzuri - upande wake wa kushoto unawakilisha msingi rahisi zaidi wa hisabati, na upande wa kulia huficha siri na siri za infinity.

Nadharia maalum ya uhusiano

Albert Einstein anafanya orodha tena, wakati huu na nadharia yake maalum ya uhusiano, ambayo inaelezea jinsi wakati na nafasi sio dhana kamili, lakini kuhusiana na kasi ya mtazamaji. Mlinganyo huu unaonyesha jinsi muda "hupanuka," ukipunguza kasi zaidi kadiri mtu anavyosonga. Kwa kweli, equation sio ngumu, derivatives rahisi, algebra ya mstari. Hata hivyo, inachowakilisha ni njia mpya kabisa ya kuutazama ulimwengu.

Mlinganyo wa Euler

Fomula hii rahisi inajumuisha maarifa ya kimsingi kuhusu asili ya nyanja. Inasema kwamba ikiwa utakata tufe na kupata nyuso, kingo na wima, basi ikiwa unachukua F kama idadi ya nyuso, E kama idadi ya kingo, na V kama idadi ya wima, basi utapata kitu sawa kila wakati. : V - E + F = 2. Hivi ndivyo mlinganyo huu unavyoonekana. Jambo la kushangaza ni kwamba haijalishi ni sura gani ya duara unayochukua - iwe tetrahedron, piramidi, au mchanganyiko wowote wa nyuso, kingo na wima, utapata matokeo sawa kila wakati. Mchanganyiko huu huwaambia watu jambo la msingi kuhusu maumbo ya duara.

Mlinganyo wa Euler-Lagrange na nadharia ya Noether

Dhana hizi ni za kufikirika, lakini zina nguvu sana. Jambo la kufurahisha zaidi ni kwamba njia hii mpya ya kufikiria juu ya fizikia iliweza kuishi mapinduzi kadhaa katika sayansi hii, kama vile ugunduzi wa mechanics ya quantum, nadharia ya uhusiano na kadhalika. Hapa L inasimamia mlinganyo wa Lagrange, ambao ni kipimo cha nishati katika mfumo wa kimwili. Na kutatua equation hii itakuambia jinsi mfumo fulani utabadilika kwa wakati. Tofauti ya mlinganyo wa Lagrange ni nadharia ya Noether, ambayo ni ya msingi kwa fizikia na jukumu la ulinganifu. Kiini cha nadharia ni kwamba ikiwa mfumo wako ni wa ulinganifu, basi sheria inayolingana ya uhifadhi inatumika. Kwa kweli, wazo kuu la nadharia hii ni kwamba sheria za fizikia zinatumika kila mahali.

Mlingano wa kikundi cha kurekebisha hali

Mlinganyo huu pia huitwa mlinganyo wa Callan-Symanczyk baada ya waundaji wake. Ni hesabu muhimu ya msingi iliyoandikwa mnamo 1970. Inatumika kuonyesha jinsi matarajio ya ujinga yanavunjwa katika ulimwengu wa quantum. Mlinganyo huo pia una matumizi mengi ya kukadiria wingi na ukubwa wa protoni na nyutroni zinazounda kiini cha atomi.

Kiwango cha chini cha equation ya uso

Mlinganyo huu hukokotoa na kusimba filamu hizo nzuri za sabuni ambazo huunda kwenye waya zinapotumbukizwa kwenye maji ya sabuni. Equation hii, hata hivyo, ni tofauti sana na milinganyo ya kawaida ya mstari kutoka kwa uwanja huo, kwa mfano, equation ya joto, uundaji wa wimbi, na kadhalika. Mlinganyo huu sio wa mstari, unajumuisha ushawishi wa nguvu za nje na bidhaa zinazotokana.

Mstari wa Euler

Chukua pembetatu yoyote, chora duara ndogo kabisa ambayo inaweza kujumuisha pembetatu, na upate katikati yake. Pata katikati ya wingi wa pembetatu - hatua ambayo ingeruhusu pembetatu kusawazisha, kwa mfano, kwenye hatua ya penseli ikiwa inaweza kukatwa kwenye karatasi. Chora miinuko mitatu ya pembetatu hii (mistari ambayo itakuwa ya pembetatu kwa pande za pembetatu ambayo imechorwa) na upate sehemu yao ya makutano. Kiini cha nadharia ni kwamba pointi zote tatu zitakuwa kwenye mstari sawa sawa, ambayo ni sawa na mstari wa moja kwa moja wa Euler. Nadharia ina uzuri na nguvu zote za hisabati, ikifunua mifumo ya kushangaza katika mambo rahisi zaidi.





























Rudi mbele

Makini! Onyesho la kuchungulia la slaidi ni kwa madhumuni ya habari pekee na huenda lisiwakilishe vipengele vyote vya wasilisho. Ikiwa una nia ya kazi hii, tafadhali pakua toleo kamili.

Malengo ya somo:

Kielimu:

  • Fanya muhtasari wa maarifa juu ya aina zote za milinganyo, sisitiza umuhimu wa njia zote zinazotumiwa katika kutatua milinganyo.
  • Kuimarisha kazi ya wanafunzi kupitia mbinu mbalimbali katika somo.
  • Jaribu ujuzi wa kinadharia na wa vitendo katika kutatua milinganyo.
  • Kuzingatia ukweli kwamba equation moja inaweza kutatuliwa kwa njia kadhaa

Kielimu:

  • Kuongeza hamu ya wanafunzi katika somo kupitia matumizi ya ICT.
  • Fahamu wanafunzi na nyenzo za kihistoria juu ya mada.
  • Ukuzaji wa shughuli za kiakili katika kuamua aina ya equation na njia za kuisuluhisha.

Kielimu:

  • Weka nidhamu darasani.
  • Ukuzaji wa uwezo wa kuona uzuri ndani yako, kwa mtu mwingine na katika ulimwengu unaotuzunguka.

Aina ya somo:

  • Somo la jumla na utaratibu wa maarifa.

Aina ya somo:

  • Pamoja.

Nyenzo na vifaa vya kiufundi:

  • Kompyuta
  • Skrini
  • Projector
  • Diski yenye uwasilishaji wa mada

Mbinu na mbinu:

  • Kwa kutumia wasilisho
  • Mazungumzo ya mbele
  • Kazi ya mdomo
  • Nyakati za mchezo
  • Fanya kazi kwa jozi
  • Fanya kazi kwenye bodi
  • Fanya kazi kwenye daftari

Mpango wa somo:

  1. Muda wa shirika (dakika 1)
  2. Kusimbua mada ya somo (dakika 3)
  3. Taarifa ya mada na madhumuni ya somo (dakika 1)
  4. Kuongeza joto kwa kinadharia (dakika 3)
  5. Safari ya kihistoria (dakika 3)
  6. Mchezo "Ondoa ziada" (dakika 2)
  7. Kazi ya ubunifu (dakika 2)
  8. Kazi "Tafuta kosa" (dakika 2)
  9. Kutatua mlinganyo mmoja kwa njia kadhaa (kwenye slaidi) (dakika 3)
  10. Kutatua equation moja kwa njia kadhaa (kwenye ubao) (dakika 24)
  11. Kazi ya kujitegemea katika jozi ikifuatiwa na maelezo (dakika 5)
  12. Kazi ya nyumbani ya kibinafsi (dakika 1)
  13. Tafakari ya muhtasari wa somo (dakika 1)

Epigraph ya somo:

"Unaweza kujifunza kwa kujifurahisha tu; ili kusaga maarifa, unahitaji kuyameza kwa hamu ya kula."
A.Ufaransa

Muhtasari wa somo

Sehemu ya shirika

Ninaangalia utayari wa wanafunzi kwa somo na kuweka alama kwa wale ambao hawapo kwenye somo. Guys, mwandikaji Mfaransa wa karne ya 19 A. Ufaransa aliwahi kusema, “Unaweza kujifunza kupitia kujifurahisha tu ili kumeng’enya ujuzi, unahitaji kuyameza kwa hamu ya kula.” Kwa hivyo tufuate ushauri wa mwandishi katika somo letu na tuyayeyushe maarifa kwa hamu kubwa, kwani yatatufaa katika maisha yetu.

Kusimbua mada ya somo

Ili kuendelea na kazi ngumu zaidi, wacha tunyooshe akili zetu na kazi rahisi. Mada ya somo letu imesimbwa kwa kusuluhisha kazi za mdomo na kupata jibu kwao, tukijua kuwa kila jibu lina barua yake, tutafunua mada ya somo. Uwasilishaji wa slaidi 3

Kuwasilisha mada na madhumuni ya somo

Wewe mwenyewe ulitaja mada ya somo la leo

"Aina za hesabu na njia za kuzitatua." Uwasilishaji wa slaidi 4

Kusudi: Kumbuka na kujumlisha aina zote za milinganyo na njia za kuzitatua. Tatua mlinganyo mmoja kwa kutumia mbinu zote. Slaidi ya uwasilishaji 5 Soma taarifa ya Einstein Uwasilishaji slaidi 5

Joto-up ya kinadharia

Maswali Uwasilishaji slaidi 7

Majibu

  1. Usawa ulio na kigezo kilichoonyeshwa na herufi.
  2. Hii ina maana ya kutafuta mizizi yake yote, au kuthibitisha kwamba hakuna mizizi.
  3. Thamani ya kigezo ambapo mlinganyo huwa kweli.
  4. Baada ya ufafanuzi huu, soma shairi kuhusu mlingano wa slaidi 12,13,14

Majibu kwa maswali 2 ya mwisho Wasilisho slaidi 9,10,11

Safari ya kihistoria

Maelezo ya kihistoria kuhusu "Ni nani aliyevumbua mlingano na lini" Wasilisho slaidi 15

Hebu fikiria kwamba mama wa kwanza aitwaye ... hata hivyo, labda hakuwa na jina, alichukua apples 12 kutoka kwa mti ili kumpa kila mmoja wa watoto wake 4. Labda hakujua jinsi ya kuhesabu sio 12 tu, bali pia kwa nne, na kwa hakika hakujua jinsi ya kugawanya 12 na 4. Na labda aligawanya maapulo kama hii: kwanza alimpa kila mtoto apple, kisha apple nyingine. , kisha mwingine peke yake na kisha nikaona kwamba hapakuwa na maapulo tena na watoto walikuwa na furaha. Ikiwa tunaandika vitendo hivi kwa lugha ya kisasa ya hisabati, tunapata x4=12, yaani, mama yangu alitatua tatizo la kutunga equation. Inaonekana, haiwezekani kujibu swali lililotolewa hapo juu. Matatizo yanayosababisha utatuzi wa milinganyo yametatuliwa na watu kwa kutumia akili ya kawaida tangu wakati wa kuwa binadamu. Hata miaka elfu 3-4 KK, Wamisri na Wababiloni waliweza kutatua hesabu rahisi zaidi, fomu ambayo na njia za suluhisho hazikuwa sawa na za kisasa. Wagiriki walirithi maarifa ya Wamisri na wakasonga mbele. Mafanikio makubwa zaidi katika ukuzaji wa fundisho la equations yalipatikana na mwanasayansi wa Uigiriki Diophantus (karne ya III), ambaye waliandika juu yake:

Alitatua matatizo mengi.
Alitabiri harufu na mvua.
Hakika ujuzi wake ni wa ajabu.

Mwanahisabati wa Asia ya Kati Muhammad al-Khorezmi (karne ya 9) alitoa mchango mkubwa katika kutatua milinganyo. Kitabu chake maarufu al-Khwarizmi kimejikita katika kutatua milinganyo. Kinaitwa “Kitab al-jabr wal-mukabala”, yaani “Kitabu cha Ukamilishaji na Upinzani”. Kitabu hiki kilijulikana kwa Wazungu, na kutoka kwa neno "al-jabr" kutoka kwa kichwa chake lilikuja neno "algebra" - jina la moja ya sehemu kuu za hesabu. Baadaye, wanahisabati wengi walifanya kazi juu ya shida za hesabu. Kanuni ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa hadi fomu x2+in=0 ilitungwa na mwanahisabati Mjerumani Stiefel, aliyeishi katika karne ya 15. Baada ya kazi za mwanahisabati wa Uholanzi Girard (karne ya 16), pamoja na Descartes na Newton, njia ya ufumbuzi ilichukua fomu ya kisasa. Mifumo inayoonyesha utegemezi wa mizizi ya equation kwenye coefficients yake ilianzishwa na Vieth. Francois Viet aliishi katika karne ya 16. Alitoa mchango mkubwa katika utafiti wa matatizo mbalimbali katika hisabati na astronomia; hasa, alianzisha uteuzi wa barua kwa coefficients ya equation. Sasa hebu tufahamiane na kipindi cha kuvutia kutoka kwa maisha yake. Viet ilipata umaarufu mkubwa chini ya Mfalme Henry III, wakati wa Vita vya Franco-Hispania. Wachunguzi wa Kihispania walivumbua maandishi magumu sana ya siri, shukrani ambayo Wahispania walilingana na maadui wa Henry III hata huko Ufaransa yenyewe.

Kwa bure Wafaransa walijaribu kupata ufunguo wa nambari, na kisha mfalme akageukia Vieta. Wanasema kwamba Viet ilipata ufunguo wa nambari hiyo katika wiki mbili za kazi inayoendelea, baada ya hapo, bila kutarajia kwa Uhispania, Ufaransa ilianza kushinda vita moja baada ya nyingine. Wakiwa na hakika kwamba kanuni hiyo haikuweza kufafanuliwa, Wahispania hao walimshtaki Viet kwa kuwa na uhusiano na shetani na wakamhukumu kuchomwa moto kwenye mti. Kwa bahati nzuri, hakutolewa kwa Baraza la Kuhukumu Wazushi na alishuka katika historia kama mwanahisabati mkubwa.

Mchezo "Ondoa ziada"

Kusudi la mchezo mwelekeo katika aina za milinganyo.

Tumepewa safu tatu za milinganyo, katika kila moja milinganyo inafafanuliwa kwa mujibu wa kigezo fulani, lakini mojawapo ni ya juu sana; Uwasilishaji wa slaidi 16

Kazi ya ubunifu

Kusudi la kazi hii: Uelewa wa kusikiliza wa hotuba ya hisabati, kuwaelekeza watoto katika aina za milinganyo.

Kwenye skrini unaona milinganyo 9. Kila equation ina nambari yake mwenyewe, nitataja aina ya equation hii, na lazima upate equation ya aina hii, na uweke tu nambari ambayo inaonekana chini yake, kwa matokeo utapata nambari ya tarakimu 9 Uwasilishaji slaidi 17.

  1. Ilipunguza equation ya quadratic.
  2. Mlinganyo wa kimantiki wa sehemu
  3. Mlinganyo wa ujazo
  4. Mlinganyo wa logarithmic
  5. Mlinganyo wa mstari
  6. Mlinganyo wa quadratic usio kamili
  7. Mlingano wa kielelezo
  8. Mlinganyo usio na mantiki
  9. Mlinganyo wa Trigonometric

Kazi "Tafuta kosa"

Mwanafunzi mmoja alitatua hesabu, lakini darasa zima lilicheka, alifanya makosa katika kila mlinganyo, kazi yako ni kuipata na kuirekebisha. Uwasilishaji wa slaidi 18

Kutatua equation moja kwa njia kadhaa

Sasa hebu tutatue equation moja kwa njia zote zinazowezekana, ili kuokoa muda darasani, equation moja kwenye skrini. Sasa utataja aina ya mlingano huu, na ueleze ni njia gani inatumika kutatua mlinganyo huu wa slaidi 19-27

Kutatua equation moja kwa njia kadhaa (kwenye ubao)

Tuliangalia mfano, na sasa hebu tutatue equation kwenye ubao kwa kila njia iwezekanavyo.

X-2 - equation isiyo na maana

Wacha tuweke pande zote mbili za equation.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Tunatatua equation hii kwenye ubao kwa njia 9.

Kazi ya kujitegemea katika jozi ikifuatiwa na maelezo kwenye bodi

Na sasa utafanya kazi kwa jozi, natoa equation kwenye dawati lako, kazi yako ni kuamua aina ya equation, orodha ya njia zote za kutatua equation hii, kutatua 1-2 kwa njia za busara zaidi kwako. (dakika 2)

Kazi za kufanya kazi kwa jozi

Tatua mlinganyo

Baada ya kufanya kazi kwa kujitegemea katika jozi, mwakilishi mmoja huenda kwa bodi, anawasilisha equation yake, kutatua kwa njia moja.

Kazi ya nyumbani ya mtu binafsi(tofauti)

Tatua mlinganyo

(amua aina ya equation, suluhisha kwa njia zote kwenye karatasi tofauti)

Muhtasari wa somo la kutafakari.

Ninatoa muhtasari wa somo, zingatia ukweli kwamba equation moja inaweza kutatuliwa kwa njia nyingi, kutoa alama, kutoa hitimisho juu ya nani alikuwa hai na ni nani anayehitaji kuwa hai zaidi. Nilisoma taarifa ya Kalinin Uwasilishaji slaidi 28

Angalia kwa makini malengo ambayo tumejiwekea kwa somo la leo:

  • Unafikiri tulifanikiwa kufanya nini?
  • Ni nini hakijafanya kazi vizuri?
  • Ulipenda nini hasa na kukumbuka?
  • Leo nimejifunza kitu kipya...
  • Maarifa yangu yalikuwa muhimu wakati wa somo ...
  • Ilikuwa ngumu kwangu ...
  • Nilipenda somo...

Fasihi.

  1. Dorofeev G.V. "Mkusanyiko wa kazi za kufanya mtihani wa maandishi katika hisabati kwa kozi ya shule ya upili" - M.: Bustard, 2006.
  2. Garner Martin. Mafumbo ya hesabu na burudani.
  3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Nyenzo za didactic kwenye algebra na mwanzo wa uchambuzi wa daraja la 10, daraja la 11. M.: Kuelimika. 2002.

Maandishi ya kazi yanatumwa bila picha na fomula.
Toleo kamili la kazi linapatikana kwenye kichupo cha "Faili za Kazi" katika muundo wa PDF

UTANGULIZI

"Equation ni ufunguo wa dhahabu unaofungua ufuta wote wa hisabati"

S. Koval

Elimu ya hisabati iliyopokelewa shuleni ni sehemu muhimu sana ya maisha ya mtu wa kisasa. Karibu kila kitu kinachotuzunguka kwa namna fulani kimeunganishwa na hisabati. Kutatua matatizo mengi ya vitendo huja chini ya kutatua milinganyo ya aina mbalimbali.

Milinganyo ndiyo mada pana zaidi ya kozi nzima ya aljebra. Mwaka jana wa shule, katika masomo ya aljebra, tulijifunza kuhusu milinganyo ya roboduara. Milinganyo ya quadratic hutumiwa sana katika kutatua matatizo mbalimbali, katika hisabati na katika fizikia na kemia.

Katika kozi ya hisabati ya shule, mbinu za msingi za kutatua equations za quadratic zinasomwa. Walakini, kuna mbinu zingine za kutatua hesabu za quadratic, ambazo hukuruhusu kuzitatua haraka na kwa busara.

Tulifanya uchunguzi kati ya wanafunzi 84 wa darasa la 8-9 kuhusu maswali mawili:

    Je! Unajua njia gani za kutatua milinganyo ya robo?

    Je, ni zipi unazotumia mara nyingi zaidi?

Kulingana na matokeo ya uchunguzi, matokeo yafuatayo yalipatikana:

Baada ya kuchanganua matokeo yaliyopatikana, tulifikia hitimisho kwamba wanafunzi wengi hutumia kanuni za mizizi kwa kutumia kibaguzi wakati wa kusuluhisha milinganyo ya quadratic na hawajui vya kutosha jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic.

Kwa hivyo, mada tuliyochagua inafaa.

Tumejiweka lengo: soma njia zisizo za kawaida za kutatua equations za quadratic, kuanzisha wanafunzi katika darasa la 8 na 9 kwa mbinu mbalimbali za ufumbuzi, kuendeleza uwezo wa kuchagua njia ya busara ya kutatua equation ya quadratic.

Ili kufikia lengo hili, unahitaji kutatua zifuatazo kazi:

    kukusanya taarifa kuhusu njia mbalimbali za kutatua milinganyo ya quadratic,

    bwana suluhisho zilizopatikana,

    tengeneza mpango wa kutatua hesabu za quadratic kwa kutumia fomula za mizizi ya equation ya quadratic katika Excel,

    kukuza nyenzo za somo au shughuli za ziada juu ya njia zisizo za kawaida za kutatua hesabu za quadratic;

    endesha somo "Njia zisizo za kawaida za kusuluhisha milinganyo ya quadratic" na wanafunzi katika darasa la 8-9.

Lengo la utafiti: milinganyo ya quadratic.

Somo la utafiti: njia mbalimbali za kutatua milinganyo ya quadratic.

Tunaamini kwamba umuhimu wa vitendo wa kazi hiyo upo katika uwezekano wa kutumia benki ya mbinu na mbinu za kutatua hesabu za quadratic katika masomo ya hisabati na shughuli za ziada, na pia katika kufahamisha wanafunzi katika darasa la 8-9 na nyenzo hii.

SURA YA 1. MBINU ZISIZO KAWAIDA ZA KUTATUA MILIngano YA ROBO

    1. MALI ZA VITIA (a,b,c)

Njia hiyo inategemea mali ya coefficients a,b,c:

    Kama a+b+c=0, kisha = 1, =

Mfano:

-6x 2 + 2x +4=0, basi = 1, = = .

    Kama a - b+c=0, kisha = -1, = -

Mfano:

2017x 2 + 2001х +16 =0, basi = -1, -.

    1. UTEGEMEZI WA VIPENZI (a,b,c)

Utegemezi ufuatao wa coefficients ni halali: a,b,c:

Ikiwa b=a 2 +1, c=a, basi x 1 =-a; x 2 = - .

Ikiwa b=-(a 2 +1), a=c, basi x 1 =a; x 2 =.

Ikiwa b=a 2 -1, c=-a, basi x 1 =-a; x 2 = .

Ikiwa b=-(a 2 -1), -a=c, basi x 1 =a; x 2 = - .

Wacha tusuluhishe milinganyo ifuatayo:

    5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

    13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

    14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

    10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

    1. "UHAMISHO" WA UWIANO KUU

Mgawo A kuzidishwa na neno la bure, kana kwamba "kutupwa" kwake, ndiyo sababu inaitwa njia ya "kutupa". Ifuatayo, mizizi hupatikana kwa kutumia nadharia ya Vieta. Mizizi iliyopatikana imegawanywa na mgawo uliohamishwa hapo awali, shukrani kwa hili tunapata mizizi ya equation.

Mfano:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

Hebu "tutupe" mgawo wa 2 kwa neno la bure, na kwa matokeo tunapata usawa

katika 2 - 3у + 2 = 0.

Kulingana na nadharia ya Vieta

katika 1 = 2, x 1 = 2/2 , x 1 = 1,

katika 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

Jibu: 0.5; 1.

    1. NJIA YA MCHORO YA SULUHISHO

Ikiwa katika equation a x 2 + bx + c= 0 hoja ya pili na ya tatu kwa upande wa kulia, tunapata a x 2 = -bx-c .

Wacha tujenge grafu za utegemezi katika= shoka 2 na katika= -bx-c katika mfumo mmoja wa kuratibu.

Grafu ya utegemezi wa kwanza ni parabola inayopitia asili. Grafu ya utegemezi wa pili ni sawa.

Kesi zifuatazo zinawezekana:

    mstari wa moja kwa moja na parabola inaweza kuingiliana kwa pointi mbili, abscissas ya pointi za makutano ni mizizi ya equation ya quadratic;

    mstari wa moja kwa moja na parabola inaweza kugusa (hatua moja tu ya kawaida), i.e. equation ina suluhisho moja;

    mstari wa moja kwa moja na parabola hawana pointi za kawaida, i.e. equation ya quadratic haina mizizi.

Wacha tusuluhishe milinganyo ifuatayo:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 = - 2x + 3

Katika mfumo mmoja wa kuratibu, tutaunda grafu ya kazi y = x 2 na grafu ya kazi y = - 2x + 3. Kwa kuashiria abscissas ya pointi za makutano, tunapata jibu.

Jibu: x 1 = - 3, x 2 = 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 = - 6x - 9

Katika mfumo mmoja wa kuratibu, tutajenga grafu ya kazi y = x 2 na grafu ya kazi y = -6x - 9. Baada ya kuteua abscissa ya hatua ya tangent, tutapata jibu.

Jibu: x= - 3.

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

Katika mfumo mmoja wa kuratibu tutaunda grafu ya kazi y = 2x 2 na grafu ya kazi.

Parabola y = 2x 2 na mstari wa moja kwa moja y = - 4x - 7 hawana pointi za kawaida, kwa hiyo equation haina mizizi.

Jibu: hakuna mizizi.

    1. KUTATUA MILIngano WA ROBO KWA KUTUMIA NANDA NA WATAWALA

Wacha tusuluhishe mlinganyo aх 2 +bх+c=0:

    Hebu tujenge pointi S(-b:2a,(a+c):2a) - katikati ya duara na uhakika A(0,1).

    Chora mduara wa radius SA.

    Abscissas ya pointi za makutano na mhimili wa Ox ni mizizi ya equation ya awali.

Katika kesi hii, kesi tatu zinawezekana:

1) Radi ya duara ni kubwa kuliko mpangilio wa kituo ( AS>SK, au R>), duara huingilia mhimili Oh kwa pointi mbili..B( X 1 ; 0) na D(x 2 ;0), wapi X 1 Na X 2 - mizizi ya equation ya quadratic Oh 2 + bx + c = 0.

2) Radi ya duara ni sawa na mpangilio wa kituo ( AS = SВ, au R=), duara hugusa mhimili Oh kwa uhakika B( X 1 ; 0), wapi X 1 - mzizi wa equation ya quadratic.

3) Radi ya duara ni chini ya mpangilio wa kituo ( AS< SВ , au R< ), mduara hauna alama za kawaida na mhimili wa x, katika kesi hii equation haina suluhisho.

A) AS > SВ au R>, b) AS = SВ au R= V) AS< SВ, au R< .

Suluhu mbili X 1 Na X 2 . Suluhisho moja X 1.. Haina suluhu.

Mfano 1: 2 x 2 - 8x + 6 = 0.

Suluhisho:

Wacha tuchore mduara wa radius S.A. Wapi A (0;1).

Jibu: x 1 = 1, x 2 = 3.

Mfano 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Suluhisho: Hebu tutafute viwianishi vya S: x=3, y=5.

Jibu: x=3.

Mfano 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Suluhisho: Viwianishi vya kituo cha duara: x= - 2 na y = 3.

Jibu: hakuna mizizi

    1. SULUHISHO KWA KUTUMIA NOMOGRAM

Nomogram (kutoka kwa Kigiriki "nomos" - sheria na gramu), uwakilishi wa kielelezo wa kazi ya vigezo kadhaa, ambayo inaruhusu kutumia shughuli rahisi za kijiometri (kwa mfano, kutumia mtawala) kujifunza utegemezi wa kazi bila mahesabu. Kwa mfano, suluhisha mlinganyo wa quadratic bila kutumia fomula.

Hii ni njia ya zamani na sasa iliyosahaulika ya kutatua equations za quadratic, ziko kwenye ukurasa wa 83 wa mkusanyiko: Bradis V.M. "Jedwali za hisabati zenye tarakimu nne." - M., "Drofa", 2000. Jedwali XXII. Nomogram kwa ajili ya kutatua equation z 2 + pz + q = 0(tazama Kiambatisho 1).

Nomogram hii inaruhusu, bila kutatua equation ya quadratic, kuamua mizizi ya equation kutoka kwa coefficients yake.

Kiwango cha curvilinear cha nomogram imejengwa kulingana na fomula: OB= , AB =

Kuamini OS = p, ED = q, OE = a(zote kwa cm), kutoka kwa kufanana kwa pembetatu SAN Na CDF tunapata uwiano ambao, baada ya uingizwaji na kurahisisha, equation z 2 + pz + q = 0 ifuatavyo, na barua z inamaanisha alama ya hatua yoyote kwenye kiwango cha curvilinear.

Mfano 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

Kwenye kiwango cha p tunapata alama -9, na kwenye alama ya q 8. Tunachora mstari wa moja kwa moja kupitia alama hizi, ambazo huingiliana na kiwango cha curved ya nomogram kwenye alama 1 na 8. Kwa hiyo, mizizi ya equation ni 1. na 8.

Jibu: 1; 8.

Ni mlingano huu ambao unatatuliwa katika jedwali la Bradis kwenye ukurasa wa 83 (ona Kiambatisho 1).

Mfano 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Kugawanya coefficients ya equation hii na 2, tunapata equation:

z 2 - 4.5z + 1 = 0. Nomogram inatoa mizizi z 1 = 4 Na z 2 = 0,5.

Jibu: 4; 0.5.

Mfano 3:x 2 - 25x + 66 = 0

Vipimo vya p na q haviko kwenye kiwango. Wacha tufanye badala x = 5z, tunapata equation:

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

ambayo tunatatua kwa kutumia nomogram.

Tunapata z 1 = 0,6 Na z 2 = 4,4,

wapi x 1 = 5z 1 = 3,0 Na x 2 = 5z 2 = 22,0.

Jibu: 3; 22.

Mfano 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , na upate mzizi hasi kwa kutoa mzizi chanya kutoka - uk , hizo. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Jibu: 1; -6.

Mfano 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogram inatoa mzizi chanya z 1 =4, na hasi ni sawa na z 2 = - p -4 =

= 2 - 4= -2.

Jibu: 4; -2.

SURA YA 2. KUTATUA MWISHO WA ROBO KWA FOMU ZA MIZIZI KWA KUTUMIA EXCEL.

Tuliamua kuunda mpango wa kutatua equation ya quadratic kwa kutumia Excel - programu ya kompyuta inayotumiwa sana. Inahitajika kufanya mahesabu, kukusanya meza na michoro, na kuhesabu kazi rahisi na ngumu. Ni sehemu ya Suite ya Ofisi ya Microsoft.

Laha ya Excel inayoonyesha fomula:

Laha ya Excel inayoonyesha mfano maalum wa kusuluhisha mlinganyo wa quadratic x 2 - 14x - 15 = 0:

SURA YA 3. ULINGANISHI WA NJIA MBALIMBALI ZA KUTATUA MILIngano WA ROBO.

Mfumo wa mizizi ya mlingano wa quadratic kwa kutumia kibaguzi D na D1

Versatility, kwa sababu inaweza kutumika kutatua milinganyo yote ya quadratic

Ubaguzi mbaya haujajumuishwa kwenye jedwali la miraba

Nadharia ya Vieta

Suluhisho la haraka katika hali fulani na kuokoa wakati

Ikiwa kibaguzi si mraba kamili wa nambari kamili.

Sio hesabu kamili b na c.

Kuchagua mraba kamili

Kwa mabadiliko sahihi kwa mraba wa binomial, tunapata equation ya quadratic ya fomu isiyo kamili na kwa hivyo kupata mizizi haraka.

Ugumu wa kutenga mraba kamili na mgawo wa sehemu ya mlinganyo

Mbinu ya kupanga vikundi

Inaweza kutatuliwa bila kujua kanuni

Si mara zote inawezekana kutenga neno la kati katika istilahi zinazofaa za kuweka kambi

Mbinu ya picha

Hakuna fomula zinazohitajika.

Unaweza kujua haraka idadi ya mizizi ya equation

Ukadiriaji wa suluhisho

Sifa za mgawo a,b,c

Kasi ya suluhisho.

Kwa milinganyo yenye coefficients kubwa

Inafaa tu kwa milinganyo fulani

"Weka upya" ya mgawo mkuu

Suluhisho la haraka ikiwa mizizi ni intact

Sawa na kutumia nadharia ya Vieta

Nomogram

Mwonekano

Yote ambayo inahitajika kutatua ni nomogram

Huna kila wakati nomogram na wewe.

Usahihi wa suluhisho

Kutafuta mizizi kwa kutumia dira na mtawala

Mwonekano

Ikiwa viwianishi vya katikati ni nambari zisizo kamili.

Kutafuta mizizi ya equations na coefficients kubwa
HITIMISHO

“Mara nyingi ni muhimu zaidi kwa mtu anayesoma aljebra kutatua tatizo sawa kwa njia tatu tofauti kuliko kutatua matatizo matatu au manne tofauti. Kwa kutatua tatizo moja kwa kutumia mbinu tofauti, unaweza kutumia kulinganisha ili kujua ni ipi fupi na yenye ufanisi zaidi. Hivi ndivyo uzoefu unavyokuzwa."

Walter Warwick Sawyer

Wakati wa kazi, tulikusanya nyenzo na kujifunza njia za kutatua (kupata mizizi) equations za quadratic. Utatuzi wa milinganyo kwa kutumia mbinu tofauti umewasilishwa katika Kiambatisho 2.

Kusoma njia tofauti za kutatua milinganyo ya quadratic, tulihitimisha kuwa kwa kila equation tunaweza kuchagua chaguo bora zaidi na la busara la kutafuta mizizi. Kila suluhisho ni la kipekee na linafaa katika hali fulani. Njia zingine za suluhisho hukuruhusu kuokoa wakati, ambayo ni muhimu wakati wa kutatua kazi kwenye OGE, zingine husaidia kutatua equation na coefficients kubwa sana. Tulijaribu kulinganisha njia tofauti za suluhisho kwa kuandaa jedwali ambalo lilionyesha faida na hasara za kila njia.

Tumetengeneza takrima. Unaweza kufahamiana na benki ya kazi kwenye mada kwenye Kiambatisho cha 3.

Kwa kutumia Microsoft Excel, tumekusanya lahajedwali inayokuruhusu kukokotoa kiotomatiki mizizi ya mlinganyo wa quadratic kwa kutumia kanuni za mizizi.

Tulifanya somo kuhusu njia zisizo za kawaida za kutatua milinganyo ya roboduara kwa wanafunzi wa darasa la 9. Wanafunzi walipenda sana mbinu hizo; Matokeo ya somo yalikuwa ni kazi ya wanafunzi, ambamo waliwasilisha chaguzi mbalimbali za kutatua milinganyo ya quadratic (ona Kiambatisho 4).

Nyenzo za kazi zinaweza kutumiwa na wale wote wanaopenda hisabati na wale wanaotaka kujua zaidi kuhusu hisabati.

FASIHI

    Bradis V. M. "Jedwali la hisabati lenye tarakimu nne kwa shule ya upili", M.: Bustard, 2000.

    Vilenkin N.Ya. "Algebra kwa daraja la 8", M.: Prosveshchenie, 2000.

    Galitsky M.L. "Mkusanyiko wa shida katika algebra", M.: Prosveshchenie 2002.

    Glazer G. I. "Historia ya hisabati shuleni", M.: Prosveshchenie, 1982.

    Zvavich L.I. "Algebra daraja la 8", M.: Mnemosyne, 2002.

    Makarychev Yu.N. "Algebra daraja la 8", M.: Prosveshchenie, 2015.

    Pluzhnikov I. "Njia 10 za kutatua hesabu za quadratic" // Hisabati shuleni. - 2000.- Nambari 40.

    Presman A.A. "Kutatua equation ya quadratic kwa kutumia dira na mtawala" // M., Kvant, No. 4/72, p.34.

    Savin A.P. "Kamusi ya Encyclopedic ya Mwanahisabati mchanga",

M.: Pedagogy, 1989.

Rasilimali za mtandao:

http://revolution.allbest.ru/

KIAMBATISHO 1

“MKUSANYA WA BRADIS V.M.”

NYONGEZA 2

“KUTATUA EQUATION KWA NJIA ZOTE”

Mlingano asilia:4x 2 +3x -1 = 0.

1.Mchanganuo wa mizizi ya mlingano wa quadratic kwa kutumia kibaguzi D

4x 2 +3x -1 = 0

D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => equation ina mizizi miwili

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. Nadharia ya Vieta

4x 2 +3x -1 = 0, gawanya equation na 4 ili ipunguzwe

X 2 +x -=0

X 1 = -1

X 2 =

3. Njia ya kuchagua mraba kamili

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2х *)-1=0

(2x +) 2 -=0

(2x + -)(2x + +)=0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

X 1 = x 2 = -1

4. Mbinu ya kuweka vikundi

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0, bidhaa =0 wakati moja ya sababu =0

(4x-1)=0 (x+1)=0

X 1 = x 2 = -1

5. Mali ya coefficients

4x 2 +3x -1 = 0

Ikiwa a - b+c=0, basi = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Njia ya "kutupa" mgawo kuu

4x 2 +3x -1 = 0

y 2 +3y - 4 = 0

Nadharia ya Vieta:

y 1 = -4

y 2 = 1

Wacha tugawanye mizizi iliyopatikana na mgawo mkuu na tupate mizizi ya equation yetu:

X 1 = -1

X 2 =

7. Njia ya kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia dira na rula

4x 2 +3x -1 = 0

Wacha tuamue kuratibu za sehemu ya katikati ya duara kwa kutumia fomula:

X 1 = -1

X 2 =

8. Suluhisho la picha

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

Katika mfumo mmoja wa kuratibu tutaunda grafu ya kazi y = 4x 2 na grafu ya kazi

y = - 3x+1. Baada ya kuteua abscissas ya sehemu za makutano, tunapata jibu:

X 1 = -1

9. Kutumia nomogram

4x 2 +3x -1 = 0, Gawanya coefficients ya equation 1/4, tunapata equation

X 2 +x -= 0.

Nomogram inatoa mzizi mzuri = ,

na tunapata mzizi hasi kwa kutoa mzizi chanya kutoka - uk , hizo.

x 2 = - p -=- -= -1.

10. Kutatua mlingano huu katika EXCEL

NYONGEZA 3

"DIDACTICAL MATERIAL KWA MADA

“KUTATUA MILIngano WA ROBO” »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 = 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 = 0 -1 -0.8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s = 0 1 -1.5

55x 2 -44х -11= 0 1 -0.2

6x 2 - 7х - 3 = 0 - , 1.5

4x 2 -17x-15 = 0 -0.75, 5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 +10x + 7 = 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 = 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4x 2 + 4x -3= 0 -1.5, 0.5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

NYONGEZA 4

"KAZI YA WANAFUNZI"

Katika kozi ya hisabati ya shule, mtoto husikia neno "equation" kwa mara ya kwanza. Hii ni nini, wacha tujaribu kuigundua pamoja. Katika makala hii tutaangalia aina na mbinu za ufumbuzi.

Hisabati. Milinganyo

Kuanza, tunapendekeza uelewe dhana yenyewe, ni nini? Kama vitabu vingi vya hisabati vinasema, equation ni baadhi ya maneno ambayo lazima kuwe na ishara sawa. Maneno haya yana barua, kinachojulikana vigezo, thamani ambayo inapaswa kupatikana.

Hii ni sifa ya mfumo inayobadilisha thamani yake. Mfano mzuri wa vigezo ni:

  • joto la hewa;
  • urefu wa mtoto;
  • uzito na kadhalika.

Katika hisabati huonyeshwa kwa barua, kwa mfano, x, a, b, c ... Kawaida kazi ya hisabati huenda kama hii: pata thamani ya equation. Hii ina maana kwamba ni muhimu kupata thamani ya vigezo hivi.

Aina mbalimbali

Equation (tulijadili ni nini katika aya iliyotangulia) inaweza kuwa ya fomu ifuatayo:

  • mstari;
  • mraba;
  • ujazo;
  • algebraic;
  • kupita maumbile.

Kwa kufahamiana kwa kina zaidi na aina zote, tutazingatia kila moja kando.

Mlinganyo wa mstari

Hii ndiyo aina ya kwanza ambayo watoto wa shule huletwa. Zinatatuliwa haraka na kwa urahisi. Kwa hivyo, equation ya mstari ni nini? Hiki ni kielelezo cha umbo: ah=c. Haijulikani hasa, basi hebu tutoe mifano michache: 2x = 26; 5x=40; 1.2x=6.

Wacha tuangalie mifano ya milinganyo. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kukusanya data zote zinazojulikana kwa upande mmoja, na zisizojulikana kwa upande mwingine: x = 26/2; x=40/5; x=6/1.2. Hapa kanuni za msingi za hisabati zilitumika: a*c=e, kutoka hii c=e/a; a=e/c. Ili kukamilisha suluhisho la equation, tunafanya hatua moja (kwa upande wetu, mgawanyiko) x = 13; x=8; x=5. Hii ilikuwa mifano ya kuzidisha, sasa hebu tuangalie kutoa na kuongeza: x+3=9; 10x-5=15. Tunahamisha data inayojulikana kwa mwelekeo mmoja: x=9-3; x=20/10. Tekeleza kitendo cha mwisho: x=6; x=2.

Lahaja za milinganyo ya mstari pia zinawezekana, ambapo zaidi ya kigezo kimoja kinatumika: 2x-2y=4. Ili kutatua, ni muhimu kuongeza 2y kwa kila sehemu, tunapata 2x-2y+2y=4-2y, kama tulivyoona, upande wa kushoto wa ishara sawa -2y na +2y kughairi, na kutuacha na: 2x=4 -2у. Hatua ya mwisho ni kugawanya kila sehemu kwa mbili, tunapata jibu: x ni sawa na mbili minus y.

Matatizo ya milinganyo yanapatikana hata kwenye mafunjo ya Ahmes. Hapa kuna tatizo moja: nambari na sehemu yake ya nne huongeza hadi 15. Ili kutatua, tunaandika mlinganyo ufuatao: x pamoja na moja ya nne x ni sawa na kumi na tano. Tunaona mfano mwingine kulingana na matokeo ya suluhisho, tunapata jibu: x = 12. Lakini tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa njia nyingine, yaani Mmisri au, kama inaitwa tofauti, njia ya kudhani. Papyrus hutumia ufumbuzi wafuatayo: kuchukua nne na nne yake, yaani, moja. Kwa jumla wanatoa tano, sasa kumi na tano lazima zigawanywe kwa jumla, tunapata tatu, hatua ya mwisho ni kuzidisha tatu kwa nne. Tunapata jibu: 12. Kwa nini tunagawanya kumi na tano kwa tano katika suluhisho? Kwa hivyo tunagundua ni mara ngapi kumi na tano, ambayo ni, matokeo tunayohitaji kupata ni chini ya tano. Matatizo yalitatuliwa kwa njia hii katika Zama za Kati;

Milinganyo ya quadratic

Mbali na mifano iliyojadiliwa hapo awali, kuna wengine. Wapi hasa? Quadratic equation, ni nini? Zinafanana na shoka 2 +bx+c=0. Ili kuzitatua, unahitaji kujijulisha na dhana na sheria kadhaa.

Kwanza, unahitaji kupata kibaguzi kwa kutumia formula: b 2 -4ac. Kuna matokeo matatu yanayowezekana ya uamuzi:

  • ubaguzi ni mkubwa kuliko sifuri;
  • chini ya sifuri;
  • sawa na sifuri.

Katika chaguo la kwanza, tunaweza kupata jibu kutoka kwa mizizi miwili, ambayo hupatikana kwa mujibu wa formula: -b + -mizizi ya kibaguzi iliyogawanywa na mara mbili ya mgawo wa kwanza, yaani, 2a.

Katika kesi ya pili, equation haina mizizi. Katika kesi ya tatu, mzizi hupatikana kwa kutumia formula: -b/2a.

Hebu tuangalie mfano wa mlingano wa quadratic kwa utangulizi wa kina zaidi: tatu x mraba kutoa kumi na nne x minus tano ni sawa na sifuri. Kuanza, kama ilivyoandikwa hapo awali, tunatafuta kibaguzi, kwa upande wetu ni sawa na 256. Kumbuka kuwa nambari inayotokana ni kubwa kuliko sifuri, kwa hivyo, tunapaswa kupata jibu linalojumuisha mizizi miwili. Tunabadilisha kibaguzi kinachotokana na fomula ya kutafuta mizizi. Kama matokeo, tunayo: x ni sawa na tano na toa theluthi moja.

Kesi maalum katika milinganyo ya quadratic

Hii ni mifano ambayo baadhi ya maadili ni sifuri (a, b au c), na ikiwezekana zaidi ya moja.

Kwa mfano, hebu tuchukue mlingano ufuatao, ambao ni quadratic: mbili x mraba ni sawa na sifuri, hapa tunaona kwamba b na c ni sawa na sifuri. Hebu jaribu kutatua, kufanya hivyo tunagawanya pande zote mbili za equation na mbili, tuna: x 2 =0. Kama matokeo, tunapata x=0.

Kesi nyingine ni 16x 2 -9=0. Hapa ni b=0 tu. Hebu tutatue equation, uhamishe mgawo wa bure kwa upande wa kulia: 16x 2 = 9, sasa tunagawanya kila sehemu na kumi na sita: x 2 = tisa kumi na sita. Kwa kuwa tuna x mraba, mzizi wa 9/16 unaweza kuwa hasi au chanya. Tunaandika jibu kama ifuatavyo: x ni sawa na plus/minus robo tatu.

Jibu lingine linalowezekana ni kwamba equation haina mizizi hata kidogo. Hebu tuangalie mfano huu: 5x 2 +80=0, hapa b=0. Ili kutatua, kutupa muda wa bure kwa upande wa kulia, baada ya vitendo hivi tunapata: 5x 2 = -80, sasa tunagawanya kila sehemu kwa tano: x 2 = minus kumi na sita. Tukiweka mraba nambari yoyote, hatutapata thamani hasi. Kwa hivyo, jibu letu ni: equation haina mizizi.

Upanuzi wa trinomial

Jukumu la milinganyo ya quadratic pia linaweza kusikika kama hii: sababu ya utatu wa quadratic. Hili linaweza kufanywa kwa kutumia fomula ifuatayo: a(x-x 1)(x-x 2). Ili kufanya hivyo, kama ilivyo katika toleo lingine la kazi, ni muhimu kupata kibaguzi.

Fikiria mfano ufuatao: 3x 2 -14x-5, sababu ya trinomial. Tunapata kibaguzi kwa kutumia formula tayari inayojulikana kwetu; Tunazipata, kama katika aya iliyotangulia, tunayo: x = tano na toa theluthi moja. Wacha tutumie fomula ya kuainisha utatu: 3(x-5)(x+1/3). Katika bracket ya pili tulipata ishara sawa, kwa sababu formula ina ishara ya minus, na mzizi pia ni hasi, kwa kutumia ujuzi wa msingi wa hisabati, kwa jumla tuna ishara zaidi. Ili kurahisisha, hebu tuzidishe maneno ya kwanza na ya tatu ya equation ili kuondoa sehemu: (x-5)(x+1).

Milinganyo inapungua hadi quadratic

Katika sehemu hii tutajifunza jinsi ya kutatua equations ngumu zaidi. Wacha tuanze mara moja na mfano:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Tunaweza kutambua vipengele vinavyorudia: (x 2 - 2x), ili kutatua ni rahisi kwetu kuibadilisha na kutofautiana, na kisha. kutatua equation ya kawaida ya quadratic mara moja Tunakumbuka kuwa katika kazi hiyo tutapata mizizi minne, hii haipaswi kukuogopa. Tunaashiria marudio ya kigezo a. Tunapata: a 2 -2a-3=0. Hatua yetu inayofuata ni kupata kibaguzi cha mlingano mpya. Tunapata 16, pata mizizi miwili: minus moja na tatu. Tunakumbuka kwamba tulifanya uingizwaji, kubadilisha maadili haya, kwa sababu hiyo tuna milinganyo: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Tunayatatua katika jibu la kwanza: x ni sawa na moja, kwa pili: x ni sawa na minus moja na tatu. Tunaandika jibu kama ifuatavyo: plus/minus moja na tatu. Kama sheria, jibu limeandikwa kwa mpangilio wa kupanda.

Milinganyo ya ujazo

Hebu fikiria chaguo jingine linalowezekana. Tutazungumza juu ya equations za ujazo. Wanaonekana kama: shoka 3 + b x 2 + cx + d =0. Tutaangalia mifano ya equations hapa chini, lakini kwanza, nadharia kidogo. Wanaweza kuwa na mizizi mitatu, na pia kuna fomula ya kutafuta kibaguzi kwa equation ya ujazo.

Hebu tuangalie mfano: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Jinsi ya kutatua? Ili kufanya hivyo, tunaweka x nje ya mabano: x(3x 2 +4x+2)=0. Tunachopaswa kufanya ni kuhesabu mizizi ya equation kwenye mabano. Ubaguzi wa mlinganyo wa quadratic katika mabano ni chini ya sifuri, kwa kuzingatia hili, usemi una mzizi: x=0.

Aljebra. Milinganyo

Wacha tuendelee kwenye mtazamo unaofuata. Sasa tutaangalia kwa ufupi milinganyo ya aljebra. Moja ya kazi ni kama ifuatavyo: sababu 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Njia rahisi zaidi itakuwa kambi ifuatayo: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Kumbuka kuwa tuliwakilisha 8x 2 kutoka kwa usemi wa kwanza kama jumla ya 3x 2 na 5x 2. Sasa tunachukua kutoka kwa kila mabano sababu ya kawaida 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Tunaona kwamba tuna sababu ya kawaida: x mraba pamoja na moja, tunaiondoa kwenye mabano: (x 2 +1) (3x 2 +2x+5). Upanuzi zaidi hauwezekani kwa kuwa milinganyo yote miwili ina kibaguzi hasi.

Milinganyo ya kupita maumbile

Tunapendekeza ushughulike na aina ifuatayo. Hizi ni milinganyo ambayo ina vitendaji vya juu zaidi, yaani logarithmic, trigonometric au exponential. Mifano: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 na kadhalika. Utajifunza jinsi yanavyotatuliwa katika kozi ya trigonometry.

Kazi

Hatua ya mwisho ni kuzingatia dhana ya mlinganyo wa chaguo la kukokotoa. Tofauti na chaguzi zilizopita, aina hii haijatatuliwa, lakini grafu imejengwa kwa msingi wake. Ili kufanya hivyo, ni thamani ya kuchambua equation vizuri, kutafuta pointi zote muhimu kwa ajili ya ujenzi, na kuhesabu pointi za chini na za juu.

N.k., ni jambo la busara kufahamiana na milinganyo ya aina zingine. Inayofuata kwenye mstari ni milinganyo ya mstari, utafiti unaolengwa ambao huanza katika masomo ya aljebra katika daraja la 7.

Ni wazi kwamba kwanza tunahitaji kueleza equation ya mstari ni nini, kutoa ufafanuzi wa equation ya mstari, coefficients yake, na kuonyesha fomu yake ya jumla. Kisha unaweza kujua ni suluhisho ngapi equation ya mstari ina kulingana na maadili ya coefficients, na jinsi mizizi hupatikana. Hii itawawezesha kuendelea na kutatua mifano, na hivyo kuunganisha nadharia iliyojifunza. Katika makala hii tutafanya hivi: tutakaa kwa undani juu ya vidokezo vyote vya kinadharia na vitendo vinavyohusiana na usawa wa mstari na suluhisho zao.

Wacha tuseme mara moja kwamba hapa tutazingatia hesabu za mstari tu na tofauti moja, na katika nakala tofauti tutasoma kanuni za suluhisho. milinganyo ya mstari yenye vigeu viwili.

Urambazaji wa ukurasa.

Mlingano wa mstari ni nini?

Ufafanuzi wa equation ya mstari hutolewa kwa jinsi ilivyoandikwa. Zaidi ya hayo, katika vitabu tofauti vya hisabati na aljebra, uundaji wa ufafanuzi wa milinganyo ya mstari una tofauti fulani ambazo haziathiri kiini cha suala.

Kwa mfano, katika kitabu cha kiada cha aljebra cha darasa la 7 na Yu.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa fomu x=b, ambapo x ni variable, a na b ni baadhi ya namba, inaitwa mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja.

Wacha tutoe mifano ya milinganyo ya mstari ambayo inakidhi ufafanuzi uliotajwa. Kwa mfano, 5 x = 10 ni mlinganyo wa mstari wenye kigezo kimoja cha x, hapa mgawo a ni 5, na nambari b ni 10. Mfano mwingine: -2.3 · y=0 pia ni mlinganyo wa mstari, lakini yenye mabadiliko y, ambayo a=-2.3 na b=0. Na katika milinganyo ya mstari x=−2 na -x=3.33 a hazipo kwa uwazi na ni sawa na 1 na -1, mtawalia, huku katika mlingano wa kwanza b=-2, na wa pili - b=3.33.

Na mwaka mmoja mapema, katika kitabu cha hesabu cha N. Vilenkin, hesabu za mstari na moja isiyojulikana, pamoja na hesabu za fomu a x = b, pia zilizingatiwa equations ambazo zinaweza kuletwa kwa fomu hii kwa kuhamisha maneno kutoka kwa sehemu moja. ya equation hadi nyingine yenye ishara kinyume, na pia kwa kupunguza maneno sawa. Kwa mujibu wa ufafanuzi huu, equations ya fomu 5 x = 2 x + 6, nk. pia linear.

Kwa upande wake, katika kitabu cha algebra cha daraja la 7 na A. G. Mordkovich ufafanuzi ufuatao umetolewa:

Ufafanuzi.

Mlingano wa mstari na kigezo kimoja cha x ni mlinganyo wa umbo a·x+b=0, ambapo a na b ni baadhi ya nambari zinazoitwa mgawo wa mlinganyo wa mstari.

Kwa mfano, milinganyo ya mstari ya aina hii ni 2 x-12=0, hapa mgawo a ni 2, na b ni sawa na -12, na 0.2 y+4.6=0 na coefficients a=0.2 na b =4.6. Lakini wakati huo huo, kuna mifano ya milinganyo ya mstari ambayo ina umbo si a·x+b=0, lakini a·x=b, kwa mfano, 3·x=12.

Hebu, ili tusiwe na tofauti zozote katika siku zijazo, kwa mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja cha x na mgawo a na b tunamaanisha mlingano wa fomu a x + b = 0. Aina hii ya equation ya mstari inaonekana kuwa yenye haki zaidi, kwani milinganyo ya mstari ndiyo milinganyo ya algebra shahada ya kwanza. Na hesabu zingine zote zilizoonyeshwa hapo juu, pamoja na hesabu ambazo, kwa kutumia mabadiliko sawa, hupunguzwa kuwa fomu x + b = 0, tutaita. milinganyo ambayo inapungua hadi milinganyo ya mstari. Kwa mbinu hii, mlinganyo 2 x+6=0 ni mlinganyo wa mstari, na 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, nk. - Hizi ni milinganyo ambayo hupungua hadi mstari.

Jinsi ya kutatua equations za mstari?

Sasa ni wakati wa kubaini jinsi milinganyo ya mstari a·x+b=0 hutatuliwa. Kwa maneno mengine, ni wakati wa kujua ikiwa equation ya mstari ina mizizi, na ikiwa ni hivyo, ni ngapi kati yao na jinsi ya kuipata.

Uwepo wa mizizi ya equation ya mstari inategemea maadili ya coefficients a na b. Katika kesi hii, equation ya mstari x+b=0 ina

  • mzizi pekee wa a≠0,
  • haina mizizi ya a=0 na b≠0,
  • ina mizizi mingi isiyo na kikomo ya a=0 na b=0, kwa hali ambayo nambari yoyote ni mzizi wa mlinganyo wa mstari.

Hebu tueleze jinsi matokeo haya yalipatikana.

Tunajua kwamba ili kutatua milinganyo tunaweza kuhama kutoka mlinganyo wa asili hadi milinganyo sawa, yaani, hadi milinganyo yenye mizizi sawa au, kama ile ya awali, bila mizizi. Ili kufanya hivyo, unaweza kutumia mabadiliko sawa yafuatayo:

  • kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa equation hadi mwingine kwa ishara kinyume,
  • pamoja na kuzidisha au kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri.

Kwa hivyo, katika mlingano wa mstari wenye kigezo kimoja cha umbo a·x+b=0, tunaweza kuhamisha neno b kutoka upande wa kushoto hadi upande wa kulia kwa ishara kinyume. Katika hali hii, mlinganyo utachukua fomu a·x=−b.

Na kisha inauliza swali la kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari a. Lakini kuna jambo moja: nambari a inaweza kuwa sawa na sifuri, katika hali ambayo mgawanyiko huo hauwezekani. Ili kukabiliana na tatizo hili, kwanza tutafikiri kwamba nambari a sio sifuri, na tutazingatia kesi ya kuwa sawa na sifuri kando baadaye kidogo.

Kwa hivyo, wakati a si sawa na sifuri, basi tunaweza kugawanya pande zote mbili za equation a·x=−b na a, baada ya hapo itabadilishwa kuwa fomu x=(−b):a, matokeo haya yanaweza kuwa. iliyoandikwa kwa kutumia sehemu ndogo kama.

Kwa hivyo, kwa a≠0, mlinganyo wa mstari a·x+b=0 ni sawa na mlinganyo, ambapo mzizi wake unaonekana.

Ni rahisi kuonyesha kwamba mzizi huu ni wa kipekee, yaani, equation ya mstari haina mizizi mingine. Hii inakuwezesha kufanya njia kinyume.

Wacha tuonyeshe mzizi kama x 1. Wacha tufikirie kuwa kuna mzizi mwingine wa equation ya mstari, ambayo tunaashiria kama x 2, na x 2 ≠x 1, ambayo, kwa sababu ya kuamua nambari sawa kupitia tofauti ni sawa na hali x 1 −x 2 ≠0. Kwa kuwa x 1 na x 2 ni mizizi ya mlingano wa mstari a·x+b=0, basi usawa wa nambari a·x 1 +b=0 na a·x 2 +b=0 kushikilia. Tunaweza kuondoa sehemu zinazolingana za usawa huu, ambazo sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya, tuna a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, ambapo a·(x 1) −x 2)+( b−b)=0 na kisha a·(x 1 −x 2)=0 . Lakini usawa huu hauwezekani, kwani zote mbili a≠0 na x 1 - x 2 ≠0. Kwa hivyo tulikuja kwenye ukinzani, ambao unathibitisha upekee wa mzizi wa mlingano wa mstari a·x+b=0 kwa a≠0.

Kwa hivyo tulitatua mlingano wa mstari a·x+b=0 kwa a≠0. Matokeo ya kwanza yaliyotolewa mwanzoni mwa aya hii ni ya haki. Zimesalia mbili zaidi zinazokidhi sharti a=0.

Wakati a=0, mlingano wa mstari a·x+b=0 unachukua fomu 0·x+b=0. Kutoka kwa equation hii na mali ya kuzidisha nambari kwa sifuri inafuata kwamba haijalishi ni nambari gani tunayochukua kama x, inapobadilishwa kuwa equation 0 x + b=0, usawa wa nambari b=0 utapatikana. Usawa huu ni kweli wakati b=0, na katika hali nyingine wakati b≠0 usawa huu ni wa uongo.

Kwa hivyo, na a=0 na b=0, nambari yoyote ndio mzizi wa mlingano wa mstari a·x+b=0, kwani chini ya masharti haya, kubadilisha nambari yoyote kwa x kunatoa usawa sahihi wa nambari 0=0. Na wakati a=0 na b≠0, mlinganyo wa mstari a·x+b=0 hauna mizizi, kwani chini ya masharti haya, kubadilisha nambari yoyote badala ya x husababisha usawa wa nambari usio sahihi b=0.

Sababu zilizotolewa huturuhusu kuunda mfuatano wa vitendo ambao huturuhusu kutatua mlingano wowote wa mstari. Kwa hiyo, algorithm ya kutatua mlingano wa mstari ni:

  • Kwanza, kwa kuandika equation ya mstari, tunapata maadili ya coefficients a na b.
  • Ikiwa a=0 na b=0, basi mlingano huu una mizizi mingi sana, yaani, nambari yoyote ni mzizi wa mlingano huu wa mstari.
  • Ikiwa a ni nonzero, basi
    • mgawo b huhamishiwa upande wa kulia na ishara kinyume, na equation ya mstari inabadilishwa kuwa fomu a·x=−b,
    • baada ya hapo pande zote mbili za mlinganyo unaotokana hugawanywa na nambari isiyo ya kawaida A, ambayo inatoa mzizi unaotaka wa mlingano wa awali wa mstari.

Algorithm iliyoandikwa ni jibu la kina kwa swali la jinsi ya kutatua equations za mstari.

Kwa kuhitimisha hoja hii, inafaa kusema kwamba algoriti sawa inatumiwa kutatua milinganyo ya fomu a·x=b. Tofauti yake ni kwamba wakati a≠0, pande zote mbili za equation zimegawanywa mara moja na nambari hii; hapa b iko tayari katika sehemu inayohitajika ya equation na hakuna haja ya kuihamisha.

Ili kutatua hesabu za fomu x = b, algorithm ifuatayo hutumiwa:

  • Ikiwa a=0 na b=0, basi equation ina mizizi mingi sana, ambayo ni nambari zozote.
  • Ikiwa a=0 na b≠0, basi mlinganyo wa asili hauna mizizi.
  • Ikiwa a sio sifuri, basi pande zote mbili za equation zimegawanywa na nambari isiyo ya sifuri a, ambayo mzizi pekee wa equation hupatikana, sawa na b/a.

Mifano ya utatuzi wa milinganyo ya mstari

Tuendelee na mazoezi. Wacha tuangalie jinsi algorithm ya kusuluhisha milinganyo ya mstari inatumiwa. Wacha tutoe suluhisho kwa mifano ya kawaida inayolingana na maadili tofauti ya mgawo wa hesabu za mstari.

Mfano.

Tatua mlingano wa mstari 0·x−0=0.

Suluhisho.

Katika mlinganyo huu wa mstari, a=0 na b=−0 , ambayo ni sawa na b=0 . Kwa hivyo, mlinganyo huu una mizizi mingi sana; nambari yoyote ni mzizi wa mlingano huu.

Jibu:

x - nambari yoyote.

Mfano.

Je, equation ya mstari 0 x + 2.7 = 0 ina suluhu?

Suluhisho.

Katika kesi hii, mgawo a ni sawa na sifuri, na mgawo b wa equation hii ya mstari ni sawa na 2.7, yaani, tofauti na sifuri. Kwa hivyo, equation ya mstari haina mizizi.