Baada ya utayarishaji wa ufundi wa awali, mifano iliyo na viota 3-4-5 ya kazi haitakuwa ya kutisha. Mifano miwili ifuatayo inaweza kuonekana kuwa ngumu kwa wengine, lakini ikiwa unaielewa (mtu atateseka), basi karibu kila kitu kingine katika calculus tofauti kitaonekana kama utani wa mtoto.
Mfano 2
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Kama ilivyoelezwa tayari, wakati wa kupata derivative ya kazi ngumu, kwanza kabisa, ni muhimu Haki FAHAMU uwekezaji wako. Katika hali ambapo kuna mashaka, nakukumbusha mbinu muhimu: tunachukua thamani ya majaribio ya "x", kwa mfano, na kujaribu (kwa kiakili au katika rasimu) kubadilisha thamani hii kwenye "usemi wa kutisha".
1) Kwanza tunahitaji kuhesabu usemi, ambayo inamaanisha kuwa jumla ni upachikaji wa ndani kabisa.
2) Kisha unahitaji kuhesabu logarithm:
4) Kisha mchemraba cosine:
5) Katika hatua ya tano tofauti:
6) Na mwishowe, kazi ya nje ni mzizi wa mraba: 
Mfumo wa kutofautisha kazi changamano 
hutumika kwa mpangilio wa nyuma, kutoka kitendakazi cha nje hadi cha ndani kabisa. Tunaamua:
Inaonekana bila makosa:
1) Chukua derivative ya mzizi wa mraba.
2) Chukua derivative ya tofauti kwa kutumia sheria 
3) Derivative ya triple ni sifuri. Katika kipindi cha pili tunachukua derivative ya shahada (mchemraba).
4) Chukua derivative ya cosine.
6) Na hatimaye, tunachukua derivative ya upachikaji wa ndani kabisa.
Inaweza kuonekana kuwa ngumu sana, lakini hii sio mfano wa kikatili zaidi. Chukua, kwa mfano, mkusanyiko wa Kuznetsov na utathamini uzuri wote na unyenyekevu wa derivative iliyochambuliwa. Niligundua kuwa wanapenda kutoa kitu kama hicho katika mtihani ili kuangalia ikiwa mwanafunzi anaelewa jinsi ya kupata derivative ya kazi changamano au haelewi.
Mfano ufuatao ni kwa wewe kutatua peke yako.
Mfano 3
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Kidokezo: Kwanza tunatumia kanuni za mstari na kanuni ya utofautishaji wa bidhaa
Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Ni wakati wa kuendelea na kitu kidogo na kizuri zaidi.
Sio kawaida kwa mfano kuonyesha bidhaa ya sio mbili, lakini kazi tatu. Jinsi ya kupata derivative ya bidhaa ya mambo matatu?
Mfano 4
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Kwanza tunaangalia, inawezekana kugeuza bidhaa ya kazi tatu katika bidhaa ya kazi mbili? Kwa mfano, ikiwa tulikuwa na polynomials mbili katika bidhaa, basi tunaweza kufungua mabano. Lakini katika mfano unaozingatiwa, kazi zote ni tofauti: shahada, kielelezo na logarithm.
Katika hali kama hizo ni muhimu mfululizo tumia kanuni ya kutofautisha bidhaa 
mara mbili
Ujanja ni kwamba kwa "y" tunaashiria bidhaa ya kazi mbili: , na kwa "ve" tunaashiria logarithm:. Kwa nini hili linaweza kufanywa? Je, ni kweli 
- hii sio bidhaa ya mambo mawili na sheria haifanyi kazi?! Hakuna chochote ngumu:
Sasa inabakia kutumia sheria mara ya pili kwa mabano:
Unaweza pia kupotoshwa na kuweka kitu nje ya mabano, lakini katika kesi hii ni bora kuacha jibu haswa katika fomu hii - itakuwa rahisi kuangalia.
Mfano unaozingatiwa unaweza kutatuliwa kwa njia ya pili:
Suluhisho zote mbili ni sawa kabisa.
Mfano 5
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea; katika sampuli hutatuliwa kwa kutumia njia ya kwanza.
Wacha tuangalie mifano sawa na sehemu.
Mfano 6
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Kuna njia kadhaa unaweza kwenda hapa:
Au kama hii:
Lakini suluhisho litaandikwa zaidi ikiwa tunatumia kwanza sheria ya utofautishaji wa mgawo 
, ikichukua kwa nambari nzima:
Kimsingi, mfano unatatuliwa, na ikiwa itaachwa kama ilivyo, haitakuwa kosa. Lakini ikiwa unayo wakati, inashauriwa kila wakati kuangalia rasimu ili kuona ikiwa jibu linaweza kurahisishwa?
Wacha tupunguze usemi wa nambari kuwa dhehebu la kawaida na tuondoe muundo wa hadithi tatu wa sehemu.:
Ubaya wa kurahisisha zaidi ni kwamba kuna hatari ya kufanya makosa sio wakati wa kutafuta derivative, lakini wakati wa mabadiliko ya shule ya banal. Kwa upande mwingine, walimu mara nyingi hukataa mgawo huo na kuuliza "kuukumbusha" derivative.
Mfano rahisi wa kutatua peke yako:
Mfano 7
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Tunaendelea kujua njia za kupata derivative, na sasa tutazingatia kesi ya kawaida wakati logarithm "ya kutisha" inapendekezwa kwa kutofautisha.
Shida ya kupata derivative ya kazi fulani ni moja wapo kuu katika kozi za hesabu za shule ya upili na katika taasisi za elimu ya juu. Haiwezekani kuchunguza kikamilifu kazi na kuunda grafu yake bila kuchukua derivative yake. Derivative ya kazi inaweza kupatikana kwa urahisi ikiwa unajua sheria za msingi za kutofautisha, pamoja na meza ya derivatives ya kazi za msingi. Wacha tujue jinsi ya kupata derivative ya kitendakazi.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi ongezeko la hoja wakati nyongeza ya hoja inaelekea sifuri.
Kuelewa ufafanuzi huu ni ngumu sana, kwani wazo la kikomo halijasomwa kikamilifu shuleni. Lakini ili kupata derivatives ya kazi mbalimbali, si lazima kuelewa ufafanuzi; wacha tuwaachie wanahisabati na tuende moja kwa moja kutafuta derivative.
Mchakato wa kutafuta derivative inaitwa tofauti. Tunapotofautisha chaguo za kukokotoa, tutapata kitendakazi kipya.
Ili kuwateua tutatumia herufi za Kilatini f, g, nk.
Kuna vidokezo vingi tofauti vya derivatives. Tutatumia kiharusi. Kwa mfano, kuandika g" ina maana kwamba tutapata derivative ya chaguo za kukokotoa g.
Jedwali la derivatives
Ili kujibu swali la jinsi ya kupata derivative, ni muhimu kutoa meza ya derivatives ya kazi kuu. Ili kuhesabu derivatives ya kazi za msingi, si lazima kufanya mahesabu magumu. Inatosha tu kuangalia thamani yake katika meza ya derivatives.
- (dhambi x)"=cos x
- (cos x)"= -dhambi x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (logi a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/dhambi 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Mfano 1. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa y=500.
Tunaona kwamba hii ni mara kwa mara. Kutoka kwa jedwali la derivatives inajulikana kuwa derivative ya mara kwa mara ni sawa na sifuri (formula 1).
Mfano 2. Tafuta toleo la kukokotoa y=x 100.
Hii ni kazi ya nguvu ambayo kielelezo chake ni 100, na ili kupata derivative yake unahitaji kuzidisha kazi kwa kielelezo na kuipunguza kwa 1 (formula 3).
(x 100)"=100 x 99
Mfano 3. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa y=5 x
Hili ni chaguo la kukokotoa la kielelezo, hebu tukokote kiingilizi chake kwa kutumia fomula ya 4.
Mfano 4. Tafuta derivative ya kazi y= logi 4 x
Tunapata derivative ya logariti kwa kutumia formula 7.
(logi 4 x)"=1/x ln 4
Kanuni za kutofautisha
Wacha sasa tujue jinsi ya kupata derivative ya kazi ikiwa haipo kwenye jedwali. Kazi nyingi zilizosomwa sio za msingi, lakini ni mchanganyiko wa kazi za kimsingi kwa kutumia shughuli rahisi (kuongeza, kutoa, kuzidisha, kugawanya, na kuzidisha kwa nambari). Ili kupata derivatives yao, unahitaji kujua sheria za kutofautisha. Hapo chini, herufi f na g huashiria vitendaji, na C ni sawa.
1. Mgawo wa mara kwa mara unaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative
Mfano 5. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa y= 6*x 8
Tunachukua kipengele kisichobadilika cha 6 na kutofautisha x 4 pekee. Hii ni kazi ya nguvu, derivative ambayo hupatikana kwa kutumia formula 3 ya meza ya derivatives.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives
(f + g)"=f" + g"
Mfano 6. Tafuta derivative ya kazi y= x 100 +sin x
Chaguo la kukokotoa ni jumla ya kazi mbili, derivatives ambazo tunaweza kupata kutoka kwa jedwali. Kwa kuwa (x 100)"=100 x 99 na (sin x)"=cos x. Derivative ya jumla itakuwa sawa na jumla ya derivatives hizi:
(x 100 +dhambi x)"= 100 x 99 +cos x
3. Derivative ya tofauti ni sawa na tofauti ya derivatives
(f – g)"=f" – g"
Mfano 7. Pata derivative ya kazi y = x 100 - cos x
Kazi hii ni tofauti ya kazi mbili, derivatives ambayo tunaweza pia kupata kutoka kwa meza. Kisha derivative ya tofauti ni sawa na tofauti ya derivatives na usisahau kubadilisha ishara, tangu (cos x)" = - sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + dhambi x
Mfano 8. Tafuta toleo la kukokotoa y=e x +tg x– x 2.
Chaguo hili la kukokotoa lina jumla na tofauti; wacha tupate viini vya kila neno:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Kisha derivative ya chaguo la kukokotoa la awali ni sawa na:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Derivative ya bidhaa
(f * g)"=f" * g + f * g"
Mfano 9. Pata derivative ya kazi y= cos x *e x
Ili kufanya hivyo, kwanza tunapata derivative ya kila kipengele (cos x)"=–sin x na (e x)"=e x. Sasa hebu tubadilishe kila kitu kwenye fomula ya bidhaa. Tunazidisha derivative ya kazi ya kwanza na ya pili na kuongeza bidhaa ya kazi ya kwanza na derivative ya pili.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *dhambi x
5. Derivative ya mgawo
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Mfano 10. Tafuta derivative ya kazi y= x 50 /sin x
Ili kupata kinyambulisho cha mgawo, kwanza tunapata kinyago cha nambari na denominata kando: (x 50)"=50 x 49 na (sin x)"= cos x. Kubadilisha derivative ya mgawo katika fomula, tunapata:
(x 50 /dhambi x)"= 50x 49 *dhambi x – x 50 *cos x/sin 2 x
Inatokana na utendaji kazi changamano
Kitendaji changamano ni kitendakazi kinachowakilishwa na muundo wa vitendaji kadhaa. Pia kuna sheria ya kupata derivative ya kazi ngumu:
(u (v))"=u"(v)*v"
Wacha tujue jinsi ya kupata derivative ya kazi kama hiyo. Acha y= u(v(x)) iwe kazi changamano. Wacha tuite kazi u ya nje, na v - ya ndani.
Kwa mfano:
y=dhambi (x 3) ni kazi changamano.
Kisha y=sin(t) ni kazi ya nje
t=x 3 - ndani.
Hebu tujaribu kuhesabu derivative ya chaguo hili la kukokotoa. Kulingana na formula, unahitaji kuzidisha derivatives ya kazi za ndani na nje.
(sin t)"=cos (t) - derivative ya kazi ya nje (ambapo t=x 3)
(x 3)" = 3x 2 - derivative ya kazi ya ndani
Kisha (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 ni derivative ya kazi changamano.
Tarehe: 11/20/2014
Derivative ni nini?
Jedwali la derivatives.
Derivative ni mojawapo ya dhana kuu za hisabati ya juu. Katika somo hili tutatambulisha dhana hii. Wacha tufahamiane, bila uundaji mkali wa hesabu na uthibitisho.
Ujuzi huu utakuruhusu:
Kuelewa kiini cha kazi rahisi na derivatives;
Suluhisha kwa mafanikio kazi hizi rahisi;
Jitayarishe kwa masomo mazito zaidi juu ya derivatives.
Kwanza - mshangao mzuri.)
Ufafanuzi mkali wa derivative unategemea nadharia ya mipaka na jambo hilo ni ngumu sana. Hii inasikitisha. Lakini utumiaji wa vitendo wa derivatives, kama sheria, hauitaji maarifa ya kina na ya kina!
Ili kukamilisha kazi nyingi kwa mafanikio shuleni na chuo kikuu, inatosha kujua masharti machache tu- kuelewa kazi, na sheria chache tu- kutatua. Ni hayo tu. Hii inanifurahisha.
Wacha tuanze kufahamiana?)
Masharti na uteuzi.
Kuna shughuli nyingi tofauti za hisabati katika hisabati ya msingi. Kuongeza, kutoa, kuzidisha, ufafanuzi, logarithm, nk. Ukiongeza operesheni moja zaidi kwa shughuli hizi, hisabati ya msingi inakuwa ya juu zaidi. Operesheni hii mpya inaitwa utofautishaji. Ufafanuzi na maana ya operesheni hii itajadiliwa katika masomo tofauti.
Ni muhimu kuelewa hapa kwamba utofautishaji ni operesheni ya kihesabu kwenye kazi. Tunachukua kazi yoyote na, kwa mujibu wa sheria fulani, kuibadilisha. Matokeo yake yatakuwa kazi mpya. Kazi hii mpya inaitwa: derivative.
Utofautishaji- hatua juu ya utendaji.
Derivative- matokeo ya hatua hii.
Kama tu, kwa mfano, jumla- matokeo ya kuongeza. Au Privat- matokeo ya mgawanyiko.
Kwa kujua masharti, unaweza angalau kuelewa majukumu.) Michanganyiko ni kama ifuatavyo: kupata derivative ya kazi; kuchukua derivative; kutofautisha kazi; hesabu derivative Nakadhalika. Hii ndiyo yote sawa. Bila shaka, pia kuna kazi ngumu zaidi, ambapo kutafuta derivative (tofauti) itakuwa moja tu ya hatua katika kutatua tatizo.
Derivative inaonyeshwa kwa kistari kilicho kwenye sehemu ya juu ya kulia ya chaguo la kukokotoa. Kama hii: y" au f"(x) au S"(t) Nakadhalika.
Kusoma kiharusi cha igrek, ef kiharusi kutoka kwa x, kiharusi kutoka kwa te, vizuri, unaelewa ...)
Msingi pia inaweza kuonyesha derivative ya kazi fulani, kwa mfano: (2x+3)", (x 3 )" , (Sinx)" na kadhalika. Mara nyingi derivatives huonyeshwa kwa kutumia tofauti, lakini hatutazingatia nukuu kama hiyo katika somo hili.
Wacha tuchukue kwamba tumejifunza kuelewa kazi. Kilichobaki ni kujifunza jinsi ya kuyatatua.) Acha nikukumbushe tena: kutafuta derivative ni. mabadiliko ya kazi kulingana na sheria fulani. Kwa kushangaza, kuna wachache sana wa sheria hizi.
Ili kupata derivative ya kazi, unahitaji kujua mambo matatu tu. Nguzo tatu ambazo upambanuzi wote umesimama. Hizi ndizo nguzo tatu:
1. Jedwali la derivatives (formula za utofautishaji).
3. Derivative ya kazi ngumu.
Hebu tuanze kwa utaratibu. Katika somo hili tutaangalia jedwali la derivatives.
Jedwali la derivatives.
Kuna idadi isiyo na kikomo ya kazi ulimwenguni. Miongoni mwa seti hii kuna kazi ambazo ni muhimu zaidi kwa matumizi ya vitendo. Kazi hizi zinapatikana katika sheria zote za asili. Kutoka kwa kazi hizi, kama kutoka kwa matofali, unaweza kuunda zingine zote. Darasa hili la kazi linaitwa kazi za msingi. Ni kazi hizi ambazo husomwa shuleni - linear, quadratic, hyperbola, nk.
Tofauti ya kazi "kutoka mwanzo", i.e. Kulingana na ufafanuzi wa derivative na nadharia ya mipaka, hii ni jambo la kazi kubwa. Na wanahisabati ni watu pia, ndio, ndio!) Kwa hivyo wamerahisisha maisha yao (na sisi). Walihesabu derivatives ya kazi za msingi mbele yetu. Matokeo yake ni jedwali la derivatives, ambapo kila kitu kiko tayari.)
Hapa ni, sahani hii kwa kazi maarufu zaidi. Upande wa kushoto ni kazi ya msingi, upande wa kulia ni derivative yake.
| Kazi y |
Nyingi ya kitendakazi y y" |
|
| 1 | C (thamani ya mara kwa mara) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - nambari yoyote) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | dhambi x | (dhambi x)" = cosx |
| kwani x | (cos x)" = - dhambi x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | logi a x |  |
| ln x ( a = e) |
Ninapendekeza kulipa kipaumbele kwa kundi la tatu la kazi katika jedwali hili la derivatives. Derivative ya kazi ya nguvu ni mojawapo ya fomula za kawaida, ikiwa sio za kawaida! Unapata kidokezo?) Ndiyo, inashauriwa kujua meza ya derivatives kwa moyo. Kwa njia, hii sio ngumu kama inavyoweza kuonekana. Jaribu kutatua mifano zaidi, meza yenyewe itakumbukwa!)
Kupata thamani ya meza ya derivative, kama unavyoelewa, sio kazi ngumu zaidi. Kwa hiyo, mara nyingi sana katika kazi hizo kuna chips za ziada. Aidha katika maneno ya kazi, au katika kazi asilia, ambayo haionekani kuwa kwenye jedwali...
Hebu tuangalie mifano michache:
1. Pata derivative ya kazi y = x 3
Hakuna kazi kama hiyo kwenye jedwali. Lakini kuna derivative ya kazi ya nguvu katika fomu ya jumla (kikundi cha tatu). Kwa upande wetu n=3. Kwa hivyo tunabadilisha tatu badala ya n na kuandika kwa uangalifu matokeo:
(x 3) = 3 x 3-1 = 3x 2
Ni hayo tu.
Jibu: y" = 3x 2
2. Tafuta thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa y = sinx katika uhakika x = 0.
Jukumu hili linamaanisha kwamba lazima kwanza utafute derivative ya sine, na kisha ubadilishe thamani x = 0 kwenye derivative hii hiyo. Hasa kwa utaratibu huo! Vinginevyo, hutokea kwamba mara moja hubadilisha sifuri kwenye chaguo la kukokotoa asilia... Tunaulizwa kupata si thamani ya chaguo la kukokotoa asilia, lakini thamani. derivative yake. Derivative, wacha nikukumbushe, ni kazi mpya.
Kwa kutumia kibao tunapata sine na derivative inayolingana:
y" = (dhambi x)" = cosx
Tunabadilisha sifuri kwenye derivative:
y"(0) = cos 0 = 1
Hili litakuwa jibu.
3. Tofautisha utendaji:
Je, inahamasisha?) Hakuna kazi hiyo katika jedwali la derivatives.
Acha nikukumbushe kwamba kutofautisha kazi ni kupata tu derivative ya chaguo hili la kukokotoa. Ukisahau trigonometry ya msingi, kutafuta derivative ya kazi yetu ni shida sana. Jedwali haisaidii...
Lakini kama tunaona kwamba kazi yetu ni cosine ya pembe mbili, basi kila kitu kinakuwa bora mara moja!
Ndiyo ndiyo! Kumbuka kwamba kubadilisha kazi ya awali kabla ya kutofautisha kukubalika kabisa! Na hutokea kufanya maisha rahisi sana. Kutumia fomula ya cosine ya pembe mbili:
Wale. kazi yetu gumu ni kitu zaidi ya y = cosx. Na hii ni kazi ya meza. Tunapata mara moja:
Jibu: y" = - dhambi x.
Mfano kwa wahitimu wa juu na wanafunzi:
4. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa:
Hakuna kazi kama hiyo kwenye jedwali la derivatives, kwa kweli. Lakini ikiwa unakumbuka hisabati ya msingi, shughuli na nguvu ... Basi inawezekana kabisa kurahisisha kazi hii. Kama hii:
Na x kwa nguvu ya moja ya kumi tayari ni kazi ya tabular! Kundi la tatu, n=1/10. Tunaandika moja kwa moja kulingana na formula:
Ni hayo tu. Hili litakuwa jibu.
Natumaini kwamba kila kitu ni wazi na nguzo ya kwanza ya kutofautisha - meza ya derivatives. Inabakia kukabiliana na nyangumi mbili zilizobaki. Katika somo linalofuata tutajifunza kanuni za utofautishaji.
Katika somo hili tutajifunza kutumia kanuni na kanuni za utofautishaji.
Mifano. Pata derivatives ya vipengele.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Kutumia kanuni I, fomula 4, 2 na 1. Tunapata:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. Tunatatua vivyo hivyo, kwa kutumia fomula na fomula sawa 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Kutumia kanuni I, fomula 3, 5
Na 6
Na 1.
Kutumia kanuni IV, fomula 5
Na 1
.
Katika mfano wa tano, kulingana na sheria I derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives, na tumepata derivative ya neno la 1 (mfano 4 ), kwa hivyo, tutapata derivatives 2 Na 3 masharti, na kwa 1 summand tunaweza kuandika matokeo mara moja.
Tutofautishe 2 Na 3 masharti kulingana na formula 4
. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha mizizi ya mamlaka ya tatu na ya nne katika madhehebu kuwa mamlaka yenye watoaji hasi, na kisha, kulingana na 4
formula, tunapata derivatives ya nguvu.
Angalia mfano huu na matokeo. Je, umepata muundo? Sawa. Hii ina maana kwamba tuna fomula mpya na tunaweza kuiongeza kwenye jedwali letu la derivatives.
Wacha tusuluhishe mfano wa sita na tupate fomula nyingine.
Hebu tumia kanuni IV na fomula 4
. Wacha tupunguze sehemu zinazosababisha.
Wacha tuangalie kazi hii na derivative yake. Wewe, kwa kweli, unaelewa muundo na uko tayari kutaja formula:
Kujifunza fomula mpya!
Mifano.
1. Tafuta nyongeza ya hoja na nyongeza ya chaguo za kukokotoa y= x 2, ikiwa thamani ya awali ya hoja ilikuwa sawa na 4 , na mpya - 4,01 .
Suluhisho.
Thamani mpya ya hoja x=x 0 +Δx. Wacha tubadilishe data: 4.01=4+Δх, kwa hivyo ongezeko la hoja Δх=4.01-4=0.01. Kuongezeka kwa kazi, kwa ufafanuzi, ni sawa na tofauti kati ya maadili mapya na ya awali ya kazi, i.e. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Kwa kuwa tuna kazi y=x2, Hiyo Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Jibu: ongezeko la hoja Δх=0.01; ongezeko la kazi Δу=0,0801.
Ongezeko la kazi linaweza kupatikana kwa njia tofauti: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. Pata pembe ya mwelekeo wa tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa y=f(x) kwa uhakika x 0, Kama f "(x 0) = 1.
Suluhisho.
Thamani ya derivative katika hatua ya tangency x 0 na ni thamani ya tanjiti ya pembe ya tanjiti (maana ya kijiometri ya derivative). Tuna: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, kwa sababu tg45°=1.
Jibu: tangent kwa grafu ya chaguo hili la kukokotoa huunda pembe yenye mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox sawa na 45°.
3. Pata fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa y=xn.
Utofautishaji ni kitendo cha kutafuta derivative ya kitendakazi.
Unapotafuta derivatives, tumia fomula ambazo zilitolewa kulingana na ufafanuzi wa derivative, kwa njia sawa na tulivyopata fomula ya digrii derivative: (x n)" = nx n-1.
Hizi ndizo fomula.
Jedwali la derivatives Itakuwa rahisi kukariri kwa kutamka uundaji wa maneno:
1. Derivative ya wingi wa mara kwa mara ni sifuri.
2. X prime ni sawa na moja.
3. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative.
4. Derivative ya shahada ni sawa na bidhaa ya kipeo cha shahada hii kwa shahada yenye msingi sawa, lakini kipeo ni kimoja kidogo.
5. Derivative ya mzizi ni sawa na moja iliyogawanywa na mizizi miwili sawa.
6. Nyingine ya moja iliyogawanywa na x ni sawa na minus moja iliyogawanywa na x mraba.
7. Derivative ya sine ni sawa na kosine.
8. Nyingine ya kosine ni sawa na minus sine.
9. Derivative ya tangent ni sawa na moja iliyogawanywa na mraba wa cosine.
10. Nyingine ya kotanjenti ni sawa na toa moja iliyogawanywa na mraba wa sine.
Tunafundisha kanuni za kutofautisha.
1.
Nyingine ya jumla ya aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya viini vya maneno.
2. Derivative ya bidhaa ni sawa na bidhaa ya derivative ya sababu ya kwanza na ya pili pamoja na bidhaa ya sababu ya kwanza na derivative ya pili.
3. Nyingine ya "y" iliyogawanywa na "ve" ni sawa na sehemu ambayo nambari ni "y mkuu ikizidishwa na "ve" toa "y ikizidishwa na ve mkuu", na denominata ni "ve mraba".
4. Kesi maalum ya formula 3.
Tujifunze pamoja!
Ukurasa wa 1 wa 1 1
Ambayo tulichunguza derivatives rahisi zaidi, na pia tukafahamiana na sheria za kutofautisha na baadhi ya mbinu za kiufundi za kutafuta derivatives. Kwa hivyo, ikiwa wewe si mzuri sana na derivatives ya kazi au baadhi ya pointi katika makala hii si wazi kabisa, basi kwanza kusoma somo hapo juu. Tafadhali ingia katika hali mbaya - nyenzo sio rahisi, lakini bado nitajaribu kuiwasilisha kwa urahisi na kwa uwazi.
Katika mazoezi, unapaswa kukabiliana na derivative ya kazi ngumu mara nyingi sana, ningesema hata, karibu kila mara, unapopewa kazi za kupata derivatives.
Tunaangalia jedwali katika kanuni (Na. 5) ya kutofautisha kazi ngumu:
Hebu tufikirie. Kwanza kabisa, hebu tuzingatie kuingia. Hapa tuna kazi mbili - na , na kazi, kwa kusema kwa mfano, imewekwa ndani ya kazi. Kazi ya aina hii (wakati kazi moja inapowekwa ndani ya nyingine) inaitwa kazi changamano.
Nitaita kazi kazi ya nje, na kazi - kazi ya ndani (au ya kiota)..
! Ufafanuzi huu si wa kinadharia na haufai kuonekana katika muundo wa mwisho wa kazi. Ninatumia misemo isiyo rasmi "kazi ya nje", kazi ya "ndani" ili iwe rahisi kwako kuelewa nyenzo.
Ili kufafanua hali hiyo, fikiria:
Mfano 1
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Chini ya sine hatuna herufi "X" tu, lakini usemi mzima, kwa hivyo kutafuta derivative mara moja kutoka kwa meza haitafanya kazi. Pia tunaona kuwa haiwezekani kutumia sheria nne za kwanza hapa, inaonekana kuna tofauti, lakini ukweli ni kwamba sine haiwezi "kukatwa vipande vipande":
Katika mfano huu, tayari ni wazi kwa intuitively kutoka kwa maelezo yangu kwamba kazi ni kazi ngumu, na polynomial ni kazi ya ndani (kupachika), na kazi ya nje.
Hatua ya kwanza unachohitaji kufanya unapopata derivative ya kitendakazi changamano ni kuelewa ni kazi gani ni ya ndani na ipi ni ya nje.
Katika kesi ya mifano rahisi, inaonekana wazi kwamba polynomial imeingizwa chini ya sine. Lakini ni nini ikiwa kila kitu sio wazi? Jinsi ya kuamua kwa usahihi ni kazi gani ya nje na ni ya ndani? Ili kufanya hivyo, napendekeza kutumia mbinu ifuatayo, ambayo inaweza kufanywa kiakili au katika rasimu.
Wacha tufikirie kuwa tunahitaji kuhesabu thamani ya usemi kwenye kikokotoo (badala ya moja kunaweza kuwa na nambari yoyote).
Tutahesabu nini kwanza? Kwanza kabisa utahitaji kufanya kitendo kifuatacho: , kwa hivyo polynomial itakuwa kazi ya ndani: 
Pili itahitaji kupatikana, kwa hivyo sine - itakuwa kazi ya nje: 
Baada ya sisi IMEUZWA na kazi za ndani na nje, ni wakati wa kutumia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu 
.
Hebu tuanze kuamua. Kutoka kwa somo Jinsi ya kupata derivative? tunakumbuka kuwa muundo wa suluhisho la derivative yoyote huanza kama hii - tunafunga usemi kwenye mabano na kuweka kiharusi juu kulia:
Mara ya kwanza tunapata derivative ya kazi ya nje (sine), angalia jedwali la derivatives ya kazi za msingi na taarifa kwamba. Miundo yote ya jedwali inatumika pia ikiwa nafasi ya "x" itabadilishwa na usemi changamano, kwa kesi hii:
Tafadhali kumbuka kuwa kazi ya ndani haijabadilika, hatuigusi.
Naam, ni dhahiri kabisa kwamba
Matokeo ya kutumia formula 
katika fomu yake ya mwisho inaonekana kama hii:
Sababu ya mara kwa mara kawaida huwekwa mwanzoni mwa usemi:
Ikiwa kuna kutokuelewana, andika suluhisho kwenye karatasi na usome maelezo tena.
Mfano 2
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Mfano 3
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Kama kawaida, tunaandika: 
Wacha tujue ni wapi tuna kazi ya nje na wapi tunayo ya ndani. Ili kufanya hivyo, tunajaribu (kiakili au katika rasimu) kukokotoa thamani ya usemi kwa . Unapaswa kufanya nini kwanza? Kwanza kabisa, unahitaji kuhesabu ni nini msingi ni sawa na: kwa hivyo, polynomial ni kazi ya ndani: 
Na hapo ndipo udhihirisho unafanywa, kwa hivyo, kazi ya nguvu ni kazi ya nje: 
Kulingana na formula 
, kwanza unahitaji kupata derivative ya kazi ya nje, katika kesi hii, shahada. Tunatafuta formula inayohitajika katika jedwali:. Tunarudia tena: fomula yoyote ya jedwali ni halali sio tu kwa "X", lakini pia kwa usemi changamano. Kwa hivyo, matokeo ya kutumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu 
inayofuata:
Ninasisitiza tena kwamba tunapochukua derivative ya kazi ya nje, utendaji wetu wa ndani haubadiliki: 
Sasa kilichobaki ni kupata derivative rahisi sana ya kazi ya ndani na kurekebisha matokeo kidogo:
Mfano 4
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako (jibu mwishoni mwa somo).
Ili kuunganisha uelewa wako wa derivative ya kazi ngumu, nitatoa mfano bila maoni, jaribu kuihesabu peke yako, sababu ya nje na wapi kazi ya ndani iko, kwa nini kazi zinatatuliwa kwa njia hii?
Mfano 5
a) Tafuta derivative ya kitendakazi
b) Tafuta derivative ya kitendakazi
Mfano 6
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Hapa tuna mzizi, na ili kutofautisha mzizi, lazima uwakilishwe kama nguvu. Kwa hivyo, kwanza tunaleta kazi katika fomu inayofaa kwa utofautishaji:
Kuchambua kazi, tunafikia hitimisho kwamba jumla ya maneno matatu ni kazi ya ndani, na kuinua kwa nguvu ni kazi ya nje. Tunatumia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu 
:
Tunawakilisha tena digrii kama radical (mizizi), na kwa toleo la chaguo la kukokotoa la ndani tunatumia kanuni rahisi ya kutofautisha jumla:
Tayari. Unaweza pia kupunguza usemi kuwa dhehebu la kawaida kwenye mabano na uandike kila kitu kama sehemu moja. Ni nzuri, kwa kweli, lakini unapopata derivatives ndefu ngumu, ni bora kutofanya hivi (ni rahisi kuchanganyikiwa, kufanya makosa yasiyo ya lazima, na itakuwa ngumu kwa mwalimu kuangalia).
Mfano 7
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako (jibu mwishoni mwa somo).
Inafurahisha kutambua kwamba wakati mwingine badala ya sheria ya kutofautisha kazi ngumu, unaweza kutumia sheria ya kutofautisha mgawo. 
, lakini suluhisho kama hilo litaonekana kama upotovu usio wa kawaida. Hapa kuna mfano wa kawaida:
Mfano 8
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Hapa unaweza kutumia kanuni ya utofautishaji wa mgawo 
, lakini ni faida zaidi kupata derivative kupitia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu:
Tunatayarisha kazi ya kutofautisha - tunaondoa minus kutoka kwa ishara inayotokana, na kuinua cosine kwenye nambari:
Cosine ni kazi ya ndani, ufafanuzi ni kazi ya nje.
Tutumie kanuni yetu 
:
Tunapata derivative ya kazi ya ndani na kuweka upya cosine chini:
Tayari. Katika mfano unaozingatiwa, ni muhimu kutochanganyikiwa katika ishara. Kwa njia, jaribu kutatua kwa kutumia utawala 
, majibu lazima yalingane.
Mfano 9
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako (jibu mwishoni mwa somo).
Kufikia sasa tumeangalia kesi ambapo tulikuwa na kiota kimoja tu katika kazi ngumu. Katika kazi za vitendo, mara nyingi unaweza kupata derivatives, ambapo, kama wanasesere wa kiota, moja ndani ya nyingine, kazi 3 au hata 4-5 huwekwa mara moja.
Mfano 10
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Hebu tuelewe viambatisho vya chaguo hili la kukokotoa. Wacha tujaribu kuhesabu usemi kwa kutumia thamani ya majaribio. Tungehesabu vipi kikokotoo?
Kwanza unahitaji find , ambayo inamaanisha kuwa arcsine ndio upachikaji wa ndani kabisa:
Arcsine hii ya moja inapaswa kuwa mraba:
Na mwishowe, tunainua saba kwa nguvu: 
Hiyo ni, katika mfano huu tuna kazi tatu tofauti na upachikaji mbili, wakati kazi ya ndani kabisa ni arcsine, na kazi ya nje zaidi ni kazi ya kielelezo.
Hebu tuanze kuamua
Kwa mujibu wa kanuni 
Kwanza unahitaji kuchukua derivative ya kazi ya nje. Tunaangalia jedwali la derivatives na kupata derivative ya kazi ya kielelezo: Tofauti pekee ni kwamba badala ya "x" tuna usemi changamano, ambao haupuuzi uhalali wa fomula hii. Kwa hivyo, matokeo ya kutumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu 
ijayo.