Urejeshaji wa mstari kwa kutumia mbinu ya angalau miraba. OLS katika kesi ya urejeshaji wa mstari

Njia ya mraba mdogo ni utaratibu wa kihesabu wa kuunda equation ya mstari ambayo inafaa zaidi seti ya jozi zilizopangwa kwa kupata maadili ya a na b, coefficients katika equation ya mstari. Lengo la miraba angalau ni kupunguza jumla ya makosa ya mraba kati ya thamani za y na ŷ. Iwapo kwa kila nukta tutabaini kosa ŷ, njia ya miraba ndogo itapunguza:

ambapo n = idadi ya jozi zilizoagizwa karibu na mstari. kwa karibu iwezekanavyo kwa data.

Dhana hii inaonyeshwa kwenye takwimu

Kulingana na takwimu, mstari unaofaa zaidi data, mstari wa kurejesha, hupunguza jumla ya makosa ya mraba ya pointi nne kwenye grafu. Nitakuonyesha jinsi ya kuamua hii kwa kutumia mraba mdogo na mfano ufuatao.

Hebu fikiria wanandoa wachanga ambao hivi karibuni wamehamia pamoja na kushiriki meza ya ubatili katika bafuni. Kijana huyo alianza kuona kwamba nusu ya meza yake ilikuwa ikipungua kwa kasi, ikipoteza ardhi kwa mousses ya nywele na complexes ya soya. Katika miezi michache iliyopita, mwanadada huyo alikuwa akifuatilia kwa karibu kiwango ambacho idadi ya vitu vilivyo upande wake wa meza ilikuwa ikiongezeka. Jedwali hapa chini linaonyesha idadi ya vitu ambavyo msichana amekusanya kwenye ubatili wake wa bafuni katika miezi michache iliyopita.

Kwa kuwa lengo letu ni kujua ikiwa idadi ya vitu huongezeka kwa muda, "Mwezi" itakuwa tofauti ya kujitegemea, na "Idadi ya vitu" itakuwa tofauti tegemezi.

Kwa kutumia mbinu ya angalau miraba, tunabainisha mlinganyo unaolingana vyema na data kwa kukokotoa thamani za a, y-katiza, na b, mteremko wa mstari:

a = y wastani - bx wastani

ambapo x wastani ni thamani ya wastani ya x, kigezo huru, y avg ni thamani ya wastani ya y, kigezo huru.

Jedwali hapa chini linatoa muhtasari wa hesabu zinazohitajika kwa milinganyo hii.

Mkondo wa athari kwa mfano wetu wa bafu utatolewa na mlinganyo ufuatao:

Kwa kuwa equation yetu ina mteremko mzuri wa 0.976, mvulana ana ushahidi kwamba idadi ya vitu kwenye meza huongezeka kwa muda kwa kiwango cha wastani cha kipengee 1 kwa mwezi. Grafu inaonyesha curve ya athari na jozi zilizopangwa.

Matarajio ya idadi ya bidhaa katika miezi sita ijayo (mwezi wa 16) yatahesabiwa kama ifuatavyo:

ŷ = 5.13 + 0.976x = 5.13 + 0.976(16) ~ 20.7 = vipengee 21

Kwa hivyo, ni wakati wa shujaa wetu kuchukua hatua fulani.

Utendaji wa TREND katika Excel

Kama labda ulivyokisia, Excel ina kazi ya kuhesabu maadili kwa njia ya angalau mraba. Chaguo hili la kukokotoa linaitwa TREND. Syntax yake ni kama ifuatavyo:

TREND (thamani za Y zinazojulikana; thamani za X zinazojulikana; thamani mpya za X; zisizobadilika)

Thamani za Y zinazojulikana - safu ya anuwai tegemezi, kwa upande wetu, idadi ya vitu kwenye jedwali.

Thamani zinazojulikana X - safu ya anuwai ya kujitegemea, kwa upande wetu huu ni mwezi

maadili mapya ya X - maadili mapya ya X (miezi) ambayo TREND kipengele inarudisha thamani inayotarajiwa ya vigeu tegemezi (idadi ya vitu)

const - hiari. Thamani ya Boolean inayobainisha ikiwa b inayobadilika inahitajika kuwa 0.

Kwa mfano, takwimu inaonyesha kazi ya TREND inayotumiwa kuamua idadi inayotarajiwa ya vitu kwenye ubatili wa bafuni kwa mwezi wa 16.

Njia ya mraba mdogo (OLS) hukuruhusu kukadiria idadi tofauti kwa kutumia matokeo ya vipimo vingi vyenye makosa ya nasibu.

Tabia za MNEs

Wazo kuu la njia hii ni kwamba jumla ya makosa ya mraba inachukuliwa kuwa kigezo cha usahihi wa kutatua shida, ambayo wanajitahidi kuipunguza. Wakati wa kutumia njia hii, mbinu zote za nambari na za uchambuzi zinaweza kutumika.

Hasa, kama utekelezaji wa nambari, mbinu ya miraba ndogo inahusisha kuchukua vipimo vingi iwezekanavyo vya tofauti isiyojulikana isiyojulikana. Aidha, mahesabu zaidi, suluhisho litakuwa sahihi zaidi. Kulingana na seti hii ya mahesabu (data ya awali), seti nyingine ya ufumbuzi wa makadirio hupatikana, ambayo bora zaidi huchaguliwa kisha. Ikiwa seti ya ufumbuzi ni parameterized, basi njia ya mraba ndogo itapunguzwa ili kupata thamani mojawapo ya vigezo.

Kama njia ya uchambuzi ya utekelezaji wa LSM kwenye seti ya data ya awali (vipimo) na seti inayotarajiwa ya suluhisho, moja (ya kazi) imedhamiriwa, ambayo inaweza kuonyeshwa na fomula iliyopatikana kama nadharia fulani ambayo inahitaji uthibitisho. Katika kesi hii, mbinu ya angalau miraba inakuja ili kupata kiwango cha chini zaidi cha utendakazi huu kwenye seti ya makosa ya mraba ya data asili.

Tafadhali kumbuka kuwa sio makosa yenyewe, lakini miraba ya makosa. Kwa nini? Ukweli ni kwamba mara nyingi kupotoka kwa vipimo kutoka kwa thamani halisi ni chanya na hasi. Wakati wa kuamua wastani, muhtasari rahisi unaweza kusababisha hitimisho lisilo sahihi juu ya ubora wa makadirio, kwani kufutwa kwa maadili chanya na hasi kutapunguza nguvu ya sampuli za vipimo vingi. Na, kwa hiyo, usahihi wa tathmini.

Ili kuzuia hili kutokea, mikengeuko ya mraba imefupishwa. Zaidi ya hayo, ili kusawazisha kipimo cha thamani iliyopimwa na makadirio ya mwisho, jumla ya makosa ya mraba hutolewa.

Baadhi ya maombi ya MNC

MNC inatumika sana katika nyanja mbalimbali. Kwa mfano, katika nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati, njia hutumiwa kuamua sifa kama hiyo ya kutofautisha bila mpangilio kama kupotoka kwa kawaida, ambayo huamua upana wa anuwai ya maadili ya anuwai ya nasibu.

Ina programu nyingi, kwani inaruhusu uwakilishi wa takriban wa kazi iliyotolewa na zingine rahisi zaidi. LSM inaweza kuwa muhimu sana katika kuchakata uchunguzi, na inatumika kikamilifu kukadiria baadhi ya idadi kulingana na matokeo ya vipimo vya vingine vyenye makosa ya nasibu. Katika makala hii, utajifunza jinsi ya kutekeleza mahesabu ya mraba mdogo katika Excel.

Taarifa ya tatizo kwa kutumia mfano maalum

Tuseme kuna viashiria viwili X na Y. Zaidi ya hayo, Y inategemea X. Kwa kuwa OLS inatuvutia kutoka kwa mtazamo wa uchambuzi wa regression (katika Excel mbinu zake zinatekelezwa kwa kutumia kazi zilizojengwa), tunapaswa kuendelea mara moja kwa kuzingatia a. tatizo maalum.

Kwa hivyo, acha X iwe nafasi ya rejareja ya duka la mboga, iliyopimwa kwa mita za mraba, na Y iwe mauzo ya kila mwaka, iliyopimwa kwa mamilioni ya rubles.

Inahitajika kufanya utabiri wa mauzo gani (Y) duka litakuwa na ikiwa lina hii au nafasi ya rejareja. Kwa wazi, kazi Y = f (X) inaongezeka, kwani hypermarket inauza bidhaa zaidi kuliko duka.

Maneno machache kuhusu usahihi wa data ya awali iliyotumiwa kwa utabiri

Wacha tuseme tunayo meza iliyojengwa kwa kutumia data ya duka za n.

Kulingana na takwimu za hisabati, matokeo yatakuwa sahihi zaidi au chini ikiwa data ya angalau vitu 5-6 itachunguzwa. Kwa kuongeza, matokeo ya "ajabu" hayawezi kutumika. Hasa, boutique ndogo ya wasomi inaweza kuwa na mauzo ambayo ni mara kadhaa zaidi kuliko mauzo ya maduka makubwa ya rejareja ya darasa la "masmarket".

Kiini cha mbinu

Data ya meza inaweza kuonyeshwa kwenye ndege ya Cartesian kwa namna ya pointi M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n). Sasa suluhisho la tatizo litapunguzwa kwa uteuzi wa kazi ya takriban y = f (x), ambayo ina grafu inayopita karibu iwezekanavyo kwa pointi M 1, M 2, .. M n.

Bila shaka, unaweza kutumia polynomial ya juu, lakini chaguo hili si tu vigumu kutekeleza, lakini pia sio sahihi tu, kwani haitaonyesha mwenendo kuu unaohitaji kugunduliwa. Suluhisho la busara zaidi ni kutafuta mstari wa moja kwa moja y = ax + b, ambao unakadiria vyema data ya majaribio, au kwa usahihi zaidi, coefficients a na b.

Tathmini ya usahihi

Kwa makadirio yoyote, kutathmini usahihi wake ni muhimu sana. Wacha tuonyeshe kwa e i tofauti (kupotoka) kati ya maadili ya kazi na ya majaribio kwa uhakika x i, yaani e i = y i - f (x i).

Ni wazi, ili kutathmini usahihi wa makadirio, unaweza kutumia jumla ya kupotoka, i.e., wakati wa kuchagua mstari wa moja kwa moja kwa uwakilishi wa takriban wa utegemezi wa X kwa Y, unapaswa kutoa upendeleo kwa ile iliyo na dhamana ndogo zaidi ya sum e i katika mambo yote yanayozingatiwa. Walakini, sio kila kitu ni rahisi sana, kwani pamoja na kupotoka chanya pia kutakuwa na hasi.

Suala linaweza kutatuliwa kwa kutumia moduli za kupotoka au miraba yao. Njia ya mwisho ndiyo inayotumika sana. Inatumika katika maeneo mengi, ikiwa ni pamoja na uchambuzi wa urejeshaji (unaotekelezwa katika Excel kwa kutumia kazi mbili zilizojengwa), na kwa muda mrefu imethibitisha ufanisi wake.

Njia ya angalau mraba

Excel, kama unavyojua, ina kazi ya kujengwa ndani ya AutoSum ambayo hukuruhusu kuhesabu maadili ya maadili yote yaliyo katika safu iliyochaguliwa. Kwa hivyo, hakuna kitu kitakachotuzuia kuhesabu thamani ya usemi (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

Katika nukuu ya hisabati hii inaonekana kama:

Kwa kuwa uamuzi ulifanywa hapo awali wa kukadiria kutumia laini moja kwa moja, tunayo:

Kwa hivyo, kazi ya kutafuta mstari wa moja kwa moja unaoelezea vyema utegemezi maalum wa idadi X na Y inakuja chini kwa kuhesabu kiwango cha chini cha kazi ya vigezo viwili:

Ili kufanya hivyo, unahitaji kusawazisha derivatives za sehemu kwa heshima na anuwai mpya a na b hadi sifuri, na usuluhishe mfumo wa primitive unaojumuisha hesabu mbili na 2 zisizojulikana za fomu:

Baada ya mabadiliko kadhaa rahisi, pamoja na mgawanyiko na 2 na ujanjaji wa hesabu, tunapata:

Kuisuluhisha, kwa mfano, kwa kutumia njia ya Cramer, tunapata sehemu ya stationary na coefficients fulani * na b *. Hii ndio kiwango cha chini, i.e. kutabiri ni mauzo gani ambayo duka itakuwa nayo kwa eneo fulani, mstari wa moja kwa moja y = a * x + b * unafaa, ambayo ni mfano wa rejista kwa mfano unaohusika. Kwa kweli, haitakuruhusu kupata matokeo halisi, lakini itakusaidia kupata wazo la ikiwa ununuzi wa eneo fulani kwa mkopo wa duka utalipa.

Jinsi ya kutekeleza mraba mdogo katika Excel

Excel ina kipengele cha kukokotoa thamani kwa kutumia miraba angalau. Ina fomu ifuatayo: "TREND" (thamani za Y zinazojulikana; thamani za X zinazojulikana; thamani mpya za X; zisizobadilika). Wacha tutumie fomula ya kuhesabu OLS katika Excel kwenye meza yetu.

Ili kufanya hivyo, ingiza ishara "=" kwenye seli ambayo matokeo ya hesabu kwa kutumia njia ya angalau mraba katika Excel inapaswa kuonyeshwa na uchague kazi ya "TREND". Katika dirisha linalofungua, jaza sehemu zinazofaa, ukionyesha:

• anuwai ya maadili yanayojulikana ya Y (katika kesi hii, data ya mauzo ya biashara);
• mbalimbali x 1 , ...x n , yaani ukubwa wa nafasi ya rejareja;
• maadili yote yanayojulikana na yasiyojulikana ya x, ambayo unahitaji kujua saizi ya mauzo (kwa habari juu ya eneo lao kwenye laha ya kazi, tazama hapa chini).

Kwa kuongeza, formula ina kutofautiana kwa mantiki "Const". Ikiwa utaingiza 1 kwenye uwanja unaolingana, hii itamaanisha kwamba unapaswa kufanya mahesabu, ikizingatiwa kuwa b = 0.

Ikiwa unahitaji kujua utabiri wa zaidi ya moja ya thamani ya x, basi baada ya kuingiza formula haipaswi kushinikiza "Ingiza", lakini unahitaji kuandika mchanganyiko "Shift" + "Dhibiti" + "Ingiza" kwenye kibodi.

Baadhi ya vipengele

Uchambuzi wa urejeshaji unaweza kupatikana hata kwa dummies. Fomula ya Excel ya kutabiri thamani ya safu ya vigeu visivyojulikana-TREND-inaweza kutumiwa hata na wale ambao hawajawahi kusikia kuhusu miraba ndogo zaidi. Inatosha tu kujua baadhi ya vipengele vya kazi yake. Hasa:

• Ikiwa utapanga anuwai ya maadili yanayojulikana ya kutofautisha y katika safu au safu wima moja, basi kila safu (safu wima) iliyo na maadili yanayojulikana ya x itatambuliwa na programu kama tofauti tofauti.
• Ikiwa safu iliyo na x inayojulikana haijaainishwa kwenye dirisha la TREND, basi wakati wa kutumia kazi katika Excel, programu itaichukulia kama safu inayojumuisha nambari, idadi ambayo inalingana na safu na maadili yaliyopewa ya tofauti y.
• Ili kutoa safu ya thamani "zilizotabiriwa", usemi wa kukokotoa mwelekeo lazima uandikwe kama fomula ya mkusanyiko.
• Ikiwa thamani mpya za x hazijabainishwa, basi kitendakazi cha TREND kinazichukulia kuwa sawa na zinazojulikana. Ikiwa hazijabainishwa, basi safu 1 inachukuliwa kama hoja; 2; 3; 4;…, ambayo inalingana na masafa yenye vigezo tayari vilivyobainishwa y.
• Masafa yenye thamani mpya ya x lazima iwe na safu mlalo au safu wima sawa au zaidi kama safu iliyo na thamani y zilizotolewa. Kwa maneno mengine, ni lazima iwe sawia na vigezo huru.
• Safu iliyo na thamani za x zinazojulikana inaweza kuwa na anuwai nyingi. Walakini, ikiwa tunazungumza juu ya moja tu, basi inahitajika kwamba safu zilizo na maadili yaliyopewa ya x na y ziwe sawia. Kwa upande wa vigeu kadhaa, ni muhimu kwamba masafa yenye thamani zilizopewa y ilingane kwenye safu wima moja au safu moja.

Chaguo za kukokotoa za PREDICTION

Inatekelezwa kwa kutumia vipengele kadhaa. Mmoja wao anaitwa "PREDICTION". Ni sawa na "TREND", i.e. inatoa matokeo ya hesabu kwa kutumia njia ya angalau mraba. Walakini, kwa X moja tu, ambayo thamani ya Y haijulikani.

Sasa unajua fomula katika Excel kwa dummies zinazokuwezesha kutabiri thamani ya baadaye ya kiashiria fulani kulingana na mwenendo wa mstari.

3. Ukadiriaji wa kazi kwa kutumia mbinu

angalau mraba

Mbinu ya angalau miraba inatumika wakati wa kuchakata matokeo ya majaribio ya makadirio (makadirio) data ya majaribio formula ya uchambuzi. Aina maalum ya formula huchaguliwa, kama sheria, kwa sababu za kimwili. Fomula kama hizo zinaweza kuwa:

na wengine.

Kiini cha njia ya mraba mdogo ni kama ifuatavyo. Acha matokeo ya kipimo yawekwe kwenye jedwali:

Jedwali 4
				x n
				y n

(3.1)

wapi f - kazi inayojulikana, a 0, a 1 , …, a m - vigezo vya mara kwa mara visivyojulikana ambavyo maadili lazima yapatikane. Katika mbinu ya angalau miraba, ukadiriaji wa chaguo za kukokotoa (3.1) hadi utegemezi wa majaribio huchukuliwa kuwa bora zaidi ikiwa hali itatimizwa.

(3.2)

hiyo ni kiasi a mikengeuko ya mraba ya kitendakazi cha uchanganuzi inayotakikana kutoka kwa utegemezi wa majaribio inapaswa kuwa ndogo .

Kumbuka kwamba kazi Q kuitwa mabaki.

Tangu kutofautiana

basi ina kiwango cha chini. Hali ya lazima kwa kiwango cha chini cha kazi ya vigezo kadhaa ni usawa hadi sifuri ya derivatives zote za sehemu ya kazi hii kwa heshima na vigezo. Kwa hivyo, kupata maadili bora ya vigezo vya kazi inayokaribia (3.1), ambayo ni, maadili yao ambayo Q = Q (a 0 , a 1 , ..., a m ) ni ndogo, inapunguza kutatua mfumo wa equations:

(3.3)

Njia ya miraba ndogo inaweza kupewa tafsiri ifuatayo ya kijiometri: kati ya familia isiyo na kikomo ya mistari ya aina fulani, mstari mmoja hupatikana ambayo jumla ya tofauti za mraba za alama za alama za majaribio na ratibu zinazolingana za alama zilizopatikana. kwa equation ya mstari huu itakuwa ndogo zaidi.

Kutafuta vigezo vya kazi ya mstari

Acha data ya majaribio iwakilishwe na kitendakazi cha mstari:

Inahitajika kuchagua maadili yafuatayo a na b , ambayo kazi

(3.4)

itakuwa ndogo. Masharti muhimu ya kiwango cha chini cha kazi (3.4) yamepunguzwa kwa mfumo wa equations:

Baada ya mabadiliko, tunapata mfumo wa milinganyo miwili ya mstari na mbili zisizojulikana:

(3.5)

kutatua ambayo, tunapata maadili yanayotakiwa ya vigezo a na b.

Kupata Vigezo vya Kazi ya Quadratic

Ikiwa kipengele cha kukadiria ni utegemezi wa quadratic

kisha vigezo vyake a, b, c kupatikana kutoka kwa hali ya chini ya chaguo la kukokotoa:

(3.6)

Masharti ya kiwango cha chini cha utendakazi (3.6) yamepunguzwa kwa mfumo wa equations:

Baada ya mabadiliko, tunapata mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari na tatu zisizojulikana:

(3.7)

katika suluhisho ambalo tunapata maadili yanayotakiwa ya vigezo a, b na c.

Mfano . Acha jaribio litokeze katika jedwali lifuatalo la maadili x na y:

Jedwali 5
y i	0,705	0,495	0,426	0,357	0,368	0,406	0,549	0,768

Inahitajika kukadiria data ya majaribio kwa utendakazi wa mstari na wa robo.

Suluhisho. Kutafuta vigezo vya kazi zinazokaribia hupunguzwa kwa kutatua mifumo ya equations ya mstari (3.5) na (3.7). Ili kutatua tatizo, tutatumia processor ya lahajedwali Excel.

1. Kwanza, hebu tuunganishe laha 1 na 2. Ingiza maadili ya majaribio x mimi na y i kwenye safu A na B, kuanzia mstari wa pili (tutaweka vichwa vya safu kwenye mstari wa kwanza). Kisha tunahesabu hesabu za nguzo hizi na kuziweka kwenye safu ya kumi.

Katika safuwima C–G weka hesabu na majumuisho kwa mtiririko huo

2. Hebu tutenganishe laha. Tutafanya hesabu zaidi kwa njia sawa kwa utegemezi wa mstari kwenye Laha 1 na utegemezi wa mara nne kwenye Laha 2.

3. Chini ya meza inayosababisha, tutaunda matrix ya coefficients na vector ya safu ya maneno ya bure. Wacha tusuluhishe mfumo wa hesabu za mstari kwa kutumia algorithm ifuatayo:

Ili kuhesabu matrix inverse na kuzidisha matrices, tunatumia Mwalimu kazi na kazi MOBR Na MMNIFE.

4. Katika kizuizi cha seli H2: H 9 kulingana na mgawo uliopatikana tunahesabu thamani inayokadiriwa polynomialy i hesabu., katika block I 2: I 9 - kupotoka D y i = y i exp. - y i hesabu., katika safu J - mabaki:

Jedwali zinazotokana na zile zilizojengwa kwa kutumia Wachawi wa Chati grafu zimeonyeshwa kwenye Mchoro 6, 7, 8.

Mchele. 6. Jedwali la kuhesabu coefficients ya kazi ya mstari,

takriban data ya majaribio.

Mchele. 7. Jedwali la kuhesabu coefficients ya kazi ya quadratic,

takribandata ya majaribio.

Mchele. 8. Uwakilishi wa picha wa matokeo ya kukadiria

data ya majaribio kwa vipengele vya mstari na vya robo.

Jibu. Data ya majaribio ilikadiriwa na utegemezi wa mstari y = 0,07881 x + 0,442262 na mabaki Q = 0,165167 na utegemezi wa quadratic y = 3,115476 x 2 – 5,2175 x + 2,529631 na mabaki Q = 0,002103 .

Kazi. Kadiria chaguo la kukokotoa lililotolewa na jedwali, vitendakazi vya mstari na quadratic.

Jedwali 6
№0	x	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
	y	3,030	3,142	3,358	3,463	3,772	3,251	3,170	3,665
№ 1
		3,314	3,278	3,262	3,292	3,332	3,397	3,487	3,563
№ 2
		1,045	1,162	1,264	1,172	1,070	0,898	0,656	0,344
№ 3
		6,715	6,735	6,750	6,741	6,645	6,639	6,647	6,612
№ 4
		2,325	2,515	2,638	2,700	2,696	2,626	2,491	2,291
№ 5
		1.752	1,762	1,777	1,797	1,821	1,850	1,884	1,944
№ 6
		1,924	1,710	1,525	1,370	1,264	1,190	1,148	1,127
№ 7
		1,025	1,144	1,336	1,419	1,479	1,530	1,568	1,248
№ 8
		5,785	5,685	5,605	5,545	5,505	5,480	5,495	5,510
№ 9
		4,052	4,092	4,152	4,234	4,338	4,468	4,599	Njia ya angalau mraba Njia ya angalau mraba ( OLS, OLS, Viwanja Vidogo vya Kawaida) - mojawapo ya mbinu za msingi za uchanganuzi wa urejeshi kwa kukadiria vigezo visivyojulikana vya mifano ya urejeshi kwa kutumia data ya sampuli. Njia hiyo inategemea kupunguza jumla ya miraba ya mabaki ya rejista. Ikumbukwe kwamba mbinu ya miraba ndogo yenyewe inaweza kuitwa njia ya kutatua tatizo katika eneo lolote ikiwa suluhisho liko au kukidhi baadhi ya kigezo cha kupunguza jumla ya miraba ya baadhi ya kazi za vigezo vinavyohitajika. Kwa hivyo, njia ya miraba ndogo pia inaweza kutumika kwa uwakilishi wa takriban (ukadirio) wa chaguo la kukokotoa lililotolewa na vitendakazi vingine (rahisi), wakati wa kutafuta seti ya kiasi ambacho kinakidhi hesabu au vikwazo, idadi ambayo inazidi idadi ya kiasi hiki. , na kadhalika. Asili ya MNC Acha mfano fulani wa (parametric) wa uhusiano wa uwezekano (regression) kati ya kutofautisha (iliyoelezewa) itolewe. y na mambo mengi (vigezo vya maelezo) x iko wapi vekta ya vigezo vya mfano visivyojulikana - hitilafu ya mfano wa nasibu. Wacha pia kuwe na uchunguzi wa sampuli wa maadili ya anuwai hizi. Wacha iwe nambari ya uchunguzi (). Kisha ni maadili ya vigezo katika uchunguzi th. Halafu, kwa maadili yaliyopewa ya vigezo b, inawezekana kuhesabu maadili ya kinadharia (mfano) ya tofauti iliyoelezewa y: Saizi ya mabaki inategemea maadili ya vigezo b. Kiini cha mbinu ya angalau miraba (ya kawaida, ya kawaida) ni kupata vigezo b ambavyo jumla ya miraba ya mabaki (eng. Jumla ya Mabaki ya Mraba) itakuwa ndogo: Katika hali ya jumla, shida hii inaweza kutatuliwa kwa njia za uboreshaji wa nambari (kupunguza). Katika kesi hii, wanazungumza miraba isiyo ya mstari isiyo na mstari(NLS au NLLS - Kiingereza) Viwanja Vidogo Visivyo na Linear) Katika hali nyingi inawezekana kupata suluhisho la uchambuzi. Ili kutatua tatizo la kupunguza, ni muhimu kupata pointi za stationary za kazi kwa kutofautisha kwa heshima na vigezo visivyojulikana b, kusawazisha derivatives kwa sifuri na kutatua mfumo unaosababishwa wa equations: Ikiwa hitilafu za nasibu za modeli zinasambazwa kwa kawaida, zina tofauti sawa, na hazijaunganishwa, makadirio ya vigezo vya OLS ni sawa na makadirio ya uwezekano wa juu zaidi (MLM). OLS katika kesi ya mfano wa mstari Wacha utegemezi wa rejista uwe wa mstari: Hebu y ni vekta ya safu ya uchunguzi wa utofauti ulioelezewa, na ni matrix ya uchunguzi wa sababu (safu za matrix ni vekta za maadili ya sababu katika uchunguzi fulani, safu ni vekta ya maadili ya jambo fulani. katika uchunguzi wote). Uwakilishi wa matrix ya mfano wa mstari ni: Halafu vekta ya makadirio ya utofauti ulioelezewa na vekta ya mabaki ya rejista itakuwa sawa. Ipasavyo, jumla ya miraba ya mabaki ya rejista itakuwa sawa na Kutofautisha kazi hii kwa heshima na vekta ya vigezo na kusawazisha derivatives kwa sifuri, tunapata mfumo wa equations (katika fomu ya tumbo): . Suluhisho la mfumo huu wa equations hutoa fomula ya jumla ya makadirio ya miraba angalau kwa mfano wa mstari: Kwa madhumuni ya uchambuzi, uwakilishi wa mwisho wa fomula hii ni muhimu. Ikiwa katika muundo wa rejista data iliyozingatia, basi katika uwakilishi huu matrix ya kwanza ina maana ya sampuli covariance matrix ya mambo, na ya pili ni vekta ya covariances ya mambo na variable tegemezi. Ikiwa kwa kuongeza data ni pia kawaida kwa MSE (hiyo ni, hatimaye sanifu), basi matrix ya kwanza ina maana ya matrix ya uunganisho wa sampuli ya mambo, vekta ya pili - vekta ya uunganisho wa sampuli ya mambo na kutofautisha tegemezi. Sifa muhimu ya makadirio ya OLS kwa mifano na mara kwa mara- mstari wa urekebishaji uliojengwa hupitia katikati ya mvuto wa data ya sampuli, ambayo ni, usawa umeridhika: Hasa, katika hali mbaya, wakati regressor pekee ni mara kwa mara, tunaona kwamba makadirio ya OLS ya parameter pekee (mara kwa mara yenyewe) ni sawa na thamani ya wastani ya kutofautiana iliyoelezwa. Hiyo ni, maana ya hesabu, inayojulikana kwa mali zake nzuri kutoka kwa sheria za idadi kubwa, pia ni makadirio ya mraba - inakidhi kigezo cha jumla ya upungufu wa mraba kutoka kwake. Mfano: urejeshaji rahisi zaidi (wa jozi). Katika kesi ya urekebishaji wa mstari uliooanishwa, fomula za hesabu hurahisishwa (unaweza kufanya bila algebra ya matrix): Sifa za wakadiriaji wa OLS Kwanza kabisa, tunaona kuwa kwa mifano ya mstari, makadirio ya OLS ni makadirio ya mstari, kama ifuatavyo kutoka kwa fomula hapo juu. Kwa makadirio ya OLS yasiyo na upendeleo, ni muhimu na ya kutosha kutimiza hali muhimu zaidi ya uchanganuzi wa urejeshaji: matarajio ya hisabati ya hitilafu ya nasibu, yenye masharti ya vipengele, lazima iwe sawa na sifuri. Hali hii, hasa, imeridhika ikiwa matarajio ya hisabati ya makosa ya nasibu ni sifuri, na sababu na makosa ya nasibu ni vigeu huru vya nasibu. Hali ya pili - hali ya exogeneity ya mambo - ni ya msingi. Ikiwa mali hii haijafikiwa, basi tunaweza kudhani kuwa karibu makadirio yoyote yatakuwa ya kuridhisha sana: hayatakuwa sawa (yaani, hata idadi kubwa ya data hairuhusu kupata makadirio ya hali ya juu katika kesi hii. ) Katika kesi ya classical, dhana yenye nguvu zaidi inafanywa juu ya uamuzi wa mambo, kinyume na hitilafu ya random, ambayo ina maana moja kwa moja kwamba hali ya exogeneity imekutana. Katika hali ya jumla, kwa uwiano wa makadirio, inatosha kukidhi hali ya exogeneity pamoja na muunganiko wa tumbo hadi baadhi ya matrix isiyo ya umoja kadiri saizi ya sampuli inavyoongezeka hadi infinity. Ili, pamoja na uthabiti na kutokuwa na upendeleo, makadirio ya (ya kawaida) miraba ndogo kuwa na ufanisi pia (bora zaidi katika darasa la makadirio yasiyo na upendeleo), sifa za ziada za makosa ya nasibu lazima zitimizwe: Mawazo haya yanaweza kutengenezwa kwa matrix ya udadisi ya vekta ya makosa bila mpangilio Mfano wa mstari unaokidhi masharti haya unaitwa classical. Makadirio ya OLS ya urejeleaji wa mstari wa kitamaduni hayana upendeleo, thabiti na makadirio bora zaidi katika darasa la makadirio yote yasiyopendelea upande wowote (katika fasihi ya Kiingereza ufupisho wakati mwingine hutumiwa. BLUU (Mkadiriaji Bora wa Linear Bila Msingi) - makadirio bora ya mstari usio na upendeleo; katika fasihi ya Kirusi nadharia ya Gauss-Markov inatajwa mara nyingi). Kama ilivyo rahisi kuonyesha, matrix ya udadisi ya vekta ya makadirio ya mgawo itakuwa sawa na: OLS ya jumla Njia ya miraba ndogo inaruhusu ujanibishaji mpana. Badala ya kupunguza jumla ya miraba ya mabaki, mtu anaweza kupunguza aina fulani chanya ya quadratic ya vekta ya mabaki, ambapo kuna matrix fulani ya uzani chanya ya ulinganifu. Mraba mdogo wa kawaida ni kesi maalum ya mbinu hii, ambapo matrix ya uzito ni sawia na matrix ya utambulisho. Kama inavyojulikana kutoka kwa nadharia ya matrices ya ulinganifu (au waendeshaji), kwa matiti kama hayo kuna mtengano. Kwa hivyo, kazi iliyoainishwa inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo, ambayo ni kwamba, utendaji huu unaweza kuwakilishwa kama jumla ya miraba ya "mabaki" kadhaa yaliyobadilishwa. Kwa hivyo, tunaweza kutofautisha darasa la njia ndogo za mraba - njia za LS (Mraba Mdogo). Imethibitishwa (nadharia ya Aitken) kwamba kwa modeli ya urejeshaji ya laini ya jumla (ambayo hakuna vizuizi vilivyowekwa kwenye matrix ya udadisi ya makosa ya nasibu), yenye ufanisi zaidi (katika darasa la makadirio yasiyo na upendeleo) ni yale yanayoitwa makadirio. Viwanja Vidogo vya jumla vya jumla (GLS - Viwanja Vidogo vya Jumla)- Mbinu ya LS yenye matrix ya uzani sawa na matrix ya udadisi kinyume cha makosa ya nasibu: . Inaweza kuonyeshwa kuwa fomula ya makadirio ya GLS ya vigezo vya mfano wa mstari ina fomu Matrix ya ushirikiano wa makadirio haya itakuwa sawa na Kwa kweli, kiini cha OLS kiko katika mabadiliko fulani (ya mstari) (P) ya data asilia na matumizi ya OLS ya kawaida kwa data iliyobadilishwa. Madhumuni ya mabadiliko haya ni kwamba kwa data iliyobadilishwa, makosa ya nasibu tayari yanakidhi mawazo ya zamani. OLS iliyopimwa Kwa upande wa matrix ya uzani wa mshazari (na kwa hivyo matrix ya udadisi ya makosa ya nasibu), tunayo kinachojulikana kuwa Mraba Mdogo (WLS) yenye uzani. Katika kesi hii, jumla ya uzani wa miraba ya mabaki ya mfano hupunguzwa, yaani, kila uchunguzi hupokea "uzito" ambao ni kinyume na tofauti ya hitilafu ya nasibu katika uchunguzi huu: . Kwa kweli, data hubadilishwa kwa kupima uchunguzi (kugawanya kwa kiasi sawia na makadirio ya kupotoka kwa kawaida ya makosa ya nasibu), na OLS ya kawaida inatumika kwa data iliyopimwa. Baadhi ya matukio maalum ya kutumia MNC katika mazoezi Ukadiriaji wa utegemezi wa mstari Wacha tuzingatie kesi hiyo wakati, kama matokeo ya kusoma utegemezi wa idadi fulani ya scalar kwa kiasi fulani cha scalar (Hii inaweza kuwa, kwa mfano, utegemezi wa voltage kwa nguvu ya sasa: , wapi thamani ya mara kwa mara, upinzani wa conductor), vipimo vya idadi hii vilifanywa, kama matokeo ya ambayo maadili na maadili yao yanayolingana. Data ya kipimo lazima irekodiwe kwenye jedwali. Jedwali. Matokeo ya kipimo. Nambari ya kipimo. 1 2 3 4 5 6 Swali ni: ni thamani gani ya mgawo inaweza kuchaguliwa ili kuelezea vyema utegemezi? Kulingana na njia ya angalau miraba, thamani hii inapaswa kuwa kiasi kwamba jumla ya mikengeuko ya mraba ya thamani kutoka kwa maadili. ilikuwa ndogo Jumla ya mikengeuko ya mraba ina upeo mmoja - kiwango cha chini, ambayo inaruhusu sisi kutumia fomula hii. Wacha tupate kutoka kwa fomula hii thamani ya mgawo. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha upande wake wa kushoto kama ifuatavyo: Fomula ya mwisho inatuwezesha kupata thamani ya mgawo, ambayo ndiyo ilihitajika katika tatizo. Hadithi Hadi mwanzoni mwa karne ya 19. wanasayansi hawakuwa na sheria fulani za kutatua mfumo wa equations ambayo idadi ya haijulikani ni chini ya idadi ya equations; Hadi wakati huo, mbinu za kibinafsi zilitumiwa ambazo zilitegemea aina ya equations na juu ya akili ya calculator, na kwa hiyo calculator tofauti, kulingana na data sawa ya uchunguzi, walikuja kwa hitimisho tofauti. Gauss (1795) alikuwa wa kwanza kutumia njia hiyo, na Legendre (1805) aliigundua kwa uhuru na kuichapisha chini ya jina lake la kisasa (Kifaransa. Méthode des moindres quarrés ). Laplace alihusisha mbinu na nadharia ya uwezekano, na mwanahisabati wa Marekani Adrain (1808) alizingatia matumizi yake ya uwezekano wa nadharia. Njia hiyo ilienea na kuboreshwa na utafiti zaidi wa Encke, Bessel, Hansen na wengine. Matumizi mbadala ya OLS Wazo la njia ya miraba ndogo pia inaweza kutumika katika hali zingine ambazo hazihusiani moja kwa moja na uchanganuzi wa rejista. Ukweli ni kwamba jumla ya miraba ni mojawapo ya hatua za kawaida za ukaribu kwa vekta ( Metric ya Euclidean katika nafasi zenye ukomo-dimensional). Utumizi mmoja ni "suluhisho" la mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo idadi ya milinganyo ni kubwa kuliko idadi ya vigeu. ambapo matrix sio mraba, lakini saizi ya mstatili. Mfumo kama huo wa equations, kwa ujumla, hauna suluhisho (ikiwa kiwango ni kikubwa zaidi kuliko idadi ya vigezo). Kwa hiyo, mfumo huu unaweza "kutatuliwa" tu kwa maana ya kuchagua vector vile ili kupunguza "umbali" kati ya vectors na. Kwa kufanya hivyo, unaweza kutumia kigezo cha kupunguza jumla ya mraba wa tofauti kati ya pande za kushoto na za kulia za equations za mfumo, yaani. Ni rahisi kuonyesha kwamba kutatua tatizo hili la kupunguza husababisha kutatua mfumo wafuatayo wa equations