Abscissa na mhimili wa kuratibu huitwa kuratibu vekta. Kuratibu za Vector kawaida huonyeshwa kwa fomu (x, y), na vekta yenyewe kama: =(x, y).
Mfumo wa kuamua viwianishi vya vekta kwa matatizo ya pande mbili.
Katika kesi ya shida ya pande mbili, vekta inayojulikana uratibu wa pointi A(x 1;y 1) Na B(x 2 ; y 2 ) inaweza kuhesabiwa:
= (x 2 - x 1; y 2 -y 1).
Mfumo wa kuamua viwianishi vya vekta kwa shida za anga.
Katika kesi ya shida ya anga, vekta inayojulikana uratibu wa pointi A (x 1;y 1;z 1 ) na B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Kuratibu hutoa maelezo ya kina ya vector, kwani inawezekana kujenga vector yenyewe kwa kutumia kuratibu. Kujua kuratibu, ni rahisi kuhesabu na urefu wa vekta. (Mali 3 hapa chini).
Tabia za kuratibu za vector.
1. Yoyote vectors sawa katika mfumo mmoja wa kuratibu kuratibu sawa.
2. Kuratibu vekta za collinear sawia. Isipokuwa kwamba hakuna vekta ni sifuri.
3. Mraba wa urefu wa vekta yoyote ni sawa na jumla ya miraba yake kuratibu.
4.Wakati wa upasuaji kuzidisha vekta juu nambari halisi kila moja ya kuratibu zake inazidishwa na nambari hii.
5. Wakati wa kuongeza vectors, tunahesabu jumla ya sambamba kuratibu za vector.
6. Bidhaa ya Scalar vekta mbili ni sawa na jumla ya bidhaa za kuratibu zao zinazolingana.
Kupata kuratibu za vekta ni hali ya kawaida kwa shida nyingi katika hisabati. Uwezo wa kupata kuratibu za vekta itakusaidia katika shida zingine, ngumu zaidi na mada zinazofanana. Katika makala hii tutaangalia formula ya kutafuta kuratibu za vector na matatizo kadhaa.
Kupata kuratibu za vekta kwenye ndege
Ndege ni nini? Ndege inachukuliwa kuwa nafasi ya pande mbili, nafasi yenye vipimo viwili (kipimo cha x na mwelekeo wa y). Kwa mfano, karatasi ni gorofa. Uso wa meza ni gorofa. Takwimu yoyote isiyo ya volumetric (mraba, pembetatu, trapezoid) pia ni ndege. Kwa hivyo, ikiwa katika taarifa ya shida unahitaji kupata kuratibu za vekta ambayo iko kwenye ndege, tunakumbuka mara moja kuhusu x na y. Unaweza kupata kuratibu za vekta kama ifuatavyo: Inaratibu AB ya vekta = (xB - xA; yB - xA). Fomula inaonyesha kuwa unahitaji kuondoa viwianishi vya sehemu ya kuanzia kutoka kwa viwianishi vya sehemu ya mwisho.
Mfano:
- Vekta CD ina viwianishi vya awali (5; 6) na vya mwisho (7; 8).
- Pata kuratibu za vekta yenyewe.
- Kutumia fomula hapo juu, tunapata usemi ufuatao: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- Hivyo, kuratibu za vector CD = (2; 2).
- Ipasavyo, kuratibu x ni sawa na mbili, kuratibu y pia ni mbili.
Kupata kuratibu za vekta kwenye nafasi
Nafasi ni nini? Nafasi tayari ni mwelekeo wa tatu-dimensional, ambapo kuratibu 3 hutolewa: x, y, z. Ikiwa unahitaji kupata vekta ambayo iko kwenye nafasi, formula haibadilika. Kiratibu kimoja tu kinaongezwa. Ili kupata vekta, unahitaji kuondoa kuratibu za mwanzo kutoka kwa kuratibu za mwisho. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)
Mfano:
- Vekta DF ina awali (2; 3; 1) na mwisho (1; 5; 2).
- Kutumia formula hapo juu, tunapata: Vector kuratibu DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- Kumbuka, thamani ya kuratibu inaweza kuwa mbaya, hakuna tatizo.
Jinsi ya kupata kuratibu za vekta mkondoni?
Ikiwa kwa sababu fulani hutaki kupata kuratibu mwenyewe, unaweza kutumia calculator online. Ili kuanza, chagua kipimo cha vekta. Kipimo cha vector kinawajibika kwa vipimo vyake. Dimension 3 ina maana kwamba vector iko katika nafasi, dimension 2 ina maana kwamba iko kwenye ndege. Ifuatayo, ingiza kuratibu za pointi kwenye nyanja zinazofaa na programu itaamua kwako kuratibu za vector yenyewe. Kila kitu ni rahisi sana.
Kwa kubofya kitufe, ukurasa utashuka chini kiotomatiki na kukupa jibu sahihi pamoja na hatua za suluhisho.
Inashauriwa kujifunza mada hii vizuri, kwa sababu dhana ya vector haipatikani tu katika hisabati, bali pia katika fizikia. Wanafunzi wa Kitivo cha Teknolojia ya Habari pia husoma mada ya vekta, lakini kwa kiwango ngumu zaidi.
Hatimaye, nilipata mikono yangu juu ya mada hii kubwa na iliyosubiriwa kwa muda mrefu. jiometri ya uchambuzi. Kwanza, kidogo kuhusu sehemu hii ya hisabati ya juu... Hakika sasa unakumbuka kozi ya jiometri ya shule na nadharia nyingi, uthibitisho wao, michoro, nk. Nini cha kuficha, somo lisilopendwa na mara nyingi lisilojulikana kwa idadi kubwa ya wanafunzi. Jiometri ya uchambuzi, isiyo ya kawaida, inaweza kuonekana kuvutia zaidi na kupatikana. Je, kivumishi "uchambuzi" kinamaanisha nini? Vifungu viwili vya maneno vya hisabati vinakumbuka mara moja: "njia ya suluhisho la picha" na "mbinu ya suluhisho la uchambuzi." Mbinu ya mchoro, bila shaka, inahusishwa na ujenzi wa grafu na michoro. Uchambuzi sawa njia inahusisha kutatua matatizo hasa kupitia shughuli za algebra. Katika suala hili, algorithm ya kutatua karibu shida zote za jiometri ya uchambuzi ni rahisi na wazi; mara nyingi inatosha kutumia kwa uangalifu fomula muhimu - na jibu liko tayari! Hapana, bila shaka, hatutaweza kufanya hivyo bila michoro kabisa, na badala ya hayo, kwa ufahamu bora wa nyenzo, nitajaribu kuwataja zaidi ya lazima.
Kozi mpya iliyofunguliwa ya jiometri haijifanya kuwa kamili kinadharia; inalenga kutatua shida za vitendo. Nitajumuisha katika mihadhara yangu kile tu, kutoka kwa maoni yangu, ni muhimu katika suala la vitendo. Ikiwa unahitaji usaidizi kamili zaidi kwenye kifungu chochote, ninapendekeza fasihi ifuatayo inayoweza kupatikana:
1) Jambo ambalo, bila mzaha, vizazi kadhaa vinafahamu: Kitabu cha shule juu ya jiometri, waandishi - L.S. Atanasyan na Kampuni. Hanger hii ya chumba cha locker ya shule tayari imepitia 20 (!) reprints, ambayo, bila shaka, sio kikomo.
2) Jiometri katika juzuu 2. Waandishi L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Hii ni fasihi kwa shule ya upili, utahitaji juzuu ya kwanza. Huenda nisionekane na majukumu ambayo ni nadra sana, na mafunzo yatakuwa ya msaada mkubwa.
Vitabu vyote viwili vinaweza kupakuliwa bila malipo mtandaoni. Kwa kuongeza, unaweza kutumia kumbukumbu yangu na ufumbuzi tayari, ambao unaweza kupatikana kwenye ukurasa Pakua mifano katika hisabati ya juu.
Kati ya zana, ninapendekeza tena maendeleo yangu mwenyewe - kifurushi cha programu katika jiometri ya uchambuzi, ambayo itarahisisha sana maisha na kuokoa muda mwingi.
Inachukuliwa kuwa msomaji anafahamu dhana na takwimu za msingi za kijiometri: uhakika, mstari, ndege, pembetatu, parallelogram, parallelepiped, mchemraba, nk. Inashauriwa kukumbuka nadharia kadhaa, angalau nadharia ya Pythagorean, hello kwa wanaorudia)
Na sasa tutazingatia sequentially: dhana ya vector, vitendo na vectors, kuratibu vector. Ninapendekeza kusoma zaidi makala muhimu zaidi Bidhaa ya dot ya vekta, na pia Vector na bidhaa mchanganyiko wa vekta. Kazi ya ndani - Mgawanyiko wa sehemu katika suala hili - pia haitakuwa ya juu sana. Kulingana na habari hapo juu, unaweza bwana equation ya mstari katika ndege Na mifano rahisi zaidi ya suluhisho, ambayo itaruhusu jifunze kutatua shida za jiometri. Nakala zifuatazo pia zinafaa: Equation ya ndege katika nafasi, Milinganyo ya mstari katika nafasi, Matatizo ya msingi kwenye mstari wa moja kwa moja na ndege, sehemu nyingine za jiometri ya uchambuzi. Kwa kawaida, kazi za kawaida zitazingatiwa njiani.
Dhana ya Vector. Vekta ya bure
Kwanza, hebu turudie ufafanuzi wa shule wa vekta. Vekta kuitwa iliyoelekezwa sehemu ambayo mwanzo na mwisho wake umeonyeshwa:
Katika kesi hii, mwanzo wa sehemu ni hatua, mwisho wa sehemu ni hatua. Vekta yenyewe inaonyeshwa na . Mwelekeo ni muhimu, ukihamisha mshale hadi mwisho mwingine wa sehemu, unapata vekta, na hii tayari iko. vector tofauti kabisa. Ni rahisi kutambua dhana ya vector na harakati ya mwili wa kimwili: lazima ukubali, kuingia kwenye milango ya taasisi au kuacha milango ya taasisi ni mambo tofauti kabisa.
Ni rahisi kuzingatia alama za kibinafsi za ndege au nafasi kama kinachojulikana vekta sifuri. Kwa vector vile, mwisho na mwanzo sanjari.
!!! Kumbuka: Hapa na zaidi, unaweza kudhani kwamba vectors uongo katika ndege moja au unaweza kudhani kuwa ziko katika nafasi - kiini cha nyenzo iliyotolewa ni halali kwa wote ndege na nafasi.
Uteuzi: Wengi waliona mara moja fimbo bila mshale katika jina na kusema, pia kuna mshale juu! Kweli, unaweza kuiandika kwa mshale:, lakini pia inawezekana ingizo ambalo nitatumia katika siku zijazo. Kwa nini? Inavyoonekana, tabia hii ilikuzwa kwa sababu za kivitendo; wapiga risasi wangu shuleni na chuo kikuu waligeuka kuwa wa ukubwa tofauti na wenye shaggy. Katika fasihi ya elimu, wakati mwingine hawajisumbui na uandishi wa kikabari hata kidogo, lakini onyesha herufi kwa herufi nzito: , na hivyo kumaanisha kuwa hii ni vekta.
Hiyo ilikuwa stylistics, na sasa kuhusu njia za kuandika vekta:
1) Vekta zinaweza kuandikwa kwa herufi mbili kuu za Kilatini: 
Nakadhalika. Katika kesi hii, barua ya kwanza Lazima inaashiria hatua ya mwanzo ya vector, na barua ya pili inaashiria hatua ya mwisho ya vector.
2) Vekta pia zimeandikwa kwa herufi ndogo za Kilatini:
Hasa, vekta yetu inaweza kubadilishwa kwa ufupi kwa barua ndogo ya Kilatini.
Urefu au moduli vector isiyo ya sifuri inaitwa urefu wa sehemu. Urefu wa vector ya sifuri ni sifuri. Mantiki.
Urefu wa vekta unaonyeshwa na ishara ya moduli:
Tutajifunza jinsi ya kupata urefu wa vector (au tutarudia, kulingana na nani) baadaye kidogo.
Hii ilikuwa habari ya msingi kuhusu vidhibiti, inayojulikana kwa watoto wote wa shule. Katika jiometri ya uchambuzi, kinachojulikana vector ya bure.
Ili kuiweka kwa urahisi - vector inaweza kupangwa kutoka kwa hatua yoyote:
Tumezoea kuita vekta kama hizo kuwa sawa (ufafanuzi wa vekta sawa utapewa hapa chini), lakini kutoka kwa mtazamo wa kihisabati, ni VECTA SAWA au vector ya bure. Kwa nini bure? Kwa sababu wakati wa kutatua matatizo, unaweza "kuambatisha" vekta hii au ile ya "shule" kwenye sehemu YOYOTE ya ndege au nafasi unayohitaji. Hiki ni kipengele kizuri sana! Fikiria sehemu iliyoelekezwa ya urefu na mwelekeo wa kiholela - inaweza "kuundwa" idadi isiyo na kikomo ya nyakati na wakati wowote wa nafasi, kwa kweli, ipo KILA MAHALI. Kuna mwanafunzi kama huyo anasema: Kila mhadhiri anajali kuhusu vekta. Baada ya yote, sio mashairi ya busara tu, kila kitu ni sawa - sehemu iliyoelekezwa inaweza kuongezwa hapo pia. Lakini usikimbilie kufurahi, ni wanafunzi wenyewe ambao mara nyingi huteseka =)
Kwa hiyo, vector ya bure-Hii kundi la sehemu zilizoelekezwa zinazofanana. Ufafanuzi wa shule wa vector, iliyotolewa mwanzoni mwa aya: "Sehemu iliyoelekezwa inaitwa vector ..." ina maana maalum sehemu iliyoelekezwa iliyochukuliwa kutoka kwa seti fulani, ambayo imefungwa kwa hatua maalum katika ndege au nafasi.
Ikumbukwe kwamba kutoka kwa mtazamo wa fizikia, dhana ya vector ya bure kwa ujumla si sahihi, na hatua ya maombi ni muhimu. Hakika, pigo la moja kwa moja la nguvu sawa kwenye pua au paji la uso, kutosha kuendeleza mfano wangu wa kijinga, unajumuisha matokeo tofauti. Hata hivyo, bure vectors pia hupatikana katika mwendo wa vyshmat (usiende huko :)).
Vitendo na vekta. Collinearity ya vekta
Kozi ya jiometri ya shule inashughulikia idadi ya vitendo na sheria na vekta: kuongeza kulingana na kanuni ya pembetatu, kuongeza kulingana na kanuni ya parallelogram, sheria ya tofauti ya vector, kuzidisha vector kwa idadi, bidhaa ya scalar ya vectors, nk. Kama sehemu ya kuanzia, wacha turudie sheria mbili ambazo zinafaa sana kwa kutatua shida za jiometri ya uchambuzi.
Sheria ya kuongeza veta kwa kutumia kanuni ya pembetatu
Fikiria vekta mbili za kiholela zisizo za sifuri na: 
Unahitaji kupata jumla ya vekta hizi. Kutokana na ukweli kwamba vectors zote zinachukuliwa kuwa huru, tutaweka kando vector kutoka mwisho vekta: 
Jumla ya vekta ni vekta. Kwa ufahamu bora wa utawala, ni vyema kuweka maana ya kimwili ndani yake: basi mwili fulani uende kando ya vector, na kisha pamoja na vector. Kisha jumla ya vectors ni vector ya njia inayosababisha na mwanzo katika hatua ya kuondoka na mwisho katika hatua ya kuwasili. Sheria sawa imeundwa kwa jumla ya idadi yoyote ya vekta. Kama wanasema, mwili unaweza kwenda kwa kuegemea sana kwenye zigzag, au labda kwa otomatiki - kando ya vekta inayosababisha ya jumla.
Kwa njia, ikiwa vector imeahirishwa kutoka ilianza vector, basi tunapata sawa kanuni ya parallelogram nyongeza ya vekta.
Kwanza, kuhusu collinearity ya vekta. Vectors mbili zinaitwa colinear, ikiwa wanalala kwenye mstari mmoja au kwenye mistari inayofanana. Kwa kusema, tunazungumza juu ya vekta zinazofanana. Lakini kuhusiana nao, kivumishi "collinear" hutumiwa kila wakati.
Hebu fikiria vekta mbili za collinear. Ikiwa mishale ya vectors hizi inaelekezwa kwa mwelekeo huo huo, basi vectors vile huitwa iliyoelekezwa pamoja. Ikiwa mishale inaelekeza kwa njia tofauti, basi vekta zitakuwa maelekezo kinyume.
Uteuzi: collinearity ya vekta imeandikwa kwa ishara ya kawaida ya usambamba: , wakati maelezo yanawezekana: (vekta zinaelekezwa kwa pamoja) au (vekta zimeelekezwa kinyume).
Kazi vekta isiyo ya sifuri kwenye nambari ni vekta ambayo urefu wake ni sawa na , na vekta na zimeelekezwa kwa pamoja na kuelekezwa kinyume.
Sheria ya kuzidisha vekta kwa nambari ni rahisi kuelewa kwa msaada wa picha: 
Hebu tuangalie kwa undani zaidi:
1) Mwelekeo. Ikiwa multiplier ni hasi, basi vector hubadilisha mwelekeo kwa kinyume chake.
2) Urefu. Ikiwa kizidishi kinapatikana ndani au, basi urefu wa vekta hupungua. Kwa hivyo, urefu wa vekta ni nusu ya urefu wa vekta. Ikiwa moduli ya kuzidisha ni kubwa kuliko moja, basi urefu wa vector huongezeka kwa wakati.
3) Tafadhali kumbuka kuwa vekta zote ni collinear, wakati vector moja inaonyeshwa kupitia nyingine, kwa mfano,. Kinyume chake pia ni kweli: ikiwa vekta moja inaweza kuonyeshwa kupitia nyingine, basi vekta kama hizo lazima ziwe collinear. Hivyo: ikiwa tunazidisha vekta kwa nambari, tunapata collinear(kuhusiana na asili) vekta.
4) Vekta zimeelekezwa kwa pamoja. Vekta na pia zinaelekezwa kwa pamoja. Vekta yoyote ya kundi la kwanza inaelekezwa kinyume kwa heshima na vekta yoyote ya kundi la pili.
Ni vekta gani zinazolingana?
Vekta mbili ni sawa ikiwa ziko katika mwelekeo mmoja na zina urefu sawa. Kumbuka kuwa uelekeo mshikamano unamaanisha ulinganifu wa vekta. Ufafanuzi huo hautakuwa sahihi (usiohitajika) ikiwa tungesema: "Vekta mbili ni sawa ikiwa ni za collinear, za mwelekeo, na zina urefu sawa."
Kutoka kwa mtazamo wa dhana ya vector ya bure, vectors sawa ni vector sawa, kama ilivyojadiliwa katika aya iliyotangulia.
Vector kuratibu kwenye ndege na katika nafasi
Jambo la kwanza ni kuzingatia veta kwenye ndege. Wacha tuonyeshe mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian na tupange kutoka kwa asili ya kuratibu single vekta na:
Vectors na ya orthogonal. Orthogonal = Perpendicular. Ninapendekeza uzoeane na maneno polepole: badala ya usawazishaji na usawazishaji, tutumie maneno mtawalia. collinearity Na orthogonality.
Uteuzi: Orthogonality ya vectors imeandikwa na ishara ya kawaida ya perpendicularity, kwa mfano:.
Vekta zinazozingatiwa zinaitwa kuratibu vekta au orts. Vekta hizi huunda msingi juu ya uso. Ni msingi gani, nadhani, ni wazi kwa wengi; habari zaidi inaweza kupatikana katika nakala hiyo. Utegemezi wa mstari (usio) wa vekta. Msingi wa vectors Kwa maneno rahisi, msingi na asili ya kuratibu hufafanua mfumo mzima - hii ni aina ya msingi ambayo maisha kamili na tajiri ya kijiometri huchemka.
Wakati mwingine msingi uliojengwa huitwa ya kawaida msingi wa ndege: "ortho" - kwa sababu vekta za kuratibu ni za orthogonal, kivumishi "cha kawaida" kinamaanisha kitengo, i.e. urefu wa vekta za msingi ni sawa na moja.
Uteuzi: msingi ni kawaida imeandikwa katika mabano, ndani ambayo katika mlolongo mkali vekta za msingi zimeorodheshwa, kwa mfano: . Kuratibu vekta ni haramu panga upya.
Yoyote vekta ya ndege njia pekee imeonyeshwa kama: 
, wapi - nambari ambazo zinaitwa kuratibu za vector katika msingi huu. Na usemi wenyewe 
kuitwa mtengano wa vektakwa msingi .
Chakula cha jioni kilitolewa:
Wacha tuanze na herufi ya kwanza ya alfabeti: . Mchoro unaonyesha wazi kuwa wakati wa kutenganisha vekta kwa msingi, zile zilizojadiliwa hivi karibuni hutumiwa:
1) sheria ya kuzidisha vector kwa nambari: na;
2) kuongeza ya vectors kulingana na utawala wa pembetatu:.
Sasa kiakili panga vekta kutoka kwa hatua nyingine yoyote kwenye ndege. Ni dhahiri kabisa kwamba uozo wake “utamfuata bila kuchoka.” Hapa ndio, uhuru wa vekta - vekta "hubeba kila kitu yenyewe." Mali hii, kwa kweli, ni kweli kwa vector yoyote. Inafurahisha kwamba veta za msingi (za bure) sio lazima ziwekwe kutoka kwa asili; moja inaweza kuchora, kwa mfano, chini kushoto, na nyingine kulia juu, na hakuna kitakachobadilika! Kweli, huna haja ya kufanya hivyo, kwa kuwa mwalimu pia ataonyesha uhalisi na kukuvuta "mikopo" mahali usiyotarajiwa.
Vectors zinaonyesha hasa kanuni ya kuzidisha vector kwa namba, vector ni codirectional na vector msingi, vector inaelekezwa kinyume na vector msingi. Kwa vekta hizi, moja ya kuratibu ni sawa na sifuri; unaweza kuiandika kwa uangalifu kama hii:
Na veta za msingi, kwa njia, ni kama hii: (kwa kweli, zinaonyeshwa kupitia wao wenyewe).
Na mwishowe:,. Kwa njia, uondoaji wa vector ni nini, na kwa nini sikuzungumza juu ya sheria ya kutoa? Mahali fulani katika algebra ya mstari, sikumbuki wapi, nilibainisha kuwa kutoa ni kesi maalum ya kuongeza. Kwa hivyo, upanuzi wa vekta "de" na "e" huandikwa kwa urahisi kama jumla: , 
. Fuata mchoro ili kuona jinsi nyongeza nzuri ya zamani ya vekta kulingana na sheria ya pembetatu inavyofanya kazi katika hali hizi.
Mtengano unaozingatiwa wa fomu 
wakati mwingine huitwa mtengano wa vekta katika mfumo wa ort(yaani katika mfumo wa vekta za kitengo). Lakini hii sio njia pekee ya kuandika vekta; chaguo lifuatalo ni la kawaida:
Au kwa ishara sawa:
Veta za msingi zenyewe zimeandikwa kama ifuatavyo: na
Hiyo ni, kuratibu za vector zinaonyeshwa kwenye mabano. Katika matatizo ya vitendo, chaguzi zote tatu za nukuu hutumiwa.
Nilitilia shaka ikiwa ningezungumza, lakini nitasema: viwianishi vya vekta haziwezi kupangwa upya. Madhubuti katika nafasi ya kwanza tunaandika kuratibu ambayo inalingana na vector ya kitengo, madhubuti katika nafasi ya pili tunaandika uratibu unaofanana na vector ya kitengo. Hakika, na ni vekta mbili tofauti.
Tuligundua kuratibu kwenye ndege. Sasa hebu tuangalie vectors katika nafasi tatu-dimensional, karibu kila kitu ni sawa hapa! Itaongeza tu kuratibu moja zaidi. Ni ngumu kutengeneza michoro ya pande tatu, kwa hivyo nitajizuia kwa vekta moja, ambayo kwa unyenyekevu nitaweka kando kutoka kwa asili: 
Yoyote Vekta ya anga ya 3D njia pekee kupanua juu ya msingi wa kawaida: 
, ziko wapi kuratibu za vekta (nambari) katika msingi huu.
Mfano kutoka kwa picha: 
. Wacha tuone jinsi sheria za vekta hufanya kazi hapa. Kwanza, kuzidisha vector kwa nambari: (mshale mwekundu), (kijani mshale) na (mshale wa raspberry). Pili, hapa kuna mfano wa kuongeza kadhaa, katika kesi hii tatu, vekta:. Vekta ya jumla huanza katika hatua ya awali ya kuondoka (mwanzo wa vector) na kuishia katika hatua ya mwisho ya kuwasili (mwisho wa vector).
Veta zote za nafasi ya pande tatu, kwa asili, pia ni bure; jaribu kiakili kuweka kando vekta kutoka kwa sehemu nyingine yoyote, na utaelewa kuwa mtengano wake "utabaki nayo."
Sawa na kesi ya gorofa, pamoja na kuandika 
matoleo yenye mabano yanatumika sana: ama .
Ikiwa vekta moja (au mbili) za kuratibu hazipo katika upanuzi, basi zero huwekwa mahali pao. Mifano:
vekta (kwa uangalifu 
) - wacha tuandike;
vekta (kwa uangalifu 
) - wacha tuandike;
vekta (kwa uangalifu 
) - wacha tuandike.
Vekta za msingi zimeandikwa kama ifuatavyo:
Hii, labda, ni ujuzi wote wa chini wa kinadharia muhimu kutatua matatizo ya jiometri ya uchambuzi. Kunaweza kuwa na istilahi na ufafanuzi mwingi, kwa hivyo ninapendekeza kwamba teapot zisome tena na kuelewa habari hii tena. Na itakuwa muhimu kwa msomaji yeyote kurejelea somo la msingi mara kwa mara ili kuiga nyenzo vizuri zaidi. Collinearity, orthogonality, orthonormal foundation, mtengano wa vekta - hizi na dhana zingine zitatumika mara nyingi katika siku zijazo. Ninagundua kuwa nyenzo kwenye wavuti haitoshi kupitisha mtihani wa kinadharia au colloquium kwenye jiometri, kwani ninaficha kwa uangalifu nadharia zote (na bila uthibitisho) - kwa uharibifu wa mtindo wa kisayansi wa uwasilishaji, lakini kwa faida ya uelewa wako. ya somo. Ili kupokea maelezo ya kina ya kinadharia, tafadhali msujudie Profesa Atanasyan.
Na tunaendelea kwa sehemu ya vitendo:
Matatizo rahisi zaidi ya jiometri ya uchambuzi.
Vitendo na vekta katika kuratibu
Inashauriwa sana kujifunza jinsi ya kutatua kazi ambazo zitazingatiwa kikamilifu moja kwa moja, na kanuni kukariri, sio lazima hata ukumbuke kwa makusudi, wataikumbuka wenyewe =) Hii ni muhimu sana, kwani shida zingine za jiometri ya uchambuzi zinatokana na mifano rahisi ya kimsingi, na itakuwa ya kukasirisha kutumia wakati wa ziada kula pawn. . Hakuna haja ya kubandika vitufe vya juu kwenye shati lako; mambo mengi unayafahamu kutoka shuleni.
Uwasilishaji wa nyenzo utafuata kozi sambamba - wote kwa ndege na kwa nafasi. Kwa sababu kwamba formula zote ... utajionea mwenyewe.
Jinsi ya kupata vector kutoka kwa pointi mbili?
Ikiwa pointi mbili za ndege na zimepewa, basi vector ina kuratibu zifuatazo: 
Ikiwa alama mbili kwenye nafasi na zimepewa, basi vekta ina kuratibu zifuatazo:
Hiyo ni, kutoka kwa kuratibu za mwisho wa vector unahitaji kuondoa kuratibu zinazolingana mwanzo wa vector.
Zoezi: Kwa pointi sawa, andika fomula za kutafuta kuratibu za vekta. Mifumo mwishoni mwa somo.
Mfano 1
Kutokana na pointi mbili za ndege na. Pata kuratibu za vekta
Suluhisho: kulingana na formula inayofaa:
Vinginevyo, kiingilio kifuatacho kinaweza kutumika:
Aesthetes itaamua hivi:
Binafsi, nimezoea toleo la kwanza la rekodi.
Jibu:
Kwa mujibu wa hali hiyo, haikuwa lazima kujenga mchoro (ambayo ni ya kawaida kwa matatizo ya jiometri ya uchambuzi), lakini ili kufafanua baadhi ya pointi kwa dummies, sitakuwa wavivu: 
Hakika unahitaji kuelewa tofauti kati ya kuratibu za uhakika na kuratibu za vekta:
Viratibu vya pointi- hizi ni kuratibu za kawaida katika mfumo wa kuratibu wa mstatili. Nadhani kila mtu anajua jinsi ya kupanga vidokezo kwenye ndege ya kuratibu kutoka kwa daraja la 5-6. Kila sehemu ina nafasi kali kwenye ndege, na haziwezi kuhamishwa popote.
Kuratibu za vekta- hii ni upanuzi wake kulingana na msingi, katika kesi hii. Vekta yoyote ni bure, kwa hivyo ikiwa inataka au inahitajika, tunaweza kuiondoa kwa urahisi kutoka kwa sehemu nyingine kwenye ndege. Inafurahisha kwamba kwa veta sio lazima ujenge shoka au mfumo wa kuratibu wa mstatili hata kidogo; unahitaji msingi tu, katika kesi hii msingi wa kawaida wa ndege.
Rekodi za kuratibu za pointi na kuratibu za vekta zinaonekana kuwa sawa: , na maana ya kuratibu kabisa tofauti, na unapaswa kufahamu vyema tofauti hii. Tofauti hii, bila shaka, pia inatumika kwa nafasi.
Mabibi na mabwana, wacha tujaze mikono yetu:
Mfano 2
a) Pointi na hutolewa. Tafuta vekta na .
b) Alama zimetolewa 
Na. Tafuta vekta na .
c) Pointi na hutolewa. Tafuta vekta na .
d) Alama zimetolewa. Tafuta vekta 
.
Labda hiyo inatosha. Hizi ni mifano kwako kuamua mwenyewe, jaribu kutozipuuza, italipa ;-). Hakuna haja ya kufanya michoro. Suluhu na majibu mwishoni mwa somo.
Ni nini muhimu wakati wa kutatua shida za jiometri ya uchambuzi? Ni muhimu kuwa MAKINI SANA ili kuepuka kufanya kosa la ustadi la "mbili pamoja na mbili sawa na sifuri". Ninaomba msamaha mara moja ikiwa nilifanya makosa mahali fulani =)
Jinsi ya kupata urefu wa sehemu?
Urefu, kama ilivyoonyeshwa tayari, unaonyeshwa na ishara ya moduli.
Ikiwa pointi mbili za ndege zinatolewa na , basi urefu wa sehemu unaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula
Ikiwa pointi mbili katika nafasi na zimetolewa, basi urefu wa sehemu unaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula
Kumbuka: Fomula zitabaki kuwa sahihi ikiwa kuratibu zinazolingana zimebadilishwa: na , lakini chaguo la kwanza ni la kawaida zaidi
Mfano 3
Suluhisho: kulingana na formula inayofaa:
Jibu: 
Kwa uwazi, nitafanya mchoro 
Sehemu ya mstari - hii sio vekta, na, bila shaka, huwezi kuisogeza popote. Kwa kuongeza, ukichora kwa kiwango: kitengo 1. = 1 cm (seli mbili za daftari), basi jibu linalotokana linaweza kuangaliwa na mtawala wa kawaida kwa kupima moja kwa moja urefu wa sehemu.
Ndio, suluhisho ni fupi, lakini kuna mambo kadhaa muhimu zaidi ambayo ningependa kufafanua:
Kwanza, katika jibu tunaweka mwelekeo: "vitengo". Hali haisemi ni NINI, milimita, sentimita, mita au kilomita. Kwa hivyo, suluhisho sahihi la hisabati litakuwa uundaji wa jumla: "vitengo" - vilivyofupishwa kama "vitengo."
Pili, wacha turudie nyenzo za shule, ambazo ni muhimu sio tu kwa kazi inayozingatiwa:
makini na mbinu muhimu – kuondoa kizidishi kutoka chini ya mzizi. Kama matokeo ya mahesabu, tuna matokeo na mtindo mzuri wa hisabati unahusisha kuondoa sababu kutoka chini ya mzizi (ikiwa inawezekana). Kwa undani zaidi mchakato unaonekana kama hii: 
. Bila shaka, kuacha jibu kama lilivyo haitakuwa kosa - lakini bila shaka itakuwa ni upungufu na hoja nzito ya kubishana na mwalimu.
Hapa kuna kesi zingine za kawaida: 
Mara nyingi mzizi hutoa idadi kubwa, kwa mfano. Nini cha kufanya katika kesi kama hizo? Kwa kutumia kikokotoo, tunaangalia ikiwa nambari inaweza kugawanywa na 4: . Ndio, iligawanywa kabisa, kwa hivyo: 
. Au labda nambari inaweza kugawanywa na 4 tena? . Hivyo: 
. Nambari ya mwisho ya nambari ni isiyo ya kawaida, kwa hivyo kugawanya kwa 4 kwa mara ya tatu haitafanya kazi. Hebu jaribu kugawanya na tisa:. Matokeo yake:
Tayari.
Hitimisho: ikiwa chini ya mzizi tunapata nambari ambayo haiwezi kutolewa kwa ujumla, basi tunajaribu kuondoa sababu kutoka chini ya mzizi - kwa kutumia calculator tunaangalia ikiwa nambari hiyo inaweza kugawanywa na: 4, 9, 16, 25, 36, 49, na kadhalika.
Wakati wa kutatua shida kadhaa, mizizi mara nyingi hukutana; kila wakati jaribu kutoa sababu kutoka chini ya mzizi ili kuzuia daraja la chini na shida zisizo za lazima kwa kumaliza suluhisho zako kulingana na maoni ya mwalimu.
Wacha pia turudie mizizi ya squaring na nguvu zingine: 
Sheria za kufanya kazi na mamlaka kwa fomu ya jumla zinaweza kupatikana katika kitabu cha algebra ya shule, lakini nadhani kutokana na mifano iliyotolewa, kila kitu au karibu kila kitu tayari ni wazi.
Kazi ya suluhisho la kujitegemea na sehemu kwenye nafasi:
Mfano 4
Pointi na kupewa. Tafuta urefu wa sehemu.
Suluhu na jibu ni mwisho wa somo.
Jinsi ya kupata urefu wa vector?
Ikiwa vector ya ndege inatolewa, basi urefu wake umehesabiwa na formula.
Ikiwa vector ya nafasi inapewa, basi urefu wake unahesabiwa na formula 
.