Njia ya mraba mdogo ni utaratibu wa kihesabu wa kuunda equation ya mstari ambayo inafaa zaidi seti ya jozi zilizopangwa kwa kupata maadili ya a na b, coefficients katika equation ya mstari. Lengo la miraba angalau ni kupunguza jumla ya makosa ya mraba kati ya thamani za y na ŷ. Iwapo kwa kila nukta tutabaini kosa ŷ, njia ya miraba ndogo itapunguza:
ambapo n = idadi ya jozi zilizoagizwa karibu na mstari. kwa karibu iwezekanavyo kwa data.
Dhana hii inaonyeshwa kwenye takwimu
Kulingana na takwimu, mstari unaofaa zaidi data, mstari wa kurejesha, hupunguza jumla ya makosa ya mraba ya pointi nne kwenye grafu. Nitakuonyesha jinsi ya kuamua hii kwa kutumia mraba mdogo na mfano ufuatao.
Hebu fikiria wanandoa wachanga ambao hivi karibuni wamehamia pamoja na kushiriki meza ya ubatili katika bafuni. Kijana huyo alianza kuona kwamba nusu ya meza yake ilikuwa ikipungua kwa kasi, ikipoteza ardhi kwa mousses ya nywele na complexes ya soya. Katika miezi michache iliyopita, mwanadada huyo alikuwa akifuatilia kwa karibu kiwango ambacho idadi ya vitu vilivyo upande wake wa meza ilikuwa ikiongezeka. Jedwali hapa chini linaonyesha idadi ya vitu ambavyo msichana amekusanya kwenye ubatili wake wa bafuni katika miezi michache iliyopita.
Kwa kuwa lengo letu ni kujua ikiwa idadi ya vitu huongezeka kwa muda, "Mwezi" itakuwa tofauti ya kujitegemea, na "Idadi ya vitu" itakuwa tofauti tegemezi.
Kwa kutumia mbinu ya angalau miraba, tunabainisha mlinganyo unaolingana vyema na data kwa kukokotoa thamani za a, y-katiza, na b, mteremko wa mstari:
a = y wastani - bx wastani
ambapo x wastani ni thamani ya wastani ya x, kigezo huru, y avg ni thamani ya wastani ya y, kigezo huru.
Jedwali hapa chini linatoa muhtasari wa hesabu zinazohitajika kwa milinganyo hii.
Mkondo wa athari kwa mfano wetu wa bafu utatolewa na mlinganyo ufuatao:
Kwa kuwa equation yetu ina mteremko mzuri wa 0.976, mvulana ana ushahidi kwamba idadi ya vitu kwenye meza huongezeka kwa muda kwa kiwango cha wastani cha kipengee 1 kwa mwezi. Grafu inaonyesha curve ya athari na jozi zilizopangwa.
Matarajio ya idadi ya bidhaa katika miezi sita ijayo (mwezi wa 16) yatahesabiwa kama ifuatavyo:
ŷ = 5.13 + 0.976x = 5.13 + 0.976(16) ~ 20.7 = vipengee 21
Kwa hivyo, ni wakati wa shujaa wetu kuchukua hatua fulani.
Utendaji wa TREND katika Excel
Kama labda ulivyokisia, Excel ina kazi ya kuhesabu maadili kwa njia ya angalau mraba. Chaguo hili la kukokotoa linaitwa TREND. Syntax yake ni kama ifuatavyo:
TREND (thamani za Y zinazojulikana; thamani za X zinazojulikana; thamani mpya za X; zisizobadilika)
Thamani za Y zinazojulikana - safu ya anuwai tegemezi, kwa upande wetu, idadi ya vitu kwenye jedwali.
Thamani zinazojulikana X - safu ya anuwai ya kujitegemea, kwa upande wetu huu ni mwezi
maadili mapya ya X - maadili mapya ya X (miezi) ambayo TREND kipengele inarudisha thamani inayotarajiwa ya vigeu tegemezi (idadi ya vitu)
const - hiari. Thamani ya Boolean inayobainisha ikiwa b inayobadilika inahitajika kuwa 0.
Kwa mfano, takwimu inaonyesha kazi ya TREND inayotumiwa kuamua idadi inayotarajiwa ya vitu kwenye ubatili wa bafuni kwa mwezi wa 16.
Njia ya angalau mraba
Katika somo la mwisho la mada, tutafahamiana na programu maarufu zaidi FNP, ambayo hupata matumizi mapana zaidi katika nyanja mbalimbali za sayansi na shughuli za vitendo. Hii inaweza kuwa fizikia, kemia, biolojia, uchumi, sosholojia, saikolojia, na kadhalika na kadhalika. Kwa mapenzi ya hatima, mara nyingi ninalazimika kushughulika na uchumi, na kwa hivyo leo nitakupangia safari ya kwenda nchi ya kushangaza inayoitwa. Uchumi=) ...Usitakeje?! Ni nzuri sana huko - unahitaji tu kufanya uamuzi! ...Lakini unachotaka kwa hakika ni kujifunza jinsi ya kutatua matatizo njia ya angalau mraba. Na hasa wasomaji wenye bidii watajifunza kutatua sio tu kwa usahihi, lakini pia kwa HARAKA SANA ;-) Lakini kwanza. taarifa ya jumla ya tatizo+ mfano unaoandamana:
Hebu tujifunze viashiria katika eneo fulani la somo ambalo lina usemi wa kiasi. Wakati huo huo, kuna kila sababu ya kuamini kwamba kiashiria kinategemea kiashiria. Dhana hii inaweza kuwa nadharia ya kisayansi au msingi wa akili ya kawaida. Wacha tuache sayansi kando, hata hivyo, na tuchunguze maeneo ya kupendeza zaidi - ambayo ni, maduka ya mboga. Wacha tuashiria kwa:
- eneo la rejareja la duka la mboga, sq.m.,
- mauzo ya kila mwaka ya duka la mboga, rubles milioni.
Ni wazi kabisa kwamba eneo kubwa la duka, katika hali nyingi mauzo yake yatakuwa.
Tuseme kwamba baada ya kufanya uchunguzi/majaribio/mahesabu/ngoma na matari tunayo data ya nambari: 
Na maduka ya mboga, nadhani kila kitu ni wazi: - hii ni eneo la duka la 1, - mauzo yake ya kila mwaka, - eneo la duka la 2, - mauzo yake ya kila mwaka, nk. Kwa njia, sio lazima kabisa kupata vifaa vilivyoainishwa - tathmini sahihi ya mauzo ya biashara inaweza kupatikana kwa njia ya takwimu za hisabati. Walakini, tusikengeushwe, kozi ya ujasusi wa kibiashara tayari imelipwa =)
Data ya jedwali pia inaweza kuandikwa kwa namna ya pointi na kuonyeshwa katika fomu inayojulikana Mfumo wa Cartesian .
Hebu tujibu swali muhimu: Ni pointi ngapi zinahitajika kwa ajili ya utafiti wa ubora?
kubwa, bora. Seti ya chini inayokubalika ina pointi 5-6. Kwa kuongeza, wakati kiasi cha data ni kidogo, matokeo ya "ajabu" hayawezi kujumuishwa kwenye sampuli. Kwa hiyo, kwa mfano, duka ndogo la wasomi linaweza kupata maagizo ya ukubwa zaidi kuliko "wenzake," na hivyo kupotosha muundo wa jumla ambao unahitaji kupata!
Ili kuiweka kwa urahisi sana, tunahitaji kuchagua kazi, ratiba ambayo hupita karibu iwezekanavyo kwa pointi 
. Kazi hii inaitwa takriban
(makadirio - makadirio) au kazi ya kinadharia
. Kwa ujumla, "mshindani" dhahiri anaonekana hapa mara moja - polynomial ya hali ya juu, ambayo grafu yake hupitia alama ZOTE. Lakini chaguo hili ni ngumu na mara nyingi sio sahihi. (kwa kuwa grafu "itazunguka" wakati wote na kuonyesha vibaya mwelekeo kuu).
Kwa hivyo, kazi inayotafutwa lazima iwe rahisi sana na wakati huo huo ionyeshe utegemezi wa kutosha. Kama unavyoweza kudhani, moja ya njia za kupata kazi kama hizo inaitwa njia ya angalau mraba. Kwanza, hebu tuangalie kiini chake kwa maneno ya jumla. Wacha baadhi ya kazi zikadirie data ya majaribio: 
Jinsi ya kutathmini usahihi wa makadirio haya? Wacha pia tuhesabu tofauti (mkengeuko) kati ya maadili ya majaribio na utendaji (tunasoma mchoro). Wazo la kwanza linalokuja akilini ni kukadiria jumla ni kubwa, lakini shida ni kwamba tofauti zinaweza kuwa mbaya. (Kwa mfano, 
)
na mikengeuko kutokana na majumuisho hayo yataghairiana. Kwa hivyo, kama makadirio ya usahihi wa makadirio, inaomba kuchukua jumla. moduli mikengeuko:
au imeporomoka: (ikiwa mtu hajui:
ni ikoni ya jumla, na
- kibadilishaji cha msaidizi cha "counter", ambacho huchukua maadili kutoka 1 hadi
)
.
Kwa kukadiria pointi za majaribio na vipengele tofauti vya kukokotoa, tutapata thamani tofauti, na ni wazi, ambapo jumla hii ni ndogo, chaguo hili la kukokotoa ni sahihi zaidi.
Njia kama hiyo ipo na inaitwa njia ndogo ya moduli. Walakini, katika mazoezi imekuwa imeenea zaidi njia ya angalau mraba, ambayo maadili hasi yanawezekana huondolewa sio na moduli, lakini kwa kupunguka kwa kupotoka:
, baada ya hapo juhudi zinalenga kuchagua chaguo za kukokotoa kiasi kwamba jumla ya mikengeuko ya mraba 
ilikuwa ndogo iwezekanavyo. Kwa kweli, hapa ndipo jina la njia linatoka.
Na sasa tunarudi kwenye jambo lingine muhimu: kama ilivyoonyeshwa hapo juu, kazi iliyochaguliwa inapaswa kuwa rahisi sana - lakini pia kuna kazi nyingi kama hizo: mstari , hyperbolic , kielelezo , logarithmic , quadratic na kadhalika. Na, kwa kweli, hapa ningependa "kupunguza uwanja wa shughuli." Je, ni aina gani ya kazi ninazopaswa kuchagua kwa ajili ya utafiti? Mbinu ya awali lakini yenye ufanisi:
- Njia rahisi ni kuonyesha alama kwenye mchoro na kuchambua eneo lao. Ikiwa huwa na kukimbia kwa mstari wa moja kwa moja, basi unapaswa kutafuta equation ya mstari 
na maadili bora na. Kwa maneno mengine, kazi ni kupata coefficients SUCH ili jumla ya mikengeuko ya mraba iwe ndogo zaidi.
Ikiwa pointi ziko, kwa mfano, pamoja hyperboli, basi ni wazi kuwa kazi ya mstari itatoa makadirio duni. Katika kesi hii, tunatafuta hesabu "zinazopendeza" zaidi za mlingano wa hyperbola 
- zile zinazotoa kiwango cha chini kabisa cha miraba 
.
Sasa kumbuka kuwa katika visa vyote viwili tunazungumza kazi za vigezo viwili, ambao hoja zao ni ulitafuta vigezo vya utegemezi:
Na kimsingi tunahitaji kutatua shida ya kawaida - pata kima cha chini cha utendaji wa vigezo viwili.
Wacha tukumbuke mfano wetu: tuseme kwamba sehemu za "duka" huwa ziko kwenye mstari ulionyooka na kuna kila sababu ya kuamini kwamba. utegemezi wa mstari mauzo kutoka kwa rejareja. Hebu tutafute viambajengo vile "a" na "kuwa" hivi kwamba jumla ya mikengeuko ya mraba. 
ilikuwa ndogo zaidi. Kila kitu ni kama kawaida - kwanza Agizo la 1 sehemu ya derivatives. Kulingana na kanuni ya mstari Unaweza kutofautisha chini ya ikoni ya jumla: 
Ikiwa unataka kutumia habari hii kwa insha au karatasi ya maneno, nitashukuru sana kwa kiungo kwenye orodha ya vyanzo; utapata hesabu za kina kama hizi katika sehemu chache: 
Wacha tuunde mfumo wa kawaida: 
Tunapunguza kila equation kwa "mbili" na, kwa kuongeza, "kuvunja" hesabu: 
Kumbuka
: kuchambua kwa kujitegemea kwa nini "a" na "kuwa" zinaweza kutolewa nje ya ikoni ya jumla. Kwa njia, hii inaweza kufanywa rasmi na jumla 
Hebu tuandike upya mfumo katika fomu "iliyotumiwa": 
baada ya hapo algorithm ya kutatua shida yetu huanza kuibuka:
Je, tunajua kuratibu za pointi? Tunajua. Kiasi 
tunaweza kuipata? Kwa urahisi. Wacha tufanye rahisi zaidi mfumo wa milinganyo miwili ya mstari katika mbili zisizojulikana("a" na "kuwa"). Tunatatua mfumo, kwa mfano, Njia ya Cramer, kama matokeo ambayo tunapata hatua ya kusimama. Kuangalia hali ya kutosha kwa hali ya juu, tunaweza kuthibitisha kwamba katika hatua hii chaguo la kukokotoa 
inafikia hasa kiwango cha chini. Cheki inahusisha mahesabu ya ziada na kwa hiyo tutaiacha nyuma ya pazia (ikiwa ni lazima, sura inayokosekana inaweza kutazamwaHapa
)
. Tunatoa hitimisho la mwisho:
Kazi 
njia bora (angalau ikilinganishwa na kazi nyingine yoyote ya mstari) huleta pointi za majaribio karibu . Kwa kusema, grafu yake hupita karibu iwezekanavyo kwa pointi hizi. Katika mila uchumi kazi inayokaribia inayotokana pia inaitwa mlingano wa urejeshaji wa mstari uliooanishwa
.
Tatizo linalozingatiwa ni la umuhimu mkubwa wa vitendo. Katika hali yetu ya mfano, Eq. hukuruhusu kutabiri mauzo ya biashara ("Igrek") duka litakuwa na thamani moja au nyingine ya eneo la mauzo (maana moja au nyingine ya "x"). Ndio, utabiri unaosababishwa utakuwa utabiri tu, lakini katika hali nyingi utageuka kuwa sahihi kabisa.
Nitachambua shida moja tu na nambari "halisi", kwani hakuna ugumu ndani yake - mahesabu yote yapo katika kiwango cha mtaala wa shule ya darasa la 7-8. Katika asilimia 95 ya kesi, utaulizwa kupata kazi ya mstari tu, lakini mwisho wa kifungu nitaonyesha kuwa sio ngumu zaidi kupata hesabu za hyperbola bora, kielelezo na kazi zingine.
Kwa kweli, yote yaliyobaki ni kusambaza vitu vyema vilivyoahidiwa - ili uweze kujifunza kutatua mifano hiyo si kwa usahihi tu, bali pia kwa haraka. Tunasoma kwa uangalifu kiwango:
Kazi
Kama matokeo ya kusoma uhusiano kati ya viashiria viwili, jozi zifuatazo za nambari zilipatikana: 
Kwa kutumia mbinu ya angalau miraba, tafuta kitendakazi cha mstari ambacho kinakadiria zaidi kifani (mzoefu) data. Tengeneza mchoro wa kujenga alama za majaribio na grafu ya utendakazi wa kukadiria katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian. 
. Pata jumla ya mikengeuko ya mraba kati ya thamani za majaribio na za kinadharia. Jua ikiwa kipengele kitakuwa bora zaidi (kutoka kwa mtazamo wa njia ndogo ya mraba) kuleta pointi za majaribio karibu.
Tafadhali kumbuka kuwa maana za "x" ni za asili, na hii ina maana ya tabia, ambayo nitazungumzia baadaye kidogo; lakini wao, bila shaka, wanaweza pia kuwa sehemu. Kwa kuongezea, kulingana na yaliyomo katika kazi fulani, maadili ya "X" na "mchezo" yanaweza kuwa hasi kabisa au sehemu. Kweli, tumepewa kazi "isiyo na uso", na tunaanza suluhisho:
Tunapata coefficients ya kazi bora kama suluhisho la mfumo: 
Kwa madhumuni ya kurekodi zaidi ya kompakt, kutofautiana kwa "counter" kunaweza kuachwa, kwa kuwa tayari ni wazi kuwa muhtasari unafanywa kutoka 1 hadi .
Ni rahisi zaidi kuhesabu kiasi kinachohitajika katika fomu ya jedwali: 
Mahesabu yanaweza kufanywa kwenye microcalculator, lakini ni bora zaidi kutumia Excel - kwa kasi na bila makosa; tazama video fupi:
Kwa hivyo, tunapata zifuatazo mfumo:
Hapa unaweza kuzidisha mlinganyo wa pili kwa 3 na toa ya 2 kutoka muhula wa 1 wa mlingano kwa muhula. Lakini hii ni bahati - kwa mazoezi, mifumo mara nyingi sio zawadi, na katika hali kama hizo huokoa Njia ya Cramer:
, ambayo inamaanisha kuwa mfumo una suluhisho la kipekee.
Hebu tuangalie. Ninaelewa kuwa hutaki, lakini kwa nini uruke makosa ambayo hayawezi kukosekana kabisa? Wacha tubadilishe suluhisho lililopatikana katika upande wa kushoto wa kila equation ya mfumo:
Pande za kulia za equations zinazofanana zinapatikana, ambayo ina maana kwamba mfumo unatatuliwa kwa usahihi.
Kwa hivyo, kitendaji kinachohitajika cha kukadiria: - kutoka kazi zote za mstari Ni yeye anayekadiria data ya majaribio vyema zaidi.
Tofauti moja kwa moja
utegemezi wa mauzo ya duka kwenye eneo lake, utegemezi uliopatikana ni kinyume
(kanuni "zaidi, chini"), na ukweli huu unafunuliwa mara moja na hasi mteremko. Kazi 
inatuambia kwamba kwa ongezeko la kiashiria fulani kwa kitengo 1, thamani ya kiashiria tegemezi hupungua wastani kwa vitengo 0.65. Kama wanasema, bei ya juu ya Buckwheat, inauzwa kidogo.
Ili kupanga grafu ya kazi inayokaribia, tunapata maadili yake mawili:
na utekeleze mchoro: 
Mstari wa moja kwa moja uliojengwa unaitwa mstari wa mwenendo
(yaani, mstari wa mwelekeo wa mstari, i.e. kwa hali ya jumla, mwelekeo sio lazima uwe mstari ulionyooka). Kila mtu anafahamu usemi "kuwa katika mwenendo," na nadhani neno hili halihitaji maoni ya ziada.
Hebu tuhesabu jumla ya mikengeuko ya mraba 
kati ya maadili ya majaribio na ya kinadharia. Kijiometri, hii ni jumla ya mraba wa urefu wa sehemu za "raspberry". (mbili kati ya hizo ni ndogo sana hata hazionekani).
Wacha tufanye muhtasari wa mahesabu kwenye jedwali: 
Tena, zinaweza kufanywa kwa mikono; ikiwa tu, nitatoa mfano kwa nukta ya 1: 
lakini ni bora zaidi kuifanya kwa njia inayojulikana tayari:
Tunarudia tena: Nini maana ya matokeo yaliyopatikana? Kutoka kazi zote za mstari y kazi kiashiria ni ndogo zaidi, yaani, katika familia yake ni makadirio bora. Na hapa, kwa njia, swali la mwisho la shida sio bahati mbaya: vipi ikiwa kazi ya kielelezo iliyopendekezwa 
ingekuwa bora kuleta alama za majaribio karibu?
Wacha tupate jumla inayolingana ya kupotoka kwa mraba - kutofautisha, nitaashiria kwa herufi "epsilon". Mbinu ni sawa kabisa: 
Na tena, ikiwa tu, mahesabu ya nukta ya 1: 
Katika Excel tunatumia kazi ya kawaida EXP (syntax inaweza kupatikana katika Usaidizi wa Excel).
Hitimisho: , ambayo ina maana kwamba kipengele cha kukokotoa kinakadiria pointi za majaribio kuwa mbaya zaidi kuliko mstari ulionyooka .
Lakini hapa inapaswa kuzingatiwa kuwa "mbaya zaidi" ni haimaanishi bado, Tatizo ni nini. Sasa nimeunda grafu ya kazi hii ya kielelezo - na pia inapita karibu na vidokezo 
- kiasi kwamba bila utafiti wa uchambuzi ni vigumu kusema ni kazi gani sahihi zaidi.
Hii inahitimisha suluhisho, na ninarudi kwa swali la maadili ya asili ya hoja. Katika tafiti mbalimbali, kwa kawaida za kiuchumi au kijamii, "X" za asili hutumiwa kuhesabu miezi, miaka au vipindi vingine vya muda sawa. Fikiria, kwa mfano, shida ifuatayo:
Data ifuatayo inapatikana kwenye mauzo ya rejareja katika nusu ya kwanza ya mwaka:
Kwa kutumia mpangilio wa mstari wa moja kwa moja wa uchanganuzi, tambua kiasi cha mauzo ya Julai.
Ndio, hakuna shida: tunahesabu miezi 1, 2, 3, 4, 5, 6 na kutumia algorithm ya kawaida, kama matokeo ambayo tunapata equation - jambo pekee ni kwamba inapofika wakati, kawaida hutumia. barua "te" (ingawa hii sio muhimu). Matokeo ya mlingano yanaonyesha kuwa katika nusu ya kwanza ya mwaka mauzo ya biashara yaliongezeka kwa wastani wa vitengo 27.74. kwa mwezi. Wacha tupate utabiri wa Julai (mwezi namba 7): d.e.
Na kuna kazi nyingi kama hizi. Wale wanaotaka wanaweza kutumia huduma ya ziada, yaani yangu Kikokotoo cha Excel (toleo la demo), ambayo hutatua tatizo lililochambuliwa karibu mara moja! Toleo la kufanya kazi la programu linapatikana kwa kubadilishana au kwa ada ya mfano.
Mwishoni mwa somo, habari fupi juu ya kupata utegemezi wa aina zingine. Kwa kweli, hakuna mengi ya kusema, kwani mbinu ya kimsingi na algorithm ya suluhisho inabaki sawa.
Hebu tufikiri kwamba mpangilio wa pointi za majaribio unafanana na hyperbola. Kisha, ili kupata coefficients ya hyperbola bora, unahitaji kupata kiwango cha chini cha kazi - mtu yeyote anaweza kufanya mahesabu ya kina na kufikia mfumo sawa: 
Kutoka kwa mtazamo rasmi wa kiufundi, hupatikana kutoka kwa mfumo wa "linear". 
(wacha tuiashiria na nyota) kubadilisha "x" na . Naam, vipi kuhusu kiasi? 
kukokotoa, na kisha kwa viambajengo bora "a" na "kuwa" karibu karibu.
Kama kuna kila sababu ya kuamini kwamba pointi ziko kando ya curve ya logarithmic, kisha kupata maadili bora tunapata kiwango cha chini cha chaguo la kukokotoa. 
. Rasmi, katika mfumo (*) inahitaji kubadilishwa na: 
Wakati wa kufanya mahesabu katika Excel, tumia kazi LN. Ninakiri kwamba haingekuwa ngumu kwangu kuunda vikokotoo kwa kila kesi inayozingatiwa, lakini bado itakuwa bora ikiwa "utapanga" hesabu mwenyewe. Video za somo za kusaidia.
Kwa utegemezi wa kielelezo hali ni ngumu zaidi. Ili kupunguza suala kwa kesi ya mstari, tunachukua logarithm ya kazi na kutumia sifa za logarithm:
Sasa, kulinganisha kazi inayosababisha na kazi ya mstari, tunafikia hitimisho kwamba katika mfumo (*) lazima kubadilishwa na , na - kwa . Kwa urahisi, wacha tuonyeshe: 
Tafadhali kumbuka kuwa mfumo unatatuliwa kwa heshima na, na kwa hiyo, baada ya kupata mizizi, ni lazima usisahau kupata mgawo yenyewe.
Ili kuleta pointi za majaribio karibu parabola mojawapo 
, inapaswa kupatikana kima cha chini cha utendaji wa vigezo vitatu 
. Baada ya kufanya vitendo vya kawaida, tunapata "kufanya kazi" ifuatayo. mfumo:
Ndio, kwa kweli, kuna viwango zaidi hapa, lakini hakuna shida wakati wa kutumia programu unayopenda. Na hatimaye, nitakuambia jinsi ya kufanya haraka hundi kwa kutumia Excel na kujenga mstari wa mwenendo unaohitajika: unda njama ya kutawanya, chagua pointi yoyote na panya. na bonyeza kulia kuchagua chaguo "Ongeza mstari wa mwenendo". Ifuatayo, chagua aina ya chati na kwenye kichupo "Chaguo" kuamsha chaguo "Onyesha equation kwenye mchoro". sawa
Kama kawaida, ninataka kumalizia kifungu hicho kwa maneno mazuri, na karibu niandike "Be in trend!" Lakini alibadili mawazo yake kwa wakati. Na si kwa sababu ni stereotyped. Sijui jinsi ilivyo kwa mtu yeyote, lakini sitaki kabisa kufuata mwelekeo wa Marekani uliokuzwa na hasa Ulaya =) Kwa hiyo, napenda kila mmoja wenu ashikamane na mstari wake mwenyewe!
http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/metod-naimenshih-kvadratov.html
Njia ya angalau mraba ni moja ya kawaida na iliyokuzwa zaidi kwa sababu yake unyenyekevu na ufanisi wa mbinu za kukadiria vigezo vya mifano ya kiuchumi ya mstari. Wakati huo huo, wakati wa kuitumia, tahadhari fulani inapaswa kuzingatiwa, kwa kuwa mifano iliyojengwa kwa kuitumia inaweza kukidhi mahitaji kadhaa ya ubora wa vigezo vyao na, kwa sababu hiyo, haionyeshi mifumo ya maendeleo ya mchakato "vizuri" kutosha.
Wacha tuzingatie utaratibu wa kukadiria vigezo vya mfano wa uchumi wa mstari kwa kutumia njia ya mraba kidogo kwa undani zaidi. Mfano kama huo kwa ujumla unaweza kuwakilishwa na equation (1.2):
y t = a 0 + a 1 x 1t +...+ a n x nt + ε t.
Data ya awali wakati wa kukadiria vigezo 0 , a 1 ,..., n ni vekta ya maadili ya kutofautisha tegemezi. y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" na matrix ya maadili ya vigezo huru
ambayo safu ya kwanza, inayojumuisha zile, inalingana na mgawo wa mfano.
Njia ya angalau mraba ilipokea jina lake kulingana na kanuni ya msingi ambayo makadirio ya parameta yaliyopatikana kwa msingi wake lazima yakidhi: jumla ya miraba ya kosa la mfano inapaswa kuwa ndogo.
Mifano ya kutatua matatizo kwa kutumia njia ya angalau mraba
Mfano 2.1. Biashara ya biashara ina mtandao wa maduka 12, habari juu ya shughuli ambazo zinawasilishwa kwenye meza. 2.1.
Usimamizi wa biashara ungependa kujua jinsi ukubwa wa mauzo ya kila mwaka hutegemea nafasi ya rejareja ya duka.
Jedwali 2.1
| Nambari ya duka | Mauzo ya kila mwaka, rubles milioni. | Eneo la rejareja, elfu m2 |
| 19,76 | 0,24 | |
| 38,09 | 0,31 | |
| 40,95 | 0,55 | |
| 41,08 | 0,48 | |
| 56,29 | 0,78 | |
| 68,51 | 0,98 | |
| 75,01 | 0,94 | |
| 89,05 | 1,21 | |
| 91,13 | 1,29 | |
| 91,26 | 1,12 | |
| 99,84 | 1,29 | |
| 108,55 | 1,49 |
Suluhisho la angalau mraba. Wacha tuonyeshe mauzo ya kila mwaka ya duka, rubles milioni; - eneo la rejareja la duka, elfu m2.
Mchoro.2.1. Scatterplot kwa Mfano 2.1
Kuamua fomu ya uhusiano wa kazi kati ya vigezo na tutajenga mchoro wa kutawanya (Mchoro 2.1).
Kulingana na mchoro wa kutawanya, tunaweza kuhitimisha kuwa mauzo ya kila mwaka yanategemea vyema nafasi ya rejareja (yaani, y itaongezeka kwa kuongezeka). Fomu inayofaa zaidi ya uunganisho wa kazi ni mstari.
Habari kwa mahesabu zaidi imewasilishwa kwenye jedwali. 2.2. Kwa kutumia njia ya angalau miraba, tunakadiria vigezo vya muundo wa uchumi wa kipengele kimoja.
Jedwali 2.2
| t | y t | x 1t | y t 2 | x 1t 2 | x 1 y t |
| 19,76 | 0,24 | 390,4576 | 0,0576 | 4,7424 | |
| 38,09 | 0,31 | 1450,8481 | 0,0961 | 11,8079 | |
| 40,95 | 0,55 | 1676,9025 | 0,3025 | 22,5225 | |
| 41,08 | 0,48 | 1687,5664 | 0,2304 | 19,7184 | |
| 56,29 | 0,78 | 3168,5641 | 0,6084 | 43,9062 | |
| 68,51 | 0,98 | 4693,6201 | 0,9604 | 67,1398 | |
| 75,01 | 0,94 | 5626,5001 | 0,8836 | 70,5094 | |
| 89,05 | 1,21 | 7929,9025 | 1,4641 | 107,7505 | |
| 91,13 | 1,29 | 8304,6769 | 1,6641 | 117,5577 | |
| 91,26 | 1,12 | 8328,3876 | 1,2544 | 102,2112 | |
| 99,84 | 1,29 | 9968,0256 | 1,6641 | 128,7936 | |
| 108,55 | 1,49 | 11783,1025 | 2,2201 | 161,7395 | |
| S | 819,52 | 10,68 | 65008,554 | 11,4058 | 858,3991 |
| Wastani | 68,29 | 0,89 |
Hivyo,
Kwa hiyo, pamoja na ongezeko la nafasi ya rejareja kwa 1 elfu m2, mambo mengine ni sawa, wastani wa mauzo ya kila mwaka huongezeka kwa rubles milioni 67.8871.
Mfano 2.2. Usimamizi wa kampuni uligundua kuwa mauzo ya kila mwaka hayategemei tu eneo la mauzo la duka (tazama mfano 2.1), lakini pia kwa wastani wa idadi ya wageni. Habari inayofaa imewasilishwa kwenye jedwali. 2.3.
Jedwali 2.3
Suluhisho. Wacha tuonyeshe - idadi ya wastani ya wageni kwenye duka la th kwa siku, watu elfu.
Kuamua fomu ya uhusiano wa kazi kati ya vigezo na tutajenga mchoro wa kutawanya (Mchoro 2.2).
Kulingana na scatterplot, tunaweza kuhitimisha kuwa mauzo ya kila mwaka yanategemea vyema wastani wa idadi ya wageni kwa siku (yaani, y itaongezeka kwa kuongezeka). Aina ya utegemezi wa kazi ni ya mstari.
Mchele. 2.2. Scatterplot kwa Mfano 2.2
Jedwali 2.4
| t | x 2t | x 2t 2 | y t x 2t | x 1t x 2t |
| 8,25 | 68,0625 | 163,02 | 1,98 | |
| 10,24 | 104,8575 | 390,0416 | 3,1744 | |
| 9,31 | 86,6761 | 381,2445 | 5,1205 | |
| 11,01 | 121,2201 | 452,2908 | 5,2848 | |
| 8,54 | 72,9316 | 480,7166 | 6,6612 | |
| 7,51 | 56,4001 | 514,5101 | 7,3598 | |
| 12,36 | 152,7696 | 927,1236 | 11,6184 | |
| 10,81 | 116,8561 | 962,6305 | 13,0801 | |
| 9,89 | 97,8121 | 901,2757 | 12,7581 | |
| 13,72 | 188,2384 | 1252,0872 | 15,3664 | |
| 12,27 | 150,5529 | 1225,0368 | 15,8283 | |
| 13,92 | 193,7664 | 1511,016 | 20,7408 | |
| S | 127,83 | 1410,44 | 9160,9934 | 118,9728 |
| Wastani | 10,65 |
Kwa ujumla, ni muhimu kuamua vigezo vya mfano wa uchumi wa sababu mbili
y t = a 0 + a 1 x 1t + a 2 x 2t + ε t
Habari inayohitajika kwa mahesabu zaidi imewasilishwa kwenye jedwali. 2.4.
Wacha tukadirie vigezo vya muundo wa uchumi wa sababu mbili za mstari kwa kutumia njia ya miraba ndogo zaidi.
Hivyo,
Ukadiriaji wa mgawo = 61.6583 unaonyesha kuwa, vitu vingine ni sawa, na ongezeko la nafasi ya rejareja kwa 1 elfu m 2, mauzo ya kila mwaka yataongezeka kwa wastani wa rubles milioni 61.6583.
Makadirio ya mgawo = 2.2748 inaonyesha kuwa, vitu vingine kuwa sawa, na ongezeko la wastani wa idadi ya wageni kwa watu elfu 1. kwa siku, mauzo ya kila mwaka yataongezeka kwa wastani wa rubles milioni 2.2748.
Mfano 2.3. Kwa kutumia habari iliyotolewa kwenye jedwali. 2.2 na 2.4, kadiria kigezo cha muundo wa uchumi wa kipengele kimoja
ambapo ni thamani ya katikati ya mauzo ya kila mwaka ya duka, rubles milioni; - thamani inayozingatia ya wastani wa idadi ya kila siku ya wageni kwenye duka la t-th, watu elfu. (tazama mifano 2.1-2.2).
Suluhisho. Maelezo ya ziada yanayohitajika kwa mahesabu yanawasilishwa kwenye jedwali. 2.5.
Jedwali 2.5
| -48,53 | -2,40 | 5,7720 | 116,6013 | |
| -30,20 | -0,41 | 0,1702 | 12,4589 | |
| -27,34 | -1,34 | 1,8023 | 36,7084 | |
| -27,21 | 0,36 | 0,1278 | -9,7288 | |
| -12,00 | -2,11 | 4,4627 | 25,3570 | |
| 0,22 | -3,14 | 9,8753 | -0,6809 | |
| 6,72 | 1,71 | 2,9156 | 11,4687 | |
| 20,76 | 0,16 | 0,0348 | 3,2992 | |
| 22,84 | -0,76 | 0,5814 | -17,413 | |
| 22,97 | 3,07 | 9,4096 | 70,4503 | |
| 31,55 | 1,62 | 2,6163 | 51,0267 | |
| 40,26 | 3,27 | 10,6766 | 131,5387 | |
| Kiasi | 48,4344 | 431,0566 |
Kwa kutumia formula (2.35), tunapata
Hivyo,
http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html
Mfano.
Data ya majaribio juu ya maadili ya vigezo X Na katika hutolewa kwenye meza. 
Kama matokeo ya upatanishi wao, kazi hupatikana 
Kutumia njia ya angalau mraba, takriban data hizi kwa utegemezi wa mstari y=shoka+b(tafuta vigezo A Na b) Jua ni ipi kati ya mistari miwili iliyo bora zaidi (kwa maana ya mbinu ndogo zaidi ya miraba) inayosawazisha data ya majaribio. Fanya mchoro.
Suluhisho.
Katika mfano wetu n=5. Tunajaza meza kwa urahisi wa kuhesabu kiasi ambacho kinajumuishwa katika kanuni za coefficients zinazohitajika. 
Thamani katika safu ya nne ya jedwali hupatikana kwa kuzidisha maadili ya safu ya 2 kwa maadili ya safu ya 3 kwa kila nambari. i.
Thamani katika safu ya tano ya jedwali hupatikana kwa kuweka maadili kwenye safu ya 2 kwa kila nambari. i.
Thamani katika safu wima ya mwisho ya jedwali ni jumla ya thamani katika safu mlalo.
Tunatumia fomula za mbinu ya angalau miraba ili kupata coefficients A Na b. Tunabadilisha maadili yanayolingana kutoka safu ya mwisho ya jedwali ndani yao: 
Kwa hivyo, y = 0.165x+2.184- mstari wa moja kwa moja unaokaribia unaohitajika.
Inabakia kujua ni ipi kati ya mistari y = 0.165x+2.184 au bora inakadiria data asili, ambayo ni, hufanya makisio kwa kutumia njia ya miraba ndogo zaidi.
Ushahidi.
Ili ikipatikana A Na b kazi inachukua thamani ndogo zaidi, ni muhimu kwamba katika hatua hii matrix ya fomu ya quadratic ya tofauti ya utaratibu wa pili kwa kazi. 
ilikuwa chanya uhakika. Hebu tuonyeshe.
Tofauti ya mpangilio wa pili ina fomu: 
Hiyo ni
Kwa hiyo, matrix ya fomu ya quadratic ina fomu 
na maadili ya vipengele hayategemei A Na b.
Wacha tuonyeshe kuwa matrix ni dhahiri. Kwa kufanya hivyo, watoto wa angular lazima wawe chanya.
Mdogo wa angular wa utaratibu wa kwanza 
. kukosekana kwa usawa ni kali, tangu pointi
RUR 100 bonasi kwa agizo la kwanza
Chagua aina ya kazi ya Stashahada Kazi ya kozi Muhtasari wa Tasnifu ya Uzamili Ripoti ya mazoezi Kifungu Ripoti Mapitio ya Mtihani Kazi ya Monografia Kutatua Tatizo la Mpango wa biashara Majibu ya maswali Kazi ya ubunifu Insha Kuchora Insha Mawasilisho Tafsiri Kuandika Nyingine Kuongeza upekee wa maandishi Tasnifu ya Uzamili Kazi ya maabara Usaidizi wa mtandaoni
Jua bei
Mbinu ya miraba ya uchache zaidi ni mbinu ya hisabati (hesabu-takwimu) inayotumiwa kupatanisha mfululizo wa saa, kutambua aina ya uwiano kati ya viambajengo nasibu, n.k. Inajumuisha ukweli kwamba kazi inayoelezea jambo hili inakadiriwa na chaguo rahisi zaidi cha kukokotoa. Zaidi ya hayo, mwisho huchaguliwa kwa namna ambayo kupotoka kwa kawaida (angalia Mtawanyiko) wa viwango halisi vya kazi katika pointi zilizozingatiwa kutoka kwa zile zilizopangwa ni ndogo zaidi.
Kwa mfano, kulingana na data inayopatikana ( Xi,ndiyo) (i = 1, 2, ..., n) curve kama hiyo hujengwa y = a + bx, ambapo jumla ya chini ya mikengeuko ya mraba hupatikana
yaani, kitendakazi kulingana na vigezo viwili kinapunguzwa: a- sehemu kwenye mhimili wa kuratibu na b- mteremko wa mstari wa moja kwa moja.
Milinganyo inayotoa masharti muhimu ya kupunguza chaguo za kukokotoa S(a,b), zinaitwa milinganyo ya kawaida. Kama utendakazi wa kukadiria, sio tu mstari (mpangilio kwenye mstari ulionyooka), lakini pia quadratic, parabolic, exponential, n.k. hutumiwa. Kwa mfano wa kupanga mfululizo wa saa kwenye mstari ulionyooka, ona Mtini. M.2, ambapo jumla ya umbali wa mraba ( y 1 – ȳ 1)2 + (y 2 – ȳ 2)2 .... ndio mdogo zaidi, na mstari ulionyooka unaotokana unaonyesha vyema mwenendo wa mfululizo wa uchunguzi wa kiashirio fulani kwa wakati.
Kwa makadirio ya OLS yasiyo na upendeleo, ni muhimu na ya kutosha kutimiza hali muhimu zaidi ya uchanganuzi wa urejeshaji: matarajio ya hisabati ya hitilafu ya nasibu, yenye masharti ya vipengele, lazima iwe sawa na sifuri. Hali hii, haswa, inafikiwa ikiwa: 1.matarajio ya hisabati ya makosa ya nasibu ni sifuri, na 2.sababu na makosa ya nasibu ni vigeu vinavyojitegemea vya nasibu. Hali ya kwanza inaweza kuchukuliwa kuwa inatimizwa kila wakati kwa mifano iliyo na mara kwa mara, kwani mara kwa mara inachukua matarajio yasiyo ya sifuri ya hisabati ya makosa. Hali ya pili - hali ya exogeneity ya mambo - ni ya msingi. Ikiwa mali hii haijafikiwa, basi tunaweza kudhani kuwa karibu makadirio yoyote hayataridhisha sana: hayatakuwa sawa (yaani, hata idadi kubwa ya data hairuhusu kupata makadirio ya hali ya juu katika kesi hii. )
Njia ya kawaida ya ukadiriaji wa takwimu wa vigezo vya milinganyo ya urejeshi ni mbinu ya angalau miraba. Njia hii inategemea idadi ya mawazo kuhusu asili ya data na matokeo ya mfano. Ya kuu ni mgawanyiko wazi wa viambatisho vya asili kuwa tegemezi na huru, kutokuwa na uhusiano wa mambo yaliyojumuishwa katika hesabu, mstari wa uhusiano, kutokuwepo kwa uunganisho wa mabaki, usawa wa matarajio yao ya kihesabu hadi sifuri na mara kwa mara. utawanyiko.
Moja ya dhana kuu za OLS ni dhana ya usawa wa tofauti za kupotoka ei, i.e. kuenea kwao karibu na wastani (sifuri) thamani ya mfululizo inapaswa kuwa thamani thabiti. Mali hii inaitwa homoscedasticity. Kwa mazoezi, tofauti za kupotoka mara nyingi sio sawa, ambayo ni, heteroscedasticity inazingatiwa. Hii inaweza kuwa kutokana na sababu mbalimbali. Kwa mfano, kunaweza kuwa na makosa katika data chanzo. Makosa ya mara kwa mara katika maelezo ya chanzo, kama vile makosa katika mpangilio wa nambari, yanaweza kuwa na athari kubwa kwenye matokeo. Mara nyingi, uenezi mkubwa wa kupotoka єi huzingatiwa na maadili makubwa ya kutofautisha tegemezi (vigezo). Ikiwa data ina kosa kubwa, basi, kwa kawaida, kupotoka kwa thamani ya mfano iliyohesabiwa kutoka kwa data yenye makosa pia itakuwa kubwa. Ili kuondokana na kosa hili, tunahitaji kupunguza mchango wa data hii kwa matokeo ya hesabu, kuwapa uzito mdogo kuliko wengine wote. Wazo hili linatekelezwa katika OLS yenye uzito.
Njia ya angalau mraba
Njia ya angalau mraba ( OLS, OLS, Viwanja Vidogo vya Kawaida) - mojawapo ya mbinu za msingi za uchanganuzi wa urejeshi kwa kukadiria vigezo visivyojulikana vya mifano ya urejeshi kwa kutumia data ya sampuli. Njia hiyo inategemea kupunguza jumla ya miraba ya mabaki ya rejista.
Ikumbukwe kwamba mbinu ya miraba ndogo yenyewe inaweza kuitwa njia ya kutatua tatizo katika eneo lolote ikiwa suluhu liko ndani au linakidhi baadhi ya kigezo cha kupunguza jumla ya miraba ya baadhi ya kazi za vigezo vinavyohitajika. Kwa hivyo, njia ya miraba ndogo pia inaweza kutumika kwa uwakilishi wa takriban (ukadirio) wa chaguo la kukokotoa lililotolewa na vitendakazi vingine (rahisi), wakati wa kutafuta seti ya kiasi ambacho kinakidhi hesabu au vikwazo, idadi ambayo inazidi idadi ya kiasi hiki. , na kadhalika.
Asili ya MNC
Acha mfano fulani wa (parametric) wa uhusiano wa uwezekano (regression) kati ya kutofautisha (iliyoelezewa) itolewe. y na mambo mengi (vigezo vya maelezo) x
iko wapi vekta ya vigezo vya mfano visivyojulikana
- kosa la mfano wa nasibu.Wacha pia kuwe na uchunguzi wa sampuli wa maadili ya anuwai hizi. Wacha iwe nambari ya uchunguzi (). Kisha ni maadili ya vigezo katika uchunguzi th. Halafu, kwa maadili yaliyopewa ya vigezo b, inawezekana kuhesabu maadili ya kinadharia (mfano) ya tofauti iliyoelezewa y:
Saizi ya mabaki inategemea maadili ya vigezo b.
Kiini cha mbinu ya angalau miraba (ya kawaida, ya kawaida) ni kupata vigezo b ambavyo jumla ya miraba ya mabaki (eng. Jumla ya Mabaki ya Mraba) itakuwa ndogo:
Katika hali ya jumla, shida hii inaweza kutatuliwa kwa njia za uboreshaji wa nambari (kupunguza). Katika kesi hii, wanazungumza miraba isiyo ya mstari isiyo na mstari(NLS au NLLS - Kiingereza) Viwanja Vidogo Visivyo na Linear) Katika hali nyingi inawezekana kupata suluhisho la uchambuzi. Ili kutatua tatizo la kupunguza, ni muhimu kupata pointi za stationary za kazi kwa kutofautisha kwa heshima na vigezo visivyojulikana b, kusawazisha derivatives kwa sifuri na kutatua mfumo unaosababishwa wa equations:
Ikiwa hitilafu za nasibu za modeli zinasambazwa kwa kawaida, zina tofauti sawa, na hazijaunganishwa, makadirio ya vigezo vya OLS ni sawa na makadirio ya uwezekano wa juu zaidi (MLM).
OLS katika kesi ya mfano wa mstari
Wacha utegemezi wa rejista uwe wa mstari:
Hebu y ni vekta ya safu ya uchunguzi wa utofauti ulioelezewa, na ni matrix ya uchunguzi wa sababu (safu za matrix ni vekta za maadili ya sababu katika uchunguzi fulani, safu ni vekta ya maadili ya jambo fulani. katika uchunguzi wote). Uwakilishi wa matrix ya mfano wa mstari ni:
Halafu vekta ya makadirio ya utofauti ulioelezewa na vekta ya mabaki ya rejista itakuwa sawa.
Ipasavyo, jumla ya miraba ya mabaki ya rejista itakuwa sawa na
Kutofautisha kazi hii kwa heshima na vekta ya vigezo na kusawazisha derivatives kwa sifuri, tunapata mfumo wa equations (katika fomu ya tumbo):
.Suluhisho la mfumo huu wa equations hutoa fomula ya jumla ya makadirio ya miraba angalau kwa mfano wa mstari:
Kwa madhumuni ya uchambuzi, uwakilishi wa mwisho wa fomula hii ni muhimu. Ikiwa katika muundo wa rejista data iliyozingatia, basi katika uwakilishi huu matrix ya kwanza ina maana ya sampuli covariance matrix ya mambo, na ya pili ni vekta ya covariances ya mambo na variable tegemezi. Ikiwa kwa kuongeza data ni pia kawaida kwa MSE (hiyo ni, hatimaye sanifu), basi matrix ya kwanza ina maana ya matrix ya uunganisho wa sampuli ya mambo, vekta ya pili - vekta ya uunganisho wa sampuli ya mambo na kutofautisha tegemezi.
Sifa muhimu ya makadirio ya OLS kwa mifano na mara kwa mara- mstari wa urekebishaji uliojengwa hupitia katikati ya mvuto wa data ya sampuli, ambayo ni, usawa umeridhika:
Hasa, katika hali mbaya, wakati regressor pekee ni mara kwa mara, tunaona kwamba makadirio ya OLS ya parameter pekee (mara kwa mara yenyewe) ni sawa na thamani ya wastani ya kutofautiana iliyoelezwa. Hiyo ni, maana ya hesabu, inayojulikana kwa mali zake nzuri kutoka kwa sheria za idadi kubwa, pia ni makadirio ya mraba - inakidhi kigezo cha jumla ya upungufu wa mraba kutoka kwake.
Mfano: urejeshaji rahisi (wa jozi).
Katika kesi ya urekebishaji wa mstari uliooanishwa, fomula za hesabu hurahisishwa (unaweza kufanya bila algebra ya matrix):
Sifa za wakadiriaji wa OLS
Kwanza kabisa, tunaona kuwa kwa mifano ya mstari, makadirio ya OLS ni makadirio ya mstari, kama ifuatavyo kutoka kwa fomula hapo juu. Kwa makadirio ya OLS yasiyo na upendeleo, ni muhimu na ya kutosha kutimiza hali muhimu zaidi ya uchanganuzi wa urejeshaji: matarajio ya hisabati ya hitilafu ya nasibu, yenye masharti ya vipengele, lazima iwe sawa na sifuri. Hali hii, hasa, imeridhika ikiwa
- matarajio ya hisabati ya makosa ya nasibu ni sifuri, na
- sababu na makosa ya nasibu ni vigeu huru vya nasibu.
Hali ya pili - hali ya exogeneity ya mambo - ni ya msingi. Ikiwa mali hii haijafikiwa, basi tunaweza kudhani kuwa karibu makadirio yoyote yatakuwa ya kuridhisha sana: hayatakuwa sawa (yaani, hata idadi kubwa ya data hairuhusu kupata makadirio ya hali ya juu katika kesi hii. ) Katika kesi ya classical, dhana yenye nguvu zaidi inafanywa juu ya uamuzi wa mambo, kinyume na hitilafu ya random, ambayo ina maana moja kwa moja kwamba hali ya exogeneity imekutana. Katika hali ya jumla, kwa uwiano wa makadirio, inatosha kukidhi hali ya exogeneity pamoja na muunganiko wa tumbo hadi baadhi ya matrix isiyo ya umoja kadiri saizi ya sampuli inavyoongezeka hadi infinity.
Ili, pamoja na uthabiti na kutokuwa na upendeleo, makadirio ya (ya kawaida) miraba ndogo kuwa na ufanisi pia (bora zaidi katika darasa la makadirio yasiyo na upendeleo), sifa za ziada za makosa ya nasibu lazima zitimizwe:
Mawazo haya yanaweza kutengenezwa kwa matrix ya udadisi ya vekta ya makosa bila mpangilio
Mfano wa mstari unaokidhi masharti haya unaitwa classical. Makadirio ya OLS ya urejeleaji wa mstari wa kitamaduni hayana upendeleo, thabiti na makadirio bora zaidi katika darasa la makadirio yote yasiyopendelea upande wowote (katika fasihi ya Kiingereza ufupisho wakati mwingine hutumiwa. BLUU (Mkadiriaji Bora wa Linear Bila Msingi) - makadirio bora ya mstari usio na upendeleo; katika fasihi ya Kirusi nadharia ya Gauss-Markov inatajwa mara nyingi). Kama ilivyo rahisi kuonyesha, matrix ya udadisi ya vekta ya makadirio ya mgawo itakuwa sawa na:
OLS ya jumla
Njia ya miraba ndogo inaruhusu ujanibishaji mpana. Badala ya kupunguza jumla ya miraba ya mabaki, mtu anaweza kupunguza aina fulani chanya ya quadratic ya vekta ya mabaki, ambapo kuna matrix fulani ya uzani chanya ya ulinganifu. Mraba mdogo wa kawaida ni kesi maalum ya mbinu hii, ambapo matrix ya uzito ni sawia na matrix ya utambulisho. Kama inavyojulikana kutoka kwa nadharia ya matrices ya ulinganifu (au waendeshaji), kwa matiti kama hayo kuna mtengano. Kwa hivyo, kazi iliyoainishwa inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo, ambayo ni kwamba, utendaji huu unaweza kuwakilishwa kama jumla ya miraba ya "mabaki" kadhaa yaliyobadilishwa. Kwa hivyo, tunaweza kutofautisha darasa la njia ndogo za mraba - njia za LS (Mraba Mdogo).
Imethibitishwa (nadharia ya Aitken) kwamba kwa modeli ya urejeshaji ya laini ya jumla (ambayo hakuna vizuizi vilivyowekwa kwenye matrix ya udadisi ya makosa ya nasibu), yenye ufanisi zaidi (katika darasa la makadirio yasiyo na upendeleo) ni yale yanayoitwa makadirio. Viwanja Vidogo vya jumla vya jumla (GLS - Viwanja Vidogo vya Jumla)- Mbinu ya LS yenye matrix ya uzani sawa na matrix ya udadisi kinyume cha makosa ya nasibu: .
Inaweza kuonyeshwa kuwa fomula ya makadirio ya GLS ya vigezo vya mfano wa mstari ina fomu
Matrix ya ushirikiano wa makadirio haya itakuwa sawa na
Kwa kweli, kiini cha OLS kiko katika mabadiliko fulani (ya mstari) (P) ya data asilia na matumizi ya OLS ya kawaida kwa data iliyobadilishwa. Madhumuni ya mabadiliko haya ni kwamba kwa data iliyobadilishwa, makosa ya nasibu tayari yanakidhi mawazo ya zamani.
OLS iliyopimwa
Kwa upande wa matrix ya uzani wa mshazari (na kwa hivyo matrix ya udadisi ya makosa ya nasibu), tunayo kinachojulikana kuwa Mraba Mdogo (WLS) yenye uzani. Katika kesi hii, jumla ya uzani wa miraba ya mabaki ya mfano hupunguzwa, yaani, kila uchunguzi hupokea "uzito" ambao ni kinyume na tofauti ya hitilafu ya nasibu katika uchunguzi huu: . Kwa kweli, data hubadilishwa kwa kupima uchunguzi (kugawanya kwa kiasi sawia na makadirio ya kupotoka kwa kawaida ya makosa ya nasibu), na OLS ya kawaida inatumika kwa data iliyopimwa.
Baadhi ya matukio maalum ya kutumia MNC katika mazoezi
Ukadiriaji wa utegemezi wa mstari
Wacha tuzingatie kesi hiyo wakati, kama matokeo ya kusoma utegemezi wa idadi fulani ya scalar kwa kiasi fulani cha scalar (Hii inaweza kuwa, kwa mfano, utegemezi wa voltage kwa nguvu ya sasa: , wapi thamani ya mara kwa mara, upinzani wa conductor), vipimo vya idadi hii vilifanywa, kama matokeo ya ambayo maadili na maadili yao yanayolingana. Data ya kipimo lazima irekodiwe kwenye jedwali.
Jedwali. Matokeo ya kipimo.
| Nambari ya kipimo. | ||
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 |
Swali ni: ni thamani gani ya mgawo inaweza kuchaguliwa ili kuelezea vyema utegemezi? Kulingana na njia ya angalau miraba, thamani hii inapaswa kuwa kiasi kwamba jumla ya mikengeuko ya mraba ya thamani kutoka kwa maadili.
ilikuwa ndogo
Jumla ya mikengeuko ya mraba ina upeo mmoja - kiwango cha chini, ambayo inaruhusu sisi kutumia fomula hii. Wacha tupate kutoka kwa fomula hii thamani ya mgawo. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha upande wake wa kushoto kama ifuatavyo:
Fomula ya mwisho inatuwezesha kupata thamani ya mgawo, ambayo ndiyo ilihitajika katika tatizo.
Hadithi
Hadi mwanzoni mwa karne ya 19. wanasayansi hawakuwa na sheria fulani za kutatua mfumo wa equations ambayo idadi ya haijulikani ni chini ya idadi ya equations; Hadi wakati huo, mbinu za kibinafsi zilitumiwa ambazo zilitegemea aina ya equations na juu ya akili ya calculator, na kwa hiyo calculator tofauti, kulingana na data sawa ya uchunguzi, walikuja kwa hitimisho tofauti. Gauss (1795) alikuwa wa kwanza kutumia njia hiyo, na Legendre (1805) aliigundua kwa uhuru na kuichapisha chini ya jina lake la kisasa (Kifaransa. Méthode des moindres quarrés ). Laplace alihusisha mbinu na nadharia ya uwezekano, na mwanahisabati wa Marekani Adrain (1808) alizingatia matumizi yake ya uwezekano wa nadharia. Njia hiyo ilienea na kuboreshwa na utafiti zaidi wa Encke, Bessel, Hansen na wengine.
Matumizi mbadala ya OLS
Wazo la njia ya miraba ndogo pia inaweza kutumika katika hali zingine ambazo hazihusiani moja kwa moja na uchanganuzi wa rejista. Ukweli ni kwamba jumla ya miraba ni mojawapo ya hatua za kawaida za ukaribu kwa vekta ( Metric ya Euclidean katika nafasi zenye ukomo-dimensional).
Utumizi mmoja ni "suluhisho" la mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo idadi ya milinganyo ni kubwa kuliko idadi ya vigeu.
ambapo matrix sio mraba, lakini saizi ya mstatili.
Mfumo kama huo wa equations, kwa ujumla, hauna suluhisho (ikiwa kiwango ni kikubwa zaidi kuliko idadi ya vigezo). Kwa hiyo, mfumo huu unaweza "kutatuliwa" tu kwa maana ya kuchagua vector vile ili kupunguza "umbali" kati ya vectors na. Kwa kufanya hivyo, unaweza kutumia kigezo cha kupunguza jumla ya mraba wa tofauti kati ya pande za kushoto na za kulia za equations za mfumo, yaani. Ni rahisi kuonyesha kwamba kutatua tatizo hili la kupunguza husababisha kutatua mfumo wafuatayo wa equations
Ikiwa kiasi fulani cha kimwili kinategemea wingi mwingine, basi utegemezi huu unaweza kusomwa kwa kupima y kwa maadili tofauti ya x. Kama matokeo ya vipimo, idadi ya maadili hupatikana:
x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;
y 1, y 2, ..., y i, ..., y n.
Kulingana na data ya jaribio hilo, inawezekana kujenga grafu ya utegemezi y = ƒ (x). Curve inayotokana hufanya iwezekane kuhukumu umbo la chaguo za kukokotoa ƒ(x). Hata hivyo, coefficients ya mara kwa mara ambayo huingia katika kazi hii bado haijulikani. Wanaweza kuamua kwa kutumia njia ya angalau mraba. Pointi za majaribio, kama sheria, hazilala kabisa kwenye curve. Njia ya angalau miraba inahitaji jumla ya miraba ya mikengeuko ya pointi za majaribio kutoka kwenye curve, i.e. 2 ilikuwa ndogo zaidi.
Katika mazoezi, njia hii mara nyingi (na kwa urahisi zaidi) hutumiwa katika kesi ya uhusiano wa mstari, i.e. Lini
y = kx au y = a + bx.
Utegemezi wa mstari umeenea sana katika fizikia. Na hata wakati uhusiano sio wa mstari, kawaida hujaribu kuunda grafu ili kupata mstari ulionyooka. Kwa mfano, ikiwa inachukuliwa kuwa index ya refractive ya kioo n inahusiana na wavelength ya mwanga λ kwa uhusiano n = a + b/λ 2, basi utegemezi wa n juu ya λ -2 umepangwa kwenye grafu.
Fikiria utegemezi y = kx(mstari wa moja kwa moja unaopitia asili). Wacha tutunge thamani φ jumla ya miraba ya kupotoka kwa vidokezo vyetu kutoka kwa mstari ulionyooka.
Thamani ya φ daima ni chanya na inageuka kuwa ndogo zaidi ya pointi zetu karibu na mstari wa moja kwa moja. Njia ya miraba ndogo zaidi inasema kwamba thamani ya k inapaswa kuchaguliwa hivi kwamba φ iwe na kiwango cha chini zaidi
au
(19)
Hesabu inaonyesha kuwa kosa la mzizi-maana-mraba katika kuamua thamani ya k ni sawa na
, (20)
ambapo n ni idadi ya vipimo.
Wacha sasa tuzingatie kesi ngumu zaidi, wakati vidokezo lazima vikidhi fomula y = a + bx(mstari ulionyooka ambao haupiti asili).
Kazi ni kupata maadili bora ya a na b kutoka kwa seti inayopatikana ya maadili x i, y i.
Wacha tutunge tena fomu ya quadratic φ, sawa na jumla ya mikengeuko ya mraba ya alama x i, y i kutoka kwa mstari ulionyooka.
na upate maadili ya a na b ambayo φ ina kiwango cha chini zaidi
;
.
Suluhisho la pamoja la equations hizi hutoa
(21)
Mzizi wa maana ya makosa ya mraba ya uamuzi wa a na b ni sawa
(23)
. (24)
Wakati wa kuchakata matokeo ya kipimo kwa kutumia mbinu hii, ni rahisi kufanya muhtasari wa data zote katika jedwali ambalo kiasi vyote vilivyojumuishwa katika fomula (19)(24) hukokotwa awali. Fomu za jedwali hizi zimetolewa katika mifano hapa chini.
Mfano 1. Equation ya msingi ya mienendo ya mwendo wa mzunguko ε = M/J (mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye asili) ilisomwa. Kwa viwango tofauti vya wakati M, kasi ya angular ε ya mwili fulani ilipimwa. Inahitajika kuamua wakati wa inertia ya mwili huu. Matokeo ya vipimo vya wakati wa nguvu na kuongeza kasi ya angular yameorodheshwa katika safu ya pili na ya tatu meza 5.
Jedwali 5
| n | M, N m | ε, s -1 | M 2 | M e | ε - kM | (ε - kM) 2 |
| 1 | 1.44 | 0.52 | 2.0736 | 0.7488 | 0.039432 | 0.001555 |
| 2 | 3.12 | 1.06 | 9.7344 | 3.3072 | 0.018768 | 0.000352 |
| 3 | 4.59 | 1.45 | 21.0681 | 6.6555 | -0.08181 | 0.006693 |
| 4 | 5.90 | 1.92 | 34.81 | 11.328 | -0.049 | 0.002401 |
| 5 | 7.45 | 2.56 | 55.5025 | 19.072 | 0.073725 | 0.005435 |
| ∑ | | | 123.1886 | 41.1115 | | 0.016436 |
Kwa kutumia formula (19) tunaamua:
.
Kuamua kosa la maana ya mzizi, tunatumia fomula (20)
0.005775kilo-1 · m -2 .
Kulingana na fomula (18) tunayo
S J = (2.996 0.005775)/0.3337 = 0.05185 kilo m2.
Baada ya kuweka kuegemea P = 0.95, kwa kutumia jedwali la vigawo vya Wanafunzi kwa n = 5, tunapata t = 2.78 na kubaini kosa kamili ΔJ = 2.78 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 kilo m2.
Wacha tuandike matokeo katika fomu:
J = (3.0 ± 0.2) kilo m2;
Mfano 2. Hebu tuhesabu mgawo wa joto wa upinzani wa chuma kwa kutumia njia ya angalau mraba. Upinzani hutegemea mstari wa joto
R t = R 0 (1 + α t °) = R 0 + R 0 α t °.
Neno la bure huamua upinzani wa R 0 kwa joto la 0 ° C, na mgawo wa mteremko ni bidhaa ya mgawo wa joto α na upinzani R 0 .
Matokeo ya vipimo na mahesabu yametolewa kwenye jedwali ( tazama jedwali 6).
Jedwali 6
| n | t °, s | r, ohm | t-t | (t-t) 2 | (t-t)r | r-bt-a | (r - bt - a) 2 .10 -6 |
| 1 | 23 | 1.242 | -62.8333 | 3948.028 | -78.039 | 0.007673 | 58.8722 |
| 2 | 59 | 1.326 | -26.8333 | 720.0278 | -35.581 | -0.00353 | 12.4959 |
| 3 | 84 | 1.386 | -1.83333 | 3.361111 | -2.541 | -0.00965 | 93.1506 |
| 4 | 96 | 1.417 | 10.16667 | 103.3611 | 14.40617 | -0.01039 | 107.898 |
| 5 | 120 | 1.512 | 34.16667 | 1167.361 | 51.66 | 0.021141 | 446.932 |
| 6 | 133 | 1.520 | 47.16667 | 2224.694 | 71.69333 | -0.00524 | 27.4556 |
| ∑ | 515 | 8.403 | | 8166.833 | 21.5985 | | 746.804 |
| ∑/n | 85.83333 | 1.4005 | | | | | |
Kwa kutumia fomula (21), (22) tunaamua
R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 85.83333 = 1.1735 Ohm.
Wacha tupate kosa katika ufafanuzi wa α. Kwa kuwa , basi kulingana na formula (18) tunayo:
.
Kwa kutumia fomula (23), (24) tunayo
;
0.014126 Ohm.
Baada ya kuweka kutegemewa kwa P = 0.95, kwa kutumia jedwali la vigawo vya Wanafunzi kwa n = 6, tunapata t = 2.57 na kubaini kosa kamili Δα = 2.57 0.000132 = 0.000338 digrii -1.
α = (23 ± 4) 10 -4 mvua ya mawe-1 kwa P = 0.95.
Mfano 3. Inahitajika kuamua radius ya curvature ya lens kwa kutumia pete za Newton. Radi ya pete za Newton r m zilipimwa na nambari za pete hizi m ziliamuliwa. Radi ya pete za Newton inahusiana na radius ya mpindano wa lenzi R na nambari ya pete kwa mlinganyo.
r 2 m = mλR - 2d 0 R,
ambapo d 0 unene wa pengo kati ya lens na sahani ya ndege-sambamba (au deformation ya lens),
λ urefu wa wimbi la mwanga wa tukio.
λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,
basi equation itachukua fomu y = a + bx.
.Matokeo ya vipimo na mahesabu yameingizwa meza 7.
Jedwali 7
| n | x = m | y = r 2, 10 -2 mm 2 | m -¯ m | (m -¯m) 2 | (m -¯ m)y | y - bx - a, 10 -4 | (y - bx - a) 2, 10 -6 |
| 1 | 1 | 6.101 | -2.5 | 6.25 | -0.152525 | 12.01 | 1.44229 |
| 2 | 2 | 11.834 | -1.5 | 2.25 | -0.17751 | -9.6 | 0.930766 |
| 3 | 3 | 17.808 | -0.5 | 0.25 | -0.08904 | -7.2 | 0.519086 |
| 4 | 4 | 23.814 | 0.5 | 0.25 | 0.11907 | -1.6 | 0.0243955 |
| 5 | 5 | 29.812 | 1.5 | 2.25 | 0.44718 | 3.28 | 0.107646 |
| 6 | 6 | 35.760 | 2.5 | 6.25 | 0.894 | 3.12 | 0.0975819 |
| ∑ | 21 | 125.129 | | 17.5 | 1.041175 | | 3.12176 |
| ∑/n | 3.5 | 20.8548333 | | | | | |