Taasisi ya elimu "Jimbo la Belarusi
Chuo cha kilimo"
Idara ya Hisabati ya Juu
Miongozo
kusoma mada "Mitano tofauti za mpangilio wa pili" na wanafunzi wa kitivo cha uhasibu cha elimu ya mawasiliano (NISPO)
Gorki, 2013
Milinganyo ya tofauti ya mstari
utaratibu wa pili na mara kwa maramgawo
Milinganyo ya tofauti yenye usawa
Mlinganyo wa tofauti wa mstari wa mpangilio wa pili na coefficients zisizobadilika inayoitwa equation ya fomu
hizo. equation ambayo ina kazi inayotakiwa na derivatives yake tu kwa shahada ya kwanza na haina bidhaa zao. Katika equation hii 
Na 
- nambari zingine, na kazi 
kutolewa kwa muda fulani 
.
Kama 
kwa muda 
, kisha equation (1) itachukua fomu
,
(2)
na inaitwa linear homogeneous . Vinginevyo, equation (1) inaitwa linear inhomogeneous .
Fikiria kazi ngumu
,
(3)
Wapi 
Na 
- kazi halisi. Ikiwa chaguo za kukokotoa (3) ni suluhu changamano kwa mlinganyo (2), basi sehemu halisi 
, na sehemu ya kufikirika 
ufumbuzi 
tofauti ni masuluhisho ya mlingano wa homogeneous sawa. Kwa hivyo, suluhu lolote changamano la equation (2) hutoa masuluhisho mawili ya kweli kwa mlingano huu.
Suluhisho za usawa wa mstari wa homogeneous zina sifa zifuatazo:
Kama 
ni suluhisho la equation (2), kisha kazi 
, Wapi NA- mara kwa mara ya kiholela pia itakuwa suluhisho la equation (2);
Kama 
Na 
kuna suluhisho la equation (2), kisha kazi 
pia itakuwa suluhu ya mlinganyo (2);
Kama 
Na 
kuna suluhisho la equation (2), kisha mchanganyiko wao wa mstari 
pia itakuwa suluhu ya mlinganyo (2), ambapo 
Na 
- viunga vya kiholela.
Kazi 
Na 
zinaitwa tegemezi kwa mstari
kwa muda 
, ikiwa nambari kama hizo zipo 
Na 
, si sawa na sifuri kwa wakati mmoja, kwamba katika kipindi hiki usawa
Ikiwa usawa (4) hutokea tu wakati 
Na 
, kisha kazi 
Na 
zinaitwa kujitegemea linearly
kwa muda 
.
Mfano 1
. Kazi 
Na 
hutegemea mstari, kwani 
kwenye mstari mzima wa nambari. Katika mfano huu 
.
Mfano 2
. Kazi 
Na 
zinajitegemea kimstari kwa muda wowote, kwa kuwa usawa 
inawezekana tu katika kesi wakati 
, Na 
.
Ujenzi wa suluhisho la jumla kwa laini ya homogeneous
milinganyo
Ili kupata suluhisho la jumla la equation (2), unahitaji kupata masuluhisho yake mawili huru 
Na 
. Mchanganyiko wa mstari wa suluhisho hizi 
, Wapi 
Na 
ni viambajengo vya kiholela, na itatoa suluhu ya jumla kwa mlinganyo wa homogeneous wa mstari.
Tutatafuta masuluhisho huru ya mstari (2) katika fomu
,
(5)
Wapi 
- nambari fulani. Kisha 
,
. Wacha tubadilishe misemo hii kwa mlinganyo (2):
au 
.
Kwa sababu 
, Hiyo 
. Hivyo kazi 
itakuwa suluhu ya mlinganyo (2) ikiwa 
itatosheleza equation
.
(6)
Equation (6) inaitwa mlingano wa tabia kwa equation (2). Mlinganyo huu ni mlinganyo wa kialgebraic quadratic.
Hebu 
Na 
kuna mizizi ya equation hii. Wanaweza kuwa halisi na tofauti, au ngumu, au halisi na sawa. Wacha tuzingatie kesi hizi.
Wacha mizizi 
Na 
milinganyo ya tabia ni halisi na tofauti. Kisha suluhisho za equation (2) zitakuwa kazi 
Na 
. Suluhisho hizi ni za kujitegemea, kwa kuwa usawa 
inaweza tu kufanywa wakati 
, Na 
. Kwa hivyo, suluhisho la jumla la equation (2) lina fomu
,
Wapi 
Na 
- mara kwa mara ya kiholela.
Mfano 3
.
Suluhisho
. Equation ya tabia ya tofauti hii itakuwa 
. Baada ya kusuluhisha equation hii ya quadratic, tunapata mizizi yake 
Na 
. Kazi 
Na 
ni suluhisho la mlinganyo wa kutofautisha. Suluhisho la jumla la equation hii ni 
.
Nambari tata 
inayoitwa usemi wa fomu 
, Wapi 
Na 
ni nambari halisi, na 
kinachoitwa kitengo cha kufikiria. Kama 
, kisha nambari 
inaitwa ya kufikirika tu. Kama 
, kisha nambari 
inatambuliwa na nambari halisi 
.
Nambari 
inaitwa sehemu halisi ya nambari changamano, na 
- sehemu ya kufikiria. Ikiwa nambari mbili ngumu zinatofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa ishara ya sehemu ya kufikiria, basi huitwa conjugate: 
,
.
Mfano 4
. Tatua mlingano wa quadratic 
.
Suluhisho
. Mlinganyo wa kibaguzi 
. Kisha. Vile vile, 
. Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mizizi changamano ya conjugate.
Hebu mizizi ya equation ya tabia iwe ngumu, i.e. 
,
, Wapi 
. Suluhu za equation (2) zinaweza kuandikwa katika fomu 
,
au 
,
. Kulingana na fomula za Euler
,
.
Kisha,. Kama inavyojulikana, ikiwa kitendakazi changamano ni suluhu la mlinganyo wa usawa wa mstari, basi masuluhisho ya mlingano huu ni sehemu za kweli na za kufikiria za chaguo hili la kukokotoa. Kwa hivyo, suluhu za equation (2) zitakuwa kazi 
Na 
. Tangu usawa
inaweza tu kutekelezwa ikiwa 
Na 
, basi masuluhisho haya yanajitegemea kwa mstari. Kwa hivyo, suluhisho la jumla la equation (2) lina fomu
Wapi 
Na 
- mara kwa mara ya kiholela.
Mfano 5
. Pata suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha 
.
Suluhisho
. Mlinganyo 
ni tabia ya tofauti fulani. Wacha tuitatue na tupate mizizi ngumu 
,
. Kazi 
Na 
ni masuluhisho huru ya mstari tofauti ya mlingano wa kutofautisha. Suluhisho la jumla la equation hii ni:
Hebu mizizi ya equation ya tabia iwe halisi na sawa, i.e. 
. Halafu suluhu za equation (2) ndio kazi 
Na 
. Masuluhisho haya yanajitegemea kimstari, kwani usemi unaweza kuwa sawa na sifuri wakati tu 
Na 
. Kwa hivyo, suluhisho la jumla la equation (2) lina fomu 
.
Mfano 6
. Pata suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha 
.
Suluhisho
. Mlinganyo wa tabia 
ina mizizi sawa 
. Katika kesi hii, suluhisho huru za mstari kwa usawa wa kutofautisha ndio kazi 
Na 
. Suluhisho la jumla lina fomu 
.
Milinganyo ya tofauti ya mstari isiyo ya kawaida ya mpangilio wa pili na coefficients ya mara kwa mara
na upande maalum wa kulia
Suluhisho la jumla la mlinganyo usio na kihomogeneous (1) ni sawa na jumla ya suluhu la jumla. 
equation ya homogeneous inayolingana na suluhisho fulani 
mlinganyo usio na usawa: 
.
Katika baadhi ya matukio, suluhu fulani la equation isiyo na usawa inaweza kupatikana kwa urahisi kwa namna ya upande wa kulia. 
mlinganyo (1). Wacha tuangalie kesi ambazo hii inawezekana.
hizo. upande wa kulia wa equation inhomogeneous ni polynomial ya shahada m. Kama 
sio mzizi wa mlingano wa tabia, basi suluhu mahususi la mlinganyo usio sawa linapaswa kutafutwa kwa njia ya polynomial ya shahada. m, i.e.
Odds 
imedhamiriwa katika mchakato wa kutafuta suluhisho fulani.
Kama 
ndio mzizi wa mlingano wa tabia, basi suluhu mahususi la mlinganyo usio na usawa linapaswa kutafutwa kwa namna.
Mfano 7
. Pata suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha 
.
Suluhisho
. Mlinganyo wa homogeneous wa mlingano huu ni 
. Equation yake ya tabia 
ina mizizi 
Na 
. Suluhisho la jumla la equation ya homogeneous ina fomu 
.
Kwa sababu 
sio mzizi wa equation ya tabia, basi tutatafuta suluhisho fulani la usawa wa inhomogeneous katika mfumo wa kazi. 
. Hebu tupate derivatives ya kazi hii 
,
na ubadilishe katika mlinganyo huu:
au . Hebu tulinganishe coefficients kwa 
na wanachama huru: 
Baada ya kusuluhisha mfumo huu, tunapata 
,
. Kisha ufumbuzi fulani wa equation inhomogeneous ina fomu 
, na suluhu ya jumla ya mlingano wa inhomogeneous uliopeanwa utakuwa jumla ya suluhu ya jumla ya mlingano wa homogeneous unaolingana na suluhu mahususi ya ile inhomogeneous: 
.
Acha usawa wa inhomogeneous uwe na fomu
Kama 
sio mzizi wa mlingano wa tabia, basi suluhu fulani la mlinganyo usio na usawa unapaswa kutafutwa katika fomu. Kama 
ndio mzizi wa mlingano wa tabia ya wingi k
(k=1 au k=2), basi katika kesi hii suluhisho fulani la equation ya inhomogeneous itakuwa na fomu .
Mfano 8
. Pata suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha 
.
Suluhisho
. Mlinganyo wa tabia kwa mlingano wa homogeneous unaolingana una fomu 
. Mizizi yake 
,
. Katika kesi hii, suluhisho la jumla la equation inayofanana ya homogeneous imeandikwa kwa fomu 
.
Kwa kuwa nambari ya 3 sio mzizi wa equation ya tabia, suluhu mahususi ya equation isiyo na usawa inapaswa kutafutwa kwa fomu. 
. Wacha tupate derivatives ya maagizo ya kwanza na ya pili:
Wacha tubadilishe katika equation ya kutofautisha: 
+
+,
+,.
Hebu tulinganishe coefficients kwa 
na wanachama huru:
Kutoka hapa 
,
. Kisha suluhisho fulani la equation hii ina fomu 
, na suluhisho la jumla
.
Njia ya Lagrange ya tofauti ya mara kwa mara ya kiholela
Mbinu ya kutofautiana kwa viunga vya kiholela inaweza kutumika kwa mlinganyo wowote wa mstari usio sawa na mgawo wa mara kwa mara, bila kujali aina ya upande wa kulia. Njia hii hukuruhusu kupata kila wakati suluhisho la jumla kwa equation isiyo ya kawaida ikiwa suluhisho la jumla la equation inayolingana ya homogeneous inajulikana.
Hebu 
Na 
ni masuluhisho huru ya mlinganyo (2). Kisha suluhisho la jumla la equation hii ni 
, Wapi 
Na 
- mara kwa mara ya kiholela. Kiini cha njia ya kutofautiana kwa viwango vya kiholela ni kwamba suluhisho la jumla la equation (1) hutafutwa katika fomu.
Wapi 
Na 
- kazi mpya zisizojulikana ambazo zinahitajika kupatikana. Kwa kuwa kuna kazi mbili zisizojulikana, ili kuzipata, hesabu mbili zilizo na kazi hizi zinahitajika. Equations hizi mbili zinaunda mfumo
ambayo ni mfumo wa aljebra wa mstari wa milinganyo kuhusiana na 
Na 
. Kutatua mfumo huu, tunapata 
Na 
. Kuunganisha pande zote mbili za usawa uliopatikana, tunapata
Na 
.
Tukibadilisha misemo hii hadi (9), tunapata suluhu la jumla la mlingano wa mstari usio sawa (1).
Mfano 9
. Pata suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa kutofautisha 
.
Suluhisho.
Mlinganyo wa sifa wa mlingano wa homogeneous unaolingana na mlingano wa tofauti uliotolewa ni 
. Mizizi yake ni ngumu 
,
. Kwa sababu 
Na 
, Hiyo 
,
, na suluhisho la jumla la equation ya homogeneous ina fomu. Kisha tutatafuta suluhisho la jumla kwa equation hii isiyo ya kawaida kwa namna ambayo 
Na 
- kazi zisizojulikana.
Mfumo wa milinganyo ya kutafuta kazi hizi zisizojulikana una fomu
Baada ya kusuluhisha mfumo huu, tunapata 
,
. Kisha
,
. Wacha tubadilishe misemo inayotokana na fomula ya suluhisho la jumla:
Hili ndilo suluhisho la jumla kwa equation hii ya kutofautisha, iliyopatikana kwa kutumia njia ya Lagrange.
Maswali ya kujidhibiti kwa maarifa
Ni mlingano gani wa kutofautisha unaoitwa mlingano wa kutofautisha wa mpangilio wa pili wenye coefficients zisizobadilika?
Ni mlinganyo upi wa mstari tofauti unaoitwa homogeneous na ambao unaitwa inhomogeneous?
Je, mlinganyo wa usawa wa mstari una sifa gani?
Ni mlingano gani unaoitwa sifa kwa mlinganyo wa kutofautisha wa mstari na unapatikanaje?
Suluhisho la jumla la usawa wa usawa wa usawa na coefficients za mara kwa mara zimeandikwa katika kesi ya mizizi tofauti ya equation ya tabia katika fomu gani?
Suluhisho la jumla la usawa wa usawa wa usawa na coefficients za mara kwa mara zimeandikwa katika kesi ya mizizi sawa ya equation ya tabia katika fomu gani?
Suluhisho la jumla la usawa wa usawa wa usawa na coefficients za mara kwa mara zimeandikwa katika kesi ya mizizi ngumu ya equation ya tabia katika hali gani?
Suluhisho la jumla la equation isiyo na usawa ya mstari huandikwaje?
Suluhisho fulani la mlinganyo usio na usawa wa mstari unaotafutwa kwa namna gani ikiwa mizizi ya mlingano wa tabia ni tofauti na si sawa na sifuri, na upande wa kulia wa mlinganyo huo ni wa shahada ya aina nyingi. m?
Ni katika hali gani suluhu mahususi la mlingano wa mstari usio sawa hutafutwa ikiwa kuna sufuri moja kati ya mizizi ya mlingano wa tabia na upande wa kulia wa mlingano ni wa shahada ya aina nyingi. m?
Ni nini kiini cha njia ya Lagrange?
Tumeona kwamba, katika kesi ambapo ufumbuzi wa jumla wa equation ya homogeneous linear inajulikana, inawezekana kupata ufumbuzi wa jumla wa equation inhomogeneous kwa kutumia njia ya tofauti ya constants ya kiholela. Walakini, swali la jinsi ya kupata suluhisho la jumla kwa equation ya homogeneous lilibaki wazi. Katika kesi maalum wakati katika equation linear tofauti (3) coefficients wote p i(X)= a - mara kwa mara, inaweza kutatuliwa kwa urahisi kabisa, hata bila kuunganishwa.
Fikiria mlinganyo wa kutofautisha wenye usawa na mgawo wa mara kwa mara, i.e. milinganyo ya fomu.
y (n) + a 1 y (n – 1) +...a n – 1 y " + a n y = 0, (14)
Wapi na i- mara kwa mara (i= 1, 2, ...,n).
Kama inavyojulikana, kwa usawa wa usawa wa mpangilio wa 1, suluhisho ni kazi ya fomu. e kx. Tutatafuta suluhisho la equation (14) katika fomu j (X) = e kx.
Wacha tubadilishe chaguo la kukokotoa katika mlinganyo (14) j (X) na derivatives za mpangilio wake m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. Tunapata
(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + n)e kx = 0,
Lakini e k x ¹ 0 kwa yoyote X, Ndiyo maana
k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + n = 0. (15)
Equation (15) inaitwa mlinganyo wa tabia, polynomial upande wa kushoto- tabia ya polynomial , mizizi yake- mizizi ya tabia mlinganyo tofauti (14).
Hitimisho:
kazij (X) = e kx - suluhu ya mlinganyo wa homogeneous (14) ikiwa na tu ikiwa nambari k - mzizi wa equation ya tabia (15).
Kwa hivyo, mchakato wa kutatua equation ya homogeneous ya mstari (14) imepunguzwa ili kutatua equation ya algebraic (15).
Kesi mbalimbali za mizizi ya tabia zinawezekana.
1.Mizizi yote ya equation ya tabia ni ya kweli na tofauti.
Kwa kesi hii n mizizi ya tabia tofauti k 1 ,k 2 ,..., k n inalingana n masuluhisho tofauti ya mlinganyo wa homogeneous (14)
Inaweza kuonyeshwa kuwa masuluhisho haya yanajitegemea kwa mstari na kwa hivyo huunda mfumo wa kimsingi wa suluhisho. Kwa hivyo, suluhisho la jumla kwa equation ni kazi
Wapi NA 1 , C 2 , ..., C n - mara kwa mara ya kiholela.
Mfano 7. Pata suluhisho la jumla la usawa wa usawa wa usawa:
A) katika¢ ¢ (X) - 6katika¢ (X) + 8katika(X) = 0,b) katika¢ ¢ ¢ (X) + 2katika¢ ¢ (X) - 3katika¢ (X) = 0.
Suluhisho. Wacha tuunde mlingano wa tabia. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha derivative ya utaratibu m kazi y(x) kwa kiwango kinachofaa
k(katika (m) (x) « k m),
huku kazi yenyewe katika(X) kwani derivative ya agizo la sifuri inabadilishwa na k 0 = 1.
Katika kesi (a) mlinganyo wa sifa una umbo k 2 - 6k + 8 = 0. Mizizi ya mlingano huu wa quadratic k 1 = 2,k 2 = 4. Kwa kuwa wao ni wa kweli na tofauti, suluhisho la jumla lina fomu j (X)= C 1 e 2X + C 2 e 4x.
Kwa kisa (b), mlingano bainifu ni mlinganyo wa shahada ya 3 k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Wacha tupate mizizi ya mlingano huu:
k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0 i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
T . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Mizizi hii ya tabia inalingana na mfumo wa kimsingi wa suluhisho la equation ya kutofautisha:
j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .
Suluhisho la jumla, kulingana na formula (9), ni kazi
j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .
II . Mizizi yote ya equation ya tabia ni tofauti, lakini baadhi yao ni ngumu.
Migawo yote ya mlingano tofauti (14), na kwa hivyo ya mlingano wake wa tabia (15)- nambari halisi, ambayo inamaanisha ikiwa c kati ya mizizi ya tabia kuna mzizi tata k 1 = a + ib, yaani, mzizi wake wa kuunganisha k 2 = ` k 1 = a- ib.Kwa mzizi wa kwanza k 1 inalingana na suluhisho la mlinganyo wa kutofautisha (14)
j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e shoka(cosbx + isinbx)
(tulitumia fomula ya Euler e i x = cosx + isinx) Vivyo hivyo, mizizi k 2 = a- ib inalingana na suluhisho
j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e shoka(cosbx - isinbx).
Suluhisho hizi ni ngumu. Ili kupata suluhisho halisi kutoka kwao, tunatumia mali ya suluhisho kwa usawa wa usawa wa mstari (tazama 13.2). Kazi
ni masuluhisho halisi ya equation (14). Kwa kuongezea, suluhisho hizi ni za kujitegemea. Kwa hivyo, tunaweza kupata hitimisho lifuatalo.
Kanuni ya 1.Jozi ya mizizi changamano changamani a± ib ya mlingano bainifu katika FSR ya mlinganyo wa homogeneous (14) inalingana na suluhisho mbili halisi za sehemuNa .
Mfano 8. Pata suluhisho la jumla la equation:
A) katika¢ ¢ (X) - 2katika ¢ (X) + 5katika(X) = 0 ;b) katika¢ ¢ ¢ (X) - katika¢ ¢ (X) + 4katika ¢ (X) - 4katika(X) = 0.
Suluhisho. Katika kesi ya equation (a), mizizi ya mlingano wa tabia k 2 - 2k + 5 = 0 ni nambari mbili changamano changamano
k 1, 2 = .
Kwa hivyo, kulingana na sheria ya 1, zinalingana na suluhisho mbili za kweli zinazojitegemea: na , na suluhisho la jumla la equation ndio kazi.
j (X)= C 1 e x kwani 2x + C 2 e x dhambi 2x.
Katika kesi (b), kupata mizizi ya mlingano wa tabia k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, tunatengeneza upande wake wa kushoto:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Kwa hivyo, tunayo mizizi tatu ya tabia: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2i. Cornu k 1 inalingana na suluhisho , na jozi ya mizizi tata ya conjugate k 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2i- masuluhisho mawili halali: na . Tunaunda suluhisho la jumla kwa equation:
j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 dhambi 2x.
III . Miongoni mwa mizizi ya equation ya tabia kuna nyingi.
Hebu k 1 - mzizi halisi wa wingi m mlinganyo wa tabia (15), i.e. kati ya mizizi kuna m mizizi sawa. Kila moja yao inalingana na suluhisho sawa kwa usawa wa kutofautisha (14) Walakini, jumuisha m Hakuna masuluhisho sawa katika FSR, kwani yanajumuisha mfumo tegemezi wa kazi.
Inaweza kuonyeshwa kuwa katika kesi ya mizizi nyingi k 1 suluhu za equation (14), pamoja na kazi, ni kazi
Kazi zinajitegemea kwa mstari kwenye mhimili mzima wa nambari, kwani , yaani, zinaweza kujumuishwa katika FSR.
Kanuni ya 2. Mzizi wa tabia halisi k 1 wingi m katika FSR inalingana m ufumbuzi:
Kama k 1 - wingi wa mizizi tata m equation ya tabia (15), basi kuna mzizi wa conjugate k 1 wingi m. Kwa mlinganisho tunapata kanuni ifuatayo.
Kanuni ya 3. Jozi ya mizizi changamano changamani a± ib katika FSR inalingana na 2mreal suluhisho huru za mstari:
, , ..., ,
, , ..., .
Mfano 9. Pata suluhisho la jumla la equation:
A) katika¢ ¢ ¢ (X) + 3katika¢ ¢ (X) + 3katika¢ (X)+ y ( X)= 0;b) katika IV(X) + 6katika¢ ¢ (X) + 9katika(X) = 0.
Suluhisho. Katika kesi (a) mlinganyo wa sifa una umbo
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
yaani k =- 1 - mzizi wa wingi 3. Kulingana na sheria ya 2, tunaandika suluhisho la jumla:
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .
Mlinganyo wa sifa katika kesi (b) ni mlinganyo
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
au, vinginevyo,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i.
Tuna jozi ya mizizi tata ya conjugate, ambayo kila moja ina wingi 2. Kulingana na kanuni ya 3, suluhisho la jumla limeandikwa kama
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x.
Kutoka hapo juu inafuata kwamba kwa usawa wowote wa homogeneous wa mstari na coefficients mara kwa mara inawezekana kupata mfumo wa msingi wa ufumbuzi na kutunga ufumbuzi wa jumla. Kwa hivyo, suluhu la mlinganyo wa inhomogeneous sambamba kwa kazi yoyote inayoendelea f(x) upande wa kulia unaweza kupatikana kwa kutumia njia ya kutofautiana kwa mara kwa mara ya kiholela (angalia sehemu ya 5.3).
Mfano wa 10. Kwa kutumia njia ya tofauti, pata suluhisho la jumla kwa usawa wa inhomogeneous katika¢ ¢ (X) - katika¢ (X) - 6katika(X) = xe 2x .
Suluhisho. Kwanza tunapata suluhisho la jumla la equation ya homogeneous inayolingana katika¢ ¢ (X) - katika¢ (X) - 6katika(X) = 0. Mizizi ya mlingano wa tabia k 2 - k- 6 = 0 ni k 1 = 3,k 2 = - 2, a ufumbuzi wa jumla wa equation homogeneous - kazi ` katika ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Tutatafuta suluhisho la usawa wa inhomogeneous katika fomu
katika( X) = NA 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)
Wacha tupate kibainishi cha Wronski
W[e 3X , e 2X ] = .
Wacha tutunge mfumo wa milinganyo (12) kwa derivatives ya kazi zisizojulikana NA ¢ 1 (X) Na NA¢ 2 (X):
Kutatua mfumo kwa kutumia fomula za Cramer, tunapata
Kuunganisha, tunapata NA 1 (X) Na NA 2 (X):
Kubadilisha vipengele NA 1 (X) Na NA 2 (X) katika usawa (*), tunapata suluhu la jumla la mlinganyo katika¢ ¢ (X) - katika¢ (X) - 6katika(X) = xe 2x :
Katika kesi wakati upande wa kulia wa usawa wa inhomogeneous linear na coefficients mara kwa mara ina fomu maalum, ufumbuzi fulani kwa equation inhomogeneous inaweza kupatikana bila kutumia njia ya kutofautiana constants kiholela.
Fikiria equation na coefficients mara kwa mara
y (n) + mwaka 1 (n– 1) +...a n – 1y " + a n y = f (x), (16)
f( x) = eshoka(P n(x)cosbx + Rm(x)dhambibx), (17)
Wapi P n(x) Na Rm(x) - shahada ya polynomials n Na m kwa mtiririko huo.
Suluhisho la kibinafsi y*(X) ya equation (16) huamuliwa na fomula
katika* (X) = xse shoka(Bwana(x)cosbx + Nr(x)dhambibx), (18)
Wapi Bwana(x) Na N r(x) - shahada ya polynomials r = max(n, m) na mgawo usio na uhakika , A s sawa na wingi wa mzizi k 0 = a + ib tabia polynomial ya equation (16), na sisi kudhani s = 0 kama k 0 sio mzizi wa tabia.
Ili kutunga suluhisho fulani kwa kutumia formula (18), unahitaji kupata vigezo vinne - a, b,r Na s. Tatu za kwanza zimedhamiriwa kutoka upande wa kulia wa equation, na r- hii kwa kweli ni daraja la juu zaidi x, kupatikana upande wa kulia. Kigezo s kupatikana kwa kulinganisha nambari k 0 = a + ib Na seti ya yote (kwa kuzingatia kuzidisha) mizizi ya tabia ya equation (16), ambayo hupatikana kwa kutatua equation inayofanana ya homogeneous.
Wacha tuzingatie kesi maalum za aina ya kazi (17):
1) kwa a ¹ 0, b= 0f(x)= e shoka P n(x);
2) lini a= 0, b ¹ 0f(x)= P n(x) Naosbx + R m(x)sinbx;
3) lini a = 0, b = 0f(x)=Pn(x).
Kumbuka 1. Ikiwa P n (x) º 0 au Rm(x)º 0, kisha upande wa kulia wa equation f(x) = e ax P n (x)с osbx au f(x) = e shoka R m (x)sinbx, yaani ina moja tu ya chaguo za kukokotoa. - cosine au sine. Lakini katika kurekodi suluhisho fulani, wote wawili lazima wawepo, kwa kuwa, kwa mujibu wa formula (18), kila mmoja wao huzidishwa na polynomial na coefficients isiyojulikana ya shahada sawa r = max (n, m).
Mfano wa 11. Amua aina ya suluhu ya sehemu ya mlinganyo wa mstari wa homogeneous wa mpangilio wa 4 wenye coefficients zisizobadilika ikiwa upande wa kulia wa mlinganyo unajulikana. f(X) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)dhambi 3x) na mizizi ya equation ya tabia:
A ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;
b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;
V ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i.
Suluhisho. Kwa upande wa kulia tunapata hiyo katika suluhisho fulani katika*(X), ambayo imedhamiriwa na formula (18), vigezo: a= 1, b= 3, r = 2. Zinabaki sawa kwa kesi zote tatu, kwa hivyo idadi k 0 ambayo inabainisha parameta ya mwisho s formula (18) ni sawa na k 0 = 1+ 3i. Katika kesi (a) hakuna nambari kati ya mizizi ya tabia k 0 = 1 + 3mimi, Ina maana, s= 0, na suluhisho fulani lina fomu
y*(X) = x 0 e x(M 2 (x)cos 3x+N 2 (x)dhambi 3x) =
= ex( (Shoka 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)dhambi 3x.
Katika kesi (b) nambari k 0 = 1 + 3i hutokea mara moja kati ya mizizi ya tabia, ambayo ina maana s = 1 Na
y*(X) = x e x((Shoka 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)dhambi 3x.
Kwa kesi (c) tunayo s = 2 na
y*(X) = x 2 e x((Shoka 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)dhambi 3x.
Katika mfano wa 11, suluhu mahususi ina polinomia mbili za shahada ya 2 na mgawo ambao haujabainishwa. Ili kupata suluhisho, unahitaji kuamua maadili ya nambari ya coefficients hizi. Wacha tutengeneze kanuni ya jumla.
Kuamua coefficients haijulikani ya polynomials Bwana(x) Na N r(x) usawa (17) hutofautishwa idadi inayohitajika ya nyakati, na chaguo la kukokotoa hubadilishwa y*(X) na viambajengo vyake katika mlinganyo (16). Kwa kulinganisha pande zake za kushoto na kulia, mfumo wa equations za algebra hupatikana kwa ajili ya kutafuta coefficients.
Mfano 12. Tafuta suluhu ya mlinganyo katika¢ ¢ (X) - katika¢ (X) - 6katika(X) = xe 2x, baada ya kuamua ufumbuzi fulani wa equation inhomogeneous kwa fomu ya upande wa kulia.
Suluhisho. Suluhisho la jumla la equation ya inhomogeneous ina fomu
katika( X) = ` katika(X)+ y*(X),
Wapi ` katika ( X) - suluhisho la jumla la equation inayolingana ya homogeneous, na y*(X) - suluhisho maalum la mlinganyo usio na homogeneous.
Kwanza tunatatua equation ya homogeneous katika¢ ¢ (X) - katika¢ (X) - 6katika(X) = 0. Mlingano wake wa tabia k 2 - k- 6 = 0 ina mizizi miwili k 1 = 3,k 2 = - 2, hivyo, ` katika ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Wacha tutumie fomula (18) kuamua aina ya suluhisho fulani katika*(X) Kazi f(x) = xe 2x inawakilisha kesi maalum (a) ya fomula (17), wakati a = 2,b = 0 Na r = 1, yaani k 0 = 2 + 0i = 2. Kwa kulinganisha na mizizi ya tabia, tunahitimisha kuwa s = 0. Kubadilisha maadili ya vigezo vyote katika fomula (18), tunayo y*(X) = (Ah + B)e 2X .
Ili kupata maadili A Na KATIKA, wacha tupate derivatives za mpangilio wa kwanza na wa pili wa kazi y*(X) = (Ah + B)e 2X :
y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + Ah + 2B)e 2x,
y*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2Ah + Ah + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .
Baada ya uingizwaji wa kazi y*(X) na derivatives zake kwenye mlinganyo tulionao
(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + Ah + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.
Kwa hivyo, suluhisho maalum kwa usawa wa inhomogeneous ina fomu
y*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,
na suluhisho la jumla - katika ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Kumbuka 2.Katika kesi wakati shida ya Cauchy inaletwa kwa equation isiyo ya kawaida, mtu lazima kwanza apate suluhisho la jumla la equation.
katika( X) = ,
baada ya kuamua maadili yote ya nambari ya coefficients ndani katika*(X) Kisha tumia masharti ya awali na, ukibadilisha kuwa suluhisho la jumla (na sio ndani y*(X)), pata maadili ya viunga C i.
Mfano 13. Tafuta suluhisho la tatizo la Cauchy:
katika¢ ¢ (X) - katika¢ (X) - 6katika(X) = xe 2x ,y(0) = 0,y ¢ (X) = 0.
Suluhisho. Suluhisho la jumla la equation hii ni
katika(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X
ilipatikana katika Mfano wa 12. Ili kupata suluhisho fulani ambalo linakidhi masharti ya awali ya tatizo hili la Cauchy, tunapata mfumo wa milinganyo.
Kutatua, tuna C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Kwa hivyo, suluhisho la shida ya Cauchy ndio kazi
katika(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Kumbuka 3(kanuni ya nafasi ya juu). Ikiwa katika mlinganyo wa mstari Ln[y(x)]=f(x), Wapi f(x) =f 1 (x)+f 2 (x) Na y* 1 (x) - suluhisho la equation Ln[y(x)]=f 1 (x), A y* 2 (x) - suluhisho la equation Ln[y(x)]=f 2 (x), kisha kazi y*(X)=y* 1 (x)+ y* 2 (x) ni kutatua equation Ln[y(x)]=f(x).
Mfano 14. Onyesha aina ya suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa mstari
katika¢ ¢ (X) + 4katika(X) = x + sinx.
Suluhisho. Suluhisho la jumla la equation ya homogeneous inayolingana
` katika(x) = C 1 cos 2x + C 2 dhambi 2x,
tangu equation ya tabia k 2 + 4 = 0 ina mizizi k 1, 2 = ± 2i.Upande wa kulia wa mlingano hauambatani na fomula (17), lakini ikiwa tutaleta nukuu. f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinx na kutumia kanuni ya nafasi ya juu , basi suluhisho fulani la usawa wa inhomogeneous linaweza kupatikana katika fomu y*(X)=y* 1 (x)+ y* 2 (x), wapi y* 1 (x) - suluhisho la equation katika¢ ¢ (X) + 4katika(X) = x, A y* 2 (x) - suluhisho la equation katika¢ ¢ (X) + 4katika(X) = sinx. Kulingana na fomula (18)
y* 1 (x) = Shoka + B,y* 2 (x) = Ссosx + Dsinx.
Kisha suluhisho maalum
y*(X) = Axe + B + Ccosx + Dsinx,
kwa hivyo, suluhisho la jumla lina fomu
katika(X) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.
Mfano 15. Mzunguko wa umeme una chanzo cha sasa kilichounganishwa katika mfululizo na emf e(t) = E dhambiw t, inductance L na vyombo NA, na
Misingi ya utatuzi wa milinganyo ya mpangilio wa pili wa mstari usio na usawa (LNDE-2) na vipatanishi vya mara kwa mara (PC)
Agizo la 2 la LDDE lenye viambatanisho vya mara kwa mara $p$ na $q$ ina fomu $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, ambapo $f\left(x \kulia)$ ni kitendakazi endelevu.
Kuhusiana na LNDU 2 na PC, taarifa mbili zifuatazo ni kweli.
Hebu tuchukulie kwamba baadhi ya chaguo za kukokotoa $U$ ni suluhu la kiholela la mlinganyo wa tofauti usio sawa. Hebu pia tuchukulie kuwa baadhi ya chaguo za kukokotoa $Y$ ni suluhu la jumla (GS) la mlinganyo unaolingana wa utofautishaji wa homogeneous (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Kisha GR ya LHDE-2 ni sawa na jumla ya masuluhisho ya kibinafsi na ya jumla yaliyoonyeshwa, yaani, $y=U+Y$.
Ikiwa upande wa kulia wa mpangilio wa 2 LMDE ni jumla ya vitendakazi, yaani, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \kulia)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, kisha kwanza tunaweza kupata PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ zinazolingana. kwa kila kitendakazi $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, na baada ya hapo andika CR LNDU-2 katika fomu $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Suluhisho la agizo la 2 la LPDE na PC
Ni dhahiri kwamba aina ya PD $U$ moja au nyingine ya LNDU-2 fulani inategemea aina maalum ya upande wake wa kulia $f\left(x\right)$. Kesi rahisi zaidi za kutafuta PD LNDU-2 zimeundwa katika mfumo wa sheria nne zifuatazo.
Kanuni #1.
Upande wa kulia wa LNDU-2 una fomu $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, ambapo $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, yaani, inaitwa a polynomial ya shahada $n$. Kisha PD $U$ yake hutafutwa kwa namna $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, ambapo $Q_(n) \left(x\right)$ ni nyingine. polynomial ya hiyo shahada sawa na $P_(n) \left(x\right)$, na $r$ ni nambari ya mizizi ya mlingano wa sifa wa LODE-2 inayolingana ambayo ni sawa na sifuri. Coefficients ya polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ hupatikana kwa mbinu ya coefficients isiyojulikana (Uingereza).
Kanuni ya 2.
Upande wa kulia wa LNDU-2 una fomu $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, ambapo $P_(n) \left( x\right)$ ni polynomial ya shahada $n$. Kisha PD $U$ yake inatafutwa kwa namna $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, ambapo $Q_(n ) \ left(x\right)$ ni polynomia nyingine ya shahada sawa na $P_(n) \left(x\right)$, na $r$ ni nambari ya mizizi ya mlingano wa sifa wa LODE-2 inayolingana. sawa na $\alpha $. Coefficients ya polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ hupatikana kwa mbinu ya NC.
Kanuni ya 3.
Upande wa kulia wa LNDU-2 una fomu $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \kulia) $, ambapo $a$, $b$ na $\beta$ ni nambari zinazojulikana. Kisha PD $U$ yake hutafutwa kwa namna $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \kulia )\cdot x^(r) $, ambapo $A$ na $B$ ni coefficients isiyojulikana, na $r$ ni nambari ya mizizi ya mlingano wa sifa wa LODE-2 inayolingana, sawa na $i\cdot. \beta $. Coefficients $A$ na $B$ hupatikana kwa kutumia mbinu isiyo ya uharibifu.
Kanuni ya 4.
Upande wa kulia wa LNDU-2 una fomu $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, ambapo $P_(n) \left(x\right)$ ni polynomial ya shahada $ n$, na $P_(m) \left(x\right)$ ni polynomial ya shahada $m$. Kisha PD $U$ yake hutafutwa kwa namna $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, ambapo $Q_(s) \left(x\right)$ na $ R_(s) \kushoto(x\kulia)$ ni polynomia za digrii $s$, nambari $s$ ndiyo nambari ya juu zaidi ya nambari mbili $n$ na $m$, na $r$ ni nambari ya mizizi. ya mlingano wa sifa wa LODE-2 inayolingana, sawa na $\alpha +i\cdot \beta $. Coefficients ya polynomials $Q_(s) \left(x\right)$ na $R_(s) \left(x\right)$ hupatikana kwa mbinu ya NC.
Njia ya NK inajumuisha kutumia sheria ifuatayo. Ili kupata coefficients isiyojulikana ya polynomial ambayo ni sehemu ya ufumbuzi wa sehemu ya inhomogeneous tofauti ya equation LNDU-2, ni muhimu:
- badilisha PD $U$, iliyoandikwa kwa umbo la jumla, kwenye upande wa kushoto wa LNDU-2;
- upande wa kushoto wa LNDU-2, fanya kurahisisha na masharti ya kikundi na nguvu sawa $ x $;
- katika utambulisho unaosababisha, sawazisha coefficients ya maneno na nguvu sawa $ x $ ya pande za kushoto na kulia;
- suluhisha mfumo unaotokana wa milinganyo ya mstari kwa coefficients isiyojulikana.
Mfano 1
Kazi: tafuta AU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\kulia)\cdot e^(3\cdot x) $. Tafuta pia PD , inayokidhi masharti ya awali $y=6$ kwa $x=0$ na $y"=1$ kwa $x=0$.
Tunaandika LOD-2 inayolingana: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Mlinganyo wa tabia: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Mizizi ya mlingano wa sifa ni: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Mizizi hii ni halali na tofauti. Kwa hivyo, AU ya LODE-2 inayolingana ina fomu: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Upande wa kulia wa LNDU-2 hii una fomu $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Ni muhimu kuzingatia mgawo wa kielelezo $\alpha =3$. Mgawo huu hauwiani na mizizi yoyote ya mlingano wa tabia. Kwa hivyo, PD ya LNDU-2 hii ina fomu $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Tutatafuta viambajengo $A$, $B$ kwa kutumia mbinu ya NC.
Tunapata derivative ya kwanza ya Jamhuri ya Czech:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \kulia)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\kulia)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Tunapata derivative ya pili ya Jamhuri ya Czech:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kulia)\cdot \kushoto(e^(3\cdot x) \kulia)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Tunabadilisha chaguo za kukokotoa $U""$, $U"$ na $U$ badala ya $y""$, $y"$ na $y$ kwenye NLDE-2 $y""-3\cdot y" iliyotolewa -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Zaidi ya hayo, kwa vile kipeo $e^(3\cdot x)$ kimejumuishwa kama kipengele katika vipengele vyote, basi inaweza kuachwa.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\kulia)=36\cdot x+12.$
Tunafanya vitendo upande wa kushoto wa usawa unaosababishwa:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Tunatumia njia ya NDT. Tunapata mfumo wa milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Suluhisho la mfumo huu ni: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ kwa tatizo letu inaonekana hivi: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
AU $y=Y+U$ ya tatizo letu inaonekana kama hii: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kushoto(-2\cdot x-1\kulia)\cdot e^(3\cdot x) $.
Ili kutafuta PD ambayo inakidhi masharti ya awali yaliyotolewa, tunapata derivative $y"$ ya OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\kushoto(-2\cdot x-1\kulia)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Tunabadilisha katika $y$ na $y"$ masharti ya awali $y=6$ kwa $x=0$ na $y"=1$ kwa $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Tulipokea mfumo wa milinganyo:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Hebu tuitatue. Tunapata $C_(1) $ kwa kutumia fomula ya Cramer, na $C_(2) $ tunaamua kutoka kwa mlingano wa kwanza:
$C_(1) =\frac(\left|\anza(safu)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \mwisho(safu)\kulia|)(\left|\ start(safu)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \mwisho(safu)\kulia|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Kwa hivyo, PD ya mlingano huu wa kutofautisha ina fomu: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kulia )\cdot e^(3\cdot x) $.
Nakala hii inashughulikia suala la kusuluhisha milinganyo ya mpangilio wa pili ya mstari usio na usawa na coefficients zisizobadilika. Nadharia itajadiliwa pamoja na mifano ya matatizo fulani. Ili kufafanua maneno yasiyo wazi, ni muhimu kurejelea mada kuhusu ufafanuzi wa kimsingi na dhana za nadharia ya milinganyo tofauti.
Hebu tuchunguze equation ya tofauti ya mstari (LDE) ya mpangilio wa pili na coefficients ya mara kwa mara ya fomu y "" + p · y " + q · y = f (x), ambapo p na q ni nambari za kiholela, na kazi iliyopo f. (x) inaendelea kwenye muda wa ujumuishaji x.
Wacha tuendelee kwenye uundaji wa nadharia ya suluhisho la jumla la LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nadharia ya suluhisho la jumla la LDNU
Nadharia 1Suluhisho la jumla, lililo kwenye muda wa x, wa usawa wa tofauti usio na usawa wa fomu y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) yenye migawo ya ujumuishaji inayoendelea kwenye muda wa x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) na kitendakazi kinachoendelea f (x) ni sawa na jumla ya suluhu ya jumla y 0, ambayo inalingana na LOD na suluhisho fulani y ~, ambapo mlinganyo wa asili wa inhomogeneous ni y = y 0 + y ~.
Hii inaonyesha kuwa suluhu la mlingano wa mpangilio wa pili lina namna y = y 0 + y ~ . Algorithm ya kutafuta y 0 inajadiliwa katika makala juu ya milinganyo ya tofauti ya mpangilio wa pili ya mstari wa homogeneous na coefficients zisizobadilika. Baada ya hapo tunapaswa kuendelea na ufafanuzi wa y ~.
Uchaguzi wa suluhisho fulani kwa LPDE inategemea aina ya kazi inayopatikana f (x) iko upande wa kulia wa equation. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kuzingatia kando masuluhisho ya milinganyo ya kutofautisha ya mpangilio wa pili wa mstari na mgawo wa mara kwa mara.
Wakati f (x) inachukuliwa kuwa polynomial ya shahada ya nth f (x) = P n (x), inafuata kwamba suluhisho fulani la LPDE linapatikana kwa kutumia fomula ya fomu y ~ = Q n (x ) x γ, ambapo Q n ( x) ni polynomia ya shahada n, r ni idadi ya mizizi sufuri ya mlingano bainifu. Thamani y ~ ni suluhisho mahususi y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , kisha migawo inayopatikana ambayo inafafanuliwa na polynomial
Q n (x), tunapata kutumia mbinu ya coefficients isiyojulikana kutoka kwa usawa y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Mfano 1
Hesabu kwa kutumia nadharia ya Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Suluhisho
Kwa maneno mengine, ni muhimu kuendelea na ufumbuzi fulani wa usawa wa tofauti wa mstari wa inhomogeneous wa utaratibu wa pili na coefficients ya mara kwa mara y "" - 2 y " = x 2 + 1, ambayo itakidhi masharti yaliyotolewa y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Suluhisho la jumla la mlinganyo usio na kihomogeneous linear ni jumla ya suluhu ya jumla, ambayo inalingana na mlinganyo y 0 au suluhu fulani kwa mlingano usio na kihomogeneous y ~, yaani, y = y 0 + y ~.
Kwanza, tutapata suluhisho la jumla kwa LNDU, na kisha moja fulani.
Wacha tuendelee kutafuta y 0. Kuandika equation ya tabia itakusaidia kupata mizizi. Tunapata hilo
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2
Tuligundua kuwa mizizi ni tofauti na ya kweli. Kwa hiyo, hebu tuandike
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Hebu tutafute y ~ . Inaweza kuonekana kuwa upande wa kulia wa equation iliyotolewa ni polynomial ya shahada ya pili, basi moja ya mizizi ni sawa na sifuri. Kutoka kwa hili tunapata kwamba suluhisho fulani la y ~ litakuwa
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, ambapo thamani za A, B, C huchukua migawo ambayo haijabainishwa.
Hebu tutafute kutoka kwa usawa wa fomu y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Kisha tunapata hiyo:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Kusawazisha mgawo na vipeo sawa vya x, tunapata mfumo wa usemi wa mstari - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Wakati wa kutatua kwa njia yoyote, tutapata coefficients na kuandika: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 na y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Ingizo hili linaitwa suluhu la jumla la mlinganyo wa awali wa mpangilio wa pili wa mstari usio na kihomogeneous na coefficients zisizobadilika.
Ili kupata suluhisho fulani ambalo linakidhi masharti y (0) = 2, y "(0) = 1 4, ni muhimu kuamua maadili. C 1 Na C 2, kwa kuzingatia usawa wa fomu y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Tunapata kwamba:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Tunafanya kazi na mfumo wa matokeo ya equations ya fomu C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, ambapo C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Kwa kutumia nadharia ya Cauchy, tunayo hiyo
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Jibu: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Wakati kipengele cha kukokotoa f (x) kinawakilishwa kama bidhaa ya polinomia yenye shahada n na kipeo f (x) = P n (x) · e a x , basi tunapata kwamba suluhu fulani la mpangilio wa pili wa LPDE litakuwa mlinganyo wa umbo y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, ambapo Q n (x) ni polynomial ya shahada ya nth, na r ni idadi ya mizizi ya mlingano wa tabia sawa na α.
Vigawo vya Q n (x) vinapatikana kwa usawa y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Mfano 2
Pata suluhisho la jumla kwa usawa wa tofauti wa fomu y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Suluhisho
Mlinganyo wa jumla ni y = y 0 + y ~ . Equation iliyoonyeshwa inalingana na LOD y "" - 2 y " = 0. Kutoka kwa mfano uliopita inaweza kuonekana kuwa mizizi yake ni sawa. k 1 = 0 na k 2 = 2 na y 0 = C 1 + C 2 e 2 x kwa mlingano wa tabia.
Inaweza kuonekana kuwa upande wa kulia wa equation ni x 2 + 1 · e x . Kuanzia hapa LPDE inapatikana kupitia y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, ambapo Q n (x) ni polynomial ya shahada ya pili, ambapo α = 1 na r = 0, kwa sababu equation ya tabia haifanyi. kuwa na mzizi sawa na 1. Kutoka hapa tunapata hiyo
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C ni viambajengo visivyojulikana vinavyoweza kupatikana kwa usawa y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
Nimeipata hiyo
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Tunalinganisha viashiria na coefficients sawa na kupata mfumo wa equations linear. Kuanzia hapa tunapata A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Jibu: ni wazi kwamba y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 ni suluhisho fulani la LNDDE, na y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - suluhisho la jumla kwa mpangilio wa pili wa usawa wa dif.
Wakati kipengele kimeandikwa kama f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, na A 1 Na KATIKA 1 ni nambari, basi suluhu ya sehemu ya LPDE inachukuliwa kuwa mlinganyo wa fomu y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, ambapo A na B huchukuliwa kuwa mgawo ambao haujabainishwa, na r ni nambari ya mizizi changamano inayohusiana na mlingano wa tabia, sawa na ± i β . Katika kesi hii, utafutaji wa coefficients unafanywa kwa kutumia usawa y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Mfano 3
Pata suluhisho la jumla kwa usawa wa tofauti wa fomu y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 dhambi (2 x) .
Suluhisho
Kabla ya kuandika equation ya tabia, tunapata y 0. Kisha
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i
Tuna jozi ya mizizi tata ya muunganisho. Wacha tubadilike na tupate:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 dhambi (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 dhambi (2 x)
Mizizi ya equation ya tabia inachukuliwa kuwa jozi ya conjugate ± 2 i, kisha f (x) = cos (2 x) + 3 dhambi (2 x). Hii inaonyesha kwamba utafutaji wa y ~ utafanywa kutoka y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Haijulikani Tutatafuta coefficients A na B kutoka kwa usawa wa fomu y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Wacha tubadilishe:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B dhambi (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B dhambi (2 x) y ~ "" = ((- 2 A dhambi (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B dhambi (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B dhambi (2 x)) x - 2 A dhambi (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A dhambi (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B dhambi (2 x)) x - 4 A dhambi (2 x) + 4 B cos (2 x)
Kisha ni wazi kwamba
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 dhambi (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B dhambi (2 x)) x - 4 A dhambi (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B dhambi (2 x)) x = cos (2 x) + 3 dhambi (2 x) ⇔ - 4 A dhambi (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + dhambi 3 (2 x)
Ni muhimu kulinganisha coefficients ya sines na cosines. Tunapata mfumo wa fomu:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Inafuata kwamba y ~ = (A cos (2 x) + B dhambi (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 dhambi (2 x) x.
Jibu: ufumbuzi wa jumla wa LDDE ya awali ya pili na coefficients mara kwa mara inachukuliwa
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 dhambi (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 dhambi (2 x) x
Wakati f (x) = e a x · P n (x) dhambi (β x) + Q k (x) cos (β x), basi y ~ = e a x · (L m (x) dhambi (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Tunayo kwamba r ni idadi ya jozi changamano changamano za mizizi inayohusiana na mlingano bainifu, sawa na α ± i β, ambapo P n (x), Q k (x). L m (x) na Nm(x) ni polynomials ya shahada n, k, m, m, wapi m = m a x (n, k). Kutafuta coefficients Lm(x) Na Nm(x) inafanywa kwa kuzingatia usawa y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Mfano 4
Pata suluhisho la jumla y "" + 3 y" + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) dhambi (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Suluhisho
Kwa mujibu wa sharti ni wazi kuwa
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Kisha m = m a x (n, k) = 1. Tunapata y 0 kwa kuandika kwanza mlingano wa tabia ya fomu:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Tuligundua kuwa mizizi ni ya kweli na tofauti. Kwa hiyo y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Ifuatayo, inahitajika kutafuta suluhisho la jumla kulingana na equation isiyo na usawa y ~ ya fomu.
y ~ = e α x (L m (x) dhambi (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x))
Inajulikana kuwa A, B, C ni coefficients, r = 0, kwa sababu hakuna jozi ya mizizi ya conjugate inayohusiana na equation ya tabia na α ± i β = 3 ± 5 · i. Tunapata coefficients hizi kutoka kwa usawa unaotokana:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) dhambi (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) dhambi (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Kupata derivative na masharti sawa inatoa
E 3 x ((15 A + 23 C) x dhambi (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) dhambi (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · dhambi (5 x) + 45 · dhambi (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Baada ya kusawazisha coefficients, tunapata mfumo wa fomu
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Kutoka kwa kila kitu kinafuata hiyo
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) dhambi (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) dhambi (5 x))
Jibu: Sasa tumepata suluhisho la jumla kwa equation ya mstari iliyotolewa:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) dhambi (5 x))
Algorithm ya kutatua LDNU
Ufafanuzi 1Aina nyingine yoyote ya kazi f (x) kwa suluhisho inahitaji kufuata algorithm ya suluhisho:
- kutafuta suluhu la jumla la mlinganyo unaolingana wa homogeneous, ambapo y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, ambapo y 1 Na y 2 ni suluhisho huru za sehemu za LODE, C 1 Na C 2 huchukuliwa kuwa viboreshaji vya kiholela;
- kupitishwa kama suluhisho la jumla la LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- uamuzi wa derivatives ya chaguo za kukokotoa kupitia mfumo wa fomu C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , na kutafuta vitendaji C 1 (x) na C 2 (x) kupitia ushirikiano.
Mfano 5
Pata suluhisho la jumla kwa y "" + 36 y = 24 dhambi (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Suluhisho
Tunaendelea kuandika equation ya tabia, tukiwa tumeandika hapo awali y 0, y "" + 36 y = 0. Wacha tuandike na tusuluhishe:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 dhambi (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = dhambi (6 x)
Tunayo kwamba suluhu ya jumla ya mlingano uliotolewa itaandikwa kama y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Ni muhimu kuendelea na ufafanuzi wa kazi za derivative C 1 (x) Na C2(x) kulingana na mfumo na equations:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · dhambi (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2" (x) · (dhambi (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) dhambi (6 x) = 0 C 1 " (x) (- dhambi 6 (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 dhambi (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Uamuzi unapaswa kufanywa kuhusu C 1" (x) Na C 2" (x) kwa kutumia mbinu yoyote. Kisha tunaandika:
C 1 " (x) = - 4 dhambi 2 (6 x) + 2 dhambi (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x dhambi (6 x) C 2 " (x) = dhambi 4 (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Kila moja ya milinganyo lazima iunganishwe. Kisha tunaandika equations zinazosababisha:
C 1 (x) = 1 3 dhambi (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x dhambi ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 dhambi (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x dhambi (6 x) + C 4
Inafuata kwamba suluhisho la jumla litakuwa na fomu:
y = 1 3 dhambi (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x dhambi (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 dhambi (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x dhambi (6 x) + C 4 dhambi (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x dhambi (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 dhambi (6 x)
Jibu: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x dhambi (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 dhambi (6 x)
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter