Katika nakala hii, njia hiyo inazingatiwa kama njia ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari (SLAEs). Njia hiyo ni ya uchambuzi, ambayo ni, hukuruhusu kuandika algorithm ya suluhisho kwa fomu ya jumla, na kisha ubadilishe maadili kutoka kwa mifano maalum hapo. Tofauti na njia ya matrix au fomula za Cramer, wakati wa kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss, unaweza pia kufanya kazi na zile ambazo zina idadi isiyo na kikomo ya suluhu. Au hawana kabisa.
Inamaanisha nini kusuluhisha kwa kutumia njia ya Gaussian?
Kwanza, tunahitaji kuandika mfumo wetu wa milinganyo katika Inaonekana hivi. Chukua mfumo:
Coefficients imeandikwa kwa namna ya meza, na masharti ya bure yameandikwa kwenye safu tofauti upande wa kulia. Safu iliyo na masharti yasiyolipishwa imetenganishwa kwa urahisi. Matrix inayojumuisha safu hii inaitwa iliyopanuliwa.
Ifuatayo, matrix kuu yenye coefficients lazima ipunguzwe kwa fomu ya juu ya triangular. Hii ndio hatua kuu ya kutatua mfumo kwa kutumia njia ya Gaussian. Kwa ufupi, baada ya kudanganywa fulani, matrix inapaswa kuangalia ili sehemu yake ya kushoto ya chini iwe na zero tu:
Halafu, ukiandika matrix mpya tena kama mfumo wa equations, utaona kwamba safu ya mwisho tayari ina thamani ya moja ya mizizi, ambayo inabadilishwa kuwa equation hapo juu, mzizi mwingine unapatikana, na kadhalika.
Haya ni maelezo ya suluhisho kwa njia ya Gaussian kwa maneno ya jumla zaidi. Je! ni nini kitatokea ikiwa ghafla mfumo hauna suluhisho? Au kuna wengi wao usio na kikomo? Ili kujibu maswali haya na mengine mengi, ni muhimu kuzingatia kando vipengele vyote vilivyotumika katika kutatua njia ya Gaussian.
Matrices, mali zao
Hakuna maana iliyofichwa kwenye tumbo. Hii ni njia rahisi ya kurekodi data kwa shughuli zinazofuata nayo. Hata watoto wa shule hawana haja ya kuwaogopa.
Matrix daima ni ya mstatili, kwa sababu ni rahisi zaidi. Hata katika njia ya Gauss, ambapo kila kitu kinakuja chini ya kujenga matrix ya fomu ya triangular, mstatili unaonekana katika kuingia, tu na zero mahali ambapo hakuna namba. Zero zinaweza zisiandikwe, lakini zinamaanisha.
Matrix ina ukubwa. "Upana" wake ni idadi ya safu (m), "urefu" ni nambari ya safu (n). Kisha saizi ya matrix A (herufi kubwa za Kilatini kawaida hutumiwa kuziashiria) zitaonyeshwa kama A m×n. Ikiwa m = n, basi matrix hii ni mraba, na m = n ni utaratibu wake. Ipasavyo, kipengele chochote cha matrix A kinaweza kuonyeshwa kwa nambari zake za safu mlalo na safu: a xy ; x - nambari ya safu, mabadiliko, y - nambari ya safu, mabadiliko.
B sio jambo kuu la uamuzi. Kimsingi, shughuli zote zinaweza kufanywa moja kwa moja na hesabu zenyewe, lakini nukuu itakuwa ngumu zaidi, na itakuwa rahisi sana kuchanganyikiwa ndani yake.
Kuamua
Matrix pia ina kiashiria. Hii ni sifa muhimu sana. Hakuna haja ya kujua maana yake sasa; unaweza kuonyesha tu jinsi inavyohesabiwa, na kisha ueleze ni mali gani ya matrix ambayo huamua. Njia rahisi zaidi ya kupata kiashiria ni kupitia diagonal. Ulalo wa kufikiria huchorwa kwenye tumbo; vipengele vilivyo kwenye kila mmoja wao huongezeka, na kisha bidhaa zinazozalishwa huongezwa: diagonal na mteremko wa kulia - na ishara ya pamoja, na mteremko wa kushoto - na ishara ya minus.
Ni muhimu sana kutambua kwamba kibainishi kinaweza tu kuhesabiwa kwa matrix ya mraba. Kwa matrix ya mstatili, unaweza kufanya yafuatayo: chagua ndogo zaidi kutoka kwa idadi ya safu na idadi ya safu (wacha iwe k), na kisha uweke alama ya safuwima k na safu k kwenye tumbo. Vipengele vilivyo kwenye makutano ya safu wima na safu mlalo zilizochaguliwa vitaunda matrix mpya ya mraba. Ikiwa kiashiria cha matrix kama hiyo ni nambari isiyo ya sifuri, inaitwa msingi mdogo wa matrix ya asili ya mstatili.
Kabla ya kuanza kutatua mfumo wa equations kwa kutumia njia ya Gaussian, hainaumiza kuhesabu kiashiria. Ikiwa inageuka kuwa sifuri, basi tunaweza kusema mara moja kwamba matrix ina idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi au hakuna kabisa. Katika kesi hiyo ya kusikitisha, unahitaji kwenda zaidi na kujua kuhusu cheo cha matrix.
Uainishaji wa mfumo
Kuna kitu kama kiwango cha matrix. Huu ndio mpangilio wa juu wa kiashiria chake kisicho na sifuri (ikiwa tunakumbuka juu ya msingi mdogo, tunaweza kusema kwamba kiwango cha matrix ni mpangilio wa msingi mdogo).
Kulingana na hali na kiwango, SLAE inaweza kugawanywa katika:
- Pamoja. U Katika mifumo ya pamoja, kiwango cha matrix kuu (inayojumuisha coefficients tu) inalingana na kiwango cha matrix iliyopanuliwa (pamoja na safu ya masharti ya bure). Mifumo kama hiyo ina suluhisho, lakini sio lazima moja, kwa hivyo, mifumo ya pamoja imegawanywa katika:
- - fulani- kuwa na suluhisho moja. Katika mifumo fulani, cheo cha matrix na idadi ya haijulikani (au idadi ya safu, ambayo ni kitu kimoja) ni sawa;
- - haijafafanuliwa - na idadi isiyo na kikomo ya suluhisho. Kiwango cha matrices katika mifumo hiyo ni chini ya idadi ya haijulikani.
- Haioani. U Katika mifumo kama hiyo, safu za matrices kuu na zilizopanuliwa hazifanani. Mifumo isiyooana haina suluhisho.
Njia ya Gauss ni nzuri kwa sababu wakati wa suluhisho inaruhusu mtu kupata uthibitisho usio na shaka wa kutofautiana kwa mfumo (bila kuhesabu viashiria vya matrices kubwa), au suluhisho kwa fomu ya jumla kwa mfumo na idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi.
Mabadiliko ya msingi
Kabla ya kuendelea moja kwa moja kutatua mfumo, unaweza kuifanya iwe chini ya shida na rahisi zaidi kwa mahesabu. Hii inafanikiwa kupitia mabadiliko ya kimsingi - kwamba utekelezaji wao haubadilishi jibu la mwisho kwa njia yoyote. Ikumbukwe kwamba baadhi ya mabadiliko ya msingi yaliyotolewa ni halali kwa matrices tu, ambayo chanzo chake kilikuwa SLAE. Hapa kuna orodha ya mabadiliko haya:
- Kupanga upya mistari. Kwa wazi, ukibadilisha mpangilio wa equations katika rekodi ya mfumo, hii haitaathiri suluhisho kwa njia yoyote. Kwa hivyo, safu katika tumbo la mfumo huu pia zinaweza kubadilishwa, bila kusahau, bila shaka, safu ya maneno ya bure.
- Kuzidisha vipengele vyote vya mfuatano kwa mgawo fulani. Inasaidia sana! Inaweza kutumika kupunguza idadi kubwa kwenye tumbo au kuondoa sifuri. Maamuzi mengi, kama kawaida, hayatabadilika, lakini shughuli zaidi zitakuwa rahisi zaidi. Jambo kuu ni kwamba mgawo si sawa na sifuri.
- Kuondoa safu mlalo zenye vipengele sawia. Hii kwa kiasi inafuata kutoka kwa aya iliyotangulia. Ikiwa safu mbili au zaidi kwenye matrix zina coefficients sawia, basi wakati moja ya safu inapozidishwa / kugawanywa na mgawo wa uwiano, safu mbili (au, tena, zaidi) zinazofanana kabisa hupatikana, na zile za ziada zinaweza kuondolewa, na kuacha. kimoja tu.
- Kuondoa laini isiyofaa. Ikiwa, wakati wa mabadiliko, mstari unapatikana mahali fulani ambapo vipengele vyote, ikiwa ni pamoja na neno la bure, ni sifuri, basi safu hiyo inaweza kuitwa sifuri na kutupwa nje ya tumbo.
- Kuongeza kwa vipengele vya mstari mmoja vipengele vya mwingine (katika safu zinazofanana), kuzidishwa na mgawo fulani. Mabadiliko yasiyo dhahiri na muhimu kuliko yote. Inastahili kukaa juu yake kwa undani zaidi.
Kuongeza mfuatano unaozidishwa na kipengele
Kwa urahisi wa kuelewa, ni thamani ya kuvunja mchakato huu hatua kwa hatua. Safu mbili zinachukuliwa kutoka kwa tumbo:
a 11 kwa 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Hebu sema unahitaji kuongeza kwanza kwa pili, kuzidishwa na mgawo "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Kisha safu ya pili kwenye tumbo inabadilishwa na mpya, na ya kwanza inabaki bila kubadilika.
a 11 kwa 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Ikumbukwe kwamba mgawo wa kuzidisha unaweza kuchaguliwa kwa njia ambayo, kutokana na kuongeza safu mbili, moja ya vipengele vya safu mpya ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, inawezekana kupata equation katika mfumo ambapo kutakuwa na moja isiyojulikana sana. Na ikiwa unapata hesabu mbili kama hizo, basi operesheni inaweza kufanywa tena na kupata equation ambayo itakuwa na vitu viwili visivyojulikana. Na ikiwa kila wakati unageuza mgawo mmoja wa safu zote ambazo ziko chini ya ile ya asili hadi sifuri, basi unaweza, kama ngazi, kushuka hadi chini kabisa ya tumbo na kupata mlinganyo na moja isiyojulikana. Hii inaitwa kutatua mfumo kwa kutumia njia ya Gaussian.
Kwa ujumla
Hebu kuwe na mfumo. Ina m equations na n mizizi isiyojulikana. Unaweza kuiandika kama ifuatavyo:
Matrix kuu imejumuishwa kutoka kwa mgawo wa mfumo. Safu ya maneno ya bure huongezwa kwa tumbo iliyopanuliwa na, kwa urahisi, ikitenganishwa na mstari.
- safu ya kwanza ya matrix inazidishwa na mgawo k = (-a 21 / a 11);
- safu ya kwanza iliyobadilishwa na safu ya pili ya matrix huongezwa;
- badala ya safu ya pili, matokeo ya nyongeza kutoka kwa aya iliyotangulia imeingizwa kwenye tumbo;
- sasa mgawo wa kwanza katika safu mpya ya pili ni 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Sasa mfululizo huo wa mabadiliko unafanywa, safu za kwanza na za tatu tu zinahusika. Ipasavyo, katika kila hatua ya algorithm, kipengele cha 21 kinabadilishwa na 31. Kisha kila kitu kinarudiwa kwa 41, ... m1. Matokeo yake ni matrix ambapo kipengele cha kwanza katika safu ni sifuri. Sasa unahitaji kusahau juu ya nambari ya kwanza na ufanye algorithm sawa, kuanzia mstari wa pili:
- mgawo k = (-a 32 /a 22);
- mstari wa pili uliobadilishwa huongezwa kwenye mstari wa "sasa";
- matokeo ya nyongeza hubadilishwa kuwa ya tatu, ya nne, na kadhalika, wakati ya kwanza na ya pili inabaki bila kubadilika;
- katika safu za matrix vitu viwili vya kwanza tayari ni sawa na sifuri.
Algorithm lazima irudiwe hadi mgawo k = (-a m,m-1 /a mm) inaonekana. Hii ina maana kwamba mara ya mwisho algorithm ilitekelezwa ilikuwa tu kwa mlinganyo wa chini. Sasa matrix inaonekana kama pembetatu, au ina umbo la kupitiwa. Katika mstari wa chini kuna usawa a mn × x n = b m. Muda wa mgawo na wa bure hujulikana, na mzizi unaonyeshwa kwa njia yao: x n = b m / a mn. Mzizi unaotokana hubadilishwa kwenye mstari wa juu ili kupata x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Na kadhalika kwa mlinganisho: katika kila mstari unaofuata kuna mzizi mpya, na, baada ya kufikia "juu" ya mfumo, unaweza kupata ufumbuzi mwingi. Itakuwa pekee.
Wakati hakuna suluhu
Ikiwa katika safu mlalo moja ya matrix vipengele vyote isipokuwa neno huria ni sawa na sifuri, basi equation inayolingana na safu mlalo hii inaonekana kama 0 = b. Haina suluhu. Na kwa kuwa equation kama hiyo imejumuishwa kwenye mfumo, basi seti ya suluhisho la mfumo mzima ni tupu, ambayo ni, imeharibika.
Wakati kuna idadi isiyo na kikomo ya suluhisho
Inaweza kutokea kwamba katika matrix ya pembetatu iliyotolewa hakuna safu zilizo na kipengele kimoja cha mgawo wa equation na neno moja la bure. Kuna mistari pekee ambayo, ikiandikwa upya, ingeonekana kama mlinganyo wenye viambishi viwili au zaidi. Hii inamaanisha kuwa mfumo una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho. Katika kesi hii, jibu linaweza kutolewa kwa namna ya suluhisho la jumla. Jinsi ya kufanya hivyo?
Vigezo vyote kwenye tumbo vimegawanywa katika msingi na bure. Ya msingi ni wale wanaosimama "kwenye makali" ya safu kwenye tumbo la hatua. Wengine ni bure. Katika suluhisho la jumla, vigezo vya msingi vimeandikwa kwa njia ya bure.
Kwa urahisi, matrix huandikwa upya kwanza kwenye mfumo wa milinganyo. Kisha katika mwisho wao, ambapo kuna tofauti moja tu ya msingi iliyobaki, inabaki upande mmoja, na kila kitu kingine kinahamishiwa kwa nyingine. Hii inafanywa kwa kila equation na kigezo kimoja cha msingi. Kisha, katika milinganyo iliyobaki, inapowezekana, usemi uliopatikana kwa ajili yake hubadilishwa badala ya kutofautisha msingi. Ikiwa matokeo ni usemi tena ulio na kigezo kimoja tu cha msingi, huonyeshwa tena kutoka hapo, na kadhalika, hadi kila kigezo cha msingi kimeandikwa kama usemi na vigeu vya bure. Hili ndilo suluhisho la jumla la SLAE.
Unaweza pia kupata suluhisho la msingi la mfumo - toa vigezo vya bure maadili yoyote, na kisha kwa kesi hii maalum kuhesabu maadili ya vigezo vya msingi. Kuna idadi isiyo na kikomo ya suluhisho maalum ambazo zinaweza kutolewa.
Suluhisho na mifano maalum
Hapa kuna mfumo wa equations.
Kwa urahisi, ni bora kuunda matrix yake mara moja
Inajulikana kuwa inapotatuliwa na njia ya Gaussian, equation inayolingana na safu ya kwanza itabaki bila kubadilika mwishoni mwa mabadiliko. Kwa hivyo, itakuwa na faida zaidi ikiwa sehemu ya juu ya kushoto ya tumbo ni ndogo zaidi - basi vitu vya kwanza vya safu zilizobaki baada ya shughuli zitageuka kuwa sifuri. Hii inamaanisha kuwa katika matrix iliyokusanywa itakuwa na faida kuweka safu ya pili mahali pa ile ya kwanza.
mstari wa pili: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
mstari wa tatu: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Sasa, ili usichanganyike, unahitaji kuandika matrix na matokeo ya kati ya mabadiliko.
Kwa wazi, matrix kama hiyo inaweza kufanywa kuwa rahisi zaidi kwa mtazamo kwa kutumia shughuli fulani. Kwa mfano, unaweza kuondoa "minuses" zote kutoka kwa mstari wa pili kwa kuzidisha kila kipengele kwa "-1".
Inafaa pia kuzingatia kwamba katika mstari wa tatu vipengele vyote ni vingi vya tatu. Kisha unaweza kufupisha kamba kwa nambari hii, ukizidisha kila kipengele kwa "-1/3" (minus - wakati huo huo, ili kuondoa maadili mabaya).
Inaonekana nzuri zaidi. Sasa tunahitaji kuondoka mstari wa kwanza peke yake na kufanya kazi na pili na ya tatu. Kazi ni kuongeza mstari wa pili kwenye mstari wa tatu, unaozidishwa na mgawo huo kwamba kipengele cha 32 kinakuwa sawa na sifuri.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ikiwa wakati wa mabadiliko fulani jibu halijageuka kuwa nambari kamili, inashauriwa kudumisha usahihi wa mahesabu ya kuondoka. ni "kama ilivyo", kwa namna ya sehemu za kawaida, na kisha tu, majibu yanapopokelewa, amua ikiwa utazungusha na kubadilisha kwa aina nyingine ya kurekodi)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matrix imeandikwa tena na maadili mapya.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kama unaweza kuona, matrix inayosababisha tayari ina fomu iliyopigwa. Kwa hiyo, mabadiliko zaidi ya mfumo kwa kutumia njia ya Gaussian hayahitajiki. Unachoweza kufanya hapa ni kuondoa mgawo wa jumla "-1/7" kutoka kwa mstari wa tatu.
Sasa kila kitu ni nzuri. Kilichobaki kufanya ni kuandika matrix tena kwa namna ya mfumo wa hesabu na kuhesabu mizizi.
x + 2y + 4z = 12 (1)
Miaka 7 + 11z = 24 (2)
Algorithm ambayo mizizi itapatikana sasa inaitwa kusonga nyuma kwa njia ya Gaussian. Mlinganyo (3) una thamani ya z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Na equation ya kwanza inaruhusu sisi kupata x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Tuna haki ya kuita mfumo kama huo wa pamoja, na hata dhahiri, ambayo ni kuwa na suluhisho la kipekee. Jibu limeandikwa katika fomu ifuatayo:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Mfano wa mfumo usio na uhakika
Lahaja ya kusuluhisha mfumo fulani kwa kutumia njia ya Gauss imechambuliwa; sasa inahitajika kuzingatia kesi ikiwa mfumo hauna uhakika, ambayo ni, suluhisho nyingi sana zinaweza kupatikana kwa hiyo.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Muonekano wa mfumo tayari ni wa kutisha, kwa sababu idadi ya haijulikani ni n = 5, na kiwango cha matrix ya mfumo tayari iko chini ya nambari hii, kwa sababu idadi ya safu ni m = 4, ambayo ni, utaratibu mkubwa zaidi wa determinant-mraba ni 4. Hii ina maana kwamba kuna idadi isiyo na kikomo ya ufumbuzi, na unahitaji kuangalia kwa kuonekana kwake kwa ujumla. Njia ya Gauss ya milinganyo ya mstari hukuruhusu kufanya hivi.
Kwanza, kama kawaida, matrix iliyopanuliwa imeundwa.
Mstari wa pili: mgawo k = (-a 21 /a 11) = -3. Katika mstari wa tatu, kipengele cha kwanza ni kabla ya mabadiliko, kwa hivyo huna haja ya kugusa chochote, unahitaji kuiacha kama ilivyo. Mstari wa nne: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Kwa kuzidisha vitu vya safu ya kwanza kwa kila mgawo wao kwa zamu na kuziongeza kwenye safu zinazohitajika, tunapata matrix ya fomu ifuatayo:
Kama unaweza kuona, safu ya pili, ya tatu na ya nne inajumuisha vitu vilivyo sawa kwa kila mmoja. Ya pili na ya nne kwa ujumla yanafanana, hivyo mmoja wao anaweza kuondolewa mara moja, na iliyobaki inaweza kuzidishwa na mgawo "-1" na kupata nambari ya mstari 3. Na tena, nje ya mistari miwili inayofanana, kuondoka moja.
Matokeo yake ni matrix kama hii. Wakati mfumo bado haujaandikwa, ni muhimu kuamua vigezo vya msingi hapa - wale waliosimama kwenye coefficients 11 = 1 na 22 = 1, na wale wa bure - wengine wote.
Katika equation ya pili kuna tofauti moja tu ya msingi - x 2. Hii ina maana kwamba inaweza kuonyeshwa kutoka hapo kwa kuiandika kupitia vigezo x 3 , x 4 , x 5 , ambayo ni bure.
Tunabadilisha usemi unaotokana na mlinganyo wa kwanza.
Matokeo yake ni equation ambayo kigezo pekee cha msingi ni x 1 . Wacha tuifanye vivyo hivyo na x 2.
Vigezo vyote vya msingi, ambavyo kuna viwili, vinaonyeshwa kwa suala la tatu za bure; sasa tunaweza kuandika jibu kwa fomu ya jumla.
Unaweza pia kutaja mojawapo ya ufumbuzi maalum wa mfumo. Kwa hali kama hizi, zero kawaida huchaguliwa kama maadili ya anuwai ya bure. Kisha jibu litakuwa:
16, 23, 0, 0, 0.
Mfano wa mfumo usio wa ushirika
Kutatua mifumo isiyooana ya milinganyo kwa kutumia njia ya Gauss ndiyo ya haraka zaidi. Inaisha mara tu katika moja ya hatua equation inapopatikana ambayo haina suluhisho. Hiyo ni, hatua ya kuhesabu mizizi, ambayo ni ndefu sana na yenye kuchochea, imeondolewa. Mfumo ufuatao unazingatiwa:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Kama kawaida, matrix imeundwa:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Na imepunguzwa kwa fomu ya hatua kwa hatua:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Baada ya mabadiliko ya kwanza, mstari wa tatu una equation ya fomu
bila suluhu. Kwa hivyo, mfumo hauendani, na jibu litakuwa seti tupu.
Faida na hasara za njia
Ikiwa unachagua njia gani ya kutatua SLAEs kwenye karatasi na kalamu, basi njia ambayo ilijadiliwa katika makala hii inaonekana kuvutia zaidi. Ni ngumu zaidi kuchanganyikiwa katika mabadiliko ya kimsingi kuliko ikiwa itabidi utafute kibainishi au matrix ya hila ya kinyume. Hata hivyo, ikiwa unatumia programu za kufanya kazi na data ya aina hii, kwa mfano, lahajedwali, basi inageuka kuwa programu hizo tayari zina algorithms kwa kuhesabu vigezo kuu vya matrices - determinant, watoto, inverse, na kadhalika. Na ikiwa una hakika kuwa mashine itahesabu maadili haya yenyewe na haitafanya makosa, inashauriwa zaidi kutumia njia ya matrix au fomula za Cramer, kwa sababu matumizi yao huanza na kumalizika na hesabu ya viashiria na matiti tofauti. .
Maombi
Kwa kuwa suluhisho la Gaussian ni algorithm, na matrix kwa kweli ni safu-mbili, inaweza kutumika katika programu. Lakini kwa kuwa kifungu kinajiweka kama mwongozo "kwa dummies," inapaswa kuwa alisema kuwa mahali rahisi zaidi ya kuweka njia ni lahajedwali, kwa mfano, Excel. Tena, SLAE yoyote iliyoingizwa kwenye jedwali katika mfumo wa matrix itazingatiwa na Excel kama safu ya pande mbili. Na kwa ajili ya uendeshaji pamoja nao kuna amri nyingi nzuri: kuongeza (unaweza tu kuongeza matrices ya ukubwa sawa!), Kuzidisha kwa idadi, kuzidisha matrices (pia na vikwazo fulani), kutafuta matiti inverse na transposed na, muhimu zaidi. , kukokotoa kiambishi. Ikiwa kazi hii inayotumia wakati inabadilishwa na amri moja, inawezekana kuamua kiwango cha matrix haraka zaidi na, kwa hiyo, kuanzisha utangamano wake au kutokubaliana.
Wacha mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari utolewe ambayo inahitaji kutatuliwa (tafuta maadili kama haya ya zisizojulikana xi ambazo zinageuza kila mlinganyo wa mfumo kuwa usawa).
Tunajua kuwa mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari unaweza:
1) Huna suluhu (kuwa yasiyo ya pamoja).
2) Kuwa na suluhisho nyingi sana.
3) Kuwa na suluhisho moja.
Kama tunavyokumbuka, sheria ya Cramer na njia ya matrix haifai katika hali ambapo mfumo una masuluhisho mengi sana au hauendani. Njia ya Gauss – chombo chenye nguvu zaidi na chenye matumizi mengi cha kutafuta suluhu kwa mfumo wowote wa milinganyo ya mstari, ambayo katika kila hali itatuongoza kwenye jibu! Algorithm ya njia yenyewe inafanya kazi sawa katika kesi zote tatu. Ikiwa mbinu za Cramer na matrix zinahitaji ujuzi wa viashiria, basi kutumia njia ya Gauss unahitaji tu ujuzi wa shughuli za hesabu, ambayo inafanya kupatikana hata kwa wanafunzi wa shule ya msingi.
Mabadiliko ya matrix yaliyoongezwa ( hii ni matrix ya mfumo - matrix inayojumuisha tu mgawo wa zisizojulikana, pamoja na safu ya maneno ya bure) mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari katika njia ya Gauss:
1) Na troki matrices Je! panga upya katika baadhi ya maeneo.
2) ikiwa safu za sawia (kama kesi maalum - zinazofanana) zinaonekana (au zipo) kwenye tumbo, basi unapaswa kufuta Safu hizi zote ni kutoka kwa matrix isipokuwa moja.
3) ikiwa safu ya sifuri inaonekana kwenye tumbo wakati wa mabadiliko, basi inapaswa pia kuwa kufuta.
4) safu ya matrix inaweza kuwa zidisha (gawanya) kwa nambari yoyote isipokuwa sifuri.
5) kwa safu ya matrix unaweza ongeza mfuatano mwingine uliozidishwa na nambari, tofauti na sifuri.
Katika njia ya Gauss, mabadiliko ya kimsingi hayabadilishi suluhisho la mfumo wa equations.
Njia ya Gauss ina hatua mbili:
- "Hoja ya moja kwa moja" - kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, kuleta matrix iliyopanuliwa ya mfumo wa hesabu za algebraic kwa fomu ya hatua ya "pembetatu": vitu vya matrix iliyopanuliwa iliyo chini ya diagonal kuu ni sawa na sifuri (hoja ya juu-chini). Kwa mfano, kwa aina hii:
Ili kufanya hivyo, fanya hatua zifuatazo:
1) Hebu tuchunguze mlinganyo wa kwanza wa mfumo wa milinganyo ya algebra ya mstari na mgawo wa x 1 ni sawa na K. Ya pili, ya tatu, nk. tunabadilisha equations kama ifuatavyo: tunagawanya kila equation (coefficients ya haijulikani, ikiwa ni pamoja na maneno ya bure) na mgawo wa haijulikani x 1, ambayo ni katika kila equation, na kuzidisha kwa K. Baada ya hayo, tunaondoa kwanza kutoka kwa equation ya pili (coefficients ya haijulikani na masharti ya bure). Kwa x 1 katika mlingano wa pili tunapata mgawo 0. Kutoka kwa mlinganyo wa tatu uliobadilishwa tunaondoa mlinganyo wa kwanza hadi milinganyo yote isipokuwa ya kwanza, kwa x 1 isiyojulikana, iwe na mgawo 0.
2) Wacha tuendelee kwenye mlinganyo unaofuata. Acha hii iwe mlinganyo wa pili na mgawo wa x 2 sawa na M. Tunaendelea na milinganyo yote "ya chini" kama ilivyoelezwa hapo juu. Kwa hivyo, "chini" ya x 2 isiyojulikana kutakuwa na sifuri katika milinganyo yote.
3) Nenda kwenye mlinganyo unaofuata na kuendelea hadi moja ya mwisho isiyojulikana na muda wa bure uliobadilishwa kubaki.
- "Njia ya kurudi nyuma" ya njia ya Gauss ni kupata suluhisho la mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari (hatua ya "chini-juu"). Kutoka kwa equation ya mwisho "chini" tunapata suluhisho moja la kwanza - isiyojulikana x n. Ili kufanya hivyo, tunatatua equation ya msingi A * x n = B. Katika mfano uliotolewa hapo juu, x 3 = 4. Tunabadilisha thamani iliyopatikana kwenye "juu" inayofuata ya usawa na kutatua kwa heshima na haijulikani ijayo. Kwa mfano, x 2 - 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Na kadhalika mpaka tupate yote yasiyojulikana.
Mfano.
Wacha tusuluhishe mfumo wa hesabu za mstari kwa kutumia njia ya Gauss, kama waandishi wengine wanavyoshauri:
Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:
Tunaangalia "hatua" ya juu kushoto. Tunapaswa kuwa na moja hapo. Shida ni kwamba hakuna vitengo kwenye safu ya kwanza kabisa, kwa hivyo kupanga tena safu hakutatua chochote. Katika hali kama hizi, kitengo lazima kipangwa kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi. Kawaida hii inaweza kufanywa kwa njia kadhaa. Hebu tufanye hivi:
Hatua 1
. Kwa mstari wa kwanza tunaongeza mstari wa pili, unaozidishwa na -1. Hiyo ni, tulizidisha kiakili mstari wa pili kwa -1 na kuongeza mstari wa kwanza na wa pili, wakati mstari wa pili haukubadilika.
Sasa juu kushoto kuna "minus moja", ambayo inatufaa kabisa. Yeyote anayetaka kupata +1 anaweza kufanya kitendo cha ziada: zidisha mstari wa kwanza kwa -1 (badilisha ishara yake).
Hatua ya 2 . Mstari wa kwanza, uliozidishwa na 5, uliongezwa kwenye mstari wa pili. Mstari wa kwanza, uliozidishwa na 3, uliongezwa kwenye mstari wa tatu.
Hatua ya 3 . Mstari wa kwanza ulizidishwa na -1, kimsingi, hii ni kwa uzuri. Ishara ya mstari wa tatu pia ilibadilishwa na ikahamishwa hadi nafasi ya pili, ili kwenye "hatua" ya pili tulikuwa na kitengo kinachohitajika.
Hatua ya 4 . Mstari wa tatu uliongezwa kwa mstari wa pili, ukizidishwa na 2.
Hatua ya 5 . Mstari wa tatu uligawanywa na 3.
Ishara inayoonyesha hitilafu katika mahesabu (mara chache zaidi, typo) ni mstari wa chini "mbaya". Hiyo ni, ikiwa tulipata kitu kama (0 0 11 |23) hapa chini, na, ipasavyo, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, basi kwa kiwango cha juu cha uwezekano tunaweza kusema kwamba kosa lilifanywa wakati wa msingi. mabadiliko.
Wacha tufanye kinyume; katika muundo wa mifano, mfumo wenyewe mara nyingi hauandikwi tena, lakini milinganyo "huchukuliwa moja kwa moja kutoka kwa matrix iliyotolewa." Hoja ya nyuma, nakukumbusha, inafanya kazi kutoka chini kwenda juu. Katika mfano huu, matokeo yalikuwa zawadi:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, kwa hiyo x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Jibu:x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Wacha tusuluhishe mfumo huo huo kwa kutumia algorithm iliyopendekezwa. Tunapata
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Gawanya equation ya pili na 5, na ya tatu na 3. Tunapata:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Kuzidisha hesabu za pili na tatu kwa 4, tunapata:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Ondoa mlinganyo wa kwanza kutoka kwa mlinganyo wa pili na wa tatu, tunayo:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Gawanya mlinganyo wa tatu kwa 0.64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Zidisha mlinganyo wa tatu kwa 0.4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Kuondoa ya pili kutoka kwa equation ya tatu, tunapata matrix iliyopanuliwa "iliyopigwa hatua":
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Kwa hivyo, kwa kuwa kosa lililokusanywa wakati wa mahesabu, tunapata x 3 = 0.96 au takriban 1.
x 2 = 3 na x 1 = -1.
Kwa kutatua kwa njia hii, hutawahi kuchanganyikiwa katika mahesabu na, licha ya makosa ya hesabu, utapata matokeo.
Njia hii ya kutatua mfumo wa usawa wa algebraic wa mstari hupangwa kwa urahisi na hauzingatii vipengele maalum vya coefficients kwa haijulikani, kwa sababu katika mazoezi (katika mahesabu ya kiuchumi na kiufundi) mtu anapaswa kukabiliana na coefficients zisizo kamili.
Nakutakia mafanikio! Tukutane darasani! Mkufunzi Dmitry Aystrakhanov.
tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.
Tangu mwanzo wa karne ya 16-18, wanahisabati wameanza kusoma kazi kwa bidii, shukrani ambayo mengi katika maisha yetu yamebadilika. Teknolojia ya kompyuta isingekuwepo bila ujuzi huu. Dhana mbalimbali, nadharia, na mbinu za utatuzi zimeundwa ili kutatua matatizo changamano, milinganyo ya mstari na utendakazi. Mojawapo ya mbinu na mbinu za kiulimwengu na za kimantiki za kutatua milinganyo ya mstari na mifumo yake ilikuwa njia ya Gauss. Matrices, cheo chao, determinant - kila kitu kinaweza kuhesabiwa bila kutumia shughuli ngumu.
SLAU ni nini
Katika hisabati, kuna dhana ya SLAE - mfumo wa milinganyo ya algebraic ya mstari. Mwanamke huyo anafananaje? Hii ni seti ya m milinganyo yenye idadi inayohitajika n isiyojulikana, kwa kawaida huashiriwa kama x, y, z, au x 1, x 2 ... x n, au alama nyingine. Kutatua mfumo fulani kwa kutumia njia ya Gaussian inamaanisha kupata mambo yote yasiyojulikana. Ikiwa mfumo una idadi sawa ya haijulikani na equations, basi inaitwa mfumo wa utaratibu wa nth.
Njia maarufu zaidi za kutatua SLAEs
Katika taasisi za elimu ya sekondari, mbinu mbalimbali za kutatua mifumo hiyo zinasomwa. Mara nyingi hizi ni hesabu rahisi zinazojumuisha mbili zisizojulikana, kwa hivyo njia yoyote iliyopo ya kupata jibu kwao haitachukua muda mwingi. Hii inaweza kuwa kama njia mbadala, wakati nyingine inatolewa kutoka kwa mlinganyo mmoja na kubadilishwa kuwa ya asili. Au njia ya kutoa na kuongeza muda kwa muda. Lakini njia ya Gauss inachukuliwa kuwa rahisi na ya ulimwengu wote. Inafanya uwezekano wa kutatua milinganyo na idadi yoyote ya haijulikani. Kwa nini mbinu hii inachukuliwa kuwa ya busara? Ni rahisi. Jambo zuri juu ya njia ya matrix ni kwamba hauitaji kuandika tena alama zisizo za lazima mara kadhaa kama haijulikani; inatosha kufanya shughuli za hesabu kwenye coefficients - na utapata matokeo ya kuaminika.
SLAEs hutumiwa wapi katika mazoezi?
Suluhisho la SLAEs ni sehemu za makutano ya mistari kwenye grafu za kazi. Katika umri wetu wa teknolojia ya juu ya kompyuta, watu ambao wanahusishwa kwa karibu na maendeleo ya michezo na programu nyingine wanahitaji kujua jinsi ya kutatua mifumo hiyo, nini wanawakilisha na jinsi ya kuangalia usahihi wa matokeo yanayotokana. Mara nyingi, waandaaji wa programu hutengeneza programu maalum za kikokotoo cha algebra, ambayo pia inajumuisha mfumo wa hesabu za mstari. Njia ya Gauss hukuruhusu kuhesabu suluhisho zote zilizopo. Njia na mbinu zingine zilizorahisishwa pia hutumiwa.
Kigezo cha utangamano cha SLAU
Mfumo kama huo unaweza kutatuliwa tu ikiwa unaendana. Kwa uwazi, hebu tuwakilishe SLAE katika mfumo wa Ax=b. Ina suluhisho ikiwa rang(A) ni sawa na rang(A,b). Katika kesi hii, (A,b) ni matrix ya fomu iliyopanuliwa ambayo inaweza kupatikana kutoka kwa matriki A kwa kuiandika upya kwa masharti ya bure. Inabadilika kuwa kutatua hesabu za mstari kwa kutumia njia ya Gaussian ni rahisi sana.
Labda baadhi ya alama si wazi kabisa, hivyo ni muhimu kuzingatia kila kitu kwa mfano. Wacha tuseme kuna mfumo: x+y=1; 2x-3y=6. Inajumuisha milinganyo miwili tu, ambayo ndani yake kuna 2 zisizojulikana. Mfumo utakuwa na suluhisho tu ikiwa kiwango cha matrix yake ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa. Cheo ni nini? Hii ni idadi ya mistari huru ya mfumo. Kwa upande wetu, kiwango cha matrix ni 2. Matrix A itajumuisha coefficients iko karibu na haijulikani, na coefficients iko nyuma ya ishara "=" pia inafaa kwenye tumbo iliyopanuliwa.
Kwa nini SLAEs zinaweza kuwakilishwa katika fomu ya matrix?
Kulingana na kigezo cha uoanifu kwa mujibu wa nadharia iliyothibitishwa ya Kronecker-Capelli, mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari unaweza kuwakilishwa katika umbo la matrix. Kutumia njia ya kuteleza ya Gaussian, unaweza kutatua tumbo na kupata jibu moja la kuaminika kwa mfumo mzima. Ikiwa kiwango cha matrix ya kawaida ni sawa na kiwango cha matrix yake iliyopanuliwa, lakini ni chini ya idadi ya haijulikani, basi mfumo una idadi isiyo na kipimo ya majibu.
Mabadiliko ya matrix
Kabla ya kuendelea na kutatua matrices, unahitaji kujua ni hatua gani zinaweza kufanywa kwa vipengele vyao. Kuna mabadiliko kadhaa ya kimsingi:
- Kwa kuandika upya mfumo katika fomu ya matrix na kuitatua, unaweza kuzidisha vipengele vyote vya mfululizo kwa mgawo sawa.
- Ili kubadilisha matrix katika fomu ya kisheria, unaweza kubadilisha safu mbili zinazofanana. Fomu ya kisheria ina maana kwamba vipengele vyote vya matrix ambavyo viko kando ya diagonal kuu vinakuwa moja, na vilivyobaki vinakuwa sifuri.
- Vipengele vinavyolingana vya safu sambamba za matrix vinaweza kuongezwa kwa kila mmoja.
Njia ya Jordan-Gauss
Kiini cha utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari wa homogeneous na inhomogeneous kwa kutumia njia ya Gaussian ni kuondoa hatua kwa hatua zisizojulikana. Wacha tuseme tuna mfumo wa milinganyo miwili ambayo ndani yake kuna vitu viwili visivyojulikana. Ili kuzipata, unahitaji kuangalia mfumo kwa utangamano. Equation inatatuliwa kwa urahisi sana na njia ya Gauss. Ni muhimu kuandika coefficients iko karibu na kila haijulikani katika fomu ya matrix. Ili kutatua mfumo, utahitaji kuandika matrix iliyopanuliwa. Ikiwa moja ya equations ina idadi ndogo ya haijulikani, basi "0" lazima iwekwe mahali pa kipengele kilichokosekana. Njia zote za mabadiliko zinazojulikana hutumiwa kwa tumbo: kuzidisha, kugawanya kwa nambari, kuongeza vipengele vinavyolingana vya mfululizo kwa kila mmoja, na wengine. Inabadilika kuwa katika kila safu ni muhimu kuacha tofauti moja na thamani "1", iliyobaki inapaswa kupunguzwa hadi sifuri. Kwa ufahamu sahihi zaidi, ni muhimu kuzingatia njia ya Gauss na mifano.
Mfano rahisi wa kutatua mfumo wa 2x2
Kuanza, hebu tuchukue mfumo rahisi wa milinganyo ya algebra, ambayo kutakuwa na 2 zisizojulikana.
Wacha tuiandike tena kuwa matrix iliyopanuliwa.
Ili kutatua mfumo huu wa milinganyo ya mstari, shughuli mbili tu zinahitajika. Tunahitaji kuleta matrix kwa fomu ya kisheria ili kuwe na zile kando ya diagonal kuu. Kwa hivyo, kuhamisha kutoka kwa fomu ya matrix kurudi kwenye mfumo, tunapata hesabu: 1x+0y=b1 na 0x+1y=b2, ambapo b1 na b2 ni majibu yanayotokana katika mchakato wa suluhisho.
- Hatua ya kwanza wakati wa kutatua matrix iliyopanuliwa itakuwa hii: safu ya kwanza lazima iongezwe na -7 na kuongeza vipengele vinavyolingana kwenye safu ya pili ili kuondokana na moja isiyojulikana katika equation ya pili.
- Kwa kuwa kutatua equations kwa kutumia njia ya Gauss kunahusisha kupunguza tumbo kwa fomu ya kisheria, basi ni muhimu kufanya shughuli sawa na equation ya kwanza na kuondoa kutofautiana kwa pili. Ili kufanya hivyo, tunaondoa mstari wa pili kutoka kwa kwanza na kupata jibu linalohitajika - suluhisho la SLAE. Au, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu, tunazidisha safu ya pili kwa sababu ya -1 na kuongeza vipengele vya safu ya pili kwenye safu ya kwanza. Ni sawa.
Kama tunavyoona, mfumo wetu ulitatuliwa kwa njia ya Jordan-Gauss. Tunaandika tena katika fomu inayohitajika: x=-5, y=7.
Mfano wa suluhisho la 3x3 SLAE
Tuseme tuna mfumo changamano zaidi wa milinganyo ya mstari. Njia ya Gauss inafanya uwezekano wa kuhesabu jibu hata kwa mfumo unaoonekana kuwa na utata. Kwa hiyo, ili kuzama zaidi katika mbinu ya hesabu, unaweza kuendelea na mfano ngumu zaidi na haijulikani tatu.
Kama ilivyo katika mfano uliopita, tunaandika upya mfumo kwa namna ya matrix iliyopanuliwa na kuanza kuleta kwa fomu yake ya kisheria.
Ili kutatua mfumo huu, utahitaji kufanya vitendo vingi zaidi kuliko katika mfano uliopita.
- Kwanza unahitaji kufanya safu ya kwanza kipengee cha kitengo kimoja na sifuri zingine. Ili kufanya hivyo, zidisha equation ya kwanza kwa -1 na ongeza equation ya pili kwake. Ni muhimu kukumbuka kwamba tunaandika upya mstari wa kwanza katika fomu yake ya awali, na ya pili kwa fomu iliyobadilishwa.
- Ifuatayo, tunaondoa hii ya kwanza isiyojulikana kutoka kwa mlinganyo wa tatu. Ili kufanya hivyo, zidisha vipengele vya mstari wa kwanza na -2 na uwaongeze kwenye safu ya tatu. Sasa mistari ya kwanza na ya pili imeandikwa tena katika fomu yao ya awali, na ya tatu - na mabadiliko. Kama unaweza kuona kutoka kwa matokeo, tulipata ya kwanza mwanzoni mwa diagonal kuu ya matrix na zero zilizobaki. Hatua chache zaidi, na mfumo wa milinganyo kwa njia ya Gaussian itatatuliwa kwa uhakika.
- Sasa unahitaji kufanya shughuli kwenye vipengele vingine vya safu. Hatua ya tatu na ya nne inaweza kuunganishwa kuwa moja. Tunahitaji kugawanya mistari ya pili na ya tatu kwa -1 ili kuondokana na minus kwenye diagonal. Tayari tumeleta mstari wa tatu kwa fomu inayohitajika.
- Ifuatayo tunaleta mstari wa pili kwa fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, tunazidisha vipengele vya mstari wa tatu na -3 na kuwaongeza kwenye safu ya pili ya matrix. Kutokana na matokeo ni wazi kwamba mstari wa pili pia umepunguzwa kwa fomu tunayohitaji. Inabakia kufanya shughuli chache zaidi na kuondoa coefficients ya haijulikani kutoka mstari wa kwanza.
- Ili kufanya 0 kutoka kwa kipengele cha pili cha safu, unahitaji kuzidisha safu ya tatu kwa -3 na kuiongeza kwenye safu ya kwanza.
- Hatua inayofuata ya uamuzi itakuwa kuongeza vipengele muhimu vya safu ya pili kwenye safu ya kwanza. Kwa njia hii tunapata fomu ya kisheria ya matrix, na, ipasavyo, jibu.
Kama unaweza kuona, kutatua equations kwa kutumia njia ya Gauss ni rahisi sana.
Mfano wa kutatua mfumo wa 4x4 wa equations
Baadhi ya mifumo ngumu zaidi ya milinganyo inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya Gaussian kwa kutumia programu za kompyuta. Ni muhimu kuingiza coefficients kwa haijulikani katika seli zilizopo tupu, na mpango yenyewe hatua kwa hatua kuhesabu matokeo yanayotakiwa, kuelezea kwa undani kila hatua.
Maagizo ya hatua kwa hatua ya kutatua mfano kama huo yanaelezewa hapa chini.
Katika hatua ya kwanza, mgawo wa bure na nambari za haijulikani huingizwa kwenye seli tupu. Kwa hivyo, tunapata matrix iliyopanuliwa sawa ambayo tunaandika kwa mikono.
Na shughuli zote muhimu za hesabu zinafanywa ili kuleta matrix iliyopanuliwa kwa fomu yake ya kisheria. Inafaa kuelewa kuwa jibu la mfumo wa equations sio nambari kamili kila wakati. Wakati mwingine suluhisho linaweza kuwa kutoka kwa nambari za sehemu.
Kuangalia usahihi wa suluhisho
Njia ya Jordan-Gauss hutoa kuangalia usahihi wa matokeo. Ili kujua ikiwa coefficients imehesabiwa kwa usahihi, unahitaji tu kubadilisha matokeo katika mfumo wa asili wa equations. Upande wa kushoto wa equation lazima ufanane na upande wa kulia nyuma ya ishara sawa. Ikiwa majibu hayalingani, basi unahitaji kukokotoa upya mfumo au ujaribu kuutumia mbinu nyingine ya kutatua SLAE unazojua, kama vile kubadilisha au kutoa na kuongeza kwa neno baada ya muda. Baada ya yote, hisabati ni sayansi ambayo ina idadi kubwa ya njia tofauti za suluhisho. Lakini kumbuka: matokeo yanapaswa kuwa sawa kila wakati, haijalishi ni njia gani ya suluhisho uliyotumia.
Njia ya Gauss: makosa ya kawaida wakati wa kutatua SLAEs
Wakati wa kusuluhisha mifumo ya mstari wa milinganyo, makosa mara nyingi hutokea kama vile uhamisho usio sahihi wa mgawo katika fomu ya matrix. Kuna mifumo ambayo baadhi ya haijulikani hazipo kwenye mojawapo ya milinganyo; basi, wakati wa kuhamisha data kwenye tumbo lililopanuliwa, zinaweza kupotea. Matokeo yake, wakati wa kutatua mfumo huu, matokeo hayawezi kuendana na moja halisi.
Hitilafu nyingine kubwa inaweza kuwa kuandika matokeo ya mwisho kimakosa. Ni muhimu kuelewa wazi kwamba mgawo wa kwanza utafanana na wa kwanza usiojulikana kutoka kwa mfumo, wa pili - hadi wa pili, na kadhalika.
Njia ya Gauss inaelezea kwa undani suluhisho la milinganyo ya mstari. Shukrani kwa hilo, ni rahisi kufanya shughuli muhimu na kupata matokeo sahihi. Kwa kuongeza, hii ni chombo cha ulimwengu wote cha kupata jibu la kuaminika kwa equations ya utata wowote. Labda ndiyo sababu hutumiwa mara nyingi wakati wa kutatua SLAEs.
Carl Friedrich Gauss, mwanahisabati mkuu, alisita kwa muda mrefu, akichagua kati ya falsafa na hisabati. Labda ilikuwa ni mawazo haya ambayo yalimruhusu kufanya "urithi" unaoonekana katika sayansi ya ulimwengu. Hasa, kwa kuunda "Njia ya Gauss" ...
Kwa karibu miaka 4, nakala kwenye tovuti hii zilishughulikia elimu ya shule, haswa kutoka kwa mtazamo wa falsafa, kanuni za (mis) ufahamu zilizoletwa katika akili za watoto. Wakati unakuja kwa maelezo mahususi zaidi, mifano na mbinu... Ninaamini kuwa hii ndiyo njia haswa ya kufahamika, kutatanisha na. muhimu maeneo ya maisha hutoa matokeo bora.
Sisi watu tumeundwa kwa namna ambayo haijalishi tunazungumza kiasi gani kufikiri dhahania, Lakini ufahamu Kila mara hutokea kupitia mifano. Ikiwa hakuna mifano, basi haiwezekani kufahamu kanuni ... Kama vile haiwezekani kufika kilele cha mlima isipokuwa kwa kutembea mteremko mzima kutoka kwa mguu.
Sawa na shule: kwa sasa hadithi hai Haitoshi kwamba kwa silika tunaendelea kuiona kama mahali ambapo watoto wanafundishwa kuelewa.
Kwa mfano, kufundisha njia ya Gaussian ...
Njia ya Gauss katika shule ya daraja la 5
Nitafanya uhifadhi mara moja: njia ya Gauss ina matumizi pana zaidi, kwa mfano, wakati wa kutatua. mifumo ya milinganyo ya mstari. Tutazungumza juu yake hufanyika katika daraja la 5. Hii ilianza, baada ya kuelewa ambayo, ni rahisi zaidi kuelewa zaidi "chaguzi za juu". Katika makala hii tunazungumzia Njia ya Gauss (mbinu) ya kupata jumla ya safu
Hapa kuna mfano ambao mtoto wangu mdogo, ambaye anahudhuria darasa la 5 kwenye ukumbi wa mazoezi wa Moscow, alileta kutoka shuleni.
Maonyesho ya shule ya mbinu ya Gauss
Mwalimu wa hisabati kwa kutumia ubao mweupe shirikishi (mbinu za kisasa za kufundishia) alionyesha watoto uwasilishaji wa historia ya "uundaji wa mbinu" na Gauss mdogo.
Mwalimu wa shule alimpiga Karl mdogo (njia iliyopitwa na wakati, haitumiki shuleni siku hizi) kwa sababu yeye
badala ya kuongeza nambari kwa mpangilio kutoka 1 hadi 100, pata jumla yao niliona kwamba jozi za nambari zilizowekwa kwa nafasi sawa kutoka kingo za maendeleo ya hesabu zijumuishe hadi nambari sawa. kwa mfano, 100 na 1, 99 na 2. Baada ya kuhesabu idadi ya jozi kama hizo, Gauss mdogo karibu alitatua shida iliyopendekezwa na mwalimu. Ambayo aliuawa mbele ya umma ulioshangaa. Ili wengine wavunjike moyo wasifikiri.
Gauss mdogo alifanya nini? kuendelezwa maana ya nambari? Imezingatiwa kipengele fulani mfululizo wa nambari na hatua ya mara kwa mara (maendeleo ya hesabu). NA hasa hii baadaye alimfanya kuwa mwanasayansi mkubwa, wale wanaojua jinsi ya kutambua, kuwa na hisia, silika ya ufahamu.
Ndiyo maana hisabati ni ya thamani, inayoendelea uwezo wa kuona kwa ujumla hasa - kufikiri dhahania. Kwa hiyo, wazazi wengi na waajiri kwa asili huchukulia hisabati kama taaluma muhimu ...
"Halafu unahitaji kujifunza hisabati, kwa sababu inaweka akili yako katika mpangilio.
M.V.Lomonosov".
Walakini, wafuasi wa wale waliopiga fikra za baadaye kwa viboko waligeuza Njia hiyo kuwa kinyume chake. Kama msimamizi wangu alisema miaka 35 iliyopita: "Swali limejifunza." Au kama mtoto wangu mdogo alisema jana kuhusu njia ya Gauss: "Labda haifai kufanya sayansi kubwa kutoka kwa hili, huh?"
Matokeo ya ubunifu wa "wanasayansi" yanaonekana katika kiwango cha hisabati ya sasa ya shule, kiwango cha mafundisho yake na uelewa wa "Malkia wa Sayansi" na wengi.
Hata hivyo, tuendelee...
Njia za kuelezea njia ya Gauss katika shule ya daraja la 5
Mwalimu wa hisabati kwenye jumba la mazoezi la Moscow, akielezea njia ya Gauss kulingana na Vilenkin, alichanganya kazi hiyo.
Ikiwa tofauti (hatua) ya maendeleo ya hesabu sio moja, lakini nambari nyingine? Kwa mfano, 20.
Tatizo alitoa kwa wanafunzi wa darasa la tano:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Kabla ya kufahamiana na njia ya ukumbi wa mazoezi, hebu tuangalie Mtandao: waalimu wa shule na wakufunzi wa hesabu hufanyaje?
Njia ya Gaussian: maelezo No. 1
Mkufunzi mashuhuri kwenye chaneli yake ya YOUTUBE anatoa hoja ifuatayo:
"Wacha tuandike nambari kutoka 1 hadi 100 kama ifuatavyo.
kwanza safu ya nambari kutoka 1 hadi 50, na chini yake safu nyingine ya nambari kutoka 50 hadi 100, lakini kwa mpangilio wa nyuma"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Tafadhali kumbuka: jumla ya kila jozi ya nambari kutoka safu ya juu na ya chini ni sawa na ni sawa na 101! Hebu tuhesabu idadi ya jozi, ni 50 na kuzidisha jumla ya jozi moja kwa idadi ya jozi! Voila: The jibu liko tayari!"
“Ikiwa hukuweza kuelewa, usifadhaike!” mwalimu alirudia mara tatu wakati wa maelezo. "Utachukua njia hii katika daraja la 9!"
Njia ya Gaussian: maelezo No. 2
Mkufunzi mwingine, asiyejulikana sana (kwa kuzingatia idadi ya maoni), anachukua mbinu ya kisayansi zaidi, akitoa algorithm ya suluhisho la alama 5 ambazo lazima zikamilike kwa mfuatano.
Kwa wasiojua, 5 ni mojawapo ya nambari za Fibonacci ambazo jadi huchukuliwa kuwa za kichawi. Njia ya hatua 5 daima ni ya kisayansi zaidi kuliko mbinu ya hatua 6, kwa mfano. ...Na hii sio ajali, kuna uwezekano mkubwa, Mwandishi ni mfuasi fiche wa nadharia ya Fibonacci.
Kwa kuzingatia maendeleo ya hesabu: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algorithm ya kupata jumla ya nambari katika safu kwa kutumia njia ya Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Wakati huo huo, unahitaji kukumbuka pamoja na kanuni moja : lazima tuongeze moja kwa mgawo unaosababishwa: vinginevyo tutapata matokeo ambayo ni chini ya moja kuliko idadi halisi ya jozi: 42 + 1 = 43.
Hii ni jumla inayohitajika ya maendeleo ya hesabu kutoka 4 hadi 256 na tofauti ya 6!
Njia ya Gauss: maelezo katika daraja la 5 kwenye ukumbi wa mazoezi wa Moscow
Hapa kuna jinsi ya kutatua shida ya kupata jumla ya safu:
20+40+60+ ... +460+480+500
katika daraja la 5 la ukumbi wa michezo wa Moscow, kitabu cha Vilenkin (kulingana na mwanangu).
Baada ya kuonyesha wasilisho, mwalimu wa hesabu alionyesha mifano michache kwa kutumia mbinu ya Gaussian na akawapa darasa kazi ya kutafuta jumla ya nambari katika mfululizo katika nyongeza za 20.
Hii ilihitaji yafuatayo:
Kama unaweza kuona, hii ni mbinu ngumu zaidi na bora: nambari ya 3 pia ni mwanachama wa mlolongo wa Fibonacci.
Maoni yangu juu ya toleo la shule la njia ya Gauss
Mtaalamu mkuu wa hisabati bila shaka angechagua falsafa ikiwa angeona "mbinu" yake ingegeuzwa na wafuasi wake. Mwalimu wa Ujerumani, ambaye alimpiga Karl viboko. Angeona ishara, ond ya lahaja na ujinga usio na mwisho wa "walimu", kujaribu kupima uwiano wa mawazo hai ya hisabati na algebra ya kutokuelewana ....
Kwa njia: ulijua. kwamba mfumo wetu wa elimu umekita mizizi katika shule ya Wajerumani ya karne ya 18 na 19?
Lakini Gauss alichagua hisabati.
Nini kiini cha mbinu yake?
KATIKA kurahisisha. KATIKA kutazama na kushika mifumo rahisi ya nambari. KATIKA kugeuza hesabu kavu ya shule kuwa shughuli ya kuvutia na ya kusisimua , kuamsha katika ubongo hamu ya kuendelea, badala ya kuzuia shughuli za akili za gharama kubwa.
Inawezekana kutumia moja ya "marekebisho ya njia ya Gauss" kuhesabu jumla ya nambari za maendeleo ya hesabu karibu papo hapo? Kulingana na "algorithms", Karl mdogo angehakikishiwa kuzuia kupigwa, kukuza chuki kwa hisabati na kukandamiza msukumo wake wa ubunifu kwenye bud.
Kwa nini mwalimu aliendelea kuwashauri wanafunzi wa darasa la tano "wasiogope kutoelewa" njia hiyo, akiwashawishi kwamba wangetatua matatizo "kama" mapema kama darasa la 9? Kitendo cha kutojua kusoma na kuandika kisaikolojia. Ilikuwa ni hatua nzuri kutambua: "Baadaye tayari katika daraja la 5 unaweza suluhisha shida ambazo utamaliza ndani ya miaka 4 tu! Wewe ni mtu mzuri sana!
Ili kutumia njia ya Gaussian, kiwango cha darasa la 3 kinatosha, wakati watoto wa kawaida tayari wanajua jinsi ya kuongeza, kuzidisha na kugawanya nambari za tarakimu 2-3. Matatizo yanaibuka kutokana na walimu watu wazima ambao “hawana mawasiliano” kueleza mambo mepesi katika lugha ya kawaida ya binadamu, bila kusahau hisabati... Wanashindwa kuwafanya watu wapende hisabati na kuwakatisha tamaa kabisa hata wale ambao “ wenye uwezo.”
Au, kama mtoto wangu alivyotoa maoni: "kutengeneza sayansi kubwa kutoka kwayo."
Njia ya Gauss, maelezo yangu
Mke wangu na mimi tulielezea "mbinu" hii kwa mtoto wetu, inaonekana, hata kabla ya shule ...
Urahisi badala ya utata au mchezo wa maswali na majibu
"Angalia, hapa kuna nambari kutoka 1 hadi 100. Unaona nini?"
Jambo sio nini hasa mtoto anaona. Ujanja ni kumfanya aangalie.
"Unawezaje kuziweka pamoja?" Mwana aligundua kuwa maswali kama haya hayaulizwa "hivyo" na unahitaji kuangalia swali "kwa namna fulani tofauti, tofauti na kawaida"
Haijalishi ikiwa mtoto anaona suluhisho mara moja, haiwezekani. Ni muhimu kwamba yeye aliacha kuogopa kutazama, au kama ninavyosema: "kusogeza kazi". Huu ni mwanzo wa safari ya kuelewa
"Ni ipi iliyo rahisi zaidi: kuongeza, kwa mfano, 5 na 6 au 5 na 95?" Swali linaloongoza ... Lakini mafunzo yoyote yanakuja "kuongoza" mtu kwa "jibu" - kwa njia yoyote inayokubalika kwake.
Katika hatua hii, nadhani inaweza tayari kutokea kuhusu jinsi ya "kuokoa" kwenye mahesabu.
Tulichofanya ni kidokezo: njia ya "mbele, ya mstari" ya kuhesabu sio pekee inayowezekana. Ikiwa mtoto anaelewa hili, basi baadaye atakuja na njia nyingi zaidi kama hizo, kwa sababu inavutia !!! Na hakika ataepuka hesabu za "kutokuelewana" na hatasikia kuchukizwa nayo. Alipata ushindi!
Kama mtoto aligundua kwamba kuongeza jozi za nambari zinazojumlisha hadi mia ni kipande cha keki, basi "maendeleo ya hesabu na tofauti 1"- jambo la kutisha na lisilovutia kwa mtoto - ghafla kupata maisha kwa ajili yake . Agizo liliibuka kutoka kwa machafuko, na hii husababisha shauku kila wakati: ndivyo tunavyoumbwa!
Swali la kujibu: kwa nini, baada ya ufahamu ambao mtoto amepokea, anapaswa tena kuendeshwa kwenye mfumo wa algorithms kavu, ambayo pia haina maana katika kesi hii?!
Kwanini ulazimishe kuandika upya wajinga? nambari za mlolongo kwenye daftari: ili hata wenye uwezo hawana nafasi moja ya kuelewa? Kitakwimu, bila shaka, lakini elimu ya watu wengi inalenga “takwimu”...
Ziro ilienda wapi?
Na bado, kuongeza nambari zinazojumlisha hadi 100 kunakubalika zaidi kwa akili kuliko zile zinazojumlisha hadi 101...
"Njia ya Shule ya Gauss" inahitaji hii haswa: kunja bila akili jozi za nambari zinazolingana kutoka katikati ya mwendelezo, Licha ya kila kitu.
Nini kama ukiangalia?
Bado, sifuri ndio uvumbuzi mkubwa zaidi wa wanadamu, ambao una zaidi ya miaka 2,000. Na walimu wa hesabu wanaendelea kumpuuza.
Ni rahisi zaidi kubadilisha msururu wa nambari zinazoanza na 1 kuwa mfululizo unaoanza na 0. Jumla haitabadilika, sivyo? Unahitaji kuacha "kufikiri katika vitabu vya kiada" na kuanza kutafuta ... Na angalia kwamba jozi zilizo na jumla ya 101 zinaweza kubadilishwa kabisa na jozi na jumla ya 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Jinsi ya kukomesha "kanuni 1"?
Kusema kweli, nilisikia kwa mara ya kwanza kuhusu sheria kama hiyo kutoka kwa mwalimu huyo wa YouTube...
Bado nifanye nini ninapohitaji kubainisha idadi ya washiriki wa mfululizo?
Ninaangalia mlolongo:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
na unapokuwa umechoka kabisa, basi nenda kwenye safu rahisi zaidi:
1, 2, 3, 4, 5
na ninahesabu: ukiondoa moja kutoka 5, unapata 4, lakini niko wazi kabisa naona nambari 5! Kwa hiyo, unahitaji kuongeza moja! Maana ya nambari iliyokuzwa katika shule ya msingi inapendekeza: hata ikiwa kuna Google nzima ya washiriki wa safu (nguvu 10 hadi mia), muundo utabaki sawa.
Kanuni ni zipi?..
Ili kwamba katika miaka michache au mitatu unaweza kujaza nafasi yote kati ya paji la uso wako na nyuma ya kichwa chako na kuacha kufikiri? Jinsi ya kupata mkate wako na siagi? Baada ya yote, tunasonga katika safu hata katika enzi ya uchumi wa kidijitali!
Zaidi juu ya njia ya shule ya Gauss: "kwa nini utengeneze sayansi kutoka kwa hii? .."
Haikuwa bure kwamba nilichapisha picha ya skrini kutoka kwa daftari ya mwanangu ...
"Ni nini kilitokea darasani?"
"Kweli, nilihesabu mara moja, nikainua mkono wangu, lakini hakuuliza. Kwa hivyo, wakati wengine walikuwa wakihesabu, nilianza kufanya kazi ya nyumbani kwa Kirusi ili nisipoteze wakati. Kisha, wengine walipomaliza kuandika (? ??), aliniita kwenye ubao. Nikamwambia jibu."
"Hiyo ni kweli, nionyeshe jinsi ulivyosuluhisha," mwalimu alisema. Niliionyesha. Alisema: "Vibaya, unahitaji kuhesabu kama nilivyoonyesha!"
"Ni vizuri kwamba hakutoa alama mbaya. Na alinifanya niandike kwenye daftari lao "njia ya suluhisho" kwa njia yao wenyewe. Kwa nini nifanye sayansi kubwa kutoka kwa hili?..
Uhalifu kuu wa mwalimu wa hesabu
Mara chache baada ya tukio hilo Carl Gauss alipata hisia ya juu ya heshima kwa mwalimu wake wa hisabati wa shule. Lakini kama alijua jinsi wafuasi wa mwalimu huyo itapotosha kiini cha njia... angenguruma kwa hasira na, kupitia Shirika la Dunia la Haki Miliki WIPO, kufikia kupiga marufuku matumizi ya jina lake zuri katika vitabu vya kiada vya shule!..
Katika nini kosa kuu la mbinu ya shule? Au, kama nilivyoweka, uhalifu wa walimu wa hisabati shuleni dhidi ya watoto?
Algorithm ya kutokuelewana
Wataalamu wa mbinu za shule hufanya nini, ambao wengi wao hawajui jinsi ya kufikiria?
Wanaunda njia na algorithms (tazama). Hii mmenyuko wa kujihami ambao hulinda walimu kutokana na upinzani ("Kila kitu kinafanywa kulingana na ...") na watoto kutoka kwa ufahamu. Na hivyo - kutokana na tamaa ya kukosoa walimu!(Derivative ya pili ya "hekima" ya ukiritimba, njia ya kisayansi ya shida). Mtu ambaye haelewi maana atalaumu kutokuelewana kwake, badala ya ujinga wa mfumo wa shule.
Hiki ndicho kinachotokea: wazazi wanalaumu watoto wao, na walimu ... kufanya hivyo kwa watoto ambao "hawaelewi hisabati!"
Je, wewe ni mwerevu?
Karl mdogo alifanya nini?
Njia isiyo ya kawaida kabisa kwa kazi ya fomula. Hiki ndicho kiini cha mkabala Wake. Hii jambo kuu ambalo linapaswa kufundishwa shuleni ni kufikiria sio na vitabu vya kiada, lakini kwa kichwa chako. Bila shaka, pia kuna sehemu ya chombo ambayo inaweza kutumika ... katika kutafuta njia rahisi na za ufanisi zaidi za kuhesabu.
Njia ya Gauss kulingana na Vilenkin
Shuleni wanafundisha kwamba njia ya Gauss ni
Nini, ikiwa idadi ya vipengele vya mfululizo ni isiyo ya kawaida, kama katika shida ambayo alipewa mwanangu? ..
"Kukamata" ni kwamba katika kesi hii unapaswa kupata nambari "ya ziada" katika mfululizo na uiongeze kwa jumla ya jozi. Katika mfano wetu nambari hii ni 260.
Jinsi ya kugundua? Kunakili jozi zote za nambari kwenye daftari!(Ndio maana mwalimu aliwafanya watoto kufanya kazi hii ya kijinga ya kujaribu kufundisha "ubunifu" kwa kutumia njia ya Gaussian ... Na hii ndiyo sababu "mbinu" kama hiyo haitumiki kwa safu kubwa za data, NA ndio maana sio njia ya Gaussian.)
Ubunifu kidogo katika utaratibu wa shule ...
Mwana alitenda tofauti.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Si vigumu, sawa?
Lakini katika mazoezi inafanywa kuwa rahisi zaidi, ambayo hukuruhusu kuchonga dakika 2-3 kwa hisia za mbali kwa Kirusi, wakati zingine "zinahesabu". Kwa kuongeza, inabakia idadi ya hatua za njia: 5, ambayo hairuhusu mbinu hiyo kukosolewa kwa kutokuwa na kisayansi.
Ni wazi kwamba njia hii ni rahisi, haraka na ya ulimwengu wote, kwa mtindo wa Njia. Lakini ... mwalimu hakusifu tu, lakini pia alinilazimisha kuandika tena "kwa njia sahihi" (angalia skrini). Hiyo ni, alifanya jaribio la kukata tamaa ili kuzima msukumo wa ubunifu na uwezo wa kuelewa hisabati katika mizizi! Inavyoonekana, ili baadaye aajiriwe kama mwalimu ... Alimshambulia mtu mbaya ...
Kila kitu ambacho nilielezea kwa muda mrefu na kwa kuchosha kinaweza kuelezewa kwa mtoto wa kawaida kwa muda wa nusu saa. Pamoja na mifano.
Na kwa namna ambayo hataisahau kamwe.
Na itakuwa hatua kuelekea kuelewa...sio wanahisabati pekee.
Kubali: umeongeza mara ngapi maishani mwako kwa kutumia njia ya Gaussian? Na sikuwahi kufanya hivyo!
Lakini silika ya ufahamu, ambayo yanaendelea (au kuzimwa) katika mchakato wa kujifunza mbinu za hisabati shuleni ... Oh!.. Kweli hili ni jambo lisiloweza kubadilishwa!
Hasa katika zama za digitalization kwa wote, ambayo tumeingia kimya kimya chini ya uongozi mkali wa Chama na Serikali.
Maneno machache kuwatetea walimu...
Si haki na si sawa kuweka jukumu lote la mtindo huu wa ufundishaji kwa walimu wa shule pekee. Mfumo unatumika.
Baadhi walimu wanaelewa upuuzi wa kile kinachotokea, lakini nini cha kufanya? Sheria ya Elimu, Viwango vya Elimu ya Jimbo la Shirikisho, mbinu, mipango ya somo ... Kila kitu lazima kifanyike "kwa mujibu na kwa msingi" na kila kitu lazima kimeandikwa. Hatua kando - alisimama kwenye mstari wa kufutwa kazi. Hebu tusiwe wanafiki: mishahara ya walimu wa Moscow ni nzuri sana ... Ikiwa wanakufukuza, wapi kwenda? ..
Kwa hivyo tovuti hii si kuhusu elimu. Yeye ni kuhusu elimu ya mtu binafsi, njia pekee inayowezekana ya kutoka nje ya umati kizazi Z ...
Mojawapo ya njia za ulimwengu na bora za kutatua mifumo ya algebraic ni Njia ya Gaussian , inayojumuisha uondoaji wa mfululizo wa haijulikani.
Kumbuka kwamba mifumo miwili inaitwa sawa (sawa) ikiwa seti za suluhu zao zinapatana. Kwa maneno mengine, mifumo ni sawa ikiwa kila suluhisho la mmoja wao ni suluhisho la nyingine na kinyume chake. Mifumo sawa hupatikana wakati mabadiliko ya msingi equations ya mfumo:
kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari nyingine isipokuwa sifuri;
kuongeza kwa mlinganyo sehemu zinazolingana za mlingano mwingine, ikizidishwa na nambari nyingine isipokuwa sifuri;
kupanga upya milinganyo miwili.
Wacha mfumo wa milinganyo utolewe
Mchakato wa kutatua mfumo huu kwa kutumia njia ya Gaussian ina hatua mbili. Katika hatua ya kwanza (mwendo wa moja kwa moja), mfumo, kwa kutumia mabadiliko ya msingi, umepunguzwa hadi hatua kwa hatua , au pembetatu fomu, na katika hatua ya pili (reverse) kuna mlolongo, kuanzia nambari ya mwisho ya kutofautiana, uamuzi wa haijulikani kutoka kwa mfumo wa hatua unaosababisha.
Hebu tuchukue kwamba mgawo wa mfumo huu 
, vinginevyo katika mfumo safu ya kwanza inaweza kubadilishwa na safu nyingine yoyote ili mgawo uwe 
ilikuwa tofauti na sifuri.
Wacha tubadilishe mfumo kwa kuondoa haijulikani 
katika milinganyo yote isipokuwa ya kwanza. Ili kufanya hivyo, zidisha pande zote mbili za equation ya kwanza kwa 
na kuongeza muda baada ya muda na mlingano wa pili wa mfumo. Kisha zidisha pande zote mbili za mlingano wa kwanza kwa 
na uiongeze kwenye equation ya tatu ya mfumo. Kuendeleza mchakato huu, tunapata mfumo sawa
Hapa 
- maadili mapya ya coefficients na masharti ya bure ambayo hupatikana baada ya hatua ya kwanza.
Vile vile, kwa kuzingatia kipengele kuu 
, kuwatenga wasiojulikana 
kutoka kwa milinganyo yote ya mfumo, isipokuwa ya kwanza na ya pili. Wacha tuendelee mchakato huu kwa muda mrefu iwezekanavyo, na matokeo yake tutapata mfumo wa hatua
,
Wapi 
,
,…,
- mambo kuu ya mfumo 
.
Ikiwa, katika mchakato wa kupunguza mfumo kwa fomu ya hatua, equations inaonekana, yaani, usawa wa fomu. 
, hutupwa kwa vile zimeridhika na seti yoyote ya nambari 
. Ikiwa katika 
Ikiwa equation ya fomu inaonekana kuwa haina ufumbuzi, hii inaonyesha kutokubaliana kwa mfumo.
Wakati wa kiharusi cha nyuma, kwanza haijulikani inaonyeshwa kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo wa hatua iliyobadilishwa 
kupitia vitu vingine vyote visivyojulikana 
ambazo zinaitwa bure
.
Kisha usemi wa kutofautiana 
kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo inabadilishwa kuwa equation ya mwisho na kutofautisha kunaonyeshwa kutoka kwake. 
. Vigezo hufafanuliwa kwa kufuatana kwa njia sawa 
. Vigezo 
, iliyoonyeshwa kwa njia ya vigezo vya bure, huitwa msingi
(tegemezi). Matokeo yake ni suluhisho la jumla kwa mfumo wa milinganyo ya mstari.
Kutafuta suluhisho la kibinafsi
mifumo, bure haijulikani 
katika suluhisho la jumla maadili ya kiholela hupewa na maadili ya vigezo huhesabiwa 
.
Kitaalam ni rahisi zaidi kutegemea mabadiliko ya kimsingi sio hesabu za mfumo wenyewe, lakini matrix iliyopanuliwa ya mfumo.
.
Njia ya Gauss ni njia ya ulimwengu wote ambayo hukuruhusu kutatua sio mraba tu, bali pia mifumo ya mstatili ambayo idadi ya haijulikani. 
si sawa na idadi ya milinganyo 
.
Faida ya njia hii pia ni kwamba katika mchakato wa kutatua sisi wakati huo huo tunachunguza mfumo wa utangamano, kwani, baada ya kutoa matrix iliyopanuliwa. 
kwa fomu ya hatua, ni rahisi kuamua safu za matrix 
na matrix iliyopanuliwa 
na kuomba Nadharia ya Kronecker-Capelli
.
Mfano 2.1 Tatua mfumo kwa kutumia njia ya Gauss
Suluhisho. Idadi ya milinganyo 
na idadi ya wasiojulikana 
.
Wacha tuunde matrix iliyopanuliwa ya mfumo kwa kugawa mgawo upande wa kulia wa matrix 
safu ya wanachama huru 
.
Wacha tuwasilishe matrix 
kwa mtazamo wa pembetatu; Ili kufanya hivyo, tutapata "0" chini ya vitu vilivyo kwenye diagonal kuu kwa kutumia mabadiliko ya msingi.
Ili kupata "0" katika nafasi ya pili ya safu ya kwanza, zidisha safu ya kwanza na (-1) na uiongeze kwenye safu ya pili.
Tunaandika mabadiliko haya kama nambari (-1) dhidi ya mstari wa kwanza na kuiashiria kwa mshale unaotoka mstari wa kwanza hadi mstari wa pili.
Ili kupata "0" katika nafasi ya tatu ya safu ya kwanza, zidisha safu ya kwanza na (-3) na uongeze kwenye safu ya tatu; Hebu tuonyeshe kitendo hiki kwa kutumia mshale kutoka mstari wa kwanza hadi wa tatu.
.
Katika matrix inayosababisha, iliyoandikwa pili katika mlolongo wa matrices, tunapata "0" kwenye safu ya pili katika nafasi ya tatu. Ili kufanya hivyo, tulizidisha mstari wa pili na (-4) na kuiongeza kwa tatu. Katika matrix inayosababisha, zidisha safu ya pili na (-1), na ugawanye ya tatu na (-8). Vipengele vyote vya tumbo hili vilivyo chini ya vipengele vya diagonal ni sifuri.
Kwa sababu , mfumo ni shirikishi na umefafanuliwa.
Mfumo wa equations unaolingana na matrix ya mwisho una fomu ya pembetatu:
Kutoka kwa mlinganyo wa mwisho (wa tatu). 
. Badilisha katika equation ya pili na upate 
.
Hebu tubadilishe 
Na 
katika equation ya kwanza, tunapata 
.