Inahitaji ujuzi wa kanuni za msingi za trigonometry - jumla ya mraba wa sine na cosine, usemi wa tangent kupitia sine na cosine, na wengine. Kwa wale ambao wamewasahau au hawajui, tunapendekeza kusoma makala "".
Kwa hiyo, tunajua kanuni za msingi za trigonometric, ni wakati wa kuzitumia katika mazoezi. Kutatua milinganyo ya trigonometric kwa mbinu sahihi, ni shughuli ya kusisimua kabisa, kama, kwa mfano, kutatua mchemraba wa Rubik.
Kulingana na jina yenyewe, ni wazi kwamba equation ya trigonometric ni equation ambayo haijulikani ni chini ya ishara ya kazi ya trigonometric.
Kuna kinachojulikana milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Hivi ndivyo zinavyoonekana: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hebu tuzingatie jinsi ya kutatua milinganyo kama hiyo ya trigonometric, kwa uwazi tutatumia mduara wa trigonometric tayari unaojulikana.
dhambi = a
maana x = a
tani x = a
kitanda x = a
Mlinganyo wowote wa trigonometriki hutatuliwa katika hatua mbili: tunapunguza mlinganyo kwa umbo lake rahisi na kisha kuutatua kama mlinganyo rahisi wa trigonometriki.
Kuna njia 7 kuu ambazo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa.
Njia ya ubadilishanaji na uwekaji mbadala
Kutatua milinganyo ya trigonometriki kupitia uwekaji alama
Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous
Kutatua milinganyo kupitia mpito hadi pembe ya nusu
Utangulizi wa pembe ya msaidizi
Tatua mlingano 2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0
Kwa kutumia fomula za kupunguza tunapata:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Badilisha cos(x + /6) na y ili kurahisisha na kupata equation ya kawaida ya quadratic:
Miaka 2 - 3y + 1 + 0
Mizizi ambayo ni y 1 = 1, y 2 = 1/2
Sasa hebu tuende kwa mpangilio wa nyuma
Tunabadilisha maadili yaliyopatikana ya y na kupata chaguzi mbili za jibu:
Jinsi ya kutatua equation sin x + cos x = 1?
Wacha tuhamishe kila kitu kushoto ili 0 ibaki kulia:
dhambi x + cos x - 1 = 0
Wacha tutumie vitambulisho vilivyojadiliwa hapo juu ili kurahisisha mlinganyo:
dhambi x - 2 dhambi 2 (x/2) = 0
Wacha tuimarishe:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 dhambi 2 (x/2) = 0
2dhambi(x/2) * = 0
Tunapata equations mbili
Mlinganyo ni sawa kuhusiana na sine na kosine ikiwa masharti yake yote yanahusiana na sine na kosine ya nguvu sawa ya pembe sawa. Ili kutatua equation ya homogeneous, endelea kama ifuatavyo:
a) kuhamisha wanachama wake wote upande wa kushoto;
b) kuchukua mambo yote ya kawaida nje ya mabano;
c) kusawazisha mambo yote na mabano kwa 0;
d) usawa wa homogeneous wa shahada ya chini hupatikana katika mabano, ambayo kwa upande wake imegawanywa katika sine au cosine ya shahada ya juu;
e) kutatua mlinganyo unaotokana na tg.
Tatua mlingano 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Wacha tutumie formula sin 2 x + cos 2 x = 1 na tuondoe mbili zilizo wazi upande wa kulia:
3dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 5 cos x = 2dhambi 2 x + 2cos 2 x
dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 3 cos 2 x = 0
Gawanya kwa cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Badilisha tan x na y na upate equation ya quadratic:
y 2 + 4y +3 = 0, ambayo mizizi yake ni y 1 =1, y 2 = 3
Kuanzia hapa tunapata suluhisho mbili kwa equation ya asili:
x 2 = arctan 3 + k
Tatua mlingano 3sin x - 5cos x = 7
Wacha tuendelee kwa x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Wacha tuhamishe kila kitu kushoto:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Gawanya kwa cos(x/2):
tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0
Kwa kuzingatia, hebu tuchukue equation ya fomu: dhambi x + b cos x = c,
ambapo a, b, c ni baadhi ya viambajengo vya kiholela, na x haijulikani.
Wacha tugawanye pande zote mbili za equation na:
Sasa coefficients ya equation, kwa mujibu wa fomula trigonometric, kuwa na mali sin na cos, yaani: modulus yao si zaidi ya 1 na jumla ya mraba = 1. Hebu tuwaeleze kwa mtiririko huo kama cos na sin, ambapo - hii ni. kinachojulikana pembe ya msaidizi. Kisha equation itachukua fomu:
cos * dhambi x + dhambi * cos x = C
au dhambi(x + ) = C
Suluhisho la equation hii rahisi zaidi ya trigonometric ni
x = (-1) k * arcsin C - + k, wapi
Ikumbukwe kwamba nukuu cos na dhambi zinaweza kubadilishana.
Tatua equation sin 3x - cos 3x = 1
Coefficients katika equation hii ni:
a = , b = -1, kwa hivyo gawanya pande zote mbili kwa = 2
Wakati wa kutatua mengi matatizo ya hisabati, hasa yale yanayotokea kabla ya daraja la 10, utaratibu wa vitendo vinavyofanyika ambavyo vitasababisha lengo hufafanuliwa wazi. Matatizo hayo ni pamoja na, kwa mfano, milinganyo ya mstari na ya quadratic, usawa wa mstari na quadratic, milinganyo ya sehemu na milinganyo ambayo inapungua hadi quadratic. Kanuni ya kusuluhisha kwa mafanikio kila moja ya shida zilizotajwa ni kama ifuatavyo: unahitaji kuanzisha aina gani ya shida unayosuluhisha, kumbuka mlolongo muhimu wa vitendo ambao utasababisha matokeo yaliyohitajika, i.e. jibu na ufuate hatua hizi.
Ni dhahiri kwamba mafanikio au kushindwa katika kutatua tatizo fulani inategemea hasa jinsi kwa usahihi aina ya equation inayotatuliwa imedhamiriwa, jinsi kwa usahihi mlolongo wa hatua zote za ufumbuzi wake hutolewa tena. Bila shaka, katika kesi hii ni muhimu kuwa na ujuzi wa kufanya mabadiliko na mahesabu sawa.
Hali ni tofauti na milinganyo ya trigonometric. Si vigumu hata kidogo kuanzisha ukweli kwamba equation ni trigonometric. Ugumu hutokea wakati wa kuamua mlolongo wa vitendo ambavyo vinaweza kusababisha jibu sahihi.
Wakati mwingine ni vigumu kuamua aina yake kulingana na kuonekana kwa equation. Na bila kujua aina ya equation, karibu haiwezekani kuchagua moja sahihi kutoka kwa fomula kadhaa za trigonometric.
Ili kutatua equation ya trigonometric, unahitaji kujaribu:
1. kuleta utendaji wote uliojumuishwa katika equation kwa "pembe sawa";
2. kuleta equation kwa "kazi zinazofanana";
3. kipengele upande wa kushoto wa equation, nk.
Hebu tuzingatie njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric.
I. Kupunguza hadi milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki
Mchoro wa suluhisho
Hatua ya 1. Eleza utendaji wa trigonometric kulingana na vipengele vinavyojulikana.
Hatua ya 2. Pata hoja ya kazi kwa kutumia fomula:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
dhambi x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Hatua ya 3. Tafuta tofauti isiyojulikana.
Mfano.
2 cos(3x - π/4) = -√2.
Suluhisho.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x - π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ± 3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ± 3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Jibu: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Uingizwaji unaobadilika
Mchoro wa suluhisho
Hatua ya 1. Punguza mlingano kuwa umbo la aljebra kuhusiana na mojawapo ya vitendakazi vya trigonometriki.
Hatua ya 2. Onyesha kazi inayotokana na t ya kutofautiana (ikiwa ni lazima, anzisha vikwazo kwenye t).
Hatua ya 3. Andika na utatue mlingano wa aljebra unaotokana.
Hatua ya 4. Fanya uingizwaji wa nyuma.
Hatua ya 5. Tatua mlinganyo rahisi zaidi wa trigonometric.
Mfano.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Suluhisho.
1) 2(1 – dhambi 2 (x/2)) – 5dhambi (x/2) – 5 = 0;
2dhambi 2 (x/2) + 5dhambi (x/2) + 3 = 0.
2) Acha dhambi (x/2) = t, wapi |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 au e = -3/2, haikidhi masharti |t| ≤ 1.
4) dhambi(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Jibu: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Mbinu ya kupunguza mpangilio wa equation
Mchoro wa suluhisho
Hatua ya 1. Badilisha equation hii na ya mstari, kwa kutumia fomula ya kupunguza digrii:
dhambi 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Hatua ya 2. Tatua mlinganyo unaotokana kwa kutumia njia I na II.
Mfano.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Suluhisho.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Jibu: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Milinganyo ya homogeneous
Mchoro wa suluhisho
Hatua ya 1. Punguza equation hii kwa fomu
a) dhambi x + b cos x = 0 (mlingano wa homogeneous wa shahada ya kwanza)
au kwa mtazamo
b) dhambi 2 x + b dhambi x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ya shahada ya pili).
Hatua ya 2. Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
na upate equation ya tan x:
a) tan x + b = 0;
b) tani 2 x + b arctan x + c = 0.
Hatua ya 3. Tatua mlinganyo kwa kutumia njia zinazojulikana.
Mfano.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Suluhisho.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
dhambi 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Hebu tg x = t, basi
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 au t = -4, ambayo ina maana
tg x = 1 au tg x = -4.
Kutoka kwa equation ya kwanza x = π/4 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Jibu: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Mbinu ya kubadilisha mlinganyo kwa kutumia fomula za trigonometriki
Mchoro wa suluhisho
Hatua ya 1. Kwa kutumia fomula zote za trigonometriki, punguza mlingano huu hadi mlinganyo uliotatuliwa kwa mbinu I, II, III, IV.
Hatua ya 2. Tatua equation inayotokana kwa kutumia njia zinazojulikana.
Mfano.
dhambi x + dhambi 2x + dhambi 3x = 0.
Suluhisho.
1) (dhambi x + dhambi 3x) + dhambi 2x = 0;
2sin 2x cos x + dhambi 2x = 0.
2) dhambi 2x (2cos x + 1) = 0;
dhambi 2x = 0 au 2cos x + 1 = 0;
Kutoka kwa equation ya kwanza 2x = π/2 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili cos x = -1/2.
Tunayo x = π/4 + πn/2, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = ± (π - π/3) + 2πk, k Є Z.
Matokeo yake, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Jibu: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Uwezo na ustadi wa kutatua milinganyo ya trigonometric ni sana 
muhimu, maendeleo yao yanahitaji jitihada kubwa, kwa upande wa mwanafunzi na kwa upande wa mwalimu.
Matatizo mengi ya sterometri, fizikia, n.k yanahusishwa na suluhisho la milinganyo ya trigonometric.Mchakato wa kutatua matatizo hayo unajumuisha maarifa na ujuzi mwingi unaopatikana kwa kusoma vipengele vya trigonometria.
Equations Trigonometric inachukua nafasi muhimu katika mchakato wa kujifunza hisabati na maendeleo ya kibinafsi kwa ujumla.
Bado una maswali? Je! hujui jinsi ya kutatua milinganyo ya trigonometric?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu, jiandikishe.
Somo la kwanza ni bure!
tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.
Njia za kutatua milinganyo ya trigonometric
Utangulizi 2
Mbinu za kutatua milinganyo ya trigonometric 5
Algebraic 5
Kutatua hesabu kwa kutumia hali ya usawa wa kazi za trigonometric za jina moja 7
Factorization 8
Kupunguza kwa mlinganyo wa homogeneous 10
Utangulizi wa pembe msaidizi 11
Badilisha bidhaa kuwa jumla ya 14
Ubadilishaji wa jumla 14
Hitimisho 17
Utangulizi
Hadi daraja la kumi, mpangilio wa vitendo vya mazoezi mengi yanayoongoza kwenye lengo, kama sheria, hufafanuliwa wazi. Kwa mfano, milinganyo ya mstari na quadratic na ukosefu wa usawa, milinganyo ya sehemu na milinganyo inayoweza kupunguzwa hadi ya quadratic, nk. Bila kuchunguza kwa undani kanuni ya kutatua kila moja ya mifano iliyotajwa, tunaona mambo ya jumla ambayo ni muhimu kwa ufumbuzi wao wa mafanikio.
Katika hali nyingi, unahitaji kuanzisha aina gani ya kazi ni kazi, kumbuka mlolongo wa vitendo vinavyoongoza kwenye lengo, na fanya vitendo hivi. Ni wazi, kufaulu au kutofaulu kwa mwanafunzi katika mbinu za ustadi za kutatua equations inategemea sana jinsi anavyoweza kuamua kwa usahihi aina ya equation na kukumbuka mlolongo wa hatua zote za suluhisho lake. Bila shaka, inadhaniwa kuwa mwanafunzi ana ujuzi wa kufanya mabadiliko na mahesabu sawa.
Hali tofauti kabisa hutokea wakati mtoto wa shule anakutana na hesabu za trigonometric. Aidha, si vigumu kuanzisha ukweli kwamba equation ni trigonometric. Ugumu hutokea wakati wa kutafuta njia ambayo inaweza kusababisha matokeo mazuri. Na hapa mwanafunzi anakabiliwa na matatizo mawili. Ni vigumu kuamua aina kwa kuonekana kwa equation. Na bila kujua aina, karibu haiwezekani kuchagua fomula inayotaka kutoka kwa dazeni kadhaa zinazopatikana.
Ili kuwasaidia wanafunzi kutafuta njia ya mlolongo changamano wa milinganyo ya trigonometriki, hutambulishwa kwanza kwa milinganyo ambayo hupunguzwa hadi milinganyo ya quadratic wakati kigezo kipya kinapoanzishwa. Kisha wanasuluhisha milinganyo ya homogeneous na zile zinazoweza kupunguzwa kwao. Kila kitu huisha, kama sheria, na equations, kutatua ambayo ni muhimu kuzingatia upande wa kushoto, kisha kusawazisha kila moja ya mambo kwa sifuri.
Kwa kutambua kwamba milinganyo kadhaa na nusu iliyojadiliwa katika masomo haitoshi kumweka mwanafunzi kwenye safari ya kujitegemea kupitia "bahari" ya trigonometric, mwalimu anaongeza mapendekezo yake machache zaidi.
Ili kutatua equation ya trigonometric, unahitaji kujaribu:
Leta kazi zote zilizojumuishwa katika equation kwa "pembe sawa";
Punguza equation kwa "kazi zinazofanana";
Eleza upande wa kushoto wa equation, nk.
Lakini licha ya kujua aina za msingi za milinganyo ya trigonometriki na kanuni kadhaa za kutafuta masuluhisho yao, wanafunzi wengi bado hujikuta wakishikwa na kila mlinganyo ambao ni tofauti kidogo na ule uliotatuliwa hapo awali. Bado haijulikani ni nini mtu anapaswa kujitahidi wakati wa kuwa na hii au equation, kwa nini katika kesi moja ni muhimu kutumia fomula za pembe mbili, kwa mwingine - pembe ya nusu, na kwa tatu - kanuni za kuongeza, nk.
Ufafanuzi 1. Mlinganyo wa trigonometric ni mlinganyo ambao haijulikani iko chini ya ishara ya kazi za trigonometric.
Ufafanuzi 2. Mlinganyo wa trigonometric inasemekana kuwa na pembe sawa ikiwa vitendaji vyote vya trigonometric vilivyojumuishwa ndani yake vina hoja sawa. Mlinganyo wa trigonometric inasemekana kuwa na utendakazi sawa ikiwa ina moja tu ya utendaji wa trigonometriki.
Ufafanuzi 3. Nguvu ya monomial iliyo na kazi za trigonometric ni jumla ya vielelezo vya nguvu za kazi za trigonometric zilizojumuishwa ndani yake.
Ufafanuzi 4. Equation inaitwa homogeneous ikiwa monomia zote zilizojumuishwa ndani yake zina kiwango sawa. Shahada hii inaitwa mpangilio wa mlinganyo.
Ufafanuzi wa 5. Mlinganyo wa trigonometric iliyo na vitendaji pekee dhambi Na cos, inaitwa homogeneous ikiwa monomia zote kwa heshima na kazi za trigonometric zina kiwango sawa, na kazi za trigonometriki zenyewe zina pembe sawa na idadi ya monomia ni 1 kubwa kuliko utaratibu wa equation.
Njia za kutatua milinganyo ya trigonometric.
Utatuzi wa milinganyo ya trigonometric inajumuisha hatua mbili: kubadilisha mlinganyo ili kupata umbo lake rahisi na kutatua mlingano rahisi zaidi wa trigonometriki. Kuna njia saba za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric.
I. Mbinu ya algebraic. Njia hii inajulikana sana kutoka kwa algebra. (Njia ya uingizwaji tofauti na uingizwaji).
Tatua milinganyo.
1)
Wacha tuanzishe nukuu x=2 dhambi3 t, tunapata
Kutatua equation hii, tunapata: 
au 
hizo. inaweza kuandikwa
Wakati wa kurekodi ufumbuzi unaosababishwa kutokana na kuwepo kwa ishara 
shahada 
hakuna maana ya kuiandika.
Jibu: 
Hebu kuashiria 
Tunapata equation ya quadratic 
. Mizizi yake ni nambari 
Na 
. Kwa hivyo, mlinganyo huu unapunguza hadi milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric 
Na 
. Kuzitatua, tunapata hiyo 
au 
.
Jibu: 
; 
.
Hebu kuashiria 
haikidhi hali 
Maana 
Jibu: 
Wacha tubadilishe upande wa kushoto wa equation:
Kwa hivyo, equation hii ya awali inaweza kuandikwa kama:
, i.e.
Baada ya kuteuliwa 
, tunapata 
Kutatua equation hii ya quadratic tunayo:
haikidhi hali 
Tunaandika suluhisho la equation ya asili:
Jibu: 
Uingizwaji 
inapunguza mlingano huu hadi mlinganyo wa robo 
. Mizizi yake ni nambari 
Na 
. Kwa sababu 
, basi equation iliyotolewa haina mizizi.
Jibu: hakuna mizizi.
II. Kutatua milinganyo kwa kutumia hali ya usawa wa kazi za trigonometric za jina moja.
A) 
, Kama
b) 
, Kama
V) 
, Kama 
Kwa kutumia masharti haya, fikiria kutatua equations zifuatazo:
6) 
Kwa kutumia kile kilichosemwa katika sehemu a) tunapata kwamba mlingano una suluhu ikiwa na iwapo tu 
.
Kutatua equation hii, tunapata 
.
Tuna vikundi viwili vya suluhisho: 
.
7) Tatua equation: 
.
Kwa kutumia hali ya kipengee b) tunagundua hilo 
.
Kutatua hesabu hizi za quadratic, tunapata:
.
8) Tatua mlinganyo 
.
Kutoka kwa equation hii tunaamua kuwa . Kutatua equation hii ya quadratic, tunapata hiyo 
.
III. Factorization.
Tunazingatia njia hii na mifano.
9) Tatua mlinganyo 
.
Suluhisho. Wacha tuhamishe masharti yote ya equation upande wa kushoto: .
Wacha tubadilishe na tubadilishe usemi ulio upande wa kushoto wa equation: 
.
.
.
1)
2) 
Kwa sababu 
Na 
Usikubali thamani ya sifuri
wakati huo huo, basi tunagawanya sehemu zote mbili
milinganyo kwa 
, 
Jibu: 
10) Tatua equation:
Suluhisho.
au 
Jibu: 
11) Tatua mlinganyo
Suluhisho:
1)
2)
3)
, 
Jibu: 
IV. Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous.
Ili kutatua equation ya homogeneous unahitaji:
Sogeza wanachama wake wote upande wa kushoto;
Weka mambo yote ya kawaida nje ya mabano;
Sawazisha mambo yote na mabano kwa sifuri;
Mabano sawa na sifuri hutoa equation ya homogeneous ya shahada ndogo, ambayo inapaswa kugawanywa na 
(au 
) katika shahada ya juu;
Tatua mlingano wa aljebra unaotokana na 
.
Hebu tuangalie mifano:
12) Tatua equation:
Suluhisho.
Wacha tugawanye pande zote mbili za equation 
, 
Kuanzisha majina 
, jina
mizizi ya equation hii: 
kwa hivyo 1) 
2) 
Jibu: 
13) Tatua equation:
Suluhisho. Kwa kutumia fomula za pembe mbili na utambulisho wa msingi wa trigonometric, tunapunguza mlingano huu hadi hoja nusu:
Baada ya kupunguza masharti sawa tunayo:
Kugawanya mlinganyo wa mwisho wa homogeneous kwa 
, tunapata
Nitaonyesha 
, tunapata equation ya quadratic 
, ambayo mizizi yake ni nambari 
Hivyo 
Kujieleza 
huenda hadi sifuri saa 
, i.e. katika 
, 
.
Suluhisho la equation tuliyopata haijumuishi nambari hizi.
Jibu: 
, .
V. Utangulizi wa pembe ya msaidizi.
Fikiria equation ya fomu
Wapi a, b, c- mgawo, x- haijulikani.
Wacha tugawanye pande zote mbili za mlingano huu kwa 
Sasa mgawo wa equation una mali ya sine na cosine, ambayo ni: moduli ya kila moja yao haizidi moja, na jumla ya miraba yao ni sawa na 1.
Kisha tunaweza kuwateua ipasavyo 
(Hapa 
- angle msaidizi) na equation yetu inachukua fomu:.
Kisha 
Na uamuzi wake
Kumbuka kuwa nukuu zilizoletwa zinaweza kubadilishana.
14) Tatua equation: 
Suluhisho. Hapa 
, kwa hivyo tunagawanya pande zote mbili za equation kwa 
Jibu: 
15) Tatua mlinganyo
Suluhisho. Kwa sababu 
, basi mlingano huu ni sawa na mlinganyo
Kwa sababu 
, basi kuna pembe kama hiyo 
, 
(hizo. 
).
Tuna 
Kwa sababu 
, kisha hatimaye tunapata:
.
Kumbuka kuwa milinganyo ya fomu ina suluhu ikiwa na iwapo tu 
16) Tatua equation:
Ili kutatua mlingano huu, tunaweka vipengele vya trigonometric katika vikundi kwa hoja sawa
Gawanya pande zote mbili za equation kwa mbili
Wacha tubadilishe jumla ya kazi za trigonometric kuwa bidhaa:
Jibu: 
VI. Kubadilisha bidhaa kuwa jumla.
Fomula zinazolingana zinatumika hapa.
17) Tatua equation:
Suluhisho. Wacha tubadilishe upande wa kushoto kuwa jumla:
VII.Ubadilishaji wa Universal.
, 
fomula hizi ni kweli kwa kila mtu 
Uingizwaji 
inayoitwa zima.
18) Tatua equation: 
Suluhisho: Badilisha na 
kwa kujieleza kwao kupitia 
na kuashiria 
.
Tunapata equation ya busara 
, ambayo inabadilika kuwa mraba 
.
Mizizi ya equation hii ni nambari 
.
Kwa hivyo, shida ilipunguzwa hadi kusuluhisha milinganyo miwili 
.
Tunapata hilo 
.
Angalia thamani 
haikidhi mlinganyo wa asili, ambao unathibitishwa kwa kuangalia - kubadilisha thamani iliyotolewa t kwenye mlinganyo wa asili.
Jibu: 
.
Maoni. Equation 18 ingeweza kutatuliwa kwa njia nyingine.
Wacha tugawanye pande zote mbili za mlingano huu kwa 5 (yaani kwa 
): 
.
Kwa sababu 
, basi kuna nambari kama hiyo 
, Nini 
Na 
. Kwa hivyo equation inachukua fomu: 
au 
. Kuanzia hapa tunapata hiyo 
Wapi 
.
19) Tatua mlinganyo 
.
Suluhisho. Tangu kazi 
Na 
kuwa na thamani kubwa zaidi sawa na 1, basi jumla yao ni sawa na 2 kama 
Na 
, wakati huo huo, yaani 
.
Jibu: 
.
Wakati wa kutatua equation hii, mipaka ya kazi na ilitumiwa.
Hitimisho.
Wakati wa kufanya kazi kwenye mada "Kutatua hesabu za trigonometric," ni muhimu kwa kila mwalimu kufuata mapendekezo yafuatayo:
Panga njia za kutatua milinganyo ya trigonometric.
Chagua mwenyewe hatua za kufanya uchambuzi wa equation na ishara za ushauri wa kutumia njia fulani ya ufumbuzi.
Fikiria juu ya njia za kujisimamia mwenyewe shughuli zako katika kutekeleza mbinu.
Jifunze kutunga milinganyo "yako mwenyewe" kwa kila moja ya njia zinazosomwa.
Kiambatisho Nambari 1
Tatua zenye usawa au zinazoweza kupunguzwa kwa milinganyo isiyo na usawa.
1. | Mwakilishi |
Mwakilishi |
|
Mwakilishi |
|
5. | Mwakilishi |
Mwakilishi |
|
7. | Mwakilishi |
Mwakilishi |
|
Kozi ya video "Pata A" inajumuisha mada zote muhimu ili kufaulu kwa mafanikio Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati na alama 60-65. Kabisa kazi zote 1-13 za Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Profaili katika hisabati. Inafaa pia kwa kupitisha Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Msingi katika hisabati. Ikiwa unataka kupitisha Mtihani wa Jimbo la Umoja na pointi 90-100, unahitaji kutatua sehemu ya 1 kwa dakika 30 na bila makosa!
Kozi ya maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa darasa la 10-11, na pia kwa walimu. Kila kitu unachohitaji kutatua Sehemu ya 1 ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati (matatizo 12 ya kwanza) na Tatizo la 13 (trigonometry). Na hii ni zaidi ya alama 70 kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja, na hakuna mwanafunzi wa alama 100 au mwanafunzi wa kibinadamu anayeweza kufanya bila wao.
Nadharia zote zinazohitajika. Suluhu za haraka, mitego na siri za Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa. Majukumu yote ya sasa ya sehemu ya 1 kutoka kwa Benki ya Kazi ya FIPI yamechanganuliwa. Kozi hiyo inatii kikamilifu mahitaji ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2018.
Kozi hiyo ina mada 5 kubwa, masaa 2.5 kila moja. Kila mada inatolewa kutoka mwanzo, kwa urahisi na kwa uwazi.
Mamia ya majukumu ya Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa. Matatizo ya neno na nadharia ya uwezekano. Rahisi na rahisi kukumbuka algoriti za kutatua matatizo. Jiometri. Nadharia, nyenzo za kumbukumbu, uchambuzi wa aina zote za kazi za Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa. Stereometry. Suluhisho za hila, shuka muhimu za kudanganya, ukuzaji wa mawazo ya anga. Trigonometry kutoka mwanzo hadi tatizo 13. Kuelewa badala ya kubana. Ufafanuzi wazi wa dhana ngumu. Aljebra. Mizizi, nguvu na logarithms, kazi na derivative. Msingi wa kutatua matatizo changamano ya Sehemu ya 2 ya Mtihani wa Nchi Iliyounganishwa.
Somo katika matumizi jumuishi ya maarifa.
Malengo ya somo.
- Kagua mbinu mbalimbali za kutatua milinganyo ya trigonometriki.
- Kukuza uwezo wa ubunifu wa wanafunzi kwa kutatua milinganyo.
- Kuwahimiza wanafunzi kujidhibiti, kudhibiti pamoja, na kujichanganua shughuli zao za elimu.
Vifaa: skrini, projekta, nyenzo za kumbukumbu.
Wakati wa madarasa
Mazungumzo ya utangulizi.
Njia kuu ya kutatua milinganyo ya trigonometric ni kupunguza kwa fomu yao rahisi. Katika kesi hii, njia za kawaida hutumiwa, kwa mfano, factorization, pamoja na mbinu zinazotumiwa tu kwa ajili ya kutatua equations trigonometric. Kuna mengi ya mbinu hizi, kwa mfano, mbadala mbalimbali za trigonometric, mabadiliko ya pembe, mabadiliko ya kazi za trigonometric. Utumiaji kiholela wa mageuzi yoyote ya trigonometriki kwa kawaida haurahisishi mlinganyo, lakini unaifanya kuwa ngumu sana. Ili kuendeleza mpango wa jumla wa kutatua equation, kuelezea njia ya kupunguza equation kwa rahisi zaidi, lazima kwanza kuchambua pembe - hoja za kazi za trigonometric zilizojumuishwa katika equation.
Leo tutazungumza juu ya njia za kutatua hesabu za trigonometric. Njia iliyochaguliwa kwa usahihi mara nyingi inaweza kurahisisha suluhisho kwa kiasi kikubwa, kwa hivyo njia zote ambazo tumesoma zinapaswa kukumbukwa kila wakati ili kutatua milinganyo ya trigonometric kwa kutumia njia inayofaa zaidi.
II. (Kwa kutumia projekta, tunarudia njia za kutatua hesabu.)
1. Mbinu ya kupunguza mlingano wa trigonometric hadi algebraic.
Inahitajika kuelezea kazi zote za trigonometric kupitia moja, kwa hoja sawa. Hii inaweza kufanyika kwa kutumia utambulisho wa msingi wa trigonometric na matokeo yake. Tunapata equation na kazi moja ya trigonometric. Tukichukulia kama jambo jipya lisilojulikana, tunapata mlinganyo wa aljebra. Tunapata mizizi yake na kurudi kwa haijulikani zamani, kutatua equations rahisi zaidi ya trigonometric.
2. Factorization mbinu.
Ili kubadilisha pembe, fomula za kupunguza, jumla na tofauti za hoja mara nyingi ni muhimu, pamoja na kanuni za kubadilisha jumla (tofauti) ya kazi za trigonometric kuwa bidhaa na kinyume chake.
dhambi x + dhambi 3x = dhambi 2x + sin4x
3. Njia ya kuanzisha angle ya ziada.
4. Njia ya kutumia uingizwaji wa ulimwengu wote.
Milinganyo ya umbo F(sinx, cosx, tanx) = 0 hupunguzwa hadi aljebra kwa kutumia kibadala cha trigonometric zima
Kuonyesha sine, kosine na tanjiti kwa mujibu wa tanjiti ya pembe ya nusu. Mbinu hii inaweza kusababisha equation ya juu zaidi. Suluhisho ambalo ni ngumu.