Jinsi ya kuhesabu kiunga dhahiri
kutumia formula ya trapezoidal na njia ya Simpson?

Njia za nambari ni sehemu kubwa ya hisabati ya juu na vitabu vya kiada kwenye mada hii vina mamia ya kurasa. Kwa mazoezi, karatasi za majaribio kwa jadi zinapendekeza kutatua shida kadhaa kwa kutumia njia za nambari, na moja ya shida za kawaida ni hesabu ya takriban. viungo dhahiri. Katika nakala hii nitaangalia njia mbili za hesabu takriban ya kiunga fulani - njia ya trapezoid Na Mbinu ya Simpson.

Unahitaji kujua nini ili kutawala njia hizi? Inaweza kusikika ya kuchekesha, lakini huenda usiweze kuchukua viambatanisho hata kidogo. Na hata huelewi ni viambajengo gani. Kutoka kwa njia za kiufundi utahitaji microcalculator. Ndiyo, ndiyo, mahesabu ya shule ya kawaida yanatungoja. Afadhali zaidi, pakua kikokotoo changu cha nusu otomatiki kwa njia ya trapezoidal na njia ya Simpson. Calculator imeandikwa katika Excel na itapunguza muda unaohitajika kwa kutatua na kukamilisha matatizo kwa makumi ya nyakati. Kwa dummies za Excel, mwongozo wa video umejumuishwa! Kwa njia, rekodi ya kwanza ya video na sauti yangu.

Kwanza, hebu tujiulize, kwa nini tunahitaji mahesabu takriban kabisa? Inaonekana kwamba unaweza kupata kizuia derivative ya chaguo za kukokotoa na kutumia fomula ya Newton-Leibniz, kuhesabu thamani halisi ya kiunganishi dhahiri. Ili kujibu swali, hebu tuangalie mara moja mfano wa demo na picha.

Kokotoa kiunganishi dhahiri

Kila kitu kitakuwa sawa, lakini katika mfano huu kiunga hicho hakijachukuliwa - kabla haujachukuliwa, kinachojulikana. logarithm muhimu. Je, kiungo hiki kipo? Wacha tuonyeshe kwenye mchoro grafu ya kazi ya integrand:

Kila kitu kiko sawa. Kiunganishi kinaendelea kwenye sehemu na kiunganishi dhahiri ni sawa na eneo lenye kivuli. Kuna catch moja tu: muhimu haiwezi kuchukuliwa. Na katika hali kama hizi, njia za nambari zinakuja kuwaokoa. Katika kesi hii, shida hutokea katika fomu mbili:

1) Kokotoa kiunganishi dhahiri takriban , kuzungusha matokeo hadi sehemu fulani ya desimali. Kwa mfano, hadi sehemu mbili za decimal, hadi sehemu tatu za decimal, nk. Wacha tufikirie jibu la takriban ni 5.347. Kwa kweli, inaweza kuwa sio sahihi kabisa (kwa kweli, sema, jibu sahihi zaidi ni 5.343). Jukumu letu ni hiyo tu kuzungusha matokeo hadi sehemu tatu za desimali.

2) Kuhesabu kiunganishi dhahiri takriban, kwa usahihi fulani. Kwa mfano, hesabu kiunga kamili takriban kwa usahihi wa 0.001. Ina maana gani? Hii inamaanisha ni lazima tupate takriban thamani hiyo moduli (njia moja au nyingine) hutofautiana na ukweli kwa si zaidi ya 0.001.

Kuna njia kadhaa za kimsingi za kuhesabu takriban ya kiunganishi dhahiri kinachotokea katika shida:

Sehemu ya ujumuishaji imegawanywa katika sehemu kadhaa na takwimu iliyopigwa imejengwa, ambayo iko karibu na eneo la eneo linalohitajika:

Usihukumu madhubuti na michoro, usahihi sio bora - husaidia tu kuelewa kiini cha njia.

Wazo ni sawa. Sehemu ya ujumuishaji imegawanywa katika sehemu kadhaa za kati, na grafu ya utendakazi wa integrand inakaribia. mstari uliovunjika mstari:

Kwa hivyo, eneo letu (kivuli cha bluu) linakadiriwa na jumla ya maeneo ya trapezoids (nyekundu). Kwa hivyo jina la njia. Ni rahisi kuona kwamba njia ya trapezoid inatoa makadirio bora zaidi kuliko njia ya mstatili (pamoja na idadi sawa ya sehemu za kizigeu). Na, kwa kawaida, sehemu ndogo zaidi za kati tunazingatia, usahihi utakuwa juu. Njia ya trapezoid inapatikana mara kwa mara katika kazi za vitendo, na mifano kadhaa itajadiliwa katika makala hii.

Njia ya Simpson (njia ya parabola). Hii ni njia ya juu zaidi - grafu ya integrand inakadiriwa si kwa mstari uliovunjika, lakini kwa parabolas ndogo. Kuna parabola nyingi ndogo kama kuna sehemu za kati. Ikiwa tutachukua sehemu tatu sawa, basi njia ya Simpson itatoa makadirio sahihi zaidi kuliko njia ya mstatili au njia ya trapezoid.

Sioni maana ya kuunda mchoro, kwani makadirio ya kuona yatawekwa juu kwenye grafu ya kazi (mstari uliovunjika wa aya iliyotangulia - na hata hivyo karibu sanjari).

Shida ya kuhesabu kiunganishi dhahiri kwa kutumia formula ya Simpson ndio kazi maarufu zaidi katika mazoezi. Na tahadhari kubwa italipwa kwa njia ya parabola.

Jinsi ya kuhesabu kiunga cha uhakika kwa kutumia njia ya trapezoidal?

Kwanza, formula ya jumla. Labda haitakuwa wazi mara moja kwa kila mtu ... ndio, Karlsson yuko pamoja nawe - mifano ya vitendo itafafanua kila kitu! Tulia. Amani tu.

Hebu tuzingatie kiunganishi dhahiri , ambapo kitendakazi kinaendelea kwa muda . Wacha tugawanye sehemu hiyo sawa sehemu:
. Katika kesi hii, ni dhahiri: (kikomo cha chini cha ushirikiano) na (kikomo cha juu cha ushirikiano). Pointi pia inaitwa nodi.

Kisha kiunga cha uhakika kinaweza kuhesabiwa takriban kulingana na formula ya trapezoidal:
, wapi:
hatua;
- maadili ya integrand katika pointi .

Mfano 1

Kokotoa takriban kiunganishi dhahiri kwa kutumia fomula ya trapezoidal. Zungusha matokeo hadi sehemu tatu za desimali.

a) Kugawanya sehemu ya ujumuishaji katika sehemu 3.
b) Kugawanya sehemu ya ujumuishaji katika sehemu 5.

Suluhisho:
a) Hasa kwa dummies, niliunganisha hatua ya kwanza na kuchora ambayo ilionyesha wazi kanuni ya njia. Ikiwa ni ngumu, angalia mchoro unapotoa maoni, hapa kuna kipande chake:

Kwa mujibu wa hali hiyo, sehemu ya ushirikiano lazima igawanywe katika sehemu 3, yaani.
Wacha tuhesabu urefu wa kila sehemu ya kizigeu: . Parameta, nakukumbusha, pia inaitwa hatua.

Je! kutakuwa na alama ngapi (nodi za kizigeu)? Kutakuwa na moja zaidi kuliko idadi ya sehemu:

Kweli, formula ya jumla ya trapezoids imepunguzwa kwa saizi ya kupendeza:

Kwa mahesabu, unaweza kutumia microcalculator ya kawaida:

Kumbuka kwamba, kwa mujibu wa hali ya tatizo, mahesabu yote yanapaswa kuzungushwa kwenye nafasi ya 3 ya decimal.

Hatimaye:

Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, tulihesabu jumla ya maeneo ya trapezoids tatu (tazama picha hapo juu).

b) Wacha tugawanye sehemu ya ujumuishaji katika sehemu 5 sawa, ambayo ni. Kwa nini hii ni muhimu? Ili kuzuia Phobos-Grunt kuanguka ndani ya bahari, kwa kuongeza idadi ya makundi, tunaongeza usahihi wa mahesabu.

Ikiwa , basi formula ya trapezoidal inachukua fomu ifuatayo:

Wacha tupate hatua ya kizigeu:
, yaani, urefu wa kila sehemu ya kati ni 0.6.

Wakati wa kukamilisha kazi, ni rahisi kurasimisha mahesabu yote kwa kutumia jedwali la hesabu:

Katika mstari wa kwanza tunaandika "counter"

Nadhani kila mtu anaweza kuona jinsi mstari wa pili unaundwa - kwanza tunaandika kikomo cha chini cha ujumuishaji, maadili yaliyobaki yanapatikana kwa kuongeza hatua mfululizo.

Nadhani karibu kila mtu alielewa kanuni ambayo mstari wa chini unajazwa. Kwa mfano, ikiwa, basi . Kama wanasema, hesabu, usiwe wavivu.

Kama matokeo:

Kweli, kuna ufafanuzi, na moja nzito! Ikiwa kwa sehemu 3 za kizigeu thamani ya takriban ilikuwa, basi kwa sehemu 5 . Kwa hivyo, kwa ujasiri wa hali ya juu tunaweza kusema hivyo, angalau.

Mfano 2

Kokotoa takriban kiunganishi dhahiri kwa kutumia fomula ya trapezoidal sahihi hadi sehemu mbili za desimali (hadi 0.01).

Suluhisho: Karibu kazi sawa, lakini katika uundaji tofauti kidogo. Tofauti ya kimsingi kutoka kwa Mfano wa 1 ni kwamba sisi hatujui, Je, ni sehemu ngapi tunapaswa kugawanya sehemu ya ujumuishaji ili kupata sehemu mbili sahihi za desimali? Kwa maneno mengine, hatujui maana ya .

Kuna formula maalum ambayo inakuwezesha kuamua idadi ya sehemu za kizigeu ili kuhakikisha usahihi unaohitajika, lakini katika mazoezi mara nyingi ni vigumu kuomba. Kwa hiyo, ni faida kutumia mbinu iliyorahisishwa.

Kwanza, sehemu ya ushirikiano imegawanywa katika makundi kadhaa makubwa, kwa kawaida 2-3-4-5. Wacha tugawanye sehemu ya ujumuishaji, kwa mfano, katika sehemu 5 sawa. Fomula tayari inajulikana:

Na hatua, kwa kweli, pia inajulikana:

Lakini swali lingine linatokea: matokeo yanapaswa kuzungushwa kwa tarakimu gani? Hali haisemi chochote kuhusu ni sehemu ngapi za desimali za kuondoka. Mapendekezo ya jumla ni: unahitaji kuongeza tarakimu 2-3 kwa usahihi unaohitajika. Katika kesi hii, usahihi unaohitajika ni 0.01. Kulingana na pendekezo, baada ya nukta ya decimal tutaacha herufi tano baada ya nukta ya decimal (nne ziliwezekana):

Kama matokeo:
, hebu tuonyeshe ukadiriaji kwa .

Baada ya matokeo ya msingi, idadi ya makundi mara mbili. Katika kesi hii, ni muhimu kugawanyika katika sehemu 10. Na wakati idadi ya makundi inakua, mawazo mkali inakuja akilini kwamba kwa namna fulani nimechoka kwa kupiga vidole vyangu kwenye microcalculator. Kwa hivyo, ninapendekeza tena kupakua na kutumia kikokotoo changu cha nusu-otomatiki (kiungo mwanzoni mwa somo).

Kwa formula ya trapezoid inachukua fomu ifuatayo:

Katika toleo la karatasi, kiingilio kinaweza kuhamishwa kwa usalama hadi mstari unaofuata.

Wacha tuhesabu hatua ya kizigeu:

Wacha tufanye muhtasari wa matokeo ya hesabu kwenye jedwali:


Baada ya kumaliza katika daftari, ni faida kugeuza meza ndefu kwenye meza ya hadithi mbili.

Kama matokeo:

Sasa hebu tuhesabu tofauti kati ya makadirio:

Hapa tunatumia ishara ya moduli, kwa kuwa tunavutiwa nayo tofauti kabisa, na sio matokeo gani ni makubwa na yapi ni kidogo.

Kuhusu hatua zaidi, mimi binafsi nimepata suluhisho 2 kwa vitendo:

1) Njia ya kwanza ni "kulinganisha kichwa". Kwa kuwa makadirio ya makosa yaliyotokana zaidi kuliko usahihi unaohitajika: , basi ni muhimu kwa mara nyingine tena mara mbili idadi ya makundi ya kizigeu hadi na kuhesabu. Kutumia kihesabu cha Excel, unaweza kupata matokeo ya kumaliza katika suala la sekunde:. Sasa hebu tukadirie kosa tena: . Imepokea alama kidogo kuliko usahihi unaohitajika: , kwa hiyo, mahesabu yamekamilika. Kilichobaki ni kuzungusha matokeo ya mwisho (sahihi zaidi) kwa sehemu mbili za decimal na kutoa jibu.

2) Njia nyingine, yenye ufanisi zaidi inategemea matumizi ya kinachojulikana Sheria za Runge, kulingana na ambayo tunakosea katika kukadiria kiunganishi dhahiri kwa si zaidi ya . Katika shida yetu: kwa hivyo, hakuna haja ya hesabu. Walakini, kasi ya suluhisho katika kesi hii ilikuja kwa gharama ya usahihi: . Walakini, matokeo haya yanakubalika, kwani "kikomo chetu cha makosa" ni mia moja.

Nini cha kuchagua? Zingatia mbinu yako ya kufundisha au mapendeleo ya mwalimu.

Jibu: sahihi kwa 0.01 (kwa kutumia sheria ya Runge).

Mfano 3

Kokotoa takriban kiunganishi dhahiri kwa kutumia fomula ya trapezoida yenye usahihi wa 0.001.

Hapa tena ni kiungo muhimu (karibu cosine muhimu). Katika suluhisho la sampuli, hatua ya kwanza imegawanywa katika sehemu 4, yaani. Suluhisho kamili na sampuli ya takriban ya muundo wa mwisho mwishoni mwa somo.

Jinsi ya kuhesabu kiunga dhahiri kwa kutumia formula ya Simpson?

Ikiwa ulikuwa unatafuta tu njia ya Simpson kwenye ukurasa huu, ninapendekeza sana kwamba kwanza usome mwanzo wa somo na uangalie angalau mfano wa kwanza. Kwa sababu mawazo na mbinu nyingi zitakuwa sawa na njia ya trapezoid.

Tena, wacha tuanze na formula ya jumla
Hebu tuzingatie kiunganishi dhahiri , ambapo kitendakazi kinaendelea kwa muda . Wacha tugawanye sehemu hiyo hata wingi sawa sehemu. Idadi sawa ya sehemu inaonyeshwa na .

Kwa mazoezi, sehemu zinaweza kuwa:
mbili:
nne:
nane:
kumi:
ishirini:
Sikumbuki chaguzi zingine zozote.

Makini! Nambari inaeleweka kama NAMBA MOJA. Yaani NI HARAMU punguza, kwa mfano, kwa mbili, kupata . Rekodi pekee inasimama kwa, kwamba idadi ya makundi hata. Na hakuna mazungumzo ya kupunguzwa yoyote

Kwa hivyo, kizigeu chetu kinaonekana kama hii:

Masharti ni sawa na yale ya njia ya trapezoidal:
Pointi zinaitwa nodi.

Fomula ya Simpson kwa hesabu ya takriban ya kiunganishi dhahiri ina fomu ifuatayo:
, wapi:
- urefu wa kila sehemu ndogo au hatua;
- maadili ya integrand katika pointi.

Nikielezea lundo hili, nitachambua fomula kwa undani zaidi:
- jumla ya maadili ya kwanza na ya mwisho ya integrand;
- jumla ya masharti na hata indexes huzidishwa na 2;
- jumla ya masharti na isiyo ya kawaida faharasa huzidishwa na 4.

Mfano 4

Kokotoa takriban kiunganishi dhahiri kwa kutumia fomula ya Simpson kwa usahihi wa 0.001. Anza kugawanyika na sehemu mbili

Muhimu, kwa njia, haina tena.

Suluhisho: Mimi mara moja kuteka mawazo yako kwa aina ya kazi - ni muhimu kuhesabu muhimu ya uhakika kwa usahihi fulani. Nini maana ya hii tayari imetolewa maoni juu ya mwanzo wa makala, pamoja na kutumia mifano maalum katika aya iliyotangulia. Kama ilivyo kwa njia ya trapezoid, kuna fomula ambayo itakuruhusu mara moja kuamua nambari inayotakiwa ya sehemu (thamani ya "en") ili kuhakikisha usahihi unaohitajika. Ukweli, itabidi utafute derivative ya nne na kutatua shida kubwa. Wale walioelewa nilichomaanisha na kuthamini kazi nyingi, walitabasamu. Hata hivyo, hii sio jambo la kucheka; kupata derivative ya nne ya kazi hiyo ya integrand haitakuwa tena mega-nerd, lakini psychopath ya kliniki. Kwa hivyo, katika mazoezi, njia iliyorahisishwa ya kukadiria makosa karibu kila wakati hutumiwa.

Hebu tuanze kuamua. Ikiwa tuna sehemu mbili za kizigeu, basi kutakuwa na nodi moja zaidi:. Na formula ya Simpson inachukua fomu ngumu sana:

Wacha tuhesabu hatua ya kizigeu:

Wacha tujaze jedwali la hesabu:

Acha nitoe maoni tena juu ya jinsi jedwali linavyojazwa:

Katika mstari wa juu tunaandika "counter" ya indexes

Katika mstari wa pili, sisi kwanza tunaandika kikomo cha chini cha ushirikiano, na kisha kwa mfululizo kuongeza hatua.

Katika mstari wa tatu tunaingiza maadili ya integrand. Kwa mfano, ikiwa, basi. Je, niache sehemu ngapi za desimali? Hakika, hali hiyo haisemi chochote kuhusu hili. Kanuni ni sawa na katika njia ya trapezoidal, tunaangalia usahihi unaohitajika: 0.001. Na ongeza tarakimu 2-3 za ziada. Hiyo ni, unahitaji kuzunguka hadi maeneo ya decimal 5-6.

Kama matokeo:

Matokeo ya msingi yamepokelewa. Sasa mara mbili idadi ya sehemu hadi nne:. Fomula ya Simpson ya kizigeu hiki inachukua fomu ifuatayo:

Wacha tuhesabu hatua ya kizigeu:

Wacha tujaze jedwali la hesabu:


Hivyo:

Wacha tupate dhamana kamili ya tofauti kati ya makadirio:

Utawala wa Runge kwa njia ya Simpson ni kitamu sana. Ikiwa wakati wa kutumia njia ya mstatili wa kati na njia ya trapezoid tunapewa "kupendeza" kwa theluthi moja, lakini sasa - kama vile moja ya kumi na tano:
, na usahihi hapa hausumbui tena:

Lakini ili kukamilisha picha, nitatoa pia suluhisho "rahisi", ambapo unapaswa kuchukua hatua ya ziada: kwa kuwa kuna zaidi ya usahihi unaohitajika: , basi ni muhimu kuongeza mara mbili idadi ya makundi tena:.

Fomula ya Simpson inakua kwa kurukaruka na mipaka:

Wacha tuhesabu hatua:

Na ujaze jedwali la hesabu tena:

Hivyo:

Tafadhali kumbuka kuwa inashauriwa kuelezea mahesabu hapa kwa undani zaidi, kwani formula ya Simpson ni ngumu sana, na ikiwa utapiga mara moja:
, basi pombe hii itaonekana kama kazi ya utapeli. Na kwa maelezo ya kina zaidi, mwalimu atakuwa na hisia nzuri kwamba umefuta kwa uangalifu funguo za microcalculator kwa saa nzuri. Hesabu za kina za kesi "ngumu" zinapatikana kwenye kikokotoo changu.

Tunakadiria kosa:

Hitilafu ni chini ya usahihi unaohitajika: . Kilichobaki ni kuchukua makadirio sahihi zaidi, kuzungusha hadi sehemu tatu za desimali na uandike:

Jibu: sahihi kwa 0.001

Mfano 5

Kokotoa takriban kiunganishi dhahiri kwa kutumia fomula ya Simpson kwa usahihi wa 0.0001. Anza kugawanyika na sehemu mbili

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Sampuli ya takriban ya muundo wa mwisho na jibu mwishoni mwa somo.

Katika sehemu ya mwisho ya somo, tutaangalia mifano michache ya kawaida.

Mfano 6

Kokotoa kadirio la thamani ya kiunganishi dhahiri kwa kutumia fomula ya Simpson, ikigawanya sehemu ya ujumuishaji katika sehemu 10. Mahesabu lazima yafanyike kwa usahihi hadi nafasi ya tatu ya decimal.

Leo tutajifunza kuhusu njia nyingine ya kuunganisha namba, njia ya trapezoidal. Kwa msaada wake, tutahesabu viambatanisho vya uhakika na kiwango fulani cha usahihi. Katika makala tutaelezea kiini cha njia ya trapezoid, kuchambua jinsi formula inavyotokana, kulinganisha njia ya trapezoid na njia ya mstatili, na kuandika makadirio ya kosa kabisa la njia. Tutaonyesha kila sehemu kwa mifano kwa uelewa wa kina wa nyenzo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tuseme kwamba tunahitaji takriban kukokotoa kiunganishi dhahiri ∫ a b f (x) d x , ambacho kiunganishi y = f (x) kinaendelea kwa muda [ a ; b] . Ili kufanya hivyo, gawanya sehemu [a; b ] katika vipindi kadhaa sawa vya urefu h na alama a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Hebu tupate hatua ya kugawanya: h = b - a n. Hebu tutambue nodes kutoka kwa usawa x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n.

Juu ya sehemu za msingi tunazingatia kazi ya integrand x i - 1; x i, i = 1, 2, . . , n.

Kadiri n inavyoongezeka sana, tunapunguza kesi zote kwa chaguzi nne rahisi zaidi:

Hebu tuchague makundi x i - 1; x i, i = 1, 2, . . . , n. Hebu tuchukue nafasi ya kazi y = f (x) kwenye kila grafu na sehemu ya mstari wa moja kwa moja ambayo hupitia pointi na kuratibu x i - 1; f x i - 1 na x i; f x mimi. Wacha tuwaweke alama kwa bluu kwenye picha.

Hebu tuchukue usemi f (x i - 1) + f (x i) 2 · h kama thamani ya kadirio la kiungo ∫ x i - 1 x i f (x) d x. Wale. hebu tuchukue ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.

Hebu tuone ni kwa nini njia ya kuunganisha nambari tunayojifunza inaitwa njia ya trapezoidal. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kujua ni nini usawa wa takriban wa maandishi unamaanisha kutoka kwa mtazamo wa kijiometri.

Ili kuhesabu eneo la trapezoid, ni muhimu kuzidisha hesabu za nusu za besi zake kwa urefu wake. Katika kesi ya kwanza, eneo la trapezoid iliyopinda ni takriban sawa na trapezoid yenye besi f (x i - 1), f (x i) urefu h. Katika kesi ya nne tunayozingatia, kiunga kilichopewa ∫ x i - 1 x f (x) d x ni takriban sawa na eneo la trapezoid na besi - f (x i - 1), - f (x i) na urefu. h, ambayo lazima ichukuliwe na ishara "-". Ili kuhesabu thamani ya takriban ya kiunganishi ∫ x i - 1 x i f (x) d x katika pili na ya tatu ya kesi zinazozingatiwa, tunahitaji kupata tofauti katika maeneo ya mikoa nyekundu na bluu, ambayo tuliweka alama. kutotolewa katika takwimu hapa chini.

Hebu tufanye muhtasari. Kiini cha njia ya trapezoidal ni kama ifuatavyo: tunaweza kuwakilisha kiunganishi ∫ a b f (x) d x kama jumla ya viambatanisho vya fomu ∫ x i - 1 x i f (x) d x kwenye kila sehemu ya msingi na katika uingizwaji wa takriban ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

Njia ya formula ya trapezoid

Hebu tukumbuke sifa ya tano ya kiungo cha uhakika: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x. Ili kupata fomula ya njia ya trapezoidal, inahitajika kuchukua nafasi ya takriban maadili yao badala ya viunga ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n. ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + + + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (. x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Ufafanuzi 1

Njia ya trapezoidal:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Ukadiriaji wa hitilafu kabisa ya njia ya trapezoidal

Wacha tukadirie makosa kamili ya njia ya trapezoidal kama ifuatavyo.

Ufafanuzi 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Mchoro wa mchoro wa njia ya trapezoidal unaonyeshwa kwenye takwimu:

Mifano ya hesabu

Wacha tuangalie mifano ya kutumia njia ya trapezoidal kwa hesabu takriban ya viambatanisho vya uhakika. Tutalipa kipaumbele maalum kwa aina mbili za kazi:

• hesabu ya kiunganishi dhahiri kwa njia ya trapezoidal kwa nambari fulani ya kizigeu cha sehemu n;
• kupata thamani ya takriban ya kiungo fulani kwa usahihi maalum.

Kwa n iliyopewa, mahesabu yote ya kati lazima yafanyike kwa kiwango cha juu cha kutosha cha usahihi. Usahihi wa mahesabu unapaswa kuwa juu zaidi, n kubwa zaidi.

Ikiwa tunayo usahihi uliopewa katika kuhesabu kiunga fulani, basi mahesabu yote ya kati lazima yafanyike maagizo mawili au zaidi ya ukubwa kwa usahihi zaidi. Kwa mfano, ikiwa usahihi umewekwa kwa 0.01, basi tunafanya mahesabu ya kati kwa usahihi wa 0.0001 au 0.00001. Kwa n kubwa, mahesabu ya kati lazima yafanyike kwa usahihi wa juu zaidi.

Wacha tuangalie sheria hapo juu na mfano. Ili kufanya hivyo, linganisha maadili ya kiunganishi dhahiri kilichohesabiwa kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz na kupatikana kwa njia ya trapezoidal.

Kwa hiyo, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

Mfano 1

Kwa kutumia njia ya trapezoidal, tunahesabu kiambatisho ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x kwa n sawa na 10.

Suluhisho

Fomula ya njia ya trapezoidal ni ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Ili kutumia formula, tunahitaji kuhesabu hatua h kwa kutumia formula h = b - a n, kuamua nodes x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, kukokotoa thamani za chaguo za kukokotoa za integrand f (x) = 7 x 2 + 1.

Hatua ya kugawanya imehesabiwa kama ifuatavyo: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5. Ili kuhesabu integrand kwenye nodes x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n tutachukua nafasi nne za desimali:

i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0. 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

Wacha tuweke matokeo ya hesabu kwenye jedwali:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x i	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f (x i)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

Wacha tubadilishe maadili yaliyopatikana katika fomula ya njia ya trapezoidal: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117

Hebu tulinganishe matokeo yetu na matokeo yaliyokokotolewa kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz. Thamani zilizopatikana zinalingana na mia.

Jibu:∫ 0 5 7 d x 2 + 1 = 9 , 6117

Mfano 2

Kwa kutumia njia ya trapezoidal, tunahesabu thamani ya kiungo cha uhakika ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x kwa usahihi wa 0.01.

Suluhisho

Kulingana na hali ya tatizo a = 1; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; δn ≤ 0.01.

Hebu tupate n, ambayo ni sawa na idadi ya pointi za ugawaji wa sehemu ya ushirikiano, kwa kutumia kutofautiana kwa kukadiria kosa kabisa δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Tutafanya hivi kama ifuatavyo: tutapata maadili ya n ambayo ukosefu wa usawa m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01. Kwa kuzingatia n, fomula ya trapezoidal itatupa thamani ya takriban ya kiunganishi cha uhakika na usahihi fulani.

Kwanza, hebu tupate thamani kubwa zaidi ya moduli ya derivative ya pili ya kazi kwenye muda [1; 2].

f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Kitendakazi cha pili cha derivative ni parabola ya quadratic f "" (x) = x 2 . Kutokana na mali zake tunajua kwamba ni chanya na huongezeka kwa muda [1; 2]. Katika suala hili, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

Katika mfano uliotolewa, mchakato wa kupata m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) iligeuka kuwa rahisi sana. Katika hali ngumu, unaweza kutumia maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi kufanya mahesabu. Baada ya kuzingatia mfano huu, tutawasilisha njia mbadala ya kutafuta m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Hebu tubadilishe thamani inayotokana na kutokuwa na usawa m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0.01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5.7735

Idadi ya vipindi vya msingi ambavyo sehemu ya ujumuishaji n imegawanywa ni nambari asilia. Kwa tabia ya hesabu, tunachukua n sawa na sita. Thamani hii ya n itatuwezesha kufikia usahihi maalum wa njia ya trapezoidal na kiwango cha chini cha mahesabu.

Hebu tuhesabu hatua: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Wacha tupate nodi x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . , n , tunaamua maadili ya kiunganishi katika nodi hizi:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0.5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1.9833

Tunaandika matokeo ya hesabu kwa namna ya meza:

i	0	1	2	3	4	5	6
x i	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x i	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

Wacha tubadilishe matokeo yaliyopatikana katika formula ya trapezoidal:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 ≈ 1.0054

Ili kulinganisha, tunahesabu kiunga cha asili kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Kama unaweza kuona, tumepata usahihi wa hesabu uliopatikana.

Jibu: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1.0054

Kwa viambatanisho vya fomu changamano, kupata nambari n kutoka kwa ukosefu wa usawa wa kukadiria hitilafu kamili si rahisi kila wakati. Katika kesi hii, njia ifuatayo itakuwa sahihi.

Wacha tuonyeshe thamani ya takriban ya kiunganishi dhahiri, ambacho kilipatikana kwa kutumia njia ya trapezoidal kwa nodi za n, kama I n. Wacha tuchague nambari ya kiholela n. Kutumia fomula ya njia ya trapezoidal, tunahesabu kiunga cha awali kwa nambari moja (n = 10) na mbili (n = 20) ya nodi na kupata dhamana kamili ya tofauti kati ya maadili mawili yaliyopatikana takriban I 20 - mimi 10.

Ikiwa thamani kamili ya tofauti kati ya maadili mawili yaliyopatikana ni chini ya usahihi unaohitajika I 20 - I 10.< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Ikiwa thamani kamili ya tofauti kati ya maadili mawili yaliyopatikana ni kubwa kuliko usahihi unaohitajika, basi ni muhimu kurudia hatua kwa mara mbili ya idadi ya nodi (n = 40).

Njia hii inahitaji kiasi kikubwa cha mahesabu, hivyo ni busara kutumia teknolojia ya kompyuta ili kuokoa muda.

Wacha tutatue shida kwa kutumia algorithm hapo juu. Ili kuokoa muda, tutaacha mahesabu ya kati kwa kutumia njia ya trapezoidal.

Mfano 3

Ni muhimu kuhesabu kiunga cha uhakika ∫ 0 2 x e x d x kwa kutumia njia ya trapezoidal kwa usahihi wa 0.001.

Suluhisho

Wacha tuchukue n sawa na 10 na 20. Kutumia formula ya trapezoidal, tunapata I 10 = 8.4595380, I 20 = 8.4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, ambayo inahitaji mahesabu zaidi.

Wacha tuchukue n sawa na 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225> 0, 001, ambayo pia inahitaji mahesabu ya kuendelea.

Wacha tuchukue n sawa na 80: I 80 = 8, 3901585.

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, ambayo inahitaji mwingine mara mbili ya idadi ya nodes.

Wacha tuchukue n sawa na 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001

Thamani ya takriban ya kiungo cha awali kinaweza kupatikana kwa kuzungusha I 160 = 8, 3893317 hadi elfu: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.

Kwa kulinganisha, hebu tuhesabu kiunganishi halisi cha asili kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. Usahihi unaohitajika umepatikana.

Jibu: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Makosa

Hesabu za kati ili kuamua thamani ya kiunganishi dhahiri mara nyingi hufanywa takriban. Hii inamaanisha kuwa n inapoongezeka, hitilafu ya hesabu huanza kujilimbikiza.

Wacha tulinganishe makadirio ya makosa kabisa ya njia ya trapezoidal na njia ya wastani ya mstatili:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Njia ya mstatili ya n iliyopewa na kiasi sawa cha kazi ya kukokotoa inatoa nusu ya makosa. Hii inafanya njia kuwa bora zaidi katika hali ambapo maadili ya kazi katika sehemu za kati za sehemu za msingi zinajulikana.

Katika hali ambapo kazi za kuunganishwa hazijaainishwa kwa uchanganuzi, lakini kama seti ya maadili kwenye nodi, tunaweza kutumia njia ya trapezoidal.

Ikiwa tunalinganisha usahihi wa njia ya trapezoid na njia ya mstatili wa kulia na wa kushoto, basi njia ya kwanza ni bora kuliko ya pili kwa usahihi wa matokeo.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

5.3 Njia ya trapezoid

Hebu tupate formula ya trapezoids kwa njia sawa na formula ya rectangles, kutoka kwa masuala ya kijiometri. Hebu tubadilishe grafu ya kazi y = f (x) (Mchoro 5.1) na mstari uliovunjika (Mchoro 5.7), uliopatikana kama ifuatavyo. Kutoka kwa pointi a = x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n = b tunachora ordinates mpaka zinaingiliana na curve y = f (x). Mwisho wa kuratibu utaunganishwa na sehemu za moja kwa moja.

Kisha eneo la trapezoid ya curvilinear inaweza kuzingatiwa takriban sawa na eneo la takwimu linaloundwa na trapezoids. Kwa kuwa eneo la trapezoid lililojengwa kwenye sehemu ya urefu h = ni sawa na h. , basi, kwa kutumia fomula hii i = 0, 2, ..., n - 1, tunapata fomula ya trapezoidal quadrature:

Mimi =»I tr =h= (5.7)

Ukadiriaji wa hitilafu. Ili kukadiria kosa la formula ya trapezoidal, tunatumia theorem ifuatayo.

Nadharia 5.2. Acha kitendakazi f kiweze kutofautishwa mara mbili mfululizo kwenye muda. Kisha makadirio ya makosa yafuatayo ni halali kwa formula ya trapezoidal:

| Mimi - mimi tr | £ h 2, (5.8)

ambapo M 2 = |f "(x)|.

Mfano 5.2.

Hebu tuhesabu thamani ya muhimu kwa kutumia formula ya trapezoidal (5.7) na kulinganisha matokeo yaliyopatikana na matokeo ya mfano 5.1.

Kutumia jedwali la maadili ya kazi e kutoka kwa mfano 5.1 na kufanya mahesabu kwa kutumia formula ya trapezoidal (5.7), tunapata: I tr = 0.74621079.

Wacha tukadirie makosa ya thamani iliyopatikana. Kwa mfano (5.1) tulipokea makadirio: | f "(x)| £ M 2 = 2. Kwa hivyo, kulingana na fomula (5.8)

Mimi - mimi tr | £ (0.1) 2 » 1.7× 10 -3 .

Kulinganisha matokeo ya mifano 5.1 na 5.2, tunaona kwamba njia ya wastani ya mstatili ina hitilafu ndogo, i.e. ni sahihi zaidi.

5.4 Mbinu ya Simpson (mbinu ya parabola)

Wacha tubadilishe grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye sehemu , i = 0, 2, … , n – 1, na kielelezo kilichochorwa kupitia alama (x i , f(x i)), (x,f (x)), (x i+ 1, f(x i+ 1)), ambapo x ni sehemu ya katikati ya sehemu. Kifananishi hiki ni ukalimani wa polinomia wa shahada ya pili L 2 (x) yenye nodi x i, x, x i+ 1. Ni rahisi kuona kwamba equation ya parabola hii ina fomu:

f(x) + (x – x) + (x - x) 2, (5.9)

Kuunganisha kazi (5.9) kwenye muda, tunapata

I i = » = (f(x i) + 4f(x) + f(x i+ 1)). (5.10)

Muhtasari wa usemi (5.10) juu ya i = 0, 1, 2, ..., n - 1, tunapata fomula ya quadrature ya Simpson (au fomula ya parabola):

Mimi =» I C = (f(x 0) + f(x n) + 4 + 2). (5.11)

Ukadiriaji wa hitilafu. Ili kukadiria makosa ya fomula ya Simpson, tunatumia nadharia ifuatayo.

Nadharia 5.2. Acha chaguo la kukokotoa f liwe na derivati ​​endelevu ya mpangilio wa nne f (4) (x) kwenye muda. Kisha makadirio ya makosa yafuatayo ni halali kwa fomula ya Simpson (5.9):

| Mimi - I C | £ h 4 , (5.12)

wapi M 4 = | f (4) (x)|.

Maoni. Ikiwa idadi ya sehemu za msingi ambazo sehemu imegawanywa ni sawa, i.e. n = 2m, kisha parabolas zinaweza kuchorwa kupitia nodi zilizo na fahirisi kamili, na badala ya sehemu ya msingi ya urefu wa h, fikiria sehemu ya urefu wa 2h. Kisha formula ya Simpson itachukua fomu:

Mimi » (f(x 0) + f(x 2m) + 4 + 2), (5.13)

na badala ya kukadiria (5.10), makadirio ya makosa yafuatayo yatakuwa halali:

| Mimi - I C | £ h 4 , (5.14)

Mfano 5.3.

Wacha tuhesabu thamani ya muunganisho kwa kutumia formula ya Simpson (5.11) na kulinganisha matokeo yaliyopatikana na matokeo ya mifano 5.1 na 5.2.

Kutumia jedwali la maadili ya kazi e kutoka kwa mfano 5.1 na kufanya mahesabu kwa kutumia fomula ya Simpson (5.11), tunapata:

I C = 0.74682418.

Wacha tukadirie makosa ya thamani iliyopatikana. Hebu tuhesabu derivative ya nne f (4) (x).

f (4) (x) = (16x 4 – 48x 2 + 12) e, | f (4) (x)| £12.

| Mimi - I C | £ (0.1) 4 » 0.42 × 10 -6 .

Kulinganisha matokeo ya mifano 5.1, 5.2 na 5.3, tunaona kwamba njia ya Simpson ina makosa kidogo kuliko njia ya wastani ya mstatili na njia ya trapezoid.

Uhesabuji wa viambatanisho kwa kutumia fomula za mistatili, trapezoidi na fomula ya Simpson. Kadirio la hitilafu.

Mwongozo wa mada 4.1:

Uhesabuji wa viambatanisho kwa kutumia fomula za mstatili. Kadirio la hitilafu:

Suluhisho la matatizo mengi ya kiufundi linakuja kwa kuhesabu viungo fulani, kujieleza halisi ambayo ni ngumu, inahitaji mahesabu ya muda mrefu na sio haki kila wakati katika mazoezi. Hapa thamani yao ya takriban inatosha kabisa. Kwa mfano, ni muhimu kuhesabu eneo lililofungwa na mstari ambao equation haijulikani, mhimili X na waratibu wawili. Katika kesi hii, unaweza kuchukua nafasi ya mstari huu na rahisi zaidi ambayo equation inajulikana. Eneo la trapezoid ya curvilinear iliyopatikana kwa njia hii inachukuliwa kama thamani ya takriban ya kiunga kinachohitajika. Kijiometri, wazo la njia ya kuhesabu kiunganishi dhahiri kwa kutumia fomula ya mstatili ni kwamba eneo la trapezoid ya curvilinear. ABC 1 ya 1 inabadilishwa na eneo la mstatili sawa A 1 A 2 B 1 B 2, ambayo kwa thamani ya wastani nadharia ni sawa na

Wapi f(c)--- urefu wa mstatili A 1 A 2 B 1 B 2, inayowakilisha thamani ya muunganisho katika hatua fulani ya kati c(a< c

Ni karibu vigumu kupata thamani kama hiyo Na, ambapo (b-a) f (c) itakuwa sawa kabisa na . Ili kupata thamani sahihi zaidi, eneo la trapezoid ya curvilinear imegawanywa katika n mistatili ambayo urefu wake ni sawa y 0 , y 1 , y 2 , ..., y n -1 na misingi.

Ikiwa tutatoa muhtasari wa maeneo ya mistatili ambayo inashughulikia eneo la trapezoid ya curvilinear na hasara, kazi hiyo haipunguzi, basi badala ya formula tunatumia formula.

Ikiwa ni ziada, basi

Thamani zinapatikana kutoka kwa usawa. Fomula hizi zinaitwa fomula za mstatili na kutoa matokeo takriban. Pamoja na kuongezeka n matokeo inakuwa sahihi zaidi.

Mfano 1 . Hesabu kwa kutumia fomula ya mstatili

Wacha tugawanye muda wa ujumuishaji katika sehemu 5. Kisha. Kutumia calculator au meza, tutapata maadili ya integrand (sahihi kwa maeneo 4 ya decimal):

Kulingana na fomula ya mstatili (na hasara)

Kwa upande mwingine, kulingana na formula ya Newton-Leibniz

Wacha tupate kosa la hesabu la jamaa kwa kutumia fomula ya mstatili:

Uhesabuji wa viunga kwa kutumia fomula za trapezoidal. Kadirio la hitilafu:

Maana ya kijiometri ya njia ifuatayo ya hesabu takriban ya viunga ni kupata eneo la trapezoid ya "rectilinear" takriban ya saizi sawa.

Hebu iwe muhimu kuhesabu eneo hilo A 1 AMB 1 trapezoid ya curvilinear, iliyoonyeshwa na formula.

Wacha tubadilishe arc AMB sauti AB na badala ya eneo la trapezoid ya curvilinear A 1 AMB 1 kuhesabu eneo la trapezoid ABB1 1: , Wapi AA 1 Na BB 1 - misingi ya trapezoid, na A 1 B 1 - urefu wake.

Hebu kuashiria f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. urefu wa trapezoid A 1 B 1 =b-a, mraba . Kwa hivyo, au

Hii ndio inayoitwa formula ndogo ya trapezoid.