Lengo: kujadili ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa na jinsi ya kuifafanua.
I. Kuwasilisha mada na madhumuni ya masomo
II. Mapitio ya nyenzo za daraja la 9
Vipengele mbalimbali vya mada hii tayari vimeshughulikiwa katika darasa la 7-9. Sasa tunahitaji kupanua na kufupisha habari kuhusu kazi. Hebu tukumbushe kwamba mada ni mojawapo ya muhimu zaidi kwa kozi nzima ya hisabati. Kazi mbalimbali zitasomwa hadi kuhitimu na zaidi katika vyuo vya elimu ya juu. Mada hii inahusiana kwa karibu na utatuzi wa milinganyo, ukosefu wa usawa, matatizo ya maneno, maendeleo n.k.
Ufafanuzi 1. Acha seti mbili za nambari halisi zitolewe D na E na sheria imeonyeshwa f kulingana na ambayo kila nambari x∈ D inalingana na nambari ya umoja y ∈ E (tazama picha). Kisha wanasema kwamba kazi y = f(x ) au y(x) yenye kikoa cha ufafanuzi (O.O.) D na eneo la mabadiliko (O.I.) E. Katika kesi hii, thamani x inaitwa tofauti huru (au hoja ya kazi), thamani y inaitwa kutofautiana tegemezi (au thamani ya chaguo la kukokotoa).
Kikoa cha Kazi f inaashiria D(f ) Seti inayojumuisha nambari zote f(x ) (anuwai ya kazi f), ashiria E(f).
Mfano 1
Fikiria kazi
Ili kupata y kwa kila thamani ya x, lazima ufanye shughuli zifuatazo: toa nambari 2 (x - 2) kutoka kwa thamani ya x, toa mzizi wa mraba wa usemi huu.na mwishowe ongeza nambari 3Seti ya shughuli hizi (au sheria kulingana na ambayo thamani y hutafutwa kwa kila thamani ya x) inaitwa chaguo la kukokotoa y(x). Kwa mfano, kwa x = 6 tunapataKwa hivyo, ili kukokotoa chaguo za kukokotoa y katika nukta fulani x, ni muhimu kubadilisha thamani hii x kwenye chaguo za kukokotoa y(x).
Ni wazi, kwa chaguo maalum la kukokotoa, kwa nambari yoyote inayokubalika x, thamani moja tu ya y inaweza kupatikana (yaani, kwa kila thamani ya x kunalingana na thamani moja ya y).
Wacha sasa tuzingatie kikoa cha ufafanuzi na anuwai ya anuwai ya chaguo hili la kukokotoa. Inawezekana kutoa mzizi wa mraba wa usemi (x - 2) ikiwa tu thamani hii si hasi, yaani x - 2 ≥ 0 au x ≥ 2. Tafuta
Kwa kuwa kwa ufafanuzi wa mzizi wa hesabu
kisha tunaongeza nambari 3 kwa sehemu zote za usawa huu, tunapata:
au 3 ≤ y< +∞. Находим
Kazi za busara mara nyingi hutumiwa katika hisabati. Katika kesi hii, kazi za fomu f(x ) = p(x) (ambapo p(x) ni polynomial) huitwa kazi zote za kimantiki. Kazi za fomu(wapi p(x) na q(x ) - polynomials) huitwa kazi za kimantiki. Ni wazi sehemuinafafanuliwa ikiwa denominator q(x ) haipotei. Kwa hivyo, kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya busara ya sehemu- seti ya nambari zote halisi ambazo mizizi ya polynomial imetengwa q(x).
Mfano 2
Utendaji wa busara
imefafanuliwa kwa x - 2 ≠ 0, i.e. x ≠ 2. Kwa hiyo, uwanja wa ufafanuzi wa kazi hii ni seti ya namba zote halisi si sawa na 2, yaani, umoja wa vipindi (-∞; 2) na (2; ∞).
Kumbuka kwamba muungano wa seti A na B ni seti inayojumuisha vipengele vyote vilivyojumuishwa katika angalau moja ya seti A au B. Muungano wa seti A na B unaonyeshwa na ishara A. U B. Kwa hivyo, muungano wa sehemu na (3; 9) ni muda (vipindi visivyo na kati) vinaonyeshwa na .
Kurudi kwa mfano, tunaweza kuandika:Kwa kuwa kwa maadili yote yanayokubalika ya x sehemuhaina kutoweka, basi kazi f(x ) inachukua maadili yote isipokuwa 3. Kwa hivyo
Mfano 3
Wacha tupate kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya busara ya sehemu
Madhehebu ya sehemu hupotea kwa x = 2, x = 1 na x = -3. Kwa hiyo, uwanja wa ufafanuzi wa kazi hii
Mfano 4
Uraibu 
si kazi tena. Hakika, ikiwa tunataka kuhesabu thamani ya y, kwa mfano, kwa x = 1, basi kwa kutumia formula ya juu tunapata: y = 2 1 - 3 = -1, na kwa kutumia formula ya chini tunapata: y = 12 + 1 = 2. Hivyo, thamani moja x(x = 1) yanahusiana na maadili mawili ya y (y = -1 na y = 2). Kwa hiyo, utegemezi huu (kwa ufafanuzi) sio kazi.
Mfano 5
Grafu za tegemezi mbili zinaonyeshwa y (x ) Wacha tubaini ni ipi kati yao ni kazi.
Katika Mtini. na grafu ya kazi inatolewa, tangu wakati wowote x 0 thamani moja tu y0 inalingana. Katika Mtini. b ni grafu ya aina fulani ya utegemezi (lakini sio kazi), kwani vidokezo kama hivyo vipo (kwa mfano, x 0 ), ambayo yanahusiana na zaidi ya thamani moja y (kwa mfano, y1 na y2).
Hebu sasa tuchunguze njia kuu za kubainisha kazi.
1) Uchambuzi (kwa kutumia fomula au fomula).
Mfano 6
Wacha tuangalie kazi:
Licha ya fomu yake isiyo ya kawaida, uhusiano huu pia hufafanua kazi. Kwa thamani yoyote ya x ni rahisi kupata thamani ya y. Kwa mfano, kwa x = -0.37 (tangu x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, kisha tunatumia usemi wa chini) tunayo:
Kutoka kwa njia ya kupata y ni wazi kwamba thamani yoyote x inalingana na thamani moja tu y.
c) 3x + y = 2y - x2. Hebu tueleze thamani y kutoka kwa uhusiano huu: 3x + x2 = 2y - y au x2 + 3x = y. Kwa hivyo, uhusiano huu pia unafafanua kazi y = x2 + 3x.
2) Jedwali
Mfano 7
Hebu tuandike jedwali la miraba y kwa nambari x.
2,25 | 6,25 |
Data ya jedwali pia inafafanua kazi - kwa kila (iliyotolewa kwenye jedwali) thamani ya x, thamani moja ya y inaweza kupatikana. Kwa mfano, y(1.5) = 2.25, y(5) = 25, nk.
3) Mchoro
Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili, ili kuonyesha utegemezi wa kazi y (x), ni rahisi kutumia mchoro maalum - grafu ya kazi.
Ufafanuzi 2. Grafu ya chaguo la kukokotoa y (x ) ni seti ya pointi zote za mfumo wa kuratibu, abscissas ambayo ni sawa na maadili ya kutofautiana kwa kujitegemea x, na kuratibu ni sawa na maadili yanayolingana ya kutofautiana tegemezi y.
Kwa mujibu wa ufafanuzi huu, jozi zote za pointi (x0, y0) zinazokidhi utegemezi wa utendaji y(x) ziko kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa. Jozi zingine zozote za alama ambazo hazikidhi utegemezi y (x ), kazi haziko kwenye grafu.
Mfano 8
Imepewa kazi 
Je, hatua iliyo na viwianishi ni ya grafu ya chaguo hili la kukokotoa: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?
1. Tafuta thamani ya chaguo za kukokotoa yKwa kuwa y(-2) = -6, basi uhakika A (-2; -6) ni wa grafu ya chaguo hili la kukokotoa.
2. Bainisha thamani ya chaguo za kukokotoa y katika Tangu y (-3) = -11, kisha uhakika B (-3; -10) sio wa grafu ya chaguo hili la kukokotoa.
Kulingana na grafu hii ya kazi y = f(x ) ni rahisi kupata kikoa cha ufafanuzi D (f ) na anuwai E(f ) kazi. Ili kufanya hivyo, alama za grafu zinaonyeshwa kwenye axes za kuratibu. Kisha abscissas ya pointi hizi huunda kikoa cha ufafanuzi D (f ), kuratibu - anuwai ya maadili E(f).
Wacha tulinganishe njia tofauti za kufafanua chaguo la kukokotoa. Njia ya uchambuzi inapaswa kuzingatiwa kuwa kamili zaidi. Inakuruhusu kuunda jedwali la maadili ya kazi kwa maadili fulani ya hoja, kuunda grafu ya chaguo la kukokotoa, na kufanya utafiti unaohitajika wa chaguo la kukokotoa. Wakati huo huo, njia ya tabular inakuwezesha kupata haraka na kwa urahisi thamani ya kazi kwa maadili fulani ya hoja. Grafu ya kazi inaonyesha wazi tabia yake. Kwa hivyo, mtu haipaswi kupinga njia tofauti za kutaja kazi; kila moja ina faida na hasara zake. Kwa mazoezi, njia zote tatu za kutaja kazi hutumiwa.
Mfano 9
Kwa kuzingatia kazi y = 2x2 - 3x +1.
Hebu tupate: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).
Ili kupata thamani ya chaguo za kukokotoa kwa thamani fulani ya hoja, ni muhimu kubadilisha thamani hii ya hoja katika fomu ya uchanganuzi ya chaguo za kukokotoa. Kwa hivyo tunapata:
Mfano 10
Inajulikana kuwa y(3 - x) = 2x2 - 4. Hebu tutafute: a) y(x); b) y(-2).
a) Hebu tuashirie kwa herufi z = 3, kisha x = 3 - z . Hebu tubadilishe thamani hii x katika fomu ya uchanganuzi ya chaguo hili la kukokotoa y(3 - x) = 2x2 - 4 na tupate: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, au y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, au y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, au y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Kwa kuwa haijalishi ni herufi gani hoja ya kazi imeashiriwa - z, x, t au nyingine yoyote, tunapata mara moja: y(x) = 2x2 - 12x + 14;
b) Sasa ni rahisi kupata y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.
Mfano 11
Inajulikana kuwa 
Wacha tupate x(y).
Wacha tuonyeshe kwa barua z = x - 2, kisha x = z + 2, na uandike hali ya tatizo: au 
Kwa tutaandika sharti sawa kwa hoja (- z): 
Kwa urahisi, tunaanzisha vigezo vipya a = y (z) na b = y (- z ) Kwa vigezo vile tunapata mfumo wa milinganyo ya mstari
Tunavutiwa na haijulikani a.
Ili kuipata, tunatumia njia ya kuongeza algebraic. Kwa hivyo, wacha tuzidishe equation ya kwanza kwa nambari (-2), equation ya pili na nambari 3. Tunapata:
Wacha tuongeze milinganyo hii:
wapi 
Kwa kuwa hoja ya kazi inaweza kuashiria kwa herufi yoyote, tunayo:
Kwa kumalizia, tunaona kuwa hadi mwisho wa daraja la 9 mali na grafu zifuatazo zilisomwa:
a) kazi ya mstari y = kx + m (grafu ni mstari wa moja kwa moja);
b) kazi ya quadratic y = ax2 + b x + c (graph - parabola);
c) utendakazi wa mstari wa sehemu(grafu - hyperbola), hasa kazi
d) kazi ya nguvu y = xa (haswa, kazi
e) vitendaji y = |x|.
Kwa utafiti zaidi wa nyenzo, tunapendekeza kurudia mali na grafu za kazi hizi. Masomo yafuatayo yatashughulikia mbinu za msingi za kubadilisha grafu.
1. Fafanua kazi ya nambari.
2. Eleza jinsi ya kufafanua kitendakazi.
3. Ni nini kinachoitwa muungano wa seti A na B?
4. Ni kazi gani zinazoitwa nambari kamili za busara?
5. Ni kazi gani zinazoitwa busara ya sehemu? Ufafanuzi wa kazi hizo ni upi?
6. Ni nini kinachoitwa grafu ya kazi f(x)?
7. Toa mali na grafu za kazi kuu.
IV. Mgawo wa somo
§ 1, Nambari 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( a ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.
V. Kazi ya nyumbani
§ 1, Nambari 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.
VI. Kazi za ubunifu
1. Tafuta kazi y = f(x), ikiwa:
Majibu:
2. Pata kazi y = f(x) ikiwa:
Majibu:
VII. Muhtasari wa masomo
Kazi ni nini? Ufafanuzi. Mawasiliano ambayo kila kipengele cha seti moja kinahusishwa na kipengele kimoja cha seti nyingine huitwa kazi. Wanaandika: y = f (x), x Є X. Tofauti x inaitwa variable huru au hoja. Seti ya thamani zote zinazoruhusiwa za kigezo huru ni kikoa cha chaguo za kukokotoa na inaashiria D(y). Tofauti y ni kigezo tegemezi. Seti ya thamani zote za tofauti tegemezi ni anuwai ya thamani za chaguo za kukokotoa na inaashiria E(y).
Mbinu za kubainisha chaguo za kukokotoa Kuna njia 4 za kubainisha chaguo za kukokotoa. 1. Mbinu ya tabular. Ni rahisi kwa sababu hukuruhusu kupata maadili ya kazi ya maadili ya hoja yanayopatikana kwenye jedwali bila mahesabu. Х2345 У Mbinu ya uchambuzi. Chaguo za kukokotoa hubainishwa na fomula moja au zaidi. Njia hii ni muhimu kwa kusoma kazi na kuanzisha mali zake. Y=2 x+5, y= x² -5 x+1, y= |x+5|. 3. Mbinu ya picha. Kazi inatajwa na mfano wake wa kijiometri kwenye ndege ya kuratibu. 4. Mbinu ya maelezo. Ni rahisi kutumia wakati kazi ni ngumu kwa njia zingine.
§3 Sifa za kazi Monotonicity: Kuongezeka; kupungua kwa kazi zero (maadili ya hoja ambayo thamani ya Kazi ni sawa na sifuri) mwendelezo wa upimaji hata usio wa kawaida Extrema: kiwango cha juu, kiwango cha chini cha ubadilishaji Upeo na maadili ya chini ya kazi Vipindi vya ishara ya mara kwa mara (vipindi ambavyo kazi huchukua. maadili chanya au hasi pekee)
A. Kitendaji cha fomu y=k/x, ambapo k 0, inaitwa uwiano kinyume. Grafu ya uwiano wa kinyume (hyperbola) hupatikana kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = 1/x kwa kutumia kunyoosha (na k
Kazi y = |x| y=|x |= x ikiwa x 0 -x ikiwa x 
0. O. Grafu ya chaguo za kukokotoa za mstari wa sehemu ni hyperbola inayopatikana kutoka kwa grafu ya uwiano kinyume kwa kutumia shift." title=" Kitendakazi cha mstari wa sehemu O. Chaguo za kukokotoa za fomu huitwa fractional-linear. , ambapo c>0. O. Utendakazi wa mstari wa sehemu ya Grafu - hyperbola inayopatikana kutoka kwa grafu ya uwiano kinyume kwa kutumia shift." class="link_thumb"> 11 !} Kitendakazi cha mstari wa sehemu O. Kitendaji cha fomu kinaitwa fractional-linear, ambapo c>0. O. Grafu ya chaguo za kukokotoa za mstari wa sehemu ni hyperbola inayopatikana kutoka kwa grafu ya uwiano kinyume kwa kutumia shift. 0. O. Grafu ya chaguo za kukokotoa za sehemu za mstari - hyperbola inayopatikana kutoka kwa grafu ya uwiano kinyume kwa kutumia shift."> 0. O. Grafu ya kipengele cha kukokotoa cha mstari wa sehemu - hyperbola inayopatikana kutoka kwa grafu ya uwiano kinyume kwa kutumia shift. "> 0. O. Grafu ya chaguo la kukokotoa la mstari wa sehemu ni hyperbola inayopatikana kutoka kwa grafu ya uwiano kinyume kwa kutumia shift." title="Fractional-linear function O. Chaguo za kukokotoa za fomu huitwa sehemu. -linear, ambapo c>0. O. Grafu ya chaguo za kukokotoa za mstari wa sehemu - hyperbola inayopatikana kutoka kwa grafu ya uwiano kinyume kwa kutumia shift."> title="Kitendakazi cha mstari wa sehemu O. Kitendaji cha fomu kinaitwa fractional-linear, ambapo c>0. O. Grafu ya chaguo za kukokotoa za mstari wa sehemu ni hyperbola inayopatikana kutoka kwa grafu ya uwiano kinyume kwa kutumia shift."> !}
Kupata Kikoa cha Kazi
Seti ya thamani za chaguo za kukokotoa 1.у= 2sin²x-cos2x Suluhisho: 2sin²x-cos2x=2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1 0 Sin²x 1, -1 4sin²x-1 3 Jibu: -1 y 3 2. y = |cosx| Suluhisho: -1 cosx 1, 0 |cosx| 1, | cosx| 1 1 Jibu: -1 y 1 3. Kazi imetolewa na grafu. Toa thamani nyingi za chaguo hili la kukokotoa. E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-;4]
Utendaji wa nambari ni chaguo la kukokotoa ambalo kikoa chake cha ufafanuzi (hoja) na anuwai ya thamani za chaguo za kukokotoa ni seti za nambari. , ambapo , ni seti za nambari.
Mfano wa kazi ya nambari ni utegemezi wa ukuaji wako (thamani ya kazi) kwa wakati (hoja) (Mchoro 1).
Mchele. 1. Grafu ya kazi ya ukuaji
Kazi inayompa kila mtu saizi ya kiatu chake sio nambari kwa sababu hoja zake sio nambari.
Kama vitu vingine vyovyote, utendaji kawaida huainishwa ili kuwafanya kuwa rahisi zaidi kusoma. Unajua aina tofauti za utendaji: mstari, quadratic, logarithmic, nk. Wacha tuangalie kazi rahisi zaidi - zile za mstari.
Mlinganyo wa kitendakazi cha mstari: , na ni baadhi ya nambari. Grafu ni sawa (Mchoro 2).
Mchele. 2. Mfano wa grafu ya kitendakazi cha mstari
Kwa nini kazi ya mstari inaweza kuitwa rahisi? Kwa kuwa grafu yake ni mstari wa moja kwa moja. Mstari wowote usio na wima wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu hufafanua kazi ya mstari na kinyume chake. Katika jiometri, mstari wa moja kwa moja ni moja ya vitu rahisi zaidi.
Kwa kuongeza, mara nyingi tunakutana na kutumia kazi za mstari katika maisha. Kwa mfano, tunaposema kwamba gari linatembea kwa kasi ya km / h. Hii ina maana kwamba katika saa ya kwanza atasafiri km, kwa pili - km, nk. Hiyo ni, mabadiliko sawa katika hoja (wakati) husababisha mabadiliko sawa katika kazi (umbali gari limesafiri).
Hebu tueleze harakati za gari: basi nafasi ya awali iwe , na kwa saa kwa kasi ya mara kwa mara itafikia umbali . Kisha nafasi ya gari kwa wakati fulani itatambuliwa kama ifuatavyo: , wapi hoja ya kazi.
Mlinganyo huu unaelezea kitendakazi cha mstari. Wacha tuchukue dakika mbili kwa wakati na:
Tunaona kwamba mabadiliko katika thamani ya chaguo za kukokotoa ni sawia na mabadiliko ya thamani ya hoja yake.
Chaguo la kukokotoa la mstari pia ni muhimu kwa sababu linaweza kutumika kukadiria (kuelezea) vipengele vingine vya kukokotoa. Kwa mfano, ikiwa tunachukua sehemu ndogo ya grafu (Mchoro 3) (Mchoro 4), tutaona kuwa iko karibu na mstari wa moja kwa moja.
Mchele. 3. Grafu ya utendaji
Mchele. 4. Sehemu ya grafu katika Mtini. 3.
Baada ya kufanya hivyo kwa kazi nzima, tulipata kazi ya mstari wa kipande (Mchoro 5). Sasa tunaweza kuelezea tabia yake kwenye kila sehemu ya mstari.
Mchele. 5. Utendakazi wa mstari wa kipande
Mfano rahisi wa kukadiria mstari uliopinda kwa kutumia sehemu fupi za moja kwa moja husomwa katika sayansi ya kompyuta shuleni: turtle huchota mduara kwa njia hii katika mpango wa LOGO. Ni wazi kuwa haiwezekani kuteka mduara bora kwenye skrini: skrini ina kiini cha chini (pixel). Tunaiita hatua, lakini bado ina upana na urefu fulani. Na ni wazi kuwa haiwezekani kuteka mduara laini - kwa kweli, matokeo yatakuwa sahihi sana, lakini bado makadirio.
Ikiwa tunatazama picha kwenye skrini, mistari inaonekana kuwa laini. Lakini ikiwa unapoanza kuiongeza, basi mapema au baadaye mraba (pixels) huonekana (Mchoro 6).
Mchele. 6. Kupanua picha kwenye skrini
Vile vile vinaweza kuonekana kwenye duara inayotolewa na turtle. Baada ya ukuzaji, itaonekana kuwa kile kinachochorwa sio duara, lakini n-gon ya kawaida yenye thamani kubwa ya kutosha (Mchoro 7).
Mchele. 7. Picha iliyopanuliwa ya duara
Katika maisha mara nyingi tunatumia njia hii. Kwa mfano, tunapotazama ndege kuruka, tunahesabu kasi yake bila kujua na kudhani kwamba itaruka zaidi kwa mstari wa moja kwa moja kwa kasi sawa (Mchoro 8). Kwa kweli, utabiri wetu unaweza kutofautiana na ukweli, lakini kwa muda mfupi utakuwa sahihi kabisa.
Mchele. 8. Mchoro wa hesabu mbaya ya nafasi ya ndege
Sio sisi pekee tunafanya uchambuzi wa aina hii. Wanyama wengi pia wanajua jinsi ya kutatua shida kama hizo: kwa mfano, chura anapomshika mbu, lazima awe na uwezo wa kutabiri hatua ambayo itakuwa ili kuwa na wakati wa kutupa ulimi wake.
Kwa vipimo sahihi zaidi, tunatumia vyombo sahihi zaidi. Kwa vitendakazi, zana sahihi zaidi (ikilinganishwa na kazi ya mstari) ni kazi ya quadratic. Tunaweza kusema kwamba hii ndiyo kazi inayofuata ngumu zaidi.
Mlinganyo wa kitendakazi cha quadratic: , wapi , na ni baadhi ya nambari.
Grafu ya kazi ya quadratic ni parabola (Mchoro 9).
Mchele. 9. Mfano wa grafu ya kazi ya quadratic
Kwa kutumia kitendakazi cha quadratic, tunaweza kukadiria kwa usahihi zaidi utendakazi usiojulikana kwetu, na kwa hivyo kufanya ubashiri sahihi zaidi.
Shida nyingine inayokutana mara kwa mara inayohusiana na kazi za nambari: tunajua maadili ya kazi katika sehemu fulani, lakini tunahitaji kuelewa jinsi kazi inavyofanya kati ya vidokezo hivi. Kwa mfano, tuna data ya majaribio (Mchoro 10).
Mchele. 10. Matokeo ya majaribio
Ili kuelewa jinsi hali ya joto ya hewa ilivyokuwa kati ya pointi zilizowekwa, tunahitaji kwa namna fulani kudhani jinsi kazi inavyofanya, kwani hatuwezi kufanya idadi isiyo na kipimo ya vipimo. Unaweza kukadiria kwa mstari (Mchoro 11, grafu A) au quadratically (Mchoro 11, grafu B).
Mchele. 11. Ukadiriaji wa mstari na quadratic
Taratibu kama hizo huitwa tafsiri.
Kazi inaonekana kuwa ngumu: inaweza kuonekana kama bahati nzuri na misingi ya kahawa. Hakika, hatujui jinsi kazi itafanya kati ya alama mbili zilizowekwa alama. Kwa mfano, grafu yake inaweza kuonekana kama hii (Mchoro 12).
Mchele. 12. Tabia "isiyotarajiwa" ya grafu ya kazi
Kwa kweli, tunajenga upya grafu ya hatua ya kazi kwa hatua kwa kutumia mfano fulani: tunadhani kwamba kazi ni laini ya kutosha ikiwa hapakuwa na kuruka mkali katika mfano (kwa mfano, wakati wa jaribio). Kisha kwa kiwango cha juu cha uwezekano tunaweza kusema kwamba grafu ya chaguo la kukokotoa inaonekana kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. kumi na moja.
Kazi za quadratic na za mstari zimeunganishwa na ukweli kwamba zimeainishwa na polynomial (kuna kazi zingine kama hizo):
Mbali na kazi kama hizo, kuna zingine; zinaelezea michakato mbali mbali ya fizikia na biolojia na pia husomwa. Unaweza kuwaweka, kuelezea mali zao, kujenga grafu zao, na kisha kufanya kazi nao. Vitendo kama hivyo vinajumuisha, kwa mfano, vitendaji vya kipeo, logarithmic na trigonometric. Tutazungumza juu yao katika masomo yanayofuata.
Somo juu ya mada "Ufafanuzi na njia za kubainisha kazi ya nambari" hufundishwa katika daraja la 10 wakati wa masomo ya algebra kama sehemu ya maudhui ya elimu. Kama somo lingine lolote katika hisabati, somo hili linahitaji uteuzi makini wa visaidizi vya kufundishia ambavyo vitakidhi kanuni za uwazi, uthabiti na ufikiaji. Somo hili la video, ambalo lilitengenezwa na mwandishi ili kuwasaidia walimu wa hisabati kujiandaa kwa ajili ya masomo, linakidhi kanuni hizi zote.
Somo la video hufanya iwe rahisi kwa mwalimu sio tu kujiandaa kwa somo, lakini pia mchakato wa kujifunza yenyewe, ambao utategemea utangazaji wa video wa nyenzo. Mwalimu anaweza kuchukua masomo hayo ya video kama msingi, hivyo kusitawisha kwa wanafunzi mazoea ya kusikiliza na kuelewa nyenzo mara ya kwanza baada ya kuitazama mara moja wakati wa matangazo. Wakati huo huo, mwalimu bado atalazimika kufanya kazi kwa bidii na kupata kazi ambazo zitalingana na mada ya somo na kiwango cha elimu cha wanafunzi.
Katika masomo ya algebra katika daraja la 10, wanafunzi wanaendelea kusoma nyenzo walizozijua hapo awali, lakini kwa fomu ya kina zaidi, na pia huanza kufahamiana na mwanzo wa uchambuzi wa hisabati. Taswira katika masomo kama haya, haswa katika umbizo la somo la video, ni muhimu tu. Zaidi ya hayo, ina mambo muhimu tu na hakuna chochote cha juu.
Somo, la muda wa dakika 5:03, huanza na mapitio ya seti za nambari, ambapo inaonyeshwa kwamba kila kipengele cha seti moja kinahusishwa na thamani ya pekee ya kipengele kutoka kwa seti nyingine. Hivi ndivyo dhana ya kazi na kikoa chake cha ufafanuzi inavyoanzishwa. Hapa mwandishi anaeleza kuwa kigezo cha x ni kigezo huru au hoja, na kigezo y, ipasavyo, ni kigezo tegemezi. Uteuzi wa kikoa cha ufafanuzi wa kazi na anuwai ya maadili pia huletwa.
Ifuatayo, mwandishi anauliza shida ambayo inahitaji jibu kwa swali la ni njia gani tofauti za kufafanua kazi. Ili kupata jibu la swali lililoulizwa, mwandishi anapendekeza kuzingatia ukweli ufuatao: kazi inazingatiwa kutolewa ikiwa sheria imetajwa ambayo thamani ya kazi inaweza kuhesabiwa kwa thamani yoyote ya kutofautiana sambamba. Kwa hivyo, mwandishi anakuja kwa njia ya uchambuzi ya kubainisha kazi. Kisha mifano ya kazi za uchanganuzi huonekana kwenye skrini. Mwandishi pia anabainisha kuwa vipimo vya parametric ya kazi pia inatumika kwa njia ya uchambuzi. Kwa kuongeza, tahadhari hutolewa kwa ukweli kwamba njia hii inachukuliwa kuwa ya kawaida. Baada ya hayo, mwandishi anabainisha faida na hasara za njia hii ya kutaja kazi.
Ifuatayo, mwandishi anaendelea na njia inayofuata ya kubainisha kazi - graphically. Pamoja na ufafanuzi, kielelezo cha njia hii kinaonekana kwenye skrini kwenye takwimu. Mwandishi anabainisha kuwa njia hii pia ni ya kawaida kabisa, haswa katika sayansi na teknolojia. Vyombo vinaonyeshwa kwenye skrini, ambapo grafu zina jukumu muhimu. Ifuatayo, mwandishi anaelezea maana ya kufafanua kazi kwa michoro. Sawa na njia ya awali, mwandishi anabainisha faida za njia ya graphical na hasara zake. Kwa kuongezea, inabainika kuwa njia hizi mbili, yaani, picha na uchambuzi, zinakamilishana.
Kisha njia ya tabular inazingatiwa, ambapo mfano unaonyeshwa. Kisha faida na hasara za njia hii zinazingatiwa.
Baada ya kuzingatia njia za kufafanua kazi, inaelezwa katika kesi ya jumla wakati kazi inachukuliwa kuwa imefafanuliwa.
Hii inahitimisha somo. Lakini inafaa kuzingatia kuwa maelezo ya nyenzo hiyo yamejengwa kwa lugha inayopatikana kwa wanafunzi. Mwandishi anakaa kwa undani juu ya vidokezo ambavyo vinachukuliwa kuwa muhimu zaidi katika mada hii. Hii itarahisisha wanafunzi kuelewa kile kinachosemwa na mahali pa kukitumia.
KUTENGENEZA MAANDIKO:
Historia kidogo
Njia ya kuibuka kwa kisasa kwa dhana ya kazi iliwekwa katika karne ya kumi na saba na wanasayansi wa Kifaransa François Viète na René Descartes; walitengeneza ishara ya hisabati ya kialfabeti, ambayo hivi karibuni ilipata kutambuliwa kwa ulimwengu wote.
Katika "Differential Calculus," iliyochapishwa mnamo 1755, Euler anatoa ufafanuzi wa jumla wa kazi: "Wakati idadi fulani inategemea kila mmoja kwa njia ambayo wakati wa mwisho hubadilika, wao wenyewe hubadilika, basi wa kwanza huitwa kazi. ya mwisho.”
Neno "kazi" lenyewe (kutoka kwa Kilatini functio - commission, execution) lilitumiwa kwanza na mwanahisabati wa Ujerumani Leibniz katika miaka kumi na sita sabini na tatu katika barua kwa Huygens (kwa kazi alimaanisha sehemu ambayo urefu wake hutofautiana kulingana na sheria fulani maalum) , kwa kuchapishwa aliitambulisha kwa elfu moja mia sita tisini na nne. Kuanzia 1698, Leibniz pia alianzisha maneno "kigeu" na "mara kwa mara".
Katika karne ya kumi na nane, mtazamo mpya wa kazi ulionekana kama fomula inayohusiana na tofauti moja hadi nyingine. Huu ndio unaoitwa mtazamo wa uchambuzi juu ya dhana ya kazi.
Njia ya ufafanuzi kama huo ilitolewa kwanza na
Mwanahisabati wa Uswizi Johann Bernoulli.
Je, kazi ya nambari inaitwaje?
Ikipewa seti ya nambari x kubwa
na kanuni ef, ambayo inaruhusu sisi kufanana
kila kipengele x kutoka kwa seti x kubwa
igreki ya umoja,
kisha wanasema kwamba kitendakazi kilichotolewa ni sawa na ef ya x
na kikoa x kubwa .
Variable x ni kigezo au hoja huru.
Tofauti igrek ni kigezo tegemezi.
Kikoa cha ufafanuzi kinaonyeshwa na x kubwa au de from igrek
Mgawanyiko wa maadili - mchezo mkubwa au e kutoka igrek.
Je, kuna njia gani za kufafanua kipengele cha kukokotoa?
Ili kujibu swali hili,
Wacha tuzingatie ukweli ufuatao: chaguo la kukokotoa linazingatiwa limetolewa ikiwa sheria imebainishwa kulingana na ambayo, kutoka kwa thamani iliyochaguliwa kiholela ya x mali ya de kutoka kwa ef, thamani inayolingana ya y inaweza kuhesabiwa. Mara nyingi sheria hii inahusishwa na formula moja au kadhaa.
Njia hii ya kubainisha kazi inaitwa uchambuzi. Hii ni pamoja na parametric. Njia ya uchanganuzi ndiyo ya kawaida, njia kuu ya kubainisha kazi katika hisabati.
Faida zake: unaweza daima kupata thamani ya kazi kwa usahihi fulani na kwa haraka. Hasara: haiwezekani kuamua asili ya mabadiliko katika kazi kwa kutumia formula.
Mbinu ya picha- kubainisha kazi kwa kutumia grafu. Inatumika katika sayansi na teknolojia. Wakati mwingine grafu ndiyo njia pekee inayopatikana ya kubainisha chaguo za kukokotoa, kwa mfano, unapotumia ala zinazorekodi kiotomatiki mabadiliko katika thamani moja kulingana na mabadiliko katika nyingine (cardiograph, barograph, thermograph, n.k.)
Inamaanisha nini kutaja chaguo la kukokotoa kwa michoro?
Hii ina maana ya kuonyesha kanuni ambayo
mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua yoyote (x) kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi sambamba na mhimili wa kuratibu hukatiza grafu kwa hatua moja. Mpangilio wa nukta em ni nambari ef kutoka x, ambayo inalingana na thamani iliyochaguliwa ya x. Kwa hivyo, kwenye sehemu kutoka a hadi b, kazi igr ni sawa na ef kutoka x imetolewa.
Faida ya njia ya graphical ni uwazi. Grafu mara moja inaonyesha jinsi kazi inavyofanya, ambapo inaongezeka. ambapo inapungua. Unaweza pia kujua baadhi ya sifa muhimu za kazi.
Kwa ujumla, mbinu za uchanganuzi na za picha za kubainisha chaguo za kukokotoa hukamilishana. Kufanya kazi na formula husaidia kujenga grafu. Na grafu mara nyingi hupendekeza masuluhisho ambayo hautagundua hata kwenye fomula ...
Mbinu ya tabular
Njia hii ni meza rahisi. Ndani yake, kila x inalingana na ( imewekwa kwa mujibu) maana fulani ya mchezo. Katika mstari wa kwanza tunaandika maadili ya hoja. Mstari wa pili una maadili yanayolingana ya kazi, kwa mfano.
Faida pekee ya njia ya tabular ya kutaja kazi ni kwamba huna haja ya kuhesabu chochote. Kila kitu tayari kimehesabiwa na kuandikwa kwenye meza. Makosa:. hatujui thamani ya kazi ya hoja, ambazo hazipo kwenye meza. Kwa njia hii, maadili ya hoja kama haya ni rahisi haipo. Kwa kuongeza, hatuwezi kujua jinsi chaguo la kukokotoa linavyofanya nje ya jedwali.
Mbinu ya maneno.
Sheria ya kubainisha chaguo za kukokotoa imeelezwa kwa maneno. Kwa mfano, kazi mchezo ni sawa na tatu x inaweza kubainishwa na maelezo yafuatayo ya maneno: Kila thamani halisi ya hoja x inahusishwa na thamani yake mara tatu. Utawala umeanzishwa, na, kwa hiyo, kazi inaelezwa. Njia ya maelezo ya maneno ni nadra sana.
Kwa hivyo, kazi inazingatiwa kutolewa tu ikiwa kuna sheria ya mawasiliano ya moja kwa moja kati ya X Na mchezo. Inaweza kuonyeshwa kwa moja ya njia zifuatazo: formula, meza, grafu, maneno. Sheria hii hukuruhusu kubainisha thamani inayolingana ya chaguo za kukokotoa kutoka kwa thamani ya hoja.
Utendaji wa nambari Mawasiliano haya kati ya seti ya nambari inaitwa X na wengi R nambari halisi, ambayo kila nambari kutoka kwa seti X inalingana na nambari moja kutoka kwa seti R. Kundi la X kuitwa kikoa cha chaguo la kukokotoa
. Kazi zinaonyeshwa kwa barua f, g, h nk Kama f- kazi iliyofafanuliwa kwenye seti X, basi nambari halisi y, sambamba na nambari X wapo wengi wao X, mara nyingi huashiria f(x) na kuandika
y = f (x). Inaweza kubadilika X hii inaitwa hoja. Seti ya nambari za fomu f(x) kuitwa safu ya utendakazi
Chaguo la kukokotoa limebainishwa kwa kutumia fomula. Kwa mfano , y = 2X - 2. Ikiwa, wakati wa kutaja kazi kwa kutumia fomula, kikoa chake cha ufafanuzi hakijaonyeshwa, basi inachukuliwa kuwa uwanja wa ufafanuzi wa kazi ni uwanja wa ufafanuzi wa usemi. f(x).
1. Kazi inaitwa monotonous kwa muda fulani A, ikiwa inaongezeka au inapungua kwa muda huu
2. Kazi inaitwa kuongezeka kwa muda fulani A, ikiwa kwa nambari yoyote ya seti yao A hali ifuatayo inatimizwa:.
Grafu ya kitendakazi kinachoongezeka ina kipengele maalum: wakati wa kusonga kando ya mhimili wa x kutoka kushoto kwenda kulia pamoja na muda. A kuratibu za pointi za grafu huongezeka (Mchoro 4).
3. Kazi inaitwa kupungua kwa muda fulani A, ikiwa kwa nambari yoyote kuna wengi wao A hali imefikiwa:.
Grafu ya kitendakazi kinachopungua ina kipengele maalum: wakati wa kusonga kando ya mhimili wa x kutoka kushoto kwenda kulia kando ya muda. A kuratibu za pointi za grafu hupungua (Mchoro 4).
4. Kazi inaitwa hata
kwenye seti fulani X, ikiwa hali hiyo imefikiwa: 
.
Grafu ya kazi ya usawa ni ya ulinganifu kuhusu mhimili wa kuratibu (Mchoro 2).
5. Kazi inaitwa isiyo ya kawaida
kwenye seti fulani X, ikiwa hali hiyo imefikiwa: 
.
Grafu ya kazi isiyo ya kawaida ni ya ulinganifu kuhusu asili (Mchoro 2).
6. Ikiwa kazi y = f(x)
f(x) f(x), basi wanasema kwamba kazi y = f(x) anakubali thamani ndogo
katika =f(x) katika X= x(Mchoro 2, kazi inachukua thamani ndogo zaidi katika hatua na kuratibu (0;0)).
7. Ikiwa kazi y = f(x) imefafanuliwa kwenye seti ya X na kuna vile kwa usawa wowote f(x) f(x), basi wanasema kwamba kazi y = f(x) anakubali thamani ya juu katika =f(x) katika X= x(Kielelezo 4, chaguo la kukokotoa halina maadili makubwa na madogo zaidi) .
Ikiwa kwa kazi hii y = f(x) mali zote zilizoorodheshwa zimesomwa, basi wanasema hivyo kusoma kazi.
Mipaka.
Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo la kukokotoa kwani x huelekea ∞ ikiwa kwa E>0 yoyote, kuna δ (E)>0 ambayo kwa zote x inakidhi ukosefu wa usawa |x|>δ ukosefu wa usawa |F(x) -A| Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo za kukokotoa kwani X huelekea kuwa X 0 ikiwa kwa E>0 yoyote, kuna δ (E)>0 ambayo kwa wote X≠X 0 inakidhi ukosefu wa usawa |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A| VIKOMO VYA PAMOJA. Wakati wa kufafanua kikomo, X huelekea X0 kwa njia ya kiholela, ambayo ni, kutoka kwa mwelekeo wowote. Wakati X inaelekea X0, ili kila wakati iwe chini ya X0, basi kikomo kinaitwa kikomo cha X0 upande wa kushoto. Au kikomo cha mkono wa kushoto. Kikomo cha mkono wa kulia kinafafanuliwa vile vile.