Kwa hivyo, Nadharia ya Mwisho ya Fermat (mara nyingi huitwa nadharia ya mwisho ya Fermat), iliyoandaliwa mnamo 1637 na mwanahisabati mahiri wa Ufaransa Pierre Fermat, ni rahisi sana kimaumbile na inaeleweka kwa mtu yeyote aliye na elimu ya sekondari. Inasema kwamba fomula a kwa nguvu ya n + b kwa nguvu ya n = c kwa nguvu ya n haina masuluhisho ya asili (yaani, sio ya sehemu) kwa n > 2. Kila kitu kinaonekana rahisi na wazi, lakini wanahisabati bora na amateurs wa kawaida walijitahidi kutafuta suluhisho kwa zaidi ya karne tatu na nusu.
Kwa nini yeye ni maarufu sana? Sasa tutajua...
Je, kuna nadharia nyingi zilizothibitishwa, ambazo hazijathibitishwa na ambazo bado hazijathibitishwa? Jambo hapa ni kwamba Nadharia ya Mwisho ya Fermat inawakilisha tofauti kubwa kati ya usahili wa uundaji na uchangamano wa uthibitisho. Nadharia ya Mwisho ya Fermat ni tatizo gumu sana, na bado uundaji wake unaweza kueleweka na mtu yeyote aliye na daraja la 5 la shule ya upili, lakini hata si kila mtaalamu wa hisabati anaweza kuelewa uthibitisho huo. Wala katika fizikia, wala katika kemia, wala biolojia, wala hisabati, hakuna tatizo moja ambalo linaweza kutengenezwa kwa urahisi hivyo, lakini lilibaki bila kutatuliwa kwa muda mrefu. 2. Inajumuisha nini?
Hebu tuanze na suruali ya Pythagorean maneno ni rahisi sana - kwa mtazamo wa kwanza. Kama tunavyojua kutoka utoto, "suruali za Pythagorean ni sawa kwa pande zote." Tatizo linaonekana rahisi sana kwa sababu lilitokana na taarifa ya hisabati ambayo kila mtu anajua - theorem ya Pythagorean: katika pembetatu yoyote ya kulia, mraba uliojengwa kwenye hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba iliyojengwa kwenye miguu.
Katika karne ya 5 KK. Pythagoras alianzisha udugu wa Pythagorean. Wapythagoras, miongoni mwa mambo mengine, walichunguza idadi kamili ya mapacha watatu wanaokidhi usawa x²+y²=z². Walithibitisha kuwa kuna triples nyingi za Pythagorean na wakapata fomula za jumla za kuzipata. Labda walijaribu kutafuta C na digrii za juu. Wakiwa na hakika kwamba hii haikufanya kazi, Pythagoreans waliacha majaribio yao yasiyofaa. Wanachama wa udugu walikuwa wanafalsafa na wasomi zaidi kuliko wanahisabati.
Hiyo ni, ni rahisi kuchagua seti ya nambari zinazokidhi kikamilifu usawa x²+y²=z².
Kuanzia 3, 4, 5 - kwa kweli, mwanafunzi mdogo anaelewa kuwa 9 + 16 = 25.
Au 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Kubwa.
Nakadhalika. Je, iwapo tutachukua mlingano sawa x³+y³=z³? Labda kuna nambari kama hizo pia?
Na kadhalika (Mchoro 1).
Kwa hivyo, zinageuka kuwa HAWAPO. Hapa ndipo ujanja unapoanza. Unyenyekevu unaonekana, kwa sababu ni vigumu kuthibitisha si uwepo wa kitu, lakini, kinyume chake, kutokuwepo kwake. Unapohitaji kuthibitisha kuwa kuna suluhisho, unaweza na unapaswa kuwasilisha tu suluhisho hili.
Kuthibitisha kutokuwepo ni vigumu zaidi: kwa mfano, mtu anasema: vile na vile equation haina ufumbuzi. Kumweka kwenye dimbwi? rahisi: bam - na hapa ni, suluhisho! (toa suluhisho). Na hivyo ndivyo, mpinzani ameshindwa. Jinsi ya kuthibitisha kutokuwepo?
Sema: "Sijapata masuluhisho kama haya"? Au labda ulikuwa hauonekani vizuri? Je, ikiwa zipo, kubwa sana, kubwa sana, hivi kwamba hata kompyuta yenye uwezo mkubwa bado haina nguvu za kutosha? Hii ndio ngumu.
Hii inaweza kuonyeshwa kwa kuonekana kama hii: ikiwa unachukua miraba miwili ya saizi zinazofaa na kuzitenganisha katika mraba wa vitengo, basi kutoka kwa kundi hili la mraba wa vitengo unapata mraba wa tatu (Mchoro 2):
Lakini hebu tufanye sawa na mwelekeo wa tatu (Kielelezo 3) - haifanyi kazi. Hakuna cubes za kutosha, au kuna zile za ziada zilizobaki:
Lakini mwanahisabati Mfaransa wa karne ya 17 Pierre de Fermat alisoma kwa shauku mlinganyo wa jumla x. n +y n =z n . Na mwishowe, nilihitimisha: kwa n> 2 hakuna suluhisho kamili. Uthibitisho wa Fermat umepotea kabisa. Maandishi yanawaka! Kilichobaki ni maelezo yake katika Arithmetic ya Diophantus: “Nimepata uthibitisho wa kustaajabisha sana wa pendekezo hili, lakini pambizo hapa ni finyu sana kuweza kuliweka.”
Kwa kweli, nadharia isiyo na uthibitisho inaitwa hypothesis. Lakini Fermat ana sifa ya kutowahi kufanya makosa. Hata kama hakuacha ushahidi wa taarifa, ilithibitishwa baadaye. Zaidi ya hayo, Fermat alithibitisha nadharia yake ya n=4. Kwa hivyo, nadharia ya mwanahisabati wa Ufaransa ilishuka katika historia kama Nadharia ya Mwisho ya Fermat.
Baada ya Fermat, akili nzuri kama Leonhard Euler zilifanya kazi katika kutafuta dhibitisho (mnamo 1770 alipendekeza suluhisho la n = 3),
Adrien Legendre na Johann Dirichlet (wanasayansi hawa kwa pamoja walipata uthibitisho wa n = 5 mnamo 1825), Gabriel Lamé (ambaye alipata uthibitisho wa n = 7) na wengine wengi. Kufikia katikati ya miaka ya 80 ya karne iliyopita, ikawa wazi kuwa ulimwengu wa kisayansi ulikuwa kwenye njia ya kupata suluhisho la mwisho la Nadharia ya Mwisho ya Fermat, lakini mnamo 1993 tu wanahisabati waliona na kuamini kwamba epic ya karne tatu ya kutafuta uthibitisho wa ukweli. Nadharia ya mwisho ya Fermat ilikuwa imekamilika.
Inaonyeshwa kwa urahisi kuwa inatosha kuthibitisha nadharia ya Fermat tu kwa n rahisi: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Kwa composite n, uthibitisho unabaki halali. Lakini kuna idadi kubwa isiyo na kikomo ...
Mnamo 1825, kwa kutumia mbinu ya Sophie Germain, wanahisabati wa kike, Dirichlet na Legendre walithibitisha kwa uhuru nadharia ya n=5. Mnamo 1839, kwa kutumia njia hiyo hiyo, Mfaransa Gabriel Lame alionyesha ukweli wa nadharia ya n=7. Hatua kwa hatua nadharia hiyo ilithibitishwa kwa karibu zote n chini ya mia moja.
Hatimaye, mwanahisabati wa Ujerumani Ernst Kummer, katika uchunguzi mzuri, alionyesha kuwa nadharia hiyo kwa ujumla haiwezi kuthibitishwa kwa kutumia mbinu za hisabati za karne ya 19. Tuzo la Chuo cha Sayansi cha Ufaransa, kilichoanzishwa mnamo 1847 kwa uthibitisho wa nadharia ya Fermat, ilibaki bila tuzo.
Mnamo 1907, mfanyabiashara tajiri wa Ujerumani Paul Wolfskehl aliamua kujiua kwa sababu ya upendo usio na usawa. Kama Mjerumani wa kweli, aliweka tarehe na wakati wa kujiua: haswa usiku wa manane. Siku ya mwisho alifanya wosia na aliandika barua kwa marafiki na jamaa. Mambo yaliisha kabla ya saa sita usiku. Ni lazima kusemwa kwamba Paulo alipendezwa na hisabati. Bila kitu kingine cha kufanya, alienda kwenye maktaba na kuanza kusoma nakala maarufu ya Kummer. Ghafla ilionekana kwake kwamba Kummer alikuwa amefanya makosa katika hoja yake. Wolfskel alianza kuchambua sehemu hii ya kifungu na penseli mikononi mwake. Usiku wa manane umepita, asubuhi imefika. Pengo katika uthibitisho limejazwa. Na sababu yenyewe ya kujiua sasa ilionekana kuwa ya ujinga kabisa. Paulo alirarua barua zake za kuaga na kuandika upya wosia wake.
Hivi karibuni alikufa kwa sababu za asili. Warithi walishangaa sana: alama 100,000 (zaidi ya pauni 1,000,000 za sasa) zilihamishiwa kwa akaunti ya Jumuiya ya Sayansi ya Kifalme ya Göttingen, ambayo mwaka huo huo ilitangaza shindano la Tuzo la Wolfskehl. Alama 100,000 zilitolewa kwa mtu ambaye alithibitisha nadharia ya Fermat. Sio pfennig aliyepewa tuzo kwa kukanusha nadharia ...
Wataalamu wengi wa hesabu waliona kutafuta uthibitisho wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat kuwa kazi isiyo na matumaini na walikataa kabisa kupoteza muda kwa zoezi hilo lisilofaa. Lakini amateurs walikuwa na mlipuko. Wiki chache baada ya tangazo hilo, maporomoko ya "ushahidi" yaligonga Chuo Kikuu cha Göttingen. Profesa E.M. Landau, ambaye jukumu lake lilikuwa kuchambua ushahidi uliotumwa, alisambaza kadi kwa wanafunzi wake:
Mpendwa. . . . . . . .
Asante kwa kunitumia muswada na uthibitisho wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat. Hitilafu ya kwanza iko kwenye ukurasa ... kwenye mstari... . Kwa sababu yake, uthibitisho wote unapoteza uhalali wake.
Profesa E. M. Landau
Mnamo 1963, Paul Cohen, akitegemea matokeo ya Gödel, alithibitisha kutotatulika kwa moja ya shida ishirini na tatu za Hilbert - nadharia ya kuendelea. Je! Ikiwa Nadharia ya Mwisho ya Fermat pia haiwezi kuamua?! Lakini washabiki wa kweli wa Theorem Mkuu hawakukatishwa tamaa hata kidogo. Ujio wa kompyuta ghafla uliwapa wanahisabati mbinu mpya ya uthibitisho. Baada ya Vita vya Kidunia vya pili, timu za waandaaji programu na wanahisabati walithibitisha Nadharia ya Mwisho ya Fermat kwa maadili yote ya n hadi 500, kisha hadi 1,000, na baadaye hadi 10,000.
Katika miaka ya 1980, Samuel Wagstaff alipandisha kikomo hadi 25,000, na katika miaka ya 1990, wanahisabati walitangaza kwamba Theorem ya Mwisho ya Fermat ilikuwa ya kweli kwa maadili yote ya n hadi milioni 4. Lakini ukiondoa hata trilioni kutoka kwa infinity, haitakuwa ndogo. Wanahisabati hawashawishiwi na takwimu. Ili kuthibitisha Nadharia Kuu ilikusudiwa kuithibitisha kwa WOTE na kwenda kwa ukomo.
Mnamo 1954, marafiki wawili wachanga wa hisabati wa Kijapani walianza kutafiti fomu za moduli. Fomu hizi hutoa mfululizo wa nambari, kila moja na mfululizo wake. Kwa bahati, Taniyama alilinganisha mfululizo huu na mfululizo unaozalishwa na milinganyo ya duaradufu. Walilingana! Lakini fomu za msimu ni vitu vya kijiometri, na milinganyo ya duaradufu ni ya algebra. Hakuna uhusiano ambao umewahi kupatikana kati ya vitu tofauti kama hivyo.
Hata hivyo, baada ya kupima kwa uangalifu, marafiki huweka dhana: kila equation ya mviringo ina mapacha - fomu ya kawaida, na kinyume chake. Ilikuwa ni nadharia hii ambayo ikawa msingi wa mwelekeo mzima katika hisabati, lakini hadi nadharia ya Taniyama-Shimura ilipothibitishwa, jengo lote linaweza kuanguka wakati wowote.
Mnamo 1984, Gerhard Frey alionyesha kuwa suluhu la mlinganyo wa Fermat, kama lipo, linaweza kujumuishwa katika mlinganyo wa duaradufu. Miaka miwili baadaye, Profesa Ken Ribet alithibitisha kwamba mlinganyo huu wa dhahania haungeweza kuwa na mwenza katika ulimwengu wa moduli. Kuanzia sasa na kuendelea, Nadharia ya Mwisho ya Fermat iliunganishwa kwa njia isiyoweza kutenganishwa na dhana ya Taniyama–Shimura. Baada ya kuthibitisha kwamba mkunjo wowote wa duaradufu ni wa moduli, tunahitimisha kuwa hakuna mlinganyo wa duaradufu wenye suluhu la mlingano wa Fermat, na Nadharia ya Mwisho ya Fermat itathibitishwa mara moja. Lakini kwa miaka thelathini haikuwezekana kudhibitisha nadharia ya Taniyama-Shimura, na kulikuwa na tumaini kidogo la kufaulu.
Mnamo 1963, alipokuwa na umri wa miaka kumi tu, Andrew Wiles alikuwa tayari amevutiwa na hisabati. Alipojifunza kuhusu Theorem Kubwa, aligundua kwamba hawezi kukata tamaa. Kama mvulana wa shule, mwanafunzi, na mwanafunzi aliyehitimu, alijitayarisha kwa kazi hii.
Baada ya kujua kuhusu matokeo ya Ken Ribet, Wiles aliingia kwa kasi katika kuthibitisha dhana ya Taniyama-Shimura. Aliamua kufanya kazi kwa kujitenga kabisa na kwa usiri. "Niligundua kuwa kila kitu ambacho kilikuwa na uhusiano wowote na Nadharia ya Mwisho ya Fermat huamsha shauku kubwa ... Watazamaji wengi ni wazi huingilia kati kufikiwa kwa lengo." Miaka saba ya kazi ngumu ilizaa matunda; hatimaye Wiles alikamilisha uthibitisho wa dhana ya Taniyama-Shimura.
Mnamo 1993, mwanahisabati wa Kiingereza Andrew Wiles aliwasilisha kwa ulimwengu uthibitisho wake wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat (Wiles alisoma karatasi yake ya kuvutia kwenye mkutano katika Taasisi ya Sir Isaac Newton huko Cambridge.), kazi ambayo ilidumu zaidi ya miaka saba.
Wakati hype ikiendelea kwenye vyombo vya habari, kazi kubwa ilianza kuthibitisha ushahidi. Kila ushahidi lazima uchunguzwe kwa uangalifu kabla ya ushahidi kuzingatiwa kuwa mkali na sahihi. Wiles alitumia msimu wa joto usio na utulivu akingojea maoni kutoka kwa wakaguzi, akitumaini kuwa ataweza kupata idhini yao. Mwishoni mwa Agosti, wataalam walipata hukumu hiyo kuwa na uthibitisho wa kutosha.
Ilibadilika kuwa uamuzi huu una makosa makubwa, ingawa kwa ujumla ni sahihi. Wiles hakukata tamaa, aliomba msaada wa mtaalamu maarufu katika nadharia ya nambari Richard Taylor, na tayari mnamo 1994 walichapisha uthibitisho uliosahihishwa na uliopanuliwa wa nadharia hiyo. Jambo la kushangaza zaidi ni kwamba kazi hii ilichukua kurasa 130 (!) katika jarida la hisabati "Annals of Hisabati". Lakini hadithi haikuishia hapo pia - hatua ya mwisho ilifikiwa tu mwaka uliofuata, 1995, wakati ya mwisho na "bora", kutoka kwa maoni ya hesabu, toleo la uthibitisho lilichapishwa.
"... nusu dakika baada ya kuanza kwa chakula cha jioni cha sherehe wakati wa siku yake ya kuzaliwa, niliwasilisha Nadya na hati ya uthibitisho kamili" (Andrew Wales). Bado sijasema kwamba wanahisabati ni watu wa ajabu?
Wakati huu hapakuwa na shaka juu ya ushahidi. Nakala mbili zilichanganuliwa kwa uangalifu zaidi na zilichapishwa mnamo Mei 1995 katika Annals of Hisabati.
Muda mwingi umepita tangu wakati huo, lakini bado kuna maoni katika jamii kwamba Theorem ya Mwisho ya Fermat haiwezi kusuluhishwa. Lakini hata wale wanaojua juu ya uthibitisho uliopatikana wanaendelea kufanya kazi katika mwelekeo huu - wachache wanaridhika kwamba Theorem Kubwa inahitaji suluhisho la kurasa 130!
Kwa hivyo, sasa juhudi za wanahisabati wengi (haswa amateurs, sio wanasayansi wa kitaalam) hutupwa katika utaftaji wa uthibitisho rahisi na mafupi, lakini njia hii, uwezekano mkubwa, haitaongoza popote ...
THEOREM KUBWA YA FERMA - taarifa ya Pierre Fermat (mwanasheria Mfaransa na mwanahisabati wa muda) kwamba mlingano wa Diophantine X n + Y n = Z n, wenye kipeo n>2, ambapo n = integer, hauna suluhu katika nambari kamili chanya . Maandishi ya mwandishi: "Haiwezekani kuoza mchemraba katika cubes mbili, au biquadrate katika biquadrati mbili, au kwa ujumla nguvu kubwa zaidi ya mbili katika nguvu mbili na kipeo sawa."
"Fermat na nadharia yake", Amadeo Modigliani, 1920
Pierre alikuja na nadharia hii mnamo Machi 29, 1636. Na miaka 29 hivi baadaye alikufa. Lakini hapo ndipo yote yalipoanzia. Baada ya yote, mpenzi tajiri wa hisabati wa Ujerumani aitwaye Wolfskehl alitoa alama laki moja kwa yule ambaye angetoa uthibitisho kamili wa nadharia ya Fermat! Lakini msisimko karibu na theorem haukuhusishwa na hii tu, bali pia na shauku ya kitaalam ya kihesabu. Fermat mwenyewe alidokeza kwa jumuiya ya hisabati kwamba alijua uthibitisho huo - muda mfupi kabla ya kifo chake, mwaka wa 1665, aliacha maelezo yafuatayo pembezoni mwa kitabu cha Arithmetic cha Diophantus wa Alexandria: "Nina uthibitisho wa kushangaza sana, lakini ni mkubwa sana. kuwekwa kwenye mashamba."
Ilikuwa ni kidokezo hiki (pamoja na, bila shaka, bonasi ya pesa) ambayo iliwalazimu wanahisabati kutumia miaka yao bora zaidi kutafuta uthibitisho bila mafanikio (kulingana na wanasayansi wa Amerika, wataalamu wa hesabu pekee walitumia jumla ya miaka 543 juu ya hii).
Wakati fulani (mnamo 1901), kazi ya nadharia ya Fermat ilipata sifa mbaya ya "kazi sawa na utaftaji wa mashine ya mwendo wa kudumu" (hata neno la dharau lilionekana - "Fermatists"). Na kwa ghafula, mnamo Juni 23, 1993, kwenye mkutano wa hisabati juu ya nadharia ya nambari katika Cambridge, profesa Mwingereza wa hisabati kutoka Chuo Kikuu cha Princeton (New Jersey, Marekani), Andrew Wiles, alitangaza kwamba hatimaye alikuwa amethibitisha Fermat!
Uthibitisho, hata hivyo, haukuwa tata tu, bali pia ulikuwa na makosa, kama vile Wiles alivyoonyeshwa na wenzake. Lakini Profesa Wiles aliota maisha yake yote ya kuthibitisha nadharia hiyo, kwa hivyo haishangazi kwamba mnamo Mei 1994 aliwasilisha toleo jipya, lililorekebishwa la uthibitisho kwa jamii ya wanasayansi. Hakukuwa na maelewano au uzuri ndani yake, na bado ilikuwa ngumu sana - ukweli kwamba wanahisabati walitumia mwaka mzima (!) Kuchambua uthibitisho huu ili kuelewa ikiwa ilikuwa na makosa inajieleza yenyewe!
Lakini mwishowe, uthibitisho wa Wiles ulipatikana kuwa sahihi. Lakini wanahisabati hawakumsamehe Pierre Fermat kwa wazo lake katika "Hesabu," na, kwa kweli, walianza kumwona kuwa mwongo. Kwa hakika, mtu wa kwanza kuhoji uadilifu wa kimaadili wa Fermat alikuwa Andrew Wiles mwenyewe, ambaye alibainisha kuwa "Fermat hangeweza kuwa na ushahidi huo. Huu ni ushahidi wa karne ya ishirini." Kisha, miongoni mwa wanasayansi wengine, maoni yakawa yenye nguvu zaidi kwamba Fermat “hangeweza kuthibitisha nadharia yake kwa njia tofauti, na Fermat hangeweza kuthibitisha hilo jinsi Wiles alivyochukua kwa sababu za makusudi.”
Kwa kweli, Fermat, bila shaka, angeweza kuthibitisha hilo, na baadaye kidogo uthibitisho huu utafanywa upya na wachambuzi wa New Analytical Encyclopedia. Lakini hizi "sababu za kusudi" ni nini?
Kwa kweli kuna sababu moja tu kama hiyo: katika miaka hiyo wakati Fermat aliishi, dhana ya Taniyama, ambayo Andrew Wiles alitegemea uthibitisho wake, haikuweza kuonekana, kwa sababu kazi za kawaida ambazo dhana ya Taniyama inafanya kazi ziligunduliwa tu mwishoni mwa 19. karne.
Je, Wiles mwenyewe alithibitishaje nadharia hiyo? Swali sio la kufanya kazi - ni muhimu kuelewa jinsi Fermat mwenyewe angeweza kudhibitisha nadharia yake. Wiles aliegemeza uthibitisho wake juu ya uthibitisho wa dhana ya Taniyama, iliyowekwa mbele mnamo 1955 na mwanahisabati wa Kijapani Yutaka Taniyama mwenye umri wa miaka 28.
Dhana inasikika kama hii: "kila curve ya duaradufu inalingana na muundo fulani wa moduli." Vipande vya mviringo, vinavyojulikana kwa muda mrefu, vina fomu mbili-dimensional (iko kwenye ndege), wakati kazi za kawaida zina fomu ya nne-dimensional. Hiyo ni, hypothesis ya Taniyama ilichanganya dhana tofauti kabisa - curves rahisi za gorofa na maumbo ya nne-dimensional isiyofikirika. Ukweli wa kuchanganya takwimu tofauti-dimensional katika hypothesis ilionekana kuwa ya ajabu kwa wanasayansi, ndiyo sababu mwaka wa 1955 haikupewa umuhimu wowote.
Walakini, katika msimu wa joto wa 1984, "dhahania ya Taniyama" ilikumbukwa tena ghafla, na sio tu kukumbukwa, lakini uthibitisho wake unaowezekana uliunganishwa na uthibitisho wa nadharia ya Fermat! Hilo lilifanywa na mwanahisabati wa Saarbrücken Gerhard Frey, ambaye alijulisha jumuiya ya wanasayansi kwamba “ikiwa mtu angeweza kuthibitisha dhana ya Taniyama, basi Nadharia ya Mwisho ya Fermat pia ingethibitishwa.”
Frey alifanya nini? Alibadilisha mlinganyo wa Fermat kuwa ujazo, kisha akagundua kuwa mkunjo wa duaradufu uliopatikana kwa kutumia mlingano wa Fermat uliobadilishwa kuwa ujazo hauwezi kuwa wa moduli. Hata hivyo, dhana ya Taniyama ilisema kwamba mkunjo wowote wa duaradufu unaweza kuwa wa moduli! Ipasavyo, curve ya duaradufu iliyojengwa kutoka kwa mlinganyo wa Fermat haiwezi kuwepo, ambayo inamaanisha kuwa hakuwezi kuwa na masuluhisho yote na nadharia ya Fermat, ambayo inamaanisha ni kweli. Kweli, mnamo 1993, Andrew Wiles alithibitisha tu dhana ya Taniyama, na kwa hivyo nadharia ya Fermat.
Walakini, nadharia ya Fermat inaweza kuthibitishwa kwa urahisi zaidi, kwa msingi wa hali nyingi ambazo Taniyama na Frey waliendesha.
Kuanza, wacha tuzingatie hali iliyoainishwa na Pierre Fermat mwenyewe - n>2. Kwa nini hali hii ilihitajika? Ndiyo, tu kwa ukweli kwamba kwa n = 2 kesi maalum ya theorem ya Fermat inakuwa theorem ya kawaida ya Pythagorean X 2 + Y 2 = Z 2, ambayo ina idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi wa integer - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 na kadhalika. Kwa hivyo, nadharia ya Pythagoras ni ubaguzi kwa nadharia ya Fermat.
Lakini kwa nini ubaguzi kama huo unatokea katika kesi ya n = 2? Kila kitu kinaanguka ikiwa utaona uhusiano kati ya digrii (n = 2) na mwelekeo wa takwimu yenyewe. Pembetatu ya Pythagorean ni takwimu ya pande mbili. Haishangazi, Z (yaani, hypotenuse) inaweza kuonyeshwa kwa suala la miguu (X na Y), ambayo inaweza kuwa integers. Ukubwa wa pembe (90) hufanya iwezekanavyo kuzingatia hypotenuse kama vector, na miguu ni vectors ziko kwenye shoka na kuja kutoka asili. Ipasavyo, inawezekana kuelezea vekta ya pande mbili ambayo hailala kwenye shoka yoyote kwa suala la vekta zilizolala juu yao.
Sasa, ikiwa tunasonga kwa mwelekeo wa tatu, na kwa hivyo n = 3, ili kuelezea vekta ya pande tatu, hakutakuwa na habari ya kutosha juu ya vekta mbili, na kwa hivyo, itawezekana kuelezea Z katika mlinganyo wa Fermat. kupitia angalau maneno matatu (vectors tatu zimelala, kwa mtiririko huo, kwenye axes tatu za mfumo wa kuratibu).
Ikiwa n = 4, basi kuwe na maneno 4, ikiwa n = 5, basi kuwe na masharti 5 na kadhalika. Katika kesi hii, kutakuwa na zaidi ya kutosha ufumbuzi mzima. Kwa mfano, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 na kadhalika (unaweza kuchagua mifano mingine kwa n = 3, n = 4 na kadhalika mwenyewe).
Nini kinafuata kutoka kwa haya yote? Inafuata kutokana na hili kwamba nadharia ya Fermat kwa kweli haina suluhu kamili za n>2 - lakini kwa sababu tu mlinganyo wenyewe si sahihi! Kwa mafanikio sawa, mtu anaweza kujaribu kuelezea kiasi cha parallelepiped kulingana na urefu wa kingo zake mbili - kwa kweli, hii haiwezekani (suluhisho lote halitapatikana), lakini kwa sababu tu kupata kiasi cha parallelepiped. unahitaji kujua urefu wa kingo zake zote tatu.
Mwanahisabati maarufu David Gilbert alipoulizwa ni tatizo gani muhimu zaidi kwa sayansi sasa, alijibu “kukamata nzi upande wa mbali wa mwezi.” Kwa swali la busara "Nani anahitaji hii?" alijibu hivi: “Hakuna mtu anayehitaji hili.
Kwa maneno mengine, Fermat (mwanasheria kwanza kabisa!) alicheza mzaha wa kisheria juu ya ulimwengu wote wa hisabati, kulingana na uundaji usio sahihi wa tatizo. Yeye, kwa kweli, alipendekeza kwamba wanahisabati kupata jibu kwa nini kuruka upande wa pili wa Mwezi hawezi kuishi, na katika kando ya "Hesabu" alitaka kuandika tu kwamba hakuna hewa tu kwenye Mwezi, i.e. Hakuwezi kuwa na suluhu zima la nadharia yake ya n>2 tu kwa sababu kila thamani ya n lazima ilingane na idadi fulani ya istilahi upande wa kushoto wa mlinganyo wake.
Lakini ulikuwa utani tu? Hapana kabisa. Fikra za Fermat ziko haswa katika ukweli kwamba alikuwa wa kwanza kuona uhusiano kati ya kiwango na mwelekeo wa takwimu ya hisabati - ambayo ni, ambayo ni sawa kabisa, idadi ya maneno kwenye upande wa kushoto wa equation. Maana ya nadharia yake maarufu haikuwa tu kusukuma ulimwengu wa hisabati kwa wazo la uhusiano huu, lakini pia kuanzisha uthibitisho wa uwepo wa uhusiano huu - inaeleweka kwa angavu, lakini bado haijathibitishwa kihisabati.
Fermat, kama hakuna mtu mwingine, alielewa kuwa kuanzisha uhusiano kati ya vitu vinavyoonekana kuwa tofauti ni matunda sana sio tu katika hisabati, lakini katika sayansi yoyote. Uhusiano huu unaonyesha kanuni fulani ya kina iliyo msingi wa vitu vyote viwili na kuruhusu uelewa wa kina juu yao.
Kwa mfano, awali wanafizikia waliona umeme na sumaku kuwa matukio yasiyohusiana kabisa, lakini katika karne ya 19, wananadharia na watafiti walitambua kwamba umeme na sumaku zilikuwa na uhusiano wa karibu. Matokeo yake, uelewa mkubwa wa umeme na sumaku ulipatikana. Mikondo ya umeme huzalisha sehemu za sumaku, na sumaku zinaweza kuingiza umeme kwenye kondakta karibu na sumaku. Hii ilisababisha uvumbuzi wa dynamos na motors za umeme. Hatimaye iligunduliwa kuwa mwanga ulikuwa matokeo ya oscillations ya harmonic iliyoratibiwa ya mashamba ya magnetic na umeme.
Hisabati ya wakati wa Fermat ilijumuisha visiwa vya maarifa katika bahari ya ujinga. Katika kisiwa kimoja kiliishi jiomita zinazosoma maumbo, katika kisiwa kingine nadharia ya uwezekano wanahisabati walisoma hatari na nasibu. Lugha ya jiometri ilikuwa tofauti sana na lugha ya nadharia ya uwezekano, na istilahi za aljebra zilikuwa ngeni kwa wale waliozungumza tu juu ya takwimu. Kwa bahati mbaya, hisabati ya nyakati zetu ina takriban visiwa sawa.
Fermat alikuwa wa kwanza kutambua kwamba visiwa hivi vyote viliunganishwa. Na nadharia yake maarufu - Theorem ya Mwisho ya Fermat - ni uthibitisho bora wa hii.
Hakuna watu wengi ulimwenguni ambao hawajawahi kusikia Nadharia ya Mwisho ya Fermat- labda hii ndio shida pekee ya kihesabu ambayo imejulikana sana na imekuwa hadithi ya kweli. Imetajwa katika vitabu na filamu nyingi, na muktadha mkuu wa karibu marejeleo yote ni kutowezekana kwa kuthibitisha nadharia.
Ndio, nadharia hii inajulikana sana na, kwa maana fulani, imekuwa "sanamu" inayoabudiwa na wanahisabati wasio na ujuzi na wataalamu, lakini watu wachache wanajua kwamba uthibitisho wake ulipatikana, na hii ilitokea nyuma mnamo 1995. Lakini mambo ya kwanza kwanza.
Kwa hivyo, Nadharia ya Mwisho ya Fermat (mara nyingi huitwa nadharia ya mwisho ya Fermat), iliyotungwa mnamo 1637 na mwanahisabati mahiri wa Ufaransa. Pierre Fermat, ni rahisi sana kimsingi na inaeleweka kwa mtu yeyote mwenye elimu ya sekondari. Inasema kwamba fomula a n + b n = c n haina masuluhisho ya asili (yaani, sio ya sehemu) kwa n > 2. Kila kitu kinaonekana kuwa rahisi na wazi, lakini wanahisabati bora na amateurs wa kawaida wamekuwa wakijitahidi kupata suluhisho kwa zaidi ya. karne tatu na nusu.
Fermat mwenyewe alidai kwamba alikuwa amepata uthibitisho rahisi sana na mafupi wa nadharia yake, lakini hakuna ushahidi wa maandishi wa ukweli huu bado umepatikana. Kwa hiyo, sasa inaaminika kuwa Fermat hakuwahi kupata suluhu la jumla kwa nadharia yake, ingawa uthibitisho fulani wa n = 4 ulitoka kwa kalamu yake.
Baada ya Fermat, akili kubwa kama vile Leonard Euler(mnamo 1770 alipendekeza suluhisho la n = 3), Adrien Legendre na Johann Dirichlet(wanasayansi hawa kwa pamoja walipata uthibitisho wa n = 5 mnamo 1825), Gabriel Kilema(ambaye alipata uthibitisho wa n = 7) na wengine wengi. Kufikia katikati ya miaka ya 80 ya karne iliyopita, ikawa wazi kwamba ulimwengu wa kisayansi ulikuwa kwenye njia ya suluhisho la mwisho
Nadharia ya Mwisho ya Fermat, hata hivyo, ilikuwa mwaka wa 1993 tu ambapo wanahisabati waliona na kuamini kwamba epic ya karne tatu ya kupata uthibitisho wa nadharia ya mwisho ya Fermat ilikuwa imekamilika.
Mnamo 1993, mwanahisabati wa Kiingereza Andrew Wiles kuwasilishwa kwa ulimwengu wake uthibitisho wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat, kazi ambayo ilidumu zaidi ya miaka saba. Lakini ikawa kwamba uamuzi huu una makosa makubwa, ingawa kwa ujumla ni sahihi. Wiles hakukata tamaa, aliomba msaada wa mtaalamu maarufu katika nadharia ya nambari Richard Taylor, na tayari mnamo 1994 walichapisha uthibitisho uliosahihishwa na uliopanuliwa wa nadharia hiyo. Jambo la kushangaza zaidi ni kwamba kazi hii ilichukua kurasa 130 (!) katika jarida la hisabati "Annals of Hisabati". Lakini hadithi haikuishia hapo pia - hatua ya mwisho ilifikiwa tu mwaka uliofuata, 1995, wakati ya mwisho na "bora", kutoka kwa maoni ya hesabu, toleo la uthibitisho lilichapishwa.
Muda mwingi umepita tangu wakati huo, lakini bado kuna maoni katika jamii kwamba Theorem ya Mwisho ya Fermat haiwezi kusuluhishwa. Lakini hata wale wanaojua juu ya uthibitisho uliopatikana wanaendelea kufanya kazi katika mwelekeo huu - wachache wanaridhika kwamba Theorem Kubwa inahitaji suluhisho la kurasa 130! Kwa hivyo, sasa juhudi za wanahisabati wengi (haswa amateurs, sio wanasayansi wa kitaalam) hutupwa katika utaftaji wa uthibitisho rahisi na mafupi, lakini njia hii, uwezekano mkubwa, haitaongoza popote ...
HABARI ZA SAYANSI NA TEKNOLOJIA
UDC 51:37;517.958
A.V. Konovko, Ph.D.
Chuo cha Huduma ya Moto ya Jimbo la Wizara ya Hali ya Dharura ya Urusi THEOREM KUBWA YA FERMA IMETHIBITISHWA. AU SIYO?
Kwa karne kadhaa, haikuwezekana kuthibitisha kwamba mlinganyo xn+yn=zn wa n>2 hauwezi kusuluhishwa katika nambari za kimantiki, na kwa hivyo katika nambari kamili. Shida hii ilizaliwa chini ya uandishi wa wakili wa Ufaransa Pierre Fermat, ambaye wakati huo huo alikuwa akijishughulisha na hesabu. Uamuzi wake umetolewa kwa mwalimu wa hisabati wa Marekani Andrew Wiles. Utambuzi huu ulidumu kutoka 1993 hadi 1995.
THEOREM KUBWA YA FERMA IMETHIBITISHWA. AU HAPANA?
Historia ya kushangaza ya nadharia ya mwisho ya Fermat inazingatiwa. Ilichukua karibu miaka mia nne. Pierre Fermat aliandika kidogo. Aliandika kwa mtindo uliobanwa. Kando na hakuchapisha tafiti zake. Kauli kwamba equation xn+yn=zn haiwezi kusuluhishwa. juu ya seti za nambari na nambari kamili ikiwa n> 2 ilihudhuriwa na maoni ya Fermat ambayo amepata kuwa ya kushangaza sana kuthibitisha taarifa hii. Wazao hawakufikiwa na uthibitisho huu. Baadaye kauli hii iliitwa nadharia ya mwisho ya Fermat. Wanahisabati bora zaidi duniani walivunja nadharia hii bila matokeo. Katika miaka ya sabini mwanahisabati wa Kifaransa wa Chuo cha Sayansi cha Paris Andre Veil aliweka mbinu mpya za suluhisho. Mnamo 23 Juni, mnamo 1993, katika mkutano wa nadharia ya nambari huko Cambridge, mwanahisabati wa Chuo Kikuu cha Princeton Andrew Whens alitangaza kwamba nadharia ya mwisho ya Fermat ya kuthibitisha imekamilika. Walakini ilikuwa mapema kushinda.
Mnamo 1621, mwandishi wa Kifaransa na mpenzi wa hisabati Claude Gaspard Bachet de Meziriak alichapisha kitabu cha Kigiriki "Hesabu" ya Diophantus na tafsiri ya Kilatini na ufafanuzi. "Hesabu" ya kifahari, yenye pembe pana isiyo ya kawaida, ilianguka mikononi mwa Fermat wa miaka ishirini na ikawa kitabu chake cha marejeleo kwa miaka mingi. Katika pambizo zake aliacha noti 48 zenye ukweli aliogundua kuhusu sifa za nambari. Hapa, katika ukingo wa “Hesabu,” nadharia kuu ya Fermat iliundwa: “Haiwezekani kutenganisha mchemraba ndani ya cubes mbili au biquadrate katika biquadrati mbili, au kwa ujumla nguvu kubwa kuliko mbili katika nguvu mbili na kipeo kimoja; Nilipata uthibitisho mzuri sana wa hii, ambayo kwa sababu ya ukosefu wa nafasi haiwezi kutoshea katika nyanja hizi." Kwa njia, kwa Kilatini inaonekana kama hii: “Cubum autem in duos cubos, au quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”
Mtaalamu mkubwa wa hisabati wa Kifaransa Pierre Fermat (1601-1665) alitengeneza njia ya kuamua maeneo na kiasi na kuunda mbinu mpya ya tangents na extrema. Pamoja na Descartes, alikua muundaji wa jiometri ya uchambuzi, pamoja na Pascal walisimama kwenye asili ya nadharia ya uwezekano, katika uwanja wa njia isiyo na kikomo alitoa kanuni ya jumla ya kutofautisha na kudhibitisha kwa ujumla sheria ya ujumuishaji. utendakazi wa nguvu... Lakini, muhimu zaidi, moja ya hadithi muhimu za ajabu na za kusisimua ambazo zimewahi kushtua hisabati - hadithi ya uthibitisho wa nadharia ya mwisho ya Fermat. Sasa nadharia hii inaonyeshwa kwa namna ya taarifa rahisi: equation xn + yn = zn kwa n> 2 haiwezi kutatuliwa kwa nambari za busara, na kwa hiyo katika nambari kamili. Kwa njia, kwa kesi n = 3, mwanahisabati wa Asia ya Kati Al-Khojandi alijaribu kuthibitisha nadharia hii katika karne ya 10, lakini uthibitisho wake haukuishi.
Mzaliwa wa kusini mwa Ufaransa, Pierre Fermat alipata elimu ya sheria na kutoka 1631 aliwahi kuwa mshauri wa bunge la jiji la Toulouse (yaani, mahakama ya juu zaidi). Baada ya siku ya kazi ndani ya kuta za bunge, alichukua hisabati na mara moja akaingia katika ulimwengu tofauti kabisa. Pesa, heshima, kutambuliwa kwa umma - hakuna hata moja ya haya ambayo ilikuwa muhimu kwake. Sayansi haikuwahi kuwa riziki kwake, haikugeuka kuwa ufundi, siku zote ilibaki kuwa mchezo wa kusisimua wa akili, unaoeleweka kwa wachache tu. Aliendelea na mawasiliano yake nao.
Fermat hakuwahi kuandika karatasi za kisayansi kwa maana yetu ya kawaida. Na katika mawasiliano yake na marafiki daima kuna changamoto fulani, hata aina ya uchochezi, na kwa vyovyote vile hakuna uwasilishaji wa kitaaluma wa tatizo na ufumbuzi wake. Ndio maana barua zake nyingi baadaye zilikuja kuitwa changamoto.
Labda hii ndio sababu hajawahi kugundua nia yake ya kuandika insha maalum juu ya nadharia ya nambari. Wakati huo huo, hii ilikuwa eneo lake la hisabati alilopenda zaidi. Ilikuwa kwake kwamba Fermat alijitolea mistari iliyoongozwa zaidi ya barua zake. "Hesabu," aliandika, "ina uwanja wake, nadharia ya nambari kamili. Nadharia hii iliguswa kidogo tu na Euclid na haikuendelezwa vya kutosha na wafuasi wake (isipokuwa ilikuwa katika maandishi ya Diophantus, ambayo uharibifu wa wakati umetunyima). Wataalamu wa Hesabu, kwa hivyo, lazima waiendeleze na kuifanya upya."
Kwa nini Fermat mwenyewe hakuogopa madhara ya wakati? Aliandika kidogo na kila wakati kwa ufupi sana. Lakini, muhimu zaidi, hakuchapisha kazi yake. Wakati wa uhai wake zilisambazwa katika maandishi tu. Kwa hivyo, haishangazi kwamba matokeo ya Fermat kwenye nadharia ya nambari yametufikia katika hali ya kutawanyika. Lakini Bulgakov labda alikuwa sahihi: maandishi makubwa hayachomi! Kazi ya Fermat inabaki. Walibaki katika barua zake kwa marafiki: mwalimu wa hisabati wa Lyon Jacques de Billy, mfanyakazi wa mint Bernard Freniquel de Bessy, Marcenny, Descartes, Blaise Pascal ... Kilichobaki ni "Hesabu" ya Diophantus na maoni yake pembezoni, ambayo baada ya Kifo cha Fermat kilijumuishwa pamoja na maoni ya Bachet katika toleo jipya la Diophantus, lililochapishwa na mwanawe mkubwa Samweli mnamo 1670. Ushahidi wenyewe tu haujapona.
Miaka miwili kabla ya kifo chake, Fermat alimtumia rafiki yake Carcavi barua ya agano, ambayo ilishuka katika historia ya hisabati chini ya kichwa "Muhtasari wa matokeo mapya katika sayansi ya nambari." Katika barua hii, Fermat alithibitisha taarifa yake maarufu kwa kesi n = 4. Lakini basi uwezekano mkubwa hakuwa na nia ya taarifa yenyewe, lakini kwa njia ya uthibitisho aligundua, ambayo Fermat mwenyewe aliita asili isiyo na kipimo au isiyo na kipimo.
Nakala hazichomi. Lakini, kama sivyo kwa ajili ya kujitolea kwa Samweli, ambaye baada ya kifo cha baba yake alikusanya michoro yake yote ya hisabati na maandishi madogo, na kisha kuyachapisha mwaka wa 1679 chini ya kichwa “Kazi Mbalimbali za Hisabati,” wataalamu wa hesabu wangelazimika kugundua na kugundua tena mengi. . Lakini hata baada ya kuchapishwa kwao, shida zilizoletwa na mwanahisabati mkuu zilikaa bila kusonga kwa zaidi ya miaka sabini. Na hii haishangazi. Katika fomu ambayo walionekana kuchapishwa, matokeo ya nambari-nadharia ya P. Fermat yalionekana mbele ya wataalamu kwa namna ya matatizo makubwa ambayo hayakuwa wazi kila wakati kwa watu wa kisasa, karibu bila uthibitisho, na dalili za uhusiano wa ndani wa mantiki kati yao. Labda, kwa kukosekana kwa nadharia thabiti, iliyofikiriwa vizuri iko jibu la swali kwa nini Fermat mwenyewe hakuwahi kuamua kuchapisha kitabu juu ya nadharia ya nambari. Miaka sabini baadaye, L. Euler alipendezwa na kazi hizi, na hii ilikuwa kweli kuzaliwa kwao mara ya pili...
Hisabati ililipa sana njia ya kipekee ya Fermat ya kuwasilisha matokeo yake, kana kwamba aliacha uthibitisho wake kimakusudi. Lakini, ikiwa Fermat alidai kwamba alikuwa amethibitisha hii au nadharia hiyo, basi nadharia hii ilithibitishwa baadaye. Walakini, kulikuwa na hitch na theorem kubwa.
Siri daima husisimua mawazo. Mabara yote yalishindwa na tabasamu la ajabu la Gioconda; Nadharia ya uhusiano, kama ufunguo wa fumbo la miunganisho ya wakati wa nafasi, imekuwa nadharia maarufu zaidi ya karne hii. Na tunaweza kusema kwa usalama kwamba hapakuwa na tatizo lingine la hisabati ambalo lilikuwa maarufu kama ilivyokuwa ___93
Shida za kisayansi na kielimu za ulinzi wa raia
Nadharia ya Fermat ni nini? Jaribio la kuthibitisha hilo lilisababisha kuundwa kwa tawi la kina la hisabati - nadharia ya nambari za algebra, lakini (ole!) Theorem yenyewe ilibakia bila kuthibitishwa. Mnamo 1908, mwanahisabati Mjerumani Wolfskehl alitoa alama 100,000 kwa mtu yeyote ambaye angeweza kudhibitisha nadharia ya Fermat. Hiki kilikuwa kiasi kikubwa kwa nyakati hizo! Kwa wakati mmoja unaweza kuwa sio maarufu tu, bali pia kuwa tajiri sana! Kwa hivyo, haishangazi kwamba wanafunzi wa shule ya upili hata huko Urusi, mbali na Ujerumani, wakishindana, walikimbilia kudhibitisha nadharia kuu. Tunaweza kusema nini kuhusu wataalamu wa hisabati! Lakini ... bure! Baada ya Vita vya Kwanza vya Kidunia, pesa hazikuwa na maana, na mtiririko wa barua na ushahidi wa uwongo ulianza kukauka, ingawa, kwa kweli, haukuacha. Wanasema kwamba mwanahisabati maarufu wa Ujerumani Edmund Landau alitayarisha fomu zilizochapishwa ili kutuma kwa waandishi wa uthibitisho wa nadharia ya Fermat: "Kuna hitilafu kwenye ukurasa ..., kwenye mstari ...." (Profesa msaidizi alipewa jukumu la kutafuta hitilafu.) Kulikuwa na mambo mengi yasiyo ya kawaida na hadithi zinazohusiana na uthibitisho wa nadharia hii hivi kwamba mtu angeweza kukusanya kitabu kutokana nazo. Hadithi ya hivi punde zaidi ni hadithi ya upelelezi ya A. Marinina "Sadfa ya Mazingira," iliyorekodiwa na kuonyeshwa kwenye skrini za televisheni nchini humo Januari 2000. Ndani yake, mwenzetu anathibitisha nadharia ambayo haijathibitishwa na watangulizi wake wote wakuu na anadai Tuzo la Nobel kwa hilo. Kama unavyojua, mvumbuzi wa baruti alipuuza wanahisabati katika wosia wake, kwa hivyo mwandishi wa uthibitisho angeweza tu kudai Medali ya Dhahabu ya Fields, tuzo ya juu zaidi ya kimataifa iliyoidhinishwa na wanahisabati wenyewe mnamo 1936.
Katika kazi ya kitamaduni ya mwanahisabati bora wa Kirusi A.Ya. Khinchin, aliyejitolea kwa nadharia kuu ya Fermat, hutoa habari juu ya historia ya shida hii na anazingatia njia ambayo Fermat angeweza kutumia kudhibitisha nadharia yake. Uthibitisho wa kesi n = 4 na mapitio mafupi ya matokeo mengine muhimu hutolewa.
Lakini kufikia wakati hadithi ya upelelezi ilipoandikwa, na hata zaidi wakati iliporekodiwa, uthibitisho wa jumla wa nadharia hiyo ulikuwa tayari umepatikana. Mnamo Juni 23, 1993, katika mkutano wa nadharia ya nambari huko Cambridge, mwanahisabati wa Princeton Andrew Wiles alitangaza kwamba Theorem ya Mwisho ya Fermat imethibitishwa. Lakini sivyo kama Fermat mwenyewe "alivyoahidi". Njia ambayo Andrew Wiles alichukua haikutegemea njia za hesabu za kimsingi. Alisoma nadharia inayoitwa ya curves elliptic.
Ili kupata wazo la mikondo ya duaradufu, unahitaji kuzingatia mkondo wa ndege unaofafanuliwa na mlinganyo wa shahada ya tatu.
Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)
Curve zote kama hizo zimegawanywa katika madarasa mawili. Daraja la kwanza ni pamoja na zile curve zilizo na sehemu za kunoa (kama vile parabola ya nusu-cubic y2 = a2-X yenye ncha ya kunoa (0; 0)), sehemu za makutano (kama laha ya Cartesian x3+y3-3axy = 0 , kwa uhakika (0; 0)), pamoja na mikunjo ambayo polynomial Dx,y) inawakilishwa katika fomu
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
ambapo ^(x,y) na ^(x,y) ni polynomia za digrii za chini. Curve za darasa hili huitwa curves degenerate ya shahada ya tatu. Darasa la pili la curves linaundwa na curves zisizo na uharibifu; tutawaita elliptic. Hizi zinaweza kujumuisha, kwa mfano, Agnesi Curl (x2 + a2) y - a3 = 0). Ikiwa mgawo wa polimanomia (1) ni nambari za kimantiki, basi mkunjo wa duaradufu unaweza kubadilishwa kuwa ile inayoitwa umbo la kanuni.
y2= x3 + shoka + b. (2)
Mnamo 1955, mwanahisabati wa Kijapani Y. Taniyama (1927-1958), ndani ya mfumo wa nadharia ya curves elliptic, aliweza kuunda hypothesis ambayo ilifungua njia ya uthibitisho wa nadharia ya Fermat. Lakini si Taniyama mwenyewe wala wenzake waliotilia shaka hili wakati huo. Kwa karibu miaka ishirini nadharia hii haikuvutia umakini mkubwa na ikawa maarufu tu katikati ya miaka ya 70. Kulingana na dhana ya Taniyama, kila elliptic
curve yenye coefficients ya busara ni ya msimu. Walakini, hadi sasa uundaji wa nadharia hauelezei kidogo kwa msomaji makini. Kwa hivyo, ufafanuzi fulani unahitajika.
Kila curve ya mviringo inaweza kuhusishwa na tabia muhimu ya nambari - kibaguzi wake. Kwa curve iliyotolewa katika fomu ya kisheria (2), kibaguzi A huamuliwa na fomula
A = -(4a + 27b2).
Acha E iwe mkunjo wa duara unaotolewa na mlinganyo (2), ambapo a na b ni nambari kamili.
Kwa nambari kuu p, fikiria kulinganisha
y2 = x3 + shoka + b( mod p), (3)
ambapo a na b ni masalio kutoka kwa kugawanya nambari kamili a na b kwa p, na hebu tuonyeshe kwa np idadi ya masuluhisho ya ulinganisho huu. Nambari pr ni muhimu sana katika kusoma swali la utatuzi wa milinganyo ya fomu (2) katika nambari kamili: ikiwa pr fulani ni sawa na sifuri, basi equation (2) haina suluhu kamili. Walakini, inawezekana kuhesabu nambari tu katika hali nadra. (Wakati huo huo inajulikana kuwa р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).
Hebu tuzingatie nambari hizo kuu p zinazogawanya kibaguzi A cha mkunjo wa duaradufu (2). Inaweza kuthibitishwa kuwa kwa p vile polynomial x3 + ax + b inaweza kuandikwa kwa moja ya njia mbili:
x3 + shoka + b = (x + a)2 (x + ß)( mod P)
x3 + shoka + b = (x + y)3 ( mod p),
ambapo a, ß, y ni baadhi ya masalio kutoka mgawanyiko kwa p. Ikiwa kwa primes zote p kugawanya kibaguzi cha curve, uwezekano wa kwanza kati ya mbili zilizoonyeshwa hugunduliwa, basi curve ya mviringo inaitwa semistable.
Nambari kuu zinazogawanya kibaguzi zinaweza kuunganishwa katika kile kinachoitwa jig ya mviringo ya mviringo. Ikiwa E ni curve semistable, basi conductor N yake inatolewa na formula
ambapo kwa nambari zote kuu p > 5 kugawanya A, eP ya kipeo ni sawa na 1. Vielelezo 82 na 83 vinakokotolewa kwa kutumia algorithm maalum.
Kimsingi, hii ndiyo yote inahitajika ili kuelewa kiini cha uthibitisho. Hata hivyo, hypothesis ya Taniyama ina tata na, kwa upande wetu, dhana muhimu ya modularity. Kwa hiyo, hebu tusahau kuhusu curves za mviringo kwa muda na fikiria kazi ya uchambuzi f (yaani, kazi ambayo inaweza kuwakilishwa na mfululizo wa nguvu) ya hoja tata z, iliyotolewa katika nusu ya juu ya ndege.
Tunaashiria kwa H nusu-ndege tata ya juu. Acha N iwe nambari asilia na k iwe nambari kamili. Aina ya kimfano ya moduli ya uzani k ya kiwango cha N ni kitendakazi cha uchanganuzi f(z), kinachofafanuliwa katika nusu-ndege ya juu na kukidhi uhusiano.
f = (cz + d)kf (z) (5)
kwa nambari kamili a, b, c, d vile ae - bc = 1 na c inaweza kugawanywa na N. Kwa kuongeza, inachukuliwa kuwa
lim f (r + it) = 0,
ambapo r ni nambari ya busara, na hiyo
Nafasi ya aina za kimfano za msimu za uzani k wa kiwango cha N inaonyeshwa na Sk(N). Inaweza kuonyeshwa kuwa ina mwelekeo wa mwisho.
Katika kile kinachofuata, tutapendezwa hasa na aina za moduli za uzito wa 2. Kwa N ndogo, mwelekeo wa nafasi S2 (N) umewasilishwa katika Jedwali. 1. Hasa,
Vipimo vya nafasi S2(N)
Jedwali 1
N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
Kutoka kwa hali (5) inafuata kwamba % + 1) = kwa kila fomu f e S2 (N). Kwa hiyo, f ni kazi ya mara kwa mara. Kazi kama hiyo inaweza kuwakilishwa kama
Wacha tuite muundo wa kimfano wa kawaida A^) katika S2(N) sawa ikiwa vipatanishi vyake ni nambari kamili zinazokidhi uhusiano:
a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 kwa p rahisi ambayo haigawanyi nambari N; (8)
(ap) kwa nambari kuu inayogawanya nambari N;
atn = saa, ikiwa (t,n) = 1.
Hebu sasa tutengeneze ufafanuzi ambao una jukumu muhimu katika uthibitisho wa nadharia ya Fermat. Mviringo wa duaradufu ulio na mgawo wa busara na kondakta N huitwa moduli ikiwa kuna muundo kama huu wa eigen.
f (z) = ^anq" g S2(N),
kwamba ap = p - pr kwa karibu nambari zote kuu p. Hapa n kuna idadi ya suluhisho za kulinganisha (3).
Ni vigumu kuamini kuwepo kwa curve moja kama hiyo. Ni ngumu sana kufikiria kuwa kungekuwa na chaguo la kukokotoa A(r) ambalo linakidhi vizuizi vikali vilivyoorodheshwa (5) na (8), ambavyo vingepanuliwa kuwa safu (7), viambajengo vyake ambavyo vitahusishwa na visivyoweza kutekelezwa. nambari Pr. Lakini nadharia ya ujasiri ya Taniyama haikutia shaka hata kidogo juu ya ukweli wa kuwepo kwao, na nyenzo za majaribio zilizokusanywa kwa muda zilithibitisha uhalali wake. Baada ya miongo miwili ya kusahaulika kabisa, nadharia ya Taniyama ilipokea aina ya upepo wa pili katika kazi za mwanahisabati wa Ufaransa, mwanachama wa Chuo cha Sayansi cha Paris Andre Weil.
Alizaliwa mwaka wa 1906, A. Weil hatimaye akawa mmoja wa waanzilishi wa kikundi cha wanahisabati ambao walifanya kazi chini ya jina la bandia N. Bourbaki. Tangu 1958, A. Weil alikua profesa katika Taasisi ya Utafiti wa Juu ya Princeton. Na kuibuka kwa shauku yake katika jiometri ya abstract algebraic ilianza kipindi hiki. Katika miaka ya sabini aligeukia kazi za duaradufu na dhana ya Taniyama. Monograph juu ya kazi za mviringo ilitafsiriwa hapa nchini Urusi. Yeye si peke yake katika hobby yake. Mnamo mwaka wa 1985, mwanahisabati Mjerumani Gerhard Frey alipendekeza kwamba ikiwa nadharia ya Fermat ni ya uwongo, yaani, ikiwa kuna nambari tatu kamili a, b, c kiasi kwamba a" + bn = c" (n > 3), basi mduara wa mviringo.
y2 = x (x - a")-(x - cn)
haiwezi kuwa ya moduli, ambayo inapingana na dhana ya Taniyama. Frey mwenyewe alishindwa kuthibitisha kauli hii, lakini hivi karibuni uthibitisho huo ulipatikana na mwanahisabati wa Marekani Kenneth Ribet. Kwa maneno mengine, Ribet alionyesha kwamba nadharia ya Fermat ni tokeo la dhana ya Taniyama.
Alitunga na kuthibitisha nadharia ifuatayo:
Nadharia ya 1 (Ribet). Acha E iwe mkunjo wa duaradufu yenye viwiko vya busara na iwe na kibaguzi
na kondakta
Wacha tuchukue kuwa E ni moduli na acha
/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)
ni fomu inayolingana ya kiwango cha N. Tunarekebisha nambari kuu £, na
р:еР =1;- " 8 р
Kisha kuna fomu kama hiyo ya kimfano
/(g) = 2 dnqn e N)
na mgawo kamili hivi kwamba tofauti za - dn zinaweza kugawanywa na I kwa zote 1< п<ад.
Ni wazi kwamba ikiwa nadharia hii itathibitishwa kwa kielezi fulani, basi inathibitishwa kwa vielezi vyote vinavyogawanywa na n. kesi wakati kipeo ni 4 au nambari kuu isiyo ya kawaida. Kwa n = 4, uthibitisho wa kimsingi wa nadharia ya Fermat ulipatikana kwanza na Fermat mwenyewe, na kisha na Euler. Kwa hivyo, inatosha kusoma equation
a1 + b1 = c1, (12)
ambamo kipeo I ni nambari kuu isiyo ya kawaida.
Sasa nadharia ya Fermat inaweza kupatikana kwa hesabu rahisi (2).
Nadharia ya 2. Nadharia ya mwisho ya Fermat inafuata kutoka kwa dhana ya Taniyama kwa mikondo ya duaradufu inayopunguka.
Ushahidi. Wacha tuchukue kuwa nadharia ya Fermat ni ya uwongo, na kuwe na mfano unaolingana (kama hapo juu, hapa mimi ni mkuu isiyo ya kawaida). Wacha tutumie Nadharia ya 1 kwenye curve ya duaradufu
y2 = x (x - ae) (x - c1).
Mahesabu rahisi yanaonyesha kuwa kondakta wa curve hii hutolewa na formula
Kulinganisha fomula (11) na (13), tunaona kwamba N = 2. Kwa hiyo, kwa Theorem 1 kuna fomu ya kimfano.
kulala kwenye nafasi 82(2). Lakini kwa mujibu wa uhusiano (6), nafasi hii ni sifuri. Kwa hiyo, dn = 0 kwa wote n. Wakati huo huo, a ^ = 1. Kwa hiyo, tofauti ag - dl = 1 haijagawanywa na mimi na tunafika kwenye kupingana. Kwa hivyo, nadharia imethibitishwa.
Nadharia hii ilitoa ufunguo wa uthibitisho wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat. Na bado nadharia yenyewe ilibaki bado haijathibitishwa.
Baada ya kutangaza mnamo Juni 23, 1993, uthibitisho wa dhana ya Taniyama kwa mikondo ya duaradufu iliyopunguka, ambayo ni pamoja na mikondo ya fomu (8), Andrew Wiles alikuwa na haraka. Ilikuwa mapema sana kwa wanahisabati kusherehekea ushindi wao.
Majira ya joto yaliisha haraka, vuli ya mvua iliachwa, na msimu wa baridi ukaja. Wiles aliandika na kuandika upya toleo la mwisho la uthibitisho wake, lakini wenzake makini walipata makosa zaidi na zaidi katika kazi yake. Na hivyo, mapema Desemba 1993, siku chache kabla ya hati ya Wiles kuchapishwa, mapungufu makubwa katika ushahidi wake yaligunduliwa tena. Na kisha Wiles aligundua kuwa hangeweza kurekebisha chochote kwa siku moja au mbili. Hili lilihitaji uboreshaji mkubwa. Uchapishaji wa kazi ulipaswa kuahirishwa. Wiles alimgeukia Taylor kwa msaada. "Kufanyia kazi makosa" ilichukua zaidi ya mwaka mmoja. Toleo la mwisho la uthibitisho wa dhana ya Taniyama, iliyoandikwa na Wiles kwa kushirikiana na Taylor, ilichapishwa tu katika msimu wa joto wa 1995.
Tofauti na shujaa A. Marinina, Wiles hakuomba Tuzo ya Nobel, lakini bado ... alipaswa kupewa aina fulani ya tuzo. Lakini ni yupi? Wiles alikuwa tayari katika miaka hamsini wakati huo, na medali za dhahabu za Fields hupewa madhubuti hadi umri wa miaka arobaini, wakati kilele cha shughuli za ubunifu bado hakijapita. Na kisha waliamua kuanzisha tuzo maalum kwa Wiles - beji ya fedha ya Kamati ya Mashamba. Beji hii iliwasilishwa kwake katika kongamano lililofuata la hisabati huko Berlin.
Kati ya shida zote ambazo zinaweza, kwa uwezekano mkubwa au mdogo, kuchukua nafasi ya nadharia ya mwisho ya Fermat, shida ya upakiaji wa karibu wa mipira ina nafasi kubwa zaidi. Shida ya upakiaji mnene zaidi wa mipira inaweza kutengenezwa kama shida ya jinsi ya kukunja machungwa kiuchumi kuwa piramidi. Wanahisabati wachanga walirithi kazi hii kutoka kwa Johannes Kepler. Shida ilitokea mnamo 1611, Kepler alipoandika insha fupi "Juu ya Matambara ya theluji ya Hexagonal." Kupendezwa kwa Kepler katika mpangilio na kujipanga kwa chembe za jambo kulimfanya ajadili suala lingine - ufungashaji mwingi wa chembe, ambamo huchukua kiwango kidogo zaidi. Ikiwa tunadhania kwamba chembe zina sura ya mipira, basi ni wazi kwamba bila kujali jinsi ziko katika nafasi, bila shaka kutabaki mapungufu kati yao, na swali ni kupunguza kiasi cha mapungufu kwa kiwango cha chini. Katika kazi, kwa mfano, inasemwa (lakini haijathibitishwa) kwamba sura hiyo ni tetrahedron, axes ya kuratibu ndani ambayo huamua angle ya msingi ya orthogonality ya 109 ° 28 ", na si 90 °. Tatizo hili ni la umuhimu mkubwa kwa fizikia ya chembe, fuwele na matawi mengine ya sayansi asilia.
Fasihi
1. Weil A. Elliptic hufanya kazi kulingana na Eisenstein na Kronecker. - M., 1978.
2. Soloviev Yu.P. Dhana ya Taniyama na nadharia ya mwisho ya Fermat // Jarida la elimu la Soros. - Nambari 2. - 1998. - P. 78-95.
3. Nadharia ya Mwisho ya Singh S. Fermat. Hadithi ya fumbo ambalo limechukua akili bora zaidi ulimwenguni kwa miaka 358 / Trans. kutoka kwa Kiingereza Yu.A. Danilova. M.: MTsNMO. 2000. - 260 p.
4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Aljebra ya Quaternion na mzunguko wa pande tatu // Jarida hili No. 1 (1), 2008. - P. 75-80.
Kwa nambari kamili n zaidi ya 2, equation x n + y n = z n haina suluhu zisizo za kawaida katika nambari asilia.
Labda unakumbuka kutoka siku zako za shule Nadharia ya Pythagorean: Mraba wa hypotenuse wa pembetatu ya kulia ni sawa na jumla ya miraba ya miguu. Unaweza pia kukumbuka pembetatu ya kulia ya classic na pande ambazo urefu wake ni katika uwiano wa 3: 4: 5. Kwa ajili yake, theorem ya Pythagorean inaonekana kama hii:
Huu ni mfano wa kusuluhisha mlinganyo wa jumla wa Pythagorean katika nambari kamili za nonzero na n= 2. Nadharia ya Mwisho ya Fermat (pia inaitwa "Nadharia ya Mwisho ya Fermat" na "Nadharia ya Mwisho ya Fermat") ni kauli ambayo kwa maadili. n> milinganyo 2 ya fomu x n + y n = z n hazina suluhu zisizo za sifuri kwa nambari asilia.
Historia ya Nadharia ya Mwisho ya Fermat inavutia sana na inafundisha, na sio tu kwa wanahisabati. Pierre de Fermat alichangia maendeleo ya nyanja mbalimbali za hisabati, lakini sehemu kuu ya urithi wake wa kisayansi ilichapishwa baada ya kifo tu. Ukweli ni kwamba hisabati kwa Fermat ilikuwa kitu cha kupendeza, na sio kazi ya kitaalam. Aliwasiliana na wanahisabati wakuu wa wakati wake, lakini hakujitahidi kuchapisha kazi yake. Maandishi ya kisayansi ya Fermat yanapatikana hasa katika mfumo wa mawasiliano ya kibinafsi na maelezo mafupi, ambayo mara nyingi huandikwa kwenye ukingo wa vitabu mbalimbali. Iko kwenye pambizo (ya juzuu ya pili ya "Hesabu" ya Kigiriki ya kale ya Diophantus. - Kumbuka mfasiri) mara tu baada ya kifo cha mwanahisabati, wazao waligundua uundaji wa nadharia maarufu na maandishi:
« Nilipata uthibitisho mzuri sana wa hii, lakini nyanja hizi ni finyu sana kwake».
Ole, inaonekana, Fermat hakujisumbua kuandika "uthibitisho wa kimiujiza" aliopata, na wazao waliutafuta bila mafanikio kwa zaidi ya karne tatu. Kati ya urithi wote wa kisayansi uliotawanyika wa Fermat, ambao una taarifa nyingi za kushangaza, ilikuwa Theorem Kubwa ambayo ilikataa kwa ukaidi kutatuliwa.
Yeyote ambaye amejaribu kuthibitisha Nadharia ya Mwisho ya Fermat ni bure! Mwanahisabati mwingine mkubwa wa Kifaransa, René Descartes (1596-1650), alimwita Fermat "mtu mwenye majigambo," na mwanahisabati Mwingereza John Wallis (1616-1703) alimwita "Mfaransa mbaya." Fermat mwenyewe, hata hivyo, bado aliacha uthibitisho wa nadharia yake kwa kesi hiyo n= 4. Kwa uthibitisho kwa n= 3 ilitatuliwa na mwanahisabati mkubwa wa Uswizi-Urusi wa karne ya 18 Leonhard Euler (1707-83), baada ya hapo, hakuweza kupata ushahidi wa n> 4, alipendekeza kwa utani kwamba nyumba ya Fermat itafutwa ili kupata ufunguo wa ushahidi uliopotea. Katika karne ya 19, mbinu mpya katika nadharia ya nambari ilifanya iwezekane kudhibitisha taarifa hiyo kwa nambari kamili ndani ya 200, lakini tena, sio kwa wote.
Mnamo 1908, tuzo ya alama 100,000 za Kijerumani ilianzishwa kwa kutatua shida hii. Hazina ya zawadi ilipewa usia na mwana viwanda Mjerumani Paul Wolfskehl, ambaye, kulingana na hadithi, alikuwa anaenda kujiua, lakini alibebwa sana na Nadharia ya Mwisho ya Fermat hivi kwamba alibadili mawazo yake kuhusu kufa. Pamoja na ujio wa kuongeza mashine na kisha kompyuta, bar thamani n ilianza kupanda juu na juu - hadi 617 mwanzoni mwa Vita vya Kidunia vya pili, hadi 4001 mnamo 1954, hadi 125,000 mnamo 1976. Mwishoni mwa karne ya 20, kompyuta zenye nguvu zaidi katika maabara za kijeshi huko Los Alamos (New Mexico, Marekani) zilipangwa kutatua tatizo la Fermat nyuma (sawa na hali ya kiokoa skrini ya kompyuta ya kibinafsi). Kwa hivyo, iliwezekana kuonyesha kwamba nadharia ni kweli kwa maadili makubwa sana x, y, z Na n, lakini hii haikuweza kutumika kama uthibitisho mkali, kwa kuwa yoyote kati ya maadili yafuatayo n au sehemu tatu za nambari asilia zinaweza kukanusha nadharia hiyo kwa ujumla.
Hatimaye, mnamo 1994, mwanahisabati Mwingereza Andrew John Wiles (b. 1953), akifanya kazi huko Princeton, alichapisha uthibitisho wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat, ambayo, baada ya marekebisho kadhaa, ilionekana kuwa ya kina. Uthibitisho huo ulichukua zaidi ya kurasa mia za jarida na ulitegemea utumiaji wa vifaa vya kisasa vya hisabati ya hali ya juu, ambavyo havikutengenezwa katika enzi ya Fermat. Basi Fermat alimaanisha nini kwa kuacha ujumbe pembeni mwa kitabu kwamba amepata uthibitisho? Wanahisabati wengi ambao nilizungumza nao juu ya mada hii walisema kwamba kwa karne nyingi kumekuwa na uthibitisho usio sahihi zaidi wa nadharia ya Mwisho ya Fermat, na kwamba, uwezekano mkubwa, Fermat mwenyewe alikuwa amepata uthibitisho sawa, lakini alishindwa kutambua kosa. ndani yake. Hata hivyo, inawezekana kwamba bado kuna uthibitisho mfupi na wa kifahari wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat ambayo bado hakuna mtu aliyeipata. Jambo moja tu linaweza kusemwa kwa uhakika: leo tunajua kwa hakika kwamba theorem ni kweli. Wanahisabati wengi, nafikiri, wangekubaliana bila kusita na Andrew Wiles, aliyetaja uthibitisho wake: “Sasa hatimaye akili yangu iko katika amani.”