Mara nyingi katika matatizo ya kuongezeka kwa utata tunakutana nayo milinganyo ya trigonometriki iliyo na moduli. Wengi wao wanahitaji mbinu ya heuristic ya ufumbuzi, ambayo haijulikani kabisa kwa watoto wengi wa shule.
Matatizo yaliyopendekezwa hapa chini yananuiwa kukujulisha mbinu za kawaida zaidi za kutatua milinganyo ya trigonometriki iliyo na moduli.
Tatizo 1. Tafuta tofauti (katika digrii) ya mizizi ndogo chanya na kubwa zaidi hasi ya mlingano 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Suluhisho.
Wacha tupanue moduli:
1) Ikiwa cos x ≥ 0, basi equation ya awali itachukua fomu 1 + 2sin x · cos x = 0.
Kutumia fomula ya sine ya pembe mbili, tunapata:
1 + dhambi 2x = 0; dhambi 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Tangu cos x ≥ 0, basi x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Ikiwa cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 - dhambi 2x = 0; dhambi 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Tangu cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Mzizi mkubwa hasi wa mlingano: -π/4; mzizi mdogo kabisa chanya wa mlingano: 5π/4.
Tofauti inayohitajika: 5π/4 - (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Jibu: 270 °.
Tatizo 2. Tafuta (katika digrii) mzizi mdogo kabisa chanya wa mlingano |tg x| + 1/cos x = tan x.
Suluhisho.
Wacha tupanue moduli:
1) Ikiwa tan x ≥ 0, basi
tan x + 1/cos x = tan x;
Equation inayotokana haina mizizi.
2) Ikiwa tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 na cos x ≠ 0.
Kwa kutumia Kielelezo 1 na hali tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Kiini kidogo chanya cha mlingano ni 5π/6. Wacha tubadilishe thamani hii kuwa digrii:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Jibu: 150 °.
Tatizo 3. Tafuta idadi ya mizizi tofauti ya dhambi ya equation |2x| = cos 2x kwa muda [-π/2; π/2].
Suluhisho.
Hebu tuandike mlinganyo huo katika mfumo wa dhambi|2x| - cos 2x = 0 na uzingatie kazi y = dhambi |2x| - kwa 2x. Kwa kuwa kitendakazi ni sawa, tutapata sufuri zake kwa x ≥ 0.
dhambi 2x - cos 2x = 0; Wacha tugawanye pande zote mbili za equation na cos 2x ≠ 0, tunapata:
tg 2x - 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Kutumia usawa wa kazi, tunaona kwamba mizizi ya equation ya awali ni namba za fomu
± (π/8 + πn/2), ambapo n € Z.
Muda [-π/2; π/2] ni ya nambari: -π/8; π/8.
Kwa hivyo, mizizi miwili ya equation ni ya muda uliopewa.
Jibu: 2.
Mlinganyo huu pia unaweza kutatuliwa kwa kufungua moduli.
Tatizo 4. Tafuta idadi ya mizizi ya equation sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · dhambi 2 x = dhambi 2 x kwa muda [-π; 2π].
Suluhisho.
1) Fikiria kesi wakati 2cos x - 1 > 0, i.e. cos x > 1/2, basi equation inachukua fomu:
dhambi x - dhambi 2 x = dhambi 2 x;
dhambi x - 2sin 2 x = 0;
dhambi x(1 – 2sin x) = 0;
dhambi x = 0 au 1 - 2sin x = 0;
dhambi x = 0 au dhambi x = 1/2.
Kwa kutumia Kielelezo 2 na hali cos x > 1/2, tunapata mizizi ya equation:
x = π/6 + 2πn au x = 2πn, n € Z.
2) Fikiria kesi wakati 2cos x - 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
dhambi x + dhambi 2 x = dhambi 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Kwa kutumia Kielelezo 2 na hali ya cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Kuchanganya kesi hizi mbili, tunapata:
x = π/6 + 2πn au x = πn.
3) Muda [-π; 2π] ni ya mizizi: π/6; -π; 0; π; 2p.
Kwa hivyo, muda uliopewa una mizizi mitano ya equation.
Jibu: 5.
Tatizo 5. Tafuta idadi ya mizizi ya equation (x – 0.7) 2 |sin x| + dhambi x = 0 kwa muda [-π; 2π].
Suluhisho.
1) Ikiwa dhambi x ≥ 0, basi equation ya awali inachukua fomu (x - 0.7) 2 dhambi x + dhambi x = 0. Baada ya kuchukua sababu ya kawaida dhambi x nje ya mabano, tunapata:
dhambi x((x - 0.7) 2 + 1) = 0; tangu (x - 0.7) 2 + 1 > 0 kwa wote halisi x, basi sinx = 0, i.e. x = πn, n € Z.
2) Ikiwa dhambi x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
dhambi x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 au (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Tangu dhambi x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0.7 = 1 au x – 0.7 = -1, ambayo ina maana x = 1.7 au x = -0.3.
Kwa kuzingatia hali sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, ambayo inamaanisha tu nambari -0.3 ndio mzizi wa mlinganyo wa asili.
3) Muda [-π; 2π] ni ya nambari: -π; 0; π; 2p; -0.3.
Kwa hivyo, equation ina mizizi mitano kwenye muda fulani.
Jibu: 5.
Unaweza kujiandaa kwa masomo au mitihani kwa kutumia nyenzo mbalimbali za elimu zinazopatikana kwenye mtandao. Kwa sasa mtu yeyote 
mtu anahitaji tu kutumia teknolojia mpya za habari, kwa sababu matumizi yao sahihi, na muhimu zaidi yanafaa, yatasaidia kuongeza motisha katika kusoma somo, kuongeza kupendezwa na kusaidia kuiga nyenzo zinazohitajika. Lakini usisahau kwamba kompyuta haikufundishi kufikiria; Kwa hiyo, unaweza kurejea kwa wakufunzi wetu mtandaoni kwa usaidizi, ambao watakusaidia kujua jinsi ya kutatua matatizo yanayokuvutia.
Bado una maswali? Je! hujui jinsi ya kutatua milinganyo ya trigonometric?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu -.
Somo la kwanza ni bure!
blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.
Milinganyo ya Trigonometric. Kama sehemu ya mtihani wa hisabati, katika sehemu ya kwanza kuna kazi inayohusiana na kutatua equation - hizi ni hesabu rahisi ambazo zinaweza kutatuliwa kwa dakika; Inajumuisha: milinganyo ya mstari, ya quadratic, ya busara, isiyo na mantiki, ya kielelezo, logarithmic na trigonometric.
Katika makala hii tutaangalia milinganyo ya trigonometric. Suluhisho lao linatofautiana kwa kiasi cha mahesabu na kwa utata kutoka kwa matatizo mengine katika sehemu hii. Usiogope, neno "ugumu" linamaanisha ugumu wao wa jamaa ikilinganishwa na kazi nyingine.
Mbali na kupata mizizi ya equation yenyewe, ni muhimu kuamua mzizi mkubwa zaidi hasi au mdogo zaidi. Uwezekano kwamba utapata equation ya trigonometric kwenye mtihani ni, bila shaka, ndogo.
Kuna chini ya 7% yao katika sehemu hii ya Mtihani wa Jimbo Pamoja. Lakini hii haina maana kwamba wanapaswa kupuuzwa. Katika Sehemu ya C, unahitaji pia kutatua mlinganyo wa trigonometric, kwa hivyo uelewa mzuri wa mbinu ya suluhisho na uelewa wa nadharia ni muhimu tu.
Kuelewa sehemu ya trigonometry ya hisabati itaamua sana mafanikio yako katika kutatua matatizo mengi. Acha nikukumbushe kwamba jibu ni nambari nzima au sehemu ya desimali yenye ukomo. Baada ya kupata mizizi ya equation, HAKIKISHA kukagua. Haitachukua muda mwingi, na itakuokoa kutokana na kufanya makosa.
Pia tutaangalia milinganyo mingine katika siku zijazo, usikose! Wacha tukumbuke fomula za mizizi ya hesabu za trigonometric, unahitaji kuzijua:
Ujuzi wa maadili haya ni muhimu; hii ni "ABC", bila ambayo haitawezekana kukabiliana na kazi nyingi. Kubwa, ikiwa kumbukumbu yako ni nzuri, ulijifunza kwa urahisi na kukumbuka maadili haya. Nini cha kufanya ikiwa huwezi kufanya hivyo, kuna machafuko katika kichwa chako, lakini ulichanganyikiwa tu wakati wa kuchukua mtihani. Itakuwa aibu kupoteza pointi kwa sababu uliandika thamani isiyo sahihi katika hesabu zako.
Maadili haya ni rahisi, pia hutolewa katika nadharia uliyopokea katika barua ya pili baada ya kujiandikisha kwenye jarida. Ikiwa bado haujajisajili, fanya hivyo! Katika siku zijazo tutaangalia pia jinsi maadili haya yanaweza kuamuliwa kutoka kwa mduara wa trigonometric. Sio bure kwamba inaitwa "Moyo wa Dhahabu wa Trigonometry."
Acha nieleze mara moja, ili kuzuia machafuko, kwamba katika hesabu zinazozingatiwa hapa chini, ufafanuzi wa arcsine, arccosine, arctangent kwa kutumia pembe hupewa. X kwa milinganyo inayolingana: cosx=a, sinx=a, tgx=a, wapi X pia inaweza kuwa usemi. Katika mifano hapa chini, hoja yetu inatolewa kwa usahihi na usemi.
Kwa hivyo, wacha tuzingatie kazi zifuatazo:
Tafuta mzizi wa equation:
Andika mzizi mkubwa zaidi hasi katika jibu lako.
Suluhisho la equation cos x = a ni mizizi miwili:
Ufafanuzi: Acha nambari katika moduli isizidi moja. Arc cosine ya nambari ni pembe x iliyo katika safu kutoka 0 hadi Pi, kosine ambayo ni sawa na a.
Maana
Hebu tueleze x:
Wacha tupate mzizi mkubwa zaidi hasi. Jinsi ya kufanya hivyo? Wacha tubadilishe maadili tofauti ya n kwenye mizizi inayosababisha, tuhesabu na uchague ile mbaya zaidi.
Tunahesabu:
Na n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4.5 = – 10.5 x 2 = 3 (– 2) – 5.5 = – 11.5
Na n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4.5 = – 7.5 x 2 = 3 (– 1) – 5.5 = – 8.5
Na n = 0 x 1 = 3∙0 – 4.5 = – 4.5 x 2 = 3∙0 – 5.5 = – 5.5
Na n = 1 x 1 = 3∙1 – 4.5 = – 1.5 x 2 = 3∙1 – 5.5 = – 2.5
Na n = 2 x 1 = 3∙2 - 4.5 = 1.5 x 2 = 3∙2 - 5.5 = 0.5
Tuligundua kuwa mzizi mkubwa hasi ni -1.5
Jibu: –1.5
Amua mwenyewe:
Tatua mlinganyo:
Suluhisho la equation sin x = a ni mizizi miwili:
Ama (inachanganya zote mbili hapo juu):
Ufafanuzi: Acha nambari katika moduli isizidi moja. Arcsine ya nambari ni pembe x ambayo iko katika safu kutoka - 90 ° hadi 90 °, sine ambayo ni sawa na a.
Maana
Express x (zidisha pande zote mbili za equation kwa 4 na ugawanye kwa Pi):
Wacha tupate mzizi mdogo kabisa mzuri. Hapa ni wazi mara moja kwamba wakati wa kubadilisha maadili hasi ya n tunapata mizizi hasi. Kwa hivyo, tutabadilisha n = 0,1,2...
Wakati n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4
Wakati n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6
Wakati n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12
Hebu tuangalie na n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2
Kwa hivyo mzizi mdogo zaidi ni 4.
Jibu: 4
Amua mwenyewe:
Tatua mlinganyo:
Andika mzizi mdogo kabisa chanya katika jibu lako.
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.