Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.
Wacha tuchunguze aina kadhaa za hesabu za logarithmic, ambazo hazijadiliwi mara nyingi katika masomo ya hisabati shuleni, lakini hutumiwa sana katika utayarishaji wa kazi za ushindani, pamoja na Mtihani wa Jimbo la Umoja.
1. Milinganyo kutatuliwa kwa mbinu ya logariti
Wakati wa kusuluhisha milinganyo iliyo na tofauti katika msingi na kipeo, njia ya logarithm hutumiwa. Ikiwa, wakati huo huo, kipeo kikuu kina logariti, basi pande zote mbili za mlingano lazima ziwe na logariti hadi msingi wa logariti hii.
Mfano 1.
Tatua mlingano: x kumbukumbu 2 x+2 = 8.
Suluhisho.
Wacha tuchukue logariti ya pande za kushoto na kulia za equation hadi msingi 2. Tunapata
logi 2 (x logi 2 x + 2) = logi 2 8,
(logi 2 x + 2) logi 2 x = 3.
Acha logi 2 x = t.
Kisha (t + 2) t = 3.
t 2 + 2t - 3 = 0.
D = 16. t 1 = 1; t 2 = -3.
Kwa hivyo logi 2 x = 1 na x 1 = 2 au logi 2 x = -3 na x 2 =1/8
Jibu: 1/8; 2.
2. Milinganyo ya logarithmic ya homogeneous.
Mfano 2.
Tatua kumbukumbu ya mlinganyo 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3logi 3 (x + 5) logi 3 (x 2 – 3x + 4) – 2logi 2 3 (x + 5) = 0
Suluhisho.
Kikoa cha equation
(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.
logi 3 (x + 5) = 0 kwa x = -4. Kwa kuangalia tunaamua kuwa thamani hii ya x sio 
ndio mzizi wa mlingano asilia. Kwa hiyo, tunaweza kugawanya pande zote mbili za equation kwa logi 2 3 (x + 5).
Tunapata logi 2 3 (x 2 - 3x + 4) / logi 2 3 (x + 5) - 3 logi 3 (x 2 - 3x + 4) / logi 3 (x + 5) + 2 = 0.
Hebu logi 3 (x 2 - 3x + 4) / logi 3 (x + 5) = t. Kisha t 2 - 3 t + 2 = 0. Mizizi ya equation hii ni 1; 2. Kurudi kwa kutofautiana kwa asili, tunapata seti ya equations mbili
Lakini kwa kuzingatia kuwepo kwa logariti, tunahitaji kuzingatia tu maadili (0; 9]. Hii ina maana kwamba usemi ulio upande wa kushoto huchukua thamani kubwa zaidi 2 kwa x = 1. Sasa fikiria chaguo la kukokotoa y = 2 x-1 + 2 1-x Ikiwa tunachukua t = 2 x -1, basi itachukua fomu y = t + 1/t, ambapo t > 0. Chini ya hali hiyo, ina hatua moja muhimu t. = 1. Hii ndio kiwango cha chini zaidi Y vin = 2. Na inafikiwa kwa x = 1.
Sasa ni dhahiri kwamba grafu za kazi zinazozingatiwa zinaweza kuingiliana mara moja tu kwa uhakika (1; 2). Inabadilika kuwa x = 1 ndio mzizi pekee wa equation inayotatuliwa.
Jibu: x = 1.
Mfano 5. Tatua logi ya mlinganyo 2 2 x + (x – 1) logi 2 x = 6 – 2x
Suluhisho.
Wacha tusuluhishe mlingano huu kwa logi 2 x. Acha logi 2 x = t. Kisha t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.
D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t 1 = -2; t 2 = 3 - x.
Tunapata logi ya equation 2 x = -2 au logi 2 x = 3 - x.
Mzizi wa equation ya kwanza ni x 1 = 1/4. 
Tutapata mzizi wa logi ya equation 2 x = 3 - x kwa uteuzi. Hii ndiyo nambari 2. Mzizi huu ni wa kipekee, kwani kazi y = logi 2 x inaongezeka katika kikoa kizima cha ufafanuzi, na kazi y = 3 - x inapungua.
Ni rahisi kuangalia kwamba nambari zote mbili ni mizizi ya equation
Jibu:1/4; 2.
tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.
Leo tutajifunza jinsi ya kutatua equations rahisi zaidi za logarithmic, ambapo hakuna mabadiliko ya awali au uteuzi wa mizizi unahitajika. Lakini ukijifunza kutatua equations vile, basi itakuwa rahisi zaidi.
Mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic ni mlinganyo wa logi ya fomu f (x) = b, ambapo a, b ni nambari (a > 0, a ≠ 1), f (x) ni chaguo fulani cha kukokotoa.
Kipengele tofauti cha milinganyo yote ya logarithmic ni kuwepo kwa mabadiliko ya x chini ya ishara ya logarithmu. Ikiwa hii ndio equation iliyopewa hapo awali kwenye shida, inaitwa rahisi zaidi. Milinganyo nyingine yoyote ya logarithmic hupunguzwa hadi rahisi zaidi kwa mabadiliko maalum (ona "Sifa za kimsingi za logarithms"). Walakini, hila nyingi lazima zizingatiwe: mizizi ya ziada inaweza kutokea, kwa hivyo hesabu ngumu za logarithmic zitazingatiwa kando.
Jinsi ya kutatua equations kama hizo? Inatosha kuchukua nafasi ya nambari ya kulia ya ishara sawa na logarithm katika msingi sawa na wa kushoto. Kisha unaweza kuondokana na ishara ya logarithm. Tunapata:
logi a f (x) = b ⇒ logi a f (x) = gogo a a b ⇒ f (x) = a b
Tulipata equation ya kawaida. Mizizi yake ni mizizi ya equation ya awali.
Kuchukua digrii
Mara nyingi, milinganyo ya logarithmic, ambayo kwa nje inaonekana changamano na ya kutisha, hutatuliwa kwa mistari michache tu bila kuhusisha fomula changamano. Leo tutaangalia shida kama hizo, ambapo kinachohitajika kwako ni kupunguza kwa uangalifu fomula kwa fomu ya kisheria na sio kuchanganyikiwa wakati wa kutafuta kikoa cha ufafanuzi wa logarithms.
Leo, kama ulivyokisia kutoka kwa mada, tutasuluhisha milinganyo ya logarithmic kwa kutumia fomula za mpito hadi fomu ya kisheria. "Ujanja" kuu wa somo hili la video utafanya kazi na digrii, au tuseme, kutoa digrii kutoka kwa msingi na hoja. Wacha tuangalie sheria:
Vivyo hivyo, unaweza kupata digrii kutoka kwa msingi:
Kama tunavyoona, ikiwa tunapoondoa digrii kutoka kwa hoja ya logarithm tunakuwa na sababu ya ziada mbele, basi tunapoondoa digrii kutoka kwa msingi hatupati tu sababu, lakini sababu iliyogeuzwa. Hili linahitaji kukumbukwa.
Hatimaye, jambo la kuvutia zaidi. Njia hizi zinaweza kuunganishwa, kisha tunapata:
Bila shaka, wakati wa kufanya mabadiliko haya, kuna vikwazo fulani vinavyohusishwa na upanuzi unaowezekana wa upeo wa ufafanuzi au, kinyume chake, kupungua kwa upeo wa ufafanuzi. Jihukumu mwenyewe:
logi 3 x 2 = 2 ∙ logi 3 x
Ikiwa katika kesi ya kwanza x inaweza kuwa nambari yoyote zaidi ya 0, i.e. hitaji x ≠ 0, basi katika kesi ya pili tunaridhika na x tu, ambayo sio tu sio sawa, lakini kubwa zaidi kuliko 0, kwa sababu kikoa cha ufafanuzi wa logariti ni kwamba hoja iwe kubwa zaidi kuliko 0. Kwa hivyo, nitakukumbusha kuhusu fomula nzuri kutoka kwa kozi ya aljebra ya daraja la 8-9:
Hiyo ni, lazima tuandike fomula yetu kama ifuatavyo:
gogo 3 x 2 = 2 ∙ gogo 3 |x |
Kisha hakuna upungufu wa upeo wa ufafanuzi utatokea.
Hata hivyo, katika mafunzo ya video ya leo hakutakuwa na mraba. Ukiangalia kazi zetu, utaona mizizi tu. Kwa hivyo, hatutatumia sheria hii, lakini bado unahitaji kuikumbuka ili kwa wakati unaofaa, unapoona kazi ya quadratic katika hoja au msingi wa logarithm, utakumbuka sheria hii na kufanya yote. mabadiliko kwa usahihi.
Kwa hivyo equation ya kwanza ni:
Ili kutatua tatizo hili, ninapendekeza kuangalia kwa makini kila masharti yaliyopo kwenye fomula.
Wacha tuandike tena muhula wa kwanza kama mamlaka yenye kipeo cha busara:
Tunaangalia muhula wa pili: logi 3 (1 - x). Hakuna haja ya kufanya chochote hapa, kila kitu tayari kimebadilishwa hapa.
Hatimaye, 0, 5. Kama nilivyosema katika masomo yaliyotangulia, wakati wa kutatua milinganyo na fomula za logarithmic, ninapendekeza sana kuhama kutoka kwa sehemu za desimali hadi za kawaida. Hebu tufanye hivi:
0,5 = 5/10 = 1/2
Hebu tuandike upya fomula yetu ya asili kwa kuzingatia masharti yanayotokana:
logi 3 (1 − x ) = 1
Sasa hebu tuendelee kwenye fomu ya kisheria:
logi 3 (1 − x ) = logi 3 3
Tunaondoa ishara ya logarithm kwa kusawazisha hoja:
1 − x = 3
−x = 2
x = -2
Hiyo ndiyo yote, tumesuluhisha equation. Walakini, wacha tuicheze salama na tupate kikoa cha ufafanuzi. Ili kufanya hivyo, wacha turudi kwenye fomula asili na tuone:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Mzizi wetu x = −2 unakidhi hitaji hili, kwa hivyo x = -2 ni suluhu la mlingano asilia. Sasa tumepokea uthibitisho mkali na wazi. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Wacha tuangalie kila neno tofauti.
Wacha tuandike ya kwanza:
Tumebadilisha muhula wa kwanza. Tunafanya kazi na muhula wa pili:
Hatimaye, muhula wa mwisho, ulio upande wa kulia wa ishara sawa:
Tunabadilisha misemo inayotokana badala ya maneno katika fomula inayotokana:
kumbukumbu 3 x = 1
Wacha tuendelee kwenye fomu ya kisheria:
kumbukumbu 3 x = kumbukumbu 3 3
Tunaondoa ishara ya logarithm, tukilinganisha hoja, na tunapata:
x = 3
Tena, ili tu kuwa katika upande salama, wacha turudi kwenye mlinganyo wa asili na tuangalie. Katika fomula asili, kutofautisha x iko tu kwenye hoja, kwa hivyo,
x> 0
Katika logarithm ya pili, x iko chini ya mzizi, lakini tena katika hoja, kwa hiyo, mzizi lazima uwe mkubwa zaidi kuliko 0, yaani, usemi mkali lazima uwe mkubwa kuliko 0. Tunaangalia mizizi yetu x = 3. Ni wazi, ni. inakidhi hitaji hili. Kwa hivyo, x = 3 ni suluhisho la mlinganyo wa asili wa logarithmic. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.
Kuna mambo mawili muhimu katika somo la video la leo:
1) usiogope kubadilisha logarithms na, haswa, usiogope kuchukua nguvu kutoka kwa ishara ya logarithm, huku ukikumbuka formula yetu ya kimsingi: wakati wa kuondoa nguvu kutoka kwa hoja, inatolewa tu bila mabadiliko. kama kizidishi, na wakati wa kuondoa nguvu kutoka kwa msingi, nguvu hii inageuzwa.
2) hatua ya pili inahusiana na fomu ya kisheria yenyewe. Tulifanya mpito hadi umbo la kisheria mwishoni kabisa mwa ubadilishaji wa fomula ya mlingano wa logarithmic. Acha nikukumbushe formula ifuatayo:
a = logi b b a
Bila shaka, kwa maneno "nambari yoyote b", ninamaanisha namba hizo zinazokidhi mahitaji yaliyowekwa kwa msingi wa logarithm, i.e.
1 ≠ b > 0
Kwa vile b, na kwa kuwa tayari tunajua msingi, mahitaji haya yatatimizwa moja kwa moja. Lakini kwa vile b - yoyote inayokidhi hitaji hili - mpito huu unaweza kufanywa, na tutapata fomu ya kisheria ambayo tunaweza kuondokana na ishara ya logarithm.
Kupanua kikoa cha ufafanuzi na mizizi ya ziada
Katika mchakato wa kubadilisha milinganyo ya logarithmic, upanuzi usio wazi wa kikoa cha ufafanuzi unaweza kutokea. Mara nyingi wanafunzi hawaoni hata hii, ambayo husababisha makosa na majibu yasiyo sahihi.
Hebu tuanze na miundo rahisi zaidi. Mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic ni ufuatao:
logi a f (x) = b
Kumbuka kuwa x iko katika hoja moja tu ya logarithm moja. Je, tunatatua vipi milinganyo kama hii? Tunatumia fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, fikiria nambari b = logi a b, na equation yetu itaandikwa tena kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a a b
Ingizo hili linaitwa fomu ya kisheria. Ni kwa hili unapaswa kupunguza equation yoyote ya logarithmic ambayo utakutana nayo sio tu katika somo la leo, lakini pia katika kazi yoyote ya kujitegemea na ya mtihani.
Jinsi ya kufikia fomu ya kisheria na mbinu gani za kutumia ni suala la mazoezi. Jambo kuu kuelewa ni kwamba mara tu unapopokea rekodi hiyo, unaweza kuzingatia tatizo kutatuliwa. Kwa sababu hatua inayofuata ni kuandika:
f (x) = a b
Kwa maneno mengine, tunaondoa ishara ya logarithm na kusawazisha hoja.
Kwa nini mazungumzo haya yote? Ukweli ni kwamba fomu ya kisheria haitumiki tu kwa shida rahisi, bali pia kwa wengine wowote. Hasa, wale ambao tutaamua leo. Hebu tuangalie.
Jukumu la kwanza:
Je, mlingano huu una tatizo gani? Ukweli ni kwamba kazi iko katika logarithms mbili mara moja. Shida inaweza kupunguzwa kuwa rahisi zaidi kwa kutoa logarithm moja kutoka kwa nyingine. Lakini matatizo hutokea kwa eneo la ufafanuzi: mizizi ya ziada inaweza kuonekana. Kwa hivyo hebu tusogeze moja ya logariti kulia:
Ingizo hili linafanana zaidi na fomu ya kisheria. Lakini kuna nuance moja zaidi: katika fomu ya kisheria, hoja lazima ziwe sawa. Na upande wa kushoto tuna logarithm katika msingi 3, na upande wa kulia katika msingi 1/3. Anajua kuwa besi hizi zinahitaji kuletwa kwa idadi sawa. Kwa mfano, hebu tukumbuke nguvu hasi ni nini:
Na kisha tutatumia kielezi "-1" nje ya logi kama kizidishi:
Tafadhali kumbuka: shahada iliyokuwa kwenye msingi inageuzwa na kugeuka kuwa sehemu. Tulipata nukuu karibu ya kisheria kwa kuondoa misingi tofauti, lakini kwa kurudi tulipata sababu "-1" upande wa kulia. Wacha tuzingatie jambo hili katika hoja kwa kuibadilisha kuwa nguvu:
Kwa kweli, baada ya kupokea fomu ya kisheria, tunavuka kwa ujasiri ishara ya logarithm na kusawazisha hoja. Wakati huo huo, wacha nikukumbushe kwamba inapoinuliwa kwa nguvu "-1", sehemu hiyo inageuzwa tu - sehemu hupatikana.
Wacha tutumie mali ya msingi ya uwiano na kuizidisha kwa njia tofauti:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x -8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20
2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Tunayo equation ya quadratic hapo juu, kwa hivyo tunaitatua kwa kutumia fomula za Vieta:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
Ni hayo tu. Je, unadhani mlinganyo umetatuliwa? Hapana! Kwa suluhisho kama hilo tutapokea alama 0, kwa sababu equation ya asili ina logarithms mbili na x tofauti. Kwa hiyo, ni muhimu kuzingatia uwanja wa ufafanuzi.
Na hapa ndipo furaha huanza. Wanafunzi wengi wamechanganyikiwa: ni kikoa gani cha ufafanuzi wa logarithm? Kwa kweli, hoja zote (tuna mbili) lazima ziwe kubwa kuliko sifuri:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Kila moja ya usawa huu lazima kutatuliwa, alama kwenye mstari wa moja kwa moja, kuingiliana, na kisha tu kuonekana ambayo mizizi iko kwenye makutano.
Nitakuwa mwaminifu: mbinu hii ina haki ya kuwepo, inaaminika, na utapata jibu sahihi, lakini kuna hatua nyingi zisizohitajika ndani yake. Kwa hivyo wacha tupitie suluhisho letu tena na tuone: ni wapi tunahitaji kutumia upeo? Kwa maneno mengine, unahitaji kuelewa wazi wakati mizizi ya ziada inaonekana.
- Hapo awali tulikuwa na logariti mbili. Kisha tukahamisha mmoja wao kwa haki, lakini hii haikuathiri eneo la ufafanuzi.
- Kisha tunaondoa nguvu kutoka kwa msingi, lakini bado kuna logarithms mbili, na katika kila mmoja wao kuna kutofautiana x.
- Hatimaye, tunavuka ishara za logi na kupata mlinganyo wa kimantiki wa kimantiki.
Ni katika hatua ya mwisho kwamba wigo wa ufafanuzi unapanuliwa! Mara tu tulipohamia mlinganyo wa kimantiki, tukiondoa alama za kumbukumbu, mahitaji ya mabadiliko ya x yalibadilika sana!
Kwa hivyo, kikoa cha ufafanuzi kinaweza kuzingatiwa sio mwanzoni mwa suluhisho, lakini tu kwa hatua iliyotajwa - kabla ya kusawazisha hoja moja kwa moja.
Hapa ndipo fursa ya uboreshaji ilipo. Kwa upande mmoja, tunatakiwa kwamba hoja zote mbili ziwe kubwa kuliko sifuri. Kwa upande mwingine, tunalinganisha zaidi hoja hizi. Kwa hiyo, ikiwa angalau mmoja wao ni chanya, basi ya pili pia itakuwa chanya!
Kwa hiyo inageuka kuwa kuhitaji usawa mbili kutimizwa mara moja ni overkill. Inatosha kuzingatia moja tu ya sehemu hizi. Gani? Ile ambayo ni rahisi zaidi. Kwa mfano, hebu tuangalie sehemu ya mkono wa kulia:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Huu ni usawa wa kawaida wa kimantiki; tunasuluhisha kwa kutumia njia ya muda:
Jinsi ya kuweka ishara? Wacha tuchukue nambari ambayo ni wazi zaidi kuliko mizizi yetu yote. Kwa mfano, bilioni 1. Na sisi mbadala sehemu yake. Tunapata nambari nzuri, i.e. kwa haki ya mzizi x = 5 kutakuwa na ishara ya kuongeza.
Kisha ishara hubadilishana, kwa sababu hakuna mizizi ya kuzidisha hata mahali popote. Tunavutiwa na vipindi ambapo chaguo la kukokotoa ni chanya. Kwa hivyo, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Sasa hebu tukumbuke majibu: x = 8 na x = 2. Kwa kweli, haya sio majibu bado, lakini ni watahiniwa tu wa jibu. Ni ipi kati ya seti iliyobainishwa? Bila shaka, x = 8. Lakini x = 2 haifai sisi kwa suala la uwanja wake wa ufafanuzi.
Kwa jumla, jibu la equation ya kwanza ya logarithmic itakuwa x = 8. Sasa tuna suluhisho linalofaa, la msingi, kwa kuzingatia uwanja wa ufafanuzi.
Wacha tuendelee kwenye equation ya pili:
gogo 5 (x - 9) = gogo 0.5 4 - gogo 5 (x - 5) + 3
Acha nikukumbushe kwamba ikiwa kuna sehemu ya decimal katika equation, basi unapaswa kuiondoa. Kwa maneno mengine, wacha tuandike tena 0.5 kama sehemu ya kawaida. Mara moja tunagundua kuwa logarithm iliyo na msingi huu inahesabiwa kwa urahisi:
Huu ni wakati muhimu sana! Tunapokuwa na digrii katika msingi na hoja, tunaweza kupata viashiria vya digrii hizi kwa kutumia fomula:
Wacha turudi kwenye mlinganyo wetu wa asili wa logarithmic na tuiandike upya:
logi 5 (x - 9) = 1 - gogo 5 (x - 5)
Tulipata muundo karibu kabisa na fomu ya kisheria. Walakini, tumechanganyikiwa na masharti na ishara ya kuondoa iliyo upande wa kulia wa ishara sawa. Wacha tuwakilishe moja kama logarithm kwa msingi wa 5:
gogo 5 (x - 9) = gogo 5 5 1 - gogo 5 (x - 5)
Ondoa logariti upande wa kulia (katika kesi hii hoja zao zimegawanywa):
gogo 5 (x - 9) = gogo 5 5/(x -5)
Ajabu. Kwa hivyo tulipata fomu ya kisheria! Tunavuka alama za kumbukumbu na kusawazisha hoja:
(x − 9)/1 = 5/(x - 5)
Hii ni sehemu ambayo inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kuzidisha kwa njia tofauti:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Ni wazi, tuna equation ya quadratic iliyopunguzwa. Inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia fomula za Vieta:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Tuna mizizi miwili. Lakini haya si majibu ya mwisho, bali watahiniwa pekee, kwa sababu mlingano wa logarithmic pia unahitaji kuangalia kikoa cha ufafanuzi.
Nakukumbusha: hakuna haja ya kutafuta wakati kila ya hoja itakuwa kubwa kuliko sifuri. Inatosha kuhitaji kwamba hoja moja—ama x – 9 au 5/(x – 5)—iwe kubwa kuliko sifuri. Fikiria hoja ya kwanza:
x − 9 > 0
x> 9
Ni wazi, x = 10 pekee inakidhi hitaji hili. Hili ndilo jibu la mwisho. Tatizo zima linatatuliwa.
Kwa mara nyingine tena, mawazo muhimu ya somo la leo:
- Mara tu mabadiliko ya x yanapoonekana katika logariti kadhaa, equation hukoma kuwa ya msingi, na kikoa cha ufafanuzi italazimika kuhesabiwa kwa hilo. Vinginevyo, unaweza kuandika kwa urahisi mizizi ya ziada katika jibu.
- Kufanya kazi na kikoa yenyewe kunaweza kurahisishwa kwa kiasi kikubwa ikiwa tutaandika ukosefu wa usawa sio mara moja, lakini haswa wakati tunapoondoa ishara za logi. Baada ya yote, wakati hoja zinalinganishwa kwa kila mmoja, inatosha kuhitaji kwamba moja tu yao ni kubwa kuliko sifuri.
Bila shaka, sisi wenyewe tunachagua hoja gani ya kutumia ili kuunda usawa, kwa hiyo ni busara kuchagua moja rahisi zaidi. Kwa mfano, katika mlingano wa pili tulichagua hoja (x - 9), chaguo la kukokotoa la mstari, kinyume na hoja ya pili ya kimantiki. Kubali, kutatua ukosefu wa usawa x - 9 > 0 ni rahisi zaidi kuliko 5/(x - 5) > 0. Ingawa matokeo ni sawa.
Usemi huu hurahisisha sana utaftaji wa ODZ, lakini kuwa mwangalifu: unaweza kutumia usawa mmoja badala ya mbili ikiwa tu hoja ziko sawa. ni sawa kwa kila mmoja!
Bila shaka, mtu sasa atauliza: nini kinatokea tofauti? Ndiyo, wakati mwingine. Kwa mfano, katika hatua yenyewe, tunapozidisha hoja mbili zilizo na kutofautiana, kuna hatari ya kuonekana kwa mizizi isiyohitajika.
Jaji mwenyewe: kwanza inahitajika kwamba kila hoja iwe kubwa kuliko sifuri, lakini baada ya kuzidisha ni ya kutosha kwamba bidhaa zao ziwe kubwa kuliko sifuri. Kama matokeo, kesi ambapo kila sehemu hizi ni hasi hukosa.
Kwa hivyo, ikiwa unaanza kuelewa hesabu ngumu za logarithmic, kwa hali yoyote usizidishe logarithm zilizo na x - hii mara nyingi itasababisha kuonekana kwa mizizi isiyo ya lazima. Ni bora kuchukua hatua moja ya ziada, kuhamisha muda mmoja hadi upande mwingine na kuunda fomu ya kisheria.
Kweli, nini cha kufanya ikiwa huwezi kufanya bila kuzidisha logarithm kama hizo, tutajadili katika somo linalofuata la video. :)
Kwa mara nyingine tena juu ya nguvu katika equation
Leo tutachunguza mada yenye utelezi zaidi kuhusu milinganyo ya logarithmic, au kwa usahihi zaidi, kuondolewa kwa mamlaka kutoka kwa hoja na misingi ya logariti.
Ningesema hata kwamba tutazungumza juu ya kuondolewa kwa nguvu hata, kwa sababu ni kwa nguvu hata kwamba shida nyingi hutokea wakati wa kutatua hesabu halisi za logarithmic.
Wacha tuanze na fomu ya kisheria. Wacha tuseme tuna mlingano wa logi ya fomu f (x) = b. Katika kesi hii, tunaandika tena nambari b kwa kutumia formula b = logi a b . Inageuka yafuatayo:
logi a f (x) = logi a a b
Kisha tunalinganisha hoja:
f (x) = a b
Fomula ya mwisho inaitwa fomu ya kisheria. Ni kwa hili kwamba wanajaribu kupunguza equation yoyote ya logarithmic, bila kujali jinsi ngumu na ya kutisha inaweza kuonekana kwa mtazamo wa kwanza.
Basi hebu tujaribu. Wacha tuanze na kazi ya kwanza:
Kumbuka ya awali: kama nilivyokwisha sema, sehemu zote za decimal katika equation ya logarithmic hubadilishwa bora kuwa za kawaida:
0,5 = 5/10 = 1/2
Hebu tuandike upya mlingano wetu kwa kuzingatia ukweli huu. Kumbuka kuwa zote 1/1000 na 100 ni nguvu za kumi, na kisha tutoe mamlaka popote zilipo: kutoka kwa hoja na hata msingi wa logarithms:
Na hapa wanafunzi wengi wana swali: "Moduli ya kulia ilitoka wapi?" Kwa kweli, kwa nini usiandike tu (x - 1)? Kwa kweli, sasa tutaandika (x - 1), lakini kwa kuzingatia kikoa cha ufafanuzi kinatupa haki ya nukuu kama hiyo. Baada ya yote, logarithm nyingine tayari ina (x - 1), na usemi huu lazima uwe mkubwa kuliko sifuri.
Lakini tunapoondoa mraba kutoka kwa msingi wa logarithm, lazima tuondoke hasa moduli kwenye msingi. Acha nieleze kwa nini.
Ukweli ni kwamba, kwa mtazamo wa hisabati, kuchukua shahada ni sawa na kuchukua mzizi. Hasa, tunapoweka mraba wa usemi (x - 1) 2, kimsingi tunachukua mzizi wa pili. Lakini mzizi wa mraba sio kitu zaidi ya moduli. Hasa moduli, kwa sababu hata kama usemi x − 1 ni hasi, ukiwa na mraba, "minus" bado itateketea. Uchimbaji zaidi wa mzizi utatupa nambari nzuri - bila minuses yoyote.
Kwa ujumla, ili kuzuia kufanya makosa ya kukasirisha, kumbuka mara moja na kwa wote:
Mzizi wa nguvu sawa ya utendaji wowote unaoinuliwa kwa nguvu sawa si sawa na kazi yenyewe, lakini moduli yake:
Wacha turudi kwenye mlingano wetu wa logarithmic. Kuzungumza juu ya moduli, nilisema kwamba tunaweza kuiondoa bila uchungu. Hii ni kweli. Sasa nitaeleza kwa nini. Kwa kweli, tulilazimika kuzingatia chaguzi mbili:
- x − 1 > 0 ⇒ |x - 1| = x - 1
- x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Kila moja ya chaguzi hizi itahitaji kushughulikiwa. Lakini kuna mtego mmoja: fomula asili tayari ina kazi (x - 1) bila moduli yoyote. Na kwa kufuata kikoa cha ufafanuzi wa logariti, tuna haki ya kuandika mara moja kwamba x - 1 > 0.
Sharti hili lazima litimizwe bila kujali moduli zozote na mabadiliko mengine tunayofanya katika mchakato wa utatuzi. Kwa hiyo, hakuna maana katika kuzingatia chaguo la pili - haitatokea kamwe. Hata tukipata nambari fulani wakati wa kusuluhisha tawi hili la ukosefu wa usawa, bado hazitajumuishwa kwenye jibu la mwisho.
Sasa tuko hatua moja mbali na umbo la kisheria la mlingano wa logarithmic. Wacha tuwakilishe kitengo kama ifuatavyo:
1 = logi x − 1 (x - 1) 1
Kwa kuongezea, tunatanguliza kipengele -4, ambacho kiko upande wa kulia, kwenye hoja:
gogo x - 1 10 −4 = gogo x - 1 (x - 1)
Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlingano wa logarithmic. Tunaondoa ishara ya logarithm:
10 −4 = x -1
Lakini kwa kuwa msingi ulikuwa chaguo za kukokotoa (na sio nambari kuu), tunahitaji pia kwamba chaguo hili la kukokotoa liwe kubwa kuliko sifuri na si sawa na moja. Mfumo wa matokeo utakuwa:
Kwa kuwa hitaji la x - 1 > 0 linakidhiwa kiotomatiki (baada ya yote, x - 1 = 10 -4), moja ya ukosefu wa usawa inaweza kufutwa kutoka kwa mfumo wetu. Hali ya pili inaweza pia kuvuka, kwa sababu x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0.0001 = 1.0001
Huu ndio mzizi pekee ambao unakidhi mahitaji yote ya kikoa cha ufafanuzi wa logarithm (hata hivyo, mahitaji yote yaliondolewa kama yalivyotimizwa wazi katika hali ya shida yetu).
Kwa hivyo equation ya pili:
logi 3 3 x x = kumbukumbu 2 9 x 2
Je, mlinganyo huu kimsingi ni tofauti na ule uliopita? Ikiwa tu kwa sababu besi za logarithms - 3x na 9x - sio nguvu za asili za kila mmoja. Kwa hiyo, mpito tuliyotumia katika ufumbuzi uliopita hauwezekani.
Wacha angalau tuachane na digrii. Kwa upande wetu, shahada pekee iko katika hoja ya pili:
logi 3 3 x x = 2 ∙ logi 2 9 x |x |
Hata hivyo, ishara ya modulus inaweza kuondolewa, kwa sababu variable x pia iko kwenye msingi, i.e. x > 0 ⇒ |x| = x. Wacha tuandike upya mlingano wetu wa logarithmic:
logi 3 3 x x = 4 kumbukumbu 9 x x
Tumepata logarithmu ambazo hoja ni sawa, lakini misingi ni tofauti. Nini cha kufanya baadaye? Kuna chaguzi nyingi hapa, lakini tutazingatia mbili tu kati yao, ambazo ni za mantiki zaidi, na muhimu zaidi, hizi ni mbinu za haraka na zinazoeleweka kwa wanafunzi wengi.
Tayari tumezingatia chaguo la kwanza: katika hali yoyote isiyoeleweka, badilisha logarithms zilizo na msingi wa kutofautisha hadi msingi wa kila wakati. Kwa mfano, kwa deuce. Njia ya mpito ni rahisi:
Bila shaka, jukumu la kutofautiana c linapaswa kuwa namba ya kawaida: 1 ≠ c > 0. Hebu katika kesi yetu c = 2. Sasa tuna mbele yetu equation ya kawaida ya kimantiki. Tunakusanya vitu vyote upande wa kushoto:
Kwa wazi, ni bora kuondoa logi 2 x sababu, kwani iko katika sehemu za kwanza na za pili.
logi 2 x = 0;
3 kumbukumbu 2 9x = 4 kumbukumbu 2 3x
Tunagawanya kila logi katika maneno mawili:
logi 2 9x = logi 2 9 + logi 2 x = 2 logi 2 3 + logi 2 x;
logi 2 3x = logi 2 3 + logi 2 x
Hebu tuandike upya pande zote mbili za usawa kwa kuzingatia ukweli huu:
3 (logi 2 2 3 + logi 2 x ) = 4 (logi 2 3 + logi 2 x)
6 kumbukumbu 2 3 + 3 logi 2 x = 4 kumbukumbu 2 3 + 4 kumbukumbu 2 x
2 kumbukumbu 2 3 = logi 2 x
Sasa kilichobaki ni kuingiza mbili chini ya ishara ya logarithm (itageuka kuwa nguvu: 3 2 = 9):
logi 2 9 = logi 2 x
Mbele yetu kuna fomu ya kawaida ya kisheria, tunaondoa ishara ya logarithm na kupata:
Kama inavyotarajiwa, mzizi huu uligeuka kuwa mkubwa kuliko sifuri. Inabakia kuangalia kikoa cha ufafanuzi. Hebu tuangalie sababu:
Lakini mzizi x = 9 inakidhi mahitaji haya. Kwa hiyo, ni uamuzi wa mwisho.
Hitimisho kutoka kwa suluhisho hili ni rahisi: usiogope mahesabu ya muda mrefu! Ni kwamba mwanzoni tulichagua msingi mpya bila mpangilio - na hii ilifanya mchakato kuwa mgumu sana.
Lakini basi swali linatokea: ni msingi gani mojawapo? Nitazungumza juu ya hili kwa njia ya pili.
Wacha turudi kwenye mlinganyo wetu wa asili:
logi 3 3x x = kumbukumbu 2 9x x 2
logi 3 3x x = 2 ∙ logi 2 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
logi 3 3 x x = 4 kumbukumbu 9 x x
Sasa hebu tufikirie kidogo: ni nambari gani au kazi gani inaweza kuwa msingi bora? Kwa wazi, chaguo bora itakuwa c = x - ni nini tayari katika hoja. Katika kesi hii, logi ya fomula a b = logi c b /log c a itachukua fomu:
Kwa maneno mengine, usemi umebadilishwa tu. Katika kesi hii, hoja na msingi hubadilisha maeneo.
Fomula hii ni muhimu sana na hutumiwa mara nyingi sana katika kutatua milinganyo changamano ya logarithmic. Walakini, kuna mtego mmoja mbaya sana wakati wa kutumia fomula hii. Ikiwa tutabadilisha mabadiliko ya x badala ya msingi, basi vizuizi vinawekwa juu yake ambavyo havikuzingatiwa hapo awali:
Hakukuwa na kizuizi kama hicho katika mlinganyo wa asili. Kwa hivyo, tunapaswa kuangalia kesi kando wakati x = 1. Weka thamani hii kwenye mlinganyo wetu:
3 kumbukumbu 3 1 = 4 kumbukumbu 9 1
Tunapata usawa sahihi wa nambari. Kwa hivyo x = 1 ni mzizi. Tulipata mzizi sawa katika njia ya awali mwanzoni mwa suluhisho.
Lakini sasa kwa kuwa tumezingatia kisa hiki tofauti, tunadhania kuwa x ≠ 1. Kisha mlingano wetu wa logarithmic utaandikwa upya katika fomu ifuatayo:
logi 3 x 9x = logi 4 x 3x
Tunapanua logariti zote mbili kwa kutumia fomula sawa na hapo awali. Kumbuka kuwa logi x x = 1:
3 (logi x 9 + logi x x ) = 4 (logi x 3 + logi x x)
logi 3 x 9 + 3 = kumbukumbu 4 x 3 + 4
logi 3 x 3 2 − 4 gogo x 3 = 4 - 3
logi 2 x 3 = 1
Kwa hivyo tulikuja kwa fomu ya kisheria:
logi x 9 = logi x x 1
x=9
Tulipata mzizi wa pili. Inakidhi mahitaji x ≠ 1. Kwa hiyo, x = 9 pamoja na x = 1 ni jibu la mwisho.
Kama unaweza kuona, kiasi cha mahesabu kimepungua kidogo. Lakini wakati wa kutatua equation halisi ya logarithmic, idadi ya hatua itakuwa ndogo sana kwa sababu hauhitajiki kuelezea kila hatua kwa undani kama hiyo.
Kanuni muhimu ya somo la leo ni yafuatayo: ikiwa tatizo lina shahada hata, ambayo mzizi wa shahada sawa hutolewa, basi pato litakuwa moduli. Walakini, moduli hii inaweza kuondolewa ikiwa utazingatia kikoa cha ufafanuzi wa logarithms.
Lakini kuwa mwangalifu: baada ya somo hili, wanafunzi wengi wanafikiri kwamba wanaelewa kila kitu. Lakini wakati wa kutatua matatizo halisi, hawawezi kuzalisha mlolongo mzima wa mantiki. Kama matokeo, equation hupata mizizi isiyo ya lazima, na jibu linageuka kuwa sio sahihi.
Mifano:
\(\logi_(2)(x) = 32\)
\(\log_3x=\log_39\)
\(\log_3((x^2-3))=\log_3((2x))\)
\(\logi_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2((x+1))+10=11 \lg((x+1))\)
Jinsi ya kutatua milinganyo ya logarithmic:
Wakati wa kusuluhisha equation ya logarithmic, unapaswa kujitahidi kuibadilisha kuwa fomu \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\), kisha ufanye mpito hadi \(f(x) )=g(x) \).
\(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) \( ⇒\) \(f(x)=g(x)\).
Mfano:\(\log_2(x-2)=3\)
|
Suluhisho: |
ODZ: |
Muhimu sana! Mpito huu unaweza kufanywa tu ikiwa:
Umeandika kwa mlingano asilia, na mwishoni utaangalia ikiwa zile zilizopatikana zimejumuishwa kwenye DL. Ikiwa hii haijafanywa, mizizi ya ziada inaweza kuonekana, ambayo ina maana uamuzi usio sahihi.
Nambari (au kujieleza) upande wa kushoto na kulia ni sawa;
Logarithms upande wa kushoto na kulia ni "safi", yaani, haipaswi kuwa na kuzidisha, mgawanyiko, nk. - logariti moja tu kwa kila upande wa ishara sawa.
Kwa mfano:
Kumbuka kwamba Equations 3 na 4 zinaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia sifa muhimu za logarithms.
Mfano . Tatua mlingano \(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\)
Suluhisho :
|
Wacha tuandike ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\) ODZ: \(x>0\) |
Upande wa kushoto mbele ya logariti ni mgawo, upande wa kulia ni jumla ya logariti. Hii inatusumbua. Wacha tuhamishe hizi mbili kwa kielezi \(x\) kulingana na sifa: \(n \log_b(a)=\log_b(a^n)\). Wacha tuwakilishe jumla ya logariti kama logariti moja kulingana na mali: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\) |
|
|
\(\log_8(x^2)=\log_825\) |
Tulipunguza mlingano kuwa fomu \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) na tukaandika ODZ, ambayo inamaanisha tunaweza kuhamia fomu \(f(x) =g(x)\ ). |
|
|
Imetokea. Tunatatua na kupata mizizi. |
||
|
\(x_1=5\) \(x_2=-5\) |
Tunaangalia ikiwa mizizi inafaa kwa ODZ. Ili kufanya hivyo, katika \(x>0\) badala ya \(x\) tunabadilisha \(5\) na \(-5\). Operesheni hii inaweza kufanywa kwa mdomo. |
|
|
\(5>0\), \(-5>0\) |
Ukosefu wa usawa wa kwanza ni kweli, wa pili sio. Hii inamaanisha kuwa \(5\) ndio mzizi wa equation, lakini \(-5\) sio. Tunaandika jibu. |
Jibu : \(5\)
Mfano : Tatua mlingano \(\logi^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\)
Suluhisho :
|
Wacha tuandike ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(\logi^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\) ODZ: \(x>0\) |
Mlinganyo wa kawaida unaotatuliwa kwa kutumia . Badilisha \(\log_2x\) na \(t\). |
|
|
\(t=\log_2x\) |
||
|
Tulipokea ile ya kawaida. Tunatafuta mizizi yake. |
||
|
\(t_1=2\) \(t_2=1\) |
Kufanya uingizwaji wa nyuma |
|
|
\(\log_2(x)=2\) \(\log_2(x)=1\) |
Tunabadilisha pande za mkono wa kulia, kuziwakilisha kama logariti: \(2=2 \cdot 1=2 \log_22=\log_24\) na \(1=\log_22\) |
|
|
\(\log_2(x)=\log_24\) \(\log_2(x)=\log_22 \) |
Sasa milinganyo yetu ni \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\), na tunaweza kubadilisha hadi \(f(x)=g(x)\). |
|
|
\(x_1=4\) \(x_2=2\) |
Tunaangalia mawasiliano ya mizizi ya ODZ. Ili kufanya hivyo, badilisha \(4\) na \(2\) katika ukosefu wa usawa \(x>0\) badala ya \(x\). |
|
|
\(4>0\) \(2>0\) |
Kukosekana kwa usawa zote mbili ni kweli. Hii inamaanisha kuwa \(4\) na \(2\) ni mizizi ya mlinganyo. |
Jibu : \(4\); \(2\).
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.