Je! unajua hexagons ya kawaida inaonekanaje?
Swali hili halikuulizwa kwa bahati. Wanafunzi wengi wa darasa la 11 hawajui jibu la hili.
Heksagoni ya kawaida ni ile ambayo pande zote ni sawa na pembe zote pia ni sawa..
Chuma nati. Snowflake. Kiini cha sega la asali ambamo nyuki huishi. Molekuli ya benzini. Je, vitu hivi vinafanana nini? - Ukweli kwamba wote wana sura ya kawaida ya hexagonal.
Watoto wengi wa shule huchanganyikiwa wanapoona matatizo yanayohusisha hexagon ya kawaida na kuamini kwamba fomula fulani maalum zinahitajika ili kuzitatua. Je, ni hivyo?
Wacha tuchore diagonal za hexagon ya kawaida. Tuna pembetatu sita za usawa. 
Tunajua kuwa eneo la pembetatu ya kawaida ni: .
Kisha eneo la hexagon ya kawaida ni kubwa mara sita.
Ambapo ni upande wa hexagon ya kawaida.
Tafadhali kumbuka kuwa katika hexagon ya kawaida, umbali kutoka katikati yake hadi wima yoyote ni sawa na ni sawa na upande wa hexagon ya kawaida.
Hii ina maana kwamba radius ya duara iliyozungukwa karibu na hexagon ya kawaida ni sawa na upande wake.
Radi ya duara iliyoandikwa katika hexagon ya kawaida si vigumu kupata.
Ni sawa.
Sasa unaweza kutatua kwa urahisi matatizo yoyote ya USE ambayo yanahusisha hexagon ya kawaida.
Tafuta kipenyo cha duara kilichoandikwa kwenye hexagons ya kawaida na upande.
Radi ya duara kama hiyo ni sawa na .
Jibu:.
Je, ni upande gani wa hexagon ya kawaida iliyoandikwa kwenye duara ambayo radius yake ni 6?
Tunajua kwamba upande wa hexagons ya kawaida ni sawa na radius ya duara iliyozungushwa kuizunguka.
Takwimu maarufu zaidi yenye pembe zaidi ya nne ni hexagon ya kawaida. Katika jiometri mara nyingi hutumiwa katika matatizo. Na katika maisha, hii ndivyo hasa masega ya asali yanapokatwa.
Je, ni tofauti gani na ile mbaya?
Kwanza, hexagon ni takwimu yenye wima 6. Pili, inaweza kuwa convex au concave. Ya kwanza ni tofauti kwa kuwa wima nne ziko upande mmoja wa mstari ulionyooka uliochorwa kupitia nyingine mbili.
Tatu, hexagon ya kawaida ina sifa ya ukweli kwamba pande zake zote ni sawa. Aidha, kila kona ya takwimu pia ina maana sawa. Kuamua jumla ya pembe zake zote, utahitaji kutumia formula: 180º * (n - 2). Hapa n ni idadi ya wima ya takwimu, yaani, 6. Hesabu rahisi inatoa thamani ya 720º. Hiyo ni, kila pembe ni sawa na digrii 120.
Katika shughuli za kila siku, hexagon ya kawaida hupatikana katika theluji ya theluji na nut. Wanakemia wanaona hata katika molekuli ya benzene.
Ni mali gani unayohitaji kujua wakati wa kutatua shida?
Kwa kile kilichoelezwa hapo juu kinapaswa kuongezwa:
- diagonals ya takwimu inayotolewa kupitia kituo huigawanya katika pembetatu sita, ambazo ni za usawa;
- upande wa hexagon ya kawaida ina thamani ambayo inafanana na radius ya mduara iliyozunguka karibu nayo;
- Kutumia takwimu hiyo, inawezekana kujaza ndege, na hakutakuwa na mapungufu kati yao na hakuna kuingiliana.
Majina yaliyoanzishwa
Kijadi, upande wa takwimu ya kijiometri ya kawaida huteuliwa na barua ya Kilatini "a". Ili kutatua matatizo, eneo na mzunguko pia zinahitajika, hizi ni S na P, kwa mtiririko huo. Mduara unaweza kuandikwa kwa hexagon ya kawaida au kuelezewa karibu nayo. Kisha maadili ya radii yao yanaingizwa. Wao huteuliwa na barua r na R, kwa mtiririko huo.
Baadhi ya fomula ni pamoja na pembe ya ndani, nusu mzunguko na apothem (ambayo ni sawa na katikati ya upande wowote kutoka katikati ya poligoni). Barua zinazotumiwa kwao ni: α, р, m.
Fomula zinazoelezea takwimu
Ili kuhesabu radius ya duara iliyoandikwa utahitaji zifuatazo: r = (a * √3) / 2, yenye r = m. Hiyo ni, formula sawa itakuwa kwa apothem.
Kwa kuwa mzunguko wa hexagon ni jumla ya pande zote, itajulikana kama ifuatavyo: P = 6 * a. Kwa kuzingatia ukweli kwamba upande ni sawa na radius ya mzunguko ulioandikwa, kwa mzunguko kuna formula ifuatayo ya hexagon ya kawaida: P = 6 * R. Kutoka kwa moja iliyotolewa kwa radius ya mzunguko ulioandikwa, uhusiano kati ya a na r unatokana. Kisha formula inachukua fomu ifuatayo: P = 4 r * √3.
Kwa eneo la hexagon ya kawaida, zifuatazo zinaweza kuwa muhimu: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Kazi
Nambari 1. Hali. Kuna prism ya kawaida ya hexagonal, kila makali ambayo ni cm 4. Silinda imeandikwa ndani yake, kiasi ambacho kinapaswa kupatikana.
Suluhisho. Kiasi cha silinda hufafanuliwa kama bidhaa ya eneo la msingi na urefu. Mwisho unafanana na makali ya prism. Na ni sawa na upande wa hexagon ya kawaida. Hiyo ni, urefu wa silinda pia ni 4 cm.
Ili kujua eneo la msingi wake, utahitaji kuhesabu radius ya duara iliyoandikwa kwenye hexagon. Formula kwa hili imetolewa hapo juu. Hii ina maana r = 2√3 (cm). Kisha eneo la mduara: S = π * r 2 = 3.14 * (2√3) 2 = 37.68 (cm 2).
Jibu. V = 150.72 cm 3.
Nambari 2. Hali. Kuhesabu radius ya duara iliyoandikwa katika hexagon ya kawaida. Inajulikana kuwa upande wake ni √3 cm. Je, mzunguko wake utakuwa sawa na nini?
Suluhisho. Tatizo hili linahitaji matumizi ya fomula mbili kati ya zifuatazo. Kwa kuongezea, lazima zitumike bila hata kuzibadilisha, badilisha tu thamani ya upande na uhesabu.
Kwa hivyo, radius ya mduara ulioandikwa ni sawa na cm 1.5 Kwa mzunguko, thamani ifuatayo inageuka kuwa sahihi: 6√3 cm.
Jibu. r = 1.5 cm, P = 6√3 cm.
Nambari 3. Hali. Radi ya mzunguko wa mzunguko ni cm 6. Je, upande wa hexagon ya kawaida utakuwa na thamani gani katika kesi hii?
Suluhisho. Kutoka kwa formula ya radius ya mduara iliyoandikwa katika hexagon, mtu hupata kwa urahisi moja ambayo unahitaji kuhesabu upande. Ni wazi kwamba radius inazidishwa na mbili na kugawanywa na mzizi wa tatu. Ni muhimu kuondokana na kutokuwa na maana katika denominator. Kwa hiyo, matokeo ya vitendo huchukua fomu ifuatayo: (12 √3) / (√3 * √3), yaani, 4√3.
Jibu. a = 4√3 cm.
Ujenzi wa hexagon ya kawaida iliyoandikwa kwenye mduara. Ujenzi wa hexagon ni msingi wa ukweli kwamba upande wake ni sawa na radius ya mzunguko wa mzunguko. Kwa hiyo, ili kuijenga, inatosha kugawanya mduara katika sehemu sita sawa na kuunganisha pointi zilizopatikana kwa kila mmoja (Mchoro 60, a).
Hexagon ya kawaida inaweza kujengwa kwa kutumia makali ya moja kwa moja na mraba 30X60 °. Ili kutekeleza ujenzi huu, tunachukua kipenyo cha usawa cha mduara kama sehemu mbili za pembe 1 na 4 (Mchoro 60, b), jenga pande 1 -6, 4-3, 4-5 na 7-2, baada ya hapo. tunachora pande 5-6 na 3-2.
Kuunda pembetatu ya usawa iliyoandikwa kwenye mduara. Vipeo vya pembetatu hiyo vinaweza kujengwa kwa kutumia dira na mraba yenye pembe za 30 na 60 ° au dira moja tu.
Wacha tuchunguze njia mbili za kuunda pembetatu ya usawa iliyoandikwa kwenye duara.
Njia ya kwanza(Mchoro 61, a) inategemea ukweli kwamba pembe zote tatu za pembetatu 7, 2, 3 zina 60 °, na mstari wa wima unaotolewa kupitia hatua ya 7 ni urefu na sehemu ya pembetatu 1. Tangu angle. ni 0-1- 2 ni sawa na 30 °, kisha kupata upande
1-2, inatosha kujenga angle ya 30 ° kutoka hatua ya 1 na upande wa 0-1. Ili kufanya hivyo, sasisha upau wa msalaba na mraba kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu, chora mstari 1-2, ambayo itakuwa moja ya pande za pembetatu inayotaka. Ili kujenga upande wa 2-3, weka upau katika nafasi iliyoonyeshwa na mistari iliyopigwa, na kuchora mstari wa moja kwa moja kupitia hatua ya 2, ambayo itaamua vertex ya tatu ya pembetatu.
Njia ya pili inategemea ukweli kwamba ikiwa utaunda hexagon ya kawaida iliyoandikwa kwenye mduara na kisha kuunganisha wima kupitia moja, utapata pembetatu ya equilateral.
Ili kujenga pembetatu (Mchoro 61, b), alama ya vertex-kumweka 1 kwenye kipenyo na kuteka mstari wa diametrical 1-4. Ifuatayo, kutoka kwa hatua ya 4 na radius sawa na D / 2, tunaelezea arc mpaka inapoingiliana na mduara kwenye pointi 3 na 2. Pointi zinazosababisha zitakuwa wima nyingine mbili za pembetatu inayotaka.
Kuunda mraba ulioandikwa kwenye mduara. Ujenzi huu unaweza kufanywa kwa kutumia mraba na dira.
Njia ya kwanza inategemea ukweli kwamba diagonals ya mraba huingilia katikati ya mduara uliozunguka na huelekezwa kwa axes zake kwa pembe ya 45 °. Kulingana na hili, tunaweka msalaba na mraba na pembe za 45 ° kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 62, a, na alama pointi 1 na 3. Kisha, kupitia pointi hizi tunachora pande za usawa za mraba 4-1 na 3-2 kwa kutumia crossbar. Kisha, kwa kutumia makali ya moja kwa moja, tunatoa pande za wima za mraba 1-2 na 4-3 kando ya mguu wa mraba.
Njia ya pili inategemea ukweli kwamba vertices za mraba hupunguza arcs ya mduara iliyofungwa kati ya mwisho wa kipenyo (Mchoro 62, b). Tunaweka alama A, B na C kwenye ncha za vipenyo viwili vya perpendicular na kutoka kwao kwa radius y tunaelezea arcs mpaka zinaingiliana.
Ifuatayo, kupitia sehemu za makutano ya arcs tunachora mistari ya moja kwa moja ya msaidizi, iliyowekwa alama kwenye takwimu na mistari thabiti. Pointi za makutano yao na mduara zitaamua wima 1 na 3; 4 na 2. Tunaunganisha wima ya mraba inayotaka iliyopatikana kwa njia hii mfululizo kwa kila mmoja.
Ujenzi wa pentagon ya kawaida iliyoandikwa kwenye mduara.
Ili kuunganisha pentagon ya kawaida kwenye mduara (Mchoro 63), tunafanya ujenzi wafuatayo.
Tunaweka alama 1 kwenye mduara na kuichukua kama moja ya wima ya pentagon. Tunagawanya sehemu ya AO kwa nusu. Ili kufanya hivyo, tunaelezea arc kutoka kwa hatua A na radius AO mpaka inapoingiliana na mduara kwenye pointi M na B. Kwa kuunganisha pointi hizi kwa mstari wa moja kwa moja, tunapata uhakika K, ambayo sisi kisha tunaunganisha kwa uhakika 1. Na. radius sawa na sehemu ya A7, tunaelezea arc kutoka hatua ya K hadi inaingiliana na mstari wa diametrical AO kwenye hatua H. Kwa kuunganisha hatua ya 1 na hatua H, tunapata upande wa pentagon. Kisha, kwa kutumia suluhisho la dira sawa na sehemu ya 1H, inayoelezea arc kutoka vertex 1 hadi makutano na mduara, tunapata wima 2 na 5. Baada ya kutengeneza noti kutoka kwa wima 2 na 5 na suluhisho sawa la dira, tunapata iliyobaki. wima 3 na 4. Tunaunganisha pointi zilizopatikana kwa mlolongo na kila mmoja.
Kujenga pentagon ya kawaida kando ya upande fulani.
Ili kujenga pentagon ya kawaida kando ya upande fulani (Mchoro 64), tunagawanya sehemu ya AB katika sehemu sita sawa. Kutoka kwa pointi A na B na radius AB tunaelezea arcs, makutano ambayo yatatoa uhakika K. Kupitia hatua hii na mgawanyiko wa 3 kwenye mstari wa AB tunatoa mstari wa wima.
Tunapata uhakika wa 1-vertex ya pentagon. Kisha, kwa radius sawa na AB, kutoka kwa hatua ya 1 tunaelezea arc mpaka inaingiliana na arcs zilizotolewa hapo awali kutoka kwa pointi A na B. Sehemu za makutano ya arcs huamua vertices ya pentagon 2 na 5. Tunaunganisha vertices zilizopatikana katika mfululizo na kila mmoja.
Ujenzi wa heptagon ya kawaida iliyoandikwa kwenye mduara.
Hebu mduara wa kipenyo D upewe; unahitaji kuingiza heptagon ya kawaida ndani yake (Mchoro 65). Gawanya kipenyo cha wima cha duara katika sehemu saba sawa. Kutoka hatua ya 7 na radius sawa na kipenyo cha mduara D, tunaelezea arc mpaka inapoingiliana na kuendelea kwa kipenyo cha usawa kwenye hatua F. Tunaita hatua F pole ya poligoni. Kuchukua hatua ya VII kama moja ya wima ya heptagon, tunachora mionzi kutoka kwa pole F kupitia mgawanyiko hata wa kipenyo cha wima, makutano ambayo kwa mduara itaamua wima VI, V na IV ya heptagon. Ili kupata wima / - // - /// kutoka kwa pointi IV, V na VI, chora mistari ya usawa hadi inapoingiliana na mduara. Tunaunganisha wima zilizopatikana kwa mlolongo kwa kila mmoja. Heptagoni inaweza kujengwa kwa kuchora miale kutoka kwa nguzo ya F na kupitia migawanyiko isiyo ya kawaida ya kipenyo cha wima.
Njia iliyo hapo juu inafaa kwa kuunda poligoni za kawaida na idadi yoyote ya pande.
Mgawanyiko wa duara katika idadi yoyote ya sehemu sawa unaweza pia kufanywa kwa kutumia data katika Jedwali. 2, ambayo hutoa coefficients ambayo inafanya uwezekano wa kuamua vipimo vya pande za polygons za kawaida zilizoandikwa.
Heksagoni ya kawaida A heksagoni ni poligoni yenye pembe sita. Kitu chochote cha umbo hili pia huitwa hexagon. Jumla ya pembe za ndani za heksagoni mbonyeo p ... Wikipedia
Hexagons ya Zohali- Muundo thabiti wa angahewa wa pembe sita katika ncha ya kaskazini ya Zohali, uliogunduliwa na Voyager 1 na kuzingatiwa tena mnamo 2006 na ... Wikipedia
Polygon ya kawaida- Heptagoni ya kawaida Poligoni ya kawaida ni poligoni mbonyeo ambayo pande zote na pembe ni sawa. Ufafanuzi wa poligoni ya kawaida unaweza kutegemea ufafanuzi wa... Wikipedia
Heptagon ya kawaida- Heptagoni ya kawaida ni poligoni ya kawaida yenye pande saba. Yaliyomo... Wikipedia
Pembetatu ya kawaida- Pembetatu ya kawaida. Pembetatu ya kawaida (au ya usawa) ni poligoni ya kawaida yenye pande tatu, ya kwanza ya poligoni za kawaida. Pande zote... Wikipedia
Hexagons ya kawaida ni poligoni ya kawaida yenye pande tisa. Sifa za Kanuni ... Wikipedia
Mara kwa mara 17-gon- Decidagoni ya kawaida ni takwimu ya kijiometri inayohusishwa na kundi la poligoni za kawaida. Ina pande kumi na saba na pembe kumi na saba, pembe zake zote na pande ni sawa kwa kila mmoja, wima zote ziko kwenye mduara huo. Yaliyomo 1... ...Wikipedia
Hexagons ya kawaida- takwimu ya kijiometri ya kikundi cha polygons za kawaida. Ina pande kumi na saba na pembe kumi na saba, pembe zake zote na pande ni sawa kwa kila mmoja, wima zote ziko kwenye mduara huo. Yaliyomo... Wikipedia
Octagon ya kawaida- (octagon) takwimu ya kijiometri kutoka kwa kundi la poligoni za kawaida. Ina pande nane na pembe nane na pembe na pande zote ni sawa kwa kila mmoja ... Wikipedia
Kawaida 65537-gon- mraba 65537 au mduara? Pembetatu ya kawaida ya 65537 (elfu sitini na tano na mia tano thelathini na saba) takwimu ya kijiometri kutoka kwa kundi la poligoni za kawaida, zinazojumuisha 65537 ... Wikipedia
Vitabu
- Inaweka "Mipaka ya Uchawi" No. 25,. Weka kwa ajili ya kukusanya cubes 3 na sehemu. Kila mchemraba una sehemu zinazohamia ambapo sehemu hupita. Hii inakuwezesha kuona mchemraba kwa ujumla na katika sehemu ya msalaba. Imekusanywa cubes tatu hukuruhusu kutatua shida ...
Sifa za hisabati
Upekee wa hexagon ya kawaida ni usawa wa upande wake na radius ya duara iliyozungushwa, kwani
Pembe zote ni sawa na 120 °.
Radi ya duara iliyoandikwa ni sawa na:
Mzunguko wa hexagon ya kawaida ni:
Eneo la hexagon ya kawaida huhesabiwa kwa kutumia fomula:
Hexagons tile ndege, yaani, wanaweza kujaza ndege bila mapungufu au kuingiliana, na kutengeneza kinachojulikana parquet.
Parquet ya hexagonal (parquet ya hexagonal)- kuweka tiles ya ndege yenye hexagoni sawa za kawaida ziko upande hadi upande.
Parquet ya hexagonal ni mbili kwa parquet ya triangular: ikiwa unganisha vituo vya hexagons karibu, basi makundi yaliyotolewa yatatoa parquet ya triangular. Alama ya Schläfli ya parquet ya hexagonal ni (6,3), ambayo ina maana kwamba hexagoni tatu hukutana katika kila kipeo cha parquet.
Parquet ya hexagonal ni ufungaji mnene zaidi wa miduara kwenye ndege. Katika nafasi ya Euclidean ya pande mbili, kujaza bora ni kuweka vituo vya miduara kwenye wima ya parquet iliyoundwa na hexagons ya kawaida, ambayo kila mduara umezungukwa na wengine sita. Uzani wa kifurushi hiki ni . Mnamo 1940, ilithibitishwa kuwa kifurushi hiki ndio mnene zaidi.
Hexagon ya kawaida yenye upande ni kifuniko cha ulimwengu wote, yaani, seti yoyote ya kipenyo inaweza kufunikwa na hexagon ya kawaida na upande (Pala's lemma).
Hexagon ya kawaida inaweza kujengwa kwa kutumia dira na mtawala. Ifuatayo ni mbinu ya ujenzi iliyopendekezwa na Euclid in Elements, Kitabu cha IV, Theorem 15.
Hexagon ya mara kwa mara katika asili, teknolojia na utamaduni
onyesha mgawanyiko wa ndege katika hexagons za kawaida. Sura ya hexagonal inakuwezesha kuokoa kwenye kuta zaidi kuliko wengine, yaani, nta ndogo itatumika kwenye asali na seli hizo.
Baadhi ya fuwele changamano na molekuli, kama vile grafiti, zina kimiani ya fuwele ya hexagonal.
Huundwa wakati matone ya maji ya microscopic katika mawingu yanavutiwa na chembe za vumbi na kuganda. Fuwele za barafu zinazoonekana, mwanzoni hazizidi 0.1 mm kwa kipenyo, huanguka chini na kukua kama matokeo ya kufidia kwa unyevu kutoka hewa juu yao. Hii hutoa fomu za fuwele zenye ncha sita. Kutokana na muundo wa molekuli za maji, pembe za 60 ° na 120 ° tu zinawezekana kati ya mionzi ya kioo. Kioo kikuu cha maji kina sura ya hexagon ya kawaida katika ndege. Fuwele mpya huwekwa kwenye wima ya hexagons kama hiyo, na mpya huwekwa juu yao, na hii ndio jinsi maumbo anuwai ya nyota za theluji hupatikana.
Wanasayansi kutoka Chuo Kikuu cha Oxford waliweza kuiga kuonekana kwa hexagon kama hiyo katika hali ya maabara. Ili kujua jinsi malezi haya yanatokea, watafiti waliweka chupa ya lita 30 ya maji kwenye meza inayozunguka. Iliiga angahewa ya Zohali na mzunguko wake wa kawaida. Ndani, wanasayansi waliweka pete ndogo zinazozunguka kwa kasi zaidi kuliko chombo. Hii ilizalisha vimbunga vidogo na jeti, ambazo wajaribio waliziona kwa kutumia rangi ya kijani kibichi. Kadiri pete inavyozunguka, ndivyo vimbunga viliongezeka, na kusababisha mtiririko wa karibu kupotoka kutoka kwa umbo lake la duara. Kwa njia hii, waandishi wa jaribio waliweza kupata maumbo mbalimbali - ovals, pembetatu, mraba na, bila shaka, hexagon inayotaka.
Mnara wa asili wa takriban nguzo 40,000 zilizounganishwa za basalt (mara chache sana za andesite) ziliundwa kutokana na mlipuko wa kale wa volkeno. Iko kaskazini-mashariki mwa Ireland Kaskazini, kilomita 3 kaskazini mwa mji wa Bushmills.
Juu ya nguzo huunda aina ya springboard, ambayo huanza chini ya mwamba na kutoweka chini ya uso wa bahari. Safu nyingi ni za hexagonal, ingawa zingine zina pembe nne, tano, saba na nane. Safu ndefu zaidi ina urefu wa mita 12.
Takriban miaka milioni 50-60 iliyopita, wakati wa kipindi cha Paleogene, tovuti ya Antrim ilikuwa chini ya shughuli nyingi za volkeno kwani basalt iliyoyeyuka ilipenya kwenye mchanga na kuunda miinuko mikubwa ya lava. Dutu hii ilipopoa haraka, ujazo wa dutu hii ulipungua (jambo kama hilo huzingatiwa wakati matope yanakauka). Ukandamizaji wa mlalo ulisababisha muundo wa nguzo wa hexagonal.
Sehemu ya msalaba wa nut ina sura ya hexagon ya kawaida.