Utumiaji wa njia ya induction ya hisabati katika kutatua shida. Ukuzaji wa kimbinu "njia ya utangulizi wa hisabati"

NJIA YA UONGOZI WA HISABATI

Neno introduktionsutbildning katika Kirusi ina maana ya mwongozo, na hitimisho kulingana na uchunguzi, majaribio, i.e. inaitwa kufata. kupatikana kwa makisio kutoka kwa mahususi hadi kwa jumla.

Kwa mfano, kila siku tunaona kwamba Jua linatoka mashariki. Kwa hiyo, unaweza kuwa na uhakika kwamba kesho itaonekana mashariki, na sio magharibi. Tunatoa hitimisho hili bila kuamua mawazo yoyote juu ya sababu ya harakati ya Jua angani (zaidi ya hayo, harakati hii yenyewe inageuka kuwa dhahiri, kwani ulimwengu unasonga). Na bado hitimisho hili la kufata neno kwa usahihi linaelezea uchunguzi tutakaofanya kesho.

Jukumu la hitimisho kwa kufata neno katika sayansi ya majaribio ni kubwa sana. Wanatoa masharti ambayo mahitimisho zaidi yanatolewa kwa kukatwa. Na ingawa mechanics ya kinadharia inategemea sheria tatu za mwendo za Newton, sheria hizi zenyewe zilikuwa matokeo ya kufikiria kwa kina kupitia data ya majaribio, haswa sheria za Kepler za mwendo wa sayari, ambazo alizipata kutokana na usindikaji wa uchunguzi wa miaka mingi na mwanaanga wa Denmark Tycho. Brahe. Uchunguzi na introduktionsutbildning kugeuka kuwa muhimu katika siku zijazo kwa ajili ya kufafanua mawazo yaliyotolewa. Baada ya majaribio ya Michelson juu ya kupima kasi ya mwanga katika kati ya kusonga, iligeuka kuwa muhimu kufafanua sheria za fizikia na kuunda nadharia ya uhusiano.

Katika hisabati, jukumu la introduktionsutbildning ni kwa kiasi kikubwa kwamba ni msingi wa axiomatics iliyochaguliwa. Baada ya mazoezi ya muda mrefu kuonyesha kuwa njia iliyonyooka kila wakati ni fupi kuliko iliyopinda au iliyovunjika, ilikuwa asili kuunda axiom: kwa alama tatu A, B na C, usawa.

Dhana ya kufuata, ambayo ni msingi wa hesabu, pia ilionekana kutokana na uchunguzi wa malezi ya askari, meli na seti nyingine zilizoagizwa.

Walakini, mtu haipaswi kufikiria kuwa hii inamaliza jukumu la ujanibishaji katika hisabati. Kwa kweli, hatupaswi kujaribu nadharia zilizotolewa kimantiki kutoka kwa axioms kwa majaribio: ikiwa hakuna makosa ya kimantiki yaliyofanywa wakati wa uchanganuzi, basi ni za kweli kwa kadiri misemo tuliyokubali ni kweli. Lakini taarifa nyingi zinaweza kutolewa kutoka kwa mfumo huu wa axioms. Na uteuzi wa taarifa hizo zinazohitaji kuthibitishwa tena unapendekezwa na introduktionsutbildning. Ni hii ambayo hukuruhusu kutenganisha nadharia muhimu kutoka kwa zisizo na maana, inaonyesha ni nadharia gani zinaweza kugeuka kuwa kweli, na hata kusaidia kuelezea njia ya uthibitisho.

Kiini cha njia ya induction ya hisabati

Katika matawi mengi ya hesabu, aljebra, jiometri, na uchanganuzi, ni muhimu kuthibitisha ukweli wa sentensi A(n) kulingana na tofauti asilia. Uthibitisho wa ukweli wa pendekezo A(n) kwa maadili yote ya kutofautisha mara nyingi unaweza kufanywa na njia ya induction ya hisabati, ambayo inategemea kanuni ifuatayo.

Pendekezo A(n) linachukuliwa kuwa kweli kwa maadili yote asilia ya kutofautisha ikiwa masharti mawili yafuatayo yanatimizwa:

Hoja A(n) ni kweli kwa n=1.

Kutoka kwa dhana kwamba A(n) ni kweli kwa n=k (ambapo k ni nambari yoyote asilia), inafuata kwamba ni kweli kwa thamani inayofuata n=k+1.

Kanuni hii inaitwa kanuni ya induction ya hisabati. Kawaida huchaguliwa kama moja ya axioms inayofafanua safu asili ya nambari, na kwa hivyo inakubaliwa bila uthibitisho.

Njia ya uingizaji wa hisabati ina maana ya njia ifuatayo ya uthibitisho. Ikiwa unataka kuthibitisha ukweli wa sentensi A(n) kwa yote asilia n, basi, kwanza, unapaswa kuangalia ukweli wa taarifa A(1) na, pili, kuchukulia ukweli wa taarifa A(k), jaribu kuthibitisha kwamba taarifa A(k +1) ni kweli. Ikiwa hii inaweza kuthibitishwa, na uthibitisho unabaki kuwa halali kwa kila thamani ya asili ya k, basi, kwa mujibu wa kanuni ya uingizaji wa hisabati, pendekezo A(n) linatambuliwa kuwa kweli kwa maadili yote ya n.

Njia ya uingizaji wa hisabati hutumiwa sana katika kuthibitisha nadharia, utambulisho, usawa, katika kutatua matatizo ya mgawanyiko, katika kutatua baadhi ya matatizo ya kijiometri na matatizo mengine mengi.

Mbinu ya introduktionsutbildning hisabati katika kutatua matatizo juu ya

mgawanyiko

Kutumia njia ya uingizaji wa hisabati, unaweza kuthibitisha taarifa mbalimbali kuhusu mgawanyiko wa nambari za asili.

Taarifa ifuatayo inaweza kuthibitishwa kwa urahisi. Hebu tuonyeshe jinsi inavyopatikana kwa kutumia njia ya uingizaji wa hisabati.

Mfano 1. Ikiwa n ni nambari ya asili, basi nambari ni sawa.

Wakati n=1 taarifa yetu ni kweli: - nambari iliyo sawa. Wacha tufikirie kuwa ni nambari sawa. Kwa kuwa , 2k ni nambari sawa, basi hata. Kwa hivyo, usawa unathibitishwa kwa n=1, usawa unatolewa kutoka kwa usawa .Hii ina maana kwamba ni hata kwa maadili yote ya asili ya n.

Mfano 2.Thibitisha ukweli wa sentensi

A(n)=(nambari 5 ni kizidishio cha 19), n ni nambari asilia.

Suluhisho.

Taarifa A(1)=(namba inayogawanyika kwa 19) ni kweli.

Tuseme kwamba kwa thamani fulani n=k

A(k)=(nambari inayogawanyika kwa 19) ni kweli. Kisha, tangu

Ni wazi, A(k+1) pia ni kweli. Hakika, muhula wa kwanza unaweza kugawanywa na 19 kutokana na dhana kwamba A(k) ni kweli; neno la pili pia linaweza kugawanywa na 19 kwa sababu lina kipengele cha 19. Masharti yote mawili ya kanuni ya uingizaji wa hisabati yametimizwa, kwa hiyo, pendekezo A(n) ni kweli kwa maadili yote ya n.

Utumiaji wa njia ya kuanzishwa kwa hisabati kwa

mfululizo wa muhtasari

Mfano 1.Thibitisha fomula

, n ni nambari asilia.

Suluhisho.

Wakati n = 1, pande zote mbili za usawa zinageuka kwa moja na, kwa hiyo, hali ya kwanza ya kanuni ya induction ya hisabati imeridhika.

Wacha tufikirie kuwa fomula ni sawa kwa n=k, i.e.

Wacha tuongeze kwa pande zote mbili za usawa huu na tubadilishe upande wa kulia. Kisha tunapata

Kwa hivyo, kutokana na ukweli kwamba fomula ni kweli kwa n=k, inafuata kwamba ni kweli pia kwa n=k+1. Taarifa hii ni kweli kwa thamani yoyote ya asili ya k. Kwa hivyo, hali ya pili ya kanuni ya induction ya hisabati pia imeridhika. Fomula imethibitishwa.

Mfano 2.Thibitisha kuwa jumla ya nambari za n za kwanza za mfululizo asilia ni sawa na .

Suluhisho.

Hebu tuonyeshe kiasi kinachohitajika, i.e. .

Wakati n=1 dhana ni kweli.

Hebu . Hebu tuonyeshe hilo .

Kwa kweli,

Tatizo linatatuliwa.

Mfano 3.Thibitisha kuwa jumla ya miraba ya nambari za n ya kwanza ya mfululizo asilia ni sawa na .

Suluhisho.

Hebu .

Hebu tuchukulie hivyo . Kisha

Na hatimaye.

Mfano 4. Thibitisha hilo.

Suluhisho.

Ikiwa, basi

Mfano 5. Thibitisha hilo

Suluhisho.

Wakati n=1 dhana ni dhahiri kuwa kweli.

Hebu .

Hebu thibitisha hilo.

Kweli,

Mifano ya kutumia njia ya kuanzishwa kwa hisabati kwa

uthibitisho wa kutofautiana

Mfano 1.Thibitisha hilo kwa nambari yoyote asilia n>1

Suluhisho.

Wacha tuonyeshe upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa kwa .

Kwa hivyo, kwa n=2 ukosefu wa usawa ni kweli.

Hebu kwa baadhi k. Hebu tuthibitishe hilo basi na. Tumepata , .

Kulinganisha na, tunayo , i.e. .

Kwa nambari yoyote chanya ya k, upande wa kulia wa usawa wa mwisho ni chanya. Ndiyo maana. Lakini hiyo ina maana pia.

Mfano 2.Tafuta kosa katika hoja.

Taarifa. Kwa nambari yoyote ya asili n ukosefu wa usawa ni kweli.

Ushahidi.

. (1)

Hebu tuthibitishe kwamba basi usawa pia ni halali kwa n=k+1, i.e.

Hakika, si chini ya 2 kwa k yoyote ya asili. Hebu tuongeze upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa (1) na upande wa kulia 2. Tunapata usawa wa haki, au . Taarifa hiyo imethibitishwa.

Mfano 3.Thibitisha hilo , ambapo >-1, , n ni nambari asilia kubwa kuliko 1.

Suluhisho.

Kwa n=2 ukosefu wa usawa ni kweli, kwani .

Acha ukosefu wa usawa uwe kweli kwa n=k, ambapo k ni nambari ya asili, i.e.

. (1)

Hebu tuonyeshe kwamba basi usawa pia ni halali kwa n=k+1, i.e.

. (2)

Hakika, kwa hali, kwa hiyo, usawa ni kweli

, (3)

kupatikana kutokana na ukosefu wa usawa (1) kwa kuzidisha kila sehemu kwa . Hebu tuandike upya ukosefu wa usawa (3) kama ifuatavyo: . Tukitupilia mbali neno chanya katika upande wa kulia wa ukosefu wa usawa wa mwisho, tunapata usawa wa haki (2).

Mfano 4. Thibitisha hilo

(1)

ambapo , , n ni nambari asilia kubwa kuliko 1.

Suluhisho.

Kwa n=2 ukosefu wa usawa (1) inachukua fomu

. (2)

Kwa kuwa , basi ukosefu wa usawa ni halali

. (3)

Kwa kuongeza kwa kila sehemu ya ukosefu wa usawa (3) tunapata ukosefu wa usawa (2).

Hii inathibitisha kuwa kwa n=2 kukosekana kwa usawa (1) ni kweli.

Acha ukosefu wa usawa (1) uwe kweli kwa n=k, ambapo k ni nambari asilia, i.e.

. (4)

Hebu tuthibitishe kwamba basi ukosefu wa usawa (1) lazima pia uwe kweli kwa n=k+1, i.e.

(5)

Hebu tuzidishe pande zote mbili za ukosefu wa usawa (4) kwa a+b. Kwa kuwa, kwa masharti, , tunapata ukosefu wa usawa ufuatao:

. (6)

Ili kuthibitisha uhalali wa kutofautiana (5), inatosha kuonyesha hilo

, (7)

au, ni nini sawa,

. (8)

Kukosekana kwa usawa (8) ni sawa na ukosefu wa usawa

. (9)

Ikiwa , basi , na upande wa kushoto wa usawa (9) tuna bidhaa ya nambari mbili chanya. Ikiwa , basi , na upande wa kushoto wa usawa (9) tuna bidhaa ya nambari mbili hasi. Katika visa vyote viwili, ukosefu wa usawa (9) ni kweli.

Hii inathibitisha kwamba uhalali wa ukosefu wa usawa (1) kwa n=k unamaanisha uhalali wake kwa n=k+1.

Njia ya induction ya hisabati inatumika kwa wengine

kazi

Matumizi ya asili zaidi ya njia ya kuingizwa kwa hisabati katika jiometri, karibu na matumizi ya njia hii katika nadharia ya nambari na algebra, ni matumizi yake ya kutatua matatizo ya hesabu ya kijiometri. Hebu tuangalie mifano michache.

Mfano 1.Piga hesabu ya upande wa mraba wa kawaida ulioandikwa kwenye mduara wa radius R.

Suluhisho.

Wakati n=2 sahihi 2 n - mraba ni mraba; upande wake. Zaidi ya hayo, kulingana na formula ya mara mbili

tunaona kwamba upande wa pweza ya kawaida , upande wa hexagon ya kawaida , upande wa pembetatu ya kawaida thelathini na mbili . Kwa hivyo tunaweza kudhani kuwa upande wa sahihi ulioandikwa 2 n - mraba kwa yoyote sawa

. (1)

Hebu tuchukue kwamba upande wa pembetatu iliyoandikwa mara kwa mara inaonyeshwa na formula (1). Katika kesi hii, kulingana na formula ya mara mbili

ambapo inafuata kwamba fomula (1) ni halali kwa n.

Mfano 2.Je, ni pembetatu ngapi n-gon (sio lazima itengenezwe) kugawanywa na vilalo vyake vilivyotengana?

Suluhisho.

Kwa pembetatu, nambari hii ni sawa na moja (hakuna diagonal moja inaweza kuchorwa katika pembetatu); kwa quadrilateral nambari hii ni dhahiri mbili.

Tuseme tayari tunajua kwamba kila k-gon, ambapo k 1 A 2 ...A n katika pembetatu.

A n

A1 A2

Acha A 1 A k iwe mojawapo ya vilalo vya kizigeu hiki; inagawanya n-gon A 1 A 2 ...A n ndani ya k-gon A 1 A 2 ...A k na (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. .A n . Kwa sababu ya dhana iliyofanywa, jumla ya idadi ya pembetatu katika kizigeu itakuwa sawa na

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

Kwa hivyo, kauli yetu inathibitishwa kwa wote n.

Mfano 3.Taja kanuni ya kukokotoa nambari P(n) ya njia ambazo n-gon mbonyeo inaweza kugawanywa katika pembetatu kwa vilaza vilivyotengana.

Suluhisho.

Kwa pembetatu, nambari hii ni dhahiri sawa na moja: P(3)=1.

Wacha tuchukue kuwa tayari tumeamua nambari P (k) kwa kila k 1 A 2 ...A n . Wakati wowote inapogawanywa katika pembetatu, upande A 1 A2 itakuwa upande wa moja ya pembetatu za kizigeu, kipeo cha tatu cha pembetatu hii kinaweza sanjari na kila moja ya alama A. 3, A 4, ..., A n . Idadi ya njia za kugawanya n-gon ambamo kipeo hiki kinaambatana na nukta A 3 , ni sawa na idadi ya njia za kugawanya (n-1)-gon A katika pembetatu 1 A 3 A 4 …A n , i.e. sawa na P(n-1). Idadi ya njia za kugawa ambazo vertex hii inalingana na A 4 , ni sawa na idadi ya njia za kugawanya (n-2)-gon A 1 A 4 A 5 …A n , i.e. sawa na P(n-2)=P(n-2)P(3); idadi ya njia za kugawa ambayo inaambatana na A 5 , ni sawa na P(n-3)P(4), kwa kuwa kila sehemu ya (n-3)-gon A 1 A 5 ...A n inaweza kuunganishwa na kila kizigeu cha pembe nne A 2 A 3 A 4 A 5 , nk. Kwa hivyo, tunafikia uhusiano ufuatao:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n) -1).

Kwa kutumia formula hii tunapata mara kwa mara:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

nk.

Unaweza pia kutatua matatizo na grafu kwa kutumia njia ya uingizaji wa hisabati.

Hebu kuwe na mtandao wa mistari kwenye ndege inayounganisha pointi fulani na haina pointi nyingine. Tutaita mtandao kama huo wa mistari ramani, tukipewa alama kama wima zake, sehemu za curve kati ya wima mbili za karibu - mipaka ya ramani, sehemu za ndege ambayo imegawanywa na mipaka - nchi za ramani.

Acha ramani ipewe kwenye ndege. Tutasema kuwa ni rangi kwa usahihi ikiwa kila nchi yake imejenga rangi fulani, na nchi yoyote mbili zilizo na mpaka wa kawaida zimejenga rangi tofauti.

Mfano 4.Kuna miduara n kwenye ndege. Thibitisha kwamba kwa mpangilio wowote wa miduara hii, ramani wanayounda inaweza kupakwa rangi kwa usahihi na rangi mbili.

Suluhisho.

Kwa n=1 kauli yetu ni dhahiri.

Hebu tuchukulie kuwa taarifa yetu ni kweli kwa ramani yoyote iliyoundwa na miduara n, na kuwe na miduara n+1 kwenye ndege. Kwa kuondoa moja ya miduara hii, tunapata ramani ambayo, kwa mujibu wa dhana iliyofanywa, inaweza kupigwa kwa usahihi na rangi mbili, kwa mfano, nyeusi na nyeupe.

Ujuzi wa kweli nyakati zote umekuwa msingi wa kuweka kielelezo na kuthibitisha ukweli wake katika hali fulani. Kwa kipindi kirefu kama hicho cha kuwapo kwa sababu zinazopatana na akili, kanuni zilitolewa, na Aristotle hata akatunga orodha ya “sababu sahihi.” Kihistoria, imekuwa ni desturi kugawanya makisio yote katika aina mbili - kutoka saruji hadi nyingi (introduktionsutbildning) na kinyume chake (kupunguzwa). Ikumbukwe kwamba aina za ushahidi kutoka kwa mahususi hadi kwa jumla na kutoka kwa jumla hadi maalum zipo tu kwa kushirikiana na haziwezi kubadilishwa.

Induction katika hisabati

Neno "induction" lina mizizi ya Kilatini na hutafsiriwa kama "mwongozo." Baada ya kujifunza kwa karibu, mtu anaweza kuonyesha muundo wa neno, yaani kiambishi awali cha Kilatini - in- (inaashiria hatua iliyoelekezwa ndani au kuwa ndani) na -duction - utangulizi. Ni muhimu kuzingatia kwamba kuna aina mbili - induction kamili na isiyo kamili. Fomu kamili ina sifa ya hitimisho kutoka kwa utafiti wa vitu vyote vya darasa fulani.

Haijakamilika - hitimisho ambalo linatumika kwa masomo yote ya darasa, lakini hufanywa kulingana na masomo ya vitengo kadhaa tu.

Uingizaji kamili wa hisabati ni hitimisho la jumla juu ya darasa zima la vitu vyovyote ambavyo vinaunganishwa kiutendaji na uhusiano wa safu asili ya nambari kulingana na maarifa ya unganisho hili la kiutendaji. Katika kesi hii, mchakato wa uthibitisho unafanywa katika hatua tatu:

ya kwanza inathibitisha usahihi wa nafasi ya uingizaji wa hisabati. Mfano: f = 1, induction;
hatua inayofuata inategemea dhana kwamba nafasi hiyo ni halali kwa namba zote za asili. Yaani, f=h ni dhana ya kufata neno;
katika hatua ya tatu, uhalali wa nafasi kwa nambari f = h + 1 imethibitishwa, kwa kuzingatia usahihi wa nafasi ya hatua ya awali - hii ni mpito wa induction, au hatua ya induction ya hisabati. Mfano ni kile kinachojulikana ikiwa jiwe la kwanza katika safu huanguka (msingi), basi mawe yote kwenye safu huanguka (mpito).

Wote kwa utani na kwa umakini

Kwa urahisi wa kuelewa, mifano ya ufumbuzi kwa kutumia njia ya introduktionsutbildning hisabati ni iliyotolewa kwa namna ya matatizo ya utani. Hili ndilo jukumu la "Foleni ya Heshima":

Sheria za mwenendo zinakataza mwanamume kuchukua zamu mbele ya mwanamke (katika hali kama hiyo, anaruhusiwa kwenda mbele). Kulingana na kauli hii, ikiwa wa mwisho katika mstari ni mwanamume, basi kila mtu mwingine ni mwanamume.

Mfano wa kushangaza wa njia ya uingizaji wa hisabati ni shida ya "ndege isiyo na kipimo":

Inahitajika kuthibitisha kuwa idadi yoyote ya watu wanaweza kutoshea kwenye basi dogo. Ni kweli kwamba mtu mmoja anaweza kutoshea ndani ya gari bila shida (msingi). Lakini haijalishi basi dogo limejaa kiasi gani, abiria 1 atatoshea kila wakati (hatua ya utangulizi).

Miduara inayojulikana

Mifano ya kutatua matatizo na equations kwa uingizaji wa hisabati ni ya kawaida kabisa. Kama kielelezo cha mbinu hii, fikiria tatizo lifuatalo.

Hali: kuna miduara h kwenye ndege. Inahitajika kuthibitisha kwamba, kwa mpangilio wowote wa takwimu, ramani wanayounda inaweza kuwa rangi kwa usahihi na rangi mbili.

Suluhisho: wakati h=1 ukweli wa taarifa ni dhahiri, kwa hivyo uthibitisho utajengwa kwa idadi ya miduara h+1.

Hebu tukubali dhana kwamba taarifa hiyo ni halali kwa ramani yoyote, na kuna miduara ya h+1 kwenye ndege. Kwa kuondoa moja ya miduara kutoka kwa jumla, unaweza kupata ramani kwa usahihi rangi na rangi mbili (nyeusi na nyeupe).

Wakati wa kurejesha mduara uliofutwa, rangi ya kila eneo hubadilika kinyume chake (katika kesi hii, ndani ya mduara). Matokeo yake ni ramani iliyopakwa rangi kwa usahihi katika rangi mbili, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Mifano na nambari za asili

Utumiaji wa njia ya induction ya hisabati imeonyeshwa wazi hapa chini.

Mifano ya ufumbuzi:

Thibitisha kuwa kwa h yoyote usawa ufuatao ni sahihi:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Acha h=1, ambayo ina maana:

R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

Inafuata kutoka kwa hii kwamba kwa h=1 taarifa ni sahihi.

2. Kwa kuchukulia kuwa h=d, mlinganyo umepatikana:

R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. Kwa kuchukulia kuwa h=d+1, inatokea:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Kwa hivyo, uhalali wa usawa wa h=d+1 umethibitishwa, kwa hivyo taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote asilia, kama inavyoonyeshwa kwenye suluhu la mfano kwa uingizaji wa hisabati.

Kazi

Hali: uthibitisho unahitajika kwamba kwa thamani yoyote ya h usemi 7 h -1 unaweza kugawanywa na 6 bila salio.

Suluhisho:

1. Hebu tuseme h=1, katika kesi hii:

R 1 =7 1 -1=6 (yaani kugawanywa na 6 bila salio)

Kwa hiyo, kwa h=1 taarifa hiyo ni kweli;

2. Acha h=d na 7 d -1 zigawanywe na 6 bila salio;

3. Uthibitisho wa uhalali wa taarifa ya h=d+1 ni fomula:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

Katika kesi hii, neno la kwanza linagawanywa na 6 kulingana na dhana ya hatua ya kwanza, na neno la pili ni sawa na 6. Taarifa kwamba 7 h -1 inaweza kugawanywa na 6 bila salio kwa h yoyote ya asili ni kweli.

Makosa katika hukumu

Mara nyingi hoja zisizo sahihi hutumiwa katika uthibitisho kutokana na kutokuwa sahihi kwa miundo ya kimantiki iliyotumiwa. Hii hasa hutokea wakati muundo na mantiki ya uthibitisho inakiukwa. Mfano wa hoja zisizo sahihi ni kielelezo kifuatacho.

Kazi

Hali: uthibitisho unahitajika kwamba rundo lolote la mawe si rundo.

Suluhisho:

1. Hebu tuseme h = 1, katika kesi hii kuna jiwe 1 kwenye rundo na taarifa ni kweli (msingi);

2. Hebu iwe kweli kwa h=d kwamba rundo la mawe sio rundo (assumption);

3. Hebu h=d+1, ambayo inafuata kwamba wakati wa kuongeza jiwe moja zaidi, seti haitakuwa chungu. Hitimisho linajipendekeza kuwa dhana ni halali kwa h yote ya asili.

Hitilafu ni kwamba hakuna ufafanuzi wa jinsi mawe mengi huunda rundo. Ukosefu kama huo unaitwa ujanibishaji wa haraka katika njia ya induction ya hisabati. Mfano unaonyesha hii wazi.

Induction na sheria za mantiki

Kihistoria, wao daima "hutembea mkono kwa mkono." Taaluma za kisayansi kama vile mantiki na falsafa huzielezea kwa namna ya kinyume.

Kutoka kwa mtazamo wa sheria ya mantiki, ufafanuzi wa inductive hutegemea ukweli, na ukweli wa majengo hauamua usahihi wa taarifa inayotokana. Mara nyingi hitimisho hupatikana kwa kiwango fulani cha uwezekano na uwezekano, ambao, kwa kawaida, lazima uhakikishwe na kuthibitishwa na utafiti wa ziada. Mfano wa introduktionsutbildning katika mantiki itakuwa taarifa ifuatayo:

Kuna ukame huko Estonia, ukame huko Latvia, ukame huko Lithuania.

Estonia, Latvia na Lithuania ni majimbo ya Baltic. Kuna ukame katika majimbo yote ya Baltic.

Kutoka kwa mfano tunaweza kuhitimisha kwamba habari mpya au ukweli hauwezi kupatikana kwa kutumia njia ya introduktionsutbildning. Yote ambayo yanaweza kuhesabiwa ni ukweli fulani unaowezekana wa hitimisho. Aidha, ukweli wa majengo hauhakikishi hitimisho sawa. Walakini, ukweli huu haimaanishi kuwa induction inadhoofika kwenye ukingo wa kupunguzwa: idadi kubwa ya vifungu na sheria za kisayansi zinathibitishwa kwa kutumia njia ya utangulizi. Mfano itakuwa hisabati, biolojia na sayansi zingine. Hii ni kwa sababu ya njia ya utangulizi kamili, lakini katika hali zingine uingizaji wa sehemu pia unatumika.

Umri wa heshima wa introduktionsutbildning umeiruhusu kupenya karibu nyanja zote za shughuli za wanadamu - hii ni sayansi, uchumi, na hitimisho la kila siku.

Kuingizwa katika jamii ya kisayansi

Njia ya utangulizi inahitaji mtazamo wa uangalifu, kwani mengi inategemea idadi ya sehemu zote zilizosomwa: idadi kubwa iliyosomwa, matokeo ya kuaminika zaidi. Kulingana na kipengele hiki, sheria za kisayansi zilizopatikana kwa induction zinajaribiwa kwa muda mrefu kwa kiwango cha mawazo ya uwezekano wa kutenganisha na kujifunza vipengele vyote vinavyowezekana vya kimuundo, viunganisho na mvuto.

Katika sayansi, hitimisho kwa kufata neno inategemea vipengele muhimu, isipokuwa masharti ya nasibu. Ukweli huu ni muhimu kuhusiana na maalum ya ujuzi wa kisayansi. Hii inaonekana wazi katika mifano ya introduktionsutbildning katika sayansi.

Kuna aina mbili za induction katika ulimwengu wa kisayansi (kuhusiana na njia ya kusoma):

uteuzi wa induction (au uteuzi);
induction - kutengwa (kuondoa).

Aina ya kwanza inatofautishwa na uteuzi wa utaratibu (wa uangalifu) wa sampuli za darasa (madaraja) kutoka kwa maeneo yake tofauti.

Mfano wa aina hii ya induction ni yafuatayo: fedha (au chumvi za fedha) hutakasa maji. Hitimisho ni msingi wa uchunguzi wa miaka mingi (aina ya uteuzi wa uthibitisho na kukanusha - uteuzi).

Aina ya pili ya introduktionsutbildning ni msingi wa hitimisho kwamba kuanzisha uhusiano causal na kuwatenga hali ambayo si yanahusiana na mali yake, yaani ulimwengu wote, kuzingatia mlolongo wa muda, umuhimu na unambiguity.

Kuingizwa na kupunguzwa kutoka kwa nafasi ya falsafa

Tukiangalia nyuma kihistoria, neno introduktionsutbildning lilitajwa kwanza na Socrates. Aristotle alielezea mifano ya introduktionsutbildning katika falsafa katika takriban zaidi kamusi ya istilahi, lakini swali la kutokamilika introduktionsutbildning bado wazi. Baada ya mateso ya sillogism ya Aristotle, njia ya kufata neno ilianza kutambuliwa kuwa yenye matunda na ndiyo pekee inayowezekana katika sayansi ya asili. Bacon inachukuliwa kuwa baba wa introduktionsutbildning kama njia maalum ya kujitegemea, lakini alishindwa kutenganisha introduktionsutbildning kutoka kwa njia ya kupunguza, kama watu wa wakati wake walivyodai.

Utangulizi uliendelezwa zaidi na J. Mill, ambaye alizingatia nadharia ya kufata neno kwa mtazamo wa mbinu kuu nne: makubaliano, tofauti, mabaki na mabadiliko yanayolingana. Haishangazi kwamba leo njia zilizoorodheshwa, zinapochunguzwa kwa undani, ni za kupunguzwa.

Utambuzi wa kutofautiana kwa nadharia za Bacon na Mill uliwaongoza wanasayansi kuchunguza msingi wa uwezekano wa introduktionsutbildning. Walakini, hata hapa kulikuwa na hali zingine za kupita kiasi: majaribio yalifanywa ili kupunguza kuingizwa kwa nadharia ya uwezekano na matokeo yote yaliyofuata.

Utangulizi hupokea kura ya imani kupitia matumizi ya vitendo katika maeneo fulani ya somo na shukrani kwa usahihi wa kipimo cha msingi wa kufata neno. Mfano wa introduktionsutbildning na makato katika falsafa inaweza kuchukuliwa Sheria ya Universal Gravitation. Katika tarehe ya kugunduliwa kwa sheria hiyo, Newton aliweza kuithibitisha kwa usahihi wa asilimia 4. Na ilipoangaliwa zaidi ya miaka mia mbili baadaye, usahihi ulithibitishwa kwa usahihi wa asilimia 0.0001, ingawa uthibitishaji ulifanywa na jumla zile zile za kufata neno.

Falsafa ya kisasa hulipa kipaumbele zaidi kwa kupunguzwa, ambayo inaagizwa na tamaa ya kimantiki ya kupata ujuzi mpya (au ukweli) kutoka kwa kile kinachojulikana tayari, bila kutumia uzoefu au intuition, lakini kwa kutumia mawazo "safi". Wakati wa kurejelea majengo ya kweli katika njia ya kupunguza, katika hali zote matokeo ni taarifa ya kweli.

Tabia hii muhimu sana haipaswi kufunika thamani ya njia ya kufata neno. Tangu introduktionsutbildning, kwa kuzingatia mafanikio ya uzoefu, pia inakuwa njia ya usindikaji (ikiwa ni pamoja na generalization na systematization).

Utumiaji wa induction katika uchumi

Uingizaji na upunguzaji umetumika kwa muda mrefu kama njia za kusoma uchumi na kutabiri maendeleo yake.

Upeo wa matumizi ya njia ya induction ni pana kabisa: kusoma utimilifu wa viashiria vya utabiri (faida, kushuka kwa thamani, nk) na tathmini ya jumla ya hali ya biashara; uundaji wa sera madhubuti ya kukuza biashara kulingana na ukweli na uhusiano wao.

Njia sawa ya uingizaji hutumiwa katika "ramani za Shewhart", ambapo, chini ya dhana ya mgawanyiko wa michakato katika kudhibitiwa na isiyoweza kudhibitiwa, inaelezwa kuwa mfumo wa mchakato unaodhibitiwa haufanyi kazi.

Ikumbukwe kwamba sheria za kisayansi zinathibitishwa na kuthibitishwa kwa kutumia njia ya induction, na kwa kuwa uchumi ni sayansi ambayo mara nyingi hutumia uchambuzi wa hisabati, nadharia ya hatari na takwimu, haishangazi kabisa kwamba induction iko kwenye orodha ya mbinu kuu.

Mfano wa induction na makato katika uchumi ni hali ifuatayo. Kuongezeka kwa bei ya chakula (kutoka kwa kikapu cha walaji) na bidhaa muhimu husukuma walaji kufikiri juu ya gharama kubwa inayojitokeza katika hali (induction). Wakati huo huo, kutokana na ukweli wa bei ya juu, kwa kutumia mbinu za hisabati, inawezekana kupata viashiria vya ukuaji wa bei kwa bidhaa za kibinafsi au makundi ya bidhaa (kupunguzwa).

Mara nyingi, wafanyikazi wa usimamizi, wasimamizi, na wachumi hugeukia njia ya uanzishaji. Ili kuweza kutabiri kwa ukweli wa kutosha maendeleo ya biashara, tabia ya soko, na matokeo ya ushindani, mbinu ya kufata neno kwa uchanganuzi na usindikaji wa habari ni muhimu.

Mfano wazi wa introduktionsutbildning katika uchumi kuhusiana na hukumu potofu:

faida ya kampuni ilipungua kwa 30%;
kampuni shindani imepanua mstari wa bidhaa zake;
hakuna kitu kingine kilichobadilika;
sera ya uzalishaji wa kampuni inayoshindana ilisababisha kupunguzwa kwa faida kwa 30%;
kwa hivyo, sera hiyo hiyo ya uzalishaji inahitaji kutekelezwa.

Mfano ni kielelezo cha kupendeza cha jinsi matumizi yasiyofaa ya njia ya uanzishaji huchangia uharibifu wa biashara.

Kupunguzwa na kuingizwa katika saikolojia

Kwa kuwa kuna njia, basi, kimantiki, pia kuna kufikiri kupangwa vizuri (kutumia njia). Saikolojia kama sayansi ambayo inasoma michakato ya kiakili, malezi yao, ukuaji wao, uhusiano, mwingiliano, hutilia maanani mawazo ya "kupunguza", kama moja ya aina ya udhihirisho wa kupunguzwa na kuingizwa. Kwa bahati mbaya, kwenye kurasa za saikolojia kwenye Mtandao hakuna uhalali wowote wa uadilifu wa njia ya kuelekeza kwa kufata neno. Ingawa wanasaikolojia wa kitaalam mara nyingi hukutana na udhihirisho wa utangulizi, au tuseme, hitimisho potofu.

Mfano wa kuingizwa katika saikolojia, kama kielelezo cha hukumu potofu, ni taarifa: mama yangu anadanganya, kwa hivyo, wanawake wote ni wadanganyifu. Unaweza kupata mifano zaidi "ya makosa" ya utangulizi kutoka kwa maisha:

mwanafunzi hana uwezo wa chochote ikiwa atapata alama mbaya katika hesabu;
yeye ni mjinga;
yeye ni mwerevu;
Naweza kufanya chochote;

Na hukumu nyingine nyingi za thamani kulingana na random kabisa na, wakati mwingine, majengo yasiyo na maana.

Ikumbukwe: wakati udanganyifu wa hukumu ya mtu unafikia hatua ya upuuzi, mipaka ya kazi inaonekana kwa mtaalamu wa kisaikolojia. Mfano mmoja wa kujitambulisha katika miadi ya mtaalamu:

"Mgonjwa ana hakika kabisa kuwa rangi nyekundu ni hatari kwake kwa aina yoyote. Matokeo yake, mtu huyo aliondoa mpango huu wa rangi kutoka kwa maisha yake - iwezekanavyo. Kuna fursa nyingi za kukaa vizuri nyumbani. Unaweza kukataa vitu vyote vyekundu au kuzibadilisha na analogues zilizofanywa kwa mpango tofauti wa rangi. Lakini katika maeneo ya umma, kazini, katika duka - haiwezekani. Mgonjwa anapojikuta katika hali yenye mkazo, kila mara anapatwa na “wimbi” la hali tofauti kabisa za kihisia-moyo, ambazo zinaweza kuwa hatari kwa wengine.

Mfano huu wa introduktionsutbildning, na introduktionsutbildning bila fahamu, inaitwa "fixed mawazo." Ikiwa hii itatokea kwa mtu mwenye afya ya akili, tunaweza kuzungumza juu ya ukosefu wa shirika la shughuli za akili. Njia ya kujikwamua na majimbo ya kupindukia inaweza kuwa ukuzaji wa kimsingi wa fikra za kujitolea. Katika hali nyingine, wataalamu wa magonjwa ya akili hufanya kazi na wagonjwa kama hao.

Mifano ya hapo juu ya introduktionsutbildning inaonyesha kwamba "kutojua sheria hakuondoi kutoka kwa matokeo (ya hukumu potofu)."

Wanasaikolojia, wakifanya kazi juu ya mada ya mawazo ya kujitolea, wamekusanya orodha ya mapendekezo iliyoundwa kusaidia watu kujua njia hii.

Jambo la kwanza ni kutatua shida. Kama inavyoweza kuonekana, aina ya introduktionsutbildning kutumika katika hisabati inaweza kuchukuliwa "classical", na matumizi ya njia hii inachangia "nidhamu" ya akili.

Hali inayofuata kwa ajili ya maendeleo ya kufikiri ya kujitolea ni kupanua upeo wa mtu (wale wanaofikiri wanajieleza waziwazi). Pendekezo hili linaelekeza "mateso" kwenye hazina za sayansi na habari (maktaba, tovuti, mipango ya elimu, usafiri, nk).

Kutajwa maalum kunapaswa kufanywa kwa kile kinachoitwa "induction ya kisaikolojia". Neno hili, ingawa si mara nyingi, linaweza kupatikana kwenye mtandao. Vyanzo vyote havitoi angalau uundaji mfupi wa ufafanuzi wa neno hili, lakini vinarejelea "mifano kutoka kwa maisha," huku vikipitishwa kama aina mpya ya utangulizi ama pendekezo, au aina fulani za ugonjwa wa akili, au hali mbaya za psyche ya binadamu. Kutoka kwa yote yaliyo hapo juu, ni wazi kwamba jaribio la kupata "neno jipya" kulingana na majengo ya uwongo (mara nyingi si ya kweli) humhukumu mjaribio kupata taarifa yenye makosa (au ya haraka).

Ikumbukwe kwamba marejeleo ya majaribio ya 1960 (bila kuashiria eneo, majina ya wajaribu, sampuli ya masomo na, muhimu zaidi, madhumuni ya jaribio) inaonekana, kuiweka kwa upole, isiyoshawishi, na. taarifa kwamba ubongo huona habari kupita viungo vyote vya utambuzi (maneno "yameathiriwa" yangefaa zaidi katika kesi hii), hufanya mtu kufikiria juu ya ushawishi na kutokosoa kwa mwandishi wa taarifa hiyo.

Badala ya hitimisho

Sio bure kwamba malkia wa sayansi, hisabati, hutumia hifadhi zote zinazowezekana za njia ya kuingizwa na kupunguzwa. Mifano iliyozingatiwa inaturuhusu kuhitimisha kuwa matumizi ya juu juu na ya kijinga (bila kufikiria, kama wanasema) ya hata njia sahihi na za kuaminika kila wakati husababisha matokeo potofu.

Katika ufahamu wa wingi, njia ya kupunguzwa inahusishwa na Sherlock Holmes maarufu, ambaye katika ujenzi wake wa kimantiki mara nyingi hutumia mifano ya uingizaji, kwa kutumia kupunguzwa katika hali sahihi.

Nakala hiyo ilichunguza mifano ya matumizi ya njia hizi katika sayansi na nyanja mbali mbali za shughuli za wanadamu.

MBOU Lyceum "Kiufundi na Kiuchumi"

NJIA YA UONGOZI WA HISABATI

NJIA YA UONGOZI WA HISABATI.

KUMBUKA YA MAELEZO

Ukuzaji wa kimbinu "Njia ya kuanzishwa kwa hesabu" iliundwa kwa wanafunzi wa daraja la 10 la wasifu wa hisabati.

Malengo ya msingi: kuanzisha wanafunzi kwa njia ya kuanzishwa kwa hisabati na kufundisha jinsi ya kuitumia katika kutatua matatizo mbalimbali.

Ukuzaji wa mbinu hushughulikia maswala ya hisabati ya msingi: shida za mgawanyiko, uthibitisho wa vitambulisho, uthibitisho wa usawa, shida za viwango tofauti vya ugumu zinapendekezwa, pamoja na shida zilizopendekezwa kwenye Olympiads.

Jukumu la hitimisho kwa kufata neno katika sayansi ya majaribio ni kubwa sana. Wanatoa masharti ambayo mahitimisho zaidi yanatolewa kwa kukatwa. Jina njia ya induction ya hisabati udanganyifu - kwa kweli, njia hii ni ya kupunguzwa na hutoa uthibitisho mkali wa taarifa zilizokisiwa kupitia uingizaji. Njia ya uingizaji wa hisabati husaidia kutambua uhusiano kati ya matawi mbalimbali ya hisabati na husaidia maendeleo ya utamaduni wa hisabati wa mwanafunzi.

Ufafanuzi wa njia ya induction ya hisabati. Uingizaji kamili na usio kamili. Uthibitisho wa kutofautiana. Uthibitisho wa utambulisho. Kutatua matatizo ya mgawanyiko. Kutatua matatizo mbalimbali juu ya mada "Njia ya induction ya hisabati".

FASIHI KWA WALIMU

1. M.L. Galitsky. Utafiti wa kina wa kozi ya algebra na uchambuzi wa hisabati. – M. Elimu.

2. L.I.Zvavich. Algebra na mwanzo wa uchambuzi. Nyenzo za didactic. M. Bustard.2001.

3. N.Ya.Vilenkin. Uchambuzi wa algebra na hisabati. M Mwangaza.1995.

4. Yu.V.Mikheev. Njia ya induction ya hisabati. NSU.1995.

FASIHI KWA WANAFUNZI

1. N.Ya.Vilenkin. Uchambuzi wa algebra na hisabati. M Mwangaza.1995.

2. Yu.V.Mikheev. Njia ya induction ya hisabati. NSU.1995.

MANENO MUHIMU

Induction, axiom, kanuni ya introduktionsutbildning hisabati, introduktionsutbildning kamili, incomplete introduktionsutbildning, taarifa, utambulisho, kutofautiana, mgawanyiko.

DIDACTIC NYONGEZA KWA MADA

"NJIA YA UONGOZI WA HISABATI".

Somo #1.

Ufafanuzi wa njia ya induction ya hisabati.

Njia ya uingizaji wa hisabati ni mojawapo ya mbinu za ufanisi sana za kutafuta matokeo mapya na kuthibitisha ukweli wa mawazo yaliyofanywa. Ingawa njia hii katika hisabati sio mpya, hamu nayo haipungui. Kwa mara ya kwanza katika uwasilishaji wazi, njia ya uingizaji wa hisabati ilitumiwa katika karne ya 17 na mwanasayansi bora wa Kifaransa Blaise Pascal wakati wa kuthibitisha mali ya pembetatu ya nambari, ambayo ina jina lake tangu wakati huo. Walakini, wazo la kuingizwa kwa hesabu lilijulikana kwa Wagiriki wa zamani. Njia ya uingizaji wa hisabati inategemea kanuni ya uingizaji wa hisabati, ambayo inakubaliwa kama axiom. Wacha tuangalie wazo la induction ya hesabu kwa kutumia mifano.

Mfano Nambari 1.

Mraba imegawanywa katika sehemu mbili na sehemu, kisha moja ya sehemu zinazozalishwa imegawanywa katika sehemu mbili, na kadhalika. Amua ni sehemu ngapi za mraba zitagawanywa n hatua?

Suluhisho.

Baada ya hatua ya kwanza, kulingana na hali, tutapata sehemu 2. Katika hatua ya pili, tunaacha sehemu moja bila kubadilika, na kugawanya ya pili katika sehemu 2 na kupata sehemu 3. Katika hatua ya tatu, tunaacha sehemu 2 bila kubadilika, na kugawanya ya tatu katika sehemu mbili na kupata sehemu 4. Katika hatua ya nne, tunaacha sehemu 3 bila kubadilika, na kugawanya sehemu ya mwisho katika sehemu mbili na kupata sehemu 5. Katika hatua ya tano tutapata sehemu 6. Hii inaomba pendekezo kwamba kupitia n hatua tutazipata (n+1) Sehemu. Lakini pendekezo hili linahitaji kuthibitishwa. Wacha tufikirie kuwa baada Kwa hatua mraba itagawanywa katika (k+1) Sehemu. Kisha kuendelea (k+1) hatua tunayochukua Kwa sehemu zitaachwa bila kubadilika, lakini (k+1) kugawanya sehemu katika sehemu mbili na kupata (k+2) sehemu. Unagundua kuwa unaweza kubishana kwa njia hii kwa muda mrefu kama unavyopenda, ad infinitum. Hiyo ni, dhana yetu ni kwamba kupitia n hatua mraba itagawanywa katika (n+1) sehemu inakuwa imethibitishwa.

Mfano Nambari 2.

Bibi yangu alikuwa na mjukuu ambaye alipenda sana jamu, na haswa aina iliyokuja kwenye jarida la lita. Lakini bibi yangu hakuniruhusu kumgusa. Na wajukuu walipanga kumdanganya bibi yao. Aliamua kula 1/10 lita kutoka kwenye jar kila siku na kuijaza na maji, akichanganya vizuri. Je, itachukua siku ngapi kwa bibi kugundua udanganyifu ikiwa jamu inabakia sawa katika kuonekana wakati inapunguzwa kwa nusu na maji?

Suluhisho.

Wacha tupate ni kiasi gani cha jam safi kinabaki kwenye jar baada ya n siku. Baada ya siku ya kwanza, mchanganyiko unaojumuisha jam 9/10 na maji 1/10 utabaki kwenye jar. Baada ya siku mbili, 1/10 ya mchanganyiko wa maji na jam itatoweka kutoka kwenye jar na itabaki (lita 1 ya mchanganyiko ina lita 9/10 za jam, 1/10 lita ya mchanganyiko ina lita 9/100 za jam. )

9/10 – 9/100=81/100=(9/10) lita 2 za jam. Siku ya tatu, 1/10 lita ya mchanganyiko yenye jam 81/100 na maji 19/100 yatatoweka kutoka kwenye jar. Lita 1 ya mchanganyiko ina 81/100 lita za jam, 1/10 lita ya mchanganyiko ina 81/1000 lita za jam. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) Lita 3 za jamu zitabaki baada ya siku 3, na zilizobaki zitachukuliwa na maji. Mchoro unajitokeza. Kupitia n siku zilizobaki benki (9/10) n l jam. Lakini hii, tena, ni nadhani yetu tu.

Hebu Kwa- nambari ya asili ya kiholela. Wacha tufikirie kuwa baada Kwa siku kutakuwa na (9/10) lita za jam zilizobaki kwenye jar. Wacha tuone nini kitakuwa kwenye benki siku nyingine, ambayo ni, ndani (k+1) siku. Itatoweka kutoka kwenye jar 1/10l mchanganyiko unaojumuisha (9/10) Kwa l jam na maji. KATIKA 1l mchanganyiko ni (9/10) Kwa l jam, ndani 1/10l mchanganyiko (9/10) k+1 l jam. Sasa tunaweza kusema kwa usalama kupitia n siku zilizobaki benki (9/10) n l jam. Katika siku 6 benki itakuwa na 531444/1000000l jam, baada ya siku 7 - 4782969/10000000l jam, yaani, chini ya nusu.

Jibu: Baada ya siku 7, bibi atagundua udanganyifu.

Wacha tujaribu kuangazia mambo muhimu zaidi katika kutatua shida zinazozingatiwa. Tulianza kutatua kila mmoja wao kwa kuzingatia mtu binafsi au, kama wanasema, kesi maalum. Kisha, kulingana na uchunguzi wetu, tulifanya dhana fulani P(n), kulingana na asili uk.

taarifa hiyo imethibitishwa, yaani, imethibitishwa P(1), P(2), P(3);

alipendekeza kwamba P(n) halali kwa p=k na kuhitimisha kuwa basi itakuwa kweli katika ijayo n, n=k+1.

Na kisha wakafikiria kitu kama hiki: P(1) sawa, P(2) sawa, P(3) sawa, P(4) sawa... hiyo ina maana sawa P (p).

Kanuni ya uingizaji wa hisabati.

Taarifa P(n), kulingana na asili n, halali kwa yote ya asili n,Kama

1) uhalali wa taarifa umethibitishwa lini n=1;

2) kutokana na dhana ya uhalali wa taarifa hiyo P(n) saa p=k lazima

haki P(n) saa n=k+1.

Katika hisabati, kanuni ya introduktionsutbildning hisabati huchaguliwa, kama sheria, kama moja ya axioms ambayo inafafanua mfululizo wa asili wa idadi, na kwa hiyo, inakubaliwa bila uthibitisho. Njia ya uthibitisho kwa kutumia kanuni ya introduktionsutbildning hisabati ni kawaida inaitwa njia ya introduktionsutbildning hisabati. Kumbuka kwamba njia hii hutumiwa sana katika kuthibitisha nadharia, utambulisho, kutofautiana katika kutatua matatizo ya mgawanyiko na matatizo mengine mengi.

Somo #2

Uingizaji kamili na usio kamili.

Katika kesi ambapo taarifa ya hisabati inahusu idadi ndogo ya vitu, inaweza kuthibitishwa kwa kupima kwa kila kitu, kwa mfano, taarifa "Kila tarakimu mbili hata namba ni jumla ya namba mbili kuu." Njia ya uthibitisho ambayo tunajaribu taarifa kwa idadi kamili ya kesi inaitwa induction kamili ya hisabati. Njia hii hutumiwa mara chache, kwani taarifa mara nyingi huzingatiwa kwenye seti zisizo na kipimo. Kwa mfano, nadharia "Nambari yoyote sawa ni sawa na jumla ya nambari kuu mbili" bado haijathibitishwa au kukanushwa. Hata kama tungeijaribu nadharia hii kwa bilioni ya kwanza, haitatuletea hatua moja karibu na uthibitisho wake.

Katika sayansi ya asili, uingizaji usio kamili hutumiwa, kuangalia majaribio mara kadhaa na kuhamisha matokeo kwa matukio yote.

Mfano Nambari 3.

Wacha tufikirie, kwa kutumia induction isiyo kamili, formula ya jumla ya cubes ya nambari za asili.

Suluhisho.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2; ...; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

Ushahidi.

Wacha iwe kweli kwa p=k.

Hebu tuthibitishe kwamba ni kweli kwa n=k+1.

Hitimisho: formula ya jumla ya cubes ya nambari za asili ni kweli kwa nambari yoyote ya asili uk.

Mfano Nambari 4.

Fikiria usawa na ubashiri ni sheria gani ya jumla mifano hii inaongoza.

Suluhisho.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

Mfano Nambari 5.

Andika maneno yafuatayo kama jumla:

1)
2)
3)
; 4)
.

Barua ya Kigiriki "sigma".

Mfano Nambari 6.

Andika kiasi kifuatacho kwa kutumia ishara
:

Mfano Nambari 7.

Andika maneno yafuatayo kama bidhaa:

3)
4)

Mfano nambari 8.

Andika kazi zifuatazo kwa kutumia ishara

(herufi kubwa ya Kigiriki "pi")

1)
2)

Mfano Nambari 9.

Kuhesabu thamani ya polynomial f ( n )= n 2 + n +11 , kwa n=1,2,3,4.5,6,7 mtu anaweza kufanya dhana kwamba kwa asili yoyoten nambari f ( n ) rahisi.

Dhana hii ni sahihi?

Suluhisho.

Ikiwa kila neno la jumla linagawanywa kwa nambari, basi jumla inagawanywa na nambari hiyo,
sio nambari kuu kwa nambari yoyote asiliauk.

Uchambuzi wa idadi ndogo ya kesi ina jukumu muhimu katika hisabati: bila kutoa uthibitisho wa taarifa fulani, inasaidia nadhani uundaji sahihi wa taarifa hii ikiwa bado haijajulikana. Hivi ndivyo Goldbach, mshiriki wa Chuo cha Sayansi cha St.

Somo #3.

Njia ya induction ya hisabati inaruhusu mtu kuthibitisha utambulisho mbalimbali.

Mfano Nambari 10. Hebu tuthibitishe hilo kwa kila mtu n utambulisho unashikilia

Suluhisho.

Hebu tuweke

Tunahitaji kuthibitisha hilo

Hebu na tuthibitishe hilo Basi kutokana na ukweli wa utambulisho

hufuata ukweli wa utambulisho

Kwa kutumia kanuni ya kuanzishwa kwa hisabati, ukweli wa utambulisho unathibitishwa kwa wote n.

Mfano Nambari 11.

Hebu kuthibitisha utambulisho

Ushahidi.

usawa unaotokana na muda baada ya muhula.

;
. Hii ina maana kwamba utambulisho huu ni kweli kwa kila mtun .

Somo la 4.

Uthibitisho wa utambulisho kwa kutumia njia ya uingizaji wa hisabati.

Mfano Nambari 12. Hebu kuthibitisha utambulisho

Ushahidi.

Kwa kutumia kanuni ya utangulizi wa hisabati, tulithibitisha kwamba usawa ni kweli kwa wote n.

Mfano Nambari 13. Hebu kuthibitisha utambulisho

Ushahidi.

Kwa kutumia kanuni ya utangulizi wa hisabati, tulithibitisha kuwa taarifa hiyo ni kweli kwa asili yoyote n.

Mfano Nambari 14. Hebu kuthibitisha utambulisho

Ushahidi.

Mfano Nambari 15. Hebu kuthibitisha utambulisho

1) n=1;

2) kwa p=k usawa unashikilia

3) tunathibitisha kwamba usawa unashikilia p=k+1:

Hitimisho: utambulisho ni halali kwa asili yoyote uk.

Mfano nambari 16. Hebu kuthibitisha utambulisho

Ushahidi.

Kama n=1 , Hiyo

Acha utambulisho ushikilie p=k.

Hebu tuthibitishe kwamba utambulisho unashikilia n=k+1.

Kisha utambulisho ni kweli kwa asili yoyote n.

Somo la 5.

Uthibitisho wa utambulisho kwa kutumia njia ya uingizaji wa hisabati.

Mfano Nambari 17. Hebu kuthibitisha utambulisho

Ushahidi.

Kama n=2 , basi tunapata usawa sahihi:

Wacha usawa uwe kwelip=k:

Hebu tuthibitishe uhalali wa kauli wakati n=k+1.

Kwa mujibu wa kanuni ya uingizaji wa hisabati, utambulisho umethibitishwa.

Mfano Nambari 18. Hebu kuthibitisha utambulisho
wakati n≥2.

Saa n=2 utambulisho huu unaweza kuandikwa upya kwa njia rahisi sana

na kwa hakika ni kweli.

Hebu saa p=k kweli

Hebu tuthibitishe uhalali wa kauli wakatin=k+1, yaani, usawa unashikilia:.

Kwa hivyo, tumethibitisha kuwa utambulisho ni kweli kwa nambari yoyote asilia n≥2.

Mfano nambari 19. Hebu kuthibitisha utambulisho

Saa n=1 tunapata usawa sahihi:

Hebu tuchukulie kwamba ni lini p=k pia tunapata usawa sahihi:

Hebu tuthibitishe kwamba usawa ni halali kwa p=k+1:

Kisha utambulisho ni halali kwa nambari yoyote ya asili n.

Somo la 6.

Kutatua matatizo ya mgawanyiko.

Mfano Nambari 20. Thibitisha kwa introduktionsutbildning hisabati kwamba

kugawanywa na 6 bila kuwaeleza.

Ushahidi.

Saa n=1 kuna mgawanyiko ndani6 bila kuwaeleza,
.

Hebu saa p=k kujieleza
nyingi6.

Hebu tuthibitishe hilo lini p=k+1 kujieleza
nyingi6 .

Kila neno ni nyingi 6 , kwa hivyo jumla ni nyingi 6 .

Mfano Nambari 21.
juu5 bila kuwaeleza.

Ushahidi.

Saa n=1 usemi umegawanywa bila salio
.

Hebu saa p=k kujieleza
pia kugawanywa katika5 bila kuwaeleza.

Saa p=k+1 kugawanywa na 5 .

Mfano Nambari 22. Thibitisha mgawanyiko wa usemi
juu16.

Ushahidi.

Saa n=1 nyingi 16 .

Hebu saa p=k
nyingi16.

Saa p=k+1

Masharti yote yanagawanywa kwa 16: ya kwanza ni dhahiri, ya pili ni kwa dhana, na ya tatu ina idadi sawa katika mabano.

Mfano Nambari 23. Thibitisha mgawanyiko
juu676.

Ushahidi.

Hebu kwanza tuthibitishe hilo
kugawanywa na
.

Saa n=0
.

Hebu saa p=k
kugawanywa na26 .

Kisha saa p=k+1 kugawanywa na 26 .

Sasa tutafanya uthibitisho wa taarifa iliyoandaliwa katika taarifa ya tatizo.

Saa n=1 kugawanywa na 676.

Saa p=k ni kweli kwamba
kugawanywa na26 2 .

Saa p=k+1 .

Masharti yote mawili yanagawanywa kwa 676 ; kwanza - kwa sababu tulithibitisha mgawanyiko kwa 26 kujieleza katika mabano, na ya pili imegawanywa kulingana na dhana ya introduktionsutbildning.

Somo la 7.

Kutatua matatizo ya mgawanyiko.

Mfano Nambari 24.

Thibitisha hilo
kugawanywa na5 bila kuwaeleza.

Ushahidi.

Saa n=1
kugawanywa na5.

Saa p=k
kugawanywa na5 bila kuwaeleza.

Saa p=k+1 kila neno limegawanywa na5 bila kuwaeleza.

Mfano Nambari 25.

Thibitisha hilo
kugawanywa na6 bila kuwaeleza.

Ushahidi.

Saa n=1
kugawanywa na6 bila kuwaeleza.

Hebu saa p=k
kugawanywa na6 bila kuwaeleza.

Saa p=k+1 kugawanywa na 6 bila salio, kwani kila neno linaweza kugawanywa na6 bila salio: muhula wa kwanza ni kwa nadharia ya utangulizi, ya pili ni dhahiri, ya tatu ni kwa sababu
idadi sawa.

Mfano Nambari 26.

Thibitisha hilo
ikigawanywa na9 inatoa salio 1 .

Ushahidi.

Hebu tuthibitishe hilo
kugawanywa na9 .

Saa n=1
kugawanywa na 9 . Hebu saa p=k
kugawanywa na9 .

Saa p=k+1 kugawanywa na 9 .

Mfano Nambari 27.

Thibitisha kuwa inaweza kugawanywa na15 bila kuwaeleza.

Ushahidi.

Saa n=1 kugawanywa na 15 .

Hebu saa p=k kugawanywa na 15 bila kuwaeleza.

Saa p=k+1

Muhula wa kwanza ni nyingi15 kwa hypothesis introduktionsutbildning, muda wa pili ni nyingi ya15 - ni wazi, muhula wa tatu ni nyingi ya15 , kwa sababu
nyingi5 (imethibitishwa kwa mfano Na. 21), neno la nne na la tano pia ni nyingi5 , ambayo ni dhahiri, basi jumla ni nyingi15 .

Somo la 8-9.

Kuthibitisha usawa kwa introduktionsutbildning hisabati

Mfano Nambari 28.
.

Saa n=1 tunayo
- kulia.

Hebu saa p=k
- usawa wa kweli.

Saa p=k+1

Kisha usawa ni halali kwa asili yoyote n.

Mfano Nambari 29. Thibitisha kuwa ukosefu wa usawa ni kweli
yoyote n.

Saa n=1 tunapata usawa sahihi 4 >1.

Hebu saa p=k usawa ni kweli
.

Hebu tuthibitishe hilo lini p=k+1 usawa ni kweli

Kwa asili yoyote Kwa kuna ukosefu wa usawa.

Kama
saa
Hiyo

Mfano Nambari 30.

chini ya asili yoyote n na yoyote

Hebu n=1
, sawa.

Wacha tufikirie kuwa ukosefu wa usawa unashikilia p=k:
.

Saa p=k+1

Mfano Nambari 31. Thibitisha uhalali wa ukosefu wa usawa

chini ya asili yoyote n.

Hebu kwanza tuthibitishe hilo kwa asili yoyote T usawa ni kweli

Hebu tuzidishe pande zote mbili za ukosefu wa usawa
. Tunapata usawa sawa au
;
; - usawa huu unashikilia kwa asili yoyote T.

Saa n=1 usawa wa awali ni sahihi
;
;
.

Acha usawa ushikilie p=k:
.

Saa p=k+1

Somo la 10.

Kutatua matatizo kwenye mada

Njia ya induction ya hisabati.

Mfano Nambari 32. Thibitisha ukosefu wa usawa wa Bernoulli.

Kama
, basi kwa maadili yote ya asilin ukosefu wa usawa unashikilia

Ushahidi.

Saa n=1 ukosefu wa usawa unaothibitishwa huchukua fomu
na ni wazi haki. Wacha tufikirie kuwa ni kweli kwap=k , yaani nini
.

Tangu kwa masharti
, Hiyo
, na kwa hivyo ukosefu wa usawa haubadilishi maana yake wakati sehemu zake zote mbili zinazidishwa
:

Kwa sababu
, basi tunapata hiyo

Kwa hivyo, usawa ni kweli kwa n=1, na kutokana na ukweli wake p=k inafuata kwamba ni kweli hata kama n=k+1. Hii ina maana kwamba, kwa mujibu wa uingizaji wa hisabati, inashikilia kwa asili yote uk.

Kwa mfano,

Mfano Nambari 33. Pata maadili yote ya asilin , ambayo ukosefu wa usawa ni kweli

Suluhisho.

Saa n=1 usawa ni haki. Saa n=2 usawa pia ni kweli.

Saa n=3 ukosefu wa usawa haushiki tena. Wakati tu n=6 ukosefu wa usawa unashikilia, kwa hivyo tunaweza kuchukua kama msingi wa ujanibishaji n=6.

Tuseme kwamba ukosefu wa usawa ni kweli kwa baadhi ya asili Kwa:

Fikiria ukosefu wa usawa

Ukosefu wa usawa wa mwisho unaridhika ikiwa
Kazi ya majaribio kwenye mada p=1 inatolewa mara kwa mara: p≥5, wapi n- - nambari ya asili.

Njia ya uthibitisho kulingana na axiom 4 ya Peano inatumika kuthibitisha sifa nyingi za hisabati na taarifa mbalimbali. Msingi wa hii ni nadharia ifuatayo.

Nadharia. Ikiwa kauli A(n) na kutofautiana kwa asili n kweli kwa n= 1 na kutokana na ukweli kwamba ni kweli kwa n = k, inafuata kwamba ni kweli kwa nambari inayofuata n=k, kisha kauli A(n) n.

Ushahidi. Wacha tuonyeshe kwa M seti ya hizo na zile nambari za asili pekee ambazo taarifa hiyo A(n) kweli. Kisha kutoka kwa masharti ya nadharia tunayo: 1) 1 M; 2) k MkM. Kuanzia hapa, kwa kuzingatia axiom 4, tunahitimisha kuwa M =N, i.e. kauli A(n) kweli kwa asili yoyote n.

Njia ya uthibitisho kulingana na nadharia hii inaitwa kwa njia ya induction ya hisabati, na axiom ni axiom ya introduktionsutbildning. Uthibitisho huu una sehemu mbili:

1) thibitisha kuwa taarifa hiyo A(n) kweli kwa n= A(1);

2) kudhani kuwa taarifa hiyo A(n) kweli kwa n = k, na, kwa kuzingatia dhana hii, thibitisha kwamba taarifa hiyo A(n) kweli kwa n = k + 1, i.e. kwamba taarifa hiyo ni ya kweli A(k) A(k + 1).

Kama A( 1) A(k) A(k + 1) - kauli ya kweli, basi wanahitimisha kuwa kauli hiyo A(n) kweli kwa nambari yoyote ya asili n.

Uthibitisho kwa njia ya uingizaji wa hisabati unaweza kuanza si tu kwa uthibitisho wa ukweli wa taarifa kwa n= 1, lakini pia kutoka kwa nambari yoyote ya asili m. Katika kesi hii kauli A(n) itathibitishwa kwa nambari zote za asili nm.

Shida: Wacha tuthibitishe kuwa kwa nambari yoyote asilia usawa 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = n.

Suluhisho. Usawa 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n ni fomula inayoweza kutumika kupata jumla ya nambari asilia za asili zinazofuatana. Kwa mfano, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (jumla ina maneno 4), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (jumla ina maneno 6); ikiwa jumla hii ina masharti 20 ya aina iliyoonyeshwa, basi ni sawa na 20 = 400, nk. Baada ya kuthibitisha ukweli wa usawa huu, tutaweza kupata jumla ya idadi yoyote ya masharti ya aina maalum kwa kutumia fomula.

1) Hebu tuthibitishe ukweli wa usawa huu kwa n= 1. Wakati n= 1 upande wa kushoto wa usawa una neno moja sawa na 1, upande wa kulia ni sawa na 1= 1. Tangu 1 = 1, basi kwa n= 1 usawa huu ni kweli.

2) Tuseme kwamba usawa huu ni kweli kwa n = k, i.e. kwamba 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = k. Kulingana na dhana hii, tunathibitisha kuwa ni kweli kwa n = k + 1, i.e. 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Wacha tuangalie upande wa kushoto wa usawa wa mwisho.

Kwa kudhani, jumla ya kwanza k masharti ni sawa na k na kwa hivyo 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Kujieleza k+ 2k + 1 ni sawa sawa na usemi ( k + 1).

Kwa hiyo, ukweli wa usawa huu kwa n = k + 1 imethibitishwa.

Kwa hivyo, usawa huu ni kweli kwa n= 1 na kutokana na ukweli wake kwa n = k lazima iwe kweli kwa n = k + 1.

Hii inathibitisha kwamba usawa huu ni kweli kwa nambari yoyote ya asili.

Kutumia njia ya uingizaji wa hisabati, unaweza kuthibitisha ukweli wa sio tu usawa, lakini pia usawa.

Kazi. Thibitisha hilo, wapi nN.

Suluhisho. Wacha tuangalie ukweli wa ukosefu wa usawa n= 1. Tuna - usawa wa kweli.

Wacha tufikirie kuwa ukosefu wa usawa ni kweli n = k, hizo. - usawa wa kweli. Hebu tuthibitishe, kwa kuzingatia dhana, kwamba pia ni kweli kwa n = k + 1, i.e. (*).

Wacha tubadilishe upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa (*), kwa kuzingatia kwamba: .

Lakini , ambayo ina maana .

Kwa hivyo, usawa huu ni kweli kwa n= 1, na, kutokana na ukweli kwamba ukosefu wa usawa ni kweli kwa baadhi n= k, tuligundua kuwa ni kweli pia kwa n= k + 1.

Kwa hivyo, kwa kutumia axiom 4, tulithibitisha kuwa ukosefu huu wa usawa ni kweli kwa nambari yoyote asilia.

Taarifa zingine zinaweza kuthibitishwa kwa kutumia njia ya induction ya hisabati.

Kazi. Thibitisha kwamba kwa nambari yoyote ya asili taarifa hiyo ni kweli.

Suluhisho. Hebu tuangalie ukweli wa taarifa hiyo lini n= 1: -taarifa ya kweli.

Hebu tuchukulie kwamba kauli hii ni kweli kwa n = k:. Hebu tuonyeshe, kwa kutumia hili, ukweli wa kauli wakati n = k + 1: .

Wacha tubadilishe usemi: . Hebu tupate tofauti k Na k+ 1 wanachama. Ikiwa itabadilika kuwa tofauti inayotokana ni nyingi ya 7, na kwa kudhani subtrahend inaweza kugawanywa na 7, basi minuend pia ni nyingi ya 7:

Bidhaa hiyo ni nyingi ya 7, kwa hiyo, na.

Kwa hivyo, kauli hii ni kweli kwa n= 1 na kutokana na ukweli wake kwa n = k lazima iwe kweli kwa n = k + 1.

Hii inathibitisha kwamba taarifa hii ni kweli kwa nambari yoyote ya asili.

Kazi. Thibitisha hilo kwa nambari yoyote ya asili n 2 kauli (7-1)24 ni kweli.

Suluhisho. 1) Wacha tuangalie ukweli wa taarifa wakati n= 2: - taarifa ya kweli.

Lyceum ya Jiji la Bryansk No. 1

Kazi ya utafiti juu ya mada:

Njia ya Uingizaji wa Hisabati

Imekamilika

M kidogo KWA Constantine

mwanafunzi wa 10 Fizikia na Hisabati

Lyceum ya Jiji la Bryansk No. 1

Imechaguliwa

T Yukacheva KUHUSU uongo NA vanovna

Utangulizi_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

Sehemu kuu

Uingizaji kamili na usio kamili_ _ _ _ _ _ _ _ _ _3-4

Kanuni ya uingizaji wa hisabati_ _ _ _ _4-5

Mbinu ya utangulizi wa hisabati_ _ _ _ _ _ 6

Suluhisho kwa Uingizaji wa Hisabati

Kwa matatizo ya muhtasari_ _ _ _ _ _ _ _ 7

Kwa matatizo ya kuthibitisha ukosefu wa usawa_ _8

Kwa shida za mgawanyiko _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11

Kwa matatizo ya kuthibitisha utambulisho _ _ _12

Kwa kazi zingine _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13

Hitimisho_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16

Orodha ya fasihi iliyotumika _ _ _ _17

Utangulizi

Neno induction kwa Kirusi inamaanisha mwongozo, na kwa kufata neno wito hitimisho kufanywa kwa misingi ya uchunguzi, majaribio, i.e. kupatikana kwa makisio kutoka kwa mahususi hadi kwa jumla.

Wazo la "kufuata", ambayo ni msingi wa hesabu, pia ilionekana kutoka kwa uchunguzi wa malezi ya askari, meli na seti zingine zilizoamriwa.

Kiini cha Uingizaji wa Hisabati

Wacha tuonyeshe mfano wa kutumia M mbinu M asiyeaminika NA induction na mwisho tutafanya hitimisho la jumla.

Wacha iwe muhimu kubaini kuwa kila nambari asilia ndani ya 4< n< 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Usawa huu tisa unaonyesha kwamba kila moja ya nambari tunayopendezwa nayo inawakilishwa kama jumla ya maneno mawili rahisi.

Kwa hivyo, introduktionsutbildning kamili inajumuisha kuthibitisha taarifa ya jumla tofauti katika kila idadi ya finite ya kesi iwezekanavyo.

Wakati mwingine matokeo ya jumla yanaweza kutabiriwa baada ya kuzingatia sio yote, lakini idadi kubwa ya kesi fulani (kinachojulikana kama introduktionsutbildning).

Matokeo yaliyopatikana kwa introduktionsutbildning incomplete bado, hata hivyo, hypothesis tu mpaka ni kuthibitishwa na hoja sahihi hisabati, kufunika kesi zote maalum. Kwa maneno mengine, uingizaji usio kamili katika hisabati hauzingatiwi njia halali ya uthibitisho mkali, lakini ni njia yenye nguvu ya kugundua ukweli mpya.

Hebu, kwa mfano, unataka kupata jumla ya nambari zisizo za kawaida n za kwanza mfululizo. Hebu fikiria kesi maalum:

1+3+5+7+9=25=5 2

Baada ya kuzingatia kesi hizi chache maalum, hitimisho la jumla lifuatalo linajipendekeza:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

hizo. jumla ya nambari zisizo za kawaida n za kwanza mfululizo ni n 2

Bila shaka, uchunguzi uliofanywa bado hauwezi kutumika kama uthibitisho wa uhalali wa agizo hilo.

fomula iliyopewa.

Uingizaji kamili una matumizi machache tu katika hisabati. Taarifa nyingi za kuvutia za hisabati hufunika idadi isiyo na kikomo ya kesi maalum, lakini hatuwezi kuzijaribu kwa idadi isiyo na kikomo ya kesi. Uingizaji usio kamili mara nyingi husababisha matokeo yenye makosa.

Mara nyingi, njia ya nje ya aina hii ya ugumu ni kuamua njia maalum ya kufikiria, inayoitwa njia ya induction ya hisabati. Ni kama ifuatavyo.

Tuseme unahitaji kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani kwa nambari yoyote asilia n (kwa mfano, unahitaji kuthibitisha kuwa jumla ya nambari za n isiyo ya kawaida ni sawa na n 2). Uthibitishaji wa moja kwa moja wa taarifa hii kwa kila thamani ya n hauwezekani, kwani seti ya nambari za asili hazina kikomo. Ili kuthibitisha kauli hii, kwanza angalia uhalali wake kwa n=1. Kisha wanathibitisha kuwa kwa thamani yoyote asilia ya k, uhalali wa taarifa inayozingatiwa ya n=k inamaanisha uhalali wake kwa n=k+1.

Kisha taarifa hiyo inachukuliwa kuwa imethibitishwa kwa wote n. Kwa kweli, taarifa hiyo ni kweli kwa n=1. Lakini basi ni kweli pia kwa nambari inayofuata n=1+1=2. Uhalali wa taarifa ya n=2 unamaanisha uhalali wake kwa n=2+

1=3. Hii inamaanisha uhalali wa taarifa ya n=4, nk. Ni wazi kwamba, mwishoni, tutafikia nambari yoyote ya asili n. Hii ina maana kwamba taarifa ni kweli kwa yoyote n.

Kwa muhtasari wa kile ambacho kimesemwa, tunaunda kanuni ifuatayo ya jumla.

Kanuni ya uingizaji wa hisabati.

Ikiwa pendekezo A ( n ), kulingana na nambari ya asili n , kweli kwa n =1 na kutokana na ukweli kwamba ni kweli kwa n = k (wapi k -nambari yoyote asilia), inafuata kwamba ni kweli kwa nambari inayofuata n = k +1, kisha dhana A( n ) kweli kwa nambari yoyote ya asili n .

Katika idadi ya matukio, inaweza kuwa muhimu kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani si kwa nambari zote za asili, lakini tu kwa n> p, ambapo p ni nambari ya asili isiyobadilika. Katika kesi hii, kanuni ya induction ya hisabati imeundwa kama ifuatavyo.

Ikiwa pendekezo A ( n ) kweli kwa n = uk na kama A( k ) Þ A( k +1) kwa mtu yeyote k > uk , kisha pendekezo A( n ) kweli kwa mtu yeyote n > uk .

Uthibitisho wa kutumia njia ya induction ya hisabati unafanywa kama ifuatavyo. Kwanza, taarifa ya kuthibitishwa inaangaliwa kwa n = 1, i.e. ukweli wa kauli A(1) umethibitishwa. Sehemu hii ya uthibitisho inaitwa msingi wa induction. Kisha inakuja sehemu ya uthibitisho inayoitwa hatua ya induction. Katika sehemu hii, zinathibitisha uhalali wa taarifa ya n=k+1 chini ya dhana ya uhalali wa taarifa ya n=k (dhahania ya utangulizi), i.e. thibitisha kwamba A(k)ÞA(k+1).

Utumiaji wa njia ya induction ya hisabati katika shida za muhtasari

Utumiaji wa njia ya induction ya hisabati katika shida za muhtasari