Mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari: njia ya suluhisho. Njia rahisi na ngumu za kutatua mifumo ya equations

I. Milinganyo ya kawaida ya tofauti

1.1. Dhana za kimsingi na ufafanuzi

Mlinganyo tofauti ni mlinganyo unaohusiana na kigezo huru x, kitendakazi kinachohitajika y na derivatives au tofauti zake.

Kwa mfano, equation ya kutofautisha imeandikwa kama ifuatavyo:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Equation ya kutofautisha inaitwa kawaida ikiwa kazi inayohitajika inategemea tofauti moja huru.

Kutatua equation tofauti inaitwa chaguo la kukokotoa ambalo hugeuza mlinganyo huu kuwa kitambulisho.

Utaratibu wa mlinganyo wa kutofautisha ni mpangilio wa derivative ya juu zaidi iliyojumuishwa katika mlingano huu

Mifano.

1. Fikiria mpangilio tofauti wa mpangilio wa kwanza

Suluhisho la mlinganyo huu ni kazi y = 5 ln x. Kwa kweli, kuchukua nafasi y" kwenye equation, tunapata utambulisho.

Na hii ina maana kwamba kazi y = 5 ln x- ni suluhisho la mlinganyo huu wa kutofautisha.

2. Fikiria mpangilio tofauti wa mpangilio wa pili y" - 5y" +6y = 0. Kazi ndio suluhisho la mlinganyo huu.

Kweli,.

Kubadilisha misemo hii katika equation, tunapata: , - utambulisho.

Na hii inamaanisha kuwa kazi ndio suluhisho la mlinganyo huu wa kutofautisha.

Kuunganisha milinganyo tofauti ni mchakato wa kutafuta suluhu za milinganyo tofauti.

Suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha inayoitwa kazi ya fomu , ambayo inajumuisha viambajengo vingi vinavyojitegemea kama mpangilio wa mlinganyo.

Suluhisho la sehemu ya equation tofauti ni suluhisho lililopatikana kutoka kwa suluhisho la jumla kwa maadili anuwai ya nambari za viboreshaji vya kiholela. Thamani za viwango vya kiholela hupatikana katika maadili fulani ya awali ya hoja na kazi.

Grafu ya suluhisho fulani kwa usawa wa kutofautisha inaitwa curve muhimu.

Mifano

1. Tafuta suluhu mahususi kwa mpangilio tofauti wa mpangilio wa kwanza

xdx + ydy = 0, Kama y= 4 kwa x = 3.

Suluhisho. Kuunganisha pande zote mbili za equation, tunapata

Maoni. C ya kiholela ya mara kwa mara iliyopatikana kama matokeo ya ujumuishaji inaweza kuwakilishwa kwa njia yoyote inayofaa kwa mabadiliko zaidi. Katika kesi hii, kwa kuzingatia equation ya kisheria ya mduara, ni rahisi kuwakilisha C ya kiholela ya mara kwa mara katika fomu.

- ufumbuzi wa jumla wa equation tofauti.

Suluhisho maalum la equation inayokidhi masharti ya awali y = 4 kwa x = 3 hupatikana kutoka kwa jumla kwa kubadilisha hali ya awali katika ufumbuzi wa jumla: 3 2 + 4 2 = C 2; C=5.

Kubadilisha C = 5 kwenye suluhisho la jumla, tunapata x 2 +y 2 = 5 2 .

Hili ni suluhisho maalum kwa usawa wa tofauti uliopatikana kutoka kwa suluhisho la jumla chini ya masharti ya awali.

2. Tafuta suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha

Suluhisho la equation hii ni kazi yoyote ya fomu , ambapo C ni ya kudumu ya kiholela. Hakika, kubadilisha , katika milinganyo, tunapata: , .

Kwa hivyo, equation hii ya kutofautisha ina idadi isiyo na kipimo ya suluhisho, kwani kwa maadili tofauti ya C ya mara kwa mara, usawa huamua suluhisho tofauti kwa equation.

Kwa mfano, kwa uingizwaji wa moja kwa moja unaweza kuthibitisha kwamba utendakazi ni suluhisho la equation.

Tatizo ambalo unahitaji kupata suluhisho fulani kwa equation y" = f(x,y) kukidhi hali ya awali y(x 0) = y 0, inaitwa shida ya Cauchy.

Kutatua equation y" = f(x,y) kukidhi hali ya awali, y(x 0) = y 0, inaitwa suluhu la tatizo la Cauchy.

Suluhisho la tatizo la Cauchy lina maana rahisi ya kijiometri. Hakika, kwa mujibu wa ufafanuzi huu, kutatua tatizo la Cauchy y" = f(x,y) kutokana na hilo y(x 0) = y 0, inamaanisha kupata mkunjo muhimu wa mlinganyo y" = f(x,y) ambayo hupitia hatua fulani M 0 (x 0,y 0).

II. Agiza kwanza milinganyo tofauti

2.1. Dhana za Msingi

Mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa kwanza ni mlinganyo wa fomu F(x,y,y") = 0.

Mlinganyo wa tofauti wa mpangilio wa kwanza unajumuisha derivative ya kwanza na haijumuishi viingilio vya mpangilio wa juu.

Mlinganyo y" = f(x,y) inaitwa mlingano wa mpangilio wa kwanza kutatuliwa kwa heshima na derivati.

Suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha ya mpangilio wa kwanza ni kazi ya fomu , ambayo ina moja ya kiholela ya mara kwa mara.

Mfano. Fikiria mpangilio tofauti wa mpangilio wa kwanza.

Suluhisho la equation hii ni kazi.

Hakika, kuchukua nafasi ya equation hii na thamani yake, tunapata

hiyo ni 3x=3x

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa ni suluhu la jumla kwa mlinganyo kwa C yoyote isiyobadilika.

Tafuta suluhisho mahususi kwa mlinganyo huu ambao unakidhi hali ya awali y(1)=1 Kubadilisha hali ya awali x = 1, y =1 katika suluhisho la jumla la equation, tunapata kutoka wapi C=0.

Kwa hivyo, tunapata suluhu fulani kutoka kwa lile la jumla kwa kubadilisha katika mlingano huu thamani inayotokana C=0- suluhisho la kibinafsi.

2.2. Milinganyo tofauti yenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa

Mlinganyo wa kutofautisha na vigeu vinavyoweza kutenganishwa ni mlinganyo wa fomu: y"=f(x)g(y) au kupitia tofauti, wapi f(x) Na g(y)- kazi maalum.

Kwa wale y, ambayo , mlinganyo y"=f(x)g(y) ni sawa na equation, ambayo kutofautiana y iko upande wa kushoto tu, na mabadiliko ya x iko upande wa kulia tu. Wanasema, "katika Eq. y"=f(x)g(y Hebu tutenganishe vigezo."

Mlinganyo wa fomu inayoitwa equation tofauti tofauti.

Kuunganisha pande zote mbili za equation Na x, tunapata G(y) = F(x) + C ni suluhisho la jumla la equation, wapi G(y) Na F(x)- baadhi ya antiderivatives, kwa mtiririko huo, ya kazi na f(x), C mara kwa mara kiholela.

Algorithm ya kusuluhisha mlingano wa kutofautisha wa agizo la kwanza na vigeu vinavyoweza kutenganishwa

Mfano 1

Tatua mlinganyo y" = xy

Suluhisho. Nyingine ya chaguo za kukokotoa y" badala yake

tutenganishe vigezo

Wacha tuunganishe pande zote mbili za usawa:

Mfano 2

2yy" = 1- 3x 2, Kama y 0 = 3 katika x 0 = 1

Huu ni mlinganyo tofauti uliotenganishwa. Wacha tuifikirie katika tofauti. Ili kufanya hivyo, tunaandika tena usawa huu kwa fomu Kutoka hapa

Kuunganisha pande zote mbili za usawa wa mwisho, tunapata

Kubadilisha maadili ya awali x 0 = 1, y 0 = 3 tutapata NA 9=1-1+C, i.e. C = 9.

Kwa hiyo, sehemu muhimu ya sehemu inayohitajika itakuwa au

Mfano 3

Andika mlinganyo wa mkunjo unaopita kwenye nukta M(2;-3) na kuwa na tanjiti yenye mgawo wa angular

Suluhisho. Kulingana na hali

Huu ni mlinganyo wenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa. Kugawanya vigezo, tunapata:

Kuunganisha pande zote mbili za equation, tunapata:

Kwa kutumia masharti ya awali, x = 2 Na y = - 3 tutapata C:

Kwa hiyo, equation inayohitajika ina fomu

2.3. Milinganyo ya tofauti ya mstari ya mpangilio wa kwanza

Mlinganyo wa tofauti wa mstari wa mpangilio wa kwanza ni mlingano wa fomu y" = f(x)y + g(x)

Wapi f(x) Na g(x)- baadhi ya kazi maalum.

Kama g(x)=0 basi equation ya tofauti ya mstari inaitwa homogeneous na ina fomu: y" = f(x)y

Ikiwa basi equation y" = f(x)y + g(x) inaitwa tofauti.

Suluhisho la jumla la mlinganyo wa kutofautisha wenye usawa y" = f(x)y inatolewa na formula: wapi NA- mara kwa mara kiholela.

Hasa, ikiwa C =0, basi suluhisho ni y = 0 Ikiwa equation ya homogeneous ya mstari ina fomu y" = sawa Wapi k ni baadhi ya mara kwa mara, basi ufumbuzi wake wa jumla una fomu:.

Suluhisho la jumla la mlinganyo wa kutofautisha wa mstari usio sawa y" = f(x)y + g(x) inatolewa na formula ,

hizo. ni sawa na jumla ya suluhu la jumla la mlinganyo unaolingana wa usawa na suluhu mahususi la mlingano huu.

Kwa mlinganyo usio na usawa wa fomu y" = kx + b,

Wapi k Na b- idadi fulani na suluhisho fulani itakuwa kazi ya mara kwa mara. Kwa hivyo, suluhisho la jumla lina fomu.

Mfano. Tatua mlinganyo y" + 2y +3 = 0

Suluhisho. Wacha tuwakilishe equation katika fomu y" = -2y - 3 Wapi k = -2, b= -3 Suluhisho la jumla hutolewa na formula.

Kwa hiyo, ambapo C ni mara kwa mara kiholela.

2.4. Kutatua milinganyo ya tofauti ya mstari wa mpangilio wa kwanza kwa mbinu ya Bernoulli

Kupata Suluhisho la Jumla kwa Mlingano wa Tofauti wa Mstari wa Agizo la Kwanza y" = f(x)y + g(x) inapunguza kusuluhisha milinganyo miwili tofauti na viambajengo vilivyotenganishwa kwa kutumia uingizwaji y=uv, Wapi u Na v- kazi zisizojulikana kutoka x. Njia hii ya suluhisho inaitwa njia ya Bernoulli.

Algorithm ya kusuluhisha mpangilio tofauti wa mpangilio wa mstari wa kwanza

y" = f(x)y + g(x)

1. Ingiza mbadala y=uv.

2. Tofautisha usawa huu y" = u"v + uv"

3. Mbadala y Na y" katika equation hii: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) au u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Panga masharti ya mlingano ili u iondoe kwenye mabano:

5. Kutoka kwa bracket, ukilinganisha na sifuri, pata kazi

Huu ni mlinganyo unaoweza kutenganishwa:

Wacha tugawanye anuwai na tupate:

Wapi . .

6. Badilisha thamani inayotokana v katika equation (kutoka hatua ya 4):

na upate kazi Hii ni equation iliyo na viambishi vinavyoweza kutenganishwa:

7. Andika suluhisho la jumla katika fomu: , i.e. .

Mfano 1

Tafuta suluhisho mahususi kwa mlinganyo y" = -2y +3 = 0 Kama y =1 katika x = 0

Suluhisho. Wacha tuitatue kwa kutumia mbadala y=uv,.y" = u"v + uv"

Kubadilisha y Na y" katika equation hii, tunapata

Kwa kuweka kambi maneno ya pili na ya tatu upande wa kushoto wa equation, tunachukua sababu ya kawaida u nje ya mabano

Tunalinganisha usemi katika mabano hadi sifuri na, baada ya kusuluhisha equation inayosababishwa, tunapata kazi. v = v(x)

Tunapata equation na vigezo tofauti. Wacha tuunganishe pande zote mbili za mlingano huu: Pata chaguo la kukokotoa v:

Wacha tubadilishe thamani inayosababisha v katika equation tunapata:

Huu ni mlinganyo tofauti uliotenganishwa. Wacha tuunganishe pande zote mbili za equation: Hebu tupate kazi u = wewe (x,c) Wacha tupate suluhisho la jumla: Wacha tupate suluhisho maalum kwa mlinganyo ambao unakidhi masharti ya awali y = 1 katika x = 0:

III. Milinganyo ya tofauti ya mpangilio wa juu

3.1. Dhana za kimsingi na ufafanuzi

Mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa pili ni mlinganyo ulio na viasili vya si zaidi ya mpangilio wa pili. Katika hali ya jumla, equation ya mpangilio wa pili imeandikwa kama: F(x,y,y",y") = 0

Suluhisho la jumla la equation ya mpangilio wa pili ni kazi ya fomu, ambayo inajumuisha viunga viwili vya kiholela. C 1 Na C 2.

Suluhisho fulani la usawa wa mpangilio wa pili ni suluhisho linalopatikana kutoka kwa suluhisho la jumla kwa maadili fulani ya viwango vya kiholela. C 1 Na C 2.

3.2. Milinganyo ya tofauti yenye usawa ya mpangilio wa pili na mgawo wa mara kwa mara.

Mlinganyo wa tofauti wenye usawa wa mpangilio wa pili wenye vigawo vya mara kwa mara inayoitwa equation ya fomu y" + py" +qy = 0, Wapi uk Na q- maadili ya mara kwa mara.

Algorithm ya kusuluhisha milinganyo ya tofauti ya mpangilio wa pili wa homogeneous na coefficients ya mara kwa mara

1. Andika mlinganyo wa kutofautisha katika fomu: y" + py" +qy = 0.

2. Unda equation yake ya tabia, inayoashiria y" kupitia r 2, y" kupitia r, y katika 1: r 2 + pr +q = 0

1. Mbinu ya uingizwaji: kutoka kwa mlingano wowote wa mfumo tunaeleza moja isiyojulikana kupitia nyingine na kuibadilisha katika mlinganyo wa pili wa mfumo.

Kazi. Tatua mfumo wa equations:

Suluhisho. Kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo tunaelezea katika kupitia X na kuibadilisha katika equation ya pili ya mfumo. Wacha tupate mfumo sawa na ile ya awali.

Baada ya kuleta masharti sawa, mfumo utachukua fomu:

Kutoka kwa equation ya pili tunapata:. Kubadilisha thamani hii kwenye mlinganyo katika = 2 - 2X, tunapata katika= 3. Kwa hiyo, suluhisho la mfumo huu ni jozi ya namba.

2. Mbinu ya kuongeza algebra: Kwa kuongeza equations mbili, unapata equation na variable moja.

Kazi. Tatua equation ya mfumo:

Suluhisho. Kuzidisha pande zote mbili za equation ya pili na 2, tunapata mfumo sawa na ile ya awali. Kuongeza hesabu mbili za mfumo huu, tunafika kwenye mfumo

Baada ya kuleta masharti sawa, mfumo huu utachukua fomu: Kutoka kwa equation ya pili tunapata. Kubadilisha thamani hii katika mlinganyo wa 3 X + 4katika= 5, tunapata , wapi. Kwa hiyo, suluhisho la mfumo huu ni jozi ya namba.

3. Mbinu ya kutambulisha vigeu vipya: tunatafuta misemo inayojirudia katika mfumo, ambayo tutaashiria kwa vigeu vipya, na hivyo kurahisisha mwonekano wa mfumo.

Kazi. Tatua mfumo wa equations:

Suluhisho. Wacha tuandike mfumo huu tofauti:

Hebu x + y = wewe, xy = v. Kisha tunapata mfumo

Wacha tuitatue kwa kutumia njia mbadala. Kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo tunaelezea u kupitia v na kuibadilisha katika equation ya pili ya mfumo. Wacha tupate mfumo hizo.

Kutoka kwa equation ya pili ya mfumo tunapata v 1 = 2, v 2 = 3.

Kubadilisha maadili haya kwenye equation u = 5 - v, tunapata u 1 = 3,
u 2 = 2. Kisha tuna mifumo miwili

Kutatua mfumo wa kwanza, tunapata jozi mbili za nambari (1; 2), (2; 1). Mfumo wa pili hauna suluhu.

Mazoezi ya kazi ya kujitegemea

1. Tatua mifumo ya milinganyo kwa kutumia njia mbadala.

Mifumo ya equations hutumiwa sana katika sekta ya kiuchumi kwa uundaji wa hesabu wa michakato mbalimbali. Kwa mfano, wakati wa kutatua matatizo ya usimamizi na mipango ya uzalishaji, njia za vifaa (tatizo la usafiri) au uwekaji wa vifaa.

Mifumo ya equations haitumiwi tu katika hisabati, lakini pia katika fizikia, kemia na biolojia, wakati wa kutatua matatizo ya kutafuta ukubwa wa idadi ya watu.

Mfumo wa milinganyo ya mstari ni milinganyo miwili au zaidi yenye vigezo kadhaa ambavyo ni muhimu kupata suluhisho la kawaida. Msururu kama huo wa nambari ambao milinganyo yote inakuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kuwa mfuatano huo haupo.

Mlinganyo wa mstari

Milinganyo ya fomu ax+by=c inaitwa linear. Majina x, y ni majina yasiyojulikana ambayo thamani yake lazima ipatikane, b, a ni mgawo wa viambajengo, c ni neno lisilolipishwa la mlinganyo.
Kutatua equation kwa kupanga njama itaonekana kama mstari wa moja kwa moja, pointi zote ambazo ni suluhisho kwa polynomial.

Aina za mifumo ya milinganyo ya mstari

Mifano rahisi zaidi inachukuliwa kuwa mifumo ya milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili X na Y.

F1(x, y) = 0 na F2(x, y) = 0, ambapo F1,2 ni vitendaji na (x, y) ni vigezo vya chaguo za kukokotoa.

Tatua mfumo wa milinganyo - hii inamaanisha kupata thamani (x, y) ambapo mfumo unageuka kuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kwamba thamani zinazofaa za x na y hazipo.

Jozi ya maadili (x, y), iliyoandikwa kama kuratibu za nukta, inaitwa suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari.

Ikiwa mifumo ina suluhisho moja la kawaida au hakuna suluhisho lipo, huitwa sawa.

Mifumo ya usawa ya milinganyo ya mstari ni mifumo ambayo upande wake wa kulia ni sawa na sifuri. Ikiwa sehemu ya kulia baada ya ishara sawa ina thamani au imeonyeshwa na chaguo la kukokotoa, mfumo kama huo ni tofauti.

Idadi ya vigezo inaweza kuwa zaidi ya mbili, basi tunapaswa kuzungumza juu ya mfano wa mfumo wa equations linear na vigezo tatu au zaidi.

Wakati wanakabiliwa na mifumo, watoto wa shule wanadhani kwamba idadi ya equations lazima lazima sanjari na idadi ya haijulikani, lakini hii sivyo. Idadi ya milinganyo kwenye mfumo haitegemei vigeuzo; kunaweza kuwa na nyingi kama unavyotaka.

Njia rahisi na ngumu za kutatua mifumo ya equations

Hakuna njia ya jumla ya uchanganuzi ya kutatua mifumo kama hii; njia zote zinatokana na suluhu za nambari. Kozi ya hisabati ya shule inaelezea kwa undani mbinu kama vile vibali, nyongeza za aljebra, uingizwaji, na pia njia za picha na matrix, suluhisho kwa njia ya Gaussian.

Kazi kuu wakati wa kufundisha njia za suluhisho ni kufundisha jinsi ya kuchambua mfumo kwa usahihi na kupata algorithm ya suluhisho bora kwa kila mfano. Jambo kuu sio kukariri mfumo wa sheria na vitendo kwa kila njia, lakini kuelewa kanuni za kutumia njia fulani.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari katika mtaala wa elimu ya jumla wa darasa la 7 ni rahisi sana na inaelezewa kwa kina sana. Katika kitabu chochote cha hisabati, sehemu hii inapewa umakini wa kutosha. Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss na Cramer inasomwa kwa undani zaidi katika miaka ya kwanza ya elimu ya juu.

Kutatua mifumo kwa kutumia njia mbadala

Vitendo vya njia ya uingizwaji vinalenga kuelezea thamani ya kigezo kimoja katika suala la pili. Usemi huo hubadilishwa kuwa mlinganyo uliobaki, kisha hupunguzwa kuwa fomu yenye kigezo kimoja. Kitendo kinarudiwa kulingana na idadi ya haijulikani kwenye mfumo

Wacha tutoe suluhisho kwa mfano wa mfumo wa hesabu za mstari wa darasa la 7 kwa kutumia njia mbadala:

Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano, kigezo cha x kilionyeshwa kupitia F(X) = 7 + Y. Usemi uliotokana, uliowekwa badala ya mlingano wa 2 wa mfumo badala ya X, ulisaidia kupata kigezo kimoja cha Y katika mlingano wa 2. . Kutatua mfano huu ni rahisi na inakuwezesha kupata thamani ya Y. Hatua ya mwisho ni kuangalia maadili yaliyopatikana.

Si mara zote inawezekana kutatua mfano wa mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kubadilisha. Milinganyo inaweza kuwa changamano na kuelezea kutofautisha katika suala la pili isiyojulikana itakuwa ngumu sana kwa hesabu zaidi. Wakati kuna zaidi ya 3 zisizojulikana katika mfumo, kutatua kwa kubadilisha pia siofaa.

Suluhisho la mfano wa mfumo wa milinganyo isiyo na usawa ya mstari:

Suluhisho kwa kutumia nyongeza ya algebra

Wakati wa kutafuta suluhu za mifumo kwa kutumia njia ya kuongeza, milinganyo huongezwa kwa muda na mrefu na kuzidishwa na nambari mbalimbali. Lengo kuu la shughuli za hisabati ni mlinganyo katika kigezo kimoja.

Utumiaji wa njia hii unahitaji mazoezi na uchunguzi. Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya kuongeza wakati kuna vigeu 3 au zaidi si rahisi. Nyongeza ya aljebra ni rahisi kutumia wakati milinganyo ina sehemu na desimali.

Algorithm ya suluhisho:

Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari fulani. Kama matokeo ya utendakazi wa hesabu, moja ya mgawo wa kutofautisha inapaswa kuwa sawa na 1.
Ongeza neno linalotokana na usemi kwa muhula na upate mojawapo ya yasiyojulikana.
Badilisha thamani inayotokana na mlingano wa 2 wa mfumo ili kupata kigezo kilichosalia.

Njia ya suluhisho kwa kuanzisha kigezo kipya

Tofauti mpya inaweza kuletwa ikiwa mfumo unahitaji kutafuta suluhu kwa si zaidi ya milinganyo miwili; idadi ya zisizojulikana pia zinapaswa kuwa zisizozidi mbili.

Njia hiyo hutumiwa kurahisisha mojawapo ya milinganyo kwa kuanzisha kigezo kipya. Equation mpya inatatuliwa kwa iliyoanzishwa haijulikani, na thamani inayotokana hutumiwa kuamua kutofautiana kwa asili.

Mfano unaonyesha kuwa kwa kuanzisha kigezo kipya cha t, iliwezekana kupunguza mlingano wa 1 wa mfumo hadi utatu wa kawaida wa quadratic. Unaweza kutatua polynomial kwa kutafuta kibaguzi.

Ni muhimu kupata thamani ya kibaguzi kwa kutumia formula inayojulikana: D = b2 - 4 * a * c, ambapo D ni kibaguzi kinachohitajika, b, a, c ni sababu za polynomial. Katika mfano uliopeanwa, a=1, b=16, c=39, kwa hivyo D=100. Ikiwa ubaguzi ni mkubwa kuliko sifuri, basi kuna ufumbuzi mbili: t = -b±√D / 2*a, ikiwa ubaguzi ni chini ya sifuri, basi kuna suluhisho moja: x = -b / 2*a.

Suluhisho la mifumo inayotokana hupatikana kwa njia ya kuongeza.

Njia ya kuona ya kutatua mifumo

Inafaa kwa mifumo 3 ya equation. Njia hiyo inajumuisha kuunda grafu za kila equation iliyojumuishwa kwenye mfumo kwenye mhimili wa kuratibu. Kuratibu za pointi za makutano ya curves itakuwa suluhisho la jumla la mfumo.

Njia ya graphical ina idadi ya nuances. Wacha tuangalie mifano kadhaa ya utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari kwa njia ya kuona.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, kwa kila mstari pointi mbili zilijengwa, maadili ya kutofautiana x yalichaguliwa kiholela: 0 na 3. Kulingana na maadili ya x, maadili ya y yalipatikana: 3 na 0. Pointi zilizo na kuratibu (0, 3) na (3, 0) ziliwekwa alama kwenye grafu na kuunganishwa na mstari.

Hatua lazima zirudiwe kwa equation ya pili. Hatua ya makutano ya mistari ni suluhisho la mfumo.

Mfano ufuatao unahitaji kupata suluhu la picha kwa mfumo wa milinganyo ya mstari: 0.5x-y+2=0 na 0.5x-y-1=0.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, mfumo hauna suluhisho, kwa sababu grafu ni sawa na haziingiliani kwa urefu wao wote.

Mifumo kutoka kwa mifano 2 na 3 ni sawa, lakini inapojengwa inakuwa dhahiri kuwa suluhisho zao ni tofauti. Ikumbukwe kwamba si mara zote inawezekana kusema kama mfumo una suluhisho au la; ni muhimu kila wakati kuunda grafu.

Matrix na aina zake

Matrices hutumiwa kuandika kwa ufupi mfumo wa milinganyo ya mstari. Matrix ni aina maalum ya meza iliyojaa nambari. n*m ina n - safu mlalo na safu wima m.

Matrix ni mraba wakati idadi ya safu na safu ni sawa. Vekta ya matrix ni matrix ya safu wima moja yenye idadi isiyo na kikomo ya safu mlalo. Matrix iliyo na zile pamoja na moja ya diagonals na vipengele vingine vya sifuri inaitwa utambulisho.

Matrix inverse ni matrix inapozidishwa ambayo ya asili inabadilika kuwa matrix ya kitengo; matrix kama hiyo inapatikana tu kwa mraba wa asili.

Sheria za kubadilisha mfumo wa milinganyo kuwa matrix

Kuhusiana na mifumo ya milinganyo, mgawo na masharti huru ya milinganyo huandikwa kama nambari za matrix; mlinganyo mmoja ni safu mlalo moja ya matriki.

Safu mlalo ya matrix inasemekana kuwa isiyo na zero ikiwa angalau kipengele kimoja cha safu mlalo si sifuri. Kwa hiyo, ikiwa katika equations yoyote idadi ya vigezo hutofautiana, basi ni muhimu kuingia sifuri mahali pa kukosa haijulikani.

Safu wima za matrix lazima zilingane kabisa na vigeuzo. Hii ina maana kwamba coefficients ya kutofautiana x inaweza kuandikwa tu katika safu moja, kwa mfano ya kwanza, mgawo wa y haijulikani - tu kwa pili.

Wakati wa kuzidisha matrix, vitu vyote vya matrix huzidishwa kwa mpangilio na nambari.

Chaguzi za kutafuta matrix inverse

Njia ya kupata matrix inverse ni rahisi sana: K -1 = 1 / |K|, ambapo K -1 ni tumbo kinyume, na |K| ni kiashiria cha matrix. |K| lazima isiwe sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho.

Kiamuzi kinahesabiwa kwa urahisi kwa matrix mbili kwa mbili; unahitaji tu kuzidisha vitu vya diagonal kwa kila mmoja. Kwa chaguo la "tatu kwa tatu", kuna fomula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Unaweza kutumia fomula, au unaweza kukumbuka kuwa unahitaji kuchukua kipengee kimoja kutoka kwa kila safu na kila safu ili nambari za safu na safu za vitu zisirudiwe kwenye kazi.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix

Njia ya matrix ya kupata suluhisho hukuruhusu kupunguza maingizo magumu wakati wa kutatua mifumo yenye idadi kubwa ya anuwai na equations.

Katika mfano, nm ni coefficients ya equations, matrix ni vector x n ni vigezo, na b n ni masharti ya bure.

Mifumo ya kutatua kwa kutumia njia ya Gaussian

Katika hisabati ya juu, njia ya Gaussian inasomwa pamoja na njia ya Cramer, na mchakato wa kutafuta ufumbuzi wa mifumo inaitwa njia ya ufumbuzi wa Gauss-Cramer. Njia hizi hutumiwa kupata vigezo vya mifumo yenye idadi kubwa ya milinganyo ya mstari.

Njia ya Gauss inafanana sana na suluhu kwa kubadilisha na kuongeza aljebra, lakini ni ya kimfumo zaidi. Katika kozi ya shule, suluhisho kwa njia ya Gaussian hutumiwa kwa mifumo ya 3 na 4 equations. Madhumuni ya njia ni kupunguza mfumo kwa fomu ya trapezoid inverted. Kwa njia ya mabadiliko ya aljebra na mbadala, thamani ya kutofautiana moja inapatikana katika mojawapo ya milinganyo ya mfumo. Mlinganyo wa pili ni usemi ulio na 2 zisizojulikana, wakati 3 na 4 ziko, mtawaliwa, na 3 na 4 anuwai.

Baada ya kuleta mfumo kwa fomu iliyoelezwa, suluhisho zaidi linapunguzwa kwa uingizaji wa mfululizo wa vigezo vinavyojulikana katika equations ya mfumo.

Katika vitabu vya kiada vya shule kwa darasa la 7, mfano wa suluhisho kwa njia ya Gauss umeelezewa kama ifuatavyo:

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, katika hatua (3) milinganyo miwili ilipatikana: 3x 3 -2x 4 = 11 na 3x 3 +2x 4 =7. Kutatua milinganyo yoyote itakuruhusu kujua moja ya vigeuzo x n.

Nadharia ya 5, ambayo imetajwa katika maandishi, inasema kwamba ikiwa moja ya equations ya mfumo inabadilishwa na sawa, basi mfumo wa matokeo pia utakuwa sawa na wa awali.

Mbinu ya Gaussian ni ngumu kwa wanafunzi wa shule ya kati kuelewa, lakini ni mojawapo ya njia za kuvutia zaidi za kukuza werevu wa watoto waliojiandikisha katika programu za juu za kujifunza katika madarasa ya hesabu na fizikia.

Kwa urahisi wa kurekodi, mahesabu kawaida hufanywa kama ifuatavyo:

Coefficients ya equations na maneno ya bure yameandikwa kwa namna ya matrix, ambapo kila safu ya matrix inafanana na moja ya equations ya mfumo. hutenganisha upande wa kushoto wa equation kutoka kulia. Nambari za Kirumi zinaonyesha nambari za milinganyo kwenye mfumo.

Kwanza, andika matrix ya kufanyiwa kazi, kisha vitendo vyote vinavyofanywa na safu moja ya safu. Matrix inayosababishwa imeandikwa baada ya ishara ya "mshale" na shughuli muhimu za algebra zinaendelea hadi matokeo yanapatikana.

Matokeo yake yanapaswa kuwa matrix ambayo moja ya diagonals ni sawa na 1, na coefficients nyingine zote ni sawa na sifuri, yaani, tumbo hupunguzwa kwa fomu ya kitengo. Hatupaswi kusahau kufanya mahesabu na nambari za pande zote za equation.

Njia hii ya kurekodi sio ngumu sana na hukuruhusu usikengeushwe kwa kuorodhesha mengi yasiyojulikana.

Matumizi ya bure ya njia yoyote ya ufumbuzi itahitaji huduma na uzoefu fulani. Sio njia zote ni za asili ya kutumika. Njia zingine za kupata suluhisho zinapendekezwa zaidi katika eneo fulani la shughuli za wanadamu, wakati zingine zipo kwa madhumuni ya kielimu.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Milinganyo na mifumo ya milinganyo ya shahada ya kwanza

Nambari mbili au misemo yoyote iliyounganishwa na fomu ya ishara "=" usawa. Ikiwa nambari au misemo iliyopewa ni sawa kwa maadili yoyote ya herufi, basi usawa kama huo unaitwa utambulisho.

Kwa mfano, wanapodai hivyo kwa yoyote A halali:

A + 1 = 1 + A, hapa usawa ni utambulisho.

Mlingano inaitwa usawa ulio na nambari zisizojulikana zinazoonyeshwa kwa herufi. Barua hizi zinaitwa haijulikani. Kunaweza kuwa na mambo kadhaa yasiyojulikana katika equation.

Kwa mfano, katika equation 2 X + katika = 7X- 3 mbili zisizojulikana: X Na katika.

Usemi upande wa kushoto katika equation (2 X + katika) inaitwa upande wa kushoto wa mlinganyo, na usemi ulio upande wa kulia wa mlinganyo (7 X- 3), inaitwa upande wake wa kulia.

Thamani ya haijulikani ambayo equation inakuwa utambulisho inaitwa uamuzi au mzizi milinganyo

Kwa mfano, ikiwa katika equation 3 X+ 7=13 badala ya kutojulikana X badilisha nambari 2, tunapata kitambulisho. Kwa hiyo, thamani X= 2 inatosheleza mlinganyo uliotolewa na nambari 2 ndio suluhu au mzizi wa mlinganyo uliotolewa.

Milinganyo miwili inaitwa sawa(au sawa), ikiwa suluhu zote za mlinganyo wa kwanza ni suluhu la pili na kinyume chake, suluhu zote za mlinganyo wa pili ni suluhu za kwanza. Milinganyo sawa pia inajumuisha milinganyo ambayo haina suluhu.

Kwa mfano, milinganyo 2 X- 5 = 11 na 7 X+ 6 = 62 ni sawa kwa kuwa wana mzizi sawa X= 8; milinganyo X + 2 = X+ 5 na 2 X + 7 = 2X ni sawa kwa sababu zote mbili hazina suluhu.

Tabia za milinganyo sawa

1. Kwa pande zote mbili za equation unaweza kuongeza usemi wowote unaoeleweka kwa maadili yote yanayoruhusiwa ya haijulikani; equation inayotokana itakuwa sawa na ile iliyotolewa.

Mfano. Equation 2 X- 1 = 7 ina mzizi X= 4. Kuongeza 5 kwa pande zote mbili, tunapata equation 2 X- 1 + 5 = 7 + 5 au 2 X+ 4 = 12, ambayo ina mzizi sawa X = 4.

2. Ikiwa pande zote mbili za equation zina masharti yanayofanana, basi zinaweza kuachwa.

Mfano. Mlinganyo wa 9 x + 5X = 18 + 5X ina mzizi mmoja X= 2. Kuacha 5 katika sehemu zote mbili X, tunapata equation 9 X= 18, ambayo ina mizizi sawa X = 2.

3. Mwanachama yeyote wa equation anaweza kuhamishwa kutoka sehemu moja ya equation hadi nyingine kwa kubadilisha ishara yake hadi kinyume.

Mfano. Equation 7 X - 11 = 3 ina mzizi mmoja X= 2. Ikiwa tunasonga 11 kwa upande wa kulia na ishara kinyume, tunapata equation 7 X= 3 + 11, ambayo ina suluhisho sawa X = 2.

4. Pande zote mbili za equation zinaweza kuzidishwa na usemi wowote (nambari) unaoeleweka na ni tofauti na sifuri kwa maadili yote yanayokubalika ya yasiyojulikana, equation inayotokana itakuwa sawa na ile iliyotolewa.

Mfano. Equation 2 X - 15 = 10 – 3X ina mizizi X= 5. Kuzidisha pande zote mbili kwa 3, tunapata equation 3 (2 X - 15) = 3(10 – 3X) au 6 X – 45 =30 – 9X, ambayo ina mizizi sawa X = 5.

5. Ishara za masharti yote ya equation zinaweza kubadilishwa (hii ni sawa na kuzidisha pande zote mbili kwa (-1)).

Mfano. Equation - 3 x + 7 = - 8 baada ya kuzidisha pande zote mbili kwa (-1) itachukua fomu ya 3 X - 7 = 8. Mlinganyo wa kwanza na wa pili una mzizi mmoja X = 5.

6. Pande zote mbili za equation zinaweza kugawanywa kwa nambari sawa ambayo ni tofauti na sifuri (yaani, si sawa na sifuri).

Mfano..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28">, sawa na hii, kwa kuwa ina mizizi miwili sawa: na https: / /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> baada ya kuzidisha sehemu zote mbili kwa 14 itaonekana kama:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, nambari kiholela ziko wapi, X- haijulikani inaitwa equation ya shahada ya kwanza na moja isiyojulikana(au mstari equation na moja isiyojulikana).

Mfano. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Equation ya shahada ya kwanza na isiyojulikana daima ina suluhisho moja; equation ya mstari inaweza isiwe na suluhu () au iwe na idadi isiyo na kikomo (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.

Suluhisho. Zidisha istilahi zote katika mlingano kwa kizidishio kisicho cha kawaida zaidi cha vipashio, ambacho ni 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Wacha tuweke katika sehemu moja (kushoto) masharti yaliyo na haijulikani, na katika sehemu nyingine (kulia) - maneno ya bure:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Kugawanya sehemu zote mbili kwa (-22), tunapata X = 7.

Mifumo ya milinganyo miwili ya shahada ya kwanza na mbili zisizojulikana

Mlinganyo wa fomu https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> unaitwa equation ya shahada ya kwanza na mbili zisizojulikana x Na katika. Ikiwa suluhu za jumla za hesabu mbili au zaidi zinapatikana, basi wanasema kwamba hesabu hizi huunda mfumo; kwa kawaida huandikwa moja chini ya nyingine na kuunganishwa na brace ya curly, kwa mfano.

Kila jozi ya maadili yasiyojulikana ambayo wakati huo huo inakidhi hesabu zote mbili za mfumo inaitwa suluhisho la mfumo. Tatua mfumo- hii inamaanisha kutafuta suluhisho zote za mfumo huu au kuonyesha kuwa hauna. Mifumo miwili ya equations inaitwa sawa (sawa), ikiwa suluhisho zote za moja yao ni suluhisho za nyingine na kinyume chake, suluhisho zote za nyingine ni suluhisho za kwanza.

Kwa mfano, suluhisho la mfumo ni jozi ya nambari X= 4 na katika= 3. Nambari hizi pia ni suluhisho pekee kwa mfumo . Kwa hiyo, mifumo hii ya equations ni sawa.

Njia za kutatua mifumo ya equations

1. Njia ya kuongeza algebraic. Ikiwa mgawo wa baadhi isiyojulikana katika milinganyo yote miwili ni sawa kwa thamani kamili, basi kwa kuongeza milinganyo zote mbili (au kutoa moja kutoka kwa nyingine), unaweza kupata mlinganyo na moja isiyojulikana. Kwa kutatua equation hii, moja haijulikani imedhamiriwa, na kwa kuibadilisha katika moja ya equations ya mfumo, pili haijulikani hupatikana.

Mifano: Tatua mifumo ya milinganyo: 1) .

Hapa ni coefficients kwa katika ni sawa kwa thamani kamili, lakini kinyume katika ishara. Ili kupata equation na moja isiyojulikana, tunaongeza milinganyo ya neno la mfumo kwa muda:

Thamani iliyopokelewa X= 4 tunabadilisha katika mlinganyo fulani wa mfumo, kwa mfano katika ule wa kwanza, na kupata thamani katika: .

Jibu: X = 4; katika = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Mbinu ya uingizwaji. Kutoka kwa mlinganyo wowote wa mfumo, tunaeleza moja ya zisizojulikana kupitia nyingine, na kisha kubadilisha thamani ya hii isiyojulikana katika milinganyo iliyobaki. Wacha tuangalie njia hii kwa kutumia mifano maalum:

1) Wacha tusuluhishe mfumo wa milinganyo. Hebu tueleze moja ya haijulikani kutoka kwa equation ya kwanza, kwa mfano X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Hebu tubadilishe katika= 1 katika usemi wa X, tunapata .

Jibu: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. Katika hali hii, ni rahisi kueleza. katika kutoka kwa equation ya pili:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Badilisha thamani X= 5 katika usemi wa katika, tunapata https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Wacha tusuluhishe mfumo wa milinganyo https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Tukibadilisha thamani hii kwenye mlinganyo wa pili, tunapata equation na moja haijulikani katika: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Jibu: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Wacha tuandike tena mfumo katika fomu: . Tunabadilisha zisizojulikana kwa kuweka , na tunapata mfumo wa mstari ..gif" width="11 height=17" height="17"> kwenye mlinganyo wa pili, tunapata mlingano na moja isiyojulikana:

Kubadilisha thamani v katika kujieleza kwa t, tunapata: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> tunapata.

Jibu: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, wapi migawo ya wasiojulikana, https://pandia.ru/text / 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, basi mfumo una kitu pekee suluhisho.

B) Ikiwa https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, basi mfumo una seti isiyo na mwisho maamuzi.

Mfano..gif" width="47" height="48 src=">", ambayo ina maana kwamba mfumo una suluhisho la kipekee.

Kweli, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Mfano..gif" width="91 height=48" height="48"> au baada ya kupunguzwa, kwa hivyo, mfumo hauna suluhu.

Mfano..gif" width="116 height=48" height="48"> au baada ya kupunguzwa , ambayo inamaanisha kuwa mfumo una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.

Milinganyo iliyo na moduli

Wakati wa kutatua milinganyo iliyo na moduli, dhana ya moduli ya nambari halisi hutumiwa. Moduli (thamani kamili) nambari halisi A nambari hii yenyewe inaitwa ikiwa nambari tofauti (- A), ikiwa https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Kwa hivyo, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, kwa kuwa nambari 3 > 0; kwani nambari ni 5< 0, поэтому ; , kwa sababu (); , kwa sababu.

Tabia za moduli:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Ikizingatiwa kuwa usemi ulio chini ya moduli unaweza kuchukua maadili mawili https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, basi mlingano huu inakuja kusuluhisha milinganyo miwili: na au Na ..gif" width="52" height="20 src=">. Hebu tuangalie kwa kubadilisha kila thamani X katika hali: ikiwa https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Jibu: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Mfano..gif" width="408" height="55">

Jibu: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Mfano..gif" width="137" height="20"> na . Weka kando thamani zilizopokelewa X kwenye mstari wa nambari, ukigawanya katika vipindi:

Ikiwa https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, kwa sababu katika muda huu, misemo yote miwili chini ya ishara ya moduli ni chini ya sifuri, na , kuondoa moduli, lazima tubadilishe ishara ya usemi kuwa kinyume. Tatua mlinganyo unaotokana:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Thamani ya mpaka inaweza kujumuishwa katika muda wa kwanza na wa pili, kama vile thamani inavyoweza kujumuishwa katika kipindi cha pili na cha tatu. equation yetu itachukua fomu: - usemi huu hauna maana, i.e. kwa muda huu equation haina suluhisho chini ya ishara ya moduli, tunalinganisha na sifuri. Tunapata mizizi ya misemo yote, na

Muda unaofuata https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, wapi a, b, c- nambari za kiholela ( a≠ 0), na x- variable inayoitwa mraba. Ili kutatua equation kama hiyo, unahitaji kuhesabu kibaguzi D=b 2 – 4ac. Kama D> 0, basi equation ya quadratic ina suluhu mbili (mizizi): Na .

Kama D= 0, equation ya quadratic ni wazi ina suluhu mbili zinazofanana (multiples of the root).

Kama D< 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ikiwa moja ya coefficients b au c ni sawa na sifuri, basi equation ya quadratic inaweza kutatuliwa bila kuhesabu kibaguzi:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(shoka+ b)=0

2)shoka 2 + c = 0 shoka 2 = – c; ikiwa https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Kuna utegemezi kati ya hesabu na mizizi ya equation ya quadratic, inayojulikana kama fomula au nadharia ya Vieta:

Biquadratic milinganyo ni milinganyo ya fomu https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, kisha kutoka kwa mlinganyo asili tunapata mlinganyo wa quadratic, kutoka ambayo tunapata katika, na kisha X, kulingana na fomula.

Mfano. Tatua mlinganyo . Hebu tupunguze semi katika pande zote mbili za usawa hadi kiashiria cha kawaida..gif" width="212" height="29 src=">. Tatua mlingano wa quadratic unaotokana: , katika mlinganyo huu a= 1, b= –2,c= -15, basi kibaguzi ni: D=b 2 – 4ac= 64. Mizizi ya mlinganyo: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Tunabadilisha. Kisha mlinganyo huchukua fomu. - equation ya quadratic, wapi a= 1, b= – 4,c= 3, ubaguzi wake ni sawa na: D=b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Mizizi ya equation ya quadratic ni sawa, kwa mtiririko huo: Na .

Mizizi ya equation ya awali , , , ..gif" width="78" height="51">, wapi Pn(x) Na Pm(x) - polynomials ya digrii n Na m kwa mtiririko huo. Sehemu ni sawa na sifuri ikiwa nambari ni sifuri na denominator sio, lakini equation kama hiyo ya polynomia kawaida hupatikana tu baada ya mabadiliko ya muda mrefu, mabadiliko kutoka kwa mlinganyo mmoja hadi mwingine. Katika mchakato wa kutatua, kwa hiyo, kila equation inabadilishwa na mpya, na mpya inaweza kuwa na mizizi mpya. Kufuata mabadiliko haya kwenye mizizi, kuzuia upotezaji wa mizizi na kuwa na uwezo wa kukataa zisizo za lazima ni kazi ya kutatua equations kwa usahihi.

Ni wazi kwamba njia bora ni kuchukua nafasi ya equation moja kila wakati na sawa, basi mizizi ya equation ya mwisho itakuwa mizizi ya moja ya awali. Walakini, njia bora kama hiyo ni ngumu kutekeleza katika mazoezi. Kama sheria, equation inabadilishwa na matokeo yake, ambayo sio sawa nayo, wakati mizizi yote ya equation ya kwanza ni mizizi ya pili, i.e., hakuna upotezaji wa mizizi, lakini zile za nje zinaweza kuonekana (au. inaweza isionekane). Katika kesi wakati angalau mara moja wakati wa mchakato wa mabadiliko equation ilibadilishwa na isiyo sawa, hundi ya lazima ya mizizi iliyosababishwa ni muhimu.

Kwa hivyo, ikiwa uamuzi ulifanywa bila kuchambua usawa na vyanzo vya mizizi ya nje, uthibitishaji ni sehemu ya lazima ya uamuzi. Bila uthibitishaji, suluhisho halitazingatiwa kuwa kamili, hata ikiwa hakuna mizizi ya nje imeonekana. Wakati zinaonekana na hazijatupwa, basi uamuzi huu sio sawa.

Hapa kuna baadhi ya sifa za polynomial:

Mzizi wa polynomial piga thamani x, ambapo polynomial ni sawa na sifuri. Polynomial yoyote ya digrii n ina haswa n mizizi. Ikiwa equation ya polynomial imeandikwa katika fomu, basi , Wapi x 1, x 2,…, xn ndio mizizi ya equation.

Polynomial yoyote ya shahada isiyo ya kawaida na coefficients halisi ina angalau mizizi moja halisi, na kwa ujumla daima ina idadi isiyo ya kawaida ya mizizi halisi. Polynomial ya shahada hata inaweza kuwa na mizizi halisi, na wakati wao, idadi yao ni sawa.

Polynomia chini ya hali yoyote inaweza kutatuliwa katika vipengele vya mstari na trinomia za quadratic na kibaguzi hasi. Ikiwa tunajua mizizi yake x 1, basi Pn(x) = (x -x 1) Pn- 1(x).

Kama Pn(x) = 0 ni equation ya shahada hata, basi kwa kuongeza njia ya kuifanya, unaweza kujaribu kuanzisha mabadiliko ya kutofautiana, kwa msaada ambao kiwango cha equation kitapungua.

Mfano. Tatua mlinganyo:

Mlinganyo huu wa shahada ya tatu (isiyo ya kawaida) inamaanisha kuwa haiwezekani kuanzisha kigezo kisaidizi ambacho kitapunguza kiwango cha mlinganyo. Inapaswa kutatuliwa kwa kuweka upande wa kushoto, ambao tunafungua kwanza mabano na kisha tuandike kwa fomu ya kawaida.

Tunapata: x 3 + 5x – 6 = 0.

Hii ni equation iliyopunguzwa (mgawo kwa kiwango cha juu ni sawa na moja), kwa hiyo tunatafuta mizizi yake kati ya mambo ya muda wa bure - 6. Hizi ni namba ± 1, ± 2, ± 3, ±6. Kubadilisha x = 1 kwenye equation, tunaona hivyo x = 1 ni mzizi wake, hivyo polynomial x 3 + 5x-6 = 0 imegawanywa na ( x - 1) bila kuwaeleza. Wacha tufanye mgawanyiko huu:

x 3 + 5x –6 = 0 x - 1

x 3 – x 2 x 2+x+ 6

x 2 + 5x - 6

x 2-x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x - 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x - 6

Ndiyo maana x 3 + 5x –6 = 0; (x - 1)(x 2+x+ 6) = 0

Equation ya kwanza inatoa mzizi x = 1, ambayo tayari imechaguliwa, na katika equation ya pili D< 0, haina masuluhisho ya kweli. Kwa kuwa ODZ ya equation hii sio lazima kuangalia.

Mfano..gif" width="52" height="21 src=">. Ukizidisha kipengele cha kwanza na cha tatu, na cha pili na cha nne, basi bidhaa hizi zitakuwa na sehemu zinazofanana zinazotegemea. x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Hebu x 2 + 4x = y, kisha tunaandika equation katika fomu ( y – 5)(y - 21) – 297 = 0.

Equation hii ya quadratic ina suluhisho: y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

Ikiwa tunapunguza equation hii kwa denominator ya kawaida, polynomial ya shahada ya nne inaonekana katika nambari. Kwa hivyo, inawezekana kubadilisha mabadiliko ambayo yatapunguza kiwango cha equation. Kwa hiyo, hakuna haja ya kupunguza mara moja equation hii kwa denominator ya kawaida. Hapa unaweza kuona kwamba upande wa kushoto ni jumla ya mraba. Kwa hivyo, unaweza kuiongeza kwa mraba kamili wa jumla au tofauti. Kwa kweli, tutaondoa na kuongeza mara mbili bidhaa ya besi za mraba huu: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, basi y 2 + 18y- 40 = 0. Kwa nadharia ya Vieta y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, na ya pili D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Jibu: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Tunapata equation ya quadratic a(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Milinganyo isiyo na mantiki

Isiyo na akili inayoitwa equation ambayo kutofautisha kumo chini ya ishara ya radical (root ) au chini ya ishara ya kuinua kwa nguvu ya sehemu ()..gif" width="120" height="32"> na kuwa na kikoa sawa cha ufafanuzi wa haijulikani. Wakati wa squaring equation ya kwanza na ya pili, tunapata equation sawa . Masuluhisho ya mlinganyo huu ni masuluhisho ya milinganyo yote miwili isiyo na mantiki.