Mifano juu ya mali ya logarithms. Kutatua Milinganyo ya Logarithmic - Somo la Mwisho

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao, hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logariti mbili zilizo na besi sawa: logi a x na logi a y. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logi a x+ logi a y=logi a (x · y);
logi a x− logi a y=logi a (x : y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (angalia somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Nambari 6 4 + logi 6 9.

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
gogo 6 4 + logi 6 9 = gogo 6 (4 9) = gogo 6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 2 48 - logi 2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
gogo 2 48 - gogo 2 3 = gogo 2 (48: 3) = logi 2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 3 135 - logi 3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
gogo 3 135 - gogo 3 5 = gogo 3 (135: 5) = logi 3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Kwa kweli, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake, i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Pata thamani ya usemi: logi 7 49 6 .

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
kumbukumbu 7 49 6 = 6 kumbukumbu 7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:
[Maelezo ya picha]

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu halisi: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Tuna:

[Maelezo ya picha]

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: logi 2 7. Tangu logi 2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logi ya logarithm itolewe a x. Kisha kwa nambari yoyote c vile vile c> 0 na c≠ 1, usawa ni kweli:
[Maelezo ya picha]
Hasa, ikiwa tunaweka c = x, tunapata:
[Maelezo ya picha]

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 5 16 logi 2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: logi 5 16 = logi 5 2 4 = 4log 5 2; logi 2 25 = logi 2 5 2 = 2logi 2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

[Maelezo ya picha]

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: logi 9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

[Maelezo ya picha]

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

[Maelezo ya picha]

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kiashirio cha shahada inayosimama katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa: kitambulisho cha msingi cha logarithmic.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b kuongeza nguvu kiasi kwamba idadi b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: unapata nambari hii sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:
[Maelezo ya picha]

Kumbuka kwamba logi 25 64 = logi 5 8 - ilichukua tu mraba kutoka msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

[Maelezo ya picha]

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".

logi a a= 1 ni kitengo cha logarithmic. Kumbuka mara moja na kwa wote: logarithm kwa msingi wowote a kutoka kwa msingi huu ni sawa na moja.
logi a 1 = 0 ni sifuri ya logarithmic. Msingi a inaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logarithm ni sawa na sifuri! Kwa sababu a 0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Logarithm ni nini?

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Logarithm ni nini? Jinsi ya kutatua logarithms? Maswali haya yanawachanganya wahitimu wengi. Kijadi, mada ya logarithms inachukuliwa kuwa ngumu, isiyoeleweka na ya kutisha. Hasa milinganyo yenye logariti.

Hii si kweli kabisa. Kabisa! Usiniamini? Sawa. Sasa, katika dakika 10 - 20 tu wewe:

1. Utaelewa logarithm ni nini.

2. Jifunze kutatua darasa zima la milinganyo ya kielelezo. Hata kama haujasikia chochote kuwahusu.

3. Jifunze kuhesabu logarithms rahisi.

Kwa kuongeza, kwa hili utahitaji tu kujua meza ya kuzidisha na jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu ...

Ninahisi kama una shaka ... Sawa, weka alama wakati! Nenda!

Kwanza, suluhisha equation hii kichwani mwako:

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

mali kuu.

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

misingi inayofanana

Log6 4 + log6 9.

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo.

Mifano ya kutatua logarithms

Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Kwa kweli, sheria hizi zote zina mantiki ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x >

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Mpito kwa msingi mpya

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Angalia pia:

Tabia za kimsingi za logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy.

Mali ya msingi ya logarithms

Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Mifano kwa logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

4. Wapi .

Mfano 2. Tafuta x kama

Mfano 3. Hebu thamani ya logarithms itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (angalia somo "Logarithm ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu.

Fomula za Logarithm. Logarithms mifano ya ufumbuzi.

Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Angalia pia:

Logariti ya b kuweka msingi a inaashiria usemi. Kukokotoa logariti inamaanisha kupata nguvu x () ambapo usawa unaridhika

Tabia za kimsingi za logarithm

Inahitajika kujua mali hapo juu, kwani karibu shida zote na mifano zinazohusiana na logarithms zinatatuliwa kwa msingi wao. Sifa zingine za kigeni zinaweza kupatikana kupitia upotoshaji wa hisabati na fomula hizi

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wakati wa kuhesabu fomula ya jumla na tofauti ya logarithm (3.4) unakutana mara nyingi. Zingine ni ngumu kiasi fulani, lakini katika kazi kadhaa zinahitajika sana kwa kurahisisha misemo changamano na kukokotoa thamani zake.

Kesi za kawaida za logarithms

Baadhi ya logariti za kawaida ni zile ambazo msingi ni hata kumi, kielelezo au mbili.
Logariti hadi msingi kumi kwa kawaida huitwa logariti ya desimali na inaashiriwa kwa urahisi na lg(x).

Ni wazi kutokana na kurekodi kwamba mambo ya msingi hayajaandikwa kwenye rekodi. Kwa mfano

Logariti asilia ni logariti ambayo msingi wake ni kielelezo (kilichoonyeshwa na ln(x)).

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy. Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Na logarithm nyingine muhimu kwa msingi wa mbili inaonyeshwa na

Nyingine ya logariti ya chaguo za kukokotoa ni sawa na ile iliyogawanywa na kutofautisha

Logarithm muhimu au kizuia derivative imedhamiriwa na uhusiano

Nyenzo uliyopewa inatosha kwako kutatua darasa pana la shida zinazohusiana na logarithms na logarithms. Ili kukusaidia kuelewa nyenzo, nitatoa mifano michache tu ya kawaida kutoka kwa mtaala wa shule na vyuo vikuu.

Mifano kwa logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

2.
Kwa mali ya tofauti ya logarithm tunayo

3.
Kwa kutumia mali 3.5 tunapata

4. Wapi .

Usemi unaoonekana kuwa changamano hurahisishwa kuunda kwa kutumia sheria kadhaa

Kupata thamani za logarithm

Mfano 2. Tafuta x kama

Suluhisho. Kwa hesabu, tunaomba kwa muhula wa mwisho wa 5 na 13 mali

Tunaiweka kwenye rekodi na kuomboleza

Kwa kuwa misingi ni sawa, tunalinganisha misemo

Logarithm. Kiwango cha kwanza.

Acha thamani ya logariti itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Suluhisho: Wacha tuchukue logariti ya kutofautisha ili kuandika logariti kupitia jumla ya masharti yake.

Huu ni mwanzo tu wa kufahamiana kwetu na logarithms na mali zao. Fanya mazoezi ya kuhesabu, boresha ujuzi wako wa vitendo - hivi karibuni utahitaji maarifa unayopata ili kutatua milinganyo ya logarithmic. Baada ya kusoma njia za kimsingi za kutatua hesabu kama hizo, tutapanua maarifa yako kwa mada nyingine muhimu - usawa wa logarithmic ...

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (angalia somo "Logarithm ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kazi. Pata thamani ya usemi: log6 4 + log6 9.

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Jinsi ya kutatua logarithm

Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

\(a^(b)=c\) \(\Mshale wa kushoto\) \(\logi_(a)(c)=b\)

Hebu tueleze kwa urahisi zaidi. Kwa mfano, \(\logi_(2)(8)\) ni sawa na nguvu ambayo \(2\) lazima inyanyuliwe ili kupata \(8\). Kutokana na hili ni wazi kuwa \(\log_(2)(8)=3\).

Mifano:	\(\logi_(5)(25)=2\)	kwa sababu \(5^(2)=25\)
	\(\logi_(3)(81)=4\)	kwa sababu \(3^(4)=81\)
	\(\logi_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	kwa sababu \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Hoja na msingi wa logarithm

Logarithm yoyote ina "anatomia" ifuatayo:

Hoja ya logarithmu kawaida huandikwa katika kiwango chake, na msingi huandikwa kwa hati karibu na ishara ya logarithmu. Na ingizo hili linasomeka hivi: "logariti ya ishirini na tano hadi tano."

Jinsi ya kuhesabu logarithm?

Ili kuhesabu logarithm, unahitaji kujibu swali: kwa nguvu gani msingi unapaswa kuinuliwa ili kupata hoja?

Kwa mfano, hesabu logariti: a) \(\logi_(4)(16)\) b) \(\logi_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Ni kwa mamlaka gani lazima \(4\) inyanyuliwe ili kupata \(16\)? Ni wazi ya pili. Ndiyo maana:

\(\logi_(4)(16)=2\)

\(\logi_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Ni kwa nguvu gani \(\sqrt(5)\) inapaswa kuinuliwa ili kupata \(1\)? Ni nguvu gani hufanya nambari yoyote ya kwanza? Sifuri, bila shaka!

\(\logi_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Ni kwa nguvu gani \(\sqrt(7)\) inapaswa kuinuliwa ili kupata \(\sqrt(7)\)? Kwanza, nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe.

\(\logi_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Ni kwa uwezo gani \(3\) lazima inyanyuliwe ili kupata \(\sqrt(3)\)? Kutoka tunajua hiyo ni nguvu ya sehemu, ambayo inamaanisha kuwa mzizi wa mraba ni nguvu ya \(\frac(1)(2)\) .

\(\logi_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Mfano : Kokotoa logariti \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Suluhisho :

\(\logi_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Tunahitaji kupata thamani ya logariti, wacha tuiashiria kama x. Sasa hebu tutumie ufafanuzi wa logarithm: \(\logi_(a)(c)=b\) \(\Mshale wa kushoto\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ni nini kinachounganisha \(4\sqrt(2)\) na \(8\)? Mbili, kwa sababu nambari zote mbili zinaweza kuwakilishwa na mbili: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Upande wa kushoto tunatumia sifa za shahada: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) na \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Misingi ni sawa, tunaendelea na usawa wa viashiria
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa \(\frac(2)(5)\)
		Mzizi unaotokana ni thamani ya logarithm

Jibu : \(\logi_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Kwa nini logarithm ilivumbuliwa?

Ili kuelewa hili, hebu tusuluhishe mlinganyo: \(3^(x)=9\). Linganisha tu \(x\) ili kufanya equation ifanye kazi. Bila shaka, \(x=2\).

Sasa suluhisha mlingano: \(3^(x)=8\).x ni sawa na nini? Hiyo ndiyo hatua.

Wenye akili zaidi watasema: "X ni chini kidogo ya mbili." Jinsi ya kuandika nambari hii kwa usahihi? Ili kujibu swali hili, logarithm iligunduliwa. Shukrani kwake, jibu hapa linaweza kuandikwa kama \(x=\log_(3)(8)\).

Ninataka kusisitiza kwamba \(\log_(3)(8)\), kama logarithm yoyote ni nambari tu. Ndiyo, inaonekana isiyo ya kawaida, lakini ni fupi. Kwa sababu ikiwa tungetaka kuiandika kama decimal, ingeonekana kama hii: \(1.892789260714.....\)

Mfano : Tatua mlingano \(4^(5x-4)=10\)

Suluhisho :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) na \(10\) haziwezi kuletwa kwenye msingi sawa. Hii inamaanisha kuwa huwezi kufanya bila logarithm. Wacha tutumie ufafanuzi wa logarithm: \(a^(b)=c\) \(\Mshale wa kushoto\) \(\logi_(a)(c)=b\)
\(\logi_(4)(10)=5x-4\)		Wacha tugeuze equation ili X iko upande wa kushoto
\(5x-4=\logi_(4)(10)\)		Mbele yetu. Hebu tusogeze \(4\) kulia. Na usiogope logarithm, ichukue kama nambari ya kawaida.
\(5x=\logi_(4)(10)+4\)		Gawanya mlinganyo kwa 5
\(x=\)\(\frac(\logi_(4)(10)+4)(5)\)		Huu ndio mzizi wetu. Ndiyo, inaonekana isiyo ya kawaida, lakini hawachagui jibu.

Jibu : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logariti za decimal na asili

Kama ilivyoelezwa katika ufafanuzi wa logariti, msingi wake unaweza kuwa nambari yoyote chanya isipokuwa moja \((a>0, a\neq1)\). Na kati ya besi zote zinazowezekana, kuna mbili ambazo hutokea mara nyingi sana kwamba nukuu fupi maalum iligunduliwa kwa logarithms nao:

Logariti asilia: logariti ambayo msingi wake ni nambari ya Euler \(e\) (sawa na takriban \(2.7182818…\)), na logariti imeandikwa kama \(\ln(a)\).

Hiyo ni, \(\ln(a)\) ni sawa na \(\logi_(e)(a)\)

Logarithmu ya Desimali: Logariti ambayo msingi wake ni 10 umeandikwa \(\lg(a)\).

Hiyo ni, \(\lg(a)\) ni sawa na \(\logi_(10)(a)\), ambapo \(a\) ni nambari fulani.

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Logarithms ina sifa nyingi. Mmoja wao anaitwa "Kitambulisho cha Msingi cha Logarithmic" na inaonekana kama hii:

\(a^(\logi_(a)(c))=c\)

Mali hii inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi. Wacha tuone jinsi fomula hii ilitokea.

Wacha tukumbuke nukuu fupi ya ufafanuzi wa logarithm:

ikiwa \(a^(b)=c\), basi \(\logi_(a)(c)=b\)

Yaani \(b\) ni sawa na \(\logi_(a)(c)\). Kisha tunaweza kuandika \(\log_(a)(c)\) badala ya \(b\) katika fomula \(a^(b)=c\). Ilibadilika \(a^(\log_(a)(c))=c\) - kitambulisho kikuu cha logarithmic.

Unaweza kupata sifa zingine za logarithms. Kwa msaada wao, unaweza kurahisisha na kuhesabu maadili ya misemo na logarithms, ambayo ni ngumu kuhesabu moja kwa moja.

Mfano : Tafuta thamani ya usemi \(36^(\log_(6)(5))\)

Suluhisho :

Jibu : \(25\)

Jinsi ya kuandika nambari kama logarithm?

Kama ilivyoelezwa hapo juu, logarithm yoyote ni nambari tu. Mazungumzo pia ni kweli: nambari yoyote inaweza kuandikwa kama logarithm. Kwa mfano, tunajua kwamba \(\log_(2)(4)\) ni sawa na mbili. Kisha badala ya mbili unaweza kuandika \(\log_(2)(4)\).

Lakini \(\log_(3)(9)\) pia ni sawa na \(2\), ambayo inamaanisha tunaweza pia kuandika \(2=\log_(3)(9)\) . Vivyo hivyo na \(\logi_(5)(25)\), na \(\log_(9)(81)\), nk. Hiyo ni, inageuka

\(2=\logi_(2)(4)=\logi_(3)(9)=\logi_(4)(16)=\logi_(5)(25)=\logi_(6)(36)=\ kumbukumbu_(7)(49)...\)

Kwa hivyo, ikiwa tunahitaji, tunaweza kuandika mbili kama logariti na msingi wowote mahali popote (iwe katika mlingano, katika usemi, au kwa usawa) - tunaandika msingi wa mraba kama hoja.

Ni sawa na mara tatu - inaweza kuandikwa kama \(\logi_(2)(8)\), au kama \(\log_(3)(27)\), au kama \(\logi_(4)( 64) \)... Hapa tunaandika msingi katika mchemraba kama hoja:

\(3=\logi_(2)(8)=\logi_(3)(27)=\logi_(4)(64)=\logi_(5)(125)=\logi_(6)(216)=\ kumbukumbu_(7)(343)...\)

Na nne:

\(4=\logi_(2)(16)=\logi_(3)(81)=\logi_(4)(256)=\logi_(5)(625)=\logi_(6)(1296)=\ kumbukumbu_(7)(2401)...\)

Na minus moja:

\(-1=\) \(\logi_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\logi_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\logi_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\logi_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\logi_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\logi_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Na theluthi moja:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\logi_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Nambari yoyote \(a\) inaweza kuwakilishwa kama logariti yenye msingi \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Mfano : Tafuta maana ya usemi \(\frac(\logi_(2)(14))(1+\logi_(2)(7))\)

Suluhisho :

Jibu : \(1\)

Logariti ya nambari chanya b kuweka msingi a (a>0, a si sawa na 1) ni nambari c hivi kwamba a c = b: logi a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Kumbuka kuwa logariti ya nambari isiyo chanya haijafafanuliwa. Kwa kuongeza, msingi wa logarithm lazima iwe nambari chanya ambayo si sawa na 1. Kwa mfano, ikiwa tunaweka mraba -2, tunapata nambari 4, lakini hii haimaanishi kwamba logarithm kwenye msingi -2 ya 4. ni sawa na 2.

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

logi a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Ni muhimu kwamba upeo wa ufafanuzi wa pande za kulia na za kushoto za formula hii ni tofauti. Upande wa kushoto umefafanuliwa tu kwa b>0, a>0 na ≠ 1. Upande wa kulia umefafanuliwa kwa b yoyote, na hautegemei a hata kidogo. Kwa hivyo, matumizi ya "kitambulisho" cha msingi cha logarithmic wakati wa kutatua equations na kutofautiana inaweza kusababisha mabadiliko katika OD.

Matokeo mawili dhahiri ya ufafanuzi wa logarithm

logi a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
weka logi 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Hakika, wakati wa kuinua nambari kwa nguvu ya kwanza, tunapata nambari sawa, na wakati wa kuinua kwa nguvu ya sifuri, tunapata moja.

Logariti ya bidhaa na logariti ya mgawo

logi a (b c) = logi a b + logi a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Rekodi a b c = weka a b - weka kumbukumbu a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ningependa kuwaonya watoto wa shule dhidi ya kutumia fomula hizi bila kufikiria wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa. Wakati wa kuzitumia "kutoka kushoto kwenda kulia," ODZ hupungua, na wakati wa kusonga kutoka kwa jumla au tofauti ya logarithm hadi logarithm ya bidhaa au mgawo, ODZ hupanua.

Hakika, neno logi a (f (x) g (x)) hufafanuliwa katika hali mbili: wakati chaguo za kukokotoa zote mbili ni chanya kabisa au wakati f(x) na g(x) zote zikiwa chini ya sifuri.

Kubadilisha usemi huu kuwa logi ya jumla a f (x) + logi a g (x), tunalazimika kujiwekea kikomo tu wakati f(x)>0 na g(x)>0. Kuna upungufu wa anuwai ya maadili yanayokubalika, na hii haikubaliki kabisa, kwani inaweza kusababisha upotezaji wa suluhisho. Tatizo kama hilo lipo kwa formula (6).

Shahada inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya logarithm

logi a b p = p logi a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Na tena ningependa kutoa wito kwa usahihi. Fikiria mfano ufuatao:

Rekodi a (f (x) 2 = 2 logi a f (x)

Upande wa kushoto wa usawa ni dhahiri umefafanuliwa kwa maadili yote ya f(x) isipokuwa sifuri. Upande wa kulia ni wa f(x)>0 pekee! Kwa kuchukua digrii kutoka kwa logarithm, tunapunguza tena ODZ. Utaratibu wa kurudi nyuma husababisha upanuzi wa anuwai ya maadili yanayokubalika. Maneno haya yote hayatumiki tu kwa nguvu 2, lakini pia kwa nguvu yoyote hata.

Mfumo wa kuhamia msingi mpya

logi a b = gogo c b logi c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Kesi hiyo adimu wakati ODZ haibadilika wakati wa mabadiliko. Ikiwa umechagua msingi c kwa busara (chanya na si sawa na 1), fomula ya kuhamia msingi mpya ni salama kabisa.

Tukichagua nambari b kama msingi mpya c, tutapata kiposhi muhimu cha fomula (8):

Rekodi a b = logi 1 b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Baadhi ya mifano rahisi na logarithms

Mfano 1. Kuhesabu: log2 + log50.
Suluhisho. log2 + log50 = log100 = 2. Tulitumia jumla ya fomula ya logarithmu (5) na ufafanuzi wa logarithm ya desimali.

Mfano 2. Kuhesabu: lg125/lg5.
Suluhisho. log125/log5 = logi 5 125 = 3. Tulitumia fomula ya kuhamia msingi mpya (8).

Jedwali la fomula zinazohusiana na logariti

logi a b = b (a > 0, a ≠ 1)

weka a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

weka 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

logi a (b c) = logi a b + logi a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

logi a b c = logi a b − logi a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

logi a b p = p logi a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

logi a b = logi c b logi c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

logi a b = logi 1 b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)